பரப்பளவு

மூன்று வடிவங்களின் சேர்ந்த பரப்பு 15 மற்றும் 16 சதுரங்களுக்கு இடையில் அமைகிறது.

கணிதத்தில் பரப்பளவு அல்லது பரப்பு (Area) என்பது இருபரிமாண மேற்பரப்புகள் அல்லது வடிவங்கள் ஒரு தளத்தில் எவ்வளவு பரவி உள்ளது என்பதைத் தருகின்ற ஓர் அளவை. ஒரு வடிவத்தின் மாதிரியைக் குறிப்பிட்ட அளவில் அமைப்பதற்குத் தேவைப்படும் மூலப்பொருளின் அளவாக அவ்வடிவத்தின் பரப்பைக் கருதலாம். ஒரு-பரிமாணத்தில் ஒரு வளைகோட்டின் நீளம் மற்றும் முப்பரிமாணத்தில் ஒரு திண்மப்பொருளின் கனஅளவு ஆகிய கருத்துருக்களுக்கு ஒத்த கருத்துருவாக இருபரிமாணத்தில் பரப்பளவைக் கொள்ளலாம்.

ஒரு வடிவத்தின் பரப்பளவை நிலைத்த பரப்பளவு கொண்ட சதுரங்களின் பரப்பளவுகளுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் காணலாம். அனைத்துலக முறை அலகுகளில் பரப்பளவின் திட்ட அலகு (SI) சதுர மீட்டர் (மீ²) ஆகும். ஒரு சதுர மீட்டர் என்பது ஒரு மீட்டர் பக்க அளவுள்ள ஒரு சதுரத்தின் பரப்பினைக் குறிக்கிறது. மூன்று சதுர மீட்டர் பரப்பளவு கொண்டதொரு வடிவத்தின் பரப்பளவு, ஒரு மீட்டர் பக்க நீளம் கொண்ட மூன்று சதுரங்களின் பரப்பளவுகளுக்குச் சமம். கணிதத்தில்ஓரலகு சதுரம் என்பது ஓரலகு பரப்பளவு கொண்ட சதுரமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு வடிவத்தின் பரப்பளவும் ஒரு மெய்யெண்ணாகும்.

முக்கோணங்கள், செவ்வகங்கள் மற்றும் வட்டங்கள் போன்ற எளிய வடிவங்களின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடுகள் பல உள்ளன. பலகோணத்தை முக்கோணங்களாகப் பிரித்து, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்தி பலகோணத்தின் பரப்பினைக் காண முடியும். நுண்கணிதம் மூலம், வளைந்த வரம்பு கொண்ட வடிவங்களின் பரப்பு காணலாம். தள வடிவங்களின் பரப்பு காணும் நோக்கம் நுண்கணிதம் வளர வழி வகுத்துள்ளது.

கோளம், கூம்பு, அல்லது உருளை போன்ற திண்மப் பொருள்களின் வரம்பாக அமையும் மேற்தளங்களின் பரப்பளவு அவற்றின் மேற்பரப்பளவென அழைக்கப்படும். பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர்கள் எளிய வடிவங்களின் மேற்பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடுகளைக் கண்டறிந்துள்ளனர். எனினும் சிக்கலான வடிவங்களின் மேற்பரப்பு காண பலமாறி நுண்கணிதம் தேவைப்படுகிறது.

தற்கால கணிதத்தில் பரப்பளவு முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. வடிவவியல் மற்றும் நுண்கணிதம் இரண்டிலும் பரப்பளவின் முக்கியத்துவமுடையதாய் உள்ளது. நேரியல் இயற்கணிதத்தில் அணிக்கோவையின் வரையறை பரப்பளவுவின் தொடர்புடையதாய் அமைகிறது. வகையீட்டு வடிவவியலில் பரப்பளவு ஒரு அடிப்படைப் பண்பாக உள்ளது. பொதுவாக உயர்கணிதத்தில், இருபரிமாணப்பகுதிகளின் கனஅளவின் சிறப்புவகையாகப் பரப்பளவு எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

