Эксцентриситет

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается $e$ или $\varepsilon$ .

Эллипс (*e=½*), парабола (*e=1*) и гипербола (*e=2*) с фиксированными фокусом $F$ и директрисой: $FP=e\cdot PP'$

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку $F$ и прямую $L$ и зададим вещественное число $e>0$ ; тогда геометрическое место точек $P$ , для которых отношение расстояний до точки $F$ и до прямой $L$ равно $e$ , является коническим сечением; то есть, если $P'$ есть проекция $P$ на $L$ , то

FP=e\cdot PP'

.

Это число $e$ называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определения

Точка $F$ называется фокусом конического сечения.

Прямая $L$ называется директрисой.

Коническое сечение в полярных координатах

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

,

где $e$ — эксцентриситет, а $\ell$ — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).

Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл.

Свойства

Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, составляющие одну поверхность третьего порядка (являясь её горизонтальными сечениями). Её верхняя часть («гиперболическая») «связана» с нижней частью («эллиптической») параболой с уравнением

z=1-x^{2}

, получающейся при сечении плоскостью y=0

В зависимости от эксцентриситета, получится:
- при $e>1$ — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
- при $e=1$ — парабола;
- при $0\leq e<1$ — эллипс;
- для окружности полагают $e=0$ .

Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году^[1]) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра^[2].
Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой ( $b$ ) и большой ( $a$ ) полуосей:

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

.

Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой ( $b$ ) и действительной ( $a$ ) полуосей:

e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением $f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0$ , равен ${\sqrt {2}}$ .

Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- ( $r_{\mathrm {per} }$ ) и апоцентров ( $r_{\mathrm {ap} }$ ):

e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}

.

См. также

Примечания

↑ John Bonnycastle. An Introduction to Astronomy. — London, 1787. — С. 90.
↑ The Oxford English Dictionary (англ.). — 2nd ed. — Oxford: Oxford University Press, 1989. — Vol. V. — P. 50.

Литература

Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Ссылки

«Эксцентриситет» — статья в Малой советской энциклопедии; 2 издание; 1937—1947 гг.

[1] John Bonnycastle. An Introduction to Astronomy. — London, 1787. — С. 90.

[2] The Oxford English Dictionary (англ.). — 2nd ed. — Oxford: Oxford University Press, 1989. — Vol. V. — P. 50.

[1]

[2]