Rad (matematika)

V matematike je (nekonečný) rad postupnosť, ktorej n-tý člen predstavuje súčet prvých n členov danej postupnosti $a_{n}$. Tento súčet sa označuje ako čiastočný (parciálny) súčet postupnosti $a_{n}$.

Ak sú členy daného (nekonečného) radu čísla, potom sa takýto rad nazýva číselným radom (alebo taktiež rad s konštantnými členmi). Ak n-tý prvok radu závisí nielen na svojom poradovom čísle $n$, ale tiež na ďalších parametroch, potom takýto (nekonečný) rad označujeme ako funkčný prípadne tiež funkcionálny rad. Funkčný rad získame z postupnosti funkcií $f_{n}(x)$.

Neformálne sa ako (nekonečný) rad často označuje nekonečný súčet postupnosti $a_{n}$, ktorý sa symbolicky zapisuje ako:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

V prípade postupnosti funkcií nahradzujeme $a_{n}$ symbolom $f_{n}(x)$.

Súčet radu (definícia ad a)

Pre postupnosť $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ definujeme tzv. k-tý čiastočný súčet ako $s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}$, teda (konečný) súčet prvých k prvkov postupnosti. Pomocou neho je definovaný súčet nekonečného radu ako $\lim _{n\to \infty }s_{n}$, čiže limita postupnosti čiastočných súčtov.

Podľa (ne-)existencie tejto limity sa rady delia na:

• konvergentné - u nich limita existuje a rovná sa nejakému konečnému číslu, napríklad $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$
• divergentné - limita neexistuje (napr. $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$ - postupnosť čiastočných súčtov je oscilujúca) alebo sa rovná $\pm \infty \;$, napr. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty$

Niektoré významné rady

• geometrický rad je taký rad, v ktorom je každý nasledujúci prvok konštantným násobkom predchádzajúceho prvku. Napríklad

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}.$

Všeobecne sa dá povedať, že geometrický rad $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$ konverguje práve vtedy, ak je |z| < 1.

• harmonický rad je rad tvaru

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$