Betingad konvergens

I matematiken sägs en serie $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ vara betingat konvergent om den är konvergent, det vill säga gränsvärdet $\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ existerar, men att serien inte är absolutkonvergent, det vill säga att $\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|$ inte existerar.

Exempel

Serien $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}$ är betingat konvergent.

Mer allmänt säger Leibniz kriterium att om $\,a_{i}$ är en strängt avtagande följd av positiva reella tal, som konvergerar mot noll, så är serien $\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{i}$ konvergent. En sådan serie är emellertid i allmänhet inte absolutkonvergent.

Riemanns omordningssats

En grundläggande sats i matematisk analys säger att gränsvärdet för en absolutkonvergent serie inte ändras om man ändrar ordningen på termerna i serien. För betingat konvergenta serier är situationen den motsatta:

Sats:

Låt $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ vara betingat konvergent, och låt $\,\alpha$ vara ett reellt tal eller $\pm \infty$. Då finns en permutation $\,\sigma$ av de naturliga talen sådan att serien $\sum _{i=0}^{\infty }a_{\sigma i}$ konvergerar mot $\,\alpha$.

En betingat konvergent serie kan alltså genom en omordning av termerna fås att konvergera mot vilket reellt tal som helst och t.o.m. divergera. Beviset för detta går i korthet ut på att delsummorna till en betingat konvergent serie, bestående av enbart positiva respektive negativa termer, går mot $\infty$ respektive $-\infty$. Om man vill få summan att gå mot ett givet tal $\,\alpha$, som vi kan låta vara större än noll, ser man till att först ta med så många positiva termer att summan överskrider $\,\alpha$, därefter så många negativa att summan blir mindre än $\,\alpha$ och så vidare. Eftersom termerna går mot noll kommer summan att gå mot $\,\alpha$. Om man vill att serien ska divergera (mot $\infty$) ser man till att de negativa termerna ligger så pass glest att delsummorna växer utan gräns. Motsvarande resonemang gäller för negativa $\,\alpha$ och $-\infty$.