Econometria

ESTATÍSTICA ECONÔMICA
E
INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
2611641
Material Didático de ApoioVERSÃO 2010-1
Profº Eduardo Gonçalves Barroso

PROGRAMA DE DISCIPLINA
CURSO: Ciências Econômicas CURRÍCULO:
DISCIPLINA: Estatística Econômica e Introdução à Econometria CÓDIGO:
DEPARTAMENTO: Matemática CÓDIGO:
CARGA HORÁRIA: 60 horas CRÉDITOS: 04
PROGRAMA N.º VIGÊNCIA DE: / / ATÉ / /
OBJETIVOS: Dar continuidade aos estudos de Estatística, iniciados em Introdução à Estatística. Conceito de variável
aleatória. Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Funções de distribuição e funções de densidade de
probabilidade.Os conceitos das distribuições de probabilidade discretas e continuas, farão uma relação com o
aprendizado anterior das variáveis aleatórias. Na continuidade da disciplina, irão estudar a teoria da amostragem e
suas distribuições, a estimação e os testes de hipóteses.
EMENTA: Variáveis Aleatórias. Distribuições de Probabilidade: Discretas e Contínuas. Teoria da Amostragem.
Distribuições amostrais. Estimação. Testes de Hipóteses.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO HORAS
AULA
1. Variáveis Aleatórias
1.1 Conceitos
1.2 Função de Probabilidade
1.3 Função Densidade de Probabilidade
1.4 Esperança de uma variável aleatória
1.5 Teoremas fundamentais
1.6 Desvio padrão de uma variável aleatória
1.7 Variância de uma variável aleatória
1.8 Propriedades da variância
1.9 Distribuição conjunta
1.10 Distribuições marginais
1.11 Covariância
1.12 Correlação
1.13 Propriedades da correlação
1.14 Variáveis aleatórias independentes
2. Distribuições de probabilidade - casos discretos.
2.1. Distribuição de Bernoulli.
2.2. Distribuição binomial.
2.3. Distribuição de Poisson.
2.4. A Distribuição de Poisson como aproximação da distribuição binomial.
3. Distribuições de probabilidade - casos contínuos.
3.1. Distribuição normal.
3.2. Variável normal padronizada ou normal reduzida.
3.3. A Distribuição normal como aproximação da distribuição binomial. Correções de continuidade.
4. Teoria da Amostragem
4.1 População. amostra. Amostra probabilística e não probabilística. Amostra aleatória simples.
Números aleatórios.
4.2. Distribuições amostrais
4.2.1. Distribuição amostral das médias.

4.2.2. Teorema do Limite Central.
4.2.3. Distribuição amostral das proporções.
4.2.4. Distribuição amostral das somas e diferenças.
4.2.5. Distribuição de Student (Distribuição t).
4.2.6. Distribuição Qui Quadrado.
5. Estimação
5.1. Estimação por ponto e por intervalo.
5.2. Erro de estimação.
5.3. Fundamentos lógicos da estimação.
5.4. Níveis de confiança.
5.5. Intervalo de confiança para a média usando a distribuição normal.
5.6. Intervalo de confiança para a média usando a distribuição t de Student
5.7. Intervalo de confiança para a proporção.
5.8. Cálculo do tamanho mínimo de amostra para um erro máximo pré fixado.
6. Testes de hipóteses.
6.1. Etapas básicas de um teste de hipótese.
6.2. Decisões possíveis em testes de hipóteses.
6.3. Testes bilaterais e unilaterais.
6.4. Erros do tipo I e do tipo II.
6.5. Teste de hipótese para a média usando a distribuição Normal.
6.6. Teste de hipótese para a média usando a distribuição t de Student.
6.7. Teste de hipótese para a proporção
METODOLOGIA
A disciplina será ministrada com o auxílio da bibliografia recomendada e de material didático de apoio preparado pelo
professor. Os alunos serão levados a sedimentar os conceitos apresentados através da resolução de exercícios básicos.
Em seguida serão testados através de outros exercícios de forma a verificar o seu aprendizado.
AVALIAÇÃO
Através da aplicação, individual, de PP e PF.
O aluno poderá ainda, a critério do professor, ter pontuações extras através da resolução de exercícios
complementares, dentro dos limites estabelecidos.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
STEVENSON, Willian.J. - Estatística Aplicada à Administração - São Paulo - Harper & Row do Brasil - 1981
SPIEGEL, Murray R - Estatística - São Paulo - Makron Books -
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
TOLEDO, Geraldo Luciano e OVALLE, Ivo Isidoro - Estatística Básica - São Paulo - Atlas - 1985
HOFFMANN, Rodolfo - Estatística para Economistas - São Paulo - Pioneira - 1998
MOORE, David - A Estatística Básica e Sua Prática - Rio de Janeiro - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
ESTATÍSTICA 1 / Ermes Medeiros da Silva...let al.I. – 3. ed. 9. reimpr.- São Paulo: Atlas – 2006 – 2 volumes.

Universidade Católica de Petrópolis
Material Didático de Apoio – Estatística Econômica e Introdução à Econometria – Versão Janeiro-2010
Economia – Administração – Ciências Contábeis – Marketing
Prof. Eduardo Gonçalves Barroso
1
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Góis 32
“Uma variável X é dita aleatória, ou casual, ou probabilística, ou estocástica, quando assume
valores ao acaso, valores que podem ser esperados mas não certos; ou que representam fenômenos
ou eventos de natureza aleatória.”
Stevenson33
– “Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é
determinado por fatores de chance.”
Angelini34
– “Por variável aleatória se entende um lista de valores ou uma função genérica que
associa um número conveniente aos eventos componentes do espaço amostral de um dado
experimento, sejam eles qualitativos ou quantitativos.”
Spiegel35
– “Suponhamos que a cada ponto de um espaço amostral se atribua um número. Teremos
então uma função definida no espaço amostral. Esta função é chamada variável aleatória (ou
variável estocástica) ou, mais precisamente, função aleatória (ou função estocástica).”
Fonseca e Martins36
– “Sejam E um experimento e S o espaço associado ao experimento. Uma
função X, que associe a cada elemento de S um número real X(S) é denominada variável aleatória.”
Assim, uma variável aleatória X é uma função que tem como domínio o espaço amostral S do
experimento que está sendo realizado e como contradomínio o conjunto dos números reais obtidos
através da aplicação desta variável aleatória.
Variável Aleatória Discreta - é aquela que toma um número finito, ou um número infinito
enumerável, de valores. A variável aleatória é considerada discreta se toma valores que podem ser
contados. (número de terremotos, número de livros numa estante, número de falhas numa peça, etc)
32
Góis, Luís Angelo Contin. Estatística: uma abordagem decisorial. São Paulo: Saraiva, 1980
33
Stevenson, Willian J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1981
34
Angelini, Flávio e Milone, Giuseppe. Estatística Geral. São Paulo: Atlas, 1993
35
Spiegel, Murray Ralph. Probabilidade e estatística. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1978
36
Fonseca, Jairo Simon da, Martins, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1977

2
Variável Aleatória Contínua - é aquela que toma um número infinito não enumerável, de
valores. A variável aleatória é considerada contínua quando pode tomar qualquer valor de determinado
intervalo. (pesos de caixas de batata, duração de uma ligação telefônica, alturas das pessoas em uma
sala, etc)
Segundo Lipschutz37
, “uma variável aleatória X num espaço amostral S é uma função de
S no conjunto R dos números reais tal que a imagem inversa de cada intervalo de R seja um evento
de S .”
Exemplo:
Experimento: Lançamento de duas moedas não viciadas.
Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o número de caras ocorridos. Determinar o
domínio e a imagem da variável aleatória X
OBSERVAÇÃO:
Este mesmo espaço amostral do experimento de lançar duas moedas, ou de lançar uma moeda duas
vezes, poderia ser o domínio de muitas outras variáveis aleatórias, como por exemplo:
⇒ “o quadrado do número de caras ocorridos“
⇒ “o número de caras ocorridos menos o número de coroas ocorridos“
⇒ “o número de coroas ocorrido menos 5”
Determine a imagem de cada uma das variáveis aleatórias acima definidas.
37
Lipschutz, Seymour. Probabilidade. 4 Ed. Rev. – São Paulo: Makron Books, 1993

3
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
Como vimos, se X é uma variável aleatória discreta num espaço amostral S , o seu
contradomínio será finito, isto é:
X S nx x x x( ) , , , ........= 




1 2 3
Se, para cada ponto ix , de X S( ) , definirmos sua probabilidade como P X ix( )= , denotada por
f ix( ) , ou seja, se para cada ponto ix obtivermos a sua imagem, através da aplicação da variável
aleatória X , teremos um espaço de probabilidade.
Esta função f em X S( ) , isto é definida por f ix( ) = P X ix( )= é chamada de Distribuição de
Probabilidade ou Função de Probabilidade
P X ix( )= é normalmente dada na forma de uma tabela onde para cada valor de ix teremos o
seu correspondente f ix( )
ix 1x 2x 3x •••••• nx
f ix( ) f x( )1
f x( )2
f x( )3
•••••• f nx( )
A probabilidade de que a variável aleatória X assuma o valor ix , é portanto, a função de
probabilidade de X , que representamos por P X ix( )= ou por f ix( ) .
No exemplo anterior, em que duas moedas não viciadas são lançadas, determine a função de
probabilidade da variável aleatória X
ix 0 1 2
f ix( ) 1/4 2/4 1/4

4
Uma Distribuição de Probabilidade ou uma Função de Probabilidade deve satisfazer às seguintes
condições:
1) f ix( ) ≥ 0
(ou seja, nenhum valor obtido pela aplicação da variável aleatória X aos pontos amostrais de S pode
ser negativo, pois é uma probabilidade)
2) f i
i
n
x( )
=
∑ =
1
1
(ou seja, a soma de todos esses valores de probabilidade, obtidos pela aplicação da variável aleatória X
aos pontos amostrais de S , deve ter soma igual a 1, ou seja, ao somarmos todos esses valores estamos,
indiretamente, fazendo P( S ) que é igual a 1.
Use o exemplo anterior para conferir as duas condições acima
ix 0 1 2
f ix( ) 1/4 2/4 1/4
OBSERVAÇÃO:
Na linha que representa os valores assumidos como imagem da aplicação da variável aleatória X
podemos ter números negativos, com veremos adiante.
A soma dos valores desta linha
é igual a 1
Nenhum dos valores da
linha de f(xi) é negativo

