Twierdzenie Tellegena

Twierdzenie Tellegena (zasada Tellegena) – jedno z najważniejszych twierdzeń teorii obwodów, stosowane do analizy dowolnych obwodów skupionych. Zostało po raz pierwszy sformułowane w 1952 roku przez holenderskiego elektrotechnika Bernarda Tellegena.

Treść twierdzenia

W każdym układzie skupionym suma mocy chwilowych pobieranych przez wszystkie elementy układu jest w każdej chwili równa zeru.

czyli: $\sum \limits _{k=1}^{K}p_{k}=0,$ gdzie K to liczba elementów skupionych, a $p_{k}$ to moc chwilowa pobierana przez k-ty element.

Ze względu na tożsamość powyższego równania względem czasu $t,$ prawdziwa jest również zależność $\bigwedge _{t}\sum \limits _{k=1}^{K}p_{k}=0.$

Dowód

Niech prądy gałęziowe $i_{m}$ oraz napięcia gałęziowe $u_{m}$ spełniają kolejno pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa, a $v_{m}$ to potencjały poszczególnych węzłów. Wówczas napięcie pomiędzy węzłami $k$ i $l$ jest określone zależnością

$u_{kl}=v_{k}-v_{l}.$

Moc chwilową prądu $i_{kl}$ można opisać zależnością

$p_{kl}=i_{kl}u_{kl}=i_{kl}(v_{k}-v_{l})=i_{kl}v_{k}-i_{kl}v_{l}.$

Wiedząc, że

$i_{kl}=-i_{lk},$

otrzymujemy

$i_{kl}u_{kl}=i_{kl}v_{k}+i_{lk}v_{l}.$

Analogicznie postępujemy dla wszystkich składników sumy $\sum u_{m}i_{m}.$

Grupujemy składniki postaci $v_{k}\sum \limits _{j}i_{kj}.$

Na podstawie I prawa Kirchhoffa

$\sum \limits _{j}i_{kj}=0,$

a więc

$\sum u_{m}i_{m}=0,$

czyli

$\sum p_{m}=0.$

Można też wykazać, że spośród trzech twierdzeń – obu praw Kirchhoffa oraz twierdzenia Tellegena, każde z nich można wyprowadzić z dwóch pozostałych.

Wnioski

Twierdzenie Tellegena stanowi zasadę zachowania mocy i energii w układach skupionych. W danej chwili suma mocy pobieranych przez elementy takiego układu jest równa mocy oddawanej przez pozostałe elementy. Zależność $\sum \limits _{k=1}^{K}p_{k}=0$ można sprowadzić do zasady zachowania energii, całkując to wyrażenie w przedziale $[t_{0},t_{1}]$

$\int \limits _{t_{1}}^{t_{0}}\sum \limits _{k=1}^{K}p_{k}dt=\sum \limits _{k=1}^{K}\int \limits _{t_{1}}^{t_{0}}p_{k}dt=0.$

Zastosowanie

Twierdzenie Tellegena jest jednym z najogólniejszych twierdzeń w teorii obwodów. Może być stosowane do opisu jakichkolwiek obwodów zbudowanych z elementów skupionych, tj. takich, których właściwości i zachowanie można opisać tylko funkcjami czasu. Po uogólnieniu może być również wykorzystywane w analizie topologicznej w innych niż elektronika dziedzinach nauki np. w chemii, fizyce czy biologii.