Мероморфна функція

У комплексному аналізі меромо́рфною фу́нкцією (від грец. μέρος — дріб, грец. ὅλος — вид) на підмножині $\Omega \subset \mathbb {C}$ називається функція, що є голоморфною, на множині $\Omega$ , за винятком деякої множини особливих точок $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ , яка не має граничних точок і в кожній з яких функція має полюс (тобто $\lim _{z\to a_{i}}|f(z)|=\infty$ для всіх $a_{i}$ ). Оскільки множина особливих точок не має граничних точок, вона є не більш, ніж зліченною.

Будь-яку мероморфну функцію на підмножині $\Omega$ можна задати як частку між двома голоморфними функціями (зі знаменником не рівним нулю) визначених на $\Omega$ . Отже, мероморфна функція — це відношення двох голоморфних функцій. Така функція буде голоморфною, окрім точок, де знаменник дробу обертається в нуль і значення функції прямує до нескінченності.

З алгебраїчної точки зору, якщо множина $\Omega$ зв'язна, тоді множина мероморфних функцій є полем часток множини голоморфних функцій на $\Omega$ , яка є областю цілісності . Аналогічно встановлюється залежність між множиною $\mathbb {Q}$ раціональних та $\mathbb {Z}$ цілих чисел.

Відповідно мероморфною функцією на всій комплексній площині є частка будь-яких двох цілих функцій, тобто частки сум двох степеневих рядів, які збігаються у будь-якій точці.

Приклади

Всі раціональні функції такі як

f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},

є мероморфними на всій комплексній площині

Функції $f(z)={\frac {e^{z}}{z}},\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}$ і дзета-функція Рімана є мероморфними функціями на всій комплексній площині із скінченною кількістю особливих точок. Функція $f(z)={\frac {1}{\sin z}}\;$ і гамма-функція є мероморфними на всій комплексній площині із нескінченною множиною полюсів.
Функція $f(z)=e^{\frac {1}{z}}$ визначена на всій комплексній площині за винятком точки 0. Проте 0 не є полюсом цієї функції і вона не є мероморфною на всій комплексній площині. Звичайно вона є навіть голоморфною у області $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ .
Логарифмічна функція $f(z)=\ln(z)$ не є мероморфною на всій комплексній площині, оскільки її неможливо однозначно визначити на всій комплексній площині за винятком деякої множини ізольованих точок.
Функція $f(z)={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}$ не є мероморфною на всій комплексній площині, оскільки точка $z=0$ є граничною точкою полюсів функції. Функція $f(z)=\sin {\frac {1}{z}}$ теж не є мероморфною оскільки її особлива точка $z=0$ не є полюсом.
Важливим класом мероморфних функцій є еліптичні функції.

Мероморфні функції на Ріманових поверхнях

Зважаючи на те, що кожна точка ріманової поверхні має окіл, який є гомеоморфним деякій відкритій підмножині комплексної площини, то поняття мероморфної функції є визначеним і на ріманових поверхнях.

На некомпактних ріманових поверхнях мероморфні функції теж є полем часток кільця голоморфних функцій. Для сфери Рімана множина мероморфних функцій рівна множині раціональних функцій. Вона, зрозуміло, не є полем часток голоморфних функцій на сфері Рімана, оскільки всі голоморфні функції є константами.

Будь-яка мероморфна функція $f\in M(\Omega )$ задає неперервне відображення $f$ області $\Omega$ у сферу Рімана $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ , яке є голоморфним відображенням відносно стандартної комплексної структури $\mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}$ .

Навпаки, довільне голоморфне відображення ${\bar {f}}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ , задає мероморфну функцію $f$ на $\Omega$ . Множина полюсів $f$ визначена як прообраз ${\bar {f}}^{-1}(\infty )$ , а для інших точок у $\Omega$ функція $f$ задається рівністю $f(z)={\bar {f}}(z).$

Властивості

Якщо задана дискретна підмножина $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ (скінченна або зліченна) області $\Omega$ і в кожній точці $a_{i}$ — головна частина розкладу Лорана $g_{i}(z)=\sum _{j=1}^{p_{i}}{\frac {c_{-j}^{(i)}}{(z-a_{i})^{j}}},$ тоді згідно теореми Міттаг-Лефлера існує мероморфна функція для якої множина $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ є множиною полюсів і в кожному полюсі $a_{i}$ головна частина розкладу в ряд Лорана рівна $g_{i}(z).$ Теорема Міттаг-Лефлера справедлива також для некомпактних ріманових поверхонь. На компактній рімановій поверхні (наприклад, на торі) потрібні додаткові умови узгодження головних частин.
Пов'язаною є задача знаходжень мероморфних функцій з заданими разом з кратностями нулями і полюсами. Якщо задані дві дискретні підмножини $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ і $\{b_{1},\;b_{2},\;\ldots \}$ разом із відповідними множинами натуральних чисел $n_{i}$ і $m_{j}$ то існує мероморфна функція з нулями кратностей $n_{i}$ в точках в $a_{i}$ і полюсами кратностей $m_{j}$ в точках $b_{j}.$ Дане твердження є наслідком теореми Вейєрштраса про цілі функції.