5
ESPERANÇA
Para Spiegel38
“o conceito de esperança matemática, valor esperado, ou simplesmente
esperança de uma variável aleatória, é de grande importância em probabilidade e estatística”
Para Lipschutz39
, “se X é uma variável aleatória com a função de probabilidade que
definimos acima, então a média, ou esperança ou valor esperado de X , denotado por E X( ) ou
x
µ ,
ou simplesmente, E ou µ , é definido por:”
E X f f n f nx x x x x x( ) ( ) ( ) ........ ( )= × + × + + ×1 1 2 2
E X i f i
i
n
x x( ) ( )= ×
=
∑
1
ou seja, E X( ) é a média ponderada dos possíveis valores de X , cada um ponderado por sua
probabilidade
OBSERVAÇÃO:
A fórmula que usamos para determinar a média de uma tabela de freqüência, em Medidas de Tendência
Central
x
x f
f
=
∑
∑
.
tem uma estreita ligação com a fórmula que estamos vendo para esperança de uma variável aleatória,
que também é uma “média”. Em ambas as fórmulas multiplicamos cada x pelo seu f.
Apenas no caso da esperança, os valores multiplicados, já são “divididos” pelo “total”, aqui
representado pelo cálculo das probabilidades.
Devemos anotar que se estamos operando com variáveis aleatória, a medida pode ser chamada de média,
esperança ou valor esperado.
Se estamos operando com tabelas de freqüência, a medida será chamada apenas de média.
O uso de esperança ou valor esperado é apenas quando estamos lidando com variáveis aleatórias.
38
39

6
Para Angelini40
“a esperança matemática é a medida de tendência central das variáveis aleatórias e
definida como a média aritmética ponderada dos valores que a variável aleatória X pode assumir”
Para Spiegel41
“a média ou esperança de X é um valor único, que atua como representante, ou média,
dos valores de X, e por essa razão costuma-se chamar uma medida de tendência central”
Exemplo:
Calcule a esperança da função de probabilidade abaixo:
ix 0 1 2
f ix( ) 1/4 2/4 1/4
1
4
4
4
1
2
4
2
1
4
1
0)()(
1
==×+×+×=×= ∑
=
n
i
ii xx fXE
TEOREMAS ENVOLVENDO ESPERANÇA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
1) Sejam X uma variável aleatória e k um número real. Então:
a) E k X k E X( ) ( )× = ×
b) E k X k E X( ) ( )+ = +
2) Sejam X e Y variáveis aleatórias no mesmo espaço amostral S . Então:
E X Y E X E Y( ) ( ) ( )+ = +
40
Angelini, Flávio e Milone, Giuseppe. Estatística Geral. São Paulo: Atlas, 1993
41

7
Exemplo:
Seja a função de probabilidade abaixo. Calcule a esperança, da variável aleatória X , e confirme a
validade dos Teoremas do item 1
ix 1 2 4
f ix( ) 0,30 0,25 0,45
Calculando a esperança, encontramos, E X( ) = 2,6
Fazendo k = 3,
Teremos pelo teorema que E k X k E X( ) ( )× = × , ou, )(3)3( XEXE ×=×
Resultando em 3 x 2,6 = 7,8
Aplicando k = 3, na variável aleatória X, podemos obter a função de probabilidade abaixo:
ix 3 6 12
f ix( ) 0,30 0,25 0,45
E calculando E X( ) encontramos os mesmos 7,8
Fazendo K = 5,
Teremos pelo teorema que )()( XEkXkE +=+ , ou, )(5)5( XEXE +=+
Resultando em 5 + 2,6 = 7,6
ix 6 7 9
f ix( ) 0,30 0,25 0,45
E calculando E X( ) encontramos os mesmos 7,6

8
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Segundo Lipschutz42
“a média de uma variável aleatória X mede, de certa forma, o valor
médio de X . O próximo conceito, o de variância de X , mede o espalhamento ou a dispersão de X .”
Para Spiegel43
“a variância (ou desvio padrão) é uma medida da dispersão dos valores da
variável aleatória em redor da média. Se os valores tendem a concentrar-se próximos da média , a
variância é pequena; mas se os valores tendem a afastar-se da média, a variância é grande”
Seja X uma variável aleatória com a função de probabilidade que vimos anteriormente
Então, a variância de X , representada por VAR X( ) é dada por:
VAR X i f i
i
n
x x( ) ( ) ( )= − ×
=
∑ µ 2
1
ou
{ }VAR X E X E X( ) ( ) ( )= −2 2
O desvio padrão de X , representado por xσ , é a raiz quadrada (não negativa) da VAR X( ) .
Exemplo:
Calcule a variância e o desvio padrão da função de probabilidade abaixo:
ix 0 1 2
f ix( ) 1/4 2/4 ¼
1
4
4
4
1
2
4
2
1
4
1
0)()(
1
==×+×+×=×= ∑
=
n
i
ii xx fXE
5,1
4
6
4
1
4
2
4
1
)()( 210 222
1
22 ==×+×+×=×= ∑
=
n
i
ii xxX fE
{ } ( ) 5,05,1)()( 1)( 222
=−=−= XEXEXVAR 7071,05,0 ==σ x
42
43

9
TEOREMAS ENVOLVENDO VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
Sejam X uma variável aleatória e k um número real
Então:
a) )()( XVARXkVAR =+
b) )()( 2
XVARkXkVAR ×=×
Seja a função de probabilidade abaixo.
Calcule a variância da variável aleatória X e verifique a validade das teoremas acima
ix 1 2 4
f ix( ) 0,30 0,25 0,45
6,245,0425,0230,01)()(
1
=×+×+×=×= ∑
=
n
i
ii xx fXE
5,845,025,030,0)()( 421 222
1
22 =×+×+×=×= ∑
=
n
i
ii xxX fE
{ } ( ) 74,15,8)()( 6,2)( 222
=−=−= XEXEXVAR

10
Fazendo K = 3
74,1)()3()()( ==+→=+ XVARXVARXVARXkVAR
ix 4 5 7
f ix( ) 0,30 0,25 0,45
E podemos calcular a variância desta “nova” função de probabilidade.
6,545,0725,0530,04)()(
1
=×+×+×=×= ∑
=
n
i
ii xx fXE
1,3345,025,030,0)()( 754 222
1
22 =×+×+×=×= ∑
=
n
i
ii xxX fE
{ } ( ) 74,11,33)()( 6,5)( 222
=−=−= XEXEXVAR
Fazendo K = 4
( ) 84,2774,116)()4()()( 4 22
=×=×=×→×=× XVARXVARXVARkXkVAR
ix 4 8 16
f ix( ) 0,30 0,25 0,45
E podemos calcular a variância desta “nova” função de probabilidade.
4,1045,01625,0830,04)()(
1
=×+×+×=×= ∑
=
n
i
ii xx fXE
13645,025,030,0)()( 1684 222
1
22 =×+×+×=×= ∑
=
n
i
ii xxX fE
{ } ( ) 84,27136)()( 4,10)( 222
=−=−= XEXEXVAR

11
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
Segundo Spiegel44
“se X é uma variável aleatória contínua, a probabilidade de X tomar um
determinado valor é, em geral, zero. Não se pode, pois, definir uma função de probabilidade contínua
da mesma maneira como fizemos no caso de variável discreta. Para que possamos chegar a uma
definição de distribuição de probabilidade contínua, o que tem sentido é falar-se em probabilidade de
X estar compreendido entre dois valores diferentes”
Seja X uma variável aleatória, cujo contradomínio X(S) é infinito não enumerável como, por
exemplo, um intervalo.
Da definição de variáveis aleatórias temos que o conjunto (a ≤ X ≤ b) é um evento em S e,
portanto, a probabilidade de P (a ≤ X ≤ b) está bem definida.
Se existe uma função contínua f : R R a P (a ≤ X ≤ b) é igual a área sob o gráfico de f
entre as abscissas x = a e x = b, integral definida entre os pontos x = a e x = b.
Em linguagem de cálculo, temos:
( )P a X b f x dx
a
b
≤ ≤ = ∫ ( )
Neste caso dizemos que X é uma variável aleatória continua.
A função f é chamada de distribuição de probabilidade contínua ou de função de probabilidade
contínua ou, ainda, função de densidade de probabilidade de X, ou simplesmente função densidade e,
satisfaz as condições:
1 0 2 1) ( ) ) ( )f x e f x dx
R
≥ =∫
A primeira porque estamos calculando uma probabilidade e os valores não podem ser negativos e a
segunda porque estamos somando (integrando) todos os valores da variável aleatória, que também são
probabilidades, cuja soma tem que ser igual a 1.
44

12
ESPERANÇA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A esperança E(X) é definida por:
E X x f x dx
R
( ) ( )= ∫
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A variância - Var (X) - é definida por:
( ) ( )Var X E f x dx
RX x( ) ( )=





 =− −∫
2 2
µ µ
ou
( ) µ
22
)( −= XEXVar
ONDE:
∫=
R
dxxfE xX )()( 22
Exemplo:
Seja a variável aleatória contínua definida pela seguinte função de densidade de probabilidade:
0,0 <xpara
f(x) = 20,
2
≤≤ xpara
x
2,0 >xpara
Determinar a esperança e a variância da variável aleatória X.

13
DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA DISCRETA
Até aqui trabalhamos com variáveis aleatórias em que o resultado do experimento seria
registrado como um único número x. Existem casos, entretanto, em que estamos interessados em duas
ou mais características do mesmo espaço amostral.
Por exemplo, o nosso interesse poderia ser a análise da estatura e do peso de um grupo de
pessoas. Assim, para o mesmo espaço amostral estaríamos gerando dois contradomínios: um referente à
estatura e outro referente ao peso.
Sejam X eY variáveis aleatórias num espaço amostral S com contradomínio:
{ }X S nx x x x( ) , , , ........,= 1 2 3 e { }Y S
n
y y y y( ) , , ,........,=
1 2 3
, respectivamente.
Se, para cada par ordenado ( , )i jx y do produto cartesiano
{ }X S Y S n mx y x y x y x y( ) ( ) ( , ), ( , ), ( , ), .........., ( , )× = 1 1 1 2 1 3
definirmos sua probabilidade por P X Yi jx y( , )= = , denotada por h i jx y( , ) , teremos um espaço de
probabilidade.
Esta função h em X S Y S( ) ( )× , isto é, definida por h i jx y( , ) = P X Yi jx y( , )= = , é
chamada de Distribuição Conjunta ou Função de Probabilidade Conjunta de X e Y , sendo
normalmente apresentada sob a forma de uma tabela.

14
Y
X
1
y 2
y 3
y . . . .
m
y SOMA
1x h x y( , )1 1
h x y( , )1 2
h x y( , )1 3
. . . . h x ym
( , )1
f x( )1
2x h x y( , )2 1
h x y( , )2 2
h x y( , )2 3
. . . . h x ym
( , )2
f x( )2
3x h x y( , )3 1
h x y( , )3 2
h x y( , )3 3
. . . . h x ym
( , )3
f x( )3
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
nx h nx y( , )1
h nx y( , )2
h nx y( , )3
. . . . h n mx y( , ) f nx( )
SOMA g y( )1
g y( )2
g y( )3
. . . . g m
y( )
As funções f e g acima são definidas por:
∑
=
=
m
j
jii yxx hf
1
),()( e ∑
=
=
n
i
jij
yxy hg
1
),()(
Isto é, f ix( ) é a soma dos valores da i-ésima linha e g j
y( ) é a soma dos valores da j-ésima coluna.
Elas, f e g , são chamadas de distribuições marginais (aparecem à margem da tabela) ou FUNÇÃO
DENSIDADE DE PROBABILIDADE MARGINAL e são, de fato, as distribuições individuais de X e
Y , respectivamente.

