登録する口座の銀行名で評価されることはあるのでしょうか？

格付けと言うほどではありませんが、相手の状況を見る尺度にはなります。

給料取りだと受け取りが銀行になることが多い。

その場合、現金の引き出しが簡単な身近にATMがあるその会社のメインバンクが多いでしょう。

ネットバンクでは現金の振り込みや引き出しに手数料が掛かることが多いので給料の振り込みには使われにくい。

身近に専用ATMがあることもまれです。

ネット通販には便利ですけどね。

だから、その人の経済状況を判断できる材料になってしまうのです。

ご家族がそういうのであれば、ネットバンクだと軽く見る人が現に存在するということですね。

昔と違い、最近のネットバンクは手数料や金利など有利な部分も多く、給与振り込み口座にすることで特典があったり、提携してる企業の商品やサービスが大幅に割引になったりと、さまざまな理由からメインバンクにしてる人は多いです。住宅ローンも都市銀行より金利が有利だったりします（その分与信が厳しいですが）

匿名回答1号さんが言うように「現金の振り込みや引き出しに手数料が掛かることが多い」という誤解をしている人もいますが、これは一昔まえの認識で、たとえばSBI新生銀行はコンビニATMでいつでも無料で引き出せます。

こういう状況ですので、普通の企業との取引や役所関係で軽く見られるということはほぼないと考えていいと思います。選ぶ銀行によっては、むしろマネーリテラシーがあるというイメージを持たれることもあります。

一方、なにか商売をやっていて、個人間や中小企業との取引のために口座番号を出すことがあるのであれば、相手によっては「聞いたことない銀行だし信用できない」とか不安に思われたり、軽く見られるかも、というところです。

軽く見るというより、不便です。

そもそもそのネットバンクが対応しているATMが近くにないと使えないですね。

多くのネットバンクはゆうちょやコンビニなどのATMに間借りしている状態で、それだけなら便利そうですが、

たとえばキャッシュカードの磁気が突然消えてしまい、いつものATMでつかえなくなったときには、

平日に東京や大阪や名古屋など全国に20箇所ほどしかない拠点まで必ず顔を出さないといけないのです（あるいはその都度、キャッシュカードの再発行手続きをして自宅で書留を受け取るかですね）。

ですから、職場の近所に支店のある銀行がのぞましいでしょう。

また、家を引っ越したときに、個人の大家さんに「家賃は必ず○○農協の口座から引き落とし」と指定されて別に口座をつくったことがあります。こういうときにネット銀行を指定する大家さんならそれでいいとおもいますが、無料口座だと引き出し回数の制限などがあって不便なので、あまりそういう指定をされる場合多くないとおもいます。