Еуклидова геометрија

Детаљ из Рафаелове Атинске школе са грчким математичарем – који можда представља Еуклида или Архимеда – користећи шестар за цртање геометријске конструкције.

Еуклидова геометрија је геометрија изграђена на аксиомама апсолутне геометрије и Еуклидовом аксиому („петом постулату“) о паралелним правама: кроз тачку А која не лежи на правој а, у равни која је одређена тачком А и правом а, може се повући само једна права која не сече праву а. Иако су многи Еуклидови резултати већ раније били наведени, Еуклид је био први који је организовао ове тврдње у логички систем у коме се сваки резултат доказује из аксиома и претходно доказаних теорема.

Еуклидову геометрију често називају елементарна геометрија. Геометрију која се изучава у средњој школи такође називају Еуклидова геометрија и то је у вези с чињеницом да је њену прву систематску изградњу изложио старогрчки геометар Еуклид у 3. веку п. н. е. у својој књизи Елементи (в. Еуклидови Елементи). Елементи почињу геометријом равни, која се још увек учи у средњој школи као први аксиоматски систем и први примери математичких доказа. Затим се прелази на чврсту геометрију три димензије. Велики део Елемента наводи резултате онога што се данас назива алгебра и теорија бројева, објашњене геометријским језиком.

Прва геометрија различита од Еуклидове геометрије била је геометрија Лобачевског, коју је изградио велики руски математичар Лобачевски. Више од две хиљаде година, придев „еуклидски“ је био непотребан, јер су Еуклидови аксиоми изгледали толико интуитивно очигледни (са могућим изузетком паралелног постулата) да су се теореме доказане из њих сматрале апсолутно тачним, и стога ниједна друга врста геометрије није била могућа. Данас су, међутим, познате многе друге самодоследне нееуклидске геометрије, од којих су прве откривене почетком 19. века. Импликација опште теорије релативности Алберта Ајнштајна је да сам физички простор није еуклидски, а еуклидски простор је добра апроксимација за њега само на малим удаљеностима (у односу на јачину гравитационог поља).

Површина сфере

Површина сфере је другачија репрезентација нееуклидске геометрије. Ако највеће кругове сфере сматрамо правама њихова геометрија ће задовољавати све аксиоме како Еуклидове, тако и геометрије Лобачевског осим аксиоме паралелности. Велики кругови сфере се увек секу.

Елиптички аксиом

Елиптички аксиом: Кроз тачку која не лежи на датој правој не пролазе ниједна права која с датом правом лежи у истој равни и не сече ову праву.

• Последица 1: Три тачке које леже на правама, великим круговима сфере, формирају троугао чији је збир углова већи од 180°.
• Последица 2: Повећањем троугла расте његов збир унутрашњих углова.
• Последица 3: Однос обима и пречника круга мањи је од π.

Геометрије без аксиоме паралелности назива се Риманова геометрија, или Апсолутна геометрија.

Логичка основа

Класична логика

Еуклид је често користио метод доказивања противречношћу, те стога традиционално представљање Еуклидове геометрије претпоставља класичну логику, у којој је сваки исказ било тачан или нетачан, тј. за било који предлог П, предлог „П или не П” аутоматски је тачно.

Савремени стандарди ригорозности

Постављање еуклидске геометрије на чврсту аксиоматску основу била је преокупација математичара вековима. Улогу примитивних појмова, или недефинисаних концепата, јасно је изнео Алесандро Падоа из Пеанове делегације на конференцији у Паризу 1900. године:

... кад почнемо да формулишемо теорију, можемо да замислимо да су недефинисани симболи потпуно лишени значења и да су недоказани предлози једноставно услови наметнути недефинисаним симболима.

Тада је систем идеја који смо у почетку изабрали једноставно једно тумачење недефинисаних симбола; али..ово тумачење читатељ може занемарити и слободно га у свом уму заменити другим тумачењем .. које задовољава услове ...

Логична питања тако постају потпуно независна од емпиријских или психолошких питања ...

Тада се систем недефинисаних симбола може сматрати апстракцијом добијеном из специјализованих теорија које настају када ... систем недефинисаних симбола сукцесивно замењује свака од интерпретација ...

— Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive quelconque

Односно, математика је знање neзависно од контекста у хијерархијском оквиру. Као што је рекао Бертранд Расел:

Ако се наша хипотеза односи на било шта, а не на неку једну или више одређених ствари, онда наша закључивања чине математику. Дакле, математика се може дефинисати као предмет у којем никада не знамо о чему говоримо, нити да ли је истина оно што говоримо.

— Bertrand Russell, Mathematics and the metaphysicians

Такви се темељни приступи крећу између фундаментализма и формализма.

