❩❜♦r♥✐❦ ❞❡❧ ❑✉❤❧❥❡✈✐ ❞♥❡✈✐ ✷✵✶✺ ▼♦r❛✈s❦❡ t♦♣❧✐❝❡✱ ✷✹✳✲✷✺✳ s❡♣t❡♠❜❡r✱ ✷✵✶✺ ❯r❡❞✐❧❛✿ ▼❛t❥❛➸ ❍r✐❜❡r➨❡❦ ❏✉r❡ ❘❛✈♥✐❦ sdm Slovensko društvo za mehaniko ❑✉❤❧❥❡✈✐ ❞♥❡✈✐ ✷✵✶✺ ▼❛r✐❜♦r✱ ✷✹✳✲✷✺✳ s❡♣t❡♠❜❡r✱ ✷✵✶✺ ❩❜♦r♥✐❦ ❞❡❧ ❯r❡❞✐❧❛✿ ▼❛t❥❛➸ ❍r✐❜❡r➨❡❦ ❏✉r❡ ❘❛✈♥✐❦ ❘❡❝❡♥③✐❥❛✿ ▼✐❤❛ ❇♦❧t❡➸❛r ❆♥❞r❡❥ ❇♦♠❜❛↔ ▼❛t❥❛➸ ❍r✐❜❡r➨❡❦ ❘❡♥❛t❛ ❏❡❝❧ ▼❛r❦♦ ❑❡❣❧ ●❡♦r❣❡ ▼❡❥❛❦ ❏✉r❡ ❘❛✈♥✐❦ ❩❧❛t❦♦ ❘❡❦ ❩♦r❛♥ ❘❡♥ ❇r❛♥❡ ➆✐r♦❦ ▲❡♦♣♦❧❞ ➆❦❡r❣❡t ■③❞❛❧♦ ✐♥ ③❛❧♦➸✐❧♦✿ ❙❧♦✈❡♥s❦♦ ❞r✉➨t✈♦ ③❛ ♠❡❤❛♥✐❦♦ ❏❛♠♦✈❛ ✷✱ ▲❥✉❜❧❥❛♥❛ ❙❡♣t❡♠❜❡r✱ ✷✵✶✺ ❖❜❧✐❦♦✈❛♥❥❡ ♥❛s❧♦✈♥✐❝❡✿ ➆♣❡❧❛ ❇r❣❧❡③ ❚✐s❦ ✐♥ ✈❡③❛✈❛✿ ❉❡♠❛❣♦ ❞✳♦✳♦✳✱ ▼❛r✐❜♦r ◆❛❦❧❛❞❛✿ ✹✵ ✐③✈♦❞♦✈ ❈❡♥❛✿ e ✵✱✵✵ ❑❛③❛❧♦ ❙♣❧✐t✲❍♦♣❦✐♥s♦♥ ♣r❡ss✉r❡ ❜❛r ✭❙❍P❇✮ ♣r❡✐③❦✉➨❡✈❛❧✐➨↔❡ ▲✳ ❆❞❛♥✐↔✱ ▼✳ ❋r❛❥♥❦♦✈✐↔✱ ❇✳ ◆❡↔❡♠❡r✱ ❆✳ ❇❡❧➨❛❦ ✐♥ ❩✳ ❘❡♥ ◆❛♣r❛✈❛ ③❛ ❞♦❧♦↔✐t❡✈ ♣r❡t♦↔♥♦st✐ ❣r❛♥✉❧✐r❛♥✐❤ ♠❛t❡r✐❛❧♦✈ ♣♦❞ ✈♣❧✐✈♦♠ t❧❛↔♥❡ ♦❜r❡♠❡♥✐t✈❡ ▼✳ ❇❡❦✱ ❏✳ ●♦♥③❛❧❡③✲●✉t✐❡rr❡③ ✐♥ ■✳ ❊♠r✐ ◆❡❦❛t❡r❡ ❦❛r❛❦t❡r✐st✐❦❡ ✈❡↔st♦♣❡♥❥s❦✐❤ ♠❡➨❛❧ ♣r✐ ♠❡➨❛♥❥✉ ✐♥ ❞✐s♣❡r❣✐r❛♥❥✉ ③r❛❦❛ ✈ ♣s❡✈❞♦♣❧❛st✐↔♥✐ t❡❦♦↔✐♥✐ ❆✳ ❇♦♠❜❛↔✱ ▼✳ P❧✉t ✐♥ ❉✳ ❙❡♥✐❝❛ Pr✐♠❡r❥❛✈❛ ❞✈❡❤ r❛❞✐❛❧♥✐❤ ♠❡➨❛❧ ✈ tr✐st♦♣❡♥❥s❦❡♠ ♠❡➨❛❧✉ ▼✳ ❈♦t✐↔✱ ▼✳ ❱✐❞✐❝ ✐♥ ❆✳ ❇♦♠❜❛↔ ◆✉♠❡r✐↔♥❡ ♠❡t♦❞❡ ③❛ r❡➨❡✈❛♥❥❡ ❡♥❛↔❜ ♥❛ ▲✐❥❡✈✐❤ ❣r✉♣❛❤✿ ❢♦r♠✉❧❛ ✹✳ r❡❞❛ ③❛ ✐♥t❡❣r❛❝✐❥♦ ❦✐♥❡♠❛t✐↔♥✐❤ ❡♥❛↔❜ ❣❡♦♠❡tr✐❥s❦♦ t♦↔♥✐❤ ♥♦s✐❧❝❡✈ P✳ ❷❡➨❛r❡❦ ✐♥ ❉✳ ❩✉♣❛♥ ◆✉♠❡r✐↔♥❛ ♥❛♣♦✈❡❞ ❦❛r❛❦t❡r✐st✐❦❡ ♠♦❞❡❧♥❡ ✈❡tr♥❡ t✉r❜✐♥❡ ▼✳ ❋✐❦❡✱ ▼✳ P❡③❞❡✈➨❡❦ ✐♥ ●✳ ❍r❡♥ Pr✐♠❡r❥❛✈❛ ❦♦♠❡r❝✐❛❧♥❡❣❛ ✐♥ ♣r♦st♦ ❞♦st♦♣♥❡❣❛ ❈❋❉ ♣r♦❣r❛♠❛ ③❛ ✐③r❛↔✉♥ ❛❡✲ r♦❞✐♥❛♠✐↔♥✐❤ ❦♦❡✜❝✐❡♥t♦✈ ✈♦③✐❧ ❆✳ ●r♠ ✐♥ ▼✳ ❇❛t✐st❛ Pr♦❥❡❦t✐r❛♥❥❡ ❦♦♥str✉❦❝✐❥s❦✐❤ ❞❡❧♦✈ ③ ✉♣♦r❛❜♦ s♦❞♦❜♥✐❤ s✐♠✉❧❛❝✐❥s❦✐❤ ♣♦st♦♣❦♦✈ ❇✳ ❍❛r❧✱ ❏✳ Pr❡❞❛♥✱ ▼✳ ❑❡❣❧ ✐♥ ◆✳ ●✉❜❡❧❥❛❦ ❉✈♦❢❛③♥✐ ♠♦❞❡❧ r❛↔✉♥❛❧♥✐➨❦❡ ❞✐♥❛♠✐❦❡ t❡❦♦↔✐♥ ③❛ r❛③♣r➨✐❧♥♦ s✉➨❡♥❥❡ s✉s♣❡♥③✐❥❡ ③❡♦❧✐t✲✈♦❞❛ ▼✳ ❍r✐❜❡r➨❡❦✱ ●✳ ❙❛❣❛❞✐♥ ✐♥ ▼✳ ❩❛❞r❛✈❡❝ ❉✐③❛❥♥✐r❛♥❥❡ ③❛❞♥❥❡❣❛ ❦r✐❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ❙❆❊ ③❛ ♥✐③❦❡ ❤✐tr♦st✐ ❏✳ ■❧❥❛➸✱ ▲✳ ➆❦❡r❣❡t ✐♥ ❏✳ ▼❛r♥ ❱♣❧✐✈ ✐③❣✉❜ ✈ ❧❛❜✐r✐♥t♥✐❤ t❡s♥✐❧✐❤ ♥❛ ✐③❦♦r✐st❡❦ ✈✐s♦❦♦t❧❛↔♥❡ ❋r❛♥❝✐s♦✈❡ t✉r❜✐♥❡ ❉✳ ❏♦➨t✱ ❆✳ ➆❦❡r❧❛✈❛❥✱ ▼✳ ▼♦r❣✉t ✐♥ ❊✳ ◆♦❜✐❧❡ ✐✐✐ ✶ ✾ ✶✼ ✷✺ ✸✸ ✹✶ ✹✾ ✺✼ ✻✺ ✼✸ ✽✶ ◆✉♠❡r✐↔♥♦ ♥❛♣♦✈❡❞♦✈❛♥❥❡ ❢✉♥❦❝✐♦♥❛❧♥✐❤ ❧❛st♥♦st✐ ♣❡↔♥✐➨❦❡❣❛ ♣r♦st♦r❛ ✽✾ ❯✳ ❑♦❦♦❧❥✱ ▲✳ ➆❦❡r❣❡t ✐♥ ❏✳ ❘❛✈♥✐❦ ◆❛r❛✈♥❛ ❦♦♥✈❡❦❝✐❥❛ ♥❛♥♦t❡❦♦↔✐♥ ✈ ♣♦r♦③♥✐ s♥♦✈✐ ✾✼ ❏✳ ❑r❛♠❡r ❙t❛❥♥❦♦✱ ❘✳ ❏❡❝❧ ✐♥ ❏✳ ❘❛✈♥✐❦ ■③r❛↔✉♥ ❡❢❡❦t✐✈♥✐❤ ❡❧❛st✐↔♥✐❤ ❧❛st♥♦st✐ ❦✉❜✐↔♥❡ str✉❦t✉r❡ ✶✵✺ ●✳ ▼❡❥❛❦ ◆✉♠❡r✐↔♥♦ ♠♦❞❡❧✐r❛♥❥❡ ✈❡tr♦✈♥✐❤ r❛③♠❡r ✐♥ ③♠❛♥❥➨❛♥❥❛ ♣r❛➨❡♥❥❛ ♥❛ ❞❡♣♦♥✐❥✐ ♣r❡♠♦❣❛ ✐♥ ➸❡❧❡③♦✈❡ r✉❞❡ ✈ ▲✉❦✐ ❑♦♣❡r ▲✳ ◆♦✈❛❦✱ ❇✳ ❇✐③❥❛♥✱ ❏✳ Pr❛➸♥✐❦❛r✱ ❇✳ ❍♦r✈❛t✱ ❆✳ ❖r❜❛♥✐➣ ✐♥ ❇✳ ➆✐r♦❦ ✶✶✸ ❑✈❛③✐✲♣❡r✐♦❞✐↔♥✐ ♠♦❞❡❧ r❛❞✐❛❧♥❡❣❛ ❦♦✈❛♥❥❛ ♣♦ ♠❡t♦❞✐ ❦♦♥↔♥✐❤ ❡❧❡♠❡♥t♦✈ ▼✳ P✐♥t❛r✱ P✳ ➆✉➨t❛r✐↔✱ ❚✳ ➆✉➨t❛r ✐♥ ❚✳ ❘♦❞✐↔ ✶✷✶ ◆✉♠❡r✐↔♥✐ ✐③r❛↔✉♥ ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠✐↔♥❡ s✐❧❡ ♥❛ ③❛♣♦r♥✐❝♦ ❤✐❞r♦❡❧❡❦tr❛r♥❡ ✶✷✾ ▼✳ ❘❛♠➨❛❦ ✐♥ ❆✳ ❍r✐❜❡r♥✐❦ ❙✐♠✉❧❛❝✐❥❛ t♦❦❛ ✐♥ ♣r❡♥♦s❛ t♦♣❧♦t❡ t❡❦♦↔✐♥❡ ③ ♥❛♥♦❞❡❧❝✐ ♦❦♦❧✐ ❡❧✐♣t✐↔♥❡❣❛ ✈❛❧❥❛ ✶✸✼ ❏✳ ❘❛✈♥✐❦ ✐♥ ▲✳ ➆❦❡r❣❡t ❘❡❞✉❦❝✐❥❛ ♠♦❞❡❧♦✈ ✐♥ ♠❡t♦❞❡ s❦❧❛♣❧❥❛♥❥❛ ✈ ❞✐♥❛♠✐❦✐ str✉❦t✉r ✶✹✺ ❇✳ ❙t❛r❝✱ ●✳ ❷❡♣♦♥ ✐♥ ▼✳ ❇♦❧t❡➸❛r ●❡♥❡r❛t♦r ❤✐❞r♦❞✐♥❛♠s❦❡ ❦❛✈✐t❛❝✐❥❡ ③❛ ♠❛❥❤♥❡ ✈♦❧✉♠♥❡ ❚✳ ❙t❡♣✐➨♥✐❦ P❡r❞✐❤✱ ❩✳ ❷✉s✱ ❇✳ ➆✐r♦❦ ✐♥ ■✳ ❇✐❧✉➨ ✶✺✸ ◆✉♠❡r✐↔♥❛ s✐♠✉❧❛❝✐❥❛ t✉r❜✉❧❡♥t♥❡ ❘❛②❧❡✐❣❤✲❇é♥❛r❞ ♥❛r❛✈♥❡ ❦♦♥✈❡❦❝✐❥❡ ✶✻✶ ❏✳ ❚✐❜❛✉t✱ ▲✳ ➆❦❡r❣❡t ✐♥ ❏✳ ❘❛✈♥✐❦ Pr✐♠❡r❥❛✈❛ s✉♣❡r❦♦♥✈❡r❣❡♥t♥✐❤ t♦↔❦ ③❛ ♣♦st♣r♦❝❡s✐r❛♥❥❡ ♥♦tr❛♥❥✐❤ s✐❧ ✈ ✈r✈❡❤ ✐③ ③♥❛♥✐❤ ♣♦♠✐❦♦✈ ✐♥ ③❛s✉❦♦✈ ✶✻✾ ❆✳ ❚r❡✈❡♥ ✐♥ ❉✳ ❩✉♣❛♥ ❆♥❛❧✐③❛ ♦s♥♦✈♥✐❤ ❦❛r❛❦t❡r✐st✐❦ ♣♦s❛♠❡③♥✐❤ ♠❡➨❛❧ ♣r✐ ♠❡➨❛♥❥✉ ✐♥ ❞✐s♣❡r❣✐r❛♥❥✉ ③r❛❦❛ ✈ ✈♦❞♦ ✶✼✼ ▼✳ ❱✐❞✐❝✱ ❆✳ ❇♦♠❜❛↔ ✐♥ ❉✳ ❙❡♥✐❝❛ ■♥❞❡① ❛✈t♦r❥❡✈ ✶✽✺ ✐✈ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Split-Hopkinson pressure bar (SHPB) preizkuševališče L. Adanič1, M. Frajnkovič 2, B. Nečemer 3, A. Belšak 4, Z. Ren 5 Split-Hopkinson pressure bar (SHPB) test aparatus Povzetek. V znanosti in sodobni inženirski praksi se strokovnjaki vedno bolj zavedajo razlike med vplivi dinamičnih in statičnih obremenitev. Materiali, ki se uporabljajo v inženirski praksi, se obnašajo različno v odvisnosti od načina obremenjevanja. Zaradi hitrega razvoja na področju materialov za dinamične aplikacije se pojavlja potreba po opredelitvi njihovih dinamičnih karakteristik. Split-Hopkinson-Pressure-Bar test omogoča določanje mehanskih lastnosti materialov pri hitrostih specifične deformacije od 10 2 do 8 x 103 s-1. Prispevek opisuje konstruiranje, izdelavo in kalibriranje novega Split-HopkinsonPressure-Bar preizkuševališča na Fakulteti za strojništvo Univerze v Mariboru. Abstract. In science, as well as in engineering practice the experts are acknowledging the difference between the influence of dynamic and static loads. Materials, which are used in modern engineering practice behave differently when exposed to different types of loads. Due to rapid development of materials used in dynamic applications, the need for dynamic characterization of their properties is evident. Split-Hopkinson-Pressure-Bar test allows determination of mechanical properties of materials at strain rates from 102 to 8 x 103 s-1. This paper describes the process of design, manufacturing and calibration of the new SplitHopkinson-Pressure-Bar testing apparatus at the Faculty of mechanical engineering at the University of Maribor. 1 Uvod V svetu poteka intenzivni razvoj na področju eksperimentalne karakterizacije mehanskih lastnosti materialov pri hitrih dinamičnih obremenitvah. V ta namen so že razvite posebne preizkusne naprave, ki omogočajo doseganje višjih deformacijskih hitrosti materialov pri izvajanju te vrste preizkusov. Za hitrosti od 102 do 8 x 103 s-1 se običajno uporablja eksperimentalna metoda Split-Hopkinson pressure bar (v nadaljevanju SHPB) poznana tudi Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Slovenija. Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Slovenija. 3 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Slovenija. 4 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Slovenija. 5 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Slovenija. 1 2 ✶ Kuhljevi dnevi 2015 kot Kolsky bar. SHPB metodo je leta 1914 prvi predlagal Bertram Hopkinson, kot metodo za merjenje napetostnih valov v kovinski palici [1]. Kolsky je metodo leta 1948 [2] nadgradil v obliko, kot jo poznamo še danes [3, 6]. Osnovna predpostavka SHPB preizkuševališča je, da se elastični napetostni impulz po merilnih palicah in preizkušancu širi enoosno s karakteristično hitrostjo c (1) [2], pri čemer lahko o obnašanju preizkušanca sklepamo na osnovi integracije osnovnega, odbitega in prenesenega napetostnega impulza. Impulzni tlačni napetostni val se tvori ob udarcu udarnega telesa v konec vstopne palice, po kateri potuje do preizkušanca. Ko impulzni tlačni napetostni val doseže preizkušanec, se delno odbije kot impulzni natezni napetostni val nazaj v vstopno palico, deloma pa se prenese, kot impulzni tlačni napetostni val v preizkušanec, kjer povzroči določeno stopnjo deformacije, ki je odvisna od energije napetostnega impulza (lahko tudi do porušitve). Preostali del tlačnega napetostnega vala se prenese naprej na izstopno palico kot preneseni napetostni val. Slika 1: SHPB preizkuševališče 2 Konstrukcijske in karakteristične lastnosti SHPB preizkuševališča Nosilna konstrukcija SHPB preizkuševališča mora vzdržati robustne dinamične preizkuse in zagotavljati ponovljivo ter nadzorovano pospeševanje udarnega telesa. Dolga in ravna vstopna ter izstopna palica morata biti vodeni na tak način, da je trenje minimalno, saj imamo le tako zagotovljeno nemoteno širjenje enodimenzionalnih napetostnih valov. Vsako oviranje prostega gibanja povzroča dodatne šume pri izvajanju meritev. Za vstopno in izstopno palico je zahtevana dovolj visoka meja plastičnosti, da se med potekom testa palici deformirata zgolj elastično. Z uporabo materialov, ki imajo nižje module elastičnosti, izboljšamo razmerje med izmerjenimi izhodnimi signali in motnjami [2].Takšne palice uporabljamo pri testiranju materialov z nizko trdnostjo. V praksi se za material udarnega telesa, vstopne in izstopne palice na SHPB preizkuševališčih najpogosteje uporabljajo naslednji materiali: polimerne palice (E < 20 × 106 Pa), magnezij (E = 45 GPa), aluminij (E = 90 GPa), titan (E = 110 GPa), martenzitno jeklo (E = 210 GPa). V našem primeru smo za udarno telo, vstopno in izstopno palico izbrali titanovo zlitino Ti-64, katerega karakteristike so navedene v Tabeli 1. S takšnimi merilnimi palicami lahko natančno merimo dinamične lastnosti materialov z natezno trdnostjo manjšo od 800 MPa. ✷ Kuhljevi dnevi 2015 Tabela 1: Materialne karakteristike Ti-64. 2.1 Mehanske lastnosti Modul elastičnosti Poissonovo število Meja plastičnosti Natezna trdnost Oznaka E ν Rp0,2 Rm Vrednost 114 0,33 830 900 Gostota ρ 4430 Enota GPa 1 MPa MPa 𝑘𝑔 𝑚3 Karakteristike in geometrija Pri konstruiranju udarnega telesa, vstopne in izstopne palice smo upoštevali izkustvena priporočila za dimenzijska razmerja posameznih komponent. Če želimo potovanje valov po palici obravnavati kot enodimenzionalno, mora dolžina palice biti vsaj 10-kratnik njenega premera. Da lahko ločimo med osnovnim in odbitim valom, mora biti razmerje med dolžino in premerom palic večje kot 20 [2, 5]. Ob upoštevanju izkustvenih priporočil, smo izbrali dolžino vstopne in izstopne palice, ki znaša 1500 mm. Izbrali smo tudi dve dolžini udarnega telesa l = 175 mm in 350 mm z namenom, da lahko izbiramo med dvema časovnima intervaloma napetostnega impulza, saj je le-ta sorazmeren dolžini udarnega telesa, glej enačbi (2) in (3). Izbrani premer obeh udarnih teles, kot tudi vstopne in izstopne palice je 20 mm. Hitrost potovanja elastičnih napetostnih valov izračunamo po enačbi (1). 𝑡175 = 𝑡350 = 2∙𝑙 𝑐 2∙𝑙 𝑐 𝑁 114∙109 2 𝑚 𝐸 𝑐 = √𝜌 = √ = = 𝑘𝑔 4430 3 𝑚 2∙0,175𝑚 5073 𝑚 𝑠 2∙0,35𝑚 5073 𝑚 𝑠 = 5073 = 69𝜇𝑠 = 138𝜇𝑠 𝑚 𝑠 (1) (2) (3) Pri konstruiranju SHPB preizkuševališča nas je omejevala dolžina prostora v katerem je le-to postavljeno. Za nosilno konstrukcijo preizkuševališča smo izbrali ekstrudirani aluminijasti profil dolžine 6000 mm. Iz ekstrudiranih aluminjastih profilov so sestavljene tudi noge preizkuševališča. Aluminijaste profile smo med seboj spojili z uporabo standardnih veznih elementov, po priporočilih izdelovalca profilov. Na nosilno konstrukcijo smo v nadaljevanju pritrdili podpore jeklenke, pospeševalne cevi in vstopne ter izstopne palice. Za pospeševalno cev smo izbrali honano cev dolžine 700 mm in notranjega premera 20 mm, pri čemer smo upoštevali priporočilo, da naj bo dolžina pospeševalne cevi približno trikratnik dolžine udarnega telesa, da ima pospeševalni plin dovolj prostora za ekspanzijo [1, 2, 3]. Na podpore za vodenje vstopne in izstopne palice smo z uporabo vskočnikov pritrdili še teflonske ekscentrične puše, ki nam omogočajo natančno nastavljanje soosnosti udarnega telesa z vstopno in izstopno palico. ✸ Kuhljevi dnevi 2015 Za pravilno delovanje SHPB preizkuševališča je pomembno razmerje mehanskih impendanc merilnih palic in preizkušanca, ki je odvisno od gostote uporabljenega materiala, modula elastičnosti in prečnega preseka palic ter jih izračunamo po enačbah (4) in (5) za merilno palico in preizkušanec. 𝑘𝑔 𝑧𝑚𝑝 = 𝜌𝑇𝑖 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴 = 4430 𝑚3 ∙ 5073 𝑚 𝜋∙(0,02𝑚)2 ∙ 𝑠 4 = 7060 𝑘𝑔 𝑠 (4) Za kalibracijo merilnega sistema SHPB preizkuševališča, smo uporabili preizkušance iz jekla S235 JR premera 12 mm in dolžine 6 mm. Mehanska impedanca preizkušancev je izračunana z enačbo (5). 𝑘𝑔 𝑧𝑝𝑟 = 𝜌𝑆235 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴 = 7810 𝑚3 ∙ 5185 𝑚 𝜋∙(0,012𝑚)2 ∙ 𝑠 4 = 4580 𝑘𝑔 𝑠 (5) Od razmerja med impendanco vstopne palice in preizkušanca je odvisno, kolikšen del napetostnega vala se bo prenesel na izstopno palico in kolikšen del se ga bo odbil nazaj v vstopno palico. S pravilno izbiro razmerja mehanskih impedance izboljšamo kvaliteto izmerjenih signalov na drugi palici (zmanjšamo količino šuma v meritvi) [1, 3]. Z izbranim premerom preizkušanca smo izpolnili praktična priporočila glede razmerja impedance med preizkušancem in vstopno palico. Po izkustvenih priporočilih bi naj impedanca preizkušanca znašala 50% impedance merilnih palic [1, 2, 3]. V našem primeru to razmerje znaša 65%. 3 Rezultati merjenja hitrosti udarnega telesa Pnevmatski sistem preizkuševališča je bilo najprej potrebno kalibrirati z namenom določitve karakteristične hitrosti udarnega telesa v odvisnosti od tlaka pospeševalnega plina. Dosežena hitrost udarnega telesa je v določeni meri odvisna od tlaka ter trenja, pri višjih hitrostih pa je omejena z volumskimi pretoki plina. Pri pospeševanju udarnega telesa je pomembna tudi dolžina pospeševalne cevi in čas odprtja ventila. Teoretična hitrost, v odvisnosti od tlaka, je izračunana ob upoštevanju drugega Newtonovega zakona, ki podaja dinamično ravnovesje sil, ob predpostavki enakomerno pospešenega gibanja. V enačbi drugega Newtonovega zakona je sila zamenjana s produktom tlaka in površine. Pri izračunu je lahko zaradi zelo majhnega nihanja tlaka le-ta obravnavan kot konstanten. Pri izračunu se zanemarijo izgube zaradi trenja in zračnega upora, ki najbolj vplivajo na razliko dejanske hitrosti od teoretične. Ob upoštevanju zgodnjih odvisnosti in predpostavk lahko zapišemo enačbo za teoretično hitrost: v=√ 2∙x∙A∙p … teoretična m končna hitrost x [m] … pospeševalna dolžina A [m2] … presek izstrelka p [Pa] … tlak pospeševanja Rezultati kalibriranja za udarno telo dolžine 350 mm so prikazani na sliki 2. ✹ (1) Kuhljevi dnevi 2015 25,00 Hitrost [m/s] 20,00 15,00 Hitrost pri času odprtja 0,1 s 10,00 Hitrost pri času odprtja 0,2 s 5,00 Teoretično izračunana hitrost 0,00 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,510 Tlak [bar] Slika 2: Graf odvisnosti hitrosti od tlaka za udarno telo dolžine 350 mm Iz slike 2 je razvidno, da se dejansko izmerjene hitrosti udarnega telesa razlikujejo od teoretične hitrosti . Do tega pride predvsem zaradi izgub, ki so posledica trenja udarnega telesa ob stene pospeševalne cevi, in zračnega upora, ki je posledica kopičenja zraka pred udarnim telesom. Sam kontakt udarnega telesa in stene je povečan še zaradi določene mere neravnosti cevi in telesa samega. Hitrost se da brez velikih sprememb v konstrukciji povečati z uporabo daljše cevi in posledično povečavo časa pospeševanja in poti udarnega telesa. Izgube zaradi zračnega upora bi lahko do neke mere zmanjšali z izdelavo oddušnih lukenj na pospeševalni cevi. Z vidika vnosa energije in razmerja med hitrostjo in tlakom je zanimivo analizirati tudi pospeševanje krajšega in posledično lažjega udarnega telesa. Le-ta teoretično doseže precej višje hitrosti že pri nižjih tlakih, kar je tudi prikazano na sliki 3. 30,00 Hitrost [m/s] 25,00 20,00 Hitrost pri času odprtja 0,1 s Hitrost pri času odprtja 0,2 s Teoretično izračunana hitrost 15,00 10,00 5,00 0,00 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 Tlak [bar] Slika 3: Graf odvisnosti hitrosti od tlaka za udarno telo dolžine 175 mm Podobno kot pri daljšem udarnem telesu se tudi tukaj opazi razlika med hitrostmi, ki je najbolj prisotna pri nižjih tlakih. Vendar je pri preizkušanju zanemarljivega pomena, saj se med ✺ Kuhljevi dnevi 2015 preizkusi ne bo pospeševalo s tako nizkimi tlaki. Iz primerjave obeh grafov je razvidno, da krajše udarno telo pri manjših tlakih pričakovano doseže večje hitrosti. Z vidika vnosa energije v sistem smo iz dejanskih hitrosti določili dejanske kinetične energije in jih med seboj primerjali. Kinetična energija je posledica pretvorbe potenciala tlačne energije potisnega plina v kinetično energijo udarnega telesa. Ob trku udarnega telesa v vstopno palico se kinetična energija večinoma pretvori v deformacijsko energijo, ki v obliki tlačnega napetostnega impulza potuje po palici. Na končno kinetično energijo bolj kot masa pospeševanega telesa vpliva končna hitrost le-tega. Z vidika vnosa deformacijske energije je torej bolj smotrno uporabiti izstrelek z manjšo maso in ga pospešiti na večjo hitrost. Tako je tudi nadtlak v pnevmatskem sistemu najbolje izkoriščen. Do težave pride zaradi dolžine napetostnega impulza, saj je le-ta sorazmeren dvakratniku dolžine izstrelka. V kolikor je napetostni impulz prekratek, ga je težko natančno meriti. Potrebno je torej uravnotežiti dolžino izstrelka, da bo nadtlak v sistemu dovolj dobro izkoriščen, obenem pa bo napetostni impulz dovolj dolg, da ga bo še mogoče relativno natančno izmeriti. Teoretična kinetična energija je izračunana iz tlačne energije, ob predpostavki, da se vsa energija komprimiranega plina brez izgub pretvori v kinetično energijo: 𝑊𝑘 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝐴 ∙ 𝑝 x [m] … pospeševalna dolžina A [m2] … presek izstrelka p [Pa] … tlak pospeševanja (2) 0,9 120 0,8 100 Kinetična energija [J] 0,7 0,6 80 0,5 60 0,4 0,3 40 0,2 20 Izračunana kinetična energija za izstrelek dolžine L = 350 mm Izračunana kinetična energija za izstrelek dolžine L = 175 mm Kinetična energija izračunana iz eksperimentalnih podatkov za izstrelek dolžine L = 350 mm Kinetična energija izračunana iz eksperimentalnih podatkov za izstrelek dolžine L = 175 mm Relativne izgube za izstrelek dolžine L = 350 mm 0,1 0 0 0 1 2 3 4 5 Tlak [bar] ✻ 6 Relativne izgube za izstrelek dolžine L = 175 mm Kuhljevi dnevi 2015 Slika 4: Primerjava računskih in eksperimentalnih kinetičnih energij izstrelkov različnih dolžin, ter relativnih izgub energije Iz slike 4 je razvidno, da krajši izstrelek vnese pri nižjih tlakih v sistem več kinetične energije kot daljši izstrelek. Pri preizkusih z večjimi vnosi energij se bo zato uporabljal krajši izstrelek. Kar se tiče ekonomičnosti rabe energije se izkaže, da pri višjih tlakih in hitrostih daljši izstrelek izkazuje manj energijskih izgub, kot krajši. Zaradi počasnejšega pospeševanja pri nižjih tlakih so energijske izgube tam večje. Izkaže se tudi, da z višanjem tlaka relativna energijska izguba raste. To je posledica maksimalnega pretoka sistema, in posledica krajše pospeševalne poti izstrelka. Krajši izstrelek ima zaradi svoje višje hitrosti pri enakih tlakih večje relativne izgube energije zaradi večjega zračnega upora. Z izdelavo oddušnih lukenj na pospeševalni cevi bi se zmanjšale tudi relativne energijske izgube krajšega izstrelka. Pričakovano največjo amplitudo napetostnega impulza lahko zaradi predpostavke, da se vsa kinetična energija pretvori v deformacijsko, izračunamo po enačbi (3)[8]: 𝑉 𝜎=𝐸∙ (3) 2∙𝑐 𝐸 [𝑃𝑎] … Youngov modul elastičnosti vstopne palice σ [Pa] … Amplituda napetosti v vstopni palici V [m/s] … hitrost udarnega telesa c [m/s] … hitrost širjenja elastičnih napetostnih valov po vstopni palici Amplituda napetostnega impulza pri hitrosti udarnega telesa 20 m/s tako znaša: 𝑚 20 𝑠 𝑁 9 = 225 𝑀𝑃𝑎 𝜎 = 114 ∙ 10 2 ∙ 𝑚 2 ∙ 5073 𝑚 𝑠 Amplituda napetostnega impulza je za oba izstrelka enaka. Različna energija izstrelkov se odraža v dolžini impulza. 4 Zaključek Konstruirano in izdelano je bilo osnovno SHPB preizkuševališče in opravljene so bile kalibracijske meritve hitrosti udarnih teles (izstrelkov) dolžine 175 in 350 mm v odvisnosti od pospeševalnih tlakov, z namenom opredeliti izgube pri toku plina po pnevmatski verigi, izgube zaradi zračnega upora pri pospeševanju udarnega telesa in izgube zaradi trenja udarnega telesa ob stene pospeševalne cevi. Iz meritev hitrosti udarnih teles je razvidno, da krajše telo pri manjših tlakih doseže večje hitrosti od daljšega telesa. Zaradi tega vnese v sistem pri nižjih tlakih več kinetične energije kot daljše udarno telo, kljub temu da ima manjšo maso. V nadaljevanju razvoja SHPB preizkuševališča bo le-to opremljeno z namensko visokofrekvenčno merilno opremo, ki bo omogočala natančno merjenje osnovnega, odbitega in prenesenega napetostnega impulza v merilnih palicah. ✼ Kuhljevi dnevi 2015 Literatura [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] B. Hopkinson, “A Method of Measuring the Pressure Produced in the Detonation of High Explosives or by the Impact of Bullets,” Philos. Trans. R. Soc. (London) A, 213, pp. 437-456, 1914. Kolsky, H. (1949). An Investigation of the Mechanical Properties of Materials at Very High Rates of Loading. Proc. Phys. Soc. London, B62, p.676. Chen, W., Song, B., Split Hopkinson (Kolsky) Bar. Design, Testing and Applications. Springer, 2011. Sajko, N., Karakterizacija mehanskih lastnosti visokozmogljivih materialov za letalske aplikacije pri udarnih obremenitvah. Magistrsko delo. Maribor: Fakulteta za strojništvo, 2012. Kaiser, M. A., Advancements in the Split Hopkinson Bar test. Blacksburg, Virginia: Faculty of Virginia Polytechnic Institute, 1998. Split-Hopkinson Pressure Bar Apparatus. San Antonio, Texas: American Society of Mechanical Engineers, 2006. Sharpe, W. N. Jr., Handbook of Experimental Solid Mechanics. LLC, New York: Springer, 2008. Howard Kuhn, Dana Medlin, Mechanical Testing and Evaluation. ASM International, 2000. ✽ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2014 Naprava za določitev pretočnosti granuliranih materialov pod vplivom tlačne obremenitve Marko Bek 1, Joamin Gonzalez-Gutierrez 2 and Igor Emri2 Apparatus for flowability determination of granular materials under pressure loading Povzetek. Pretok granuliranih materialov je kompleksen proces, ki ga je pomembno meriti, saj lahko močno vpliva na kvaliteto končnih produktov. Pretočnost materiala je odvisna od materiala in pogojev pri katerih se pretok pojavi. V sklopu članka je predlagana nova metodologija za merjenje t.i. ‘steady-state’ pretoka granuliranih materialov pod vplivom tlaka: ‘Granular Flow Analyzer (GFA)’. GFA koncept je bil testiran na primeru meritev materialov z različno povprečno velikostjo delcev granuliranega materiala. Ugotovljeno je bilo, da se z zmanjšanjem velikosti granuliranih delcev, zmanjša tudi pretočnost. Sklenemo lahko, da je GFA uporabno orodje za določitev pretočnosti granuliranih materialov izpostavljenim tlaku. Kljub temu pa so potrebne nadaljnje izboljšave naprave za povečanje natančnosti. Abstract. Flow of granular materials is a complex process but important to measure, since it can strongly affect the quality of the final products. Flowability of materials depends on the characteristics of the material and on the conditions at which flow is occurring. A new methodology is introduced to measure steady-state flow of granular materials under pressure: the Granular Flow Analyzer (GFA). The concept of the GFA was tested by measuring materials with different average particle sizes. It was observed that as the particle size decreases so does its flowability. It can be concluded that the GFA can be a useful tool to measure flowability of powders under pressure. However, further improvements are required to increase its accuracy. 1 Introduction Granular materials are present in our everyday life whether as raw materials, intermediate or final products. For instance, we find them in the food industry from cereal grains to 1 2 Gorenje gospodinjski aparati, d.d., Partizanska 12, 3503 Velenje, Slovenia Faculty of Mechanical Engineering, University of Ljubljana, Aškerčeva 6, 1000 Ljubljana, Slovenia ✾ Kuhljevi dnevi 2015 dehydrated milk; in the pharmaceutical industry different powders are blended and compressed to produce tablets; metal, polymeric or ceramic parts can be produced through different sintering techniques; moreover, granular materials are present in nature as sand and rocks. In all these examples, the flow of powder during processing, handling and transportation strongly influences the quality of the product and its cost. A granular material is defined as a collection of discrete solid particles that are filled with an interstitial fluid, usually air. From this definition, one can notice that they cannot be classified either as solids or liquids leading to a complex behavior difficult to understand and predict [1]. In the literature, several terms are used interchangeably to describe granular materials, such as bulk solids, particulate solids and powder. Flowability is defined as the ability of a powder to flow and results from the combination of material physical properties, which along with the equipment used for handling or processing governs how easy a granular material can flow. There are several techniques used for measuring flowability. Some of them require simple apparatuses while others use sophisticated setups. Simple traditional apparatuses as Hall-flowmeters and angle of repose devices provide a comparative analysis of which particular powder flows better with respect to another under certain conditions of measurement [2, 3]. On the other hand, more sophisticated setups as shear cells and powder rheometers can provide more quantitative information as cohesion and angle of friction that influence the flowability of powders [4, 5]. Nevertheless since flowability changes according to the conditions in which flow is occurring, measuring devices more or less should resemble the handling or processing equipment in which the powder will be used [6]. Since most of the measuring techniques available in the market work under gravitational and shear flows, the present paper aims to introduce a new method of characterization where the driving force for granular flow is high pressure. 2 Granular Flow Analyzer The Granular Flow Analyzer (GFA) is apparatus developed at Center for Experimental Mechanics to measure flowability of granular materials [7, 8]. Figure 1 shows schematically the main parts of the apparatus. The GFA is composed of a hollow cylinder that is loaded with granular material. Once the cylinder is filled with particles, a force is applied by means of a piston (Figure 1a); such force will induce a pressure inside the cylinder that at the same time induces elastic deformations in the axial and tangential directions of the external wall of the cylinder. The strain in the external face of the cylinder can be measured experimentally by means of a strain gages setup (Figure 1b). Finally Figure 1c shows the dimensions of the cylinder. One can notice that the powder inside the cylinder is subjected to a confined compression, Ma and Ravi-Chandar [9] developed an apparatus that works under the same principle, however such compression was applied to solid materials and their goal was to characterize the stress state of the inserted solid material. The goal of the GFA is to obtain the pressure profile along the length of the cylinder and to relate such profile with the flowability of granular materials. The concept of the GFA is valid because flowability is controlled by the transmission of forces through the granular material and the pressure distribution along the length of the cylinder is a measure of how force is transmitted from the piston to the powder and from the powder to the cylinder. In this ✶✵ Kuhljevi dnevi 2015 context, one expects that depending on the flow properties of the powder, the pressure will be transmitted in a different way along the cylinder, thus allowing us to obtain a method of a steady-state flowability characterization. Figure 1. Schematic representation of the GFA 3 Working principle of GFA Even though pressure distribution in axial direction is the final result that we seek from the apparatus, what it is being measured experimentally are strains in the tangential ( εθ ) and axial ( ε z ) directions along the length of the cylinder. In the case of the fluid, it is known that the hydrostatic pressure is constant along the length of the cylinder and it is proportional to the tangential strain, whereas the axial strain occurs just due to Poison effect. In the case of the granular material, it is expected that the pressure is maximal close to the piston where the force is applied, followed by a pressure drop. The pressure drop occurs because the force is distributed through layers of particles and there is formation of force chains that attenuate the pressure along the cylinder and increase the friction force between particles and inner wall of the cylinder [10, 11]. In this case, the tangential strain is maximal at the position where the force is applied and drops in the same way as pressure does, whilst the axial strain increases as the tangential decreases because the force is been transmitted to the wall as an axial load due to friction. The pressure along the length of the cylinder can be calculated by assuming that the tangential strain measured, e.g., with strain gages, ( εθ ( m ) ) comes from two sources: pressure and axial force due to friction, then it can be expressed as: ε= εθ ( P ) + εθ ( axial ) (1) θ (m) ✶✶ Kuhljevi dnevi 2015 Where ( εθ ( P ) ) is the tangential strain due to pressure and ( εθ ( axial ) ) is the tangential strain due to axial due to friction. If we consider that the tangential strain due to axial load εθ ( axial ) is the Poison ratio (ν ) times the axial strain that is measured in the axial direction ( ε z ( m ) ), the following equation is obtained: εθ ( axial ) = νε z ( m ) (2) From Equation (1) and Equation (2), one can calculate the tangential strain due to pressure: ε= εθ ( m ) −νε z ( m ) θ (P) (3) The tangential strain due to pressure is used to calculate the internal pressure using the equation for a hydrostatic problem; the equation for hydrostatic problem is given as [12]: = εθ ( P ) 1 ri 2  r0 2  1 +  pi E r0 2 − ri 2  r 2  (4) where E is the Young’s modulus of the cylinder, ri and r0 are the inner and outer radii respectively, ri ≤ r ≤ r0 , and pi is the internal pressure. From Equation (4), the pressure can be extracted as a function of the tangential strain due to pressure inside the cylinder: pi = εθ ( P ) E ( r0 2 − ri 2 ) (5)  r2  ri 1 + 02   r  2 By introducing εθ ( P ) from Equation (3) into Equation (5) and considering that r0 2 r 2 = 1 in our case because we always measure the strain at the outer face of the cylinder, yields the final equation to obtain the pressure along the axial direction of the cylinder as a function of the measured strains in tangential and axial direction: pi = (ε θ (m) −νε z ( m ) ) E ( r02 − ri 2 ) (6) 2ri 2 Fig. 2 demonstrates schematically the measuring capabilities of the GFA, i.e. evolution of pressure along the cylinder at a fixed force. Figure 2: Schematic representation of evolution of pressure along the cylinder ✶✷ Kuhljevi dnevi 2015 Figure 2 illustrates how one can compare the flowability of two granular materials in the GFA, taking as reference the pressure profile of a fluid which is constant along the length of the cylinder, one can determine if certain powder has better or worse flowability by analyzing how steep is the pressure drop along the length of the cylinder, i.e. a granular material with less pressure drop will present better flowability (behavior closer to liquid) than another with very rapid pressure drop. Based on the literature, it is expected that powders with a smaller average particle size will have less flowability [10,11]; for this reason Powder 1 in Fig. 2 has a much faster pressure drop than Powder 2. 4 GFA apparatus performance demonstration For the purpose of GFA apparatus performance demonstration five different materials provided by BASF (Germany) were analyzed: 4 stainless steel powders and 1 type of polyoxymethylene (POM) pellets. Average particle sizes of measured samples: • Fraction I (Stainless steel): 41,7 μm • Fraction II (Stainless steel): 23,7 μm • Fraction III (Stainless steel): 20 μm • Fraction VI (Stainless steel): 6,8 μm • POM (Stainless steel): 4000 μm 4.1 Methodology of experiments The measuring procedure is divided in 4 stages. First, the powder sample is prepared and consolidated. It is important to point out the importance of sample conditioning as part of the sample preparation process in order to prevent excess of air in between the particles. To release the excess of air from the sample and yield the same arrangement of particles inside the cylinder, tapping of the cylinder is done during and after filling the cylinder with powder. The second stage consists of placing the filled cylinder into the frame of the apparatus, and balancing of the circuits. During the third stage, the test is performed by applying the load. The final stage is the cleaning of the cylinder after the test. All materials were tested 10 times following the described protocol. In order to artificially increase the number of measuring points along the length of the cylinder, the amount of powder sample was deliberately changed and in this particular case two different distances were used. When determining the measuring position the minimal distance of 15 mm from the first measuring point has to be taken into account in order to avoid the instability zone. Using this procedure pressure profile curves composed of 6 points instead of just 3 were F 4428 ± 25 N corresponding to a obtained. The force that was applied during the tests was= maximum pressure = p 22.025 ± 0.125MPa . 4.3 The GFA index Steady-state flowability of granular material is represented by axial distribution of pressure within the measuring cylinder. If the cylinder is filled with a Newtonian fluid the pressure would be uniform throughout the volume of the measuring cylinder, i.e., constant along the axial direction, as schematically shown in Fig. 2. On the other hand, when the cylinder is ✶✸ Kuhljevi dnevi 2015 filled with a granular material pressure distribution is not constant, it is changing along the axial direction of the cylinder, as shown in Fig. 2. For easy comparison pressure distribution along the axial direction of the cylinder may be normalized by the pressure, which would be generated within the cylinder if it would be filled with a Newtonian fluid, hence pNF = F / A . As a measure of the steady-state flowability we may define a parameter, which we will call “GFA” index, and it is defined as L = GFAindex S granular = S fluid ∫ p( z )dz 0 pNF L A = ⋅ p ( z )dz ⋅L FL ∫0 , (24) where S granular is the area of the pressure profile of a granular material, and S fluid is the area of the pressure profile corresponding to a Newtonian fluid, F is the applied force, A is the inner cross section area of the cylinder, p( z ) is the pressure distribution along the cylinder and L is an agreed upon “standardized” length of the cylinder. In our case we have used L = 188 mm . The maximum value of the "GFA index" is 1 and indicates that tested granular material flows as good as a Newtonian fluid. As the "GFA index" decreases it indicates attenuation of flowability of a granular material. In this case the area may be calculated by using trapezoidal rule, where the total area of the curve corresponds to the sum of 6 trapezoids that are formed from the number of measuring points used to calculate the pressure profile. By increasing the number of measured points determination of the GFA index will be of course improved. 5 Results and discussion Following the methodology described in section 4, the pressure profiles of all metallic powders and POM material were measured. In line with the definition of GFA index measured pressures were normalized by the maximal pressure, which corresponds to the applied force divided by the cross section area of the cylinder. The maximum pressure varied slightly from test to test within the range from 21.9 to 22.2 MPa. Fig. 3a shows the "GFA index" for five granular materials as function of the average particle size. In Fig. 3a we have used logarithmic scale for the particle size in order to show all five results on the same diagram. Fig. 3b shows the "GFA index" for four metallic granular materials only. Here the particles size coordinate is shown in linear scale. The results shown represent average of ten measurements, and the corresponding variance was calculated by using Student's t-distribution. From the results one can observe that Fraction IV presents the lowest "GFA index" which indicates that it has the lowest flowability. This agrees with [10] and [11] where authors state that as particle size decreases cohesion increases and thus flowability is reduced. Fractions III and II present almost the same GFA index and Fraction I has the highest "GFA index" indicating the best flowability among the metal powders. Despite the large experimental error observed in measurement on POM, the results evidence that POM have much better flowability with respect to metal powders because of the decreased friction between the POM pellets. Large experimental error in POM measurements may be accounted to unfavorable ratio between the size of the POM pellets and the inner diameter of the testing cylinder. ✶✹ Kuhljevi dnevi 2015 We can observe that the value of the "GFA index" of POM is approximately 3 times higher than the value of the "GFA index" for the metallic powders, however, it is important to notice that the difference in average particle size is more than 100 times. Figure 3: a) GFA index for metal powders and POM, b) GFA index for metal powders (close up look) 6 Conclusions Proposed GFA apparatus proves to be an interesting tool for studying the steady-state flowability of granular materials exposed to pressure loading. It consists of a hollow cylinder where granular materials can be pressurized by means of a piston; the pressure drop in axial direction of the cylinder is estimated by measuring strains at the outer surface of the cylinder along its length. A new parameter, GFA-index, used to assess the flowability of different granular materials has also been introduced. The GFA-index is the ratio of the integral of the pressure distribution along the agreed upon “standardized” length of the cylinder, L, divided by the integral over the same distance assuming that pressure is constant, which is the case if cylinder would be filled with a Newtonian fluid. The GFA prototype was utilized to test four fractions of stainless steel 316LW and granules of polyoxymethylene of different average particle size in order to demonstrate the concept and capabilities of the apparatus. Obtained results proved the simplicity and power of the GFA apparatus. However, demonstration experiments have shown that measuring strains at only few locations is not sufficient, which suggests that further work is required to improve the accuracy of this first GFA prototype. Measuring strains at the outer surface with an ✶✺ Kuhljevi dnevi 2015 optical method that allows obtaining the complete pressure profile along the cylinder instead at just three positions is a recommendation towards improving the accuracy of the GFA. Acknowledgements Authors acknowledge the financial support of the Slovenian Research Founding Agency, and the European Union Social Fund. As well as the in kind support from BASF SE, Germany. Literature [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] JAEGER, H. M., and NAGEL, S. R. (1992). Physics of the granular state. Sciencemag , 1523-1531, Vol. 255. VLACHOS, N., & CHANG, I. T. (2010). Investigation of flow properties of metal powders from narrow particle size distribution to polydisperse mixtures through an improved Hall-flowmeter. Powder Technology 205 , 71-80. GELDART, D., ABDULAH, E. C., HASSANPOUR, A., NWOKE, L. C., & WOUTERS, I. (2006). Characterization of powder flowability using measurement of angle of repose. China Particuology 4 , 104-107 SHINOHARA, K., & GOLMAN, B. (2002). Dynamic shear properties of particle mixture by rotational shear test. Powder Technology 122 , 255-258. FREEMAN, R. (2007). Measuring the flow properties of consolidated, conditioned and aetated powders - A comparative study using a powder rheometer and a rotational shear cell. Powder Technology 174 , 25-33 PRESCOTT, J. K., and BARNUM, R. A. (2000). On Powder Flowability. Pharmaceutical Technology , 60-86. J.A. Moreno López, I. Emri, Effect of Particle Size on the Flow Ability of Microsized Stainless Steel 316LW Powder Analyzed with a New Granular Flow Apparatus, J. A. Moreno Lopez, 2012. D. Bregant, I. Emri, Development and construction of the measuring device for analysing micro powders flowability, University of Ljubljana, Faculty of Mechanical Engineering, 2013. Z. Ma, K. Ravi-Chandar, Confined compression: A stable homogeneous deformation for constitutive characterization, Exp. Mech. 40 (2000) 38–45. C.S. Campbell, Granular material flows - An overview, Powder Technol. 162 (2006) 208–229. K.K. Rao, P.R. Nott, An Introduction to Granular Flow, Cambridge University Press, New York, 2008. R.G. Budynas, J.E. Shigley, Shigley’s Mechanical Engineering Design, 8th ed., McGraw-Hill Education, 2008. ✶✻ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Nekatere karakteristike večstopenjskih mešal pri mešanju in dispergiranju zraka v psevdoplastični tekočini A. Bombač1, M. Plut1and D. Senica2 Some characteristics of multiple impellers in mixing and air dispersing into pseudo-plastic fluid Povzetek. V prispevku so predstavljeni rezultati meritev moči in deleža plinaste faze (dpf) večstopenjskih mešal v tekočini (vodna raztopina CMC z masnim deležem 0,15% in 0,3%). Pri mešanju psevdoplastične tekočine oz. vode ni bistvenih razlik karakteristike moči mešanja (Ne), kot tudi ni bistvenih razlik v dpf pri dispergiranju zraka. Večji vpliv je zaznati zaradi spremembe lastnosti tekočine na razmerje moči Pg/P. Ta je največja pri mešalu manjšega premera. Podane so korelacije za izračun dpf kot odvisnost mehanske in pnevmatske energije za posamezna mešala. Abstract. This paper presents the results of measuring the power and gas holdup (dpf) of a multiple impeller mixing and air dispersal into fluids (0.15 and 0.3 mass% CMC aqueous dilution and water). The effect of the pseudo plastic fluid on the power consumption in mixing and air-dispersing or on the gas holdup can be neglected. Experimental studies indicated a greater effect of pseudo plastic fluid on the power-drown Pg/P, which is most affected at the smallest impeller diameter. The gas holdup correlation, showing the dependence of mixing and pneumatic power on dpf, is presented for different multiple impellers. 1 Uvod Pri uporabi mešalnih posod v industrijski praksi so običajne delovne tekočine nenewtonskega značaja, še posebno v farmacevtskih vitkih fermentorjih. Med procesom mešanja v njih prihaja do kompleksnih reakcij, ki imajo pogosto za posledico spremembe reoloških značilnosti tekočin (iz newtonskih v nenewtonske tekočine). Bombač s sod. v delu[1] ugotavlja da ima brozga v začetni fazi lastnosti newtonske kapljevine, ki se s časom spreminja v vse bolj nenewtonsko kapljevino s precej povečano viskoznostjo. Za dosego imitiranja realnih pogojev mešanja psevdoplastičnih tekočin je bila zato uporabljena delovna tekočina vodne raztopine karboksimetil celuloze natrijeve soli - CMC). V literaturi je zaslediti raziskave[2],[3] pri različnih masnih koncentracijah (od 0,1 % do 5 %). V našem delu sicer nismo spreminjali lastnosti tekočine med samim procesom mešanja, vendar so bile meritve izvedene samo pri določenih koncentracijah CMC-ja. Za dosego čim boljših pogojev mešanja nenewtonskih tekočin v industriji, so mešalne posode opremljene z več mešali (večstopenjska mešalo) na isti mešalni gredi. Le-ta so med seboj oddaljene za določeno razdaljo. S povečevanjem števila mešal in posledično manjšanjem razdalj med mešali povzročimo, da se potrebna specifična vložena energija za mešanje znižuje[3]. V prispevku je za posamezna mešala prikazana disipacija energije kot vsota mehanske energije mešal in pnevmatske energije zraka[4]: ✶✼ Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo Lek farmacevtska družba d.d., Mengeš Kuhljevi dnevi 2015 Razlogi za uporabo večstopenjskih mešal v vitkih reaktorjih je več. Dolga obratovalna doba, nižja poraba energije na enoto mase ter veliko večji volumen na enoto površine so le nekatere prednostne lastnosti teh naprav[5],[3]. Bistveno prednost večstopenjskih mešal je predvsem v fleksibilnosti pri mešanju različnih tekočin, ki imajo različne lastnosti (te se tudi med procesom lahko spreminjajo). Disipacija energije je ob mešalu velika, kar povzroča nizko navidezno viskoznost in dobre pogoje za mešanje ter prenosa snovi. Z oddaljenostjo od mešala (proti steni posode), pa se disipacija energije oz. strižne hitrosti znižujejo, kar povzroča porast navidezne viskoznosti in s tem bistveno nižjo učinkovitost mešanja. Večstopenjska mešala so zato zelo uporabna pri mešanju nenewtonskih tekočin, saj povzročajo disipacijo energije na več različnih mestih, s tem je turbulenca v večstopenjskih mešalih veliko bolj enakomerna kot pri konvencionalnih posodah z enostopenjskim mešalom[7]. Na porazdelitev in iznos plinaste faze bistveno vplivata tako oblika kot izvedba mešal ter disipacije mehanske energije mešal. Za napoved prirastka plinaste faze večina avtorjev[7] uporablja poenoten model: , (2) ki z različnimi vrednostmi koeficientov, glede na delovno snov, uporabljana mešala in robne pogoje obratovanja dobro popisuje velikost dpf. Izračun koeficientov je potekal s programom DATAFIT 9.0. 2 Eksperiment Vse meritve in obdelava podatkov je potekala na isti merilni liniji (enostopenjska in trostopenjska mešala). Pogonski elektromotor, ki je krmiljen s frekvenčnim regulatorjem poganja mešalno gred z mešali v posodi. Slika 1: Merilna proga Frekvenco mešala merimo na vrhu gredi, kjer je vpet disk, na katerem je radialno razvrščenih 60 zrcal, z enakim razmikom. IR senzor meri med vrtenjem gredi odboje in določa vrtilno frekvenco gredi in s tem mešala (vrt/min). Odstopanje vrtilne frekvence je v mejah ±0,5 %. Vrtilni moment mešala merimo z merilnikom momenta – dinamometrom (proizvajalec HBM), ki preko merilnih lističev v odvisnosti od obremenitve podaja različne izhodne napetosti. Merilni razpon dinamometra je od 0 do 10 Nm. Izhodni signal je nato ojačen z ojačevalnikom HPSC 3102/5 kHz (MES Maribor) in podaja maksimalno skupno odstopanje ±0,5% trenutne vrednosti. Ojačan signal je voden na merilno kartico -2✶✽ Kuhljevi dnevi 2015 Na SCB – 68-6216, katera pretvori napetost v signal, le-tega pa nato preko Na-USB pretvornika zajemamo z računalniškim programom LabVIEW. Tabela 1: Uporabljena večstopenjska mešala s pripadajočimi oznakami GRAFIČNI PRIKAZ MEŠALA PREMER MEŠAL OZNAKA 0,5·T (0,225 m) A 0,4·T (0,18 m) B 0,5·T (0,225 m) C 0,5·T (0,225 m) D 3 SHP 1 6 PBT 45 ABT 3 SHP 1 6 PBT 45 ABT 6 PBT 45 3 SHP 1 ABT 3 SHP 1 6 PBT 45 BT-6 Volumski pretok zraka je bil merjen z laboratorijskim rotametrom (dve cevi različnih razponov) in normiran glede na nadtlak in temperaturo. Globalni delež plinaste faze je merjen z enostavno U-cevjo s tritočkovnim zajemom tekočine. Meritve so potekale v naraščajočem trendu spreminjana veličin (izognitev možnim histereznim pojavom). Čas vzorčenja meritve je znašal 60 s, frekvenca vzorčenja je bila 20 Hz. Za dosego stacionarnih pogojev (stanja) ob spremembi parametrov je bilo časovnega razmaka minimalno 60 s. Vse meritve so bile ponovljene trikrat. Pri meritvah oz. izračunih moči mešanja je bila upoštevana tudi moč trenja v sklopih mešalne naprave. Natančnejši opis merilne proge je opisan v delu[8]. Pred vsakim setom meritev je bila pripravljena določena koncentracija vodne raztopine CMC-ja (0,15 % oz. 0,3 %) v kateri so potekale meritve. Masne količine so bile določene na osnovi tehtanja. Tipi mešal za večstopenjsko konfiguracijo mešala so bili izbrani na osnovi večletnih izkušanj in raziskav[1],[8],[9]. Tabela 1 prikazuje posamezna večstopenjska mešala s pripadajočo oznako. Podane so še pomembnejše dimenzije mešalne posode: premer posode T=450 mm, h_d=75 mm, h1=150 mm, h2=250 mm in h_l=910 mm. -3✶✾ Kuhljevi dnevi 2015 3 Rezultati in razprava Tabela 2 prikazuje povprečne vrednosti Newtonovega števila (Ne) za celoten merjen razpon vrtilnih hitrosti pri uporabi različnih tekočin. Vrednosti za vodo so povzete[9]. Tabela 2: Primerjava povprečnih vrednostih Ne števila za različne tekočine in mešala Mešalo A B C D Tekočina CMC 0,3 % Povprečna vrednost Ne 3,64 VODA 3,55 CMC 0,15 % 3,40 CMC 0,3 % 3,20 VODA 4,42 CMC 0,15 % 3,34 CMC 0,3 % 3,54 VODA 3,93 CMC 0,3 % 3,81 VODA 4,23 CMC 0,15 % 3,80 Pri vseh mešalih se z naraščanjem vrtilne frekvence razlika v povprečni vrednosti Ne v posameznih tekočinah zmanjšuje. Sprememba koncentracije CMC-ja (iz CMC 0,15 % na CMC 0,3 % na povprečno vrednost Ne bistveno ne vpliva; največ za 6 % pri mešalu A, pri ostalih pa manj. V primerjavi z vodo se pojavijo največje razlike v povprečnem Ne pri mešalu B (uporaba CMC 0,3 %) in znašajo skoraj 40 %. Pri mešalu C in D je povprečna razlika okoli 10 %. Najmanjši vpliv nenewtonske tekočine (CMC 0,3 %) glede na vodo podaja mešalo A in znaša malo več kot 4 %, kar je z vidika vodenja procesa fermentacije najbolj ugodno. Rezultati meritev dispergiranja zraka v kapljevino so pokazali, da uporabljeni raztopini CMC-ja nimata večjih vplivov na dpf saj je največja povprečna razlika za celotno območje pretočnih števil 0,6 %, pri mešalu C. Večje razlike prihajajo pri meritvah razmerji moči Pg/P. Najmanj ugoden potek razmerji Pg/P podaja mešalo B (manjši premer), ker so razlike med vodo in vodnima raztopinama CMC večje od 5 % za celotno področje pretočnih števil. Načeloma se z naraščanjem Froudovega števila (števila vrtljajev) razlike v razmerju Pg/P zmanjšujejo (pri Fr = 0,1 največje razlike, pri Fr = 0,3 pa najmanjše). Najboljši potek podaja mešalo D, kjer so odstopanja Pg/P med tekočinami manj kot 2,3 % za celotno območje pretočnih števil. Pri izračunu koeficientov nelinearne večstopenjske regresije je bilo uporabljenih 27 nizov meritev dpf za vodno raztopino CMC 0,3 %. Ti so se razlikovali glede na različna Froudova in pretočna števila. Kot je razvidno iz Tabela 1, ima največji vpliv na dpf linearna hitrost plina. Za primerjavo rezultatov dpf z drugimi avtorji je bilo predelanih več kot 30 aproksimacijskih koeficientov za izračun dpf, ki so se razlikovali po številu in vrsti mešal, delovnih tekočinah itd. Na Graf 1 so prikazane izmerjene vrednosti dpf (pri Fr = 0,1) za vsa štiri večstopenjska mešala ter pet napovedi različnih avtorjev (podajajo najboljše ujemanje). Rezultati raziskave mešal A, C in D se za stanje Fr = 0,1 najbolje ujemajo z rezultati Moucha s sod.