Fórmula de Laguerre

A fórmula de Laguerre (nomeada em homenagem a Edmond Laguerre) fornece o ângulo agudo $\phi$ entre duas linhas reais adequadas,^[1]^[2] do seguinte modo:

\phi =|{\frac {1}{2i}}\operatorname {Log} \operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})|

onde:

$\operatorname {Log}$ é o valor principal do logaritmo complexo^[3]^[4]^[5]
$\operatorname {Cr}$ é a proporção cruzada de quatro pontos colineares^[6]^[7]
$P_{1}$ e $P_{2}$ são os pontos no infinito das linhas
$I_{1}$ e $I_{2}$ são as interseções da cônica absoluta,^[8]^[9]^[10] tendo equações $x_{0}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$ , with the line joining $P_{1}$ e $P_{2}$ .

A expressão entre barras verticais é um número real.

A fórmula de Laguerre pode ser útil na visão computacional, uma vez que a cônica absoluta tem uma imagem no plano retiniano que é invariante sob os deslocamentos da câmera, e a relação cruzada de quatro pontos colineares é a mesma para suas imagens no plano retiniano^[11].

Referências

↑ Richter-Gebert, Jürgen (4 de fevereiro de 2011). Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. [S.l.]: Springer Science & Business Media. pp. 342–. ISBN 9783642172861. Consultado em 18 de setembro de 2014
↑ Fisher, Robert B.; Breckon, Toby P.; Dawson-Howe, Kenneth; Andrew Fitzgibbon; Craig Robertson; Emanuele Trucco; Christopher K. I. Williams (8 de novembro de 2013). Dictionary of Computer Vision and Image Processing. [S.l.]: Wiley. pp. 148–. ISBN 9781118706800. Consultado em 18 de setembro de 2014
↑ Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable 2nd ed. [S.l.]: Springer
↑ Lang, Serge (1993). Complex Analysis 3rd ed. [S.l.]: Springer-Verlag
↑ Moretti, Gino (1964). Functions of a Complex Variable. [S.l.]: Prentice-Hall
↑ Colinear (Merriam-Webster dictionary)
↑ Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, ISBN 0-521-59787-0, Cambridge: Cambridge University Press
↑ Cayley, Arthur (1859), «A sixth memoir upon quantics», Philosophical Transactions of the Royal Society of London, ISSN 0080-4614, 149: 61–90, JSTOR 108690, doi:10.1098/rstl.1859.0004
↑ Klein, Felix (1871), «Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie», Springer Berlin / Heidelberg, Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831 (em alemão), 4: 573–625, JFM 03.0231.02, doi:10.1007/BF02100583
↑ Klein, Felix (1873), «Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz)», Springer Berlin / Heidelberg, Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 6: 112–145, JFM 05.0271.01, doi:10.1007/BF01443189
↑ Advances in Visual Computing: Third International Symposium, ISVC 2007, Lake Tahoe, NV, USA, 26 a 28 de novembro de 2007, Proceedings, Parte 2 por Richard Boyle et al, ISSN:0302-9743

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[Richter-Gebert2011-1] Richter-Gebert, Jürgen (4 de fevereiro de 2011). Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. [S.l.]: Springer Science & Business Media. pp. 342–. ISBN 9783642172861. Consultado em 18 de setembro de 2014

[FisherBreckon2013-2] Fisher, Robert B.; Breckon, Toby P.; Dawson-Howe, Kenneth; Andrew Fitzgibbon; Craig Robertson; Emanuele Trucco; Christopher K. I. Williams (8 de novembro de 2013). Dictionary of Computer Vision and Image Processing. [S.l.]: Wiley. pp. 148–. ISBN 9781118706800. Consultado em 18 de setembro de 2014

[3] Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable 2nd ed. [S.l.]: Springer

[4] Lang, Serge (1993). Complex Analysis 3rd ed. [S.l.]: Springer-Verlag

[5] Moretti, Gino (1964). Functions of a Complex Variable. [S.l.]: Prentice-Hall

[6] Colinear (Merriam-Webster dictionary)

[7] Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, ISBN 0-521-59787-0, Cambridge: Cambridge University Press

[8] Cayley, Arthur (1859), «A sixth memoir upon quantics», Philosophical Transactions of the Royal Society of London, ISSN 0080-4614, 149: 61–90, JSTOR 108690, doi:10.1098/rstl.1859.0004

[9] Klein, Felix (1871), «Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie», Springer Berlin / Heidelberg, Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831 (em alemão), 4: 573–625, JFM 03.0231.02, doi:10.1007/BF02100583

[10] Klein, Felix (1873), «Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz)», Springer Berlin / Heidelberg, Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 6: 112–145, JFM 05.0271.01, doi:10.1007/BF01443189

[11] Advances in Visual Computing: Third International Symposium, ISVC 2007, Lake Tahoe, NV, USA, 26 a 28 de novembro de 2007, Proceedings, Parte 2 por Richard Boyle et al, ISSN:0302-9743

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