Dasar-Dasar Fisika Teori

Dasar-Dasar Fisika Teori (Yongmin Cho’s Spring 2011 Lectures) Miftachul Hadi Penerbit Euler Jl. Nuri I, No. 68, Kb. Kopi, Pengasinan, Gn. Sindur Bogor, Indonesia 28 Desember 2022 1 Prakata Ini adalah catatan kami dalam bentuk yang masih sangat kasar dari kuliah ”Fundamental Theoretical Physics” yang diberikan oleh Profesor Yongmin Cho saat musim semi 2011 di Kampus UNIST (Ulsan, Korea Selatan). Materi pelengkap merujuk ke pustaka yang tertera di daftar pustaka. Pembaca budiman mesti berhati-hati dari kesalahan penulisan maupun kesalahan pemahaman kami terhadap materi kuliah. Soal dan penyelesaian soal (usaha kami untuk menyelesaikan soal) telah ditambahkan. Tak ada jaminan bahwa penyelesaian soal yang telah kami kerjakan adalah benar. Oleh karena itu pembaca yang budiman diharapkan untuk memeriksanya secara cermat, teliti. Materi kuliah ini, insya Allah akan terus dikembangkan, diperbaiki. Saran perbaikan, masukan, komentar, silakan dilayangkan ke alamat elektronik: itpm.id(at)gmail.com. Semoga berguna. Terima kasih beribu terima kasih. Serpong, 11 Des. 2020 2 Buat Aliya Syauqina Hadi dan setiap anak bangsa yang mencintai Ibu pertiwi, berani mengorbankan jiwa-raga membela kehormatan diri, keyakinannya, bangsa dan tanahairnya. Buat yang tercinta, Juwita Armilia, yang telah bersabar merelakan waktu-waktu kebersamaan, sigap menyiapkan perbekalan. Jazakillah khair. Semoga ada pahala kebaikan atas karya ini, semoga pahalanya tercurah kepada AyahIbunda tercinta. Semoga Allah menganugerahi keduanya surga-Nya, Jannatul Firdaus. Daftar Isi 1 Pengantar Teori Medan 7 1.1 Apa itu Medan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Apa itu Teori Medan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Apa itu Teori Medan Kuantum? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Aksi dan Azas Aksi Terkecil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Aksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Azas Aksi Terkecil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Lagrangian dan Persamaan Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.1 Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.2 Persamaan Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Osilator Harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 1.6 2 Teori Medan 13 2.1 Derajat Kebebasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Transformasi Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Satu-Medan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Dua-Medan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Interaksi φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6 Medan Skalar Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 Medan Vektor dan Tensor Kuat Medan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.8 Bentuk-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.9 Turunan Eksterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 DAFTAR ISI 4 2.10 Kebebasan Tera dan Derajat Kebebasan . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.10.1 Kebebasan Tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.10.2 Derajat Kebebasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.11 Bentuk-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.12 Bentuk-2 Dual dan Transformasi Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.12.1 Bentuk-2 dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.12.2 Transformation Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.13 Identitas Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.14 Teori Tera dan Kondisi Tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.14.1 Teori Tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.14.2 Kondisi tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.15 Transformasi Tera dan Invariansi Tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.16 Azas Lokalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.17 Derajat Kebebasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.18 Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.18.1 Sifat-sifat grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.18.2 Grup rotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.18.3 Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.19 Massa dan Perusakan Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.20 Penetapan Tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.21 Azas Tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.22 Holonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.23 Kuat Medan, Kelengkungan dan Koneksi . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.24 Teori Landau-Ginzburg: Superkonduktor . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.25 Efek Meissner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.26 Vorteks Abrikosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.27 Monopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.28 Transformation Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.29 Kuantisasi Muatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 DAFTAR ISI 3 Teori Tera Non-Abelian 5 62 3.1 Pengantar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2 Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3 Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4 Grup Homotopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.5 Monopol Wu-Yang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.6 Mekanisme Higgs di Teori Tera Non-Abelian . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.7 Parametrisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.8 Mekanisme Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.9 Penguraian Vakum (F~µν = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4 Soal dan Solusi 134 4.1 Teorema Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Medan Skalar Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.3 Katenari (Tali Gantungan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.4 Lagrangian Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.5 Tera Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.6 Teori Medan Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.7 Tera Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.8 Vorteks Abrikosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.9 Vorteks Abrikosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.10 Medan Magnetik dan Fluks Magnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.11 Hubungan Komutasi Kanonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.12 Pembangkit, Konstanta Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.13 Tensor Anti-Simetri dan Identitas Jacoby . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.14 Kebebasan Tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.15 Hubungan Komutasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.16 Identitas Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.17 Ekspansi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.18 Operator Momentum Sudut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 DAFTAR ISI 6 4.19 Transformasi Tera Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.20 Kuat Medan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.21 Transformasi Tera Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.22 Kuat Medan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.23 Persamaan Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.24 Transformasi Tera Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.25 Dualitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.26 Penguraian Abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.27 Penguraian Abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.28 Penguraian Abelian: Komutasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.29 Dualitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.30 Dualitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.31 Potensial Monopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.32 Penguraian Abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.33 Transpor Sejajar dari Potensial Valensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Bab 1 Pengantar Teori Medan Secara umum, teori medan dapat dikelompokkan dalam (1) Teori medan klasik. Semisal: teori relativitas umum. (2) Teori medan kuantum. Semisal: elektrodinamika kuantum (QED), kromodinamika kuantum (QCD). 1.1 Apa itu Medan? Secara kasar, dalam fisika, medan (field ) adalah besaran fisis yang diwakili oleh bilangan (skalar, tensor1 peringkat nol) atau tensor (peringkat tak nol), yang memiliki nilai untuk setiap titik dalam ruang dan waktu. Medan adalah sembarang besaran fisis yang memiliki nilai berbeda di titik berbeda dalam ruang [1]. Medan adalah fungsi titik dalam ruang [47]. 1 Dalam matematika, tensor adalah objek aljabar yang mendeskripsikan hubungan (multilinear) antara himpunan objek aljabar yang terkait dengan ruang vektor [48]. Hukum-hukum fisika tak gayut sistem koordinat yang dipergunakan untuk menyatakan hukum-hukum fisika tersebut secara matematik, apabila hukum-hukum ini berlaku. Studi terhadap akibat-akibat persyaratan ini menjurus kepada analisis tensor [49]. Tensor disusun oleh Tullio Levi-Civita dan Gregorio Ricci-Curbastro (1900-an), sebagai kelanjutan karya awal Bernhard Riemann, Elwin Bruno Christoffel dan lainnya. Konsep tensor memungkinkan perumusan alternatif dari geometri diferensial intrinsik manifold dalam bentuk tensor kelengkungan Riemann [48]. 7 BAB 1. PENGANTAR TEORI MEDAN 8 Pertanyaan: ˆ Mengapa medan dikaitkan dengan tensor? ˆ Apa itu tensor dan bagaimana sifat-sifat tensor? ˆ Apakah medan bisa ”diwakili” oleh selain tensor, misalnya? 1.2 Apa itu Teori Medan? Teori medan biasanya mengacu pada konstruksi dinamika medan, yaitu spesifikasi bagaimana medan berubah terhadap waktu atau terkait dengan variabel fisis tak gayut lainnya dimana medan gayut padanya [?]. Biasanya ini dilakukan dengan menulis Lagrangian atau Hamiltonian medan, dan memperlakukannya sebagai sistem mekanika klasik atau sistem mekanika kuantum dengan sejumlah tak hingga derajat kebebasan 2 . Teori medan yang dihasilkan disebut sebagai teori medan klasik atau atau teori medan kuantum [2]. Apa itu teori medan klasik dan apa itu teori medan kuantum? Mengapa perlu teori medan klasik, mengapa perlu teori medan kuantum? Teori medan klasik memprediksi bagaimana satu atau lebih medan berinteraksi dengan materi melalui persamaan medan. Istilah ’teori medan klasik’ biasanya dikaitkan dengan interaksi elektromagnetisme dan interaksi gravitasi [4]. 1.3 Apa itu Teori Medan Kuantum? Dalam fisika teori, bisa dikatakan bahwa teori medan kuantum adalah kerangka kerja teori yang menggabungkan teori medan klasik, teori relativitas khusus dan mekanika kuantum, tanpa melibatkan teori relativitas umum. Teori medan kuantum 2 Derajat kebebasan adalah parameter fisis tak gayut dalam deskripsi formal keadaan sistem fisis. Himpunan seluruh keadaan sistem fisis dikenal sebagai ruang fase sistem dan derajat kebebasan sistem adalah dimensi ruang fase [3]. BAB 1. PENGANTAR TEORI MEDAN 9 memperlakukan partikel sebagai keadaan tereksitasi (kuanta). Interaksi antar partikel dideskripsikan oleh suku interaksi dalam Lagrangian yang mencangkup medan kuantum terkait [5] 1.4 1.4.1 Aksi dan Azas Aksi Terkecil Aksi Aksi, A, didefinisikan sebagai Z t2 L dt A≡ (1.1) t1 dimana L adalah Lagrangian. Aksi dalam ruang-waktu empat dimensi dapat ditulis sebagai Z A = 1.4.2 L(φ, ∂µ φ) d4 x (1.2) Azas Aksi Terkecil Azas aksi terkecil: Seluruh persamaan gerak sistem fisis alam semesta mematuhi azas aksi terkecil. Azas aksi terkecil menentukan cara alam semesta berperilaku. Secara matematis, azas aksi terkecil didefinisikan sebagai δA ≡ 0 Mengapa azas aksi terkcil? Alam semesta seperti seorang pria, ia suka malas. (1.3) BAB 1. PENGANTAR TEORI MEDAN 1.5 1.5.1 10 Lagrangian dan Persamaan Euler-Lagrange Lagrangian Lagrangian didefinisikan sebagai L≡T −V (1.4) dimana T adalah energi kinetik dan V adalah energi potensial. Untuk sistem partikel berlaku q(t) → qi (t) (1.5) dimana q(t) adalah partikel tunggal dan qi (t), i = 1, 2, .., n untuk n partikel (memiliki derajat kebebasan tak hingga), maka Lagrangian sistem adalah L = X mi q̇i2 − V (q1 , q2 , .., qn ) (1.6) i Ini bermakna bahwa Lagrangian sistem adalah fungsi dari q̇ dan q L = L(q̇, q) (1.7) dimana q̇ = dq/dt. Lagrangian adalah fungsional yakni fungsi dari fungsi. 1.5.2 Persamaan Euler-Lagrange Persamaan Euler-Lagrange dapat diturunkan dari azas aksi terkecil, sebagai berikut  Z t2 Z t2 Z t2  ∂L ∂L δA = δ L dt = δL dt = δ q̇ + δq dt ∂ q̇ ∂q t1 t1 t1       Z   d ∂L d ∂L ∂L = δq − − δq dt dt ∂ q̇ dt ∂ q̇ ∂q  Z  ∂L d ∂L ∂L t2 δq dt = δq|t1 − − ∂ q̇ dt ∂ q̇ ∂q = 0 (1.8) Karena δq = 0 pada batas, yakni di suku pertama sisi kanan persamaan dan δq adalah sembarang di suku kedua sisi kanan persamaan, maka BAB 1. PENGANTAR TEORI MEDAN   d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q̇i ∂qi Ini adalah persamaan Euler-Lagrange. 11 (1.9) Di ruang-waktu empat dimensi, medan pada batas (field at boundary) dapat ditulis sebagai δφ|0(boundary) = 0 (1.10) Figure 4. Batas satu dimensi (1D boundary) Figure 5. Batas dua dimensi (2D boundary) Persamaan Euler-Lagrange untuk medan-empat (four-field) adalah  ∂µ 1.6  δL δL − = 0 δ(∂µ φ) δφ (1.11) Osilator Harmonik Lagrangian osilator harmonik dapat ditulis sebagai L= 1 1 mq̇ 2 − kq 2 2 2 (1.12) BAB 1. PENGANTAR TEORI MEDAN 12 Figure 1. Energi potensial osilator harmonik, V (q) Jika azas aksi terkecil diterapkan ke Lagrangian osilator harmonik, maka diperoleh Z δA = δ Z L dt = Z δL dt = (mq̇ δ q̇ − kq δq) dt = 0 (1.13) dimana δL = mq̇ δ q̇ − kq δq (1.14) sehingga, Z    Z  d d δA = mq̇ δq − kq δq dt = m [q̇ δq] − mq̈ δq − kq δq dt dt dt Z Z = − (mq̈ + kq) δq dt = − (mq̈ + kq) δq dt + mq̇ δq|tt21 = 0. (1.15) Karena δq adalah sembarang dan δq|boundary = 0 (1.16) maka diperoleh persamaan Euler-Lagrange osilator harmonik sebagai berikut m q̈ + k q = 0 (1.17) Mengapa osilator harmonik? Osilator harmonik adalah model paling sederhana dari seluruh dinamika di alam semesta. Bab 2 Teori Medan 2.1 Derajat Kebebasan Teori medan berkenaan dengan derajat kebebasan tak hingga (the infinite degrees of freedom) qi (t) → φ(t, ~x) (2.1) Ini bermakna bahwa q analoq dengan φ, (t) analog dengan (t) dan indeks i analog dengan ~x. Figure 2. Manifold Minkowski L → L[φ̇(t, ~x), φ(x, ~x)] = 1 1 mφ̇2 − V (φ) = m(∂µ φ)(∂µ φ) − V (φ) = L(∂µ φ, φ) (2.2) 2 2 13 BAB 2. TEORI MEDAN 14 dimana φ̇ = dφ dφ = 0 → ∂µ φ dt dx (2.3) Aksi sistem n partikel adalah Z t2 Z t2 L dt = A = t1 t1 n X 1 i=1 2 ! mq̇i2 − V dt (2.4) Aksi di ruang-waktu empat dimensi adalah Z A= 3 Z L(∂µ φ, φ) d x dt = L d4 x (2.5) Azas aksi terkecilnya adalah Z δA = = = = = δL d4 x  Z  δL δL δ(∂µ φ) + δφ d4 x δ(∂µ φ) δφ  Z  δL δL ∂µ (δφ) + δφ d4 x δ(∂µ φ) δφ     Z   δL δL δL ∂µ δφ − ∂µ δφ d4 x δφ + δ(∂µ φ) δ(∂µ φ) δφ 0 (2.6) dimana Jµ = δL δφ δ(∂µ φ) (2.7) J µ disebut arus. Medan di ketakhinggaan dapat ditulis sebagai δφ(∞) = 0 dimana ∞ adalah batas. Soal 1: Buktikan teorema Gauss berikut (2.8) BAB 2. TEORI MEDAN Z 15 ∂µ J µ d4 x = J µ Sµ |Sµ =∞ (2.9) Di sini, Sµ adalah bola empat dimensi di ruang-waktu empat dimensi. Sµ adalah ortogonal terhadap permukaan bola. Figure 3. Sµ dan S 1 . S 1 adalah lingkaran dua dimensi di ruang dua dimensi. Di ruang-waktu empat dimensi, Lagrangian osilator harmonik dapat ditulis sebagai L = 1 m(∂µ φ)2 − V 2 (2.10) dimana δL = m ∂µ φ δ(∂µ φ) (2.11) Azas aksi terkecilnya adalah Z  δA = − δL δL − ∂µ δ(∂µ φ) δφ  δφ d4 x = 0 (2.12) Karena δφ adalah sembarang (tak sama dengan nol), maka  ∂µ  δL δL − =0 δ(∂µ φ) δφ (2.13) Ini adalah persamaan Euler-Lagrange di ruang-waktu empat dimensi, dimana  ∂µ    δL δL d ∂L ∂L − = 0 ⇐⇒ − = 0 δ(∂µ φ) δφ dt ∂ q̇i ∂qi (2.14) BAB 2. TEORI MEDAN 2.2 16 Transformasi Lorentz Dalam transformasi Lorentz, ruang diperlakukan sama dengan waktu. Ini adalah teorema. 2.3 Satu-Medan Dalam kasus satu-medan (one-field ), yakni partikel skalar netral, Lagrangian osilator harmonik dapat ditulis sebagai 1 1 mq̇ 2 − kq 2 2 2 L = (2.15) Di ruang-waktu empat dimensi, Lagrangian menjadi L = 1 1 (∂µ φ)2 − m2 φ2 2 2 (2.16) Persamaan Euler-Lagrange adalah ∂µ δL = ∂µ (∂µ φ) δ(∂µ φ) (2.17) dan δL = m2 φ δφ (2.18) Dari dua persamaan di atas, diperoleh (∂ 2 − m2 )φ = 0 (2.19) yakni persamaan medan bebas (free field equation) (hanya satu medan), tak berinteraksi (dalam bentuk relativistik) dimana potensial adalah nol. Notasi penting: ∂ 2 = ∂ µ ∂µ = η µν ∂µ ∂ν (2.20) dimana η µν adalah metrik Minkowski. ∂2 = ∂ − ∇2 ∂t2 (2.21) BAB 2. TEORI MEDAN 17 Momentum-empat adalah pµ = −i∂µ (2.22) (p2 − m2 )φ = 0 (2.23) p2 = m2 (2.24) E 2 − p2 = m2 (2.25) Persamaan di atas menjadi Hubungan energi-momentum adalah di sini, perlakukan c = 1. 2.4 Dua-Medan Anggap bahwa kita memiliki dua medan φ1 dan φ2 . Asumsikan bahwa keduanya memiliki massa yang sama, saling tak gayut, konjugat kompleks dan memiliki derajat kebebasan yang berbeda. Lagrangian kedua medan dapat ditulis sebagai L = X1 1,2 2 (∂µ φi )2 − 1 m(φ21 + φ22 ) = (∂µ φ)∗ (∂µ φ) − m2 φ∗ φ 2 (2.26) dimana 1 φ = √ (φ1 + iφ2 ) 2 (2.27) dan konjugat kompleksnya adalah 1 φ∗ = √ (φ1 − iφ2 ) 2 (2.28) Catatan: Yang dimaksud dengan partikel skalar kompleks: muatan (φ, φ∗ ) dan partikel skalar : netral dan kompleks. BAB 2. TEORI MEDAN 18 Persamaan gerak untuk medan φ, φ∗ adalah δL δL − = 0 δ(∂µ φ) δφ (2.29) δL δL − ∗ = 0 ∗ δ(∂µ φ ) δφ (2.30) ∂µ dan ∂µ dimana persamaan terdahulu menjamin persamaan yang kemudian. Catat: ~ adalah vektor emTeori Maxwell berkenaan dengan medan vektor, yakni foton. Jika A pat (ini terkait dengan ruang-waktu) maka ia ditulis sebagai Aµ , dimana µ = 0, 1, 2, 3. Persamaan Maxwel dapat ditulis sebagai ∂ 2 Aµ − ∂µ ∂ν Aν = 0 → ∂ 2 Aµ = 0 (2.31) Soal 2: Turunkan dari persamaan berikut (∂ 2 − m2 )φ = 0 (2.32) (∂ 2 − m2 )φ∗ = 0 (2.33) diperoleh pesamaan Soal 3: Temukan Lagrangian untuk persamaan Maxwell. 2.5 Interaksi φ4 Tinjau potensial berikut V = 1 1 mφ2 + λφ4 + ... 2 2 (2.34) BAB 2. TEORI MEDAN 19 Jika V = 1 mφ2 2 (2.35) maka ini adalah potensial osilator harmonik. Persamaan gerak untuk potensial tak nol adalah (∂ 2 + m2 )φ = −λφ3 (2.36) Figure 6. Interaksi Pµ = (E, p~) (2.37) p2 + m2 = 0 (2.38) P 2 = −E 2 + p~2 (2.39) ηµν = (−1, 1, 1, 1) (2.40) Metrik Minkowski adalah yakni konvensi metrik. 2.6 Medan Skalar Kompleks Untuk kasus dua medan netral, Lagrangian adalah L = 1 [(∂µ φ1 )2 + (∂µ φ2 )2 ] − V (φ∗ , φ) = (∂µ φ)∗ (∂µ φ) − V (φ∗ φ) 2 (2.41) BAB 2. TEORI MEDAN 20 dimana 1 φ = √ (φ1 + iφ2 ) 2 (2.42) 1 φ∗ = √ (φ1 − iφ2 ) 2 (2.43) dan Medan bisa bernilai kompleks, namun Lagrangian selalu bernilai riil Tinjau dua medan φ dan φ∗ berikut, dimana keduanya saling tak gayut (φ1 , φ2 ) → (φ, φ∗ ) (2.44) Persamaan gerak adalah (p2 + m2 )φ = 0 (2.45)   δV 2 p + φ = 0 δφ (2.46) atau Jika terdapat potensial berikut V = m2 φ∗ φ + λ λ(φ∗ φ)2 2 (2.47) maka dengan mensubstitusikan potensial di atas, diperoleh persamaan gerak berikut (p2 + m2 )φ = λ(φ∗ φ)φ (2.48) Interaksi medan empat, φ4 , adalah interaksi medan yang paling sederhana. Soal 4: Bahas katenari (catenary/hanging roof ). 