เรเดียน

บทความนี้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ สำหรับความหมายอื่น ดูที่ เรเดียน (แก้ความกำกวม)

เรเดียน
มุมขนาด 1 เรเดียน จนถึง 2π เรเดียน
ข้อมูลทั่วไป
ระบบการวัด	หน่วยอนุพัทธ์เอสไอ
เป็นหน่วยของ	มุม
สัญลักษณ์	rad หรือ c
การแปลงหน่วย
1 rad ใน ...	... มีค่าเท่ากับ ...
มิลลิเรเดียน	1000 mrad
รอบ	1/2π รอบ
องศา	180°/π ≈ 57.296°
แกร็ด	200g/π ≈ 63.662g

มุมปกติทั่วไปบางมุม วัดในหน่วยเรเดียน

เรเดียน (อังกฤษ: radian) คือหน่วยวัดมุมชนิดหนึ่งบนระนาบสองมิติ ใช้สัญลักษณ์ "rad" หรืออักษร c ตัวเล็กที่ยกสูงขึ้น (มาจาก circular measure) ซึ่งไม่เป็นที่นิยมนัก ตัวอย่างเช่น มุมขนาด 1.2 เรเดียน สามารถเขียนได้เป็น "1.2 rad" หรือ "1.2^c"

เรเดียนเคยเป็น หน่วยเสริม ของหน่วยเอสไอ แต่ถูกยกเลิกใน พ.ศ. 2538 และปัจจุบันนี้เรเดียนได้ถูกพิจารณาให้เป็น หน่วยอนุพัทธ์ ในหน่วยเอสไอ สำหรับการวัดมุมในวัตถุทรงตัน ดูที่สเตอเรเดียน

ทุกวันนี้เรเดียนเป็นหน่วยพื้นฐานของการวัดมุมในวิชาคณิตศาสตร์ และสัญลักษณ์ "rad" มักจะถูกละไว้ในการเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ เมื่อใช้หน่วยองศาจะใช้สัญลักษณ์วงกลมเล็ก ° เพื่อให้เห็นความแตกต่างระหว่างองศากับเรเดียน

นิยาม

หนึ่งเรเดียน คือ ขนาดของมุมที่วัดจากจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่กางออกตามส่วนโค้งของวงกลม ซึ่งส่วนโค้งนั้นมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมพอดี

ประวัติ

คำว่า radian ปรากฏครั้งแรกในงานพิมพ์เมื่อวันที่ 5 มิถุนายน พ.ศ. 2416 ในข้อสอบของวิทยาลัยควีนส์คอลเลจ เมืองเบลฟาสต์ ไอร์แลนด์เหนือ สหราชอาณาจักร โดยเจมส์ ทอมสัน (พี่ชายของลอร์ด เคลวิน) เขายังเคยใช้คำนี้ใน พ.ศ. 2414 ซึ่งก่อนหน้านี้ 2 ปีในขณะที่เซอร์ทอมัส มิวร์ แห่งมหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ ลังเลที่จะใช้คำว่า rad, radial หรือ radian แทนนิยามดังกล่าว และเมื่อทอมสันใช้คำว่า radian เซอร์มิวร์จึงรับรองการตัดสินใจของเขา

อย่างไรก็ตาม แนวความคิดของการวัดมุมในหน่วยเรเดียน เพื่อให้แตกต่างจากการวัดมุมเป็นองศา ริเริ่มมาจากความคิดของรอเจอร์ โคตส์ ใน พ.ศ. 2257 เขามีทุกอย่างที่เกี่ยวกับแนวความคิดนี้ยกเว้นเพียง "ชื่อ" และเขายอมรับว่าการวัดมุมนี้เป็นหน่วยธรรมชาติอีกด้วย

การอธิบาย

ค่าที่ใช้บ่อย

องศา	เรเดียน
$180^{\circ }$	$\pi \approx 3{.}1416$
$90^{\circ }$	${\frac {1}{2}}\pi \approx 1{.}5708$
$45^{\circ }$	${\frac {1}{4}}\pi \approx 0{.}7854$
$57^{\circ }\,17'\,45''$	$\approx 1$
$57{.}29577951^{\circ }$
$1^{\circ }$	${\frac {\pi }{180}}\approx 17{.}45\,{\text{mrad}}$
$3{.}44'$ (ลิปดา)	$1\,{\text{mrad}}=0{.}001$
$1''$ (พิลิปดา)	$4{.}85\,\mu {\text{rad}}$

เรเดียนมีประโยชน์ในการแยกแยะระหว่างปริมาณของความแตกต่างในธรรมชาติ แต่ยังอยู่ในมิติเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ความเร็วเชิงมุมสามารถวัดได้ในหน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/s) เป็นการใช้หน่วยเรเดียนเพื่อเน้นว่า ความเร็วเชิงมุมมีค่าเท่ากับ 2π คูณด้วยความถี่ของการหมุน

ในทางปฏิบัติ สัญลักษณ์ "rad" จะถูกใช้ในที่ที่เหมาะสม แต่โดยทั่วไปแล้วหน่วยเรเดียนมักจะถูกละเลยไปเมื่อเขียนรวมกับจำนวนอื่น ๆ

