Progressão geométrica
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Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.[1] A razão é indicada geralmente pela letra (inicial da palavra "quociente").
Alguns exemplos de progressão geométrica:
- em que e [1]
- em que e
- em que e
- em que e
- em que e
Termo geral
[editar | editar código-fonte]Costuma-se denotar por o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial e sua razão q.
A sucessão dos termos é obtida por recursão:
Podemos demonstrar por indução matemática que:
De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:
Soma dos termos de uma P.G.
[editar | editar código-fonte]A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por
Caso a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:
Demonstração
[editar | editar código-fonte]Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:
Multiplica-se pela razão
Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:
o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a
Divide-se ambos os termos por e o resultado segue.
Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.
[editar | editar código-fonte]A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de até é calculada pela seguinte fórmula:
Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica
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A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando Sua soma é:
Se e então sua soma é mais infinito e se e sua soma é menos infinito.
Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso por exemplo. pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.
Produto dos termos de uma progressão geométrica
[editar | editar código-fonte]O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão: sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.
Tipos de progressões geométricas
[editar | editar código-fonte]Progressão geométrica constante
[editar | editar código-fonte]Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão deve ser igual a 1.
Exemplos de progressões geométricas constantes :
- tem razão e primeiro termo
- tem razão e primeiro termo
Progressão geométrica crescente
[editar | editar código-fonte]Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão é superior a 1 e seu primeiro termo é superior a 0 ou quando sua razão está entre 0 e 1 e seu primeiro termo é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: e ou e
Exemplos de progressões geométricas crescentes:
- tem razão e primeiro termo
- tem razão e primeiro termo
Progressão geométrica decrescente
[editar | editar código-fonte]Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão é superior a 1 e seu primeiro termo é inferior a 0 ou quando sua razão está entre 0 e 1 e seu primeiro termo é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: e ou e
Exemplos de progressões geométricas decrescentes:
- tem razão e primeiro termo
- tem razão e primeiro termo
Progressão geométrica oscilante
[editar | editar código-fonte]Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem:
Exemplos de progressões geométricas oscilantes:
- tem razão e primeiro termo
- tem razão e primeiro termo
Exemplo de progressão geométrica
[editar | editar código-fonte]Abaixo temos uma tabela na qual o termo e o termo e assim sucessivamente em progressão geométrica.
1 | 2 |
2 | 6 |
3 | 18 |
4 | 54 |
5 | 162 |
6 | 486 |
7 | 1.458 |
8 | 4.374 |
9 | 13.122 |
10 | 39.366 |
11 | 118.098 |
12 | 354.294 |
13 | 1.062.882 |
14 | 3.188.646 |
15 | 9.565.938 |
16 | 28.697.814 |
17 | 86.093.442 |
18 | 258.280.326 |
19 | 774.840.978 |
20 | 2.324.522.934 |
- Qual é o 8º termo da PG acima?
Enésimo termo de uma PG
[editar | editar código-fonte]É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:
Inicialmente é necessário obter-se o quociente().
Após obtido o quociente() o enésimo() termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo ou seja,
Exemplo ilustrativo
Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo() igual a 1.250 e o 8º termo() igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo()?
- Agora usando o quociente () na fórmula do enésimo termo ().
- O 2º termo da PG dada é igual a 10.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Progressão aritmética
- Progressão aritmético-geométrica
- Logaritmo
- Função exponencial
- Número de Fibonacci - a sequência de Fibonacci é a soma de duas progressões geométricas
- Série geométrica
Referências
- ↑ a b Encyclopaedia perthensis, editada por J. Brown (1816) [google books]