2.7 Medan Vektor dan Tensor Kuat Medan Lagrangian yang menghasilkan persamaan Maxwell adalah 1 2 L = − Fµν 4 (2.49) BAB 2. TEORI MEDAN 21 dimana Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ (2.50) Fµν adalah tensor kuat medan1 , Aµ adalah medan vektor, ia invarian Lorentz. Persamaan Maxwell untuk medan elektromagnetika bebas dapat ditulis sebagai ∂ 2 Aµ − ∂µ ∂ν Aν = 0 2.8 (2.51) Bentuk-1 Medan vektor, Aµ , dapat ditulis sebagai (0, 1)-tensor atau bentuk-1 (1-form), ωµ . Aµ = η µν Aν (2.52) 1-bentuk adalah fungsi gradien. Berikut adalah contoh 1-bentuk ωµ = ∂µ f = (df )µ (2.53) i.e. bentuk-1-bentuk (closed 1-form). Batas dari batas (boundary of boundary) adalah nol, dapat ditulis sebagai d2 f = 0 (2.54) d2 = 0 (2.55) dimana Untuk membuktikan hubungan ini, gunakan sifat tensor anti-simetri. 2.9 Turunan Eksterior Perkenalkan turunan eksterior (exterior derivative) dari ωµ , didefinisikan sebagai (dωµν ) ≡ ∂µ ων − ∂ν ωµ (2.56) untuk n dimensi. 1 Kuat medan dalam istilah medan tera terkait dengan kelengkungan dalam istilah bundel [44] BAB 2. TEORI MEDAN 22 2.10 Kebebasan Tera dan Derajat Kebebasan 2.10.1 Kebebasan Tera Jika kita memiliki medan vektor Aµ , sebagai berikut A µ = ∂µ f (2.57) maka tensor kuat medan terkait adalah Fµν = 0 (2.58) yakni adalah kebebasan tera (a gauge freedom). 2.10.2 Derajat Kebebasan Tensor kuat medan adalah tensor anti-simetri Fµν = −Fνµ    0 −E1 −E2 E3     E1 0 H −H 3 2  =   E −H 0 H1    2 3   E3 H2 −H1 0 ~ H) ~ = (−E, (2.59) Ia memiliki enam derajat kebebasan (degree of freedom). F0i = ∂0 Ai − ∂i A0 (2.60) ~ = (A0 , A) ~ Aµ = (−φ, A) (2.61) ~˙ + ∇φ ~ = −E ~ F0i = ∂0 Ai − ∂i A0 = A (2.62) ~ ×A ~=H ~ Fij = ∂i Aj − ∂j Ai = ∇ (2.63) BAB 2. TEORI MEDAN 23 F0i = εijk Hk (2.64) F µν = η µα η νβ Fαβ ~ H) ~ = (E,    0 E1 E2 E3    E1 0 H3 −H2    =   E H  0 H  2 3 1    E3 H2 H1 0 (2.65) Pertanyaan: ~ ×A ~ di n dimensi? Untuk kasus 3D, ia adalah ∇ ~ × A. ~ Bagaimana memformulasi ∇ Sifat-sifat penting ruang Minkowski: (1) ηµν adalah tensor simetri ; tensor (0, 2). (2) εµνρσ adalah tensor total simetri ; tensor (0, 4). (3) ε0123 = 1 adalah invariansi transformasi Lorentz. (4) (dω)µν yakni bentuk-2 (2-form); tensor anti-simetri (0, 2). 2.11 Bentuk-2 Tinjau Lagrangian persamaan Maxwell berikut L = 1 2 F 4 µν (2.66) dimana Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ = (dA)µ (dA)µ adalah bentuk-2 (2-form). Secara umum, dapat ditulis bahwa bentuk-n = ωαβ...... ν | {z } = n (2.67) BAB 2. TEORI MEDAN 24 Contoh bentuk-n, untuk n = 1, 2 adalah: 1-bentuk, misal: ∂µ f . 2-bentuk, misal: (dω)µν = ∂µ ων − ∂ν ωµ = 0 (2.68) dimana (dq = 0). ω µ = ∂µ f (2.69) δFµν = 0 (2.70) 2.12 Bentuk-2 Dual dan Transformasi Dual 2.12.1 Bentuk-2 dual Definisikan bentuk-2 dual (dual 2-form) sebagai F̃µν = 1 εµνρσ F ρσ 2 (2.71) yakni tensor magnetik dual (dual magnetic tensor ). F ρσ = 2 ∂ ρ Aσ Fµν = εµνρσ ∂ ρ Aσ = 2.12.2 (2.72) 1 ~ E) ~ εµνρσ (∂ ρ Aσ − ∂ σ Aρ ) = (H, 2 (2.73) ~ H) ~ F µν = (E, (2.74) ~ E) ~ F̃ µν = (H, (2.75) Transformation Dual Transformasi dual (dual transformation) dapat ditulis sebagai     ~ ~ E −H  →  ~ ~ H E (2.76) BAB 2. TEORI MEDAN 25 Figure 7. Transformation dual 2.13 Identitas Bianchi Bagaimana dinamika berubah dalam transformasi dual? ∂ 2 Aµ − ∂µ ∂ν Aν = 0 (2.77) ∂ µ Fµν = ∂ µ (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = 0 (2.78) ∂ µ F̃µν = εµνρσ ∂ µ ∂ ρ Aσ = 0 (2.79) yakni identitas Bianchi (Bianchy identity), dimana εµνρσ adalah tensor anti-simetri. Untuk kasus ∂ µ Fµν = Jµ (2.80) di kasus khusus Jµ dapat bernilai nol. Tinjau ~ .E ~ =ρ ∇ (2.81) ~ × H ~ −E ~˙ = J~ ∇ (2.82) ∂ µ Fµν = Jµ (2.83) ~ .H ~ =0 ∇ (2.84) BAB 2. TEORI MEDAN 26 ~ × E ~ +H ~˙ = 0 ∇ (2.85) ∂ µ F̃µν = εµνρσ ∂ µ ∂ ρ Aσ = 0 (2.86) yakni identitas Bianchi. Mengapa kita perlu identitas Bianchi? 1 2 L = − Fµν 4 (2.87) → turunan eksterior. Sebenarnya, Bianchi menurunkan untuk pertama kali apa yang dikenal hari ini sebagai identitas Bianchi adalah untuk mengakomodasi (secara fisis) fakta bahwa ~ .H ~ =0 ∇ (2.88) ~ × E ~ +H ~˙ = 0 ∇ (2.89) dan 2.14 Teori Tera dan Kondisi Tera 2.14.1 Teori Tera Teori tera (gauge theory) adalah (konsep) paling mendasar di fisika. 2.14.2 Kondisi tera Kondisi tera (gauge condition): ~ H) ~ atau Fµν tak menentukan Aµ secara unik. (E, Kondisi Lorentz atau tera Lorentz menghasilkan ∂µ A µ = 0 (2.90) ∂t φ − ∂i Ai = 0 (2.91) atau BAB 2. TEORI MEDAN 27 Tera Coulomb menghasilkan ∂i Ai = 0 (2.92) ~ .A ~=0 ∇ (2.93) atau Tera tempo (temporal gauge) menghasilkan A0 = 0 (2.94) Soal 5: Jika φ(A0 ) adalah tetap maka selidiki apa itu φ di tera Coulomb? 2.15 Transformasi Tera dan Invariansi Tera Tinjau transformasi berikut Aµ → Aµ + ∂µ f (2.95) yakni transformasi tera (gauge transformation). Fµν = Fµν (2.96) yakni invarian tera (gauge invariant). Important notes: Maxwell theory is the simplest case of gauge theory. All theories (in physics) are described by gauge theory. Gauge principle is the most fundamental principle in nature. 2.16 Azas Lokalitas Tinjau persamaan medan berikut φ = φ1 + iφ2 = R eiθ (2.97) BAB 2. TEORI MEDAN 28 dimana q R = φ21 + φ22 (2.98) Gambar 8. Azas lokalitas (locality principle) Titik asal (origin) adalah sembarang, namun ia menghasilkan fisika yang sama. Azas lokalitas menentukan dinamika. Di Gambar 8, tampak bahwa δθ = θ(x + dx) − θ(x) − e Aµ dxµ = (∂µ θ) dxµ − e Aµ dxµ = (∂µ θ − e Aµ ) dxµ (2.99) Ini bermakna bahwa terdapat transformasi berikut ∂µ θ → ∂µ θ − eAµ (2.100) Operasikan ∂µ terhadap persamaan medan di atas menghasilkan ∂µ φ = (∂µ R + iR ∂µ θ)eiθ (2.101) BAB 2. TEORI MEDAN 29 Substitusi persamaan di atas, diperoleh ∂µ φ = [∂µ R + iR (∂µ θ − eAµ )]eiθ (2.102) ∂µ φ → Dµ φ = (∂µ − ieAµ )φ (2.103) Tinjau transformasi medan berikut φ → φ0 = eiα φ (2.104) θ →θ+α (2.105) dimana Tinjau pula persamaan berikut Dµ0 φ0 = (∂µ − ieA0µ ) eiα φ = eiα (∂µ − ieAµ − i∂µ α) φ (2.106) 1 A0µ = Aµ + ∂µ α e (2.107) 1 Aµ → A0µ = Aµ + ∂µ α e (2.108) Dµ0 φ0 = eiα Dµ φ (2.109) Dµ φ = (∂µ − ieAµ )φ (2.110) dimana Ini bermakna bahwa dimana Muatan (charge) tak lain adalah konstanta gandeng (a coupling constant), −ie. Gambar 9. Konstanta gandeng BAB 2. TEORI MEDAN 30 Mengapa kita menghendaki persamaan ini? Karena kita menginginkan Lagrangian adalah invarian λ L = −(∂µ φ)∗ (∂µ φ) − m2 φ∗ φ − (φ∗ φ)2 2 (2.111) dimana medan kompleks: φ (positip) dan φ∗ (negatip). Lagrangian selalu bernilai riil. λ L = −(Dµ φ)∗ (Dµ φ) − m2 φ∗ φ − (φ∗ φ)2 2 (2.112) λ L = −(Dµ0 φ0 )∗ (Dµ0 φ0 ) − m2 φ∗ φ − (φ∗ φ)2 2 (2.113) yakni Lagrangian invarian tera (gauge invariant Lagrangian). Beberapa pertanyaan kasar: Bagaimana lokalitas menentukan Fµν ? Bagaimana memilih derajat kebebasan? dxµ adalah bilangan, bagaimana bilangan menjadi kuantitas vektor? e Aµ (x) dxµ (2.114) dimana e adalah konstanta dan Aµ (x) adalah fungsi sembarang. 2.17 Derajat Kebebasan Tinjau persamaan berikut R = eiθ R (2.115) dimana iθ adalah derajat kebebasan (degree of freedom) φ = eiθ R → ei(θ+α) R (2.116) U (1) = eiθ (2.117) dimana angka 1 di U (1) menunjukkan dimensi. BAB 2. TEORI MEDAN 31 Gambar 10. Derajat kebebasan, θ1 + θ2 = θ3 Derajat kebebasan menentukan dinamika. 2.18 Grup Terkait dengan derajat kebebasan di bagian sebelumnya, θ membentuk grup. Himpunan (θ1 , θ2 , ..): operasi diantara himpunan. 2.18.1 Sifat-sifat grup Tinjau perkalian grup (group multiplication) berikut a.b=c Perkalian grup memiliki sifat-sifat berikut (1) Asosiatif : (a · b) · c = a · (b · c); non-komutatif, secara umum. (2) Satuan e, untuk seluruh a, yakni a · e = e · a = a. (3) Invers, untuk seluruh a, i.e. a−1 · a = a · a−1 = e. Contoh grup: (1) R (bilangan riil), positip, memiliki satuan = 0. (2.118) BAB 2. TEORI MEDAN 32 (2) R − φ memiliki satuan = 1. (3) U (1); 0 ≤ θ ≤ 2π (mod 2π). (4) SO(2), 2 × 2 matriks. Di SO(2), S merujuk ”special”, O merujuk ortogonal dan angka 2 merujuk dimensi (ukuran matriks). 2.18.2 Grup rotasi Rotasi dalam notasi matriks dapat ditulis sebagai berikut   cos θ sin θ   − sin θ cos θ (2.119) SO(3) adalah grup ortogonal khusus (special orthogonal group) berdimensi 3. Ini adalah matriks berukuran 3 × 3, non-komutatif dan memiliki tiga parameter (x, y, z). Ortogonal bermakna cos θ sin θ − sin θ cos θ = 0. ”Special” bermakna determinan matriks = 1.   1 0 0     0 1 0   0 0 1 (2.120) Matriks non-komutatif jika AB 6= BA. Simetri menentukan dinamika. Grup yang berbeda menghasilkan simetri yang berbeda pula. 2.18.3 Grup Lie Grup Lie adalah grup yang terpenting di fisika (1) Himpunan adalah manifold: kontinyu. (2) Jika transformasi adalah analitik (memiliki tak hingga banyak diferensiasi ), grup adalah kontinyu. Beberapa contoh grup Lie adalah U (1), SU (2), SU (3). BAB 2. TEORI MEDAN 33 Jika operasi grup adalah kontinyu maka grup adalah analitik, yakni memiliki tak hingga banyak diferensiasi. (Konjektur Hilbert) Saat ini, konjektur tersebut telah terbukti. Grup mendeskripsikan simetri, simetri mendeskripsikan dinamika. Ini alasannya mengapa grup sangat penting. Soal 6: ∂ µ Fµν = −jν (2.121) Cari jν (jν diberikan dalam bentuk φ). Tinjau persamaan di bawah ini ∂ µ F̃µν = 0 (2.122) Kekekalan arus memenuhi teori tera U (1). ∂ µ Fµν = −jν (2.123) ∂ µ jµ = 0 (2.124) jµ = (−ρ, ~j) (2.125) dimana ρ adalah rapat muatan dan j adalah rapat arus. 0 = ∂ ν ∂ µ Fµν = −∂ν jν (2.126) Persamaan muatan adalah Z Q= ρ d3 x Persamaan arus adalah Z Z Z d dQ 3 3 ~ . ~j d x = − ~j . n̂ d2 x = 0 = ρd x= ∇ dt dt ∞ (2.127) (2.128) BAB 2. TEORI MEDAN 34 Ini bermakna bahwa muatan tak berubah terhadap waktu. ∂ µ~jµ = 0 − ∂ ~ . ~j = 0 ρ+∇ ∂t (2.129) (2.130) Gambar 11. Kekekalan arus 2.19 Massa dan Perusakan Simetri Mengapa Aµ tak bermassa? Beberapa alasan mengapa Aµ tak bermassa: (1) Karena, jika Aµ tak bermassa maka Lagrangiannya invarian. (2) Jika Aµ bermassa, maka simetri tera menjadi rusak. Aµ = (A0 , A1 , A2 , A3 ) (2.131) dimana indeks µ di Aµ menunjukkan ruang-waktu empat dimensi (4D), yakni A0 adalah komponen waktu dan (A1 , A2 , A3 ) = A adalah komponen ruang. BAB 2. TEORI MEDAN 2.20 35 Penetapan Tera Penetapan tera (gauge fixing) mereduksi jumlah derajat kebebasan tak gayut (independent number of degree of freedom) Aµ → A0µ = Aµ + 1 ∂µ α e (2.132) dimana α adalah fungsi. φ → φ0 = eiα φ (2.133) ∂ µ Aµ = 0 → ∂ µ Aµ + ∂ 2 α = 0 (2.134) Tera Lorentz Tera Lorentz mereduksi satu derajat kebebasan (A0 ), sehingga menyisakan tiga derajat kebebasan (A1 , A2 , A3 ). Pertanyaan: Dapatkan kita melakukan lebih banyak penetapan tera? Ya, kita dapat, semisal menggunakan tera Coulomb. Tera Coulomb: ~ .A ~ = 0 ∇ (2.135) ~ adalah vektor 3D. dimana A Soal 7: Pilih tera Coulomb: A0 secara lengkap ditentukan oleh φ. Tinjau persamaan berikut ~ = ~e ei(~k~x−ωt) A (2.136) ~ menghasilkan dimana ~e adalah polarisasi. Divergensi A ~ ·A ~ = i~k · ~e ei(~k~x−ωt) ∇ (2.137) dikarenakan ~k · ~e = 0 (EM adalah transversal) (2.138) BAB 2. TEORI MEDAN 36 maka ~ ·A ~=0 ∇ (2.139) Gambar 12. Polarisasi Simetri tera adalah simetri yang paling berdaya guna di alam semesta. ~ Aµ = [A0 (x), A1 (x), A2 (x), A3 (x)] = [A0 , A] (2.140) ~ Aµ memiliki empat derajat kebebasan (ruangdimana [A1 (x), A2 (x), A3 (x)] = A. waktu empat dimensi, 4D). Berikut, penetapan tera menggunakan tera Lorentz dan tera Coulomb: (1) Jika digunakan tera Lorentz, ∂µ Aµ = 0, maka terdapat tiga derajat kebebasan. ~ .A ~ = 0, maka terdapat dua derajat kebebasan (2) Jika digunakan tera Coulomb, ∇ (makna fisisnya adalah foton memiliki dua polarisasi). ∂µ Aµ ∂ 2 α = 0 → ∂ 2 α = 0 dimana ∂µ Aµ = 0 → ∂ 2 α = 0 (derajat tera sisa). Teori tera U (1) memiliki konsekuensi: (1) Muatan adalah kekal. (2) Aµ tak bermassa. (2.141) BAB 2. TEORI MEDAN 37 Tinjau Lagrangian persamaan Maxwell berikut 1 2 L = − Fµν 4 (2.142) Di QED, mengapa Aµ tak bermassa? Jika Aµ bermassa, maka 1 2 L = − Fµν − m2 A2µ 4 (2.143) Suku m2 A2µ di sisi kanan persamaan menunjukkan Lagrangian bermassa. Persyaratan simetri: apakah Lagrangian bermassa invarian? Lihat grup U (1). 2.21 Azas Tera Azas lokalitas (locality principle) → azas tera (gauge principle). Contoh azas lokalitas adalah azas Pauli (Pauli principle). Tinjau muatan skalar berikut φ = φ1 + iφ2 = |φ|eiθ 0 = Reiθ ∼ = Reiθ (2.144) dimana eiθ adalah fase. Tinjau fase eiθ . Bagaimana θ0 (x0 ) bisa dihubungkan dengan θ0 (x)? δθ = θ(x + dx) − θ(x) (2.145) δ̄θ = θ(x + dx) ± eAµ (x) dxµ − θ(x) (2.146) θ0 (x + dx) = θ0 (x) + eAµ (x) dxµ (2.147) δ0 (φ) = −ieAµ (x) dxµ φ(x + dx) (2.148) Untuk setiap θ0 φ(x + dx) → e−ieAµ (x) dxµ φ(x + dx) ∼ = [1 ± ieAµ (x) dxµ ] φ(x + dx) (2.149) BAB 2. TEORI MEDAN 38 Figure 13. Figure 14. BAB 2. TEORI MEDAN 39 Figure 15. Diperoleh ∂µ φ = [∂µ R + iR ∂µ θ]eiθ → [∂µ R + iR(∂µ θ ± eAµ )] eiθ = (∂µ ∓ ieAµ )φ = Dµ φ (2.150) atau δφ → δφ + δ0 φ = ∂µ φ dxµ + ie Aµ φ dxµ = (Dµ φ) dxµ (2.151) δ̄θ = θ(x + dx) − θ0 (x + dx) − [θ(x) − θ0 (x)] = δθ − [θ0 (x + dx) − θ0 (x)] = δθ − eAµ dxµ (2.152) BAB 2. TEORI MEDAN 40 yakni pergeseran titik nol. Sebenarnya, kita memiliki 1 ∂µ α e (2.153) Dµ φ → Dµ0 φ0 = eiα Dµ φ (2.154) Aµ → A0µ = Aµ − tanpa mensyaratkan Dalam transformasi berikut φ → φ0 = eiα φ (2.155) θ → θ0 = θ + α (2.156) δ0 θ → δ0 θ0 = δ0 θ + δ0 α = +eAµ dxµ + ∂µ α dxµ (2.157) kita memiliki Sehingga dengan dimana δ0 θ = +eAµ dxµ   1 = +e Aµ + ∂µ α dxµ e 0 µ = +eAµ dx (2.158) diperoleh 1 A0µ = Aµ + ∂µ α e (2.159) Dalam transformasi berikut φ → φ0 = eiα φ (2.160) 1 Aµ → A0µ = Aµ + ∂µ α e (2.161) dipersyaratkan aturan transformasi yang sama Dµ φ → Dµ0 φ0 = (∂µ ± ieA0µ )φ eiα = eiα Dµ φ Temukan bahwa Fµν invarian (2.162) BAB 2. TEORI MEDAN 2.22 41 Holonomi Holonomi (holonomy): dalam transpor sejajar sepanjang lintasan tertutup (closed loop), terdapat transformasi tera φ → eiα φ (2.163) Gambar 16. Holonomi 2.23 Kuat Medan, Kelengkungan dan Koneksi Tinjau persamaan berikut I α = +e Aµ dxµ θ0 (x + dx) − θ0 (x) = +eAµ dxµ (2.164) (2.165) Tak hingga kecil, α = +e {Aµ (x) dxµ + Aµ (x + dx)dy µ − Aµ (x)dy µ − Aµ (x + dy)} = +e {Aµ (x) dxµ + [Aµ (x) + ∂ν Aµ (x)dxν ]dy µ − Aµ (x)dy − [Aµ (x) + ∂ν Aµ (x)dy ν ]dxµ } = +e Fµν (x) dxµ dy ν (2.166) BAB 2. TEORI MEDAN 42 dimana Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ (2.167) adalah kelengkungan (kuat medan) dari koneksi (connection) Aµ . Catat bahwa: [Dµ , Dν ] = −ie Fµν (2.168) Dµ = ∂µ − ieAµ (2.169) Sehingga, grup holonomi adalah U (1). Contoh: elektrodinamika skalar L = −(Dµ φ)∗ (Dµ φ) − m2 φ∗ φ 1 2 − V (φ∗ φ) = − Fµν 4 (2.170) Invariansi tera (22 − m2 )φ = 0 (2.171)   ∂V 2 2 − ∗ φ = 0 ∂φ (2.172) ∂ µ Fµν = −Jν (2.173) ↔ Jµ = −ieφ∗ Dµ φ (2.174) ∗ ∂ µ Fµν = 0 (2.175) Catatan: (1) Perhatikan dimana ∗ Fµν = 1 µνρσ Fρσ 2 (2.176) BAB 2. TEORI MEDAN 43 (2) Kekekalan muatan ∂ µ Jµ = 0 (2.177) J µ = (ρ, ~j) (2.178) Teorema Noether: (3) Aµ tak bermassa, invariansi tera melarang suku massa. (4) Untuk menentukan Aµ , diperlukan kondisi penetapan tera (gauge fixing condition). Contoh: ∂ µ Aµ = 0 (2.179) yakni tera Lorentz. (5) Aµ adalah transversal: dalam tera Coulomb. ~ A ~ = 0 ∇. (2.180) A0 secara lengkap ditentukan 1 = 4π A0 Z d 3 x0 ρ(t, ~x0 ) |~x − ~x0 | (2.181) → kebebasan tera sisa (residual gauge freedom). Soal 8: (1) Cari J µ = (ρ, ~j). (2) Turunkan Jµ dari teorema Noether. (3) Cari A0 dalam tera Coulomb. (4) Tera Lorentz tidaklah menentukan kebebasan tera secara lengkap. ∂µ Aµ = 0 → ∂µ Aµ + ∂ 2 α = 0 Aµ → Aµ + ∂µ α Catatan: (1) Simetri tera mengakibatkan foton tak bermassa (transversal). (2.182) (2.183) BAB 2. TEORI MEDAN 44 (2) Perusakan simetri. Teori Maxwell menggandeng elektron skalar: 1 2 L = − Fµν − (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − m2 φ∗ φ 4 (2.184) Dµ = ∂µ + ieAµ (2.185) dimana Aµ : foton → dua polarisasi yakni dua derajat kebebasan fisika dan dua derajat kebebasan non-fisika. µ dalam Aµ memiliki empat derajat kebebasan, vektor empat. ∂µ Aµ = 0 → ∂ 2 α = 0 (2.186) ~ = 0 ∇.A (2.187) φ = φ1 + iφ2 = Reiθ (2.188) ~ = 0 ∇.A (2.189) A0 memiliki nilai tetap (fixed). φ memiliki dua derajat kebebasan Mekanisme Higgs adalah foton tak bermassa. Derajat kebebasan Sebenarnya, 2 + 2, namun dapat juga dibuat 3 + 1 1 2 λ L = − Fµν − (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − m2 φ∗ φ − (φ∗ φ) 4 2 (2.190) λ −m2 φ∗ φ − (φ∗ φ) = −V (φ) 2 (2.191) L = T −V (2.192) dimana BAB 2. TEORI MEDAN 45 H = T +V (2.193) dimana V → 0 pada ~x = ∞, yakni pada ketakhinggaan (kondisi vakum). V = λ ∗ 2 (φ φ) + m2 φ∗ φ 2 (2.194) Figure 17. (φ∗ φ)2 Figure 18. φ∗ φ Figure 19. Model standard, pada ketakhinggaan = 0 Pada ~x → ∞ maka hφi = 0. Apa itu hφi? Apakah itu vakum? φ = hφi + ϕ (2.195) BAB 2. TEORI MEDAN 46 λ 1 2 − (∂µ − ieAµ )(hφi + ϕ)∗ (∂µ + ieAµ )(hφi) − [(hφi + ϕ)∗ (hφi + ϕ)]2 L = − Fµν 4 2 2 ∗ −m (hφi + ϕ) (hφi + ϕ) 1 2 = − Fµν − [∂µ ϕ∗ − ieAµ hφi − ieAµ ϕ∗ ] [∂µ ϕ + ieAµ hφi + ieAµ ϕ] − V0 4 λ − [hφi(ϕ∗ + ϕ) + ϕ∗ ϕ]2 − m2 [hφi(ϕ∗ + ϕ) + ϕ∗ ϕ] 2 1 2 = − Fµν − (∂µ ϕ)∗ (∂µ ϕ) + ieAµ hφi(∂µ φ∗ − ∂µ φ) + e2 A2µ hφi2 + ieAµ (∂µ ϕ∗ )ϕ + .. 4  λ 2 2 (2.196) − m − hφi ϕ∗ ϕ + ... 2 dimana µ ≡ ehφi (2.197) e2 A2µ hφi2 = µ2 A2µ (2.198) Mekanisme Higgs mechanism membangkitkan massa foton tanpa merusak invariansi L. ˆ Perusakan simetri spontan (spontaneous symmetry breaking). ˆ Vakum tidak unik (degenerasi). Jika salah satu titik dipilih maka terjadi per- usakan simetri spontan. Namun, sesungguhnya ini adalah penafsiran yang tak benar (wrong interpretation)2 2 Pertanyaannya adalah ”wrong interpretation” nya dari degenerate vacuum, kenapa jika kita pilih satu vakum, lalu terjadi SSB disebut ”wrong interpretation”? Bagaimana intepretasinya yang benar? (Chrisna, 2015). Jika vakum dibuat unik, artinya kita tak perlu memilih, bukan? Bisakah vakum dibuat unik? Agar simetri tetap indah, tak rusak. (Mif, 19 Okt 2015) Jika vakuum dibuat unik, tetap OK, tetap punya ”simetri” (tak ada spontaneous symmetry breaking/SSB). Namun, kita tidak bisa menggunakan mekanisme Higgs untuk memberi massa kepada fermionik partikel fermionik. Bahkan, jika vakumnya tak unik, alias terdegenerasi, lalu terjadi spontaneous symmetry breaking (jika kita pilih satu vakum), kita juga tetap punya ”simetri”. Jika vakumnya unik, tak ada SSB, maka kita butuh mekanisme lain selain Higgs. Hanya saja, karena partikel Higgs telah ”ketemu” tahun 2012 silam, berarti SSB bisa dibilang ”benar”. (Chrisna, 19 Okt 2015) Jika ada mekanisme pembangkitan massa selain mekanisme Higgs, artinya tak perlu merusak alam dengan SSB. (Miftachul Hadi, 19 Okt 2015) BAB 2. TEORI MEDAN 47 ˆ LHC mencari massa foton. Figure 20. Dua minimum Figure 21. Satu minimum Alternatif V = λ ∗ 2 (ϕ ϕ) − m2 ϕ∗ ϕ 2 (2.199) Tanda minus di suku kedua sisi kanan persamaan bermakna bahwa terdapat dua minimum. Namun, jika suku kedua sisi kanan persamaan di atas bertanda plus maka ini bermakna terdapat satu minimum. 