[10] -4✷✵ Kuhljevi dnevi 2015 Tabela 2: Primerjava koeficientov regresijske analize med posameznimi mešali Mešalo a Koeficient b c A 0,14625 0,21555 0,49676 0,976 B 0,05135 0,41356 0,48268 0,973 C 0,18308 0,16700 0,47993 0,984 D 0,10622 0,25762 0,47229 0,974 R2 V njej so uporabili dvostopenjsko mešalo, v sestavi z Rushtonovo turbino (RT) spodaj in mešalo z lopaticami pod kotom 45° zgoraj. Notranji premer mešalne posode je znašal 290 mm, premer mešal pa 0,3∙T. Delovna tekočina je bila uporabljena vodna raztopina z 0,5 % Na2SO4. Mešalo manjšega premera (mešalo B) najbolj popisujejo koeficienti Saravana[11], kjer so uporabili dvostopenjsko mešalo z lopaticami pod kotom 45° (PTD45) v vodni raztopini z 0,2 % CMC. Notranji premer mešalne posode je znašal 450 mm, premer mešal pa 0,3∙T. Na grafu so prikazani rezultati dpf pri večjem številu vrtljajev oz. Froudovem številu (0,3). Najboljše ujemanje z ostalimi avtorji in meritev za stanje Fr = 0,3 za vsa štiri mešala podaja Nocentininijevo delo[12] ter raziskava Moucha s sod.[10]. Oba avtorja sta uporabila tristopenjsko mešalo z Rushtonovimi turbinami. 15 mesalo A mesalo B mesalo C mesalo D Xie_3WHU Pinelli_3RT Saravan_2PTD45 Moucha_2TXU 13 ε [%] 11 9 7 5 Fr = 0,1 3 1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Vg [m/s] Graf 1: Prikaz dpf v odvisnosti od linearne hitrosti plina pri Fr = 0,1 Prikaz mehanske in pnevmatske energije za Fr = 0,1 in Fr = 0,3 pri mešalih A, C in D (vsi premera 0,225 m) so prikazani na Graf 3 in Graf 4. Opazimo lahko, da je največja razlika med mešanjem psevdoplastične tekočine in vode v specifični mehanski energiji pri mešalu A (pri Fr = 0,1 in Fr = 0,2). Pri višjem Froudovem število je zaznati tudi večja odstopanja pri mešalu D. Pričakovano je bistveno višji vnos energije pri višji vrtilni hitrosti mešanja. Na splošno ima najnižji vnos specifične mehanske energije mešalo C. -5✷✶ Kuhljevi dnevi 2015 Tabela 3: Koeficienti za en.(2) po virih literature Avtor Xie [7] Pinelli [13] Moucha [10] Saravan [11] Nocentini [12] 20 3-stopenjsko WHU 3-stopenjsko RT 2-stopenjsko RT+PBT45 2-stopenjsko TXU 1-stopenjsko TXD 2-stopenjsko PTD45-PTD45 3-stopenjsko RT a 0,101 0,278 0,04668 0,04993 0,048 0,0768 0,0835 Koeficienti b 0,341 0,217 0,497 0,4858 0,415 0,4235 0,375 c 0,52 0,662 0,5718 0,572 0,534 0,7116 0,62 mesalo A mesalo B mesalo C mesalo D Pinelli_3RT Saravan_2PTD45 Moucha_TXD Nocentini_3RT 18 16 14 ε [%] Uporabljeno mešalo 12 10 8 6 4 Fr=0,3 2 0 0.01 0.02 0.03 vg [m/s] 0.04 0.05 0.06 ε meh [W/kg] Graf 2: Prikaz dpf v odvisnosti od linearne hitrosti plina pri Fr=0,3 0.24 0.22 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 Fr = 0,1 n = 125 vrt/min mesalo A_voda mesalo C_voda mesalo D_voda Pne_en[W/kg]_0.5T 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 mesalo A_CMC 0,3% mesalo C_CMC 0,3% mesalo D_CMC 0,3% 0.25 0.30 0.35 0.40 Fl Graf 3: Prikaz mehanske in pnevmatske energije za Fr = 0,1 -6✷✷ Kuhljevi dnevi 2015 0.80 0.70 Fr = 0,3 n = 217 vrt/min e meh [W/kg] 0.60 0.50 0.40 mesalo A_voda mesalo A_CMC 0,3% mesalo C_voda mesalo C_CMC 0,3% mesalo D_voda mesalo D_CMC 0,3% Pne_en[W/kg]_0.5T 0.30 0.20 0.10 0.00 0 0.05 0.1 Fl 0.15 0.2 0.25 0.3 Graf 4: Prikaz mehanske in pnevmatske energije za Fr = 0,3 4 Zaključek Na pilotni mešalni napravi so bile izvedene meritve moči v kapljevini pri mešanju in pri dispergiranju zraka v vodo s štirimi različnimi večstopenjskimi mešali. Pri dispergiranju zraka so bili merjeni še deleži plinaste faze. Iz karakteristik moči izhaja, da pri mešanju kapljevine ne prihaja do bistvenih razlik v primerjavi z vodo. Najmanjši vpliv na vrednost Ne je pri 0,3% CMC raztopini z mešalom A in znaša malo več kot 4 % za celoten razpon vrtilnih hitrosti (od 50-300 vrt/min). Vpliv psevdoplastične tekočine CMC-ja nima bistvenega vpliva na dpf (zaznati pri vseh obravnavanih mešalih). Meritve dpf se sicer precej dobro ujemajo tudi z meritvami ostalih avtorjev. Pri Froudovem številu 0,1 lahko sklepamo, da obravnavna mešala povzročajo podobno cirkulacijsko zanko kot dvostopenjska mešala (radialno mešalo spodaj in radialno-askialno mešalo zgoraj). Pri višjem Froudovem številu pa temu ni tako, saj se dpf najbolje ujema s tristopenjskim mešalom z Rushtonovimi turbinami. Bistveno večji vpliv ima nenewtonska tekočina na razmerje moči Pg/P, zlasti na mešalo manjšega premera. S povečevanjem Froudovega števila (oz. števila vrtljajev mešala) povzročimo, da se razlike med psevdoplastično tekočino in vodo v razmerju Pg/P zmanjšujejo. To trditev je pokazala tudi analiza specifičnih energij (z večjo vrtilno frekvenco mešala povzročimo večji vnos mehanske energije v sistem). Največje odstopanje vode in vodne raztopine CMC pri vnosu specifične mehanske energije je sicer zaznati pri mešalu A. Oznake – skupna specifična moč mešanja [W/kg], mL - masa tekočine [kg], g - gravitacijski pospešek [9,81 m/s2], - linearna hitrost plina izračunana z [m/s], Ne - Newtonovo število, Fl - pretočno število, Fr - Froudovo število, -7✷✸ [/], [/], , Kuhljevi dnevi 2015 Qv - volumski pretok plina [m3/s], A - aksialna površina mešane tekočine [m2], Pg - moč mešanja pri dispergiranju [W], V - volumen tekočine [m3], vg - linearna hitrost plina [m/s], a,b,c - faktorji regresijske analize [/], n - število obratov mešala [s-1],  - delež plinaste faze dpf, [%], D - premer mešala [m], g - gravitacijski pospešek [9,81 m/s2], q - pretok zraka [m3/s], ρ - gostota tekočine [kg/m3], WHU – široko krilno mešalo (ang.Wide blade Hydrofoils - Up pumping, RT – Rushtonovo mešalo, PBT - mešalo z ravnimi lopaticami pod kotom 45°, TX-U/D - mešalo Techmix 335 (ang. Up pumping/Down pumping). Literatura [1] Bombač A., Senica D., Žun I. Meritve zaznave poplavnega stanja na pilotnem fermentorju. Hriberšek M., Ravnik J. Kuhljevi dnevi 2012. Rogaška Slatina: Slovensko društvo za mehaniko, 2012, 7-14. [2] Triveni B., Vishwanadham B., Madhavi T., Venkateshwar S. Mixing studies of non-Newtonian fluids in an anchor agitated vessel. Chemical Engineering Research and Design, 2010, 88, 809-818. [3] Liu L. Computational fluid dynamics modelling of complex fluid flow in stirred vessels. Doktorska dizertacija. University of Birmingham, 2013. [4] Groen, D. J. Macromixing in bioreactors. Doktroska dizertacija, Delft. University of Technology, The Netherlands. (1994) [5] Woziwodzki1 S., Ochowiak M. Transitional Mixing of Shear-Thinning Fluids in Vessels with Multiple Impellers. Chemical Engineering & Technology, 2010, 33, 1099-1106. [6] Machado M.B., Kresta S.M. The connned impeller stirred tank (CIST): A bench scale testing device for specification of local mixing conditionsr equired in large scale vessels. Chemical Engineering Research and Design, 2013, 91, 2209-2224. [7] Xie M., Xia J., Zhou Z., Chu J., Zhuang Y., Zhang S. Flow Pattern, Mixing, Gas Hold-Up and Mass Transfer Coefficient of Triple-Impeller Configurations in Stirred Tank Bioreactors. Industrial and engineering chemistry research, 2014, 53, 5941-5953. [8] Bombač A. Karakteristike struktur faznega stika pri aeraciji v posodi z mešalom. Doktorska disertacija. Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, 1994. [9] Vidic M. Raziskava osnovnih karakteristik pri dispergiranju v industrijskem fermentorju in modelni mešalni napravi. Magistrsko delo. Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, 2015. [10] Moucha, T., Linek V., Prokopova E. Gas hold-up, mixing time and gas–liquid volumetric mass transfer coefcient of various multiple-impeller confgurations: Rushton turbine, pitched blade and techmix impeller and their combinations. Chemical Engineering Science, 2003, 58, 1839 – 1846. [11] Saravanan K., Ramamurthy V., Chandramohan K. Gas Hold up in Multiple Impeller Agitated Vessels. Modern applied science, 2009, 3, 49-59. [12] Nocentini M., Fajner D., Pasquali G., Magelli F. Gas-Liquid Mass Transfer and Holdup in Vessels Stirred with Multiple Rushton Turbines: Water and Water-Glycerol Solutions. Ind. Eng. Chem. Res, 1993, 32, 19-25. [13] Pinelli D., Magelli F.Analysis of the Fluid Dynamic Behavior of the Liquid and Gas Phases in Reactors Stirred with multiple Hydrofoil Impellers. Ind. Eng. Chem. Res. 2000, 39, 3202-3211. -8✷✹ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Primerjava dveh radialnih mešal v tristopenjskem mešalu M. Cotič, M. Vidic in A. Bombač1 Comparison of two radial impellers in the three-stage impeller Povzetek. Eksperimentalno so bile določene osnovne karakteristike dveh tristopenjskih mešal, kjer se razlikujeta mešali na najnižji poziciji. Vpliv različnih spodnjih mešal ABT in BT6 je prikazan s primerjavo disipirane energije pri mešanju v vodi ter pri dispergiranju zraka z razmerjem moči Pg/P kot tudi z deležem plinaste faze. Abstract. The basic characteristics of two different three-stage impellers were determined experimentally. The effects of ABT and BT6 impellers as the lowest impeller of the three-stage impeller are shown, with a comparison of power dissipation when mixing in water and when dispersing in air using power-drawn Pg/P and gas holdup as measures. 1 Uvod V delu sta obravnavani dve tristopenjski mešali, v posamezni konfiguraciji se razlikujeta spodnji mešali. Pri večstopenjskem mešalu je običajno spodnje mešalo sposobno dispergirati večje količine dovedene plina, sicer lahko pride do lokalnega poplavnega stanja. To je vsekakor neželena operacija ker povzroča neenakomerno porazdelitev plinaste faze po volumnu kapljevine (v posodi). V ta namen je bilo razvito mešalo ABT[1] in je bilo primerjano z mešalom BT6 na poziciji spodnjega mešala tristopenjskega mešala. Nekatere karakteristike tristopenjskih mešali so bile izmerjene in primerjane pri mešanju in dispergiranju zraka v vodo. Določena je bila disipacija energije posamezne konfiguracije, prikazana kot karakteristika moči (Newtonovo število) ter pri dispergiranju zraka še delež plinaste faze (dpf). 2 Merilna linija in eksperimentalna naprava Meritve so bile izvedene na merilni liniji v laboratoriju LFDT. Shemi eksperimentalne naprave in merilne linije sta prikazani na sliki 1. Sistem sestoji iz mešalne posode (premera T=450mm), v kateri je bilo nameščeno tristopenjsko mešalo. Mešalni sklop je gnan z elektromotorjem (2) preko frekvenčnega regulatorja (1), vrtilna frekvenca mešala je merjena z merilnikom vrtljajev (3) natančnosti . Na gred je vpet 1 Vsi Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo ✷✺ Kuhljevi dnevi 2015 merilnik momenta (4), ki uporablja merilne lističe za različno izhodno napetost pri obremenitvah (elastičnih deformacijah) gredi. Signal merilnika momenta je bil ojačen z ojačevalnikom – (5), kalibriran na način pri območju . Posamezna meritev je trajala , frekvenca zajema signala je bila nastavljena na . Signal je bil zajet z merilno kartico – (6) in programskim paketom LabVIEW Signal Express 2009 inštaliranim na prenosnem računalniku (7). Uporabljena je bila vodovodna voda pri sobni temperaturi. Za dispergiranje zraka je bil uporabljen zrak iz razvoda komprimiranega zraka na FS, merjen z rotametrom (8) točnosti . Merjen pretok zraka je bil ustrezno korigiran na dejanski tlak in temperaturo. Za meritve časov pomešanja (ki pa niso zajeti v tem prispevku) je bil uporabljen predojačevalnik termočlenov (9). Gladina tekočine (dvofazni sistem pri dispergiranju zraka) je bila merjena z vezno cevjo (10), radialno je bil nameščen tritočkovni zajem vode na gladini. 1. frekvenčni regulator Slika 1. Shema merilne linije (levo) in eksperimentalna naprava (desno). Uporabljeni sta bili tristopenjski mešali, prikazani na sliki 1-desno, kjer pomenijo oznake:   1- obročasti razpršilnik dovedenega zraka premera Konfiguracija 1: tristopenjsko mešalo sestavlja pod številko: 2- mešalo s premerom , 3- mešalo s premerom , 4- mešalo s premerom 0 . Konfiguracija 2: tristopenjsko mešalo sestavlja pod številko: 2 - mešalo 3 - mešalo 4 - mešalo s premerom , s premerom , s premerom ✷✻ . Kuhljevi dnevi 2015 Vsa uporabljena mešala so prikazana na sliki 2. Zgornje mešalo je bilo aksialno mešalo s tremi lopaticami. Tok tekočine iz lopatic je aksialen in usmerjen navzdol. Na srednji poziciji Slika 2. Uporabljena mešala od leve proti desni: SHP, 6PBT45, ABT, BT6. je bilo nameščeno šest lopatično aksialno/radialno turbinsko mešalo. Lopatice z horizontalno linijo oklepajo kot 45° in ustvarjajo tok tekočine radialno in navzdol, pod kotom cca 45° glede na ravnino mešala. Kot spodnje mešalo je bilo izmenično uporabljeno ABT oz. BT6. 3 Rezultati in razprava Mešanje v kapljevini 3.1 V kapljevini so bile opravljene po tri meritve s posamezno konfiguracijo. Merjena je bila vrtilna frekvenca sklopa mešal (od 50 do 300 vrt/min) in moment na gredi ter preračunana Reynoldsovo število (1) in Newtonovo število . (2) Odvisnost Newtonovega števila vseh meritev za obe konfiguraciji je prikazana na sliki 3. 6.5 ABT 1 ABT 2 ABT 3 BT6 1 BT6 2 BT6 3 6 5.5 Ne 5 4.5 4 3.5 3 2.5 0 50000 100000 150000 200000 250000 Re Slika 3. Odvisnost Ne od Re za obe konfiguraciji sklopa mešal pri treh ponovitvah meritev. ✷✼ Kuhljevi dnevi 2015 Iz meritev je razvidno, da je disipirana energija konfiguracije 1 (z mešalom ABT) manjša od disipirane energije konfiguracije 2 (z mešalom BT6). Velika razlika v disipirani energiji se pojavi pri nižjih Re, kjer je Ne v primeru konfiguracije 1 nižje za kar 15 od 40 % (v tem območju je tudi nekoliko večji raztros meritev konfiguracije 1). Z večanjem Re se razlika Ne obravnavanih konfiguracij nekoliko zmanjša in znaša 7 do 10%. Pri konfiguraciji 1 se dokaj ustaljena vrednost Ne pojavi v celotnem merjenem območju, od – ki pripada vrtilni frekvenci , pri premeru mešal . 3.2 Mešanje pri dispergiranju zraka v mešalno posodo Opravljene so bile meritve pri treh različnih Froudovih številih (3) in različnih pretočnih številih (4) dovedenega zraka . (4) Iz moči mešala pri mešanju v kapljevini P in pri dovajanju različnih pretokov zraka Pg je bilo izračunano razmerje Pg /P [2]. Moč mešala je bila določena po enačbi: . (5) Po metodi spremembe razmerja moči Pg/P je zaznava poplavnega stanja definirana v režimu, kjer je vrednost razmerja Pg /P večja v primerjavi z predhodno[3,4,5]. Slika 4 prikazuje razmerje moči Pg/P pri Froudovem številu Fr = 0,1. Iz meritev je opaziti nižje vrednosti razmerja moči v primeru konfiguracije 1 (z mešalom ABT). Sklepamo lahko, da je uporaba konfiguracije 1 primernejša za obratovanje pri nižjih vrtilnih frekvencah sklopa mešal (nižjih Fr). 1.3 ABT 1 ABT 2 ABT 3 BT6 1 BT6 2 BT6 3 Pg / P 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Fl Slika 4. Razmerje moči Pg/P v odvisnosti od pretočnega števila pri Fr = 0,1. V primeru konfiguracije 1 se opazi večji raztros meritev, kar je bilo opaženo tudi pri mešanju v kapljevini. V primeru konfiguracije 2 je vrednost razmerja moči Pg/P pri Fl > 0,224 večja ✷✽ Kuhljevi dnevi 2015 od 1, kar pomeni prevladovanje vzgonske sile zraka nad mehansko silo, vneseno z mešalom. V primeru dispergiranja je bil določen globalni delež plinaste faze v mešalni posodi αg (6), ki se povečuje z večanjem Fl. (6) [vol %] Po metodi spremembe globalnega deleža plinaste faze je zaznava poplavnega stanja definirana v točki, ko je vrednost globalnega deleža plinaste faze αg manjša v primerjavi z predhodno [3,4]. Delež plinaste faze konfiguracije 2 je v primeru Fr = 0,1 večji za 1 do 6 %, slika 5. V obeh primerih αg narašča z večanjem Fl. Po metodi spremembe deleža plinaste faze poplavnega stanja, ki se pojavi pri povečanju vrednosti Pg/P konfiguracije 2 (pri Fl > 0,224), ni moč določiti. 10.0 ABT 1 ABT 2 ABT 3 BT6 1 BT6 2 BT6 3 9.0 8.0 α [vol %] 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Fl Slika 5. Globalni delež plinaste αg faze v odvisnosti od pretočnega števila pri Fr = 0,1. 1.2 1.1 1.0 Pg / P 0.9 0.8 0.7 ABT 1 ABT 2 ABT 3 BT6 1 BT6 2 BT6 3 0.6 0.5 0.4 0 0.05 0.1 0.15 Fl ✷✾ 0.2 0.25 0.3 Kuhljevi dnevi 2015 Slika 6. Razmerje moči Pg/P v odvisnosti od pretočnega števila pri Fr = 0,2. Pri Froudovem številu Fr = 0,2 je v območju manjših pretočnih števil v primeru obeh konfiguracij večji trend padanja vrednosti razmerja Pg/P, kot pri Fr = 0,1. Pri višjih pretočnih številih se vrednosti ustalijo. Konfiguracija 1 (z mešalom ABT) ima manjše vrednosti razmerja moči. Pri pretočnih številih Fl > 0,2 znaša razlika med konfiguracijama od 4,5 do 7 %, slika 6. Pri Fr = 0,2 je med konfiguracijama večja razlika globalnega deleža plinaste faze αg. Delež zraka v mešalni posodi je večji v primeru konfiguracije 2 (z mešalom BT6). Pri Fl > 0,2 znaša razlika med konfiguracijama 5 do 6,5 %, slika 7. V primeru Fr = 0,2 po metodi zmanjšanja moči mešanja in metodi spremembe globalnega deleža plinaste faze ni bilo zaznanih poplavnih stanj v območju merjenih pretočnih števil Fl. 12.0 ABT 1 ABT 2 ABT 3 BT6 1 BT6 2 BT6 3 10.0 α [vol %] 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Fl Slika 7. Delež plinaste faze v odvisnosti od pretočnega števila pri Fr = 0,2. Razmerje moči Pg/P za primer Fr = 0,3 je prikazano na sliki 8. V primeru obeh konfiguracij pride od večjega zmanjšanja razmerja z večanjem pretočnega števila med . Pri večjih pretočnih številih Fl > 0,043 so vrednosti Pg/P dokaj ustaljene. Razmerje moči je ponovno manjše v primeru konfiguracije 1 (z mešalom ABT) in sicer za okoli 5 do 7 %. Pri Fr = 0,3 in Fl > 0,065 je za približno 7 % večji globalni delež plinaste faze v primeru konfiguracije 2 (z mešalom BT6), slika 9. Z metodama zmanjšanja moči mešanja in spremembe globalnega deleža plinaste faze v območju merjenih pretočnih števil Fl tudi v primeru Fr = 0,3 ni zaznanih poplavnih stanj. Z večanjem Froudovega števila se globalni delež plinaste faze pri enakem pretočnem številu Fl = 0,2 povečuje od αg ≈ 7% (pri Fr = 0,1) do αg ≈ 10 % (pri Fr = 0,2) in do αg ≈ 12 % (pri Fr = 0,3). Nekoliko manjši trend zmanjševanja vrednosti razmerja moči Pg/P z naraščanjem pretočnega števila do Fl < 0,05 se pojavi pri konfiguraciji mešala iz literature: eno Rushtonovo ✸✵ Kuhljevi dnevi 2015 turbinsko mešalo (RuT) in dve mešali PBT (premer mešal: meritve opravljene pri Fr = 0,17 in Fr = 0,33 [6]. ), kjer so bile 1.2 1.1 1 Pg / P 0.9 0.8 0.7 ABT 1 ABT 2 ABT 3 BT6 1 BT6 2 BT6 3 0.6 0.5 0.4 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Fl Slika 8. Razmerje moči Pg/P v odvisnosti od pretočnega števila pri Fr = 0,3. 14.0 ABT 1 ABT 2 ABT 3 BT6 1 BT6 2 BT6 3 12.0 α [vol %] 10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Fl Slika 9. Globalni delež plinaste αg faze v odvisnosti od pretočnega števila pri Fr = 0,3. Konfiguracija mešala iz literature: Rushtonovo turbinsko mešalo (RuT) in dve turbinski mešali 6PBT45 (premer mešal: ) doseže globalni delež plinaste faze αg ≈ 1,7% (pri Fr = 0,09; Fl = 0,2). Omenjena konfiguracija doseže globalni delež plinaste faze αg ≈ 2,5% (pri Fr = 0,16; Fl = 0,2) in αg ≈ 4,2% (pri Fr = 0,25; Fl = 0,2)[7]. Konfiguracija iz literature[6]: eno Rushtonovo turbinsko mešalo RuT in dve mešali PBD ( ) ✸✶ Kuhljevi dnevi 2015 doseže vrednost αg ≈ 3% (pri Fr = 0,17; Fl = 0,15) in vrednost αg ≈ 4,2% (pri Fr = 0,33; Fl = 0,1). Konfiguracija iz literature[7]: eno Rushtonovo turbinsko mešalo RuT in dve mešali TXD ( ) doseže vrednost αg ≈ 3,2% (pri Fr = 0,17; Fl = 0,15) in vrednost αg ≈ 4,4% (pri Fr = 0,33; Fl = 0,1). Pri enakih pretočnih številih je bila dosežena vrednost globalnega deleža plinaste faze konfiguracije 1 in 2 αg ≈ 8,3% (Fr = 0,2; Fl = 0,15) in αg ≈ 9% (Fr = 0,3; Fl = 0,1). 4 Zaključek Obravnavani sta bili dve tristopenjski mešali, kjer je bilo različno mešalo na spodnji poziciji. Opravljene so bile meritve disipacije energije pri mešanju v kapljevini. Izkaže se, da je disipirana energija konfiguracije 1 (z mešalom ABT) nižja od konfiguracije 2 (z mešalom BT6) ter da je vrednost Newtonovega števila konfiguracije 1 dokaj ustaljena v celotnem merjenem območju Reynoldsovih števil. Pri dispergiranju plina v mešalno posodo je bilo izračunano razmerje Pg/P(Fl) za tri različna Froudova števila. Pri konfiguraciji 2 se pojavi poplavno stanje v primeru Fr = 0,1, ki je zaznano z metodo zmanjšanja moči mešanja. Z metodo spremembe deleža plinaste faze pri vseh merjenih Fr ni zaznanih poplavnih stanj v območju merjenih Fl. Globalni delež plinaste faze naraste z večanjem Froudovega števila iz α ≈ 7% na α ≈ 12 %. Zahvala: Avtorji se podjetju Lek Farmacevtska družba dd, Mengeš zahvaljujemo za mešalo Chemineer BT6 s katerim smo izvajali meritve. Oznake D - premer mešala [m ] g - gravitacijski pospešek [m/s2] H - višina vode v posodi [m] Hg - višina gladine dvofaznega sistema [m ] P - moč mešanja v kapljevini [W] n - vrtilna frekvenca mešala [s-1 ] Pg - moč pri dispergiranju zraka [W] q - pretok dovedenega zraka [ m3/s] Literatura [1] A. Bombač, Diskasto mešalo z asimetričnimi lopaticami, Slovenski kemijski dnevi 2013, Maribor, september 2013, str. 1 - 8. [2] A. W. Nienow, N. Harnby, M. F. Edwards, Mixing in the Process Industries, Oxford: Butterworth-Heinemann,1997. [3] A. Bombač in I. Žun, Metode prepoznave poplavnega stanja mešala pri aeraciji v posodi s turbinskim mešalom, Zbornik del, Kuhljevi dnevi, september 2002, str 65 - 72. [4] Turk, J. Določitev poplavnega stanja mešala pri aeraciji v posodi z večstopenskim mešalom, Diplomsko delo, FS, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, Novo mesto, 1999. [5] A. Bombač, M. Žumer, I. Žun, Power Consumption in Mixing and Aerating of Sherar Thinning Fluid in a Stirred Vessel, Chem. Biochem. Eng. Quarterly, Vol. 21, No. 2, Lipanj 2007 [6] S.D. Shewale, A.B. Pandit, Studies in multiple impeller agitated gas–liquid contactors; Chemical Engineering Science, Izv. 61., Mumbai (India) 2005. [7] T. Moucha, V. Linek, E. Prokopova: Gas hold-up mixing time and gas-liquid mass transfer coefficient of various multiple impeller conffigurations: Rushton turbine, Pitched blade and techmix impeller and their conbinations; Chemical Engineering Science, Izv. 58, 2003. ✸✷ S LOVENSKO SRE ČANJE DRU ŠTVO ZA MEHANIKO K UHLJEVI DNEVI 2015 Numerične metode za reševanje enačb na Lijevih grupah: formula 4. reda za integracijo kinematičnih enačb geometrijsko točnih nosilcev P. Češarek1 in D. Zupan1 Numerical methods for solving equations on Lie groups: 4th order quadrature for integration of kinematic equations of geometrically exact beams Povzetek. V prispevku se ukvarjamo z numeričnim reševanjem začetnega problema za rotacije in predstavimo zvezno aproksimacijo rešitve, ki je 4. reda natančnosti. Dobljeno rešitev uporabimo za reševanje enačb geometrijsko točnih prostorskih nosilcev, ki so izpeljane iz posplošenega principa virtualnega dela. Predstavimo formulacijo končnega elementa z linearno interpolacijo deformacij. Objektivnost in natančnost formulacije prikažemo z numeričnima primeroma. Abstract. In the present paper we concern ourselves with numerical solution of the inital value problem for rotations and present continuous approximation of the solution which is of 4th order. We use the approximation to solve equations of geometrically exact beam, which are derived from modified principle of virtual work. We present finite-element formulation with linear interpolation of strains. Objectivity and accuracy of the formulation are demonstrated by numerical examples. 1 Uvod Navadna diferencialna enačba (ODE) na matrični Lijevi grupi G je oblike Y′ (x) = Y (x) Z (x, Y) , Y (0) = Y0 , (1) kjer je Y element grupe G, Z pa je element Lijeve algebre g na grupi G. Enačba (1) je v splošnem nelinearna zato jo rešujemo z numeričnimi orodji. Elementi Lijeve grupe imajo multiplikativno naravo, s čimer poudarimo, da je njihov kompozitum določen z množenjem in ne s 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo ✸✸ Kuhljevi dnevi 2015 seštevanjem kot je običajno v linearnih vektorskih prostorih. Zato je konstrukcija numeričnih metod za numerično reševanje diferencialnih enačb na Lijevih grupah zahtevnejša naloga od izpeljave metod za aditivne vektorske prostore. V literaturi lahko zasledimo veliko predlaganih rešitev, številne med njimi so povzete v delu Hairerja in sodelavcev [1], med njimi je posebej zanimiv kolokacijski pristop, ki ga je predstavila Zanna [2]. Pomemben primer Lijevih grup v dinamiki togih teles in kinematiki nosilcev in lupin je grupa ortogonalnih matrik SO (3), ki opisuje prostorske rotacije. V prispevku se ukvarjamo z numeričnim reševanjem enačbe (1) v grupi SO (3). V literaturi [1, 2] najdemo diskretne rešitve enačbe, za reševanje problemov po metodi končnih elementov pa potrebujemo zvezno aproksimacijo rešitve. V članku predstavimo tako rešitev in jo uporabimo pri reševanju enačb geometrijsko točnih prostorskih nosilcev. Pri tem se omejimo na formulacijo, ki temelji na deformacijskih količinah [3, 4]. 2 Zvezna aproksimacija rešitve začetnega problema za rotacije 2.1 Rotacije Rotacije pripadajo Lijevim grupam, natančneje grupi SO (3), ki je grupa ortogonalnih matrik R: RRT = RT R = I, (2) kjer je z I označena identiteta. Pripadajoč linearni tangentni prostor – algebro so (3) sestavljajo antisimetrične matrike   0 −K3 K2 b =  K3 0 −K1  . K −K2 K1 0 b ∈ so (3) pripada vektor K Tangentni prostor je izomorfen prostoru R3 – vsakemu elementu K T 3 v R : K = [K1 K2 K3 ] . Za delo z rotacijami sta pomembni dve lastnosti algebre: (i) ker je algebra je vektorski prostor, so njegovi elementi aditivni, (ii) iz tangentnega prostora lahko preslikamo v grupo SO (3) z eksponentno mapo. Poleg seštevanja je ena izmed osnovnih operacij b in znotraj algebre so (3) določena z linearnim operatorjem, ki antisimetričnima operatorjema H b priredi nov antisimetričen operator (komutator) K i   h b K b =H bK b −K b H. b b = H, ad b K H b in K b v R3 pripada vektorski produkt H × K. Komutatorju H 2.2 Začetni problem Navadna diferencialna enačba (1) je za rotacije oblike b (x) , R′ (x) = R (x) K R (0) = R0 . Za reševanje enačbe (3) uporabimo nastavek, ki ga je predlagal Magnus [5]   b (x) , R (x) = R (0) exp H ✸✹ (3) (4) Kuhljevi dnevi 2015   b (x) definiran z odvodom inverza eksponentne mape: H b ′ (x) = dexp−1 K b (x) . Funkkjer je H b H b cije H (x) ni mogoče zapisati v zaključeni obliki, lahko pa poiščemo dobre približke s pomočjo razvoja v vrsto     b (x) = ∑ Bk adk K b ′ (x) = dexp−1 K b (x) , b (0) = 0, H H (5) b b H H k≥0 k! b (x) uporabimo prvih nekaj členov pri čemer so Bk so Bernoullijeva števila. Za aproksimacijo H vrste, ki so določeni z Bernoullijevimi števili: B0 = 1, B1 = 12 , B2 = 61 in B3 = 0. Nadomestno obliko problema (5) lahko potem zapišemo kot h h h i ii
b K b + 1 H, b H, b K b + O x4 . b ′ (x) = K b (x) + 1 H, H 2 12 (6) R b dξ Z integracijo enačbe (6) dobimo t.i. hMagnusovoi vrsto [5], v kateri nastopajo integrali 0x K Rx b dξ , K b . Podrobnosti so opisane v [1, 2]. Če želimo K in vgnezdeni integrali komutatorjev 0 b (x). Izberemo kolokacijski pristop, kot ga izračunati integrale, moramo aproksimirati tudi K b predstavi Zanna v [2]. K (x) nadomestimo z diskretnimi vrednostmi in interpolacijskim polinomom s e b (xn + ci h) , b (xn + ξ ) ≈ ∑ pi (ξ ) K (7) K i=1 enačbo (1) pa rešujemo lokalno na intervalu ξ ∈ [0, h], kjer je h = xn+1 − xn , pri tem pa uporabimo Magnusovo vrsto do izbranega reda natančnosti. V delu [2] so predstavljene le diskretne rešitve enačbe (3) pri ξ = h, oziroma pri xn+1 . Če za b (x) uporabimo konstanten polinom p1 = 1 in za integracijo uporabimo sredinaproksimacijo K sko točko c1 = 1, je diskretna rešitev (4) enaka   b R (xn+1 ) = R (xn ) exp h K (8) b (x) uporabimo linearen polinom skozi in je drugega reda natančnosti. Če za √aproksimacijo K √ 3 3 1 1 Gaussovi točki c1 = 2 + 6 , c2 = 2 − 6 , dobimo aproksimacijo 4. reda, ki je enaka    √ h i b1 + K b 2 + 3 h2 K b 1, K b2 . R (xn+1 ) = R (xn ) exp 21 h K (9) 12 Za naše delo pa potrebujemo rešitev za poljuben x ∈ [xn , xn+1 ], ki jo predstavimo v nadaljevanju. 2.3 Zvezna aproksimacija 4. reda Izračunu vgnezdenih integralov komutatorjev v Magnusovi vrsti se pri iskanju zvezne aproksimacije rešitve (3) lahko izognemo z neposrednim razvojem R (x) v potenčno vrsto pri x = xn , b analitična funkcija. Analitično rešitev z razvojem v potenčno vrsto sta ob predpostavki da je K b (x) pokazala E. Zupan in D. Zupan [6]. Za predpostavljen linearen potek K b (x) = A b0 + A b 1 (x − xn ) K ✸✺ (10) Kuhljevi dnevi 2015 je analitična rešitev enaka:     b 1 (x − xn )2 + 1 A b 0A b1 + 1 A b 1A b0 + 1 A b 30 (x − xn )3 + . . . . b 0 (x − xn ) + 1 A R (x) = R (xn ) I + A 2 3 6 6 (11) Če v zgornji vrsti seštejemo končno število členov, dobljena rešitev ni element grupe SO (3). Rešitev, ki je element nelinearnega prostora rotacij, dobimo z uporabo matričnega eksponenta  i h  2 3 1 b b b 0 (x − xn ) + 1 A b R (x) = R (xn ) exp A , (12) 2 1 (x − xn ) + 12 A0 , A1 (x − xn ) 1 k kjer je exp (M) = ∑∞ k=0 k! M . Za podrobnosti glej [6]. S primerjavo (12) in (11) ugotovimo, da se nastavek z eksponentno mapo ujema z analitično rešitvijo do vključno člena z (x − xn )3 . b je torej Zvezna aproksimativna rešitev enačbe (3) ob predpostavljenem linearnem poteku K enaka nastavku (12). Pomembna prednost nastavka (12) je, da zagotavlja ortogonalnost in da ga lahko izražamo v zaključeni obliki z Rodriguesovo formulo (glej  [3, 4]).√ Vrednosti koeficientov   √  3 1 b b A0 in A1 bomo določili v Gaussovih integracijskih točkah x1 = h 2 − 6 in x2 = h 12 + 63 :    √  √  b xn + h 1 − 3 b1 b1 = A b0 + h 1 − 3 A K = K 2 6 2 6    √  √  b 1. b2 = A b0 + h 1 + 3 A b xn + h 1 + 3 =K K 2 6 2 6 b 0 in A b 1 enaka Od tod sledi da sta koeficienta A   √  √  b0 = 1 1 + 3 K b1 + 1 1 − 3 K b 2, A 2 2 b1 = A √   3 b b1 . K2 − K h (13) Če v zveznem nastavku (12) upoštevamo rešitvi (13) in izračunamo vrednost pri x = xn+1 , dobimo ravno diskretno rešitev 4. reda, podano z enačbo (9). 3 Reševanje enačb geometrijsko točnih prostorskih nosilcev V teoriji prostorskih nosilcev predstavlja diferencialna enačba (3) kinematično zvezo med rotacijo R pomičnega koordinatnega sistema pripetega v težišču prečnega prereza nosilca in rotacijskim deformacijskim vektorjem K. Elementi rotacijske matrike med sabo niso neodvisni, saj morajo zadostiti pogoju ortogonalnosti (2), zato pri izpeljavi enačb vpeljemo parametrizacijo rotacij. Pogosta izbira je parametrizacija z rotacijskim vektorjem ϑ , pri kateri ima kinematična enačba (3) obliko
(14) T (ϑ (x)) ϑ ′ (x) = R (ϑ (x)) K (x) − K 0 (x) . Pri tem je T dobro znana tangentna matrika (glej npr. [3]), s K 0 pa opišemo začetno ukrivljenost osi nosilca. Zupan in Saje sta v članku [3] izbrala najbolj splošen način izpeljave enačb nosilca pri katerem vse kinematične količine: pomike, rotacije in deformacije obravnavamo kot neodvisne količine in zapišemo razširjen princip virtualnega dela. Pri reševanju enačb sta za edine neznane funkcije parametra osi nosilca x izbrala deformacijske količine. Pri takem pristopu pomike in rotacije ✸✻ Kuhljevi dnevi 2015 dobimo z integracijo kinematičnih enačb, ki pa zahteva dodatno računsko delo in vpliva na natančnost celotnega računa. Alternativa takemu pristopu pa je uporaba zaključenih izrazov za integracijo rotacij, oziroma integracija rotacij na grupi SO (3). Primer uporabe eksaktne formule za račun rotacij pri deformacijskih prostorskih nosilcih smo pokazali v članku [4] za odsekoma konstantne deformacije. V tem prispevku pa predstavimo končen element z linearno interpolacijo deformacij, kjer za opis rotacij uporabimo formulo 4. reda (12). 3.1 Formulacija končnega elementa z linearno interpolacijo deformacij Obravnavamo nosilec z začetno dolžino L. Težiščna os nosilca je podana s krajevnim vektorjem r (x), kjer je x ∈ [0, L] naravni parameter osi v začetni konfiguraciji nosilca. Nosilec je obtežen s porazdeljeno zvezno obtežbo next (x), vozliščno točkovno obtežbo n0,ext , nL,ext in vozliščno momentno obtežbo m0,ext , mL,ext . Deformiranje nosilca opišemo z deformacijskim vektorjem Γ , katerega komponente so specifična normalna in specifični strižni deformaciji ter z že prej omenjenim deformacijskim vektorjem K, katerega komponente so specifična torzijska deformacija in specifični upogibni deformaciji. Sledimo pristopu, ki sta ga predstavila avtorja v [3] in deformacijska vektorja interpoliramo z linearnimi Lagrangejevimi polinomi Γ (x) = p1 (x) Γ1 + p2 (x) Γ2 , K (x) = p1 (x) K1 + p2 (x) K2    √ √  skozi Gaussovi točki x1 = L 12 − 63 in x2 = L 21 + 63 . Ob predpostavki da poznamo diskretne vrednosti deformacij Γ1 , Γ2 , K1 , K2 in začetne pogoje r (0) = r0 , R (0) = R0 lahko krajevni vektor težiščne osi in rotacijo pomičnega koordinatnega sistema pripetega v težišču prereza določimo z integracijo kinematičnih enačb pri poljubnem x. Za rotacije uporabimo rešitvi (12) in (13) in dobimo ! √ 3h   √  √  3x b b i x  x b x  x b K1 + 1 − 3 1 − K2 + K1 , K2 , R (x) = R0 exp 1 + 3 1 − L 2 L 2 12 L
krajevni vektor težiščne osi pa dobimo z integracijo kinematične enačbe r′ = R Γ − Γ 0 : r (x) = r0 + Z x 0
R (ξ ) Γ (ξ ) − Γ 0 dξ . Vodilni sistem enačb elementa z linearno interpolacijo deformacij potem zapišemo kot f1,i = R (xi ) N C (xi ) − n (xi ) = 0, C f2,i = R (xi ) M (xi ) − m (xi ) = 0, i = 1, 2 i = 1, 2 f3 = n0,ext + n (0) = 0 f4 = m0,ext + m (0) = 0 f5 = nL,ext − n (L) = 0 f6 = mL,ext − m (L) = 0 f7 = rL − r (L) = 0 f8 = [RL − R (L)]R3 = 0. ✸✼ (15) Kuhljevi dnevi 2015 V sistemu enačb (15) N C in M C označujeta konstitutivno silo in moment, ki ju dobimo iz konstitutivnih enačb M C = CM (Γ , K) , N C = CN (Γ , K) , n (x) in m (x) pa ravnotežno silo in moment, ki ju dobimo z integracijo ravnotežnih enačb n (x) = n (0) − Z x 0 next (ξ ) dξ , m (x) = m (0) − Z x 0
R (ξ ) Γ (ξ ) − Γ 0 × n (ξ ) dξ . Enačba f8 v sistemu (15) je matrična, njeno vektorsko reprezentacijo, ki jo dobimo z določitvijo komponent pripadajočega rotacijskega vektorja, pa označimo z [ ]R3 . Sistem enačb elementa z linearno interpolacijo deformacij (15) je sistem 10 vektorskih enačb za 10 osnovnih vektorskih neznank r0 , rL , ϑ0 , ϑL , n0 , m0 , K1 , K2 , Γ1 in Γ2 . Rešujemo ga numerično z iterativno Newtonovo metodo. 4 Numerična primera Z reprezentativnima numeričnima primeroma želimo pokazati objektivnost predlagane formulacije in dobljene rešitve primerjati z rešitvami drugih avtorjev. 4.1 Test objektivnosti: toga rotacija upognjene konzole Za numerično demonstracijo objektivnosti predlagane formulacije smo izbrali primer, ki sta ga predstavila Romero in Armero [7]. V primeru pokažeta izgubo objektivnosti standardne geometrijsko točne formulacije nosilcev Sima in Vu-Quoca [8] in pokažeta da je formulacija, ki jo predlagata objektivna. Formulacija temelji na interpolaciji pomikov in celotnih rotacij (rotacijske matrike), ortognonalnost interpoliranih rotacij pa je dosežena z vpeljavo veznih enačb. Obravnavamo elastičen nosilec, ki je v začetni legi postavljen na koordinatno os Z, tako da so koordinate robnih točk osi nosilca enake A (0, 0, 2) in B (0, 0, 5). Nosilec ima prečni prerez velikosti A = 0.1, glavna vztrajnostna momenta I1 = I2 = 8.3 · 10−5 in torzijski vztrajnostni moment It = 1.6 · 10−4 . Elastični modul je enak E = 1.2 · 108 , Poissonov količnik pa ν = 0.3. Nosilec diskretiziramo s sedmimi končnimi elementi z linearno interpolacijo deformacij. Nosilec v začetku deformiramo tako, da točko A fiksno podpremo, točki B pa vsilimo pomik iT h√ √ uB = 42 , − 42 , 0 . V nadaljevanju pa vsem vozliščem končnih elementov pripišemo šest različnih rotacij okrog fiksne osi n = √13 [1, 1, 1]T , za kote ϑ = 10◦ , 20◦ , 30◦ , 40◦ , 50◦ , 60◦ . Pri togi rotaciji se zavrtijo tudi krajevni vektorji vozlišč elementov: r = R (ϑ n) r (uB ). Na sliki 1 sta prikazana osna sila in upogibni moment v točki A za različne velikosti togega zasuka ϑ . Ker se pri togem zasuku ne spremenijo velikosti deformacij, se ne spremenijo tudi velikosti notranjih sil, s čimer je tudi numerično ilustrirana objektivnost predlagane formulacije. Razlike v velikosti notranjih sil med posameznimi formulacijami so posledica kinematičnih predpostavk. Pomembna lastnost predstavljene formulacije, ki je izpeljana iz modificiranega principa virtualnega dela, je da za določitev notranjih sil in momentov ne potrebujemo odvodov osnovnih neznank, zato je natančnost dobljenih notranjih sil in momentov kar enaka natančnosti osnovnih neznank – deformacijskih vektorjev. ✸✽ Kuhljevi dnevi 2015 Simo in Vu-Quoc [8] 1.80 Romero in Armero [7] ×10 5 6.0 upogibni moment osna sila 1.75 1.70 1.65 1.60 1.55 0 10 20 30 40 50 ×10 3 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 60 formulacija (15) 0 10 kot zasuka (°) 20 30 40 50 kot zasuka (°) 60 Slika 1 : Toga rotacija upognjene konzole: osna sila in upogibni moment v točki A. Upogib 45◦ loka 4.2 Delovanje formulacije preverimo še na primeru loka s središčnim kotom 45◦ in polmerom a = 100, ki sta ga predstavila Bathe in Bolourchi [9]. Lok v začetni legi leži v ravnini XY , na enem koncu je vpet na drugem pa obtežen s točkovno silo F = 600 v smeri osi Z (slika 2). Pod vplivom obtežbe se nosilec razteza, upogiba in torzijsko zvija. Geometrijske in materialne lastnosti nosilca so: E = 107 , G = E/2, A1 = 1, A2 = A3 = 5/6, It = 1/6, I1 = I2 = 1/12. Numerično rešitev problema so podali številni avtorji, ki so za diskretizacijo nosilca uporabili 8 ravnih elementov z linearno interpolacijo osnovnih neznank, v večini primerov so to pomiki in rotacijske neznanke, z izjemo deformacijske formulacije [3], kjer so osnovne neznanke deformacije. Zaradi primerjave z drugimi avtorji smo lok modelirali z 8 elementi z linearno interpolacijo deformacij. Nekaj rešitev prikazujemo v tabeli 1. Pričakovano se naša rešitev dobro ujema z rešitvami drugih avtorjev. 60 Tabela 1 : Upogib 45◦ loka: pomik prostega konca. F = 600 40 deformirana lega Z vir 20 0 0 začetna lega 20 Y 40 60 0 20 X Slika 2 : Upogib 45◦ loka: začetna in deformirana lega rX rY rZ Bathe in Bolourchi [9] 15.9 47.2 53.4 Simo in Vu-Quoc [8] 15.79 47.23 53.37 Romero in Armero [7] 15.79 47.23 53.37 Zupan in Saje [3] 15.74 47.15 53.43 formulacija (15) 15.74 47.15 53.43 5 Zaključek V prispevku smo obravnavali metode za integracijo navadne diferencialne enačbe za rotacije ob predpostavki da so znani njihovi odvodi, oziroma pripadajoči elementi tangentnega prostora. ✸✾ Kuhljevi dnevi 2015 Izbrali smo kolokacijski pristop v kombinaciji z eksponentno mapo s katerim dobimo zvezno aproksimacijo rešitve, ki je pri poljubni vrednosti parametra vedno element prostora rotacij. Uporaba takih metod je idealna za reševanje enačb formulacij geometrijsko točnih nosilcev, ki temeljijo na deformacijah. Rešitvi za predpostavljene konstantne deformacije, ki smo jo predstavili v članku [4], smo v tem prispevku dodali še rešitev za linearne deformacije. Ker za integracijo rotacij uporabljamo zaključeno formulo, se izognemo napakam numerične integracije deformacij. Predstavljeni pristop odpira možnosti za razvoj metod višjega reda natančnosti za integracijo navadnih diferencialnih enačb v SO (3) in uporabo teh metod pri deformacijskih elementih z višjo stopnjo interpolacije deformacijskih količin. Literatura [1] E. Hairer, C Lubich, G. Wanner. Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2. izdaja, 2006. [2] A. Zanna. Collocation and relaxed collocation for the Fer and the Magnus expansions. SIAM J. Numer. Anal., 36: 1145–1182, 1999. [3] D. Zupan, M. Saje. Finite-element formulation of geometrically exact three-dimensional beam theories based on interpolation of strain measures. Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 192: 5209–5248, 2003. [4] P. Češarek, M. Saje, D. Zupan. Kinematically exact curved and twisted strain-based beam. Int. J. Solid. Struct., 49: 1802–1817, 2012. [5] W. Magnus. On the exponential solution of differential equations for a linear operator. Comm. Pure Appl. Math., 7: 649–673, 1954. [6] E. Zupan, D. Zupan. On high order integration of angular velocities using quaternions. Mech. Res. Comm., 55: 77–85, 2014. [7] I. Romero, F. Armero. An objective fnite element approximation of the kinematics of geometrically exact rods and its use in the formulation of an energy–momentum conserving scheme in dynamics. Int. J. Numer. Meth. Engng, 54: 1683–1716, 2002. [8] J. C. Simo, L. Vu-Quoc. A three-dimensional finite-strain rod model. Part II: Computational aspects. Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 58: 79–116, 1986. [9] K.J. Bathe, S. Bolourchi. Large displacement analysis of three-dimensional beam structures. Int. J. Numer. Meth. Eng., 14: 961–986, 1979. ✹✵ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Numerična napoved karakteristike modelne vetrne turbine M. Fike1, M. Pezdevšek1 in G. Hren1 Numerical performance calculations for a Model Wind Turbine Povzetek. V prispevku je predstavljena numerična analiza trilopatične horizontalne vetrne turbine, s čimer smo primerjali koeficienta moči in aksialne sile z meritvami, ki so bile opravljene na norveški univerzi NTNU. Izvedene so bile stacionarne simulacije z različnimi hitrostnimi števili v celotnem področju obratovanja vetrne turbine, hkrati pa je bila opravljena analiza obtekanja lopatic. Ugotovljeno je bilo dobro ujemanje v poteku koeficienta moči in slabše ujemanje koeficienta aksialne sile ter lepo obtekanje lopatic v optimalni točki, z izjemo korena lopatic. Pojav zastoja se prične ob korenu lopatic, ki pa se z zmanjševanjem hitrostnega števila povečuje in se najprej širi k vrhu lopatice nato pa k vstopnemu robu lopatice. Abstract. Numerical investigation of three bladed horizontal wind turbine rotor is presented in the paper. Steady state CFD simulations were carried out and power and thrust coefficients were compared with measurements conducted in the wind tunnel at NTNU. A good agreement between numerical results and measurement for power coefficient was observed. Thrust coefficient was under predicted for the entire operating regime. Flow around wind turbine blades was also analysed. For the design point on the blade, except at the root, nice straight streamlines were observed. At the root of the blade the stall is initiated and when the tip speed ratio is decreasing, the stall is spreading towards tip of the blade and then to the leading edge. 1 Uvod Podnebne spremembe so se že začele, v zadnjem stoletju se je povprečna temperatura na svetu povečala za 0,6 °C, povprečna temperatura v Evropi pa za skoraj 1 °C [1]. Takšen trend segrevanja je posledica vedno večje količine toplogrednih plinov, ki nastajajo pri človekovih dejavnostih. Dolgoročno to povzroča katastrofalne dogodke, kot so hitro dvigovanje morske gladine, poplave, huda neurja ter pomanjkanje hrane in vode na nekaterih delih sveta. Ves svet je posledično začel vlagati napore v razvoj obnovljivih virov energije, ki imajo bistveno manjši 1Univerza v Mariboru, Fakulteta za energetiko ✹✶ Kuhljevi dnevi 2015 negativni vpliv na okolje in podnebne spremembe. Še posebej velik razmah je v zadnjih 10 letih doživelo izkoriščanje vetrne energije, ki je ekonomsko upravičeno in okoljsko prijazno. Inštalirana moč se je iz 47,6 TW v letu 2004 povečala na že 369,6 TW, kolikor je znašala ob koncu leta 2014. Največji razmah je izkoriščanje vetrne energije doživelo na Kitajskem, v Združenih državah Amerike in v Nemčiji, ki imajo skupaj skoraj 60 % v svetu instalirane moči vetrnih elektrarn [2]. Osnovni element pri razvoju vetrnih turbin je lopatica. Razvoj novih oblik lopatic je dolgotrajen proces, ki terja veliko časa, znanja in denarja. Iz tega razloga so veliki proizvajalci vetrnih turbin vključno z raziskovalnimi organizacijami vlagali velik napor v razvoj univerzalnih oblik lopatic, ki jih nato uporabijo tudi pri nadaljnjem razvoju velikih, visoko učinkovitih vetrnih elektrarn. Istočasno pa takšen pristop zavira neodvisen samostojen razvoj lopatic v industriji vetrnih elektrarn. Za optimalno delovanje so potrebne aerodinamično optimirane lopatice, za razvoj le-teh pa so potrebne številne študije tokovnih polj in pojavov iz zanesljivih eksperimentov, kar pa je seveda drago. Dodatno je tudi težava z meritvami na realnih velikih vetrnicah, saj so le-te zaradi spreminjajočih se razmer (sprememb hitrosti in smeri vetra, itd.) manj zanesljive. Zato v ospredje prihajajo numerične simulacije, katerih namen je bolje spoznati tokovne pojave in izboljšati učinkovitost delovanja vetrnih turbin. V preteklosti je že bilo opravljenih nekaj numeričnih simulacij rotorjev vetrnih turbin. Chandrala [3] je skupaj z sodelavci izvedel numerično analizo lopatice vetrne turbine z namenom določitve optimalne moči vetrne turbine. Sørensen [4] je skupaj s sodelavci uporabil hišno Risø kodo Ellipsys 3D za simulacijo NREL VI vetrnice, pri čemer se je osredotočil na 3D tokovne pojave v odvisnosti od hitrosti vetra. Enako vetrnico sta simulirala tudi Sezer-Uzol in Long [5] s kodo PUMA2. V njuni kodi je upoštevan neviskozni tok, posledično pa sta imela težave z napovedjo zastoja in odcepitve toka. Karlsen [6] je v okviru svoje magistrske naloge simuliral NTNU vetrno turbino s programom FLUENT z različnimi modeli turbulence. Rezultate simulacij je primerjal z meritvami in z rezultati BEM kode. Skupna lastnost teh raziskovalcev je, da so uporabili nestrukturirane mreže. Za razliko od njih smo mi posvetili veliko pozornost izdelavi računske mreže, ki je v celoti strukturirana. Namen tega prispevka je raziskava tokovnih pojavov pri različnih hitrostnih številih in primerjava globalnih parametrov dobljenih s simulacijami na relativno redki vendar strukturirani mreži z meritvami. 