Kontinuitetsekvationen

Kontinuitetsekvationen är en ekvation baserad på Reynolds transportteorem (RTT). Kontinuitetsekvationen är ett uttryck för villkoret att massa varken skapas eller försvinner vid ett strömningsförlopp.

Grundform

Den extensiva storheten B gäller då massa varför den intensiva storheten β blir 1 eftersom:

$\beta ={dm \over dm}=1$

RTT blir då:

${d\mathbf {m} _{syst} \over dt}={d \over dt}{\Big (}\int _{kv}\rho dV{\Big )}+\int _{ky}\rho {\Big (}\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} {\Big )}dA$ ,

där kv står för kontrollvolym, ky för kontrollyta, ρ för densiteten, A för area, V för hastighet. $\mathbf {V} _{r}$ är en relativ hastighetsvektor medan $\mathbf {n}$ är en enhetsvektor som är negativ för inflöde och positiv för utflöde. Dock är ${d\mathbf {m} _{syst} \over dt}$ lika med noll för en kontrollvolym.

Kontinuitetsekvationen är:

${d \over dt}{\Big (}\int _{kv}\rho dV{\Big )}+\int _{ky}\rho {\Big (}\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} {\Big )}dA=0$

Kontinuitetsekvationen förenklas beroende på situation.

Fix kontrollvolym

$\mathbf {V} _{r}=\mathbf {V}$ och ${d \over dt}\int =\int {\delta \over \delta t}$ , dvs.

$\int _{kv}{\delta \rho \over \delta t}dV+\int _{ky}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA=0$

Endimensionell, stationär strömning i fix kontrollvolym

Vid stationär strömning är ${\delta \rho \over \delta t}\equiv 0$

Vid endimensionell, stationär strömning i en fix kontrollvolym gäller då:

$\sum {\Big (}\rho VA{\Big )}_{ut}=\sum {\Big (}\rho VA{\Big )}_{in}$ , vilket ger att:

$\sum {\dot {m}}_{ut}=\sum {\dot {m}}_{in}=konstant$

Vid inkompressibelt flöde är densiteten konstant genom hela fluiden. Alltså gäller att ${\delta \rho \over \delta t}\equiv 0$ .

Inkompressibelt flöde med fix kontrollvolym

$\int _{ky}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA=0\ <=>\ \int _{ky}{\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA$

Endimensionell, inkompressibel strömning genom kontrollvolym

$\sum {\Big (}VA{\Big )}_{ut}=\sum {\Big (}VA{\Big )}_{in}$ dvs. $\sum Q_{ut}=\sum Q_{in}$ och $\sum {\dot {m}}_{ut}=\sum {\dot {m}}_{in}$

Källor

Pumphandboken

Se även