LEY DE GAUSS La ley de Gauss es otrd fonna de describir el comportamiento de las cargas y los campos eléctricos. Una consecuencia de esta leyes que las cargas estáticas de un conductor se encuentran en la superficie de éste, no en su interior. Es por ello que esta nina adquiere una carga eléctrica al tocar la esfera metálica con carga. Los cabellos con carga de la cabeza de la niña se repelen y se erizan. Si la niña se pone de pie dentro de una esfera metálica grande con carga, ¿se le erizará el cabello? .- S uele haber una manera fácil y una forma dificil de realizar una tarea; la manera fácil puede consistir simplemente en utilizar las herramientas apropiadas. En física, una herramienta importante para simplificar los problemas es el uso de las propiedades de simetría de los sistemas. Muchos sistemas físicos tienen simeIría; por ejemplo, un cuerpo cilindrico no se ve diferente después de hacerlo girar en lomo a su eje, y una esfera metálica con carga se ve idéntica después de darle vuelta en torno a cualquier eje que pase por su centro. La ley de Gauss es parte de la elave para simplificar los cálculos de campos eléctricos con base en consideraciones de simetria. Por ejemplo, el campo de una distribución de carga en línea recIa o en una lámina plana, que se dedujo en la sección 21.5 median'te algunas integraciones. bastante laboriosas, se obtiene en unos pocos renglones con ayuda de la ley de Gauss. Pero la ley de Gauss es algo más que un simple recurso para facilitar ciertos cálculos. Dc hecho, es un enunciado fundamental acerca de la relación entre las cargas eléctricas y los campos eléctricos. Entre otras cosas, la ley de Gauss nos ayuda a entender cómo se distribuye la carga eléctrica en los cuerpos conductores. La ley de Gauss se refiere a lo siguiente. Dada una distribución de carga cualquiera, la envolvemos en una superficie imaginaria que encierra la carga. A continuación, examinarnos el Campo eléctrico en diversos puntos de esta superficie imaginaria. La ley de Gauss es la relación entre el campo en todos los puntos de la superficie y la carga total encerrada dentro de la superficie. Esto quizá suene como 836 , 837 22.1 I Carga y flujo elécuico - , E / E \i Ｉｾ (o) 22.1 (a) Caja que contiene una camidad desconocida de carga. (b) Se puede in...esligar la carga del interior de la caja mediante una carga de prueba qo para medir el campo e1écuico afuera de la caja. una manera más bien indirecta de expresar las cosas, pero resulta ser una relación enormemente útil. Más allá de su uso como herramienta de cómpulO, la ley de Gauss permite profundizar en la comprensión de los campos eléctricos. Haremos uso repetido de esta comprensión en varios de los capitulas que siguen a medida que prosigamos nuestro estudio del elcctromagnclismo. 22.1 I Carga y flujo eléctrico En el capítulo 21 planteamos la pregunta siguienle: "Dada una distribución de carga, ¿cuál es el campo eleclrico que produce esa distribución en un punto P'!" Vimos que se podía hallar la respuesta rcpresenlando la dislribución como un conjunto de cargas puntuales, cada una de las cuales produce un campo eléclrico E dado por la ecuación (21.7). El campo total en P es enlonces [a suma vectorial de los campos debidos a todas las cargas puntuales. Pero existe otra relación entre las distribuciones de carga y los campos eléctricos. A fin de descubrir esta relación, planteemos al revés la pregunta del capitulo 21: "Si se conoce la disposición del campo eléctrico en una región determinada, ¿qué se puede saber acerca de la distribución de carga en esa región?" He aquí un ejemplo. Considérese la caja que se muestra en la figura 22.1 a, que puede o no contener carga eléctrica. Suponemos que la caja es de un material que no influye en ninguno de los campos eléctricos; es de la misma clase que la cuerda sin masa. la pendienle sin fricción y la educación universitaria gratuita. Mejor aún, hagamos que la caja represente una superficie imaginaria que puede encerrar o no cierta carga. Nos referiremos a la caja como una superficie cerrada porque encicrra tOlalmente un volumen. ¿Cómo se puede saber cuánta carga, en su caso, hay dentro de la caja? Como sabemos que una distribución de carga produce un campo eléctrico y que un campo cléctrico ejerce una fuerza sobre una carga de prueba, movemos una car$a de prueba qo en torno las proximidades de la caja. Luego de mcdir la fuerza F que la carga de prueba experimenta en distintas posiciones, elaboramos un mapa tridimensional del campo eléctrico E = Flqoafuera de [a caja. En el caso que se muestra en la figura 22.1 b. el mapa resulta ser igual al del campo eléclTico a La exposición de [a ley de Gauss que se presenta en esta sección se basa y se inspira en las innovadoras ideas de Ruth W. Chabay y Broce A. Sherwood (Electric amJ Magne-. lic Internc/ions, 1000 Wiley & Sons. 1994). 838 CAPiTULO 22 I l.eydeGauss i: i: '. ｱＭｾ ", , (a) Carp positivl adentro de la caja. flujo salieme (b) Carp posiliVll adeolro de la caja. tlllJO salimlc (e) Carga negativa adentro de la e1Ija. Ilujoentnnle (d)Carp nq;...... lIlkntro de la CIja. flujo cnmnte 22.2 Campo eléctrico en la superficie de cajas que contienen (a) una sola carga puntual positiva.. (h) dos cargas puntuales positivas, (e) una sola carga puntual negativa o (d) dos cargas puntuales negativas. Act¡v Physcs 11.7 Flujo eléctrico que produce una carga puntual posiliva (Fig. 21.26a). Con base en los delalles del mapa, podemos hallar el valor exacto de la carga puntual en el interior de la caja. Para conocer el contenido de la caja. es necesario medir É s6lo en la s/lperficie de la caja. En la figura 22.2a hay una sola carga puntual positiva dentro de la caja, yen la figura 22.2b hay dos cargas de eSle tipo. Las disposiciones del campo sobre la superficie de las cajas son diferentes en detalle, pero en ambos casos el campo eléctrico apunta hacia afuera de la caja. Las figuras 22.2c y 22.2d muestran casos con una y dos cargas puntuales negativas, respectivamente, dentro de la caja. Una vez más, los detalles de E en la superficie de la caja son diferentes, pero en ambos casos el campo apunta hacia el interior de la caja. En la sección 21.4 mencionamos la analogía entre los vectores de campo eléctrico y los veclOres de velocidad de un fluido en movimiento. ｅｳｾｯｧｩ｡Ｍｰｵ･､ ser útil, pese a que un campo eléctrico no "fluye" en realidad. Con base en esta analogia, decimos que en las figuras 22.2a y 22.2b, donde los veclOres de campo eléctrico apuntan hacia afuera de la sue.erficie, hay un nujo eléctrico saliente. En las figuras 22.2c y 22.2d los vectores E apuntan hacia el interior de la superficie y el flujo eléctrico es ell1rante. La figura 22.2 sugiere una relación simple: la carga positiva que está. dentro de la caja atraviesa con un flujo electrico saliente la superficie de la caja, y la carga negativa del interior lo hace con un flujo eléctrico entrante. ¿Qué ocurre si la carga en el interior de la caja es cero? En la figura 22.3a la caja está vacia y E = O en todas partes, por lo que no hay flujo eléctrico hacia adentro ni hacia afuera de la +q (a) No hay carga adenlro de la caja. flujo cero (b) Carga nela cero adenlro de la caja. d !lujo entrante cancela el flujo saliente (e) No hay carga adentro de la caja. porque el flujo entranle eaneela al flujo saliente 22.3 Tres casos en los que la carga neta en el interior de una caja es celO y no hay un flujo eléctrico neto a través de la superficie de la caja. (a) Caja vacía con E = O. (h) Caja que contiene una carga puntual positiva y una carga puntual negativa de igual magnitud. (e) Caja vacía inmersa en un campo eléctrico unifonne_ 839 22.1 I Carga y flujo elécuico caja. En la figura 22.3b hay una carga puntual positiva y una carga puntual negativa de igual magnitud encerradas en la caja: por tanto, la carga nera en el imerior de la caja es cero. Hay un campo eléctrico. pero "fluye hacia adentro" de la caja en la mitad de su superficie y "fluye hacia afuera" de la caja en la otra mitad. Por consiguiente, no hay un flujo eléctrico lIelO hacia adentro o hacia afuera de la caja. La caja está vacía una vez mas en la figura 22.3c. Sin embargo, hay carga afl/cra de la caja; la caja ha sido colocada con un extremo paralelo a una lámina infini· ta con carga uniforme, la cual produce un campo eléctrico uniforme perpendicular a la lámina (como vimos en el ejemplo 21.12 de la sección 21.5). En un extremo de la caja, Eapunta hacia el interior de la caja; en el extrerr,o opuesto, Eapunta hacia afuera de la caja; y en los costados, Ees paralelo a la superficie y, por tanto, no apunta ni hacia adentro ni hacia afuera de la caja. Al igual que en la figura 22.3b, el flujo eléctrico entrante en una parte de la caja compensa exactameme el flujo elecmco saliente en la otra parte. Asi pues, en todos los casos que se muestran en la figura 22.3 no hay un flujo eléctlico neto a través de la superficie de la caja, y no hay una carga neta encerrada en la caja. Las figuras 22.2 y 22.3 ponen de manifiesto una vinculación entre el sigilO (positivo, negativo o cero) de la carga lleta encerrada por una superficie cerrada y el sentido (saliente, entrante o ninguno) del flujo eléctrico neto a través de la superficie. También hay una vinculación entre la magllillld de la carga neta adentro de la superficie cerrada y la intellsidad del "flujo" neto de en toda la superficie. En las figuras 22.4a y 22.4e hay una sola carga puntual adcntro de la caja, pero en la figura 22Ab la magnitud de la carga es dos veces la anterior; por tanto, en todas partes E tiene una magnitud dos veces la de la figura 22.4a. Teniendo en mente la analogía con el flujo de fluidos, esto significa que el flujo eléctrico saliente neto también es dos veces mayor en la figura 22.4b que en la figura 22.4a. Esto sugiere que el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la caja es directamente proporcio· nal a la magnirud de la carga neta que encierra la caja. Esta conclusión es independiente del tamaño de la caja. En la figura 22.4c la carga puntual +q está encerrada en una caja con dimensiones lineales del doble que las de la caja de la figura 22.4a. Pero cada cara de la caja grande tiene exaclamente cuatro veces el área que la cara correspondiente de la caja pequeña. Por tanto, el flujo eléctrico saliente es ig/la/ en las dos cajas si se defille el flujo eléctrico como sigue: con respecto a cada cara de la caja, tómese el producto de la componente perpendicular media de Epor el área de esa cara; luego, súmense los resultados de todas las caras de la caja. Con esta definición el flujo eléctrico neto debido a una sola cara puntual encerrada en la caja es independiente del tamaño de ésta, y de· pende sólo de la carga neta presente dentro de la caja. Hemos vislo que hay una relación entre la cantidad de earga neta en el interior de una superficie cerrada y el flujo eléctrico a través de esa superficie. Con respecto a los casos especiales de una superficie cerrada con forma de caja reclangular y distribuciones de carga compuestas de cargas puntuales o láminas infinitas con carga, hemos hallado que: E (Il Carga posití-1I adenlro de 11 caja. nujo salieme E l. El hecho de que haya o no un flujo eléctrico saliente o entrante neto a través depende del signo de la carga encerrada. de una superficie ｣･ｾｲ｡､ 2. Las cargas que están afl/era de la superficie no proporcionan un flujo eléctrico neto a través de la superficie. 3. El flujo eléctrico neto es directamente proporcional a la cantidad de carga neta encerrada dentro dc su superficie, pero, por lo demás, es independiente del tamaño de la superficie cerrada. Estas observaciones son una expresión cualitativa de la ley de Cal/ss. (b) La misma caja de (al, el doble de carga pasltin.: el doble de flujo saliente que en (1) i: +q Gti>r----"'l (el Caja con dimensiooc:s dos veces mayores que en (a). misma carga positn'll: mismo nujQ saliente que: en (al 22.4 (a) Caja que encierra una carga punmal positiva +q. (b) Al ｲ｡｣ｩｬｰｵｾ la carga se duplica la magnimd de E y también el flujo eléctrico a través de la superficie. (c) Si la carga no cambia pero se duplican las dimensiones de la caja, el fl_ujo pcnnanece sin cambio. La magnitud de E en la superficie disminuye por un factor de t. pero el área a través de la cual "fluye" E aumenta por un factor de 4. 840 CAPfTUlO 22 I Ley de Gauss ¿Son válidas estas observaciones con respeclo a otras distribuciones de carga y a superficies cerradas de fonna arbitraria? La respuesta a esta pregunta resultara ser afirmativa. Sin embargo, para explicar porque, es necesario contar con una ex· presión matemática precisa de [o que significa el concepto de flujo electrico, la cual se deducirá en la sección siguiente. Si se aumentan todas las dimensiones de la caja de la figura 22.23 por un factor de tres, ¿que efecto tendrá este cambio en el flujo eléctrico a través de la caja? 22.2 I Cálculo del flujo eléctrico En la sección anterior presentamos el concepto de flujo eléctrico. En términos eléclrico a través de una superficie es una descripción de si el cualitativos. el ｯｾｬｦ campo eléctrico E apunta hacia adenlTo o hacia afuera de la superficie. Nos servimos de esto para proporcionar una expresión cualitativa burda de la ley de Gamos: el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta en el interior de esa superficie. A fin de poder aprovechar eléctrico. Para ello, plenamente esta ley, es necesariO saber cómo calcular el ｯｾｬｦ utilicemos de nuevo la analogia entre un campo eléctrico E y el campo de vectores de velocidad ti de un fluido en circulación. (Una vez más. no hay que olvidar que se trata sólo de una analogía; un campo eléctrico no es un flujo). La figura 22.5 muestra un fluido que fluye de modo uniforme de izquierda a derecha. Examinemos la relación de flujo volumétrico dV/dl (por ejemplo, en me· tros cúbicos en cada segundo) a través del rectángulo de alambre de área A. Cuando el área es perpendicular a la velocidad de flujo (Fig. 22.5a) y la velocidad de flujo es la misma en todos los puntos del fluido, la relación de flujo volumélrica dV/dl es el área A multiplicada por la rapidez de flujo v: v dV - = vA dI Cuando se inclina el rectángulo un angula 41 (Fig. 22.5b) de modo que su cara no sea perpendicular a el área que se considera es el área de la silueta que vemos cuando enfrentamos la dirección de ti. Esta área, que está dibujada en rojo y mar· cada como A1. en la figura 22.5b, es la proyección del área A sobre una superficie perpendicular a V. Dos lados del rectángulo proyectado tienen la misma longirud que el original, pero los arras dos se han aconado por un factor cos 41; por tanto. el área proyectada A 1. es igual a A cos <p. En estas condiciones la relación de flujo volumétrico a través de A es v. , eJA L; ,- - -=(.) pi' - Pi (b) - 22.5 La relación de flujo volumétrico de fluido a través del rectángulo de alambre (a) es vA cuando el área del rectángulo es perpendicular a ü y (b) es vA cos 4i cuando el rectángulo está inclinado un ángulo ｾＮ dV - = vAcostP dI Si tP = 90 Q • dVldl = O; el rectángulo de alambre presenta su borde al flujo, y no pasa fluido alguno a través del rectángulo. Asimismo, v cos t/J es la componente del vector ¡; perpendicular al plano del árca A. Si llamamos VJ.' a esta componente, podemos eseribir de nuevo la relación de flujo volumétrico como dV -= v A dI ｾ La relación de flujo volumétrico se'puede expresar de manera más compacta empleando el concepto de vector área, A. una magnitud vectorial de mag'!itud A y dirccción perpendicular al plano del área que se describc. El vector área A describe tanto el tamaño de un área como su orientación en el espacio. En términos de 841 22.2 I Cálculo del flujo eléctrico A. podemos escribir la relación de flujo volumétrico de fluido a lraves del rectángulo de la figura 22.5b como un producto escalar (pUnlo): dV _- = v'A di Con base en la analogia enlre el campo eléctrico y el flujo de fluidos, definimos ahora el flujo eléctrico del mismo modo que hemos defmido la relación de flujo volumélrico de un fluido; simplemenle suSlilUimos la velocidad del fluido por el campo eléctrico E. El símbolo con el que se representa el flujo eléctrico es ct>E (la letra griega mayúscula "phi"; el subíndice E es un recordatorio de que se trata de un flujo eléctrico). Considerese en primer término un área plana A perpendicular a un campo eléctrico uniforme E(Fíg. 22.6a). Se define el flujo e1ectrico a través de esta área como el producto de la magnilUd del campo E por el área A: v (1)10 E 4>=0 ］ｾａｨ A V = EA De forma aproximada, podemos describir tP E en terminos de las líneas de campo que pasan a través deA. Aumentar el área significa que más líneas de Eatraviesan el área, con lo cual el flujo aunlenta; un campo más ¡nleoso significa lineasde E más próximas unas a alfas y, por tanlO, más líneas en cada unidad de área, de modo que, una vez más, el flujo aumenta. Si el área A es plana pero no perpendicular al campo E. enlonces la atraviesan menos líneas. En este easo el área que considera es el área de la silueta que vemos al en (Tentar la dirección de E. Esta es el área A.l. de la figura 22.6b y es igual a A eos tP (compárese con la Fig. 22.5b). Generalizaremos nuestra definición de flujo eléclrico de un campo elét:trico uniforme como tP (flujo eléctrico para un E. uniforme en una superficie plana) (22.1) Puesto que Ecos tP es la componente de E perpendicular al área, podemos escri- $c = EA cos (a) Superficie de frente al campo eléctrioo ff y;¡ el ángulo entreiyAescb=O flujo<llE = i.i '"' EA i bir de nuevo la ecuación (22.1) como cf>c = E.lA (flujo electrico para un E, uniforme en una superficie plana) (22.2) En terminas del vector área A ｰ･ｲｾｮ､ｩ｣ｵ｡ al área, se puede escribir el flujo eléctrico como el productO escalar de E por A: ¡PE = E'A (flujo electrico de E, uniforme en una superficie plana) i (22.3) Las ecuaciones (22.1), (22.2) Y(22.3) expresan de modos difcrentes, aunque equivalentes, el flujo eléctrico correspondicnte a una superficie plana y a un campo eléctrico unifomle. La unidad SI de flujo eléctrico es 1 N·ml/C. Dése cuenta que si el área cslá de canto contra el campo, E y A son perpendiculares y el flujo es cero (Fig. 22.6c). Podemos representar la dirección de un veclor área A mediante un recIO,. unitario ñ perpendicular al área; A perpendicular al área; 1; significa "ooooal". Entonces A = An (b) Superficie inclinada respecto a la orienlaeión de cara en un ángulo 4> el ángulo entre y A es 4> nujo<llE = i.ii '" EA cos <f¡ i A (22.4) n Una superficie liene dos lados; por lanto, son dos las direcciones posibles de y de A. Siempre se debe especificar la dirección elegida. En la seccióo 22.1 relacionamos la carga dentro de una superficie cerrada con el flujo eléctrico a través de la superficie. Con una superficie cerrada siempre elegiremos la dirección de como saliente, y nos referiremos al flujo llacia afllera de una superficie cerrada. Por consiguiente, lo que llamamos "flujo eléctrico hacia afuera" en la sección 22.1 corresponde a un valor positivo de ¡PE' y lo que llamamos "flujo eléctrico hacia adentro", a un valor IIegath·o de <1>c. n (c) U 5Uperl'"ICie presentil su borde al campo el«triro E y A perpeDdiculares el 4ngulo entre E y j( es di = 90" flujo <PE - E·¡f =.EA oos 90" = O 22.6 Superficie plana ell un campo electrico unifonne. El flujo electrico 4>c3 través de la superficie es igujll al producto escalar_del campo eléctrico E por c:1 área vectorial A. 842 CAPíTULO 22 I LeydeGauss E ¿Qué sucede si el campo eléctrico no es uniforme, sino que varia de un punto a otro en el área A? ¿O si A es parte de una superficie curva? En tales casos se divide A en muchos elementos pequeños dA, cada uno de los cuales tiene un vector unitario ñ perpendicular a él y un vector área dA = ii dA. Se calcula el flujo eléctrico a través de cada elemento y se integran los resultados para obtener el flujo lotal: <1>,= fECos4>dA= fE,dA= fE'dA (22.5) (definición general de flujo eléctrico) A esto se le llama la integral de superficie de la componente El. con respeclo al área, o integral de superficie de E-dA. Las diversas formas de la integral expresan todas lo mismo en términos distintos. En problemas específicos, a veces una forma es más conveniente que otra. El ejemplo 22.3 al final de esta sección ilustfa el uso de la ecuación (22.5). En la ｮ￳ｾ｣｡ｵ･ (22.5) el flujo eléctrico fE.L dA es simplemente igual al produclo del valor promedio de la componenle perpendicular del campo eléctrico por el área de la superficie. ÉSla es la misma definición de flujo eléctrico a la que llegamos en la sección 22.2, ahora expresada en términos más matemáticos. En la sección siguiente veremos la relación entre el flujo eléctrico total a Iravés de cualquier superficie cerrada, cualquiera que sea su forma y la cantidad de carga encerrada dentro de esa superficie. Ejemplo Flujo eléctrico a través de un disco 22 1 Un disco cuyo radio mide 0.10 m está orientado con su vector unitario nonnal ñ formando un ángulo de 300 respecto a un campo eléctrico uniforme E cuya magnitud es de 2.0 X 103 N/C (Fig. 22.7). (Puesto que esta superficie no es cerrada, no tiene un "adentro" ni un "afuera". Es por ello que se debe espedficar la dirección de ñ en la figura). a) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través del disco? b) ¿Cuál es el flujo a través del disco si éste se orienta de modo que su normal sea perpendicular a E? c) ¿Cuál es el flujo a través del disco si su normal es paralela a E? lm!I3l1JlI b) La normal al disco es ahora perpendicular a E. por tanto. ,p = 90", cos,p = OY<lJE = O. No hay f!..ujo a través del disco. c) La normal al disco es paralela a E. por tanto, ,p = O, cos 4J = 1 Y el flujo tiene su valor máximo posible. De la ecuación (22.1), 4l E = EA cos 4J = (2.0 X 16' N/C) (0.0314 m2 )( 1) :::63N·m2/C EVALUAR: Como comprobación de los resultados, adviértase que la respuesta al inciso (a) es menor que la respuesta al inciso (e). ¿Es así como debe ser? IDENTIFICAR: Este problema se refiere a una superficie plana en un campo eléctrico uniforme; por tanto, podemos aplicar las ideas de esta sección. r:O.IOm .l-"30"'---_ _ i! PLANTEAR: La orientación del disco es como la del rectángulo de la figura 22.6b. El flujo e1Carico se calcula mediante la ecuación (22.1). EJECUTAR: a) El area esA = 17"(0.10 m)2 = 0.0314 m2 y el ángulo entre E y \ A = Añ es (ji = 3()<'; por tanlo, <lJE = E.4 cos .; = (2.0 x 16' N/C)(0.0314 m2 )( cos 3lY') 2 = 54N·m /C Ejemplo 22.2 , 22.7 El flujo eléctrico a traves de un disco depende del angula entre su normal ñ yel campo eléctrico E. Flujo eléctrico a través de un cubo Se coloca un cubo de lado L en una región de campo eléctrico uniforme E. Halle el flujo eléctrico a través de cada cara del cubo y el flujo total a través del cubo cuando el cubo a) está orientado con dos de sus caras perpendiculares al campo E. como en la figura 22.8a; b) se hace girar un ángulo 9. como en la figura 22.8b. 22.2 I Cálculo del flujo 843 ･ｬｾ ｲｩ｣ｯ E El flujo es negalivo en la cara 1, donde eslá dirigido hacia el cubo, y positivo en la cara 2, donde E se dirige hacia afuera del cubo. El flujo lotol a través del cubo es la suma de los flujos a través de las seis caras: i: + $[2 + $0 + cbE-' + cbn + <l>a¡ = _EL 1. + EL 2 +0 +0 + O + O =0 $[ = $C1 '. ". (b) (.) 22.8 Flujo eléctrico de un campo uniforme cúbica de lado L en dos orientaciones. Ea través de una caja b) Los flujos a través de las caras 1 y 3 son negativos, puesto que E está dirigido hacia esas caras; la dirección del campo es hacia afuera respecto a las caras 2 y 4, dc modo que los flujos a través de esas caras son positivos. Se encuentra que cb[l lm!I!l'illI Ees uniforme y cada una de las seis caras del cubo es una superficie plana, el flujo a través de cada cara se halla medianle las ecuaciones (22.3) y (22.4). Después se calcula el flujo lotal a través del cubo sumando los seis flujos individuales. EJECUTAR: a) En la figura se muestran los vectores unilarios de cada cara (ñ 1 añ J, la dirección ele cada veelorunitario es hacia ofllero desde la superficie cerrada del cubo. El ángulo entre Ey ñ I es de 180"; el angulo entre E y ñ 1 es de 0"; y el angulo entre E y cada uno de los otros cuatro vcelOres unitarios es de 90". El área de cada cara e1e1 cubo es L': por tanlo. los flujos a tra\"és de cada una ele las caras son ＤｾＱ E·ñIA = f:·ñ.A = = EL'cos 22.3 / ISOQ = EL'cosO" $0 = $E-< = <liD = Ejemplo l·ñ1A = EL 1. cos(I80" - -. IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Pueslo que $t"l = = -EL· 6) = -EL'cos6 , <1>n=E'R2A=+EL cos8 $D = $E4 = ＤｴＢｾ = ＼ｬ＾ｾＧｴｩ E·ñ]A E·ñ 4A = EL 1 cos(90" + 6) = -EL1. sen6 = EL1cos(90" - 6) ='+EL1 sen8 = EL 1 cos 90" = O El flujo total <1>[ = (iJ el + $n + <):lo + (bE-' + de la superficie del cubo es nuevamente cero. <):ln + (1)[Ó a través EVALUAR: No es sorprendente que el flujo total sea cero COD ambas orientaciones. Llegamos a esta misma conclusión al analizar la figura 22.3c en la sección 22.1. Ahí observamos que babia un flujo neto nulo de un campo eléctrico unifonne a través de una superficie cerrada que no contiene carga eléctrica. = +EL1 cl>a; = EL 1. cos90 = O Q Flujo eléctrico a través de una esfera Una carga puntual positiva q = 3.0 p.C está rodeada por una esfera centrada en la carga y cuyo radio es de 0.20 m (Fig. 22.9). Halle el flujo eléctrico a través de la esfera debido a esta carga. lm!I!l'illI IDENTIFICAR: En eSle caso la superficie no es plana y el campo eléctrico DO es unifonne; por tanto. se debe aplicar la definición general del flujo electrico. PLANTEAR: Se calcula el flujo eléctrico (la variable que se busca) con base en la ecuación (22.5). Dado que la esfera está centrada en la carga puntual, en cualquier punto de la superficie esférica E está dirigido hacia afuera de la esfera, perpendicularmente a la superficie. La dirección positiva tanto de ¡, como de El. es hacia afuera; por tanto, El. = E Y el flujo a través de un elemento de superficie dA es E'd4 = E dA. Esto simplifica considerablemente la integral de la ecuación (22.5). EJECUTAR: En cualquier punto de la esfera la magnitud de E es: q 30x JO-óc ｅｾＭ Ｑ］ＨＹＮＰｘｉ ｎﾷｭＲＯｃ Ｉ 2 4r.1or (0.20 m) = 6.75 X l()'l N/e Pueslo que E es igual en todos los puntos, se puede sacar de la integral <):le = fE dA de la ecuación (22.5). Lo que resta es la integral fdA. que es simplemente el área total A = 41T,J de la superficie esferica. Por tanto. el flujo total hacia afuera de la esfera es 22.9 Flujo eléctrico a través de una esfera centrada en una carga puntual. ltle = EA = (6.75 X IO s N/C)(4r.)(O.20m)2 =3.4X I()'lN'm 2/C 844 I t :1 CAPíTULO 22 I Ley de Gauss EVALUAR: Dese cuenta que dividimos entre ,J = (0.20 m)l para hallar E, y luego multiplicamos por r = rectangulares cerradas de dos tamaños distintos que encerraban una carga puntuaL En este caso encontramos que el flujo de era independiente dellamaño de la superficie; este mismo resultado es válido con respecto a una superficie esférica. De hecho, el flujo a través de cualquier superficie que encierre una sola carga puntual es indepen- E (0.20 m)2 para hallar 11<;; por tanto, el radio r de la esfera se cancela en el resultado de 1lE " Se habría obtenido el mismo flujo con una esfera cuyo radio fuese de 2.0 m o 200 ro. En esencia, llegamos a la misma conclusión en nuestro análisis de la figura 22.4 en la sección 22.1, donde consideramos superficies diente de la fanna o tamaño de la superficie, como pronto veremos. va ue su com re A fin de g,; ar., a ｾ｡､ maxiina de energía eléctrica, los paneles solares se instalan d o o que estén aproximadamente de _cara al Sol como sea posible ?Explique en qué sentido esta orientación es análoga a la obtención (Fig. del flu'o eléctrico máximo a través de una superficie plana. 22J.0 , Ley de Gauss \\ "\ La ｬ･ｾ ｇ｡ｵｳ es una alternativa de la ley de Coulomb. Aunque es totalmente e'l!:.:ivalente ｾ de ｹｾＩ｡Ａｋｵｯ｣ de Gauss ｯｦｲ･ｾ ｾｮ｡ manera diferente de expresar la relaclOn entre-la carga electnca y el campo electnco. Fue formulada por Carl Friedrich Gauss (17-7?c::=l855), uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Muchos campos de las matemáticas ostentan el distintivo de su influencia e hizo aportaciones igualmente importantes a la física teórica (Fig. 22.11). La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada (una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie. En la sección 22.1 observamos cualitativamente esta relación para ciertos casos especiales; ahora la desarrollaremos con más rigor. Comencemos con el campo de una sola carga puntual positiva q. Las líneas de campo se extienden en forma radial hacia afuera en todas direcciones por igual. Si colocamos la carga en el centro de una superficie esférica imaginaria de radio R, la magnitud E del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie está dada por ｾ I I• 22.10 Estos paneles solares están inclinados de frcntc al Sol. ¿Qué relación hay entre la inclinación y la definición de flujo eléctrico? 1 q E = - - -2 471" E o R I ｾ .. En cada punto de la superficie, i: es perpendicular a ésta y su magnitud es la misma en todos los puntos, como en el ejemplo 22.3 (sección 22.2). El flujo eléctrico total es simplemente el producto de la magnitud del campo E por el área total A = 471"R 2 de la esfera: ｾ 1 q q <PE = EA = --2"(41TR 2) = 41TEo R EO 22.11 Carl Fricdrich Gauss contribuyó al desarrollo de varias ramas de las matemáticas, entre cllas la gcomctria diferencial, el análisis real y la teoria de números. La "curva de campana" de la estadistica es una de sus invenciones. Gauss también realizó investigaciones de avanzada del magnetismo terrestre y calculó la órbita del primer asteroide que se descubrió. (22.6) Elfiujo es independiente del radio R de la esfera. Depende únicamente de la carga q encerrada por la esfera. Este resultado se puede interpretar también en términos de lineas de campo. La figura 22.12 muestra dos esferas de radios R y 2R, respectivamente, centradas en la carga puntual q. Cada Hnea de campo que atraviesa la esfera pequeña también atraviesa la esfera grande, por 10 que el flujo total a través de cada esfera es el mismo. Lo que es verdad ace¡ca de la esfera en su totalidad 10 es también respecto a cualquier porción de su superficie. En la figura 22.12 un área dA aparece dibujada sobre una esfera de radio R y luego proyectada sobre la esfera de radio 2R trazando lineas que parten del centro y pasan por puntos sobre la frontera de dA. El área proyectada 22.3 I Ley de Gauss sobre la esfera más grande es evidentemente 4 dA. No obstante, dado que el campo electrico debido a una carga puntual es inversamente proporcional a ,J, la magnitud del campo es cuatro veces menor en la esfera de radio 2R que en la de radio R. Por consiguicnte, el flujo electrico es el mismo en ambas áreas y es independiente del radio dc la esfera. Esta técnica de proyección nos mucstra cómo extender este análisis a superficies no esféricas. En vez de una segunda esfera, rodeemos la esfera de radio R con una superficie de forma irregular, como en la figura 22.13a. Considérese un elemento pequeño de área dA sobre la superficie irregular; vemos que esta área es más grande que el elemento correspondiente sobre una superficie esférica a la misma distancia de q. Si una normal a dA forma un ángulo l/J con una línea radial proveniente de q, dos lados del área proyectada sobre la superficie esférica son reducidos por un factor de cos ljJ (Fig. 22.13b). Los otros dos lados no cambian. Por tanto, el flujo eléctrico a través dcl elemento de la superficie esférica es igual al flujo E dA cos ljJ a través del elemento correspondiente de la superficie irregular. Podemos dividir toda la superficie irregular en elementos dA, calcular el flujo eléctrico E dA cos ljJ correspondiente a cada uno y sumar los resultados por integración, como en la ecuación (22.5). Cada uno de los elementos de área se proyecta sobre un elemento correspondiente de la superficie esférica. Así, el flujo electrico IOtal a través de de la superficie irregular, dado por cualquiera de las formas de la ecuación (22.5), debe ser el mismo que el flujo total a través de una esfera, que según la ecuación (22.6) es igual a ｱＯｾｯＧ De esta manera, para la superficie irregular, 4>c= j- - q (22.7) E'dA=- 845 22.12 Proyección de un elemenlo de área tiA de una esfera de radio R sobre una esfera concénlTica de radio 2R. La proyección multiplica las dimensiones lineales por 2; por tanto, el elemento de área en la esfera mas grande es 4 dA. El mismo nlimero de lineas de campo y el mismo flujo pasan a traves de cada elemento de área. " La ecuación (22.7) es válida para una superficie de cllalqlúer fonna o tamaño. con la sola condición de que se trate de una superficie cerrada que encierra la carga q. El circulo sobre el signo de integral nos recuerda que la imcgral se toma siempre con respecto a una superficie cerrada. Los elementos de área dA y los vectores unitarios;' correspondientes siempre apuntan hacia afuera del volumen encerrado por la superficie. Así, el flujo eléctrico es positivo en las regiones donde el campo eléctrico apunta hacia afuera de la superficie y ne@tivo donde apunta hacia adentro. Asimismo, El. es positivo en los puntoS donde E apunta hacia afuera respecto a la superficie y negativo en los puntos donde Eapunta hacia adentro de la superficie. _ Si la carga punrual de la figura 22. 