1 φ = √ Reiϕ 2 (2.200)  2 1 2 1 ∂µ ϕ λ m2 2 2 2 L = − Fµν − (∂µ R) + e Aµ + R2 − R4 − R 4 2 e 4 2 (2.201) dimana Aµ + ∂µ ϕ = eR2 Bµ2 = e2 (hRi + f )2 Bµ2 e (2.202) dan m2 − R2 = −V (R) = Vmin hRi = 2 r m2 λ (2.203) BAB 2. TEORI MEDAN 48 1 Bµ = Aµ + ∂µ ϕ e (2.204) Fµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ (2.205) yakni transformasi tera. Vakum adalah unik Figure 22. Satu vakum R = hRi + f (2.206) Simetri tera tersembunyi. - Non-linierisasi simetri tera. - Mode/medan Nambu-Goldstone: vakum degenerasi (foton tak bermassa). Bagaimana jika foton bermassa? Gaya elektromagnetika menjadi berjangkauan pendek (short range). Gambar 23. F = q1 q2 r2 (2.207) Jika foton bermassa maka interaksi menjadi berjangkauan pendek: e−µr yakni berkurang (kita tak bisa merasakannya). Dikarenakan foton tak bermassa maka tidak ada parameter massa. [F ] = yakni berjangkauan panjang. 1 [L2 ] (2.208) BAB 2. TEORI MEDAN 2.24 49 Teori Landau-Ginzburg: Superkonduktor - Teori efektif superkonduktor. - Foton menjadi bermassa. - Pasangan Cooper (Cooper pair). (e + e) → φ (2.209) q = 2e (2.210) yakni terdapat dua muatan e. Tinjau Lagrangian Landau-Ginzburg berikut λ 1 2 − (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − m2 φ∗ φ − (φ∗ φ)2 L = − Fµν 4 2 2.25 (2.211) Efek Meissner Efek Meissner: - Superkonduktor dalam medan elektromagnetika. - Vorteks magnetik. - Medan magnetik tak dapat menembus superkonduktor. 2.26 Vorteks Abrikosov Vorteks Abrikosov: Cari solusi vorteks Abrikosov dari teori Lagrangian Landau-Ginzburg. Gunakan ansatz (ansatz berfungsi untuk menyederhanakan persamaan) sebagai berikut φ = R(r) ei(n−k)ϕ (2.212) BAB 2. TEORI MEDAN 50 Figure 24. Aµ = n A(r) ∂µ ϕ g (2.213) dimana Aµ membangkitkan medan magnetik. Petunjuk: Gunakan ansat tersebut dan reduksi persamaan gerak berikut 1 n2 R̈ + Ṙ + 2 r r   k λ 2 (R − R0 )R A− R = n 2   1 k 2 2 Ä − Ȧ − g R A − = 0 r n (2.214) (2.215) Syarat batas (boundary condition) R(∞) → R0 = hRi (2.216) A(0) = 0 (2.217) A(∞) = k n R(0) = Ṙ(0) (2.218) (2.219) dk−1 R = 0 drk−1 (2.220) dk R 6= 0 drk (2.221) BAB 2. TEORI MEDAN 51 Gambar 25. Gambar 26. Medan magnetik tak dapat menembus superkonduktor Kata kunci penting dalam superkonduktor: - Vorteks Abrikosov - Effect Meissner - Mekanisme Higgs - Teori Ginzburg-Landau Lihat: Y.M. Cho, P.M. Zhang, Topological Objects in Two-Gap Superconductor, Eur. Phys. J., B65, 155-178 (2008). Vorteks Abrikosov: solusi dua dimensi Aµ = n A(r) ∂µ ϕ g (2.222) BAB 2. TEORI MEDAN 52 Gambar 27. Gambar 28. Aµ = (Ax , Ay ) = Ax dx + Ay dy (2.223)   ∂ϕ ∂ϕ n A(r) dx + dy = g ∂x ∂y (2.224) Aµ Di dua dimensi ∂ϕ ∂ϕ dx + dy ∂x ∂y (2.225) Ax = n ∂ϕ A(r) g ∂x (2.226) Ay = n ∂ϕ A(r) g ∂y (2.227) Aµ = n A(r) ∂µ ϕ g (2.228) ∂µ ϕ = Sehingga BAB 2. TEORI MEDAN 53 Aµ = [A(r), A(ϕ)] (2.229) Jika A(r) = 0 maka  Aµ =  n 0, A(r) g (2.230) dimana A(ϕ) = ng A(r); r = r(x, y); ϕ = ϕ(x, y). Soal 9: - CariAx , Ay dan gambarkan vektornya. - Apa makna ∂µ ϕ? Gambar 29. ~ →∇×A ~=B ~ A Z ΦB = ~ σ= B.d~ Z Z ΦB = ~ σ (∇ × A).d~ ~ A.dl (2.231) (2.232) (2.233) C Ini adalah teorema Stokes. Z ΦB = ~ A.dl ZC = Aµ dxµ dxµ Z n = A(r) ∂µ ϕ.dxµ g Z n ∞ = A(r) dϕ g r=0 n = 2π g (2.234) BAB 2. TEORI MEDAN 54 dimana A(r) = 1 pada batas, dϕ = 2π. Syarat batas: A(0) = 0, A(∞) = 1. Di superkonduktor, foton bermassa: cari medan skalar. - Efek Meissner: Gambar 30.Efek Meissner Kata kunci: medan skalar bermuatan, arus Eddy. Teori Landau-Ginzburg menjelaskan efek Meissner dan mekanisme Higgs. 2.27 Monopol Teori monopol Dirac: - Teori Maxwell ~ E ~ = ρe ∂ µ Fµν = −Jν → ∇. (2.235) Di sini, simbol e merujuk pada muatan listrik. ~ B ~ = ρm = 0 ∂ µ Feµν = 0 → ∇. (2.236) dimana ρm adalah muatan magnetik. Teori Maxwell tidak invarian dalam transformasi dual. Teori Maxwell tidak memiliki simetri dual.. BAB 2. TEORI MEDAN 2.28 55 Transformation Dual Transformation dua: 1 Feµν = µνρσ F ρσ 2 ~ → −B, ~ B ~ →E ~ Fµν ⇒ Feµν ⇔ E (2.237) (2.238) Dawai tak hingga panjang (infinite strings) memiliki dua kutub: vorteks Abrikosov dua dimensi (2D). Dawai Dirac (Dirac strings): - Fluks magnetik tak hingga panjang. - Tak hingga tipis. - ”Tak tampak” (invisible) yakni ia belum teramati. Ide Dirac untuk monopol: Gambar 31. Monopol Dirac Bagaimana Aµ bisa memunculkan dawai Dirac? (+) Tinjau Aµ (ide Dirac), 3D(r, θ, ϕ): monopol Dirac A(+) = µ Φ Φ (1 − cos θ) ∂µ ϕ → ∂µ ϕ 4π 2π (2.239) BAB 2. TEORI MEDAN 56 jika θ = π. Vorteks Abrikosov, 2D: Ansatz Aµ = Di ketakhinggaan A(r) = 1, Aµ = n g n A(r) ∂µ ϕ g (2.240) ∂µ ϕ. Soal: Singularitas. - Dawai harus halus (smooth) di semua tempat, kecuali di ”garis” (line). Alternatif lain: A(−) = µ (−) Aµ Φ Φ (−1 − cos θ) ∂µ ϕ = ∂µ(+) − ∂µ ϕ 4π 2π (2.241) (+) ini mengubah singularitas dari Aµ . Gambar 32. Aµ → A0µ = Aµ + ∂µ f dimana f adalah fungsi sembarang. Transformasi tera menghaluskanAµ . (2.242) BAB 2. TEORI MEDAN 57 Gambar 33. Soal 10: Cari Φ r̂ 4π r2 ~ = B (2.243) ~ adalah medan magnetik, yakni dimana B ~ = ∇×A ~ B (2.244) Fluks Z Φ = ~ S ~= B.d Z Φ = Z ~ S ~ ∇ × A.d A.dxµ (2.245) (2.246) Muatan Z Q = = Φ ~ = r2 sin θ dθ dϕ r̂. dimana dS ~ S ~= Φ B.d 4π Z r̂ ~ dS r2 (2.247) BAB 2. TEORI MEDAN 58 Gambar 34. Bagaimana membuat dawai Dirac tak tampak? Baca: P.A.M. Dirac, The Theory of Magnetic Poles, Phys. Rev., 74, 817 (1948). Φ → eief Φ (2.248) dimana f = e Φ ϕ 2π (2.249) Transformasi tera mengubah ”muka” eΦ Φ → eief Φ → ei 2π 2π Φ (2.250) 2πn e (2.251) eΦ = 2πn → Φ = Muatan monopol, Φ, dapat dikuantisasi e= 2πn Φ (2.252) i.e. electric charge could be quantized. Bagaimana menemukan cara lain kuantisasi? Gaya Lorentz: ~ = Φ r̂ B 4π r2 (2.253) BAB 2. TEORI MEDAN 59 Gambar 35. Hukum kedua Newton dan gaya Lorentz ~ m ~r¨ = q~v × B Φ r̂ 4π r2 eΦ ~r˙.r̂ = 4π r2 = e~r˙ × (2.254) Momentum sudut: ~l = ~r × m~r˙ d~l = m~r × ~r¨ dt ˙r eΦ ~r~ = ~r × 4π r3 (2.255) (2.256)   d~l eΦ d ~r = dt 4π dt r (2.257)   ~r l − eΦ = 0 r (2.258) Ini tidaklah kekal. d dt J = ~l + ~s (2.259) dimana J adalah momentum sudut total, ~l adalah momentum sudut, ~s adalah spin, ~ r s = − eΦ . 4π r eΦ n = → eΦ = 2nπ 4π 2 (2.260) BAB 2. TEORI MEDAN 60 Quantisasi muatan dapat diturunkan dari kuantisasi spin Momentum sudut terkuantisasi: kondisi Dirac. ~ ×B ~ P~ = E (2.261) Gambar 36. Hamburan Aharonov-Bohm: Physical Review 115, 485 (1959). Figure 37. Aharonov-Bohm Scattering dσ 1 sin2 πα = dϕ 2πk sin2 ϕ2 α = Ini adalah kondisi Dirac. eΦ =n 2π (2.262) (2.263) BAB 2. TEORI MEDAN 2.29 Kuantisasi Muatan Metode kuantisasi muatan: (1) Transformasi tera. (2) Kuantisasi sudut, ϕ. (3) Hamburan Bohm-Aharonov 61 Bab 3 Teori Tera Non-Abelian 3.1 Pengantar Abelian: komutatif, yakni a · b = b · a Contoh: U (1) → 1D, S 1 manifold, 1 muatan. Gambar 38. Non-Abelian: non-komutatif, yakni a · b 6= b · a, lebih dari satu dimensi. Contoh: SO(3) → 3D, (3 × 3) matriks (riil) ortogonal, yang mempertahankan panjang tetap sama (invarian). 62 BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 63 Gambar 39.      0 x a b c x       0     y  = d e f   y       0 z g h i z (3.1) x2 + y 2 + z 2 = x02 + y 02 + z 02 (3.2) yakni kondisi ortogonalitas. Di grup SO(3) terdapat sembilan parameter, yakni tiga parameter tak gayut plus enam parameter konstrain (constraint parameters). 3.2 Generator Generator: U (1) → d dθ Manifold SO(3): manifold tiga dimensi, α, β, γ. Dikarenakan tiga dimensi maka terdapat tiga generator, yakni tiga rotasi (rotasi sembarang) Li = ijk xj ∂k (3.3) dimana Li adalah generator, ijk adalah 3-form anti-simetri total, ijk (123 = +1). ∂k = ∂ . ∂xk L1 = y ∂ ∂ −z ∂z ∂y (3.4) L2 = z ∂ ∂ −x ∂x ∂z (3.5) L3 = x ∂ ∂ −y ∂y ∂x (3.6) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 64 Gambar 40. Hubungan komutasi: [Li , Lj ] = Li Lj − Lj Li (3.7) Soal: Untuk kasus SO(3), temukan [Li , Lj ] = ijk Lk . [L1 , L2 ] = L1 L2 − L2 L1 = L3 (3.8) Representation: Representasi matriks (3 × 3) L1   0 0 0     = 0 0 1   0 −1 0 (3.9) L2   0 0 −1     = 0 0 0    1 0 0 (3.10)  0 1 0      L3 = −1 0 0   0 0 0 (3.11) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 65 Soal 11: Buktikan Hubungan Komutasi Kanonik (Canonical Commutation Relation) dibawah ini (Li )jk = −ijk (3.12) A = exp(Li θi ) = eLi θi (3.13) Li = L1 , L2 , L3 (3.14) θi = α, β, γ (3.15) dimana Li adalah generator. Gunakan hubungan: ex = X xn n n! (3.16) sehingga A = eLi θi = X 1 (Li θi )n n! Gambar 41. Gambar 42. (3.17) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 66 Secara umum, perkalian matriks tidak komut. Di mekanika kuantum, Li = ili (3.18) [∂i , ∂j ] = 0 (3.19) pi = −i∂i (3.20) A · B 6= B · A (3.21) dimana li adalah momentum sudut. Ini adalah grup Abelian. SO(3): grup Lie non-Abelian. yakni non-komutatif. Grup Lie: generator-generator ti , dimana i = 1, 2, .., n. Di sini, n adalah dimensi grup Lie, generator n (sembarang representasi). [ti , tj ] = fijk tk (3.22) dimana fijk adalah bilangan, koefisien komutasi, ia menentukan karakter grup dan tk adalah operator lain. fijk adalah konstanta stuktur dari grup, ia menentukan struktur grup. Ini alasannya mengapa konstanta struktur sangat penting. Untuk kasus SO(3): fijk = ijk (3.23) Kondisi untuk konstanta struktur: (1) k fijk = −fjik = f[ij] dimana −fjik is anti-symmetri. (3.24) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 67 (2) f[ ij m fjk ]nm = 0 (3.25) yakni identitas Jacoby. Ini adalah identitas yang paling mendasar. . Soal 11: Buktikan bahwa [ti , [tj , tk ]] + [tj , [tk , ti ]] + [tk , [ti , tj ]] = 0 (3.26) adalah identitas Jacoby. 1 m n m n m n n m n m n [fij fkm + fjk fim + fki fjm − fjim fkm − fik fjm − fkj fim ] 6 = f (ij m fk )m f [ij m fjk ]nm ≡ ≡ 1 m n m n m n (fij fkm + fjk fim + fki + fjm ) 3 (3.27) karena n n n fijm fkm − fjim fkm = 2(fijm fkm ) (3.28) Soal 12: Buktikan bahwa ijk memenuhi identitas Jacoby. Jika konstanta struktur diketahui maka grup bisa diketahui. fijk = 0 (3.29) yakni Abelian. Di n-dimensi, grup Lie memiliki matriks n × n. Representasi adjoint (ti )kj ≡ −fijk dimana j adalah kolom dan k adalah baris, ti adalah generator grup Lie. (3.30) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 68 Soal 13: Buktikan bahwa (ti )kj ≡ −fijk (3.31) Ini memenuhi hubungan komutasi dan identitas Jacoby. Konstanta struktur secara otomatis menghasilkan matriks adjoin ~~ A = et·θ = eti θi (3.32) φ0 = A φ (3.33) Di SO(3) dimana A adalah representasi grup dan φ adalah ruang realisasi (realization space), representasi. Gambar 43. Di tiga dimensi:     0 φ φ  1  1  0   φ2  = A φ2      0 φ3 φ3 (3.34) Ruang grup dihasilkan oleh A. U (1): rotasi di ruang satu dimensi φ → φ0 (3.35) φ0 = eiα φ (3.36) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 69 φ0 = Aφ (3.37) ϕ = ϕ1 + iϕ2 (3.38) dimana Di SO(2)   ϕ01 ϕ02    =  cos ϕ sin ϕ − sin ϕ cos ϕ  ϕ1    (3.39) ϕ2 SO(3): Gambar 44. φ = Reiϕ → Reti ϕi (3.40) Kita bebas memilih ϕi sebagaimana kita kehendaki. δϕ ~ = ϕ ~ (x + dx) − ϕ ~ (x) (3.41) ~ µ dxµ × ϕ(x + dx) δ0 ϕ ~ (x + dx) = g A (3.42) ~ µ adalah sembarang. dimana A Kebebasan tera: bebas untuk memilih titik asal (origin). Jika fik = ijk (3.43) maka persamaan ini adalah perkalian vektor biasa. ~ × B) ~ k = kij Ai B j (A (3.44) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 70 ξ~ = (~ ϕ×χ ~) (3.45) ξ~k ≡ fijk ϕi χj (3.46) δϕ ~ = (δ + δ0 )~ ϕ = δϕ ~ + δ0 ϕ ~ ~ µ dxµ × ϕ = (∂µ ϕ ~ )dxµ + g A ~ ~ µ )~ = (∂µ + g A ϕ dxµ (3.47) δϕ ~ = Dµ ϕ ~ dxµ (3.48) ~ µ )~ δϕ ~ = (∂µ + g A ϕ (3.49) ~ µ. dimana Dµ ≡ ∂µ + g A dimana Dµ adalah turunan kovarian (covariant derivative). Di kasus Abelian: teori Maxwell → 1 potensial vektor. Di kasus non-Abelian → n potensial vektor; Aµ . Interpretasi naif: ϕ ~ (x) = ϕ ~ (x + dx) (3.50) ∂µ ϕ ~ = 0 (3.51) Dµ ϕ ~ = 0 (3.52) Namun, jika Ini bermakna bahwa jika ϕ ~ memenuhi persamaan ini maka ϕ ~ adalah konstanta kovarian (covariant constant). Soal 14: Cari δϕ ~ 6= 0 (3.53) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 71 Solusi: ~ µ adalah sembarang maka δ ϕ ~=0 Karena A δϕ ~ = [Dµ , Dν ]~ ϕ ∝ dxµ dxν (3.54) dimana δ ϕ ~ adalah rotasi dari ϕ, [Dµ , Dν ] adalah anti-simetri dan dxµ dxν adalah luasan (makna geometris medan elektromagnetik). Sebenarnya, [Dµ , Dν ] adalah kuat medan, dimana kuat medan ini adalah fungsi potensial tera. Gambar 45. Transpor sejajar. V1 dapat menjadi sama dengan V2 atau V3 . Ia memenuhi azas lokalitas. Gambar 46. Transpor sejajar dan grup holonomi. Seluruh transpor sejajar membentuk grup holonomi. Di superkonduktor dua celah (two gap superconductor), vorteks Abrikosov adalah vorteks magnetik. Medan magnetik (vorteks Abrikosov) di superkonduktor dua celah dilindungi (shielded) oleh efek Meissner. Arus diamagnetik ”melindungi” medan magnetik. BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 72 Gambar 47. Panah 1, 2, 3, 4 tak gayut, dikarenakan mereka ”hidup” di ruang yang berbeda. Kita bebas memilih panah yang mana pun ~ µ× Dµ = ∂µ + g A (3.55) ~ µ menunjukkan kebebasan arah (a freedom of direction) dimana kita dimana µ di A bebas memilih arah Gambar 48. ~ ~ + dx) φ(x) → φ(x ~ = ∂µ φ ~+g A ~ ~µ × φ Dµ φ (3.56) (3.57) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 73 ~ → Dµ φ ~ ∂µ φ (3.58) dimana Dµ adalah turunan kovarian. Transformation tera ~ → δφ ~=e φ (3.59) ~ → Uφ ~ φ (3.60) dimana U adalah elemen matriks. (ti )kj = −fijk (3.61) Ini adalah representasi adjoin dimana ti adalah matriks. [ti , tj ] = fijk tk (3.62) fijk = −kij (3.63) Untuk kasus SO(3) SO(3):  t1 0 0 0      = 0 0 −1   0 1 0  t2  0 0 1     =  0 0 0   −1 0 0 (3.64)  t3 0 −1 0   = 1  0 0 0 (3.65)    0  0 (3.66) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 74 dimana t1 , t2 , t3 adalah operator momentum sudut ~~ U = e−t·θ = U (θ1 , θ2 , θ3 ) (3.67) dimana e adalah matriks 3 × 3, ~t adalah generator dan θ~ adalah koordinat. Ekspansi Taylor −~t·θ~ U = e ∞ X ~n (−~t · θ) = n=0 U = ∞ X (−~t · n̂)n θ~n n=0 n! n! ~ = 1 − (~t · n̂) sin θ~ + (~t · n̂)2 (1 − cos θ) (3.68) (3.69) dimana sin θ~ = ∞ X (−1)n θ~2n+1 n=1 1 − cos θ~ = (n + 1)! ∞ X (−1)n θ~2n n=1 (2n)! ~ θ~ = θ n̂ = θ(x) n̂ = n1 , n2 , n3   sin α cos β     =  sin α sin β    cos α (3.70) (3.71) (3.72) (3.73) Soal 15: Cari (~t · n̂), (~t · n̂)2 , (~t · n̂)3 , ... ∼ = ~t · n̂ (3.74) dimana (~t · n̂) adalah suku pertama, (~t · n̂)2 adalah suku kedua, dan seterusnya. Suku ketiga diserap oleh suku pertama, suku keempat diserap oleh suku kedua. Tinjau persamaan berikut U 0 = U (θ, α, β) (3.75) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 75 dimana θ terdiri dari θ1 , θ2 , θ3 . SO(3) adalah matriks 3 × 3 (matriks satuan), dimana S adalah ”special” (determinan sama dengan 1), O adalah matriks ortogonal, bilangan 3 merujuk ke ordo. Momentum sudut: integer.  L1     ~ =  L L 2    L3 (3.76) ~ adalah orbital. dimana L Spin: vektor dua dimensi. Contoh     1 0  ;  0 1 (3.77) SU (2): Matriks unitari 2 × 2. Dua komponen → matriks kompleks. 3 generator: σ1 , σ2 , σ3 yakni matriks Pauli.  σ1 = 0 1  1  2 1 0  σ2  0 −i 1  = 2 i 0 (3.78)  σ3 = (3.79)  1 1 0  2 0 −1 (3.80) Bilangan 1/2 menunjukkan bilangan normalisasi. SO(3): U adalah riil, seluruh komponen adalah riil is real. [σi , σj ] = iij k σk (3.81) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 76 dimana U −1 = U + (3.82) Ini adalah matriks unitari, ia adalah matriks kompleks. SU (n), huruf S bermakna ”special” (determinan sama dengan 1). Berapa banyak derajat kebebasan dari SU (2)? SU (2): Bilangan 2 di sini menunjukkan 2 × 2 = 4 (derajat kebebasan). Dikarenakan U adalah kompleks, maka (2 × 2) × 2 = 8. Dikarenakan konstrain, yakni matriks unitari (2 × 2) maka 8 - 4 (yakni konstrain, matriks unitari, U −1 = U + ) = 4. Dikarenakan konstrain determinan (determinan adalah bilangan), maka 4 − 1 = 3. Bilangan 3 di sini adalah derajat kebebasan final dari SU (2). Secara umum, derajat kebebasan dari SU (n) adalah 2n × n − n × n − 1 = n2 − 1. ~ U = ei~r.θ X (i~σ .θ) ~n = n! ∞ X ~ 2n+1 ~ 2n X (i~σ .θ) (i~σ .θ) + (even and odd part) = (2n)! (2n + 1)! n=0 = cos θ + i(~σ + n̂) sin θ   −iβ cos θ + i cos α i sin θ sin αe  =  iβ i sin θ sin αe cos θ − i cos α (3.83) dimana ~t = i~σ , θ~ = θn̂.   sin α cos β     n̂ = sin α cos β    sin α (3.84) [ti , tj ] = tijk σk (3.85) yakni parametrisasi. BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 77 ti = −iσi ~~ (3.86) U = e−t.θ (3.87) σi σj = δij + itijk σk (3.88) Ini adalah identitas yang sangat penting. Spin:   φ1 φ =   → Uφ φ2 (3.89) ~ U = ei~σ.θ ∼ = 1 + i~σ .θ~ (3.90) ~ δφ = U φ − φ = (U − 1)φ = i~σ .θφ (3.91) ~ = −(~t.θ) ~φ ~ δφ (3.92) δφk = −(ti .θi )kj φj = fijk θi φj (3.93) (tij )k = −fijk = εijk θi φj (3.94) fijk = εijk (3.95) ~ = θ~ × φ ~ δφ (3.96) ~ φ) ~ = δ φ. ~φ ~ + φ.δ ~ φ ~ = 2φ.δ ~ φ ~ = 2φ.( ~ θ~ × φ) ~ δ(φ2 ) = δ(φ. (3.97) Rotasi infinitesimal SO(3): Untuk kasus SO(3) δ(φ2 ) = 0 (3.98) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 78 adalah invarian dalam rotasi. φ2 , φ4 , φ6 → dengan jelas invarian. Tinjau persamaan berikut ~ = −i(σi )k θi φj δφ = U φ − φ = (U − 1)φ = i~σ .θφ j (3.99) SU (2) adalah generalisasi paling sederhana dari U (1). 1 2 λ L = (Dµ φ∗ )(Dµ φ) − (φ∗ φ)2 ± µ2 (φ∗ φ) − Fµν 2 4 (3.100) ∂µ → Dµ = ∂µ + ieAµ (3.101) φ → eiα φ (3.102) Dµ φ → eiα Dµ φ (3.103) 1 Aµ → A0µ = Aµ + ∂µ α e (3.104) dimana eiα = U (1). L → U (1) invarian tera. Ini adalah transformasi tera, dimana Aµ adalah Abelian. Soal 16: Cari (1) ~µ → A ~ 0µ = ...? A (3.105) F~µν → ...? (3.106) (2) Bagaimana generalisasi SO(3) untuk SU (2)? L = 1 λ ~2 2 1 ~2 2 ~2 ~ ~ (Dµ φ)(D µ φ) − (φ ) ± µ φ − Fµν 2 2 4 ~ = (∂µ + g A ~ ~ µ ×)φ Dµ φ (3.107) (3.108) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 79 L adalah invarian dalam transformasi tera. ~ = α×φ ~ δφ ~→φ ~0 = U φ ~ φ ~ → D0 φ ~ 0 = U Dµ φ ~ Dµ φ µ φ → U (x)φ (3.109) (3.110) (3.111) (3.112) dimana x adalah rotasi lokal. ~ 0 = (∂µ + g A ~ = U (∂µ + g A ~ ~ 0µ ×)U φ ~ 0µ ×)φ Dµ0 φ (3.113) ~ µ ×)U −1 = (∂µ + g A ~ 0µ ×)U × U −1 U (∂µ + g A (3.114) 1 ~0 U ∂µ U −1 + U Aµ U −1 = A µ g (3.115) ~ k = (f k Ai )φj = (−ti Ai )k φj = Aµ φ ~ ~ µ × φ) (A ij µ µ j (3.116) dimana fijk adalah generator. Maka, ~ 0 = (∂µ + g A ~ = U (∂µ + g A ~ ~ µ ×)U φ ~ µ ×)φ Dµ0 φ (3.117) ~ µ · ~t Aµ = A (3.118) ~ 0µ = 1 U ∂µ U −1 + U Aµ U −1 A g (3.119) dimana Aµ adalah vektor. U adalah sembarang. Potensial adalah fungsi transformasi tera (jika transformasi tera berbeda maka berbeda pula potensialnya) U ∼ = 1 + ~t · θ~ (3.120) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 80 dimana U adalah infinitesimal, dan θ adalah kecil. ~~ U = e−t·θ (3.121) ~ 0 = U Aµ U −1 + 1 U ∂µ U −1 A µ g ∼ ~ µ (1 + ~t.θ) ~ + 1 (1 − ~t.θ)∂ ~ µ (1 + ~t.θ) ~ = (1 − ~t.θ)A g 1 = Aµ − ti θi (Ajµ tj ) − (Aiµ ti )tj θj + (1 − ti θi )tj ∂µ θj g 1 = Aµ − (ti tj − tj ti )θi Ajµ + ti ∂µ θi g (3.122) dimana ti tj − tj ti = fijk . (3.123) Di sini, kita mengabaikan orde kedua (kita hanya mempedulikan orde pertama). ~µ = A ~0 − A ~µ δA µ 1 ti (∂µ θi − fjki θj Akµ ) g 1 ti (∂µ θi + fjki Ajµ θk ) = g 1 ~i ti (Dµ θ) = g = (3.124) Transformation tera: (1) untuk φ infinitesimal. (2) untuk U sembarang. Transformasi tera untuk φ infinitesimal: ~µ = A ~0 − A ~ µ = 1 Dµ θ~ δA µ g (3.125) ~ µ .