அலகுகள்

நீளத்தின் ஒவ்வொரு அலகிற்கும் ஒரு பரப்பளவு அலகு உள்ளது. எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட நீளத்தைப் பக்க அளவாகக் கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பாக அந்தப் பரப்பளவு அலகு அமையும். எனவே பரப்பளவின் அலகுகள் சதுர மீட்டர் (மீ²), சதுர செண்டிமீட்டர் (செமீ²), சதுர மில்லிமீட்டர் (மிமீ²), சதுர கிலோமீட்டர் (கிமீ²), சதுர அடி (அடி²), சதுர கெஜம் (கெஜம்²), சதுர மைல் (மைல்²), என்றவாறு அமைகின்றன. நீள அலகுகளின் வர்க்கங்களாகப் பரப்பளவின் அலகுகள் உள்ளன.

பரப்பளவின் திட்ட அலகு (SI unit) சதுர மீட்டராகும்.

அலகு மாற்றம்

ஒரு செண்டிமீட்டரில் 10 மிமீ உள்ளது. ஆனால் 1 செமீ² -ல் 100மிமீ² உள்ளது.

பரப்பளவின் இரு அலகுகளுக்கிடையேயான மாற்றம் அவற்றின் ஒத்த நீள அலகுகளின் மாற்றத்தின் வர்க்கமாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 1 சதுர அடி = 144 (12²) சதுர அங்குலம் (1 அடி = 12 அங்குலம்)
• 1 சதுர கிமீ = 1,000,000 சதுர மீட்டர்
• 1 சதுர மீ = 10,000 சதுர செண்டிமீட்டர் = 1,000,000 சதுர மில்லிமீட்டர்
• 1 சதுர செமீ = 100 சதுர மில்லிமீட்டர்
• 1 சதுர கெஜம் = 9 சதுர அடி
• 1 சதுர மைல் = 3,097,600 சதுர கெஜம் = 27,878,400 சதுர அடி

மேலும்

• 1 சதுர அங்குலம் = 6.4516 சதுர செண்டிமீட்டர்
• 1 சதுர அடி = 0.09290304 சதுர மீட்டர்
• 1 சதுர கெஜம் = 0.83612736 சதுர மீட்டர்
• 1 சதுர மைல் = 2.589988110336 சதுர கிலோமீட்டர்
• 1 ஏக்கர் = 100 செண்ட்
• 1 ஏர் = 2.47 செண்ட்
• 1 குறுக்கம் = 90 செண்ட்

பிற அலகுகள்

மெட்ரிக் முறையில் பரப்பளவின் மூல அலகு ஏர் (are) ஆகும்.

• 1 ஏர் = 100 சதுர மீட்டர்
• 1 ஹெக்டேர் = 100 ஏர் = 10,000 சதுர மீட்டர் = 0.01 சதுர கிலோமீட்டர்

தற்பொழுது ஏர் அதிகமாகப் பயன்பாட்டில் இல்லை என்றாலும் ஹெக்டேர் இன்றும் நிலங்களை அளக்கும்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது.

நிலங்களை அளக்கும்போது பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் அலகு ஏக்கர் ஆகும்.

• 1 ஏக்கர் = 4,840 சதுர கெஜம் = 43,560 சதுர அடி = 4046.8564224 சதுர மீட்டர்
• 1 சதுர மைல் = 640 ஏக்கர் = 2.5899881103 சதுர கிலோ மீட்டர்
• ஒரு ஏக்கர் என்பது தோராயமாக ஒரு ஹெக்டேரில் 40%

அடிப்படைப் பரப்பளவு வாய்ப்பாடுகள்

செவ்வகம்

இச்செவ்வகத்தின் பரப்பு lw.

பரப்பளவு வாய்ப்பாடுகளிலேயே அடிப்படையானது ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடாகும். ஒரு செவ்வகத்தின் நீளம் l மற்றும் அகலம் w, எனில் அச்செவ்வகத்தின் பரப்பளவு வாய்ப்பாடு:

$A=lw\,$  (செவ்வகம்).

இதன் சிறப்பு வகையாகச் சதுரத்தின் பரப்பளவு வாய்ப்பாட்டைக் கொள்ளலாம். செவ்வகம் போல அல்லாது சதுரத்தில் நீளம் மற்றும் அகலம் இரண்டுமே சமமாக அமைவதால் ஒரு சதுரத்தின் பக்க நீளம் s எனில் அதன் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடு:

$A=s^{2}\,$  (சதுரம்).