13 es negativa, el campo E está dirigido en forma radial hacia adelllro; el ángulo rP es entonces mayor de 90°, su coseno es Normal a la superlicie safieme E... q (.) (b) 22.13 (a) La normal a la superficie saliente forma un ángulo 4> con la dirección de E. (b) La proye<:ción del elemento de área dA sobre la superficie esférica es dA cos ,p. 846 CAPÍTULO 22 I Ley de Gauss negativo y la integral de la ecuación (22.7) es negativa. Antes bien, dado que q también es negativa, la ecuación (22.7) sigue siendo valida. Para una superficie cerrada que /lO encierra carga, l1>E = Unca de campo penetrando la superiicie Misma lioea de campo saliendo por l. superficie 22.14 Carga puntual uuma de una su· perficie cerrada que no encierra carga. Si una línea de campo eléctrico de la carga externa penetra la superficie en un punlo, debe salir por otro. fEodA '" O Éste es el enunciado matemático que, cuando una región no contiene carga, cualesquiera líneas de campo originadas por caJg8S situadas afuera de la región que entran por IDllado deben salir por el otro lado. (En la sección 22.1 llegamos a la misma conclusión coffiidernndo el caso especial de una caja rectangular en un campo uniforme). La figura 22.14 ilustra este punto. Lar líneas de campo eléctrico pueden inicilJr o terminar den/ro de WIQ región del espacio sólo cUlJlldo hay carga en esa región. Ahora viene la etapa fmal panrobtener la fonna general de la ley de Gauss. Supóngase que la superficie encierra no sólo una_carga puntual q, sino varias cargas q), ql. q)..... El campo eléctrico total (resultante) E en cualquier punto es la suma vectorial de los campos Ede las cargas individuales. Sea Q-la carga total encerrnda por la superficie: = ql + q2 + qJ.. + .... Sea además Eel campo total en la posición del elemento de área superficial dA, y sea El. su componente perpendicular al plano de ese elemento (es decir, paralelo a dA). En estas condiciones se puede escribir una ecuación como la ecuación (22.7) con respecto a cada carga y su campo correspondiente y sumar los resultados. Al hacerlo, se obtiene el enunciado general de la ley de Gauss: º- cflE = • ｪ ｾ ｾ ｾ＼ｑ E'dA = - 'o (ley de Gauss) (22.8) El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total (neta) presente en el interior de la superficie, dhidida entre €o' IDAD Recuerde que la superficie cerrada de la ley de Gauss es imaginaria; no es necesario que haya objeto material alguno en la posición de la superficie. Se suele hacer referencia a las superficies cerradas que se emplean en la ley de Gauss como superficies gausslanas. (a) Superficie gaussiana en lomo a una carga positiva: flujo positivo (salieme) Con base en la definición de Q.nc y las diversas maneras de expresar el flujo eléctrico dadas en la ecuación (22.5), se puede expresar la ley de Gauss de las formas equivalentes siguientes: ＼ｉ＾Ｎｾ jEOOS<PdA ｾ jE,dA ｾ jE.JA ｾ ｾ (22.9) (diversas formas de la ley de Gauss) (b) Superficie ¡aussiana en lomo a una car¡a negativa: flujo negativo (enlJalUe) 22.15 Superficies gaussianas esfericas en tomo a (a) una carga puntual positiva y (b) una carga puntual negativa. Al igual que en la ecuación (22.5), las diversas fonnas de la integral expresan todas lo mismo. Una fonna resulta a veces más conveniente que otra. Como ejemplo, la figura 22.15a muestra una superficie gaussiana esférica de radio r en tomo a una carga puntual positiva +q. El campo eléctrico apunta hacia afuera respecto a la superficie gaussiana. de modo que en todos los puntos de la superficie E tiene la misma dirección que dA, tP = o. yEl. es igual a la magnitud del campo E = qI47TW. Puesto que E es la misma en todos los puntoS de la superficie. se puede sacar de la integral en la ecuación (22.9). Asi. la integral restante es = A = 47Tr\ el área de la esfera. Por tanto, la ecuación (22.9) se convierte en IdA 22.3 I Ley de Gauss 847 La carga encerrada ｑｾ es simplemente la carga +q, así que esto concuerda con a ley de Gauss. Si la superficie gaussiana encierra una carga punrual negaJíva ｃｾ mo en la figura 22.15b, enlonces Eapunta hacia el interior de la superficie en cada punto en la dirección opuesla a dA. En estas condiciones <P = 1800 Y E.L es igual al negalivo de la magnitud del campo: El. = -E = -1-qI/47TEo? = -q/4'iiV. La ecuación (22.9) se transfonna entonces en cJ>E = f EJ. dA = f( -q ) dA = - -q -, 4'1TE or ---, 41rf"or" f dA = -q 4r.r 2 =-q - ---2 41TE OT EO Una vez mas, esto concuerda con la ley de Gauss porque la carga encerrada de [a figura 22.15b es Q"oc = -q. En las ecuaciones (22.8) y (22.9), Q"n<; es siempre la suma algebraica de todas las cargas positivas y negativas encerradas por la superficie gaussiana, y es el campo fOtal en cada punto de la superficie. Dese cuenta además que, en general, este campo se debe en parte a cargas que están dentro de la superficie y en parte a cargas que están afuera. Pero como lo muestra la figura 22.14, las cargas externas /10 contribuyen al flujo total (neto) a traves de la superficie. Así pues, las ecuaciones (22.8) y (22.9) son correctas incluso cuando hay cargas afuera de la superficie que contribuyen al campo eléctrico en la superficie. Cuando Q_ = O, el flujo total a través de la superficie gaussiana debe ser cero, no obstante que algunas regiones pueden tener flujo positivo y otras flujo negativo (véase la Fig. 22.3b). La ley de Gauss es la respuesla definitiva a la pregunta planteada al iniciar la sección 22.1: "Si se conoce la configuración del campo eléctrico en una región determinada, ¿qué se puede saber acerca de la distribución de carga en esa región?" Esta ley proporciona una relación entre el campo eléctrico sobre una superficie cerrada y la distribución de carga dentro de esa superficie. Pero en cienos casos la ley de Gauss permite responder la pregunta inversa: "Si se conoce la distribución de carga, ¿que se puede saber acerca del campo eléctrico que la distribución de carga produce?" La ley de Gauss puede parecer una manera poco alractiva de abordar esta cuestión, pues quizá parezca que la evaluación de la integral de la ecuación (22.8) es una tarea imposible. A veces lo es, pero en arras casos resulta sorprendentemente fácil. He aquí un ejemplo en el que no es imegraci6n alguna; resolveremos varios ejemplos más en la sección siguiente. E • Ejemplo conceptual 22.4 Flujo eléctrico y carga encerrada La figura 22.16 mueSlra el campo producido por dos cargas punlUales +q y -q de igual magnitud pero de signo opuesto (un dipolo eléctrico). Halle el flujo eléctrico a través de cada una de las superficies cerradas A, B, e y D. lm!I!r:D La definición de flujo eléctrico dada en la ecuación (22.5) tiene que ver con una integral de superficie; de esta manera, podria parecer que se n:quien: resolver una integral. Pero la ley de Gauss afuma que el flujo eléctrico total a [raves de una superficie cerrada es igual al cociente de la carga total encerrada entre Ea- Por inspección de la figura 22.16. la superficie A (en rojo) encierra la carga positiva. de modo que Q_ = +q; la superficie B (en ｡ｺｵｬＩ･ｮ｣ｩｾｲ la carga ne= -q; la superficie e (en amarillo), que enciegativa, asi que rra ambas cargas, tiene una Qoac: "" +q + (-q) = O; Y la superficie D (en morado), que no encierra carga alguna, también tiene una º_ 22.16 El numero neto de lineas de campo que salen de una superficie cerrada es proporcional a la carga tOlal encerrada por esa superficie. 848 CAPíTULO 22 1 Ley de Gauss Q... = O. PoI'" consiguiente. sin necesidad de hacer ninguna integración. se concluye que los flujos totales de las diversas superficies en el caso de la superficie A, $E = ＭｱＯｾ en el de son et>{ =: ＫｱＯｾ la superficie 8, y <1>f '" Oen el de las superficies lanlo e como D. Estos resultados dependen únicamente de las cargas encerradas dentro de cada superficie gaussiana, no de la fonna precisa de las superficies. Por ejemplo, compárese la superficie e con la superficie rectangular que se muestra en la figura 22.3b, que también encierra las dos cargas de un dipolo eléctrico. También en ese caso se llegó a la conclusión de que el flujo neto de E era cero; el flujo entrante en una pane de la superficie compensa exactamente el flujo saliente en el resto de la superficie. Podemos sacar conclusiones semejantes examinando las lineas de campo eléctrico. La superficie A encierra sólo la carga Positiva: en la figura 22.16, 18 de las líneas representadas cruzan A en una dirección saliente. La superficie 8 encierra unicameote la carga negativa y la cruzan estas mismas 18 líneas, pero en una dirección entrante. La superficie e encierra amba.f cargas y la cruzan lineas cn 16 puntos; en 8 intersecciones las lineas son salientes y en 8 son entrantes. El número 111:10 de líneas que cruzan en dirección saliente es cero y la carga neta en el interior de la superficie también es cero. La superficie D es cruzada en 6 puntos; en 3 puntos las lineas son salientcs y culos otros 3 son entrantes. Tanto el número oeto de lineas que CruzaD en dirección saliente como la =arga total encerrada son cero. Hay puntos de las superficies donde E no es perpendicular a la sup«ficie, pero esto no influye en el conteo de las líneas de campo. ¿Cuál es el flujo electrico lotal a través de una superficie que encierra totalmente un ion litio negativo (Fig. 21.4c)? ¿Cómo influiria en su respuesta el hecho de que se extendiera la superficie sin dejar de encerrar el ion (y ninguna otra carga)? 22.4 I Aplicaciones de la ley de Gauss La ley de Gauss es válida con respecto a cualquier distribución de cargas y a cualquier superficie cerrada. Esta leyes útil de dos maneras. Si se conoce la distribu- Supcrtície gaussiana A adentro del COOOUCllJf CorKIuetor (se muestra en (se m...... tra en corte lT3ruivasaJ.) corte ｴ ｲ ｡ ｮ ｳ ｶ ｾ Ｉ Carga en la superficie del conductor 22.17 En condiciones electrostáticas (cargas sin movimicnto), todo exceso de carga en un conductor sólido reside en su totalidad en la superficie del conductor. ción de carga, y si ésta liene la simetria suficiente para que sea posible evaluar la integral de la ley de Gauss, se puede hallar el campo. O bien. si se conoce el campo, la ley de Gauss pennite hallar la distribución de carga, por ejemplo, las cargas sobre superficies conductoras. En esta sección se presentan ejemplos de ambas clases de aplicaciones. Al estudiarlos, procure identificar el papel de las propiedades de simetria de cada siste· ma. Emplearemos la ley de Gauss para calcular los campos eléctricos creados por varias distribuciones de carga simples; los resultados se reúnen en una tabla en el resumen del capitulo. En los problemas prácticos es frecuente encontrar situaciones en las que se desea conocer el campo electrico creado por Llna distribución de carga sobre un conductor. Estos cálculos se facilitan en virtud del hecho notable siguiente: Cl/alldo se coloca en 1/11 cOllductor 1111 exceso de carga y ésta se halla en reposo. reside el! Sil totalidad en la superficie, 110 en el ill1erior delnuuerial. (Un exceso significa cargas diferentes de los iones y electrones libres que constituyen el conductor neutro). La prueba es la siguiente. Sabemos (sección 21.4) que en una situación electrostática (con eléctrico E en lodos los puntos del interior de todas las cargas en reposo) el ｾｭ｡｣ un material conductor es cero. Si E 110 fuera cero, las cargas se desplazarian. Supóngase que se construye una superficie gaussiana dentro de un conductor, como la superficie A de la figura 22.17. Puesto que E = Oen todos los puntos de esta superficie. la ley de Gauss exige que la carga neta dentro de la superficie sea cero. Ahora supongamos que la superficie se encoge como un globo que se desinfla hasta encerrar una región 130 pequeña que se puede considerar como un punto P; entonces la carga en ese punto debe ser cero. Se puede hacer esto dondequiera en el interior del conductor; por tamo, /10 puede haber 11I1 exceso de carga en plinto alguno den- lro de UII conductor sólido: todo exceso de carga debe residir en la superficie del cOllductor. (Este resultado corresponde a un conductor sólido. En la sección que sigue comentaremos lo que puede ocurrir si el conductor tiene cavidades en su interior). Haremos uso frecuente de este hecho en los ejemplos. 22.4 1 Aplicaciones de la ley de Gauss Estrategia para resolver problema 849 Con la ley de Gauss IDENTIFICAR los eonuptos ｾｮｩｬ ･ｮｵｳＺ la ley de Gauss resulta más litil en situaciones donde la distribución de C3IIf<l tiene simetria esférica o cilíndrica o es uniforme en todo un plano. En estas sinra· ciones se establece la dirección de Ea partir de la simetria de la distribución de carga. Si se proporciona la distribución de carga, la ley de Gauss permite hallar la magnirud de E. Por otra parte, si se co- 3. ｾ･ el campo, la ley de Gauss permite establecer los dctalles de la disllibución de carga. En uno u otro caso, inicie su análisis formulando la pregunta: "¿cuál es la simetría?" integral pEｾ dA con respecto a la superficie cerrada en su totalidad siempre es igual a la suma de las integrales con mpecto a IOdas las superficies individuales. Algunas de estas integrales pueden ser cero, como lo mueslran los puntos 4 y S siguientes. Si es perpendicular (normal) en todos los puntos a una superficie de área A, si apunta hacia afuera desde el interior de la superficie y si además tiene la misma magniwd en todos los puntos de la superficie, entonces E.1 ; E = constante. y fE.1 dA con respecto a la superficie es igual a EA. Si más bien es perpendicular y elllrtlll/e, en tal caso E.1 = - E Y fE.!. dA = -EA. Si es tangellle a una superficie en todos los puntos, por tanto E.1 = OY la imegral con rcspecto a esa superficie es cero. Si = Oen todos los puntoS de una superficie, la integral es cero. En la integral PE.1 dA, E.1 es siempre la componente perpendicular del campo electrico total en cada punto de la superficie gaussiana cerrada. En general, este campo puede deberse en pane a cargas situadas dentro de la superficie y en parte a cargas que están afuera de ella. Incluso cuando no hay carga dentro de la superficie, el campo en todos los puntos de la superficie gaussiana no es necesariamente cero. De cualquier manera, en ese caso la integral con respecto a la superficie gaussiana, es decir, el flujo eléctrico tOlal a través de la superficíe gaussiana, siempre es cero. Una vez evaluada la integral, resuelva la IXuación (22.9) a favor de la variable que busca. E E PLANTEAR el problema wiliwndo las etapas siguientes: 1. 2. 3. • Elija la superficic que utilizará COll la ley de Gauss, a la cual se le suele llamar superficie gau,I'Jiana. Si sc propone hallar el campo en un punto determinado, entonces ese punto debe estar sobre la superficic gaussiana. No es necesario que la superficie gaussiana sea una superficie fisica real, como una superficie de un cuerpo sólido. En muchos casos la superficie apropiada es una superficie geométrica imaginaria: puede ser espacio "acío, estar incrustada en un cuerpo sólido, o ambas cosas. Por lo general se puede evaluar la integral de la ley de Gauss (sin ayuda de una computadora) sólo si la superficie gaussiana y la disrribución de carga tienen alguna propiedad de simenía. Si la distribución de carga tiene simetría cial líndrica o esferica, elija una superficie gaussiana ｣ｯ｡ｾｩ ｬ cilindro o que sea una esf'era conci:ntrica, respectivamente. 4. 5. 6. EJECUTAR la soll/ción como sigile: l. 2. Lleve a cabo la integral de la ecuación (22.9). Esto puede parecer una tarea de enormes proporciones, pero la simetria de la distribución de carga, aunada a una elección cuidadosa de la superficie gaussiana. la facilita enormemente. En muchos casos es posible pensar en la superficie gaussiana cerrada como compuesta de varias superficies individuales, como los lados y los extremos de un cilindro. La Ejemplo 22.5 7. E E EVALUAR la respues/a: En muchos casos el resultado será una f1ll1dól1 quc ､｣ｾ ｲｩ｢･ cómo varia la magnitud del campo eléctrico con la posición. Examine esta función con ojo crítico para ver si es razonable. Campo de una esfera conductora con carga Se coloca una carga ¡mítiva q en una esfera conductorn sólida de radio R (Fig. 22.18). Halle Een cualquier punto adentro o afuera de la esfera. llil!!miD IDENTIACAR: Como ya se comenlÓ en esta sección.. toda la cwga debe estar en la superfIcie de la esfm. El sistema ticne simetría merlca. PLANTEAR: Para aprovechar la simetria, se toma como superficie gaussiana una esfera imaginaria de radio rcentrada en el conductor. Para calcular el campo afuera del conductor, se toma r como mayor que el radio del conductor R; para calcular el campo adentro, se lOma r como menor que R. En ambos casos. el punto dondc se desea calcular E sc encuentra sobre la superficie gaussiana. EJECUTAR: El papel de la simetria amerita un anáJisis minucioso an· tes de realizar algún cálculo. Cuando se afiona que el sistema es estericamente simétrico, quiere decir que si se hace girar el s.istema un ángulo cualquim alrededor de cualquier eje que pase por St.I centro. después de la rotación no se puede distinguir del sistema.original sin rotación. Nada hay en el sistema que pennita distinguir una dirección u orienlaCión en el espacio de otra. La carga úene libertad de movimiento en el conductor y nada tiene el cOl1ducrorquc pudiese inducirla a concentrarse más en unas regiones que en otras. Si no fuera uniforme, entonces al hacer girar el sistema la esfera tendria el mismo aspecto pero la distribución de carga se veria diferente, y ninguna propiedad de la esfera puede hacer que esto ocurra. Por tanto, se concluye que la carga está distribuida 1I11ijonllemellle en toda la superficie. 850 CAPÍTULO 22 I Ley de GauSR Partes de las superficies gaussianas / i! Ｚｉ｟ｾＢ ＭＧｾ E(R) = ＴＱｔｾｯ R --- ,,, ,, , E- ,,, ----+--, , - , , , , , , , _'_.!L2 ＴＱｔｾｏ E(R)14 E(R)19 - - - - t - - - - - j - - - r , , , , , -------;t-.,..