Riktningsderivata

Inom matematik, särskilt flervariabelanalys, är riktningsderivata ett mått på hur snabbt en funktion förändras i en viss riktning. Givet en reellvärd funktion f, en punkt a och en linje x = a + tv där v är en enhetsvektor, ges riktningsderivatan i riktningen v av

$f'_{v}(\mathbf {a} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )}{t}}$

Med hjälp av gradienten kan riktningsderivatan även uttryckas på den mer praktiska formen

$f'_{v}(\mathbf {a} )=\nabla f(\mathbf {a} )\cdot \mathbf {v}$.

Riktningsderivatan utgör en generalisering till godtyckliga riktningar av den partiella derivatan, som fås då v sätts lika med en basvektor.

Bevis

Vi visar att

$f'_{v}(\mathbf {a} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )}{t}}=\nabla f(\mathbf {a} )\cdot \mathbf {v}$

Sätt $h(t)=f(\mathbf {a} +t\mathbf {v} )$, vi har då

$\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {h(t)-h(0)}{t}}=h'(0)$

Men enligt kedjeregeln är $h'(t)=\nabla f(\mathbf {a} +t\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v}$. Påståendet följer genom att sätta $t=0$.

Se även

• Fréchetderivata
• Gâteauxderivata
• Generalisringar av derivatan
• Liederivata
• Differentialform
• Strukturtensor

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Riktningsderivata.
  Bilder & media