Uzwarcenie

Uzwarcenie, inaczej kompaktyfikacja, przedłużenie zwarte lub rozszerzenie zwarte^[1] – rozszerzenie danej przestrzeni topologicznej tak, by była ona przestrzenią zwartą.

Definicja formalna

Uzwarceniem przestrzeni $(X,\tau )$ nazywamy parę $(Y,e)$ taką, że $Y$ jest zwartą przestrzenią topologiczną, zaś $e\colon X\to Y$ jest zanurzeniem homeomorficznym oraz $e(X)$ jest gęstym podzbiorem $Y.$ Jeśli dodatkowo $Y\in T_{2},$ czyli $Y$ jest przestrzenią Hausdorffa, to uzwarcenie $(Y,e)$ nazywa się uzwarceniem Hausdorffa $(T_{2})$ .

Zwykle pomija się zanurzenie $e,$ szczególnie jeśli jest ono identycznością i w sytuacji jak powyżej mówi się, że przestrzeń $Y$ jest uzwarceniem przestrzeni $X$ . Często też utożsamiamy punkty $x\in X$ z ich obrazami $e(x)\in Y$ i traktujemy $X$ jako podprzestrzeń przestrzeni $Y.$

Jedynym uzwarceniem zwartej przestrzeni Hausdorffa jest ona sama.

Uzwarcenie jednopunktowe

Niech $(X,\tau _{X})$ będzie niezwartą, lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną i niech $\infty$ będzie pewnym obiektem nie należącym do zbioru $X.$ Połóżmy $Y=X\cup \{\infty \}$ i

\tau _{Y}=\tau _{X}\cup {\big \{}U\cup \{\infty \}:U\in \tau _{X}

i

X\setminus U

jest zwartym podzbiorem

X{\big \}}.

Wówczas $(Y,\tau _{Y})$ jest zwartą przestrzenią topologiczną. Ponadto zanurzenie identycznościowe $\mathrm {id} _{X}:X\longrightarrow X\subseteq Y$ jest zanurzeniem homeomorficznym i $X$ jest gęstym podzbiorem. Tak więc $(Y,\mathrm {id} _{X})$ jest uzwarceniem przestrzeni $X.$ Uzwarcenie to nazywamy uzwarceniem jednopunktowym lub uzwarceniem Aleksandrowa.

Z powyższych rozważań wynika, że każda przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie. Niestety, to uzwarcenie nie musi spełniać aksjomatu T₂. Łatwo można sprawdzić, że uzwarcenie Aleksandrowa przestrzeni topologicznej $X$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa.

Warto zauważyć, że jeśli wyjściowa przestrzeń $X$ jest zwarta, to powyższa procedura nie daje uzwarcenia $X,$ jako że wtedy $X$ nie będzie gęstym podzbiorem $Y.$ Uzwarcenia jednopunktowe były wprowadzone do literatury matematycznej przez Aleksandrowa i Urysohna^[2] w 1929.

Uzwarcenia Hausdorffa

Każda zwarta przestrzeń T₂ jest przestrzenią normalną, a więc także przestrzenią całkowicie regularną. Ponieważ „bycie przestrzenią Tichonowa” jest własnością dziedziczną, jeśli przestrzeń topologiczna $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa, to sama przestrzeń $X$ musi być całkowicie regularna. Z drugiej strony, Tichonow udowodnił, że każda przestrzeń $T_{3{\frac {1}{2}}}$ może być zanurzona w produkt $[0,1]^{I}$ pewnej ilości kopii domkniętych odcinków. Ponieważ, na podstawie innego twierdzenia Tichonowa, przestrzeń $[0,1]^{I}$ jest zwarta (a domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte), to można teraz łatwo znaleźć uzwarcenie Hausdorffa wyjściowej przestrzeni.

Tak więc, przestrzeń topologiczna $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią całkowicie regularną.

Uzwarcenia Čecha-Stone’a

Wśród uzwarceń Hausdorffa danej przestrzeni całkowicie regularnej $X,$ jedno uzwarcenie ma uniwersalny charakter – jest to uzwarcenie Čecha-Stone’a $\beta X.$ Uzwarcenie to było wprowadzone i badane niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone’a w latach 30. XX wieku. Może być ono scharakteryzowane przez każde z następujących dwóch twierdzeń:

Twierdzenie Stone’a: Każda całkowicie regularna przestrzeń $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa $\beta X$ takie, że każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni $X$ w zwartą przestrzeń T₂ może być przedłużone na $\beta X.$
Twierdzenie Čecha: Każda całkowicie regularna przestrzeń $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa $\beta X$ takie, że każde dwa podzbiory $X$ oddzielalne przez funkcję ciągła mają rozłączne domknięcia.

Należy zauważyć, że uzwarcenie $\beta X$ jest jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu identycznościowego na $X$ ). Ponadto, każde uzwarcenie całkowicie regularnej przestrzeni $X$ jest ciągłym obrazem przestrzeni $\beta X$ przez odwzorowanie które jest identycznością na $X.$

Zobacz też

Przypisy

↑ uzwarcenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-01-17] .
↑ Alexandroff, P.; Urysohn, P. Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, 93 S. (1929).

[epwn-1] uzwarcenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-01-17] .

[2] Alexandroff, P.; Urysohn, P. Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, 93 S. (1929).

[1]

[2]