~t) = δAµ δ(A (3.126) ~ = α ~ δφ ~ ×φ (3.127) φ = U (x)φ (3.128) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 81 Transformasi tera untuk sembarang U 1 ~0 U ∂µ U −1 + U Aµ U −1 = A µ g L = 1 2 F 4 µν (3.129) (3.130) δ F~µν = α ~ × F~µν (3.131) ~ = α ~ δφ ~ ×φ (3.132) Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ (3.133) ~ µν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ X (3.134) Anggap kita memiliki Apakah ini invarian dalam transformasi tera? ~ µν = δX 1 ~ (∂µ Dν θ~ − ∂ν Dµ θ) g (3.135) Ini tidak invarian dalam transformasi tera. Namun, ~ µν = ∂µ A ~ ν − ∂ν A ~ µ + gA ~µ × A ~ν X (3.136) ~µ × A ~ ν adalah suku tambahan. dimana g A ~ µν = δX 1 1 ~ ~µ + g 1 A ~ µ × Dν θ) (∂µ Dν θ~ − ∂ν Dµ θ~ + g Dν θ~ × A g g g ~ µν = θ~ × X ~ µν δX (3.137) (3.138) Suku tambahan seperti foton non-Abelian, Aµ , Aν → foton yang berbeda. gAµ × Aν → foton berinteraksi satu sama lain (Aµ , Aν ): n foton berbeda, beda ”warna”. Foton memiliki ”warna”, ini alasannya mengapa disebut ”kromodinamika kuantum”. BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 82 Kromodinamika kuantum adalah teori tera non-Abelian. Di teori Maxwell, foton tunggal tak ”berwarna”, tak ada interaksi. Bagaimana kuark dikurung? Kromodinamika kuantum → kurungan. (Li )jk = (εijk Xj ∂k )  (Li )jk 0 0 0 (3.139)      = 0 0 +1   0 −1 0 (3.140) (Li )jk = (L1 )23 = εijk = ε12(baris)3(kolom) = +1(nilai) (3.141) (L1 )32 = ε13(baris)2(kolom) = −1(nilai) (3.142) Buku teks standar teori kromodinamika kuantum: Michael Peskin, Introduction to QFT. Transformation tera (infinitesimal) ~→φ ~0 = U φ ~∼ ~φ ~ φ = (1 − ~t.θ) (3.143) φi → Uji φj (3.144) dimana Uji adalah matriks. ~~ U = e−t.θ (3.145) ~ = φ ~0 − φ ~ = −(~t.θ) ~φ ~ δφ (3.146) ~ = −θ~ × φ ~ δφ (3.147) ~t adalah matriks. kovarian tera (kovarian bermakna bahwa hanya terdapat rotasi). ~µ = δA 1 ~ Dµ θ g (3.148) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 83 ~µ → A ~ 0µ A (3.149) ~µ Aµ = ~t.A (3.150) 1 A0µ = U Aµ U −1 + U ∂µ U −1 g (3.151) dimana U Aµ U −1 adalah kovarian, linier (seperti rotasi). 1 ~ U ∂µ U −1 = (1 − t.θ)∂µ (~t.θ) g (3.152) δ F~µν = −θ~ × F~µν (3.153) ~ = δA 1 ~ 1 ~ ~ ~ Dµ θ = ∂µ θ − θ × Aµ g g (3.154) ~ A ~ µ adalah bagian linier/kovarian. dimana g1 ∂µ θ~ adalah non-kovarian/bagian non-linier, θ× Transformation tera tidak kovarian. Kuat medan, Fµν , adalah kovarian. Potensial, Aµν , tidak kovarian. L harus invarian tera → simetri. 1 2 µ2 ~ 2 − A L = − F~µν 4 2 µ dimana µ2 ~ 2 Aµ 2 (3.155) adalah suku massa (gluon). Ini adalah bentuk umum teori Maxwell. 2 δ F~µν = 2F~µν .δ F~µν = −2F~µν .(θ~ × F~µν ) i ~ = −2Fµν (θ × F~µν )i i i k = −2Fµν fjk θj Fµν = 0 (3.156) µ2 ~ 2 1 2 LQED = − F~µν − A 4 2 µ dimana µ2 ~ 2 Aµ 2 (3.157) adalah foton. δAµ = 1 ∂µ θ g (3.158) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 84 Elektrodinamika kuantum dan kromodinamika kuantum: Muatan listrik di elektrodinamika kuantum → muatan ”warna” di kromodinamika kuantum. Foton tak bermassa di elektrodinamika kuantum → ”foton” bermassa (gluon) di kromodinamika kuantum. 1 1 2 ~ 2 − (∂µ φ) L = − F~µν 4 2 (3.159) µ2 ~ 2 λ ~ ~ 2 1 ~2 1 2 ~ L = − Fµν − (Dµ φ) − φ + (φ · φ) 4 2 2 4 (3.160) ~ · φ) ~ 2 = φ4 dikarenakan φ ~·φ ~ = φ2 . Di sini, L adalah invarian tera. dimana (φ ~ = ∂µ (δ φ) ~ δ(∂µ φ) ~ = −∂µ (θ~ × φ) ~ − ∂µ θ~ × φ ~ = −θ × ∂µ φ (3.161) ~ merusak simetri tera. Suku ini ∂µ θ~ × φ ~ = −θ~ × φ ~ δφ (3.162) ~ = −θ~ × Dµ φ ~ δ(Dµ φ) (3.163) Fµν = ~t · F~µν (3.164) Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + g[Aµ , Aν ] (3.165) Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + gAµ × Aν (3.166) i Fµν = ∂µ Aiν − ∂ν Aiµ + gfjki Aµj Akν (3.167) Soal 17: Buktikan Tinjau persamaan berikut Komponen Fµν BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 3.3 85 Manifold Gambar 49. Topologi dari G, dimana G adalah grup, manifold. Grup berbeda memiliki topologi yang berbeda. 3.4 Grup Homotopi Grup homotopy: π1 (G) → homotopi pertama, S 1 → G. π2 (G) → homotopi kedua, S 2 → G, dan seterusnya. G = U (1) (3.168) π1 (S 1 ) = n (3.169) Angka 1 di π1 merujuk ke S 1 . Ini bermakna bahwa S 1 → S 1 (pemetaan). Di sini, n adalah integer, bilangan belitan (winding number ). BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 86 Gambar 50. π1 (S 1 ) = 0 (3.170) π2 (S 1 ) = 0 (3.171) n > 1 → πn (S 1 ) = 0 (3.172) Figure 51. G = S2 (3.173) π1 (S 2 ) = 0 (3.174) π2 (S 2 ) = n (3.175) dimana n adalah bilangan buntelan (wrapping number ) yakni generalisasi dari bilangan belitan. π2 (S 2 ) = n memiliki homotopi pertama trivial BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 87 Gambar 52. πn (S 2 ) = 0; n 6= 2 (3.176) G = S3 (3.177) π1 (S 3 ) = n (3.178) π2 (S 3 ) = n (3.179) π3 (S 3 ) = n (3.180) π4 (S 3 ) = 0 (3.181) S 4 6= S 1 × S 1 (3.182) S7 = S4 × S3 (3.183) yakni dekomposisi. S 7 = S 4 × S 3 memiliki geometri/topologi yang sangat unik. Figure 53. Fiber Hopf BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 88 Homotopi sangat penting di fisika. Vorteks Abrikosov: - Memiliki fluks magnetik tak hingga. π1 (S 1 ) = n (3.184) dimana S 1 dapat menjadi U (1), n adalah bilangan topologi kuantum. Figure 54. SU (2) → dua topologi yang berbeda. π1 (S 3 ) = n (3.185) π3 (S 3 ) = n = π3 (S 2 ) (3.186) dimana n adalah monopol. n adalah fiber Hopf (Hopf fibring). SU (2) memiliki objek topologi yang sangat menarik. Non-trivial U (1) − A+ µ ↔ Aµ − ↔ adalah transformation tera, A+ µ dan Aµ adalah potensial yang berbeda. (3.187) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 89 Gambar 55. Gambar 56. U (1) memiliki monopol trivial → dawai singular (singular string). SU (2) → monopol reguler. Tinjau persamaan berikut 1 2 L = − F~µν 4 1 ~ ν − ∂ν A ~ µ + gA ~µ × A ~ ν ).(∂µ A ~ ν − ∂ν A ~ µ + gA ~µ × A ~ν ) = − (∂µ A 4 (3.188) Gambar 57. 1 2 LQED = − Fµν 4 (3.189) Gambar 58. Soal 18: (1) Turunkan persamaan Euler-Lagrange dari Lagrangian L berikut 1 2 L = − F~µν 4 (3.190) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 90 Solusi: Dµ F~µν = 0 (3.191) Persamaan Euler-Lagrange ini memiliki dua belas solusi ~ µ ×)F~µν = 0 (∂ µ + g A (3.192) (2) Tunjukkan bahwa solusi Dµ F~µν = 0 adalah 1 Aµ = − r̂ × ∂µ r̂ g (3.193) dimana   sin θ cos nϕ     r̂ = sin θ cos nϕ   cos θ (3.194) Gambar 59. Tinjau persamaan berikut π2 (S 3 ) = n (3.195) dimana n adalah bilangan monopol kuantum (quantum monopole number (wrapping number)). π2 (S 3 /S 1 ) = π2 (S 2 ) dimana suku di dalam kurung (..) adalah ruang hasil bagi (quotient space). (3.196) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 91 Gambar 60. 3.5 Monopol Wu-Yang Monopol Wu-Yang: ~ µ = − 1 r̂ × ∂µ r̂ A g (3.197) ~ µ , memiliki sifat yang sangat menarik Monopol Wu-Yang, A Dµ r̂ = 0 (3.198) ∂µ r̂ − (r̂ × ∂µ r̂) × r̂ = Dµ r̂ (3.199) Gambar 61. Singularitas pada titik asal Singularitas pada titik asal (singularitas topologi → yang menunjukkan lokasi monopol) ~ µ× Dµ = ∂µ + g A (3.200) Dµ r̂ = ∂µ r̂ + r̂ × (r̂ × ∂µ r̂) = ∂µ r̂ − ∂µ r̂ = 0 (3.201) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 92 Di sini, digunakan aturan bac − cab untuk r̂ × (r̂ × ∂µ r̂). Kondisi: Dµ n̂ = 0 (3.202) dimana n̂ adalah konstanta kovarian (covariant constant). Gambar 62. n̂ = n̂(x) (3.203) n̂2 = 1 (3.204) ~ µ yang mana yang memenuhi persamaan berikut? A ~ µ × n̂ = 0 Dµ n̂ = ∂µ n̂ + g A (3.205) Figure 63. Anggap kita memiliki ~ µ = Aµ n̂ A (3.206) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 93 ~ µ × n̂) n̂.Dµ n̂ = n̂ · ∂µ n̂ + gn̂ · (A = 0+0 = 0 (3.207) n̂2 = 1 (3.208) ∂µ n̂2 = 2n̂ ∂µ n̂ = 0 (3.209) Sehingga ~ µ × n̂) n̂2 × Dµ n̂ = n̂ × ∂µ n̂ + gn̂ × (A ~ µ − (n̂.A ~ µ )n̂] = n̂ × ∂µ n̂ + g[A = 0 (3.210) dimana Dµ n̂ = 0. (3.211) ~ µ = − 1 n̂ × ∂µ n̂ + (n̂.A ~ µ )n̂ A g (3.212) dimana ~ µ. Aµ ≡ n̂ · A Gambar 64. (3.213) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 94 Sehingga ~ µ = Aµ n̂ − 1 n̂ × ∂µ n̂ A g (3.214) ~ µ adalah potensial Cho (1981), potensial Faddeev-Niemi (1990). dimana A ~µ Aµ ≡ n̂ · A (3.215) n̂ lebih umum ketimbang r̂. Jika n̂ = r̂, maka kita memiliki kasus khusus, yakni monopol Wu-Yang. Sehingga, tak perlu menyelesaikan dua belas persamaan (monopol Wu-Yang). SU(2) Bagaimana potensial dapat disejajarkan? Gambar 65. Kita bebas memilih titik asal potensial Dµ~n = 0 (3.216) ~ µ × ~n = 0 ∂µ~n + g A (3.217) ~ µ = Aµ~n − 1 ~n × ∂µ~n A g (3.218) dimana ~n adalah konstanta kovarian. Kita dapat memilih ~n sehingga Anggap bahwa Dµ~n = 0 benar, maka dengan jelas ~n · Dµ~n = 0 → Dµ~n2 = 0 (3.219) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 95 dimana ~n2 adalah konstanta (ini bermakna bahwa panjang ~n adalah sama, yakni suatu konstanta.) √ Sekarang, anggap bahwa ~n2 = 1, atau ~n2 = 2, n̂ = ~n/ 2 ~ µ = Aµ n̂ − 1 n̂ × ∂µ n̂ A g (3.220) ~ µ = Aµ n̂ − 1 n̂ × ∂µ n̂ A g (3.221) ~ µ adalah potensial khusus. dimana A Gambar 66. ~ µ (x) sebagai ruang koneksi (connection space Di matematika, kita menyebut A (space of function)), di fisika disebut potensial. Sehingga, µ : - Titik di ruang koneksi. - Ini adalah potensial terbatas (restricted potential ) (tidak setiap ... ). Gambar 67. ~ µ = µ + X ~µ A (3.222) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 96 ~ µ tak gayut tera. Ini adalah potensial yang paling umum. dimana X ~ µ = Aµ n̂ − 1 n̂ × ∂µ n̂ A g (3.223) dimana Aµ adalah potensial Abelian. ~µ Aµ = n̂.A (3.224) ~ µ = A1 n̂1 + A2 n̂2 + A3 n̂3 A µ µ µ (3.225) dimana A1µ , A2µ , A3µ adalah potensial Abelian. Mereka seperti potensial Maxwell. Sehingga, di SU(2) terdapat tiga tipe potensial. Gambar 68. ∂µ n̂ + g(A1µ n̂1 + A2µ n̂2 + A3µ n̂3 ) × n̂ = 0 n̂ × n̂ = 0 (3.226) (3.227) ∂µ n̂ − gA1µ n̂2 + gA2µ n̂1 = 0 (3.228) A1µ = n̂1 .∂µ n̂ = −n̂.∂µ n̂1 (3.229) dimana n1 , n2 , n3 adalah ortogonal. A2µ = −n̂2 .∂µ n̂ = n.∂µ n̂2 (3.230) n̂1 .(n̂ × ∂µ n̂) = −∂µ n̂.n̂2 (3.231) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 97 dimana n̂1 .(n̂ × ∂µ n̂) adalah siklis (cyclic) n̂2 .(n̂ × ∂µ n̂) = ∂µ n̂.n̂1 (3.232) ~ µ . Sehingga, komponen n dimiliki oleh µ bukan dimiliki oleh X ~ µ = X 1 n̂1 + X 2 n̂2 + X 3 n̂3 X µ µ µ (3.233) Xµ3 n̂3 seharusnya dihilangkan, karena ia tak gayut tera (invarian tera). n̂ = U n̂ = n̂0 = (1 − α ~ · ~t) n̂ (3.234) Ini adalah ekspansi Taylor, dimana U = e−α·t . δn̂ = −~ α × ~n = n̂0 − n̂ = −(~ α · ~t)n̂ Dµ n̂ = 0 → Dµ n̂0 = 0 (3.235) (3.236) Hubungan ini tak gayut tera, kita dapat memilih sembarang tera. ~ µ = Aµ n̂ − 1 n̂ × ∂µ n̂ A g (3.237) ~ µ adalah bentuk umum potensial. Suku ini 1 n̂ × ∂µ n̂ diperlukan ketika n̂ tak dimana A g sama dengan konstanta. Dari suku g1 n̂ × ∂µ n̂ kita dapat memperoleh fisika non-Abelian ~ µ = µ + X ~µ A (3.238) Bagaimana hubungan berikut bertransformasi dalam transformasi tera? δ µ = 1 Dµ × α ~ g (3.239) 1 D̂µ α ~ g (3.240) Soal 19: Buktikan bahwa δ µ = BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 98 adalah benar. Tinjau persamaan berikut Dµ n̂ = 0 (3.241) Dµ n̂0 = 0 (3.242) Dµ δn̂ = 0 (3.243) ~ µ = −~ ~µ δX α×X (3.244) ~ µ · ~t Aµ = A (3.245) Sehingga n = n̂ · ~t (3.246) ~µ → A ~ 0µ = U A ~ µ U −1 + 1 U ∂µ U −1 A g (3.247) Tinjau transformasi berikut ~ µ U −1 adalah bagian kovarian (ia bertransformasi linier dalam ruang vektor) dimana U A dan suku g1 U ∂µ U −1 adalah non-kovarian (bagian non-linier). Suku g1 U ∂µ U −1 adalah esensi keseluruhan dari transformasi tera. Transformasi tera tidaklah linier. Sehingga, ia lebih rumit. n = U nU −1 (3.248) ~µ → A ~0 = U A ~ µ U −1 + 1 U ∂µ U −1 A µ g (3.249) 1 µ → Â0µ = U µ U −1 + U ∂µ U −1 g (3.250) secara pasti sama dengan δ µ = 1 D̂µ · α ~ g (3.251) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 99 Di sini, µ adalah potensial terbatas (restricted potential). ~µ = A ~ µ − µ X ~ µ U −1 + 1 U ∂µ U −1 − [U µ U −1 + 1 U ∂µ U −1 ] = UA g g −1 ~ = U (Aµ − µ )U ~ µ U −1 = UX (3.252) ~µ = A ~ µ − µ . X ~ µ bertransformasi linier atau bertransformasi secara kovarian. dimana X Sehingga ~ µ = −~ ~µ δX α×X (3.253) ~ µ = µ + X ~µ A (3.254) ~ µ bertransformasi secara kovarian. dimana µ adalah bagian non-linier dan X Transformasi afin (affine transformation): ~x → ~x0 = U~x + ~a (3.255) dimana U~x adalah bagian linier dan ~a adalah bagian non-linier yakni 1 ~a = U ∂µ U −1 g (3.256) x0 = ax + b (3.257) Ini tampak seperti Sifat penting transformasi afin: Gambar 69. BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN ~y → ~y 0 = U~y + ~a 100 (3.258) ~ →U ~ 0 = ~y 0 − ~x0 U = (U~y + ~a) − (U~x + a) ~ = UU (3.259) Ruang koneksi = ruang afin (Convection space = affine space). ~ µ = µ + X ~µ A (3.260) ~ µ bertransformasi secara kovarian. Ini tak gayut tera, dimana X Jika kita memilih n̂ ~ µ = µ + X ~µ A (3.261) Dµ n̂ = 0 (3.262) ~µ = 0 x̂ · X (3.263) Xµ tak memiliki komponen n̂. Jika kita memiliki n̂ maka kita memiliki semuanya, tak gayut tera. ~ ν − ∂ν A ~ µ + gA ~µ × A ~ν F~µν = ∂µ A ~ ν ) − ∂ν (µ + X ~ µ ) + g(µ + X ~ µ ) × (Âν + X ~ ν) = ∂µ (Âν + X ~ ν − ∂ν X ~ µ + g µ × X ~ ν − g Âν × X ~ µ + gX ~µ × X ~ν = F̂µν + ∂µ X ~ ν − D̂ν X ~ µ + gX ~µ × X ~ν = F̂µν + D̂µ X (3.264) dimana ~ ν − ∂ν X ~ µ + g µ × X ~ ν − g Âν × X ~ µ = D̂µ X ~ ν − D̂ν X ~µ ∂µ X (3.265) F̂µν = ∂µ Âν − ∂ν µ + g µ × Âν 1 1 = ∂µ (Aν n̂ − n̂ × δn̂) − ∂ν (Aµ n̂ − n̂ × ∂µ n̂) + ... g g (3.266) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 101 Soal 19: Buktikan F̂µν = (Fµν + Hµν )n̂ (3.267) 1 µ = Aµ n̂ − n̂ × ∂µ n̂ g (3.268) Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ (3.269) 1 µ = Aµ n̂ − n̂ × ∂µ n̂ g (3.270) 1 Hµν = − n̂.(∂µ n̂ × ∂n n̂) g (3.271) dimana yakni bagian Abelian. Jika n̂ = r̂, maka ini adalah monopol Wu-Yang. Periksa berikut: (1) Tera non-Abelian memiliki banyak derajat kebebasan. (2) Jika n̂ tak gayut ruang-waktu maka ia global. (3) Lokalitas: di ruang-waktu yang berbeda, kita dapat memilih n yang berbeda. (4) Teori non-Abelian: menghasilkan monopol Wu-Yang, karena n̂ gayut ruangwaktu. (5) Hµν menghasilkan kurungan. 3.6 Mekanisme Higgs di Teori Tera Non-Abelian Tinjau persamaan berikut 1 2 1 ~ 2 − V (φ) ~ L = − F~µν − (Dµ φ) 4 2 (3.272) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 102 dimana 2 ~ = µ ϕ2 − λ ϕ4 V (φ) 2 4 V µ4 4λ λ 4 µ2 2 ϕ ~ − ϕ ~ 4 4   2 2 λ µ µ4 2 ∼ ϕ ~ − − = 4 λ 4λ (3.273) = (3.274) adalah konstanta, L tak berubah. Sehingga, abaikan hal itu. h~ ϕ2 i = µ2 λ (3.275) Gambar 70. ~ = ∂µ φ ~ + gA ~ ~µ × φ Dµ φ ~ + gA ~0 + ϕ ~ µ × (φ = ∂µ φ ~) (3.276) ~ = Dµ ϕ ~ µ × φ0 Dµ φ ~ + gA (3.277) ~ 2 = (Dµ ϕ ~ 0 + g 2 (A ~ 0 )2 ~µ × φ ~µ × φ (Dµ φ) ~ )2 + 2g(Dµ ϕ ~ ).A (3.278) ~ 0 ).(A ~0) = A ~ 0 × (A ~ 0 )] ~µ × φ ~µ × φ ~ µ .[φ ~µ × φ (A 2 ~ µ .φ0 )] ~ µ .[A ~ µ µ − φ0 (A = A λ µ2 ~ 2 ~ 0 .A ~ µ )2 = Aµ − (φ λ µ2 ~ 2 ~ µ )2 ] = [A − (n2 .A λ µ (3.279) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 103 ~ 0 = φ0 n̂ dan X ~ µ )2 , X ~ µ2 adalah suku massa (bermassa) untuk ~ 2µ − (n̂.A ~ µ2 = A dimana φ Xµ bagian kovarian → mekanisme Higgs. ~ µ = µ + X ~µ A (3.280) ~ = φn̂ = (φ0 + ϕ)n̂ φ (3.281) dimana n̂ adalah vektor satuan dalam arah φ. Pernyataan yang lebih kompak ~ = ∂µ φ ~ + gA ~ ~µ × φ Dµ φ r ρ0 = µ2 λ ~ (ρ0 + ρ)n̂ = φ (3.282) (3.283) (3.284) Sehingga ~ = Dµ [(ρ0 + ρ)n̂] Dµ φ = [∂µ (ρ0 + ρ)]n̂ + (ρ0 + ρ)Dµ n̂ = (∂µ ρ)n̂ + (ρ0 + ρ)Dµ n̂ ~ µ × n̂ = (∂µ ρ)n̂ + (ρ0 + ρ)g X (3.285) dimana ~ µ ×)~n Dµ n̂ = (D̂µ + g X ~ µ ×)n̂ = (∂µ + g A ~ µ ×)n̂ = (∂µ + g µ × +g A = Dµ n̂ = 0 (3.286) ~ µ ortogonal terhadap n̂. X ~ 2 = (∂µ ρ)2 + g 2 (ρ0 + ρ)2 (X ~ µ + n̂)2 (Dµ φ) (3.287) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 104 dimana ρ0 mendeskripsikan suku massa dan ~2 = X ~ µ + n̂. X µ (3.288) Mekanisme Higgs: SU (2) ∼ = SO(3). 1 1 2 − (Dµ ϕ ~ )2 − V (ϕ) L = − F~µν 4 2 (3.289) ~ µ ×)~ Dµ ϕ ~ = (∂µ + g A ϕ (3.290)   ϕ  1   ϕ ~ = ϕ2    ϕ3 = (ρ0 + ρ)ϕ̂ (3.291) dimana ρ adalah fluktuasi fisis ∼ = massa. V (~ ϕ) = = = = = dimana ρ20 = µ2 λ λ 4 µ2 2 ϕ ~ − ϕ ~ + constant 4 2  2 λ µ2 2 ϕ ~ − 4 λ  λ (ρ0 + ρ)2 − ρ20 4 λ (2ρ0 ρ + ρ2 )2 4 λ 2 (~ ϕ − ρ20 ) 4 =ϕ ~ 2 dan ϕ adalah minimum. Gambar 71. (3.292) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN Dµ ϕ ~ = Dµ [(ρ0 + ρ)ϕ̂] = (∂µ ρ)ϕ̂ + (ρ0 + ρ)Dµ ϕ̂ 105 (3.293) dimana ρ0 + ρ adalah skalar ~ µ × ϕ̂ = (∂µ ρ)ϕ̂ + (ρ0 + ρ)X ~ µ × ϕ̂ Dµ ϕ̂ = D̂µ ϕ̂ + g X (3.294) dimana D̂µ ϕ̂ = 0. 1 2 1 ~ µ × ϕ̂]2 − λ (2ρ0 ρ + ρ2 )2 L = − F~µν − [(∂µ ρ)ϕ̂ + g X 4 2 4 1 2 ~ µν − D̂ν X ~ µν ) + g X ~µ × X ~ ν ]2 = − [F̂µν + (D̂µ X 4 (3.295) dimana 2 ~ µν − D̂ν X ~ µν ) + g X ~µ × X ~ν F~µν = F̂µν + (D̂µ X 1 2 1 ~ µ × ϕ̂) + g 2 (X ~ µ × ϕ̂)2 ] L = − F~µν − [(∂µ ρ)2 + 2g(∂µ ρ)ϕ̂ · (X 4 2 2  i λ λ 1h ρ 2 2~2 2 2 = − (∂µ ρ) + gρ0 Xµ − − · 4ρ0 ρ 1 + 2 2 4 2ρ0 (3.296) (3.297) ~ µ and ϕ̂ saling ortogonal, dimana X 1 F̂µν = (Fµν + ϕ̂ · ∂µ ϕ̂ × ∂ν ϕ̂)ϕ̂ g (3.298) dimana 1 Hµν = ϕ̂ · ∂µ ϕ̂ × ∂ν ϕ̂)ϕ̂, g (3.299) ~ µ dan F̂µν sebanding dengan ϕ̂. X ~µ × X ~ν = X ~ µν ϕ̂ gX (3.300) ~ µν = 1 ϕ̂ · (X ~µ × X ~ ν) X g (3.301) 1 L = − (Fµν + Hµν + Xµν )2 4 (3.302) ~ ν = ∂µ X ~ ν + g µ × X ~ν D̂µ X (3.303) Sehingga, BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 106 Buktikan bahwa ~ν = 0 ϕ̂ · D̂µ X (3.304) Bukti: ~ ν = ϕ̂ · ∂µ X ~ ν + g ϕ̂ · (Aµ ϕ̂ − 1 ϕ̂ × ∂ν ϕ̂) × X ~ν ϕ̂ · D̂µ X g ~ ν + g ϕ̂ · (Aµ ϕ̂ × X̂ν ) = ϕ̂ · ∂µ X ~ν + X ~ ν · ∂µ ϕ̂ = ϕ̂ · ∂µ X ~ ν) = ∂µ (ϕ̂ · X = 0 (3.305) ~ ν ortogonal, dimana karena ϕ̂ dan X ~ν = X ~ ν × (ϕ̂ × ∂µ ϕ̂) (ϕ̂ × ∂ν ϕ̂) × X ~ µ · ∂µ ϕ̂)ϕ̂ − (ϕ̂ · X ~ ν )∂µ ϕ̂ = (X (3.306)  2 1 1 ρ 2 2 2 2 ~ ~ L = − (Fµν + Hµν + Xµν ) − (D̂µ Xν − D̂ν Xµ ) − λρ0 ρ 1 + 4 4 2ρ0 g ~2 1 − (∂µ ρ)2 − ρ20 X (3.307) µ 2 2 ~ ν − D̂ν X ~ µ adalah suku kinetik dari dimana Fµν adalah kuat medan (Abelian), D̂µ X  2 medan vektor, λρ20 ρ2 1 + 2ρρ0 adalah potensial dari ρ = V (ρ), ∂µ ρ adalah medan ~ µ2 adalah suku massa. skalar, ρ20 X Simetri tersembunyi: dengan jelas, L sama dengan L sebelumnya jika kita meninjau lebih dalam. Gambar 72. BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 107 ~ µ = g 2 ρ2 = g 2 m2 X 0 −λρ20 ρ2 + λρ20 µ2 λ ρ3 ρ4 + λρ20 2 ρ0 4ρ0 (3.308) (3.309) Untuk mencari massa ρ, kita mesti ∂ 2V |ρ=0 = 2λρ20 + 6ρ0 ρ + 3λρ2 |ρ=0 ∂ρ2 (3.310) Secara umum ϕ4 : V m2 2 = − ϕ 2 m2 ≡ (3.311) ∂V |ϕ=0 ∂ϕ2 (3.312) Massa: Massa medan vektor ~ µ = g 2 ρ2 = g 2 m2 X 0 µ2 λ (3.313) dimana g adalah konstanta kopling (coupling constant). Massa medan skalar m2 ρ = 2λρ20 = 2µ2 Potensial: Gambar 73. (3.314) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 108 Gambar 74. Sembarang titik di S 1 adalah minimum. Vakum adalah degenerasi (tak unik). ϕ adalah vektor, ρ adalah skalar (tak ada degenerasi). ρ adalah satu dimensi, vakum unik (tak ada degenerasi, tak ada perusakan simetri spontan). 