வெட்டு வாய்ப்பாடு

சமபரப்புள்ள உருவங்கள்.

பெரும்பாலான பிற பரப்பு வாய்ப்பாடுகள் வெட்டு முறையில் காணப்படுகிறது. இம்முறையில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வடிவம் சிறு சிறு துண்டுகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. இச்சிறுதுண்டுகளின் பரப்புகளின் கூடுதல் மூல வடிவின் பரப்பளவிற்குக் கூடுதலாக இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

• படத்தில் உள்ளது போல ஓர் இணைகரத்தை ஒரு சரிவகம் மற்றும் முக்கோணமாகப் பிரித்துக் கொள்ள வேண்டும். பிரிக்கப்பட்ட முக்கோணத்தைச் சரிவகத்தின் மற்றொரு பக்கத்தில் பொருத்தினால் ஒரு செவ்வகம் கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து மூல இணைகரத்தின் பரப்பளவும் இப்புது செவ்வகத்தின் பரப்பளவும் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இணைகரத்தின் பரப்பு:

$A=bh\,$  (இணைகரம்).

இரண்டு சமமான முக்கோணங்கள்

இதே இணைகரத்தை மூலைவிட்டத்தின் வழியாக இரு சர்வசம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கலாம். இவை ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவும் இணைகரத்தின் பரப்பளவில் சரி பாதியாக இருக்கும். எனவே முக்கோணத்தின் பரப்பு:

$A={\frac {1}{2}}bh$  (முக்கோணம்).

இந்த வெட்டு முறையில் சரிவகம், சாய்சதுரம் மற்றும் பல பலகோணங்களின் பரப்பளவைக் காண முடியும்.

வட்டங்கள்

ஒரு வட்டத்தை சிறு சம வட்டக்கோணத்துண்டுகளாகப் பிரித்து அவற்றை அடித்தடுத்து ஒட்டினாற்போல அடுக்கினால் தோராயமானதொரு இணைகரம் கிடைக்கிறது.

படத்தில் உள்ளதுபோல எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட ஒரு வட்டத்தைச் சிறிய வட்டக்கோணத்துண்டுகளாக வெட்டிக் கொள்ள வேண்டும். ஒவ்வொரு வட்டக்கோணத்துண்டும் தோராயமாக ஒரு முக்கோணம்போல அமையும். இத்துண்டுகளை வரிசையாக அடுத்தடுத்து ஒட்டினாற்போலக் கிடைமட்டமாக அடுக்கினால் தோராயமாக ஒரு இணைகரம் உருவாகிறது. இந்த இணைகரத்தின் உயரம் வட்டத்தின் ஆரமாகவும் (r) மற்றும் இணைகரத்தின் அகலம் வட்டத்தின் சுற்றளவில் பாதியாகவும் (πr) இருக்கும்.

எனவே இணைகரத்தின் பரப்பளவு:

$A=r\times \pi r\,$  (இணைகரம்).

இங்கு இணைகரம் மற்றும் வட்டம் இரண்டின் பரப்பளவும் சமம் என்பதால் வட்டத்தின் பரப்பளவு:

$A=\pi r^{2}\,$  (வட்டம்).

இம்முறையில் வெட்டப்படும் வட்டக்கோணப்பகுதிகளின் எண்ணிக்கையை மேலும் மேலும் அதிகரித்து வட்டத்தின் பரப்பளவில் ஏற்படக்கூடிய தோராயப்பிழையைக் குறைத்து விடலாம்.

வட்டத்தின் பரப்பை வரையறுத்தத் தொகையீடாகவும் காணலாம்:

$A\;=\;\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.$  (வட்டம்).

மேற்பரப்பளவு

ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பளவும் கனஅளவும் முறையே அக்கோளத்தைச் சுற்றி வெளியே அமையும் உருளையின் மேற்பரப்பளவு மற்றும் கனஅளவில் 2/3 பங்காக அமையும் என ஆர்க்கிமிடீசு காட்டியுள்ளார்.