-¿---{¡;' --t,c--' OlR2R3R E=O ¡: 22.18 En condiciones electrostáticas el campo eléctrico adentro de una esfera conductora sólida es cero. Afuera de la esfera el campo eléctrico decae con l/r, como si todo el excc.so de carga de la esfera estuviese concentrado en su centro. I Un argumento similar demuestra que la dirección del campo eléctrico debe ser radial, como se muestra en la figura 22.18. Si nuevamente se hace girar el sistema, la disposición del campo del sistema con rotación debe ser idéntiq a la del sistema originaL Si el campo tuviese una componente en algún punto perpendicular a la dirección radial, esa componente tendría que ser diferente al cabo de al menos algunas rotaciones. Por tanto, no puede haber una componente de esta naturaleza, y el campo debe ser radial. Por la misma razón, la magnitud E del campo sólo puede depender de la distancia r respecto al centro y debe tener el mismo valor en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica con el conductor. La elección de una esfera como superficie gaussiana permite aprovechar estas propiedades de simetria. Consideramos primero el campo afuera del conductor; por consiguiente, elegimos r > R. El conductor en su totalidad está dentro dc la superficie gaussiana; por tanto, la carga encerrada es q. El área dc la superficie gaussiana es 4nr, Ees unifonne en toda la superficie y perpendicular a eila en 10"dOS los puntos. La integral de flujoPE.I. dA de la ley de Gauss es en consecuencia simplemente E(4nr 2) y la ecuación (22.8) da '. E(47Tr)=!!.... , q Eo--47Tf;O ｾｲ _ y Esta expresión del campo en cualquier punto afuera de la esfera (r > R) es igual a la de una carga puntual; el campo debido a la esfera con carga es equivalente al que habría si todas la carga estuviese concentrada en su centro. Inmediatamente afuera de la superficie de la esfera, donde r = R, I q Eo--47Tt'O R 2 (en la superficie de una esfera conductora con carga) lQ.é.D_O Recuerde que hemos optado por que la carga elegida Q sea positiva. Si la carga es negativa, el campo eléctrico es radial mente entrante en vez 'de radialmente ｾ｡ｬｩ･ｮｴ Ｎ y el flujo eléctrico a través de la superficie gaussiana es negativo. Las magnitudes del campo eléctrico afuera y en ia superficie de la esfera están dadas por las mismas expresiones que antes, excepto que q denota la magnitud (valor absoluto) de la carga. Para hanar E adentro de! conductor se usa una superficie gaussiana esférica de radio r > R. La simetría esférica nos dice una vez más que E(47Tr) = Q,.,,)4;. Sin embargo, debido a que toda la carga está en la superficie de! conductor, la superficie gaussiana (que está en su totalidad adentro del conductor) no encierra carga alguna. Así pues, Q.oc = O y, por tanto, el campo eléctrico adentro del conductor es cero. EVALUAR: Ya sabemos que E = Oadentto del conduclor, como debe ser en el interior de todo conductor sólido cuando las cargas están en reposo. La figura 22.18 muestra E en función de la distancia r respecto al centro de la esfera. Dése cuenta que en el límite cuando R ｾ Ola esfera se conviene en una carga punrual; en esas condiciones hay sólo un "afuera", y el campo está dado en todas partes por E = q/47T4;? De esle modo hemos deducido la ley de Coulomb a panir de la ley de Gauss. (En la sección 22.3 dedujimos la ley de Gauss a panir de la ley de Coulomb, así que con esto se completa la demostración de su equivalencia lógica). Esle método también es aplicable a un eonductorforma de cas·. carón esférico (con un conductor esférico con un hueco esférico concéntrico en el centro) y no hay carga dentro del hueco. Se usa una superficie gaussiana esférica de radio r, menor que el radio del hueco. Si hllbiera un campo dentro del hueco, tendría que ser radial y esféricamente simétrico, como antes; por tanto, E = Q""d47Tfor2. Pero ahora no hay carga encerrada, asi que Qenc = O YE = Oen el interior del hueco. ¿Se puede emplear esta misma técnica para hallar el campo eléctrico en e! espacio intennedio entre una esfera con carga y una concéntrica que la rodea? esfera conductora ｨｵ･ｾ｡ (afuera de una esfera conductora con carga) ｾ Campo de una carga lineal Se tiene carga eléctrica distribuida de manera unifonne a lo largo de un alambre delgado infinitamente largo. La carga en cada unidad de longitud es A (se supone positiva). Halle el campo eléctrico. (Esto es una representación aproximada del campo de un alambre finito con carga unifonne, siempre y cuando la distancia del punto de campo al alambre sea mucho menor que la longitud del alambre). 851 22.4 1 Aplicaciones de la ley de Gauss lml:!mI SuperfICie IDENTIFICAR: El sistema tiene simetría cilíndrica. El campo debe gaUS!;iana apuntar alejándose de las cargas positivas. Para establecer la direeción de Econ más precisión, así como el modo como su magnitud depende de la posición, se hace uso de la simetría como en el ejemplo 22.5. PLANTEAR: Una simetría cilíndrica signifícJl. que se puede hacer girar el sistema cualquier ángulo en torno a su eje, y se puede desplazar cualquier distancia a 10 largo del eje; en todos los casos el sistema resultante no se puede distinguir del original. Con base en el mismo argumento empleado en el ejemplo 22.5, se concluye que E en cada puntO no cambia cuando se lleva a cabo una u arra de es· tas operaciones. El campo no puede tener una componente paralela al alambre; si la tuviese, sería necesario explicar por que las líneas de campo que comienzan en el alambre apuntan en una dirección paralela al alambre y no en la atta. Asimismo, el campo no puede lener una componenle tangenle a un círculo en un plano perpendicular al alambre con su centro en el alambre. Si lo tuviese, se tendría que explicar porque la componente esta dirigida en una dirección alrededor del alambre diferente a la otra Todo lo que resta es una componente radialmente hacia afuera con respecto al alambre en cada punto. Por tanto, las lineas de campo afuera de un alambre infinito con carga uniforme son radiales y se localizan en planos perpendiculares al alambre. La magnillld del campo sólo puede depender de la distancia radial respeclO al alambre. Estas propiedades de simetría sugieren el empleo como superfi. cie gaussiana de un cilindro de radio arbitrario r y longitud arbitra· ria 1, con sus extremos perpendiculares al alambre (Fig. 22.19). EJECUTAR: Se descompone la integral de superficie del flujo ｅｾ en una integral con respecto a cada extremO plano y una con respecto a porlas paredes laterales curvas. No hay flujo a ttaves de los ｾｸ･ que E se encuentra en el plano de la superficie y El. = O. Para hallar el flujo a traves de las paredes laterales, dése cuenta que E es perpendicular a la superficie en cada punto, por 10 que E := El.; por simetría, E tiene el mismo valor en todos los puntos de la pared. El área de la pared lateral es 211T/. (Para hacer un cilindro de papel de radio r y altura I se necesita un rectángulo de papel de anchura 2:rrr, altura I y área 21Trl). Por tanto; el flujo total !PE a traves de todo el cilindro es la suma del flujo a través de la pared lateral, que es (E)(271Ti), y el flujo cero a traves de los dos exlremos. Por úlrimo, se necesita la carga total encerrada, que es la carga en cada unidad de longitud multiplicada por la longitud del alambre que está adentro de la superficie gaussiana, esto es, O- = ).1. Por la ley de Gauss (ecuación (22.8)], = (E) (21Trl) = -Al ｅｾ E ｾ 1 A -- - 21T€O r 22.19 Se usa una superficie gaussiana cilíndrica coaxial pal1l hallar el campo eléctrico afuera de un alambre inímitamente largo con carga. EVALUAR: Dése cuenta que, no obstante que la toralidad de la carga del alambre ｣ｯｮｬｲｩ｢ｵｾ al campo, sólo se considera la parte de la carga total que está dentro de la superficie gaussiana al aplicar la ley de Gauss. Esto quizá parezca extraño; da la impresión de que, de al· gún modo, hemos obtenido la respuesta correcla sin tener en cuenta pane dc la carga, y que el campo de un alambre corto de longitud / sería el mismo que el de un alambre muy largo. Pero sí se incluye la totalidad de la carga del alambre al hacer uso de la simetría del problema. Si el alambre es corto, la simetría con respecto a desplazamientos a 10 largo del eje no está presente, y el campo no es uniforme en ténninos de magnitud en toda la superficie gaussiana. La ley de Gauss deja entonces de ser úlil y no sin'e para hallar el campo; la mejor forma de atacar el problema es mediante la técnica de integración empleada en el ejemplo 21.11. Se puede usar una superficie gaussiana como la de la figura 22.19 para moStrar que el campo en puntos situados afuera de un cilindro largo con carga uniforme es el mismo que se tendria si la caro ga estuviera concentrada en una recta a 10 largo de su eje. También se puede calcular el campo eléclrico en el espacio comprendido entre un cilindro con carga y un cilindro conductor coaxial hueco que 10 rodea. Éste es un modelo de un cable coaxial, como los cables con los que se conecta el televisor a una "toma" de televisión por cable (Fig. 22.20). Se dejan estos cálculos como problemas. , , y " (campo de una linea infinita con carga) Este resultado es el mismo que se obtuvo en el ejemplo 22.11 (sec· ción 21.5) por medios mucho más laboriosos. Hemos supuesto que 'JI. es positil'a. Si es negativa, está dirigido radial mente hacia adentro, de la linea de carga, y en la expresión anterior de la magnitud del campo E se debe interpretar 'JI. como la magnitud (valor absolulo) de la carga en cada unidad de longitud. E 22.20 En el interior de un cable coaxial hay un alambre conductor dentro de un cilíndro conductor. El campo electríco estático de este dispositi\'o se calcula con base en la ley de Gauss. 852 CAPíTULO 22 I Ley de Gauss Ejemplo 22.7 Campo de una lámina plana infinita de carga Halle el campo elécfrico creado por una lámina plana delgada infinita que tiene una carga positiva unifonncmente distribuida en cada unidad de área cr. lI!l!!l!mlI IDENTIFICAR: El campo dcbe apuntar alejándose de la lámina con carga positiva. Como en los ejemplos 22.5 y 22.6, antes de hacer cálculos se emplea la simetría (en este Ｌｯｳ｡ｾ simetría plana) para saber más acerca de la dependencia de E respecto a la dirección y a la posición. PLANTEAR: Una simenía plana significa que la distribución de carga no cambia si se desliza en cualquier dirección paralela a la lámina. De esto se concluye que en cada punto Ees perpendicular a la lámina. La simetría ｴ｡ｭ｢ｪﾡｾｮ nos dice que el campo debe tener la misma magnitud E a cualquier dislancia dada a uno u otro lado de la lámina. Para aprovechar cstas propiedades de simetria se emplea como superficie gaussiana un cilindro con su eje perpendicular a la lámina de carga y con extremos de área A (Fig. 22.21). EJECUTAR: La lámina con carga pasa por el punto medio de la longitud del cilindro, de modo que los extremos del cilindro están E.!. -E ｓｵｰ･ｲｦｪ｣ｩｾ gau:;>iana 22.21 Se utiliza una superficie gaussiana cilíndrica para hallar el campo de una lámina plana infinita de carga. Ejemplo 22.8 equidistantes de la lámina. En cada extremo del cilindro, E es perpendicular a la supcrficie y E.J. es igual a E; por tanto, el flujo a través de cada extremo es +EA. Puesto que E es perpendicular a la lámina con carga, es paralelo a la pared lateral curva del cilindro; por tanto, EJ. en esta pared es cero y no hay flujo a través de ella. La integral del flujo total de la ley de Gauss es entonces 2EA (EA de cada extremo y cero de la pared lateral). La carga neta dentro de la superficie gaussiana es la carga cn cada unidad de área multiplicada por el área dc la lámina encerrada por la superficie, es decir, Q""" = crA. Por consiguiente, la ley de Gauss [ecuación (22.8)J da "A 2EA = ｅｾ 'o " 2,. y (campo de una lámina infinita con carga) Este resultado es el mismo que se obtuvo en el ejemplo 21.12 (sección 21.5) mediante un cálculo mucho más complejo. El campo es uniforme y su dirección es perpendicular al plano de la lámina. Su magnitud es independiente de la distancia respecto a la lámina. Las líneas dc campo son, por consiguiente, rectas, paralelas unas a otras y perpendiculares a la lámina. Si la densidad de carga es ncgativa, E está dirigido hacia la lámina, el flujo a través de la supcrficie gaussiana de la figura 22.21 es negativo y cr de la expresión E = ｣ｲＯＲｾ denota la magnitud (valor absoluto) de la densidad de carga. EVALUAR: El supuesto de que la lámina es infinitamente grande es una idealización; en la naturaleza nada es infinitamente grande. Pero el resultado E = ul2€o es una buena aproximación en el caso de puntos próximos a la lámina (en comparación con las dimensiones de la lámina) y no demasiado cercanos a los bordes. En estos puntos, el campo es casi uniforme y perpendicular al plano. Campo entre placas conductoras paralelas con cargas opuestas A dos grandes placas planas conductoras y paralelas se les proporciona cargas de igual magnitud y signo opuesto; la carga por unidad de árca es +cr cn una y ｾ｣ｲ en la otra. Halle el campo eléctrico en la región comprendida entre las placas. lI!l!!l!mlI IDENTIFICAR: El campo entre las placas y alrededor de ellas es aproximadamente como se muestra en la figura 22.22a. Dado que las cargas opuestas se atraen, la ntayor parte de la carga se acnmula en caras interiores de las placas. Una cantidad pequeña de carga reside en las superficies exteriore.5 de las placas, y hay cierta dispersión o "pestañeo" del campo en las orillas. Pero si las placas son muy grandes en comparación con la distancia que las separa, la cantidad de carga en las snperficies exteriores es tan pequeña quc resulta insignificante, y se puede pasar por alto el "pestafieo", excepto cerca de las orillas. En este caso se supone qne el campo es unifonne en [a región interior entre las placas, como en la figura 22.22b, y que las cargas están distribuidas de manera unifonne en las superficies opnestas. PLANTEAR: Para aprovechar esta simetria se pueden emplear las superficies gaussianas sombreadas SI> 52, 5¡ Y 54. Estas superficies son cilindros con extremos de área A, como el que se muestra en perspectiva en la figura 22.21; se mnestran vistos de lado en la figura 22.22b. Un extremo de cada superficie sc cncucntra dentro de una de las placas conductoras. EJECUTAR: Con respecto a la snperficie identificada como SI> el extremo izquierdo está dentro de la placa 1 (la placa positiva). Puesto qne el campo es cero dentro del volumen de todo conductor sólido en condiciones electrostáticas, no hay flujo eléctrico a través de este extremo. El campo eléctrico cntre las placas es perpendicular al extre- • 22.4 I Aplicaciones de la ley de Gauss Ii, E! • •• • 853 .. + + + 'e¡; Ir:!---' + + S[ I , ... • SI n s, f---' Ii s, I - '- 2 (b) (o) 22.22 Campo electrico entre placas paralelas con carga opuesla. (a) El campo entre las placas es bastante unifonne. salvo en las orillas. (b) Caso idealizado en el que se pasa por alto el ·'peStañeado" en las orillas. me derecho, de modo que en ese extremO El. es igual a Ey el flujo es EA; éste es positivo, puesto que E se dirige hacia afuera de la super· ficie gaussiana. No hay flujo a traVés de la pared lateral dd cilindro, porque esta pared es paralela a É. Por consiguiente, la integral del flujo total de la ley de Gauss es EA. La carga neta encerrada por el ci· lindro es uA y la ecuación (22.8) da, por talllo, EA Ｍｾ uA Y " u E=- " (campo entre placas conductoras con cargas opuestas) El campo es unifonne y perpendicular a las placas y su magnitud es independiente de la distancia respecto a cualquiera de ellas. Se obtiene este mismo resultado empleando la superficie gaussiana 54; además, se pueden emplear las superficies S1 y 5] para mostrar que Ejemplo 22.9 E::::: Oa la izquierda de la placa l ya la derecha de la placa 2. Se dejan estos cálculos como problema. EVALUAR: En el ejemplo 21.13 (sección 21.5) se obtuvieron ﾭｾｳｯｬ suhados anteriores con base cn el principio de superposicion de campos eléctricos. Los campos debidos a las dos Jaminas de carga (uno en cada placa) son El y E1: següo el ejemplo 12.7, la magnitud de ambos es uI2&,. El campo eléctrico total Ｉ･ｴｮ｡