15
A distribuição conjunta h satisfaz as condições:
1) h i jx y( , ) ≥ 0
2) h i j
j
m
i
n
x y( , ) =
==
∑∑ 1
11
EXEMPLO:
Seja a tabela abaixo da FDP conjunta das variáveis discretas X e Y.
X
Y
-2 0 2 3
3 0,27 0,08 0,16 0
6 0 0,04 0,10 0,35
FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE MARGINAL
FDP DE X
X -2 0 2 3
F(X) 0,27 0,12 0,26 0,35
FDP DE Y
Y 3 6
g(y) 0,51 0,49

16
FDP CONDICIONAL
FDP CONDICIONAL DE X
FDP CONDICIONAL DE Y
Assim, podemos encontrar as FDPs condicionais, da seguinte forma:
FDP CONDICIONAL DE X
FDP CONDICIONAL DE Y
( ) ( )yxyx jiji
YXPf === //
( ) ( )xyxy ijij
XYPf === //
( ) ( )
( )yf
yxf
yxf
,
/ =
( ) ( )
( )xf
yxf
xyf
,
/ =

17
Na tabela dada, podemos encontrar:
COVARIÂNCIA DE X e Y
Se X e Y são variáveis aleatórias com a distribuição conjunta acima e com médias
x
µ e y
µ ,
respectivamente, então a covariância de X e Y , denotada por COV X Y( , ) , É dada por:
COV X Y hi x j y i jx y x y( , ) ( ) ( ) ( , )= − • − •∑ µ µ
COV X Y E X Y x y
( , ) ( , )= − •µ µ
OBSERVAÇÃO : E X Y hi j i j
j
m
i
n
x y x y( , ) ( , )= • •
==
∑∑ 11
( ) ( )
( )
5294,0
51,0
27,0
3
3,2
3/2 ==
=
=−=
==−=
yf
yxf
yxf
( ) ( )
( )
2041,0
49,0
10,0
6
6,2
6/2 ==
=
==
===
yf
yxf
yxf

18
CORRELAÇÃO DE X e Y
Denotada por ρ( , )X Y , é dada por:
ρ ( , )X Y =
COV X Y
X Y
( , )
σ σ•
PROPRIEDADES DA CORRELAÇÃO
1) ρ ( , )X Y = ρ ( , )Y X
2) − ≤1 ρ ( , )X Y 1+≤
3) ρ ( , )X X = 1 e ρ ( , )X X− = − 1

19
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES
X e Y são variáveis aleatórias independentes se:
P X Y P X P Yi j i jx y x y( , ) ( ) ( )= = = = ∗ =
Se, X e Y tem distribuições f e g, respectivamente, e distribuição conjunta h, a equação acima
pode ser escrita como:
h f gi j i jx y x y( , ) ( ) ( )= ×
Em outras palavras, X e Y são variáveis aleatórias independentes, se cada valor h i jx y( , ) for
o produto de seus valores marginais.
PROPRIEDADES DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES
a) E X Y E X E Y( , ) ( ) ( )= ×
b) VAR X Y VAR X VAR Y( ) ( ) ( )+ = +
c) COV X Y( , ) = 0

20
EXERCÍCIOS
1) Um dado não viciado é lançado três vezes. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S
um número igual ao que ocorre no primeiro lançamento. Determinar a variância de X.
2) Considere a distribuição conjunta abaixo
X Y 1 2 3 4
1 0,10 0,30 0 0,20
3 0,05 0,05 0 0,15
2 0,10 0 0,05 0
Determinar a covariância e o coeficiente de correlação entre X e Y.
3) Duas moedas não viciadas são lançadas. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o
número de caras ocorridos. Determinar :
a) o domínio e a imagem da variável aleatória.
b) a função de probabilidade de X
c) a esperança de X
d) o desvio padrão de X
e) a variância de X
4) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é igual a 2/3, é lançada três vezes.
Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o maior número de caras sucessivas que
ocorrem. Determinar a esperança de X.
5) Uma moeda viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é igual a 1/3 é lançada até que
ocorra uma cara ou cinco coroas. Encontre o número esperado de lançamentos da moeda.

21
6) Um jogador lança um dado não viciado. Se ocorrer um número primo, ele ganha este número em
dólares, mas se ocorrer um número que não seja primo ele perde este número em dólares.
Determinar o valor esperado da partida.
7) Um par de dados não viciados é lançado.
a) seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o maior dos números.
Determinar a esperança de X.
b) seja Y a variável aleatória que associa a cada ponto de S a soma dos números.
Determinar a esperança de Y.
8) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é igual a 3/4, é lançada 3 vezes.
Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o número de caras ocorridos. Determinar a
esperança de X.
9) Um jogador lança três moedas não viciadas. Ganha R$ 5,00 se ocorrerem 3 caras, R$ 3,00 se
ocorrerem duas caras e R$ 1,00 se ocorrer somente uma cara. Por outro lado, perde R$ 15,00 se três
coroas ocorrerem. Encontre o valor esperado do jogo.
10) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer coroa é igual a 3/5, é lançada três
vezes. Seja X o número de caras ocorrido. Determinar o desvio padrão da variável aleatória X.
11) Um dado não viciado é lançado três vezes. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S
um número igual ao que ocorre no primeiro lançamento. Determinar a variância de X.
12) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é igual a 2/3, é lançada duas
vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de caras ocorrido. Determinar o desvio
padrão da variável aleatória X.

22
13) Uma amostra de 3 objetos é escolhida aleatoriamente de uma caixa contendo 12 objetos, dos quais 3
são defeituosos. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o número de peças
defeituosas. Determinar a esperança de X.
14) Uma moeda não viciada é lançada quatro vezes. Seja X o número de caras que ocorrem. Determinar
o desvio padrão da variável aleatória X.
15) Dois cartões são selecionados aleatoriamente de uma caixa que contem seis cartões com os números
2, 2, 3, 4, 4 e 5. Seja X a soma dos números. Determinar o desvio padrão da variável aleatória X.
16) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é igual a 2/5, é lançada duas
vezes. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o número de caras ocorridos.
Determinar o desvio padrão da variável aleatória X.
17) Lança-se um dado não viciado. Seja X o dobro do número ocorrido. Seja Y, igual a 1 ou 3, conforme
ocorra um número ímpar ou par, respectivamente. Determinar o desvio padrão de X e o desvio
padrão de Y.
18) Lança-se um dado. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponte de S o número 1 se sair face
6 e o número -1, em caso contrário. Determinar a variância de X.
X Y 2 3 5
2 0,12 0,30 0,15
3 0,06 0,09 0,07
4 0,13 0 0,08
Determinar a correlação entre X e Y.

23
X Y 1 3 6 7
1 0,08 0,20 0,02 0,13
2 0,05 0,05 0 0,05
4 0,10 0 0,05 0
5 0,03 0,07 0,10 0,07
X Y 1 2 3 4 5
1 0,10 0,30 0,03 0,10 0,05
3 0,08 0,05 0 0,15 0,14
22) Determinar a correlação do exercício de número 17.
23) Considere a distribuição conjunta abaixo:
X Y 1 2 3
1 0,08 0,05 0,03
3 0,21 0,05 0
4 0,04 0,14 0,20
5 0,11 0,05 0,04

24
X Y 1 3 5 6
1 0,10 0,30 0,13 0,10
2 0,08 0,14 0 0,15
25) A tabela abaixo fornece a probabilidade de que um sistema de computação fique fora de operação
um dado número de períodos por dia durante a fase inicial de instalação do sistema. Calcular:
a) o número esperado de vezes que o computador fique fora de operação por dia.
b) a variância desta distribuição de probabilidade.
Número de períodos – x 4 5 6 7 8 9
Probabilidade – P(x) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06
26) O número de caminhões que chegam, por hora, a um depósito segue a distribuição de probabilidade
da tabela abaixo. Calcular:
a) o número esperado de chegadas por hora.
b) A variância desta distribuição de probabilidade.
Número de caminhões – x 0 1 2 3 4 5 6
Probabilidade – P(x) 0,05 0,10 0,15 0,25 0,30 0,10 0,05
27) Uma empresa sabe que a projeção de suas vendas pode variar de 0 a 25.000 unidades com as
probabilidades apresentadas na tabela abaixo:
Unidades vendidas – x 2500 7500 12500 17500 22500
Probabilidade – P(x) 0,02 0,08 0,80 0,08 0,02
Determinar o número esperado de quantidades vendidas e a variância da distribuição de
probabilidade.

25
28) Seja X uma variável aleatória contínua, com a seguinte função densidade:
0,0 <xpara
f(x) = 10,3
2 ≤≤ xparax
1,0 >xpara
Calcular a esperança, a variância e o desvio padrão.
29) Sejam M e N duas variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições:
mi 1 3 ni 5 10 12
P 0,6 0,4 P 0,3 0,5 0,2
a) Achar a distribuição conjunta de M e N;
b) Calcular a esperança de cada uma das variáveis aleatórias M e N;
c) Calcular o desvio padrão das variáveis aleatórias M e N;
d) Qual é o valor do coeficiente de correlação entre M e N.
30) Uma variável aleatória X, tem uma densidade de probabilidade dada por:
21, ≤≤ xpara
x
k
f(x) =
contráriocaso,0
a) Determinar o valor de k;
b) Determinar a esperança de X;
c) Determinar o desvio padrão de X.