ஒரு வடிவத்தின் மேற்பரப்பினை வெட்டி அதனைத் தட்டையாக்குவதன் மூலம் அவ்வடிவத்தின் மேற்பரப்பளவைக் கணக்கிடலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

• ஓர் உருளையின் வளைந்த மேற்தளத்தை நீளவாக்கில் வெட்டித் தட்டையாக்கினால் ஒரு செவ்வகம் கிடைக்கும். இச்செவ்வகத்தின் நீளம் உருளையின் அடிப்பகுதியாக அமைந்த வட்டத்தின் சுற்றளவாகவும் செவ்வகத்தின் அகலம் உருளையின் உயரமாகவும் இருக்கும். எனவே இச்செவ்வகத்தின் பரப்பளவு:

$A=2\pi rh\,$  (உருளை).

• ஒரு கூம்பின் வளைந்த மேற்தளத்தை ஒரு பக்கவாட்டில் வெட்டித் தட்டையாக்கினால் ஒரு வட்டக்கோணப்பகுதி கிடைக்கும். இந்த வட்டக்கோணப்பகுதியின் ஆரம் கூம்பின் சாய்வு உயரத்திற்குச் சமமாகவும் வட்டக்கோணப்பகுதியின் வில்லின் நீளம் கூம்பின் அடிப்பகுதியாக அமைந்த வட்டத்தின் சுற்றளவாகவும் அமையும். கூம்பின் அடி ஆரம் r மற்றும் சாய்வு உயரம் h எனில்:

வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவுக்குச் சமமாக அமையும் கூம்பின் மேற்பரப்பளவு:

$A=\pi rl\,$  (கூம்பு).

ஆனால் ஒரு கோளத்தைத் தட்டையாக்குவது எளிதில் முடியாதது. ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பளவின் வாய்ப்பாடு முதல்முறையாக ஆர்க்கிமிடீசால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. கோளம் மற்றும் உருளைபற்றி (On the Sphere and Cylinder) என்ற அவரது படைப்பில் கோளத்தின் மேற்பரப்பளவிற்கான வாய்ப்பாடு காணப்படுகிறது.

வாய்ப்பாடு:

$A=4\pi r^{2}\,$  (கோளம்).

இங்கு r, கோளத்தின் ஆரம்.