ในวงกลมหนึ่งหน่วย จะมีมุมรอบจุดศูนย์กลางเท่ากับ 2π เรเดียน ดังนั้น

$2\pi {\mbox{ rad}}=360^{\circ }$

$1{\mbox{ rad}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.29577951^{\circ }$

หรือ

$360^{\circ }=2\pi {\mbox{ rad}}$

$1^{\circ }={\frac {2\pi }{360}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{180}}{\mbox{ rad}}\approx 0.01745329{\mbox{ rad}}$

โดยทั่วไป เราสามารถบอกได้ว่า

$x{\mbox{ rad}}=x{\frac {180^{\circ }}{\pi }}$

ตัวอย่างเช่น เมื่อเราต้องการแปลงค่า -1.570796 เรเดียนไปเป็นหน่วยองศา สามารถทำได้ดังนี้

$-1.570796{\mbox{ rad}}=-1.570796\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx -90^{\circ }$

ในวิชาแคลคูลัส มุมต่าง ๆ จะต้องใช้เป็นหน่วยเรเดียนในฟังก์ชันตรีโกณมิติ เพื่อให้สามารถสร้างเอกลักษณ์ แสดงผลลัพธ์อย่างง่าย และเป็นธรรมชาติให้มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ตัวอย่างการใช้เรเดียนปรากฏในเอกลักษณ์ต่อไปนี้

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1$

ซึ่งเป็นพื้นฐานของเอกลักษณ์อื่น ๆ ในทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งเอกลักษณ์นี้ด้วย

${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$

การวิเคราะห์เชิงมิติ

ถึงแม้ว่าเรเดียนจะเป็นหน่วยในการวัดอันหนึ่ง แต่สิ่งใดก็ตามที่วัดเป็นเรเดียนจะไร้มิติ โดยความไร้มิติสามารถเห็นได้จาก อัตราส่วนระหว่างความยาวของส่วนโค้งกับความยาวรัศมี ที่ทำมุมกันแล้วใส่หน่วยเป็นเรเดียน ซึ่งผลหารดังกล่าวนั้นไร้มิติ (ไม่มีหน่วย)

เราสามารถเห็นความไร้มิติของเรเดียนได้อีกทางหนึ่งโดยพิจารณาจากอนุกรมเทย์เลอร์ สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ ของตัวแปร x

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$

หากตัวแปร x นั้นมีหน่วย (มีมิติ) ผลรวมของอนุกรมนี้จะไร้ความหมาย เนื่องจากพจน์ x ที่มีหน่วยเป็น "เรเดียนกำลังหนึ่ง" จะไม่สามารถบวกกับพจน์ $x^{3}/3!$ ที่มีหน่วยเป็น "เรเดียนกำลังสาม" ได้ รวมทั้งพจน์ถัด ๆ ไปของอนุกรมด้วย เมื่อเป็นเช่นนี้แล้ว x จะต้องไร้มิติเพื่อให้ผลรวมของอนุกรมมีความหมาย

พหุคูณเอสไอ

คำอุปสรรคของหน่วยเอสไอมีการใช้อย่างจำกัดในหน่วยเรเดียน หน่วยมิลลิเรเดียน (0.001 rad หรือ 1 mrad) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า "มิล" (angular mil) ถูกใช้ในวิชาอาวุธปืนและการเล็งระยะเป้าหมาย เนื่องจากในระยะ 1,000 เมตร มุมที่เปลี่ยนไปเพียง 1 มิลลิเรเดียน จะทำให้เป้าหมายคลาดเคลื่อนไปถึง 1 เมตร (ในมุมที่เล็กเช่นนั้น ความโค้งของส่วนโค้งของวงกลมไม่มีนัยสำคัญ) ความแตกต่างของลำแสงเลเซอร์ก็สามารถวัดได้ในหน่วยมิลลิเรเดียน สำหรับหน่วยที่เล็กกว่านี้เช่น ไมโครเรเดียน (µrad) และนาโนเรเดียน (nrad) จะถูกใช้ในทางดาราศาสตร์ และยังสามารถใช้วัดคุณภาพของลำแสงเลเซอร์ที่แตกต่างกันน้อยมาก ในทำนองเดียวกัน คำอุปสรรคที่เล็กกว่า มิลลิ - มีประโยชน์ในการวัดค่ามุมที่เล็กอย่างยิ่งยวดได้อย่างมีศักยภาพ อย่างไรก็ตาม คำอุปสรรคที่ใหญ่กว่านี้ไม่ปรากฏว่ามีประโยชน์เท่าใดนัก โดยสาเหตุหลักเนื่องจากค่ามุมที่เกิน 2π เรเดียน จะกลับไปเริ่มต้นวัดมุมในวงกลมวงเดิมอีกรอบหนึ่ง

ดูเพิ่ม

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• การวิเคราะห์ฮาร์โมนิก
• ความถี่เชิงมุม
• แกร็ด
• องศา
• สเตอเรเดียน "เรเดียนกำลังสอง"