Види још

• Нееуклидска геометрија

Литература

• Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] изд.). New York: Dover Publications. стр. 50-62. ISBN 978-0-486-20630-1. 
• Nagel, E.; Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press. 
• Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley. 
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] изд.). New York: Dover Publications.  In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W.H. Freeman. 
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press. ISBN 978-0-684-86523-2. 
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. University of California Press. 
• Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics. Saunders. стр. 141. ISBN 978-0-03-029558-4. 
• Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. стр. xiv. ISBN 978-0-8160-4953-0. 
• Turner, Martin J.; Blackledge, Jonathan M.; Andrews, Patrick R. (1998). Fractal Geometry in Digital Imaging. Academic Press. стр. 1. ISBN 978-0-12-703970-1. 
• Boyer, C. B. (1991). A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach изд.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator and editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
• Kappraff, Jay (2014). A Participatory Approach to Modern Geometry. World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4556-70-5. doi:10.1142/8952. .
• Leonard Mlodinow, Euclid's Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK edn. Allen Lane, 1992.
• Staal, Frits (1999), „Greek and Vedic Geometry”, Journal of Indian Philosophy, 27 (1–2): 105—127, doi:10.1023/A:1004364417713 
• Bonola, R. (1912). Non-Euclidean geometry: A critical and historical study of its development. Chicago: Open Court. 
• Greenberg, Marvin Jay (2003). Euclidean and non-Euclidean geometries: development and history (3rd изд.). New York: Freeman. стр. 177. ISBN 0716724464. 
• A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, Notes on hyperbolic geometry. European Mathematical Society. 2012. стр. 1—182. ISBN 978-3-03719-105-7. , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages,
• Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry. University of Toronto Press. 1961. , Toronto
• Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co. 
• Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob (2003). Asmus L. Schmidt, ур. Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co. 
• Lobachevsky, Nikolai I., Lobachevskiĭ, Nikolaĭ Ivanovich (2010). Pangeometry. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-087-6. , Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, /hbk
• Milnor, John W., (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years. Bulletin of the American Mathematical Society. 6 (1): 9—24. N.S.  .
• Reynolds, William F. (1993). „Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid”. American Mathematical Monthly. 100 (5): 442—455. doi:10.1080/00029890.1993.11990430. .
• Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697. 
• Samuels, David,. „Knit Theory”. Discover Magazine. 27 (3). март 2006. CS1 одржавање: Формат датума (веза).
• James W. Anderson (23. 8. 2005). Hyperbolic Geometry. Springer. ISBN 1-85233-934-9. CS1 одржавање: Формат датума (веза), Springer (2005)
• James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry Архивирано на сајту Wayback Machine (6. јул 2010), MSRI Publications, volume 31.

• Alexanderson, Gerald L.; Greenwalt, William S. (2012), „About the cover: Billingsley's Euclid in English”, Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 49 (1): 163—167, doi:10.1090/S0273-0979-2011-01365-9  
• Artmann, Benno (1999). Euclid – The Creation of Mathematics. ISBN 0-387-98423-2.  New York, Berlin, Heidelberg: Springer (1999)
• Ball, Walter William Rouse (1915) [1st ed. 1888]. A Short Account of the History of Mathematics (6th изд.). MacMillan. 
• Boyer, Carl B. (1991). „Euclid of Alexandria”. A History of Mathematics (Second изд.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-54397-7. 
• Dodgson, Charles L.; Hagar, Amit (2009). „Introduction”. Euclid and His Modern Rivals. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-00100-7. 
• Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond (2nd изд.). New York, NY: Springer. ISBN 9780387986500. 
• Heath, Thomas L. (1956a). The Thirteen Books of Euclid's Elements. 1. Books I and II (2nd изд.). New York: Dover Publications. OL 22193354M. 
• Heath, Thomas L. (1956b). The Thirteen Books of Euclid's Elements. 2. Books III to IX (2nd изд.). New York: Dover Publications. OL 7650092M. 
• Heath, Thomas L. (1956c). The Thirteen Books of Euclid's Elements. 3. Books X to XIII and Appendix (2nd изд.). New York: Dover Publications. OCLC 929205858. 
• Heath, Thomas L. (1963). A Manual of Greek Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43231-1. 
• Ketcham, Henry (1901). The Life of Abraham Lincoln. New York: Perkins Book Company. 
• Nasir al-Din al-Tusi (1594). Kitāb taḥrīr uṣūl li-Uqlīdus [The Recension of Euclid's "Elements"] (на језику: арапски). 
• Reynolds, Leighton Durham; Wilson, Nigel Guy (9. 5. 1991). Scribes and scholars: a guide to the transmission of Greek and Latin literature (2nd изд.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-872145-1. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Russell, Bertrand (2013). History of Western Philosophy: Collectors Edition. Routledge. ISBN 978-1-135-69284-1. 
• Sarma, K.V. (1997). Selin, Helaine, ур. Encyclopaedia of the history of science, technology, and medicine in non-western cultures. Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9. 
• Servít, František (1907). Eukleidovy Zaklady (Elementa) [Euclid's Elements] (PDF) (на језику: чешки). 
• Sertöz, Ali Sinan (2019). Öklidin Elemanlari: Ciltli [Euclid's Elements] (на језику: турски). Tübitak. ISBN 978-605-312-329-3. 
• Toussaint, Godfried (1993). „A new look at euclid's second proposition”. The Mathematical Intelligencer. 15 (3): 12—24. ISSN 0343-6993. S2CID 26811463. doi:10.1007/BF03024252. 
• Waerden, Bartel Leendert (1975). Science awakening. Noordhoff International. ISBN 978-90-01-93102-5. 
• Wilson, Nigel Guy (2006). Encyclopedia of Ancient Greece. Routledge. 
• Euklid (1999). Elementi I-VI. Превод: Hudoletnjak Grgić, Maja. KruZak. ISBN 953-96477-6-2. 

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Euclidean geometry”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Kiran Kedlaya, Geometry Unbound Архивирано на сајту Wayback Machine (26. октобар 2011) (a treatment using analytic geometry; PDF format, GFDL licensed)