26
31) Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte densidade:
20,
2
1
≤≤ xparax
f(x) =
contráriocaso,0
Determinar a esperança, a variância e o desvio padrão de X
32) Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade:
30,
6
1
≤≤+ xparakx
f(x) =
contráriocaso,0
a) Calcule o valor de K
b) Ache )21( ≤≤ xP

27
Respostas Exercícios
1 2,9167
2 a 0,1250
b 0,1217
3 a Df(x) = {kk, kc, ck, cc}
Im f(x) = { 0, 1, 2 }
b x 0 1 2
f(x) 1/4 2/4 1/4
c 1,0000
d 0,7071 24 0,0585
e 0,5000 25 a 6,7800
4 1,8519 b 1,0316
5 2,6049 26 a 3,1500
6 -1/6 b 2,1275
7 a 4,4722 27 a 12.500
b 7,0000 b 8.000.000
8 2,2500 28 a 3/4
9 2/8 b 0,0375
10 0,8485 c 0,1936
11 2,9167 29 a tabela
12 0,6667 de M b 1,8000
13 0,7500 de N 8,9000
14 1,0000 de M c 0,9798
15 1,3983 de N 2,6627
16 0,6928 d zero
17 de X 3,4157 30 a 1,4427
de Y 1,0000 b 1,4427
18 0,5555 c 0,2874
19 -0,0473 31 a 4/3
20 0,0896 b 0,2222
21 0,3568 c 0,4714
22 0,2928 32 a 1/12
23 0,1894 b 1/3

28
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) Uma variável aleatória contínua é dada por:
52,
2 <≤ xparak x
f(x) = 85),8( ≤≤− xparaxk
contráriocaso,0
a) Determinar o valor da constante k para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade
b) Calcular: )
2
27
2
8
( ≤≤ xP
2) Uma moeda honesta é lançada sucessivamente até sair cara ou até serem feitos três lançamentos.
Obter a distribuição de X que associa a cada ponto de S o número de lançamentos e calcular a média
e a variância da função de probabilidade.
3) Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas aleatoriamente da urna. Se
ganharmos $ 200, por bola branca retirada e perdermos $ 100, por bola preta retirada, determinar qual
será o lucro esperado desta variável aleatória.
4) Seja (x,y) uma variável aleatória bidimensional discreta, com a seguinte função de probabilidade:
contráriocasoo
P
epara
yx
yx
yx
ji
ji
ji
,
);(
3,2,1,02,1,0,
42
2
=
==
+

29
Pede-se:
a) Determinar a tabela da distribuição de probabilidade conjunta;
b) Determinar a tabela da distribuição marginal de X e da distribuição marginal de Y;
c) Calcular a esperança de (X - 2Y + 4)
5) Uma carta é retirada aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. A variável aleatória X anota
o número de damas obtido nesta retirada. Determinar a esperança da variável aleatória X.
6) Duas cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Seja X a variável
aleatória que anota o número de valetes obtidos. Determinar o desvio padrão da variável aleatória.
7) Uma urna A contém 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. A urna B contém 5 bolas brancas e uma bola
preta. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna e a variável aleatória X anota o número de bolas
brancas obtidas. Determinar o desvio padrão da variável aleatória X.
8) Uma confeitaria produz cinco bolos em um determinado dia. As probabilidades de vender nenhum,
um, dois, três, quatro ou cinco bolos são, respectivamente, 1%, 5%, 20%, 30%, 29% e 15%. O custo
total de produção de cada bolo é de $ 10 u.m. e o preço unitário de venda de cada um desses bolos é
de $ 20 u.m. Calcular o lucro médio, a variância e o desvio padrão.
9) Seja X uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade dada por:
contrariocaso
xf
bxsex
,0
)(
0,24
2
=
≤≤
Calcular o valor de b que garanta a existência da função densidade de probabilidade (fdp)

30
10) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
contrariocaso
cxsexf
xsex
x
,0
1,)(
10,
3 ≤≤=
≤≤
Calcular o valor de c que garanta a existência da fdp
11) A função abaixo é uma função densidade de probabilidade, com b - a = 0,5
contrariocaso
xf
bxasex
,0
)(
,32,0
=
≤≤+
Calcular o valor de a e b
Respostas
Exercício Item Resposta Exercício Item Resposta
1 a) 2/87 7 0,6156
b) 149/261 8 E(X) 15,2
2 Média 1,75 Variância 524,96
Variância 0,6875 Desvio Padrão 22,9120
3 75 9 1/2
4 c) 70/42 10 4 3
5 0,0769 11 a = 0,35
6 0,3730 b = 0,85

Material Didático de Apoio – Estatística Econômica e Introdução à Econometria – Versão Janeiro -2010
31
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Consideremos repetições independentes de um experimento com dois resultados possíveis.
Chamemos um dos resultados de sucesso e o outro de fracasso.
Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso.
pqqp −=⇒=+ 11
Se estamos interessados no numero de sucessos e não na ordem em que eles ocorrem, a
probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n repetições é dada por:
qpCkXP
knkk
n
−
××== )(
A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o
processo de amostragem é do tipo do de Bernoulli.
Um processo de Bernoulli é um processo de amostragem no qual:
1) Cada tentativa apresenta dois resultados possíveis mutuamente exclusivos, e são
chamados, por conveniência, sucesso e fracasso;
2) As series de tentativas, ou observações, são constituídas de eventos independentes;
3) A probabilidade de sucesso, indicada por p, permanece constante de tentativa para
tentativa, ou seja, o processo é estacionário.
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Media = E(X) =
x
µ = µ = n p.
Variância = x
2
σ =
2
σ = n p q. .
Desvio Padrão = xσ = σ = n p q. .

32
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
A Distribuição de Poisson é um caso particular importante da Distribuição Binomial.
É o caso limite da Distribuição Binomial quando o numero de provas tende para infinito e a
probabilidade do evento em uma única prova tende para zero.
É definida como:
P( , )
!
κ λ
κ
κ λ
λ ε=
×
−
onde:
κ κ= 0 1 2 3 4 5, , , , , ,...........,
ε = 2 71828182846, ........
λ = Constante dada ou determinada
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Média = µ λ=
Variância =
2
σ λ=
Desvio Padrão = σ λ=
A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO
BINOMIAL
Muitas vezes, no uso da Distribuição Binomial, acontece que n é muito grande (tendendo a
infinito) e p é muito pequeno (tendendo a zero).
Nesses casos não encontramos o valor em tabelas, ou então o cálculo torna-se muito difícil,
sendo necessário o uso de máquinas de calcular com funções específicas ou então o uso de
computador.
Podemos então fazer uma aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição de
Poisson.
Para isto usamos o fato de que a média do processo será
Média = µ λ=
Encontrada através da multiplicação de n por p, que é a média da Distribuição Binomial.

33
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
É uma das mais importantes distribuições de probabilidade contínua, sendo aplicada em
inúmeros fenômenos e constantemente utilizada para o desenvolvimento teórico da inferência
estatística.
É também conhecida como distribuição de Gauss, distribuição de Laplace ou distribuição de
Laplace - Gauss.
é definida como:
f x
x
( ) = −
−




1
2
1
2
2
σ π
µ
σε
onde os parâmetros µ e
2
σ são, respectivamente, sua média e variância.
É portanto uma distribuição normal com média µ e variância
2
σ ,denotada por N( , )µ σ
2
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Média = µ
Variância =
2
σ
Desvio Padrão = σ

34
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA OU NORMAL REDUZIDA
A variável z será normal padronizada ou normal reduzida se:
z
x
=
− µ
σ
onde X é uma variável normal com média µ e variância
2
σ
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA OU NORMAL
REDUZIDA
Média = 0
Variância = 1
Desvio Padrão = 1
Propriedades da Curva Normal
1) O gráfico da função de uma variável normal tem a forma de um sino e é simétrico em relação a
origem x = µ ou z = 0
2) A função é máxima no ponto x = µ ou z = 0 e neste ponto sua ordenada vale
1
2
0 39
π
≅ ,
3) A função tende a zero quando x → ±∞ ou z → ±∞
4) A função tem dois pontos de inflexão e suas abcissas valem µ σ± ou 1±

35
CURVA NORMAL COM ALGUMAS PROBABILIDADES CLÁSSICAS
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
A distribuição Binomial é bem aproximada pela Distribuição Normal quando n é grande e
quando nem p nem q estão próximos de zero.
A aproximação é muito boa se (n x p) e (n x q) são, ambos, maiores que 5.
Como a distribuição original do problema é uma Binomial, usaremos as propriedades da
Binomial para encontrar a média e o desvio padrão, ou seja,
Média = µ = n p×
Desvio padrão = σ = n p q× ×
OBS:
Não esquecer que, quando usamos uma distribuição contínua (normal) para resolver casos de uma
distribuição discreta (binomial), é necessário fazer uma correção de continuidade.

36
EXERCÍCIOS
1) Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Determinar a probabilidade de ocorrer:
a) Somente coroas
b) Pelo menos 5 caras
2) A probabilidade de que um presumível cliente, aleatoriamente escolhido, faça uma compra é de
0,20. Se um vendedor visita seis clientes, qual a probabilidade de ele fará exatamente quatro
venda.
3) Pesquisa governamental recente indica que 80% das famílias de uma comunidade, que ganharam
mais de 1.500 unidades monetárias no ano anterior, possuem dois carros. Supondo verdadeira esta
afirmativa, e tomada uma amostra de 10 famílias dessa categoria, qual a probabilidade de
exatamente 80% da amostra terem dois carros.
4) Devido as altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras
firmas comerciais encontram-se vencidas. Se um auditor escolhe aleatoriamente uma amostra de 5
contas, determinar a probabilidade de:
a) Nenhuma das contas estar vencida
b) Exatamente duas das contas estarem vencidas
c) A maioria das contas estarem vencidas
5) Uma firma imobiliária verificou que, um em cada dez proprietários em perspectiva, fará oferta para
uma casa se o agente voltar para um segunda visita. Em 10 casos, determinar a probabilidade de
que nenhum proprietário faça oferta.
6) Pesquisa recente indica que apenas 15% dos médicos de determinada localidade são fumantes.
Escolhidos dois médicos de um grupo de oito, constantes da relação fornecida pelo Conselho de
Medicina, constatou-se serem fumantes. Admitindo-se correta a pesquisa, qual a probabilidade de
se chegar ao resultado acima.
7) Estatísticas de tráfego revelam que 25% dos veículos interceptados numa auto estrada não passam
no teste de segurança. De 16 veículos interceptados, determinar a probabilidade de:
a) Dois ou mais não passarem
b) Quatro ou mais não passarem
8) Dos parafusos produzidos por uma fábrica 2% são defeituosos. Em um depósito de 3.600
parafusos desta fábrica, encontre o número esperado de parafusos perfeitos e o desvio padrão
correspondente.

37
9) Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes. Chamemos cara (K) de sucesso. Determinar a
probabilidade de ocorrerem:
a) Exatamente duas caras
b) Pelo menos uma cara
c) Pelo menos quatro caras
10) Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Determinar a probabilidade de ocorrer:
a) Somente coroas
b) Pelo menos 5 caras
11) Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de ocorrer:
a) Pelo menos uma cara
b) No máximo duas caras
c) Exatamente cinco caras
12) Calcule no exercício anterior a média e a variância da distribuição
13) Uma companhia vendedora de equipamento eletrônico verifica que, de todas as máquinas por ela
instaladas, 40% exigem novos ajustamentos após a instalação. Se quatro máquinas forem
selecionadas ao acaso, qual a probabilidade de que:
a) Ao menos duas exijam trabalhos de ajustamento após a instalação
b) Exatamente três máquinas não exijam novos ajustamentos após a instalação.
14) Um dado não viciado é atirado 2.620 vezes. Determinar o número esperado de vezes em que a
face três ocorre e o desvio padrão correspondente.
15) Suponha que 8% dos cachorros-quentes vendidos em um estádio de futebol sejam pedidos sem
mostarda. Se 7 pessoas pedem cachorro-quente, determinar a probabilidade de que:
a) Todos queiram mostarda
b) Apenas um não queira mostarda
16) A média e o desvio padrão de um exame são, respectivamente, 74 e 12. Encontre as notas, em
unidades padrão, dos estudantes que tiveram notas no exame iguais a:
a) 65;
b) 74
c) 86
d) 92