ｬｵｳｾＨ en cualquier punto es la suma vectorial E:: : El + E2 . En los puntos a y e de la figum 22.2b, E1 YE2 tienen direcciones opuestas y su resultante es cero. Esto también se cumple en todos los puntos dentro del material de cada placa, en armonía con el requiSito de quc con cargas en reposo no puede haber campo alguno dentro de un conductor sólido. En cualquier punto b entre las dos placas, E1 YE1 tienen la misma dirección; la magnitud de su resuhante es E ::::: afEo, lo mismo que encontramos con base en la ley de Gauss. Campo de una esfera con carga uniforme IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Al igual que en el ejemplo 12.5, el sistema es esfericamente simetrieo. Por consiguiente, podemos emplear las conclusiones de ese ejemplo acerca de la dirección y magnitud de E. Para hacer uso de la simeoia, elegimos como superficie gaussiana una esfera de radio r, concéntrica con la distribución de carga. recelón de Ees radial en todos los puntos de la superficie; por tanto, El. ::::: E. Por consiguiente, el flujo eletlfico total a traves de la superficie gaussiana es el producto de E por el área lotal de la superficie, A = 4:m-l, es decir, <1>, - 4dE. La cantidad de carga enceJTada en el interior de la superficie gaussiana depende del radio r. Hallemos en primer tCnnino la magnitud del campo adentro de la esfena con carga de radio R; la magnitud de E se evalúa en el radio de la superficie gaussiana, de modo que elegimos r < R. La densidad de carga volumétrica p es el cociente de la carga Q enlre el volumen de toda la esfera con carga de radio R: EJECUTAR: Por simetria la magnitud E del campo eléctrico tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie gaussiana, y la di- Q p ::::: 47TR l /3 Una earga positiva Q distribuida de manera unifonne en lodo el volumen de UI1! esfera aislante de radio R. Halle la magnirud del campo electrico en un-punto P que se encuentra a una distancia r del centro de la esfera. l1il1!I3I!llI 854 CAPfTULO 22 I Ley de Gauss El volumen V_ encerrado por la superficie gaussiana es j1l'"r1. por tanto, la carga total Q.... encerrada por esa superficie es º- ｾ pV_ ｾ (-º)(',"l ｾ 41TRJ/3 3 ｾﾺ Superficie gaussiana J R Entonces la ley de Gauss (ecuación (22.8)) se transforma en Q.cR - - º' - 41T?E "" J <':0 E ｾ I 47.<':0 R] E(R)"" o E Para hallar la magnitud del campo afllera de la esfera con carga se emplea la superficie gaussiana de radio r > R. Esta superficie encierra la totalidad de la esfera con carga, por lo que Q.... = Q. y la ley de Gauss da Q o '0 E ｾ º . I --"2 (campo afuera de una esfera con carga umfonne) 41T"0 r En cualquier cuerpo esféricamente simélTico con carga, el campo eléctrico afuera del cuerpo es el mismo que si toda la carga estuvie· se concentrada en el centro. (Hicimos esta misma observación en el ejemplo 22.5). La figura 22.13 muestra una gráfica de E en función de r correspondiente a este problema. Cuando r < R. E es dirtttamente proporcional a r. y cuando r > R, E varia con 1/,2. Si la carga es negativa en \<ez de positiva. Ees radialmcnte entrante y Q en las expresiones de E se interpreta como la magnitud (valor absoluto) de la carga. EVALUAR: Dése cuenta que si se toma r = R en cualquiera de las dos expresiones de E (adentro o afuera de la esfera), se obtiene el fjemplo 22 10 I Q -or 41TI:O R (campo adentrodc una esfera con carga uniforme) La magnitud del campo es proporcional a la distancia renrre el punlO del campo y el centro de la esfera. En el centro (r = O), E = O. 47r?E = E I Q • 41Tl:o;r - ------;;f--+----, O R 22.23 Magnitud del campo electrico de una esfera aislante con carga uniforme. Comparese con el campo de una esfera conductora (Fig. 22.18). mismo resultado E = ｑｉＴＱｲｾ de la magnitud del campo en la superficie de la esfera; esto se debe a que la magnitud de E es una función COlltilllla de r. En cambio, cn el caso de la esfera conductora con carga del ejemplo 22.5 la magnitud del campo eléctrico cs discollti/lita en r = R (salta de E = O inmediatamente adentro de la esfera a E = ｑｊＴＱｲｾ inmediatamente afuera de ella). En general, el campo eléctrito E es discontinuo en términos de magnitud, dirección o ambas cosas siempre que hay una lámina con carga, como en la superficie de una esfera conductora con carga (ejemplo 22.5), en la superficie de una lamina con carga infinita (ejemplo 22.7) o en la superficie de una placa conductora con carga (ejemplo 22.8). La tétnica general utilizada en este ejemplo es aplicable a cllalquier distribución esféricamcnte simétrica de carga. ya sea uniforme o no. Distribuciones de este tipo se presentan en el interior de muchos atomos y núcleos atómicos; por esta razón, la ley de Gauss es una herraITÚcnta útil en fisica atóJIlica y nuclear. Campo de una esfera hueca con carga Una esfera hUeal de pared delgada y ton un radio de 0.250 m tiene una cantidad desconocida de c3JWl disoibuida unifonnemcnte en toda su superficie. A una distancia de 0.300 m del centro de la esfera, el campo eléctrico apunta directamente hacia el centro de la esfera y su magnitudes de 1.80X IQl /C. ¿Cuánta carga hay en la esfera? El!!I3l!llI IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La distribución de carga es esféricamente simétrica. Como en los ejemplos 22.5 y 22.9, el campo eléclrico es radial en todas panes y su magnitud es función sólo de la distancia radial r ｾｰ･｣ｴｏ al centro de la esfera. Nuevamente se emplea una ｾＢｃｬ￱･ｰｵｳ pussiana esférica concéntrica con la distrien r = 0.300 m. bución de carga) que: pasa por d punto de ｩｮｴｾｲｩｳ EJECUTAR: La distribución de carga es la misma que si la carga estuviera en la superficie de una esfera condUclora co"- un radio de 0.250 ffi. Por tanto, podemos tomar prestados los resullados del ejemplo 22.5. Una diferencia clave con respecto a ese ejemplo es que, debido a que el campo electrico en este caso está dirigido hacia la esfera, la carga debe ser nt!galil'a. Además, puesto que la dirección del campo eléctrico es hacia adentro de la superficie gaussiana,EJ.= -EyelflujoestEJ.dA = -E(4m 2 ). Por la ley de Gauss, el flujo es igual al cocientc de la carga q de la esfera (toda la cual está encerrada por la superficie gaussiana) cntre €o. Despejando q se obtiene q = -E(41rfor1) = -(1.80 X lcr N/C)(41r) X (8.854 X ＱｏｾｃＲｎﾷｭｬＩＨＰＮＳ = -8.01 X lO-lOe = -0.801 oC 22.5 I Cargas en conductores EVALUAR: Para hallar la carga era preciso conocer el campo elecmeo en lodos los puntos de la superficie gaussiana a fin de poder calcular la integral de flujo. Esto fue posible en este caso porque la distribución de carga es simémca en alto grado. No obstante, cuan· do la distribución de carga es irregular o carece de simeuía, la ley de Gauss no es muy útil para calcular la distribución de carga a partir del campo. o vice"CTSa. Se coloca una cantidad conocida de carga Q en el conductor de fonna irregular que se muestra en la figura 22.17. Si se conoce el tamaño y la forma del conductor, ¿se puede utilizar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico en una posición arbitraria externa al conductor? 22.5 I Cargas en conductores Hemos ilustrado que en una situación electrostática (en la que no hay movimiento de carga neto) el campo eléctrico en todos los puntos interiores del conductor es cero, y que todo exceso de carga en un conductor sólido se encuentra en su totalidad en la superficie de éste (Fig. 22.24a). Pero, ¿qué ocurre si hay una cOI'idad adentro del conductor (Fig. 22.24b)? Si no hay carga adentro de la cavidad, se puede emplear una superficie gaussiana como A (que se encuentra integramente dentro del material del demostrarque la carga /leJa en la superficie de la CQI'idad debe serce· conductor) ro, porque E = Oen cualquier lugar de la superficie gaussiana. De hecho, se puede probar que en esta situación no puede haber carga alguna en la superficie de la cavidad. Pospondremos la prueba en detalle de este enunciado hasta el capítulo 23. Supóngase que se coloca un cuerpo pequeño con una carga q adentro de una cavidad en el interior de un conduclor (Fig. 22.24c). El conduclor no tiene carga y esta aislado de la carga q. También en este caso E = Oen cualquier lugar de la superficie A; por lanto, de acuerdo con la ley de Gauss la carga total en el interior de esta superficie debe ser cero. Por consiguiente, debe haber una carga -q distribuida en la superficic de la cavidad, atraida hacia ella por la carga q del interior de la cavidad. La carga total del conductor debe seguir siendo cero; por tanto, dcbe aparecer una carga +q ya sea en su superficie externa o adentro del material. Pero en la sección 22,4 demostramos que en una situación electrostática no puede haber un exceso de carga dentro del material de un conductor. Por tanto, se concluye que la carga +q debe aparecer en la superficie externa. Por el mismo razonamiento, si el conductor tenía originalmente una carga qo entonces la carga total en la superficie externa debe ser q + qc después de introducir la carga q en la cavidad. eara (., 855 (b' 22.24 (a) En un conductor sólido la carga reside en su totalidad en la superficie externa. (b) Si no hay carga en el interior de la cavidad del conductor, la carga neta en la superficie de la cavidad es cero. (e) Si hay una carga q adentro de la cavidad la carga total en la superficie de la cavidad es -q. 856 CAPíTULO 22 I LeydeGauss Ejemplo conceptual 22.11 , Conductor con una cavidad El conductor que se muestro en corte transversal en la figura 22.25 tiene una carga lotal de: + 3 nC. La carga en el interior de la cavidad, aislada del conductor, es de -5 oc. ¿Cuánta carga hay en cad::. superficie (imcrna y externa) del conductor? lE!!I3mlI Si la carga que eslá en la cavidad es q :: -5 nC, la carga en la superficie interna de la cavidad debe ser -q:: -(-5 oC) = +5 nC. El • conductor tiene una carga total de + 3 nC, nada de la cual está en 22.25 No hay carga en exceso en el material del cuerpo de este el inleriOl" del material. Si hay + 5 oC en la supetiicie intema de la cavidad, entonctS debe habcr(+3 nC) - (+5 oC):: -2 nCen la superficie ccuerna del conduclor. conductor. La carga se encuentra sólo en las superficies interna y externa. Prueba experimental de la ley de Gauss Ahora podemos examinar un experimento histórico, el cual se muestra en la figu· ra 22.26. Se monta un recipiente conductor, como una cubeta metálica con tapa, sobre un soporte aislante. Inicialmente, el recipiente no tiene carga. Después se cuelga de un hilo aislante una esfera metálica con carga (Fig. 22.26a), se baja al interior de la cubeta y se coloca la tapa en su lugar (Fig. 22.26b). Se inducen car· gas en las paredes de la cubeta, como se muestra. Enseguida se permite que la es· fera IOque la pared interior (Fig. 22.26c). La superficie de la esfera se convierte, en efecto, en parte de la superficie de la cavidad. La situación es ahora la misma que en la figura 22.24b; si la ley de Gauss es correcta. la carga neta en la super· ficie de la cavidad debe ser cero. Por tanto, la esfera debe perder toda su carga. Por último, se saca la esfera, y se encuentra que ha perdido efectivamente toda su carga. Este experimento fue realizado en el siglo XIX por el cientifico inglés Michael Faraday, empleando un recipiente metálico para hielo con tapa, y se conoce como el ex· perimento del recipiente de hielo de Faraday. (Benjamín Franklin en Norteamética y Joseph Pricstley en Inglaterra llevaron a cabo experimentos similares en el siglo XV11l, aunque con mucha menos precisión). El resultado confinna la validez de la ley , , Tapa mcdlica. I /' \ ReciJKDIC """"" lo) (b) lo) 22.26 (a) Esfcrn conductorn con carga suspendida por un hilo aislante afuern de un recipiente conductor sobre un sopone aislante. (b) Se baja la esfern al interior del recipiente y se coloca la tapa. Se inducen cargas en las paredes del recipiente. (e) Cuando la esfera hace contacto con la superficie interna del recipienle, (oda su carga ｾ lransfiere al red· piente y aparece en la superficie externa de éste. 857 22.5 I Cargas en conductores + + + + + + 22.27 La fuenle de energía puede cargar y descargar ahemadamcnte la coraza esférica a;lerior. Si hubiese algún flujo de carga entre las corazas interior y exlerior, seria detecl.ado por el electrómelTO que está adentro de la coraza interior. + + + t + + + ...... aislante -Sopon, aislante , de Gauss y, por lamo, la ley de Coulomb. El resultado de Faraday fue importante porque el método experimental de Coulomb, que empleaba una balanza de torsión y di· vidía las cargas, no era muy preciso; es muy dificil confirmar con grnn precisión la dependencia respecto a l/r de la fuerza electrostática por mediciones directas de fuerzas. En cambio, los experimentos como el de Faraday ponen a prueba la validez de la ley de Gauss y, por consiguiente, de la ley de Coulomb, COIl precisión mucho mayor. En la figura 22.27 se muestra una versión moderna del experimento de faraday. Los detalles de la caja marcada como "fuente de energía" no son imponantes; su función es colocar carga en la esfera externa y quitarla, según se requiera. La caja interna con un cuadranle es un electrómetro sensible, un instrumento capaz de detectar el movimiemo de cantidades extremadamente pequeñas de carga entre las esferas externa e ínterna. Si la ley de Gauss es correcta, nunca podrá haber carga en la superficie interna de la esfera externa. De ser asi, no deberit haber flujo de carga entre las esferas cuando se esta cargando o descargando la esfera externa. El hecho de que no se observa en efecto flujo alguno es una conÍlrmación muy sensible de la ley de Gauss y, por tanto, de la ley de Coulomb. La precisión del experimento está limitada principalmente por el electrómetro, que puede ser asombrosamente sensible. Los experimentos han mostrado que el exponente 2 del cociente 1/1.2 de la ley de Coulomb no difiere de precisamente 2 en más de 10- 16 . \ Así pues, no hay razón para sospechar que no sea otra cosa que exactamente 2. El mismo principio en el que se basa el experimento del recipiente de hielo de Faraday se utiliza en el generador elec/rostótico Val! de Graaff(Fig. 22.28). La esfera conductora con carga de la figura 22.26 se sustituye por una banda con carga que neva carga continuamente al interior de un casco conductor, con el solo fin de que sea rransponada a la superficie exterior del casco. Como resultado de esto, la carga del casco y el campo electrico que lo rodea pueden llegar a ser muy grandes con gran rapidez. El generador Van de Graaff se utiliza como acelerador de partículas con carga y para demostraciones de física. Este principio también constituye la base del blindaje electrostático. Supóngase que se tiene un instrumento electrónico muy sensible que se desea proteger de campos eléctricos dispersos que podrian provocar mediciones erróneas. Se rodea el instrumento de una caja conduclOm, o se formn las paredes, el piso y el cielo mso de la habitación con material conductor, como placas de cobre, por ejemplo. El campo eléctrico externo redistribuye los electrones libres del conduClOr y deja una carga positiva neta en algunas regiones de la superficie externa y una carga negativa neta en otras (Fig. 22.29). Esta distribución de carga crea un campo electrico adicional tal que el campo Motor par.¡ la banda 22.28 Vista recortada de las panes fundamenrales de un generador electrostático Van de Graaff. El sumidero de electrones de la pane inferiof.atrae electrones de la banda y le proporciona así una carga positiva; en la pane superior la banda atrae electroncs de la coraza conductora y le impane llna carga positiva. ? , 858 CAPíTULO 22 I Ley de Gauss 22.29 (a) Caja conductora (jaula de FaTaday) inmersa en un campo eléctrico uniforme. El campo de las cargas inducidas en la caja se combina con el campo uniforme para dar un campo total de cero en el interior de la caja. (b) El blindaje electrostático puede proteger a una persona de una descarga eléctrica peligrosa. (.) (b) total en todos los puntos del interior de la caja es cero, como debe ser según la ley de Gauss. La distribución de carga en la caja también altera la fonna de las líneas de campo cerca de la caja, como lo muestra la figura. A este tipo de sistema se le suele llamar jaula de Faraday. La misma fisica nos dice que uno de los lugares más seguros para , estar durante una tonnenta eléctrica es el interior de un llutomóvil; si un rayo cae en el automóvil, la carga tiende a pennanecer en el annazón metálico del vehiculo, y poco o ningún campo eléctrico se produce dentro del compartimiento de los pasajeros. Campo en la superficie de un conductor \ Superficie del conduclOr con carga ･ｾｬ ｭ｡ Superficie gaussiana A -3:Jr:::E-:-;' A E=O Por último, advenimos que existe una relación directa entre el campo Een un punto inmediatamente afuem de cualquier conductor y la densidad superficial de carga u en ese punto. En general, (T vana de un punto de la superficie a otro. En el capítulo 23 demostraremos que, en todo punto de este tipo, la dirección de Esiempre es perpendicular a la superficie (véase la Fig. 22.29a). Para hallar una relación entre uen cualquier punto de la superficie y la componente perpendicular del campo eléctrico en ese punto, se construye una superficie gaussiana con forma de un cilindro pequeño (Fig. 22.30). La cam de un extremo, de área A, se encuentra dentro del conductor, y la otra se hana inmediatamente afuera de él. El campo eléctrico es cero en todos los puntos del interior del conductor. Afuera del conductor la componente de Eｰ･ｲ｣ｮ､ｩｾｬ｡ a las paredes laterales del cilindro es cero, y en toda la cara del extremo la componente perpendicular es igual a El._ (Si aes positiva, el campo eléctrico apunta hacia afuera del conductor y El. es positiva; si aes negativa, el campo apunta hacia adentro y El. es negativa.) Por consiguiente, el flujo total a través de la superficie es El.A. La carga encerrada dentro de la superficie gaussiana es aA; por tanto, por la ley de Gauss, "A E A =- , 22.30 El campo inmediatamente afuera de un conductor con carga es perpendicular a la superficie, y su componente perpendicular El. es igual a ｵＡｾ 'o Y E , ｾＭ " 'o (22.10) (campo en la superficie de un conductor) Esto se comprueba con los resultados que hemos obtenido con superficies esféricas, cilíndricas y planas. 