Corpo de frações

Seja $(A,+,*)$ um anel. Sob que condições podemos construir uma extensão $(B,+,*)$ que seja um corpo? Se a resposta for afirmativa, B será chamado de um corpo de frações de A.

De modo geral, $(B,+,*)\,$ é um corpo de frações do anel $(A,+,*)\,$ quando B for um corpo, e contiver um sub-anel A' isomórfico a A. Quando B existe (mais abaixo estão enumeradas as condições para sua existência) podemos dizer que B é o corpo de frações de A, porque qualquer outro corpo de frações de A será isomórfico a B.

Construção

A construção do corpo de frações a partir de um anel é muito semelhante à construção dos números racionais a partir dos números inteiros.

Como $(B,+,*)$ é um corpo, temos que a multiplicação é comutativa. Então, em $(A,+,*)$, a multiplicação também deve ser comutativa.

Como B não pode ter divisores de zero, segue que A também não pode ter divisores de zero.

Para que A seja um subconjunto de B, deve ser possível representar cada elemento de B como uma divisão de elementos de A. Uma condição suficiente para isso é que a multiplicação em A tenha elemento neutro 1.

As três condições acima (anel comutativo, sem divisores de zero, e com elemento neutro multiplicativo) caracterizam um domínio de integridade.

Como os elementos de B tem a forma ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}\,$ para $a_{1}\in A\land a_{2}\in A\land a_{2}\neq 0\,$, vamos iniciar a construção de B pelo conjunto de pares ordenados $A\times A^{\star }=A\times (A-\{0\})\,$.

Define-se, em $A\times A^{\star }$:

$(a,b)+(c,d)=(a\ d+b\ c,b\ d)$

$(a,b)*(c,d)=(a\ c,b\ d)$

Essas operações estão bem definidas, porque A não tem divisores de zero, logo $b\ d\neq 0\,$

Lembrando que ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\iff a\ d=b\ c\,$, temos que considerar em $A\times A^{\star }$ a relação $\sim \,$ definida por $(a,b)\sim (c,d)\iff a\ d=b\ c\,$.

Prova-se facilmente que $\sim \,$ é uma relação de equivalência em $A\times A^{\star }\,$. Além disso, é possível provar que as operações de soma e produto definidas em $A\times A^{\star }\,$ estão bem definidas no conjunto quociente ${\frac {A\times A^{\star }}{\sim }}\,$.

A projeção $\pi :A\mapsto {\frac {A\times A^{\star }}{\sim }}\,$ definida por $\pi (x)=[(x,1)]\,$ é um isomorfismo entre A e $\pi (A)\,$.

Finalmente, basta provar as propriedades de corpo para finalizar a construção.

Unicidade

Sejam B e B' dois corpos de frações do anel A, e sejam i_A e i'_A os isomorfismos de A em, respectivamente, subanéis de B e B' . Considerando então a relação entre B e B' definida por:

$R=\{\ (b,b')\in B\times B'\ |\ \exists p,q\in A,\ b=i_{A}(p)/i_{A}(q),\ b'=i'_{A}(p)/i'_{A}(q)\ \}\,$

Basta mostrar que R é uma função bijetiva e um isomorfismo de corpos, e está provada a unicidade (a menos de isomorfismos) do corpo de frações.