3.7 Parametrisasi Parameterisasi: realisasi non-linier (simetri tersembunyi). Kasus: superkonduktor ~ µ → panjang penetrasi. (efek Meissner). Superkonduktor: pembangkitan massa. mX m2 ρ → panjang korelasi. Gambar 75. BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 109 Gambar 76. A µ = ∂ µ θ + Xµ (3.315) U (1) ∼ = SO(2) (3.316) ~ µ = Xµ . dimana µ = ∂µ θ dan X  ϕ ~ =  ϕ1   (3.317) ϕ2 ~ µ = X 1 ϕ̂1 + X 2 ϕ̂0 X µ µ (3.318) ϕ̂1 , ϕ̂2 , ϕ̂3 = ϕ̂ (3.319) Xµ± = Xµ1 ± iXµ2 √ 2 (3.320) ~ ν = ∂µ X ~ ν + g µ × X ~ν D̂µ X (3.321) Aµ = A1µ , A2µ , A3µ (3.322) ~ µ = 4 × 3 = 12 A (3.323) Derajat kebebasan BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 110 Ini adalah derajat kebebasan non-fisis. ϕ ~ = 3. Dalam realisasi non-linier µ = 4 (3.324) ~µ = 4 × 2 X (3.325) ~ µρ = 1 A (3.326) Pemilihan tera → menghilangkan derajat kebebasan (tak fisis). Foton: Aµ = 4 − 2 (3.327) yakni derajat fisis transversal. Derajat longitudinal → fisis. ~µ : 2 + 1 ϕ̂ → X (3.328) dimana angka 1 merujuk ke longitudinal. Derajat kebebasan adalah fungsi massa. 3.8 Mekanisme Higgs Mekanisme Higgs: - cara yang paling sederhana untuk membangkitkan massa. Contoh: - Perusakan simetri spontan. - Di realisasi non-linier, ia tak merusak apa pun. ~µ × ϕ (Dµ ϕ ~ )2 = (∂µ ϕ ~ + gA ~ )2 ~µ × ϕ ~ µ h~ = (∂µ ϕ ~ )2 + 2g∂µ ϕ ~ .A ~ + g2A ϕi2 (3.329) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 111 Gambar 77. Pembangkitan massa Tanya-Jawab: Massa terkait dengan muatan (listrik, magnet), adakah massa yang tak terkait dengan muatan? Untuk membangkitkan massa tanpa gravitasi adalah naif. Namun, terdapat cara lain untuk membangkitkan massa tanpa gravitasi (mekanisme Higgs[?]). Gambar 78. Gambar 79. V (ϕ) = (...)ϕ̂ (3.330) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 112 dimana ϕ̂ adalah masif. ϕ ~ = (ρ0 + ρ)ϕ̂ (3.331) dimana ϕ̂ adalah masif dalam arah ini dan ϕ terdiri dari ϕ1 dan ϕ2 (keduanya tak bermassa dan mereka diserap oleh Aµ , yakni boson Nambu-Goldstone). 1 L = − (Fµν + Hµν + Xµν )2 4 (3.332) Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ (3.333) 1 Hµν = − ϕ̂.(∂µ ϕ̂ × ∂ν ϕ̂) = ∂µ Cν − ∂ν Cµ g (3.334) dimana Hµν adalah bagian monopol. Jika ϕ̂ = r̂ maka ini adalah monopol Wu-Yang. Soal 20: Buktikan bahwa Cµ = 1 ϕ̂1 · ∂µ ϕ̂2 g (3.335) Petunjuk: ϕ̂ = ϕ̂1 × ϕ̂2 (3.336) Lalu substitusikan itu ke dalam Hµν . Xµν = 1 ~µ × X ~ ν) ϕ̂ · (X g (3.337) Cara lain untuk membuktikan: Dµ n̂ = 0 (3.338) yakni dekomposisi Abelian. Hubungan ini membatasi/mereduksi potensial umum menuju potensial terbatas. Tinjau persamaan berikut ~ µ → µ = Aµ n̂ − 1 n̂ × ∂µ n̂ A g (3.339) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 113 dimana (kebebasan) Aµ ini menjadi trivial[?] dan n̂ × ∂µ n̂ adalah tertentu (solusi non-trivial) yakni potensial vakum. Anggap kita memiliki n̂1 , n̂2 , n̂3 = n̂ (3.340) Dµ n̂1 = 0 (3.341) Dµ n̂ = 0 (3.342) Dµ n̂2 = Dµ (n̂ × n̂1 ) = Dµ n̂ × n̂1 + n̂ × Dµ n̂1 = 0 (3.343) Dµ n̂i = 0 (3.344) ~ µ → Ω̂µ = − 1 ijk (n̂i .∂µ n̂j )n̂k A 2g k = Cµ n̂k (3.345) Tentukan bahwa maka Soal 21: Turunkan untuk (i = 1, 2, 3). Tinjau persamaan berikut dimana n̂k adalah indeks SU (2) dan Cµk = − 1 k  n̂i .∂µ n̂j 2g ij (3.346) 1 Cµ1 = − n̂2 .∂µ n̂3 g (3.347) 1 Cµ2 = − n̂3 .∂µ n̂1 g (3.348) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 1 Cµ3 = − n̂1 .∂µ n̂2 g n̂1 .∂µ n̂2 − n̂2 .∂µ n̂1 = 2n̂1 .∂µ n̂2 Ω̂µν = 0 114 (3.349) (3.350) (3.351) Ini tak membangkitkan Ω̂µν , kuat medan: tak ada derajat kebebasan fisis. Soal 22: Buktikan bahwa [Dµ , Dν ]n̂i = g F~µν × n̂i = 0 (3.352) dimana F~µν tak memiliki komponen n1 , n2 , n3 . Non-Abelian: potensial vakum non-trivial. Potensial vakum: Aµ = Ωµ = ∂µ θ (3.353) dimana ∂µ θ adalah bentuk-1 tertutup (closed 1 form). Teorema: (dΩ)µν = 0 (3.354) Dari teorema ini, kita dapat menurunkan bahwa d2 = 0 (3.355) yakni batas dari batas adalah nol (boundary of boundary is zero). Dµ n̂ = 0 (3.356) ~ µ adalah potensial tera umum → proyeksi Abelian (Abelian projection). dimana A 1 µ = Aµ n̂ − n̂ × ∂µ n̂ g (3.357) ~µ Aµ = n̂.A (3.358) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 115 ~ µ = µ + X ~µ A (3.359) Ini adalah dekomposisi Abelian, dimana µ adalah bagian Abelian dan ~ µ = x1µ n̂1 + x2µ n̂2 X (3.360) Di bagian Abelian, potensial ternormalisasi menuju n̂. Figure 80. Rotasi tidak rusak: ia mendeskripsikan bagian Abelian dari potensial. δ µ = Dµ α ~ (3.361) dimana α ~ adalah parameter tera infinitesimal. ~ µ = −~ ~µ δX α×X (3.362) δn̂ = −α × n̂ (3.363) 1 Dµ α ~ g (3.364) dimana δn̂ adalah invarian tera. ~µ = δA Gambar 81. BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 3.9 116 Penguraian Vakum (F~µν = 0) Apa bentuk paling umum dari potensial? ~µ = 0 A (3.365) Ini bukan bentuk paling umum dari potensial. Di teori Maxwell: Fµν = 0 ← Aµ = 0 (3.366) Namun, ini bukanlah potensial umum. A µ = ∂µ ω (3.367) Ini adalah bentuk paling umum dari potensial. dA = d2 ω = 0 Dµ n̂i = 0; (i = 1, 2, 3) (3.368) (3.369) Ini adalah kondisi vakum (identik dengan F~µν = 0). [Dµ , Dν ]n̂ = 0 = g F~µν × n̂i (3.370) dimana seluruh komponen dari F~µν menghasilkan nilai nol. ~ µ → Ω̂µ = − 1 k (n̂i · ∂µ n̂j )n̂k = C k n̂k A µ 2g ij (3.371) Sehingga, Cµk = − 1 k  (n̂i · ∂µ n̂j ) 2g ij (3.372) Ini bermakna 1 Cµ1 = − n̂2 · ∂µ n̂3 g (3.373) 1 Cµ2 = − n̂3 · ∂µ n̂1 g (3.374) 1 Cµ3 = − n̂1 · ∂µ n̂2 g (3.375) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 117 Figure 82. R3 → S 3 (3.376) dimana R3 adalah ruang tiga dimensi dan S 3 ruang tiga dimensi kompak. Di sini, n̂i (~x). f (n|∞ = ∞) = 0 (3.377) S3 = S2 × S1 (3.378) R3 → SU (2) (3.379) Ini adalah syarat batas umum. SU(2): dimana S 3 adalah ruang sasaran. Di sini, →, bermakna pemetaan (n̂). S3 → S3 (3.380) S1 → S1 (3.381) π3 (S 3 ) = n (3.382) π1 (S 1 ) = n (3.383) Pemetaan adalah topologi. BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 118 dimana π1 (S 1 ) adalah bilangan bundelan (wrapping number) dan n adalah bilangan belitan. n̂i memiliki pemetaan. |ni adalah bilangan kuantum topologi (bilangan vakum). Ω̂µ memiliki bilangan kuantum topologi yang berbeda, |ni; n = 0, 1, 2, ... ~µ = 0 A (3.384) Gambar 83. SU(2): S3 = S2 × S1 (3.385) dimana S 3 adalah fiber Hopf (Hopf fibering). n̂ = 1 (3.386) Ini adalah S 2 . n̂ ditentukan oleh π3 (S 2 ) ∼ = π3 (S 3 ). n̂ = n̂3 menentukan bilangan kuantum topologi. F~µν = 0 (3.387) Namun, secara umum F~µν 6= 0. Gambar84. Solusi instanton (penerobosan kuantum/quantum tunneling) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 119 Potensial ini berbeda dengan mekanisme Higgs (perusakan simetri spontan). Gambar 85. Vakum θ: |θi = X einθ |ni (3.388) dimana |θi adalah superposisi dari seluruh vakum yang berbeda. Ide baru: Non-Abelian (terdapat vakum ganda, terjadi penerobosan), dimana di Abelian, tidak ada vakum ganda, tidak ada penerobosan. π3 (S 1 ) = 0 (3.389) Barangkali, masalah paling rumit di fisika adalah kurungan kuark. Vakum θ menyelesaikan masalah kurungan kuark. Temukan solusi instanton. Solusi monopol: 1 1 2 − (Dµ ϕ ~ )2 − V (~ ϕ) L = − F~µν 4 2 (3.390) 1 2 ~ ν − D̂ν X ~ µ |2 + g X ~µ × X ~ν F~µν = F̂µν − |D̂µ X 2 (3.391) dimana F̂µν = (Fµν + Hµν )n̂; (n̂ = ϕ̂) (3.392) Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ (3.393) 1 Hµν = − n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂) g (3.394) 1 µ = Aµ n̂ − n̂ × ∂µ n̂ g (3.395) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 120 dimana Aµ n̂ = Fµν and Hµν = g1 n̂ × ∂µ n̂. Hµν = ∂µ Ĉν − ∂ν Ĉµ + g Ĉµ × Ĉν (3.396) ∂µ Ĉν − ∂ν Ĉµ + g Ĉµ × Ĉν = ∂µ Cν − ∂ν Cµ (3.397) dimana Cν adalah potensial magnetik/magnetik ”warna” (magnetic potential/color magnetic). Cµ = 1 n̂1 · ∂µ n̂2 = −Cµ3 g (3.398) Soal 23: (1) Buktikan bahwa Hµν = ∂µ Ĉν − ∂ν Ĉµ + g Ĉµ × Ĉν (3.399) Ω̂ = Cµk n̂k (3.400) Cµk = − 1 k  n̂i · ∂µ n̂j 2g ij (3.401) Gambar 86. (2) Buktikan bahwa ∂ µ H̃µν = 0 H̃µν = 1 ρσ  Hρσ 2 µν (3.402) (3.403) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 121 Di teori Maxwell Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ (3.404) dimana Aν adalah potensial ”warna”/potensial listrik (color/electrical potential). Tidak ada potensial magnetik atau potensial ”warna”. ∂ µ F̃µν = 0 (3.405) Kuat medan memperkenankan potensial untuk sembarang anti-simetri ... ∂ µ H̃µν = 0 (3.406) Ini adalah syarat perlu dan syarat cukup H̃µν memperkenankan potensialbentuk-1 (1form potential). F̂µν = (Fµν + Hµν )n̂ (3.407) dimana Hµν mendeskripsikan monopol. Struktur dual mengakibatkan Abelian berbeda dengan non-Abelian. Struktur dual bertanggung-jawab terhadap kurungan. Gambar 87. 1 Ĉµ = − r̂ × ∂µ r̂ g Ini adalah monopol Wu-Yang. (3.408) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 122 Soal 24: Buktikan bahwa Cµ = 1 1 r̂1 · ∂µ r̂2 = r̂θ · ∂µ r̂ϕ g g (3.409) dimana r̂θ , r̂ϕ adalah ortonormal. Ini adalah potensial monopol Dirac. Tinjau persamaan berikut LYM = 1 ~2 F 2 µν (3.410) YM merujuk ke Yang-Mills. 1 Ĉµ = − r̂ × ∂µ r̂ g (3.411) Gambar 88. π2 (S 2 ) = nr̂ = n (3.412) dimana n bilangan kuantum monopol (ini teramati secara topologi) S2 → S2 (3.413) dimana sisi kiri merujuk ke ruang S 2 dan sisi kanan merujukke ruang grup S 2 . Simbol panah merujuk ke r̂(~x). Bagaimana menghilangkan singularitas topologi? Perkenalkan sumber (source). φ̂ ∼ = n̂ ~ = φ(x) n̂(x) φ (3.414) (3.415) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 123 Anggap kita memiliki solusi φ(0) = 0 (3.416) Ini membuang singularitas. ~ = φ(x) n̂(x) = φ(x)r̂ φ (3.417) dimana φ(0) = 0. Cari persamaan Euler-Lagrange dari 1 2 1 ~ 2 L = − F~µν − (Dµ φ) 4 2 (3.418) ~ µ dan 3 → φ, secara total terdapat lima belas persamaTerdapat 4 × 3 = 12 → A an/derajat kebebasan. Pilih ansatz yang cerdas φ̂ = r̂ (3.419) ~ = ρ(r)r̂ φ (3.420) ~ µ = − [1 − f (r)] r̂ × ∂µ r̂ A g (3.421) yakni simetri bola (ODE). Ini adalah bentuk umum monopol Wu-Yang. Jika f (r) = 0 maka kita memperoleh monopol Wu-Yang. Jika ρ(r) = 0 dan f (r) = 0, maka monopol Wu-Yang menjadi monopol ’t Hooft. Monopol ’t Hooft adalah solusi monopol reguler. ρ(r = 0) = 0; f (0) = 1 (3.422) → menghilangkan singularitas! ρ(∞) = ρ0 (3.423) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 124 Di fisika, tiada sesuatu di ketakhinggaan (infinity). f (∞) = 0 (3.424) Untuk f (∞) = 0, ini adalah monopol Wu-Yang, namun pada titik asal ia halus (smooth). Gambar 89. Dekomposisi Abelian → tak gayut tera. ~ µ = µ + X ~µ A (3.425) 1 µ = Aµ n̂ − n̂ × ∂µ n̂ g (3.426) dimana Ini dibatasi oleh kondisi Dµ n̂ = 0. ~ µ = Xµ1 n̂1 + Xµ2 n̂2 X (3.427) ~µ µ = Ω̂µ + B (3.428) Dekomposisi vakum: dimana Ω̂µ = 1 ijk (n̂i .∂µ n̂j )n̂k 2g (3.429) Ini dibatasi oleh kondisi Dµ n̂i = 0. ~ µ = (Aµ + Cµ )n̂ = Bµ n̂ B (3.430) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 125 ~ µ = Ω̂µ + B ~µ + X ~µ A = Ω̂µ + Bµ n̂ + Xµ1 n̂1 + Xµ2 n̂2 ~ µ = −~ ~µ δX α×X (3.431) (3.432) Ini adalah invarian tera. δ µ = 1 D̂µ α ~ g (3.433) δ Ω̂µ = 1 Dµ α ~ g (3.434) dimana α ~ adalah parameter tera infinitesimal, Dµ = ∂µ + g Ω̂µ ×. ~ µ = −~ ~µ δB α×B (3.435) Ini adalah invarian tera. ~µ = δA 1 Dµ α ~ g (3.436) Gambar 90. ~ µ yang mentransformasi dengan diri mereka sendiri. Ω̂µ , µ adalah sub-ruang dari A ~ µ mentransformasi dengan diri mereka sendiri (simetri tera non–Abelian Ω̂µ , µ , A penuh/full non-Abelian gauge symmetry). Ω̂µν = 0 (3.437) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 126 ~ µ , namun sesungguhnya A ~ µ terdiri dari µ Di seluruh buku teks hanya meninjau A (bagian non-trivial) dan Ω̂µ (bagian vakum). F̂µν 6= 0 (3.438) yakni kromodinamika terbatas (restricted chromodynamics). Dua U (1) atau potensial Abelian bermakna Aµ dan Cµ . ~ µ = (Aµ + Cµ )n̂ = Bµ n̂ B (3.439) Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ (3.440) F̂µν = (Fµν + Hµν )n̂ (3.441) Hµν = ∂µ Cν − ∂ν Cµ (3.442) dimana Hµν adalah monopol Perbedaan utama teori Maxwell dan teori tera terbatas (restricted gauge theory) adalah: teori tera terbatas membedakan F̂µν menjadi Fµν dan Hµν namun teori Maxwell tidak membedakannya. Gambar 91. Teori Maxwell → efek Meissner. Namun, di teori tera non-Abelian[?] → efek Meissner dual, Fluks listrik ”warna” (color electric flux): → efek Meissner dual yang mengurung fluks listrik ”warna”. → kondensasi monopol yang mengurung Hµν bukan Fµν . BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 127 Gambar 92. Bµν = Aµ + Cµ (3.443) 1 n̂1 .∂µ n̂2 g (3.444) dimana Cµ = Teori Yang-Mills dapat juga diabelianisasi. Xµ = Xµ1 + iXµ2 √ 2 (3.445) dimana Xµ adalah medan vektor kompleks. ~ ν − D̂ν X ~ µ + gX ~µ × X ~ν F~µν = F̂µν + D̂µ X (3.446) ~ ν − D̂ν X ~ µ adalah ortogonal terhadap n̂ dimana F̂µν adalah sebanding dengan n̂, D̂µ X ~µ × X ~ ν sebanding n̂. dimana n̂ terdiri dari (n̂1 , n̂2 ), g X ~µ = 0 n.X (3.447) Lagrangian Yang-Mills 1 2 L = − F~µν 4 1 1 2 ~ ν − D̂ν X ~ µ |2 − 1 g F̂µν (X ~µ × X ~ ν ) − 1 g 2 |X ~µ × X ~ ν |2(3.448) = − F̂µν − |D̂µ X 4 4 2 4 1 L = − (Fµν + Hµν )2 4 (3.449) ~ ν − D̂ν X ~ µ = ∂µ X ~ ν + g µ × X ~ ν − (µ ↔ ν) D̂µ X = (∂µ Xµ1 )n̂1 + .... = (∂µ Xν1 + gBµ Xν2 )n̂1 + ∂µ (Xν2 − gBµ Xν1 )n̂2 − (µ ↔ ν)    ∂µ igBµ X1   ν =  (3.450) −gBµ ∂µ Xµ2 BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 128 1 i 1 L = − (Fµν + Hµν )2 − |Dµ Xν − Dν Xµ |2 − g(Fµν + Hµν )(Xµ∗ Xν ) 4 2 2 g2 − [(Xµ∗ Xµ )2 − (Xµ∗ )2 (Xν )∗ ] (3.451) 2 adalah kromodinamika kuantum terabelianisasi (Abelianized QCD). Lagrangian ini tak gayut tera Dµ Xν = (∂µ + igBµ )Xν (3.452) dimana Xν adalah medan kompleks. Xµ1 + iXµ2 √ 2 Xµ = (3.453) Elektrodinamika kuantum (QED) → Gµν Kromodinamika kuantum (QCD) → Gµν = Fµν + Hµν . ~ µ = µ + X ~µ A ~µ + X ~µ = Ω̂µ + B (3.454) ~ µ (netral) sebanding dengan n̂, X ~ µ sebanding dengan n̂ dimana n̂ menentukan dimana B ~ µ adalah muatan/”warna”, medan listrik muatan, B ~µ + X ~ µ adalah arah Abelian, X kovarian. ~ µ = A1 ê1 + A2 ê2 + A3 ê3 A µ µ µ (3.455) Hubungan ini tidak invarian tera, karena mereka berbasis pada êi , dimana ê1   1     = 0   0 (3.456) ê2   0     = 1   0 (3.457) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 129   0     = 0   1 (3.458) A1µ + iA2µ √ = 2 (3.459) ê3 êi adalah vektor konstan Xµ Xµ3 = Bµ (3.460) ~ µ = Xµ1 n̂1 + Xµ2 n̂2 X (3.461) dimana Xµ1 , Xµ2 adalah invarian tera. ~µ Xµi = n̂i .X (3.462) dimana Xµi adalah medan invarian tera. Ini adalah struktur matematika dari teori tera non-Abelian. Model Georgi-Glashow → triplet. 1 2 L = − F~µν 4 (3.463) 1 L = − Fµν − |Dµ ϕ|2 − V (ϕ∗ ϕ) 4 (3.464) ϕ = ϕ1 + iϕ2 (3.465) SU(2) Doublet: U(1) → model Landau-Ginzburg. Teori Maxwell: dimana ϕ adalah pasangan Cooper. Bagaimana memperumum SU (2)? Perkenalkan doublet.     ϕ1 ϕ11 + iϕ12  ϕ =  = ϕ2 ϕ21 + iϕ22 (3.466) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 130 dimana ϕ11 , ϕ21 adalah dua pasangan Cooper yang berbeda. Sehingga, Lagrangian Landau-Ginzburg SU (2) 1 L = − Fµν − |Dµ ϕ|2 − V (ϕ∗ ϕ) 4 1 2 = − F~µν − (Dµ ϕ)2 − V (ϕ∗ ϕ) 4 (3.467) Suku ini V (ϕ∗ ϕ) adalah non-Abrikosov. i ~ Dµ ϕ = ∂µ + ~σ .A µ 2 ~ µ memiliki tiga foton. dimana ~σ adalah matriks Pauli dan A SU(2) adalah kovarian. Gambar 93. Di vorteks non-Abrikosov Gambar 94. Ansatz untuk vorteks non-Abelian, φ (3.468) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 131 Gambar 95.   cos f (r) exp(−inϕ) 2  φ = ρ(r)  f (r) sin 2 (3.469) dimana φ adalah ansatz untuk vorteks. Ansatz ini adalah doublet, serupa dengan (similar with) ϕ12 dan ϕ22 . A1µ = A2µ = 0 (3.470) yakni jika kita mengambil kasus yang paling sederhana. A3µ = Aµ = n A(r) ∂µ ϕ g (3.471) Masukkan ansatz ke Lagrangian: persamaan Euler-Lagrange dan solusi. Solusi: Tipe-D (syarat batas Dirichlet) ρ(0) = 0; k A(0) = − ; n ρ̇(0) = 0; f (0) = π; dk ρ 6= 0 drk f˙(0) = 0 (3.472) (3.473) Tipe-N (syarat batas Neumann) ρ(0) 6= 0; A(0) = 0; ρ̇(0) = 0 f (0) = π; f˙ = 0 Fluks magnetik sembarang (tak terkuantisasi): - fluks magnetik sembarang adalah fungsi dari potensial. Ilustrasi doublet: (3.474) (3.475) BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 132 Gambar 96. V (ϕ∗ ϕ) = f (material) (3.476) Ini bermakna bahwa material berbeda menghasilkan potensial yang berbeda.   ϕ1 ϕ =   (3.477) ϕ2 Ini adalah superkonduktor dua celah → M gB2 → dua medan skalar. Vakum di ketakhinggaan: Jika di ketakhinggaan tak ada vakum: ini tak memiliki makna fisis. Fluks integer → vorteks Abrikosov. Fluks pecahan (fraction flux) → vorteks non-Abrikosov. Fenomena berbeda terkait dengan potensial yang berbeda. Multi-celah: kondensasi Bose-EInstein (BEC).   ϕ   ϕ (3.478) Ini adalah multi-komponen BEC → struktur non-Abelian. Superkonduktor: muatan, elektron, foton. BEC: hanya berkondensasi, tidak ada potensial (potensial datang dari sistem luar), tak ada foton. BAB 3. TEORI TERA NON-ABELIAN 133 Vorteks non-Abrikosov di superkonduktor: - prediksi OK, perlu pembuktian eksperimen. Kondensasi Bose-Einstein (BEC): →V =0 → potensial datang dari sistem luar (karena kondensasi[?]). Superfluida (superarus) ∼ = superkonductor. Superarus → medan komposit Soal 25: - Cari potensial di medan komposit. - Baca Ref: Topological Object of Two Component BEC”’, Physical Review A, 72, 063 603 (2005). Bab 4 Soal dan Solusi 4.1 Teorema Gauss Buktikan bahwa Z tf ti ∂µ J µ d4 x = J µ Sµ |Sµ =∞ (4.1) δL δφ. δ(∂µ φ) (4.2) where Jµ = Solusi: Teorema Gauss [6], p.86 Z ∂µ Jνµ d4 x = 0. (4.3) R Teorema Gauss dapat pula ditulis [7] Z Z Z ZZ (∇.F) dV = (F.n) dS. V (4.4) S Ini bermakna bahwa sisi kiri persamaan (4.275) mewakili total sumber dalam volume V , dan sisi kanan persamaan mewakili total aliran yang melintasi batas ∂V [7]. Gunakan eq.(4.274) lalu eq.(4.289) dapat ditulis sebagai Z tf ∂µ J µ d4 x = J µ Sµ |Sµ =∞ = 0. (4.5) ti Karena kita mengasumsikan bahwa medan melemah secara cepat pada ketakhinggaan ruang (ini adalah syarat perlu untuk teori menjadi terdefinisi baik (well defined) [8], 134 BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 135 p.162 lim|x|→∞ φ(x) → 0. 4.2 (4.6) Medan Skalar Kompleks (i) Turunkan dari (∂ 2 − m2 )φ = 0 (4.7) (∂ 2 − m2 )φ∗ = 0 (4.8) sehingga kita memperoleh (ii) Buktikan bahwa kedua persamaan adalah sama Solusi: Jika medan skalar memiliki dua komponen riil, φ1 dan φ2 , kita boleh menuliskannya [6], p.90 √ φ = (φ1 + iφ2 ) 2 √ φ∗ = (φ1 − iφ2 ) 2 (4.9) (4.10) dan karena aksi adalah riil and since the action is real, we put L = (∂µ φ)(∂ µ φ∗ ) − m2 φ∗ φ. (4.11) Jika kita menganggap φ dan φ∗ sebagai medan tak gayut, persamaan Euler-Lagrange menghasilkan persamaan Klein-Gordon [6], p.91 4.3 (∂ 2 + m2 )φ = 0, (4.12) (∂ 2 + m2 )φ∗ = 0. (4.13) Katenari (Tali Gantungan) Tinjau Z V a = ρgy ds Z−aa ρgy = −a p 1 + ẏ 2 dx (4.14) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 136 dimana ds = p p dx2 + dy 2 = 1 + ẏ 2 dx, ẏ = dy/dx. A = V + λl (4.15) (4.16) dimana A adalah aksi, V adalah potensial dan λ adalah konstanta sembarang. Cari, apa itu λ? Solusi: Ini adalah contoh konstrain. Sebuah rantai dengan kerapatan konstan σ (massa per satuan panjang, σ = dm/ds) dan panjang l menggantung di medan gravitasi antara dua titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x2 , y2 ). Kita mencari bentuk kurva, asumsikan bahwa energi potensial rantai adalah minimum [11]. Energi potensial elemen rantai adalah dV = g σ y ds (4.17) Energi potensial total adalah x2 Z V =g σ y ds, (4.18) y 0 = dy/dx. (4.19) x1 dimana elemen garis adalah ds = p 1 + y 02 dx, Konstrain dari panjang l adalah Z x2 Z x2 ds − l = 0= x1 p 1 + y 02 dx − l. (4.20) x1 dengan pengali Lagrange λ, masalah variasional adalah Z x2 gσδ y x1 p 1 + y 02 dx − λ δ Z x2  p 1 + y 02 dx − l = 0. (4.21) x1 Karena δl = 0, kita dapat memperkenalkan fungsi p F (y, y 0 ) = (y − µ) 1 + y 02 (4.22) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 137 di persamaan Euler-Lagrange (4.279) d ∂F (y(x), y 0 (x)) ∂F (y(x), y 0 (x)) =0 − dx ∂y 0 ∂y (4.23) dimana kita memilih µ= λ . gσ (4.24) Dari ∂F d ∂F − = 0, ∂y dx ∂y 0 (4.25) (y − µ)y 00 − y 02 − 1 = 0. (4.26) kita peroleh Kita tulis persamaan terakhir dengan We rewrite the last equation, with y 00 = dy 0 dy dy 0 dy 0 = = y0 . dx dy dx dy (4.27) diperoleh (y − µ)y 0 dy 0 dy dy y 0 dy 0 = . y−µ 1 + y 02 02 = y + 1, (4.28) Integrasi menghasilkan 1 ln (y − µ) + ln C1 = ln (1 + y 02 ), 2 (4.29) atau C1 (y − µ) = p 1 + y 02 . (4.30) Dari sini, kita memperoleh Z Z dy p = C12 (y − µ)2 − 1 dx. (4.31) Untuk mengintegrasikan sisi kiri, kita mensubstitusi cosh ν = C1 (y − ν), karena cosh2 ν − 1 = sinh2 ν. Kemudian dy = 1 sinh ν dν, C1 (4.32) dan oleh karenanya 1 C1 Z Z dν = dx. (4.33) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 138 Integrasi menghasilkan ν = C1 (x + C2 ), (4.34) atau y= 1 cosh(C1 (x + C2 )) + µ. C1 (4.35) Jadi, solusi adalah katenari catenary. Konstanta menghasilkan koordinat titik terendah (x0 , y0 ) = (−C2 , (1/C1 ) + µ). Titiktitik tersebut ditentukan oleh panjang l rantai dan oleh titik suspensi P1 and P2 . 