38
17) Com os dados do exercício anterior, determinar as notas no exame, para os alunos que obtiveram,
em unidade padrão, notas iguais a:
a) -1
b) 1,25
c) 1,75
d) 1,5
18) As alturas dos alunos de uma escola são normalmente distribuídas com média de 1,60 metros e
desvio padrão de 0,30 metros. Encontre a probabilidade de um determinado aluno medir:
a) Entre 1,50 metros e 1,80 metros
b) Mais de 1,75 metros
c) Menos de 1,48 metros
19) Sabe-se que numa distribuição normal a media é de 60. Sabendo-se que 4,75% dos valores são
superiores a 70, determinar a variância da distribuição.
20) Um lote de lâmpadas tem duração media de 1006 horas com desvio padrão de 20 horas. Qual a
probabilidade de que uma lâmpada, aleatoriamente selecionada, dure 975 horas ou menos.
21) Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2 polegadas com desvio padrão de
0,01 polegada. Os canos com diâmetro que variem de mais de 0,03 polegadas a contar da media
são considerados defeituosos. Supondo normalidade, determinar a percentagem de canos
defeituosos.
22) Em uma escola secundaria as notas de um exame são normalmente distribuídas com media de 6,8
e desvio padrão de 0,7. Determinar a percentagem dos alunos que tiveram notas :
a) Compreendidas entre 5,3 e 7,2
b) Maiores que 8
c) Menores que 7,5
23) Uma companhia que fabrica rolos de malhas para confecção acusa rolos com peso médio de 15 kg
e um desvio padrão de 2,5 kg. Escolhido um rolo aleatoriamente, determinar a probabilidade dele
ter peso médio:
a) Acima de 18 kg
b) Entre 19 e 22 kg

39
24) Determinar a media e o desvio padrão da distribuição normal das notas de uma turma, sabendo-se
que as variáveis reduzidas de dois estudantes, aleatoriamente escolhidos com notas 7,6 e 5,8 são,
respectivamente, 0,9 e 0,3.
25) As notas de Estatística dos últimos períodos atestam que os alunos de uma determinada Faculdade
têm media de 6,8 com desvio padrão de 0,73. Determinar a probabilidade de uma aluno,
aleatoriamente escolhido, ter nota:
a) Entre 5,5 e 7,5
b) Maior que 6,5
26) Num Concurso para ingresso em um programa de pós-graduação em Economia foi encontrada
uma media de 62 com desvio padrão de 13. As notas encontram-se normalmente distribuídas
a) Determinar a probabilidade de que um candidato, aleatoriamente selecionado, tenha tirado
nota entre 65 e 88
b) Se somente 67% dos melhores candidatos forem aproveitados, determinar a nota mínima para
cursar o programa de pós-graduação.
27) Em uma distribuição normal dos salários da Cia Quem Paga Mais, 7,21% dos salários são
superiores a $ 59,68 unidades monetárias e 1,7% são inferiores a $ 31,04 unidades monetárias.
Determinar a media e o desvio padrão dos salários.
28) O diâmetro médio do interior das arruelas produzidas por uma máquina é de 0,502 polegadas com
desvio padrão de 0,005 polegadas. As dimensões extremas toleradas para esses diâmetros são
0,496 polegadas e 0,508 polegadas. Fora desses limites as arruelas são rejeitadas. Determinar a
percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, supondo os diâmetros distribuídos
normalmente.
29) Um avaliador do Governo calcula que sua capacidade de estimar custos de projetos tem
distribuição normal em torno do custo verdadeiro, com desvio padrão de $ 10.000 unidades
monetárias. Em que percentagem das vezes suas estimativa estará dentro de $ 20.000 unidades
monetárias.
30) Os peixes pescados por uma traineira têm peso médio de 4,5 libras e desvio padrão de 0,5 libras.
Qual a probabilidade de que os peixes tenham:
a) Menos de 4 libras.
b) Peso até 1 libra do peso médio.

40
31) Dos parafusos produzidos por uma fábrica 3% são defeituosos. Em um depósito de 6.300
parafusos desta fábrica, encontre o número esperado de parafusos com defeito e o desvio padrão
correspondente
32) Um dado não viciado é lançado 7 vezes. Determinar a probabilidade de ocorrer a face cinco ou a
face seis, exatamente:
a) Três vezes
b) Nenhuma vez
33) Um atirador acerta um alvo com probabilidade de 40%. Atirando 10 vezes, e supondo que sejam
tentativas independentes, qual a probabilidade de que atinja o alvo exatamente sete vezes
34) Sabe-se que 20% dos pacientes que se submetem a determinada intervenção cirúrgica não
sobrevivem um mês após a operação. Qual a probabilidade de que em três casos, as três pessoas
sobrevivam ao primeiro mês após a operação.
35) A media de um exame final de Economia foi 75 com desvio padrão de 5. Se aos primeiros 20%
dos estudantes atribuiu-se um grau A e aos últimos 20% atribuiu-se um grau F, determinar que
nota é o A mais baixo e que nota é o F mais alto.
36) Em um Concurso Público a media encontrada foi de 480 com desvio padrão de 120. Determinar:
a) A probabilidade de que, um candidato aleatoriamente selecionado, obtenha uma nota
entre 330 e 570.
b) A nota mínima para ser incluído nos 15% dos candidatos mais bem classificados,
37) A média de um exame final foi 72 com desvio padrão de 9. Aos primeiros 10% dos estudantes
atribuiu-se um grau A .
a) Qual a nota mínima que um estudante de receber para ser classificado com grau A .
b) Determinar a probabilidade de um estudante, aleatoriamente selecionado, tirar nota
entre 74 e 89.
38) Em uma distribuição normal 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% são inferiores a 19.
Determinar a média e o desvio padrão da distribuição.

41
39) Quarenta estudantes fazem uma prova de estatística que é avaliada somente com duas notas:
aprovado ou reprovado. Sabendo-se que a probabilidade de um estudante, aleatoriamente
selecionado, ser aprovado é de 60%, determinar a probabilidade de que:
a) Pelo menos 30 estudantes sejam aprovados nesta prova.
b) No máximo 30 estudantes sejam aprovados nesta prova.
40) Uma fábrica informa a seus clientes que a duração dos pneus fabricados tem média de 45.600 km,
com desvio padrão de 1.870 km.
a) Calcular a probabilidade de que um pneu, escolhido aleatoriamente, dure mais de
42.600 km.
b) Determinar a quilometragem mínima que deve durar um pneu para se incluído na
categoria dos “9,5% melhores”
41) Pesquisa médica indica que 20% da população em geral sofre efeitos colaterais negativos com o
uso de uma nova droga. Se um médico receita o produto a 4 pacientes, qual é a probabilidade de
que:
a) Todos sofram efeitos colaterais
b) Nenhum sofra efeitos colaterais
c) Ao menos um sofra efeitos colaterais
42) Constatou-se que cinco ratinhos em observação num laboratório sofrem de deficiência de vitamina
A . Então eles receberam uma dieta especial de cenouras. Se a probabilidade de recuperação é de
70%, determinar a probabilidade de que só 3 ratinhos se recuperem.
43) Dos estudantes de uma universidade, 75% mudam de curso ao menos uma vez durante o primeiro
ano, de acordo com os registros . Escolhidos ao acaso 11 estudantes da classe de calouros,
determinar a probabilidade de terem mudado de curso ao menos uma vez:
a) Todos
b) Ao menos 9
c) Exatamente 4
44) Uma firma que fabrica e comercializa uma grande variedade de novidades em brinquedos,
determinou que historicamente 40% dos brinquedos que ela desenvolve tenham, pelo menos, um
moderado sucesso de vendas no mercado. Se 6 novos brinquedos foram desenvolvidos para serem
lançados no mercado no próximo verão, qual a probabilidade de que pelo menos três deles tenham
um moderado sucesso de vendas no mercado.

42
45) Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas são pagas
após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determinar a probabilidade de:
a) Nenhuma ser paga com atraso
b) No máximo duas serem pagas com atraso
c) Ao menos três serem pagas com atraso
46) Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seu produto apresenta algum defeito. Se tal
suspeita é correta, determinar a probabilidade de que em uma remessa de 9 mesas:
a) Haja ao menos uma defeituosa
b) Não haja nenhuma defeituosa
47) Um aluno conhece bem 60% da matéria dada. Num exame com cinco perguntas sorteadas ao
acaso sobre toda a matéria, que probabilidade ele tem de responder:
a) Mais da metade das perguntas
b) A nenhuma pergunta
c) A exatamente três perguntas
48) Numa firma exploradora de petróleo 5% dos poços perfurados acusam depósito de gás natural. Se
ela perfura 6 poços, determine a probabilidade de que ao menos um dê resultado positivo.
49) Determinar a probabilidade de que, em cinco jogadas de um dado honesto, apareça a face três:
a) Duas vezes
b) No máximo uma vez
c) Ao menos duas vezes
50) Um teste de múltipla escolha apresenta 4 opções por questão e 14 questões. Se a aprovação
depende de 9 ou mais respostas corretas, qual a probabilidade de um estudante que responde por
palpite ser aprovado.
51) Suponha que 40% dos empregados horistas de uma grande empresa estejam a favor da
representação sindical e que se peça uma resposta anônima a um grupo aleatório de 10
empregados. Determinar a probabilidade de estarem a favor da representação sindical:
a) A maior parte dos empregados
b) Menos da metade dos que respondem
52) Um dado não viciado é lançado 600 vezes. Encontre a probabilidade da face 4 ocorrer entre 85 e
117 vezes, inclusive.

43
53) Uma moeda não viciada é lançada 12 vezes. Determinar a probabilidade do número de caras
ocorridos estar entre 4 e 7, inclusive, usando a Distribuição Binomial e, em seguida, a
Aproximação Normal da Distribuição Binomial.
54) Uma moeda não viciada é lançada 64 vezes . Determinar a probabilidade do número de caras
estar entre 30 e 36, inclusive.
55) Determinar a probabilidade de em 90 lances de uma moeda viciada, onde a probabilidade de
ocorrer cara é igual a 1 / 4, ocorrerem caras entre 20% e 40%, inclusive.
56) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer caras é igual a 2/3, é lançada 15
vezes. Determinar a probabilidade do número de caras ocorridos estar entre 5 e 8, inclusive.
57) A probabilidade de um comprador individual comprar um artigo de uma loja é de 0,64. Se 25
compradores entram na loja, calcular a probabilidade de:
a) 19 ou mais clientes comprarem o artigo.
b) Exatamente 17 clientes comprarem o artigo.
58) Se 10% dos tubos de imagem de televisão produzidos pela Cia. Queima Menos se queimam antes
de sua garantia expirar, determinar a probabilidade de que o proprietário da firma, que vendeu 100
desses tubos, ser forçado a substituir 14 ou mais deles, para honrar a garantia dada.
59) Um exame de múltipla escolha contem 20 questões. Cada questão tem 4 respostas possíveis das
quais apenas uma é verdadeira. Se um estudante tentar adivinhar todas as questões, qual a
probabilidade de que ele obtenha pelo menos 8 respostas certas.
60) Para a distribuição de Poisson, determinar:
a) p(2;1)
b) p(3;1/2)
c) p(2;0,7)
61) Na pintura de certas paredes aparecem defeitos em media de 1 defeito por metro quadrado. Qual a
probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2m x 2m.