2 2.1 Numerična simulacija Geometrija Numerične simulacije so bile izvedene za vetrno turbino, ki je bila eksperimentalno testirana na norveški univerzi NTNU (angl. Norwegian University of Science and Technology) [6]. Vetrna turbina je bila posebej razvita za testiranje v njihovem zračnem tunelu z merilnim presekom 2,7 m x 1,9 m in dolžine približno 11 m. Lopatice so bile pritrjene na pesto,vpetje lopatic pa je omogočalo spremembo nastavnega kota (angl. Pitch angle). V primeru numeričnih simulacij je bil nastavni kot enak nič in se ni spreminjal. Rotor s tremi lopaticami je bil pritrjen na cilindrično pesto s premerom 0,09 m dolžine 0,56 m, ta pa na nosilni steber višine 0,82 m. Oddaljenost vrha lopatice od najbližje stene zračnega tunela je bila 0,37 m in je bila dovolj velika, da ni posegla v mejno plast na steni tunela. Premer rotorja je znašal 0,9 m. Za oblikovanje lopatic je bil uporabljen profil NREL s826, ki je primeren za tokovne razmere v območju Reynoldsovega števila 2,0·106. Oblika profila je, zaradi močne zakrivljenosti ✹✷ Kuhljevi dnevi 2015 oziroma izbočenosti v bližini vstopnega roba, neobčutljiva na hrapavost v področju vstopnega roba profila. Ta izbočenost povzroča področje velikega podtlaka, posledica tega pa je približevanje področja prehoda iz laminarnega v turbulenten tok v bližino vstopnega roba, neodvisno od površinske hrapavosti ali intenzitete turbulence prostega toka. Posledično je turbulentna mejna plast v širšem območju sesalne strani profila. Za območje Reynoldsovih števil pričakovanih v zračnem tunelu, bo podtlak na sesalni strani lopatice povzročil nestabilnost laminarne mejne plasti, vendar zaradi relativno majhnih Reynoldsovih števil je bilo pričakovati, da bo tok ostal laminaren v večjem predelu lopatice. Zaradi velike izbočenosti profila pa je bilo za pričakovati laminarno odcepitev toka za določene napadne kote. 2.2 Numerična mreža Numerična mreža je bila narejena v programskem paketu ICEM 16.0. Predhodno je bila v programskem paketu SolidWorks 2015 zmodelirana celotna geometrija vetrne turbine vključno z domeno. Ker smo v numeričnih simulacijah zanemarili vpliv stebra na tokovno polje in ker smo obravnavali zračni tunel kot cilindrično geometrijo, smo lahko tokovno polje okrog vetrne turbine predpostavili kot rotirajoče periodično. Posledično je bila narejena numerična mreža za samo 1/3 celotne geometrije vetrne turbine, saj je tokovno polje v preostalih dveh tretjinah v celoti popisano s tokovnim poljem v prvi tretjini. Na ta način je bilo zmanjšano število numeričnih elementov na eno tretjino. Zračni tunel je bil modeliran kot valj z enakim presekom kot ga ima dejanski zračni tunel, kjer so bile opravljene meritve. Le-ta je znašal 2,7 m ∙ 1,9 m, posledično je premer valja domene znašal 2,556 m. Poenostavitev smo naredili, da smo se izognili potrebi po vmesni površini, posledično pa smo lahko predpostavili rotirajočo periodičnost. Takšne poenostavitve so bile uporabljene že v drugih študijah, kjer je bilo pokazano, da ne povzročajo pomembnih napak [6]. rotor vstop v domeno Izstop iz domene Slika 1: Računska domena Velika pozornost je bila namenjena izdelavi računske mreže, saj je le-ta bila v celoti izdelana kot strukturirana. Površinska mreža lopatice je bila narejena iz dveh delov, in sicer iz zgornjega ✹✸ Kuhljevi dnevi 2015 in spodnjega dela. Zgornji del obsega samo krilo, spodnji del pa vpetje lopatice, kjer je prehod iz profila na krožno vpetje in omogoča zasuk lopatice. zgornji del Prikaz elementov normalno na površino lopatice spodnji del Zgoščevanje mreže (en osnovni element je razdeljen na tri elemente) Slika 2: Računska mreža lopatice Površina lopatice je bila popisana po obsegu z 150 vozlišči, po višini pa, brez spodnjega dela, z 126 vozlišči. Okoli celotne lopatice je bila narejena O-mreža. Faktor naraščanja velikosti elementov pravokotno na površino je znašal 1,35, pri izdelavi mreže je bila uporabljena tudi metoda zgoščevanja mreže, kjer so osnovni elementi (slika 2) v bližini površine lopatice razdeljeni na manjše elemente (v področju v bližini lopatice je bil uporabljen faktor 3, kar pomeni, da so iz enega osnovnega elementa nastali trije elementi). Za popis celotne površine lopatice je bilo uporabljeno 50.359 elementov. O-mreža Slika 3: Računska mreža na vrhu lopatice Mreža na vrhu lopatice je prikazana na sliki 3. Računska mreža celotne domena je bila sestavljena iz 2.448.596 elementov. na lopatici je znašal okoli 1. ✹✹ Kuhljevi dnevi 2015 2.3 Robni pogoji Izvedene so bile stacionarne simulacije v programu Ansys CFX 16.0. Na vstopu v domeno je bila definirana hitrost 9,83 m/s, intenziteta turbulence je bila predpisana na 5 %. Na izstopu iz domene je bil predpisan povprečen statični tlak 0 Pa, z krivuljo povprečenja 0,05. Celotna domena je bila simulirana kot rotirajoča, pri čemer se je vrtilna frekvenca v posameznih simulacijah spreminjala od 100 do 2450 vrtljajev na minuto. Izvedenih je bilo 25 stacionarnih simulacij, pri čemer se je vrtilna frekvenca povečevala po 100 vrtljajev na minuto. Na pestu in na obodu je bila predpisana stena brez zdrsa. Na bočnih površinah domene je bil definiran robni pogoj vmesne površine z rotirajočo periodičnostjo. Kot konvergenčni kriterij je bilo definirano, da morajo biti srednji RMS ostanki manjši od 10 , za model turbulence je bil uporabljen SST model. 3 Rezultati Karakteristika vetrne turbine je običajno podana kot odvisnost koeficienta moči koeficienta aksialne sile od hitrostnega števila : (1) = = in ∙ 1 ∙ 2 ∙ = ∙ (2) (3) 1 ∙ ∙ ∙ 2 kjer je: – obodna hitrost, – hitrost vetra, – kotna hitrost rotorja, – navor na gredi, – gostota zraka, – površina prereza rotorja, – aksialna sila. Na sliki 4 sta prikazana diagrama koeficienta moči in koeficienta aksialne sile v odvisnosti od hitrostnega števila, in sicer primerjava med meritvami oziroma eksperimentalnih vrednosti in numerične napovedi. Iz diagrama koeficienta moči je razvidno, da je ujemanje med meritvami in simulacijami dobro. V primeru hitrostnega števila ≤ 3, je razlika približno 10 %. S povečevanjem hitrostnega števila se izkoristek vetrne turbine močno izboljšuje vse do nekje = 5 in nato počasneje do = 6,24, kjer doseže maksimum. V področju hitrega naraščanja koeficienta moči je odstopanje numerično pridobljenih vrednosti od meritev največje, saj napovedan koeficient moči pri = 3,33 odstopa od meritev za kar 27 %. Tako veliko odstopanje je posledica velikega gradienta naraščanja koeficienta moči. V področju hitrostnega števila 4 < < 10 je ujemanje zelo dobro, saj je odstopanje okoli 5 %, nato se odstopanje povečuje. V območju 3,33 ≤ ≤ 8,63 simulacije napovejo nižji, izven tega območja pa višji koeficient moči od meritev. Pri simuliranju tokovnega polja skozi vetrno turbino ni bilo upoštevanega vpliva stebra vetrne turbine na tokovno polje. Znano je, da steber povzroča oviro pri toku zraka, kar pa vpliva na tokovno polje oziroma zmanjša hitrost zraka pred rotorjem vetrne turbine, kar vpliva tudi na velikost aksialne sile na rotor. ✹✺ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 4: Diagrama koeficienta moči in koeficienta aksialne sile v odvisnosti od hitrostnega števila Numerične simulacije glede na meritve v celotnem opazovanem območju napovejo nižji koeficient aksialne sile. Do približno = 3 znaša odstopanje približno ∆ " ~0,15, nato pa odstopanje naraste in znaša v desnem delu diagrama približno ∆ " ~0,25. Ugotovimo lahko torej, da je numerična napoved koeficienta dobra, napoved koeficienta aksialne sile pa nekoliko manj. Na sliki 5 so prikazane tokovnice na sesalni strani lopatice pri različnih hitrostnih številih. = 0,47 = 3,33 = 4,78 = 6,24 = 9,58 = 11,76 Slika 5: Tokovnice na sesalni strani lopatice pri različnih hitrostnih številih Iz poteka tokovnic so razvidne tokovne razmere na lopatici. Maksimalni koeficient moči je pri = 6,24, iz tokovnic je razvidno, da je pri tem hitrostnem številu po skoraj celotni lopatici lepo gladko obtekanje, razen v predela vpetja lopatice. Z zmanjševanjem hitrostnega števila prihaja do odcepitve toka pri izstopnem robu lopatice, kar je razvidno iz poteka tokovnic pri = 4,78. Oblika profila lopatice na sesalni strani se v zadnjem delu proti izstopnemu robu ✹✻ Kuhljevi dnevi 2015 močno spušča. To je področje, ki je predvideno za odcepitev toka. Takšna oblika je značilna za večino profilov, ki se uporabljajo za lopatice vetrnih turbin. V tem področju tok občuti povečan pozitivni tlačni gradient, posledično pa obstaja velika verjetnost, da bo prišlo do odcepitve toka že pri majhnih napadnih kotih. Tlačni gradient je v tem predelu velik, posledično pa je lahko pozitiven tlačni gradient v preostalem delu sesalne strani profila nižji, kar zmanjšuje verjetnost odcepitve toka in, v kolikor pri zmernih napadnih kotih pride do odcepitve toka, je le-ta omejena na to področje pri izstopnem robu. S tako oblikovanimi lopaticami vetrnih turbin se zmanjšujejo dinamične obremenitve zastojno reguliranih vetrnih turbin. Pri = 3,33 je razviden zastoj že na celotni lopatici. Pri hitrostnih številih, višjih od optimalne, so tokovnice, razen v predelu korena lopatice, lepo urejene in tok gladko obteka lopatico. Iz poteka tokovnic je razvidno, da je lopatica oblikovana tako, da se pojav zastoja razvije najprej ob korenu lopatice. & = 0,9 ' & = 0,2 ' = 4,78 = 6,24 = 9,58 Slika 6: Prikaz vektorjev relativne hitrosti na dveh različnih premerih (r/R=0,2 in r/R=0,9) pri treh različnih hitrostnih številih Še lepše je navedeno razvidno iz slike 6, kjer so, za tri različna hitrostna števila, prikazani vektorji relativne hitrosti na dveh različnih višinah lopatic, ob korenu (r/R=0,2) in ob vrhu (r/R=0,9). Pojav zastoja se torej prične ob korenu lopatice, ki pa se z zmanjševanjem hitrostnega števila povečuje in se najprej širi k vrhu lopatice, nato pa k vstopnemu robu lopatice. 4 Zaključek Izvedena je bila numerična analiza delovanja vetrne turbine z komercialnim paketom CFX 16.0. Velik poudarek je bil posvečen izdelavi strukturirane računske mreže. Izvedene so bile stacionarne simulacije z uporabljenim SST modelom turbulence. Določena je bila obratovalna ✹✼ Kuhljevi dnevi 2015 karakteristika, in sicer potek koeficientov moči in aksialne sile v odvisnosti od hitrostnega števila. Ugotovljeno je bilo dobro ujemanje poteka koeficienta moči in nekoliko slabše ujemanje poteka koeficienta aksialne sile, saj je le-ta bil v celotnem območju nižji od meritev. Analizirano je bilo tudi obtekanje lopatice vetrne turbine. V točki maksimalnega izkoristka je obtekanje po skoraj celotni lopatici lepo, razen v predelu vpetja, kjer je zaznan 3D tok. Numerična analiza obtekanja je pokazala, da je oblika lopatice takšna, da se zastoj najprej pojavi ob korenu lopatice, z zmanjševanjem hitrostnega števila pa se širi k vrhu, nato pa k vstopnemu robu lopatice. Opravljena numerična analiza je pokazala, da uspemo z relativno redko vendar strukturirano računsko mrežo, dobro napovedati integralne parametre, še posebej koeficient moči, kakor tudi lokalna tokovna polja. Literatura [1] Podnebne spremembe - za kaj sploh gre? Evropska komisija, generalni direktorat za okolje, 2006. [2] Fried L. Global wind statistics 2014. Global wind energy council, 2015. [3] Chandrala M., Choubey A., Gupta B., CFD analysis of horizontal axis wind turbine blade for optimum value of power. International Journal of Enery and Enviroment 4, 825-834, 2013. [4] Sorensen, N. N., Michelsen, J. A., Schreck S. “Navier-Stokes predictions of the NREL phase VI rotor in the NASA Ames 80 ft x 120 ft wind tunnel, Wind Energy 5, 151-169, 2002. [5] Sezel-Uzol N., Long L.N., 3-D Time-Accurate CFD Simulations of WInd Turbine Rotor Flow Fields, 44th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, Nevada, 2006. [6] Karlsen J. K., Performance Calculations for a Model Turbine, NTNU, 2009. ✹✽ S LOVENSKO SRE ČANJE DRU ŠTVO ZA MEHANIKO K UHLJEVI DNEVI 2015 Primerjava komercialnega in prosto dostopnega CFD programa za izračun aerodinamičnih koeficientov vozil A. Grm1 in M. Batista1 Comparison of comercial and open source CFD sofware for calculation of vehicle aerodynamic coefficients Povzetek. Pričujoče delo obravnava primerjavo dveh programskih paketov računske mehanike tekočin za izračun aerodinamičnih koeficientov vozil. Prvi programski paket je komercialni AnsysCFX in drugi prosto dostopni OpenFOAM. Komercialni paketi so dragi a zelo robustni in uporabniku domači, na nasprotni strani pa imamo prosto dostopne sisteme, ki so zastonj a je potrebno veliko izkušenj, da bi dosegli enak učinek kot ga dobimo z uporabo komercialnega paketa. Kot bo iz pričujočega dela razvidno bomo primerjali izračun tlačnih in viskoznih sil ter navorov na testno vozilo. S pomočjo sil in navorov lahko nato določimo vseh 6 aerodinamičnih koeficientov vozila. Abstract. Present article is focused on the comparison of two CFD (Computational Fluid Mechanics) software packages in the calculation of vehicle aerodynamic coefficients. We took the opportunity to compare commercial CFD package Ansys-CFX and open source CFD package OpenFOAM. Commercial CFD packages are very robust, user friendly but very expensive, on a contrary open source CFD package is for free but needs a lot of fine tuning and user must be very experienced with the package to obtain desired results. In the article the calculation of pressure and viscous forces and moments acting on a vehicle will be shown. With the information on forces and moments the complete set of aerodynamic coefficients can be obtained. 1 Uvod Analiza tri-dimenzionalnega toka tekočine okoli vozil je postala pomembna na različnih področjih raziskav. Pomembni podatki takih analiz so tudi aerodinamični koeficienti vozila. Zelo natančni poiskusi v vetrovnikih, še posebej v merilu 1:1 so izjemno dragi. Takih poiskusov si lahko privošči le nekaj laboratorijev za mehaniko tekočin v svetu. Danes so zmogljivi računalniki dosegljivi že za zelo razumne cene in se tako CFD orodja uporabijo tudi v takšne 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za pomorstvo in promet ✹✾ Kuhljevi dnevi 2015 namene. Iz prakse vemo, da bolj kot je mreža gosta, oziroma zadosti gosta na točno določenih mestih, boljši in zaneslivejši so rezultati računske mehanike tekočin (glej [4]). Vsekakor, tudi tukaj je potrebno razumevanje fizikalnih modelov, izdelave mreže in pravilne uporabe numeričnih metod za doseganje dobrih in kvalitetnih rezultatov. V pričujočem delu bomo prikazali rezultate numeričnih simulacij za izračun koeficienta upora (CD ) in koeficienta dviga (CL ) ter jih primerjali z rezultati meritev v vetrovniku. Pomembna naloga je pravilno sledenje konvergenci metode, pravilna uporaba turbulentnih modelov, izdelava kvalitetne mreže, itd. Kot vemo je računski čas povezan z velikostjo prostostnih stopenj sistema, to je za primer končnih volumnov reda velikosti števila računskih celic (glej [4, 7]). V pričujočem delu opišemo oba CFD modela, pripravo testnih mrež in analizramo rezultate na podlagi variranja različnih tipov mrež, robnih pogojev ter načina izračuna. Kot bomo videli, je komercialni CFD paket Ansys-CFX [1] zelo napreden, uporabniku prijazen in daje odlične rezultate. Prosto dostopni sistem OpenFOAM (OF) [6] je enako zelo napreden, uporabniku zelo neprijazen, rezultati pa so zelo odvisni od dobrega poznavanja OpenFOAM sistema. Na koncu sledi še diskusija o rezultatih. 2 Numeričen Model V tem poglavju bomo prikazali zagonske parametre za oba CFD sistema. Poleg bomo prikazali tudi parametre za različne tipe mrež. Kot bomo videli, bomo za izdelavo mrež uporabili komercialni paket [2] in prosto dostopni program SnappyHexMesh, ki je del OpenFOAM paketa. Celotno simulacijo bomo zgradili okoli geometrije opisane v članku [3] in prikazane na sliki 1. Z X Y Slika 1 : Geometrija modela dostavnega tovornjaka (ang. Lorry) iz članka [3]. 3D model je bila izdelan v SolidWorks programu in uvožen v Ansys sistem. Robovi kabine so zaokroženi z radijem 5mm, ostali robovi pa z radijem 1mm. Dolžina modela ja 270mm, širina 57mm in višina 87mm. 2.1 Računske mreže Ogledali si bomo več različnih računskih mrež, kjer je večina ne-ortogonalnih in ena ortogonalna. Ne-ortogonalna mreža je mreža sestavljena iz tetraedrov, ortogonalna pa iz hexaedrov. Tri ne-ortogonalne mreže vsebujejo tudi mrežo mejnega sloja, ki je grajena z uporabo dveh različnih algoritmov. Prvi algoritem je tako imenovani FLT (First Layer Thickness), ki zgradi ✺✵ Kuhljevi dnevi 2015 mrežo paralelno okoli vozila. Predpiše se višina prve celice, število celic in faktor rasti. Drugi algoritem je tako imenovani FAR (First Aspect Ratio), ki zgradi mrežo okoli vozila glede na velikost 2D celice, ki napenja geometrijo vozila. Višina prve celice je tako sorazmerna faktorju velikosti 2D celice na površini vozila, nato se mreža mejnega sloja gradi glede na predpisano število celic in faktorja rasti. Kot vidimo FLT potrebuje višino prve celice, FAR pa tega podatka ne potrebuje, saj ga preračuna na podlagi površinske mreže vozila. Tretji tip mreže je izdelan s pomočjo programa SnappyHexMesh, ki gradi mreži s pomočjo Quad-tree algoritma in dodatkov za manipulacijo celic. SnappyHexMesh gradi ortogonalno mrežo v celoti, razen na robovih, kjer prilagaja naklon stranice celice naklonu roba. V tabeli 1 so prikazani parametri za izgradnjo posameznih mrež. Tabela 1 : V tabeli so prikazani parametri mrež. Vse dolžinske mere so v milimetrih [mm]. (TET-tetraeder, HEX-heksaeder) i 1 2 3 4 5 6 tip mreže TET + FLT TET + FLT TET TET TET + FAR HEX domain 20 20 20 20 15 15 fine box 4 4 6 3 5 7 vehicle auto 0.6 0.6 auto auto auto H1 0.01 0.01 auto - Y+ 1 1 auto - Inflacijski model FLT FLT brez brez FAR brez layers 20 20 5 - GR 1.2 1.2 1.2 - Mreže so izdelane s pogoji velikosti za posamezne dele domene. Pod oznako ”vehicle”je definirana karateristična velikost površinske celice na vozilu, ”fine box”je definirana velikost v škatli okoli vozila, ”domain”pa je preostali zunanji prostor. H1 je višina prve celice v mejnem sloju, Y + je brezdimenzijska velikost višine prve celice (glej recimo [8]), ”layers”je število celic v mejni plasti in ”GR”je faktor rasti celice. 2.2 Postavitev domene in označbe za robne pogoje Na sliki 2 definiramo imena za robne pogoje, subdomeno, postavitev subdomene in postavitev vozila. V našem primeru je vozilo postavljeno za kot ψ = 0◦ . V splošnem definiramo naslednje robne pogoje (RB): vozilo (vehicle), cesta(raod), vhod(inlet), izhod(outlet) ostale stranice pa imajo simetričen RB (simmetry). Pri RB-vozilo imamo postavljen robni pogoj brez zdrsa na steni, to je s hitrostjo na robu v = 0. RB-road imamo postavljen pogoj zdrsa na steni, to je vn = 0, vt = U. RB-vhod ima vhodno hitrost 15m/s, kjer je podana turbulentna intenziteta 5%. RB-izhod imamo postavljen konstanten tlak. RM-symmetry so ostale stranice s simetričnim robnim pogojem (odprto). 2.3 CFX parametri V CFX paketu imamo izbiro različnih turbulentnih modelov. Izbrali smo Shear Stress Transport (SST) turbulentni model. Celoten SST model je opisan v [5] in njegova CFX numerična implementacija pa v [1]. Poleg pogojev navedenih v poglavju 2.2 lahko še omenimo, da je za fluid ✺✶ Kuhljevi dnevi 2015 symmetry plane z FineBox x LFBF Inlet WFB Outlet road y CGX LFB y x Slika 2 : Prikaz postavitve računskega območja in označbe robnih pogojev. Lepo je vidna postavitev FineBox subdomene, ki zaokoroža vozilo. Naš primer računa je za kot ψ = 0◦ . izbran nestisljiv zrak (T=25◦ C, ρ = 1.185 kg/m3 , µ = 1.831·10−5 kg/m s). Rešujemo stacionarno situacijo, kjer je pogoj za zaključitev simulacije postavljen z velikostjo numeričnega preostanka ali RMS=10−5 (numeričen preostanek - ”residual”). 2.4 OpenFOAM parametri Enako kakor za CFX parametre smo izbrali za turbulentni model SST (RASModel - komegaSST). Tudi ostali parametri so enaki, za analizo primerljivosti. V OF rešujemo sistem enačb za nestisljivo tekočino s SIMPLE metodo (glej [4, 7]) in je v OF imenovan simpleFoam. V primeru, ko imamo neortogonalne mreže (FLT in FAR) je potrebno zvišati število neortogonalnih iteracij na 5 ali več za reševanje korekcije enačbe tlaka (neortogonalne korekcije). 3 Rezultati in razprava V tem poglavju bomo pregledali rezultate za konvergenco posameznih simulacij in komentirali posebnosti. Vzporedno bo tekla beseda še o rezultatih za koeficient upora in koeficient dviga. Tako koeficient upora kot koeficient dviga popisujeta dva različna fizikalna pojava. S stališča numeričnih simulacij sta si ta dva parametra pravokotna, kar pomeni, če je nek pogoj v dani simulaciji dober za koeficient upora ni rečeno, da je dober za koeficient dviga. To se kaže predvsem v konstrukciji mrež. V začetku si poglejmo kako je s konvergenco posameznih tipov mrež za oba programska paketa. Za paket CFX smo testirali samo mreže tipa FLT in FAR (glej tabelo 2). V OpenFOAM smo uvozili mreže tipa FLT in FAR in ju prav tako testirali. Format mreže HEX (v tabeli 1) je bil testiran samo v OpenFOAM, ker izvoza v CFX paket še ni in ga je potrebno izdelati. Rezultati za OpenFOAM paket so navedeni v tabeli 3. Natančnost numerične simulacije popišemo z numeričnimi preostanki (RMS). V rezultatih bomo prikazali odvisnost RMS glede na iteracije. Enako bomo prikazali, kaj se dogaja s koeficientom upora (CD ) in koeficientom vzgona (CL ) glede na iteracije. V obravnavanem primeru toka tekočine okoli vozila imamo velikosti koeficientov definirane z naslednjimi relacijami: ✺✷ Kuhljevi dnevi 2015 CD := CL := ρ U A = = = Fx , ρU 2 A Fy 1 2 , 2 ρU A 1 2 (1) 1.185kg/m3 , 15m/s, 0.00405m2 , kjer je Fx komponenta skupne sile F = F p + Fv (vsota tlačne-p in viskozne-v) v smeri x, Fy je komponenta skupne sile v smeri y, ρ je gostota zraka, U je hitrost na robnem pogoju za vhodu in A je projekcija tovornjaka glede na ”yz”ravnino pri danem kotu ψ = 0◦ . Za obravnavani primer toka tekočine je velikost Reynoldsovega števila Re = 15m/s 0, 27m UV = = 2.7 105 , ν 1.485 10−5 m2 /s kar nas uvrsti med turbulentne pojave. Tabela 2 : Rezultati testiranja različnih tipov mrež v CFX. i 1 5 mesh type TET-FLT TET-FAR # Cells 8,161,035 8,621,470 Cdrag 4.40E-01 4.19E-01 Clift 1.44E-03 6.69E-03 RMS 1.0E-05 1.0E-05 Converged NO YES Tabela 3 : Rezultati testiranja različnih tipov mrež v OpenFOAM. (BU - ”blown-up”) i 1 2 3 4 5 6 mesh type TET-FLT TET-FLT TET TET TET-FAR HEX # Cells 8,161,035 18,830,540 12,114,552 11,677,402 11,120,526 7,073,670 Cdrag 7.62E-01 Clift 8.95e-02 RMS 1.0E-04 1.0E-04 1.0E-04 1.0E-04 1.0E-04 1.0E-04 Converged BU BU BU BU BU YES V tabeli 2 in 3 sta navedena parametra za Cdrag in Clift . Za primerjavo k izračunanim vrednostim za Cdrag in Clift podajamo eksperimentale vrednosti, ki so navedene v prispevku [3]. Posamezni eksperimentalni vrednosti sta • CD ≈ 0.492, • CL ≈ 0.05. ✺✸ Kuhljevi dnevi 2015 Vidimo, da se rezultati s CFX paketom dobro ujemajo za koeficient upora, dočim za koeficient dviga ne pridemo tako dobro zraven. Minimalne razlike med eksperimentom in simulacijo so lahko posledica netočnega obravnavanja trenja na površini. Vrednosti z OpenFOAM paketom so očitno previsoke. V OpenFOAM paketu smo varirali veliko parametrov, da bi poiskali podobne vrednosti za rezultate, a nikakor nismo prišli bližje. Na slikah 3, 4 in 5 so prikazani poteki RMS in koeficientov upora ter dviga v odvisnosti od iteracije. Drag coefficient Lift coefficient Residuals 5 0.100 0.003 0.010 4 U V 3 CL W 10-4 CD RMS 0.001 0.002 p-cont 2 k 10-5 0.001 ω 1 10-6 0 50 100 150 200 250 0.000 0 Iteration 0 50 100 150 200 0 250 50 100 150 200 250 Iteration Iteration Slika 3 : Potek Residuals-RMS, koeficientov upora in dviga za program CFX, glede na iteracije za mrežo iz tabele 2 (i = 1). Kot vidimo na sliki 3 simulacija ni doseglja željenega praga RMS < 10−5 za vse spremenljivke. V poteku RMS se lepo vidi nihanja. Vse kaže, da imamo prisoten zelo nestabilen tok, še posebej, ker ga z mrežo ob sami steni vozila (mreža tipa FLT) lahko delno spremljamo. Potek sile upora se hitro stabilizira. Pri poteku sile dviga pa imamo prisotna ogromna nihanja, ki lahko izvirajo iz neustreznosti velikosti mreže na in pri robu vozila. Drag coefficient Lift coefficient 0.007 3.0 Residuals 0.006 2.5 0.010 0.005 U 2.0 0.004 W 10-5 CL V 10-4 CD RMS 0.001 1.5 0.003 p-cont k 10-6 1.0 0.002 ω 0.5 10-7 0 50 100 150 Iteration 200 250 0.001 0.000 0.0 0 50 100 150 Iteration 200 250 0 50 100 150 200 250 Iteration Slika 4 : Potek Residuals-RMS, koeficientov upora in dviga za program CFX, glede na iteracije za mrežo iz tabele 2 (i = 5). Na sliki 4 so rezultati boljši kakor na sliki 3. V tem primeru imamo drugačen tip mreže mejnega sloja (FAR). Celice so večje, kjer kω SST turbulentni model prične z dušenjem oscilacij toka. Jasno s tem izgubimo realen vpogled v rešitev, dobimo pa ”boljšo”rešitev. Lepo se vidi trend padanja RMS, a imamo poleg lepega log-linearnega trenda padanja superponirano še majhno hihanje, kar kaže na določene notranje nestabilnosti v metodi in s tem možnosti napake. Na sliki 5 so prikazani rezultati dobljeni z OF paketom. Očitno je, da konvergenca metode ni dobra, lepo je vidno hitro umirjanje preostankov, ki so pa izjemno visoki in s tem kažejo na vprašljivost pravilnosti rezultatov simulacije. Rezultati za koeficiente občutno odstopajo od tistih, ki so bili izračunani s CFX sistemom in eksperimentom. Enako kažejo rezultati v tabeli 3, ✺✹ Kuhljevi dnevi 2015 Drag coefficient Lift coefficient 3.5 Residuals 1 0.8 3.0 0.100 2.5 U 0.6 V p-cont 0.001 k 10-4 2.0 CL W CD RMS 0.010 0.4 1.5 1.0 ω 0.2 0.5 10-5 0 500 1000 Iteration 1500 0.0 0.0 0 500 1000 Iteration 1500 0 500 1000 1500 Iteration Slika 5 : Potek RMS, sile upora in sile dviga za program OpenFOAM, glede na iteracije za mrežo iz tabele 3 (i = 5). da je stacionarna metoda reševanja v OF zelo občutljiva na tip mreže in nima implementiranih dodatni dodatnih numeričnih trikov za izboljšanje izračunov, kot je to v primeru CFX sistema. V primeru OF izračunov smo izvedli veliko poizkusov s spreminjanjem robnih pogojev (uporaba turbulentnih zidnih funkcij - ”wallFunction”, konstantni, zeroGradient, ...), različnih tipov mrež, inicializacije izračuna simpleFOAM (začetna rešitev) z drugimi tipi solverji, a nikakor nismo dobili kvalitetne rešitve primerljive s CFX sistemom. Slika 6 : Potek tokovnic, velikosti hitrosti in tlaka za rešitev v tabeli 3 (i = 6). Glede na celotno situacijo, ki kaže na zelo turbulenten tok (glej sliko 6) je za reševanje z OF sistemom zelo verjetno bolj primerno uporabiti pimpleFoam rešitev z kOmegaSSTSAS turbulentnim modelom. PimpleFoam metoda reševanja je časovno odvisna metoda in tako dobimo rezultate, ki so časovno odvisni. Za inženirsko uporabno interpretacijo rezultatov v večini primerov uporabljamo stacionarne rešitve a za primer časovno odvisnega lahko uporabimo naslednji recept. V izračunu počakamo tako dolgo, da se rezultati delno umirijo, nato pričnemo z zajemom časovno odvisnih rezultatov za koeficiente in na koncu rezultate koeficientov povprečimo skozi časovno obdobje zajemanja. Tako dobimo rezultat, ki je primerljiv z rezultatom ✺✺ Kuhljevi dnevi 2015 časovno neodvisne slike. 4 Zaključek V pričujočem delu smo analizirali dva CFD paketa za izračun aerodinamičnih koeficientov vozil. Eden je komercialni Ansys-CFX, drugi pa prosto dostopni OpenFOAM. Primerjali smo reševanje na različnih tipih mrež in z uporabo različnih pogojev pri vedno istem modelu turbulence - kOmegaSST opisanem v [5]. Pri testiranju smo sledili različnim spremenljivkam, ki kažejo na uspešnost reševanja. Zelo pomembni so tako imenovani numerični preostanki (”residuals - RSM”), ki kažejo kako metoda za določeno spremenljivko konvergira. V našem primeru smo bili uspešni z željeno natančnostjo le za rezultat v tabeli 2 (i = 5). Enako smo poizkusili reševati s prosto dostopnim sistemom OpenFOAM. Izkazalo se je, da je OF sistem zelo občutljiv na tip mrežne celice. S tetraedrično mrežo v našem primeru ni bilo mogoče zaključiti simulacije in se je vedno končala z divergenco iteracijskega postopka. V tetraedrični mreži je bilo prisotnih več 100 zelo poševnih in razpotegnjenih elementov (stik tal z gumo), ki so bili zelo verjetno vir numerične nestabilnosti. V primeru heksaedrične mreže teh problemov ni bilo in se je simulacija zaključila a ne z predvideno natančnostjo. Tudi sam rezultat glede velikosti koeficienta upora in dviga je odstopal od rezultatov dobljenih s CFX sistemom in eksperimentalno vrednostjo. Zaključili bi, da je uporaba komercialnih paketov občutno manj zahtevna kot pa s prosto dostopnim sistemom OF. V primeru OF sistema potrebujemo veliko izkušenj, znanja in testiranj, da bi dosegli primerljive rezultate, kar pa ni nemogoče. Prednost prosto dostopnega sistema je cena saj so zastonj, je pa potrebno vložiti neprimerno več energije v učenje sistema kakor pri komercialnih paketih. Literatura [1] Inc. Ansys. ANSYS CFX-Solver Theory Guide, Release 16.0. Ansys, Inc., 2015. [2] Inc. Ansys. ANSYS ICEM CFD User’s Manual, Release 16.0. Ansys, Inc., 2015. [3] S.A. Coleman and C.J. Baker. An experimental study of the aerodynamic behaviour of high sided lorries in cross wind. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamic, 53(1):401–429, 1994. [4] J.H. Ferziger and M. Perič. Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer, 2002. [5] F.R. Menter. Review of the shear-stress transport turbulence model experience from an industrial perspective. International Journal of Computational Fluid Dynamics, 23(4):305– 316, 2009. [6] OpenFOAM. Openfoam - the open source cfd toolbox. www.openfoam.org. [7] S.V. Patankar. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Hemisphere Publishing Corporation, 1980. [8] H Schlichting and K. Gersten. Boundary Layer Theory. Springer, 2000. ✺✻ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Projektiranje konstrukcijskih delov z uporabo sodobnih simulacijskih postopkov B. Harl1, J. Predan1, M. Kegl1 in N. Gubeljak1 Design of structural parts by using modern simulation procedures Povzetek. Prispevek obravnava projektiranje nosilnih konstrukcijskih delov z uporabo sodobnih simulacijskih postopkov na osnovi MKE. Težišče prispevka je na uporabi optimizacije topologije konstrukcije v kontekstu dveh trenutno zelo zanimivih tem: konfiguriranje in optimizacija rešetkastih struktur ter sodobnih dodajalnih proizvodnih tehnologij. Razprava je ilustrirana z numeričnimi zgledi in eksperimentalno dobljenimi rezultati. Abstract. This paper discusses modern FEA-driven simulation procedures used in design of structural load-carrying parts. The focus of the paper is on topology optimization usage within the context of two currently very interesting topics: configuration and optimization of lattice structures and modern additive manufacturing technologies. The discussion is illustrated by numerical examples and experimentally obtained results. 1 Uvod Optimizacija konstrukcij na osnovi MKE je precej zanimiva tema že tam nekje od osemdesetih let prejšnjega stoletja. V tem času smo bili priča lepemu razvoju najprej konvencionalne (ang. sizing) optimizacije, nato optimizacije oblike in nazadnje še optimizacije topologije konstrukcij. Predvsem pri razvoju slednje je dolgo bilo precej moteče dejstvo, da dobljeni rezultati niso bili takšni, da bi jih zlahka prenesli v proizvodnjo. Razloga sta bila predvsem dva:   1 kvaliteta rezultatov (predvsem fragmentiranost in velik numerični šum), ter neobstoj tehnologij, ki bi omogočale izdelavo optimiranih delov. Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo ✺✼ Kuhljevi dnevi 2015 Vendar pa je zadnje desetletje prineslo precej velike spremembe. Po eni strani so zelo napredovale metode za optimizacijo topologije, precej impresivnemu razvoju pa smo priča tudi na področju razvoja dodajalnih proizvodnih tehnologij (t.i. 3D tiskanje). Če temu dodamo še dejstvo, da je sodobna optimizacija topologije tudi vse bolj sposobna dobaviti oblike, ki so primerne za klasično proizvodnjo (na pr., litje, kovanje, varjenje), postaja jasno, da se bo prej ali slej optimizacija topologije zelo vrinila v zgodnje faze projektiranja konstrukcijskih delov. Koristi so namreč lahko res zelo velike in po nekaterih mnenjih bo zato revoluciji v izdelavi sledila še večja revolucija pri programski opremi za projektiranje novih delov [1]. Na žalost pa optimizacija po definiciji s sabo prinaša tudi nevarnosti in v tem pogledu optimizacija topologije celo prednjači pred konvencionalno in oblikovno optimizacijo. V tem kontekstu je seveda dobrodošla vsaka metoda ali tehnika, ki ta tveganja vsaj omili. Eden od takih pristopov je uporaba rešetkastih konstrukcij (ang. lattice structures) pri optimizaciji topologije. Ta prispevek je namenjen kratki predstavitvi in obravnavi prav te teme. 2 Polna in rešetkasta konfiguracija konstrukcijskega dela Optimizacijo topologije vedno začnemo z definicijo domene, v kateri se lahko nahaja material. Naloga optimizerja je, da ugotovi kje dejansko material mora biti in kje ne. Pri tem imamo načelno dve možnosti, in sicer, da konstrukcijski del konfiguriramo kot:   poln (ang. solid configuration) ali rešetkast (ang. lattice configuration) Pri polni konfiguraciji lahko optimizer povsod znotraj domene material odvzema ali dodaja. Nasprotno pa pri rešetkasti konfiguraciji vrinemo izbrano rešetkasto strukturo in optimizerju dovolimo, da to strukturo spreminja le do določene meje. Slika 1 prikazuje konstrukcijski del, pri katerem je prva polovica optimizacijske domene konfigurirana kot polna, druga polovica pa kot rešetkasta. Slika 1: Konstrukcijski del konfiguriran deloma kot poln, deloma kot rešetkast Vprašanje, ki se ob tem postavlja seveda je, ali izbrati polno ali rešetkasto konfiguracijo. Odgovor na to ni zelo enostaven, zato na kratko izpostavimo le najpomembnejše: rezultat optimizacije polne konfiguracije je zagotovo boljši, merjeno glede na formulirano nalogo. -2✺✽ Kuhljevi dnevi 2015 Vendar pa zna biti rešetkast optimum boljši v praksi, ker se bodo morda pojavile okoliščine (obremenitve), ki jih v opis optimizacijske naloge nismo vključili, ker jih morda preprosto nismo poznali. 3 Predstavitev obravnavanega zgleda Za obravnavan zgled smo izbrali 3-točkovni preizkus, ker je izvedba meritev in vizualizacija rezultatov dokaj enostavna. CAD model in robni pogoji obravnavanega zgleda so predstavljeni na sliki 2. Model je bil pomrežen z 2 milijona končnih elementov. Fiksna domena Optimizacijska domena Slika 2: CAD model obravnavanega zgleda in robni pogoji Celotni model je sestavljen iz optimizacijske (srednji del) in fiksne domene (oba krajna dela). Obravnavali bomo 4 primere, ki jih prikazuje slika 3. (A) (B) (C) (D) Slika 3: Obravnavani primeri: (A) pravokotna rešetka; (B) optimirana pravokotna rešetka; (C) optimirana HC (honeycomb) rešetka; (D) optimirana polna konfiguracija Primer A edini predstavlja neoptimirano konstrukcijo, razen tega pa je rešetka namenoma postavljena (zavrtena) dokaj neugodno. Ostali trije primeri so vsi optimirani. Zanima nas koliko lahko v danih primerih prinese optimizacija (togost, maksimalne napetosti, …) in koliko se bodo simulacije ujemale z eksperimentom. Volumski delež (optimirane domene) se v vseh štirih primerih giblje okrog 12%. Glede na teorijo bi morali biti primeri po kvaliteti razvrščeni tako: A (najslabši), B, C in D (najboljši). Konfiguriranje domene in optimizacija sta za vse primere izvedena s programskim paketom CAESS ProTOp 4.0.0 [2]. -3✺✾ Kuhljevi dnevi 2015 4 Rezultati in razprava Prikaz rezultatov lahko začnemo kar s prikazom napetostnega stanja na vseh štirih primerih, slika 4. Skala je v vseh primerih nastavljena enako: vijolično so obarvana področja nad 50 MPa. (A) (B) (C) (D) Slika 4: Napetostna polja: (A) pravokotna rešetka; (B) optimirana pravokotna rešetka; (C) optimirana HC rešetka; (D) optimirana polna konfiguracija Iz slik je možno razbrati, da je najboljša rešitev oblika D, kjer je optimizer imel povsem proste roke. Napetosti so dokaj nizke in skoraj konstantne po celi konstrukciji. Povsem jasno je, da konstrukter takšnih razmer nikoli ne more doseči 'peš', torej brez uporabe optimizerja. Daleč najslabše se je po pričakovanjih odrezala oblika A. Velikosti in koncentracije napetosti so tu neprimerno večje, kot v ostalih primerih, tabela 1. Tabela 1: Približne velikosti napetosti in pomikov (tip obremenitve: sila) Primer Volumski delež, % Napetosti, MPa Max pomik, mm A 12.9 ~ 170 6.1 B 11.8 ~ 80 3.2 C 12.0 ~ 45 1.6 D 12.1 ~ 25 1.3 Za boljšo ponazoritev razlik si poglejmo isti detajl konstrukcije za obliko A (slika 5) in obliko B (slika 6). Vidimo lahko, da imamo pri obliki A zelo visoke koncentracije napetosti. Sicer je res, da izbrana rešetka ni najbolj ugodna za obravnavan primer, vendar je treba upoštevati, da konstrukter v neki splošni situaciji z več obremenitvenimi primeri praktično ne more vedeti, kakšna je ugodna postavitev rešetke. Torej se 'ročni' namestitvi rešetkaste konfiguracije (in s tem tudi visokim koncentracijam napetosti) praktično ne moremo izogniti. Če si sedaj ogledamo detajl oblike B (slika 6), lahko vidimo, da je kljub neugodni postavitvi rešetke optimizer napetostno polje odločilno izboljšal. Koncentracije napetosti so skoraj neopazne in tudi porazdelitev nasploh je dosti bolj enakomerna. Tudi velikosti napetosti so dosti nižje kot pri obliki A. Kot zanimivost si oglejmo še isti detajl oblike C. Tukaj je izhodiščna rešetka tipa HC in je za dani primer že v osnovi bolj ugodna kot pravokotna rešetka. To se tudi vidi na rezultatu: polje napetosti je v obremenjenih delih skoraj konstantno, koncentracije pa so skoraj izginile (slika 7). -4✻✵ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 5: Detajl konstrukcije oblike A (skala. 0 - 160 MPa) Slika 6: Detajl konstrukcije oblike B (skala: 0 - 80 MPa) Rešetkasto strukturo je bilo do nedavnega skoraj nemogoče izdelati. Vendar pa je razvoj dodajalnih proizvodnih tehnologij v zadnjih letih toliko napredoval, da to postaja vse bolj sprejemljiva opcija, predvsem v letalski in obrambni industriji ter medicini. -5✻✶ Kuhljevi dnevi 2015 Z namenom, da bi preverili dobljene rezultate smo vse štiri primere izdelali na stroju za 3D tiskanje, ter odziv konstrukcij eksperimentalno in numerično preverili. Kontrolna numerika je bila narejena z neodvisnim programskim paketom Simulia Abaqus 6.14 [3]. Slika 7: Detajl konstrukcije oblike C (skala: 0 - 45 MPa) Konstrukcije so bile izdelane na stroju za selektivno lasersko sintranje EOS Formiga P100, uporabljen material pa je bil Fine Polyamide PA 2200 for EOSINT P. Tritočkovni upogibni preizkus je bil izveden na univerzalnem hidravličnem preizkusnem stroju INSTRON 8500 (sliki 8 in 9) pri sobni temperaturi. Obremenjevanje je bilo izvedeno s predpisanimi pomiki. Hitrost pomikov je znašala 2mm/min. Slika 8: Tritočkovni preizkus konstrukcije oblike B -6✻✷ Kuhljevi dnevi 2015 Za namen neodvisne numerične verifikacije, smo rezultate optimizacije vseh konstrukcij uvozili v Abaqus in numerično izvedli simulacijo tritočkovnega upogibnega preizkusa (slika 10). Tudi tukaj je bilo obremenjevanje izvedeno s pomiki. Slika 9: Tritočkovni preizkus konstrukcije oblike C Slika 10: Numerična simulacija preizkusa za konstrukcijo D (tip obremenitve: pomik; velikost obremenitve ni enaka kot pri optimizaciji) Primerjava eksperimentalnih in numeričnih rezultatov je prikazana na sliki 11, kjer prekinjene črte označujejo možne variacije numeričnih rezultatov zaradi raztrosa (variacij) elastičnega modula uporabljenega materiala. Iz prikazanih rezultatov lahko vidimo dvoje: (a) v skladu s pričakovanji so konstrukcije po togosti razvrščene tako: A (najmanj toga), B, C, D (najbolj toga); in (b) -7✻✸ Kuhljevi dnevi 2015 ujemanje med meritvijo in numeriko je presenetljivo dobro. To pomeni, da numerični postopki, ki jih uporabljamo, lahko dajejo realne rezultate, če je le vse narejeno pravilno. Kot zaključek lahko izpostavimo naslednje: optimizacija topologije lahko bistveno izboljša in olajša postopke projektiranja učinkovitih nosilnih delov konstrukcij. Že iz obravnavanega enostavnega primera je verjetno jasno, da tega kar z relativno lahkoto opravi optimizer, inženir nikoli ne bo mogel narediti 'peš'. Koristi sodobnih postopkov bodo tu zelo velike, vendar pa na inženirju še vedno ostaja zelo težek del naloge: pravilna identifikacija vseh obremenitvenih primerov in ostalih robnih pogojev konstrukcije. Nenatančnosti ali napake v tem delu postopka se lahko pri optimizaciji hudo maščujejo. Optmizacijski postopek lahko namreč v tem primeru naredi več škode kot koristi. 350 D Eksperiment Numerika 300 D C Obremenitev, N 250 200 C 150 100 B 50 A B A 0 0 0,5 1 1,5 2 Pomik, mm Slika 11: Primerjava eksperimentalnih in numeričnih rezultatov Literatura [1] H. Lipson, Is CAD Keeping Up? 3D Printing and Additive Manufacturing, vol. 1, no. 4, 177--177, 2014. [2] http://www.caess.eu/site/Software-ProTop.html [3] http://www.3ds.com/products-services/simulia/products/abaqus/ -8✻✹ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Dvofazni model računalniške dinamike tekočin za razpršilno sušenje suspenzije zeolit-voda M. Hriberšek1, G. Sagadin2, M. Zadravec3 Two Phase Computational Fluid Dynamics Model of Spray Drying of Zeolite-Water Suspension Povzetek. Razpršilno sušenje delcev, ki vsebujejo pomembno količino vlage v notranjosti ali pa je slednja tudi kristalno vezana, predstavlja pomemben izziv v inženirski praksi kot tudi v razvoju modernih metod numerične simulacije prenosnih pojavov. Med slednje sodi računalniška dinamika tekočin, ki v primeru razpršilnega sušenja fizikalno dogajanje obravnava z modeli dvofaznega toka in dodatnimi kinetičnimi modeli, ki opisujejo prenosne pojave v posameznem delcu razpršene faze. Medtem ko je izbira modela dvofaznega toka najpogosteje vezana na modele, ki temelje na Euler-Lagrange pristopu, pa je izbira modela kinetike sušenja posameznega delca najpogosteje omejena na model, ki upošteva vso vlago kot površinsko. Kombinacija večstopenjskega modela kinetike sušenja, razvitega v [6], in Euler-Lagrange modela dvofaznega toka, tako nudi odlično izhodišče za izboljšanje natančnosti računalniških izračunov razpršilnega sušenja. V prispevku obravnavamo najpomembnejše lastnosti takšnega modela ter rezultate izvedenih simulacij za primer laboratorijskega sušilnika zmesi zeolit-voda. Abstract. Spray drying of particles, which contain a significant amount of moisture inside the particle or in a form of crystalline bound moisture, present an important challenge in engineering as well as in development of modern computational transport phenomena simulation tools. Among those the Computational Fluid Dynamics can be applied based on a combination of two-phase models and additional drying kinetics models, describing transport phenomena on a particle level. While the choice of two-phase flow models, based on EulerLagrange approach, is the most obvious choice, a choice of a correct drying kinetics model is mostly limited to models considering surface bound moisture only. A combination of the multistage drying model, developed in [6], and an Euler-Lagrange two-phase model, therefore presents an excellent starting point for improving the accuracy of computational models. The contribution reports on the most important properties of such a model as well as on computational results for the case of laboratory spray dryer of zeolite-water slurry. Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor Silkem, d.o.o.; Tovarniška cesta 10, 2325 Kidričevo 3 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor 1 2 ✻✺ Kuhljevi dnevi 2015 1 Uvod Dogajanje v sušilni komori razpršilnega sušilnika je močno odvisno od vstopa sušilnega zraka ter od načina in lokacije dovajanja zmesi za sušenje. Turbulentno gibanje zraka v sušilni komori je v večini primerov zaželeno, saj je s tem intenziviran prenos toplote in snovi. Glede na turbulentno dogajanje v sušilni komori sta avtorja D.F. Fletcher in T.A.G. Langrish v prispevku [3] analizirala dva različna modela turbulence SAS in SST. V numeričnih simulacijah se je izkazalo, da so rezultati obeh modelov primerljivi. Težava pa nastopi z velikostjo sistema, saj če želimo izračunavati turbulentno dogajanje v sušilni komori, potrebujemo časovno odvisni izračun. Sistemi numeričnega izračuna (sploh v primeru časovno odvisnega izračuna) v primeru velikega števila elementov postanejo izjemno počasni. Prav tako povečanje števila razpršenih delcev vodi k povečanju časa izračuna določenega primera. Avtor T.A.G. Langrish [1] ter D.F. Fletcher in drugi [2] so obravnavali različne pristope in sicer grob pristop do reševanja problema razpršilnega sušenja, fini pristop ter CFD pristop. Ugotovili so, da v primeru grobega pristopa, kjer obravnavamo modelni delec pod pogoji idealno premešanega sistema, ne dobimo preveč uporabnih podatkov. V primeru finega pristopa, ki obravnava potovanje modelnega delca skupaj s kontrolno prostornino sušilnega plina v sotočnem načinu, že pridobimo nekaj uporabnih podatkov in tudi vpogleda v dogajanje v sušilni komori. V kolikor želimo točne podatke, ki jih je možno lokalno analizirati, smo prisiljeni uporabiti CFD metode, ki pa so zaradi kompleksnosti izračuna računsko zahtevne. Na strani razpršene faze obravnavamo značilni delec, ki je sestavljen iz trdnih netopnih poroznih kristalov ter vode. Sušenje poteka v treh ločenih stopnjah, ki si sledijo ena za drugo. Prva temelji na uparjanju vlage na površini delca, ki poteka tako dolgo, dokler ni površina mokrega delca povsem osušena. Takrat nastopi druga stopnja sušenja, kjer se delec prične sušiti tudi v notranjosti, temperatura delca pa zaradi dodatnega toplotnega upora in difuzije vodne pare skozi pore poroznega materiala pri sušenju prične naraščati. Sledi prehod v tretjo stopnjo sušenja, kjer je delec že osušen makroskopsko vezane vlage a posamezni kristali še vsebujejo kristalno vezano vlago. S segrevanjem kristalov se nato prične izločati tudi kristalno vezana vlaga. Sušenje delcev v več stopnjah je obravnaval M. Mezhericher in drugi [4], [5], tristopenjski model sušenja osamljenega delca, ki upošteva tudi odstranjevanje kristalno vezane vlage, pa je bil predstavljen v G. Sagadin in drugi [6], [7]. V tem delu smo razvili sklopljen numerični algoritem, ki omogoča simuliranje procesa sušenja v treh stopnjah, tako površinske vlage, vlage v porah med kristali kot tudi kristalno vezane vlage, v spremenljivih pogojih sušilnega plina, ki so izračunani na osnovi izvedene analize na osnovi računalniške dinamike tekočin oz. programa Ansys-CFX [8]. 2 Laboratorijski sušilnik Analiza razpršilnega sušenja je narejena na osnovi izvedbe laboratorijskega sušilnika Anhydro LAB S1 [9], slika 1. Tik pred vstopom v sušilno komoro je integriran električni grelnik zraka toplotne moči 9 kW, s katerim segrevamo zrak na želeno temperaturo. Zaradi geometrije vstopa je tok zraka izrazito turbulenten, kar intenzivira prenos toplote in snovi. Približno na polovici skupne višine sušilne komore je nameščena večfazna šoba s katero vnašamo mokre delce v protitočni smeri z določeno hitrostjo. Vlažni delci v sušilni komori prejemajo toplotno energijo s strani vročega zraka, medtem ko zraku vračajo masni tok uparjene vode. Zaradi toplotne izmenjave se zrak ohlaja, hkrati pa se mu povečuje absolutna ✻✻ Kuhljevi dnevi 2015 vlažnost. Ob doseganju delne osušitve in zmanjševanju kinetične energije pričnejo delci slediti osnovnemu toku zraka v sotočni smeri do izhoda iz sušilnika. V tem času se še dodatno osušijo ter segrejejo blizu temperature sušilnega zraka. Osušeni delci se na manjšem ciklonu izločijo v vzorčno posodo, medtem ko vlažen zrak izstopa v atmosfero. Izstop zraka Vstop zraka Okolica Osušen produkt Vstop suspenzije Slika 1: Shema sušenja poroznega delca v razpršilnem sušilniku Anhydro LAB S1. 3 Numerični model večstopenjskega sušenja Reševanje prenosa toplote in snovi v razpršenem toku kapljic, ki se gibljejo skozi vroč in suh sušilni plin, razdelimo na naslednje korake: 1. Izračun dogajanja v sušilnem plinu in sledenje delcev. 