Harmonična funkcija

Harmonična funkcija $f$ je funkcija, za katero velja, Laplaceova diferencialna enačba $\Delta f=0$. S pomočjo operatorja nabla Laplaceovo diferencialno enačbo zapišemo kot $\Delta f=\nabla \nabla f=0$.

Kompleksni prostor: Če kompleksno spremenljivko z zapišemo v obliki $z=x+i*y$, lahko funkcijo kompleksne spremenljivke $f(z)$ zapišemo s pomočjo realnega in imaginarnega dela: $f=u(x,y)+i*v(x,y)$, pri čemer sta $u$ in $v$ realni funkciji dveh spremenljivk. Če je funkcija $f$ analitična (odvedljiva v $z_{0}$ in neki okolici $\delta$), zanjo veljata Cauchy-Riemannovi diferencialni enačbi ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ in ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$.

Če parcialno odvajamo prvo enakost po $x$, drugo pa po $y$ in seštejemo, dobimo:

$\Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

Če parcialno odvajamo prvo enačbo po y, drugo pa po x in odštejemo, dobimo:

$\Delta v={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0$

To pomeni, da za analitično funkcijo kompleksne spremenljivke velja, da sta njen realni in imaginarni del harmonični funkciji. Imenujemo ju konjugiran par harmoničnih funkcij.