H-теорема

В термодинамике и кинетической теории, $H$-теорема, полученная Больцманом в 1872 году, описывает неубывание энтропии идеального газа в необратимых процессах, исходя из уравнения Больцмана.

На первый взгляд может показаться, что она описывает необратимое возрастание энтропии исходя из микроскопических обратимых уравнений динамики. В своё время этот результат вызвал бурные споры.

Формулировка

При временно́й эволюции к равновесному состоянию энтропия внешне замкнутой системы возрастает и остается неизменной при достижении равновесного состояния.

H-теорема

Величина $H$ определяется как интеграл по пространству скоростей:

$H\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\int P(\ln P)\,d^{3}v=\langle \ln P\rangle ,$

где $P(v)$ — вероятность.

Используя уравнение Больцмана, можно показать, что $H$ не может возрастать.

Для системы из $N$ статистически независимых частиц, $H$ соотносится с термодинамической энтропией $S$ посредством:

$S\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}-NkH,$

таким образом, согласно $H$-теореме, $S$ не может убывать.

Однако Лошмидт выдвинул возражение, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричных во времени уравнений динамики. Решение парадокса Лошмидта заключается в том, что уравнение Больцмана основано на предположении «молекулярного хаоса», то есть для описания системы достаточно одночастичной функции распределения. Это допущение по сути и нарушает симметрию во времени.

Формулировка

${\frac {\partial H}{\partial t}}+{\frac {\partial H_{i}}{\partial x_{i}}}\leqslant 0$, где $H=\int f\ln f{\frac {dp}{m}}$, $H_{i}=\int {\frac {p_{i}}{m}}f\ln f{\frac {dp}{m}}$, $f$ - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана

${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =Q(f,f).$

Доказательство

Доказательство следует из неравенства Больцмана $\int \ln fQ(f,f){\frac {dp}{m}}\leqslant 0$, где $f$ - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана, $Q(f,f)$ - интеграл столкновений. Для доказательства умножаем обе части уравнения Больцмана на $1+\ln f$ и интегрируем по всем возможным скоростям ${\frac {p}{m}}$. При этом используется, что $d(f\ln f)=(1+\ln f)df$, неравенство Больцмана $\int \ln fQ(f,f){\frac {dp}{m}}\leqslant 0$, $1$ - инвариант столкновений, обращение $f$ в нуль при стремлении скорости к бесконечности.

См. также

• Негэнтропия
• Уравнение Больцмана
• Неравенство Больцмана
• S-теорема Климонтовича

Литература

• Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.
• Климонтович Ю. Л. Введение в физику открытых систем. — М.: Янус-К, 2002. — 284 с. — ISBN 5-8037-0101-7.