2. Izračun dogajanja v delcu suspenzije zeolit – voda. 3. Izračun interakcije med razpršeno in zvezno fazo. Za točko 1. je najprimerneje uporabiti metode računalniške dinamike tekočin (CFD) za izračun dogajanja v sušilnem plinu in Lagrangevo sledenje za izračun gibanja delcev. Prenos toplote in snovi na delec suspenzije, ki se giblje z neko hitrostjo in izmenjuje toploto in snov z okolico, bomo obravnavali s posebnim tristopenjskim kinetičnim modelom. V obravnavanem primeru smo v CFD modelu obravnavali tok idealnega plina (zrak) v sistemu Reynoldsovo povprečenih Navier-Stokes enačb (RANS), kjer je bil vpliv turbulence modeliran z vključitvijo SST-SAS dvoenačbenega modela, dodatno pa sta bili vključeni enačbi ohranitve entalpije in ohranitve mase vodne pare v zraku. Računska mreža za CFD simulacijo, ki je temeljila na poenostavljenem geometrijskem modelu, slika 2, je imela 4.832.406 elementov. Gibanje in prenosni pojavi za posamezni delec suspenzije so bili obravnavani na osnovi ohranitve gibalne količine ter ohranitve toplotne energije in mase vode v krogelnem delcu. ✻✼ Kuhljevi dnevi 2015 Rezultati izračunov točk 1. in 2. omogočajo izračun členov izmenjave gibalne količine, toplote in snovi, ki jih na osnovi modela točkovnih delcev upoštevamo pri izračunu interakcije med razpršeno in zvezno fazo. Pri izmenjavi translatorne gibalne količine je bila upoštevana sila upora z modelom Schiller-Naumann ter sila vzgona. Člene izmenjave toplotne energije in mase izparele vode izračunamo s pomočjo razvitega tristopenjskega modela sušenja suspenzije zeolit-voda, predstavljenega v delih [6] in [7], ki ga v najpomembnejših točkah opisujemo v nadaljevanju. Prva stopnja sušenja je sušenje površinsko vezane vlage, v kateri se velikost delca (polmer) zmanjšuje glede na količino uparjene vode. Vstop zraka Izstop zraka Slika 2: Geometrijski model laboratorijskega sušilnika Anhydro LA B S1. Masni tok uparjene vode določimo na osnovi konvektivnega prestopa snovi (podrobne oznake veličin so v [7]), (1) 𝑚̇ 𝑣 = ℎ𝐷 (𝜌𝑣,𝑠 − 𝜌𝑣,∞ )4𝜋(𝑅𝑑 )2 1/2 𝑆ℎ𝑑 = (2 + 0,6𝑅𝑒𝑑 𝑆𝑐1/3 ) (1 + 𝐵)−0,7 kjer je B Spaldingovo število. Ohranitev entalpije za krogelni delec upošteva konvektivni del, sevanje in uparjalno entalpijo, 𝑑𝑇𝑑 = ℎ(𝑇𝑔 − 𝑇𝑑 )4𝜋𝑅𝑑2 − ℎ𝑓𝑔 𝑚̇ 𝑣 𝑑𝑡 1/2 𝑁𝑢𝑑 = (2 + 0,6𝑅𝑒𝑑 𝑃𝑟1/3 ) (1 + 𝐵)−0,7 𝑐𝑝,𝑑 𝑚𝑑 (2) (3) Koeficient skupne toplotne prehodnosti je določen s seštevkom konvektivnega ter sevalnega dela prestopa toplote Po izračunu količine uparjene vode določimo spremenjeno velikost delca s pomočjo enačbe ohranitve mase, ✻✽ Kuhljevi dnevi 2015 𝑑𝑅𝑑 1 (4) =− 𝑚̇ 𝑑𝑡 𝜌𝑑,𝑤 4𝜋(𝑅𝑑 )2 𝑣 na osnovi ohranitve entalpije delca nato določimo še spremenjeno temperaturo delca. V drugi stopnji sušenja upoštevamo dejstvo, da je delec že delno osušen in tako sestavljen iz poroznega osušenega zunanjega dela in mokrega notranjega dela. Izračun snovnega toka izparjene vode temelji na upoštevanju uparjanja vlage s površine mokrega jedra delca (Ri) ter njeni difuziji skozi osušeni, zunanji porozni del delca [4,5], 𝑚̇𝑣 = − 8𝜋𝜀 𝛽 𝐷𝑣,𝑐𝑟 𝑀𝑤 𝑝𝑔 𝑅𝑝 𝑅𝑖 ∗ ln 𝜅(𝑇𝑐𝑟,𝑠 + 𝑇𝑤𝑐,𝑠 ) 𝑅𝑝 − 𝑅𝑖 𝑝𝑔 − 𝑝𝑣,𝑖 (5) 𝑝 𝜅 𝑚̇ + 𝑣,∞ ) 𝑇𝑝,𝑠 𝑝𝑔 − ( 𝑇𝑔 4𝜋𝑀𝑤 ℎ𝑑 𝑅𝑝2 𝑣 [ ] kjer je 𝜀=0,38 poroznost delca, eksponent β=0,61, 𝑝𝑔 tlak okolice, 𝑝𝑣,𝑖 ter 𝑝𝑣,∞ pa parcialni tlak vodne pare na medfazni površini in v okolici. Kot parcialni tlak vodne pare na medfazni površini upoštevamo tlak nasičenja, izračunan z Antoine modelom [7]. Po izračunu snovnega toka sledi izračun spremenjenega polmera medfazne površine Ri med mokrim jedrom ter suho skorjo. Izračun snovnega toka ne zahteva diskretizacije notranjosti delca, ki pa je potrebna za izračun temperaturne porazdelitve znotraj delca. V ta namen z metodo končnih razlik diskretiziramo tako osušeni del delca kot mokro notranje področje delca. Diskretizacija je izvedena na ohranitveni enačbi nestacionarnega prevoda toplote, za osušeni del, 1 𝜕 𝜕𝑇𝑤𝑐 𝜕𝑇𝑤𝑐 (6) 𝜌𝑤𝑐 𝐶𝑝,𝑤𝑐 = 2 (𝑘𝑤𝑐 𝑟 2 ) , 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅𝑖 (𝑡) 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑡 ter za mokro jedro delca [6], [7], 𝜕𝑇𝑐𝑟 𝛼𝑐𝑟 𝜕 2 𝜕𝑇𝑐𝑟 (7) = 2 (𝑟 ) , 𝑅𝑖 (𝑡) ≤ 𝑟 ≤ 𝑅𝑝 𝜕𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 Za izračun tretje faze sušenja uporabimo podatke o vsebnosti vlage v zeolitu, ki jih podaja termo gravimetrična analiza [6], iz katere lahko izračunamo spreminjanje gradienta G v odvisnosti od spremembe temperature delca, ∆𝑋𝑝 𝑋𝑝,1 − 𝑋𝑝,2 (8) 𝐺= = ∆𝑇𝑑 𝑇𝑑,2 − 𝑇𝑑,1 Ker se lahko delec zaradi premika v polje hladnejšega zraka tudi ohlaja, uporabimo za izračun sproščene vlage enačbo (𝑋𝑐𝑟 − 𝑋𝑑 ) 𝑚𝑑,𝑠 (9) 𝑚̇ 𝑣 = 𝐺(𝑇𝑑 𝑗+1 − 𝑇𝑑 𝑗 ) 𝑋𝑐𝑟 ∆𝑡 če pa se delec segreva, pa enačbo 𝑚̇ 𝑣 = 𝐺(𝑇𝑑 𝑗+1 − 𝑇𝑑 𝑗 ) (𝑋𝑐𝑟 −𝑋𝑝 ) 𝑚𝑑,𝑠 𝑋𝑐𝑟 ∆𝑡 (10) 4 Rezultati izvedenih izračunov Razviti numerični model smo preizkusili na izračunu sušenja suspenzije zeolit-voda z masnim tokom 17,5kg/h, začetnim premerom razpršenega delca 200 μm in začetno ✻✾ Kuhljevi dnevi 2015 vlažnostjo 0,47kg/kg. Vstopna hitrost kapljic iz razpršilne šobe je bila 15m/s, kot razprševanja pa 20°. Za sušilni plin je bil uporabljen masni tok 0,03kg/s vročega zraka temperature 300°C in začetne vlažnosti 0,01 kg/kg. Časovni korak za izvedbo enega koraka CFD analize je bil 0.0025s. Na sliki 3 je prikazan rezultat tokovnega polja sušilnega plina in trajektorij kapljic. V zgornjem, valjnem delu sušilnika je razvidno intenzivno področje mešanja sušilnega plina, v katerega vstopa curek kapljic iz področja razpršilne šobe. V tem območju je prevladujoč način sušenja protitočni, medtem ko v spodnjem, konusnem delu sušilnika, prevladuje sotočni način. Spodnji del zaznamuje izrazito vrtinčno gibanje sušilnega plina, ki se stopnjuje proti izhodu iz sušilnika. Slika 3: Tokovno polje sušilnega plina in trajektorije delcev. Tokovne razmere in relativno gibanje razpršene faze glede na zvezno fazo odločilno vpliva na intenziteto prenosnih pojavov. Pri tem je najpomembnejša lokalna razlika v hitrosti zvezne in razpršene faze, prikazana za izbrano trajektorijo delca in absolutne vrednosti hitrosti na sliki 4. Iz slike je jasno razvidno, da je v prvem delu sušenja relativna hitrost največja, kar je posledica protitočnega gibanja zraka in kapljic v zgornjem delu sušilnika. Ko gibanje preide v sotočni del, se relativna hitrost močno zmanjša, saj kapljice tega velikostnega razreda v tem področju pretežno sledijo tokovnemu polju zraka. Zmanjšanje relativne hitrosti močno vpliva na računsko zmanjšanje toplotne in snovne prestopnosti iz delca na sušilni plin, saj se vrednost Reynoldsovega števila Red, v katerem kot značilno hitrost upoštevamo relativno hitrost, zmanjša, s tem pa se zmanjšata tudi vrednosti Nusselt in Sherwood števila. Na sliki 5 je ta vpliv opazen na poteku temperature delca, ki se v prvem delu sušenja najhitreje približuje temperaturi sušilnega plina. V drugi in tretji fazi sušenja temperatura delca z manjšo zakasnitvijo sledi spremembam temperature sušilnega plina, kar pa nima bistvenega vpliva na spremembo vlažnosti delca, saj se iz njega sedaj odstranjuje zgolj notranje in kristalno vezana vlaga. Za izbrani primer so rezultati meritev na laboratorijskem sušilniku [7] pokazali, da je končna vlažnost delcev enaka 0,216, kar se dobro ujema z rezultatom, prikazanim na sliki 5. ✼✵ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 4: Relativna hitrost delca glede na sušilni plin za izbrano trajektorijo delca. Slika 5: Kinetika razpršilnega sušenja za razpršeno in plinsko fazo za izbrano trajektorijo in okolico delca. 5 Zaključek Večstopenjski numerični model razpršilnega sušenja v kombinaciji z modelom dvofaznega toka v računalniški dinamiki tekočin v Euler-Lagrange zapisu omogoča natančen izračun ✼✶ Kuhljevi dnevi 2015 dinamike prenosnih pojavov na posameznem sušenem delcu. Lokalni podatki o hitrosti sušilnega plina, njegovi vlažnosti in temperaturi, zagotavljajo dobro prilagajanje izračuna kinetike sušenja trenutnim lokalnim razmeram v sušilniku, saj je intenzivnost prenosnih pojavov odvisna od relativne razlike med potenciali funkcij polja delcev, kot so razlike hitrosti, razlike temperatur in razlike delnih tlakov vodne pare. Na strani delcev zagotavlja uporaba večstopenjskega modela sušenja, ki upošteva upočasnitev prenosa toplote in snovi, ko se fronta sušenja pomakne v notranjost delca ter v nadaljevanju tudi sušenje kristalno vezane vlage, natančnejši opis prenosnih pojavov znotraj sušenega delca, kot je uporaba zgolj modela odstranjevanja površinske vlage. Literatura [1] T.A.G. Langrish; Multi-scale mathematical modelling of spray dryers. Journal of Food Engineering, 93, str. 218–228, 2009. [2] D.F. Fletcher a, B. Guo a, D.J.E. Harvie, T.A.G. Langrish, J.J. Nijdam, J. Williams; What is important in the simulation of spray dryer performance and how do current CFD models perform? Applied Mathematical Modelling 30, str. 1281–1292, 2006. [3] D.F. Fletcher, T.A.G. Langrish: Scale-adaptive simulation (SAS) modelling of a pilotscale spray dryer. Chemical Engineering Research and Design 87, str.1371–1378, 2009. [4] M. Mezhericher, A. Levy, I. Borde; Three-dimensional modelling of pneumatic drying process, Powder Technology, 203 (2) str. 371-383, 2010. [5] M. Mezhericher, A. Levy, I. Borde; Heat and mass transfer of single droplet/wet particle drying, Chemical Engineering Science, 2008. [6] Sagadin Gregor, Hriberšek Matjaž, Škerget Leopold; Tristopenjski model razpršilnega sušenja suspenzije zeolit-voda, Kuhljevi dnevi, Zbornik del, str.199-206, Maribor, 2014. [7] Sagadin, Gregor: Večfazni numerični model razpršilnega sušenja suspenzije zeolit-voda. Doktorska disertacija, Univerza v Mariboru, 2014. [8] Ansys CFX 14.0, www.ansys.com. [9] GEA Process Engineering A/S, Gladsaxevej 305, DK-2860 Soeborg, Denmark. ✼✷ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Dizajniranje zadnjega krila formule SAE za nizke hitrosti J. Iljaž1, L. Škerget1 in J. Marn1 Designing the rear wing of formula SAE for low speeds Povzetek. Prispevek obravnava aerodinamiko formule SAE, in sicer dizajniranje zadnjega krila za nizke hitrosti. Cilj je oblikovati zadnje krilo v okvirjih pravilnika z namenom povečanja potisne sile, in sicer zaradi prekrmarjenosti dirkalnika. Pri tem podaja teoretične osnove, ki so pomembne za osnovni dizajn, kot tudi pristop reševanja problema. Za določitev aerodinamičnih sil je uporabljen numerični pristop s 3D SST-RANS simulacijo celotnega dirkalnika. Rezultati numeričnih simulacij kažejo na to, da je večdelno krilo primerno za nizke hitrosti, pri čemer je osnovno trodelno krilo sestavljeno iz dveh zakrilc postavljeno prenizko. Potisna sila se tako poveča z višino krila in doseže maksimum pri 10° vpadnega kota. Zato je v nadaljevanju predlagan nov zakrivljen dizajn z dodanim predkrilcem in le enim zakrilcem, ki dosega večje vpadne kote, nekoliko večji koeficient vzgona in s tem tudi večjo maksimalno potisno silo. Abstract. This paper covers the aerodynamics of the formula SAE, especially about the designing of the rear wing for low speeds. The aim is to design the rear wing inside the regulations, to increase the downforce on the rear wheels. The reason is to improve the formula over-steering. Paper covers the theoretical background, which is essential for the good base design, as well as the approach on solving the problem. To estimate the aerodynamic forces of the rear wing, the numerical approach with 3D SST-RANS simulation incorporating the whole formula, was used. The results showed that the multi-element wings are suitable for low speeds and that the base design with two flaps is positioned too low. The downforce increases with the height of the wing and reaches its maximum value at 10° angle of attack. For this reason the new curved design including slat and only one flap, has been propose. The new wing can cope with grater angle of attack, has a greater lift coefficient and also the greater maximal downforce. 1 Uvod Formula SAE je internacionalno tekmovanje, katerega je cilj zasnova in izdelava dirkalnika za tekmovanje. Kljub nizkim hitrostim formule oziroma dirkalnika, saj se povprečna hitrost ⁄ℎ, je v zadnjem času velik poudarek tudi na aerodinamičnem paket giblje v razredu 50 formule. V praksi se izkaže, da se kljub nizkim hitrostim ustvari dovolj vzgonske ali potisne sile, ki poveča normalno in s tem bočno silo na kolesih ter nekoliko hitrejši vožnji skozi ovinek, kar zmanjša čas kroga. Tako bo v sklopu tega prispevka prikazana problematika, način reševanja ter osnovna in predlagana rešitve zadnjega krila za nizke hitrosti. 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo ✼✸ Kuhljevi dnevi 2015 Aerodinamičen paket formule SAE vsebuje v obravnavanem primeru sprednje in zadnje krilo ter oblikovano dno z zadnjim difuzorjem, kot je to prikazano na sliki 1. Vendar je detajlno obravnavano le zadnje krilo, saj se pojavlja težava prekrmarjenosti dirkalnika. Tako je cilj povečati potisno silo zadnjega krila in s tem izboljšati trenje na zadnjih kolesih, kar pa predstavlja velik problem ko so hitrosti nizke. Za validacijo posameznega dizajna zadnjega krila je uporabljen numerični pristop oziroma RDT (Računska Dinamika Tekočin), pri čemer so analize izvedene s SST-RANS simulacijo celotnega dirkalnika, primarni kriterij ocene pa predstavlja integralni parameter, tj. potisna oziroma vzgonska sila zadnjega krila. Sila upora je v tem primeru manj pomembna, saj so hitrosti majhne in s tem izgube moči prav tako. Pri pregledu literature nismo zasledili bistvenih raziskav oziroma je dokaj malo kompleksnih 3D numeričnih analiz celotne aerodinamike dirkalnikov, vendar še te so narejene za visoke hitrosti. Narejenih je nekaj 2D in 3D numeričnih analiz na področju profilov kril in vpliva tal [6], zadnjega krila pri osebnem avtomobilu [7], sprednjega in zadnjega krila pri Formuli Mazda [4], vendar le pri visokih hitrostih. Najbližje temu se približa delo Jensena, ki obravnava dizajniranje dna formule SAE [1]. Tako izvirnost tega dela vidimo v sami obravnavani problematiki pri nizkih hitrostih, napredne 3D simulacije z upoštevanjem celotne geometrije dirkalnika in predlaganega dizajna zadnjega krilca za nizke hitrosti. zadnje krilo varnostna kletka zakrilce Gurney zakrilce bok voznik karoserija dno kolesa glavno krilo sprednje krilo stranska plošča Slika 1:Formula SAE in osnovni dizajn zadnjega krila 2 Osnovni dizajn Teorija aerodinamike izvira oziroma se je prvotno razvila na področju letalstva, šele kasneje se je znanje preneslo tudi na področje avtomobilističnega športa. Aerodinamično silo vzgona ali upora krila podamo s kvadratnim zakonom [3]: ∙ ∙ ∙ ∙ , 1 pri čemer je gostota tekočine, karakteristična površina, karakteristična hitrost obtekanja in koeficient vzgona ali upora krila. Na področju avtomobilističnega športa ne govorimo toliko o sili vzgona temveč potisni sili, pri čemer je to ista sila z razliko ✼✹ Kuhljevi dnevi 2015 usmerjenosti oziroma predznaku. Tako bo zaradi konsistentnosti potisna sila zadnjega krila dirkalnika predznačena z minusom, prav tako pa tudi koeficient [2,3]. Aerodinamično silo lahko tako večamo z večanjem hitrosti obtekanja, ki ima največji vpliv, površine kril ali koeficienta vzgona. Tako se ravno zaradi hitrosti razlikuje aerodinamika, ki je primerna za velike hitrosti (letala), manjše oziroma srednje (F1) ter nizke. Površina oziroma dimenzije krila so po navadi omejena zaradi samega pravilnika. Tako pravilnik formule SAE za leto 2015 narekuje, da zadnje krilo ne sme segati višje od 1,2 , biti širše on notranjega dela zadnjih koles ter biti pomaknjeno nazaj več kot 250 , merjeno od zadnjega dela zadnje pnevmatike. Seveda je v tem primeru smiselno povečati krilo na maksimalno velikost, ki je še dopustna iz strani pravilnika. Koeficient vzgona je predvsem odvisen od profila oziroma oblike krila ter vpadnega kota. Z večanjem vpadnega kota se povečuje tudi koeficient vzgona, ampak le do točke porušitve, kjer pride do separacije toka in posledično do drastičnega zmanjša vzgonske sile. Da ne pride do porušitve toka pri višjih vpadnih kotih je krilo razdeljeno na več delov (glavno krilo, zakrilca, predkrilca itd.) in tako govorimo o večdelnih krilih. Enodelna krila dosegajo koeficient vzgona v razredu ≈ 1,0, medtem ko večdelna dosegajo neprimerno višje ≈ 2,0 − 3,0. Do tega pride zlasti zaradi večje celotne ukrivljenosti krila in koeficiente, večjega vpadnega kota [3,5]. Tako je smiselno za osnovni dizajn zadnjega krila formule SAE izbrati večdelno krilo, in sicer je predlagano trodelno krilo z dvema zakrilcema. Določitev profila krila, velikost zakrilc in razmik med elementi za nizke hitrosti predstavlja težavo, saj v strokovni literaturi ni primernih podatkov oziroma napotkov. Tako smo v prvem koraku trodelno krilo določili na osnovi enostavnega 2D izračuna, ki temelji na potencialnem toku. Za ta korak je bil izbran programski paket JavaFoil 2.18, ki omogoča simuliranje poljubnega profila tudi večdelnega. Za osnovni profil je bil izbran NACA 63A-2010, pri čemer predstavlja zakrilce 33 % velikosti glavnega krila in razmik ter prekrivnost elementov okoli 6 %, kot med njimi pa 10°. Tako oblikovani profil krila je bil nato v drugem koraku validiran in korigiran z numerično 2D simulacijo, in sicer z uporabo RDT (Ansys CFX 15.0), ki je potrdila primernost oblikovanega profila. Na sliki 1 je tako prikazan osnovni 3D dizajn zadnjega krila, ki je sestavljen iz glavnega krila, dveh zakrilc, stranskih plošč in Gurney zakrilca na zadnjem elementu. Krilo je dolgo 970 in široko 710 . 3 Numerični model Za validacijo in analizo predlaganega osnovnega dizajna krila ter njegovih izboljšav je bil uporabljen numerični pristop z uporabo RDT, pri čemer simulacija obravnava celotno problematiko oziroma celotni dirkalnik (slika 1). Tako takšen numerični model ne podaja samo aerodinamične učinkovitosti zadnjega krila, temveč tudi vpliv posameznih elementov, kot je npr. vpliv sprednjega krila. Numerični model za aerodinamično 3D analizo dirkalnika in zadnjega krila temelji na SSTRANS simulaciji. Razlog izbire SST modela turbulence je v boljšem opisu turbulence tik ob steni oziroma boljše napovedi točke odcepitve in s tem recirkulacijskega območja. Problem je pri tem obravnavan relativno, kar pomeni da dirkalnik relativno miruje, giblje pa se njegova okolica (okoliški zrak in cesta) in sicer s hitrostjo dirkalnika v nasprotni smeri vožnje, pri čemer je potrebno upoštevati vrtenje koles. Stacionarna obravnava problema nam podaja razmere pri vožnji dirkalnika naravnost in sicer s konstantno hitrostjo, kar pa se v ✼✺ Kuhljevi dnevi 2015 realnosti zgodi le na kratkem delu proge, saj formula ves čas pospešuje, zavira oziroma je aerodinamičen paket najbolj pomemben pri vožnji skozi ovinek. Kljub temu pa je takšna analiza primerna za kvantitativno določitev aerodinamičnih sil oziroma primerjavo. 3.1 Območje reševanja Območje reševanja predstavlja okoliški zrak formule SAE, ki meji na cesto in poljubno izbrano okolico. Pri tem je bila upoštevana poenostavljena geometrija dirkalnika z upoštevanjem glavnih sestavnih delov, kot je to prikazano na sliki 1. Zaradi simetrije dirkalnika smo se odločili simulirat le polovico, kot je to prikazano na sliki 2, s čimer zmanjšamo območje reševanja in tudi računski čas. Analiza računskega območja je pokazala, da je takšen pristop primeren, saj je nesimetrija pri nizkih hitrosti zanemarljiva, ima pa velik vpliv na izračunano potisno silo. Zato je potrebno izbrati veliko računsko območje, še zlasti v širino in višino. Tako je bilo izbrano računsko območje v dolžini 16,4 , širini 2,9 in višini 4,5 (polovica območja). Glavne dimenzije dirkalnika pa so 2,8 v dolžino, 1,4 v širino in 1,2 v višino, pri čemer je za dirkalnikom modelirano območje v velikosti slabih pet dolžin vozila. izstop zgoraj simetrija vstop formula SAE cesta stranica Slika 2: Območje reševanja 3.2 Robni pogoji Zaradi nizke hitrosti dirkalnika na tekmi je bila za analizo izbrana hitrost 14 ⁄", kar ⁄ . Tako je na vstopu bil predpisan zaradi relativne sovpada s povprečno hitrostjo 50 obravnave vtok zraka s hitrostjo , na izstopu pa odprt robni pogoj z relativnim tlakom 0 #$. Zaradi predpostavke o simetriji je bil na simetrijski ravnini predpisan simetrijski robni pogoj. Na cesti, ki se relativno giblje glede na dirkalnik, je bila v nasprotni smeri gibanja predpisana hitrost , pri čemer je bila cesta obravnavana kot gladka stena. Na zgornji strani in stranici računskega območja je bila zaradi stabilnosti izračuna predpisana stena z zdrsom. Tako simuliramo tokovne razmere pri vožnji skozi predor zaradi česar je imelo območje reševanja največji vpliv. Na vseh površinah formule SAE je bil predpisan robni pogoj stene brez zdrsa ( 0 ⁄"), razen na vrtečih se kolesih, kjer je potrebno predpisati rotacijo (kotno hitrost) ✼✻ Kuhljevi dnevi 2015 oziroma obodno hitrost. Kotna hitrost koles dimenzije % sovpada s hitrostjo gibanja dirkalnika. 3.3 228 znaša 61,4 &$'⁄", kar Računska mreža Zaradi zahtevne geometrije celotnega dirkalnika je bila za diskretizacijo računskega območja uporabljena nestrukturirana mreža, pri čemer je potrebno biti pazljiv pri diskretizaciji kril oziroma aerodinamičnih elementov. Tudi pri tem je bila narejene analiza vpliva računske mreže, katera je podala, da je velikost samih elementov primerna in da bistveno ne vpliva na izračun aerodinamične sile, ima pa vpliv na izračun lokalnega tokovnega polja. Tako je bila izbrana mreža z velikostjo elementov v okoliškem zraku 150 , na cesti 57 , karoseriji, vozniku, kolesih, bokih in oblikovanem dnu 25 , na sprednjem in zadnjem krilu 15 ter na varnostni kletki 7,5 . Pri tem smo uporabili v neposredni bližini dirkalnika manjšo velikost elementov v zraku, in sicer 75 , zaradi boljšega opisa tokovnega dogajanja v neposredni bližini. Za dober opis tokovne mejne plasti oziroma območja odcepitve pri tej hitrosti pa je bila narejena prizmatična mreža z oddaljenostjo prvega elementa od stene 1 . Takšna mreža rezultira v število elementov 6.261.940 ter število vozlišč 1.345.788 in je zaradi boljšega lokalnega opisa tokovnih razmer še kako pomembna pri aerodinamični analizi, sklepanju in snovanju izboljšav. 4 Rezultati in diskusija 4.1 Osnovni dizajn V tem delu so predstavljeni rezultati izvedenih simulacij za osnovni dizajn zadnjega krilca, in sicer pri višini 700 in vpadnim kotom glavnega krila 10°. Na sliki 3(a) je prikazano območje visoke hitrosti (17 ⁄"), ki ponazarja dobro obtekanje ter na sliki 3(b) območje recirkulacije (1 ⁄"). Iz tega lahko sklepamo, da imamo dobro obtekanje obeh zakrilc zadnjega krila, medtem ko pri glavnem krilu pride do obtekanja le na strani. V srednjem delu pa je zaradi motnje voznika in karoserije, natočni kot krila prevelik zaradi česar pride do odcepitve toka oziroma recirkulacije, kar negativno vpliva na tlačno polje (slika 4) in s tem na potisno silo krila. Iz slike 4 je prav tako tudi razvidna naloga oziroma razlog stranskih plošč ter Gurney zakrilca. Tako je glavna naloga stranskih plošč preprečitev vdora zraka v podtlačno območje (na spodnji strani) in s tem dvig tlaka. Večja ko je stranska plošča, in sicer na podtlačni strani, bolj učinkovito je krilo [3,5]. Gurney zakrilce pa povečuje tlak na zgornji strani krila zlasti na zadnjem zakrilcu zaradi zaustavitve toka, medtem ko se za njim ustvari recirkulacijska cona z nizkim tlakom, ki pomaga pri obtekanju zadnjega dela krila z velikim vpadnim kotom [3,5]. Zaradi nizkih hitrosti dirkalnika je smiselno imeti večje Gurney zakrilce, medtem ko je pri F1 to zakrilce neprimerno manjše, saj se pri tem ne povečuje samo potisna sila temveč tudi upor. Aerodinamična sila na zadnje krilo znaša tako 128,1 ), pri čemer je potisna sila −115,4 ) in sila upora 55,5 ). Razmerje potisne sile in upora je tako 2,1, koeficient vzgona −1,44 in upora 0,69. Kljub nizkim hitrostim, potisne sile na zadnja kolesa ne smemo zanemariti, saj predstavlja cca. 7 − 10 % mase vozila, zaradi česar je predlagano večdelno krilo primerno. 4.1.1 Vpliv višine in vpadnega kota Zaradi slabega obtekanja glavnega dela krila smo tako v nadaljevanju analizirali vpliv višine zadnjega krila, saj je želja zmanjšati vpliv karoserije in voznika. Tako je v preglednici 1 ✼✼ Kuhljevi dnevi 2015 podan vpliv višine na potisno silo ter silo upora. Kot je razvidno iz preglednice 1 sila narašča z višino, kar je še zlasti izrazito pri višini 760 , ko pride do ponovnega obtekanja krila. (a) (b) Slika 3: Območje visoke hitrosti (a) in območje recirkulacije (b) Slika 4: Porazdelitev tlaka na zadnjem krilu Preglednica 1: Vpliv višine na aerodinamične sile osnovnega krila ℎ* + *)+ - *)+ , 670 700 730 760 790 −107,2 52,3 −115,4 55,5 −126,3 59,4 −154,6 62,5 −162,2 63,3 V nadaljevanju smo pri višini krila 760 , analizirali še vpliv vpadnega kota s ciljem povečanja potisne sile. Pri višini 790 dosežemo maksimalno dovoljeno višino zaradi česar ne moremo večati vpadnega kota. Vpliv kota je podan v preglednici 2, iz katere lahko opazimo, da je maksimalni vpadni kot za doseganje maksimalne potisne sile 10°, pri njegovem povečanju pa pride seveda do porušitve toka in močnega upada potisne sile. ✼✽ Kuhljevi dnevi 2015 Preglednica 2: Vpliv vpadnega kota na aerodinamične sile osnovnega krila .* + *)+ - *)+ , 4.2 4° 7° 10° 13° 16° −149,5 48,9 −154,0 54,6 −154,6 62,5 −132,2 71,7 −132,1 81,9 Predlagan novi dizajn Zaradi omejenosti pri velikosti krila in zaradi želje po čim večji potisni sili lahko potisno silo povečujemo le z višanjem koeficienta vzgona oziroma z vpadnim kotom. Iz narejene analize vidimo, da vpadnega kota pri osnovnem dizajnu ne moremo večati, zato smo spremenili dizajn krila z dodanim predkrilcem, ki omogoča višje vpadne kote [3,5] ampak le z enim zakrilcem, saj bi bilo v primeru dveh, krilo preveliko (pravilnik). Pri novem dizajnu smo tudi upoštevali dejstvo, da je obtekanje na straneh krila nekoliko boljše, zaradi česar smo povečali vpadni kot in s tem dobili zakrivljeno krilo, ki je prikazan na sliki 5 skupaj z območjem visoke hitrosti, in sicer za višino krila 760 in pri večjem vpadnem kotu (23°). zakrilce Gurney zakrilce predkrilce stranska plošča glavno krilo Slika 5: Predlagano novo krilo in območje visoke hitrosti Zaradi predkrilca je lahko vpadni kot glavnega krila neprimerno večji, kar rezultira v primeru dveh zakrilc k neprimerno večji potisni sili (−204,1 )), ampak je zaradi samo enega zakrilca sila primerno manjša. Pri vpadnem kotu 23° je ta sila sedaj −162,1 ), kar je nekoliko več od osnovnega dizajna pri isti višini. Koeficient vzgona pa je sedaj zaradi višje sile ter nekoliko manjše efektivne površine višji, in sicer −2,12. Iz analize vpadnega kota (preglednica 3) za novi dizajn krila (pri maksimalni sili) je razvidno, da je krilo manj občutljivo na prekoračitev maksimalnega vpadnega kota, saj sila ne pade tako močno, kot v primeru ravnega krila, kar gre pripisati nalogi predkrilca in zakrivljenosti krila. Preglednica 3: Vpliv vpadnega kota na aerodinamične sile predlaganega krila .* + *)+ - *)+ , 16° 20° 23° 26° 30° −146,0 48,0 −154,7 54,3 −162,1 60,5 −154,2 65,6 −139,1 73,1 Tako smo uspeli nekoliko izboljšati osnovni dizajn zadnjega krila formule SAE za nizke hitrosti, ki doseže višji koeficient vzgona ter samo potisno silo in nima tako izrazite točke ✼✾ Kuhljevi dnevi 2015 porušitve. Zaradi nekoliko manjše površine in večjega naklonskega kota je možno pomakniti krilo še nekoliko nazaj in višje, kar še poveča potisno silo na zadnja kolesa, zaradi česar je smiselno uporabiti predlagan dizajn. 5 Zaključek V prispevku je obravnavana problematika določitve zadnjega krila formule SAE, kar predstavlja zanimivo in zahtevno delo, saj je hitrost dirkalnika relativno majhna. Tako je potrebno dizajnirati učinkovito zadnje krilo, s čim večjo potisno silo pri nizkih hitrostih, za odpravo prekrmarjenosti vozila, ne glede na upor. Pri tem so podane teoretične osnove in pristop k snovanju osnovnega dizajna, ki predstavlja trodelno krilo z dvema zakrilcema, in sicer z namenom doseganja čim večjega koeficienta vzgona. Osnovni profil krila je bil pri tem določen na osnovi enostavnega 2D potencialnega izračuna. Tako zasnovano krilo je bilo nato validirano z RDT oziroma 3D SST-RANS simulacijo celotnega dirkalnika. Edino takšen pristop omogoča natančnejšo validacijo krila oziroma tokovnih razmer, ter s tem podati vpliv posameznih elementov na učinkovitost zadnjega krila, kot je npr. vpliv voznika. Analiza računskega območja in računske mreže je pri tem podala smiselno velikost območja in mreže, saj je potrebno imeti robustno in hitro analizo posameznega dizajna. Validacija osnovnega krila je pokazala, da je krilo primerno vendar prenizko zaradi vpliva voznika in karoserije. Zaradi omejitve višine je optimalna pozicija na višini 760 , pri vpadnem kotu 10° pa je potisna sila osnovnega dizajna maksimalna (−154,6 )) oziroma znaša koeficient vzgona −1,93. Pri povečanju vpadnega kota pa pride do porušitve toka in drastičnega padca sile. Na osnovi narejenih analiz smo tako predlagali novo, zakrivljeno obliko zadnjega krila z dodanim predkrilcem ampak le enim zakrilcem. Predkrilce omogoča neprimerno večje vpadne kote, s katerimi bi za primer dveh zakrilc uspeli doseči maksimalno potisno silo −204,1 ), sedaj v primeru enega zakrilca pa −162,1 ), kar se odraža v koeficientu vzgona −2,12. Seveda je razlika med osnovnim in novim dizajnom večja pri višjih hitrostih, saj aerodinamične sile rastejo s kvadratom hitrosti. Tako je za nizke hitrosti smiselno oblikovati večdelno krilo s predkrilcem, saj je le tako možno doseči večje vpadne kote in s tem večjo potisno silo na kolesa. Za izboljšavo predlaganega krilca pa bi bilo potrebno v nadaljevanju izvesti optimizacijo samega profila krila oziroma relativno postavitev predkrilc in zakrilc. Literatura [1] K. Jensen, Aerodynamic undertray design for formula SAE, Thesis of Master of Science in Mechanical Engineering, Oregon State University, 2010. [2] J. Katz, Aerodynamics of Race Cars, Annu. Rev. Fluid Mech. 38, 27—63, 2006. [3] J. Katz, Race Car Aerodynamics: Designing for Speed, Bentley Publisher, USA, 1995. [4] W. Kieffer, S. Moujaes, N. Armbya, CFD study od section characteristics of Formula Mazda race car wings, mathematical and Computer Modeling 43, 1275—1287, 2006. [5] S. McBeath, Competition Car Aerodynamics, Haynes Publishing, UK, 2011. [6] V.V. Dharni, K.E. Shanjay, K.H. Sujith, N.A. Abhilash, R.D. Aswin, V.R. Sanal Kumar, Studies on Race Car Aerodynamics at Wing in Ground Effect, Int. J. of Mechanical, Aerospace, Industrial and Mechatronics Engin. 8(7), 1165—1170, 2014. [7] X.X. Hu, E. T.T. Wong, A Numerical Study On Rear-spoiler Of Passenger Vehicle, Intr. Scholarly and Scientific Research & Innovation 5(9), 514—519, 2011. ✽✵ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Vpliv izgub v labirintnih tesnilih na izkoristek visokotlačne Francisove turbine D. Jošt1*, A. Škerlavaj1*, M. Morgut2**, Nobile2 Effect of Losses in Labyrinth Seals on Efficiency of a High Head Francis Turbine Povzetek. V članku je predstavljena numerična analiza toka za model visokotlačne Francisove turbine in primerjava numeričnih rezultatov z meritvami. Preračune toka smo izvedli z dvema programskima paketoma, ANSYS CFX in OpenFOAM. Pri stacionarnih izračunih smo uporabili modela k-ɛ in SST, časovno odvisne preračune toka pa smo izvedli z modelom SAS SST v kombinaciji z ZLES v sesalni cevi. S primerno zgostitvijo računskih mrež v predvodilniku, vodilniku in gonilniku in z upoštevanjem izgub v labirintnih tesnilih smo dobili zadovoljivo ujemanje vrednosti navora, padca in izkoristka turbine z izmerjenimi vrednostmi. The paper presents numerical simulations of flow in a model of a high head Francis turbine and comparison of results to the measurements. Numerical simulations were done by two CFD (Computational Fluid Dynamics) codes, ANSYS CFX and OpenFOAM. Steady-state simulations were performed by standard k-ɛ and SST models, while for transient simulations the SAS SST model in combination with ZLES in the draft tube was used. With proper grid refinement in distributor and runner and taking into account losses in labyrinth seals quite accurate prediction of torque on the shaft, head and efficiency was obtained . Abstract. 1 Uvod Numerična simulacija toka dokaj dobro napove izkoristek Francisovih turbin, razlika v optimalni točki obratovanja je po naših izkušnjah običajno manjša od enega odstotka [1]. Še bolj pomembno pa je, da je napoved vpliva sprememb oblike gonilnih lopatic ali drugih delov turbine na izkoristek pravilna. Zato je numerična analiza toka nepogrešljivo orodje v procesu oblikovanja hidravličnih strojev. Večje odstopanje numeričnih rezultatov od izmerjenih je v obratovalnih točkah daleč od optimalnih pogojev obratovanja. Poleg tega je 1 2 Turboinštitut, Rovšnikova 7, 1210 Ljubljana; *začasno na Univerzi v Trstu Univerza v Trstu, Piazzale Europa 1, 34128 Trst, Italija; **začasno na Turboinštitutu ✽✶ Kuhljevi dnevi 2015 napovedani položaj optimalne točke obratovanja pogosto pomaknjen k nekoliko manjšim vrednostim pretoka. V tem članku so prikazani rezultati za model visokotlačne turbine (Tokke model), ki je bil izmerjen na univerzi LTU (Luleå University of Technology Sweden). Ta univerza je skupaj z NTNU (Norwegian University of Science and Technology) napovedala tri delavnice o numerični simulaciji toka v Francisovih turbinah z naslovom Francis 99. Prva delavnica je bila decembra 2014, njen namen pa je bil določiti najboljši pristop pri numerični obravnavi toka v stabilnih obratovalnih pogojih. Temi naslednjih dveh delavnic bosta numerična simulacija toka v prehodnih režimih obratovanja in interakcija med tokom tekočine ter napetostmi in deformacijami. Za vse tri delavnice je referenčni primer model turbine Tokke [2]. Turboinštitut in Univerza v Trstu želita v okviru evropskega projekta ACCUSIM (Accurate Simulations in Hydro-Machinery and Marine Propellers) razviti metode za zanesljivo napoved in optimizacijo karakteristik vodnih turbin in ladijskih propelerjev. V okviru projekta ACCUSIM smo sodelovali na prvi delavnici Francis 99. Podrobni rezultati analize toka, dobljeni s komercialnim paketom ANSYS CFX in prosto dostopnim paketom OpenFOAM, in njihova primerjava z meritvami so prikazani v [3]. V tem članku se bomo omejili predvsem na vpliv izgub v labirintnih tesnilih na navor na gred in na izkoristek turbine. 2 Tokke model in eksperimentalni rezultati Prototip obravnavane turbine obratuje na hidroelektrarni Tokke na Norveškem pri padcu 377 m. Premer gonilnika je 1,779 m. Nazivna moč turbine je 110 MW. Model je po obliki enak prototipu, le da je ustrezno pomanjšan, njegov premer je 349 mm. Model turbine Tokke je prikazan skupaj z računsko mrežo na sliki 1. V spirali je 14 predvodilnih lopatic. Kaskado vodilnika sestavlja 28 negativno ukrivljenih vodilnih lopatic. Gonilnik sestoji iz 15-ih gonilnih lopatic in 15-ih krajših lopatic (splitter blades), ki dodatno razdelijo tok. Za gonilnikom je kolenasta sesalna cev. Med rotirajočim gonilnikom in mirujočim ohišjem sta labirintni tesnili, zgornje ob pestu in spodnje ob vencu. V obeh labirintnih tesnilih na rotirajočih stenah dobimo navor v obratni smeri vrtenja gonilnika. Ta navor predstavlja izgubo navora oziroma moči turbine. V spodnjem labirintnem tesnilu ob vencu imamo še volumetrične izgube. Del vode namreč teče po labirintnem tesnilu mimo gonilnika in se vrne v turbino na vstopu v sesalno cev. Tabela 1: Vrednosti izmerjenih količin Merjena količina Neto padec Pretok Hitrost vrtenja gonilnika Navor Izkoristek turbine Oznaka Enota H Q n M (m) (m3/s) (s-1) (Nm) (%)  Obratovalne točke Nezanesljivost meritve OT1 OT2 OT3 12,29 11,91 11,84 0,050 % 0,071 0,203 0,221 0,100 % 6,77 5,59 6,16 0,050 % 144,06 628,41 605,62 0,035 % 71,69 92,61 90,66 0,160 % ✽✷ Kuhljevi dnevi 2015 Karakteristike turbine so bile izmerjene v treh obratovalnih točkah: pri delnem pretoku (OT1), v optimalni točki obratovanja (OT2) in pri polni obremenitvi (OT3). Vrednosti izmerjenih količin skupaj z nezanesljivostjo meritev so prikazane v tabeli 1. Izmerjene vrednosti pretoka in hitrost vrtenja gonilnika smo uporabili kot vhodne podatke za numerični preračun toka, izmerjene vrednosti navora, padca in izkoristka turbine pa za primerjavo z numeričnimi rezultati. 3 Numerično modeliranje 3.1 Turbulentni modeli in diskretizacijske sheme Tok v turbini smo računali z dvema programskima paketoma: s komercialnim ANSYS-CFX 15.0 in z odprtokodnim OpenFOAM-2.1.1. Pri stacionarnih izračunih smo uporabili dva najbolj razširjena dvoenačbena turbulentna modela, standardni model k-ε in model SST, ki upošteva transport strižnih napetosti. Slednji se je uveljavil kot standardni model za stacionarne preračune toka v turbinskih strojih. Glede na pozitivne izkušnje pri preračunih toka v aksialnih turbinah [4] smo časovno odvisne preračune toka izvedli z modelom SAS SST v kombinaciji z območno LES metodo (zonal LES ali ZLES [5,6]) tako, da smo slednjo uporabili le v sesalni cevi. V raziskavi preračuna toka v Kaplanovi turbini [4] smo ugotovili, da Kato-Launderjev (KL) popravek produkcijskega člena v enačbi za turbulentno kinetično energijo in model CC (Curvature correction) izboljšata točnost numeričnih rezultatov. KL zmanjša nerealno velike izgube v zastojnih točkah, CC pa deluje predvsem v sesalni cevi. V izračune z ANSYS CFX smo glede na predhodne izkušnje vključili CC in KL. Pri stacionarnih izračunih smo za diskretizacijo advektivnega člena v primeru CFX uporabili shemo HRS (high resolution scheme), v primeru OpenFOAM pa LUS (linear upwind scheme). V kombinaciji z ZLES smo uporabili omejeno centralno diferenčno shemo. 3.2 Računske mreže Osnovno računsko mrežo (angl.: basic grid; BG) so pripravili organizatorji. To mrežo smo za izračune s programskim paketom OpenFOAM v vstopnem delu sesalne cevi nekoliko spremenili zaradi neskladja z zahtevami tega programa. Spremenjeno mrežo smo označili z BG2. Osnovna mreža je sestavljena iz treh delov: enotne mreže v distributorju (spirala, predvodilnik, vodilnik), mreže v gonilniku in mreže v sesalni cevi. Žal se je pokazalo, da osnovna mreža ni zgoščena ob predvodilnih, vodilnih in gonilnih lopaticah. Zato smo naredili novo mrežo (NG) z le nekoliko večjim številom vozlišč oziroma elementov, a s primerno zgostitvijo ob lopaticah. Število vozlišč v vseh treh mrežah je prikazano v tabeli 2. Pri novi mreži (slika 1) smo na koncu sesalne cevi dodali podaljšek z namenom, da izstopni robni pogoj odmaknemo od področja zanimanja. S programskim paketom OpenFOAM so bili narejeni samo stacionarni izračuni na osnovni mreži BG2. Računska mreža v labirintnih tesnilih mora biti primerno gosta, da lahko popišemo mejno plast v izredno tesnih delih, kjer je razdalja med mirujočo in rotirajočo steno manjša od 0,2 mm. Skupni izračun cele turbine z labirintnima tesniloma je zato časovno preveč zahteven in možen le na preredkih mrežah. Zato smo tok v labirintnih tesnilih računali posebej. Za računsko domeno smo vzeli 8-stopinjski periodični izsek. Osnovni strukturirani mreži za spodnje in zgornje labirintno tesnilo sta vsebovali 9 oziroma 10 milijonov vozlišč. ✽✸ Kuhljevi dnevi 2015 Tok v spodnjem labirintnem tesnilu smo izračunali tudi na gostejši mreži s 63,6 milijoni vozlišč, a je bil učinek dodatne gostitve mreže zanemarljiv. b) a) Slika 1: Model turbine Tokke, a) nova računska mreža z dodanim podaljškom sesalne cevi, b) detajl mreže c) gonilnik z labirintnimi tesnili, ki se računajo ločeno. c) Tabela 2. Število vozlišč v računskih mrežah BG Spirala Predvodilnik Distributor Vodilnik Gonilnik Sesalna cev Podaljšek sesalne cevi Celotna mreža 3.607.016 BG2 3.607.016 5.850.470 3.639.241 5.850.470 4.186.580 13.096.727 13.644.066 ✽✹ NG 1.461.359 3.318.588 887.852 3.818.400 4.533.681 574.685 14.594.565 Kuhljevi dnevi 2015 3.3 Robni pogoji Na vstopu v turbino smo predpisali izmerjene vrednosti pretoka, na izstopu iz turbine pa povprečno vrednost statičnega tlaka. Pri stacionarnih izračunih smo med vodilnikom in gonilnikom in med gonilnikom in sesalno cevjo predpisali pogoj zamrznjenega gonilnika (frozen rotor). Pri tem pogoju ostaja položaj gonilnih lopatic glede na mirujoče dele ves čas izračuna enak. Pri časovno odvisnih izračunih se na vsakem časovnem koraku gonilne lopatice zavrtijo za ustrezen kot. Na vstopu in izstopu spodnjega in na vstopu zgornjega labirintnega tesnila smo predpisali pogoj odprtja (opening condition) z vrednostmi statičnega tlaka, ki smo jih dobili s predhodnim stacionarnim preračunom toka v turbini. Pri obeh labirintnih tesnilih smo na stranskih ploskvah predpisali periodične robne pogoje. 4 Izračun toka v labirintnih tesnilih Rezultati preračuna toka v labirintnih tesnilih so volumetrične izgube skozi spodnje labirintno tesnilo in izguba navora na rotirajočih stenah obeh labirintnih tesnil (tabela 3). Volumetrične izgube so približno enake v vseh treh obratovalnih točkah, vendar pa so zaradi manjšega pretoka skozi turbino bolj pomembne pri delnem pretoku (OT1). Izguba navora je predvsem zaradi najvišje vrtilne hitrosti največja v obratovalni točki OT1. Glede na celotni navor izgube v labirintnih tesnilih v OT1 predstavljajo 10-odstotno, v OT2 in OT3 pa okoli 2-odstotno zmanjšanje moči turbine. Vpliv volumetričnih izgub v OT1 je prikazan na sliki 2. Zaradi za 0,6 % manjšega pretoka skozi gonilnik sta se zmanjšala navor na gred in padec, pa tudi izkoristek turbine. Ker volumetrične izgube v obratovalnih točkah OT2 in OT3 predstavljajo samo 0,2 % celotnega pretoka, je njihov vpliv na navor in izkoristek turbine manjši, zato v teh dveh točkah izračuna s ponorom in izvorom tekočine nismo izvedli. Tabela 3: Volumetrične izgube v spodnjem labirintnem tesnilu in izguba navora na rotirajočih stenah obeh labirintnih tesnil. Obrat. točka OT1 OT2 OT3 Hitrost vrtenja gonilnika (s-1) 6,77 5,59 6,16 Volumetrične Izguba navora na Izguba navora na izgube v spodnjem rotirajoči steni rotirajoči steni lab. tesnilu spodnjega lab. tesnila zgornjega lab. tesnila (l/s) (Nm) (Nm) 0,435 8,86 7,335 0,426 6,10 5,355 0,470 7,40 6,300 5 Izračun izkoristka turbine Izkoristek turbine izračunamo iz vrednosti pretoka, padca in navora po formuli =(Mω)/(ρgHQ). Če je pretok podan, padec in navor pa odstopata od izmerjenih rezultatov za približno enak odstotek, lahko dobimo zelo dobro ujemanje izkoristka turbine, čeprav so rezultati numerične simulacije napačni. Ujemanje rezultatov numerične simulacije z meritvami je mogoče oceniti le, če poleg izkoristka prikažemo tudi padec in navor. ✽✺ Kuhljevi dnevi 2015 Potek izračuna izkoristka turbine z upoštevanjem izgub v labirintnih tesnilih prikazuje slika 3. Ker so volumetrične izgube relativno majhne, jih lahko (razen morda pri obratovalnih točkah z majhnim pretokom) zanemarimo. V tem primeru izkoristek turbine izračunamo tako, da od navora na gredi turbine odštejemo izgube navora na stenah labirintnih tesnil. Če želimo upoštevati tudi volumetrične izgube v spodnjem labirintnem tesnilu, ponovimo izračun toka v turbini (brez labirintov), pri čemer namesto volumetričnih izgub uporabimo ponor in izvor pred oz. za gonilnikom. Slika 2: Vpliv volumetričnih izgub pri delnem pretoku (OT1) na (a) padec, (b) navor na gred, (c) izkoristek turbine. 1- brez volumetričnih izgub, 2- z volumetričnimi izgubami Slika 3: Potek izračuna z upoštevanjem izgub navora na stenah obeh labirintnih tesnil in volumetričnih izgub v spodnjem labirintu. Na sliki 4 so prikazane izračunane vrednosti padca, navora in izkoristka turbine, deljene z izmerjenimi vrednostmi v isti obratovalni točki. Vpliv volumetričnih izgub ni zajet. Navor in izkoristek turbine sta prikazana brez in z upoštevanjem izgube navora v labirintnih tesnilih. Pri delnem pretoku (OT1) in v optimalni točki obratovanja (OT2) je izračunani padec turbine večji od izmerjenega. Odstopanje je zlasti veliko pri izračunih na osnovni mreži BG, tudi 10 do 15 %, na novi mreži pa se odstopanje zmanjša, najbolj pri izračunih z ZLES. Pri polni ✽✻ Kuhljevi dnevi 2015 obremenitvi (OT3) je izračunani padec dobljen s CFX na BG večji od izmerjenega, pri ostalih izračunih pa je manjši. Slika 4: Primerjava izračunanih vrednosti padca, navora in izkoristka turbine pri delnem pretoku (OT1), v optimalni točki obratovanja (OT2) in pri polni obremenitvi (OT3). Na osnovni mreži BG so izračunane vrednosti navora kljub upoštevanju izgube navora v labirintnih tesnilih veliko prevelike, celo za več kot 20 %. Z zgostitvijo mrež ob lopaticah (NG) se rezultati izboljšajo, odstopanje je povsod manjše od 5 %. V optimalni točki obratovanja (OT2) in pri polni obremenitvi se izračunani izkoristek turbine povsod dobro ujema z meritvami, na novi mreži je odstopanje pri vseh izračunih v OT2 ✽✼ Kuhljevi dnevi 2015 manjše od 0,46 %, v OT3 pa manjše od 0,7 %. Pri delni obremenitvi (OT1) je odstopanje izračunanega izkoristka od meritev večje, na osnovni mreži do 7 %, na novi mreži pa do 5 %. Najboljše ujemanje smo dobili na novi mreži z modelom k-ε, odstopanje od meritev je bilo 0,27 %, a le zato, ker pri tem izračunu navor in padec oba približno enako, za 4,6 %, odstopata od izmerjenih vrednosti. 6 Zaključki Tok v visokotlačni Francisovi turbine smo analizirali z dvema programskima paketoma, ANSYS CFX in OpenFOAM, in s tremi turbulentnimi modeli. Rezultate lahko strnemo v naslednje zaključke: - Primerna zgostitev računskih mrež ob stenah je bistvena za pravilno napoved navora na gred turbine, padca in izkoristka. S preredko mrežo smo pri danem pretoku dobili prevelike vrednosti navora in padca. - Za pravilno napoved navora na gred turbine je potrebno upoštevati izgube navora v labirintnih tesnilih. Vpliv volumetričnih izgub je bistveno manjši in ga pri večjih pretokih lahko zanemarimo. - Stacionarne izračune smo izvedli z obema programskima paketoma in rezultati se ne razlikujejo bistveno. Vpliv premalo zgoščene mreže ob stenah je pri OpenFOAM paketu manjši. Zahvala Raziskovalno delo je delno financirano s strani Evropske Unije, razpis FP7-PEOPLE-2013IAPP, pogodba 612279, projekt ACCUSIM. Zahvaljujemo se tudi Javni agenciji za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije za sofinanciranje raziskav po pogodbah P2-0196 in 1000-09-140263. Literatura [1] [2] [3] [4] [5] [6] D. Jošt, A. Lipej, P. Mežnar, Numerical prediction of efficiency, cavitation and unsteady phenomena in water Turbines, 9th Biennial ASME Conf. on Eng. Sys. Design and Analysis, ESDA08, Haifa, Israel, 2008. T. Chirag, M. J. Cervantes, B. K. Gandhi, O. G. Dahlhaug, Experimental and numerical studies for a high head Francis turbine at several operating points, J. Fluids Eng. 135 111102, 2013. D. Jošt, A. Škerlavaj, M. Morgut, P. Mežnar, E. Nobile, Numerical simulation of flow in a high head Francis turbine with prediction of efficiency, rotor stator interaction and vortex structures in the draft tube, Workshop Francis 99, Trondheim, Norway, 2014. D. Jošt, A. Škerlavaj, A. Lipej, Improvement of efficiency prediction for a Kaplan turbine with advanced turbulence models, J. Mech. Eng. 60(2) pp 124–34, 2014. D. Adamian, A.Travin, An efficient generator of synthetic turbulence at RANS–LES interface in embedded LES of wall-bounded and free shear flows, Computational Fluid Dynamics 2010 ed. A Kuzmin (Berlin: Springer) 739–44, 2011. Y. Egorov, F. Menter, Development and application of SST-SAS turbulence model in the DESIDER project, Advances in Hybrid RANS-LES Modelling ed. S-H Peng and W Haase (Heidelberg: Springer) pp 261–70, 2008. ✽✽ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Numerično napovedovanje funkcionalnih lastnosti pečniškega prostora U. Kokolj1, L. Škerget2 in J. Ravnik2 Numerical model for prediction of oven functional properties Povzetek. Cilj vseh proizvajalcev in uporabnikov pečic je imeti, kar se da enakomerno zapečenost bremena, ki pa je v zadnjih časih zaradi vse krajših časov razvoja izdelkov težko dosegljiva. V prispevku je predstavljen model numeričnega napovedovanja funkcionalnih lastnosti pečniškega prostora, ki bo v predrazvojni in razvojni fazi izdelka pripomogel k boljšemu razumevanju prenosnih pojavov v pečniškem prostoru. Abstract. Target of all producers and oven users is to have equal heat distribution in the oven cavity. However recently it has been difficult to guarantee this due to shorter product development times. This paper presents a numerical model for prediction of functional properties of the oven. Numerical model will help engineers in predevelopment and development stage of the product to contribute a better understanding of transport phenomena in the oven cavity. 1 Uvod Dogajanje na področju kuhalne tehnike je zaradi zahtev trga po vedno novih tehnologijah in sledenju svetovnim oblikovalskim trendom zelo dinamično. Pojavljajo se zahteve po vedno krajših časih od ideje izdelka do vpeljave na trg, kar posledično pomeni zelo kratke predrazvojne in razvojne čase. Kratki razvojni časi v večini primerov pomenijo tudi krajši čas za preverjanje funkcionalnih lastnosti izdelka. Posledica kratkega časa predrazvoja in razvoja, je uporaba različnih orodij, ki pripomorejo k napovedovanju rezultatov in doseganju enakomernosti pečenja. Enakomernost pečenja se med posameznimi proizvajalci preverja po standardu EN 60350-1 - Household electric cooking appliances Part 1: Ranges, ovens, steam ovens and grills - Methods for measuring performance [15]. Napovedovanje funkcionalnih lastnosti s pomočjo numeričnih izračunov v času koncipiranja in predrazvoja izdelka, bo v naslednjih letih eno ključnih orodij pri skrajševanju razvojnih 1 2 Gorenje, d.d., Partizanska 12, 3320 Velenje Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo ✽✾ Kuhljevi dnevi 2015 časov. Razumevanje prenosnih pojavov v pečicah za domačo rabo s pomočjo numeričnih izračunov so raziskovali [2-8]. Raziskovalci [4,5,6,7] so svoje raziskave usmerili v proces naravne konvekcije. Ugotovili so, da je sevanje glavni mehanizem prenosa toplote pri konvencionalnih načinih pečenja. Z mehanizmom prisilne konvekcije so se ukvarjali [2,3,8,9]. Rek in ostali [2] v svojem delu pri izvedbi numerične simulacije pečniškega prostora niso upoštevali ventilatorja pečice in grelnega telesa, zaradi česar niso mogli natančno predpisati robnih pogojev na odprtinah pokrova ventilatorja. Ugotovili so, da emisivnost bremena nima večjega vpliva na rezultate numeričnih izračunov, kar je posledica konstantne nizke temperature na vstopu v pečniški prostor. Mistry in ostali [7] so razvili 3D časovno odvisen numerični model za simuliranje naravne konvekcije dveh različnih sistemov pečenja. S pomočjo časovno odvisne simulacije so uspeli simulirati vklop in izklop grel. Z numeričnimi rezultati so se v primeru konvekcijskega sistema delovanja pečice približali eksperimentalnim na 4 %, pri infra delovanju zgornjih grel pa na 10%. Robni pogoj grelcev so simulirali kot volumski izvor toplote. Ugotovili so, da emisivnost grela veliko bolj vpliva na temperaturno polje v pečniškem prostoru kot pa emisivnost sten pečniškega prostora. Verboven in ostali [8] so pri svojih raziskavah numeričnega modela prisilne konvekcije v pečniškem prostoru uporabljali k-ɛ turbulentni model. Rezultati povprečne temperature v pečici so se pri nastavitvi 200°C med numeriko in eksperimentom razlikovali za 4,6°C. Raziskovalci, ki so se ukvarjali s peko kruha, so v večini uporabljali konvencionalen sistem peke z dodajanjem pare [4,6,10]. Rezultate peke kruha so ocenili s stopnjo porjavelosti. Pri izračunih so uporabili tri različne modele sevanja, discrete transfer radiation model (DTRM), surface to surface (S2S) in discrete ordiantes (DO). Vsi našteti modeli sevanja so podali podobne rezultate. Rezultate so validirali z eksperimentalnimi meritvami temperature na različnih mestih. Da je doseganje stopnje porjavelosti pomemben značaj posamezne naprave za pečenje, sta opisala Purlis in Salvadori [12]. Pri raziskovanju sta uporabila računalniško določanje porjavelosti bremena s pomočjo CIE L*a*b barvnega prostora. Dokazala sta, da sprememba v porjavelosti kruha linearno vpliva na njegovo težo. Zajemanje posnetkov se je izvajalo pri naravni svetlobi, kar lahko povzroči večja odstopanja pri uporabi in validaciji rezultatov. Purlis [13] je ugotovil, da se z razvojem porjavelosti sočasno izvaja proces prenosa mase in toplote, ki v večini primerov delujeta v neidealnih okoliščinah pri neidealnih pogojih. Ugotovil je tudi, da je proces zelo težko nadzorovati in da je mehanizem kemijskih reakcij, ki potekajo pri procesu porjavenja, še vedno slabo raziskan. 