Teste da raiz

O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor

Enunciado

Seja $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ uma série numérica e a constante $k$ definida pelo limite:

$k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

Então:

Se $k<1$ , a série converge absolutamente
Se $k>1$ ou $k=1^{+}$ , a série não converge
Se $k=1^{-}$ , nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de $k$ por:

$k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

Exemplo

Considere a série dada por:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{2^{n}}}$

k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}={\frac {1}{2}}\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{2}}}={\frac {1}{2}}<1

Portanto a série converge.

Exemplo 2

Considere a série dada por:

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n(-1)^{n}}$

k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{n(-1)^{n}}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|(2^{(-1)^{n}})^{n}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{(-1)^{n}}|^{n}}}=

=\lim _{n\to \infty }{|2^{(-1)^{n}}|}=\lim _{n\to \infty }b_{n}

, em que:

b_{n}={\begin{cases}2,&{\mbox{se n par}}\\{\frac {1}{2}},&{\mbox{se n ímpar }}\end{cases}}

Então $b_{n}$ não tem limite, ou seja, $\lim _{n\to \infty }b_{n}$ não existe.

Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos

k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }(b_{n})=2>1

Como $2>1$ a série é divergente.

Demonstração para k<1

Seja:

k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}

Escolha $\varepsilon ={\frac {1-k}{2}}$ Como $k<1$ , $\varepsilon >0$ e, portanto, existe um $N>0$ tal que:

{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon ,~~n>N

De forma que:

{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon <k+{\frac {1-k}{2}}=1+{\frac {k-1}{2}}=1-\varepsilon <1

Assim, $|a_{n}|<(1-\varepsilon )^{n},n>N$ e o teste da comparação nos permite concluir que a série converge, comparando-a com a série geométrica de razão $q=1-\varepsilon <1$