44
62) Uma loja atende em media 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora a loja
atender:
a) Exatamente 2 clientes
b) Exatamente 3 clientes
63) Sabendo-se que chegam a um aeroporto, em media, 3 aviões por hora, determinar a probabilidade
de, em 45 minutos:
a) Não chegar nenhum avião.
b) Chegarem 4 aviões.
64) Um escritório de corretagem atende em media 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de, em
3 horas, este escritório atender:
a) Exatamente 5 clientes
b) No máximo 3 clientes
c) Pelo menos 1 cliente
65) O número médio de chamadas em uma central telefônica é de 3,4 chamadas por minuto.
Determinar a probabilidade de termos exatamente 5 chamadas em um minuto aleatoriamente
escolhido.
66) Da produção total de uma fábrica, 2% dos itens são considerados defeituosos. Encontre a
probabilidade de existirem 3 itens defeituosos em um total de 100 itens, usando:
a) A distribuição Binomial
b) A distribuição de Poisson.
67) Suponha que há em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000 pessoas. Em uma
cidade de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de, em um dado ano, ter havido:
a) Dois ou mais suicídios.
b) Exatamente 3 suicídios.
68) Estima-se em 0,002 a probabilidade de venda de uma apólice de seguro a pessoas que respondem
a um anúncio. Se 1000 pessoas respondem ao anúncio, determinar a probabilidade de que:
a) Nenhuma compre uma apólice.
b) Ao menos uma compre uma apólice.
69) A probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa à injeção de determinado soro é de
0,001. Determinar a probabilidade de que, em 2000 indivíduos, exatamente 3 acusem reação
negativa.

45
70) O número de rádios vendidos por dia numa firma tem distribuição de Poisson com média 2,5.
Determinar a probabilidade da firma vender:
a) Três rádios num período de 2 dias.
b) Um rádio num período de 3 dias.
71) A média de chamadas telefônicas por hora numa central de uma firma é igual a 3. Determinar a
probabilidade desta central:
a) Receber 3 chamados numa hora.
b) Receber pelo menos 3 chamados numa hora.
72) Numa determinada fabrica, 20% dos parafusos produzidos por uma certa máquina não satisfazem
as especificações do fabricante. Se forem selecionados ao acaso 10 parafusos, determinar a
probabilidade de serem defeituosos:
a) Exatamente dois parafusos
b) Pelo menos dois parafusos
73) O processo de empacotamento em uma companhia de cereais foi ajustado de maneira que uma
média de 13 kg de cereal é colocada em cada saco. É claro que nem todos os sacos têm
precisamente 13 kg devido a fontes aleatória de variabilidade. O desvio padrão do peso líquido é
de 0,1 kg, sabendo-se, ainda, que a distribuição dos pesos segue uma distribuição normal.
Determinar a probabilidade de um saco escolhido aleatoriamente contenha entre 13 e 13,2 kg de
cereal.
74) Suponha que em um determinado processo de fabricação de perfil de alumínio apareça, em
média, uma falha a cada 400 metros. (isto equivale a dizer que aparecem 0,0025 falhas por
metro). Esta é a freqüência média de sucessos. Determinar a probabilidade de encontrarmos 5
defeitos em comprimentos de 1000 metros.
75) Um dado é formado com chapas de plástico de 10 cm x 10 cm. Em média aparecem 50 defeitos a
cada metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson.
a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 defeitos
b) Qual a probabilidade do dado apresentar no mínimo 2 defeitos.
76) O número de pedidos para compra de certo produto que uma companhia recebe por semana tem
distribuição normal com média de 125 e desvio padrão de 30.
a) Se em uma semana o estoque disponível é de 150 unidades, qual a probabilidade
de que todos os pedidos sejam atendidos.
b) Qual deveria ser o estoque para que se tivesse 98% de probabilidade de que todos
os pedidos sejam atendidos.

46
Respostas Exercícios Binomial, Normal, Poisson
Questão Item Resposta Questão Item Resposta Questão Item Resposta
1 a 0,0039 24 a 4,9 49 a 0,1608
b 0,3634 b 3 b 0,8038
2 0,0154 25 a 0,7940 c 0,1962
3 0,3020 b 0,6591 50 0,0021
4 a 0,1681 26 a 0,3862 51 a 0,1663
b 0,3087 b 56,28 b 0,6330
c 0,1631 27 a 48 52 0,9280
5 0,3487 b 8 53 a 0,7332
6 0,2376 28 0,2302 b 0,7329
7 a 0,9365 29 0,9544 54 0,6010
b 0,5950 30 a 0,1587 55 0,8885
8 a 3528 b 0,9544 56 0,2048
b 8,4 31 a 189 57 a 0,1492
9 a 0,2344 b 13,5399 b 0,1547
b 0,9844 32 a 0,2561 58 0,1210
c 0,3438 b 0,0585 59 0,0985
10 a 0,0039 33 0,0425 60 a 0,1839
b 0,3634 34 0,5120 b 0,0126
11 a 0,9961 35 a 70,8 c 0,1217
b 0,1446 b 79,2 61 0,1954
c 0,2188 36 a 0,6678 62 a 0,2707
12 a 4 b 604,8 b 0,1804
b 2 37 a 83,52 63 a 0,1054
13 a 0,5248 b 0,3835 b 0,1126
b 0,3456 38 a 8,5714 64 a 0,1606
14 a 436,6667 b 29,0285 b 0,1512
b 19,0759 39 a 0,0384 c 0,9975
15 a 0,5578 b 0,9821 65 0,1264
b 0,3396 40 a 0,9452 66 a 0,1823
16 a -0,75 b 48.050 km b 0,1804
b 0 41 a 0,0016 67 a 0,9084
c 1 b 0,4096 b 0,1954
d 1,5 c 0,5904 68 a 0,1353
17 a 62 42 0,3087 b 0,8647
b 89 43 a 0,0422 69 0,1804
c 95 b 0,4552 70 a 0,1404
d 92 c 0,0064 b 0,0041
18 a 0,3779 44 0,4557 71 a 0,2240
b 0,3085 45 a 0,0008 b 0,5768
c 0,3446 b 0,0398 72 a 0,3020
19 35,8564 c 0,9602 b 0,6242
20 0,0606 46 a 0,1663 73 0,4772
21 0,0026 b 0,8337 74 0,0668
22 a 0,6995 47 a 0,6826 75 a 0,0758
b 0,0436 b 0,0102 b 0,8008
c 0,8413 c 0,3456 76 a 0,7967
23 a 0,1151 48 0,2649 b 186,5
b 0,0522

47
TEORIA DA AMOSTRAGEM
A Teoria da Amostragem é um estudo das relações entre uma população e as amostras dela
extraídas.
É útil para a avaliação de grandezas desconhecidas da população (média, variância, desvio
padrão) freqüentemente denominadas Parâmetros Populacionais, através do conhecimento das
grandezas correspondentes das amostras (média da amostra, variância da amostra, desvio padrão da
amostra), muitas vezes denominadas Estatísticas Amostrais.
É útil, também, nas questões que envolvem os testes de significância e de hipóteses.
AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES
Também chamada de amostra Probabilística, é quando cada elemento de uma população tem a
mesma probabilidade de ser incluído na amostra
Técnicas de Obtenção de uma amostra aleatória simples
1) Método rudimentar - sorteio de pequenos pedaços de papel
- sorteio das peças de um jogo de bingo
2) Tabela de números aleatórios
3) Geração de números aleatórios através de um programa de computador.
DISTRIBUIÇÃO DA AMOSTRA
Considerem-se todas as amostras possíveis de tamanho N que podem ser retiradas de uma
população dada, de tamanho Np, com ou sem reposição.
Para cada amostra pode-se calcular uma grandeza estatística como a média, a variância ou o
desvio padrão, que variam de amostra para amostra.
Desse modo obtém-se uma distribuição da grandeza estatística que é denominada
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
Se, por exemplo, a grandeza estatística particular adotada for a média da amostra, a
distribuição amostral é denominada DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MEDIAS.
Para cada distribuição amostral pode-se calcular a média, a variância o desvio padrão, etc.
Podemos então falar em média e desvio padrão da Distribuição Amostral de Médias.

48
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS
Sejam: X
µ = média
da Distribuição Amostral de Médias
Xσ = desvio padrão
X = média
da População
σ = desvio padrão
Temos então:
1) Para todas as amostras possíveis de tamanho N que são retiradas sem reposição de uma população
finita de tamanho Np ( Np > N )
X
µ = X
Xσ =
1−
−
×
N
N
p
p
N
N
σ
2) Se a população for infinita ou se a amostragem for feita com reposição
X
µ = X
Xσ =
σ
N
{
{

49
FATOR DE CORREÇÃO FINITA OU FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÃO
FINITA
1−
−
N
N
p
p
N
Ao fazer amostra de uma população finita, deve-se incluir um fator de correção finita, ou fator
de correção de população finita, na fórmula do desvio padrão da distribuição amostral (erro padrão).
Uma regra bastante útil é que a correção é insignificante e pode ser omitida sempre que n <
0,05 N, ou seja, sempre que o tamanho da amostra for menor que 5% do tamanho da população.
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
1) Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a distribuição das médias
amostrais também será normal para todos os tamanhos de amostra.
2) Se a população básica é não normal, a distribuição das médias amostrais será
aproximadamente normal para grandes amostras (N > 30)
O Teorema do Limite Central é um resultado notável pois nos diz que não é necessário
conhecer a distribuição de uma população para podermos fazer inferências sobre ela a partir de dados
amostrais.
A única restrição é que o tamanho da amostra seja grande .
Uma regra muito usada é que a amostra deve consistir de 30 ou mais observações
Em um sentido estrito, o Teorema do Limite Central só se aplica a médias amostrais.
Não obstante, deve-se recordar que, exceto para valores muito pequenos ou muito grandes de
p, a distribuição normal constitui aproximação razoável das probabilidades binomiais, para grandes
amostras (N>30).
Desta forma, a distribuição normal pode ser utilizada para médias e proporções, desde que se
esteja usando grandes amostras.