2 Eksperimentalni preizkus Funkcionalne lastnosti pečniških prostorov se preizkušajo po standardu EN 60350-1 [15] Porazdelitev toplote v pečniškem prostoru se po standardu ocenjuje s preizkusom pečenja brizganega peciva in malih kolačkov. Po preizkusu se bremenu določi stopnja porjavelosti Ry. Funkcionalne meritve v obravnavanem primeru so se izvajale z brizganim pecivom z nastavitvijo sistema vroči zrak, kjer delujeta okroglo grelo in ventilator ter nastavitvijo temperature v središču pečice 175°C. Poleg postopka izvedbe meritve je v standardu natančno opisan postopek priprave brizganega peciva. Sestavine za pripravo so podane v masnih deležih, in sicer 49,9 % bele pšenične moke, 19,9 % margarine, 19,9 % sladkorja, 10 % jajc in 0,3 % soli. Eno uro po izvedbi preizkusa se izvedejo meritve porjavelosti bremena. Rezultati enega od eksperimentalnih preizkusov so prikazani na sliki 1. ✾✵ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 1: Na levi sliki je predstavljen eksperimentalni preizkus meritve porjavelosti bremena Ry (%), na desni sliki je predstavljena komora v kateri so se meritve izvedle. Pri izvedbi funkcionalnih preizkusov se spreminja čas preizkusa na nastavljeni temperaturi, dokler ni dosežena zahtevana povprečna stopnja porjavelosti na vrhu bremena Ry (43±5) %, ki jo določa standard. Meritev stopnje porjavelosti bremena se izvede v 63 (matrika 7x9) točkah bremena, s pomočjo metode določevanja barvnih kontrastov. Merilne točke so od roba bremena oddaljene 35mm, razdalja med točkami pa znaša 55mm. Metoda določevanja barvnih kontrastov bremena (RBMS - Reference Browning Measurement System) [1], je bila razvita za potrebe standarda EN 60350-1, za ocenjevanje različnih vrst jedi pripravljenih v pečicah. Metoda temelji na optičnem merilnem sistemu, ki s pomočjo programske opreme posname površino bremena različnih oblik, kateremu dodeli stopnjo porjavelosti. Merilni sistem je sestavljen iz komore, v kateri so nameščene svetilke, ki omogočajo konstantne pogoje pri izvajanju meritev. Merilna komora je opremljena s CCD (Charge Coupled Device) kamero s pomočjo katere se obdela breme na merilni površini. Naprava za določevanje barvnih kontrastov je izdelana v skladu s standardom ISO 7724 in CIE 15.2. Merilni sistem temelji na CIE L*a*b barvnem prostoru. Meritve stopnje porjavelosti se izvajajo pri temperaturi 20-25°C. Funkcionalni preizkusi na tehnološkem demonstratorju so se izvedli v 10 ponovitvah, kjer je bila dosežena povprečna stopnja porjavelosti na zgornji strani bremena Ry 43,26 %. Čas za izvedbo funkcionalnega preizkusa je znašal 780s, pri nastavitvi temperature v središču pečice 175°C. Nastavljena temperatura in čas priprave preizkusa sta se v nadaljevanju uporabila pri izvedbi vseh ostalih eksperimentalnih in numeričnih preizkusov kot robna pogoja. 3 Numerični model Numerični izračuni so se v obravnavanem primeru izvedli s pomočjo programskega paketa ANSYS CFX [16]. Območje reševanja numeričnega problema se je omejilo na pečniški prostor, ki se je obravnaval kot zaprt sistem z obodom pečniškega prostora, izolacijo pečniškega prostora, steklom vrat, pokrovom ventilatorja, ventilatorjem, okroglim grelom, pladnjem in bremenom, slika 2. ✾✶ Kuhljevi dnevi 2015 Pokrov ventilatorja Pečniški prostor Obod pečice Ventilator Izolacija Grelo Steklo Breme Pladenj Slika 2: Obravnavan numeričen model. Ventilator ima 6 lopatic in meri v premer 150mm. Pri temperaturi v pečniškem prostoru 20°C se ventilator vrti s hitrostjo 1350 min-1, pri temperaturi 160°C pa 1850 min-1. Podatki so bili pridobljeni eksperimentalno z meritvijo števila vrtljajev ventilatorja. Grelo je v numeričnem izračunu predpostavljeno kot volumski izvor energije. Moč grelnega telesa je 2100W. Za potrebe numeričnih izračunov so se posnele različne kombinacije obremenitve pečniškega prostora. Na sliki 3 so prikazani algoritmi delovanja grela pri prazni pečici, pečici s pladnjem in pečici s pladnjem in bremenom. Algoritmi delovanja grela so se v nadaljevanju uporabil kot robni pogoj delovanja okroglega grela pri numeričnih izračunih. Numerični izračuni so se izvajali 780s s časovnimi koraki 10s. 2500 Moč (W) 2000 1500 1000 Prazna pečica S pladnjem Z bremenom 500 0 0 100 200 300 400 Čas (s) 500 600 700 800 Slika 3: Delovanje okroglega grela za primere prazne pečice, s pladnjem in z bremenom. ✾✷ Kuhljevi dnevi 2015 Zrak pečniškega prostora je bil obravnavan kot idealni plin (Air ideal gas). Tok zraka znotraj domene je predpostavljen kot turbulenten. Za izračune industrijskih primerov turbulentnih tokov se običajno uporabljajo turbulentni modeli na osnovi RANS (Reynolds averaged Navier-Stokes equations). Verboven in ostali [8,9] so ugotovili, da standardna in RNG oblika k-ɛ turbulentnega modela podata primerljive rezultate pri izvajanju numeričnih raziskav v električni pečici s prisilno konvekcijo. Pri validaciji numeričnega modela so ugotovili, da ima ključni pomen zmogljivost ventilatorja, oblika ventilatorja in geometrija pečniškega prostora. Napaka hitrostnega polja numeričnega modela je povprečju znašala 22 %. V obravnavanem numeričnem izračun se je uporabil SST turbulenten model, saj je glede na zahtevno geometrijo numeričnega problema najbolj primeren. Zaradi visokih temperatur na grelu, ki med delovanjem doseže tudi 700°C ima sevanje pomembno vlogo pri numeričnem izračunu. Optična debelina aL je dober indikator kateri model sevanja izbrati. Pri dolžinski skali L=0,45 m je optična debelina <<1. Kar pomeni, da P1 in Rosseland modela nista primerna za optično tanke probleme [16]. Za izvedbo numeričnega izračuna se je uporabil Monte Carlo sevalni model, saj omogoča simuliranje transparentnega materiala, kot je v našem primeru steklo vrat. Notranji elementi pečniškega prostora, obod, pokrov ventilatorja in pladenj so emajlirani s predpisano emisivnostjo 0,9 [2,5,7]. Grelo in ventilator sta iz jekla z emisivnostjo 0,85 [5,7]. S pomočjo primerjave rezultatov numeričnih simulacij in eksperimentalnih meritev praznega pečniškega prostora, sta se določila Robinova robna pogoja na izolaciji 5 W/m2K zaradi naravne konvekcije, na steklu vrat pa 13 W/m2K zaradi rahle prisilne konvekcije. V numeričnem izračunu se je steklo predpostavilo kot transparenten medij z absorpcijskim koeficientom α=89,15 m-1 ter lomnim količnikom 1,51. Zaradi omejitve računalniške moči se v numeričnem izračunu ni upoštevala volumska ekspanzija bremena, upoštevala se je začetna višina bremena 3,6 mm. Ker pri procesu obdelave hrane poteka izparevanje vode, so se izvedli eksperimentalni preizkusi meritve mase bremena med toplotno obdelavo, rezultati so predstavljeni v sliki 4. V numeričnem izračunu se je izparevanje upoštevalo kot površinski ponor energije na bremenu, ki je bil izračunan glede na izparilno toploto vode 2260 kJ/kg, čas izparevanja ter količino izparjene vode. Izparevanje se je nadomestilo s ponorom 193 W. Toplotne lastnosti bremena so se izračunale glede na deleže dodanih sestavin. Toplotna prevodnost bremena znaša 0,195 W/mK, specifična toplota pa 1925 J/kgK. Gostota bremena se je izmerila eksperimentalno in znaša 1,185 kg/m3. Sprememba mase (%) 100 98 96 94 92 90 Masa bremena 88 86 84 0 100 200 300 400 Čas (s) 500 600 700 Slika 4: Sprememba mase zaradi izparevanja vode v bremenu. ✾✸ 800 Kuhljevi dnevi 2015 4 Rezultati Za potrebe validacije numeričnega modela so se na podlagi posnetih algoritmov eksperimentalnih meritev izvedli numerični izračuni praznega pečniškega prostora in pečniškega prostora s pladnjem. Temperatura v središču pečniškega prostora pri numeričnem izračunu prazne pečice v povprečju odstopa za 2,1 % oziroma za 2,6 °C od eksperimentalne meritve, v primeru preizkusa s pladnjem pa 2,6 % oziroma 3 °C. 200 180 Temperatura (°C) 160 140 120 100 80 Eksperiment center Eksperiment breme Center s ponorom Breme s ponorom 60 40 20 0 0 100 200 300 400 Čas (s) 500 600 700 800 Slika 5: Temperaturni vpliv izparevanja vode iz bremena. Na podlagi različnih iteracij numeričnih izračunov so se potrdili robni pogoji, ki so se v nadaljevanju uporabili za izvedbo numeričnih izračunov z bremenom. Preizkusi numeričnih izračunov z bremenom so se najprej izvedli za primer brez upoštevanja izparevanja vode iz bremena, rezultati so predstavljeni na sliki 5. Ker je bilo odstopanje temperature v bremenu med eksperimentom in numeričnim izračunom 18,6 %, se je numeričnemu izračunu dodal model upoštevanja izparevanja vode iz bremena, pri čemer se je odstopanje zmanjšalo na 4,8 %. Z upoštevanjem izparevanja vode se je zmanjšalo tudi odstopanje v središčni temperaturi pečniškega prostora na 2,9 % oziroma 2,8°C, kar je prikazano v sliki 5. Poleg primerjave rezultatov temperatur v pečniškem prostoru in bremenu se je izvedla primerjava med eksperimentalnimi meritvami stopnje porjavelosti Ry in numeričnim izračunom temperaturnega polja po bremenu. Ker je cilj raziskave dokazati, da ima temperatura neposredni vpliv na stopnjo porjavelosti bremena, je bilo potrebno rezultate urediti in transformirati na skupno relativno lestvico. Rezultati eksperimentalnih meritev porazdelitve porjavelosti in numeričnega izračuna temperaturnega polja so predstavljeni na sliki 6. Da je stopnja porjavelosti odvisna od temperaturne porazdelitve in časa, je v svojih rezultatih predstavil [12]. ✾✹ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 6: Primerjava rezultatov eksperimentalnih meritev stopnje porjavelosti in temperaturnega polja numeričnega izračuna na skupni relativni lestvici. Na podlagi predstavljenih rezultatov na sliki 6, lahko sklepamo, da je ujemanje numeričnega izračuna z eksperimentalnim dobro. Na sliki 7 so predstavljeni rezultati standardnega odklona eksperimentalnih in numeričnih rezultatov. Iz primerjave rezultatov je možno razbrati, da prihaja do največjih razlik v območju desnega centralnega dela bremena. Slika 7: Primerjava rezultatov eksperimentalnih meritev stopnje porjavelosti in temperaturnega polja numeričnega izračuna na skupni relativni lestvici. 5 Zaključek V raziskavi je bilo ugotovljeno, da ima izparevanje vode velik vpliv na temperaturno polje in časovni potek temperature v bremenu in pečniškem prostoru. Numeričen model napovedovanja funkcionalnih rezultatov pečniških prostorov bo v predrazvojni in razvojni fazi izdelkov omogočal napovedovanje in izboljševanje funkcionalnih parametrov pečniškega prostora. Postopek bo predvsem namenjen določevanju oblike pečniškega prostora, nivojev pečenja, določevanju oblik grelnih teles in odprtin na pokrovu ventilatorja pečniškega prostora. Model se bo v nadaljevanju uporabljal tudi za potrebe raziskav in izboljšav na področju porabe energije pečniških prostorov. ✾✺ Kuhljevi dnevi 2015 Literatura [1] SLG Pruf und Zertifizierungs GmbH: Reference browning measurement system for determination of browning values of small cakes. Hartmannsdorf, Germany, 2009. [2] Z. Rek, M. Rudolf, I. Žun. Application of CFD Simulation in the Development of a New Generation Heating Oven. Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering, vol.58, 2012, str. 134-144 [3] P. Verboven, A. K. Datta, N. T. Anh, N. Scheerlick, B. M. Nicolai. Computation of airflow effects on heat and mass transfer in a microwave oven. Journal of food engineering, vol. 59, 2003, str. 181-190 [4] J. P. Ploteau, V. Nicolas, P. Glouannec. Numerical and experimental characterization of a batch bread baking oven. Applied Thermal Engineering, vol. 48, 2012, str. 289-295. [5] H. Mistry, S. Ganapathi-subbu, S. Dey, P. Bishnoi, J. L. Castillo. A methodology to model flow-thermals inside a domestic gas oven. Applied Thermal Engineering, vol.31, 2011, str. 103-111. [6] N. Chhanwal, A. Anishaparvin, D. Indrani, K. S. M. S. Raghavarao, C. Anandharamakrishnan. Computional fluid dynamics (CFD) modeling of an electrical heating oven for bread baking process. Journal of Food engineering, vol. 100, 2010, str. 452-460. [7] H. Mistry, S. Ganapathi-subbu, S. Dey, P. Bishnoi, J. L. Castillo. Modeling of transient natural convection heat transfer in electric ovens. Applied Thermal Engineering, vol. 26, 2006, str. 2448-2456. [8] P. Verboven, N. Scheerlinck, J De Baerdemaeker, B M. Nicolai. Computional fluid dynamics modelling and validation of the temperature distribution in a forced convection oven. Journal of Food Engineering, vol. 43, 2000, str. 61-73. [9] P. Verboven, N. Scheerlinck, J De Baerdemaeker, B M. Nicolai. Computional fluid dynamics modelling and validation of the isothermal airflow in a forced convection oven. Journal of Food Engineering, vol. 43, 2000, str. 41-53. [10] N. Chhanwal, D. Indrani, K. S. M. S. Raghavarao, C. Anandharamakrishnan. Computational fluid dynamics modeling of bread baking process. Food research International. vol. 44, 2011, str. 978-983. [11] S. Y. Wong, W. Zhou, J. Hua. CFD modeling of an industrial continuous bread-baking process involving U-movement. Journal of Food Engineering, vol. 78, 2007, str. 888896. [12] E. Purlis, V. O. Salvadori. Bread browning kinetics during baking. Journal of Food Engineering, vol. 80, 2007, str. 1107-1115. [13] E. Purlis. Browning development in bakery products - A review. Journal of Food Engineering, vol. 99, 2010, str. 239-249. [14] M. Boulet, B. Marcos, M. Dostie, C. Moresoli. CFD modeling of heat transfer and flow field in bakery pilot oven. Journal of Food Engineering, vol. 97, 2010, str. 393-402. [15] SIST EN 60350-1:2013 Household electric cooking appliances Part 1: Ranges, ovens, steam ovens and grills - Methods for measuring performance. [16] ANSYS 15, CFX solver theory, 2013 ✾✻ S LOVENSKO SRE ČANJE DRU ŠTVO ZA MEHANIKO K UHLJEVI DNEVI 2015 Naravna konvekcija nanotekočin v porozni snovi J. Kramer Stajnko1 R. Jecl1 in J. Ravnik2 Natural convection of nanofluids in porous media Povzetek. V prispevku so predstavljeni nekateri rezultati numeričnega preračuna konvektivnega toka v dvodimenzionalni porozni kotanji, ki je zasičena z nanotekočino. Uporabljen je enofazni matematični model za nanotekočine, podan v obliki ohranitvenih zakonov za maso, gibalno količino in energijo. Model je ustrezno povprečen za opis toka v porozni snovi in dopolnjen z vrednostmi gostote, specifične toplote, toplotne prevodnosti in viskoznosti, ki veljajo za posamezen tip nanotekočine. Sistem parcialnih diferencialnih enačb je rešen z uporabo kombinacije eno- in pod-območne integralske metode robnih elementov, ki rešuje hitrostno-vrtinčno formulacijo NavierStokesovih enačb. Prikazanih je nekaj rezultatov prehoda toplote skozi porozno snov za različne tipe in koncentracije nanotekočin z analizo pogojev izboljšanja prevodnih lastnosti vsled dodatka nanodelcev. Abstract. The paper presents some numerical results of convective flow in two-dimensional porous cavity which is fully saturated with nanofluid. A single phase mathematical model is used to describe the flow of nanofluid, given in terms of conservation equations for the mass, momentum, and energy. The model is suitable averaged to describe the fluid flow in porous media and upgraded with values of density, specific heat, heat conductivity and viscosity which vary depending on the type of nanofluid. The set of partial differential equations is solved with combination of single domain and sub domain boundary element method, which solves the velocity-vorticity formulation of the Navier-Stokes equations. Some results for different types and concentration values of nanofluids are presented with analysis of heat transfer enhancement attributed to nanofluids. 1 Uvod Uporaba nanodelcev v tekočinah je inovativen pristop, s katerim se lahko izboljša njihova toplotna prevodnost, in kot take postanejo bolj učinkovite v številnih tehnoloških procesih. Materiali z velikostjo nanometra izkazujejo edinstvene fizikalne in kemijske lastnosti in se lahko obnašajo podobno kot molekule tekočine [5]. Problematika je aktualna na številnih inženirskih področjih 1 Univerza 2 Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo prometno inženirstvo in arhitekturo v Mariboru, Fakulteta za strojništvo ✾✼ Kuhljevi dnevi 2015 in igra odločilno vlogo pri razvoju novih tehnologij. Izboljšanje toplotne prevodnosti tekočine je zlasti ključnega pomena v primeru konvektivnih tokov, saj so čiste tekočine, kot npr. voda ali olje v splošnem zelo slabo toplotno prevodne. Kljub številnim raziskavam, ki so bile opravljene na različnih primerih konvektivnega toka nanotekočin, je število objav, ki se nanašajo na obravnavo nanotekočin v porozni snovi zelo omejeno. Nekateri primeri naravne konvekcije v porozni kotanji zasičeni z nanotekočino so prikazani v študijah [3], [8] in [9]. V večini primerov se za simulacijo toka tekočine skozi porozno snov uporablja poenostavljen matematični model, ki temelji na klasičnem Darcyjevem zakonu in velja za zelo počasne tokove, kjer prevladujejo viskozno sile. Le nekatere študije navajajo uporabo razširjenega matematičnega modela, ki izhaja iz Navier-Stokesovih enačb in upošteva vplive vztrajnostnih sil, ki se pojavijo pri večjih hitrostih. Najpogosteje uporabljen model je Brinkmanov model, ki je privzet tudi v tem prispevku. Za simulacijo toka nanotekočin se v splošnem lahko uporablja eno-fazni ali dvo-fazni matematični model. V primeru dvo-faznega modela hitrost med tekočino in nanodelci ni enaka nič, upošteva se trenje med delci in tekočino, Brownove sile, Brownova difuzija, posedanje delcev ter disperzija [8]. V primeru eno-faznih modelov se nanodelci upoštevajo kot del tekoče faze (le-ti se po predpostavki obnašajo kot molekule vode), vsakršno medsebojno delovanje tekočine in delcev se zanemari [4]. Tovrsten model je iz vidika numeričnega reševanja enostavnejši in bolj učinkovit in je privzet tudi v tej študiji. V prispevku so predstavljeni nekateri rezultati numeričnega izračuna problema naravne konvekcije v porozni kotanji, zasičeni z različnimi vrstami in koncentracijami nanotekočine. Ugotavljal se je vpliv z vidika povečanja prehoda toplote skozi kotanjo glede na spreminjanje nekaterih vodilnih parametrov, kot so Rayleighovo število ter koncentracija nanodelcev. 2 Vodilne enačbe Obravnavan je primer kvadratne kotanje napolnjene s homogeno, izotropno porozno snovjo, ki je v celoti zasičena z nanotekočino, pri katerem kot osnovna tekočina nastopa voda (slika 1). Vertikalne stene kotanje so izpostavljene različnim temperaturam, zaradi česar se v kotanji vzpostavi konvektivno gibanje, horizontalne stene pa so neprevodne in neprepustne. Predpostavljeno je, da je nanotekočina Newtonska, nestisljiva, laminarna in v termodinamičnem ravnovesju s trdnim delom porozne snovi. Voda kot osnovna tekočina je ravno tako v termičnem ravnovesju z nanodelci. Vse fizikalne lastnosti nanotekočine razen gostote so konstantne, slednja se spreminja zaradi temperaturne razlike in je opisana z uporabo Bousssinesqove aproksimacije vzgonskih sil. Matematični model temelji na ohranitvenih zakonih mase, gibalne količine in energije, ki so zapisane na makroskopskem nivoju. Tovrsten zapis izhaja iz klasičnih NavierStokesovih enačb, ki veljajo za tok čiste tekočine, v splošnem podan na mikroskopskem nivoju. S postopkom povprečenja, upoštevajoč, da je le en del celotnega računskega volumna na razpolago za tok tekočine, se enačbe pretvorijo na makroskopski nivo in so kot take primerne za opis toka tekočine v porozni snovi [2]. Osnovni sistem enačb je podan kot: • kontinuitetna enačba: ~∇ ·~v = 0, ✾✽ (1) Kuhljevi dnevi 2015 Slika 1 : Geometrija problema • gibalna enačba µn f 1 µn f 2 1 ~ 1 ∂~v 1 ∇p − βn f (T − T0 )~g + + (~v · ~∇)~v = − ∇ ~v − ~v, φ ∂t φ2 ρn f φ ρn f ρn f K (2) • enačba energije ∂T + (~v · ~∇)T = αn f ∇2 T, (3) ∂t kjer so: ~v volumsko povprečena hitrost, φ poroznost, t čas, ρn f gostota nanotekočine, p tlak, βn f koeficient temperaturnega raztezka nanotekočine, T temperatura, T0 karakteristična temperatura, ~g vektor težnostnega pospeška, µn f dinamična viskoznost nanotekočine, K prepustnost porozne snovi. V enačbi energije je σ razmerje toplotne kapacitivnosti σ = (φ c f + (1 − φ)cs )/c f , kjer sta c f = (ρc p ) f and cs = (ρc p )s toplotni kapacitivnosti za tekočo in trdno fazo. αn f je toplotna difuzivnost nanotekočine podana kot αn f = kn f /(ρc p )n f , kjer je kn f toplotna prevodnost nanotekočine in (ρc p )n f toplotna kapacitivnost nanotekočine. Predpostavljeno je, da je efektivna toplotna prevodnost porozne snovi, ki sicer nastopa v enačbi energije enaka toplotni prevodnosti nanotekočine, kar ključno poenostavi matematični model [3]. Uporabljena gibalna enačba je poznana kot Darcy-Brinkmanova enačba, ki vključuje Brinkmanov (difuzijski) in Darcyjev viskozni člen (3. in 4. člen na desni strani enačbe 2). Prvi opisuje viskozni upor oziroma viskozno silo na kontaktnih površinah s trdno fazo ter zagotavlja brezzdrsni robni pogoj na površini računskega območja, ki omejuje porozno snov. Povezave med snovskimi lastnostmi nanotekočin s čisto tekočino so naslednje: σ ✾✾ Kuhljevi dnevi 2015 • koncentracija nanodelcev ϕ: ϕ= Vs , Vs −V f (4) kjer je Vs volumen trdnih delcev, V f pa volumen tekočine, • gostota nanotekočine ρn f : ρn f = (1 − ϕ)ρ f + ϕρs , (5) • toplotna kapacitivnost (ρc p )n f : (ρc p )n f = (1 − ϕ)(ρc p ) f + ϕ(ρc p )s , (6) • koeficient temperaturnega raztezka (ρβ)n f : (ρβ)n f = (1 − ϕ)(ρβ) f + ϕ(ρβ)s , (7) • efektivna dinamična viskoznost nanotekočine (po Brinkmanovem modelu) µn f : µn f = µ f 2.5 , 1−ϕ (8) • efektivna toplotna prevodnost nanotekočine (po Maxwellovem modelu) kn f : kn f = k f ks + 2k f − 2ϕ(k f − ks ) . ks + 2k f + ϕ(k f − ks ) (9) Z vpeljavo vektorja vrtinčnosti ~ω = ~∇ ×~v, ki je po definiciji solenoiden vektor, ~∇ · ~ω = 0 se vodilni sistem enačb preoblikuje v hitrostno-vrtinčno formulacijo. Enačbe se zapišejo v brezdimenzijski obliki z uporabo naslednjih parametrov za hitrost (~v), krajevni vektor (~r), čas (t), temperaturo (T ), gravitacijski pospešek (~g): ~v → kf ~v ~r v0 t T − T0 ~g , ~r → , t → ,T → , ~g → , v0 = , v0 L L ∆T g0 (ρc p ) f L (10) kjer je v0 karakteristična hitrost, v0 = k f /(ρc p ) f L, L karakteristična dolžina in T0 karakteristična temperatura, T0 = (TH − Tc )/2. Računska shema se razdeli na kinematični del, ki ga predstavlja hitrostna enačba: ∇2~v + ~∇ × ~ω = 0, (11) ter kinetični del, ki ga predstavljata enačbi vrtinčnosti in energije: µn f ρ f 2 βn f ~ Pr 2 µn f ρ f ∂~ω ~ω, (12) ∇ × T~g + Prφ + (~v · ~∇)~ω = (~ω · ~∇)~v − PrRaT φ2 ∇ ~ω − φ ∂t βf µ f ρn f Da µ f ρn f σ kn f (ρc p ) f 2 ∂T + (~v · ~∇)T = ∇ T, ∂t k f (ρc p )n f (13) kjer so RaT tekočinsko Rayleighovo število RaT = gβT ∆T L3 ρ f (ρc p ) f /µ f k f , Pr Prandtlovo število Pr = µ f c p /k f in Da Darcyjevo število Da = K/L2 in v celoti definirajo tok nanotekočine in prenos toplote po porozni snovi. ✶✵✵ Kuhljevi dnevi 2015 2.1 Numerična metoda Vodilni sistem enačb (11), (12) in (13) je rešen z uporabo kombinirane eno- in pod-območne metode robnih elementov ob znanih Dirichletovih oziroma Neumannovih robnih pogojih za hitrost in temperaturo. Na trdnih stenah je predpisan brezzdrsni robni pogoj ter vrednost temperature oziroma fluksa. Robni pogoji vrtinčnosti so neznani in se izračunajo v enem delu algoritma. Izvedeni so naslednji koraki: 1. Določijo se parametri, ki opisujejo lastnosti porozne snovi (poroznost φ, specifična toplota σ, prepustnost K). 2. Izračunajo se parametri nanotekočine po modelih (5)-(9). 3. Izračunajo se robne vrednosti vrtičnosti iz enačbe kinematike (11) z uporabo eno-območne MRE. 4. Izračunajo se vrednosti hitrosti v območju iz enačbe kinematike (11) z uporabo podobmočne MRE. 5. Izračunajo se vrednosti temperature v območju iz enačbe (13) z uporabo pod-območne MRE. 6. Izračunajo se vrednosti vrtinčnosti v območju iz enačbe (12) z uporabo pod-območne MRE. 7. Preverimo konvergenco; koraki od 3. do 6. se ponovijo dokler vse vrednosti spremenljivk ne dosežejo zahtevane natančnosti. Podroben opis algoritma z izpeljavo ustrezne integralske oblike enačb je podan v [7], kjer je obravnavan primer simulacije toka in prenosa toplote čiste tekočine ter [6], kjer je nadgrajen za simulacijo nanotekočin. 3 Rezultati in diskusija Rezultati numeričnega izračuna prikazujejo vpliv različnih parametrov (vrsta nanotekočine, koncentracija nanodelcev, Rayleighovo število) na prenos toplote skozi porozno kotanjo in so podani za vrednost poroznosti φ = 0, 5 in Darcyjevega števila Da = 10−6 . Tako majhna vrednost slednjega, model približa Darcyjevemu zakonu, saj je v tem primeru vpliv Brinkmanovega viskoznega člena (3. člen na desni strani enačbe (2)) zelo majhen. Izračuni so potekali na neuniformni strukturirani mreži z 20 × 20 podobmočji, ki so zgoščena proti ogrevani in hlajeni steni. Prikazani so primeri za nanotekočine, ki vsebujejo delce Cu, Al2 O3 in TiO2 , katerih termofizikalne lastnosti so podane v tabeli (1). Rezultati prehoda toplote so prikazani v obliki Nusseltovih števil, ki je za primer nanotekočin definirano kot: kn f Nu = kf Z Γ ~∇T ·~ndΓ. ✶✵✶ (14) Kuhljevi dnevi 2015 Tabela 1 : Termofizikalne lastnosti nanotekočin c p [J/kgK] ρ [kg/m3 ] k [W /mK] β [×10−5 K −1 ] α [×10−7 m2 /s] Voda Cu Al2 O3 TiO2 4179 997, 1 0, 613 21 1, 47 385 8933 400 1, 67 1163 795 3970 40 0, 85 131, 7 686, 2 4250 8, 9538 0, 9 30, 7 Na začetku je v tabeli 2 podana primerjava rezultatov, izračunanih za primer toka čiste tekočine v porozni snovi, z nekaterimi objavljenimi študijami. Prikazane so vrednosti Nusseltovih števil za različne vrednosti Ra. Poudariti je potrebno, da gre za porozno Rayleighovo število, ki je podano kot produkt tekočinskega Rayleighovega števila in Darcyjevega števila Ra = RaT · Da. Tabela 2 : Primerjava pridobljenih rezultatov za vrednosti Nu za primer čiste tekočine v porozni snovi, Da = 10−6 . Ra Baytas [1] Shermet [9] Ta študija 10 100 1000 1, 079 1, 079 1, 092 3, 160 3, 115 3, 248 14, 060 13, 667 13, 526 Slika (2) prikazuje odvisnost prehoda toplote skozi porozno kotanjo od koncentracije nanodelcev in Ra. Izkaže se, da se z naraščajočo koncentracijo nanodelcev povečuje vrednost Nusseltovega števila in s tem skupnega prehoda toplote, kar velja za vse vrednosti Ra. Vrednosti Nu so največje za primer Cu delcev in najmanjše za primer TiO2 delcev. Na sliki (3) so prikazana temperaturna polja za različne vrednosti Ra števil in koncentracije Cu nanodelcev. Pri zelo majhnih Ra, konvektivno gibanje še ni izrazito in prevladuje mehanizem prevoda. V tem primeru so tudi opazne večje razlike med tokom čiste tekočine skozi porozno snov in nanotekočino. Tik ob vroči in hladni steni nastopijo manjše hitrosti pri večji koncentraciji nanodelcev, kar vpliva na potek izoterm, saj jih pomakne stran od stene in tako zmanjša temperaturni gradient. To pa še vedno ne vpliva na skupen prenos toplote skozi porozno kotanjo, ki je zaradi povečane toplotne prevodnosti tekočine še vedno večji, kot v primeru čiste tekočine. Razvidno je tudi, da se vpliv dušenja konvektivnega gibanja, ki je opazen pri nanotekočinah, s povečevanjem vrednosti Ra zmanjšuje. ✶✵✷ Kuhljevi dnevi 2015 18 16 16 14 Cu 14 Al2O3 12 12 voda 8 ϕ=0,1 6 N Nu N Nu 10 10 voda 8 ϕ=0,1 6 ϕ=0,2 ϕ=0,2 4 4 2 2 0 0 10 100 1000 10 100 Ra 1000 Ra 16 14 TiO2 12 N Nu 10 voda 8 ϕ=0,1 6 ϕ=0,2 4 2 0 10 100 1000 Ra Slika 2 : Vrednosti Nusseltovih števil v odvisnosti od Rayleighovega števila; prikazan je vpliv različne koncentracije nanodelcev na prenos toplote. Slika 3 : Temperaturna polja pri različnih vrednostih Ra za Cu nanotekočino ter različne koncentracije nanodelcev; polna črta je za čisto tekočino, črtkana za koncetracijo ϕ = 0, 1 in črta s pikami za koncetracijo ϕ = 0, 2. 4 Zaključki Prikazani so nekateri rezultati numeričnega izračuna konvektivnega toka nanotekočine v porozni snovi. Uporabljen je splošen matematični model za tok tekočine po porozni snovi, ki temelji ✶✵✸ Kuhljevi dnevi 2015 na klasičnih Navier-Stokesovih enačbah, za opis nanotekočine pa je privzet eno-fazni model, z upoštevanjem spremenjenih snovskih lastnosti nanotekočin. Rezultati so osredotočeni na analizo vpliva Rayleighovega števila in različne koncetracije nanotekočine na skupen prenos toplote skozi porozno kotanjo v primerjavi s čisto tekočino. Dodatek nanodelcev v splošnem poveča skupen prenos toplote skozi porozno kotanjo, kar je razvidno iz primerjave vrednosti Nusseltovih števil s tistimi, ki so dobljeni pri računu za čisto tekočino. Izkaže se, da je konvektivno gibanje v primeru nanotekočin upočasnjeno v primerjavi s čisto tekočino, kar je zlasti razvidno pri nizkih vrednostih Ra števil, kjer kot glavni mehanizem prehoda toplote prevladuje prevod (kondukcija). Skupen prenos toplote pa je pri tekočini z dodanimi nanodelci, zaradi povečane vrednosti toplotne prevodnosti, še vedno večji, kot pri čisti tekočini. Literatura [1] A. C. Baytas, I. Pop, Free convection in oblique enclosures filled with porous medium, Int. J. Heat and Mass Transfer 42, 1047–1057, 1999. [2] J. Bear, Dynamics of fluids in porous media, Dover Publications, Inc., New York, 1972 [3] G. C. Bourantas, E. D. Skouras, V. C. Loukoloulos, V. N. Burganos Heat transfer and natural convection of nanofluids in porous media, European J. of Mechanics B/Fluids 43, 45–56, 2014. [4] Z. Haddad, H. F. Ozotop, E. Abu-Nada, A. Mataoui A review on natural convective heat transfer of nanofluids, Renewable and Sustainable Energy Reviews 16, 5363–5378, 2012. [5] K. Khanafer, K. Vafai, M. Lightstone Buoyancy-driven heat transfer enhancement in a twodimensional enclosure utilizing nanofluids, Int. J. Heat and Mass Transfer 46, 3639–3653, 2003. [6] J. Ravnik, L. Škerget, in M. Hriberšek, Analysis of three-dimensional natural convection of nanofluids by BEM, Eng. Anal. Bound. Elem. 34, 1018–1030, 2010 [7] J. Ravnik, L. Škerget, in Z. Žunič, Velocity-vorticity formulation for 3D natural convection in an inclined enclosure by BEM, Int. J. Heat. Mass Transfer 51, 4517–4527, 2008 [8] M. A. Shermet, I. Pop Conjugate natural convection in a square porous cavity filled by a nanofluid using Buongiorno’s mathematical model, Int. J. Heat and Mass Transfer 79, 137–145, 2014. [9] M. A. Shermet, I. Pop, M. M. Rahman Three-dimensional natural convection in a porous enclosure filled with a nanofluid using Buongiorno’s mathematical model, Int. J. Heat and Mass Transfer 82, 396–405, 2015. ✶✵✹ Slovensko društvo za mehaniko srečanje Kuhljevi dnevi 2015 Izračun efektivnih elastičnih lastnosti kubične strukture G. Mejak1 Determination of the effective elastic properties of the cubic structure Povzetek. V prispevku je predstavljena primerjava izračuna efektivnih materialnih lastnosti periodične elastične strukture z enostavno kubično simetrijo. Prvi izračun je narejen na osnovi Eshelbyeve ekvivalentne metode vključkov, drugi pa na osnovi teorije homogenizacije. Abstract. Comparison between two different computational methods for determination of the effective elastic properties is given. The first one is based on the equivalent inclusion method and the second one on the FEM discretization of the homogenization equations. 1 Uvod O efektivnih materialnih lastnostih linearnega elastičnega materiala smo že govorili na Kuhljevih dnevih. V [1] je bil predstavljen izračun efektivnih materialnih lastnostih, ki temelji na matematični teoriji homogenizacije. Pripadajoče enačbe smo diskretizirali z metodo končnih elementov in se zaradi računske zahtevnosti, in takratnih računalniških zmogljivosti, omejili na ravninski primer oziroma na tranzverzalno simetrijo, ki dopušča ravninsko formulacijo problema. V [2] smo efektivne lastnosti izračunali z Eshelbyjevo metodo ekvivalentnih lastnih deformacij za prostorsko nalogo krogelnega vključka. Z razvojem računalniških zmogljivosti, ko lahko sedaj rešujemo prostorske naloge tudi na osebnem računalniku, se je ponudila možnost direktne primerjave obeh pristopov. Primerjava, ki potrjuje pravilnost obeh obeh pristopov, je pomembna tudi zaradi kalibriracije parametrov diskretizacije končnih elementov za prostorske naloge elastomehanike. V splošnem analitične rešitve ne poznamo, resna aposteriorna analiza vpliva mreže na rešitev pa je pogostokrat zaradi obsežnosti naloge lahko samo približna. Na 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko ✶✵✺ Kuhljevi dnevi 2015 obravnavanem primeru pa je ta analiza možna. Ker primer vsebuje dva parametra, ki pomembno vplivata na rešitev, volumensko razmerje vključka in matrike ter razmerje njunih materialnih parametrov, lahko naredimo zelo natančno analizo. V prispevku si bomo prvo na kratko ogledali oba pristopa. Posebno pozornost bomo namenili vprašanju simetrije efektivnega tenzorja. 2 Metoda ekvivalentne lastne deformacije Metoda je bila na kratko predstavljena v [2], obširnejše pa v [3]. Izhodišče metode je enačba enakovredne lastne deformacije za ǫ∗   C(x) : (e′ + e b ) = C 0 : e′ + e b − ǫ∗ . (1) Tu je e b predpisan infinitezimalni deformacijski tenzor, C = C(x) pa je elastčni tenzor definiran na omejeni množici Ω ⊂ R3 , ki je unija ΩI družine vključkov {Ωi : i = 1, . . . , n} in matrike Ω0 = Ω \ ΩI . Privzeli bomo, da je C odsekoma konstanten z vrednostmi C i na Ωi , i = 0, . . . , n in da je tenzor C 0 pozitivno definiten. Enačbi (1) je prirejena robna naloga: najdi u′ , da je
div C 0 : e′ − ǫ∗ = 0 v Ω in u′ = 0 na ∂Ω. (2) Naloga (2) je linearna v ǫ∗ . Potemtakem obstaja linearni operator S tako, da je e′ = Sǫ∗ . Operatorju pravimo Eshelbyjev operator. S kombinacijo (1) in (2) dobimo enačbo   ǫ∗ = C −1 : Sǫ∗ + e b . : C − C 0 0 (3) Enačbi (3) smo v [3] priredili variacijsko formulacijo, ki smo jo potem rešili na prostoru polinomskih lastnih deformacij. Pri tem potrebujemo eksplicitni zapis Eshelbyevega opratorja oziroma pripadajočega tenzorja za notranjo in zunanjo rešitev. Njegov eksplicitni zapis je znan za elipsoidalni vključek in njegove limitne oblike, cilinder, disk, daljica in to za izotropični material v neskončnem sredstvu. Ker se Eshelbyjev tenzor elipsoida poljubne oblike izraža kot zapletena kombinacija eliptičnih funkcij, lahko s prektičnega vidika uspešno uporabimo metodo ekvivalentne lastne deformacije samo za vključke, ki imajo dodatno rotacijsko simetrijo. Zapis Eshelbyjevega tenzorja z razvojem v Fourierovo vrsto je znan tudi za vključek v obliki kvadra [4], vendar smo v tem primeru omejeni s počasno konvergenco razvoja v vrsto, glej naprimer [5] s pripadajočim referencami. Zaradi zgoraj omenjenega, se bomo tako omejili na krogelni vključek. Dodatno se bomo omejili na periodično mikrostrukturo. Tako kot je pokazano v [3], ta omejitev dopušča direktni izračun efektivnih lastnosti brez dodatne aproksimacije, kot je naprimer MoriTanaka ali katera druga. Poleg tega pa efektivne lastnosti periodične mikrostrukture določa matematična teorija homogenizacije, ki jo bomo na kratko predstavili v naslednjem razdelku. ✶✵✻ Kuhljevi dnevi 2015 3 Matematična teorija homogenizacije Razdelek pričnemo z opazko, da je matematična teorija homogenizacije v literaturi, ki obravnava mikromehaniko z mehanskega stališča pogostokrat le bežno, če sploh je, omenjena, glej naprimer [7]. Razlog je verjetno v njeni relativni matematični zahtevnosti in dejstvu, da teorija zgolj poda enačbe za določitev efektivnih lastnosti, ki jih je potrebno za konkretne primere še rešiti. Naj bo Y osnovna periodična celica in na njej tako kot v prvem razdelku definiran elastični tenzor C. Znano je, glej naprimer [6], da je efektivni elastični tenzor C ef pripadajoče periodične strukture v komponentnem zapisu dan z D E ef Cijkh = hCijkh i − Cijlm elm (χ kh ) . (4) Tu smo z h•i zapisali volumensko povprečje na Y , z χ kh pa rešitev robne naloge: najdi 1 (Y ) 2 tako, da je χ kh ∈ H#   

= div C : e e k ⊗ e h · y . div C : e χ kh (5) Vektorja e k in e h sta bazna vektorja kartezičnega koordinatnega sistema v katerem smo zapisali efektivni elastični tenzor po komponentah. Zaradi simetrije se lahko omejimo na vrednosti indeksov k ≤ h. V prostorskem primeru moramo tako za določitev efektivnega elastičnega tenzorja rešiti 6 robnih nalog. Ker je C odsekoma nezvezen, moramo robno nalogo razumeti v distribucijskem smislu. Simetrije rešitev χ kh smo na kratko obravnavali že v [1]. Tam smo se omejili samo na zrcalno simetrijo, sedaj pa rezultat posplošimo na poljubno simetrijo. Prvo dokažimo: Izrek 1. Naj bo Q ∈ O(3) geometrijska in materialna simetrija naloge (5). Potem velja χ(e k ⊗ e h , y) = QT χ(Qe k ⊗ Qe h , Qy). (6) Tu smo uporabili pisavo χ kh (y) = χ(e k ⊗ e h , y). Dokaz. Variacijska formulacija naloge (5) se glasi Z Z ∇χ kh : C : ∇w dy = e k ⊗ e h : C : ∇w dy, Y 1 ∀w ∈ H# (Y ). (7) Y Ker ima naloga geometrijsko simetrijo je QY = Y . Uvedimo v (7) novo spremenljivko ŷ = Qy in definirajmo ŵ(ŷ) = Qw(QT ŷ) in χ̂ kh (ŷ) = Qχ kh (QT ŷ). (8) Po verižnem pravilu je ∇y w(y) = 2 ∂w ∂ ŵ (y) = QT (ŷ)Q = QT ∇ŷ ŵ(ŷ)Q = QT∗ ∇ŷ ŵ ∂y ∂ ŷ 1 (Y ) je Soboljev prostor prvega reda periodičnih funkcj na Y . H# ✶✵✼ (9) Kuhljevi dnevi 2015 in podobno za χ kh . Tu smo z Q∗ zapisali Rayleighov produkt. Uporabimo (9) v (7). Tako dobimo Z Z T T e k ⊗ e h : C : QT∗ ∇ŷ ŵ dŷ. (10) Q∗ ∇ŷ χ̂ kh : C : Q∗ ∇ŷ ŵ dŷ = Y Y QT∗ C Po predpostavki materialne simetrije je = C. Potemtakem iz (10) sledi Z Z Q∗ e k ⊗ e h : C : ∇ŷ ŵ dŷ ∇ŷ χ̂ kh : C : ∇ŷ ŵ dŷ = (11) Y Y in od tod zaradi enoličnosti rešljivosti naloge χ̂ kh (ŷ) = χ(Qe k ⊗ Qe h , ŷ). (12) Vstavimo dobljeno v (8) in izrek je dokazan. Poglejmo primer. Če je zrcaljenje preko ravnine xy simetrija naloge, je z komponenta vektorja χ kh liha funkcija z-ja, če sta indeksa k in h oba različna od 3 ali oba enaka 3, komponenti x in y pa sta sodi funkciji z-ja. Če je natanko eden od indeksov k in h enak 3, je z komponenta soda, x in y komponenti pa sta lihi funkciji z-ja. Kako je s simetrijo efektivnega elastičnega tenzorja, pove naslednji izrek. Izrek 2. Simetrija efektivega elastičnega tenzorja je enaka preseku materialne in geometrijske simetrije. Dokaz. Enačbo (4) prepišemo v
C ef : e k ⊗ e h = C : e k ⊗ e h − C : e χ(e k ⊗ e h , •) (13) in za Q iz simetrijske grupe pomnožimo (13) z Q∗ in upoštevajmo, da je Q∗ (A : a) = Q∗ A : Q∗ a za poljubna tenzorja A in a četrtega oziroma drugega reda. Tako dobimo E D (14) Q∗ C ef : Q∗ e k ⊗ e h = C : Q∗ e k ⊗ e h − C : Q∗ ∇y χ(e k ⊗ e h , y) , kjer smo upoštevali Q∗ C = C. Uporabimo sedaj (8) in (12). Tako dobimo E D Q∗ C ef : Q∗ e k ⊗ e h = C : Q∗ e k ⊗ e h − C : ∇ŷ χ(Qe k ⊗ Qe h , ŷ) E D = C : Q∗ e k ⊗ e h − C : ∇y χ(Qe k ⊗ Qe h , y) = C ef : Q∗ e k ⊗ e h . (15) Ker sta indeksa k in h poljubna, sledi Q∗ C ef = C ef in izrek je dokazan. Naprimer, če so komponente kompozita izotropične in imajo vključki osnovne periodične celice dve ravnini zrcalne simetrije, ima kompozit ortotropično simetrijo. V posebnem primeru izotropičnega materiala in krogelnega vključka je simetrija kubična. ✶✵✽ Kuhljevi dnevi 2015 4 Diskretizacija Sistema robnih nalog (5) z izjemo laminatne strukture ne znamo rešiti v zaprti obliki, zato ga rešujemo numerično, praviloma z metodo končnih elementov. Diskretizacija območja na končne elemente in izračun togostne matrike je prav taka, kot pri reševanju statične naloge infinitezimalne elastomehanike. Razlika nastopi pri določitvi periodičnih robnih pogojev in zahtevi, da je povprečje rešitve enako nič. Pogoj periodičnosti in povprečja zagotovimo z uporabo Lagrangeevih množiteljev. S pogojem povprečja ni težav, pogoj periodičnosti pa zahteva, da je diskretizacija na nasprotnih ploskvah osnovne celice usklajena. Velja še opozoriti, da z uporabo Lagrangeevih množiteljev pripadajoči linearni sistem ostane simetričen, izgubi pa pozitivno definitnost, zato ga ne smemo reševati po Choleskyju. Uporabiti moramo simetrično Gaussovo metodo. V našem izračunu smo uporabili subroutino MA57 iz HSL Mathematical Software Library, [8]. Kot smo dokazali v predhodnem razdelku, efektivni elastični tenzor podeduje simetrijo problema. Če želimo simetrijo ohraniti tudi po diskretizaciji, moramo poskrbeti, da diskretizacija ohranja simetrijo. Pri našem izračunu smo za diskretizacijo območja na končne elemente uporabili program Wolfram Mathematica. Od verzije 10 naprej pozna ta program ukaz ToElemetnMesh, ki dano območje diskretizira na končne elemente. Diskretizacija temelji na uporabi Delaunayjeve tetralizacije območja, ki pri predpisanih velikosti elementov poskrbi za skoraj optimalno mrežo. Žal pa pri tem ne ohrani simetrijo in prav tako ne poskrbi za usklajenost diskretizacije na nasprotnih si ploskvah. S predhodno diskretizacijo roba območja z ukazom ToBoundaryMesh smo dosegli usklajeno diskretizacijo na robnih ploskvah, nismo pa uspeli popraviti simetrije. Simetrično diskretizacijo smo uspeli dobiti šele potem, ko smo namesto celotnega območja, diskretizirali samo podobmočje s katerim grupa simetrij pokrije celotno območje. Poglejmo si to konstrukcijo na primeru naloge s kubično simetrijo. 4.1 Diskretizacija območja s kubično simetrijo Naj bo Y kocka z brezdimenzijskim volumnom 8. Postavimo koordinatni sistem z izhodiščem v središču kocke in usmerimo osi v smeri stranic Y . Nadalje označimo z Yi , i = 1, . . . , 8 koordinatne kocke omejene s koordinatnimi ploskvami in ploskvami kocke Y , glej sliko 1. Potem Y = ∪8i=1 Yi . Definirajmo Ya = Y1 ∪ R(k, π/2)Y1 ∪ R(k, π)Y1 ∪ R(k, 3π/2)Y1 in Yb = R(i, π)Yb (16) Potem očitno Y = Ya ∪ Yb . Tu smo z R(e, θ) zapisali rotacijo okrog osi e za kot θ. Vidimo, da je dovolj diskretizirati samo koordinatno kocko Y1 , ostalo diskretizacijo dobimo z rotacijo le te. Ker unije niso disjunktne, moramo za kompatibilnost mreže zahtevati, da velja R(k, π/2)Z2 = Z1 in R(i, π)R(k, 3π/2)Z3 = Z3 , (17) yk = 0}. Konstrukcija (16) pa še ne kjer je Zk koordinatna ploskev {y : y ∈ Y1 in zagotavlja mreže s kubično simetrijo. Veljati mora, da je dobljena mreža invariantna za vse generatorje kubične simetrije, torej za rotacije okrog koordinatnih osi za kot π/2. ✶✵✾ Kuhljevi dnevi 2015 Izrek 3. Diskretizacija Y = Ya ∪ Yb ima kubično simetrijo, če je Y1 invariantna za ciklično grupo C3 . Dokaz. Generator ciklične grupe je cikel (y1 , y2 , y3 ) 7→ (y3 , y1 , y2 ). Očitno cikel ohranja velikost, glavna diagonala pa je njena invarianta. Potemtakem je cikel rotacija in na ciklično grupo lahko gledamo kot na grupo rotacij okrog glavne diagonale za mnokokratnike kota 2π/3. Zapišimo Y = ∪8i=1 Yi , glej sliko 1 in izračunajmo Q1 Y , Q2 Y in Q3 Y , kjer so Qk rotacije za kot π/2 okrog koordinatnih osi e k . Upoštevajmo, da velja Q1 Y1 = Y4 , Q1 Y4 = Y8 , Q1 Y8 = Y5 , Q1 Y5 = Y1 , Q1 Y2 = Y3 , Q1 Y3 = Y7 , Q1 Y7 = Y6 , Q1 Y6 = Y2 . Podobno Q2 Y1 = Y5 , Q2 Y5 = Y6 , Q2 Y6 = Y2 , Q2 Y2 = Y1 , Q2 Y3 = Y4 , Q2 Y4 = Y8 , Q2 Y8 = Y7 Q2 Y7 = Y3 . ter Slika 1: Oštevilčenje koordinatnih kock. Q3 Y1 = Y2 , Q3 Y2 = Y3 , Q3 Y3 = Y4 , Q3 Y4 = Y1 , Q3 Y5 = Y6 , Q3 Y6 = Y7 , Q3 Y7 = Y8 , Q3 Y8 = Y5 . Upoštevajmo, da je po (16) Y = Y1 ∪ Q3 Y1 ∪ Q23 Y1 ∪ Q33 Y1 ∪ Q21 Q33 Y1 ∪ Q21 Q23 Y1 ∪ Q21 Q3 Y1 ∪ Q21 Y1 = ∪8i=1 Yi , (18) kjer smo na i-to mesto postavili i-to koordinatno kocko. Pomnožimo (18) s Q1 in upoštevajmo tabelo rotacij Q1 Yi . Tako dobimo pogoje Y1 = Q31 Q33 Y1 , Q21 Q33 Y1 = Q31 Y1 , Q3 Y1 = Q31 Q23 Y1 , Q23 Y1 = Q1 Q3 Y1 , Q21 Q23 Y1 = Q31 Q3 Y1 , Q21 Q3 Y1 = Q1 Q23 Y1 , Q33 Y1 = Q1 Y1 , Q21 Y1 = Q1 Q33 Y1 . Tu so enakosti mišljene v smislu, da se diskretizaciji množic na obeh straneh enakosti sovpadata. Po kratkem računu vidimo, da se ti pogoji reducirajo na pogoja Q3 Q1 Y1 = Y1 in Q23 Q1 Q3 Y1 = Y1 . (19) Podobno pomnožimo (18) s Q2 in Q3 in primerjamo dobljeno s tabelama rotacij Q2 Yi in Q3 Yi . Izkaže se, da se tudi v teh dveh primerih pogoji reducirajo na (19). Potemtakem ima Y = Ya ∪ Yb kubično simetrijo, če je Y1 ustreza pogojema invariantnosti (19). Direktni račun pa pokaže, da je Q3 Q1 Y1 = R (d, 2π/3) kjer je d = √1 (i 3 in Q23 Q1 Q3 Y1 = R (d, 4π/3) , + j + k) glavna diagonal kocke in izrek je s tem dokazan. ✶✶✵ Kuhljevi dnevi 2015 Če povzamemo, diskretizacija Y = Ya ∪Yb ima kubično simetrijo, če je diskretizacija Y1 ciklično invariantna. Kako to dosežemo? Definiramo štiristrano piramido P z osnovno ploskvijo {y : y1 = 1 ∧ 0 ≤ y2 ≤ 1 ∧ 0 ≤ y3 ≤ 1} in vrhom v koordinatnem izhodišču in jo diskretiziramo. Njeno diskretizacijo prenesemo na Y1 s predpisom Y1 = P ∪ R (d, 2π/3) P ∪ R (d, 4π/3) P . Da bo diskretizacija regularna moramo poskrbeti za kompatibilnost diskretizacije na stičnih ploskvah. To dosežemo z zahtevo, da diskretizaciji stranskih ploskev, ki imata za rob glavno diagonalo povezuje rotacija R(d, 2π/3). Pogoj (17) pa izpolnemo z zahtevo, da diskretizacijo ploskve T2 = Z2 ∩ P prenesemo na diskretizacijo ploskve Z3 ∩ P z rotacijo R(i, −π/2). Potem Z1 = R(d, 4π/3)T2 ∪ R(d, 2π/3)R(i, −π/2)T2 , Slika 2: Diskretizacije štiristrane piramide z vključkom. Z2 = T2 ∪ R(d, 4π/3)R(i, −π/2)T2 , Z3 = R(i, −π/2)T2 ∪ R(d, 2π/3)T2 . Kratek račun potem pokaže, da res velja (17). Velja opozoriti, da diskretizacija Y = Ya ∪ Yb ni invariantna za zrcaljenja preko koordinatnih ploskev, torej nima ortotropične simetrije. 3 Diskretizacijo, ki ima ortotropično simetrijo je naprimer Y = Y1 ∪ R1 Y1 ∪ R2 R1 Y1 ∪ R2 Y1 ∪ R3 Y1 ∪ R3 R1 Y1 ∪ R3 R2 R1 Y1 ∪ R3 R2 Y1 , kjer je Ri zrcaljenje preko ravnine z normalo v smeri e i . 5 Primerjava Zaradi pomanjkanja prostora se bomo omejili samo na primer enostavne kubične strukture okroglih togih vključkov v izotropični elastični matriki s Poissonovim količnikom ν = 2/5. Primerjava med rezultati dobljenimi z metodo ekvivalentne lastne deformacije in matematične homogenizacije je dana s sliko 3. K primerjavi smo dodali še asimpef totični rezultat iz [9]. Podali smo primerjavo izračunanih strižnih modulov µ̂e = C1212 ef ef ef in M̂e = C1111 − C1122 − 2C1212 , saj je razlika med izračuni kompresijskega modula, z izjemo aproksimacije s konstantnimi lastnimi deformacijami, bistveno manjša. Pri diskretizaciji smo uporabili linearne T1 in kvadratne T2 tetraedrične elemente. Razlika med elementoma narašča s koncentracijo c in za µ̂e pri c = 0.5 doseže 7%. V limitnem primeru cef = π/6 postane diskretizacija na končne elemente singularna. Za c = 0.5, ki je že blizu maksimalne koncentracije, potrebujemo okoli 30000 elementov. Iz primerjave ugotavljamo dobro ujemanje vseh izračunov do koncentracije 0.3. Nad to vrednostjo aproksimacija s konstantno lastno deformacijo ni zadovoljiva, element T1 3 Grupa zrcaljen ni podgrupa kubične grupa. Za elastični tenzor pa navkljub temu velja, da kubična simetrija inducira ortotropično simetrijo. ✶✶✶ Kuhljevi dnevi 2015 pa kvalitativno sledi ujemanju med T2 in izračunu s kvadratično aproksimacijo lastne deformacije. 