Nilpotent matris

Inom matematiken är en nilpotent matris en kvadratisk matris $M$ sådan att $M^{k}=0$ för något positivt heltal k.

Exempel

Matrisen

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

är nilpotent eftersom $A^{3}=0$:

$A^{2}=A\times A={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

$A^{3}=A\times A^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

Egenskaper

Låt $M$ vara en $n\times n$ nilpotent matris.

• För det minsta talet $k$ sådant att $M^{k}=0$ gäller att $k\leq n$.

• $M$:s alla egenvärden är noll, för om $\lambda$ är ett egenvärde till $M$:

$M\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$

så gäller att

$M^{2}\mathbf {x} =MM\mathbf {x} =M\lambda \mathbf {x} =\lambda M\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x}$

och i det generella fallet (genom matematisk induktion) att

$M^{k}\mathbf {x} =\lambda ^{k}\mathbf {x}$.

Men, då $M^{k}=0$ är vänsterledet noll, och alltså måste

$\lambda ^{k}=0\Rightarrow \lambda =0$.

Detta innebär att $M$:s determinant och spår är noll, samt att $M$:s sekularpolynom är $\lambda ^{n}$