Buraliho-Fortiho paradox

Buraliho-Fortiho paradox je poznatok publikovaný roku 1897, ktorý spolu s ďalšími výsledkami podobného typu (označovanými ako paradoxy alebo antinómia) viedol ku kríze klasickej naivnej teórie množín a ich následnému nahradeniu axiomatickým systémom. Buraliho-Fortiho paradox sa týka ordinálnych čísel.

Podstata paradoxu

Podľa definície je ordinálne číslo každá množina, ktorá je ostro dobre usporiadaná relácia "bytie prvkom" a navyše každý jej prvok je zároveň jej podmnožinou.
Uvažujme teraz na chvíľku o množine $\mathbb {O} n\,\!$, ktorá obsahuje všetky ordinálne čísla. Taká množina je určite ostro dobre usporiadaná relácia $\in$ a navyše každý svoj prvok – ordinálne číslo – obsahuje určite aj ako podmnožinu. To samozrejme znamená, že $\mathbb {O} n\,\!$ je sama tiež ordinálne číslo, ktoré je väčšie ako všetky ordinálne čísla a teda i ako ona sama. To je ale samozrejme nezmysel.

Riešenie paradoxu

V dobe publikovania bol Buraliho-Fortiho výsledok často zľahčovaný s tým, že ide o „príliš veľkú“ množinu – na „rozumných“ množinách k niečomu podobnému dochádzať nemôže. Preto sa takisto vžilo označenie paradox, napriek tomu že, v skutočnosti išlo o spor v klasickej definícii množiny ako „súboru objektov (prvkov) vymedzených pomocou operácie nájdenie“.

Až neskôr, spoločne s ďalšími „paradoxmi“, z ktorých ako najdôležitejší sa ukázal Russellov paradox, viedol tento výsledok ku kompletnému prepracovaniu základov teórie množín na axiomatickom základe – pozri Zermelova-Fraenkelova teória množín.

V axiomatickej teórii množín sa mi už žiadnym spôsobom nepodarí skonštruovať vyššie uvedenú množinu $\mathbb {O} n\,\!$ – Buraliho-Fortiho výsledok je vlastne dôkazom toho, že $\mathbb {O} n\,\!$ nie je množina, ale vlastná trieda.

Pozri aj

• Teória množín
• Ordinálne číslo
• Russellov paradox
• Cantorov paradox