4.4 Lagrangian Maxwell Persamaan Maxwell: ∂ 2 Aµ − ∂µ ∂ν Aν = 0 (4.36) Cari Lagrangian yang menghasilkan persamaan Maxwell (4.91). Solusi: Tinjau rapat Lagrangian berikut [8]: 1 L = − Fµν F µν 4 1 = − (∂µ Aν − ∂ν Aµ )(∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) 4 1 = − ∂µ Aν (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ), 2 (4.37) dengan menggunakan azas aksi terkecil diperoleh ∂L = 0, ∂Aν ∂L ∂∂µ Aν (4.38) 1 1 1 = − (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) − ∂ µ Aν + ∂ ν Aµ 2 2 2 µ ν ν µ = −(∂ A − ∂ A ) = −F µν , (4.39) sehingga diperoleh persamaan Euler-Lagrange ∂L ∂L − ∂µ = 0, ∂Aµ ∂∂µ Aν (4.40) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 139 atau ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = ∂µ F µν = 0. 4.5 (4.41) Tera Coulomb Tinjau hubungan berikut φ(A0 ) = fixed. (4.42) Cari apa itu φ di Coulomb tera (4.96)? Solusi: Tera Coulomb dapat dinyatakan sebagai ∇.A = 0 (4.43) dimana A adalah potensial vektor. Bentuk lain tera Coulomb adalah ∂i Ai = 0, (4.44) dimana i bernilai dari 0 hingga 3. Jika kita mengambil i bernilai 0 maka Ai=0 = A0 . (4.45) φ = A0 (4.46) ∂i=0 Ai=0 = ∂t A0 = ∂t φ = 0, (4.47) dimana [10], p.340 φ adalah potensial skalar. Sehingga kita memperoleh dikarenakan φ(A0 ) = tetap/fixed. BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 4.6 140 Teori Medan Maxwell Apa itu jν di persamaan (4.289) berikut? ∂ µ Fµν = −jν . (4.48) Solusi: Tinjau persamaan Maxwell [6], p.64: ∇.B = 0 ∇×E+ ∂B =0 ∂t ∇.E = ρ ∇×B− ∂E = j. ∂t (4.49) (4.50) (4.51) (4.52) Perkenalkan potensial vektor-4 Aµ = (φ, A) (4.53) B = ∇ × A, (4.54) dengan E=− ∂A − ∇φ ∂t (4.55) Persamaan (4.274) dan (4.275) secara otomatis dipenuhi, karena ∇.∇× ≡ 0 dan ∇ × ∇ ≡ 0. Tinjau sisi kanan persamaan (4.279) dan (4.280) adalah komponen-komponen kurl empat dimensi, didefinisikan sebagai F µν = −F νµ = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ . (4.56) F µν disebut tensor medan elektromagnetik (electromagnetic field tensor ). Tinjau persamaan non-homogen dari persamaan Maxwell di atas. Keduanya dikandung di persamaan kovarian [6], p.66: ∂µ F µν = j ν (4.57) j ν = (ρ, j) (4.58) dengan dimana ρ adalah rapat muatan dan j adalah rapat arus. BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 4.7 141 Tera Coulomb (i) Apa itu φ atau dalam notasi lain adalah A0 , di tera Coulomb? (ii) Pilih tera Coulomb, yakni A0 yang secara lengkap ditentukan oleh φ. Solusi: Tinjau persamaan potensial dari persamaan Maxwell non-homogen berikut [11] ∇2 φ + 1∂ ∇.A = −4πρ c ∂t (4.59) dan   1 ∂ 2A 4π 1 ∂φ ∇ A − 2 2 − ∇ ∇.A + = − J. c ∂t c ∂t c 2 (4.60) Di sini φ menunjukkan potensial skalar, A adalah potensial vektor, ρ adalah distribusi muatan dan J adalah arus. Tera Coulomb dapat dinyatakan sebagai ∇ · A = 0. (4.61) ∇2 φ = −4πρ (4.62) Diperoleh tera Coulomb dengan solusi Z φ(x, t) = 4.8 d3 x0 ρ(x0 , t) . |x − x0 | (4.63) Vorteks Abrikosov Cari solusi vorteks Abrikosov dari persamaan Landau-Ginzburg Solusi: Tinjau persamaan vorteks Abrikosov berikut [12], p. 166: 1 n2 λ ρ̈ + ρ̇ + 2 (A − 1)2 ρ = (ρ2 − ρ̄2 )ρ, % % 2 (4.64) 1 Ä − Ȧ − g 2 ρ2 (A − 1) = 0. % (4.65) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 142 Di tera reguler ini kita memiliki ansatz vorteks berikut 1 φ01 = √ exp(−ikϕ)ρ(%), 2   n 0 n k 0 Aµ = A (%)∂µ ϕ = A(%) − 1 + ∂µ ϕ, g g n (4.66) (4.67) dan syarat batas ρ(0) = dρ dk−1 ρ dk ρ (0) = ... k−1 (0) = 0, (0) 6= 0, d% d% d%k A0 (0) = 0, ρ(∞) = ρ̄, A0 (∞) = k . n (4.68) (4.69) Dengan syarat batas di atas kita dapat memperoleh vorteks Abrikosov yang memiliki fluks I Φ= A0µ dxµ = (A0 (∞) − A0 (0)) 2πn 2πk = . g g (4.70) Tinjau teorema Stokes berikut I Z ∇ × A.dσ A.dx = (4.71) S Dengan teorema Stokes (4.286), integral (4.285), dapat dikenali sebagai integral permukaan I Φ= A0µ µ Z dx = ∇ × A0µ dσ µ (4.72) S dimana A0µ n n = A0 (%)∂µ ϕ = g g   k A(%) − 1 + ∂µ ϕ. n (4.73) Substitusikan (4.288) ke (4.287), diperoleh Z ∇ × A0µ dσ µ   Z n 0 = ∇× A (%)∂µ ϕ dσ µ . g S Φ = S (4.74) Karena n/g adalah koefisien, maka ia dapat dikeluarkan. Sehingga n Φ = g Z S ∇ × (A0 (%)∂µ ϕ) dσ µ . (4.75) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 143 Hitung ∇ × (A0 (%)∂µ ϕ) menggunakan koordinat silinder, diperoleh  i j k      ∂ 1 ∂ ∂ ∇ × (A0 (%)∂µ ϕ) =  1r ∂r  r ∂ϕ ∂z   0 0 0 A (%)∂µ ϕ A (%)∂µ ϕ A (%)∂µ ϕ     1 ∂[A0 (%)∂µ ϕ] ∂[A0 (%)∂µ ϕ] ∂[A0 (%)∂µ ϕ] 1 ∂[A0 (%)∂µ ϕ] = i − +j − r ∂ϕ ∂z ∂z r ∂r   0 0 1 ∂[A (%)∂µ ϕ] 1 ∂[A (%)∂µ ϕ] + k − r ∂r r ∂ϕ     1 ∂[A0 (%)] 1 0 ∂[∂µ ϕ] A (%) − 0 + j 0 − ∂µ ϕ = i r ∂ϕ r ∂r   0 1 ∂[A (%)] 1 0 ∂[∂µ ϕ] + k ∂µ ϕ − A (%) r ∂r r ∂ϕ     1 0 ∂[∂µ ϕ] 1 ∂[A0 (%)] = i A (%) −j ∂µ ϕ r ∂ϕ r ∂r   0 1 ∂[A (%)] 1 0 ∂[∂µ ϕ] + k ∂µ ϕ − A (%) (4.76) r ∂r r ∂ϕ dimana r = %. Tinjau solusi simetri silinder, dimana A0 (%)∂µ ϕ tak gayut ϕ. Dari (4.76) diperoleh solusi simetri silinder    1 0 ∂[∂µ ϕ] ∂[A0 (%)] 1 i A (%) ∂µ ϕ −j r ∂ϕ r ∂r   0 ∂[A (%)] 1 0 ∂[∂µ ϕ] 1 ∂µ ϕ − A (%) k r ∂r r ∂ϕ     0 1 ∂[A (%)] 1 ∂[A0 (%)] i(0) − j ∂µ ϕ +k ∂µ ϕ −0 r ∂r r ∂r     1 ∂[A0 (%)] 1 ∂[A0 (%)] −j ∂µ ϕ +k ∂µ ϕ r ∂r r ∂r 0 1 ∂[A (%)] ∂µ ϕ (k − j). (4.77) r ∂r  0 ∇ × (A (%)∂µ ϕ) = + = = = Substitusi (4.77) ke (4.75), diperoleh n Φ = g Z S 1 ∂[A0 (%)] ∂µ ϕ (k − j) dσ µ . r ∂r (4.78) Hubungan lain adalah Φ= n (A0 (∞) − A0 (0)) 2π. g (4.79) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 144 Substitusi syarat batas untuk A0 , (4.284) ke (4.90), diperoleh n Φ = (A0 (∞) − A0 (0)) 2π g   k n = − 0 2π n g k n = 2π n g k = 2π . g (4.80) Untuk kasus ini, masih terdapat ”hubungan yang terputus” yakni hubungan (4.78) dan (4.90), tunjukkan bahwa Z 1 ∂[A0 (%)] ∂µ ϕ (k − j) dσ µ = (A0 (∞) − A0 (0)) 2π. r ∂r S (4.81) Ide untuk menyelesaikan masalah (4.92): (1) A(%) tak gayut ϕ, sehingga ϕ dapat dikeluarkan dari integrasi, tampaknya menghasilkan 2π. (2) Integrasikan A(%) dari 0 hingga ∞, tampaknya ia menghasilkan A0 (∞) − A0 (0). 4.9 Vorteks Abrikosov (i) Cari Ax , Ay . (ii) Apa makna ∂µ φ? Solusi: (i) Vorteks Abrikosov adalah solusi dua dimensi. Ansatz vorteks diberikan oleh (lihat [12], p.161, eq.(50)): Aµ = n A(r) ∂µ ϕ. g (4.82) Kita dapat mengubah koordinat Kartesian (x, y) menjadi koordinat silindris (r, ϕ) karena r = r(x, y) (4.83) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 145 ϕ = ϕ(x, y). (4.84) Di koordinat Kartesian, ansatz vorteks dapat dinyatakan sebagai Aµ = (Ax , Ay ) = Ax + Ay (4.85) dimana ∂ϕ n A(r) g ∂x n ∂ϕ Ay = A(r) . g ∂y Ax = (4.86) (4.87) Substitusikan (4.275), (4.276) ke (4.274), diperoleh n ∂ϕ n ∂ϕ A(r) + A(r) g ∂x g ∂y   ∂ϕ ∂ϕ n A(r) + = g ∂x ∂y n = A(r) ∂µ ϕ. g Aµ = (4.88) Persamaan (4.277) adalah sama dengan persamaan (4.289). (ii) Sebagaimana telah kita tulis di (4.277) ∂µ ϕ = ∂ϕ ∂ϕ + . ∂x ∂y (4.89) Untuk kasus vorteks1 , ∂µ ϕ adalah laju rotasi terhadap ruang. 4.10 Medan Magnetik dan Fluks Magnetik Cari ~ = B 1 Φ 4π~r 2 (4.90) Sebuah vorteks (jamak: vortices) adalah aliran fluida yang berputar, seringkali bergolak. Setiap gerakan spiral dengan aliran tertutup adalah aliran pusaran. Gerakan fluida yang berputar dengan cepat di sekitar pusat disebut pusaran. Laju rotasi fluida dalam pusaran irotasional paling besar di pusat, dan semakin menurun seiring dengan jarak dari pusat, sedangkan laju pusaran rotasi nol di titik pusat dan meningkat sebanding dengan jarak dari pusat [13] BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 146 ~ adalah medan magnetik dan Φ adalah fluks magnetik. Solusi: dimana B Fluks magnetik didefinisikan sebagai Z Φ≡ ~ S ~r B.d (4.91) ~r adalah elemen permukaan, merentang dariθ hingga θ + dθ dan dari ϕ dimana dS hingga ϕ + dϕ pada permukaan bola berjari-jari konstan r adalah ~r = r2 sin θ dθ dϕ r̂. dS (4.92) Jika (4.92) disubstitusikan ke (4.91), diperoleh Z 2π Z π ~ 2 sin θ dθ dϕ r̂ Φ ≡ B.r 0 Z0 2π Z π ~ 2 = B.r sin θ dθ dϕ r̂ 0 0 Z 2π 2 ~ = B.r (− cos θ|π0 ) dϕ r̂ Z0 2π ~ 2 = B.r (−[cos π − cos 0]) dϕ r̂ 0 Z 2π 2 ~ = B.r (−[(−1) − (1)]) dϕ r̂ 0 Z 2π 2 ~ = B.r (2) dϕ r̂ 0 Z 2π 2 ~ = 2B.r dϕ r̂ 0 ~ = 2B.r ϕ|2π 0 r̂ 2 ~ 2 (2π − 0) r̂ = 2B.r ~ 2 r̂. = 4π B.r (4.93) Sehingga, Φ ~ =B 4πr2 r̂ (4.94) dimana vektor satuan r̂, adalah vektor ~r dibagi dengan norm r r̂ = ~r −→ ~r r 2 = r2 r̂. (4.95) Jika (4.95) disubstitusikan ke (4.94), diperoleh Φ 4π~r Persamaan (4.96) sama dengan (4.90). 2 ~ = B. (4.96) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 4.11 147 Hubungan Komutasi Kanonik Buktikan bahwa (Li )jk = −ijk (4.97) adalah hubungan komutasi kanonik (canonical commutation relation). Solusi: Tinjau representasi adjoin [21]: (T b )ac = hta |T b |tc i = hta |[tb , tc ]i, hta |tb i ≡ λ−1 tr(ta tb ) ≡ δ ab = λ−1 tr(ta [tb , tc ]) = λ−1 i f bcd tr(ta td ) = i f bcd δ ad = −if acb (4.98) dimana (T b )ac adalah matriks, dan T b adalah generator. Jika generator adalah Li dan matriks adalah (Li )jk , dimana indeks b → i, a → j, c → k maka (Li )jk = λ−1 tr(lj [li , lk ]) = λ−1 i f ikm tr(lj lm ) = i f ikm δ jm = −if jki . (4.99) Untuk kasus SO(3) → fij k = ijk , maka (Li )jk = −ijki . 4.12 (4.100) Pembangkit, Konstanta Struktur Buktikan bahwa (ti )j k ≡ −fij k (4.101) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 148 memenuhi hubungan komutasi dan identitas Jacoby. Solusi: Tinjau representasi adjoin [21]: (T b )ac = hta |T b |tc i = hta |[tb , tc ]i, hta |tb i ≡ λ−1 tr(ta tb ) ≡ δ ab = λ−1 tr(ta [tb , tc ]) = λ−1 i f bcd tr(ta td ) = i f bcd δ ad = −if acb (4.102) dimana (T b )ac adalah matriks dan T b adalah pembangkit (generator). Jika pembangkit adalah ti dan matriks adalah (ti )j k , maka (ti )j k = λ−1 tr(tj [ti , tk ]) = λ−1 i fikm tr(tj tm ) = i fikm δjm = −ifjki . 4.13 (4.103) Tensor Anti-Simetri dan Identitas Jacoby Buktikan bahwa ijk memenuhi identitas Jacoby. Solusi: Identitas Jacobi: [ti , [tj , tk ]] + [tj , [tk , ti ]] + [tk , [ti , tj ]] = 0 (4.104) Representasi adjoint adalah (ti )j k ≡ −fij k (4.105) [ti , tj ] = fij k tk (4.106) fij k = ijk . (4.107) dimana untuk kasus SO(3) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 4.14 149 Kebebasan Tera Cari δ̄ ϕ ~ 6= 0. (4.108) Petunjuk: Cari [Dµ , Dν ] yakni kuat medan (field strength). Solusi: δ̄ ϕ ~ = [Dµ , Dν ]~ ϕ ~ µ ×), (∂ν + g A ~ ν ×)]~ = [(∂µ + g A ϕ ~ µ ×)(∂ν + g A ~ ν ×) − (∂ν + g A ~ ν ×)(∂µ + g A ~ µ ×)]~ = [(∂µ + g A ϕ ~ ν ×) + g A ~ µ × (∂ν + g A ~ ν ×) = [∂µ (∂ν + g A ~ µ ×) − g A ~ ν × (∂µ + g A ~ µ ×)]~ −∂ν (∂µ + g A ϕ ~ ν ×) + g A ~ µ × ∂ν + (g A ~ µ × gA ~ ν ×) = [∂µ ∂ν + ∂µ (g A ~ µ ×) − g A ~ ν × ∂µ − (g A ~ ν × gA ~ µ ×)]~ −∂ν ∂µ − ∂ν (g A ϕ ~ ν ×) + g A ~ µ × ∂ν + (g A ~ µ × gA ~ ν ×) = [∂µ ∂ν + ∂µ (g A ~ µ ×) − g A ~ ν × ∂µ − (g A ~ ν × gA ~ µ ×)]~ −∂µ ∂ν − ∂ν (g A ϕ ~ ν ×) + g A ~ µ × ∂ν + (g A ~ µ × gA ~ ν ×) = [∂µ (g A ~ µ ×) − g A ~ ν × ∂µ − (g A ~ ν × gA ~ µ ×)]~ −∂ν (g A ϕ. (4.109) ~ µ, A ~ ν adalah sembarang dan ϕ Karena A ~ 6= 0 maka δ̄ ϕ ~ 6= 0. (4.110) δ̄ ϕ ~ = [Dµ , Dν ]~ ϕ ∝ dxµ dxν (4.111) dimana dxµ dxν adalah luasan. 4.15 Hubungan Komutasi Cari [Li , Lj ] = ijk Lk (4.112) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 150 Solusi: Jika kita memiliki operator posisi dan momentum maka kita bisa mendefinisikan tiga operator Lx , Ly , Lz sebagaimana [22], p.134: Lx = Y Pz − ZPy (4.113) Ly = ZPx − XPz (4.114) Lz = XPy − Y Px (4.115) ~ =R ~ × P~ . L (4.116) Lebih ringkas ~ satu sama lain, atau dengan komUntuk menghitung hubungan komutasi komponen L ~ dan P~ , sangat berguna untuk memperkenalkan simbol Levi-Civita εijk dideponen R finisikan sebagai εijk   +1, if (ijk) is an even permutation of (123),    = −1, if (ijk) is an odd permutation of (123),     0, otherwise. (4.117) dimana εijk adalah anti-simetri terkait dengan sembarang permutasi dua indeks, yakni εijk = −εjik = εjki = −εkji 3 X εijk εlmk = δil δjm − δim δjl (4.118) (4.119) k=1 ~ persamaan (4.274), (4.275), (4.276) Nyatakan dengan Li (i = 1, 2, 3) tiga komponen L, dapat kemudian ditulis dalam bentuk simbol εijk . Jadi, Li = X εijk Xj Pk j,k dimana penjumlahan berawal dari 1 hingga 3. (4.120) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 151 Hitung " # [Li , Lj ] = X = X εikl Xk Pl , X εjmn Xm Pn m,n k,l εikl εjmn {−ih̄ δlm Xk Pn + ih̄ δkn Xm Pl } k,l,m,n = ih̄ ( X X l,m = ( X ! εikl εjmk ! X m Pl − k X X k,n εikl εjln ) Xk P n l ) (δlj δim − δlm δij ) Xm Pl − l,m X (δin δkj − δij δkn ) Xk Pn k,n = ih̄ (Xi Pj − Xj Pi ) X = ih̄ εijk Lk (4.121) k 4.16 Identitas Jacobi Buktikan [ti , [tj , tk ]] + [tj , [tk , ti ]] + [tk , [ti , tj ]] = 0 (4.122) Solusi: (4.283) dapat dinyatakan sebagai [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 (4.123) dimana ti = A, tj = B, tk = C. Gunakan kurung Poisson berikut  [A, B] = ∂A ∂B ∂A ∂B − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi  (4.124) Dari (4.123), (4.284) dapat diturunkan ∂C ∂[A, B] ∂C ∂[A, B] − ∂qj ∂pj ∂pj ∂qj     ∂C ∂ ∂A ∂B ∂A ∂B ∂C ∂ ∂A ∂B ∂A ∂B = − − − ∂qj ∂pj ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi ∂pj ∂qj ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi ∂C ∂ 2 A ∂B ∂C ∂A ∂ 2 B ∂C ∂ 2 A ∂B ∂C ∂A ∂ 2 B + − − = ∂qj ∂pj ∂qi ∂pi ∂qj ∂qi ∂pj ∂pi ∂qj ∂pj ∂pi ∂qi ∂qj ∂pi ∂pj ∂qi 2 2 2 ∂C ∂ A ∂B ∂C ∂A ∂ B ∂C ∂ A ∂B ∂C ∂A ∂ 2 B − + + − ∂pj ∂qj ∂qi ∂qi ∂pj ∂qi ∂qj ∂pi ∂pj ∂qj ∂pi ∂qi ∂pj ∂pi ∂qj ∂qi = 0 (4.125) [C, [A, B]] = BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 152 Analog dengan (4.285), kita dapat menurunkan ∂A ∂ 2 B ∂C ∂A ∂B ∂ 2 C ∂A ∂ 2 B ∂C ∂A ∂B ∂ 2 C + − − ∂qj ∂pj ∂qi ∂pi ∂qj ∂qi ∂pj ∂pi ∂qj ∂pj ∂pi ∂qi ∂qj ∂pi ∂pj ∂qi ∂A ∂B ∂ 2 C ∂A ∂ 2 B ∂C ∂A ∂B ∂ 2 C ∂A ∂ 2 B ∂C − + + − ∂pj ∂qj ∂qi ∂qi ∂pj ∂qi ∂qj ∂pi ∂pj ∂qj ∂pi ∂qi ∂pj ∂pi ∂qj ∂qi = 0 (4.126) [A, [B, C]] = ∂B ∂ 2 C ∂A ∂B ∂C ∂ 2 A ∂B ∂ 2 C ∂A ∂B ∂C ∂ 2 A [B, [C, A]] = + − − ∂qj ∂pj ∂qi ∂pi ∂qj ∂qi ∂pj ∂pi ∂qj ∂pj ∂pi ∂qi ∂qj ∂pi ∂pj ∂qi ∂B ∂ 2 C ∂A ∂B ∂C ∂ 2 A ∂B ∂ 2 C ∂A ∂B ∂C ∂ 2 A − − + + ∂pj ∂qj ∂qi ∂qi ∂pj ∂qi ∂qj ∂pi ∂pj ∂qj ∂pi ∂qi ∂pj ∂pi ∂qj ∂qi = 0 (4.127) Diperoleh [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 4.17 (4.128) Ekspansi Taylor Buktikan bahwa (−t.n̂)n .θ~n = 1 − (t.n̂) sin θ + (t.n̂)2 (1 − cos θ) n! U= dimana ∞ X (−1)n θ2n+1 sin θ = , (2n + 1)! n=1 ∞ X (−1)n θ2n cos θ = (2n)! n=1 (4.129) (4.130) Solusi: Ekspansi Taylor [35]: ~~ U = e−t.θ ∞ X ~n (−~t.θ) = n! n=0 = ∞ X (−t.n̂)n .θ~n n=0 n! (4.131) Deret Taylor [26]: x e = ∞ X xn n=0 n! = 1+x+ x2 x3 x4 + + + ... for all x. 2! 3! 4! (4.132) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 153 ~ maka Jika x = −~t · θ, −~t.θ~ e = ∞ X ~n (−~t.θ) n=0 = n! = ∞ X (−~t )n .θ~n n=0 n! , ~t = t.n̂ ∞ X (−t.n̂)n .θ~n n=0 n! (−tn̂.θ~ )2 (−tn̂.θ~ )3 (−tn̂.θ~ )4 = 1 − (tn̂).θ~ + + + + ... 2! 3! 4! (4.133) Substitusikan sin θ dan cos θ ke dalam U di atas, diperoleh U = 1 − (t.n̂) sin θ + (t.n̂)2 (1 − cos θ) ! ∞ ∞ n 2n X X (−1)n θ2n+1 (−1) θ = 1 − (t.n̂) + (t.n̂)2 1 − . (2n + 1)! (2n)! n=0 n=0 (4.134) Untuk n = 0 maka   (−1)0 θ1 (−1)0 θ0 2 U = 1 − (t.n̂) + (t.n̂) 1 − (1)! (0)! = 1 − (t.n̂)θ. (4.135) Untuk n = 1 maka   (−1)1 θ2+1 (−1)1 θ2 2 U = 1 − (t.n̂) + (t.n̂) 1 − (2 + 1)! (2)!   3 2 θ θ = 1 + (t.n̂) + (t.n̂)2 1 + 3! 2! (4.136) Kita bisa melanjutkan sebagai misal, n = 2, 3, 4, 5 dan kemudian meringkasnya. 4.18 Operator Momentum Sudut Cari (~t.n̂), (~t.n̂)2 , (~t.n̂)3 , ... ∼ = ~t · n̂ (4.137) Petunjuk: Suku ketiga diserap suku pertama, suku keempat diserap suku kedua. Solusi: belum dikerjakan BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 4.19 154 Transformasi Tera Infinitesimal Buktikan bahwa ~ µν = Θ ~ ×X ~ µν δX (4.138) Solusi: Merujuk ke Ryder [6], p.105. Anggap rotasi di bidang (1-2) sebagai rotasi terhadap sumbu ke tiga, dengan kata lain, rotasi melalui sudut θ3 . Diperoleh φ01 = cos θ3 φ1 + sin θ3 φ2 , φ02 = − sin θ3 φ1 + cos θ3 φ2 , φ03 = φ3 . (4.139) Jika θ3 infinitesimal, maka φ01 = φ1 + θ3 φ2 , φ02 = −θ3 φ1 + φ2 , φ03 = φ3 . (4.140) yakni komponen ’3’ dari persamaan φ → φ0 = φ − θ × φ (4.141) Oleh karenanya terkait dengan rotasi umum melalui sudut θ. Maknanya |θ| adalah sudut rotasi, dan θ/|θ| adalah sumbu rotasi. Diperoleh δφ = −θ × φ. 4.20 Kuat Medan Buktikan bahwa ~ µν = ∂µ A ~ ν − ∂ν A ~ µ + gA ~µ × A ~ν X invarian dalam transformasi tera. Solusi: (4.142) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 155 Tinjau transformasi terbatas (finite transformations) untuk variabel medan dalam bentuk matriks [25], p.485-495 ψ → Uψ ψ̄ → ψ̄U −1 Aµ → U Aµ U −1 − 1 (∂µ U )U −1 ig (4.143) Untuk mengkonstruksi rapat Lagrangian bagian dinamis dari medan tera dalam cara invarian tera, catat bahwa dalam transformasi tera (4.289), tensor mewakili kuat medan Abelian yang bertransformasi sebagai fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ     1 1 −1 −1 −1 −1 − ∂ν U Aµ U − (∂µ U )U = ∂µ U Aν U − (∂ν U )U ig ig 1 1 1 = ∂µ (U Aν U −1 ) − (∂µ ∂ν U )U −1 − (∂ν U )(∂µ U −1 ) − ∂ν (U Aµ U −1 ) + (∂ν ∂µ U )U −1 ig ig ig 1 + (∂µ U )(∂ν U −1 ) ig 1 1 = (∂µ U )(∂ν U −1 ) − (∂ν U )(∂µ U −1 ) + ∂µ U Aν U −1 + U ∂µ Aν U −1 + U Aν ∂µ U −1 ig ig −1 −∂ν U Aµ U − U ∂ν Aµ U −1 − U Aµ ∂ν U −1 = 1 (∂µ U ∂ν U −1 − ∂ν U ∂µ U −1 ) + ∂µ U Aν U −1 + U Aν ∂µ U −1 − ∂ν U Aµ U −1 − U Aµ ∂ν U −1 ig +U (∂µ Aν − ∂ν Aµ )U −1 . (4.144) Tampak bahwa fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ keduanya tidak invarian atau tidak memiliki transformasi sederhana dalam transformasi tera (4.289). Dalam transformasi tera 1 (∂µ U ∂ν U −1 − ∂ν U ∂µ U −1 ) ig −[∂µ U Aν U −1 + U Aν ∂µ U −1 − ∂ν U Aµ U −1 − U Aµ ∂ν U −1 ]. (4.145) ig[Aµ , Aν ] = igU [Aµ , Aν ]U −1 − Sehingga, jika didefinisikan tensor kuat medan sebagai Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + ig[Aµ , Aν ] maka dalam transformasi tera (4.289), tensor kuat medan akan bertransformasi sebagai Fµν → U Fµν U −1 . BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 156 Ini bermakna tensor kuat medan bertransformasi secara kovarian. Rapat Lagrangian invarian tera untuk bagian dinamis dari medan tera (kuadratik dalam turunan) adalah 1 Lgauge = − Tr Fµν F µν . 