Binomické rozdelenie

Binomické rozdelenie (iné názvy: binomické pravdepodobnostné rozdelenie, binomické rozdelenie pravdepodobnosti, Bernoulliho rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Opisuje počet výskytu určitej náhodnej udalosti v $n$ nezávislých pokusoch, pričom daný jav má stále rovnakú pravdepodobnosť $p$ (vyskytuje sa stále s rovnakou pravdepodobnosťou). V špeciálnom prípade, ak položíme $n=1$ , tak dostaneme alternatívne rozdelenie.

Definícia

Diskrétna náhodná premenná $X$ má binomické rozdelenie s parametrami $n$ a $p$ , pričom $n\in \mathbb {N}$ a $p\in (0,1)$ , ak nadobúda hodnoty $k=0,1,2,...,n$ s pravdepodobnosťami $p_{0}$ , $p_{1}$ , $p_{2}$ , ..., $p_{n}$ , pričom platí nasledovný vzťah:
$p_{k}=P(X=k)=\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

Označujeme:

$\operatorname {X} \sim Bin(n,p)$
$\operatorname {X} \sim Bi(n,p)$

Základné charakteristiky rozdelenia

Stredná hodnota:

\operatorname {E} (X)=np

Rozptyl:

\operatorname {D} (X)=np(1-p)

Koeficient šikmosti:

\gamma _{1}={\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}

Koeficient špicatosti:

\gamma _{2}={\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}

Momentová vytvárajúca funkcia:

m(t)={\left[p\mathrm {e} ^{t}+(1-p)\right]}^{n}

Iné projekty

Commons ponúka multimediálne súbory na tému Binomické rozdelenie

Zdroj

LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory, s. 344.
PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. (Ekonómia.) ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenie v poisťovníctve, s. 261.