859 22.5 I Cargas en conductores En el ejemplo 22.8 mostramos que la magnitud del campo entre dos placas oonducloras planas infinitas con carga opuesta también es igual a ｵｦｾ En este caso la magnitud del campo es la misma a lodas las distancias respecto a las placas. pero en todos los demás casos la magnitud disminuye al aumentar la distancia respecto a la superficie. EJemplo mnceptual 22 12 Campo en la superficie de una esfera conductora Verilique la ecuación (22.1 O) de una esfera conductora de rndio R y La densidad superficial de carga es uniforme e igual al cociente carga total q. q entre el área superficial de la esfera: ue mmlI En el ejemplo 22.5 (sección 22.4) se mostró que el campo eléctrico inmediatamente afuera de la superficie es Ejemplo 2213 Comparando estas dos expresiones. vemos que E = a/€o. como lo expresa la ecuación (22.10). Campo eléctrico de la Tierra La Tierra (un conductor) tiene una carga eléclrica neta. El campo eléclrico resultante cerea de la superficie se puede medir con insuumentos electrónicos sel15ibles; su \l3.1or medio es de ｡ ｬ ｾ ｲ de 150 N/C, dirigido hacia el centro del planeta. a) ¿Cual es la densidad superficial de carga correspondiente? b) ¿Cuál es la carga superfieial/otal de la Tierra? Resolviendo para Q se obtiene mmlI La carga de un electrón es de -1.60 X l (JIII C. Asi pues, esta carga eléctrica negativa en exceso corresponde a la presencia de (-6.8 x ｉｾ C)I(-l.60 X 10-111 C) = 4.2 x let· electrones en exceso en la Tierra, esto es, aproximadamente 7 moles dc electrones en exce· so. Esto se compensa por una dejiciellcia igual de electrones en las capus altas de la atmósfera terrestre, de modo que el conjunto de la Tierra y su atmósfera es eléctricamente neulro. IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Dado el campo cléclrico perpendicular, se detennina la densidad superficial de carga u con base en la ecuación (22.10). La carga superficial total de la Tierra es entonces el producto de rI por el área superficial de la Tierra. EJECUTAR: a) Sabemos, por la dirección del campo, que ues negativa (en concordancia con la dirección de que es hacia aden/ro de la superficie, por lo que EJ. es negativa). De la ecuación (22.10), E u"'" loE.!. = (8.85 = -1.33 x ﾡＰＭＹｃＯｭｾ Q = 41rfoJ?2EJ. = : ' ,(6.38 9.0 x 10 N· m-/C- = -6.8 x ¡(fimF(-150N/C) IOSC EVALUAR: Compruebe el resultado del inciso (b) con base en elle sultado del ejemplo 22.5. x 1O- Il C 2/N'm 2 )(-150N/C) = ＭＱＮＳｮｃＯｭｾ b) El área superficial de la Tierra es 411"RT2, donde RT = 6.38 x 1()6 m es el radio de la Tierra (véase el apéndice F). La carga total Q es el producto 4 ...-RT1 17, o Q = 411"(6.38 x x 111 mF( -1.33 x 10-11 Clml ) = -6.8 x I()'IC = -6BOkC Los componentes de computadora sensibles se transportan a veces en recipientes eléctricamente conductores. ¿De qué modo protege esta práclica los componentes? 860 CAPfTUlO 22 I LeydeGauss RESUMEN El flujo electricQ es una medida del '"flujo" de campo elé<:lrico a través de una superficie. Es igual al producto de un elemento de árca por la componente perpendicular de E, integrado con respecto a una superficie. (Véanse los ejemplos del 22.1 al 22.3). La ley de Gauss establece que el flujo elécaico total a uaves de una superficie cerrada, que se (22.5) 4>,( = puede escribir como la integral de superficie de la componente de Enonnal a la superficie, es igual al producto de una constante por la carga total Q<n<1 encerrada por la superficie. La ley de Gauss es equivalente lógicamente a la ley de Coulomb, pero su uso simplifica enonnemenlc los proble- fE cos.p • dA = fE.'" fEdÁ = Q.... = '. (22.8), (22.9) • mas que presentan un alto grado de simetría. (Véanse los ejemplos del 22.4 al 22.10). Cuando se coloca un exceso de carga en un conductor y la carga esta en reposo, ésla reside en su tolaJidad en la superficie, y i: = Oen lodas panes del material del conductor. (Véanse los ejemplos del 22.11 al 22.13). Superficio _ A oclemro dol__ Ccaduooo< ( (.. IIIIIOilrII'" ".,.... ｃ｡ｲｰＮＢｬｯｾｩ " 1) <01<......-..1) V ., '"""'"" La tabla siguiente es una lista de los campos eléctricos originados por varias distribuciones simétricas de carga. En la labIa, q, Q, A Y CJ" se refieren a las magnitudes de las cantidades. Distribución de carga Punto del campo eléctrico Carga puntual individual q Distancia r respecto a q Magnitud del campo eléctrico 1 q E = - -1 417"<"0 Carga q en la superficie de la esfera conductora de radio R Alambre infinito. carga por unidad de la longitud A r Esfera exterior. r > R 1 q E = - - -1 417"t"0 r Esfera interior. r < R E=O 1 A 217"t"0 r Distancia r respecto al alambre E = - - - • 861 Magnitud del campo elktrico Distribución de carga Punto del campo eléctrico Cilindro conductor infinito de radio R. carga por unidad de longitud A Cilindro exterior, r >R ｅｾ Cilindro interior, r <R E=O ｟ｉ ｾ 2r.lI!"o r >R ｅｾ｟Ｇ ｑ Esfera interior, r < R ｅｾ｟ｉ ｑＧ Lámina infinita de carga, con carga unifannl' por unidad de área u Cualquier punto E = Dos placas conductoras con cargas opuestas y con densidades Cualquier punto entre las placas E Esfera sólida aislante de radio R. carga Q distribuida Esfera exterior. r 47Tt"O ,2 uniformemente en todo el volumen superficiales de carga +q y 47Tt"O -q Términos clave experimento del recipiente de hielo de Faraday, 857 nojo eléctrico, 838 , Notas integral de superficie, 842 ley de Gauss, 844 • superficie cerrada, 837 superficie gaussiana, 846 5!2'0 '. =!!.. R) 862 CAPÍTULO 22 I Ley de Gauss Respuesta a la pregunta inicial del capítulo ---,;-c----;-:-c--,----,--...,.,--;--,----,--,--,--- No H campo eiéctriro en el interior de una cavidad situada dentro de un conduclor es cero; por tanto la njna no experimenta efecto electnra alguno. (Véase la sección 22.5). Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión , Sección 22.1 Cada parte de la superficie de la caja estará tres veces más lejos de la carga +q; por tanlO, el campo eléctrico sera 113 2 = 1/9 veces más intenso. En cambio, el área de la caja aumentará por un faclor de 32 :: 9. Por consiguiente, el flujo eléctrico se multiplicará ()OT un faclor de (1/9)(9) = l. En olras palabras, el flujo no cambia. Sección 22.2 Para aumentar al máximo el flujo eléctrico a través de una superficie plana, el ｡ｾ￡ vectorial Adebe tener la misma dirección que el campo eléctrico E de modo que su superficie esté de cara al campo (Fig. 22.63). De modo análogo. la orientación de un panel solar se elige de forma tal que aumente al máximo el flujo lunúnico. a fin de que incida en el panel la mayor cantidad posible de energía solar. Secci6n 22.3 De acuerdo con la ecuación (22.9) el flujo total a través de la superficie es igual a ｾＯｅｯＭ Un ion lirio negativo tiene una caro gade-e"" -1.60x 10- 1 C; porlanto. $, "" (-1.60 X ＱＰｾＹ CV(8.854 X 10- 12 ｎｉｾ .ni') = -1.81 X Io-'N . ",te. El flujo es negalivo porque la carga eoc::crrada es negativa y el campo eJectrico está dirigido hacia el ion. Un aumentO de tamaño de la superficie gaussiana no inlluye en el flujo porque la carga cncemIda no cambia. Secci6n 22.4 No. Uno se podría sentir lentado a dibujar una superficie gaussiana que fuese una ven;ión ampliada del conductor. con la misma fonna y colocada de tal foona que encierre totalmente el conductor. Aunque se conoce el flujo a través de esla superficie gaussiana (por la ley de Gauss. es $, '" QI€o). la dirección del campo eléctrico no es necesariamenle perpendicular a la superficie. ni la magnitud del campo es forzosamente la misma en todos los puntos de la superficie. No es posible efecluar la integral de flujo PE.I. dA, Yno se puede calcular el campo eléctrico. La ley de Gauss pennite calcular el campo eléctrico sólo cuando la distribución de carga tiene un alto grado de simctría. Secci6n 22.5 Los componentes dc computadora son proyectados para funcionar con cantidades muy pequeñas de corriente eléctrica. Si se exponen a campos eléctricos intensos. el flujo de carga en el inTerior de los componentes podria exceder los limites de diseño y provocar daños. El transporte de estos componentes en una caja conductora los protege de cualquier campo eléctrico que pudiesen enconlrar en el trayeclo (véase la Fig. 22.29). Preguntas para análisis P22.1 Una superficie gaussiana esférica encierra una carga punmal q. Si la carga puntual se desplaza del centro de la esfera a un punto alejado del centro. ¿cambia el campo eléctrico en un punto de la superficie? ¿Cambia el flujo total a través de la superficie gaossiana? Explique su respuesta. P22.2 Cierta región del espacio limitada por una superficie cerrada cero Imaginaria no contime carga. ¿Es el campo eléctrico ｾｰｭ･ｩｳ en lodas las partes de la superficie? Si no lo es. ¿en qué circunstancias es cero en la superficie? P22.3 Un globo de caucho tiene una sola carga puntual en su interior. ¿Depende el flujo eléctrico a lTavés del globo de que éste se encuentre totalmente inflado o no? Explique su razonamiento. P22.4 ¿La ley de Coulomb y la ley de Gauss son rora/mente equivalentes? ¿Hay alguna situación de tipo electrostálico en la que una sea valida y la OlTa no? Explique su razonamiento. P22.S En la figura 22.16. suponga que se coloca una tercera carga punmal afuera de la superficie gaussiana amarilla C. ¿Influiría esto en el flujo eléctrico a lTavés de alguna de las superficies A. B. e o D de la figura? ¿Por qué? P22.6 Si el campo e1ectrico de una carga puntual fuese proporcional a 11,3 en vez de 11,.\ ¿seguiria siendo valida la ley de Gauss? Explique su razonamiento. (Sugerencia: Considera una superficie gaussiana esftrica cenlTada en una sola carga pumual). P22.7 Un cilindro regular sólido de radio R y altura h = R tiene carga distribuida uniformemente en todo su volumen. ¿Se puede usar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico en todos los puntos del interior del cilindro? ¿Y de los puntos simados afuera del cilindro? Explique su razonamiento. P22.8 Se demostró en el texto que el campo eléctrico en el interior de una cavidad vacía de un conductor es cero. ¿Es cicrta esTa aseveración cualquiera que sea la-forma de la cavidad? ¿Por qué? P22.9 El campo eléctrico E es uniforme en todos los puntos de cierta región del espacio. Se introduce luego en esta región una esfera conductora pequeña con una carga neta Q. ¿Cual es el campo eléctrico en el interior de la esfera? Explique su razonamiento. P22.10 En un conductor. uno o más e1eclrones de cada átomo lienen libenad para vagar por todo el volumen del conductor. ¿Contradice esto la aseveración de que todo exceso de carga en un conductor sólido debe residir en la superficie de éste? ¿Por qué? P22.11 Explique el enunciado siguiente: "En una situación estática, el campo eléctrico en la superficie de un cooductor no puede tener Wl8 componente paralela a la superficie, porque eslo violaria la condición de que las cargas de la superficie esfán en reposo". ¿Seria válido este mismo enunciado con rt::SJXClO al campo eléctrico en la superficie de un aislado!! Explique su respuesta y la razón de cualesquier diferencias entre los casos de un sonductor y un aislador. P22.12 la magnimd de E en la superficie de un conductor sóli· do de forma irregular debe ser máxima en las regiones donde la superficie se curva más abruptamente. como en el punto A de la figura 22.31. y debe ser minima en las regiones planas como el 8 puntO B de la misma figura. Explique por qué debe ser así, con- Figura 22.31 Pregunta siderando cómo es preciso que P22.12. las lineas de campo eléctrico estén dispuestas cerca de una superficie conductora. ¿Cómo se comparan las densidades de carga superficial en los puntos A y B? Explique. P22.13 Un pararrayos es Wl8 varilla de cobre con punta, montada en lo aho de UD edificio y soldada a un cable grueso de cobre que baja y penetra en el suelo. Los pararrayos protegen los edificios, las casas y los graneros de los rayos; la corriente del rayo fluye por el cobre en vez de hacerlo a través del edificio. ¿Por qué? ¿Por qué de· be tener punta el extremo de la varilla? (Sugerencia: La respuesta a P22.l2 puede serie litil). P22.14 Un conductor sólido tiene una cavidad en su interior. ¿Influiría la presencia de una carga puntual dentro de la cavidad en el campo eléctrico afuera del conductor? ¿Por qué? ¿Influiría la presencia de una carga puntual afuera del conductor en el campo eléctrico del interior de la cavidad? ¿Por qué? 863 Ejercicios P22.15 Ciertos aviones modernos están hechos principalmente de materiales compuestos que no conducen la electricidad. La U.S. Federal Aviation Adminislration exigc quc estos aviones tengan alambres conductores incrustados en su superficie, los cuales ofrecen protccción al volar cerca de las tormentas eléctricas. Explique la fisica en la que se basa este requisito. P22.16 Usted encuentra una caja herméticamentc ccrrada a la puerta dc su casa, y sospecha que contiene varias esferas metálicas con carga cmpacadas en material aislante. ¿Cómo puede conocer la carga neta total que hay dentro de la caja sin abrir ésta? ¿D no es posible? P22.17 Una esfera sólida de cobn;",tiene una carga positiva neta. La carga está distribuida uniformemente en la superficie de la esfera y el campo eléctrico en el interior de la esfera es cero. Luego se acerca a la superficie de la esfera una carga puntual negativa externa a la esfera. ¿Se mantiene toda la carga neta de la esfera todavía en su superficie? De ser asi, ¿continúa distribuida uniformemente en toda la superficie? Si no es uniforme, ¿cómo está distribuida? ¿Sigue siendo cero el campo eléctrico en el intcrior de la esfera? Justifique sus respucstas en todos los casos. . Ejercicios Sección 22.2 Cálculo del flujo eléctrico 22.1 Una hoja plana dc papel con un área de 0.250 m2 está orien0 , tada de modo tal que la normal a la hoja forma un ángulo de 60 con un campo eléctrico uniforme cuya magnitud es de 14 N/e. a) Halle la magnitud del flujo eléctrico a través de la hoja. b) ¿Depende su respuesta al inciso (a) de la forma de la hoja? ¿Por qué? e) ¿Con qué ángulo cP entre la normal a la hoja y el campo ･Ａｾｴｲｩ｣ｯ es la magnitud de! flujo a través de la hoja i) máxima? ii) mínima? Explique sus respuestas. 22.2 Los lados del cubo de la figUra 22.32 tienen una longitud L = 10.0 cm. El campo eléctrico es uniforme, su magnitud es E = 4.00 X 10l N/C, y es paralelo al planoxy con un ángulo de 36.90 medido desde el eje de las + x hacia el eje de las +y. a) ¡,Cuál es el flujo eléctrico a través de cada una de las seis caras del cubo SI, 51' 5 J , S4' ｾＵ Y S6? b) ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través de todas las caras del cubo? 22.3 Un cubo tiene lados de longitud L. Está colocado con un vérticc en el origen como se muestra en la figura 22.32. El campo eléc- 52 (parte superior) / / 56 (parteposl"rior) t ｾ 0.400 --roｅｉｾ -::::::¡:==:":';0,(,(1() ';; ro----------+! Figura 22.33 Ejercicio 2204. 22.5 En el ejemplo 21.11 (sección 2 l .5) se demostró que el campo eléctrico debido a una línea' infinita de carga es perpendicular a la línea y su magnirud es E = A/27Tq¡r. Considere un cilindro imaginario de radio r = 0.250 In Ylongitud 1 = 00400 m que tiene una linea infinita con carga positiva dirigida a lo largo de su eje. La carga por unidad de longitud de la recta es "- = 6.00 }-tC/m. a) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través del cilindro debido a esta linea infinita cqn carga? b) ¿Cuál es el flujo a través del cilindro si su radio aumenta a r = 0.500 m? e) ¿Cuál es el flujo a través del cilindro si su longitud aumenta a i = 0.800 m? Sección 22.3 ley de GaU55 22.6 Las tres esferas pequeiias que se muestran en la figura 22.34 tienen cargas ql = 4.00 nC, q2 = - 7.80 nC y q} = 2.40 nC. Halle el flujo eléctrico neto a través de cada una de las superficies cerradas siguientes, las cuales se muestran en cone transversal en la figura: a) SI; b) 5 ú c) 5}; d) 54; e) ＮｾＵ f) ¿Dependen sus respuestas a los incisos del (a) al (e) de cómo está distribuida la carga en cada esfera pequeña? ¿Por qué? Superficie 1.<> que e"",iern """ "" "" '11H1 q,yq, q,yq,yq, Figura 22.34 Ejercicio 22.6. 22.7 a) Una superficie cerrada contiene una carga neta de - 3.60 p.e. ¿Cuál es el flujo eléctrico neto a través de la superficie? b) El flujo eléctrico a través de la superficie cerrada resulta ser de 780 N ¿Qué cantidad de carga encierra la superficie? e) La superficie cerrada del inciso (b) es un cubo con lados de 2.50 cm de longitud. Con base en la información dada en el inciso (b), ¿es posible saber dónde está la carga dentro del cubo? Explique su respuesta. 