August Ferdinand Möbius

August Ferdinand Möbius
Rojstvo	17. november 1790({{padleft:1790|4|0}}-{{padleft:11|2|0}}-{{padleft:17|2|0}})[…] Schulpforte, Saška, Sveto rimsko cesarstvo
Smrt	26. september 1868({{padleft:1868|4|0}}-{{padleft:9|2|0}}-{{padleft:26|2|0}}) (77 let) Leipzig, Kraljevina Saška, Nemška zveza

August Ferdinand P. J. Möbius, nemški matematik in astronom, * 17. november 1790, Schulpforta, Saška, Nemčija, † 26. september 1868, Leipzig, Nemčija.

Življenje in delo

Möbius je študiral na univerzah v Leipzigu, v Göttingenu in Halleju. Najprej je hotel študirati pravo, potem pa se je pod Gaussovim vplivom le odločil za matematiko in astronomijo. Doktoriral je leta 1815 na Univerzi v Leipzigu pod Pfaffovim mentorstvom.

Leta 1816 je postal vseučiliščni profesor v Leipzigu. Bil je več kot petdeset let opazovalec in pozneje od leta 1844 tudi dolgoletni predstojnik tamkajšnjega observatorija. Bil je vsestranski znanstvenik.

Najbolj znan je po delu v matematiki. V svojem glavnem delu Težiščni račun (Der barycentrische Calcül), (1827) je z velikim uspehom uvedel nov način analitične obdelave problemov v projektivni geometriji s pomočjo težišča v geometrijske namene in v njem prvi vpeljal homogene koordinate. Če so mase $m_{1}\,$, $m_{2}\,$, $m_{3}\,$ postavljene v vrhovih danega trikotnika, je dal težišču teh mas koordinate $m_{1}:\,m_{2}:\,m_{3}\,$ in pokazal kako primerne so te koordinate za opisovanje projektivnih in afinih značilnosti ravnine. Od tedaj so homogene koordinate postale splošno sprejeto orodje za algebrsko obravnavanje projektivne geometrije. Ukvarjal se je z ravnimi površinami in podal novo opredelitev krivulj in površin. Delal je v mirni osamljenosti in prišel še do drugih zanimivih odkritij, kot je na primer ničelni sistem v teoriji premičnih kongruenc, ki ga je vpeljal v svojem učbeniku o statiki (1837).

Najbolj znan je po odkritju prve enostranske in neusmerjene ploskve z robom, Möbiusovega traku, s čimer je bil eden od utemeljiteljev sodobne topologije. Neodvisno od njega je to ploskev istega leta 1858 proučeval tudi nemški matematik Johann Benedict Listing.

Ukvarjal se je tudi s teorijo števil, kjer je znana njegova Möbiusova funkcija, ki se uporablja tudi v kombinatoriki in je določena kot:

$\mu (n)={\begin{cases}1;&n=1\\(-1)^{k};&n=\prod p^{k}\\0;&p^{2}\vert n\end{cases}}\!\,.$

Zgoraj je $p\,$ praštevilo, pri $\mu (n)=0\,$, je $n\,$ deljiv s kvadratom. V teoriji števil je pomembna tudi vsota, ki se imenuje tudi Mertensova funkcija:

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\!\,.$

Ta funkcija je v tesni zvezi z lego ničel Euler-Riemannove funkcije ζ(·). Zvezo med obnašanjem funkcije $M(n)\,$ in Riemannovo domnevo je poznal že Stieltjes.

Möbius se je ukvarjal tudi s teorijo grafov, kjer so znani njegovi grafi imenovani Möbiusove lestve ali lestvice $M_{n}\,$, ki se jih dobi iz cikla $C_{2n}\,$ tako, da se poveže vsak par diagonalno nasprotnih točk.

V kompleksni analizi so znane njegove Möbiusove transformacije, ki so ulomljene linearne funkcije:

$l:{\overline {\mathbb {C} }}\longrightarrow {\overline {\mathbb {C} }}\qquad l:z\longmapsto {az+b \over cz+d}\!\,,$

ki zadoščajo omejitvi:

$ad-bc\neq 0\!\,.$

Möbiusova transformacija, ki ni enakost, ima kvečjemu dve negibni točki, Möbiusova transformacija, ki ohranja tri točke, pa je enakost. Transformacija je natanko določena z matriko koeficientov. Zaradi omejitve je matrika obrnljiva, v njej se lahko vidi element splošne linearne grupe $GL(2,\mathbb {C} )$. Möbiusova transformacija s superpozicijo kot produktom je grupa.

Priznanja

Poimenovanja

Po njem se imenuje udarni krater Möbius na Luni in asteroid glavnega pasu 28516 Möbius.

Glej tudi

• Möbiusova grupa
• Möbiusova inverzna formula

Zunanje povezave

• Stran o Augustu Ferdinandu Möbiusu Univerze svetega Andreja (angleško)
• August Ferdinand Möbius na Projektu Matematična genealogija (angleško)