Bernoulliho rovnica

Obr. 1.a Prúdová trubica s naznačenými prúdnicami

Obr. 1.b Pohyb tekutiny v prúdovej trubici

Bernoulliho rovnica je dôležitý vzťah používaný v hydrodynamike, ktorý je matematickým vyjadrením zákona zachovania energie v ustálenom toku kvapaliny alebo plynu. Zákon odvodil švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli.

Odvodenie

Jedno z možných odvodení Bernoulliho rovnice vychádza zo zákona zachovania energie v kvapaline. Pri odvádzaní sa využíva predpoklad ustálenosti prúdenia, t. j. že na žiadnom mieste tekutiny sa rýchlosť nemení s časom.

Predstavme si zväzok blízkych prúdnic, ktoré formujú prúdovú trubicu ako na obr. 1a. Keďže steny trubice sú tvorené prúdnicami, nevyteká nimi žiadna tekutina. Označme plochu prierezu na vtoku do trubice $S_{1}$, rýchlosť tekutiny v tomto bode označme $v_{1}$. Obdobne označme plochu prierezu a rýchlosť tekutiny na výtoku ako $S_{2}$ a $v_{2}$. Keďže prúdenie je ustálené, v trubici sa nemôže hromadiť tekutina. To znamená, že hmotnosť vytečenej a vtečenej tekutiny za jednotku času musí byť rovnaká:

$\Delta M=\rho _{1}S_{1}v_{1}\Delta t=\rho _{2}S_{2}v_{2}\Delta t$

Máme teda rovnosť:

$\rho _{1}S_{1}v_{1}=\rho _{2}S_{2}v_{2}$

Tiež známu ako rovnicu kontinuity.

Teraz vypočítame prácu, ktorú vykonal tlak v tekutine. Práca vykonaná na tekutine, ktorá vteká do $S_{1}$ je $p_{1}S_{1}v_{1}\Delta t$ zatiaľ čo práca odovzdaná na výtoku je $p_{2}S_{2}v_{2}\Delta t$. Výsledná práca vykonaná na tekutine medzi $S_{1}$ a $S_{2}$ je preto:

$p_{1}S_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}S_{2}v_{2}\Delta t$

a musí byť rovná zvýšeniu energie tekutiny hmotnosti $\Delta M$ pri prechode z $S_{1}$ do $S_{2}$. Teda:

$p_{1}S_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}S_{2}v_{2}\Delta t=\Delta M(E_{2}-E_{1})$

pričom $E_{1}$ je energia na jednotku hmotnosti tekutiny na vtoku a $E_{2}$ na výtoku. Energiu na jednotku hmotnosti môžeme zapísať ako:

$E={\frac {1}{2}}v^{2}+\varphi +W$

Kde ${\frac {1}{2}}v^{2}$ je kinetická energia na jednotku hmotnosti, $\varphi$ je potenciálna energia na jednotku hmotnosti a $W$ je člen, ktorý reprezentuje vnútornú energiu jednotky hmotnosti tekutiny. Dosadením vzťahu do predchádzajucej rovnice potom dostávame:

${\frac {p_{1}S_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}S_{2}v_{2}\Delta t}{\Delta M}}={\frac {1}{2}}v_{2}^{2}+\varphi _{2}+W_{2}-{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}-\varphi _{1}-W_{1}$

Keďže však $\Delta M=\rho Sv\Delta t$, tak dostaneme výraz:

${\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}+{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}+\varphi _{1}+W_{1}={\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{2}}v_{2}^{2}+\varphi _{2}+W_{2}$

známy tiež ako Bernoulliho rovnica.