50
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES
Admita-se uma população em que a probabilidade da ocorrência de um evento, denominado
sucesso, é p, enquanto que a de sua não ocorrência é q ( q = 1 - p )
Considerem-se todas as amostras possíveis de tamanho N extraídas de uma população e para
cada amostra determinemos a proporção de sucessos
Obtém-se então, uma distribuição amostral das proporções, cuja média p
µ e desvio padrão
pσ , são dados por:
1) se a população é infinita
p
pµ =
p
p q
Nσ =
×
2) se a população é finita
p
pµ =
p
p
p
p q
N
NN
Nσ =
×
×
−
−1
OBS. : Quando estamos resolvendo exercícios de Distribuição Amostral de Proporções
precisamos corrigir as mesmas para que possamos usar a distribuição normal na sua resolução
Lembram-se como fazíamos na aproximação normal da distribuição binomial ??
Aqui, o fator de correção, denominado "fator de correção de continuidade" é dado por:
1
2 N

51
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DO NÚMERO DE OCORRÊNCIAS
As distribuições amostrais de proporções e do número de ocorrências são essencialmente as
mesmas.
Ambas dizem respeito a contagem de dados e não a mensurações.
A única diferença é que na distribuição amostral de proporções os valores são expressos como
percentagens, enquanto que na distribuição amostral do numero de ocorrências, os valores se
apresentam como contagens.
Para a distribuição amostral do número de ocorrências, as formulas são:
1) se a população é infinita
Np
N pµ = ×
Np
N p qσ = × ×
2) se a população é finita
Np
N pµ = ×
N p
p
p
N p q
NN
Nσ = × × ×
−
− 1
OBSERVAÇÃO
Podemos trabalhar indistintamente com a Distribuição Amostral de Proporções ou com a
Distribuição Amostral do Número de Ocorrências.
Precisamos somente, ter atenção para o uso da Distribuição Amostral do Número de
Ocorrências pois os valores deverão se apresentar como “inteiros” dado que a distribuição é discreta.
O mesmo não acontece quando usamos a Distribuição Amostral de Proporções, pois estamos
tratando os dados com percentagens.

52
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS SOMAS E DIFERENÇAS
Admita-se que são dadas duas populações. Para cada amostra de tamanho 1N retirada da
primeira população, calcula-se uma grandeza estatística 1S . Isso produz uma distribuição amostral
dessa grandeza estatística 1S com média
1S
µ e desvio padrão
1Sσ .
Da mesma forma para cada amostra de tamanho 2N retirada da segunda população calcula-
se uma grandeza estatística 2S . Obtém-se uma distribuição amostral dessa grandeza estatística
2S com média
2S
µ e desvio padrão
2S
µ .
De todas as combinações possíveis dessas amostras das duas populações pode-se obter uma
distribuição amostral denominada
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS DIFERENÇAS DAS ESTATÍSTICAS.
A média e o desvio padrão dessa distribuição amostral, desde que as amostras escolhidas não
dependam de modo algum uma da outra, isto é, que elas sejam independentes, são dadas por:
1 2 1 2S S S S−
= −µ µ µ
1 2 1 2
2 2
S S S S−
= +σ σ σ

53
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS SOMAS DAS ESTATÍSTICAS.
A média e o desvio padrão dessa distribuição amostral são dados por:
1 2 1 2S S S S+
= +µ µ µ
1 2 1 2
2 2
S S S S+
= +σ σ σ
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS DIFERENÇAS DAS MÉDIAS.
Se 1S e 2S são as médias das amostras das duas populações, representadas por 1x e
2x , então a distribuição amostral das diferenças das médias, com as médias e os desvios padrões
dados por
1x
µ ,
1xσ ,
2x
µ e
2xσ , respectivamente, será:
1 2 1 2
1 2x x x x−
= − = −µ µ µ µ µ
1 2 1 2
2 2
2 2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
x x x x
N N N N−
= + = + = +











σ σ σ
σ σ σ σ

54
EXERCÍCIOS
1) Vamos supor que existam 6 estudantes. O primeiro tem R$ 1,00, o segundo tem R$ 2,00, ........,
até o sexto que tem R$ 6,00.
a) Calcular a média e o desvio padrão dos dados
b) Escolher todas as amostras possíveis de tamanho 2 (N=2), determinando quantas
são, quais são e qual a probabilidade de ocorrência de cada uma delas.
c) Calcular a média de cada uma dessas amostras.
d) Com os dados do item c (média das amostras) faça uma tabela de freqüência e
calcule a média e o desvio padrão dos dados.
e) Ao final, comprove a validade do uso das fórmulas da Distribuição Amostral de
Médias.
2) Certas válvulas fabricadas por uma Companhia têm vida media de 800 horas com desvio padrão
de 60 horas. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 16 válvulas, retiradas do
grupo, ter a vida media entre 790 e 810 horas.
3) Os pesos de 1500 rolamentos são normalmente distribuídos com média de 22,4 e desvio padrão
de 0,48. Se são extraídas amostras aleatórias de 36 elementos dessa população, determinar a
probabilidade de uma amostra aleatória ter peso:
a) Entre 22,39 e 22,41.
b) Maior que 22,42.
4) Se a vida média de operação de um flash é de 24 horas, com distribuição normal e desvio padrão
de 3 horas, qual é a probabilidade de uma amostra aleatória de 100 flashes apresentar vida média
que difira por mais de 30 minutos da média.
5) Com os mesmos dados do exercício número 1, faça todas as amostra possíveis de tamanho 3
(N=3), calcule a média de cada uma dessas trincas, disponha os dados em uma tabela de
freqüência, calcule a média e o desvio padrão desta tabela e confirme, uma vez mais, a validade
das fórmulas da Distribuição Amostral de Médias.
6) Faça o mesmo exercício acima, para o caso de amostra de tamanho 4 (N=4).
7) Verificou-se que 2% das ferramentas produzidas por uma certa máquina são defeituosas. Qual é a
probabilidade de, em uma amostra de 400 dessas ferramentas, revelarem-se defeituosas:
a) 3% ou mais.
b) 2% ou menos.
c) Exatamente 2% (pergunta feita por um aluno em sala de aula).

55
8) Sabe-se que 70% das pessoas que entram em um Centro Comercial realizam pelo menos uma
compra. Para uma amostra de 50 pessoas, determinar a probabilidade de que no mínimo 40
pessoas façam pelo menos uma compra.
9) Se vamos extrair amostra de 100 observações, de uma população muito grande em que a
proporção populacional é de 20%, que percentagem de proporções amostrais poderemos esperar
nos intervalos:
a) De 16% a 24%, inclusive.
b) Maiores ou iguais que 24%.
c) De 12% a 28%, inclusive.
10) Cerca de 10% dos armazéns em uma certa região oferecem cupons de crédito a seus clientes.
Determinar a probabilidade de numa amostra aleatória de 100 armazéns:
a) Entre 6% e 16%, inclusive, oferecerem cupons
b) 18% ou mais oferecerem cupons
11) Determinar a probabilidade de, em uma amostra de 120 lances de uma moeda honesta, ocorrerem
caras entre 40% e 60%, inclusive.
12) Cada pessoa de um grupo de 500 pessoas lança uma moeda honesta 120 vezes. Quantas pessoas
seriam de se esperar que relatassem ter obtido caras entre 40% e 60%, inclusive.
13) Um fabricante despacha lotes de 100 lâmpadas elétricas cada um. Se 5% das lâmpadas são
defeituosas, determinar a probabilidade de encontrarmos:
a) 90 ou menos lâmpadas boas
b) 98 ou mais lâmpadas boas
14) Numa determinada região o nascimento de crianças do sexo feminino tem probabilidade de 0,53.
Numa amostra aleatória de 245 crianças nascidas, determinar a probabilidade de que 45% ou
menos dessas crianças sejam do sexo masculino.
15) Seja A uma variável que representa qualquer um dos elementos da população { 3, 7, 8 } e B a
que representa qualquer um dos elementos da população { 2, 4 }. Calcular:
a) A média de A e a média de B
b) A média de (A – B)
c) O desvio padrão de A e o desvio padrão de B
d) O desvio padrão de (A – B)

56
16) Um processo de encher garrafas dá em media 10% de garrafas mal cheias. Extraída uma amostra
de 225 garrafas, de uma seqüência de produção de 625 garrafas, determinar a probabilidade de
que a proporção amostral de garrafas mal cheias esteja entre 9% e 11%, inclusive.
17) Com os dados do exercício número 13, calcular:
a) A média de (A + B)
b) O desvio padrão de (A + B)
18) As medidas de um lote de peças de precisão são normalmente distribuídas com média de 5,38
polegadas e desvio padrão de 0,9 polegadas. Se forem extraídas amostras de 45 elementos dessa
população, determinar a probabilidade de uma amostra aleatória ter medida:
a) Entre 5,3 e 5,7 polegadas.
b) Menor que 5, 2189 polegadas.
19) 400 mancais acusam peso médio de 5,38 com desvio padrão de 0,42. Determinar a probabilidade
de, numa amostra aleatória de 120 mancais, extraídos do grupo, encontrarmos mancais com peso
médio:
a) Entre 5,33 e 5,45.
b) Maior que 5,41.
20) Os pesos de certos mancais têm distribuição normal com média de 22,46 e desvio padrão de
0,048. Extraindo-se desta população amostra de tamanho 36, determinar a probabilidade de
encontrarmos mancais:
a) Com peso médio entre 22,44 e 22,47.
b) Com peso médio acima de 22,48.
21) Um auditor toma uma amostra aleatória de 36 contas de uma população de 1000 contas a receber.
O desvio padrão da população é desconhecido, mas o desvio padrão da amostra é R$ 43,00. Se o
verdadeiro valor da média da população de contas a receber é de R$ 260,00, determinar a
probabilidade de que a média da amostra seja menor ou igual a R$ 250,00
22) Uma central de estabelecimentos comerciais informa que as vendas médias mensais de seus
filiados importam em $ 12.500, com um desvio padrão de $ 2.000. Para uma amostra de 48
desses estabelecimentos filiados, determinar a probabilidade de encontrarmos estabelecimentos
com vendas médias entre $ 11.994,82 e $ 13.005,12.
23) A média de duas distâncias são 27,3m e 15,6m, com desvios padrões de 0,16m e 0,08m,
respectivamente. Determinar a média e o desvio padrão da:
a) Distribuição Amostral da Soma das Distâncias
b) Distribuição Amostral da Diferença das Distâncias

57
24) O valor médio das vendas de um determinado produto durante o último ano foi de $ 3.400 por
varejista que trabalha com o produto. O desvio padrão populacional é de $ 200. Tomada uma
amostra aleatória de 25 varejistas, determinar a probabilidade de que a média amostral;
a) Seja maior do que $ 3.500;
b) Esteja entre $3.350 e $ 3.450
25) As baterias produzidas pela firma CBA têm duração média de 14.000 horas, com desvio padrão
de 2.000 horas. As baterias produzidas pela firma FED têm duração média de 16.000 horas, com
desvio padrão de 2.500 horas. Se forem tomadas amostras aleatórias de 3.500 baterias de cada
fabricante, determinar a probabilidade das baterias do fabricante FED terem vida média maior do
que as baterias do fabricante CBA, em:
a) Pelo menos 2.100 horas;
b) No máximo 1.890 horas.
26) O escore médio dos estudantes, em um teste de aptidão, é de 72 pontos, com desvio padrão de 8
pontos. Qual é a probabilidade de dois grupos de estudantes, constituídos de 28 e 36 estudantes,
respectivamente, terem seus escores médios divergentes de:
a) 3 ou mais pontos;
b) 6 ou mais pontos;
c) Entre 2 e 5 pontos, inclusive.
27) As firmas A e B fabricam dois tipos de cabos que têm tensões médias de ruptura de 2.000 e
2.250 kg, com desvios padrões de 150 e 100 kg, respectivamente. Se 100 cabos da marca A e 50
cabos da marca B forem testados, qual é a probabilidade da tensão média de ruptura de B ser:
a) Pelo menos 300 kg maior do que a de A;
b) Pelo menos 225 kg maior do que a de A.
28) A voltagem média de uma bateria é de 15 volts e o desvio padrão de 0,2 volts. Qual é a
probabilidade de 4 dessas baterias, ligadas em série, apresentarem uma voltagem total de 60,8 ou
mais volts.
29) As lâmpadas do fabricante A têm duração média de 1.400 horas, com um desvio padrão de 200
horas. As lâmpadas elétricas de outro fabricante B, têm duração média de 1.200 horas com desvio
padrão de 100 horas. Se forem ensaiadas amostras aleatórias de 125 lâmpadas de cada marca, qual
a probabilidade das lâmpadas de marca A terem vida média maior do que as lâmpadas de marca
B, de pelo menos:
a) 160 horas
b) 250 horas