2 4.21 Transformasi Tera Infinitesimal Buktikan bahwa ~ = −Θ ~ × Dµ Φ ~ δ(Dµ Φ) (4.146) Solusi ~ = Dµ (δ Φ) ~ δ(Dµ Φ) ~ × Φ) ~ = Dµ (−Θ ~ × (Dµ Φ)] ~ ~ ×Φ ~ +Θ = −[(Dµ Θ) | {z } (4.147) =0 Suku pertama sama dengan nol, karena ia merusak simetri tera. Sehingga diperoleh ~ = −Θ ~ × Dµ Φ. ~ δ(Dµ Φ) 4.22 Kuat Medan Buktikan persamaan berikut Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + gAµ × Aν adalah sama dengan Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + g[Aµ , Aν ]. Solusi: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + g[Aµ Aν − Aν Aµ ] = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + gAµ Aν − gAν Aµ (4.148) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 157 Kuat medan didefinisikan sebagai [10], p.418 Fµν (x) ≡ = = = = = = i [Dµ , Dν ] g i ~ µ ×), (∂ν + g A ~ ν ×)] [(∂µ + g A g i ~ µ ×)(∂ν + g A ~ ν ×) − (∂ν + g A ~ ν ×)(∂µ + g A ~ µ ×)] [(∂µ + g A g i ~ ν ×) + g A ~ µ × (∂ν + g A ~ ν ×) − ∂ν (∂µ + g A ~ µ ×) − g A ~ ν × (∂µ + g A ~ µ ×)] [∂µ (∂ν + g A g i ~ ν ×) + (g A ~ µ × ∂ν ) + (g A ~ µ × gA ~ ν ×) − ∂ν ∂µ − ∂ν (g A ~ µ ×) [∂µ ∂ν + ∂µ (g A g ~ ν × ∂µ ) − (g A ~ ν × gA ~ µ ×)] −(g A i ~ ν ×) + (g A ~ µ × ∂ν ) + (g A ~ µ × gA ~ ν ×) − ∂ν (g A ~ µ ×) [∂µ ∂ν − ∂ν ∂µ + ∂µ (g A g ~ ν × ∂µ ) − (g A ~ ν × gA ~ µ ×)], ∂µ ∂ν = ∂ν ∂µ −(g A i ~ ν ×) + (g A ~ µ × ∂ν ) + (g A ~ µ × gA ~ ν ×) − ∂ν (g A ~ µ ×) [∂µ (g A g ~ ν × ∂µ ) − (g A ~ ν × gA ~ µ ×)] −(g A ~ ν ×) + (A ~ µ × ∂ν ) + g(A ~µ × A ~ ν ×) − ∂ν (A ~ µ ×) = i[∂µ (A ~ ν × ∂µ ) − g(A ~ν × A ~ µ ×)] −(A ~ ν ×) − ∂ν (A ~ µ ×) + (A ~ µ × ∂ν ) − (A ~ ν × ∂µ ) = i[∂µ (A ~µ × A ~ ν ×) − g(A ~ν × A ~ µ ×)] +g(A ~ ν ×) − ∂ν (A ~ µ ×) + g(A ~µ × A ~ ν ×) − g(A ~ν × A ~ µ ×) = i[∂µ (A ~ µ × ∂ν ) − (A ~ ν × ∂µ )] +(A 4.23 (4.149) Persamaan Euler-Lagrange (i) Turunkan persamaan Euler-Lagrange dari Lagrangian berikut 1 2 L = − F~µν 4 Petunjuk: Solusi dari Dµ F~µν = 0 atau ~ µ ×)F~µν = 0 (∂ µ + g A BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 158 adalah 1 Aµ = − r̂ × ∂µ r̂ g dimana  sin θ cos nφ      r̂ =  sin θ sin nφ    cos θ Solusi: Secara umum, aksi didefinisikan sebagai Z tf L dt S= (4.150) ti Aksi Yang-Mills [27], p.266 1 S=− 2 2g Z d4 x Tr(Fµν F µν ) (4.151) dimana Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + i[Aµ , Aν ] (4.152) Aµ (x) = Abµ (x) T b (4.153) dan T b adalah matriks yang membangkitkan salah satu aljabar Lie [T b , T c ] = if bcd T d (4.154) dengan indeks b, c, d bergerak dari 1 hingga k, dimensi aljabar Lie, didefinisikan oleh konstanta struktur anti-simetri total, f bcd . Sebagai konsekuensi (4.260), matriks T b adalah tak ber-trace (traceless); mereka dinormalisasi untuk memenuhi Tr [T b T c ] = 1 bc δ . 2 Aksi Yang-Mills tak gayut matriks T b dapay ditulis sebagai Z 1 b F µνb ) S = − 2 d4 x (Fµν 4g (4.155) (4.156) dimana b Fµν = ∂µ Abν − ∂ν Abµ − f bcd Acµ Adν . (4.157) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 159 Sehingga  1 1 g S = d x − ∂µ Abν ∂ µ Aνb + ∂µ Abν ∂ ν Aµb + gf bcd Acµ Adν ∂ µ Aνb 2 2  2 g (4.158) − f bcd f bef Acµ Adν Aµe Aνf 4 2 Z 4 Dua suku pertama dari persamaan (4.238) diakui memiliki tipe yang sama sebagaimana Lagrangian Maxwell (kecuali untuk penjumlahan). Dua suku berikutnya menunjukkan bahwa medan vektor memiliki kubik non-trivial dan interaksi kuartik diantara mereka sendiri. Penurunan persamaan gerak dapat berlangsung dalam bentuk matriks. Kita mulai dengan variasi aksi 1 δS = − 2 g Z d4 x Tr(Fµν δF µν ) (4.159) F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ + i[Aµ , Aν ] (4.160) δF µν = ∂ µ δAν + iδAµ Aν + iAµ δAν − (µ ↔ ν). (4.161) dimana sehingga Oleh karena itu, dengan menggunakan Fµν anti-simetri diperoleh Z 2 δS = − 2 d4 x Tr[Fµν (∂ µ δAν + iδAµ Aν + iAµ δAν )]. g (4.162) Integrasikan suku pertama bagian demi bagian, hilangkan suku permukaan dikarenakan hilangnya variasi pada batas. Gunakan siaft siklis dari trace, diperoleh Z 2 (4.163) δS = 2 d4 x Tr[(∂ µ Fµν + i[Aµ , Fµν ]) δAν ]. g Azas aksi terkecil adalah δS = 0 (4.164) dan karena δAν adalah sembarang, diperoleh persamaan Euler-Lagrange atau persamaan Yang-Mills dalam bentuk matriks sebagai berikut ∂ µ Fµν + i[Aµ , Fµν ] = 0. (4.165) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 160 Karena Fµν bertransformasi menurut representasi adjoin, (4.243) dapat dinyatakan dalam bentuk turunan kovarian sebagai berikut Dµ Fµν = 0. (4.166) yang menunjukkan bahwa ia sendiri adalah kovarian. (ii) Tunjukkan solusi dari Dµ F~µν = 0 adalah 1 Aµ = − r̂ × ∂µ r̂ g (4.167) dimana  sin θ cos nϕ      r̂ =  sin θ sin nϕ  .   cos θ (4.168) Solusi: Solusi Yang-Mills non-Abelian yang cemerlang ditemukan oleh Wu dan Yang (1968). Solusi Wu-Yang adalah mirip titik (point-like), yakni potensial tera yang berperilaku seperti 1/r di setiap tempat [31], [32]. Sifat yang sangat menarik dari solusi Wu-Yang adalah ia mendeskripsikan monopol magnetik non-Abelian mirip titik ((point-like) non-Abelian magnetic monopole), yakni ia tidak terpasang ke (attached to) dawai, tak seperti monopol Dirac [31]. Wu-Yang (1968) memperkenalkan ansatz sebagai solusi menyerupai titik dari teori murni Yang-Mills SU (2). Dari pandangan ini, kta mungkin menyimpulkan bahwa Yang-Mills memberi tatanan alami untuk solusi monopol magnetik [31]. Persamaan (4.167), (4.168) mengacu ke [28], eq.(8). Persamaan (4.168) adalah solusi monopol Wu-Yang dari muatan n/q, dimana (r, θ, φ) adalah koordinat bola dan q adalah muatan monopol integer (integer monopole charge) [28]. Dalam perumusan Abelian, lebih sesuai jika kita mendeskripsikan monopol dalam kaitannya dengan potensial magnetik, C̃µ . Ini mengimplikasikan bahwa komponen BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 161 potensial magnetik C̃µ dan kuat medan magnetik H sebagai berikut [28] q (cos θ − 1) ∂µ φ, C̃µ = gr q xa Hij = aij 3 . g r (4.169) Monopol Magnetik Wu-Yang Dikutip dari Wu-Yang [33]. Monopol magnetik adalah muatan magnet. Jika kita ingin mendeskripsikan fungsi gelombang sebuah elektron dalam medan monopol magnet, ki~ di sekitar monopol. Dirac memilih potensial ta perlu menemukan potensial vektori, A, vektor yang memiliki dawai singularitas. Perlunya dawai singularitas seperti itu adalah jelas jika kita membuktikan teorema berikut Teorema: Pertimbangkan monopol magnetik dengan kekuatan g 6= 0 di titik asal dan pertim~ bangkan bola dengan radius R di sekitar titik asal. Tidak terdapat potensial vektor A untuk medan magnetik monopol yang bebas singularitas pada bola. Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan cara berikut. Jika tidak ada singularitas ~ kita meninjau integral siklus (the loop integral) A I Aµ dxµ (4.170) sejajar pada bola seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1 [33]. Menurut teorema Stoke integral siklus ini sama dengan fluks magnetik total yang melalui tutup α I Aµ dxµ = Ωα . (4.171) Dengan cara serupa, kita dapat menerapkan teorema Stokes terhadap tutup β, diperoleh I Aµ dxµ = Ωβ . (4.172) Di sini, Ωα dan Ωβ adalah fluks magnetik ke atas total melalui tutup α dan β, keduanya dibatasi kesejajaran. Kurangkan kedua persamaan, kita memperoleh 0 = Ωα − Ωβ . (4.173) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 162 yakni sama dengan fluks total keluar dari bola, yang pada gilirannya sama dengan 4πg 6= 0. (4.174) Dengan demikian, kita mencapai kontradiksi. Setelah membuktikan teorema ini, kita mengamati bahwa R adalah sembarang. Sehingga kita menyimpulkan bahwa pasti ada dawai singularitas di dalam potensial vektor untuk mendeskripsikan medan monopol. Namun kita tahu bahwa medan magnetik di sekitar monopol adalah bebas dari singularitas. Hal ini menunjukkan bahwa dawai singularitas bukanlah suatu kesulitan fisis yang nyata. Dawai singularitas adalah ”penghalang”. Ia dapat dihapus jika kita mengizinkan ~ di wilayah berbeda dari ruang. penyambungan potensial vektor yang berbeda A Untuk lebih spesifik, bagi ruang di luar monopol menjadi dua wilayah yang tumpang tindih. Sebut wilayah di atas kerucut lebih bawah di Gambar 2 [33], sebagai Ra , dan wilayah di bawah kerucut lebih atas, sebagai Rb . Penyatuan keduanya memberikan semua titik di luar asal tempat monopol berada. Di Ra kita akan memilih potensial vektor yang hanya ada satu komponen tak-menghilang A, yakni komponen azimuth (Ar )a = (Aθ )a = 0, (Aφ )a = g (1 − cos θ). r sin θ (4.175) Penting untuk diperhatikan bahwa potensial vektor ini memiliki singularitas di mana saja dalam Ra . Demikian pula di Rb kita memilih potensial vektor (Ar )b = (Aθ )b = 0, (Aφ )b = − g (1 + cos θ). r sin θ (4.176) yangmana tak memiliki singularitas di Rb . Di daerah tumpang tindih, karena kedua kumpulan potensial vektor memiliki kurl yang sama, perbedaan di antara keduanya harus tidak kurl (curl-less) dan oleh karena itu harus berupa gradien. (Aµ )a − (Aµ )b = ∂µ α (4.177) α = 2gφ, (4.178) dimana BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 163 Di sini, φ adalah sudut azimuth. Persamaan Scrodinger untuk elektron dalam medan monopol adalah   1 2 (p − eAa ) + V ψa = Eψa , in Ra , 2m   1 2 (p − eAb ) + V ψb = Eψb , in Rb , 2m (4.179) (4.180) di mana ψa dan ψb masing-masing adalah fungsi gelombang di dua wilayah. Fakta bahwa dua potensial vektor dalam dua persamaan ini berbeda dengan gradien memberi tahu kita, dengan azas tera, psia dan psib terkait dengan transformasi faktor fase ψa = Sψb , S = eieα (4.181) or ψa = e2iqφ ψb , q = eg. (4.182) Di sekitar ekuator yang seluruhnya dalam Ra , ψa bernilai tunggal. Demikian pula, karena ekuator juga seluruhnya dalam Rb , ψb bernilai tunggal di sekitar ekuator. Oleh karena itu, S harus kembali ke nilai aslinya ketika kita mengelilingi ekuator. Itu menyiratkan kondisi kuantisasi Dirac: 2q = 2eg = integer. (4.183) Sehingga masalah (ii) menjadi: Buktikan bahwa kurl salah satu dari dua potensial ini menghasilkan medan magnetik monopol [33]. Ini bermakna bahwa buktikan [33], [28] i g ∇ × (Aφ ) = ∇ × (1 − cos θ) = ∇ × C̃µ . r sin θ (4.184) i g ∇ × (Aφ ) = ∇ × − (1 + cos θ) = ∇ × C̃µ . r sin θ (4.185) h a atau h b dimana potensial magnetik [28] C̃µ = q (cos θ − 1) ∂µ φ. gr (4.186) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 4.24 164 Transformasi Tera Infinitesimal Buktikan bahwa 1 δ µ = D̂µ α ~ g (4.187) Solusi: 1 Dµ α ~ g ~ µ ×)~ ~ µ ) = 1 (∂µ + g A α δ(µ + X g ~ µ = 1 (∂µ + g A ~ µ ×)~ δ µ + δ X α g  1 ~ ~µ ∂µ + g[µ + Xµ ]× α ~ − δX δ µ = g   ~µ = δA = 1 ~µ ~  ~ − δX ∂µ + [g µ ×] +[g X×] α {z } g | D̂µ 1 ~ µ ×)~ ~µ (D̂µ + g X α − δX g 1 ~µ × α ~µ = D̂µ α ~ +X ~ − δX g = (4.188) dimana ~ µ = −~ ~µ δX α×X (4.189) ~µ × α ~µ X ~ = −~ α×X (4.190) yakni, perkalian silang adalah anti-komutatif. Diperoleh 1 ~µ × α ~µ D̂µ α ~ +X ~ − δX g 1 ~ µ ) − (−~ ~ µ) = D̂µ α ~ + (−~ α×X α×X g 1 ~µ + α ~µ = D̂µ α ~ −α ~ ×X ~ ×X g 1 = D̂µ α ~. g δ µ = (4.191) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 4.25 165 Dualitas Buktikan bahwa F̂µν = ∂µ Âν − ∂ν µ + g µ × Âν = (Fµν + Hµν )n̂ (4.192) dimana [34], eq.(6) Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , 1 Hµν = − n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂). g (4.193) Solusi: Turunkan pertama-tama F~µν [12]. ~ ν − ∂ν A ~ µ + gA ~µ × A ~ν F~µν = ∂µ A (4.194) ~ ν = Âν + X ~ ν, A (4.195) dimana [12] ~ µ = µ + X ~ µ. A Jika (4.274) disubstitusi ke (4.289), diperoleh ~ ν − ∂ν A ~ µ + gA ~µ × A ~ν F~µν = ∂µ A ~ ν ) − ∂ν (µ + X ~ µ ) + g(µ + X ~ µ ) × (Âν + X ~ ν) = ∂µ (Âν + X ~µ × X ~ν ~ ν − ∂ν µ − ∂ν X ~ µ + g µ × Âν + g µ × X ~ ν + gX ~ × Â +g X = ∂µ Âν + ∂µ X | µ{z }ν ~µ =−g Âν ×X ~ + g Â × X ~ ν −∂ν X ~ µ − g Âν × X ~ µ +g X ~µ × X ~ν = ∂µ Âν − ∂ν µ + g µ × Âν + ∂µ X | {z } | ν {z µ }| {z } ~ν =D̂µ X =F̂µν ~µ =−D̂ν X ~ ν − D̂ν X ~ µ + gX ~µ × X ~ν = F̂µν + D̂µ X (4.196) dimana D̂µ = ∂µ + g µ ×, D̂ν = ∂ν + g Âν × . (4.197) Dari (4.275) diperoleh F̂µν = ∂µ Âν − ∂ν µ + g µ × Âν (4.198) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 166 ~ µ [34], eq.(3): Proyeksi Abelian dari koneksi penuh A ~ µ → µ = Aµ n̂ − 1 n̂ × ∂µ n̂. A g (4.199) Analogi dengan (4.278), diperoleh ~ ν → Âν = Aν n̂ − 1 n̂ × ∂ν n̂. A g (4.200) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 167 Substitusi (4.278), (4.279) ke (4.277) diperoleh F̂µν = ∂µ Âν − ∂ν µ + g µ × Âν 1 1 = ∂µ (Aν n̂ − n̂ × ∂ν n̂) − ∂ν (Aµ n̂ − n̂ × ∂µ n̂) g g     1 1 + g Aµ n̂ − n̂ × ∂µ n̂ × Aν n̂ − n̂ × ∂ν n̂ g g     1 1 = ∂µ (Aν n̂) − ∂µ n̂ × ∂ν n̂ − ∂ν (Aµ n̂) + ∂ν n̂ × ∂µ n̂ g g      1 1 + g (Aµ n̂) × (Aν n̂) − (Aµ n̂) × n̂ × ∂ν n̂ − n̂ × ∂µ n̂ × (Aν n̂) g g     1 1 + n̂ × ∂µ n̂ × n̂ × ∂µ n̂ g g     1 1 = ∂µ (Aν n̂) − ∂ν (Aµ n̂) − ∂µ n̂ × ∂ν n̂ + ∂ν n̂ × ∂µ n̂ g g      1 1 n̂ × ∂ν n̂ − n̂ × ∂µ n̂ × (Aν n̂) + g (Aµ n̂) × (Aν n̂) − (Aµ n̂) × g g     1 1 n̂ × ∂µ n̂ × n̂ × ∂µ n̂ + g g     1 1 = (∂µ Aν )n̂ + Aν (∂µ n̂) − [(∂ν Aµ )n̂ + Aµ (∂ν n̂)] − ∂µ n̂ × ∂ν n̂ + ∂ν n̂ × ∂µ n̂ g g      1 1 + g (Aµ n̂) × (Aν n̂) − (Aµ n̂) × n̂ × ∂ν n̂ − n̂ × ∂µ n̂ × (Aν n̂) g g     1 1 + n̂ × ∂µ n̂ × n̂ × ∂µ n̂ g g     1 1 = (∂µ Aν )n̂ + Aν (∂µ n̂) − (∂ν Aµ )n̂ − Aµ (∂ν n̂) − ∂µ n̂ × ∂ν n̂ + ∂ν n̂ × ∂µ n̂ g g      1 1 + g (Aµ n̂) × (Aν n̂) − (Aµ n̂) × n̂ × ∂ν n̂ − n̂ × ∂µ n̂ × (Aν n̂) g g     1 1 + n̂ × ∂µ n̂ × n̂ × ∂µ n̂ g g     1 1 = (∂µ Aν )n̂ − (∂ν Aµ )n̂ + Aν (∂µ n̂) − Aµ (∂ν n̂) − ∂µ n̂ × ∂ν n̂ + ∂ν n̂ × ∂µ n̂ g g      1 1 + g (Aµ n̂) × (Aν n̂) − (Aµ n̂) × n̂ × ∂ν n̂ − n̂ × ∂µ n̂ × (Aν n̂) g g     1 1 + n̂ × ∂µ n̂ × n̂ × ∂µ n̂ . (4.201) g g BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 168 Cara kedua solusi adalah mensubstitusi (4.193) ke (4.192) F̂µν = (Fµν + Hµν )n̂    1 = (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) + − n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂) n̂ g   1 = (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) − n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂) n̂ g 1 = (∂µ Aν − ∂ν Aµ )n̂ − n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂)n̂ g 1 = (∂µ Aν )n̂ − (∂ν Aµ )n̂ − n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂)n̂ g (4.202) Suku pertama dan suku kedua di persamaan (4.280) dan (4.281) adalah sama. Masalah berikutnya adalah membuktikan bahwa     1 1 1 n̂ × ∂ν n̂ + ∂ν n̂ × ∂µ n̂ − n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂)n̂ = Aν (∂µ n̂) − Aµ (∂ν n̂) − ∂µ g g g      1 1 + g (Aµ n̂) × (Aν n̂) − (Aµ n̂) × n̂ × ∂ν n̂ − n̂ × ∂µ n̂ × (Aν n̂) g g     1 1 + n̂ × ∂µ n̂ × n̂ × ∂µ n̂ . (4.203) g g 4.26 Penguraian Abelian Buktikan bahwa 1 Cµ = ϕ̂1 . ∂µ ϕ̂2 g (4.204) ϕ̂ = ϕ̂1 × ϕ̂2 (4.205) Petunjuk: Substitusikan ke Hµν . Solusi: Kutip [42], hal.21, eq. (6.9) sebagai berikut. Untuk memahami arti fisis dekomposisi, ~ µ sebenarnya memiliki struktur ganda. Sesungperhatikan bahwa potensial terbatas B guhnya, kuat medan yang terdiri dari potensial terbatas diurai sebagai B̂µν = F̂µν + Ĥµν = (Fµν + H̃µν )n̂ (4.206) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 169 Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , (4.207) 1 H̃µν = − n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂) g 1 = − Hµν g = ∂µ C̃ν − ∂ν C̃µ , (4.208) di mana C̃µ adalah potensial ”magnetik”. Perhatikan bahwa potensial magnetik dalam kromodinamika kuantum ini identik (hingga faktor normalisasi −1/g) dengan potensial magnetik Cµ yang kita miliki dalam teori Skyrme. Dalam [43], p.10, eq. (80): Hµν = −n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂) = ∂µ C̃ν − ∂ν C̃µ , (4.209) C̃µ = −n̂1 .∂µ n̂2 . (4.210) n̂ = n̂1 × n̂2 (4.211) Substitusikan BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 170 ke dalam (4.209), diperoleh Hµν = −[n̂1 × n̂2 ].(∂µ [n̂1 × n̂2 ] × ∂ν [n̂1 × n̂2 ]) = −[n̂1 × n̂2 ].([∂µ n̂1 ] × n̂2 + n̂1 × [∂µ n̂2 ]) × ([∂ν n̂1 ] × n̂2 + n̂1 × [∂ν n̂2 ]) = −[n̂1 × n̂2 ]. {([∂µ n̂1 ] × n̂2 ) × ([∂ν n̂1 ] × n̂2 + n̂1 × [∂ν n̂2 ]) + (n̂1 × [∂µ n̂2 ]) ×([∂ν n̂1 ] × n̂2 + n̂1 × [∂ν n̂2 ])} = −[n̂1 × n̂2 ]. {[∂µ n̂1 ] × n̂2 × [∂ν n̂1 ] × n̂2 + [∂µ n̂1 ] × n̂2 × n̂1 × [∂ν n̂2 ] +n̂1 × [∂µ n̂2 ] × [∂ν n̂1 ] × n̂2 + n̂1 [∂µ n̂2 ] × n̂1 × [∂ν n̂2 ]} = −n̂3 . {[∂µ n̂1 ] × n̂2 × (−1)n̂2 × [∂ν n̂1 ] + [∂µ n̂1 ] × n̂2 × n̂1 × [∂ν n̂2 ] +n̂1 × [∂µ n̂2 ] × [∂ν n̂1 ] × n̂2 + (−1)[∂µ n̂2 ] × n̂1 × n̂1 × [∂ν n̂2 ]}   = −n̂3 . −[∂µ n̂1 ] × n̂2 × n̂2 ×[∂ν n̂1 ] + [∂µ n̂1 ] × n̂2 × n̂1 ×[∂ν n̂2 ] | {z } | {z }  =0 −n̂3   +n̂1 × [∂µ n̂2 ] × [∂ν n̂1 ] × n̂2 − [∂µ n̂2 ] × n̂1 × n̂1 ×[∂ν n̂2 ] | {z }  =0 = −n̂3 . {−[∂µ n̂1 ] × n̂3 × [∂ν n̂2 ] + n̂1 × [∂µ n̂2 ] × [∂ν n̂1 ] × n̂2 } = −n̂3 . {−[∂µ n̂1 ] × n̂3 × [∂ν n̂2 ] + (−1)[∂µ n̂2 ] × n̂1 × (−1)n̂2 × [∂ν n̂1 ]}     = −n̂3 . −[∂µ n̂1 ] × n̂3 × [∂ν n̂2 ] + [∂µ n̂2 ] × n̂1 × n̂2 ×[∂ν n̂1 ] | {z }   n̂3 = −n̂3 . {−[∂µ n̂1 ] × n̂3 × [∂ν n̂2 ] + [∂µ n̂2 ] × n̂3 × [∂ν n̂1 ]} = −n̂3 . {−(−1)n̂3 × [∂µ n̂1 ] × [∂ν n̂2 ] + (−1)n̂3 × [∂µ n̂2 ] × [∂ν n̂1 ]} = −n̂3 . {n̂3 × [∂µ n̂1 ] × [∂ν n̂2 ] − n̂3 × [∂µ n̂2 ] × [∂ν n̂1 ]} = −n̂3 .n̂3 × [∂µ n̂1 ] × [∂ν n̂2 ] + n̂3 .n̂3 × [∂µ n̂2 ] × [∂ν n̂1 ] = −(1) × (∂µ n̂1 ) × (∂ν n̂2 ) + (1) × (∂µ n̂2 ) × (∂ν n̂1 ) = (∂µ n̂2 ) × (∂ν n̂1 ) − (∂µ n̂1 ) × (∂ν n̂2 ) (4.212) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 171 Pada sisi lain, Hµν = ∂µ C̃ν − ∂ν C̃µ = ∂µ [−n̂1 .∂ν n̂2 ] − ∂ν [−n̂1 .∂µ n̂2 ] = −∂µ [n̂1 .∂ν n̂2 ] + ∂ν [n̂1 .∂µ n̂2 ] = −[(∂µ n̂1 ).∂ν n̂2 + n̂1 .∂µ (∂ν n̂2 )] + [(∂ν n̂1 ).∂µ n̂2 + n̂1 .∂ν (∂µ n̂2 )] = −(∂µ n̂1 ).∂ν n̂2 − n̂1 .∂µ (∂ν n̂2 ) + (∂ν n̂1 ).∂µ n̂2 + n̂1 .∂ν (∂µ n̂2 ) = (∂ν n̂1 ).∂µ n̂2 − (∂µ n̂1 ).∂ν n̂2 − n̂1 .∂µ (∂ν n̂2 ) + n̂1 .∂ν (∂µ n̂2 ) = (∂ν n̂1 ).∂µ n̂2 − (∂µ n̂1 ).∂ν n̂2 − n̂1 .∂µ (∂ν n̂2 ) + n̂1 .∂µ (∂ν n̂2 ) = (∂ν n̂1 ).∂µ n̂2 − (∂µ n̂1 ).∂ν n̂2 = (∂µ n̂2 ).(∂ν n̂1 ) − (∂µ n̂1 ).(∂ν n̂2 ) (4.213) Jika kita membandingkan keduanya, mereka berbeda, yakni satu adalah perkalian silang dan yang lain adalah perkalian titik. Sehingga, masih ada hubungan yang belum diketahui, jika keduanya mesti sama. 4.27 Penguraian Abelian Buktikan bahwa Dµ n̂i = 0 (4.214) dimana, Dµ adalah SU (2) turunan kovarian, n̂i (i = 1, 2, 3) isotriplet ortonormal yang membentuk basis tangan-kanan (right handed basis) (n̂1 × n̂2 = n̂3 ) [35]. Solusi: Asumsikan kita memiliki [36], eq.(5), p.1082 [n, ξi ] = 0, (i = 1, 2, ..., n) (4.215) dan Ln gAB = 0 (4.216) dimana ξi medan vektor Killing, n adalah medan vektor, Ln turunan Lie sepanjang arah n. BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 172 Karena n diasumsikan sebagai internal, kita dapat menulis n = ni ξi (4.217) Kondisi (4.263) memberitahu kita bahwa n̂ multiplet, terdiri dari ni komponen   1 n   2 n       n̂ =  (4.218) .     .   