பரப்பளவு வாய்ப்பாடுகளின் பட்டியல்

வடிவம்	பரப்பளவு வாய்ப்பாடு	மாறிகள்
சமபக்க முக்கோணம்	${\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$ சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்க அளவு.
முக்கோணம்	${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s$ முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு; $a$, $b$ மற்றும் $c$ முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள்.
முக்கோணம்	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!$	$a$ மற்றும் $b$ முக்கோணத்தின் இரு பக்க நீளங்கள்; $C$ அவ்விரு பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம்.
முக்கோணம்	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$, முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கம்; $h$ குத்துயரம்.
சதுரம்	$s^{2}\,\!$	$s$, சதுரத்தின் பக்க நீளம்.
செவ்வகம்	$lw\,\!$	$l$, செவ்வகத்தின் நீளம்; $w$ செவ்வகத்தின் அகலம்.
சாய்சதுரம்	${\tfrac {1}{2}}ab$	$a$ மற்றும் $b$ சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள்.
இணைகரம்	$bh\,\!$	$b$, இணைகரத்தின் அடிப்பக்க நீளம்; $h$ குத்துயரம்.
சரிவகம்	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$ மற்றும் $b$ சரிவகத்தின் இரு இணைபக்கங்களின் நீளங்கள்; $h$, அவ்விரு இணைபக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்.
ஒழுங்கு அறுகோணம்	${\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$ அறுகோணத்தின் பக்க நீளம்.
ஒழுங்கு எண்கோணம்	$2(1+{\sqrt {2}})s^{2}\,\!$	$s$ எண்கோணத்தின் பக்க நீளம்.
ஒழுங்குப் பலகோணம்	${\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot(\pi /n)\,\!$	$l$, பலகோணத்தின் பக்க நீளம்; $n$ பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை.
ஒழுங்குப் பலகோணம்	${\frac {1}{4n}}p^{2}\cdot \cot(\pi /n)\,\!$	$p$, பலகோணத்தின் சுற்றளவு; $n$ பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை.
ஒழுங்குப் பலகோணம்	${\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \sin(2\pi /n)=nr^{2}\tan(\pi /n)\,\!$	$R$, பலகோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரம்; $r$ உள்வட்ட ஆரம்; $n$, பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை.
ஒழுங்குப் பலகோணம்	${\tfrac {1}{2}}ap\,\!$	$a$ பலகோணப்பக்கத்தின் நடுக்கோடு (அல்லது பலகோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம்); $p$ பலகோணத்தின் சுற்றளவு.
வட்டம்	$\pi r^{2}\ {\text{or}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$, வட்டத்தின் ஆரம்; $d$ வட்டத்தின் விட்டம்.
வட்டக்கோணப்பகுதி	${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!$	$r$ வட்டத்தின் ஆரம்; $\theta$ வட்டக்கோணப்பகுதியின் கோணம்.
நீள்வட்டம்	$\pi ab\,\!$	$a$ மற்றும் $b$ முறையே நீள்வட்டத்தின் அரை நெட்டச்சு, அரைக் குற்றச்சு நீளங்கள்.
உருளயின் மொத்த மேற்பரப்பளவு	$2\pi r(r+h)\,\!$	$r$ மற்றும் $h$ முறையே உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம்.
உருளையின் வளைந்த மேற்பரப்பளவு	$2\pi rh\,\!$	$r$ மற்றும் $h$ முறையே உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம்.
கூம்பின் மொத்த மேற்பரப்பளவு	$\pi r(r+l)\,\!$	$r$ மற்றும் $l$ முறையே கூம்பின் ஆரம் மற்றும் சாய்வு உயரம்.
கூம்பின் வளைந்த மேற்பரப்பளவு	$\pi rl\,\!$	$r$ மற்றும் $l$ முறையே கூம்பின் ஆரம் மற்றும் சாய்வு உயரம்.
கோளத்தின் மேற்பரப்பளவு	$4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!$	$r$ மற்றும் $d$ முறையே கோளத்தின் ஆரம் மற்றும் விட்டம்.
பிரமிடின் மொத்த மேற்பரப்பளவு	$B+{\frac {PL}{2}}\,\!$	$B$, பிரமிடின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு; $P$ அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு; $L$, சாய்வு உயரம்.
சார்பு f(x)-ன் வளைவரையை x-அச்சைப் பொறுத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திண்மப்பொருளின் மேற்பரப்பளவு	$2\pi \int _{a}^{b}|f(x)|{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx$
சார்பு f(x)-ன் வளைவரையை y-அச்சைப் பொறுத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திண்மப்பொருளின் மேற்பரப்பளவு	$2\pi \int _{a}^{b}|x|{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx$

ஒழுங்கற்ற பலகோணங்களின் பரப்பளவை "நில ஆய்வாளரின் வாய்ப்பாட்டின்" மூலம் காணலாம்.

நுண்கணிதத்தில் பரப்பளவு

f(x) -ன் வளைவரையின் கீழ் இரு புள்ளிகளுக்கு (a மற்றும் b) இடைப்பட்ட பரப்பளவை தொகையீடாகக் கணக்கிடலாம்.

இரு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட பரப்பளவு அவற்றின் தொகையீடுகளின் வித்தியாசமாகக் கணக்கிடப்படுகிறது.

• ஒரு வளைவரையின் நேர் -மதிப்புப் பகுதி, x-அச்சு, நிலக்குத்துக்கோடுகள் x = a மற்றும் x = b (b>a) ஆகிய நான்கு வரம்புகளுக்கும் இடைப்பட்டப் பரப்பளவு:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$.

• f(x) மற்றும் g(x) ஆகிய இரு சார்புகளின் வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட பகுதி, x-அச்சு, நிலக்குத்துக்கோடுகள் x = a மற்றும் x = b (b>a) ஆகிய நான்கு வரம்புகளுக்கும் இடைப்பட்டப் பரப்பளவு:

$\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx$.

• போலார் ஆயதொலைவுகளில் வளைவரையின் சார்பு r = r(θ) எனில் பரப்பளவு:

${1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }r^{2}\,d\theta$.

சுட்டிகள்

• அலகு மாற்றப் பொறி பரணிடப்பட்டது 2005-05-07 at the வந்தவழி இயந்திரம்