Izvod

Grafik funkcije, nacrtan crnom, i tangentna linija te funkcije, nacrtana crvenom. Nagib tangente prema x-osi je jednak izvodu funkcije u označenoj tački.

U matematičkoj analizi, grani matematike, izvod je mera kako (koliko brzo) funkcija menja svoje vrednosti kada joj se ulazne vrednosti menjaju. Izvod krive u nekoj tački predstavlja koeficijent pravca tangente date krive u toj tački.

Izvod funkcije f(x) u tački a se definiše kao:

$f'(x)|_{x=a}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}$

ukoliko limes postoji. Inače, izvod možemo shvatiti i kao linearni operator.

Postupak pronalaženja izvoda funkcije se naziva diferencijacijom. Diferencijacija proces obratan u odnosu na integraljenje.

Korišćenje izvoda za crtanje grafika funkcija

U svakoj tački, izvod je nagib tangente na krivu. Crvena prava je uvek tangenta plave krive; njen nagib je izvod.

Izvodi su koristan alat za ispitivanje grafika funkcija. Sve tačke unutar domena realnih funkcija koje predstavljaju lokalne ekstremume imaju za prvi izvod nulu. Međutim, nisu sve kritične tačke lokalni ekstremumi; na primer f (x) = x³ ima kritičnu tačku u x = 0, ali nema ni lokalni maksimum, ni lokalni minimum u ovoj tački.

Drugi izvod funkcije se može koristiti za ispitivanje konveksnosti funkcije. Prevojne tačke (tačke u kojima funkcija prelazi iz konveksnog u konkavni oblik) imaju za drugi izvod nulu.

Geometrijska interpretacija izvoda

Ako je funkcija f diferencijabilna u tački x₀, onda će koeficijent pravca tangente krive y = f (x) u tački T ( x₀, f (x₀) ), biti jednaka tg α = f ' (x₀), gde je α ugao koji tangenta zaklapa sa pozitivnim delom x-ose, a jednačina iste tangente će glasiti:

y - y₀ = f ' (x₀) · ( x − x₀ ),

gde je y₀ = f (x₀).

Jednačina normale u datoj tački T će biti:

x −x₀ = −1/f ' (x₀) · ( y−y₀ )

Drugi izvod i izvodi višeg reda

Drugi izvod se definiše kao izvod prvog izvoda:

$f''(x)|_{x=a}=(f'(x)|_{x=a})'\,$

Slično važi i za svaki sledeći izvod:

$f'''(x)|_{x=a}=(f''(x)|_{x=a})'\,$

$f^{(n)}(x)|_{x=a}=(f^{(n-1)}(x)|_{x=a})'\,$

Povezano

• Tablica izvoda
• Izvod složene funkcije

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.