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.0 14 12 10 8 6 4 2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Slika 3: Brezdimenzijski efektivne lastnosti µ̂e (levo) in M̂e (desno) v odvisnosti od koncentracije vključkov. Polna črta: aproksimacija drugega reda, prekinjena črta: aproksimacija nultega reda, krogci [9], × T2 element, + T1 element aproksimacije MKE. 6 Literatura in citati Literatura [1] G. Mejak, Vpliv teksture mikromehanične celice na efektivne lastnosti kompozitnega materiala, Kuhljevi dnevi 2003. [2] G. Mejak, Variacijska formulacija metode enakovredne lastne deformacije, Kuhljevi dnevi 2013. [3] G. Mejak, Variational formulation of the equivalent eigenstrain method with an application to a problem with radial eigenstrains, Int. J. Solids and Structures, 51, 1601–1616, 2014. [4] T. Mura, Micromechanics of Defects in Solids, Second, Revised Edition, Kluwer, 1991. [5] S. Brisard, L. Dormieux in K. Sab, A variational form of the equivalent inclusion method for numerical homogenization, Int. J. Solids and Structures, 51 716–728, 2014. [6] D. Cioranescu in P. Donato, An Introduction to Homogenization, Oxford UP, 1999. [7] S. Nemat-Nasser, Micromechanics: Overall Properties of Heterogeneous Materials, Elsevier, 1999. [8] HSL Mathematical Software Library, http://www.hsl.rl.ac.uk/. [9] Nunan, K.C. in Keller, J.B. Effective elasticity tensor of periodic composite. J. Mech. Phys. Solids 32, 259–280, 1984. ✶✶✷ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SRE ANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Numeri no modeliranje vetrovnih razmer in zmanjšanja prašenja na deponiji premoga in železove rude v Luki Koper L. Novak1, B. Bizjan1,2, J. Pražnikar3, B. Horvat3, A. Orbani 3, B. Širok1 Numerical modeling of wind conditions and dust lifting reduction at the coal and iron ore stockpile at the Port of Koper Povzetek. Prispevek obravnava pojav prašenja na deponiji premoga in železove rude v Luki Koper. Dvigovanje prahu predstavlja resno okoljsko in zdravstveno tveganje, zato je bila študija usmerjena v u inkovite predloge za zmanjšanje emisij prahu. Izdelan je bil numeri ni model deponije z uporabo programskih orodij za ra unalniško dinamiko teko in (CFD). Izra unane so bile porazdelitve hitrosti vetra nad deponijo za primere obstoje ega stanja in za ve primerov spremenjenih ali dodatnih protivetrnih ukrepov, med katerimi so se kot najbolj u inkovite izkazale dodatne porozne pregrade. Prerazporeditev kupov pokaže zelo male u inke in je poleg tega neprakti no za uporabo na dejanski deponiji. Za zagotavljanje emisij prahu na sprejemljivem nivoju so pri mo nih vetrovih še vedno potrebni dodatni ukrepi kot so škropljenje z vodo in s teko ino, ki na površini nasute snovi tvori skorjo. Abstract. This paper studies the occurrence of dust lifting at the coal and iron ore stockpile at the port of Koper. As the dust lifting presents a serious environmental and health hazard, our study was intended to propose efficient measures of dusting reduction. A numerical model of the stockpile was created using computational fluid dynamics (CFD) software. Wind velocity distribution across the stockpile was calculated for the present state of the art and for several cases of modified or additional wind protection measures, among which the addition of porous barriers were determined to be the most effective. Redistribution of piles has a very limited effect and is also impractical to be used on an actual stockpile. To maintain reasonably low emission levels during high wind conditions, additional measures such as spraying of piles with water and crustforming liquids are still necessary. 1 Uvod Glavna okoljska in varnostna problematika, ki se pojavi pri transportu in shranjevanju sipkih snovi, kot sta premog in železova ruda, je povezana s pojavom prašenja. Pri velikih odprtih 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo Abelium d.o.o. 3 Univerza na Primorskem, Inštitut Andrej Maruši 2 ✶✶✸ Kuhljevi dnevi 2015 deponijah, kot jih sre amo v tovornih pristaniš ih, je prašenje še posebej problemati no zaradi izpostavljenosti deponije vetru. Posledice odnašanja prašnih snovi z vetrom so vezane na izgubo snovi (ekonomska izguba), hkrati pa se pojavlja tudi prenašanje in odlaganje te snovi na drugih lokacijah. Delci v zraku pomenijo tudi resno tveganje za zdravje ljudi, zato se zmanjšanju emisij delcev danes posve a veliko pozornosti. V prispevku so obravnavane vetrovne razmere in pojav prašenja na Evropskem Energetskem Terminalu (EET) v Luki Koper. EET je namenjen shranjevanju in pretovoru premoga in železove rude. Deponija v EET trenutno obsega 108.500 m2 površin. Potencial za prašenje na lokaciji EET je še posebej velik zaradi meteoroloških pogojev na sami lokaciji. EET je tekom celega leta ob asno izpostavljen mo nim vetrovom severovzhodne in vzhodne smeri (burja) ter zahodne smeri (tramontana), ki zlahka povzro ijo dviganje in odnašanje prašnih delcev z deponije. Prenos delcev proti bližnjim naseljem predstavlja izredno ob utljivo problematiko, zato se zmanjšanju prašenja v Luki Koper intenzivno posve ajo. Uvedli so že številne ukrepe, na primer škropljenje z vodo in postavitev protivetrne ograje okrog deponije. Kljub temu prašenja niso v celoti prepre ili, zato so nedavno uvedli še polivanje s posebno snovjo, ki na površini nasute snovi tvori skorjo. Ta ukrep se je izkazal kot zelo u inkovit, vendar pa predstavlja dolo ene dodatne stroške. Znižanje teh stroškov bi lahko dosegli z boljšim poznavanjem lokalnih porazdelitev vetra nad deponijo ter identifikacijo kriti nih mest za razli ne smeri vetra. Zaradi kompleksnosti in obsega dejanske deponije, kjer aktivnosti te ejo 24 ur/dan, bi bila eksperimentalna študija izredno zahtevna. Zaradi tega smo izvedli numeri ne (CFD) simulacije toka zraka nad deponijo. 2 2.1 Numeri ni model Geometrija in mreža Geometrijski 3D model deponije in okolice je bil izdelan na osnovi satelitske slike (slika 1 levo), [4]. Vklju uje obmo je dolžine 1380 m v smeri vzhod-zahod, 730 m v smeri sever-jug in 200 m v višino (slika 1 desno). Obseg obmo ja okrog deponije, vklju enega v model, je bil izbran z upoštevanjem smernic v literaturi [9]. Pri tem so bile upoštevane tudi vse relevantne smeri vetra in vpliv okoliških objektov, zato je v dolo enih smereh obseg modela pove an (npr. proti jugu). Objekti, ki pri obravnavanih smereh vetra nimajo vpliva na razmere na deponiji, v model niso vklju eni. Osnovna razporeditev kupov je bila izbrana na osnovi satelitskega posnetka in podatkov luške uprave. Višina vseh kupov je bila 10 m, dimenzije osnovne ploskve kupov pa 65-80 m. Slika 1: Satelitski posnetek deponije EET ter pogled od zgoraj na geometrijski model. Na osnovi geometrijskega modela smo s programskim paketom izdelali mrežo kon nih volumnov. Gostota mreže je bila izbrana na osnovi preizkusa mrež na poenostavljenem ✶✶✹ Kuhljevi dnevi 2015 primeru z enim kupom. Kon no mrežo je sestavljalo 14,5 milijona heksaedri nih, tetraedri nih in prizmati nih elementov. Gostota mreže ob steni je bila zasnovana za uporabo stenskih funkcij, ki omogo ajo zadovoljivo natan nost za tokove ob zgradbah. Izra uni so bili izvedeni s programskim paketom Ansys Fluent 14.5. Uporabljena je bila metoda Reynoldsovo povpre enih Navier-Stokesovih ena b (RANS), ki predstavlja standardni pristop za izra une tokov ob zgradbah. Turbulenca je bila modelirana s k-epsilon modelom [5], ki je preverjen in robusten model, pogosto uporabljen v podobnih primerih. Konstante modela so bile prilagojene priporo enim vrednostim za simulacije atmosferskih tokov po [8]. Delovna teko ina je bil zrak kot nestisljiv plin. Tokovi so bili simulirani kot stacionarni. Konvergenca izra una je bila predpostavljena, ko so najve ji skalirani ostanki za kontinuitetno in gibalne ena be padli pod 5⋅10-4 ter za ena be turbulence vsaj pod 10-3. 2.2 Lokalni vetrovni pogoji Eden najpomembnejših dejavnikov, ki vplivajo na emisijo prašnih delcev zaradi vetra, je hitrost vetra. Statisti ni podatki za lokalno hitrost vetra na višini 50 m za obdobje med avgustom 2012 in avgustom 2013 na lokaciji Luke Koper so prikazani na sliki 2. Razvidno je, da se ve ina mo nejših sunkov vetra pojavlja iz vzhodne smeri (burja), najmo nejši posneti sunek (29 m/s) pa je bil zabeležen iz zahodne smeri (tramontana). Analiza tudi pokaže, da se ve ina najmo nejših sunkov vetra pojavlja iz smeri 75° in 250°. Slika 2: Podatki o vetru na lokaciji Luke Koper. 2.3 Robni pogoji Robne pogoje na modelu smo nastavili za im boljšo ponazoritev dejanskih razmer. Vto ne in izto ne površine so bile nastavljene glede na smeri vetra. Vtoki so bili definirani s hitrostjo in lastnostmi turbulence (k, epsilon) kot funkcijami višine nad terenom. Uporabili smo standardne logaritmi ne profile za atmosferske mejne plasti [8]. Za dolo itev profilov je bila predpostavljena hrapavost terena 0,1 m, kar pomeni povpre no višino elementov hrapavosti 1 m. Izto ne površine so bile nastavljene kot tla ni iztoki s povpre nim relativnim tlakom 0 Pa. Stene zgradb in ostalih objektov, vklju no s protivetrno ograjo, so bile definirane kot hidravli no gladke stene brez zdrsa teko ine, stene kupov nasute snovi in teren znotraj ograje pa kot hrapave stene z ekvivalentno zrnato hrapavostjo 0,045 m. Teren izven ograje (tako kopno kot morje) je bil obravnavan kot hrapava stena z ekvivalentno zrnato hrapavostjo 1 m, kar upošteva prisotnost raznih objektov (avtomobili, tovornjaki, vlaki, pomoli, valovi, itd.) ✶✶✺ Kuhljevi dnevi 2015 Porozne stene so bile uporabljene za modeliranje dolo enih struktur, npr. žerjavov severno od deponije, ki so bili modelirani v poenostavljeni kvadrasti obliki. Porozne stene so bile uporabljene tudi za simulacijo perforiranih ograj in pregrad, ki so bile uporabljene v dolo enih primerih kot protivetrni ukrep. Vsi primeri poroznih sten so bili ra unani z robnim pogojem poroznega skoka, ki predstavlja model tanke membrane z nastavljenim tla nim padcem. Upoštevan je bil le inercijski upor (kvadrati na funkcija hitrosti). Porozne ograje so imele predpostavljen tla ni padec v višini 4-kratnika dinami nega tlaka prostega toka. 2.4 Izra unani primeri Numeri ne simulacije so bile izdelane za dve smeri (75° in 250°) in dve hitrosti (18 m/s in 22 m/s) vetra. Navedene hitrosti veljajo za višino 50 m; na višini 10 m se z upoštevanjem logaritmi nega profila hitrosti zmanjšajo na 14,85 oziroma 18,15 m/s. Hitrosti na višini 10 m so bile kasneje uporabljene za izra un normaliziranih hitrosti vetra ter emisijskih faktorjev po EPA metodologiji. Poleg simulacij z osnovnimi pogoji, ki predstavljajo obstoje e strukture in v celoti zasedeno deponijo, so bile izvedene tudi simulacije s spremenjenimi pogoji. Spremembe so bile zasnovane z namenom zmanjšanja izpostavljenosti kupov nasute snovi visokim hitrostim vetra. Primeri so ozna eni s rkami: (A) osnovno – trenutno stanje; (B) obstoje a ograja spremenjena v porozno ograjo; (D) osnovno stanje s kupi na jugozahodnem delu pomaknjenimi bližje ograji; (H) med kupi vstavljene porozne pregrade z višino 11 m. 3 Rezultati Emisije prahu zaradi vetrne erozije so neposredno povezane s hitrostjo vetra ob površini nasute snovi. Rezultati simulacij so zato osredoto eni na podajanje porazdelitev hitrosti vetra ob površini kupov. Kupi so razdeljeni na površine s konstantnimi nivoji us/ur, kjer je us hitrost vetra na višini 25 cm od površine kupa in ur referen na hitrost vetra na višini 10 m nad terenom. Dodatno so izra unani tudi emisijski faktorji v skladu z EPA metodologijo [3], pri emer je uporabljena mejna hitrost za premog ∗ = 1 m/s. Emisijski faktor za emisijo delcev iz zrnatih materialov kot posledico vetra je dolo en v g/leto kot: (1) kjer je k faktor velikosti delcev, N število motenj na leto, Pi erozijski potencial za pripadajo o hitrost vetra za i-to obdobje med motnjami in Si površina kupa. Erozijski potencial za suho, izpostavljeno površino kupa je definiran kot: (2) = 58 ∗ − ∗ + 25 ∗ − ∗ ∗ ∗ kjer je mejna hitrost in je podana kot: ∗ = 0.1 (3) statisti no dolo ena najve ja hitrost na višini 10 m. Površine s konstantnimi kjer je intervali u* ali us/ur so bile obravnavane kot lo eni viri emisij in predpostavljeno je bilo, da je prisotna le ena motnja letno. 3.1 Primer A – obstoje e stanje Slika 3 predstavlja obstoje e razmere (primer A) za dve hitrosti in dve smeri vetra. Razvidno je, da je v primeru zahodnega vetra (tramontana) izpostavljenost kupov vetru ve ja, kot v primeru enako mo nega vzhodnega vetra (burja), kar nakazuje slabšo u inkovitost obstoje e ✶✶✻ Kuhljevi dnevi 2015 zaš ite pred vetrom v primeru vetra zahodne smeri. Dejansko je protivetrna ograja na zahodnem delu deponije postavljena dlje od kupov in pod kotom, kar predstavlja ugodne pogoje za penetracijo zra nih tokov bližje tlom. Razlika med rezultati za vstopno hitrost vetra U=18 m/s in U=22 m/s je zelo majhna. Posamezna mesta z lokalnimi razlikami do +/- 0,12 nakazujejo premike v tokovnih strukturah, ki jih povzro ajo objekti, locirani v smeri proti vetru. Slika 3: Primer A za vzhodni (levo) in zahodni (desno) veter. Porazdelitev us/ur (zgornja vrsta) in razlika med us/ur za vstopne hitrosti U=22 m/s in U=18 m/s (spodnja vrsta). 3.2 Primer B – porozna ograja Znano je, da ustrezna postavitev poroznih ograj in pregrad omogo a zmanjšanje emisij prahu in boljšo zaš ito premogovih deponij pred vetrom ([1]-[2], [6]-[7]). Porozne pregrade omogo ajo prehod teko ine z zmanjšano hitrostjo, v nasprotju s neprepustnimi pregradami, ki tok preusmerjajo navzgor in v zavetrni strani tvorijo vrtinec. Zamenjava neprepustne ograje s porozno je bil zato prvi simulirani ukrep za zmanjšanje izpostavljenosti vetru. Slika 4: Primer B za vzhodni (levo) in zahodni (desno) veter. Porazdelitev us/ur (zgornja vrsta) in razlika med us/ur za vstopne hitrosti U=22 m/s in U=18 m/s (spodnja vrsta). Slika 4 kaže porazdelitev normalizirane hitrosti nad kupi za vzhodni in zahodni veter s porozno ograjo. Na nekaterih kupih se izpostavljenost vetru zmanjša, drugod pa se ne spremeni ali celo pove a glede na primer z neprepustno ograjo. Razlogi za omejeno ✶✶✼ Kuhljevi dnevi 2015 u inkovitost porozne ograje so v velikih dimenzijah deponije, ki je orientirana v smeri glavnih vetrov, ter v ostrem kotu vstopnega vetra glede na ograjo. Potrebno pa je upoštevati dejstvo, da porozne ograje upo asnijo veter predvsem v obmo jih, kjer ima ta najve jo hitrost. Ker je erozija prahu pomembna le pri dovolj visokih hitrostih vetra, je porozna ograja pri zmanjšanju emisij prahu bolj u inkovita kot neprepustna ograja (glej tudi poglavje 3.5). 3.3 Primer D – razporeditev kupov Možen ukrep za zmanjšanje izpostavljenosti vetru predstavlja optimizacija razporeditve in velikosti kupov. V praksi pa je ta ukrep zaradi številnih tehni nih in logisti nih omejitev, ki jih narekujejo pogosto polnjenje in praznjenje deponije z materialom razli nega izvora za razli ne kupce, zelo omejen. Zato je bil preverjen le primer, kjer so kupi v JZ delu deponije podaljšani proti ograji, ostali pogoji pa so enaki kot v primeru A. Med primeroma A in D ni vidnih ve jih razlik v normalizirani hitrosti nad kupi. V primeru D pa se pojavijo nekoliko ve je razlike med hitrostjo vetra U=18 m/s in U=22 m/s. O itno se u inek južne ograje ne spreminja linearno z mo jo vetra, kar je še posebej vidno v primeru zahodnega vetra. Slika 5: Primer D za vzhodni (levo) in zahodni (desno) veter. Porazdelitev us/ur (zgornja vrsta) in razliko med us/ur za vstopne hitrosti U=22 m/s in U=18 m/s (spodnja vrsta). 3.4 Primer H – pre ne porozne pregrade Slika 6: Primer H za vzhodni (levo) in zahodni (desno) veter. Porazdelitev us/ur (zgornja vrstica) in razliko med us/ur za vstopne hitrosti U=22 m/s in U=18 m/s (spodnja vrstica). ✶✶✽ Kuhljevi dnevi 2015 Zaradi omejene u inkovitosti tako neprepustnih kot poroznih ograj smo predlagali dušenje vetra na druga en na in. Med kupe smo umestili porozne pregrade višine 11m, ki so orientirane pre no na smer glavnih vetrov. Tri pregrade so bile postavljene na JZ del deponije za zaš ito pred zahodnim vetrom, še ena pregrada pa na vzhodni rob JZ vrste kupov. Pozitivni u inki pregrad so razvidni predvsem v primeru zahodnega vetra (slika 6). Izpostavljenost vetru je znatno manjša na prvem in delno tudi drugem kupu za pregrado. 3.5 Primerjava primerov B-A in H-D Primerjave med spremenjenimi/dodatnimi protivetrnimi ukrepi in obstoje im stanjem so prikazane na sliki 7. Primer B (porozna ograja) je primerjan s primerom A s prikazom absolutne razlike med normaliziranimi hitrostmi nad kupi pri U=18 m/s. Na enak na in je primer H (4 porozne pregrade) primerjan s primerom D. Primerjava med primeroma B in A kaže, da z zamenjamo obstoje e ograje s porozno ograjo nastanejo velika obmo ja zmanjšane kot tudi velika obmo ja pove ane izpostavljenosti vetru. Na podlagi teh rezultatov bi lahko sklepali, da porozna ograja v povpre ju ne pomeni izboljšane zaš ite pred vetrom. Vendar pa z upoštevanjem emisij prahu (slika 8) prednosti porozne ograje postanejo o itne, saj se emisije zmanjšajo za 50% pri obeh smereh vetra. Emisije prahu pri zahodnem vetru so sicer skoraj 10-krat višje, kot pri vzhodnem vetru. Razlog je predvsem neugodna postavitev in slabši u inek ograje na zahodnem delu deponije. Slika 7: Razlika med porazdelitvami us/ur za primer B-A in primera H-D (U=18 m/s). Slika 8: Skupna emisija prahu za zahodni in vzhodni veter za primere A, B, D in H. Postavitev poroznih pregrad, orientiranih pre no na smer glavnih vetrov (primer H), kaže jasne pozitivne u inke. Normalizirane hitrosti so znatno nižje na prvem in drugem kupu za pregrado (slika 7). V primeru zahodnega vetra so pozitivni u inki razvidni tudi na drugih kupih na širšem obmo ju deponije. Emisije se v primeru H zmanjšajo le pri zahodnem vetru, medtem ko pri vzhodnem vetru ni sprememb (slika 8). Razlog za to je dejstvo, da se ve ina emisij pri vzhodnem vetru zgodi na vzhodnem delu deponije, medtem ko so pregrade ✶✶✾ Kuhljevi dnevi 2015 namenoma postavljene na zahodnem delu deponije, da bi preverili njihovo u inkovitost pri zahodnem vetru. Dodatno zmanjšanje emisij za obe smeri vetra bi lahko dosegli z nadaljnjo optimizacijo lastnosti (višina, poroznost) in postavitve pregrad po deponiji. 4 Zaklju ki Z uporabo numeri nih simulacij vetrovnih razmer smo analizirali emisije prahu na deponiji premoga in železove rude v Luki Koper. Izpostavljenost kupov nasute snovi vetru je bila analizirana pri razli nih vetrovnih pogojih in pri uporabi razli nih ukrepov protivetrne zaš ite. Rezultati kažejo, da obstoje a ograja zaradi velikosti in oblike deponije, ki je razpotegnjena v smeri glavnih vetrov, omogo a le omejeno protivetrno zaš ito. Zamenjava obstoje e neprepustne ograje s porozno strukturo pokaže omejen protivetrni u inek take ograje iz istih razlogov, kot pri neprepustni ograji. Vendar pa porozna ograja omogo a boljšo zaš ito najbolj izpostavljenih kupov, zato se skupna emisija prahu bistveno zmanjša. U inkovit ukrep za zmanjšanje hitrosti vetra nad kupi je tudi postavitev poroznih pregrad med kupi (pre no na smer glavnih vetrov), vendar bi take pregrade na dejanski deponiji lahko predstavljale veliko oviro za razkladalno-nakladalne procese. Rezultati študije kažejo, da zmanjšanje hitrosti vetra s fizikalnimi ukrepi kot so pregrade, v primeru velikih deponij in mo nih vetrov predstavlja velik izziv. Škropljenje z vodo in teko inami, ki ob strditvi tvorijo skorjo, ostaja nujen ukrep za prepre itev pojava prašenja pri velikih hitrostih vetra. Kljub temu pa porazdelitve lokalnih hitrosti vetra, ki izhajajo iz numeri nih simulacij, lahko služijo za identifikacijo kriti nih mest za pojav prašenja in s tem pomagajo pri optimizaciji škropljenja in zmanjšanju s tem povezanih stroškov. Literatura [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] A. Borges, D. Viegas, Shelter effects on a row of coal piles to prevent wind erosion, J. Wind Eng. Ind. Aero., 29, 145-154, 1988. X.C. Cong, S.Q. Cao, Z.L. Chen, S.T. Peng, S.L. Yang, Impact of the installation scenario of porous fences on wind-blown particle emission in open coal yards, Atmospheric Environment, 45, 5247-5253, 2011. EPA, Update of Fugitive Dust Emissions Factors in AP-42, Midwest Research Institute, Kansas City, AP-42 section 11.2-wind erosion, 1988. Geopedia,http://www.geopedia.si/#T105_F1173:6064_x402189.531_y47286.32_s17_ b2, stanje 30.9.2013. B.E. Launder, D.B. Spalding, The numerical computation of turbulent flows, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3, 269-289, 1974. S.J. Lee, C.W. Park, Surface pressure characteristics on a triangular prism located behind a porous fence, J. Wind Eng. Ind. Aero., 80, 69-83, 1999. S.J. Lee, K.C. Park, C.W. Park, Wind tunnel observations about the shelter effect of porous fences on the sand particle movements, Atm. Env., 36, 1453-1463, 2002. N. Mandas, F. Cambuli, G. Crasto, G. Cau, Numerical simulation of the Atmospheric Boundary Layer (ABL) over complex terrains, EWEC 2004, London, 2004. Y. Tominaga, A. Mochida, R. Yoshie, H. Kataoka, T. Nozu, M. Yoshikawa, T. Shirasawa, AIJ guidelines for practical applications of CFD to pedestrian wind environment around buildings, J. Wind Eng. Ind. Aero., 96, 1749-1761, 2008. ✶✷✵ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Kvazi-periodični model radialnega kovanja po metodi končnih elementov M. Pintar1,2, P. Šuštarič2, T. Šuštar2 in T. Rodič1 Quasi-periodic finite element method model of radial forging process Povzetek. V članku je predstavljen kvazi-periodični model vročega radialnega kovanja po metodi končnih elementov. Temelji na predpostavki, da so prispevki zaporednih udarcev kladiv k deformacijskemu polju med seboj enaki v prostorskem koordinatnem sistemu. Končno obliko preoblikovanca dobimo s superpozicijo le-teh prispevkov v materialnem koordinatnem sistemu. To pomeni, da je potrebno analizirati le manjše število udarcev kladiv za izračun celotnega deformacijskega polja. Abstract. This paper presents a quasi-periodic finite element model of hot radial forging process. The model assumes that the contribution of consecutive hammer strokes to the deformation field is equal in spatial coordinate system. The final workpiece shape is obtained by superposition of these contributions in material coordinate system. This means that we have to analyze only a limited number of hammer strokes to calculate the whole deformation field. 1 Uvod Radialno kovanje je tip stopenjskega procesa za preoblikovanje kovin, pri katerem manjše število kladiv (tipično štiri) kuje preoblikovanec v njegovi radialni smeri, medtem ko se preoblikovanec giblje v osni smeri in rotira okoli svoje osi. Proces se pogosto uporablja za primarno predelavo litih ali sintranih ingotov. Preoblikovanci imajo lahko okrogel ali poligonalen prerez. Pravilno načrtovanje procesa omogoča zaželjene spremembe mikrostrukture kovine in pomaga zapirati notranjo poroznost. Kinematika kladiv v materialu povzroča predvsem tlačne napetosti, kar je ugodno za kovanje zlitin, ki se sicer težko preoblikujejo (npr: orodna jekla ali t.i. »superzlitine«). 1 2 Univerza v Ljubljani, Naravoslovnotehniška fakulteta C3M d.o.o. ✶✷✶ Kuhljevi dnevi 2015 Numerične simulacije po metodi končnih elementov (MKE) so dandanes nepogrešljivo orodje za izboljšanje kakovosti in učinkovitosti procesov kovanja ob upoštevanju omejitev kovaškega stroja (npr: največja dovoljena sila ali razpoložljiva moč). Načrtovalci novih kovaških postopkov lahko zmanjšajo število dragih eksperimentov in uporabljajo simulacije za parametrične in optimizacijske študije. Radialno kovanje spada v posebno skupino stopenjskih masivnih preoblikovalnih procesov, ki predstavljajo še poseben izziv za učinkovite in natančne simulacije [6]. Eden izmed glavnih razlogov je stopenjska narava procesa, kjer je končna oblika izdelka dosežena v velikem številu deformacjskih korakov, kar posledično povečuje računski čas. Prve simulacije radialnega kovanja so bile zaradi računalniških omejitev omejene na 2D modele, ki so predpostavljali osno simetrično deformacijsko stanje [1,4,11]. Enega izmed prvih 3D MKE modelov sta naredila Jang in Liou [8] na primeru hladnega kovanja debelostenskih cevi, kjer sta se osredotočila na porazdelitev zaostalih napetosti v preoblikovancu. Podobno analizo sta naredila Ghaei in Movahhedy [5] na primeru parametrične študije oblike kladiva. Avtorja sta s primerjavo 2D in 3D modelov zaključila, da je potrebno uporabiti slednjega za dovolj natančen opis dogajanja v preoblikovancu. Chen et al. [2] so izdelali naprednejši 3D model vročega kovanja debelostenskih cevi, ki so ga reševali z eksplicitnim algoritmom. Ista skupina avtorjev [3] je nadgradila model in na njem raziskovala učinkovitost zapiranja notranje poroznosti pri radialnem kovanju. Primerjali so različne geomerije kladiv in ugotovili, da kladivo »V« oblike bolje zapira poroznost kot ravno, vendar so tudi sile nanj precej večje. Ta članek predstavlja razvoj 3D MKE model procesa radialnega kovanja za preoblikovance prizmatičnih prerezov. Cilj modela je doseči dobro razmerje med natančnostjo in računsko učinkovitostjo. 2 Opis procesa Slika 1 prikazuje skico tipičnega procesa radialnega kovanja s štirimi kladivi, ki se z majhno amplitudo sinusoidno gibajo v radialni smeri in deformirajo podolgovat preoblikovanec prizmatičnega prereza. Manipulatorja, v katera je vpet preoblikovanec, zagotavljata njegovo osno gibanje in rotacijo. Čeljusti manipulatorja so z ohišjem povezane rahlo elastično z določeno osno in torzijsko togostjo, kar blaži podaljšanje in zasuk preoblikovanca za vsak udarec kladiv. Med kovanjem se manipulator aksialno premika z enakomerno hitrostjo, vrti pa se s presledki, tako da je preoblikovanec pri miru, ko je v kontaktu s kladivi. Če se preoblikovanec ne vrti, je rezultat izdelek pravokotnega prereza. Torej se kladiva gibljejo po poti vijačnice relativno na preoblikovanec z nastavljivim aksialnim in kotnim korakom. Proces kovanja se začne v peči, kjer se preoblikovanec ogreje na zahtevano temperaturo, nato pa ga prenesejo do kovaškega stroja. V praksi je končna oblika izdelka dosežena z večjim številom deformacijskih stopenj oz. vtikov preoblikovanca. Numerična simulacija procesa lahko napove sile na kladivo, porabo energije, porazdelitev temperature in deformacije v preoblikovancu, itd. Termo-mehansko zgodovino posamezne materialne točke lahko uporabimo za napovedovanje razvoja mikrostrukture in notranje poroznosti. Vse to predstavlja dragocene informacije za načrtovanje in optimizacijo kovaškega procesa. ✶✷✷ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 1: Skica procesa radialnega kovanja. 3 Numerični model po MKE Vroče radialno kovanje je nestacionaren (časovno odvisen) proces, pri katerem se temperaturno polje v preoblikovancu stalno spreminja zaradi ohlajanja v okolico in zaradi pretvorbe plastičnega dela v toploto. Mehanske lastnosti kovine so med drugim odvisne od temperature, zato vsak udarec kladiva doda drugačen prispevek k napetostnodeformacijskem polju, tudi v situaciji, ko je kontaktna geomerija med kladivom in preoblikovancem enaka. Natančno modeliranje takega procesa zahteva polno oz. močno sklopljeno termo-mehansko analizo, ki zajame vse udarce kladiva, ki se zgodijo v praksi. Vendar je tak pristop k modeliranju računsko zelo potraten in potemtakem manj primeren za praktično, industrijsko uporabo. V tem delu predstavljen model radialnega kovanja uporablja nekaj predpostavk in poenostavitev, ki ravno dovolj zmanjšajo kompleksnost numeričnega modela, da postane uporaben za vsakodnevno prakso. Mehansko (napetostno-deformacijsko) polje v okolici izbrane materialne točke v preoblikovancu se spreminja samo pod vplivom manjšega števila udarcev kladiva, ki se zgodijo v deformacijski coni. Ti udarci se zgodijo relativno hitro napram trajanju kovanja celotnega preoblikovanca v enem vtiku in v tem času so toplotne izgube zaradi ohlajanja v okolico majhne. Temperaturno polje v omenjeni izbrani točki se takrat spreminja predvsem zaradi generacije toplote zaradi plastične deformacije. Zato lahko upravičeno predpostavimo, da se simulacija mehanskega polja zgodi adiabatično. Numerični model smo razvili v programskem okolju za avtomatsko generacijo kode AceGen [10] in uporabili v okolju AceFEM [10] za modeliranje po metodi končnih elementov. 3.1 Opis termo-mehanskega modela Zaradi računske učinkovitosti termo-mehanski model kovanja ni polno sklopljen, temveč je poenostavljen in temelji na predpostavkah opisanih v nadaljevanju. Na začetku termalne analize predpostavimo, da je preoblikovanec prizmatične oblike z enakomerno temperaturo, ki je enaka temperaturi ogrevalne peči. Med prenosom od peči do kovaškega stroja, kar lahko traja tudi nekaj minut, se ohlaja s konvekcijo in sevanjem v okolico. Ohlajanje čez osnovni ploskvi prizme zanemarimo, zato lahko termalno analizo naredimo na 2D modelu. Temperaturni profil v radialni in kotni smeri nato preslikamo na 3D model nedeformiranega preoblikovanca za mehansko analizo. Rezultat adiabatne mehanske simulacije je napetostno-deformacijsko polje na predpostavljenem območju (prerezu). Na ta način omejimo velikost računske domene in ✶✷✸ Kuhljevi dnevi 2015 posledično pospešimo analizo. Po končani mehanski analizi na deformiranem preoblikovancu povprečimo temperature v aksialni smeri v dolžini povsem preoblikovane periode in jih ponovno preslikamo na 2D model za termalno analizo, ki zajema ohlajanje do naslednjega kovaškega vtika. Tako si v primeru, da kovaška sekvenca obsega več kot en vtik, izmenjaje sledita mehanska in termalna analiza. Poleg ohlajanja v okoliški zrak, toplota iz preoblikovanca prehaja tudi v kladiva prek neposrednega kontakta. Potencial tega toplotnega toka je izračunan v mehanskem delu analize na podlagi razlike temperatur površine preoblikovanca in kladiva, kontaktne površine in faktorja prestopa toplote, odvisnega od pritiska. Naša glavna predpostavka mehanskega modela je, da so prispevki k deformacijskem polju zaporednih udarcev kladiva enaki v prostorskem (Eulerjevem) koordinatnem sistemu in da je končna oblika izdelka dobljena s superpozicijo teh prispevkov v materialnem (Lagrangeovem) koordinatnem sistemu. Zato je potrebno simulirati samo manjše število udarcev kladiva, dokler zaporedni prispevki k deformacijskem polju niso dovolj podobni med seboj in rečemo, da smo dosegli periodično stanje in našli reprezentativni udarec kladiva. Prispevek reprezentativnega udarca je nato preslikan (superponiran) naprej za vse nadalnje udarce. Slika 2: 3D pogled na računsko domeno in porazdelitev plastične deformacije Slika 2 prikazuje zunanji pogled na celotno računsko domeno pri kovanju okroglega preoblikovanca s štirimi kladivi univerzalnega tipa. Dolžina domene je krajša od celotne dolžina preoblikovanca, ker ne simuliramo vseh udarcev kladiva, ki se zgodijo v enem vtiku. MKE model upošteva tudi periodično simetrijo procesa za vsak posamezni udarec, kar pomeni, da v primeru s štirimi enakimi kladivi eksplicitno modeliramo samo četrtino računske domene. Število končnih elementov se zato zmanjša za faktor 4. Upoštevamo tudi primer paroma enakih kladiv, kjer modeliramo samo polovico in primer različnih kladiv, kjer uporabimo celo računsko domeno. Poseben primer je tudi kovanje z enakimi kladivi iz kvadratne oblike osnovne ploskve na osemkotno obliko brez rotacije, kjer upoštevamo zrcalno simetrijo in modeliramo samo osmino domene. ✶✷✹ Kuhljevi dnevi 2015 Konstitutivni model upošteva odvisnost napetosti tečenja od deformacije, hitrosti deformacije in temperature. Podan je z empirično enačbo (npr: Hajdukov zakon [7]) ali pa s tabelo točk, pridobljeno neposredno iz meritev. Model upoševa, da so poleg napetosti tečenja od temperature odvisni tudi ostali snovni parametri: specifična toplota, toplotna prevodnost, gostota, elastični modul in Poissonovo število. 3.2 Vključitev numeričnega modela v uporabniško aplikacijo Numerični model radialnega kovanja smo vključili v uporabniku prijazno aplikacijo, ki teče v programskem okolju Wolfram Mathematica. Njena glavna lastnost je, da omogoča avtomatičen začetek simulacije iz programskega okolja, ki nadzoruje delovanje kovaškega stroja in od uporabnika zahteva minimalno količino znanja o MKE. Aplikacija lahko uvozi kompleksno geometrijo kladiv (iz CAD datoteke), avtomatično sestavi računsko mrežo in nadzoruje potek simulacije. Mogoče je simulirati poljubno število vtikov preoblikovanca, kjer se lahko oblika prereza med vtiki spreminja (npr: kot oblike prerezov si lahko sledijo krog, kvadrat, osemkotnik in nato spet krog). Na koncu aplikacija izdela poročilo, ki vsebuje zgoščen prikaz relevantnih količin v procesu. Avtomatična postavitev simulacije in prikaz rezultatov skupaj z relativno hitrimi računskimi časi naredita to aplikacijo primerno za vsakodnevno uporabo v industrijski praksi. 4 Eksperimentalno preverjanje modela Slika 3: Primerjava izmerjene in izračunane sile na kladivo za sekvenco s štirimi vtiki. Numerični model smo preverili z eksperimentalnimi podatki za silo na kladivo, izmerjenimi na kovaškem stroju GFM RF-70. Koppensteiner in Tang [9] sta primerjala rezultate simulacij šestih kovaških sekvenc z enako začetno in končno geometrijo preoblikovanca. Sekvenco št. 1 in št. 4 sta preizkusila tudi eksperimentalno, za vsako so bili kovani trije vzorci oz. ingoti. Slika 3 prikazuje diagram izmerjenega poteka sile na kladivo za kovanje treh vzorcev po sekvenci št. 4, ki jo sestavljajo štirje vtiki, v katerih se premer okrogle palice zmanjša z Ø450 ✶✷✺ Kuhljevi dnevi 2015 mm na Ø243 mm. Vidimo, da se napoved sile iz simulacije dobro ujema z izmerjenimi vrednostmi. 5 Rezultati parametrične študije Računsko učinkovit MKE model nam omogoča, da naredimo obširne parametrične študije radialnega kovanja in identificiramo najpomembnejše procesne parametre. V tem delu smo se osredotočili na največjo silo na kladivo in povprečno moč kovanja, saj sta pogosto to glavni omejitvi kovaškega stroja. 5.1 Vhodni podatki Tabela 1 prikazuje podatke, ki smo jih uporabili za parametrično študijo. Podatki predstavljajo osnovni primer na katerem smo potem izmenično spreminjali en parameter. Podana je geometrija preoblikovanca, lastnosti kovaškega stroja RF-70 in podatki o prenosu toplote. Predpostavili smo, da je material preoblikovanca orodno jeklo H13 [7,12]. Sekvenca kovanja okroglega na okrogel prerez obsega en vtik. Tabela 1: Vhodni podatki za osnovno simulacijo z enim vtikom. Začetni premer preoblikovanca [m] Končni premer preoblikovanca [m] Dolžina preoblikovanca [mm] Frekvenca udarcev [min-1] Osno podajanje [mm/s] Rotacijski korak [° na udarec] Amplituda udarca [mm] 5.2 0.5 0.44 2 175 50 15 50 Konvekcijski koeficient [W/m2 K] Emisivnost [-] Notranja generacije toplote [-] Temperatura peči [°C] Temperatura okolice [°C] Vhodni kot kladiva [°] Čas prenosa od peči do stroja [s] 10 0.9 0.9 1150 20 10 90 Parametrična študija Diagrami na sliki 4 prikazujejo vpliv štirih pomembnih procesnih parametrov na maksimalno sile na kladivo in na povprečno moč kovanja. V vsaki skupini simulacij, prikazanih na posameznem diagramu, smo spreminjali samo en parameter, ostali vhodni podatki so bili enaki (prikazani v Tabeli 1). Preizkušene vrednosti posameznih parametrov so realne in znotraj razpona, ki se pojavlja v industrijski praksi. Slika 4a prikazuje vpliv zmanjšanja premera v enem vtiku preoblikovanca in pričakovano je ta vpliv na maksimalno silo in porabljeno moč velik. Na sliki 4b vidimo, da povečanje hitrosti osnega podajanja rahlo poveča silo na kladivo in znatno poveča porabljeno moč. Obraten vpliv ima povečanje vhodnega kota orodja (slika 4c), ki pomeni znatno zmanjšanje maksimalne sile in le zanemarljivo povečanje moči. Slika 4d prikazuje vpliv kota zasuka preoblikovanca na udarec kladiv. Kljub temu, da je kot zasuka značilen procesni parameter ima zanemarljiv vpliv na silo in moč. Pri vrednosti kota zasuka 5° je sila na kladivo sicer nekoliko večja, kar je verjetno posledica spremenjenih razmer v kontaktni coni. Zanimivo je, da se razmerje vrednosti sile in moči pri prvih treh parametrih (razen pri kotu zasuka na udarec) spreminja z vrednostjo parametra. To nakazuje, da je pri načrtovanju ✶✷✻ Kuhljevi dnevi 2015 novih sekvenc kovanja potrebno spreminjati različne parametre, glede na to, katera lastnost kovaškega stroja nas bolj omejuje, največja dovoljena sila ali razpoložljiva moč. Poleg tega je potrebno upoštevati, da sta sila in moč le dve pomembni procesni spremenljivki. Na kakovost izdelka vpliva tudi porazdelitev napetosti in deformacije, kar posledično vpliva na mikrostrukturo in stopnjo notranje poroznosti. Slika 4: Diagrami sile in moči pri spreminjanju 4 procesnih parametrov. 6 Zaključek V članku smo predstavili celovit 3D numerični model vročega radialnege kovanja po MKE, ki temelji na predpostavki kvazi-periodičnega procesa. Posledično je potrebno simulirati le manjše število udarcev kladiva in rezultate izračunati iz reprezentativnega udarca. Ta predpostavka skupaj z uporabo periodične simetrije računske domene pripomore, da je numerični model računsko učinkovit. Model smo preverili z eksperimentalnimi rezultati, s primerjavo radialne sile na kladivo pri kovanju okrogle palice s štirimi vtiki oz. deformacijskimi stopnjami. Demonstrirali smo uporabo modela za parametrično študijo kovanja okroglega prereza in identificirali stopnjo vpliva značilnih procesnih parametrov na največno silo na kladivo in na porabljeno moč. Literatura [1] C. Boyko, H. Heinen, F. R. Dax, Modeling of the Open-Die and Radial Forging Processes for Alloy 718. Superalloys 718, 625 and Various Derivatives, Pittsburgh, USA, 107--124, 1991. ✶✷✼ Kuhljevi dnevi 2015 [2] J. Chen, K. Chandrashekhara, V. L. Richards, S. N. Lekakh, Three-dimensional nonlinear finite element analysis of hot radial forging process for large diameter tubes. Materials and Manufacturing Processes 25, 669--678, 2010. [3] J. Chen, K. Chandrashekhara, C. Mahimkar, S. N. Lekakh, V. L. Richards, Study of void closure in hot radial forging process using 3D nonlinear finite element analysis. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology 62, 1001--1011, 2012. [4] J. P. Domblesky, R. Shivpuri, Development and validation of a finite-element model for multiple-pass radial forging. Journal of Materials Processing Technology 55, 432--441, 1995. [5] A. Ghaei, M. R. Movahhedy, Die design for the radial forging process using 3D FEM. Journal of Materials Processing Technology 182, 534--539, 2007. [6] P. Groche, D. Fritsche, E. A. Tekkaya, J. M. Allwood, G. Hirt, R. Neugebauer, Incremental bulk metal forming. Annals of the CIRP 56, 635--656, 2007. [7] A. Hensel, T. Spittel, Kraft- und Arbeitsbedarf bildsamer Formgebungsverfahren, Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig, 1978. (v nemščini). [8] D. Y. Jang, J. H. Liou, Study of stress development in axi-symmetric products processed by radial forging using a 3-D non-linear finite-element method. Journal of Material Processing Technology 74, 74--82, 1998. [9] R. Koppensteiner, Z. Tang, Optimizing Tooling And Pass Design For Effectiveness On Forged Product, 19th International Forgemasters Meeting, Tokyo Bay Area, Japan, 2014. [10] J. Korelc, AceGen and AceFEM user manual, Univerza v Ljubljani, 2011. Dostopno na: http://www.fgg.uni-lj.si/Symech/User/AceFEMManual.pdf in http://www.fgg.unilj.si/Symech/User/AceGenManual.pdf (ogled 11.6.2015). [11] T. Rodič, B. Štok, F. Gologranc, D.R.J. Owen, Finite element modelling of a radial forging process. 2nd International Conference on Technology of Plasticity, Stuttgart, Germany, 1065--1072, 1987. [12] M. Spittel, T. Spittel, Landolt-Börnstein - Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology, Group VIII: Advanced Materials and Technologies, Volume 2: Materials, Subvolume C: Metal Forming Data, Part 1: Ferrous alloys, Springer, 2009. ✶✷✽ S LOVENSKO SRE ČANJE DRU ŠTVO ZA MEHANIKO K UHLJEVI DNEVI 2015 Numerični izračun hidrodinamične sile na zapornico hidroelektrarne Matjaž Ramšak 1 in Aleš Hribernik 1 Numerical evaluation of hydrodynamic force on water gate of hydro power plant Povzetek. V prispevku predstavljamo rezultate numeričnega izračuna hidrodinamične sile na zapornico HE Fala v odvisnosti od njenega odprtja. Pri tem lahko nastane vodni tok nad in pod zapornico. Numerični izračun je narejen s programskim paketom ANSYS CFX. Rezultati dvižne sile so primerjani z meritvami na modelu obstoječega stanja. Glavni namen dela je izračunati morebitno zmanjšanje dvižne sile pri predlaganih geometrijskih modifikacijah zapornice. Abstract. The numerical simulation was applied to investigate the hydrodynamic force on water gate of hydro power plant Fala as a function of the gate opening. The gate construction allows water flow over and under the gate. The numerical simulation is performed using ANSYS CFX. The lifting force is compared with the experimental results obtained on the model of the current state. The main motivation was to compute possible lifting force reduction of suggested geometrical water gate modifications. 1 Uvod Pri dvigovanju zapornic HE Fala je dvižni mehanizem preobremenjen. Teretično sta možna dva vzroka in v tem smislu tudi dve rešitvi: prešibek dvižni mehanizem ali prevelika hidrodinamična sila vsled prenove zapornic pred približno 20 leti. Naročnik pričujoče raziskave želi s simulacijo tokovnih razmer izračun hidrodinamične dvižne sile obstoječega stanja za katerega ima modelne meritve. Glavni motivacija dela je izračun različnih geometrijskih modifikacije zapornice z namenom zmanjšati dvižno silo. Pri numeričnem modelu smo upoštevali naslednje poenostavitve. 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Smetanova 17, Maribor ✶✷✾ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 1 : Tloris horizontalnega rebra zapornice z označeno lokacijo značilnega vertikalnega prereza narisanega na sliki 2. • Ravninski primer. Pri tem smo definirali karakteristični vertikalni prerez zapornice. S tem predpostavimo konstantno geometrijo in enakomerni pretok vode v tretji zanemarjeni dimenziji. Iz hidrodinamičnega vidika smo tako zanemarili vpliv horizontalnih polnih plošč ob robovih zapornice in vertikalnih pregradnih plošč, slika 1. Vsled naštetega smemo pričakovati, da bo simulirana dvižna sila manjša od izmerjene na modelskem preizkusu. • Časovno ustaljena rešitev. Slednjo poenostavitev utemeljimo z dejstvom, da je hitrost dviganja in spuščanja zapornice zelo mala. Le-ta je namreč vrednosti 0.6 m/min, oziroma 0.01 m/s. V primerjavi z hitrostjo vode, ki je v razredu med 1 in 10 m/s, je to zanemarljivo malo. 2 Vodilne enačbe in robni pogoji Rešujemo povprečene Navier-Stokesove enačbe za dvofazni tok z metodo VOF, več v [1]. Za modeliranje turbulentnega toka smo uporabili standardni k-epsilon model z zidnimi funkcijami. Enačbe rešujemo z ANSYS CFX. Robni pogoji po posameznih robovih so prikazani na sliki 2. Konstantna hitrost po globini na vstopu je izračunana iz pretoka Q in vstopnega preseka, ki je določen kot produkt globine 17.5 m in širine jezu 15.2 m. Vrednosti pretoka v odvisnosti od odprtja zapornice a smo odčitali iz diagrama, ki je v poročilu o modelnih meritvah [2]. Pretok se z odprtjem zapornice a praktično linearno povečuje. 3 Rezultati 3.1 Konvergenca rezultatov Primer ni konvergiral k ustaljeni rešitvi, kar ustreza dejanskemu stanju. Največji ostanek rešitve je za prenosno enačbo volumskega deleža in sicer reda velikosti 10−2 . Ostali ostanki rešitve so bili velikostnega reda 10−4 , ki je tudi predpisani konvergenčni kriterij. Cilj simulacije je izračun hidrodinamične sile. Le-ta je kaotično oscilirala. Izračun smo zato omejili na 2000 iteracij. Za zadnjih 1000 iteracij smo izračunali povprečno vrednost sil in standardni odklon. Le-ta je bil ✶✸✵ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 2 : Robni pogoji. manjši od 1% velikosti povprečne sile v vseh primerih. Sklepamo torej lahko, da je numerična rešitev dvižne in pritisne sile konvergirana. 3.2 Občutljivost na gostoto mreže Uporabili smo štiri gostote mreže s karakteristično dolžino elementov ob stenah zapornice 4 cm, 2 cm, 1 cm in 0.5 cm. Velikost mreže v notranjosti območja je 5 cm in je nismo spreminjali. Najgostejša mreža je imela milijon vozlišč. Rezultate dvižne sile in potreben računski čas smo prikazali na sliki 3. Glede na dejstvo, da se rezultati na mrežah 1 cm in 0.5 cm razlikujejo manj kot 0.5% in dodatno, da so znotraj standardnega odklona velikosti 1%, smo se odločili za mrežo 1 cm. 3.3 Rezultati obstoječega stanja Na slikah 5 smo prikazali volumski delež vode v odvisnosti od odprtja zapornice. V skladu s pričakovanji se pretok prelivajoče vode z večanjem odprtja zmanjšuje. Pri odprtju 6 m je opaziti velik skok gladine takoj za vstopnim robom, približno 2 m. Glede na predpisane robne pogoje sta možna dva vzroka: prevelik pretok ali prenizko predpisana gladina zgornje vode. 3.4 Korekcija pretoka Pri odprtju 6 m smo predpisani pretok 970 m3 /s zmanjšali na 900, 820 in 660 m3 /s. Z zmanjševanjem pretoka se niža tudi gladina. Pri 660 m3 /s gladina za vstopnim robnim pogojem tako hitro pade, da celotna zapornica ostane suha, slike so zbrane v poročilu [3]. Pri 900 m3 /s je skok gladine manjši, približno 1 m. Pri tem pretoku se voda tudi preneha prelivati čez zapornico. Gladina se povsem poravna pri pretoku 820 m3 /s, zadnja slika na sliki 5. Hidravlična sila se temu ustrezno zmanjša, slika 6. ✶✸✶ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 3 : Grafični prikaz občutljivosti dvižne sile v odvisnosti od gostote mreže in poraba računalniškega časa. 3.5 Primerjava z meritvami na modelu Iz primerjave sledi dobra in slaba ugotovitev. Dobra je ta, da smo s simulacijo zelo dobro ujeli trend hidrodinamične dvižne sile. Z odpiranjem zapornice se sila veča, doseže maksimum med a=3 m in 4 m, nato pa se manjša. Natanko tako kot pri meritvah. Druga, slaba ugotovitev je, da je velikost simulirane sile znatno prenizka. V povprečju je simulirana sila za polovico manjša od izmerjene. Vzroki za razhajanja so sledeči (od največjega proti najmanjšemu). • Poenostavitev 2D. Ob levi in desni strani odprtine je horizontalna plošča brez luknje, ki sama po sebi gotovo pomembno prispeva k povečanju izmerjene hidrodinamične sile, glej načrt zapornice 1. Prav tako to zaprtje znatno poveča vertikalno hitrost skozi modelirano odprtino. Torej značilni ravninski prerez zapornice bi moral imeti znatno manjše odprtine v horizontalnih rebrih. • Napaka robnih pogojev: določitve pretokov in pripadajočih kot gladine vode. • Napake numeričnega modeliranja kompleksnih realnih razmer na zapornici z fizikalnim modelom turbulence in dvofaznega toka. 3.6 Modifikacije geometrije zapornice Glavni izvor hidrodinamične sile je nalet vode na ovirajoče površine, ki se kaže v povečanju tlaka na protitočni strani in podtlaku na odtočni strani, glej sliko 9. Začetna ideja je bila sledeča: če zmanjšamo vertikalno hitrost v odprtinah med rebri se zmanjša hidrodinamična sila. Največja hitrost je skozi spodnje rebro, zato smo na spodnji strani tega rebra horizontalno odprtino zaprli. Rezultat ni bil v skladu s pričakovanji. Hidrodinamična sila se je res zmanjšala praktično na nič, nastala pa je hidrostatična sila, saj je pod zaprtim spodnjim rebrom nastal zračni žep in je to rebro nosilo celoten hidrostatičen stolpec vode. Dvižna sila se je skoraj podeseterila. Začetna modifikacija ni dobila oznake. ✶✸✷ Kuhljevi dnevi 2015 Varianta 1 predvideva horizontalno zaprtje prostora med spodnjimi tremi rebri, kot je prikazano na sliki 7 z namenom zmanjšati vertikalno hitrost. Tudi v tem primeru rezultati niso v skladu s pričakovanji. Zaprtje je povzročilo v na novo nastalem vertikalnem kanalu še večje hitrosti. Na tretjem rebru šteto od spodaj, slika 9, levo je nastal velik podtlak, ki povečuje dvižno silo. Na desni strani pa je nastal močan lokalni vrtinec in posledično podtlak v celotnem medrebrnem prostoru. Pri odprtju 2 m se je dvižna sila celo povečala, pri 3 m pa zmanjšala za 20%. Varianta 2 zajema zmanjšanje spodnjega rebra in premik navzgor z namenom zgladiti spodnjo površino zapornice. Seveda to izniči osnovni namen reber, to je mehanska ojačitev. Zato, ta varianta predvideva dodatne vertikalne paličaste ojačitve, ki smo jih v simulaciji zanemarili. Tokrat so rezultati ugodni. Dvižna sila se je zmanjšala za dobrih 50% pri odprtjih 2 m in 3 m, diagram 6. 