nn harus membentuk representasi adjoin dari grup. Sesungguhnya, kondisi (4.216) dapat ditulis sebagai ni (fij l φkl + fik l φjl ) = 0 (4.219) ~ µ × n̂ = 0 Dµ n̂ = ∂µ n̂ + g B (4.220) dan [36], [40] ~ µ adalah potensial tera dari grup G dan g adalah konstanta gandeng (coupling dimana B constant). Kondisi (4.220) menyiratkan, diantara yang lain, n̂ harus memiliki panjang konstan[36], n̂2 = const, (4.221) yakni kita dapat memilih sebagai satuan (unit) tanpa kehilangan bentuk umum. ~ µ , tinjau Untuk melihat bagaimana kondisi (4.220) membatasi potensial tera, B kasus ketika grup isometri adalah SU (2). Dalam kasus ini, kondisi tersebut dapat ~ µ [36], diselesaikan dengan tepat untuk B ~ µ = Aµ n̂ − 1 n̂ × ∂µ n̂, B g (4.222) ~ µ yang tak dibatasi oleh kondisi (4.220). dimana Aµ adalah komponen Abelian dari B BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 173 Mari kita kembali menyelesaikan persamaan (4.220) dengan mensubstitusi (4.222) ke (4.220), dan mengambil n̂ = 1 1 Dµ n̂ = ∂µ n̂ + g(Aµ n̂ − n̂ × ∂µ n̂) × n̂ g = ∂µ n̂ + gAµ n̂ × n̂ − n̂ × ∂µ n̂ × n̂ = ∂µ (1) +gAµ (1) × (1) − (1) × ∂µ (1) ×(1) | {z } | {z } =0 =0 = gAµ (4.223) Karena Aµ tak dibatasi oleh kondisi (4.220), kita dapat memilih Aµ sama dengan nol atau tak sama dengan nol. Jika kita memilih Aµ = 0 maka kita memperoleh Dµ n̂ = 0. 4.28 (4.224) Penguraian Abelian: Komutasi Buktikan bahwa [Dµ , Dν ] n̂i = g F~µν × n̂i = 0. (4.225) dimana F~µν tidak memiliki komponen n1 , n2 , n3 . Solusi: [Dµ , Dν ]n̂i = [Dµ Dν − Dν Dµ ]n̂i = Dµ Dν n̂i − Dν Dµ n̂i = Dµ (gAν ) − Dν (gAµ ) = (Dµ g) Aν + g(Dµ Aν ) − [(Dν g) Aµ + g(Dν Aµ )] | {z } | {z } =0 =0 = g(Dµ Aν ) − g(Dν Aµ ) = g(Dµ Aν − Dν Aµ ) (4.226) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 174 dimana ~ µ ×) Dµ = (∂µ + g B ~ ν ×) Dν = (∂ν + g B (4.227) dan g adalah konstanta gandeng. Substitusikan persamaan (4.249) ke (4.248) diperoleh [Dµ , Dν ]n̂i = g(Dµ Aν − Dν Aµ ) ~ µ ×)Aν − (∂ν + g B ~ ν ×)Aµ ] = g[(∂µ + g B (4.228) Karena Aµ (juga Aν ) tidak dibatasi oleh kondisi (4.220), kita dapat memilih Aµ dan Aν sama dengan nol dan tak sama dengan nol. Jika kita memilih Aµ = 0 dan Aν = 0 dan substitusikan mereka ke (4.250), diperoleh [Dµ , Dν ]n̂i = 0. (4.229) Dengan jelas, kondisi ini (4.289) menetapkan pembatasan yang kuat pada potensial tera dan kuat medan terkait. Sesungguhnya, konstrain (4.289) menyiratkan hilangnya kuat medan [35], p.4. 4.29 Dualitas Tinjau 1 Hµν = − ϕ̂.(∂µ ϕ̂ × ∂ν ϕ̂) g (4.230) Hµν = ∂µ Cν − ∂ν Cµ (4.231) dimana 1 Cν = ϕ̂1 .∂ν ϕ̂2 , g 1 Cµ = ϕ̂1 .∂µ ϕ̂2 g (4.232) 1 − ϕ̂.(∂µ ϕ̂ × ∂ν ϕ̂) = ∂µ Cν − ∂ν Cµ g (4.233) ϕ̂ = ϕ̂1 × ϕ̂2 (4.234) Buktikan bahwa Petunjuk: BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 175 Solusi: Buktikan pertama-tama (4.257) Hµν = ∂µ Cν − ∂ν Cµ (4.235) dimana [40] Cν = Cν3 Cµ = Cµ3 (4.236) dan [40], eq.(12) Cµa = − 1 a  (n̂b . ∂µ n̂c ). 2g bc (4.237) 1 3  (n̂b . ∂µ n̂c ). 2g bc (4.238) Apakah bc a simbol Levi-Civita? Jika kita mengambil a = 3, maka Cµ3 = − Apakah ini bermakna bahwa, kita dapat juga mengambil b = 1 and c = 2? Jika kita memasukkan b = 1 dan c = 2 ke dalam (4.238), maka kita memperoleh 1 3  (n̂1 . ∂µ n̂2 ) 2g 12 1 = − (1)(n̂1 . ∂µ n̂2 ) 2g 1 = − (n̂1 . ∂µ n̂2 ) 2g Cµ3 = − (4.239) dan 1 3  (n̂1 . ∂ν n̂2 ) 2g 12 1 = − (1)(n̂1 . ∂ν n̂2 ) 2g 1 = − (n̂1 . ∂ν n̂2 ) 2g Cν3 = − (4.240) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 176 Substitusikan (4.240), (4.239) ke dalam (4.261) Hµν = ∂µ Cν − ∂ν Cµ     1 1 = ∂µ − (n̂1 . ∂ν n̂2 ) − ∂ν − (n̂1 . ∂µ n̂2 ) 2g 2g 1 1 = ∂ν (n̂1 . ∂µ n̂2 ) − ∂µ (n̂1 . ∂ν n̂2 ) 2g 2g 1 = [∂ν (n̂1 . ∂µ n̂2 ) − ∂µ (n̂1 . ∂ν n̂2 )] 2g (4.241) Sekarang, buktikan (4.275) dengan ϕ̂ = n̂ 1 Hµν = − n̂ . (∂µ n̂ × ∂ν n̂) g (4.242) n̂ = n̂3 = n̂1 × n̂2 . (4.243) dimana [40], [12] Substitusikan (4.243) ke dalam (4.242) 1 Hµν = − n̂ . (∂µ n̂ × ∂ν n̂) g 1 = − n̂1 × n̂2 . (∂µ [n̂1 × n̂2 ] × ∂ν [n̂1 × n̂2 ]) g (4.244) Tahap berikutnya, buktikan bahwa (4.241) adalah sama sebagaimana (4.244) 1 1 [∂ν (n̂1 . ∂µ n̂2 ) − ∂µ (n̂1 . ∂ν n̂2 )] = − n̂1 × n̂2 . (∂µ [n̂1 × n̂2 ] × ∂ν [n̂1 × n̂(4.245) 2 ]) 2g g atau ∂ν (n̂1 . ∂µ n̂2 ) − ∂µ (n̂1 . ∂ν n̂2 ) = −2n̂1 × n̂2 . ∂µ (n̂1 × n̂2 ) × ∂ν (n̂1 × n̂2 )(4.246) 4.30 Dualitas Buktikan bahwa [12] ∂ µ H̃µν = 0 (4.247) 1 H̃µν = µνρσ Hρσ . 2 (4.248) dimana [12] BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 177 Solusi: Tinjau [40] 1 Hρσ = − n̂ . (∂ρ n̂ × ∂σ n̂). g (4.249) Di sini, n̂ adalah medan vektor satuan isotriplet (isotriplet unit vector field ) yang memilih arah ”Abelian” (yaitu arah muatan ”warna”) di setiap titik ruang-waktu [40]. Medan vektor satuan isotriplet ini, n̂, mengurai koneksi ke dalam potensial terbatas ~µ (disebut proyeksi Abelian) µ yang menghasilkan n̂ invarian dan potensial valensi X yang membentuk medan vektor kovarian [40], di mana n̂2 = 1 −→ n̂ = ±1. Substitusikan (4.249) ke dalam (4.248), diperoleh   1 1 ρσ − n̂ . (∂ρ n̂ × ∂σ n̂) . H̃µν = µν 2 g Substitusikan (4.251) ke dalam (4.274) dan ambil n̂ = 1, diperoleh    1 ρσ 1 µ µ  ∂ H̃µν = ∂ − n̂ . (∂ρ n̂ × ∂σ n̂) 2 µν g  1 µ = − ∂ µνρσ n̂ . (∂ρ n̂ × ∂σ n̂) 2g 1 µ  ρσ = − ∂ µν [1] . (∂ρ [1] × ∂σ [1]) 2g = 0 (4.250) (4.251) (4.252) karena ∂ρ [1] = 0 or ∂σ [1] = 0. (4.253) Persoalan (4.274) tampak serupa dengan [41], p.3. Sesungguhnya, dual Poincare (Poincare dual ) dari Hik Bi = 1 ikj Hkj 2 (4.254) tak berdivergensi (divergenceless) ∂i Bi = 0 dan dapat diambil sebagai deskripsi medan magnetik. (4.255) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 4.31 178 Potensial Monopol Buktikan bahwa 1 Cµ = r̂1 . ∂µ r̂2 g (4.256) 1 Cµ = r̂θ . ∂µ r̂ϕ g (4.257) dan Solusi: n̂ memegang peranan mendasar yang sudah ada dalam teori tera terbatas (restricted ~ µ , dan harus dilihat sepenuhnya terlepas dari X ~ µ [42]. gauge theory) jika tidak ada X Lagrangian (11) di [42] sesungguhnya memiliki dua derajat ekstra. Anggap kita menghapus n̂ seluruhnya dengan transformasi tera. Dalam kasus ini, n̂ menghilang, tetapi muncul kembali dalam bentuk yang berbeda sebagai potensial magnetik, jika (dan hanya jika) n̂ berisi singularitas topologi (topological singularities) yang mendefinisikan bilangan kuantum topologi π2 (S 2 ) [42]. Untuk menunjukkan ini, perkenalkan elemen matriks SU (2) dan parameterisasi hal tersebut dengan α, β, γ [42] S = exp(−t3 γ) exp(−t2 α) exp(−t3 β) (4.258) dimana ti adalah representasi adjoin (adjoint representation) dari pembangkit SU (2) dan misalkan n̂i = S −1 êi , (i = 1, 2, 3), ê1 = (1, 0, 0), ê2 = (0, 1, 0), ê3 = (0, 0, 1), n̂ = n̂3 = (sin α cos β, sin α sin β, cos α). (4.259) Maka dalam transformasi tera kita memiliki [42] n̂ → ê3 , µ → (Aµ + C̃µ )ê3 , F̂µν → (Fµν + Hµν )ê3 , (4.260) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 179 dimana 1 1 Cµ = (cos α ∂µ β + ∂µ γ) = − n̂1 . ∂µ n̂2 . g g (4.261) Ini menunjukkan bahwa, dalam tera magnetik ini di mana n̂ menghilang seluruhnya, ia digantikan oleh C̃µ yang menjelaskan dengan tepat potensial monopol Dirac di sekitar singularitas terisolasi dari n̂ [42]. Ini memberitahu bahwa n̂ menjelaskan derajat topologi, bukan derajat lokal (yaitu, dinamis), dari teori tera non-Abelian. Ini adalah Lagrangian (11) di [42] tidak memiliki persamaan gerak untuk n̂ [42]. 4.32 Penguraian Abelian Tinjau persamaan berikut 1 µ = Aµ n̂ − n̂ × ∂µ n̂ g (4.262) Hµν = ∂µ Ĉν − ∂ν Ĉµ + g Ĉµ × Ĉν (4.263) Aµ = −Cµ (4.264) 1 Ĉµ = − n̂ × ∂µ n̂ g (4.265) Buktikan bahwa Solusi: Merujuk ke (10) [35] Merujuk ke (8) [36]. Kutip [43], p.5. Perhatikan bahwa kita selalu dapat memperkenalkan potensial magnetik (setidaknya secara lokal), karena H mu nu membentuk bentuk-2 tertutup (a closed two-form) d ∂µ Hµν = 0, 1 d (Hµν = µνρσ Hρσ ). 2 (4.266) Ini memperkenankan kita untuk mengidentifikasi potensial magnetik non-Abelian dengan ~ µ = − 1 n̂ × ∂µ n̂, C g (4.267) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 180 Dalam hal kuat medan magnetik dinyatakan sebagai ~ µν = ∂µ C ~ ν − ∂ν C ~ µ + gC ~µ × C ~ν H ~µ × C ~ν = −g C 1 = − ∂µ n̂ × ∂ν n̂ g = Hµν n̂. (4.268) dimana Substitusikan Hµν 1 Hµν = − n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂) g ~ µν , kita memperoleh ke dalam H (4.269) ~ µν = Hµν n̂ H 1 = − n̂.(∂µ n̂ × ∂ν n̂)n̂ g 1 = − n̂.n̂(∂µ n̂ × ∂ν n̂), g 1 = − ∂µ n̂ × ∂ν n̂ g ~ µν Substitusikan Cµ dan Cν ke dalam H n̂.n̂ = n̂2 = 1 ~ µν = −g C ~µ × C ~ν H     1 1 = −g − n̂ × ∂µ n̂ × − n̂ × ∂ν n̂ g g 1 = − (n̂ × ∂µ n̂) × (n̂ × ∂ν n̂) g (4.270) (4.271) ~ µν = ∂µ C ~ ν − ∂ν C ~ µ + gC ~µ × C ~ν H         1 1 1 1 = ∂µ − n̂ × ∂ν n̂ − ∂ν − n̂ × ∂µ n̂ + g − n̂ × ∂µ n̂ × − n̂ × ∂ν n̂ g g g g 1 1 1 = − ∂µ (n̂ × ∂ν n̂) + ∂ν (n̂ × ∂µ n̂) + (n̂ × ∂µ n̂) × (n̂ × ∂ν n̂) g g g 1 1 1 = − (∂µ n̂ × ∂ν n̂ + n̂ × ∂µ [∂ν n̂]) + (∂ν n̂ × ∂µ n̂ + n̂ × ∂ν [∂µ n̂]) + (n̂ × ∂µ n̂) × (n̂ × ∂ν n̂) g g g 1 1 1 1 1 = − ∂µ n̂ × ∂ν n̂ − n̂ × ∂µ [∂ν n̂] + ∂ν n̂ × ∂µ n̂ + n̂ × ∂ν [∂µ n̂] + n̂ × ∂µ n̂ × n̂ × ∂ν n̂ g g g g g 1 1 1 1 1 = − ∂µ n̂ × ∂ν n̂ − n̂ × ∂µ [∂ν n̂] + n̂ × ∂µ [∂ν n̂] + ∂ν n̂ × ∂µ n̂ + n̂ × ∂µ n̂ × n̂ × ∂ν n̂ g g g g g 1 1 1 (4.272) = − ∂µ n̂ × ∂ν n̂ + ∂ν n̂ × ∂µ n̂ + n̂ × ∂µ n̂ × n̂ × ∂ν n̂. g g g ~ µν di atas adalah sama. Tahap berikutnya adalah membuktikan bahwa kedua H BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 4.33 181 Transpor Sejajar dari Potensial Valensi Buktikan bahwa [12] ~ ν − D̂ν X ~ µ = (∂µ Xν1 + gBµ Xν2 )n̂1 + (∂µ Xν2 − gBµ Xν1 )n̂2 − (µ ↔ ν)(4.273) D̂µ X dimana D̂µ = ∂µ + g µ × D̂ν = ∂ν + g Âν × (4.274) ~µ µ = Ω̂µ + B ~ µ = Bµ n̂ B (4.275) Solusi: ~ ν − D̂ν X ~ µ = (∂µ + g[Ω̂µ + Bµ n̂]×)X ~ ν − (∂ν + g[Ω̂ν + Bν n̂]×)X ~µ D̂µ X ~ ν + g[Ω̂µ + Bµ n̂] × X ~ ν − ∂ν X ~ µ − g[Ω̂ν + Bν n̂] × X ~µ = ∂µ X ~ ν + g Ω̂µ × X ~ ν + gBµ n̂ × X ~ ν − ∂ν X ~ µ − g Ω̂ν × X ~ µ − gBν n̂ × X ~µ = ∂µ X (4.276) dimana ~ ν = X 1 n̂1 + X 2 n̂2 X ν ν ~ µ = Xµ1 n̂1 + Xµ2 n̂2 . X (4.277) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 182 Substitusikan (4.277) ke dalam (4.276), diperoleh ~ ν − D̂ν X ~ µ = ∂µ X ~ ν + g Ω̂µ × X ~ ν + gBµ n̂ × X ~ ν − ∂ν X ~ µ − g Ω̂ν × X ~ µ − gBν n̂ × X ~µ D̂µ X = ∂µ (Xν1 n̂1 + Xν2 n̂2 ) + g Ω̂µ × (Xν1 n̂1 + Xν2 n̂2 ) + gBµ n̂ × (Xν1 n̂1 + Xν2 n̂2 ) − ∂ν (Xµ1 n̂1 + Xµ2 n̂2 ) − g Ω̂ν × (Xµ1 n̂1 + Xµ2 n̂2 ) − gBν n̂ × (Xµ1 n̂1 + Xµ2 n̂2 ) = ∂µ (Xν1 n̂1 ) + ∂µ (Xν2 n̂2 ) + g Ω̂µ × (Xν1 n̂1 ) + g Ω̂µ × (Xν2 n̂2 ) + gBµ n̂ × (Xν1 n̂1 ) + gBµ n̂ × (Xν2 n̂2 ) − ∂ν (Xµ1 n̂1 ) − ∂ν (Xµ2 n̂2 ) − g Ω̂ν × (Xµ1 n̂1 ) − g Ω̂ν × (Xµ2 n̂2 ) − gBν n̂ × (Xµ1 n̂1 ) − gBν n̂ × (Xµ2 n̂2 ) = (∂µ Xν1 ) n̂1 + Xν1 (∂µ n̂1 ) + (∂µ Xν2 ) n̂2 + Xν2 (∂µ n̂2 ) + g Ω̂µ × (Xν1 n̂1 ) +g Ω̂µ × (Xν2 n̂2 ) + gBµ n̂ × (Xν1 n̂1 ) + gBµ n̂ × (Xν2 n̂2 ) −(∂ν Xµ1 ) n̂1 − Xµ1 (∂ν n̂1 ) − (∂ν Xµ2 ) n̂2 − Xµ2 (∂ν n̂2 ) − g Ω̂ν × (Xµ1 n̂1 ) −g Ω̂ν × (Xµ2 n̂2 ) − gBν n̂ × (Xµ1 n̂1 ) − gBν n̂ × (Xµ2 n̂2 ) (4.278) dimana n̂ = n̂3 . (4.279) dan n̂1 , n̂2 , n̂3 adalah ortogonal. Substitusikan (4.279) ke dalam (4.278) ~ ν − D̂ν X ~ µ = (∂µ X 1 ) n̂1 + X 1 (∂µ n̂1 ) + (∂µ X 2 ) n̂2 + X 2 (∂µ n̂2 ) + g Ω̂µ × (X 1 n̂1 ) D̂µ X ν ν ν ν ν +g Ω̂µ × (Xν2 n̂2 ) + gBµ n̂3 × (Xν1 n̂1 ) + gBµ n̂3 × (Xν2 n̂2 ) −(∂ν Xµ1 ) n̂1 − Xµ1 (∂ν n̂1 ) − (∂ν Xµ2 ) n̂2 − Xµ2 (∂ν n̂2 ) − g Ω̂ν × (Xµ1 n̂1 ) −g Ω̂ν × (Xµ2 n̂2 ) − gBν n̂3 × (Xµ1 n̂1 ) − gBν n̂3 × (Xµ2 n̂2 ) = (∂µ Xν1 ) n̂1 + Xν1 (∂µ n̂1 ) + (∂µ Xν2 ) n̂2 + Xν2 (∂µ n̂2 ) + g Ω̂µ × (Xν1 n̂1 ) +g Ω̂µ × (Xν2 n̂2 ) + gBµ Xν1 (n̂3 × n̂1 ) + gBµ Xν2 (n̂3 × n̂2 ) −(∂ν Xµ1 ) n̂1 − Xµ1 (∂ν n̂1 ) − (∂ν Xµ2 ) n̂2 − Xµ2 (∂ν n̂2 ) − g Ω̂ν × (Xµ1 n̂1 ) −g Ω̂ν × (Xµ2 n̂2 ) − gBν Xµ1 (n̂3 × n̂1 ) − gBν Xµ2 (n̂3 × n̂2 ) (4.280) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 183 dimana n̂3 × n̂1 = −n̂2 n̂3 × n̂2 = n̂1 . (4.281) Substitusikan (4.281) ke dalam (4.280), diperoleh ~ ν − D̂ν X ~ µ = (∂µ Xν1 ) n̂1 + Xν1 (∂µ n̂1 ) + (∂µ Xν2 ) n̂2 + Xν2 (∂µ n̂2 ) + g Ω̂µ × (Xν1 n̂1 ) D̂µ X +g Ω̂µ × (Xν2 n̂2 ) + gBµ Xν1 (−n̂2 ) + gBµ Xν2 (n̂1 ) −(∂ν Xµ1 ) n̂1 − Xµ1 (∂ν n̂1 ) − (∂ν Xµ2 ) n̂2 − Xµ2 (∂ν n̂2 ) − g Ω̂ν × (Xµ1 n̂1 ) −g Ω̂ν × (Xµ2 n̂2 ) − gBν Xµ1 (−n̂2 ) − gBν Xµ2 (n̂1 ) = (∂µ Xν1 ) n̂1 + Xν1 (∂µ n̂1 ) + (∂µ Xν2 ) n̂2 + Xν2 (∂µ n̂2 ) + g Ω̂µ × (Xν1 n̂1 ) +g Ω̂µ × (Xν2 n̂2 ) − gBµ Xν1 n̂2 + gBµ Xν2 n̂1 −(∂ν Xµ1 ) n̂1 − Xµ1 (∂ν n̂1 ) − (∂ν Xµ2 ) n̂2 − Xµ2 (∂ν n̂2 ) − g Ω̂ν × (Xµ1 n̂1 ) −g Ω̂ν × (Xµ2 n̂2 ) + gBν Xµ1 n̂2 − gBν Xµ2 n̂1 = (∂µ Xν1 ) n̂1 + Xν1 (∂µ n̂1 ) + (∂µ Xν2 ) n̂2 + Xν2 (∂µ n̂2 ) + gXν1 (Ω̂µ × n̂1 ) +gXν2 (Ω̂µ × n̂2 ) − gBµ Xν1 n̂2 + gBµ Xν2 n̂1 −(∂ν Xµ1 ) n̂1 − Xµ1 (∂ν n̂1 ) − (∂ν Xµ2 ) n̂2 − Xµ2 (∂ν n̂2 ) − gXµ1 (Ω̂ν × n̂1 ) −gXµ2 (Ω̂ν × n̂2 ) + gBν Xµ1 n̂2 − gBν Xµ2 n̂1 = (∂µ Xν1 ) n̂1 + gBµ Xν2 n̂1 + (∂µ Xν2 ) n̂2 − gBµ Xν1 n̂2 −(∂ν Xµ1 ) n̂1 − gBν Xµ2 n̂1 − (∂ν Xµ2 ) n̂2 + gBν Xµ1 n̂2 +Xν2 (∂µ n̂2 ) − Xµ2 (∂ν n̂2 ) + gXν1 (Ω̂µ × n̂1 ) − gXµ1 (Ω̂ν × n̂1 ) +Xν1 (∂µ n̂1 ) − Xµ1 (∂ν n̂1 ) + gXν2 (Ω̂µ × n̂2 ) − gXµ2 (Ω̂ν × n̂2 ) = (∂µ Xν1 + gBµ Xν2 ) n̂1 + (∂µ Xν2 − gBµ Xν1 ) n̂2 −(∂ν Xµ1 + gBν Xµ2 ) n̂1 − (∂ν Xµ2 − gBν Xµ1 ) n̂2 +Xν2 (∂µ n̂2 ) − Xµ2 (∂ν n̂2 ) + gXν1 (Ω̂µ × n̂1 ) − gXµ1 (Ω̂ν × n̂1 ) +Xν1 (∂µ n̂1 ) − Xµ1 (∂ν n̂1 ) + gXν2 (Ω̂µ × n̂2 ) − gXµ2 (Ω̂ν × n̂2 ). (4.282) BAB 4. SOAL DAN SOLUSI 184 Hubungan berguna: ∂µ (n̂1 .n̂1 ) = (∂µ n̂1 ).nˆ1 + n̂1 .(∂µ n̂1 ) = 2n̂1 .∂µ n̂1 . (4.283) Jika kita mengambil ei , ej sama dengan ni , nj yakni vektor-vektor basis, dimana i, j = 1, 2, 3, maka êi .êj = δij (4.284) n̂1 .nˆ1 = δ11 = 1 (4.285) 1 1 n̂1 .(∂µ n̂1 ) = ∂µ (n̂1 .nˆ1 ) = ∂µ (1) = 0 2 2 (4.286) ∂µ n̂1 = 0/n̂1 = 0, ∂µ n̂2 = 0, ∂ν n̂1 = 0, ∂ν n̂2 = 0. (4.287) Substitusikan (4.287) ke dalam (4.282) ~ ν − D̂ν X ~ µ = (∂µ X 1 + gBµ X 2 ) n̂1 + (∂µ X 2 − gBµ X 1 ) n̂2 D̂µ X ν ν ν ν −(∂ν Xµ1 + gBν Xµ2 ) n̂1 − (∂ν Xµ2 − gBν Xµ1 ) n̂2 +gXν1 (Ω̂µ × n̂1 ) − gXµ1 (Ω̂ν × n̂1 ) +gXν2 (Ω̂µ × n̂2 ) − gXµ2 (Ω̂ν × n̂2 ). (4.288) Buktikan bahwa [12] ~ ν − D̂ν X ~ µ = (∂µ Xν1 + gBµ Xν2 )n̂1 + (∂µ Xν2 − gBµ Xν1 )n̂2 − (µ ↔ ν) D̂µ X    ∂µ gBµ X1   ν =  (4.289) −gBµ ∂µ Xµ2 Ucapan Terima Kasih Terima kasih kepada Profesor Yongmin Cho atas kuliahkuliah yang menginspirasi, bersemangat, kebaikan hati yang luar biasa dan panduan riset yang cemerlang. Terima kasih kepada UNIST yang telah memberi saya kesempatan dan beasiswa studi PhD. Terima kasih setulusnya kepada keluarga tercinta, kolega dan kawan-kawan terbaik atas semua doa, dukungan dan kebaikan hati. Jzkllah khair. Puji syukur kepada-Mu ya Rabb penguasa langit dan bumi atas semua limpahan karunia tak hingga .. . Bibliografi [1] Wikipedia, Field, https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics) (15 Dec. 2020). [2] Wikipedia, Field theory, https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics) (16 Dec. 2020). [3] Wikipedia, Degrees of freedom (physics and chemistry) https://en.wikipedia.org/wiki/Degrees_of_freedom_(physics_and_ chemistry) (16 Dec. 2020). [4] Wikipedia, Teori medan klasik, https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_ field_theory (16 Dec. 2020). [5] Wikipedia, Quantum field theory, https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_ field_theory (16 Dec. 2020). [6] Lewis H. Ryder, Quantum Field Theory, 2nd ed., Cambridge University Press, 2001. [7] Wikipedia, Divergence Theorem, http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss theorem. [8] Ashok Das, Lectures on Quantum Field Theory, World Scientific, 2008. [9] W. Greiner, Classical Mechanics of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003. [10] Mark Srednicki, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, 2007. [11] W. Greiner, J. Reinhardt, Quantum Electrodynamics, Springer, 2009. 185 BIBLIOGRAFI 186 [12] Y.M. Cho, P.M. Zhang, Topological Objects in Two-Gap Superconductor, Eur. Phys. J. B 65, 155-178 (2008) [13] Wikipedia, Vortex, http://en.wikipedia.org/wiki/Vortices. [14] David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3nd ed., Pearson, 2008. [15] Wikipedia, Spherical Coordinate System, http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical coordinate system. [16] Wikipedia, Integrals of Trigonometric Functions, ht- tp://en.wikipedia.org/wiki/List of integrals of trigonometric functions. [17] Wikipedia, Trigonometric Functions, http://en.wikipedia.org/wiki/Cosinus. [18] Wikipedia, Unit Vector, http://en.wikipedia.org/wiki/Unit vector. [19] L. Marchildon, Quantum Mechanics: From Basic Principles to Numerical Methods and Applications, Springer, 2002. [20] Proof of the Jacobi Identity in Classical Mechanics. [21] Wikipedia, Adjoint Representation, http://www.mathematics.thetangentbundle.net/wiki/Lie algebra/adjoint representation. [22] L. Marchildon, Quantum Mechanics: From Basic Principles to Numerical Methods and Applications, Springer, 2002. [23] Proof of the Jacobi Identity in Classical Mechanics. [24] Yongmin Cho, Class Meeting. [25] Ashok Das, Lectures on Quantum Field Theory, World Scientific. [26] Wikipedia, Taylor Series. [27] Pierre Ramon, Field Theory A Modern Primer, The Benjamin/Cummings Publishing Company, 1981. BIBLIOGRAFI 187 [28] Yongmin Cho, D.G. Park, Stable Monopole-Antimonopole String Background in SU(2) QCD, Physics Letter B 632 (2006) 745-751. [29] Kimball A. Milton, Theoretical and Experimental Status of Magnetic Monopoles, Review Article. [30] Tai Tsun Wu, Chen Ning Yang, Concept of Nonintegrable Phase Factors and Global Formulation of Gauge Fields, Physical Review D, Volume 12, Number 12, 1975, 3845-3857. [31] Alfred Actor, Classical Solutions of SU(2) Yang-Mills Theories, Review of Modern Physics, Vol.51, No.3, July 1979. [32] Tai Tsun Wu, Chen Ning Yang, Some Solutions, Classical Isotopic Gauge Field Equations, in Properties of Matter Under Unusual Conditions, edited by H. Mark and S. Fernbach (Interscience, New York), 1968. [33] Tai Tsun Wu, Chen Ning Yang, Fibre Bundles and the Physics of the Magnetic Monopole, Talk given at the Chern Symposium, June 1979, Berkeley, Calif. [34] Yongmin Cho, Abelian Dominance in Wilson Loops, Physical Review D, Volume 62, 074009 (2000). [35] Yongmin Cho, Vacuum Tunneling in Gravity, arXiv.1001.4925v2 [hep-th] 5 Oct 2010. [36] Yongmin Cho, Restricted Gauge Theory, Physical Review D, Volume 21, Number 4 (1980) 1080-1088. [37] Yongmin Cho, Knot Topology of Classical QCD Vacuum, Physics Letters B 644 (2007) 208-211. [38] Yongmin Cho, New Interpretation of Skyrme Theory, arXiv.hep-th/0404181v3 10 Mar 2006. BIBLIOGRAFI 188 [39] Yongmin Cho, Abelian Decomposition of Einstein’s Theory: Reformulation of General Relativity, arXiv.hep-th/0702200v3 4 Jul 2008. [40] Yongmin Cho, Monopole Condensation in SU(2) QCD, Physical Review D, Volume 65, 074027, 2002. [41] L.D. Faddeev, Knots as Possible Excitations of the Quantum Yang-Mills Fields, arXiv:0805.1624v1 [hep-th] 12 May 2008. [42] W.S. Bae, Y.M. Cho, S.W. Kimm, Extended QCD versus Skyrme-Faddeev Theory, Physical Review D, Volume 65, 025005, 2001. [43] Y.M. Cho, Sang-Woo Kim, J.H. Kim, Abelian Decomposition of Einstein’s Theory: Reformulation of General Relativity, arXiv:hep-th/0702200v3 4 Jul 2008. [44] Chen Ning Yang, Topology and Gauge Theory in Physics, International Journal of Modern Physics A, Vol. 27, No. 30 (2012) 123003. [45] M. Hadi, Lecture Notes on Fundamental Theoretical Physics, unpublished. [46] Seung Hun Oh, Private Discussion. [47] Hans Jacobus Wospakrik, Private Discussion. [48] Wikipedia, Tensor. Diakses pada 2 Maret 2021. [49] Murray H. Spiegel, Analisis Vektor, Erlangga, 1987.