Lambertserie

En Lambertserie, uppkallat Johann Heinrich Lambert, är en serie av formen

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.$

Den kan skrivas som serien

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}$

där koefficienterna är Dirichletfaltningen av a_n med konstanta funktionen 1(n) = 1:

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\$

Exempel

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

och mer allmänt

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}$

där $\alpha$ är ett godtyckligt komplext tal och

$\sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,$

är sigmafunktionen.

Andra Lambertserier som innehåller aritmetiska funktioner är:

Möbiusfunktionen $\mu (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.$

Eulers fi-funktion $\phi (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.$

Liouvilles lambda-funktion $\lambda (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}.$

Alternativ form

Genom att sätta $q=e^{-z}$ får man en annan form av serien:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}$

där

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,.$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Lambert series, 16 november 2013.