4 Zaključek V prispevku smo prikazali numerično analizo hidrodinamične sile na zapornico. Definirali smo poenostavljen ravninski problem, fizikalni model in pripadajoče robne pogoje, slika 2. Primeri niso konvergirali k ustaljeni rešitvi, ampak so sile na zapornico nihale znotraj 1%. Analizirali smo tudi vpliv gostote mreže in izračunali natančnost numerične rešitve na 1%, slika 3. Primerjava z modelskimi meritvami kaže na podcenjeno simulirano silo za 50%, graf 6. Navedli smo vzroke. Geometrijska modifikacija zapornice Varianta 2 zmanjša dvižno silo za 50% glede na obstoječe stanje. Zaključiti smemo, da je numerična simulacija dvižne sile uspešno zaključena. Za natančnejšo simulacijo bi bilo potrebno vključiti še tretjo dimenzijo. Zahvala Avtorja se zahvaljujeva Dravskim elektrarnam Maribor za financiranje projekta in dovoljenju za objavo rezultatov. Literatura [1] Ansys CFX 15.0: Solver Theory Guide, 2014. [2] Hidravlične modelne raziskave tablastih zapornic prelivnih polj he fala, Tech. rep., Vodnogospodarki inštitut Ljubljana, Vodnogradbeni laboratorij (1991). [3] A. Hribernik, M. Ramšak, Določitev hidrodinamične sile na zapornico he fala, Tech. rep., Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo (2015). ✶✸✸ Kuhljevi dnevi 2015 a=0 m a=1 m a=2 m a=3 m a=6 m a=6 m po zmanjšanju pretoka Slika 5 : Volumski delež vode in zraka v odvisnosti od odprtja. ✶✸✹ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 6 : Primerjava izračunane dvižne sile in meritvami na modelu [2] v odvisnosti od odprtja zapornice a. Vpliv korekcije pretoka in variante 1 ter 2. Slika 7 : Geometrija obstoječe zapornice, variante 1 in 2 (od leve proti desni). ✶✸✺ Kuhljevi dnevi 2015 Obstoječe Obstoječe Varianta 1 Varianta 1 Varianta 2 Varianta 2 Slika 9 : Vektorji hitrosti vode in porazdelitev tlaka pri odprtju zapornice 2 metra. ✶✸✻ S LOVENSKO SRE ČANJE DRU ŠTVO ZA MEHANIKO K UHLJEVI DNEVI 2015 Simulacija toka in prenosa toplote tekočine z nanodelci okoli eliptičnega valja J. Ravnik,1 in L. Škerget1 Simulations of flow and heat transfer of a nanofluid around an elliptical cylinder Povzetek. V prispevku analiziramo rezultate simulacij toka in prenosa toplote suspenzije tekočine in nanodelcev okoli vročega vključka. Obravnavamo vroč valj okroglega in eliptičnega prereza v ohlajeni kotanji. Naravna konvekcija, ki se razvije, poskrbi za prenos toplote iz valja v kotanjo. Simulacije izvajamo za različne temperaturne razlike in postavitve kotanje glede na težni pospešek. Tok je stacionaren in laminaren, najvišje Rayleighovo število je milijon. Simuliramo tok suspenzije Al2 O3 nanodelcev v vodi pri različnih koncentracijah nanodelcev, kot tudi tok zraka in vode za primerjavo. Rezultati pokažejo, da prisotnost nanodelcev poveča prenos toplote najbolj v primerih, ko se večina toplote prenese s prevajanjem. V primerih, ko je glavni mehanizem prenosa toplote konvekcija, je učinek nanodelcev manjši. Ko kotanjo nagnemo, se simetrija v toku izgubi in hkrati se poveča prenos toplote. Abstract. In this paper we develop a numerical method and present results of simulations of flow and heat transfer of nanofluids. We consider a heated circular and elliptical cylinder in a cooled cubic enclosure. Natural convection, which drives the flow, and heat transfer are simulated for different temperature differences and enclosure inclination angles. Steady laminar regime is considered with Rayleigh number values up to a million. Al2 O3 nanofluid is considered, as well as pure water and air for validation purposes. Properties of the nanofluid are considered to be constant throughout the domain and are estimated for different nanoparticle volume fractions. The results show highest heat transfer enhancement in the conduction dominated flow regime, where the enhanced thermal properties of nanofluids play an important role. When convection is the dominant heat transfer mechanism, the using nanofluids yields a smaller increase in heat transfer efficiency. As the enclosure is tilted against gravity, the flow symmetry around an elliptical cylinder is lost and the overall heat transfer increases. 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo ✶✸✼ Kuhljevi dnevi 2015 1 Uvod Naravno konvekcijo uporabljamo za hlajenje v različnih napravah. Izbira tekočine, ki prenaša toploto, odločujoče vpliva na količino prenesene toplote. Klasični mediji, kot sta voda in olje, imajo slabe toplotne lastnosti, zato je Choi [3] pripravil suspenziji delcev velikosti (10–50 nm) v nosilni tekočini. Delci v suspenziji so enakomerno porazdeljeni po tekočini. Nanodelci imajo zelo visoko toplotno prevodnost, kar prinese takšni tekočini dobre toplotne lastnosti. Suspenzije nanodelcev v tekočini so predmet intenzivnih raziskav v zadnjem desetletju; narejene so bile mnoge eksperimentalne in teoretične študije (Wang and Mujumdar [12]). Tudi raziskave naravne konvekcije suspenzij nanodelcev v tekočini so v zadnjih letih v porastu [6, 11]. Hu in sod. so raziskali kvadratno kotanjo in primerjali eksperimentalne meritve s simulacijami. Oztop in Abu-Nada [8] sta obravnavala pravokotno kotanjo v dveh dimenzijah in ugotovila da tip nanodelcev vliva an prenosne lastnosti suspenzije. Prav tako sta Abu-Nada in Oztop [1] raziskala vpliv nagiba kotanje glede na gravitacijo in ugotovila, da je povišanje prenosa toplote najizrazitejše pri nizkih vrednostih Rayleighovega števila. 2 Opis problema Gret valj vstavimo v kotanjo s štirimi hlajenimi stenami. Sprednja in zadnja stena sta izolirani (adiabatni). Na vseh stena predpostavimo, da tekočina ne zdrsi. Toplota prehaja iz valja v tekočino, kjer zaradi spremembe gostote pride do vzgonskih sil in razvoja naravne konvekcije. Ta dviguje ogreto tekočino navzgor do vrha kotanje, kjer se preusmeri in vrača navzdol ob stenah. Količina prenesene toplote je odvisna od oblike valja, vrste tekočine, temperaturne razlike med valjem in stenami in od nagiba kotanje glede na gravitacijo. Eliptičen valj je vstavljen v središče kotanje. Osnovna ploskev je elipsa s polosema a in b, ki sta definirani kot p (1) a = 0.2L, b = a 1 − e2 , kjer je e ekscentričnost elipse in L dolžina valja. V analizah smo uporabljali e = 0 in e = 0.9. Kotanja je oblikovana kot kocka s prostornino L3 . Nagib kotanje glede na gravitacijo meri kot γ. Temperaturi valja in sten sta konstantni Th in Tc . Poleg polne 3D simulacije smo problem obravnavali tudi dvodimenzijsko. V tem primeru na sprednji in zadnji strani predpišemo popolni zdrs tekočine. Skica in prikaz robnih pogojev sta podana na sliki 1. 3 Vodilne enačbe Obravnavamo suspenzije nanodelcev na vodni osnovi ter zrak in vodo zaradi primerjav z drugimi avtorji. Lastnosti nanodelcev, zraka in vode so podani v tabeli 1. Predpostavljamo, da so voda in nanodelci v termičnem ravnovesju. Naravna konvekcija, ki se razvije je laminarna in stacionarna. Tok je nestisljiv. Suspenzija nanodelcev v tekočini ima naslednje efektivne lastnosti: gostoto ρn f , dinamično viskoznost µn f , specifično toploto (c p )n f , koeficient toplotnega raztezka βn f in toplotno prevodnost kn f , kjer nf označuje efektivne lastnosti suspenzije. Te lastnosti so konstantne po celotni suspenziji. Lastnosti čiste tekočine označujemo s f . ✶✸✽ Kuhljevi dnevi 2015 hladne stene, Tc z L L 2 ~g γ b L α 0 a vroč vključek, Th L 2 x hladne stene, Tc L Slika 1 : Prikaz računskega območja in koordinatnega sistema z robnimi pogoji. Kot α meri položaj na robu valja. Kot γ pa meri nagib kotanje glede na gravitacijo. Sprednja in zadnja stena kotanje (y = 0 in y = L) sta idealno toplotno izolirani. Tabela 1 : Lastnosti tekočin in nanodelcev (Oztop and Abu-Nada [8]). cp [J/kgK] zrak voda 1005 4179 Al2 O3 765 ρ [kg/m3 ] k β [W /mK] [·10−5 K −1 ] čisti tekočini 1.205 0.0257 3.43 997.1 0.613 21 trdni nanodelci 3970 40 0.85 µ [mm2 /s] 15.11 0.912 Za zapis vodilnih enačb uporabimo brezdimenzijsko hitrost ~v, položaj~r, vrtinčnost ~ω, temperaturo T in težni pospešek ~g ~v → ~r⋆ ~v⋆ , ~r → , v0 L ~ω → kjer velja, da je karakteristična hitrost v0 = ~ω⋆ L , v0 kf (ρc p ) f L T→ T ⋆ − Tc , Th − Tc ~g → ~g⋆ g0 (2) in g0 = 9.81m/s2 . Brezdimenzijska oblika hitrostno vrtinčne formulacije Navier-Stokesovih enačb za simulacijo suspenzije nanodelcev v tekočini se zapiše kot enačba kinematike in prenosni enačbi za vrtinčnost in energijo takole [10]: ∇2~v + ~∇ × ~ω = 0, (3) µn f ρ f 2 βn f ~ ∇ × T~g, ∇ ~ω − PrRa (~v · ~∇)~ω = (~ω · ~∇)~v + Pr µ f ρn f βf ✶✸✾ (4) Kuhljevi dnevi 2015 kn f (ρc p ) f 2 ∇ T. (~v · ~∇)T = k f (ρc p )n f (5) V enačbah nastopata Rayleighjevo in Prandtlovo število, ki sta definirana z lastnostmi čiste nosilne tekočine: µ f cp g0 β f ∆T L3 ρ f (ρc p ) f , Pr = . (6) Ra = µf kf kf Efektivne lastnosti suspenzije nanodelcev v tekočni smo izračunali s pomočjo naslednjih modelov. Gostoto suspenzije izračunamo s pomočjo volumskega deleža nanodelcev ϕ in gostot vode ρ f in delcev ρs takole: ρn f = (1 − ϕ)ρ f + ϕρs . (7) Za izračun efektivne dinamične viskoznosti uporabimo model Brinkmana [2], ki je zapisal µn f = µf . (1 − ϕ)2.5 (8) Specifično toploto lahko zapišemo kot (Khanafer et al. [4]): (ρc p )n f = (1 − ϕ)(ρc p ) f + ϕ(ρc p )s . (9) Podobno, lahko tudi temperaturno razteznost zapišemo kot (ρβ)n f = (1 − ϕ)(ρβ) f + ϕ(ρβ)s , kar lahko ob upoštevanju definicije ρn f zapišemo kot:  βn f = β f  1 1+ (1−ϕ)ρ f ϕρs  1 βs  + ϕ ρs . β f 1 + 1−ϕ ρf (10) Približek za efektivno toplotno prevodnost dobimo s formulo Maxwell-Garnett [7] kn f = k f ks + 2k f − 2ϕ(k f − ks ) . ks + 2k f + ϕ(k f − ks ) (11) 4 Numerični algoritem in validacija Sistem vodilnih enačb za tok in prenos toplote smo rešili z lastnim numeričnim algoritmom, ki temelji na metodi robnih elementov (Ravnik in sod. [10, 9]). Rezultate smo validirali s pomočjo primerjave z rezultati Kim in sod. [5], ki je simuliral naravno konvekcijo zraka okoli valja v zaprti kotanji v dveh dimenzijah. Primerjavo smo izvedli za Rayleighova števila Ra = 103 − 106 . Prenos toplote iz valja v tekočino merimo z Nusseltovim številom. Primerjavo smo izvedli za tri računske mreže, rezultati so prikazani v preglednici 2. Vidimo, da se vse vrednosti Nusseltovega števila razlikujejo manj kot 1% od rezultatov Kim in sod. [5]. Glede na to, smo vse nadaljnje analize izvajali na gosti mreži. Mrežo za 3D simulacijo smo izdelali iz goste 2D mreže, tako da smo 21 vozlišč enakomerno porazdelili po tretji dimenziji. Skupaj je 3D mreža imela 139 tisoč vozlišč. ✶✹✵ Kuhljevi dnevi 2015 Tabela 2 : Validacija numerične metode. Primerjamo povprečen toplotni tok iz valja v tekočino izražen z Nusseltovim številom s podatki Kim in sod. [5]. Simulacije so izvedene v dveh dimenzijah za valj z e = 0 na različnih mrežah. Tekočina je zrak s Pr = 0.7. Redka mreža ima 14.4, gosta 32.0, zelo gosta pa 39.4 tisoč vozlišč. mreža / Ra 103 104 105 106 zelo gosta 5.041 5.133 7.756 14.020 gosta 5.041 5.133 7.779 14.080 redka 5.042 5.135 7.834 14.275 Kim et al. [5] 5.093 5.108 7.767 14.110 5 Rezultati Raziskali smo vpliv Rayleighovega števila in različnih kotov glede na gravitacijo. Eliptična oblika (e = 0.9) povzroči spremembo tokovnega polja, ko je kotanja nagnjena. To je razvidno na slikah 2 in 3, kjer prikazujemo izoterme in tokovnice. Pri Ra = 104 se toplota prenaša predvsem s prevajanjem in zato so izoterme eliptične oblike. Tokovnice kažejo na simetrično tokovno polje z vrtincem na obeh straneh valja. Ra = 104 Ra = 105 Ra = 106 ϕ = 0.1 Al2 03 nanotekočina γ = 15◦ 0.6 0.5 0.7 0.8 0.9 0.4 0.3 0.2 0.1 nizek toplotni tok ~g γ = 45◦ visok toplotni tok Slika 2 : Izoterme za ϕ = 0.1 Al2 O3 suspenzijo v 2D simulaciji za Ra = 104 . . . 106 . V zgornji vrsti so rezultati za γ = 15◦ , v spodnji pa je γ = 45◦ . Ko pogledamo tokovna polja, kjer prevladuje konvekcija toplote (Ra = 105 in Ra = 106 ) opazimo, da se simetrija izgubi. Poviševanje nagiba premika navidezno črto, ki deli oba vrtinca. Ta položaj je pomemben, saj v tem delu nad valjem tok stagnira in tam je prenos toplote iz valja najslabši. Opazimo, da je točka, kjer ne prenos toplote najslabši na najvišjem delu valja (v ✶✹✶ Kuhljevi dnevi 2015 Ra = 104 Ra = 105 Ra = 106 ϕ = 0.1 Al2 03 nanotekočina γ = 15◦ γ stagnacijska točka ~g = 45◦ Nusseltovo število, Nu(α) Slika 3 : Tokovnice za ϕ = 0.1 Al2 O3 suspenzijo v 2D simulaciji za Ra = 104 . . . 106 . V zgornji vrsti so rezultati za γ = 15◦ , v spodnji pa je γ = 45◦ . Barva določa hitrost. Ra = 104 α 40 30 x 90 γ Ra = 105 ~g desna stran γ=0 γ = 15o γ = 30o γ= 45o 40 40 leva stran 30 180 270 20 20 10 10 0 0 Ra = 106 o 90 180 α 270 360 0 0 30 spodaj zgoraj 20 10 90 180 α 270 360 0 0 90 180 270 360 α Slika 4 : Toplotni tok po obodu valja izražen kot Nusseltovo število. Prikazani so rezultati 2D simulacij za ϕ = 0.2 Al2 O3 suspenzijo. Rayleighovo število Ra = 104 (levo), Ra = 105 (sredina) and Ra = 106 (desno). Prikazani so rezultati za različne kote nagiba γ glede na gravitacijo. ✶✹✷ Kuhljevi dnevi 2015 točki, ki ima največjo z koordinato). Torej višanje nagiba (višanje γ) premakne območje slabega prenosa toplote od vrha valja (α = 90◦ ) proti robu (α = 0◦ ). To lahko opazimo tudi na prikazu porazdelitve toplotnega toka po obsegu valja na sliki 4. Na drugi strani pa v režimu, kjer prevladuje prevod toplote (Ra ≤ 104 ), nagib ne vpliva na toplotni tok. Porazdelitev toplotnega toka po obodu valja ima dva vrha na straneh valja. Nagib poveča toplotni tok po večjem delu valja razen območja okoli α = 0◦ , kjer se toplotni tok zmanjša. Največji toplotni tok je na spodnji levi strani valja pri α = 180◦ . Na sliki 5 prikazujemo povprečen toplotni tok izražen z Nusseltovim številom za 3D simulacijo. Opazimo višanje prenosa toplote s količino nanodelcev in z Rayleighovim številom. Povečevanje je največje ko se večino toplote prevaja (Ra ≤ 104 ). Tu zabeležimo ≈ 30% povišanje toplotnega toka pri ϕ = 0.1 in ≈ 70% pri ϕ = 0.2. Ko konvekcija postane pomembna, je relativno povišanje manjše, saj lastnosti tekočine manj vplivajo na toplotni tok. Nusseltovo število 11 ϕ = 0.2 10 voda Al2O3, ϕ=0.1, γ=00 0 Al2O3, ϕ=0.1, γ=15 0 Al2O3, ϕ=0.1, γ=30 0 Al2O3, ϕ=0.1, γ=45 0 Al2O3, ϕ=0.2, γ=0 0 Al2O3, ϕ=0.2, γ=15 Al2O3, ϕ=0.2, γ=300 0 Al2O3, ϕ=0.2, γ=45 9 8 ϕ = 0.1 7 6 povečan toplotni tok 5 voda 4 3 10 10 4 10 5 Rayleighjevo število Slika 5 : Odvisnost Nusseltovega števila od Rayleighovega za 3D simulacijo. Opazimo povečevanje prenosa toplote z naraščanjem temperaturne razlike (Ra števila) in s povečevanjem kota γ. 6 Zaključki V prispevku smo predstavili rezultate simulacij toka suspenzije nanodelcev v tekočni. Simulacije so bile izvedene z lastno numerično metodo, ki temelji na rešitvi Navier-Stokesovih enačb z metodo robnih elementov. Raziskali smo prenos toplote iz vročega eliptičnega valja v zaprti kotanji. Primerjali smo rezultati pri različnih vrednostih Rayleighovega števila in različnih nagibih kotanje. Ugotovili smo, da prisotnost nanodelcev v tekočini najmočneje poveča prenos toplote v primerih, ko je glavni mehanizem prenosa prevajanje. Takrat dobre toplotne lastnosti nanodelcev odločujoče vplivajo na prenos toplote in privedejo do povečanja prenosa. V primerih, ko je dominanten prenosni mehanizem konvekcija, opazimo zaradi uporabe suspenzije kot prenosnega medija manjše ✶✹✸ Kuhljevi dnevi 2015 povečanje prenosa toplote. Nagibanje kotanje glede na gravitacijo poveča prenos toplote in spremeni strukturo toka. To povečanje je manjše v primerih tokov, kjer prevladuje prevod toplote in večje v primerih ko prevladuje konvekcija. Nagib povzroči tudi drugačno porazdelitev toplotnega toka po vključku. Območje, kjer je toplotni tok najmanjši se iz vrha z nagibom pomika proti robu elipsoidnega vključka. Literatura [1] E. Abu-Nada in H. F. Oztop. Effects of inclination angle on natural convection in enclosures filled with Cu-–water nanofluid. Int. J. Heat Fluid Fl., 30:669–678, 2009. [2] H. C. Brinkman. The viscosity of concentrated suspensions and solutions. J. Chem. Phys., 20:571–581, 1952. [3] S. U. S. Choi. Enhancing thermal conductivity of fluids with nanoparticles. Develop. Appl. Non Newtonian Flows, 66:99–106, 1995. [4] K. Khanafer, K. Vafai in M. Lightstone. Buoyancy-driven heat transfer enhancement in a two-dimensional enclosure utilizing nanofluids. Int. J. Heat Mass Transfer, 46:3639–3653, 2003. [5] B.S. Kim, D.S. Lee in M.Y. Ha amd H.S. Yoon. A numerical study of natural convection in a square enclosure with a circular cylinder at different vertical locations. International Journal of Heat and Mass Transfer, 51:1888–1906, 2008. [6] M. Habibi Matin in I. Pop. Natural convection flow and heat transfer in an eccentric annulus filled by copper nanofluid. International Journal of Heat and Mass Transfer, 61:353 – 364, 2013. [7] J. C. Maxwell. A Treatise on Electricity and Magnetism, second ed. Clarendon Press, Oxford, UK, 1881. [8] H. F. Oztop in E. Abu-Nada. Natural convection of water-based nanofluids in an inclined enclosure with a heat source. Int. J. Heat Fluid Flow, 29:1326–1336, 2008. [9] J. Ravnik in L. Škerget. A numerical study of nanofluid natural convection in a cubic enclosure with a circular and an ellipsoidal cylinder. International Journal of Heat and Mass Transfer, 89:596–605, 2015. [10] J. Ravnik, L. Škerget in M. Hriberšek. Analysis of three-dimensional natural convection of nanofluids by BEM. Eng. Anal. Bound. Elem., 34:1018–1030, 2010. [11] Mohsen Sheikholeslami, Mofid Gorji-Bandpy in Kuppalapalle Vajravelu. Lattice boltzmann simulation of magnetohydrodynamic natural convection heat transfer of al2o3–water nanofluid in a horizontal cylindrical enclosure with an inner triangular cylinder. International Journal of Heat and Mass Transfer, 80:16 – 25, 2015. [12] X.-Q. Wang in A. S. Mujumdar. Heat transfer characteristics of nanofluids: a review. International Journal of Thermal Sciences, 46:1–19, 2007. ✶✹✹ S LOVENSKO SRE ČANJE DRU ŠTVO ZA MEHANIKO K UHLJEVI DNEVI 2015 Redukcija modelov in metode sklapljanja v dinamiki struktur B. Starc1 , G. Čepon2 in M. Boltežar3 Model reduction and assembly techinques in structural dynamics Povzetek. Predstavljene so štiri metode za redukcijo linearnih dinamskih modelov v povezavi s sklapljanjem podstruktur na primeru prosto-prosto vpetega nosilca. Podana je primerjava med metodami in primerjava z metodo končnih elementov. Abstract. A presentation of four different model reduction methods in combination with assembly of substructures is given on an example of a free-free supported beam. The results are compared to the classical finite element method. 1 Uvod Začetki razvoja metod za redukcijo dinamskih modelov segajo v leto 1968 z objavo CraigBamptonove metode [1]. Kot že ime pove, je namen redukcije modela zmanjšanje števila prostostnih stopenj, saj nas njihovo število pri klasični metodi končnih elementov lahko ovira. Z manjšim številom prostostnih stopenj metode redukcije modela omogočajo enostavnejši, predvsem pa hitrejši izračun, še posebej pri eksplicitnih analizah velikih modelov. Metode se uporabljajo za analizo linearno časovno invariantnih sistemov. Poleg Craig-Bamptonove metode, poznamo še MacNealovo [5] (1971), Rubinovo [7] (1975) in Dual Craig-Bamptonovo metodo [6] (2004). Omenjene metode se pogosto uporabljajo v dinamiki podstruktur, kjer posamezne podkompnente s pomočjo metod sklapljanja tvorijo celoten model. Tak način analize omogoča boljši vpogled v obnašanje podstruktur in posledično bolj poglobljeno razumevanje celotnega modela. Obenem je prednost takega načina obravnave analiza modifikacij posameznih delov strukture, saj je za ponoven izračun potreben le izračun modificirane podstrukture. V članku so predstavljene štiri metode redukcije modela v povezavi z metodami sklapljanja in njihovo primerjavo z metodo končnih elementov na primeru prosto-prosto vpetega nosilca. 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo 3 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo 2 Univerza ✶✹✺ Kuhljevi dnevi 2015 2 Numerični model Numerični model predstavlja jekleni nosilec, dimenzij 0, 5 m×0, 025 m×0, 015 m in je prikazan na sliki 1. Nosilec je definiran z kvadrastimi elementi prvega reda. Vsaka polovica nosilca je definirana s svojo gostoto mreže, zaradi boljšega prikaza delovanja metod sklapljanja. Celoten nosilec ima 8511 prostostnih stopenj. Slika 1: Numerični model nosilca. 3 Redukcija modela in sklapljanje podrstruktur Klasična metoda končnih elementov potrebuje veliko število prostostnih stopenj za natančen popis velikih modelov, kar je še posebej izrazito pri eksplicitnih analizah. V izogib dolgim računskim časom, se običajno poizkuša reducirati velikost modela, kar pa vpliva na točnost rešitve. Alternativna možnost se ponuja v metodah redukcije modela in njihovi kombinaciji s sklapljanjem podstruktur. Tak način analize je poznan tudi pod imenom modalna sinteza (ang. component mode synthesis). Pomembni prednosti tega postopka sta bistveno zmanjšanje prostostnih stopenj sistema in zmožnost hitre analize spreminjajoče se podstrukture. Pri modifikacijah zgolj ene podstrukture se torej spreminja le modificiran del, medtem ko je preostala struktura že analizirana. Tak način omogoča bistveni prihranek časa, predvsem kadar je spreminjajoča podstruktura bistveno manjša od preostale strukture. Redukcija modela je še posebej uporabna pri eksplicitnih analizah velikih modelov, kjer znatno zmanjšanje števila prostostnih stopenj omogoča bistveno hitrejše računske čase. V nadaljevanju bodo obravnavane štiri metode redukcije modela skupaj s sklapljanjem podstruktur, na koncu pa bodo predstavljeni rezultati primerjave teh metod z metodo končnih elementov. Primerjan je nosilec (slika 1), ki je tokrat razdeljen na dve polovici (podstukturi), za boljši prikaz delovanja metod sklapljanja. ✶✹✻ Kuhljevi dnevi 2015 3.1 Redukcija modela Pri redukciji modela se ohrani gosta mreža, kot pri končnih elementih, medtem ko se zamenjajo fizične prostostne stopnje z bistveno manjšim naborom generaliziranih prostostnih stopenj. To omogočata princip modalne superpozicije in princip modalnega odreza (ang. modal truncation). V našem primeru obravnavamo štiri metode: Craig-Bamptonovo [1], MacNealovo [5], Rubinovo [7] in Dual Craig-Bamptonovo [6]. Natančen pregled omenjenih metod najdemo v Voormeerenovem doktoratu [8]. Metode so sestavljene iz statičnih in dinamskih lastnih oblik. Statične lastne oblike se nadalje delijo na omejitvene (ang. constraint modes), eksperimentalne pritrditvene (ang. attachment modes) in numerične pritrditvene lastne oblike (ang. residual attachment modes). Dinamske lastne oblike pa delimo na lastne oblike prostih povezav (ang. free interface modes), lastne oblike togega telesa (ang. rigid body modes) in lastne oblike fiksnih povezav (ang. fixed interface modes). Izpeljavo statičnih in dinamskih lastnih oblik najedmo v literaturi: [8], [2] in [4]. Metode redukcije modela so tesno povezane z področjem dinamike podstruktur, kjer je dinamski model podstrukture definiran kot: M(s) ü(s) (t) + C(s) u̇(s) (t) + K(s) u(s) (t) = f(s) (t) + g(s) (t), (1) Matrike M(s) , C(s) and K(s) predstavljajo masno matriko, matriko dušenja in togostno matriko podstrukture s. Vektor u(s) (t) in njegova odvoda u̇(s) (t) in ü(s) (t) predstavljajo vektor pomikov, hitrosti in pospeškov, f(s) predstavlja vektor zunanjih sil in g(s) predstavlja vektor povezovalnih sil s sosednjimi podstrukturami. 3.1.1 Craig-Bamptonova metoda Craig-Bamptonova metoda predpostavlja razdelitev fizičnih prostostnih stopenj u na notranje ui in robne prostostne stopnje ub . Aproksimacija notranjih prostostnih stopenj je definirana kot: Φi η i ui ≈ Ψ c ub +Φ (2) kjer so Ψ c statične omejitvene lastne oblike in kjer Φ i predstavlja reduciran nabor fiksnih dinamskih lastnih oblik. Redukcijo lahko zapišemo na sledeč način:  ui ub  ≈  Φi Ψc 0 I  ηi ub  = RCB qCB (3) Če vstavimo enačnbo (3) v enačbo (1) dobimo sledeče reducirane gibalne enačbe:  I Mφb Mbφ M̃bb  ηi η̈ üb  +  Ω 2i 0 0 K̃bb ✶✹✼  ηi ub  =  f̃i f̃b  +  0 gb  (4) Kuhljevi dnevi 2015 in kjer velja K̃bb = Kbb − Kbi K−1 ii Kib −1 −1 −1 M̃bb = Mbb − Mbi K−1 ii Kib − Kbi Kii Mib + Kbi Kii Mii Kii Kib = ΨTc Mib +Ψ ΨTc Mii Ψc = Mbb − Mbi Ψc −Ψ −1 T Mφb = Φ i (Mib − Mii Kii Kib ) Mbφ = MTφb f̃i = Φ Ti fi T f̃b = fb − Kbi K−1 ii fi = Ψ c fi (5) Izraz Ω 2i predstavlja diagonalno matriko kvadratov lastnih frekvenc fiksnih povezav ω2i, j . 3.1.2 Rubinova in MacNealova metoda Tako MacNealova kot Rubinova metoda vsebujeta enako reducirno osnovo, ki vsebuje lastne oblike prostih povezav Φ f , lastne oblike togega telesa Φ r in numerične pritrditvene lastne oblike Ψ r . Z njimi aproksimiramo vektor pomikov kot: Φr ηr +Φ Φf ηf u ≈ Ψr gb +Φ (6) Če vstavimo enačbo (6) v enačbo (1), dobimo sledečo obliko:    ηr  0 0 I 0 0  η̈  0 I ηf 0  η̈ +  0 Ω 2f   0 0 Mr,bb g̈b 0 0        0  η r   Φ Tr   Φ Tr  ΦT 0  ηf = f + ΦT g   Tf   Tf   gb Ψr Ψr Gr,bb (7) kjer je Ψr = A Gr AT Gr,bb = Ψ Tr KΨ T Ψr Mr,bb = Ψ r MΨ (8) in kjer A predstavlja logično matriko, ki določa prostostne stopnje v kontaktu. Obe metodi uvedeta še drugo transformacijo z namenom spemembe prostostnih stopenj robnih sil gb v prostostne stopnje robnih pomikov ub . To storimo z množenjem enačbe (6) z leve z logično matriko A: Ψr gb +Φ Φr η r +Φ Φ f η f ) = Gr,bb gb +Φ Φr|b η r +Φ Φ f |b η f ub = A u = A(Ψ (9) Druga transformacija je torej definirana kot:      I 0 0  ηr   ηr  0 I 0  ηf ηf =     −Kr,bb Φ r|b −Kr,bb Φ f |b Kr,bb ub gb (10) Rubinova metoda je definirana z vstavitvijo enačbe (10) v enačbo (7). Tako dobimo Rubinove ✶✹✽ Kuhljevi dnevi 2015 gibalne enačbe:    ΦTr|b Mr Φ r|b ΦTr|b Mr  η̈ I +Φ Φ Tr|b Mr Φ f |b −Φ ηr    η ΦTf |b Mr Φ f |b −Φ ΦTf |b Mr  η̈ I +Φ +  Φ Tf |b Mr Φ r|b  f  üb −Mr Φ r|b −Mr Φ f |b Mr    ΦTr|b Kr,bb  η r  Φ Tr|b Kr,bb Φ r|b Φ Tr|b Kr,bb Φ f |b −Φ   ΦTf |b Kr,bb Φ f |b −Φ ΦTf |b Kr,bb  η f =  Φ Tf |b Kr Φ r|b Ω 2f +Φ   ub −Kr,bb Φ r|b −Kr,bb Φ f |b Kr,bb (11)      f̃r   0  0 f̃ f +     gb f̃b kjer je: Mr = Kr,bb Mr,bb ΦTr −Φ ΦTr|b Kr,bb Ψ Tr )f f̃r = (Φ ΦTf −Φ ΦTf |b Kr,bb Ψ Tr )f f̃ f = (Φ f̃b = Kr,bb Ψ Tr f (12) Rubinova reducirna osnova je torej definirana kot:  ui ub  ≈  Ψr|i Kr,bb Φ r|b Φ f |i −Ψ Ψr|i Kr,bb Φ f |b Ψ r|i Kr,bb Φ r|i −Ψ 0 0 I     ηr  ηf = RR qR   ub (13) MacNealova metoda se glede na Rubinovo razlikuje le v zanemaritvi člena Mr,bb v enačbi (7). Nato po enakem postopku pridemo do MacNealovih gibalnih enačb:    ηr  I 0 0  η̈  0 I 0  η̈ η +  f  0 0 0 üb    ΦTr|b Kr,bb  η r  −Φ Φ Tr|b Kr,bb Φ r|b Φ Tr|b Kr,bb Φ f |b   ΦTf |b Kr,bb Φ f |b −Φ ΦTf |b Kr,bb  η f =  Φ Tf |b Kr Φ r|b Ω 2f +Φ   ub −Kr,bb Φ r|b −Kr,bb Φ f |b Kr,bb 3.1.3 (14)      f̃r   0  0 f̃ f +     gb f̃b Dual Craig-Bamptonova metoda Dual Craig-Bamptonova metoda je novejša metoda in uporablja enako reducirno osnovo kot Rubinova in MacNealova metoda (enačba (6)). Glede na njiju se Dual Craig-Bamptonova metoda ✶✹✾ Kuhljevi dnevi 2015 razlikuje v tem, da obdrži prostostne stopenje robnih sil gb oz. ne uvede druge transformacije. Posledica tega je spremenjen način sklapljanja, ki bo predstavljen kasneje (enačba (20)). Reducirna osnova pa je torej:       ηr   Φr Φ f Ψr u η ≈ = RDCB qDCB (15) 0 0 I  f  gb gb Gibalne enačbe so definirane kot:           ü M 0 u 0 f K −AT + + = g̈b gb −ub 0 0 0 −A 0 (16) Druga vrstica v gibalni enačbi (16) je dodana, da zagotovimo kompatibilnostni pogoj med procesom sklapljanja. Če vstavimo enačbo (15) v enačbo (16), dobimo Dual Craig-Bamptonove gibalne enačbe:          ΦTr|b  η r   Φ Tr f   0  0 0 −Φ ηr  I 0 0  η̈    0 I η ΦT f − ΦTf |b  η f Ω 2f −Φ 0  η̈ 0 = + 0    Tf     f  ub gb 0 0 Mr,bb g̈b Ψr f Φr|b −Φ Φ f |b −Gr,bb −Φ  3.2 (17) Sklapljanje podstruktur Sklapljanje podstruktur definirajto tri glavne enačbe [3]: M ü + C u̇ + K u = f + g Bb u = 0 LTb g = 0 (18) kjer prva enačba predstavlja sestavljeno gibalno enačbo z (reducirano) masno matriko M, matriko dušenja C in togostno matriko K. Matrike so blok-diagonalne in v blokih vsebujejo elemente podstruktur. Blok-vektorji u, f and g vsebujejo (reducirane) pomike in zunanje ter povezovalne sile podstruktur. Druga in tretja enačba (18) predstavljata kompatibilnostne in ravnotežne pogoje. Blok-vektorja Bb in Lb pa vsebujeta informacije o povezavi robnih prostostnih stopenj podstruktur z globalnimi robnimi prostostnimi stopnjami za kompatibilnostni in ravnotežni pogoj. Obenem velja, da je Lb ničti prostor matrike Bb : Lb = null(Bb ) in BTb = null(LTb ). Z uporabo te lastnosti lahko izpeljemo, primarno sklopljene gibalne enačbe:         Kii Kib Lb q̈i Mii Mib Lb qi fi + = (19) q̈b LTb Kbi LTb Kbb Lb LTb Mbi LTb Mbb Lb qb LTb fb kjer so Mii , Mib = MTbi , Mbb , Kii , Kib = KTbi in Kbb blok diagonalne matrike, ki vsebujejo elemente podstruktur. Te matrike vsebujejo notranje i in robne elemente b. Bolj podrobne izpeljave enačb sklapljanja najdemo v [8] in [3]. Tak način sklapljanja se uporablja pri CragBamptonovi, MacNealovi in Rubinovi metodi. Sklapljanje pri Dual Craig-Bamptonovi metodi se razlikuje in je definirano kot:         q̈i Kii −Kib BTb fi qi Mii −Mib BTb (20) + = −Bb fb −Bb Kbi Bb Kbb BTb λ −Bb Mbi Bb Mbb BTb λ λ̈ Bolj podrobna izpeljava zgornje enačbe je podana v [8]. ✶✺✵ Kuhljevi dnevi 2015 3.3 Rezultati Primerjava metod glede na metodo končnih elementov je narejena na primeru nosilca (slika 1). Nosilec pri redukciji modela razdelimo na polovici, pri čemer ima gosteje mrežena polovica 7680 prostostnih stopenj, redkeje mrežena polovica pa 936 prostostnih stopenj. Za primerjavo vzemimo prvih deset lastnih frekvenc dobljenih z FEM modelom. Pri redukciji modela bomo obe polovici reducirali s prvimi 16. in 26. lastnimi oblikami, pri čemer prvih šest lastnih oblik (LO) predstavlja lastne oblike togega telesa. Z omenjeno redukcijo zreduciramo celoten model iz 8796 prostostnih stopenj na 68 (16 LO) oz. 88 (26 LO) prostostnih stopenj pri Craig-Bamponovi, MacNealovi in Rubinovi metodi. Pri Dual Craig-Bamptonovi metodi ima zaradi drugačnega načina sklapljanja reduciran model 152 (16 LO) oz. 172 (16 LO) prostostnih stopenj. Rezultati štirih metod in metode končnih elementov so prikazani v tabeli 1. Tabela 1: Rezultati metode končnih elementov in metod redukcije modela z sklapljanjem. FEM št. LO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 318,58 527,89 874,21 1433,84 1703,15 2673,86 2753,96 2792,51 4131,10 4437,85 CB MN R DCB 16 26 16 26 16 26 16 26 318,58 527,89 874,21 1433,84 1703,41 2673,86 2755,34 2792,59 4134,86 4438,25 318,58 527,89 874,21 1433,84 1703,19 2673,86 2754,15 2792,51 4131,72 4437,86 318,58 527,91 874,21 1433,87 1703,66 2676,60 2756,87 2792,80 4138,71 4440,51 318,58 527,90 874,21 1433,86 1703,44 2675,45 2755,64 2792,67 4135,59 4439,23 318,58 527,89 874,21 1433,84 1703,15 2673,88 2753,98 2792,51 4131,20 4437,91 318,58 527,89 874,21 1433,84 1703,15 2673,86 2753,96 2792,52 4131,10 4437,85 318,58 527,89 874,21 1433,84 1703,15 2673,92 2754,03 2792,52 4131,50 4438,04 318,58 527,89 874,21 1433,84 1703,15 2673,86 2753,97 2792,51 4131,11 4437,85 Primerjava relativnih napak metod redukcije modela glede na metodo končnih elementov je prikazana na slikah 2 in 3. Slika 2: Relativna napaka glede na FEM pri 16 lastnih oblikah Slika 3: Relativna napaka glede na FEM pri 26 lastnih oblikah Iz slik 2 in 3 opazimo, da se z večjo redukcijsko osnovo (tj. številom lastnih oblik) manjša relativna napaka. Opazimo lahko, da je najmanj natančna MacNealova metoda, kar lahko ✶✺✶ Kuhljevi dnevi 2015 pripišemo zanemaritvi člena Mr,bb v enačbi (7). V kolikor člena ne zanemarimo, dobimo Rubinovo metodo, ki se v našem primeru izkaže za najbolj natančno. Sklenemo lahko, da je natančnost Rubinove in Dual-Craig Bamptonove metode boljša od Craig-Bamptonove metode zaradi reducirne osnove, saj imajo omenjeni metodi v njeni lastne oblike prostih povezav, ki bolj ustrezajo naravi obravnavanega (prosto-prosto) vpetega nosilca. V kolikor bi bil nosilec iz obeh strani fiksiran bi dobili nekoliko boljše rezultate z Craig-Bamptonovo metodo. 4 Povzetek Metode redukcije modela v povezavi z metodami sklapljanja ponujajo alternativno možnost metodi končnih elementov in se izkažejo kot učinkovite pri analizi linearnih problemov z velikim številom prostostnih stopenj. Redukcija modela nam omogoči, da velik model bistveno zmanjša-mo. V našem primeru smo nosilec iz začetnih 8796 prostostnih stopenj zmanjšali na 68 oz 88 prostostnih stopenj z Craig-Bamptonovo, MacNealov in Rubinovo metodo in na 152 oz. 172 prostostnih stopenj z Dual Craig-Bamptonovo metodo. Vse metode se izkažejo kot natančne in primerljive z rezultati metode končnih elementov. Pri metodah redukcije modelov smo predpostavili, da nas zanima le omejeno frekvenčno območje (npr. območje prvih desetih lastnih frekvenc), kar pa je skladno z realnostjo. Literatura [1] R. Craig and M. Bampton. Coupling of substructure for dynamic analyses. AIAA Journal, 6:1313–1319, 1968. [2] R. R. Craig and A. J. Kurdila. Fundamentals of Structural Dynamics, 2nd Edition. John Wiley & Sons, Inc., 2006. [3] D. de Klerk, D. J. Rixen, and S. Voormeeren. General framework for dynamic substructuring: History, review and classification of techniques. AIAA Journal, Vol. 46(5):1169 – 1181, May 2008. [4] M. Géradin and D. Rixen. Mechanical Vibration, Theory and Application to Structural Dynamics. John Wiley & Sons, Inc., 2015. [5] R. MacNeal. A hybrid method of compnent mode synthesis. Computer Structures 1, 4:581– 601, 1971. [6] D. J. Rixen. A dual craig-bampton method for dynamic substucturing. Journal of Computational and Applied Mathematics, 168:383–391, 2004. [7] S. Rubin. Improved component-mode representation for structural dynamic analysis. AIAA Journal, 13:995–1006, 1975. [8] S. N. Voormeeren. Dynamic Substructuring Methodologies for Integrated Dynamic Analysis of Wind Turbines. PhD thesis, Technische Universiteit Delft, 2012. ✶✺✷ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Generator hidrodinamske kavitacije za majhne volumne T. Stepišnik Perdih1 Z. Čus2 B. Širok1 in I. Biluš3 Hydrodynamic cavitation generator for small liquid samples Povzetek. Koristno izrabljanje hidrodinamske kavitacije veliko obeta pri izboljševanju metod za čiščenje odpadnih voda. Ker trenutno uveljavljeni generatorji hidrodinamske kavitacije niso primerni za izvedbo analiz majhnih vzorcev kapljevin, je bil zasnovan in preizkušen nov generator kavitacije, primeren za analizo vzorcev z volumnom manjšim od 5 ml. Izdelan je tako, da kapljevina zapolnjuje majhno komoro, kamor je vstavljena tudi kovinska kroglica. Nihanje naprave ustvarja tlačne pulzacije znotraj komore, potrebne za nastanek kavitacije. Delovanje zasnovanega generatorja kavitacije je bilo eksperimentalno ovrednoteno z meritvami s hidrofonom in z vizualizacijo s hitro kamero. Rezultati kažejo, da z napravo lahko uspešno generiramo hidrodinamsko kavitacijo. Abstract. Hydrodynamic cavitation is rapidly emerging and promising wastewater treatment method. Conventionally used cavitation generators are not suitable to perform analysis of method on small liquid samples. According to this, the novel hydrodynamic cavitation generator for liquid samples of 5 ml or less, has been designed and tested. Test sample is inserted in hollow chamber inside the device together with metal sphere. Applying oscillatory motion pressure pulsations are generated. Cavitation generator operation has been experimentally evaluated using hydrophone and high speed camera. Results show that the device successfully generate cavitation. 1 Uvod Stranski produkt mnogih industrijskih in kmetijskih procesov so odplake, ki vsebujejo različne kemijske in biološke učinkovine. Družba se vedno bolj zaveda negativnih vplivov, ki jih imajo le-te na okolje, zato se je v zadnjih letih močno povečalo število raziskav na področju čiščenja odpadnih voda. Te so usmerjene v razvoj novih metod čiščenja, saj konvencionalne mehanske (filtriranje, sejanje, sedimentacija, itd.), kemične (adsorpcija, dezinfekcija, itd.) in biološke Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo Strojarska i prometna škola, Varaždin, Hrvaška 3 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo 1 2 ✶✺✸ Kuhljevi dnevi 2015 metode ne zadoščajo zaostrenim okoljskim predpisom [1]. Omenjene študije kot enega izmed alternativnih mehanizmov za učinkovito razgrajevanje kompleksnih bioloških in kemijskih spojin pri čiščenju odpadnih voda predlagajo uporabo kavitacije [2]. Pojem kavitacija se uporablja za opis nastanka in kolapsa kavitacijskih mehurčkov v kapljevini. Pojavi se z lokalnim zmanjšanjem tlaka pod kritični – uparjalni tlak pri konstantni temperaturi kapljevine. Pri tem kapljevita faza prehaja v parno in nazaj. Osnovni pogoj za nastanek kavitacije je: pmin ≤ pp (1) kjer pmin predstavlja minimum statičnega tlaka in pp uparjalni tlak tekočine. Glede na vzrok padca tlaka ločimo dve osnovni vrsti kavitacije [3]. Akustično kavitacijo povzroča širjenje ultrazvočnih valov po tekočini. Ta tip kavitacije je dobro raziskan in omogoča enostavno in hitro prilagajanje ključnih parametrov, vendar pa je generacija akustične kavitacije energetsko potratna, generatorji pa neprimerni za obratovanje v večjih sistemih, ki bi bili uporabni za industrijsko uporabo [4, 5]. Hidrodinamska kavitacija nastane zaradi sprememb v geometriji toka, običajno ob prehodu tekočine skozi zožitev ali zaradi ovire v toku. S tem se toku kapljevine poveča hitrost in posledično zmanjša tlak. Ob zadostnem padcu tlaka se pojavi kavitacija. Prav tako se lahko hidrodinamska kavitacija tvori v stoječih kapljevinah, na primer, ob nenadnih in močnih pospeševanjih teles z ostrimi robovi, lahko pa se pojavi tudi zaradi hrapavosti površine ali vibracij potopljenega telesa. Za opis prisotnosti hidrodinamske kavitacije se uporablja brez-dimenzijsko kavitacijsko število [3]: 𝜎= 𝑝0 −𝑝𝑝 (𝑇0 ) 𝜌∙𝑐2 0 2 (2) kjer p0 in c0 predstavljata tlak in hitrost toka v izbrani - referenčni točki, ρ gostoto kapljevine in pp uparjalni tlak pri temperaturi sistema. Z nižanjem kavitacijskega števila se poveča možnost nastanka kavitacije oziroma njena intenziteta, ki se odraža z velikostjo in dinamiko kavitacijskih oblakov. Velja poudariti, da na prisotnost hidrodinamske kavitacije vplivajo tudi drugi prametri, kot so vsebnost v kapljevini raztopljenih plinov, viskoznost, natezna trdnost, stopnja turbulence, itd. [6]. Za generacijo hidrodinamske kavitacije se uporabljajo različne izvedbe zaslonk [7] in Venturijevih šob [8], v zadnjem času pa tudi rotacijski stroji [9]. Kavitacija opredeljuje tudi prehod parne faze nazaj v kapljevito. To se zgodi zaradi ponovne vzpostavitve višjega tlaka, s čimer parni mehurčki v zelo kratkih časovnih intervalih implodirajo. Ob implozijah parnih mehurčkov se za kratek čas pojavijo izredne razmere: tlačni valovi vrednosti več 100 bar [10], temperature do nekaj 1000 K [11] in mikrocurki s hitrostmi več 100 m/s [12]. ✶✺✹ Kuhljevi dnevi 2015 Prisotnost kavitacije je večinoma nezaželena, saj mehurčki v toku kapljevine povzročijo hidrodinamične izgube strojev, zmanjšanje pretoka ali izgubo tlačne višine, ekstremne razmere ob implozijah mehurčkov pa tudi erozijo površin in prekomerno nastajanje hrupa. Po drugi strani pa lahko pojav kavitacije v nekaterih primerih omogoči ali izboljša določen proces. Tako se kavitacija med drugim uporablja za razgradnjo odpadnih in nevarnih snovi, za izboljšanje mešanja v prehrambni industriji in proizvodnji emulzij, za tvorbo homogenih kapljičastih struktur goriva pri vbrizgavanju goriva v dizelski motor, za razbijanje ledvičnih kamnov ali čiščenje zobnih oblog v medicini, itd. [3]. Kot že omenjeno, se v zadnjih letih učinke kavitacije raziskuje tudi v okviru razgradnje odpadnih in nevarnih snovi za namene čiščenja voda [2]. V generatorjih kavitacije se lahko pod kontroliranimi pogoji zaradi ekstremnih hidrodinamskih razmer ob kolapsih mehurčkov poškodujejo biološke celice in nevarne spojine. Pod vplivom kavitacije se sproža tudi disociacija vode na reaktivne OH- in H+ radikale [8], ki se nato vežejo na polutante in jih nevtralizirajo. Študije nakazujejo na visoko uspešnost metod čiščenja odpadnih voda s kavitacijo, še posebej v kombinaciji z drugimi mehanizmi čiščenja, kot je npr. dodajanje vodikovega peroksida, encimov ali katalizatorjev [5]. Omejitev pri raziskavah hidrodinamske kavitacije predstavlja priprava zadostnega volumna vzorca kapljevine, ki je potreben za delovanje naprav, ki so trenutno v uporabi za generacijo kavitacije v napravah z omejeno prostornino. Zato je bil v Laboratoriju za vodne in turbinske stroje na Fakulteti za strojništvo v Ljubljani zasnovan in izdelan generator hidrodinamske kavitacije za zelo majhne volumne. Glavni motiv za zasnovo predstavljenega generatorja kavitacije je v možnost analize učinkov hidrodinamske kavitacije na majhnih vzorcih (nekaj ml), katerih volumen je omejen bodisi zaradi varnosti, zahtevnosti priprave vzorca ali finančnih omejitev. 2 Opis eksperimenta 2.1 Generator hidrodinamske kavitacije Novi generator kavitacije deluje na principu intenzivnih vibracij - pospeševanja prostega telesa poljubne oblike potopljenega v kapljevini. Model generatorja kavitacije je prikazan na sliki 1. Generator je v osnovi cilindrične oblike premera 20 mm in dolžine 80 mm, z zaprto cilindrično odprtino premera 10 mm in dolžine 50 mm, kamor je vstavljena kroglica poljubne velikosti. Ohišje generatorja oz. kavitatorja je izdelano iz prosojnega akrilnega stekla, da omogoča vpogled v dogajanje v notranjosti naprave, vizualizacijo gibanja kroglice in tvorbe kavitacijskih struktur znotraj kontrolnega volumna. Naprava deluje tako, da ohišje generatorja mehansko vzbujamo (osciliramo) v aksialni smeri. Ob tem kroglica in tekočina, s katero je naprava napolnjena, zaradi svoje vztrajnosti ne sledita v celoti gibanju ohišja, kar ima za posledico relativne premike kroglice in kapljevine glede na ✶✺✺ Kuhljevi dnevi 2015 ohišje naprave. Gibanje tekočine in kroglice glede na ohišje zaradi tega povzročata v notranjosti generatorja tlačne pulzacije. V primeru dovolj velikih tlačnih pulzacij, na katere vplivamo s frekvenco vzbujanja ohišja generatorja in velikostjo kroglice, lokalno prihaja do nastanka kavitacije. Kavitacijske strukture, ki nastanejo ob delovanju naprave so prikazane na sliki 2. Slika 1: Model generatorja hidrodinamske kavitacije. Slika 2: Kavitacijska struktura znotraj naprave. ✶✺✻ Kuhljevi dnevi 2015 2.2 Kavitacijska postaja Za določanje obratovalnih pogojev, pod katerimi naprava generira kavitacijo, smo ubrali eksperimentalni pristop. Generacija kavitacije je bila ocenjena z meritvami dinamičnega tlaka in z vizualizacijo. Za merjenje dinamičnega tlaka je bil uporabljen hidrofon (Reson TC 4013, frekvenčno območje 1 Hz do 170 kHz, občutljivost hidrofona -213 dB ± 3 dB za 1V/µPa). Za merjenje dinamičnega tlaka je pomembno, da je tlačni pretvornik čim bližje merilnemu mestu. Najboljša bi bila vgradnja hidrofona neposredno na ohišje generatorja kavitacije, vendar pa zaradi intenzivnega mehanskega vzbujanja in občutljivosti hidrofona to ni bilo mogoče. Zaradi tega je bil hidrofon na generator kavitacije priključen preko tanke upogljive cevke dolžine 200 mm. Vpliv cevke in tekočine, s katero je cevka napolnjena, bo upoštevan pri analizi dinamičnega tlaka. Poleg dinamičnega tlaka je bil nadzorovan tudi začetni statični tlak (ABB 2600T series 264DS, merilna negotovost ±0,04% merilnega razpona). Za potrditev prisotnosti kavitacije znotraj naprave smo uporabili vizualizacijsko metodo s hitro kamero (Fastec HiSpec 4, ločljivost 1696 x 1710 pikslov, velikost piksla 8 x 8 µm, do 523 posnetkov na sekundo pri polni ločljivosti). Hkrati smo s pomočjo vizualizacije določali kompleksno relativno gibanje kroglice glede na ohišje kavitatorja. Generator kavitacije poganja mehanski vzbujevalnik, ki zagotavlja harmonično oscilacijo ohišja v horizontalni osi, katero lahko popišemo z izrazom: x(t)=x0 ·sin(ωi t) (3) pri čemer x(t) predstavlja pomik v odvisnosti od časa t, x0 amplitudo pomika (10 mm) in ωi želeno frekvenco oscilacije ohišja. Najvišja frekvenca, ki jo zmore vzbujevalnik je 50 Hz. Meritve smo izvedli pri dveh različnih obratovalnih frekvencah (25 Hz in 50 Hz) in z uporabo kroglic treh različnih premerov (7 mm, 8 mm in 9 mm). Dinamični tlak smo zajemali s hitrostjo 200.000 vzorcev na sekundo, slike velikosti 288x520 pikslov pa s hitrostjo 7000 posnetkov na sekundo. Čas zajemanja podatkov je bil 2 s. 3 Rezultati V preglednici 1 so zbrane efektivne vrednosti - RMS tlačnega signala merjene s hidrofonom, skupaj z relativnimi hitrostmi in pospeški kroglic za izvedene preizkuse. Iz preglednice je razvidno, da med efektivnimi vrednostmi tlačnega signala preizkusov s kroglicami premerov 7 mm in 8 mm ni občutne razlike. Nasprotno pa je pri preizkusu s kroglico premera 9 mm opazna šestkrat višja efektivna vrednost tlaka. ✶✺✼ Kuhljevi dnevi 2015 Preglednica 1: Zbrane efektivne vrednosti tlačnih signalov preizkusov kroglic z različnimi premeri, njihove hitrosti in pospeški. Frekvenca vzbujanja Premer kroglice 25 Hz 50 Hz hitrost kroglice pospešek kroglice dinamični tlak hitrost kroglice pospešek kroglice dinamični tlak 7 mm 1,49 m/s 268 m/s2 2,56 kPa 2,28 m/s 796 m/s2 11,59 kPa 8 mm 1,27 m/s 244 m/s2 2,34 kPa 2,13 m/s 664 m/s2 10,38 kPa 9 mm 0,56 m/s 101 m/s2 12,70 kPa 1,35 m/s 420 m/s2 66,08 kPa Na sliki 3 je predstavljen naključno izbran kratek časovni segment (0,1 s) preizkusa s kroglico premera 9 mm pri vzbujevalni frekvenci 50 Hz. Slika prikazujejo gibanje ohišja (zelena krivulja) in relativno gibanje kroglice glede na ohišje (rdeča krivulja), ki sta bili določeni z vizualizacijo ter pripadajoče tlačne signale (modra krivulja) pridobljene s hidrofonom. Iz slike je razvidno, da se tlak izmerjen s hidrofonom ob gibanju ohišja v nasprotni smeri od povezovalne cevke povečuje (slike 3a-b in e-f). Z gibanjem proti povezovalni cevki (slike 3cd) pa se tlak zmanjšuje in okoli skrajne lege doseže zelo majhne vrednosti, ki imajo ne stacionaren značaj. Sklepamo, da se v tem intervalu vzpostavijo razmere za nastanek kavitacije. Amplituda relativnega gibanja kroglice premera 9 mm in njen fazni zaostanek z gibanjem ohišja se v primerjavi s primeri kroglic premera 7 in 8 mm zmanjšata. Vzrok za večje efektivne vrednosti tlačnih pulzacij pri uporabi kroglice premera 9 mm lahko pripišemo povečanemu trenju tekočine v reži med kroglico in ohišjem (manjša površina reže med kroglico in ohišjem) ter vztrajnostnim silam, zaradi večjega razmerja mas kroglice in vode v generatorju (preglednica 2). ✶✺✽ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 3: Tlačni signal (modro), gibanje ohišja (zeleno) in relativno gibanje kroglice (rdeče) pri uporabi kroglice premera 9 mm. Kot nakazujejo rezultati, naprava pri delovanju s frekvenco 50 Hz in pri uporabi kroglice premera 9 mm uspešno generira kavitacijo, ki je primerna za analizo majhnih vzorcev kapljevine. Nadaljnji razvoj generatorja kavitacije malih vzorcev je usmerjen v izboljšanje vzbujevalnika naprave, ki bi omogočal oscilacije ohišja z večjo frekvenco in dodatne preizkuse s kroglicami različnih premerov ali telesi drugih oblik. Preglednica 2: Razmerja mas kroglic in vode v generatorju ter proste površine reže med kroglico in ohišjem napram površini prečnega prereza. Premer kroglice 7 mm 8 mm 9 mm Razmerje mase kroglice in mase vode v generatorju 0,41 0,62 0,92 Razmerje proste površine reže in prečnega prereza 0,51 odprtine v generatorju 0,36 0,19 ✶✺✾ Kuhljevi dnevi 2015 4 Zaključki Vse več raziskav nakazuje vzpodbudne rezultate čiščenja odpadnih voda z uporabo hidrodinamske kavitacije. Naprave, ki se dandanes uporabljajo za generiranje kavitacije, za svoje delovanje potrebujejo razmeroma velik volumen kapljevine. To lahko zaradi finančnih ali varnostnih razlogov predstavlja težave pri pripravi vzorca. Zato je bil zasnovan in preizkušen poseben generator hidrodinamske kavitacije, primeren za analize vzorcev z volumnom < 5 ml. Opravljena je bila eksperimentalna analiza z meritvami dinamičnega tlaka in vizualizacijo. Preizkusi so pokazali, da se z uporabo kroglice premera 9 mm pri obratovalni frekvenci 50 Hz pojavijo velike tlačne pulzacije, medtem ko je učinek kroglic premera 7 mm in 8 mm nižji. Zato sklepamo, da je naprava pri delovanju s 50 Hz in uporabi kroglice premera 9 mm primerna za raziskave vplivov kavitacije na majhne vzorce, za potrebe v biotehnologiji, farmaciji, medicini… Nadaljnji razvoj naprave bo temeljil na izboljšanju vzbujevalnika generatorja in dodatnih preizkusih z različnimi premeri kroglic oziroma drugimi telesi, za določitev optimalne pogojev za generacijo kavitacije. Literatura [1] D. Fatta-Kassinor, S. Meric, A. Nikolau, Pharmaceutical residues in environmental waters and wastewater: current state of knowledge and future research, Anal. Bioanal. Chem. 399, 251--275, 2011. [2] P. R. Gogate, Cavitation: an auxiliary technique in wastewater treatment schemes, Advances in Environmental Research 6, 335--358, 2002. [3] B. Širok, M. Dular, B. Stoffel: Kavitacija, i2, Ljubljana, 2006. [4] Y. L. Pang, A. Z. Abdullah, S. Bhatia, Review on sonochemical methods in the presence of catalysts and chemical additives for treatment of organic pollutants in wastewater, Desalination 277, (2011) 1--14, 2011. [5] M. V. Bagal, P.R. Gogate, Wastewater treatment using hybrid treatment schemes based on cavitation and Fenton chmistry, Ultrasonics Sonochemistry 21, 1--14, 2014. [6] S. Arrojo, Y. Benito, A theoretical study of hydrodynamic cavitation, Ultrasonics Sonochemistry 15, 203--211, 2008. [7] Y. Huang, Y. Wu, W. Huang, F. Yang, X. Ren, Degradation of chitosan by hydrodynamic cavitation, Polymer Degradation and Stability 98, 37--43, 2013. [8] M. Zupanc, T. Kosjek, M. Petkovšek, M. Dular, B. Kompare, B. Širok, Ž. Blažeka, E. Heath, Removal of pharmaceuticals from wastewater by biological processes, hydrodynamic cavitation and UV treatment, Ultrasonics Sonochemistry 20, 1104--1112, 2013. [9] M. Petkovšek, M. Zupanc, M. Dular, T. Kosjek, E. Heath, B. Kompare, B. Širok, Rotation generator of hydrodynamic cavitation for water treatment, Spearation and Purification Technology 118, 415--423, 2013. [10] Y.C. Wang, C. E. Brennen, Shock wave development in the collapse of a cloud of bubbles, Cavitat. Multiphase Flow, FED 194, 15--19, 1994. [11] S. Fujikawa, T. Akamatsu, Effects of the non-equilibrium condensation of vapor on the pressure wave produced by the collapse of the bubble in a liquid, J. Fluid Mech. 97 481-512, 1980. [12] J. P. Franc, Fundamentals of Cavitation, Kluwer Academic Publishers, 2004. ✶✻✵ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Numerična simulacija turbulentne Rayleigh-Bénard naravne konvekcije J. Tibaut1, L. Škerget1, J. Ravnik1 Numerical simulation of the turbulent Rayleigh-Bénard natural convection Povzetek. V članku je predstavljen postopek reševanja turbulentne Rayleigh-Bénard naravne konvekcije pri visokih Rayleighjevih številih. Z metodo končnih volumnov smo reševali Reynoldsove enačbe (URANS) in filtrirane Navier Stokesove enačbe (LES). Za URANS-simulacijo je bil uporabljen SST-turbulentni model, za LES-simulacijo smo uporabili dinamični Smagorinsky-Lillyjev model. Ker je za izvedbo LES-simulacije potrebna velika računalniška moč, smo tridimenzionalno računsko območje poenostavili v dvodimenzionalno. Končni rezultati so se med seboj dobro ujemali. Med tridimenzionalno in dvodimenzionalno obravnavo so se pokazale nekatere razlike v toku in v vrednostih Nusseltovega števila. Rezultati smo primerjali z drugimi raziskavami. Abstract. The article presents simulations of the turbulent Rayleigh-Bénard natural convection problem at high Rayleigh numbers. With the fine volume numerical method, we were solving Reynolds equations (URANS) and filtered Navier Stokes equations (LES). For the URANS simulation, we used the SST turbulent model and for the LES simulation, we used the dynamic Smagorinsky-Lilly model. To perform the LES simulation at a high Rayleigh number many computational resources are required. We had to change the three dimensional domain into two dimensions. The results show good agreement. There were some differences in the flow and the Nusselt number between the three and two dimensional, domain. We compared the results with results of other authors. 