微分積分学

重積分による体積・曲面積の計算方法

重積分を用いて、体積や曲面の面積を計算することができます。 体積の定式化 空間における体積確定な点集合Vの体積|V|は $$|V|=\iiint_Vdxdydz$$ で与えられます。 特に、Vが平面\(x=a, x=b (a<b)\)の間にあるとき、 $$|V|=\int_a^b\left(\ […]

三重積分の計算ー円柱座標・極座標のヤコビアンと変数変換

重積分を空間での積分に拡張していきます。 三重積分 空間の直方体分割を考えることで、三重積分を定義することができます。 xyz-空間内の点集合V上の関数f(x, y, z)の三重積分を $$\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz　または　\iiint_Vf(P)dxdydz$$ とかきます。 […]

ヤコビアンによる重積分の変数変換と計算例

重積分の計算方法その２では、変数変換について学びます。1変数のときよりも変換方法が複雑になります。 累次積分法についてはこちら　⇒　重積分の計算その１ 変数変換の準備 置換積分の公式 $$\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt […]

広義重積分の定義と重積分の収束・発散

1変数のとき(広義積分の定義、広義積分の収束)と同様に、重積分についても広義積分を考えていきます。 広義重積分 有界集合上の非有界関数の重積分および非有界集合上での重積分を定義する。そのために平面上の点集合(非有界でもよい)\(D\)に対して、\(D\)の近似列を次のように定義する。 近似列\(\{ […]

包絡線の求め方と全微分方程式

偏微分の応用第３回では、「包絡線」と「全微分方程式」について学んでいきます。 前回までの内容はこちら→曲線について・極値について   包絡線 あるパラメータ\(\alpha\)を含む方程式\(f(x, y, \alpha)=0\)は、\(\alpha\)を固定すると\(xy\)-平面上で一 […]

多変数関数の極値とラグランジュの未定乗数法

前回(偏微分の応用①曲面)に引き続き、偏微分の応用について考えていきます。 今回は極値について例題を交えて学んでいきましょう。 極値 極値の定義は以下の通りです。 関数\(f(P)\)が点\(P_0\)を含むある領域で定義されているとする。 \(P_0\)の近くで\(f(P)\le f(P_0)\) […]

曲面の方向微分係数と法線ベクトル・接平面の方程式

ここからは偏微分の応用の話に入ります。 まずは、偏微分を用いて空間中の曲面の特徴について調べていきましょう。   曲面 $$C^1級の2変数関数z=f(x,y)は、xyz空間において曲面を表す$$ 偏微分係数\(f_x(a,b)\)は、定義より $$f_x(a,b)=\left. \fra […]

合成関数の偏微分と多変数関数のテイラーの定理

前回は偏微分の計算について学びました。 ここから、理工系の分野でよく用いられる全微分の概念からチェインルール、テイラーの定理について学んでいきます。 全微分 以下、\(f(x, y)\)は点\((a, b)\)の近傍で定義されているとします。   適当な定数\(A、B\)に対して $$\D […]

偏微分の基礎と偏導関数の計算例

ここまで点集合と点列、多変数関数の極限と連続性と準備をしてきました。 ここからようやく、多変数関数の偏微分について学んでいきます。 偏微分・偏導関数 定義 関数\(z=f(x, y)\)が点\(P_0(a, b)\)の近傍で定義されているとします。 \(x\)の関数\(f(x, b)\)が\(x=a […]

点集合の定義と点列の収束性

偏微分を取り扱うために、平面上の点の集合について学んでおく必要があります。 ここでは、点集合と点列について考えていきます。 点集合 距離 平面上の2点\(P(x, y)、Q(x’, y’)\)の距離を\(d(P, Q)\)とかくことにします。すなわち $$d(P,Q)=\sq […]