Bernoulliho rovnica pre ideálnu kvapalinu

Ideálna kvapalina je nestlačiteľná a neviskózna, preto je vnútorná energia na oboch stranách rovnice rovnaká a možno ju od oboch strán odčítať. Rovnako je rovnaká hustota, ktorá sa z premenej stane konštantou. Po úprave:

${\frac {p_{1}}{\rho }}+{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}+\varphi _{1}={\frac {p_{2}}{\rho }}+{\frac {1}{2}}v_{2}^{2}+\varphi _{2}$

Vymedzenie platnosti

Vyššie uvedená rovnica platí len pre nasledovné prípady:

1. stále sa uvažuje ustálené prúdenie tekutiny
2. ide o niektorú z nasledovných geometrických podmienok:
   • nevírivé prúdenie kvapaliny – v tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet všetkých členov jednej strany je konštantný v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdiacej tekutiny.
   • vírivé prúdenie po prúdnici – rovnica platí len pre jednotlivú prúdnicu, súčet členov pre rôzne prúdnice nie je rovnaký.
   • vírivé prúdenie po vírovej čiare – rovnica platí len pre jednotlivú vírovú čiaru, súčet členov pre rôzne vírové čiary nie je rovnaký.
   • skrutkový pohyb kvapaliny – je to pohyb pri ktorom je každá prúdnica totožná s nejakou vírovou čiarou. častice kvapaliny teda prúdia po prúdnici a pritom sa okolo nej otáčajú. V tomto prípade je rovnica platná pre celý rozsah prúdu, pretože súčet členov v ľubovoľnom bode celého priestoru prúdu je konštantný.

Prúdenie v gravitačnom poli

Pre špecifický (a prakticky najužitočnejší) prípad prúdenia v gravitačnom poli zeme sa člen potenciálnej energie na jednotku hmotnosti môže nahradiť vzťahom $\varphi =gh\$ Potom je platí:

${\frac {p_{1}}{\rho }}+{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}+gh_{1}={\frac {p_{2}}{\rho }}+{\frac {1}{2}}v_{2}^{2}+gh_{2}$

Táto, ako aj všetky vyššie uvedené rovnice sú vo forme špecifických energií. Každý člen, ako aj súčet má rozmer J.kg⁻¹.

Iné formy rovnice

Pre praktické účely sa využívajú aj iné formy vyjadrenia Bernoulliho rovnice: Po vydelení základnej formy gravitačným zrýchlením je rovnica v tvare výšok s rozmerom každého člena v m:

${\frac {p_{1}}{\rho g}}+{\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+h_{1}={\frac {p_{2}}{\rho g}}+{\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+h_{2}$

kde jednotlivé členy v uvedenom poradí sa nazývajú:

• tlaková výška
• rýchlostná výška
• výška (polohová výška)

Po vynásobení základnej formy hustotou je rovnica v tvare tlakov s rozmerom každého člena v Pa:

$p_{1}+{\frac {v_{1}^{2}\rho }{2}}+\rho gh_{1}=p_{2}+{\frac {v_{2}^{2}\rho }{2}}+\rho gh_{2}$

kde jednotlivé čeny v uvedenom poradí sa nazývajú:

• tlak
• dynamický tlak
• hydrostatický tlak

Zjednodušená Bernoulliho rovnica

Ak kvapalina neprekonáva žiaden potenciálový rozdiel, rovnica sa zjednoduší do známejšieho tvaru:

$p_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}$

Ktorý hovorí, že súčet hustoty kinetickej energie kvapaliny a jej tlaku je v každom bode prúdnice rovnaký.

• ρ – hustota kvapaliny
• p – tlak v kvapaline
• v – rýchlosť prúdenia kvapaliny

Z tejto rovnice vyplýva, že čím je rýchlosť prúdenia kvapaliny vyššia, tým je tlak v nej nižší (Venturiho efekt).

Názvoslovie členov v Bernoulliho rovnici

V zjednodušenej Bernoulliho rovnici:

$p_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}$

Vyjadruje prvý člen prácu vykonanú na kvapaline a druhý člen jej kinetickú energiu. Z tohto dôvodu sa občas prvý člen zvykne nazývať hustotou tlakovej práce, často sa však stretneme aj s pojmom hustota tlakovej energie. Je dôležité upozorniť, že nejde o energiu v pravom slova zmysle, ale člen svoj názov pravdepodobne dostal preto, že má rozmer hustoty energie. Niektorí autori preto odporúčajú vyvarovať sa používaniu mätúceho, ale zaužívaneho, pojmu hustota tlakovej energie a hovoriť miesto toho o hustote tlakovej práce

Zdroje

• Feynmanove prednášky z Fyziky, druhý diel (ISBN 80-7200-420-4)