Hermitesk matris

En hermitesk matris är en matris som är lika med sitt hermiteska konjugat. För matriser med endast reella element är symmetrisk matris och hermitesk matris samma sak.

Namnet kommer av den franske 1800-talsmatematikern Charles Hermite.

Definition

En matris A har egenskapen hermitesk om och endast om A^H = A, där A^H är den matris som fås genom att beräkna As hermiteska konjugat. Det är detsamma som att transponera matrisen och sedan ersätta alla element med sina komplexa konjugat. För varje element i en hermitesk matris gäller:

$a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$

Notera att eftersom diagonalelementen är lika med sina komplexa konjugat är dessa alltid reella.

Hermiteska matriser kan karaktäriseras på olika sätt, följande villkor är var för sig ekvivalenta med att A är en n × n hermitesk matris:

• x^HAx är reell för alla x i Cⁿ.
• A är en normal matris och alla A:s egenvärden är reella.
• T^HAT är hermitesk för alla komplexa n × n-matriser T.
• Det existerar en unitär matris U och en reell diagonalmatris D så att A = UDU^H.

Exempel

$A={\begin{pmatrix}3&i&1-i\\-i&5&2+i\\1+i&2-i&1\end{pmatrix}}$

$A$ är hermitesk, ty:

$A^{H}={\begin{pmatrix}3&i&1-i\\-i&5&2+i\\1+i&2-i&1\end{pmatrix}}=A$

Reella egenvärden

En hermitesk matris har endast reella egenvärden.

Bevis

Låt A vara en hermitesk matris med icke-trivial egenvektor x och tillhörande egenvärde $\lambda$, alltså $Ax=\lambda x$.

Då A är hermitesk, dvs $A^{H}=A$, får vi:

$\lambda \|x\|^{2}=\lambda x^{H}x=x^{H}(\lambda x)=x^{H}Ax=x^{H}A^{H}x=(Ax)^{H}x=(\lambda x)^{H}x=\lambda ^{H}x^{H}x=\lambda ^{H}\|x\|^{2}={\bar {\lambda }}\|x\|^{2}\Rightarrow$

$(\lambda -{\bar {\lambda }}$)$\|x\|^{2}=0$

$x\neq 0\Rightarrow \|x\|^{2}\neq 0\Rightarrow \lambda -{\bar {\lambda }}=0\Rightarrow$

$\lambda ={\bar {\lambda }}$

det vill säga att $\lambda$ är reellt.

Referenser

• Horn, Roger; Charles Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6