Geometria diferențială a curbelor

Geometria diferențială a curbelor este o ramură a geometriei diferențiale care are ca obiectiv studiul diferențial și integral al curbelor în plan și în spațiu.

Definiția curbei

Definiția 1. Se numește curbă în spațiu dată parametric mulțimea punctelor $M(x,y,z)$ din spațiu a căror coordonate sunt date de:

$\Gamma :{\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t),\;t\in [a,b]\\z=z(t)\end{cases}}$

(1)

funcțiile reale $x,y,z$ fiind continue pe $[a,b].$

Definiția 2. Se numește curbă în spațiu mulțimea punctelor $M(x,y,z)$ pentru care vectorul de poziție ${\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$ este dat de:

${\vec {r}}={\overrightarrow {r(t)}}=x(t)\cdot {\vec {i}}+y(t)\cdot {\vec {j}}+z(t)\cdot {\vec {k}},\;\;\;t\in [a,b].$

(2)

Tangenta la o curbă

Articol principal: Tangentă (geometrie).

Definiție. Se numește tangentă la curba $\Gamma$ în punctul $M$ poziția limită a dreptei determinată de punctele $M$ și $M_{1}$ de pe curbă când punctul $M_{1}$ tinde către $M$ (dacă această limită există).

Teoremă. Dacă funcțiile $x,y,z$ sunt derivabile în $t$ și

$x'^{2}(t)+y'^{2}(t)+z'^{2}(t)\neq 0$

atunci ecuația tangentei la curbă este:

${\frac {X-x(t)}{x'(t)}}={\frac {Y-y(t)}{y'(t)}}={\frac {Z-z(t)}{z'(t)}},$

(3)

unde $X,Y,Z$ sunt coordonatele punctului curent de pe tangentă.

Demonstrație. Conform definiției derivatei unui vector și a tangentei, dacă punctul $T$ aparține tangentei atunci vectorii ${\overrightarrow {MT}}$   (de coordonate $X-x(t),\;Y-y(t),\;Z-z(t)$) și   ${\overrightarrow {r'(t)}}$ sunt coliniari, deci coordonatele lor sunt proporționale și se obține relația (3).

Binormala

Binormala la o curbă într-un punct dat este normala din acel punct și perpendiculară pe planul osculator al curbei din acel punct. Astfel, pentru curba dată de ecuațiile (1), ecuațiile binormalei sunt:

unde $x,y,z$ și derivatele lor sunt luate în punctul considerat.

Vezi și

• Geometria diferențială a suprafețelor