22.8 Una carga puntual q¡ = 4.00 nC está situada sobre el eje de lasx en x = 2.00 m, y una segunda carga puntual q2 = -6.00 nC está sobre el eje de las y eny = 1.00 m. ¿Cuál ･ｾ el flujo eléctrico total debido a estas dos cargas puntuales a través de una superficie esférica centrada en el origen y con un radio de a) 0.500 m? b) 1.50 m? c) 2.50 m? 22.9 En cierta región del espacio el campo eléctrico É a) es unifonnc. Utilice la ley de Gauss y verifique que esta región de espacio debe ser eléctricamente neutra; es decir, la densidad volumétrica de carga pdebe ser cero. b) ¿Es ciena esta aseveración a la inversa; es decir, que en una región del espacio donde no hay carga debe ser uniforme? Explique su respuesta. .m'/e. ,,---- (lado izquierdo) eléctrico uniforme con una magnitud de 75.0 NIC y cuya dirección forma un ángulo de 20 0 con respecto al plano de la lámina (Fig. 22.33). Halle la magnitud del flujo eléctrico a través de la lámina. , 5,(frenl") Figura 22.32 Ejercicios 22.2 y 22.23 Yproblema 22.30. = trico es uniforme y esta dado por E -Bí + cj - Dk, donde B, e y D son constantes positivas. a) Halle el flujo eléctrico a través de cada una de las seis caras del cubo SI> 52, 5], 54, 5 j Y 56' b) Halle el flujo eléctrico a través de todo el cubo. 22.4 Una lamina plana tiene fonoa rectangular, con lados cuya longitud es de 00400 m y 0.600 m. Se introducc la lámina en un campo E 864 CAPíTULO 22 I Ley de Gauss 22.10 a) En cierta región del espacio la densidad de carga volumétrica p tiene un valor positivo unifonne. ¿Puede ser ji; unifonne en esta región? Explique su respuesta. b) Suponga que en esta región de p positiva uniforme hay una "burbuja", denlro de la cual p = O. ¿Puede ser uniforme dentro de esta burbuja? Explique su respuesta. 22.11 Una carga punrual de 9.60 p'e está en el centro de un cubo con lados de 0.500 m de longitud. a) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de Ulla de las seis caras del cubo? b) ¡,Cómo cambiaría su respuesta al inciso (a) si los lados fueran de 0.250 111 de longitud? Explique su respuesta. 22.12 Un cubo pcqueiio con un volumen de 8.0 crn J está a 0.30 cm de una esfera metálica que tiene una carga de 2.00 p'e Si el cubo ･ｾｴ￡ vacio, ¿cuál es el flujo total a traves de él'! • 22.13 Una esfera centrada en el origen tiene un radio de 0.200 m. Una carga puntual dc -5.00 p.C ￡ｴｾ･ sobre el eje de las x en x = 0.300 m. El flujo neto a través de la esfera ･ｾ de 360 N .m2/C ¿Cuál es la carga total en el interior de la esfera? E , Sección 22.4 Aplicaciones de la ley de Gauss y Sección 22.5 Cargas en conductores 22.14 Una esfera metálica sólida con un radio de 0.450 m tienc una carga ncta dc 0.250 ne. Halle la magnitud del campo electrico a) en un punto situado a 0.100 m afucra de la superficie de la esfera; b) en un punto dentro de la esfera, a 0.100 m abajo de la superficie. 'lit 22.15 En una demostración de clase de fisica se coloca una carga de -0.180 p.C cn el domo esférico de un gem:rador Van de GraaIT. a) ¿A que distancia del centro dcl domo se debe sentar usted para que el campo electrico en ese punto no exceda el máximo recomcndado dc 614 N/C (ejcrcicio 21.38)'1 b) La respuesta al inciso (a) no depende del radio del domo. ¿Por qué'! 22.16 El tambor cilindrico fonnador de imágenes dc una fotocopiadora debe tener, ilUnediatamcntc afucra de su superficie, un campo eléctrico de 1.40 x 105 N/e. a) Si e! tambor ticne un área superficial de 0.0610 m 2 (el área de una hoja de papel de 8í x 11 pulg.). ¿cuál debe scr la cantidad total de carga que resida en la superficie del tambor? b) Si se aumenta el área superficial del tambor a 0.122 m 2 para poder usar hojas de papel más grandes, ¿qué cantidad total de carga se requiere para producir el mismo campo eléctrico de 1.40 x 105 N/C inmediatamente arriba de la superficie? .. 22.17 ¿Cuántos electrones en exceso se deben agregar a un ｣ｯｮ､ｵ｣ｾ tor esférico aislado de 32.0 cm de diámetro para producir un campo eléctrico de 1150 N/C ilUllediatamcnte afuera dc su superficie? 22.18 El campo electrico a 0.400 m de una linea con carga uniforme y muy larga es de 840 N/C ¿Cuánta carga hay en una sección de 2.00 cm de la linea? 22.19 Una línea con carga uniformc y muy larga tiene una carga en cada unidad de longitud de 4.80 p.C/m y yace a lo largo del eje dc las.Y. Una segunda línea con carga unifonne y larga tiene una carga en cada unidad dc longitud de - 2.40 p.C/m y es paralela al eje de las.r en J = 0.400111. ¿Cuál es el campo eléctrico neto (magnitud y dirección) en los puntos siguicntcs del eje de las y: a) J = 0.200 m, b) y = 0.600111'1 22.20 a) A unu ､ｩｾｴ｡ｮ｣ de 0.200 cm del centro de una esfem conductora con carga cuyo radio es de 0.100 cm, el campo electrico es de 480 N/e. ¿Cuál es el campo eléctrico a 0.600 cm del centro de la esfera? b) A una distancia de 0.200 cm del eje de un cilindro conductor muy largo con carga, cuyo radio es de 0.100 cm, el campo eléctrico es de 480 N/e. ¿Cuál es el campo electrico a 0.600 cm del eje del cilindro? c) A una distancia dc 0.200 cm dc una lámina con carga grande y unifonne, el campo eléctrico es de 480 N/e. ¿Cuál es el campo eléctrico a 1.20 cm desde la lámina'! 22.21 Dos esferas aislantes de 0.080 m de radio están separadas por una distancia de centro a centro de 0.500 m. Una esfer<! tiene una carga neta de -1.80 p.C, y la otm, una carga dc + 3.80 p.e. La carga está distribuida uniformemente dentro del volumen dc cada esfera. ¿Cuál es el campo eléctrico (magnitud y dirección) a medio camino entre las esferas? 22.22 Una esfem aislante con un radio de 0.150 111 tiene una densidad de carga unifonne de 7.50 nClm3 en todo su volumen. ¿Cuál es el campo eléctrico a) inmediatamente afuera dc la superficie de la esfera; b) afuera de la esfera, a 0.300 m de su centro; e) cn el interior de la esfera, a 0.075 m de su centro? 22.23 Una esfera aislante de 0.220 m de radio tienc carga distribuida uniformemente en todo su volumen. ¿Cuál es la carga total de la esfera si el campo electrico a 0.110 111 del centro de la esfera es de 950 N/C? 22.24 Un conductor con una cavidad interior como la que se muestra cn la figura 22.24e tiene una carga total de + 5.00 ne. La carga en el interior de la cavidad, aislada del conductor, es de -6.00 ne. ¿Cuánta carga hay cn a) la superficie interna del conductor? b) la superficie externa del conductor? 22.25 Aplique la ley de Gauss a las superficics ｧ｡ｵｾｳｩ｡ｮ ｾ 5b 53 Y 54 de la figura 22.22b para calcular el campo eléctrico entre yafuera de las placas. 22.26 Se mantienc cn posición horizontal una lámina cuadrada aislante de 80.0 cm cn cada lado. La lámina tiene 7.50 nC de carga distribuida uniformcmcnte en toda ｾｵ área. a) Calcule el campo electrico en un punto a 0.100 mm por encima del centro de la lámina. b) Estime el campoelectríco en un punto a 100111 por encima del ccntro de la lámina. c) ¿Serian diferentes las respuestas a los incisos (a) y (b) si la lámina fucra de un material conductor? ¿Por que? 22.27 Un conductor cilindrico infinitamente largo tiene un radio R y una densidad de carga superficial uniforme u. a) En términos de u y R, ¿cuál es la carga en cada unidad de longitud A del cilindro? b) En terminas de u, ¿cuál es la magnitud del campo electrico que produce el cilindro con carga a una distancia r > R dc su eje'! c) Exprese el resultado del inciso (b) cn términos de Ay muestre que el campo electrico afuera del cilindro es el mismo que si toda la carga estuviera en el eje. Compare su resultado con el correspondiente a una línea con carga del ejemplo 22.6 (sección 22.4). 22.28 Dos láminas grandes de plfistico, no conductoras, cada una con un espesor de 10,0 cm, tienen densidades de carga unilormes u], U2' uJ Y U4 en sus ｾｵｰ･ｲｦｩ｣ ･ｳＬ como se muestra en la figura 2235. Los valores de estas densidades superficiales dc carga son UI = -6.00 p.C/m', Ul = +5.00 u. p.C/m', uJ = +2.00 ¡J.C/m2 y u4 f = +4.00 ¡J.C/m 2 . Utilice la ley de Gauss, para hallar la magnitud y dirección del campo ･ｬ ｣ｾ • ; trieo cn los puntos siguientes, alejados de los bordes de estas láminas. a) Punto A, a 5.00 cm de la cara izquierda de la lámil/o ＲＱＧｉｾ｣ cm'll o｣ｾＱ na de la izquierda. b) Punto B. a 1.25 cm de la superficie interna Figura 22.35 Ejcrcieio de la lámina de la derecha. c) 22.28. Punto C, en medio de la lámina de la derecha. 22.29 Se coloca una carga negativa - Q en cl interior de la cavidad dc un sólido mctálico hueco. El exterior del sólido está conectado a tierra mediante un alamb.[e conductor que va de! sólido al suelo. , Problemas ro- a) ﾿ｾ induce algilO exceso lk carga en la superficie interna del jeto de metal? De ser asi, ballc su signo y magnitud. b) ¿Hay algún exceso de carga en el exterior del objelo de melal? ¿Por qué? c) ¿Hay un campo eléctrico en la cavidad? Explique su respuesta. d) ¿Hay un campo eléctrico dentro del metal? ¿Por qué? ¿Hay un campo eléctrico afuera del objeto de metal? Explique por qué. e) ¿Alguien en cl exterior del sólido mcdiria un campo cléctrico debido a la carga -Q? ¿Es razonable afirmar que el conductor conectado a tierra ha blindado la región contra los efectos de la carga -Q? En principio. ¿se podría hacer lo mismo respecto a la gravedad? ¿Por qué? Problemas 22.30 Un cubo con lados de longitud L = 0.300 m est3 colocado con un vénicc cn el origen, como se muestra en la figura 22.32. ;1 campo eléctrico no es uniforme, sinQ. que eSla dado por E = (-5.00N/C·m)xi +(3.00N/C·m):k.a)Halleelflujoeléctriw a través de cada una de las seis caras del cubo S" S2' SJ' S,. Sj y 56' b) Halle la carga eléclrica total en el interior del cubo. 22.31 Una superficie cuadrada plana con lados de longitud L se describe mediante las ecuaciones x=L O:sy:SL a) Dibuje este cuadrado mostmndo los ejcs X.y y z. b) Halle el flujo eléctrico a través del cuadrado debido a una carga puntual positiva q situada en el origen (x = O, Y = O,:: = O). (Sugerencia: Piense en el cuadrado como en parte de un cubo centrado en el origen). 22.32 El campo eléctrico Ede la figura 22.36 es paralelo en su lOtalidad al eje x; por tanto, las componentes E, y E: son cerQ. La componcnte x del campo Ex depende de .f pero no de y ni de :. En puntos siruados cn el plano X)·(dondex=O),Ex = 125NfC. a) ¿Cuál es el flujo electrico a traves de la superficie I de la figura 22.36? b) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través dc In superficie l1? c) El volumen quc se muestra en la figura es una pequcña sección de una placa aislante muy grande Figura 22.36 Problema de 1.0 m de espesor. Si hay una carga total de-24.0 nC dentro del 22.32. volumen que se muestra. ¿cuáles _ son la magnitud y la dirección de E en la cara opuesta a la superfi. cie I? d) ¿Es producido el campo eléctrico sólo por cargas situadas dentro de la placa. o se debe también a cargas que se encuentran afuera de la placa? i.Cómo se podria saber? 22.33 El campo electrico El en una cara de un paralelepípedo es unifonne en toda la cara y su dit, rección es hacia afuera de la cara. En la Sara opuesta. cl campo eJectrico El también cs unifonne en toda la cara y se dirige hacia esa cara (Fig. 22.37). Las dos caras en cuestión están inclinadas fonnando un ángulo de 30.00 con Figura 22.37 Problema ｾｴｏ a la horizontal. en tanto que E 1 Y E ｾ son ambos ｨｯｲｩｺ ｮｬ｡ｾ 22.33. 865 les; la magnitud dc El es de 2.50 X ｉｾ N/C, yladcE¡de 7.00 X ｉｾ N/e. a) Suponiendo que no hay mas lineas de campo eléctrico que crucen las superficies del paralelepípedo, delennine la carga neta contenida en su intcrior. b) ¿Se debe el campo eléctrico sólo a las cargas del imerior del paralelepípedo, o se debe Iambién a cargas situadas en el exterior del paralelepipedo? ¿Cómo se podria saber? 22.34 Una linca larga que tiene una dcnsidad lineal dc carga uniforme dc + 50.0 fLC/m es paralela a 10.0 cm de la superficie de una gran lámina plana de plástico que tiene una densidad superficial de carga uniforme de -\ 00 ¡..¡.Clm 2 por un lado. Halle la ubicación de todos los puntos donde una panícula (l no experimentaría fuera alguna debida a este arreglo de objetos con carga. i2.35 Una esfera aislante de 0.120 m de radio tiene 0.900 nC de carga distribuida en todo su volumen. El centro de la esfera está a 0.240 m arriba de una gran lamina unifonne con una densidad de carga de -8.00 nC/ro l . Halle todos los puntos del interior de la esfera donde el campo electrico sea cero. O bien, demuestre que no exislen puntos con esta caracteristica. 22.36 Una ｾｦ･ｲＬﾡ en una esfera. Una esfera conductora sólida con una carga q liene un radio a. Esla adenlro de una esfera conductora hueca concéntrica con radio interior b y radio exterior c. La esfera hueca no tiene carga neta. a) Deduzca cxpresiones de la magnitud del dc la distancia r dcsde el centro para las campo eléctrico en ｳｾￍｬｩｮ￩ｴ regiones r < '1, (j < r < b, b < r < e y r > c. b) Grafiquc la magnitud del campo eléctrico en función de r de r = O a r = 2e. c) ¿Cuál es la carga de la superficie interna de la csfera hueca? d) ¿Y cn la superficie extcrna? e) Represente la carga de la esfcra pequeña mediante cuatro signos de más. Dibuje las lineas de campo del siSlema dentro de un volumen esférico de radio le. 22.37 Una esfera conductora sólida de radio R. que tiene una carga positiva Q, es concéntrica con una coraza aislante muy delgada de radio 2R que también liene una carga Q. La carga Q esta distribuida unifonnemenle en toda la coraza aislante. a) Halle el campo eléctrico (magnirud y dirección) en cada una de las regiones O < r < R, R < r < 2R y r > 2R. b) Grafique la magnitud del campo eleetrico en función de r. 22.38 Una coraza conductora esférica de radio interior a y radio exterior b tienc una carga punrual positiva Q en su centro. La carga total de la coraza cs - 3Q. y está aislada de su entorno (Fig. 2238). Figura 22.38 Problema a) Deduzca expresiones de la 22.38. magnitud dcl campo eléctrico en terminos de la distancia r desde el cenU'O correspondientes a las regiones r < a. a < r < by r > b. b)¿Cuál es la densidad de carga superficial en la superficie interiOf de la coraza conductora? c)¿CuáI es la densidad superficial de carga en la superficie exterior de la coraza conductora? d) Dibuje las líncas de campo e1écfriCO y la ubicación de todas las cargas. c) Gmfique la magnitud del campo eléctrico en función de r. 22.39 Cora'Ztls esféricas concéntricas. Una coraza csférica conductora pequeña de radio interior a y radio exterior b es concéntrico con una coraza esfé· rica conductora grande de radio inlerior e y radio extcrior d (Fig. Figura 22.39 Problemas 22.39). La coraza interior tiene 22.39.22.40,22.41 Y22.44. 866 CAPfTULO 22 I Ley de Gauss una carga total +2q, y la coraza exterior, una carga +4q. a) Calcule el campo c\eclrico (magnitud y dirección) en terminos de q y de la distancia r respel;lo al centro común de las dos corazas cuando i), < Q; ii) a < r < b; ¡jj)b < r < e; iv) e <, < d: v) r > d. Mues. tre sus resultados en una gri.fica de la componente radial de ji en función de ro b) ¿Cuál es la carga total de i) la superficie interna de la coraza pequeña; ii) la superficie externa de la coraza pequeña; ¡ii) la superficie interna de la coraza grande; iv) la superficie externa de la coraza grande? 22.40 Repita el problema 22.39, pero ahora con una carga -2q en la coraza exterior. Como en el problema 22.39, la coraza interior tiene una carga +2q. 22.41 Repita el problema 22.39, pero ahora con una carga -4q en la coraza exterior. Como en el problema 22.39, la coraza interior tiene una carga +2q. 22.42 Una esfera conductora sólida de radio R tiene una carga positiva total Q. La esfera está rodeada de la coraza aislante de radio interior R y radio exterior 2R. La coraza aislante tiene una densidad de carga unifonne p. a) Halle el valor de p de modo que la carga neta del sistema en conjunto sea cero. b) Si p tiene el valor obtenido en el inciso (a), halle el campo e1écrrico (magnitud y dirección) en cada una de las regiones O < r < R, R < r < 2R y r > 2R. Muestre sus resultados en una gráfica de la componente radial de É en función de r. c) Como regla general, el campo e1&:trico salo es discontinuo en los puntos donde hay una lámina delgada con carga. Explique de qué modo sus resultados del inciso (b) concuerdan con esta regla. 22.43 La carga negativa -Q está distribuida uniformemente en toda la superficie de una coraza esferica delgada aislante de radio R. Calcule la fuerza (magnitud y direcci6n) que la coraza de una coraza esférica delgada aislante ejerce sobre una carga puntual positiva q situada a) a una distancia r > R del centro de la coraza (afuera de la coraza); b) a una distancia r < R del centro de la coraza (adentro de la coraza). 22.44 Una coraza esférica aisfame pequeña, con radio interior a y radio exterior b, es concéntrica con una coraza esférica aislante más grande d de radio interior c y radio exterior d (Hg. 22.39). La coraza interior tiene una carga total +q distribuida uniformemente en todo su volumen, y la coraza exterior tiene una carga -q distribuida uni· formemente en todo su volumen. a) Calcule las densidades de carga en la coraza interior y en la coraza exterior. b) Calcule el campo eléctrico (magnitud y dirección) en términos de q y de la distancia r respecto al centro común de las dos corazas con i) r < a; ii) a < r < b; iii) b < r < e; iv) e < r < d; v) r > d. Muestre sus resultados en una gráfica de la componente radial de Een funci6n de r. 22.45 El cable coaxial Un cable coaxial largo se compone de un conductor cilíndrico interior de radio a y un cilindro coaxial exterior de radio interior b y radio exterior c. El cilindro exterior está montado sobre sopones aislantes y no tiene carga neta. El cilindro interior tiene una carga positiva unifonne en cada unidad de longitud A.. Calcule el campo eléctrico a) en cualquier punto entre los cilindros, a una distancia r del eje; b) en cualquier punto afuera del cilindro exterior. c) Grafique la magnitud del campo eléctrico en función de la distancia r respecto al eje del cable, de r = Oa r = le. d) Halle la carga en cada unidad de longitud de la superficie inlerna yen la superficie externa del cilindro exterior. 