Sferoid

sploščeni sferoid	podolgovati sferoid

Nastanek sploščenega sfreroida. Elipsa se vrti okrog krajše osi.

Sferoid je ploskev drugega reda, ki se jo dobi z vrtenjem elipse okrog ene izmed njenih glavnih (velika in mala os) osi. Pri takem vrtenju elipse lahko nastanejo tri različne površine:

• podolgovati sferoid, če se vrti elipso okrog njene daljše osi
• sploščeni sferoid, če se vrti elipso okrog njene krajše osi
• sfera, če se vrti namesto elipse krožnico (elipsa z enakima osema)

Sferoid se lahko definira tudi kot posebno obliko elipsoida, ki ima dve ekvatorialni polosi enaki (lahko tudi vse tri). Splošna oblika enačbe elipsoida v kartezičnem koordinatnem sistemu je:

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\!\,.$

Sferoid se dobi, če sta dve ekvatorialni osi enaki: na primer a_x = a_y = a. Takšen elipsoid je potem določen z enačbo:

${\frac {x^{2}}{{a_{x}}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{{a_{y}}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}={\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\!\,.$

Kadar so enake vse tri osi, se dobi sfero.

Zaradi nedosledneosti pri izražanju se izraz sferoid uporablja tudi za geometrijsko telo, ki ga omejuje zgoraj opisana ploskev. To telo je množica točk, za katere velja:

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}\leqslant 1\!\,.$

Površina

Za sploščeni sferoid se površino izračuna na naslednji način:

$P=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)\right)\!\,$

ali:

$P=\pi \left(2a^{2}+{\frac {b^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\right)\!\,.$

Za podolgovati sferoid se površino izračuna po obrazcu :

$P=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}\arcsin \left({\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{b}}\right)\right)\!\,$

ali:

$P=2\pi b(b+a{\frac {\arcsin e}{e}})\!\,,$

kjer je e numerična izsrednost elipse:

$e={\sqrt {1-(b^{2}/a^{2})}}\!\,.$

Prostornina

Prostornina sploščenega sferoida (telesa) je:

$V={\frac {4}{3}}\pi a^{2}b\!\,.$

Prostornina podolgovatega sferoida je:

$V={\frac {4}{3}}\pi ab^{2}\!\,.$

Prehod na prostornino krogle je zelo enostaven (a = b):

$V={\frac {4}{3}}\pi a^{3}\!\,.$

Glej tudi

• krogla
• sfera

Zunanje povezave

• Izračun površine sferoida s tremi različnimi osmi (rusko)