Dimensiune Hausdorff

În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.

Definiție

Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log₂3, care este circa 1,58.

Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spațiu metric.

$H_{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }diam(A_{i})^{s}\right\}$

$H^{s}(E)=\lim _{\delta \rightarrow 0}H_{\delta }^{s}(E)$

$\dim _{H}(E)=\inf \left\{s,H^{s}(E)=0\right\}=\sup \left\{s,H^{s}(E)=\infty \right\}$

Exemplu

Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul $X=[0,1]\subset \mathbb {R}$ :

• Pentru $s>1\,$

Pentru $\varepsilon >0\,$ , fie numărul natural $N_{\varepsilon }$ astfel ales încât ${\frac {1}{N_{\varepsilon }}}<\varepsilon$ .

Cu acoperirea specială

$A_{i}={\big [}{\frac {i-1}{N_{\varepsilon }}},{\frac {i}{N_{\varepsilon }}}{\big ]}$   pentru $1\leq i\leq N_{\epsilon },A_{i}=1$ pentru $i\geq N_{\varepsilon }$.

Urmează

$H_{\varepsilon }^{s}(X)\leq N_{\varepsilon }\cdot {\big (}{\frac {1}{N_{\varepsilon }}}{\big )}^{s}={\big (}{\frac {1}{N_{\varepsilon }}}{\big )}^{s-1}<\varepsilon ^{s-1}$.

• Pentru $s<1\,$

Deoarece $d(A_{i})<\varepsilon$ , avem:

$\sum d(A_{i})^{s}=\sum {\frac {d(A_{i})}{d(A_{i})^{1-s}}}>\sum {\frac {d(A_{i})}{\varepsilon ^{1-s}}}$ .

Cum însă $A_{i}\,$ intervalul $X\,$ acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:

$\geq {\frac {1}{\varepsilon ^{1-s}}}.$

Rezultă:

$H_{\varepsilon }^{s}(X)\geq {\frac {1}{\varepsilon ^{1-s}}}$ .

Deci:

$H^{s}(X)=\infty \,$ .

• Pentru $s=1\,$:

Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:

$H^{1}(X)=1\,$ .

Așadar:

$\dim X=1\,$.

Cazuri concrete

• Cercul are dimensiune Hausdorff 1.

• Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este   ${\frac {\ln 2}{\ln 3}}$ .

• Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este   ${\frac {\ln 3}{\ln 2}}$ .

• Dimensiunea Hausdorff a traiectoriei mișcării browniene tinde către 2.

Bibliografie

• Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
• Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.

Vezi și

• Fractal

Legături externe

• en Despre dimensiunea Hausdorff