22.46 Un tubo conductor muy largo (cilindro hueco) tiene lUI radio interior a y un radio exterior b.líene 1m3 carga en cada unidad de longitud +er, donde a es lUla constante positiva con unidades de CIm. Una linea con carga yace a lo largo del eje del tubo. La línea con carga tiene una carga por unidad de longitud +a. a) Calcule el campo eléctrico en términos de a y la distancia r respecto al eje del tubo con i) r < a; ii) a < r < b; Ü11 r > b. Muestre sus resultados en una gráfica de E en función de r. b) ¿Cuil es la carga en cada unidad de longitud en i) la superficie interna del tubo, ü) la superficie externa del tubo? 22.47 Repita el problema 22.46, pero ahora el tubo conductor tendrá 1m3 carga en cada unidad de longitud -a. Al igual que en el problema 22.46, la linea con carga tiene una carga por unidad de longitud +a. 22.48 Un cilindro sólido muy largo de radio R tiene una carga positiva unifonnemente distribuida en él, con una carga en cada unidad de volumen p. a) Deduzca la expresi6n del campo eléctrico en el interior del volumen, a una distancia r del eje del cilindro, en ténni· nos de la densidad de carga p. b) ¿Cuál es el campo eléctrico en un puntO situado afuera del volumen, en lénninos de la carga en cada unidad de longitud Adel cilindro? c) Compare las respuestas a los incisos (a) y (b) con r = R. d) Grafique la magnitud del campo eléctri· co en función de r desde r = Oa r = 3R. 22.49 Una sola placa conductora grande y aislada (Fig. 22.40) tie· ne una carga en cada unidad de área (T en su superficie. Ya que la placa es un conductor, el campo eléctrico en su superficie es perpendicular a la superficie y su E - ｕＯＨｯＮｾＭ u/E(¡ magnitud es E = afEo. a) En el ejemplo 22.7 (sección 22.4) se demostr6 que la magnitud del campo producido por una limi· na grande con carga uniforme y con una carga en cada unidad de Figura 22.40 Problema 22.49. área ues E = uI2"o. exactamente /a mitad que una placa conductora con carga. ¿Por qué hay una diferencia? b) Si se considera la distribuci6n de carga de la placa conductora como equivalente a dos láminas de carga (una en cada superficie), cada una con una carga en cada unidad de área u, utilice el resultado del ejemplo 22.7 Y el principio de superposición para demostrar que E = Oadentro de la placa y E = ｡ｦｾ afuera de ella. 22.50 Modelo de Thomson del átomo. En los primeros años del siglo xx, uno de los modelos más destacados de la estructura del átomo era el del físico inglés 1. 1. Thomson (el descubridor del electrón). En el modelo de Thomson, un átomo consistía en una esfera de material con carga positiva en la que estaban incrustados electrones con carga negativa, como chispas de chocolate en una bola de masa de galleta. Considere un átomo como ése, compuesto de un electrón de masa m y carga -e, que se puede considerar como una carga punlllal, y una esfera con carga unifonne de carga +e y radio R. a) Explique por qué la posici6n de equilibrio del electrón está en el centro del núcleo. b) En el modelo de ThoIDSOn se supuso que el material positivo ofrecia poca o ninguna resistencia al movimiento del electron. Si el electrón se desplaza respeclo al equilibrio una distancia menor que R, demuestre que el movimiento resultante del electrón será armónico simple, y calcule la frecuencia de oscilacion. (Sugerem:ia: Repase la defmicion de movimiento armónico simple en la sección 13.2 del volumen l. Si se puede demosrrarque la fuerza neta sobre el electrón es de esta ronna, entonces se sigue que el movimiento es armonico simple. A la inversa, si la fuerza neta sobre el electrón no sigue esta forma, el movimiento no es armónico simple). c) En la época de Tbomson ya se sabía que los átomos excitados emiten oudas luminosas de s6lo cienas frecuencias. En este modelo, la frecuencia de la luz emitida es la misma que la frecuencia de oscilación del electrón o electrones en el átomo. ¿Cuál ten- / . 867 Problemas dria que ser el radio de un atomo del modelo de Tbomson para que Hz'! Compaprodujese luz roja con una frecuencia de 4.57 x ＱＰｾ re su ｾｵ･ｳｴ｡ con los rndios de los átomos reales, que son del orden de 10-10 ro (véanse los dalos acen:a del electrón en el apéndice f). d) Si se desplazara respecto al equilibrio una distancia mayor que R, ¿oscilaría el electrón? ¿Seria su movimiento annónico simple? Ex.plique su razonamiento. (Nola histórica: En 1910 se descubrió el núcleo atómico, con lo cual se probó que el modelo de Thomson es incorrecto. La carga positiva de un átomo no está distribuida en todo su volumen como Thomson supuso, sino que está concentrada en el minúsculo núcleo, con un radio de lO-l' a lo-l! m). 22.51 Modelo de Thomson del átomo (continuación). Con base en el modelo (obsoleto) de Tbomson del átomo descrilo en el problema 22.50, considere un átomo compuesto de dos electrones, cada uno con carga -e, incrustados en una esfera de carga +2e y .,. radio R. En el equilibrio, cada elecllun eslá a una dislancia d del centro del átomo (Fig. 22.41). Halle la distancia d en términos de las otras propiedades del átomo. Figura 22.41 Problema 22.51. 22.52 Campo eléctrico dentro de un álomo de hidrógeno. Un átomo de hidrógeno se compone de un protón con carga +Q = 1.60 X 10- 19 e y un electrón con carga -Q = -1.60 X 10- 19 C. Se puede considerar el protón como una carga puntual en r = O, el centro del átomo. El movimienlo del electrón provoca que su carga esll\ "difusa" en una dislribución esferica en tomo al protón, por lo que el electrón es equivalenle a una carga en la unidad de volwnen de p(r) = ---ª--e-:zn.. :Tao] donde (Jo = 5.29 X 10- 11 m es lo que se conoce como radio de Bohr. a) Halle la cantidad total de la carga del álomo de hidrógeno que está encerrada dentro de una esfera de radio reentrada en el protón. Demuestre que, cuando r --+ _, la carga encerrada tiende a cero. Explique este resultado. b) Halle el campo eléctrico (magnitud y di"rección) producido por la carga del átomo de hidrógeno en función de r. c) Grafique la magnitud del campo eléctrico E en función de r. 22.53 Exploración de núcleos atómicos mediante dispersión de eJectrones. A fin de estudiar la estructura del núcleo de plomo, se disparan electrones (carga -e = 1.60 X 10-19 C, masa 9.11 X Hr11 kg) hacia un blanco de plomo. Algunos de los electrones penetran efectivamente en los nlicleos del blanco, y se mide la desviación de estos electrones. La desviación se debe a la carga del micleo, que está distribuida de modo aproximadamente uniforme en todo el volumen esférico del nlicleo. la carga de un núcleo de plomo es de +82e, y su radio es R = 7. J x 10-15 m. Halle la aceleración de un electrón a las diSlancias siguientes del centro de un núcleo de calcio: a) 2R; b) R; c) RJ2; d) cero (en el centro). 22.54 Una placa con carga uniforme. Una placa de material aislante tiene un espesor 2d y está orientada de modo que sus caras son paralelas al plano yz, y están dadas por los planos x = d Yx = -d. Las dimensiones y y z de la placa son muy grandes en comparación con d, y se pueden tratar como prácticamenle infinitas. La placa liene una densidad uniforme de carga positiva p. a) Explique por qué el campo eléctrico debido a la placa es cero en el centro de ésta (x = O). b) Con base en la ley de Gauss, halle el campo eléctrico debido a la placa (magnitud y dirección) en todos los punlOs del espaCIO. 22.55 Placa con carga no uniforme. Repila el problema 22.54, pero esla vez suponga que la densidad de carga de la placa está dada por li,.x) = PrJ..xJd)2, donde Po es una constante posiliva. 22.56 ¿Pueden las fuerzas eléctricas crear un equilibrio estable por sí solas? En el capitulo 21 se expusieron varios ejemplos del cálculo de In fuerza ejercida sobre una carga puntual por otras cargas puntuales de su entorno. a) Considere una carga positiva puntual +q. Dé un ejemplo de cómo colocaria otras dos cargas puntuales de su elección a fin de que la fuerza neta sobre la carga +q sea cero. b) Si la Fuerza nela sobre la carga +q es cero, entonces esa carga está en equilibrio. El equilibrio será estable si, cuando la carga +q se desplaza levemente en cualquier dirección respecto a su posición de equilibrio, la fuerza neta sobre la caiga la empuja de regreso hacia la posición de equilibrio. Para que esto sea así, ¿cuál debe ser la dirección del campo eléclrico i debido a las otras caigas en los puntos alrededor de la posieion de equilibrio de +q? e) Imagine que la carga +q de desplaza muy lejos, y además una supeñicie gaussiana pequeña centrada en la posición donde +q eslaba en equilibrio. Aplicando la ley de Gauss a esta superficie, demuestre que es imposible satisfacer la condición de estabilidad descrita en el inciso (b). En otras palabras, la carga +q no puede ser mantenida en un equilibrio estable por fuerzas electrostáticas exclusivamente. Este resultado se conoce como el teorema de Earnshaw. d) Los incisos del (a) al (c) se refieren al equilibrio de una earga puntual positiva +q. Pruebe que el teorema de Earnshaw también es aplicable a una carga puntual negativa -q. 22.57 Una distribución de carga no uniforme, pero esféricamente simétrica, tiene una densidad de carga li,.r) que es como sigue: p(r)=Po{I-rlR) para r::5,R p(r)=O para r<:!:R donde Po = 3Q17rfil es una conslante positiva. a) DemueSlre que la earga tOlaI contenida en la dism'bución es Q. b) Demuestre que el campo eléctrico en la región r 2: R es idéntico al que produce una carga puntual Q en r = O. e) Obtenga una expresión del campo eléctrico en la región r::S: R. d) Grnfique la magnitud del campo eléctrico E en función de r. e) Halle el valor de r en el que el campo eléctrico es máximo, y encuentre el valor de ese campo máximo. 22.58 Una distribución de carga no uniforme, pero esféricamente simétrica, liene una densidad de carga p(r) que es como sigue: p(r) = Po(i - 4r/3R) para r s R p(r)=O parar2:R donde Po es una constante positiva. a) Halle la carga total contenida en la distribución de carga.. b) Obtenga una expresión del campo eléctrico en la región r 2: R. c) Oblenga una expresión del campo eléctrico en la región r::S: R. d) Grafique la magnitud del campo eléctrico E en función de r. e) Halle el valor de ren el que el campo eléctrico es máximo, y encuentre el valor de ese campo máximo. 22.59 Ley de Gauss para la gravitación. La fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales separadas por una distancia r es proporcional a 1Ir2, al igual que la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales. Debido a esta semejanza entre las interacciones gravitatorias y eléctricas, existe también una ley de Gauss de la gravitación. a) Sea g la aceleración debida a la gravedad provocada por una masa puntual m situada en el origen, de modo que -¡ = - (Gml,J- )r. Considere una superficie gaussiana esférica de radio r centrada en esta 868 C",pfTULO 22 I Ley de Gauss masa puntual. y demuestre que el flujo de ficie está dado por ti'dA g a través de esta super- = -4r.Gm b) Siguiendo los mismos pasos lógicos utilizados en la sección 22.3 para obtener la ley de Gauss del campo eléctrico. demuestre que el flujo de a través de cualquier superficie cerrada está dado por g jJ:""'dA ¿¡ = -4r.Gm "nO donde M.... es la masa tOlal encerrada dentro de la superficie cerrada. 22.60 Aplicación de la le}' de Gauss para la gra,·itación. Con base en la ley de Gauss para la gravitación (deducida en d inciso (b) del problema 22.59), demuestre que los enunciados siguientes son ver- daderos: a) Con respecto a cualquier distribución de masa esféricamente simétrica con una masa total Al, la aceleración debida a la gravedad afuera de la distribución es la misma que si toda la masa esllivicse concentrada en el centro. (SlIgerencill: Véase el ejemplo 22.5 en \a sección 22.4). b) En cualquier punto dcl interior de ulla coraza de masa esféricamcnte simétrica. la aceleración debida a la gravedad es cero. (Sugerencia: Véase el ejemplo 22.5). c) Si se pudiera taladrar un agujero a través de un planeta esféricamente simétrico hasta su centro, y si la densidad fuese uniforme. se encontraria quc la magnitud de i es directamente: proporcional a la distancia r respecto al centro. (Sugerencia: Vease el ejemplo 21.9 en la sección 22.4). Probamos cstos resultados en la sección 12.6 mediante algunos análisis bastante laboriosos: las pruebas con base en [a ley de Gauss para la gravitación SOnll1llc/1Q más fáciles. 22.61 a) Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme p. La esfera no está centrada en el origen. sino en = b. Demuestre que el campo eltttrieo en el interior de la esfera está da· do por E = p(r - b)/3Eo- b) Una esfera aislante de radio R tiene un hueco esférico de radio a situado dentro de su volumen y centrado a una distancia b del centro de la esfera. donde a < b < R (en la figura 22.42 se mues· Ira un corte transversal de la esfera). La parte sólida de la esfera Figura 22.42 Problema 22.61. tiene una densidad \'olumétrica r de carga uniforme p. Halle la E magnitud y dirttción del campo eléctrico en el interior del hueco, y demuestre que es uniforme en todo el hueco. (Sugerencia: Ulilice el principio de superposición y el resU1Htdo del inciso (a». 22.62 En un cilindro sólido aislante, muy largo y dc radio R, se ha taladrado un hucco cilíndrico de radio a a todo lo largo del cilindro. El eje del hueco está a una distancia b dcl eje del cilindro, donde a < b < R(Fig. 22.43). El material sólido del cilindro ticnc una densidad volumélrica dc carga uniforme p. Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico E en el interior del hueco. y demuestre que E es uniforme en todo el hueco. (SlIgerelll.'ia: Véase Figura 21.43 Problema 22.62. el problema 22.61). E y 22.63 Una carga positiva Q csta distribuida uniformemente en cada uno de los dos volúmencs esféricos de radio R. Una esfcra x de carga está ccntrada en el ori· gen. y la olra. en x '" 2R (Fig. Q 22.44). Halle la magnitud y di· rección del eampo eleclrico neto Figura 22.44 Problemas debido a estas dos distribuciones 22.63 Y22.64. de carga cn los puntos siguientes sobre el eje de lasx: a)x = O; b)x '" RI2; c).r '" R: d)x '" 3R. 22.64 Repita el problema 22.63. pero ahora con una carga positiva Q en la esfera de la izquierda y una carga negativa -Q en la esfera de la derecha. Problemas de desafío 22.65 Cierta región del espacio contiene una carga positiva lotal Q, distribuida esféricamente de modo que la dcnsidad volumétrica de carga p(r) esta dada por p(r) = RI2 con r:S p(r) "'2a(l-rIR) con RI2SrsR p(r) '" O con r?:. R a En este caso a es una constante positiva con unidades de Clm J . a) Halle aeo términos de Qy R. b) Con base en la ley de Gauss, deduzca una expresión de la magnitud de E en función de r. Haga es· to por separado con respecto a las tres regiones. Exprese sus respllestas en términos de la cargll total Q. No olvide verificar que sus resultados concuerden con los límites de las rcgiones. c) ¿Qué fracción de la carga total se encuentra dcntro de la región r S R/2? d) Si un electrón de carga q' '" -e oscila hacia delante y hacia atrás con respecto a r = O(el centro de la distribución) con una amplitud menor que 2R. demuestre que el movimiento es armónico simple. (SlIgerencia: Repase la exposición sobre el movimiento armónico simple en la sección 13.2 del vol. 1. Si, y sólo si, la fuerza neta sobre el electrón es proporcional a su desplazamiento respecto al equilibrio, entonces el movimiento es armónico simple.) e) ¿Cual es el periodo del movimiento del inciso (d)? f) Si la amplitud del movimiento descrito en el inciso (e) es mayor que RI2, ¿sigue siendo el movimiento annónico simple? ¿Por qué? 22.66 Cierta región del espacio contiene una carga positiva tOlal Q. distribuida esféricamente de modo que [a densidad volumcrrica de carga ｾｲＩ esta dada por p(r) = 3arl(2R) r S RI2 '0" p(r) = a[l - (rIR)2J p(r) '" O con RI2 :S '0" r?:. R r sR En csle caso a es una constante positiva con unidades de e/m J • a) Halle aen términos de Qy R. b)Con basten la ley de Gauss. deduzca una expresión de la magnitud del campo eléctrico en función de r. Haga esto por separado con respeclO a las tres regiones. Exprese sus respuestas en términos de la carga tOlal Q. c) ¿Qué fracción de la carga total se ･ｮｾｵｴｲ｡ dentro de la región RI2 S r:S R? d) ¿Cual es la magnirud dc E en r = RI2? e) Si un electrón en reposo con carga q' = -1' se dcja libre en cualquier punto de cualesquiera de las tres regiones, el movimiento resultanle será oscilatorio. pero 110 aro mónico simple. ¿Por qué" (Véase el problema de desafio 22.65).