1 Uvod Rayleigh-Bénard naravna konvekcija poteka med dvema horizontalnima ploščama. Toplota v tekočino med ploščama preide skozi spodnjo ploščo in izstopi skozi zgornjo. Zaradi razlik v gostotah pride do gibanja medija. Je najpogostejši pojav v naravi. Najdemo jo tudi v industrijskih aplikacijah, pri raziskavah za izboljšanje varnosti jedrskih reaktorjev, ogrevanju, 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo ✶✻✶ Kuhljevi dnevi 2015 klimatizaciji in hlajenju računalniških komponent [4]. Zaradi turbulentne karakteristike pojava je težko napovedati, kakšen bo prenos toplote in kakšne bodo tokovne razmere. Ena od zanesljivih metod je eksperiment. Težava je v sami izvedbi eksperimenta, saj mora biti opazovani medij izoliran od okolja. Numerične simulacije omogočajo podroben vpogled v strukture toka in mehanizme, ki tok tvorijo. Izvedemo lahko direktno numerično simulacijo (DNS), simulacijo s filtriranimi enačbami (LES) ali simulacijo z Reynoldsovimi enačbami (URANS). Rešitev iščemo v filtriranih Navier-Stokesovih enačbah ali v Reynoldsovih enačbah. Tokovne razmere naravne konvekcije so pri visokih in višjih Ra številih zelo turbulentne in nestacionarne. Posledično narava toka podaljša čas reševanja in računalniška moč postane hitro premajhna. V [2], [5], [6], [7] so bile narejene raziskave o ujemanju med numerično izračunanim povprečnim Nusseltovim številom s povprečnimi eksperimentalnimi vrednostmi Nusseltovega števila. V vseh primerih se je reševanje izvajalo z metodo končnih volumnov. Rezultati so se dobro ujemali z izmerjenimi korelacijami. Cilj je bil z danimi zakoni ohranitve, simulirali različne tokovne razmere od Rayleighjevega števila Ra=103 do 109. Za izvedbo simulacije je bil uporabljen program Ansys CFX [1]. 2 Toplotni tok Prestop toplote merimo s pomočjo Nusseltovega števila. Pri naravni konvekciji prevladuje sila vzgona. Večja kot je temperaturna razlika oziroma večja kot je razdalja med stenama, bolj prevladuje sila vzgona. Zapišemo lahko splošno obliko, da je Nusseltovo število odvisno od Rayleighjevega števila tako: ∝ 1 Pri turbulentni naravni konvekciji so pomembni parametri (vzgon), (tok toplote)in ∆ (temperaturna razlika). Nikoli se ne more zgoditi, da bi bila temperaturna razlika ∆ in toplotni med stenama hkrati neodvisna. V našem primeru smo obravnavali temperaturno tok razliko kot neodvisno veličino. Iz tega sledi, da je Nusseltovo število sorazmerno Rayleighjevemu številu na 1/2 [7]: 2 ∝ Če bi bil toplotni tok neodvisna veličina, potem, bi bilo Nusseltovo število sorazmerno Rayleighjevemu številu na 1/3 [7], 3 ∝ To enačbo imenujemo klasična oblika korelacije za Nusseltovo število. Po tej enačbi med obema stenama ni nobenih odvisnosti, temveč je intenzivnost turbulence odvisna od karakteristike mejne temperaturne in hitrostne plasti. To pomeni, da toplejša stran medija, ki se vzpenja proti vrhu, nikoli ne doseže vrha hladne stene, hladnejši del medija, ki se spušča, pa ne doseže dna grete stene. To velja za Ra števila do 107, pri Ra številih večjih od 107 tega ne moreno trditi [7]. Nusseltovo število je tako enako enačbi (4): = ∙ 4 Pri tem sta C in n konstanti, ki ju določimo eksperimentalno. Različni eksperimenti so dali različne korelacije. Goldstein-Chujeva korelacija je [5]: , = 0,123 . 5 ✶✻✷ Kuhljevi dnevi 2015 Wu-Lihcaberjeva korelacija pa: , = 0,146 . 6 Te korelacije veljajo za območje visokih Rayleighjevih števil od 105 do 107. Za območje višjih Rayleighjevih števil, od 107 do 1017 je dobra Niemelova korelacija [5]: , = 0,124 . 7 in Grotzbachova korelacija [2] , = 0,19 . 8 5 6 V našem primeru smo od Ra števila 10 do 10 prevzeli Wu-Lihcaberjevo korelacijo in od 107 do 109 Niemelovo korelacijo. Na podlagi tega smo določili čas, pri katerem je tekočina v povprečju dosegla stacionarno stanje 3 Zakoni ohranitve za Rayleigh-Bénardovo naravno konvekcijo Zastavljeni problem smo obravnavali kot tri- in dvodimenzionalen, zato smo zakone ohranitve s primernimi konstitutivnimi modeli zapisali za vse tri dimenzije. V vseh zakonih ohranitve je veljalo, da so snovne lastnosti konstante glede na referenčno temperaturo. Pri tem $ predstavlja brezdimenzijsko temperaturo. Obravnavamo nestisljivo tekočino. Termodinamični sistem ne omogoča nobenih dotokov in iztokov snovi, imamo samo akumulacijo. Prav tako v njem ni kemičnih reakcij, ki bi spreminjale stanje mas v sistemu. Iz tega sledi ohranitev mase (enačba (9)). V zakonu ohranitve gibalne količine, enačba (10), smo zapisali Boussinesqueovo aproksimacijo vzgonskih sil in newtonski konstitutivni model za strižne napetosti. Zakon za ohranitev energije, enačba (11), vsebuje Fourierjev konstitutivni model, izvorov ni: %&' %) Za člen %&+ 6&' 6 %(+ + %&+ &' %(+ %0 / %(' = −. %7 %) + %&' %(' −1 %&+ 7 %(+ = 0, % 2 &' %(+ %(+ 8 − %2 7 + %(+ = − 9:/ %( 3 4$ − −$ 5− %&+; 7; %(+ . %&+ 6&' 6 %(+ , 9 10 11 zapisan v enačbi (10) je bil model reševanja izbran v ANSYS CFX. Za reševanje Reynoldsovih enačb smo izbrali dvo enačbeni SST model. Za filtrirane Navier Stokesove enačbe smo določili dinamični Smagorinsky-Lillyjev turbulentni model. Člen <= $ 6 smo rešili z modelom SGDH (Simple Gradient Diffusion Hypothesis), katerega smo izbrali za Reynoldsove enačbe in za filtrirane enačbe [1]. ✶✻✸ Kuhljevi dnevi 2015 4 4.1 Numerični model Geometrija in robni pogoji Geometrija računskega območja je pravokotnik oziroma kvader. V raziskavah [2], [5], [7] je razmerje stranic tridimenzionalne domene 4 : 4 : 1 oziroma za pravokotnik 4 : 1. V dvodimenzionalnem reševanju problema je lahko velikost domene tudi 8 : 1 [5]. Razlika med 4 : 1 in 8 : 1 je v tem, kako se vrtinčne strukture razporedijo po domeni. Z računalniškim programom smo simulirali tokovne in toplotne razmere pri različnih Rayleighjevih številih. Glede na geometrijo računskega območja so bili prilagojeni robni pogoji. Uporabili smo dve računski območji. Na sliki 1 so prikazani robni pogoji, ki smo jih predpisali za vse računske domene. Ne glede na računsko območje smo predpisali, da je brezdimenzijska temperatura hladne stene 0 in grete stene 1. Stranske stene obeh računskih domen so adiabatne in omogočajo zdrs tekočine [4]. → @ <L=<L L y <L=<L H <L=<L <L=<L z Stena brez zdrsa x Slika 1 Tridimenzionalno računsko območje [4] Za boljšo fizikalno predstavo smo kot medij v domeni izbrali suh zrak pri referenčni ?@ temperaturi T0=50 °C. Gostota znaša > = 1,097 AB, kinematična viskoznost 1 17,935 AA2 , C2 specifična toplota D9 1,007 ?E , ?@F toplotna prevodnost G 0,0278 H A2 in koeficient volumske razteznosti 0,0031 . Iz tega sledi, da je Prandlovo število enako F IJ 0,71. Na podlagi tega lahko določimo temperaturne razlike med obema stenama. Višina računskega območja H je bila 1 m in dolžina 4 m. Pri tri dimenzionalni obravnavi je bila širina računskega območja 4 m. 4.2 Računska mreža Za vse primere je bila uporabljena heksagonalna strukturirana neuniformna mreža. Spodnji in zgornji rob domene smo zamrežili gosteje. Za Reynoldsove enačbe je bila višina prvega elementa od stene 2,5·10-4, za filtrirane Navier Stokesove enačbe je bila izbrana velikost prvega elementa od stene 1·10-4. Za RANS in URANS smo za dvodimenzionalno simulacijo izdelali mrežo gostote 95 x 85, za tridimenzionalno simulacijo pa mrežo gostote 952 x 85. Za dvodimenzionalno LES-simulacijo je bila izdelana mreža gostote 256 x 128 [4]. ✶✻✹ Kuhljevi dnevi 2015 4.3 Čas simuliranja Do Rayleighjevega števila 47000 so tokovne razmere laminarne [4]. Časovno neodvisno simulacijo smo izvedli pri Rayleighjevih številih 103 in 104. Število iteracij, ki smo jih na vsako simulacijo predpisali, je bilo konstantno in je znašalo 500. Od Rayleighjevega števila 105 je tok nestacionaren in turbulenten. Izračun je potekal tako, da smo rezultat simulacije pri majhnem Ra uporabili kot začetni približek pri višjem Ra. Čas, ki je potreben, da smo pri izbranem Ra dosegli v povprečju stacionarno stanje, smo definirali kot celotni čas in smo zapisali naslednjo enačbo (12) [4] : Q ∙ D0 ∙ R 12 MNOP G∙ ∙S Od Ra števila 105 do 106 smo Nusseltovo število izračunali po Wu-Lihcaberjevi korelaciji [5]. Od Ra števila 107 do 109 pa smo Nusseltovo število določili pa Niemelovi korelaciji [5]. S tem bo po celotnem času MNOP povprečna vrednost Nusseltovega števila, ki bi jo izračunali v simulaciji dosegla vrednost Nusseltovega števila določeno po izbrani korelaciji. Določili smo karakteristični čas M?T: , ki predstavlja dimenzijski časovni korak in smo zapisali naslednjo enačbo (13) [4]: M?T: = U 2∙V ∙ ∙∆ 13 Velikost časovnega koraka smo določili po Courantovem kriteriju. Ansys CFX za reševanje uporablja eksplicitno obliko sistema enačb. V tem primeru Cmax ne sme preseči vrednosti 1 [1]. ∆M 14 = ≤ AT( ∆W Tabela 1 Časovni koraki in celotni čas za 2D-numerično simulacijo URANS in LES Ra 105 106 107 108 109 celoten čas tcel [s] 0,2544 0,1317 0,0554 0,0272 0,0133 časovni korak tkar [s] 5 10-5 1,5 10-5 3 10-6 1,5 10-6 4 10-7 št. časovnih korakov 5089 8781 18467 18133 33375 Tabela 2 Časovni korak in celotni čas za 3D-numerično simulacijo URANS Ra 105 106 107 celoten čas tcel [s] 0,2544 0,1317 0,0554 časovni korak tkar [s] 1,5 10-4 5 10-5 5 10-5 št. časovnih korakov 1697 2634 2770 108 109 0,0272 0,0133 6 10-6 3 10-6 4533 4450 ✶✻✺ Kuhljevi dnevi 2015 5 Rezultati in diskusija Izračunali smo tokovne razmere in toplotne razmere na dvo- in tridimenzionalni domeni. Na sliki 3 in sliki 4 predstavljamo tokovne razmere za različna Rayleighjeva števila pri turbulentnem Prandlovem številu Prt=0,9. Na obeh slikah opazimo značilne tokovne celice. Pri URANS simulaciji so te celice ostale. Pri LES simulaciji so z večjim Ra število razpadle. Opazimo tudi, da so celice drugače razporejene. Njihova razporeditev po domeni je odvisna od gostote računske mreže. To lahko dobro vidimo na sliki 4. Slika 3: Potek absolutne hitrosti po celotnem času simulacije od Ra=108 do Ra = 109; levo URANS 2D- in desno LES 2D-simulacija pri Prt = 0,9 [4] Pri dvo dimenzionalni simulaciji tok pozno postane turbulenten. Zaradi predpostavke, da toka v z smeri ni, se narava toka spremeni. Pri Ra=107 je tok navidezno laminaren, čeprav je v naravi tok od Ra=47000 turbulenten. Pri Ra=108 je tok turbulenten in nestacionaren. Slika 4 Potek temperature po celotnem času simulacije od Ra=107 do Ra = 109; levo URANS 2D- in desno LES 2D-simulacija pri Prt = 0,9 [4] ✶✻✻ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 5 Primerjava med izračunanimi vrednostmi Nusseltovega števila in iz raziskav [4] Dvodimenzionalno računsko območje je za Reynoldsove enačbe in filtrirane Navier Stokesove enačbe so dale podobne vrednosti Nusseltovega števila. Med tridimenzionalno in dvodimenzionalno domeno so razlike, ki so posledica različnih tokovnih razmer. Rezultati Nusseltovega števila, simulacij na 3D domeni so za vsa Ra števila nižja od rezultatov Nusseltovega števila na 2D domeni. Bolj kot je tok turbulenten in nestacionaren, večja je razlika. Slika 5 predstavlja izračunane vrednosti Nusseltovega števila in objavljene v raziskavah. Za Ra števili 105 in 106 je bil simuliran čas, izbran po Wu-Lihcaberjevi korelaciji. Vrednosti Nusseltovega števila, ki smo jih izračunali v simulaciji, so se ujemale z Niemelovo korelacijo. Za Ra števila 107, 108 in 109 smo določili simuliran čas po Niemelovi korelaciji. Vrednosti Nusseltovih števil, ki jih je simulacija izračunala, se ujemajo z vrednostmi, ki jih da Wu-Lihcaberjeva korelacija. Največja razhajanja je dala tri dimenzionalna URANSsimulacija. Odstopanje pri Ra številu 109 je znašala 43 % od vrednosti v korelaciji. V tabeli 4 so zapisane izračunane vrednosti Nusseltovega števila v laminarnem področju. V tabeli 5 so zapisane vrednosti Nusseltovega števila, izračunane v turbulentnem področju. Tabela 4 Izračunane vrednosti Nusseltovega števila za posamezno simulacijo [4] Ra 103 104 2D 0,971 2,616 3D 0,966 2,199 Tabela 5 Izračunane vrednosti Nusseltovega števila za posamezno simulacijo [4] Ra 105 106 107 108 109 2D URANS pri Prt = 0,9 4,910 8,499 14,111 24,939 47,687 2D URANS pri Prt = 0,4 4,915 8,495 14,115 26,977 57,851 2D LES pri Prt = 0,9 4,967 8,773 15,223 26,250 45,131 ✶✻✼ 2D LES pri Prt = 0,4 4,936 8,750 15,259 26,118 46,776 3D URANS pri Prt = 0,9 4,303 7,813 12,281 21,792 42,999 Kuhljevi dnevi 2015 6 Zaključek Cilj naloge je bil dobiti enake ali podobne tokovne razmere kot so bile objavljene v raziskavah [2], [5], [6], [7]. Ker je pojav zelo turbulenten in nestacionaren, je potrebna velika računalniška moč. Čas trajanja simulacije tcel je bil odvisen od vrednosti, ki so jih dale korelacije za Nusseltovo število. Da je bila simulacija stabilna in je izpolnila kriterij konvergence, je bilo potrebno zelo veliko število časovnih korakov. Ugotovili smo da so od Ra števila 105 vrednosti Nusseltovega števila nižja od korelacij za vse simulacije, ki smo jih izvedli. Pričakovanje, da se bosta Nusseltovi števili, izračunani na podlagi simulacije in korelacije ujemali, se ni izpolnilo. ANSYS CFX ima prevzet model SGHD za Reynoldsove enačbe in za filtrirane Navier Stokesove enačbe. V tem modelu tok disipacije oziroma delo viskoznih sil ni zadosti opisano. Vrtinec neke velikosti razpade na manjšega. Pri tem se sprosti del toplote. Ta toplota greje tekočino. Posledično se poveča sila vzgona, ki je gonilna sila naravne konvekcije. Tok se zato giblje z večjo hitrostjo. V raziskavi [6] so v energijski enačbi za Reynoldsovo enačbo uporabili AFM-model, v energijski enačbi filtriranih Navier Stokesovih enačb pa Edisonovo formulacijo. V dvodimenzionalni domeni predpostavimo, da so v smeri z viskozne sile zelo velike. Ugotovili smo, da je od Ra števila 105 dalje to slaba predpostavka. Dvodimenzionalna domena da tok, ki je laminaren do Ra števila 107. Vrednost turbulentne kinematične viskoznosti je enaka nič. Tok je v naravi laminaren nekje do Ra=47000. Ugotovili smo da so tokovne razmere v dvodimenzionalni domeni odvisne od gostote računske mreže. URANS-simulacija ima mrežo gostote 95 x 85, LES-simulacija pa 256 x 128. Vse simulacije so izpolnile zakone ohranitve in vse simulacije so konvergirale do neke mejne vrednosti. Literatura [1] ANSYS, I. (2012). ANSYS CFX-Solver Modeling Guide. Canonsburg: ANSYS, Inc. [2] Günther Grötzbach. (2. February 1983). Spatial resolution requirements for Direct numerical simulation of the Rayleigh-Bénard convection. Journal of Computational Physics, 241–264. [3] J. J. Niemela, L. S. (2000). Turbulent convection at very high Rayleigh numbers. Nature, 837–840. [4] Tibaut, J. (2015).Magistrska naloga. Numerična simulacija turbulentne Rayleigh-Bénard naravne konvekcije. Maribor: Fakulteta za strojništvo. [5] S. Kenjereš, K. Hanjalić. (2000). Convective rolls and heat transfer in finite-length Rayleigh-Bénard convection. Physical Review, 828–842. [6] S. Kenjereš, K. Hanjalić. (2006). LES, T-RANS and hybrid simulation of thermal covenction at high Ra number. Inetrnational Journal of Heat and Fluid Flow, 800–810. [7] Thomas M. Edison. (1985). Numerical simulation of the turbulent Rayleigh-Bénard problem using subgrid modeling. J. Fluid Mech, 245–268. ✶✻✽ S LOVENSKO SRE ČANJE DRU ŠTVO ZA MEHANIKO K UHLJEVI DNEVI 2015 Primerjava superkonvergentnih točk za postprocesiranje notranjih sil v vrveh iz znanih pomikov in zasukov A. Treven1 in D. Zupan2 Comparison of superconvergent points used in postprocessing of internal forces in cables from known displacements and rotations Povzetek. V prispevku obravnavamo postprocesiranje notranjih sil in momentov iz znanih pomikov ter zasukov pri geometrijsko nelinearnih konstrukcijah. Primerjamo različne nabore superkonvergentnih točk, v katerih poteka račun diskretnih vrednosti notranjih sil iz konstitucijskih enačb. Na linijskih končnih elementih preizkusimo tudi uporabo superkonvergentnih točk, kot jih predlaga Liew za ploskovne končne elemente. Abstract. Post-processing of internal forces and moments from the known displacements and rotations in geometrically non-linear structures is considered. Various sets of super-convergent points, where the discrete values of internal forces are computed using the constitutive equations, are compared. Liew’s super-convergent points, derived for a 2-D finite element, are also tested. 1 Uvod Mnogi računalniški programi za izračun mehanskega odziva konstrukcije uporabljajo formulacijo po metodi končnih elementov, kjer za osnovne neznanke izberejo pomike in zasuke. Pomike in zasuke konstrukcijskih elementov določamo v diskretnih točkah, vmes pa napeljemo vnaprej predpostavljene oblikovne funkcije. Njihove vrednosti so v primerjavi z vrednostmi ostalih količin določenih med postprocesiranjem, izračunane najbolj natančno. Med količine, ki jih določamo posredno, spadajo tudi notranje sile in momenti, ki so v postopku postprocesiranja izvrednoteni iz konstitucijskih ali ravnotežnih enačb na podlagi znanih pomikov, zasukov ter njihovih odvodv. Odvode določimo z odvajanjem oblikovnih funkcij, zato so manj natančni kot osnovne neznanke, razen v določenih točkah, ki jih imenujemo superkonvergentne točke. 1 Univerza 2 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo ✶✻✾ Kuhljevi dnevi 2015 Velik vpliv manjše natančnosti izračunanih odvodov je še posebej očiten pri začetno ukrivljenih konstrukcijah, kot so na primer vrvi. Poleg tega vrvi zaradi majhnega vztrajnostnega momenta obtežbo povečini prevzamejo z osnimi silami. V primeru enakomerne linijske navpične obtežbe bi morale biti osne sile vzdolž osi vrvi določene z gladko funkcijo. Zaradi manjše natančnosti količin, uporabljenih v postopku postprocesiranja, pa se v določenih primerih v bližini podpor pojavijo lomi ali skoki na stiku [1]. V prispevku primerjamo osne sile v vrveh, izračunane s programom Nodi [2] z različnimi postopki postprocesiranja, in sicer s postprocesiranjem iz konstitucijskih ter iz ravnotežnih enačb na podlagi pomikov, zasukov in njihovih odvodov znanih v treh različnih naborih superkonvergentnih točk, ki so jih določili Gauss, Barlow [3] in Liew [4]. 2 Račun pomikov in zasukov konstrukcije V obravnavanih primerih so pomiki in zasuki vrvi izračunani s programom Nodi [2] za dinamično analizo ravninskih okvirjev, ki deluje v programskem okolju Matlab. Ravni linijski končni elementi, ki so uporabljeni v programu Nodi, temeljijo na modelu Reissnerjevega geometrijsko točnega nosilca. Pomiki in zasuki so izbrani za osnovne neznanke sistema, zato so ob primerno izbrani mreži končnih elementov izračunani z veliko natančnostjo. V vsakem časovnem koraku so njihove vrednosti izvrednotene v krajiščih končnega elementa ter v n enakomerno razporejenih interpolacijskih točkah. Izbira števila n določa stopnjo interpolacije končnega elementa. Element s stopnjo interpolacije k potrebuje k + 1 integracijske točke, od tega sta dve točki krajišči končnega elementa. Kot vhodni podatek za postprocesiranje notranjih sil in momentov v modulu Sile pa so ti diskretni pomiki in zasuki interpolirani ter nato izvrednoteni v krajiščih končnih elementov in v n Gaussovih integracijskih točkah. Ta korak je posledica prvotno vgrajenega načina postprocesiranja notranjih sil in momentov iz konstitucijskih enačb v n Gaussovih “superkonvergentnih” točkah in krajiščih. Za obravnavo drugih naborov superkonvergentnih točk je potrebno vrednosti interpoliranih količin izvrednotiti v izbranih točkah. 3 Obravnavani nabori suprekonvergentnih točk Natančnost odvoda neke interpolirane količine je običajno en red nižja od natančnosti odvajane količine. Superkonvergentne točke so tiste notranje točke končnega elementa, kjer je natančnost izračunanega odvoda istega reda kot natančnost odvajane količine. V metodi končnih elementov se superkonvergentne točke uporabljajo kot točke primerne za izračun napetosti v končnem elementu. Obstoj superkonvergentnih točk je prvi predstavil Barlow [3]. Gaussove integracijske točke so izračunane kot ničle Legendrovih polinomov različnih stopenj in tako po definiciji niso prave superkonvergentne točke. Njihove vrednosti v splošnem nekoliko odstopajo od vrednosti Barlowih superkonvergentnih točk, ujemajo se le v posebnih primerih. Kljub temu je uporaba Gaussovih točk za točke izračuna notranjih sil zelo razširjena. V tabeli 1 v levem stolpcu prikazujemo vrednosti Gaussovih točk za obravnavane stopnje interpolacije 3, 4 in 5. Barlowe superkonvergentne točke so izračunane na podlagi definicije superkonvergentnih točk s pomočjo Taylorjeve vrste. V tabeli 1 v desnem stolpcu prikazujemo njihove vrednosti za ✶✼✵ Kuhljevi dnevi 2015 Tabela 1 : Gaussove integracijske in Barlowove superkonvergentne točke. Stopnja interpolacije Barlowove točke √ √ 3 ± = ±0.57735 3 0 r 3 = ±0.77459 ± 5 3 4 5 Gaussove točke s ± s ± √ 3 2 6 − √ = ±0.33998 7 7 5 √ 3 2 6 + √ = ±0.861136 7 7 5 3 3 √ 5 ± 3 s r 29 3− 5 √ ± 2 s 2 r 29 3+ 5 √ ± 2 2 ± = ±0.57735 0 = ±0.74535 = ±0.27195 = ±0.82221 obravnavane stopnje interpolacije 3, 4 in 5. Liew [4] je superkonvergentne točke določil za ploskovni kvadratni končni element z osmimi vozlišči. Točke ležijo na vodoravni in osi, ki potekata skozi težišče končnega elepnavpični p menta. Njihove koordinate so: (0, ± 2/3), (± 2/3, 0). V programu Nodi so uporabljeni p linijski končni elementi, zato smo upoštevali le točke, ki ležijo na eni od osi, torej: ± 2/3 . Njuni numerični vrednosti sta ±0.819497. Ker poznamo le dve točki (n = 2), je Liew-eve superkonvergentne točke smiselno uporabiti le pri kubičnih končnih elementih, to je pri končnih elementih s 3. stopnjo interpolacije. Na sliki (1) prikazujemo primerjavo položajev obravnavanih superkonvergentnih točk. Opazimo, da se, v primerjavi z Gaussovimi in Barlow-ovimi superkonvergentnimi točkami za element s tretjo stopnjo interpolacije, Liew-eve superkonvergentne točke nahajajo precej bližje krajiščem končnega elementa. Slika 1 : Položaj superkonvergentnih točk pri različnih stopnjah interpolacije. ✶✼✶ Kuhljevi dnevi 2015 4 Račun notranjih sil iz konstitucijskih enačb Za izračun notranjih sil iz konstitucijskih enačb najprej v izbranem naboru točk izvrednotimo vrednosti vzdolžnih deformacij εi , strižnih deformacij γi in ukrivljenosti κi po enačbah (1) - (3): εi = (cos ϕ0 + u′i ) cos ϕi + (sin ϕ0 + w′i ) sin ϕi − 1 (1) γi = −(cos ϕ0 + u′i ) sin ϕi + (sin ϕ0 + w′i ) cos ϕi (2) κi = ϕ′i . (3) Vrednosti pomikov so podane glede na globalni koordinatni sistem, notranje sile pa računamo glede na lokalnega, zato je v enačbah (1) - (3) upoštevana tudi koordinatna transformacija. Indeks i označuje i-to superkonvergentno točko, indeks 0 pa začetno stanje. Vodoravni pomik je označen z u, navpični z w in zasuk s ϕ. S črtico označujemo odvod po parametru ločne dolžine težiščne osi v nedeformirani legi. Obravnavamo štiri nabore točk, ki jim dodelimo sledeče oznake: Gaussove integracijske točke vključno s krajišči končnega elementa (Konst-G+), Gaussove integracijske točke (Konst-G), Barlowe superkonvergentne točke (Konst-B) in Lieweve superkonvergentne točke (Konst-L). Vse nabore točk preizkusimo za tretjo, četrto in peto stopnjo interpolacije, z izjemo nabora Konst-L, ki ga lahko preizkusimo le za tretjo stopnjo. V nadaljevanju posamezen nabor pri posamezni stopnji interpolacije označimo kot ”ime naborastopnja interpolacije”, na primer Konst-B-3 je oznaka za izračun konstitucijskih notranji sil na podlagi Barlowovih točk pri tretji stopnji interpolacije. V izbranem naboru točk nato po konstitucijskih enačbah, zapisanih v izrazih (4) - (6), izračunamo diskretne vrednoti osnih sil Ni , prečnih sil Qi in momentov Mi v lokalnem koordinatnem sistemu: Ni = EAεi (4) Qi = GAs γi (5) Mi = EIκi . (6) Elastični modul, strižni modul, vztrajnostni moment prereza, prerez vrvi in strižni prerez vrvi so v tem zaporedju označeni z E, G, I, A in As . Vrednosti notranjih sil tako izvrednotimo v interpolacijskih točkah. Kadar potrebujemo vrednosti v poljubni točki, pa uporabimo odsekoma kubično interpolacijo med vozlišči ter, v primerih kjer krajišča končnih elementov niso vključena v nabor točk, ekstrapolacijo izračunanih diskretnih vrednosti. 5 Račun notranjih sil z integracijo ravnotežnih enačb Drugi način za določitev notranjih sil in momentov iz znanih pomikov, zasukov ter njihovih odvodov je z integracijo ravnotežnih enačb. V ravnotežnih enačbah ravninskega nosilca odvodi pomikov in zasukov nastopajo le v momentnem ravnotežnem pogoju, zato je natančnost izračuna osnih in prečnih sil pri takem pristopu večja. ⇀ ⇀ V vektorju N(x) so zajete tako osne kot prečne sile, v vektorju n (x) pa vzdolžna in prečna ⇀ zunanja linijska obtežba. m(x) označuje zunanji linijski moment, vse količine pa so izražene v lokalnem koordinatnem sistemu. Kljub temu, da je Nodi program za dinamično analizo nosilcev ✶✼✷ Kuhljevi dnevi 2015 uporabimo enačbe statičnega ravnotežja, saj v analizi obtežbo nanašamo dovolj počasi, da so dinamični učinki zanemarljivi. Pri hitrejšem nanašanju obtežbe bi bilo potrebno v enačbah dodati še vztrajnostne člene. Ravnotežne enačbe zapišemo v integralski obliki, ki jo lahko neposredno uporabimo za postprocesiranje: M(x) = MT − Z x x0 N(x) = NT − Z x nx (ξ)dξ (7) Q(x) = QT − Z x ny (ξ)dξ (8) ((cos ϕ0 + u′ (ξ))Ry (ξ) + (sin ϕ0 + w′ (ξ))Rx (ξ) + m(ξ))dξ. (9) x0 x0 Zveza med N in Q ter Rx in Ry je podana v enačbah (10) in (11): Rx (x) = N(x) cos (ϕ(x)) − Q(x) sin (ϕ(x)) (10) Ry (x) = N(x) sin (ϕ(x)) + Q(x) cos (ϕ(x)). (11) V ravnotežnih enačbah (7) - (9) nastopajo integracijske konstante NT , QT in MT , ki jih moramo poznati pred integriranjem in predstavljajo osno in prečno silo ter moment v točki xT . Integracijske konstante v izbrani točki xT izračunamo po konstitucijskih enačbah (4) - (6). Točka xT ne sme biti robna točka končnega elementa, saj tam ni zagotovljena zveznost notranjih sil med končnimi elementi. Podobno kot pri računu notranjih sil zgolj iz konstitucijskih enačb, je za to točko priporočljivo izbrati katero od superkonvergentnih točk. Izračun ravnotežnih notranjih sil in momentov obravnavamo le pri tretji stopnji interpolacije, kjer posamezen nabor superkonvergentnih točk sestavljata po dve točki, simetrično razporejeni glede na sredino končnega elementa. Zaradi ukrivljene oblike vrvi iz vsakega nabora superkonvergentnih točk ločimo dva primera; pri prvem primeru v vsakem končnem elementu upoštevamo tisto superkonvergentno točko, ki leži višje, pri drugem primeru pa tisto, ki leži nižje. Pri tretji stopnji interpolacije se Gaussove in Barlowove točke ujemajo, zato analiziramo štiri računske primere, ki jim dodelimo sledeče oznake: za xT v Gaussovi/Barlowovi superkonvergentni točki, ki leži višje (Ravno-GBzg) oziroma nižje (Ravno-GB-sp) ter za xT v Liewevi superkonvergentni točki, ki leži višje (Ravno-L-zg) oziroma nižje (Ravno-L-sp). 6 Numerični primeri Primerjavo med različnimi pristopi k izračunu notranjih sil in momentov smo izvedli na primeru vrvi, razpete med 400m oddaljeni nepomični členkasti podpori na isti višini. Vrv smo razdelili na 50 ravnih končnih elementov, njihova vozlišča pa smo razporedili po liniji kvadratne parabole s predpisanim začetnim povesom 40m. Kvadratna parabola se namreč pri majhnih razmerjih med povesom in razpetino le malo razlikuje od verižnice, ki je znana oblika idealne vrvi. Ker smo za lastnosti vrvi privzeli lastnosti realnega daljnovodnega vodnika 490-AL1/64-ST1A v skladu s standardom SIST EN 50182:2002 [5], sta tako kvadratna parabola kot verižnica le dobra približka začetne oblike. ✶✼✸ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 2 : Konstitucijske osne sile v vrvi. ✶✼✹ Kuhljevi dnevi 2015 Prerez vrvi je znašal 553.8mm2 , strižni prerez 461.5mm2 , elastični modul 7 · 1010 N/m2 , strižni modul 3.5·1010 N/m2 , vztrajnostni moment prereza 4.701·10−10 m4 in gostota vrvi 3345.8kg/m3 . Predpisana razpetina in začetni poves vrvi določata tudi njeno začetno dolžino, ki znaša 410.67m. Vrv smo obtežili z navpično linijsko obtežbo v vrednosti 18.176848N/m, kar ustreza njeni lastni teži. Rezultate obravnavanih primerov izračuna konstitucijskih notranjih sil in momentov prikazujemo na sliki 2, za vsako stopnjo interpolacije posebej. Prikazano je območje prvih petih končnih elementov. Pri četrti stopnji interpolacije se nazobčana linija osnih sil pojavlja vzdolž celotne dolžine vrvi za vse preizkušene nabore superkonvergentnih točk, pri peti stopnji pa le za tiste, ki ne zajamejo krajišč končnega elementa. Pri tretji stopnji interpolacije se lomi in skoki osnih sil pri vseh obravnavanih naborih superkonvergentnih točk pojavljajo le v bližini podpor. Tu največ odstopanj od gladke linije dobimo z uporabo nabora Konst-G+-3. Konst-G-3 in Konst-B-3 dajeta zelo podobne rezultate, najmanj odstopanj pa dobimo z uporabo nabora Konst-L-3. Na sliki (3) prikazujemo ravnotežne osne sile izračunane za primere Ravno-GB-sp, Ravno-GBzg, Ravno-L-sp in Ravno-L-zg. Pri slednjem dobimo najmanjša odstopanja od gladke linije. Slika 3 : Ravnotežne osne sile v vrvi. Pred zadnjim končnim elementom se v vseh primerih pojavi skok, medtem ko naklon krivulje, ki opisuje osno silo, ostane pravilen. To je pomembna prednost pred metodo računa iz konstitucijskih enačb, kjer je linija žagasta. Primerjavo med najboljšima naboroma točk za izračun konstitucijskih in ravnotežnih osnih sil, Konst-L-3 in Ravno-L-zg, prikazujemo na sliki 4. 7 Zaključek Izbrana način postprocesiranja in nabor superkonvergentnih točk za izračun notranjih sil in momentov v vrveh iz znanih pomikov, zasukov ter njihovih odvodov pomembno vplivata na natančnost končnih rezultatov. Primernost posameznega načina je odvisna tudi od izbrane stopnje interpolacije po končnem elementu. Za izračun konstitucijskih notranjih sil in momentov je ✶✼✺ Kuhljevi dnevi 2015 Slika 4 : Konstitucijske in ravnotežne osne sile izračunane z uporabo Liewevih superkonvergentnih točk. nabor Gaussovih točk skupaj s krajišči končnega elementa primeren za lihe stopnje interpolacije. Vsi nabori superkonvergentnih točk, ki ne vključujejo krajišč končnega elementa, pa so primerni le za tretjo stopnjo interpolacije. Najmanjša odstopanja od gladke linije nastopijo pri uporabi nabora Liewevih superkonvergentnih točk, kljub temu, da so bile le-te določene za ploskovni končni element. Prav tako se pri določanju notranjih sil in momentov iz ravnotežnih enačb najbolje izkaže uporaba Lieweve zgornje superkonvergentne točke za tisto notranjo točko končnega elementa, v kateri so določene intergacijske konstante. Glede na obliko in velikost odstopanj izračunanih vrednosti od gladke krivulje lahko zaključimo, da je smiselneje uporabiti ravnotežne enačbe. Literatura [1] A. Treven, Analiza daljnovodnih vodnikov, Diplomska naloga. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 2013. [2] M. Saje, D. Zupan, Nodi: program za dinamično analizo ravninskih okvirjev, Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Katedra za mehaniko, 2009. [3] D. S. Pinto Júnior, Studies on Barlow points, Gauss points and Superconvergent points in 1D with Lagrangian and Hermitian finite element basis, Computational & Applied Mathematics 27, 275–303, 2008. [4] K. M. Liew, S. Rajendran, New superconvergent points of the 8-node serendipity plane element for patch recovery, International Journal for Numerical Methods in Engineering 54, 1103–1130, 2002. [5] SIST EN 50182:2002. Vodniki za nadzemne vode - Pletene vrvi iz koncentrično ležeče okrogle žice. ✶✼✻ SLOVENSKO DRUŠTVO ZA MEHANIKO SREČANJE KUHLJEVI DNEVI 2015 Analiza osnovnih karakteristik posameznih mešal pri mešanju in dispergiranju zraka v vodo M. Vidic1, A. Bombač2 in D. Senica3 Analyses of basic characteristics of individual impellers in mixing and air dispersal into water Povzetek. V prispevku predstavljamo analizo in primerjavo karakteristike moči in meje poplavnega stanja pri dispergiranju zraka v vodo za izbrana mešala; diskasto mešalo z asimetričnimi lopaticami (ABT), diskast mešalo z asimetričnimi paraboličnimi lopaticami (BT6), dve turbinski mešali z ravnimi lopaticami in nagnjenimi pod kotom 45° (6PBT45) in 30° (6PBT30) ter aksialno mešalo s tremi lopaticami (3SHP1). Iz meritev izhaja, da se mešalo izkaže z majhno močjo mešanja, poleg tega pa je sposobno dispergirati največje količine zraka v vodo pri različnih obratovalnih pogojih. Abstract This article presents an analysis and comparison of the power characteristics and the flooding limit during the dispersion of air into water for the following selected impellers: a disc impeller with asymmetric blades (ABT), a disc impeller with asymmetric parabolic blades (BT6), two turbine impellers with pitch blades at an angle of 45° (6PBT45) and 30° (6PBT30), and an axial impeller with three blades (3SHP1). Measurements show that the ABT impeller is the most effective, requiring a low-power of mixing in the water and being able to disperse the maximum amount of air into the water. 1 Uvod Proces fermentacije v vitkem reaktorju običajno poteka pri aeraciji fermentacijske brozge z uporabo večstopenjskega mešala. Le-to je ključnega pomena za optimalno izvedbo procesa, saj so s tem pogojene osnovne karakteristike kot so moč mešanja, čas pomešanja ter delež plinaste faze. Glede na izsledke primerjave rezultatov meritev na industrijskem fermentorju in modelni napravi[1] smo prišli do zaključka, da je v obstoječi industrijski fermentor potrebno postaviti učinkovitejše večstopenjsko mešalo. 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo 3 Lek - Farmacevtska družbo d.d. 2 ✶✼✼ Pred postavitvijo novega večstopenjskega mešala smo izvedli analizo posameznih mešal, ki bi jih bilo mogoče namestiti v industrijski fermentor. Po pregledu literature[2,3,4] smo se odločili za podrobnejšo analizo dveh radialnih mešal ABT in BT6 in treh aksialnih mešal 6PBT45 in 6PBT30 ter 3SHP1 premerov in . Vsa analizirana mešala so prikazana na sliki 1. Pri mešanju v vodi nas je zanimala vrednost karakteristike moči, ki jo podaja Newtonovo število: (1) Pri dispergiranju zraka v vodo smo analizirali mejo poplavnega stanja za posamezno mešalo. Poplavno stanje je izrazito nehomogena porazdelitev plinaste faze. Vsako mešalo namreč lahko pri določeni vrtilni frekvenci dispergira le določeno količino plina v kapljevino. Po prekoračitvi te vrednosti je mešalo "poplavljeno", kar pomeni, da je mešalo nezmožno dispergirati plin v kapljevino. Pri procesu dispergiranja plina v kapljevino se na področju lopatic mešala razvijejo plinske votline, ki so osnovni mehanizmi dispergiranja[5]. (I) (II) (III) (IV) (V) Slika 1: V raziskavi merjena mešala, pri čemer je: (I) – 6PBT30, (II) – 6PBT45, (III) – 3SHP1, (IV) – BT6, (V) – ABT Dispergiranje na velikih industrijskih napravah poteka večinoma v režimu velikih plinskih votlin, zaradi česar je zelo pomembno poznavanje hidrodinamičnega režima, pri katerem lahko napovemo poplavno stanje[5]. Poplavno stanje navajamo kot prehod v neučinkovito delovanje mešala pri dispergiranju plina. Za določitev meje poplavnega stanja poznamo več metod[5], vendar smo v nadaljevanju uporabili le dve: (i) (ii) metodo zmanjšanja moči in metodo prirastka deleža plinaste faze. Pri metodi zmanjšanja moči merimo moč mešala pri dispergiranju zraka v kapljevino. Z večanjem pretoka zraka se moč mešala zmanjšuje in doseže najnižjo vrednost tik pred pojavom poplavnega stanja. Pri (in po) nastanku poplavnega stanja se moč mešala z nadaljnjim večanjem pretoka vnesenega zraka začne povečevati. Druga uporabljena metoda je metoda prirastka deleža plinaste faze v kapljevini. S povečanjem vnosa zraka se viša gladina dvofaznega sistema v mešalni posodi do neke mejne vrednosti, ko nastane poplavno ✶✼✽ stanje. Pri prehodu z dispergiranega v poplavno stanje nastopi opazno znižanje gladine zaradi slabe zmanjšane črpalne zmogljivosti mešala in s tem porazdelitve plinaste faze po prostornini kapljevine. Pri poplavnem stanju zabeležimo Froudovo število (2) in pretočno število , (3) kar sistematično v 'tokovni mapi' Fr-Fl predstavlja skrajno mejo dispergiranja. Povezana stanja aproksimiramo, razmejitvena krivulja je meja poplavnega stanja, kar je prikazano na sliki 2. Slika 2: Posamična poplavna stanja (meritve) po metodi deleža plinaste faze in mejo poplavnega stanja[5] Pri tem je področje nad razmejitveno krivuljo področje dispergiranja, področje pod črto pa področje poplavnega stanja. 2 Merilna linija in izvedba meritev Posamezno izbrano mešalo smo namestili v modelno napravo premera , v kateri so bili nameščeni štirje motilniki toka. V modelno napravo smo natočili vodo do višine, ki je ustrezala pogoju . Dispergirni obroč in posamezno mešalo smo v mešalno posodo namestili kot to narekuje standardna konfiguracija mešal. Pri tem smo dispergirni obroč namestili na višino , mešalo pa na višino . Meritve smo izvedli na merilni liniji v LFDT. Shemo merilne linije prikazuje slika 3. Vrtilno frekvenco elektromotorja smo nastavljali s frekvenčnim regulatorjem. Vrtilno frekvenco mešal smo merili z merilnikom vrtilne frekvence natančnosti . Z dinamometrom merilne točnosti smo merili vrtilni moment gredi, podatke pa smo zajemali z merilno kartico in jih shranjevali v računalnik. Višino vode smo odčitali z vezno cevjo. Pretok zraka smo merili z rotametrom. Odčitan pretok zraka smo preračunali na normne vrednosti po enačbi, ki jo podaja ✶✼✾ proizvajalec rotametrov[6], zaradi česar smo merili tudi nadtlak v cevovodu in temperaturo dovedenega zraka. (4) Pri analizi merjenih rezultatov smo upoštevali tudi moč trenja. Moč trenja je moč, potrebna za premagovanje trenja, ki nastane zaradi nastalih zaviralnih sil v ležajih in prenosu z elektromotorja. Meritve v vodi smo za posamezno mešalo izvedli pri vrtilni frekvenci od do . Enominutni zajem podatkov s frekvenco 10 Hz smo izvajali z National Instruments DACQ merilno kartico. Izmerke vrtilnega momenta gredi smo povprečili in izračunali moč mešanja: (5) ter karakteristiko moči izraženo z Newtonovim številom. Slika 3: Shema merilne proge: 1 – dovod komprimiranega zraka, 2 – rotameter, 3 – merilnik nadtlaka, 4 – mešalo, 5 –U cev za merjenje višine gladine vode, 6 – dinamometer, 7 – elektromotor, 8 – merilnik vrtilne frekvence, 9 –NI merilna kartica, 10 – računalnik, 11 – prikazovalnik vrtilne frekvence, 12 – frekvenčni regulator V nadaljevanju meritev smo za vsako posamezno mešalo določili mejo poplavnega stanja po metodi razmerja moči mešanja v vodi in moči mešanja pri dispergiranju zraka (Pg/P) ter deleža plinaste faze. 3 Rezultati meritev in razprava Primerjava karakteristike moči za radialna mešala, ki jo prikazuje slika 4 kaže, da ima mešalo s premerom v vodi v turbulentnem tokovnem režimu Newtonovo število ✶✽✵ , medtem ko s premerom dosežemo Newtonovo število . Torej ima premer mešala bistven vpliv na vrednost Newtonovega števila. Newtonovo število za mešalo premera znaša 1,92. Mešalo ima glede na mešalo pri enaki vrtilni frekvenci večjo disipacijo energije, kar je z energetskega stališča neugodno. Za primerjavo lahko povemo, da so avtorji v delu[7] izvedli meritve z mešalom premera in izračunali vrednost njegovega Newtonovega števila . Iz predpostavke, da ima manjši premer mešala večje Newtonovo število sklepamo, da je naša izmerjena vrednost Newtonovega števila v odličnem ujemanju z ostalimi avtorji. 6 5 Ne [/] 4 ABT 0,4T 3 ABT 0,5T 2 BT-6 0,5T 1 0 0 50,000 100,000 150,000 Re [/] 200,000 250,000 300,000 Slika 4: Prikaz Newtonovega števila za radialna mešala Primerjava Newtonovega števila za aksialna mešala na sliki 5 prikazuje: (I) Za mešalo premera znaša vrednost Newtonovega števila , medtem ko znaša za premer vrednost Newtonovega števila . (II) Za mešalo premera znaša vrednost Newtonovega števila , medtem ko znaša za premer vrednost Newtonovega števila . (III) Za mešalo premera znaša vrednost Newtonovega števila , medtem ko znaša za premer vrednost Newtonovega števila . Posledica večjega naklona lopatic pri mešalu je višje Newtonovo število, ki doseže pri mešalu vrednost merjenih radialnih mešal. Zato sklepamo, da se mešalo obnaša že kot delno radialno mešalo. Najmanjšo vrednost Newtonovega števila dosežemo z mešalom , kar kaže na dobro cirkulacijo vode v mešalni posodi. Wu s soavtorji[8] je opravil meritve z mešalom premera in izračunal vrednost Newtonovega števila . Bakker[9] je za mešalo enakega premera izračunal vrednost Newtonovega števila . Za mešalo premera je Amanullah[10] dobil nekoliko nižjo vrednost kot smo jo mi v naši raziskavi. Vzrok gre iskati v nekoliko spremenjeni konstrukciji našega mešala. Kljub temu primerjava rezultatov z literaturo kaže na odlično ujemanje naših rezultatov z ostalimi avtorji. ✶✽✶ Rezultati ugotavljanja meje poplavnega stanja, prikazani na sliki 6, so pokazali, da so radialna mešala sposobna dispergirati večjo količino zraka kot aksialna mešala. 4 6PBT30 0,4T 3 Ne [/] 6PBT30 0,5T 6PBT45 0,4T 2 6PBT45 0,5T 3SHP1 0,4T 3SHP1 0,5T 1 0 0 50,000 100,000 150,000 Re [/] 200,000 250,000 300,000 Slika 5: Prikaz Newtonovega števila za aksialna mešala Glede na merjena aksialna mešala je mešalo sposobno dispergirati največjo količino zraka, zato sklepamo, da s svojimi lastnostmi odlično opravlja nalogo na drugi stopnji večstopenjskega mešala. Pri mešalih PBT je bil opažen poseben pojav, ki ga navaja tudi literatura[4]. Pri konstantni vrtilni frekvenci mešala in majhnem pretoku zraka se pojavi indirekten tok zraka v kapljevini. Mešalo potiska mehurčke zraka proti dnu posode, zaradi cirkulacije v posodi zrak potuje s kapljevino in vstopi med lopatice mešala z zgornje strani. Pri večjih pretokih zraka se tok zraka v kapljevini spremeni, zaradi česar vstopa direktno v mešalo s spodnje strani. Sprememba režima toka zraka sovpada z nastankom velikih plinskih votlin na lopaticah mešala. Ta pojav lahko potrdimo na podlagi vizualnega opazovanja mešanja dvofaznega toka v posodi. 0.4 ABT 0,4T ABT 0,5T 0.3 6PBT30 0,4T Fr 6PBT30 0,5T 0.2 6PBT45 0,5T 6PBT45 0,4T 0.1 BT-6 0,5T 0 0 0.1 0.2 0.3 Fl 0.4 0.5 0.6 Slika 6: Meja poplavnega stanja za merjena mešala ✶✽✷ Primerjava vrednosti iz literature, kjer so avtorji določevali mejo poplavnega stanja za posamezna mešala kaže, da se vrednosti z našimi meritvami slabše ujemajo. Vzrok za to pripisujemo dejstvu, da je za količino dispergiranega zraka ključna višina postavitve dispergirnega obroča in mešala nad dnom posode[11, 12]. Višina postavitve posameznega elementa se med avtorji precej razlikuje. Glede na izsledke te raziskave nadaljujemo z raziskovalnim delom na modelni napravi z večstopenjskimi mešali: med drugimi smo sestavili tudi tri stopenjsko mešalo; kot spodnje mešalo, v sredini mešalo in kot vrhnje , ki se je izkazalo za primernejše glede na trenutno uporabljeno v industrijskem fermentorju[13, 14]. 4 Zaključki V delu so predstavljene osnovne karakteristike nekaterih posameznih radialnih in aksialnih mešal, ki jih nameravamo v nadaljevanju raziskav kombinirati pri večstopenjski izvedbi mešala. Iz primerjave merjenih karakteristik ABT in BT6 mešala se izkaže, da mešalo dosega nižje vrednosti Ne kot BT6 mešalo, hkrati pa zmore dispergirati precej večje količine plina v kapljevino. Pri aksialnih mešalih se izkaže, da je mešalo sposobno dispergirati tudi največjo količino zraka in je kot tako primerno za namestitev nad ABT mešalom. Kot vrhnje mešalo je za intenziviranje cirkulacije zelo primerno aksialno mešalo 3SHP1, ki ima najnižjo vrednostjo Ne. Oznake premer mešala pretočno število Froudovo število zemeljski pospešek višina kapljevine v posodi vrtilni moment vrtilna frekvenca Newtonovo število moč mešanja tlak zraka pretok zraka premer mešalne posode, fermentorja temperatura zraka gostota vode ✶✽✸ Kratice aksialno mešalo s tremi lopaticami turbinsko mešalo s šestimi ravnimi lopaticami pod kotom 30° turbinsko mešalo s šestimi ravnimi lopaticami pod kotom 45° diskasto mešalo z asimetričnimi zapognjenimi lopaticami diskasto mešalo z asimetričnimi elipsastimi lopaticami Literatura [1] Bombač A., Vidic M., Senica D.: Primerjava rezultatov meritev na industrijskem fermentorju in pomanjšane modelne naprave, Kuhljevi dnevi 2014, Maribor 2014 [2] M. Zloakrnik: Stirring; Weinheim, Wiley - VCH Verlag GmbH, 2001 [3] E. L. Paul, V. A. Atiemo - Obeng, Suzanne M. Kresta: Handbook of Industrial Mixing, Science and Practice; Hoboken, New Jersey; John Wiley & Sons, Inc.; 2004 [4] M. M. C. G. Warmoeskerken: Gas-Liquid Dispersing Characteristics of Turbine Agitators; Proefschrift. s.l.; Technische Universiteit, 1986 [5] A. Bombač, I. Žun: Flooding-Recognition Methods in a Turbine-Stirred Vessel; Strojniški vestnik, Izv. 48, Ljubljana 2002 [6] Zefon International: Calibration; dostopno na: http://www.zefon.com/analytical/download/LA03054-Rev0.pdf, ogled dne: 3.6.2015 [7] J.M.Smith, Z.Gao: Power Demand of Gas Despersing Impellers under High Load Conditions; Trans IChemE, Izv.:79, julij 2001 [8] J. Wu, Y. Zhu, L. Pullum: Impeller Geometry Effect on Velocity and Solids Suspension; Chemical Engineering Research and Design, Izv. 79, Victoria (Australia) 2001 [9] A. Bakker: Hydrodynamics of a stirred gas - liquid dispersions; Delft University of Technology, Delft(Nizozemska) 1992 [10] A. Amanullah,, S. A. Hjorth, A. W. Nienow: A new mathematical model to predict cavern diameters in highly shear thinning, power law liquids using axial flow impellers; Chemical Enqmeering Science, Birmingham (UK) 1997 [11] M. M. C. G. Warmoeskerken: Gas-Liquid Dispersing Characteristics of Turbine Agitators; Proefschrift. s.l.; Technische Universiteit, 1986 [12] M. Cotič: Raziskava osnovnih karakteristik mešanja v modelnem fermentorju z večstopenjskimi mešali; diplomsko delo, Fakulteta za strojništvo, Ljubljana 2014 [13] Bombač, A., Vidic, M., Cotič, M. Analiza osnovnih karakteristik pri mešanju vode in dispergiranju zraka na industrijskem fermentorju in modelni napravi. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, LFDT, 2014. [14] Bombač, A., Vidic, M., Plut, M. Analiza osnovnih karakteristik pri mešanju vode in dispergiranju zraka z enim mešalom na modelni napravi. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, LFDT, 2015 ✶✽✹ ■♥❞❡① ❛✈t♦r❥❡✈ ▼❡❥❛❦✱ ●✳✱ ✶✵✺ ❆❞❛♥✐↔✱ ▲✳✱ ✶ ▼♦r❣✉t✱ ▼✳✱ ✽✶ ❇❛t✐st❛✱ ▼✳✱ ✹✾ ❇❡❦✱ ▼✳✱ ✾ ◆❡↔❡♠❡r✱ ❇✳✱ ✶ ❇❡❧➨❛❦✱ ❆✳✱ ✶ ◆♦❜✐❧❡✱ ❊✳✱ ✽✶ ❇✐❧✉➨✱ ■✳✱ ✶✺✸ ◆♦✈❛❦✱ ▲✳✱ ✶✶✸ ❇✐③❥❛♥✱ ❇✳✱ ✶✶✸ ❖r❜❛♥✐➣✱ ❆✳✱ ✶✶✸ ❇♦❧t❡➸❛r✱ ▼✳✱ ✶✹✺ ❇♦♠❜❛↔✱ ❆✳✱ ✶✼✱ ✷✺✱ ✶✼✼ P❡③❞❡✈➨❡❦✱ ▼✳✱ ✹✶ P✐♥t❛r✱ ▼✳✱ ✶✷✶ ❈♦t✐↔✱ ▼✳✱ ✷✺ P❧✉t✱ ▼✳✱ ✶✼ ❷❡♣♦♥✱ ●✳✱ ✶✹✺ Pr❛➸♥✐❦❛r✱ ❏✳✱ ✶✶✸ ❷❡➨❛r❡❦✱ P✳✱ ✸✸ Pr❡❞❛♥✱ ❏✳✱ ✺✼ ❷✉s✱ ❩✳✱ ✶✺✸ ❘❛♠➨❛❦✱ ▼✳✱ ✶✷✾ ❊♠r✐✱ ■✳✱ ✾ ❘❛✈♥✐❦✱ ❏✳✱ ✽✾✱ ✾✼✱ ✶✸✼✱ ✶✻✶ ❘❡♥✱ ❩✳✱ ✶ ❋✐❦❡✱ ▼✳✱ ✹✶ ❘♦❞✐↔✱ ❚✳✱ ✶✷✶ ❋r❛❥♥❦♦✈✐↔✱ ▼✳✱ ✶ ❙❛❣❛❞✐♥✱ ●✳✱ ✻✺ ●♦♥③❛❧❡③✲●✉t✐❡rr❡③✱ ❏✳✱ ✾ ❙❡♥✐❝❛✱ ❉✳✱ ✶✼✱ ✶✼✼ ●r♠✱ ❆✳✱ ✹✾ ❙t❛r❝✱ ❇✳✱ ✶✹✺ ●✉❜❡❧❥❛❦✱ ◆✳✱ ✺✼ ❙t❡♣✐➨♥✐❦ P❡r❞✐❤✱ ❚✳✱ ✶✺✸ ❍❛r❧✱ ❇✳✱ ✺✼ ➆✐r♦❦✱ ❇✳✱ ✶✶✸✱ ✶✺✸ ❍♦r✈❛t✱ ❇✳✱ ✶✶✸ ➆❦❡r❣❡t✱ ▲✳✱ ✼✸✱ ✽✾✱ ✶✸✼✱ ✶✻✶ ❍r❡♥✱ ●✳✱ ✹✶ ➆❦❡r❧❛✈❛ ❥✱ ❆✳✱ ✽✶ ❍r✐❜❡r♥✐❦✱ ❆✳✱ ✶✷✾ ➆✉➨t❛r✱ ❚✳✱ ✶✷✶ ❍r✐❜❡r➨❡❦✱ ▼✳✱ ✻✺ ➆✉➨t❛r✐↔✱ P✳✱ ✶✷✶ ■❧❥❛➸✱ ❏✳✱ ✼✸ ❚✐❜❛✉t✱ ❏✳✱ ✶✻✶ ❚r❡✈❡♥✱ ❆✳✱ ✶✻✾ ❏❡❝❧✱ ❘✳✱ ✾✼ ❏♦➨t✱ ❉✳✱ ✽✶ ❱✐❞✐❝✱ ▼✳✱ ✷✺✱ ✶✼✼ ❑❡❣❧✱ ▼✳✱ ✺✼ ❩❛❞r❛✈❡❝✱ ▼✳✱ ✻✺ ❑♦❦♦❧❥✱ ❯✳✱ ✽✾ ❩✉♣❛♥✱ ❉✳✱ ✸✸✱ ✶✻✾ ❑r❛♠❡r ❙t❛ ❥♥❦♦✱ ❏✳✱ ✾✼ ▼❛r♥✱ ❏✳✱ ✼✸ ✶✽✺ ❈■P ✲ ❑❛t❛❧♦➸♥✐ ③❛♣✐s ♦ ♣✉❜❧✐❦❛❝✐❥✐ ◆❛r♦❞♥❛ ✐♥ ✉♥✐✈❡r③✐t❡t♥❛ ❦♥❥✐➸♥✐❝❛✱ ▲❥✉❜❧❥❛♥❛ ✺✸✶✴✺✸✷✭✵✽✷✮ ❑❯❍▲❏❊❱■ ❞♥❡✈✐ ✭✷✵✶✺ ❀ ▼♦r❛✈s❦❡ ❚♦♣❧✐❝❡✮ ❩❜♦r♥✐❦ ❞❡❧ ✴ ❑✉❤❧❥❡✈✐ ❞♥❡✈✐ ✷✵✶✺✱ ▼♦r❛✈s❦❡ ❚♦♣❧✐❝❡✱ ✷✹✳✲✷✺✳ s❡♣t❡♠❜❡r✱ ✷✵✶✺ ❀ ✉r❡❞✐❧❛ ▼❛t❥❛➸ ❍r✐❜❡r➨❡❦✱ ❏✉r❡ ❘❛✈♥✐❦✳ ▲❥✉❜❧❥❛♥❛ ✿ ❙❧♦✈❡♥s❦♦ ❞r✉➨t✈♦ ③❛ ♠❡❤❛♥✐❦♦✱ ✷✵✶✺ ■❙❇◆ ✾✼✽✲✾✻✶✲✾✸✽✺✾✲✵✲✻ ✶✳ ❍r✐❜❡r➨❡❦✱ ▼❛t❥❛➸ ✷✽✵✸✷✸✺✽✹ ✲