58
30) Certo tipo de lâmpada elétrica tem vida média de 1.500 horas, com desvio padrão de 150 horas.
Três lâmpadas são instaladas de modo que, quando uma se queima, outra começa a funcionar.
Admitindo-se que as vidas médias são normalmente distribuídas, qual é a probabilidade da
iluminação estar assegurada durante:
a) Pelo menos 5.000 horas;
b) No máximo 4.200 horas.
31) Numa cidade, as estatísticas mostram que o nascimento de meninos tem probabilidade igual a
0,47. Numa amostra aleatória de 250 crianças nascidas, determinar a probabilidade de que 45%
ou mais sejam meninas.
32) Uma amostra aleatória de 50 famílias de uma comunidade A, apresenta uma renda média familiar
de $13.800 com um desvio padrão de $ 2.200. Uma amostra aleatória de 50 famílias de uma
comunidade B, apresenta uma renda média familiar de $ 14.800 com um desvio padrão de $
2.800. Determinar a probabilidade da renda média das famílias da comunidade B ser maior que a
renda média das famílias da comunidade A, em:
a) Pelo menos $ 600,
b) No máximo $ 1.800,
33) Para uma amostra aleatória de 100 domicílios, em uma grande área metropolitana, o número de
domicílios nos quais ao menos um adulto se encontra atualmente desempregado, é de 12
domicílios. Determinar a probabilidade de encontrarmos amostras aleatórias onde a proporção de
domicílios nos quais existe ao menos um adulto desempregado:
a) Seja maior ou igual a 7%;
b) Esteja compreendido entre 15% e 19%, inclusive.
34) Uma central de distribuidores de bebidas informa que suas vendas médias mensais são da ordem
de $ 35.550, com um desvio padrão de $ 3.400. Amostrados, aleatoriamente, 53 desses
estabelecimentos, determinar a probabilidade de encontrarmos vendas mensais no intervalo de $
34.400 a $ 36.000.
35) Um analista financeiro toma uma amostra aleatória de 10% de um total de 300 contas a receber e
encontra um saldo médio de R$ 148,50, com um desvio padrão de R$ 35,75. Determinar a
probabilidade deste analista encontrar saldos médios de contas a receber maiores ou iguais a R$
138,00

59
36) A média dos salários semanais para uma amostra aleatória de 30 empregados em uma grande
firma é de R$ 180,00, com um desvio padrão de R$ 14,00. Em uma outra grande empresa, uma
amostra aleatória de 40 empregados, apresentou um salário médio semanal de R$ 170,00, com um
desvio padrão de R$ 10,00. Determinar a probabilidade dos empregados da primeira firma terem
salários semanais maiores que os da segunda firma em pelo menos R$ 15,00.
37) Suponha que uma pesquisa recente tenha revelado que 60% de uma população de adultos do
sexo masculino consista de não fumantes. Tomada uma amostra aleatória de 600 adultos do sexo
masculino, determinar a probabilidade de encontrarmos:
a) Entre 336 e 384, inclusive, de não fumantes;
b) 360, ou mais, de não fumantes.
38) Uma amostra aleatória de 900 cidadãos de uma comunidade, mostrou que 400 deles desejavam
fluoração da água de abastecimento público. Determinar a probabilidade de encontrarmos
amostras aleatórias onde a proporção favorável à fluoração:
a) Seja maior ou igual a 42%;
b) Esteja entre 43% e 47%, inclusive.
39) Para um particular produto, a média de vendas por estabelecimento no último ano, em uma
amostra de 10 deles, foi de $ 3.425,00, com um desvio padrão de $ 200,00. Para um segundo
produto, a média de vendas por estabelecimento no último ano, em uma amostra de 12 deles, foi
de $ 3.250,00, com um desvio padrão de $ 175,00. Determinar a probabilidade da média de
vendas do primeiro produto ser maior que a média de vendas do segundo:
a) Em pelo menos $ 16,35;
b) Em no máximo $ 150,00
40) Um varejista compra copos diretamente da fábrica em grandes lotes. Os copos são embrulhados
individualmente. Periodicamente o varejista inspeciona os lotes para determinar a proporção de
copos quebrados ou lascados. Se um grande lote contém 10% de copos quebrados ou lascados,
determinar a probabilidade do varejista obter uma amostra de 100 copos com 17% ou mais de
defeituosos.
41) Enquanto a KATONA LTDA. fabrica seus pneus com uma vida média de 42.000 km e desvio
padrão de 6.000 km, a DRABOL PNEUS LTDA. fabrica os seus pneus com uma vida média de
36.000 km e desvio padrão de 3.000 km. Se a Ferrari deseja testar 150 pneus de cada uma das
marcas, qual a probabilidade de que a vida média dos pneus da KATONA sejam maiores que a
vida média dos pneus da DRABOL:
a) Em pelo menos 5.000 km;
b) Em no máximo 7.000 km.

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Respostas dos Exercícios
1) a) Média = 3,5, Desvio padrão = 1,7078
b) 15 amostras; 1,2; 1,3; ...; 5,6; 1/15
c {1,5; 2,0; ....... ; 5,5}
d) Média = 3,5, Desvio padrão = 1,0801
e) Usar fórmulas de Distr Amostral Médias
2) 0,4972
3) a) 0,1034
b) 0,4013
4) 0,0950
5) Seque o modelo do exercício 1
6) Seque o modelo dos exercícios 1 e 5
7) a) 0,1056
b) 0,5714
c) 0,1410 por Binomial
0,1428
por Amostral
Proporções
8) 0,0823
9) a) 0,7416
b) 0,1894
c) 0,9668 25) a) 0,0322
10) a) 0,9182 b) 0,0212
b) 0,0062 26) a) 0,0681
11) 0,9774 b) 0,0014
12) 489 c) 0,1545
13) a) 0,0197 27) a) 0,0078
b) 0,1251 b) 0,8869
14) 0,2877 28) 0,0228
15) a) 6 29) a) 0,9772
b) 3 b) 0,0062
c) 3 30) a) 0,0274
d) 2,1602 b) 0,1251
e) 1 31) 0,9952
f) 2,3804 32) a) 0,7852
16) 0,5528 b) 0,9441
17) a) 9 33) a) 0,9545
b) 2,3804 b) 0,2102
18) a) 0,7170 34) 0,8246
b) 0,1151 35) 0,9545
19) a) 0,9260 36) 0,0485
b) 0,1762 37) a) 0,9586
20) a) 0,8882 b) 0,5160
b) 0,0062 38) a) 0,9332
21) 0,0778 b) 0,7577
22) 0,9198 39) a) 0,9750
23) a) 42,9 e 0,1789 b) 0,3783
b) 11,7 e 0,1789 40) 0,0150
24) a) 0,0062 41) a) 0,9656
b) 0,7888 b) 0,9656

61
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) Em uma fábrica, onde se engarrafam refrigerantes, utiliza-se uma máquina para encher as garrafas.
Os conteúdos das garrafas devem, a princípio, se de 300 mililitros. Na realidade, eles variam
segundo uma distribuição normal com média igual a 298 mililitros e um desvio padrão de 3
mililitros. Se uma amostra aleatória de 36 garrafas é escolhida do estoque da fábrica, determinar a
probabilidade de encontrarmos conteúdos médios maiores que 297,3 mililitros.
2) O gerente do setor de poupança de um banco afirmou que 40% dos depositantes têm contas
múltiplas no banco. Se for escolhida uma amostra aleatória de 200 depositantes deste banco,
determinar a probabilidade de que a proporção da amostra de depositantes com contas múltiplas
esteja entre 42% e 47%.
3) O órgão de defesa do consumidor de uma cidade informa que de todas as reclamações recebidas,
30% se referem a problemas com linhas telefônicas. Se forem amostrados, aleatoriamente, 150
dessas reclamações, determinar a probabilidade de que pelo menos 35% delas sejam referente a
problemas com linhas telefônicas.
4) Os valores depositados em uma agência bancária possuem média de $ 7.012 u.m. e desvio padrão
de $ 532 u.m.. Se uma amostra de 35 depósitos é selecionada aleatoriamente nesta agência,
determinar a probabilidade de que a média amostral exceda $ 6.911 u.m.
5) A Cactus resolveu lançar no mercado “o refrigerante do deserto” que, segundo a empresa, mata
qualquer sede. Uma pesquisa indica que 20% dos entrevistados manifestaram interesse no produto.
Como a empresa somente irá lançar o produto no mercado se mais de 25% das pessoas
manifestarem interesse no produto, determinar a probabilidade de que, em uma amostra aleatória
de 500 consumidores, a proporção de interessados no produto seja maior ou igual a 25%.
6) Um processo industrial gera 8% de peças defeituosas. Determinar a probabilidade de que, em uma
amostra aleatória de 100 dessas peças, 10% ou menos sejam defeituosas.
7) A duração das chamadas recebidas numa central telefônica de uma determinada empresa tem
distribuição normal com média de 17 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Determinar a
probabilidade de numa amostra aleatória de 100 chamadas, a duração média se situar entre 16 e 18
minutos.

62
8) De uma população normal com média 80 e desvio padrão 4, recolheu-se uma amostra aleatória de
tamanho 100. Qual a probabilidade da média da amostra diferir da média da população por mais
de 0,5.
9) Seja X uma distribuição normal com média 20 e desvio padrão 5. Calcule o tamanho da amostra
de modo que seja igual a 90% a probabilidade da média amostral se situar entre 18 e 22.
10) Sabe-se que a idade de determinada camada do subsolo segue uma distribuição normal com
média 0,5 milhões de anos e desvio padrão de 20.000 anos. Selecionados ao acaso 10 amostras de
subsolo, calcule a probabilidade da média amostral das suas idades ser superior a 490.000 anos.
Respostas:
1) 0,9192
2) 0,2902
3) 0,1056
4) 0,8686
5) 0,0031
6) 0,8212
7) 0,9554
8) 0,2112
9) 17
10) 0,9429

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