Mètodes quantitatius per l'anàlisi econòmica

25 Eina-e Mètodes quantitatius per l’anàlisi econòmica José Manuel Giménez-Gómez Cori Vilella Pròleg Pròleg Pròleg Aquesta Aquestapublicació publicacióestà estàdirigida dirigidaals alsestudiants estudiantsdedesegon segoncurs cursdel delgrau grau d’Economia uantitatius per d’Economiaenenl’assignatura l’assignaturadedeMètodes Mètodes uantitatius peraal’anàlisi l’anàlisi Aquesta publicació està dirigida als es econòmica. uns que puguin econòmica.L’objectiu L’objectiuprincipal principalésésoferir oferir unsapunts apuntsen que puguinajudar ajudar d’Economia l’assignatura de Mètod l’alumne enencompte que tracta l’alumneaaseguir seguirmillor millorl’assignatura, l’assignatura,tenint tenint compte queesesprincipal tractad’una d’una econòmica. L’objectiu és ofe assignatura dedecomplementar amb assignaturapresencial presenciali,i,per pertant, tant,s’han s’hanl’alumne complementar ambles les a seguir millor l’assignatura, explicacions Amb explicacionsdel delprofessor professoraaclasse classei iels elsexercicis exercicisdedel’assignatura. l’assignatura. Amb assignatura presencial i, per tant, s’ha aquest principals. En lloc, aquestmaterial materialvoldrı́em voldrı́emcobrir cobrirdos dosobjectius objectius principals. Enprimer primer lloc, i els explicacions del professor a classe permetre prèviament elelcobrir que permetreals alsestudiants estudiantsvenir veniraaclasse classehavent havent llegit prèviament que dos ob aquestllegit material voldrı́em s’explicarà millor explicacions. s’explicaràcada cadadia diai,i,aixı́, aixı́,poder poderseguir seguirpermetre millorles lesals explicacions. Ensegon segon estudiants En venir a classe lloc, lalaclasse per escoltar elelsegu lloc,donar donarmés méstemps tempsals alsalumnes alumnesdurant durant classe perpoder poder escoltar s’explicarà cada dia i, aixı́, poder professor les que donen aalala dur professori iampliar ampliaraquests aquestsapunts apuntsamb amblloc, lesexplicacions explicacions queesesals donen donar més temps alumnes classe, classe,altres altresexemples exemplesi iexercicis. exercicis. professor i ampliar aquests apunts amb Esperem els indicats ser Esperemque queaquest aquestmaterial materialcompleixi compleixiclasse, elsobjectius objectius indicatsi ipugui pugui ser altres exemples exercicis. útil útilals alsnostres nostresalumnes. alumnes. Esperem que aquest material compleix José-Manuel José-ManuelGiménez-Gómez Giménez-Gómezi iCori CoriVilella Vilella Bach útil Bach als nostres alumnes. José-Manuel Giménez-Gómez i Cori V Giménez-Gómez i Vilella Giménez-Gómez i Vilella(URV) (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 22 // 251 251 Índex Tema 1: Funció composta, implı́cita i homogènia 1.1. Derivació de la funció composta 1.2. Derivació de funcions implı́cites 1.3. Funcions homogènies Tema 2: Equacions diferencials ordinàries. 2.1. Concepte d’equació diferencial 2.2. Existència de solució 2.3. Resolució d’equacions diferencials Tema 3: Mètodes matemàtics per a la presa de decisions socials 3.1. Problemes de decisió col·lectiva 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 3 / 251 Tema 1 Funció composta, implı́cita i homogènia Tema 1: Funció composta, implı́cita i homogènia Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 4 / 251 1.1. Derivació de la funció composta Funció composta i regla de la cadena Observació: Recordem que si f , g : R → R són derivables, llavors la funció h = g ◦ f := g (f (x)) també és derivable i: h0 (x) = g 0 (f (x)) f 0 (x) Suposem ara que tenim z = f (x, y ) i x = x(t), y = y (t). O el que és el mateix, z(t) = f (x(t), y (t)). Per calcular zt (la derivada de z respecte de t) farem el següent exercici:
zt = fx (x, y )x 0 (t) + fy (x, y )y 0 (t) x = x(t) y = y (t) Exemple: f (x, y ) = e x+y , x(t) = t 2 − 1 i y (t) = e t . Llavors
zt = z 0 (t) = e x+y 2t + e x+y e t x = t2 − 1 y = et Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 5 / 251 1.1. Derivació de la funció composta Funció composta i regla de la cadena Observació: Suposem ara que tenim z = f (x, y ) i x = x(t, s), y = y (t, s). O el que és el mateix z(t, s) = f (x(t, s), y (t, s)). Per calcular zt i zs (les derivades de z respecte de t i s, respectivament), farem el següent exercici: zt = (fx (x, y )xt (t, s) + fy (x, y )yt (t, s)) zs = (fx (x, y )xs (t, s) + fy (x, y )ys (t, s)) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica x = x(t, s) y = y (t, s) x = x(t, s) y = y (t, s) 6 / 251 1.1. Derivació de la funció composta La matriu Jacobiana Definició: Si f : D ⊂ Rn → Rm (atenció ara tenim una funció amb diferents components!) és una funció diferenciable (existeixen les derivades parcials i totes són contı́nues), la matriu Jacobiana de f en x0 ∈ D es denota Jf (x0 ) i és la matriu:   Jf (x0 ) =  ∂f1 ∂x1 (x0 ) ··· .. . .. . ∂fm ∂x1 (x0 ) · · · ∂f1 ∂xn (x0 )   ..  . ∂fm ∂xn (x0 ) Exemple: f (x, y ) = (x + y 2 , e x−y ) i x0 = (1, 1). Llavors:     1 2y 1 2 Jf (x0 ) = = e x−y −e x−y |x=(1,1) 1 −1 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 7 / 251 1.1. Derivació de la funció composta La matriu Jacobiana Teorema: Donades f : D ⊂ Rn 7→ Rm i g : A ⊃ f (D) ⊂ Rm 7→ Rk diferenciables, si h = g ◦ f , llavors: Jh(x) = Jg (f (x)) Jf (x) Exemple: Donades f (x, y ) = (xy , e xy ), g (x, y ) = x 2 + y 2 i h(x, y ) = g (f (x, y )), llavors: Jh(1, 1) = Jg (f (1, 1)) Jf (1, 1) = 2x 2y
 |(1,e) y ye xy x xe xy  |(1,1) Si substituı̈m s’obté: Jh(1, 1) = Giménez-Gómez i Vilella (URV) 2 + 2e 2 2 + 2e 2 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica
8 / 251 1.1. Derivació de la funció composta Derivades d’ordre superior Observació: Les derivades parcials d’una funció z = f (x, y ) són també funcions de dues variables, per tant té sentit tornar a derivar parcialment: fx (x, y ) fy (x, y ) −→ −→ fxx (x, y ) i fxy (x, y ) fyx (x, y ) i fyy (x, y ) I aixı́ successivament. Observació: La notació fxxx significa derivar fxx respecte de x, mentre que fxxy significa derivar fxx respecte de y , etc. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 9 / 251 1.1. Derivació de la funció composta Derivades d’ordre superior Exemple: Si f (x, y ) = sin(xy ) + e xy , sabem que: fx (x, y ) = y cos(xy ) + ye xy fy (x, y ) = x cos(xy ) + xe xy Per tant: fxx (x, y ) = −y 2 sin(xy ) + y 2 e xy fxy (x, y ) = cos(xy ) − xy sin(xy ) + e xy + xye xy fyx (x, y ) = cos(xy ) − xy sin(xy ) + e xy + xye xy fyy (x, y ) = −x 2 sin(xy ) + x 2 e xy Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 10 / 251 1.1. Derivació de la funció composta Teorema de Schwarz Teorema: Si f : D ⊂ R2 → R, suposem que f admet derivades parcials segones i que aquestes són funcions contı́nues. Llavors: fxy (x, y ) = fyx (x, y ) ∀ (x, y ) ∈ D Observació: De la mateixa manera si la funció f és suficientment regular, tenim que fxyx = fxxy , o (en el cas de tres variables) fxzyz = fxyzz , etc. No importa l’ordre de derivació sinó el nombre de vegades que derivem respecte de cada variable. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 11 / 251 1.2. Derivació de funcions implı́cites Introducció Exemple: Suposem que un model econòmic preveu que el preu mitjà d’un pis, x, i el tipus d’interès, y , estan relacionats per l’equació F (x, y ) = 0. Actualment x = x0 i y = y0 ; per tant, es compleix que F (x0 , y0 ) = 0. Com a govern només puc ”actuar”sobre y , però a mi m’interessa saber com afectarà això a x. Si jo pogués saber que F (x, y ) = 0 implica que x = x(y ), llavors podria conèixer l’impacte sobre x dels meus moviments sobre y . Seria suficient conèixer si l’efecte de la meva polı́tica monetària afecta positivament o negativament la variable del preu dels pisos... Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 12 / 251 1.2. Derivació de funcions implı́cites Introducció Prenem l’equació F (x, y ) = 0 i un punt (x0 , y0 ) tal que F (x0 , y0 ) = 0. Ens preguntem si aquesta equació permet definir la variable y com a funció de la variable x. És a dir, ens preguntem si existeix una funció y = y (x) de tal forma que: y (x0 ) = y0 F (x, y (x)) = 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 13 / 251 1.2. Derivació de funcions implı́cites Exemple Exemple: Si tenim F (x, y ) = x 2 + y − 1 = 0, està clar que y (x) = 1 − x 2 compleix la segona condició i el punt (0, y (0) = 1), la primera. Exemple: Si tenim F (x, y ) = x 2 − y sin(xy ) + 10 = 0 i volem realizar el mateix que abans (aı̈llar la variable y ), no podem. Qüestió: Segueix essent cert que l’equació x 2 − y sin(xy ) + 10 = 0 defineix y = y (x) (implı́citament)? Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 14 / 251 1.2. Derivació de funcions implı́cites Teorema de la funció implı́cita Teorema (versió simplificada): Si F (x, y ) = 0, F admet derivades parcials contı́nues en tot punt. Donat(x0 , y0 ), de tal manera que F (x0 , y0 ) = 0, i suposem que Fy (x0 , y0 ) 6= 0; llavors existeix una funció f definida en un entorn U de x0 , tal que: f (x0 ) = y0 i F (x, f (x)) = 0 a U f és derivable a U i: f 0 (x) = − Giménez-Gómez i Vilella (URV) Fx (x, y ) , x ∈U Fy (x, y ) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 15 / 251 1.2. Derivació de funcions implı́cites Teorema de la funció implı́cita Exemple: Si U(x, y ) és la utilitat d’un consumidor. Y 1 R U X La RMS (relació marginal de substitució) ens diu les unitats de y que estic disposat a renunciar per consumir una unitat més de x. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 16 / 251 1.2. Derivació de funcions implı́cites Teorema de la funció implı́cita Matemàticament, la RMS és el pendent de la recta tangent a la corba U(x, y ) = c. Però si interpretem aquest pendent com la recta tangent a la corba y = y (x) que es defineix per U(x, y ) = c, precisament el que busquem és y 0 (x). Apliquem el teorema anterior per obtenir la derivada: RMS(x, y ) = y 0 (x) = − Ux (x, y ) Uy (x, y ) (El signe negatiu indica la ”renúncia”.) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 17 / 251 1.3. Funcions homogènies Introducció Una classe de funcions especialment importants en economia són les funcions homogènies. Definició: Si f : D ⊂ R2 → R, direm que f és homogènia de grau m, m ∈ R si i només si f (tx, ty ) = t m f (x, y ) per tot (x, y ) ∈ D i t > 0. En general, una funció vectorial, f : D ⊂ Rn → Rm és homogènia si totes les components són homogènies. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 18 / 251 1.3. Funcions homogènies Interpretació Interpretació del grau d’homogeneı̈tat: Si m = 0, llavors f (tx, ty ) = t 0 f (x, y ) = f (x, y ). Si les variables independents varien proporcionalment, la funció no varia. Si m = 1, llavors f (tx, ty ) = tf (x, y ). Les variables independents i la funció varien en la mateixa proporció. Si m > 1, la funció varia proporcionalment més que les variables independents. Si m < 1, la funció varia proporcionalment menys que les variables independents. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 19 / 251 1.3. Funcions homogènies Propietats Si f i g són funcions homogènies de grau m, llavors f + g és homogènia de grau m. Si f és homogènia de grau m i k ∈ R, llavors kf és homogènia de grau m. Si f és homogènia de grau m i g és homogènia de grau n, llavors f ∆g és homogènia de grau m + n. Si f és homogènia de grau m i g és homogènia de grau n, g (x) 6= 0, ∀x ∈ R2 , llavors gf és homogènia de grau m − n. Si f és homogènia de grau m, llavors fx i fy són homogènies de grau m − 1. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 20 / 251 1.3. Funcions homogènies Teorema d’Euler Teorema: Si f : D ⊆ R2 → R és diferenciable. Llavors: f és homogènia de grau k ⇔ xfx (x, y ) + yfy (x, y ) = kf (x, y ). Observació: El teorema també és cert per a funcions de més de dues variables. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 21 / 251 1.3. Funcions homogènies Exemple, la funció de Cobb-Douglas La funció relaciona la producció total d’una economia, Q, amb els factors productius capital, K , i treball, L Q(K , L) = Ak α Lβ , on A > 0, 0 ≤ α + β ≤ 1 Exercici: Podem veure que: És homogènia de grau α + β. Les productivitats marginals Qk (K , L) i QL (K , L) són homogènies de grau α + β − 1. Les elasticitats parcials, Ek Q(K , L) = α i EL Q(K , L) = β. Es verifica el teorema d’Euler. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 22 / 251 Tema 2 Equacions diferencials ordinàries Tema 2: Equacions diferencials ordinàries Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 23 / 251 2.1. Concepte d’equació diferencial Introducció Definició: Una equació diferencial (ordinària), usualment anomenada EDO, és una equació en la qual intervenen derivades i que conté una sola variable independent:
F x, y , y 0 , y 00 . . . y n = 0 en què y , la incògnita, denota una funció de la variable x. Exemples: xy 0 + y = 0, y 0 = y + x, y 00 − 3(y 0 )2 + 1 = 0, y0 = y2 . . . Objectiu: Trobar la funció y (x) que verifiqui l’equació. Aquesta funció y (x) serà una solució d’EDO. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 24 / 251 2.1. Concepte d’equació diferencial Introducció Anomenem ordre d’una EDO a l’ordre més gran de derivació que apareix a l’EDO. Anomenem grau d’una EDO a l’exponent màxim al qual està elevat el més gran dels ordres de derivació. Exemples: xy 0 + y = 0 → ordre 1 i grau 1. y 00 − 3(y 0 )2 + 1 = 0 → ordre 2 i grau 1. (y 000 )2 + 3(y 000 )4 + (y 0 )8 − y 0 = 0 → ordre 3 i grau 4. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 25 / 251 2.1. Concepte d’equació diferencial Solucions d’una EDO Definició: Una solució de l’EDO F (x, y , y 0 . . . y n ) = 0 és una funció y (x) que compleix l’equació en algun interval I , és a dir: F (x, y (x), y 0 (x) . . . y n (x)) = 0 ∀ x ∈ I Exemple: Si tenim l’EDO y 0 = x · y volem veure com trobar una funció y (x), tal que: y 0 (x) = x · y (x) Observem que si prenem y (x) = e x 2 /2 y 0 (x) = x e x Giménez-Gómez i Vilella (URV) es compleix que: 2 /2 = x · y (x) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 26 / 251 2.1. Concepte d’equació diferencial Solucions d’una EDO Definició: El conjunt de totes les solucions que admet una EDO rep el nom de famı́lia general de solucions o solució general. La famı́lia té tants paràmetres com ordres té l’equació (recordem que l’ordre de l’equació és l’ordre de la derivada més gran que hi apareix). Exemples: Si y 0 = x · y , la solució general és: G (x, y , c) = y − c e x Recordem que y = c e x 2 /2 2 /2 =0 . Si y 0 = 1, la solució general és: G (x, y , c) = y − x − c = 0 Si f (x, y , y 0 . . . y n ) = 0, la solució general serà del tipus: G (x, y , c1 , c2 . . . cn ) = 0. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 27 / 251 2.1. Concepte d’equació diferencial Exemple: y0 Solucions d’una EDO = xy Observem que y (x) = e x2 2 satisfà: y 0 (x) = xe x2 2 = xy (x) Per tant, és una solució de l’EDO. Observem que y (x) = 25e x2 2 també és una solució, ja que: y 0 (x) = 25e Per tant, y = ce x2 2 x2 2 2x = xy (x) 2 és la solució general de l’EDO. Per a cada constant c tenim una solució particular: Per a c = 1, y = e x2 2 és la solució particular. Per a c = 25, y = 25e x2 2 és la solució particular. Una EDO admet infinites solucions. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 28 / 251 2.1. Concepte d’equació diferencial EDO de primer ordre Problema de valor inicial (PVI) Definició: Diem que una EDO és de primer ordre si la derivada més alta que apareix en l’equació és la derivada primera. S’escriu com: F (x, y , y 0 ) = 0 → y 0 = f (x, y ) Definició: Es diu problema de valor inicial o problema de Cauchy al fet de buscar la solució del problema: y 0 = f (x, y ) (EDO) y (x0 ) = y0 (condició inicial) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 29 / 251 2.2. Existència de solució Teorema d’existència i unicitat de solució Teorema: Si la funció f (x, y ) satisfà que: f (x, y ) és contı́nua. existeix ∂f (x,y ) ∂y i és contı́nua. Llavors el PVI admet una solució única, és a dir, existeix una única funció y (x) que satisfà l’equació i la condició inicial. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 30 / 251 2.2. Existència de solució Teorema d’existència i unicitat de solució Exemple: y 0 = y Solució general: y (x) = ce x Si imposem la condició inicial y (0) = 2 llavors: y (0) = ce 0 = 2 ⇒ c = 2, per tant: y (x) = 2e x és una solució particular del PVI. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 31 / 251 2.2. Existència de solució Visió geomètrica y (x) = ce x Y 1 5 2 X 3 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 32 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Mètodes de resolució de l’EDO de grau 1 i ordre 1 F (x, y , y 0 ) = 0 → y 0 = f (x, y ) Segons l’estructura de les EDO utilitzarem tècniques diferents: Variables separades Variables separables Homogènies Lineals Exactes. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 33 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Variables separades Definició: Una EDO de primer ordre es diu que és de variables separades si s’escriu: y 0 = f (x)g (y ) O el que és el mateix: P(x)dx + Q(y )dy = 0 Resolució: dy = f (x)g (y ) dx I ara integrem els dos costats Z → 1 dy = g (y ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) 1 dy = f (x) dx g (y ) Z f (x) dx Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 34 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Variables separades Exemple: Resoleu y0 = x · y y (0) = 1 L’equació és de variable separada (f (x) = x i g (y ) = y ), per tant: dy =x ·y dx 1 dy = x dx y → Integrem els dos costats: Z Z 1 dy = x dx y → 1 ln |y | = x 2 + c 2 Aı̈llem la y : 1 2 +c y (x) = e 2 x 1 2 = c1 e 2 x . Com que y (0) = 1, cal que y (0) = c1 e 0 = 1. 1 2 Per tant, y (x) = e 2 x . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 35 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Variables separades Exemple: Resoleu: y0 = y2 y (1) = 2 L’equació és de variable separada (f (x) = 1 i g (y ) = y 2 ), per tant: dy = y2 dx Integrem els dos costats: Z Z 1 dy = dx → y2 → − 1 dy = dx y2 1 =x +c y → y (x) = − 1 x +c 1 = 2 → c = −3/2. Com que y (1) = 2, cal que y (1) = − 1+c 1 Per tant, y (x) = − x− 3 . 2 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 36 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Variables separades MODEL 1: Estructura: M1 (x)N1 (y )dx + M2 (x)N2 (y )dy = 0 Resolució: Dividim per N1 (y )M2 (x),i suposem que N1 (y )M2 (x) 6= 0: M1 (x)N1 (y ) M2 (x)N2 (y ) dx + dy = 0 N1 (y )M2 (x) N1 (y )M2 (x) De manera que ens queden les variables separades: M1 (x) N2 (y ) dx + dy = 0 M2 (x) N1 (y ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 37 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Variables separades Exemple: Resoleu: sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 Dividim per cos y cos x i obtenim: sin x sin y dx + dy = 0 cos x cos y Integrant: Z sin x dx + cos x Z sin y dy = k cos y − ln cos x − ln cos y = k = − ln c ln(cos x cos y ) = ln c Giménez-Gómez i Vilella (URV) → cos x cos y = c Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 38 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Homogènies Estructura: P(x, y ) dx + Q(x, y ) dy = 0 En què P(x, y ) i Q(x, y ) són funcions homogènies del mateix grau m. Resolució: Fem el canvi u = yx ; és a dir, y = ux, ja que qualsevol funció z = f (x, y ) homogènia de grau m, en fer aquest canvi es transforma en una x m g (u) de variables x i u. Per tant, l’equació inicial quedarà: x m P1 (u) dx + x m Q1 (u) dy = 0 Com que dy = u dx + x du si substituı̈m tenim: x m P1 (u)dx + x m Q1 (u)(u dx + x du) = 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 39 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Homogènies x m P1 (u)dx + x m Q1 (u)(u dx + x du) = 0 Si ho dividim tot per x m , suposant que x 6= 0, obtenim: (P1 (u) + uQ1 (u)) dx + xQ1 (u) du = 0 Una EDO amb variables separables. Per tant, hem de dividir per x(P1 (u) + uQ1 (u)) 6= 0 i obtenim: dx Q1 (u) du + =0 x P1 (u) + uQ1 (u) Ara cal integrar i, al final, desfer el canvi. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 40 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Homogènies p Exemple: Resoleu xy 0 = x 2 − y 2 + y . Observem que és homogènia i, per tant, fem el canvi: du u = yx → y = ux → y 0 = dy dx = u + x dx o sigui dy = udx + xdu: x(u + x p du ) = x 2 − u 2 x 2 + ux dx x(u + x p du ) = x( 1 − u 2 + u) dx x Giménez-Gómez i Vilella (URV) du p = 1 − u2 dx Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 41 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Homogènies Integrem √ du dx , EDO amb variables separades = 2 x 1−u Z Z du dx √ , = 2 x 1−u arcsin u = ln |x| + k → u = sin(ln |x| + k) Desfem el canvi: y = x sin(ln |x| + k) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 42 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Lineals Estructura: Una EDO de primer ordre es diu que és lineal si s’escriu: y 0 + p(x)y = q(x) en què p(x) i q(x) són funcions contı́nues. Si q(x) ≡ 0 diem que l’equació és lineal homogènia. Altrament diem que l’equació és lineal no homogènia. Resolució: L’equació lineal homogènia és de variable separada. La solució de l’equació lineal no homogènia és: Z  R R − p(x)dx p(x)dx y =e q(x)e dx + c Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 43 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Lineals Exemple: Resoleu y 0 − y = x → p(x) = −1, q(x) = x; per tant:   Z Z R R −x −dx x − −dx xe dx + c = dx + c = e xe y =e = (per parts) . . . = ce x − x − 1 O sigui que: y = ce x − x − 1 (solució general) Si imposem y (0) = 1 tenim: c − 1 = 1 ⇒ c = 2: y = 2e x − x − 1 (solució particular del PVI) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 44 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Exactes Estructura: Una EDO de la forma P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0 es diu exacta si existeix una funció f (x, y ) tal que: ∂f (x, y ) = P(x, y ), ∂x ∂f (x, y ) = Q(x, y ) ∂y Resolució: La solució general serà f (x, y ) = c. Teorema: Si P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0 es verifica: ∂P(x, y ) ∂Q(x, y ) = ⇔ L’EDO és exacta. ∂y ∂x Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 45 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Exactes Si P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0 i busquem la solució: f (x, y ) = c. Hem vist que P(x, y ) = ∂f (x,y ) ∂x , per tant: Z f (x, y ) = P(x, y )dx = F (x, y ) + ϕ(y ) (ϕ(y ) és la constant d’integració respecte de x; per tant, és una funció de y .) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 46 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Exactes Calculem ϕ(y ) derivant el resultat anterior respecte de y i sabent que (x,y ) Q(x, y ) = ∂f ∂y : ∂F (x, y ) ∂ϕ(y ) ∂f (x, y ) + = = Q(x, y ) ∂y ∂y ∂y Aı̈llem, ∂F (x, y ) ∂ϕ(y ) = Q(x, y ) − ∂y ∂y Integrem respecte de y : Z ϕ(y ) = Giménez-Gómez i Vilella (URV) Q(x, y ) − ∂F (x, y ) dy ∂y Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 47 / 251 2.3. Resolució d’equacions diferencials Exactes Exemples: 1 2xy dx + (x 2 + cos y ) dy = 0 2 (sin xy + xy cos xy )dx + x 2 cos xydy = 0 3 (e x + y + sin y )dx + (e y + x + x cos y )dy = 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 48 / 251 Tema 3 Mètodes matemàtics per a la presa de decisions socials Tema 3: Mètodes matemàtics per a la presa de decisions socials Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 49 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Introducció L’inici de la teoria de jocs remunta al 1944 amb J. Von-Newmann i O. Morgenstern (Theory of games and economic behavior). Des de llavors ha evolucionat substancialment i s’ha aplicat a l’economia i a altres camps com poden ser la ciència polı́tica, la informàtica, la biologia, etc. Ha interessat en diferents àmbits ja que és una base per construir models de conducta humana. Hi ha moltes situacions conflictives en les quals intervenen diversos agents i, per tant, hi ha molts tipus de jocs. D’entrada es divideixen en no cooperatius i cooperatius. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 50 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Introducció Joc no cooperatiu: Estudien el comportament dels agents en qualsevol situació en què l’elecció o estratègia òptima de cada jugador depèn del seu pronàstic sobre les eleccions dels altres jugadors. Vol maximitzar els seus propis interessos sense preocupar-se dels interessos dels altres. Joc cooperatiu: Quan en el joc hi ha comunicació entre els jugadors amb la finalitat de negociar o establir acords que permetin la formació de coalicions. En aquests casos és habitual considerar com a informació bàsica la utilitat que cada coalició pot obtenir coordinant les estratègies dels seus integrants independentment de l’actuació de la resta dels agents del joc. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 51 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Introducció Jocs cooperatius amb utilitat transferible (TU): Són jocs que descriuen el repartiment d’un bé entre m agents. Podem interpretar aquest repartiment com un repartiment d’utilitats quan són lineals en la quantitat del bé. Se suposa l’existència d’un bé que es pot dividir com es vulgui i que és equiparable a les preferències de cada jugador. Jocs cooperatius amb utilitat no transferible (NTU): Quan no es té l’existència d’aquest bé (el cas més general) o bé no és sempre igual a les preferències de cada jugador. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 52 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Cooperem? ...sı́, però a quin preu? Exemple: Cooperació entre municipis. Tenim, A, B, C , tres municipis situats al costat d’un riu, que necessiten construir una depuradora. Si actuen per separat els costos en milers d’euros seran: c(A) = 5.000, c(B) = 3.000, c(C ) = 5.000 El municipi B té la meitat de demanda d’aigua que A i C . Suposem, per simplificar, que l’aigua del riu flueix de manera natural de A → B → C i que és econòmicament descartable bombejar l’aigua riu amunt. Poden cooperar i construir una depuradora única pels tres i canalitzar l’aigua des de A cap als altres. A i B són més pròximes entre si i C està més allunyada. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 53 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Cooperem? ...sı́, però a quin preu? Si cooperen els costos són: cost depuradora conjunta = 8.000 cost canalització A → B = 1.000 cost canalització B → C = 1.500 cost TOTAL si actuen juntament = 10.500 Observació: c(A) + c(B) + c(C ) = 13.000 ≥ c(ABC ) = 10.500; per tant, cooperar és beneficiós, encara que tot depèn de com es reparteixin els costos entre els municipis. Analitzem diferents maneres de repartir aquests costos cooperativament. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 54 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Exemple Mètode 1: Proporcional al número de participants, tots paguen el mateix. xA = xB = xC = 10.500 = 3.500 3 Observem que xB = 3.500 > c(B) = 3.000 !!!!!; per tant, és una distribució inacceptable per a B. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 55 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Exemple Mètode 2: Proporcional a l’ús de la infraestructura. Cada municipi pagarà proporcionalment a l’ús de cada part de la infraestructura de l’obra. yA = 2/5 (8.000) = 3.500 (cost de la depuradora) yB = 1/5 (8.000) + 1/3 (1.000) = 1.933, 3 (cost de la depudradora + cost del canal de A a B) yC = 2/5 (8.000) + 2/3 (1.000) + 1 (1.500) = 5.366, 7 (cost de la depuradora + cost del canal de A a B + cost del canal de B a C ) Observem que yC = 5.366, 7 > c(C ) = 5.000 !!!!!; per tant, és una distribució inacceptable per a C . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 56 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Exemple Avaluem la posició dels municipis davant el problema cooperatiu. Ampliem la informació i avaluem els costos si cooperen parcialment; és a dir, dos municipis: c(AB) = 5.500 + 500 = 6.000 (cost depuradora conjunta per a A i B + cost de canalitzar de A a B) c(BC ) = 5.500 + 1.500 = 7.000 (cost depuradora conjunta per B i C + cost de canalitzar de B a C ) c(AC ) = c(A) + c(C ) = 5.000 + 5.000 = 10.000. Suposem que l’opció de cooperar A i C sense B és econòmicament descartable ja que B impedeix el pas de la canalització. En aquest cas han d’actuar per separat. c(A) = 5.000, c(B) = 3.000, c(C ) = 5.000, c(AB) = 6.000, c(AC ) = 10.000, c(BC ) = 7.000, c(ABC ) = 10.500 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 57 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Exemple Mètode 3: Cada municipi paga proporcionalment a la demanda d’aigua. zA = zC = 2/5 (c(ABC )) = 2/5 10.500 = 4.200 zB = 1/5 (c(ABC )) = 1/5 10.500 = 2.100 Observem que zA = zC < c(A) = c(C ) = 5.000 i zB < c(B) = 3.000; per tant, és una distribució que incentiva la coopearció des d’una òptica individual. Però, zA + zB = 4.200 + 2.100 = 6.300 > c(AB) = 6.000!!!; per tant, si se seguı́s aquest mètode A i B preferirien no col·laborar amb C . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 58 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Exemple Mètode 4: Cada municipi paga la part proporcional dels costos globals segons els seus costos individuals. Recordem que tenı́em c(A) = c(C ) = 5.000, c(B) = 3.000; per tant, c(A) + c(B) + c(C ) = 13.000 wA = wC = wB = 3.000 13.000 5.000 13.000 (c(ABC )) = 5/13 10.500 = 4.038, 5 (c(ABC )) = 3/13 10.500 = 2.423 Observem que wA = wC < c(A) = c(C ) = 5.000 i wB < c(B) = 3.000, però wA + wB = 6.461, 5 > c(AB) = 6.000; per tant, la coalició {A, B} té incentius per no cooperar amb C . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 59 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Exemple Mètode 5: Proporcional als costos marginals. Els marginals avaluen per cada municipi els costos directament associats a ell és a dir, quina és la part total del cost que la seva presència ha fet afegir. mA = c(ABC ) − c(BC ) = 10.500 − 7.000 = 3.500 mB = c(ABC ) − c(AC ) = 10.500 − 10.000 = 500 mC = c(ABC ) − c(AB) = 10.500 − 6.000 = 4.500 Si mA + mB + mC = c(ABC ) el repartiment seria posible, però en aquest cas, mA + mB + mC = 8.500 < c(ABC ) = 10.500 per tant, el repartiment no és possible ja que no cobreix els costos totals. Fem un repartiment proporcional a aquests costos marginals: 3.500 tA = 8.500 (c(ABC )) = 4.323, 5 500 tB = 8.500 (c(ABC )) = 627, 7 tC = 4.500 8.500 (c(ABC )) = 5.558, 8 > c(C ) = 5.000!!!; per tant, és inacceptable per a C . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 60 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Notació La cooperació aporta reducció de costos o genera beneficis. Això dóna lloc al problema de: com podem repartir els guanys generats per la coalició? La teoria de jocs cooperatius proposa solucions a aquests repartiments. Volem un repartiment (a, b, c) ∈ R3 per tal que els municipis col·laborin. Caldrà que: a + b + c = 10.500 a ≤ 5.000 b ≤ 3.000 c ≤ 5.000 a + c ≤ 10.000 a + b ≤ 6.000 b + c ≤ 7.000 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 61 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Notació N = {1, 2 . . . n} conjunt de jugadors (o agents). 2N = conjunt de subconjunts de N, inclòs el buit (∅). S, T , R . . . coalicions o subconjunts de jugadors. s = |S| és el nombre de jugadors de la coalició S. ∅ = coalició sense jugadors. Definició: Un joc cooperatiu en forma caracterı́stica és un parell ordenat (N, v ) en què: N = {1 . . . n} conjunt de jugadors. v és la funció caracterı́stica: v :2N −→ R S −→ v (S), ∀S ⊆ N, i v (∅) = 0 v (S) és el valor de la coalició S en el joc i indica la utilitat que la coalició S pot assolir pels seus propis mitjans. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 62 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Notació Exemple Un pagès és propietari d’una vaca que pot vendre al mercat obtenint una unitat de benefici. Per transportar-la ha de passar pel terreny d’un dels seus dos veı̈ns. Jugador 1: el pagès, propietari de la vaca. Jugador 2: veı́, propietari del terreny. Jugador 3: veı́, propietari del terreny. Cadascun dels jugadors individualment no pot obtenir cap benefici atès que el propietari de la vaca no pot vendre i els veı̈ns no la tenen. Cal la cooperació del propietari amb almenys un veı́ per tal d’obtenir el guany d’una unitat. La funció caracterı́stica serà: v (1) = 0, v (2) = 0, v (3) = 0, v (12) = 1, v (13) = 1, v (23) = 0, v (123) = 1 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 63 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Notació Exemple Altres problemes poden donar lloc a la mateixa funció caracterı́stica, com per exemple aquest joc de votació: Tenim un sistema de votació entre tres jugadors on la decisió s’adopta si hi ha majoria simple (almenys dos vots) i el jugador 1 vota a favor. Representarem amb un 1 la coalició guanyadora i amb un zero la que no ho és v (1) = 0, v (2) = 0, v (3) = 0, v (12) = 1, v (13) = 1, v (23) = 0, v (123) = 1 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 64 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Joc de costos Un dels problemes que podem trobar és el de l’assignació de costos. En aquests casos, el valor numèric de la coalició representa el cost conjunt associat als membres de la coalició en realitzar un projecte. El problema és repartir-se els costos comuns, c(S), entre els diferents agents de la coalició. c :2N −→ R S −→ c(S), ∀S ⊆ 2N , i c(∅) = 0 Exemple: El joc de la depuradora vist anteriorment: c(1) = 5.000, c(2) = 3.000, c(3) = 5.000, c(12) = 6.000, c(13) = 10.000, c(23) = 7.000, c(123) = 10.500 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 65 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Joc d’estalvis associat a un joc de costos Definició: El joc d’estalvis associat a un joc de costos (N, c) es defineix com: X  v0 (S) = c(i) − c(S), ∀ S ⊆ N, v0 (∅) = 0 i∈S v0 (S) és l’estalvi de la coalició S respecte a la realització de projectes independents en solitari per part de cada jugador i de la coalició. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 66 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Joc d’estalvis associat a un joc de costos Exemple Exemple: Joc d’estalvis associat al joc de la depuradora: v0 (1) = v0 (2) = v0 (3) = 0, v0 (12) = c(1) + c(2) − c(12) = 5.000 + 3.000 − 6.000 = 2.000, v0 (13) = c(1) + c(3) − c(13) = 5.000 + 5.000 − 10.000 = 0, v0 (23) = c(2) + c(3) − c(23) = 3.000 + 5.000 − 7.000 = 1.000, v0 (123) = c(1) + c(2) + c(3) − c(123) = = 5.000 + 3.000 + 5.000 − 10.500 = 2.500 Observació: El joc d’estalvis sempre és 0-normalitzat, és a dir, amb valors individuals zero. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 67 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Joc d’estalvis associat a un joc de costos Exemples Observació: Tot joc de costos té associat un joc d’estalvis, però no tot joc d’estalvis té associat un joc de costos. Exemple: N = {1, 2} c(1) = 700.000, c(2) = 400.000, c(12) = 1.000.000 ↓ v0 (1) = 0, v0 (2) = 0, v0 (12) = 700.000 + 400.000 − 1.000.000 = 100.000 Exemple: N = {1, 2} c(1) = 100.000, c(2) = 200.000, c(12) = 200.000 Són jocs de costos diferents que donen lloc al mateix joc d’estalvi. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 68 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Algunes classes de jocs Definició: Denotem per a G N el conjunt dels jocs cooperatius TU de n jugadors (n finit). Definició: Un joc (N, v ) ∈ G N és positiu ⇔ v (S) ≥ 0, ∀S ⊆ N. Definició: Un joc (N, v ) ∈ G N és monòton ⇔ ∀S, T ⊆ N si S ⊆ T ⇒ v (S) ≤ v (T ). Observació: Si un joc (N, v ) ∈ G N és monòton, llavors és positiu. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 69 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Algunes classes de jocs Definició: Un joc (N, v ) ∈ G N és superadditiu ⇔ ∀S, T ⊆ N si S ∩ T = ∅ llavors, v (S) + v (T ) ≤ v (S ∪ T ); és a dir, si la unió de coalicions que no tenen jugadors en comú és beneficiosa. Definició: Un joc (N, v ) ∈ G N és additiu ⇔ ∀S, T ⊆ N si S ∩ T = ∅ llavors, v (S) + v (T ) = v (S ∪ T ). Definició: Un joc (N, v ) ∈ G N és convex ⇔ ∀i ∈ N, ∀S, T ⊆ N si S ⊆ T ⊆ N \ {i}: v (S ∪ i) − v (S) ≤ v (T ∪ i) − v (T ). És a dir, si la contribució marginal del jugador i a la coalició S és menor que la contribució marginal de i a la coalició T . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 70 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Algunes classes de jocs Jocs de votació Definició: Un joc (N, v ) ∈ G N és simple ⇔ v (S) ∈ {0, 1} ∀S ⊆ N. Exemple: N = {1, 2, 3, 4}, el jugador 1 és el president i els altres tres són consellers. Per aprovar una proposta han de votar a favor el president i dos consellers. Per tant: v (S) = 0, si |S| ≤ 2 v (123) = v (134) = v (124) = v (1234) = 1 v (234) = 0 Observació: Els jocs de votació són jocs simples. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 71 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Algunes classes de jocs Jocs de bancarrota Exemple: Una empresa ha fet fallida i ha deixat un patrimoni E de 10.000 euros. Hi ha quatre creditors amb uns drets sobre el patrimoni de diferents valors d1 = 3.000, d2 = 2.000, d3 = 5.000, d4 = 8.000, també expressats en euros. El conjunt de jugadors són els creditors N = {1, 2, 3, 4}. Tots junts poden quedar-se el total del patrimoni; per tant, v (N) = 10.000. Cada coalició S ⊆ N pot quedar-se amb el patrimoni si paga els deutes que reclamen els agents P que no són a la coalició; per tant, v (S) = max{0, E − i∈N\{S} di }. Exercici: Calculeu la funció caracterı́stica del joc i comproveu que és un joc convex. Observació: Els jocs de bancarrota sempre són convexos. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 72 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Distribucions eficients Conjunt de preimputacions El problema que es planteja és: com distribuir el resultat de la cooperació, el valor v (N), entre els n jugadors? Associarem a cada jugador i un nombre real xi que es pot representar per un vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . P Denotarem per a x(S) = i∈S xi , on x(∅) = 0. Definició: Anomenarem conjunt de preimputacions d’un joc v ∈ G N al conjunt de totes les distribucions possibles: I ∗ (v ) = {x ∈ Rn | x(N) = v (N)}. La condició que x(N) = v (N) s’anomena principi d’eficiència. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 73 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Distribucions eficients Conjunt d’imputacions És raonable pensar que cap jugador acceptarà menys del que obtindria per ell sol, sense coalicionar-se amb ningú, és a dir xi ≥ v (i), aquesta condició s’anomena racionalitat individual. Definició: Anomenarem conjunt d’imputacions d’un joc v ∈ G N : I (v ) = {x ∈ Rn | xi ≥ v (i) ∀i = 1, . . . , n i x(N) = v (N)} Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 74 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Distribucions eficients Conjunt d’imputacions Observació: I ∗ (v ) 6= ∅ sempre, mentre que I (v ) pot ser buit. Per exemple, N = {1, 2, 3}, v (1) = 1, v (2) = 2, v (3) = 3, v (N) = 5; independentment dels valors de les coalicions de dos jugadors les següents relacions són incompatibles: x1 ≥ 1, x2 ≥ 2, x3 ≥ 3 ⇒ x1 + x2 + x3 ≥ 6 i x1 + x2 + x3 = 5!!! Condició necessària i suficient per tal que el conjunt d’imputacions sigui no buit: Proposició: Si tenim que v ∈ G N I (v ) 6= ∅ ⇔ v (1) + v (2) + . . . + v (n) ≤ v (N) Aquests jocs s’anomenen essencials. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 75 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Distribucions eficients Conjunt d’imputacions Exemple: N = {1, 2, 3}, v (1) = v (2) = v (3) = 0, v (12) = v (13) = v (23) = 2, v (N) = 10. Conjunt de preimputacions: I ∗ (v ) = {x ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 10} Conjunt d’imputacions: I (v ) = {x ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 10, xi ≥ 0, ∀i = 1, 2, 3} En el cas dels jocs de tres jugadors s’acostuma a representar el conjunt d’imputacions directament al pla, formant un triangle on la suma de les tres coordenades és constant igual a v (N). Els punts que satisfan xi = k formen rectes paral·leles als costats del triangle que representa el conjunt d’imputacions. Tenint en compte això podem representar qualsevol imputació. Exercici: Representeu el conjunt d’imputacions i la imputació (3, 4, 3) per al joc de l’exemple anterior. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 76 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu El concepte de core va ser introduit inicialment per Gillies (1953). El core és aquell conjunt de pagaments que són eficients i individualment racionals en els quals cada coalició rep almenys el seu valor. Recordem l’exemple del joc de cooperació entre els municipis. Havı́em analitzat diversos repartiments i tots ells tenien algun problema des de l’òptica cooperativa ja que alguna coalició sempre sortia perdent en cooperar. Per tant, cal buscar repartiments que a més de ser individualment racionals i eficients siguin coalicionalment racionals. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 77 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu Usualment es treballa amb la funció caracterı́stica en termes de guanys, per això associem un joc d’estalvis al joc de costos tal com havı́em vist. El joc d’estalvis associat a l’exemple de la depuradora: v0 (1) = v0 (2) = v0 (3) = 0, v0 (12) = 2.000, v0 (13) = 0, v0 (23) = 1.000, v0 (123) = 2.500 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 78 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu Voldrı́em trobar distribucions (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 de l’estalvi total que satisfacin: x1 + x2 + x3 = 2.500, (eficiència) x1 ≥ 0, (racionalitat individual) x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x1 + x2 ≥ 2.000, (racionalitat coalicional) x1 + x3 ≥ 0, x2 + x3 ≥ 1.000 D’aquı́ podem deduir que: x3 ≤ 500, x2 ≤ 2.500, x1 ≤ 1.500. Per tant, el core serà el conjunt de punts que compleixi aquestes condicions: C (v ) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |0 ≤ x1 ≤ 1.500, 0 ≤ x2 ≤ 2.500, 0 ≤ x3 ≤ 500} Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 79 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu Observacions: Amb l’obtenció del conjunt d’imputacions que compleixen la racionalitat coalicional hem “resolt”el joc anterior v0 . Per exemple, x = (1.500, 500, 500) ∈ C (v0 ) podria ser una solució acceptable. En passar-la als costos seria: yA = c(A) − xA = 3.500, yB = c(B) − xB = 2.500, yC = c(C ) − xC = 4.500. En aquest exemple hi ha infinites imputacions que són del core, quan passa això cal buscar un procediment adient de selecció. En el cas de tres jugadors sempre es pot reperesentar el core dins el triangle d’imputacions i s’obté un polı́gon. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 80 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu El core també pot ser un únic punt; per exemple: v (1) = v (2) = v (3) = 0, v (12) = 2.000, v (13) = 2.000, v (23) = 1.000, v (123) = 2.500 Els punts del core han de complir: x1 + x2 + x3 = 2.500, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x1 + x2 ≥ 2.000, x1 + x3 ≥ 2.000, x2 + x3 ≥ 1.000 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 81 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu Sumant les desigualtats tenim: 2(x1 + x2 + x3 ) ≥ 5.000 ⇒ x1 + x2 + x3 ≥ 2.500 i per eficiència: x1 + x2 = 2.000, x1 + x3 = 2.000, x2 + x3 = 1.000 Per tant, hi ha una solució única: C (v ) = {(1.500, 500, 500)} Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 82 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu El core també pot ser el conjunt buit, per exemple: v (1) = v (2) = v (3) = 0, v (12) = 2.000, v (13) = 2.250, v (23) = 1.000, v (123) = 2.500 Els punts del core han de complir: x1 + x2 + x3 = 2.500, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x1 + x2 ≥ 2.000, x1 + x3 ≥ 2.250, x2 + x3 ≥ 1.000 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 83 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu Sumant les desigualtats tenim: 2(x1 + x2 + x3 ) ≥ 5.250 ⇒ x1 + x2 + x3 ≥ 2.625 i, per eficiència, x1 + x2 + x3 = 2.500 !!! És una contradicció!; per tant, C (v ) = ∅. Observació: Hem vist que el core pot tenir infinits punts, un punt o ser buit. Mai podrà tenir un nombre finit de punts més gran que un. És un conjunt polièdric, tancat i afitat. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 84 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu Definició: Anomenem contribució marginal del jugador i a la coalició total a biv = v (N) − v (N \ {i}), l’aportació del jugador i quan s’afegeix a la coalició N \ {i} per formar la coalició total. Proposició: Si (N, v ) ∈ G N i: x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ C (v ) ⇒ v (i) ≤ xi ≤ v (N) − v (N \ {i}), per tot i ∈ N. El jugador i pot demanar que se li pagui la seva contribució marginal, no més perquè trencaria la cooperació. Si tots els jugadors demanen la seva contribució marginal, en general, tenim una distribució (b1v , . . . , bnv ) que no és eficient. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 85 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu Proposició: Si (N, v ) ∈ G N amb C (v ) 6= ∅ i el vector de contribucions marginals (b1v , . . . , bnv ) és eficient, llavors és l’únic punt del core. És a dir, si existeixen elements del core del joc i les contribucions marginals formen una distribució eficient, llavors aquesta és l’única possibilitat de repartir els guanys cooperativament. No obstant això, el core d’un joc pot ser un únic punt i que aquest no sigui el vector de contribucions marginals. Vegem-ne un exemple. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 86 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu Exemple: N = {1, 2, 3}, v (1) = 1, v (2) = 2, v (3) = 3, v (12) = 2, v (13) = 4, v (23) = 5, v (123) = 6 El core és: c(v ) = {(1, 2, 3)} i les contribucions marginals: b1v = v (123) − v (23) = 6 − 5 = 1 b2v = v (123) − v (13) = 6 − 4 = 2 b3v = v (123) − v (12) = 6 − 2 = 4 P v Tenim que bi = 7 6= v (123) no és eficient; per tant, (b1v , b2v , b3v ) = (1, 2, 4) no pertany al core del joc. El core és un únic punt i no és el de les contribucions marginals. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 87 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Teorema: Si (N, v ) ∈ El core d’un joc cooperatiu GN: El core de v és un conjunt convex, tancat i afitat de Rn : de fet, és un poliedre convex i compacte. I el core és no buit, llavors existeixen x1 , . . . , xk ∈ C (v ), els punts extrems, de manera que qualsevol altre punt x del core és una ponderació d’aquests punts; és a dir: x = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . λk xk , per λ1 , . . . , λk ∈ R tals que λi ≥ 0 ∀i ∈ {1, 2, . . . , k} i k X λi = 1 i=1 Exemple: N = {1, 2, 3}, v (1) = v (2) = v (3) = 0, v (12) = v (13) = v (23) = 1, v (123) = 3 C (v ) = {x ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 3, xi ≥ 0, ∀i ∈ N x1 + x2 ≥ 1, x1 + x3 ≥ 1, x2 + x3 ≥ 1} Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 88 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu Què passa si el core és buit? Podem seguir cooperant? Exemple: N = {1, 2, 3}, v (1) = v (2) = v (3) = 0, v (12) = v (13) = v (23) = 8, v (123) = 9 Aquest joc té el core buit, és superadditiu i monòton. Per tant, en ser superadditiu i monòton això ens indica que ens interessa cooperar ja que per monotonia en augmentar el tamany de la coalició augmentem els beneficis i per la superadditivitat la unió de coalicions que no tenen elements comuns és beneficiosa. Per tant, cooperar ⇒ benefici. Caldrà buscar altres solucions cooperatives que no siguin el core. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 89 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El core d’un joc cooperatiu Si el core és no buit, sempre intentarem buscar una solució del core? Recordem l’exemple dels tres pagesos que un té una vaca i els altres dos tenen terrenys per als que s’ha de passar per anar a vendre la vaca. N = {1, 2, 3}, v (1) = v (2) = v (3) = 0, v (12) = v (13) = 1, v (23) = 0, v (123) = 1. El core és C (v ) = {(1, 0, 0)}, proposa una única solució que serà inacceptable per als jugadors 2 i 3. Per tant, caldrà buscar altres solucions. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 90 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley S’espera de la teoria de jocs que ens aporti alguna “solució” que sigui més o menys equitativa per als diferents problemes de guanys o costos. Fins ara hem analizat una solució conjuntista que és el core. Podem pensar que el core d’un joc és el conjunt de distribucions em què cap coalició rep incentius per trencar la cooperació. Amb aquest tema encetem l’estudi de dues solucions puntuals caracterı́stiques de la teoria de jocs que són: 1. El valor de Shapley (Shapley, 1953) 2. El nucleòlus (Schmeidler, 1969) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 91 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Recordem què és una solució d’un joc cooperatiu d’utilitat transferible (N, v ). Definició: Una solució α és una regla que assigna a cada joc cooperatiu un vector α(v ) = (α1 , ..., αn ) ∈ Rn , en el qual αi indica el pagament al jugador i, de manera que el guany o el cost total sigui totalment distribuı̈t o imputat entre els jugadors; és a dir, α1 + ... + αn = v (N). Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 92 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Pel que fa refèrencia a les solucions, cal tenir en compte que: i. Una solució no és una imposició sinó una recomanació. ii. És important posar de manifest els principis o axiomes que verifica la solució. Per tant: Una solució pot ser una bona proposta per a un determinat problema, però no per a un altre. ⇓ La solució mai s’ha de deslligar del problema inicial. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 93 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Començarem analizant el principi de marginalitat, fonamental per entendre la solució que proposa Sharpley. Analitzarem el cas més senzill de tres jugadors. Definirem el valor de Shapley. N’analitzarem les propietats. Farem l’aproximació axiomàtica de la solució. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 94 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Els vectors de contribucions marginals Quan un jugador i s’incorpora a una coalició S podem dir que: “L’aportació del jugador i a la coalició S és v (S ∪ {i}) − v (S)”. aquest valor dóna molta informació: - Si v (S ∪ {i}) − v (S) és gran ⇒ el pes o la importància del jugador i en la coalició és gran. Per tant, això dóna informació al jugador i de la quantitat que pot reclamar al repartiment. Si reclama una quantitat superior a la seva aportació la coalició S podria rebutjar la seva col·laboració. El valor v (S ∪ {i}) − v (S) dóna informació de fins a on un jugador pot arribar amb les seves demandes. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 95 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició: Si tenim un joc (N, v ), una coalició S ⊆ N i un jugador i ∈ / S, anomenarem contribució marginal del jugador i a la coalició S ∪ {i} al valor: v (S ∪ {i}) − v (S). Suposem que es forma la coalició total N i que els jugadors es van incorporant a la coalició en un cert ordre σ = (i1 , i2 ..., in ) en el qual ij és el jugador que ha entrat a la coalició en el lloc j-èssim. Amb aquestes hipòtesis podrem calcular el benefici marginal que genera cada jugador durant aquest procés de formació de la coalició N. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 96 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Exemple: N = {1, 2, 3, 4, 5} ← conjunt de jugadors. σ = (5, 1, 3, 4, 2) i1 = 5 =⇒ el jugador 5 entra en el primer lloc i2 = 1 =⇒ el jugador 1 entra en el segon lloc i3 = 3 =⇒ el jugador 3 entra en el tercer lloc i4 = 4 =⇒ el jugador 4 entra en el quart lloc i5 = 2 =⇒ el jugador 2 entra en el cinquè lloc Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 97 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició: Si tenim un joc (N, v ) i una ordenació σ = (i1 , ..., in ) de N. Direm vector de contribucions marginals del joc v asociat a l’ordenació σ el vector mσ (v ) ∈ Rn en què: miσ1 (v ) = v (i1 ) miσ2 (v ) = v (i1 i2 ) − v (i1 ) miσ3 (v ) = v (i1 i2 i3 ) − v (i1 i2 ) . . . . miσn (v ) = v (i1 ...in ) − v (i1 ...in−1 ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 98 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Exemple: N = {1, 2, 3} El valor de Shapley σ = (3, 1, 2) m3σ (v ) = v (3) m1σ (v ) = v (31) − v (3) m2σ (v ) = v (312) − v (31) ⇓ mσ (v ) = (v (31) − v (3), v (123) − v (31), v (3)) | {z } | {z } |{z} m1σ Giménez-Gómez i Vilella (URV) m2σ Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica m3σ 99 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Exercici: N = {1, 2, 3, 4, 5} i l’ordenació σ = (5, 1, 4, 3, 2) ⇒ mσ (v ) =? mσ (v ) = (v (15) − v (5), v (12345) − v (1345), | {z } | {z } m1σ m2σ v (1345) − v (145), v (145) − v (15), v (5)) | {z } | {z } |{z} m3σ m4σ m5σ El nombre d’ordenacions d’un conjunt de n jugadors és n! Per tant, per tot joc cooperatiu (N, v ) tenim n! vectors de contribucions marginals. Per exemple: Si N = {1, 2, 3} ⇒ n! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6 Si N = {1, 2, 3, 4} ⇒ n! = 4! = 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 24 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 100 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Per tant, per n = 3 jugadors tenim 6 vectors de contribucions marginals. Construı̈m-los: σ1 = (1, 2, 3) =⇒ mσ1 (v ) = (v (1), v (12) − v (1), v (123) − v (12)) σ2 = (1, 3, 2) =⇒ mσ2 (v ) = (v (1), v (123) − v (13), v (13) − v (1)) σ3 = (2, 1, 3) =⇒ mσ3 (v ) = (v (12) − v (2), v (2), v (123) − v (12)) σ4 = (2, 3, 1) =⇒ mσ4 (v ) = (v (123) − v (23), v (2), v (23) − v (2)) σ5 = (3, 1, 2) =⇒ mσ5 (v ) = (v (13) − v (3), v (123) − v (13), v (3)) σ6 = (3, 2, 1) =⇒ mσ6 (v ) = (v (123) − v (23), v (23) − v (3), v (3)) Es pot donar el cas que alguns d’aquests vectors coincideixin. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 101 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Exemple: El joc dels inversors N = {1, 2, 3} Cada jugador aporta un capital de 1, 5, 1, 5 i 3 milions per finançar un projecte que generarà uns beneficis del 10% sobre el capital invertit. Suposem que el projecte admet diversos nivells d’inversió, però que requereix com a mı́nim 4 milions. Per tant, els guanys de les coalicions en milers seran: v (13) = v (23)=450, v (N)=600 i v (S) = 0 per a la resta de coalicions ja que no arriben als 4 milions. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 102 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Analitzem les contribucions marginals del jugadors a la coalició N: Tenı́em: v (N)=600 v (13)=v (23)=450 v (S)=0 per a la resta m1 (v ) = v (N) − v (N \ {1})=600-450=150 m2 (v ) = v (N) − v (N \ {2})=600-450=150 m3 (v ) = v (N) − v (N \ {3})=600-0=600 ⇓ Si assignem a cada jugador la seva contribució marginal estem repartint més del benefici total generat! No pot ser. m1 (v ) + m2 (v ) + m3 (v ) = 150 + 150 + 600 = 900 > v (N) = 600!!! Això no pot ser una solució. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 103 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Per evitar aquest problema suposarem que els jugadors s’incorporen amb un cert ordre i que la mesura de l’aportació de cada jugador s’ha de fer en el moment de la seva incorporació. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 104 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Per exemple, agafem σ = (3, 1, 2) com a ordre. ⇓ m3σ = v (3) = 0 ← És el primer d’aportar els diners. m1σ = v (13) − v (3) = 450 − 0 = 450 ← El que va després del jugador 3. m2σ = v (123) − v (13) = 600 − 450 = 150 ← L’últim. Si ara asignem a cada jugador la seva contribució marginal segons σ: mσ = (450, 150, 0) 540 + 150 + 0 = 600 = v (N) ⇓ Ara és eficient, però depèn d’una ordenació dels jugadors. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 105 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Per resoldre aquest problema de l’arbitrarietat de l’ordenació escollida, Shapley proposa una distribució que tingui en compte totes les possibles ordenacions dels jugadors. Si considerem que cada ordenació té igual probabilitat de ser considerada, el camı́ lògic per valorar l’aportació d’un jugador és el de calcular la mitjana de les contribucions marginals del jugador segons les diferents ordenacions. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 106 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Vegem-ho per al cas de 3 jugadors: N = {1, 2, 3} Ordenacions σ1 = (123) σ2 = (132) σ3 = (213) σ4 = (231) σ5 = (312) σ6 = (321) 1 v (1) v (1) v (12) − v (2) v (123) − v (23) v (13) − v (3) v (123) − v (23) Jugadors 2 v (12) − v (1) v (123) − v (13) v (2) v (2) v (123) − v (13) v (23) − v (3) 3 v (123) − v (12) v (13) − v (1) v (123) − v (12) v (23) − v (2) v (3) v (3) Sumem i dividim per 6 cada component, tenim: φ1 (v ) = 2v (1) 6 + v (12)−v (2) 6 Giménez-Gómez i Vilella (URV) + v (13)−v (3) 6 + 2(v (123)−v (23)) 6 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 107 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley I fent el mateix per als altres, tenim: φ1 (v ) = v (1) 3 + v (12)−v (2) 6 + v (13)−v (3) 6 + v (123)−v (23) 3 φ2 (v ) = v (2) 3 + v (12)−v (1) 6 + v (23)−v (3) 6 + v (123)−v (13) 3 φ3 (v ) = v (3) 3 + v (13)−v (1) 6 + v (23)−v (2) 6 + v (123)−v (12) 3 El vector φ(v ) = (φ1 (v ), φ2 (v ), φ3 (v )) és el VALOR DE SHAPLEY per al cas de 3 jugadors. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 108 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Si l’apliquem a l’exemple anterior tenim: Ordenacions σ1 = (1, 2, 3) σ2 = (1, 3, 2) σ3 = (2, 1, 3) σ4 = (2, 3, 1) σ5 = (3, 1, 2) σ6 = (3, 2, 1) total mitjana φ(v ) 1 0 0 0 150 450 150 750 750 6 Jugadors 2 3 0 600 150 450 0 600 0 450 150 0 450 0 750 2.100 750 6 2.100 6 Per tant: φ(v ) = (125, 125, 350) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 109 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Recordem l’exemple dels inversors: N = {1, 2, 3} capitals −→ 1,5, 1,5, 3 v (13) = 450 v (23) = 450 v (N) = 600 v (S) = 0 per a la resta φ(v ) = ( 125, 125 | {z } 8,3% del capital invertit que és 1,5 milions 1.500.000 ∗ 8.3 = 125.000 100 Giménez-Gómez i Vilella (URV) , 350 ) |{z} 11,6% del capital invertit que és 3 milions 3.000.000 ∗ 11.6 = 350.000 100 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 110 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Si examinem el core d’aquest joc veiem:  x ∈ I (v ) x1 + x2 > 0 C (v ) = x2 + x3 > 450  x ∈ I (v ) x2 ≤ 150, = x1 + x3 > 450 x1 + x2 + x3 = 600  x1 ≤ 150 x3 ≤ 600  (0, 0, 600) (150, 0, 450) C(v) x2 = 0 (0, 150, 450) x1 = 0 F(v) (600, 0, 0) x3 = 0 (0, 600, 0) Podem veure que φ(v ) ∈ C (v ). Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 111 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Fins ara hem fet exemples on el que es distribuı̈a eren guanys. Per als jocs de costos es defineix el valor de Shapley de la mateixa manera. Vegem-ne un exemple. Exemple: Considerem tres establiments comercials A, B i C, que decideixen agrupar-se i realitzar conjuntament les seves comandes mensuals d’un determinat producte. El proveı̈dor els ofreix els següents preus unitaris, p(x), depenent del volum de la comanda, en què x indica el nombre d’unitats demanades: ( 0,5 euros si 0 6 x < 500 p(x) = Giménez-Gómez i Vilella (URV) 0,4 euros 0,35 euros si si 500 6 x < 1.000 1.000 6 x. Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 112 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Les comandes mensuals per cada establiment són 200, 200 i 700, respectivament. La funció caracterı́stica del joc de costos és: C (A) = 100 C (B) = 100 C (C ) = 280 C (AB) = 200 C (AC ) = 360 C (BC ) = 360 C (ABC ) = 385 Si fixem una ordenació σ = (B, A, C ), per exemple, i els imputem el cost marginal, tindrem que l’assignació serà: mσ (c) = (C (AB) − C (B), C (B), C (ABC ) − C (AB)) = (100, 100, 185) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 113 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Mirem per a totes les ordenacions els costos marginals mσ (c): Ordenacions σ = (A, B, C ) σ = (A, C , B) σ = (B, A, C ) σ = (B, C , A) σ = (C , A, B) σ = (C , B, A) total mitjana φ(c) 1 100 100 100 25 80 25 430 71, 6 Jugadors 2 3 100 185 25 260 100 185 100 260 25 280 80 280 430 1.450 71, 6 241, 6 VALOR DE SHAPLEY φ(c) = (71, 6, 71, 6, 241, 6) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 114 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Observem que: El màxim descompte s’assoleix quan tots tres cooperen. Llavors aconsegueixen el preu de 0,35 e per unitat. Els jugadors 1 i 2 junts o separats no aconsegueixen cap descompte, però amb el jugador 3 poden aconseguir el 30% de descompte. La solució proporcional és: P(c)=(0,35*200,0,35*200,0,35*700)=(70, 70, 245) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 115 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley D’aquesta manera no discriminem entre els jugadors i imputem un preu unitari igual per tots de 0,35 e . El valor de Shapley té en compte les diferències entre els jugadors. Shapley asigna els preus unitaris següents: P A = P B = 0., 358 P C = 0, 345 És un preu proper al de la proporció P=0,35, però discrimina entre els jugadors segons el que hem observat anteriorment. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 116 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats Quan tenim més de 3 jugadors la situació no varia de la que hem descrit fins ara, excepte en el nombre de possibilitats que tenen per ordenar-se. Per a n jugadors N = {1, 2, ..., n} tenim n! = n(n − 1)(n − 2)...3.2.1 maneres d’ordenar-se. El valor de Shapley es pot expressar com: φ(v ) = 1 P σ m (v ) n! σ∈Sn On Sn és el conjunt de totes les ordenacions possibles i mσ (v ) representa el vector de contribucions marginals associat. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 117 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats També podem escriure la fórmula per a cada jugador en termes de les seves contribucions marginals. Definició (Shapley, 1953) Si (N, v ) és un joc cooperatiu d’utilitat transferible, el valor de Shapley es definex com: φ(v ) = (φ1 (v ), φ2 (v ), ...φn (v )) φi (v ) = P γ(S)[v (S ∪ {i}) − v (S)] i = 1, ..., n. S⊆N\{i} en què γ(S) = s!(n−s−1) , n! i s = |s| γ(S) s’anomena coeficient de ponderació. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 118 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats Exemple: Per n = 4, el valor de Shapley seria: S ⊆ N \ {i} , i = 1 ⇒ S ⊆ {2, 3, 4} S=∅ S={2} S={3} }| { z }| { z }| { z v (1) 1!2!(v (12) − v (2)) v (13) − v (3) + + + φ1 (v ) = 4 4! 12 S={4} S={23} S={24} z }| { z }| { z }| { v (14) − v (4) 2!1!(v (123) − v (23)) v (124) − v (24) + + + 12 4! 12 S={34} S={234} z }| { z }| { v (134) − v (34) 3!0!(v (1234) − v (234)) + 12 4! Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 119 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats Exercici: Calculeu φ2 (v ) = ... φ3 (v ) = ... φ4 (v ) = ... Notem que els coeficients que intervenen en l’expresió del valor de Shapley per a cada jugador sumen 1. 1 4 + Giménez-Gómez i Vilella (URV) 1 12 + 1 12 + 1 12 + 1 12 + 1 12 + 1 12 + Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 1 4 =1 120 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats Exercici: Calculeu el valor de Shapley del següent joc i estudieu si pertany al core: N = {1, 2, 3, 4} v (1) = 0 v (2) = 0 v (3) = 0 v (4) = 0 v (24) = 4 v (34) = 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) v (12) = 0 v (13) = 2 v (14) = 4 v (23) = 2 v (234) = 4 v (123) = 4 v (124) = 4 v (134) = 4 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica v (N) = 6 121 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats φi (v ) = P γ(S)[v (S ∪ {i}) − v (S)] S⊆N\{i} i = 1, ..., n 0 φ1 (v ) = z}|{ v (1) 4 0 + 12 2 0 z }| { z}|{ v (12) − v (2) 4 + + 12 2 4 z }| { z }| { v (123) − v (23) γ(S) = 12 12 4 + 4 0 z }| { z}|{ v (13) − v (3) 4 z }| { z }| { v (124) − v (24) s!(n−s−1)! n! + 12 0 z }| { z }| { v (134) − v (34) 12 0 z }| { z}|{ v (14) − v (4) + 6 + 4 z }| { z }| { v (1234) − v (234) 4 = 3 2 ... φ(v ) = ( 32 , 32 , 76 , 11 6 ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 122 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats φ(v ) ∈ C (v )? ⇐⇒ φ(14) = φ1 + φ4 = 3 2 + φ(S) ≥ v (S) φ(N) = v (N) 11 6 = 9+11 6 = 20 6 ∀S ⊂ N  v (14) = 4 ⇓ φ(v ) ∈ / C (v ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 123 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats Observacions: El valor de Shapley sempre selecciona una preimputació (distribució eficient φ(N) = v (N)), sempre existeix i és únic. No ens assegura que estiguem seleccionant una imputació del joc (no assegura la racionalitat individual). No obstant això, si el joc és superadditiu (condició que es dóna en la majoria de problemes econòmics); és a dir: v (S) + v (T ) ≤ v (S ∪ T ), ∀S, T ⊆ N, S ∩T =∅ Podrem garantir la racionalitat individual; és a dir, φi (v ) ≥ v (i), i = 1, ..., n. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 124 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats Proposició: Si (N, v ) és un joc superadditiu Giménez-Gómez i Vilella (URV) ⇒ el valor de Shapley φ(v ) és una imputació. Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 125 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats Demostració: (N, v ) superadditiu ∀S ⊆ N \ {i} ⇒ v (S) + v (i) ≤ v (S ∪ {i}) ∀i ∈ N, ⇒ v (i) ≤ v (S ∪ {i}) − v (S) = miσ (v ) Contribució marginal del jugador i per una ordenació σ ⇓ v (i) ≤ miσ (v ) Si això ho sumem ∀σ ∈ Sn tindrem: n!v (i) ≤ v (i) ≤ Per tant, φi (v ) ≥ v (i). Giménez-Gómez i Vilella (URV) 1 n! P σ∈Sn miσ (v ) P ⇓σ mi (v ) = φi (v ) σ∈Sn Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 126 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats Si no podem garantir que el valor de Shapley seleccioni una imputació, més difı́cil serà assegurar que, en general, pertanyi al core del joc. Definició: Un joc (N, v ) és convex si ∀i ∈ N es compleix que ∀S ⊆ T ⊆ N \ {i}. v (S ∪ {i}) − v (S) ≤ v (T ∪ {i}) − v (T ) És a dir, que per tot jugador les seves contribucions marginals són creixents. En particular, si el joc és de tres jugadors podem dir que serà convex ⇐⇒ satisfà: v (1) + v (2) ≤ v (12) v (1) + v (3) ≤ v (13) v (2) + v (3) ≤ v (23) v (12) + v (13) ≤ v (123) + v (1) v (12) + v (23) ≤ v (123) + v (2) v (13) + v (23) ≤ v (123) + v (3) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 127 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats Proposició: Si (N, v ) és un joc convex ⇒ el valor de Shapley φ(v ) pertany al core. Demostració: Per als jocs convexos, els vectors de contribucions marginals són extrems del core. (Això ho demostrarem més endavant.) Com que Shapley és una mitjana d’aquests vectors de contribució marginal ⇒ El valor de Shapley pertany al core; de fet, ocuparà una posició central dins del core. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 128 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El valor de Shapley Definició i propietats Exercici: Si tenim el joc v (1) = 0 v (2) = 0 v (3) = 0 v (12) = 1 v (13) = 2 v (23) = 2 v (123) = 4 a. Calculeu el valor de Shapley. b. Distribuı̈u el conjunt d’imputacions, el core, els vectors de contribucions marginals i el valor de Shapley. c. Comproveu que el joc és convex. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 129 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El conjunt de Weber A partir dels vectors de contribucions marginals construı̈m el mı́nim conjunt convex que els conté que s’anomena conjunt de Weber. Definició Si tenim un joc (N, v ), anomenem conjunt de Weber, i el denotem per W (v ), a les combinacions convexes dels vectors de contribucions marginals. n! n! P P W (v ) = { αj mσj (v ) : 1αj ≥ 0, j = 1, ..., n!, i αj = 1} j=1 j=1 = convex{mσ (v )} Observem que: W (v ) 6= ∅ (per definició) W (v ) ⊆ I ∗ (v ) (ja que mσ (N) = v (N)) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 130 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El conjunt de Weber Exemple: v (1) = 0 v (2) = 0 v (3) = 0 v (12) = 2 v (13) = 1 v (23) = 2 v (123) = 3 Calculem els vectors de contribucions marginals: σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 = (1, 2, 3) → mσ1 = (1, 3, 2) → mσ2 = (2, 1, 3) → mσ3 = (2, 3, 1) → mσ4 = (3, 1, 2) → mσ5 = (3, 2, 1) → mσ6 Giménez-Gómez i Vilella (URV) = (0, 2, 1) = (0, 2, 1) = (2, 0, 1) = (1, 0, 2) = (1, 2, 0) = (1, 2, 0) ⇒ mσ1 = mσ2 = (0, 2, 1) mσ3 = (2, 0, 1) σ m 5 = mσ6 = (1, 2, 0) mσ4 = (1, 0, 2) 4 vectors de contribució marginal diferents Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 131 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva xi ≥ 0 El conjunt de Weber i = 1, 2, 3 Calculem el core del joc: x1 + x2 + x3 = 3 x1 + x2 ≥ 2 x1 + x3 ≥ 1 x2 + x3 ≥ 2 ⇓ 3 = x1 + x2 + x3 ≥ 2 + x3 3 = x1 + x2 + x3 ≥ 1 + x2 3 = x1 + x2 + x3 ≥ 2 + x1 ⇒ ⇒ ⇒ x3 ≤ 1 x3 ≤ 2 x3 ≤ 1 ⇓    0 ≤ x1 ≤ 1  0 ≤ x2 ≤ 2 C (v ) =   0 ≤ x3 ≤ 1 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 132 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El conjunt de Weber Gràficament: (0, 0, 3) (1, 0, 2) W (v) (1, 1, 1) (2, 0, 1) (0, 2, 1) C(v) (3, 0, 0) (1, 2, 0) (0, 3, 0) C (v ) = convex{(0, 2, 1); (1, 2, 0); (1, 1, 1)} W (v ) = convex{(0, 2, 1); (1, 2, 0); (2, 0, 1); (1, 0, 2)} Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 133 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El conjunt de Weber Observem que: C (v ) ⊆ W (v ), però no són iguals. Els marginals que pertanyen al core sempre seran punts extrems del core. Pot ser que cap vector de contribució marginal pertanyi al core. Pot ser que tots els marginals pertanyin al core. En aquest cas, C (v ) = W (v ). Això passarà per als jocs convexos. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 134 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El conjunt de Weber Proposició: Per a tot joc (N, v ) es té: 1. W (v ) ⊆ I ∗ (v ) 2. Si mσ (v ) ∈ core(v ) ⇒ mσ (v ) és un extrem del core. Teorema: Per a tot joc (N, v ) es compleix C (v ) ⊆ W (v ). Quan C (v ) = W (v )? Teorema: Per a tot joc (N, v ) es verifica v convex ⇔ C (v ) = W (v ). Per tant, els jocs convexos són els únics que tenen la propietat que el core sempre serà no buit i coincidirà amb el conjunt de Weber. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 135 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Relació entre φ(v ) i W (v ) Observem que: Com que el valor de Shapley és una ponderació dels vectors de contribució marginals ⇒ en general, φ(v ) ∈ W (v ). El valor de Shapley és una distribució del conjunt de Weber. ⇓ Per als jocs convexos C (v ) = W (v ); per tant, φ(v ) ∈ C (v ). Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 136 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Relació entre φ(v ) i W (v ) El valor de Shapley és invariant respecte als canvis d’escala i d’origen. Tenim un joc v i el transformem en un altre joc, multiplicant els valors de les coalicions per a α > 0 i fem un canvi d’origen a d = (d1 , ..., dn ) ∈ R n . (αv + d)(S) = αv (S) + P di i∈S Llavors, el valor de Shapley del joc inicial i del transformat estaran lligats per la mateixa transformació en el canvi d’escala i d’origen. Proposició: Si tenim (N, v ), aleshores: φ(αv + d) = αφ(v ) + d en que α > 0 i d ∈ R n . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 137 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Relació entre φ(v ) i W (v ) Exemple: v (1) = 2 v (2) = 2 v (3) = 3 v (12) = 3 v (13) = 5 v (23) = 8 v (123) = 10 ⇓ 20 29 φ(v ) = ( 11 6 , 6 , 6 ) Fem la transformació: α = 3, Giménez-Gómez i Vilella (URV) d(1,1,1) ⇒ v 0 = αv + d Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 138 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva v 0 (S) = αv (S) + P Relació entre φ(v ) i W (v ) di i∈S v 0 (1) = 3v (1) + d1 = 3 ∗ 2 + 1 = 7 v 0 (2) = 3v (2) + d2 = 3 ∗ 2 + 1 = 7 v 0 (3) = 3v (3) + d3 = 3 ∗ 3 + 1 = 10 v 0 (12) = 3v (12) + d1 + d2 = 3 ∗ 3 + 1 + 1 = 11 v 0 (13) = 3v (12) + d1 + d3 = 3 ∗ 5 + 1 + 1 = 17 v 0 (23) = 3v (23) + d2 + d3 = 3 ∗ 8 + 1 + 1 = 26 v 0 (123) = 3v (123) + d1 + d2 + d3 = 3 ∗ 10 + 1 + 1 + 1 = 33 Per a la proposició anterior: 20 29 39 66 93 φ(v 0 ) = αφ(v ) + d = 3( 11 6 , 6 , 6 ) + (1, 1, 1) = ( 6 , 6 , 6 ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 139 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley És important analitzar els axiomes o les propietats que verifiquen les solucions. Aixı́ donem un fonament a la solució i, alhora, la comprensió d’aquests axiomes pot facilitar-ne l’acceptació i aplicació. El valor de Shapley es caracteritza pels axiomes d’eficiència, el tractament igualitari, el jugador fals i l’additivitat. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 140 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley 1. EFICIÈNCIA: La solució ha d’assignar el total dels guanys o dels costos entre els jugadors. És a dir: Si el vector (x1 , ..., xn ) és el repartiment final, aleshores exigirem que: x1 + x2 + ... + xn = v (N) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 141 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley 2. TRACTAMENT IGUALITARI: Si dos jugadors realitzen aportacions equivalents al joc, és a dir, si són jugadors substituts, han de rebre igual pagament. Dos jugadors i, j són substituts: v (S ∪ {i}) = v (S ∪ {j}) per a tota coalició S que no conté ni el jugador i ni el j. En particular si S = ∅ s’hauria de verificar que v (i) = v (j). Com a conseqüència d’això, podem veure que totes les contribucions marginals de dos jugadors substituts són idèntiques. v (S ∪ {i}) − v (S) = v (S ∪ {j}) − v (S), ∀S tal que i ∈ / S, j ∈ /S Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 142 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley Exemple: v (1) = 3 v (2) = 7 v (3) = 7 v (12) = 9 v (13) = 9 v (23) = 10 v (123) = 12 i, j són substituts ⇐⇒ v (S ∪ {i}) = v (S ∪ {i}), ∀S tals que i, j ∈ /S Per exemple, mirem si 1 i 2 són substituts: S ⊆ N \ {1, 2} Per S = ∅ tenim ? v (∅ ∪ {1}) = v (∅ ∪ {2}) v (1) 6= v (2) |{z} |{z} 3 7 Per tant, 1 i 2 no són substituts. Per la mateixa raó 1 i 3 tampoc ho seran. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 143 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley Mirem si ho són 2 i 3: S ⊆ N \ {2, 3} ? S = {∅} −→ v (∅ ∪ {2}) = v (∅ ∪ {3}) v (2) = v (3) = 7 Sı́! S = {1} −→ v ({1} ∪ {2}) = v ({1} ∪ {3}) v (12) = v (13) = 9 Sı́! =⇒ 2 i 3 són substitutius. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 144 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley 3. TRACTAMENT DE JUGADOR FALS: dummy Si un jugador no aporta cap benefici addicional a la resta de jugadors no ha de rebre cap pagament addicional. Un jugador és fals o dummy si la seva contribució marginal a qualsevol coalició és el seu valor individual. v (S ∪ {i}) − v (S) = v (i), ∀S ⊆ N \ {i} Si es dóna aquest cas, el jugador ha de rebre v (i). Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 145 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley Exemple: v (1) = 3 v (2) = 10 v (3) = 7 Hi ha algun v (12) = 10 v (13) = 9 v (N) = 17 v (23) = 14 jugador fals o dummy? i dummy ⇐⇒ v (S ∪ {i}) − v (S) = v (i), ∀S ⊆ N \ {i} i=1 és dummy? S =∅ S = {2} → → S = {3} → S = {23} → v (1) − v (∅) = v (1) v (12) − v (2) = v (1) 10-7 = 3 v (13) − v (3) = v (1) 10-7 = 3 v (123) − v (23) = v (1) 17-14 = 3 El jugador 1 és dummy. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 146 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El jugador i=2 és dummy? Axiomàtica del valor de Shapley S =∅ S = {1} → → S = {3} → S = {13} → v (2) − v (∅) = v (2) v (12) − v (1) = v (2) 10-3 = 7 v (23) − v (3) = v (2) 14-7 = 7 v (123) − v (13) = v (2) 17-10 = 7 El jugador 2 és dummy. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 147 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva El jugador i=3 és dummy? Axiomàtica del valor de Shapley S =∅ S = {1} → → S = {2} → S = {12} → v (3) − v (∅) = v (3) v (132) − v (1) = v (3) 10-3=7 v (23) − v (3) = v (3) 14-7=7 v (123) − v (12) = v (3) 17-10=7 Sı́ Sı́ Sı́ Sı́ El jugador 3 també és dummy. És un joc additiu, tots tres són dummies ⇒ Quin serà el valor de Shapley? φ(v ) = (3, 7, 7) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 148 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley Exemple: v (1)=3 v (2)=7 v (3)=7 v (12)=9 v (13)=9 v (23)=10 v (123) = 12 i=1 és dummy? S =∅ S = {2} → → v (1) − v (∅) = v (1) v (12) − v (2) 6= v (1) | {z } |{z} |{z} 9 7 → Sı́ 3 i=2 és dummy? S = {3} → v (23) − v (3) 6= v (2) | {z } |{z} |{z} 10 Giménez-Gómez i Vilella (URV) 7 7 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 149 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley El jugador i=3 és dummy? S = {1} → v (13) − v (1) 6= v (3) | {z } |{z} |{z} 9 3 7 No hi ha cap jugador que sigui dummy. Quin serà el valor de Shapley per a aquest joc? 29 29 φ(v ) = ( 14 (1), v (2), v (3)) 6 , 6 , 6 ) 6= (v |{z} |{z} |{z} 3 Giménez-Gómez i Vilella (URV) 7 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 7 150 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley 4. ADDITIVITAT: Si acceptem un criteri de repartiment, diguem-li α, i els beneficis que es poden obtenir d’un projecte provenen de l’addició dels beneficis de dos subprojectes o centres de beneficis diferents, aleshores cada jugador hauria de rebre la suma d’aplicar el criteri a cadascun dels subprojectes. És a dir: Si v = v1 + v2 ⇐⇒ v (S) = v1 (S) + v2 (S), ∀S ⊆ N Llavors, α(v ) = α(v1 ) + α(v2 ). Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 151 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley Exemple: v1 (1) = 3 v1 (2) = 7 v1 (3) = 7 v1 (12) = 10 v1 (13) = 10 v1 (N) = 17 v1 (23) = 14 ↓ φ(v1 ) = (3, 7, 7) v2 (1) = 3 v2 (2) = 7 v2 (3) = 7 v2 (12) = 9 v2 (13) = 9 v2 (N) = 12 v2 (23) = 10 ↓ 29 29 φ(v2 ) = ( 14 6 , 6 , 6 ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 152 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley Per tant, el nou joc és: v (1) = 6 v (2) = 14 v (3) = 14 v (12) = 19 v (13) = 19 v (N) = 29 v (23) = 24 ↓ Quin és el valor de Shapley de v ? σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 = (123) = (132) = (213) = (231) = (312) = (321) −→ −→ −→ −→ −→ −→ mσ1 (v ) = (6, 13, 10) mσ2 (v ) = (6, 10, 13) mσ3 (v ) = (5, 14, 10) mσ4 (v ) = (5, 14, 10) mσ5 (v ) = (5, 10, 14) mσ6 (v ) = (5, 10, 14) 71 71 φ(v ) = ( 32 6 , 6 , 6 ) 29 29 Observem que: φ(v1 ) + φ(v2 ) = (3, 7, 7) = ( 14 6 , 6 , 6 ) Per tant, es verifica l’additivitat. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 153 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley Teorema: El valor de Shapley és l’única solució que verifica els axiomes d’eficiència, el tractament igualitari, l’additivitat i el tractament de jugador fals. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 154 / 251 3.1. Problemes de decisió col·lectiva Axiomàtica del valor de Shapley Per tant: AXIOMES ) Molts criteris de repartiment 1-Eficiència 2-Tractament igualitari les verifiquen, 3-Tractament de jugador fals són simples i coherents. 4-Additivitat → És l’axioma que realment diferencia el valor de Shapley d’altres solucions. Per comprovar que es compleix només cal comprovar que els marginals compleixen: ∀i, ∀S ⊆ N \ {i} ⇒ v (S ∪ {i}) − v (S) = v1 (S ∪ {i}) − v1 (S) +v2 (S ∪ {i}) − v2 (S) Cert, ja que v = v1 + v2 . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 155 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Introducció La teoria de jocs cooperatius també s’ha utilizat per descriure i estudiar sistemes de votació, i també el poder relatiu dels diferents agents. Una junta d’accionistes, el parlament d’un paı́s, una comunitat de propietaris, etc., són casos en què els sistemes de votació són un instrument de decisió col·lectiva. En molts casos, els agents arriben al poder mitjançant la cooperació. Aliances entre partits polı́tics, compra d’accions per obtenir una majoria qualificada o el poder de veto d’alguns paı̈sos a la ONU, en són alguns exemples reals. La teoria de jocs cooperatius analitza aquestes situacions i a partir d’una regla de votació analitza el poder relatiu de cada un dels agents. Els jocs de votació també s’anomenen jocs simples, ja que dividim les coalicions en dos tipus: coalicions guanyadores v (S) = 1 i coalicions perdedores. v (S) = 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 156 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Propietats dels jocs de votació 1. v (S) = 1 (Si tots estan d’acord en una decisió, aquesta es pren.) 2. Si v (S) = 1 ⇒ ∀T ⊇ S, v (T ) = 1 (Monotonia: Si una coalició és guanyadora, qualsevol altra coalició que la inclogui també ho serà.) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 157 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Definim: Un joc v ∈ G n , és un joc simple si satisfà: v (S) ∈ {0, 1} per a tota S ⊆ N en què v (N) = 1 Si, a més, satisfà la propietat de monotonia, ∀S, T ⊆ N; si S ⊆ T ⇒ v (S) ≤ v (T ), direm que el joc és simple monòton. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 158 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Exemple, jocs de majoria simple Descrivim mitjançant la funció caracterı́stica d’un joc, el sistema de votació de majoria simple d’un col·lectiu de n agents on cada agent té un vot: majoria simple =⇒ més de la meitat dels vots per guanyar Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 159 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Si n és senar, el poder el tindran les coalicions amb un nombre d’agents superior a n−1 2 . ( 1 si |S| ≥ n 2 0 si |S| < n 2 v (S) = Exemple: N = {1, 2, 3} n = 3 és senar → v (1) = 0 v (2) = 0 v (3) = 0 v (12) = 1 v (13) = 1 v (23) = 1 n−1 2 =1 v (N) = 1 ↑ Amb 2 jugadors ja hi ha majoria simple. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 160 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Si n és parell, ( 1 si 0 si v (S) = |S| ≥ n 2 +1 en un altre cas Exemple: N = {1, 2, 3, 4}, n = 4 és parell → v (1) = 0 v (2) = 0 v (3) = 0 v (4) = 0 v (12) = 0 v (13) = 0 v (14) = 0 v (23) = 0 v (24) = 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) v (123) = 1 v (124) = 1 v (134) = 1 v (234) = 1 n 2 + 1 = 3 majoria simple. v (N) = 1 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 161 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació És fàcil veure que un joc de majoria simple sempre és (1) monòton i (2) superadditiu. Vegem-ho: (1) ∀S, T ⊆ N, S ⊆ T , v (S) ≤ v (T ) Si v (S) = 0 =⇒ v (T ) = 0 o 1 =⇒ v (S) ≤ v (T ) Si v (S) = 1 =⇒ v (T ) = 1 =⇒ v (S) ≤ v (T ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 162 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació (2) ∀S, T ⊆ N, S ∩ T = ∅, v (S) + v (T ) ≤ v (S ∪ T ) No pot haver-hi dues coalicions guanyadores disjuntes, per tant: Si S ∩ T = ∅ =⇒ tenim tres possibilitats: 1- v (S) = v (T ) = 0 =⇒ v (S) + v (T ) ≤ v (S ∪ T ) = 0 o 1. |{z} | {z } 0 0 2- v (S) = 0, v (T ) = 1 ⇒ com que T ⊆ S ∪ T ⇒ v (S ∪ T ) = 1; per tant, v (S) + v (T ) ≤ v (S ∪ T ) = 1. |{z} | {z } 0 1 3- v (S) = 1, v (T ) = 0, ı́dem que el cas anterior. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 163 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Exemple: jocs de majoria ponderada. En aquest tipus de jocs cada jugador té un nombre de vots wi > 0 per a i = 1, ..., n. Per a què s’adopti una decisió cal que la suma dels vots dels jugadors que hi estan a favor superi una certa quantitat q en què n P wi . Aquests sistemes de votació es representen com 0≤q< i=1 [q; w1 , ..., wn ]. Direm w (S) = P wi , és la suma dels vots d’una coalició. i∈S ( 1 si w (S) ≥ q 0 si w (S) < q v (S) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 164 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació És un joc simple i monòton. Tindrà altres propietats depenent dels paràmetres. En general no és superadditiu. Exemple: [4; 1,5, 1,5] {1, 2}{3, 4} són coalicions guanyadores disjuntes ⇒ v (12) + v (34)  v (1234) | {z } | {z } | {z } 1 1 1 En aquest cas el joc no és superadditiu. v (1) = 0 v (2) = 1 v (3) = 0 v (4) = 1 v (12) = 1 v (13) = 0 v (14) = 1 v (23) = 1 v (34) = 1 Giménez-Gómez i Vilella (URV) v (123) = 1 v (124) = 1 v (134) = 1 v (234) = 1 v (N) = 1 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 165 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Exercici: Si tenim el joc simple monòton en què les coalicions guanyadores minimals són {3}, {1, 2} sobre N = {1, 2, 3}, demostreu que [0,5; 0,2, 0,3, 0,5] i [2; 1, 1, 3] són dues representacions del mateix joc en termes de majories ponderades. Estudieu la superadditivitat del joc. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 166 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació v1 : [0, 5; 0, 2, 0, 3, 0, 5] v1 (1) = 0 v1 (2) = 0 v1 (3) = 1 v1 (12) = 1 v1 (13) = 1 v1 (23) = 1 v1 (123) = 1 v2 (12) = 1 v1 (13) = 1 v2 (23) = 1 v2 (N) = 1 v2 : [2; 1, 1, 3] v2 (1) = 0 v2 (2) = 0 v2 (3) = 1 Observem que v1 (S) = v2 (S), ∀S ⊆ N. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 167 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Estudiem la superadditivitat del joc: v (1) = 0 v (2) = 0 v (3) = 0 v (12) = 1 v (13) = 1 v (23) = 1 v (123) = 1 S = {12}, S = {3}, S ∩ T = ∅ ? v (S) + v (T ) ≤ v (S ∪ T ) v (12) + v (3) ≤ v (123) | {z } 1+11 No és superadditiu. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 168 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Exercici Demostreu que el màxim i el mı́nim de dos jocs simples monòtons són jocs simples monòtons. (N1 , v1 ) i (N1 , v2 ) són dos jocs simples monòtons. Vegem que max{v1 , v2 } és també un joc simple: v1 simple ⇔ v1 (S) ∈ {0, 1}, ∀S ⊆ N i v1 (N) = 1 v2 simple ⇔ v2 (S) ∈ {0, 1}, ∀S ⊆ N i v2 (N) = 1 ⇒ max{v1 , v2 } ∈ {0, 1} i max{v1 (N), v2 (N)} = {1, 1} = 1 ⇒ Per tant, max{v1 , v2 } és un joc simple. Es faria igual per al mı́nim. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 169 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Vegem que max{v1 , v2 } és monòton: v1 monòton ⇔ ∀S ⊆ T i v1 (S) = v1 (T ) v2 monòton ⇔ ∀S ⊆ T i v2 (S) = v2 (T ) ⇒ max{v1 (S), v2 (S)} ≤ max{v1 (T ), v2 (T )} ⇒ Per tant, el max també és monòton. De la mateixa manera es demostra per al mı́nim. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 170 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Exercici Considerem el joc de votació ponderada següent [4; 2, 1, 6]. Demostreu que es tracta d’un joc superadditiu. v (1) = 0 v (2) = 0 v (3) = 1 v (12) = 0 v (13) = 1 v (23) = 1 v (123) = 1 S ∩T =∅ {1}{23} → v (1) + v (23) = {2}{13} → 0 + 1 ≤ 1 {3}{12} → 1 + 0 ≤ 1 {1}{2} → 0 + 0 ≤ 0 −→ {1}{23} → 0 + 1 ≤ 1 {2}{3} → 0 + 1 ≤ 1 Giménez-Gómez i Vilella (URV) 0 + 1 ≤ v (N) = 1 ∀S ∩ T = ∅ v (S) + v (T ) ≤ v (S ∪ T ) És superadditiu. Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 171 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Propietat: Si tenim un joc de majoria ponderada [q; w1 , ..., wn ], n P si q > wi i=1 2 =⇒ el joc és superadditiu. És una condició suficient, però no necessària(:). Per exemple: El problema anterior [4; 2, 1, 6] q=4 < 4=q ≯ 2+1+6 2 n P wi i=1 2 = 9 2 = 4, 5 = 4, 5 Aquest joc no compleix aquesta condició i, en canvi, hem vist que era supperadditiu. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 172 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació El core d’un joc de votació Joc simple: v (S) ∈ {0, 1}, ∀S ⊆ N i v (N) = 1 i monòton: v (S) ≤ v (T ) si S ⊆ T Un jugador i ∈ N és un jugador amb poder de veto en el joc v si qualsevol coalició que no el contingui té valor zero. És a dir, v (S) = 0, ∀S ⊆ N tal que i ∈ / S. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 173 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Exemple: N = {1, 2, 3}, si 1 té poder de veto ⇒ v (2) = v (3) = v (23) = 0 N = {1, 2, 3, 4}, si 1 té poder de veto ⇒ v (2) = v (3) = v (4) = v (23) = v (24) = v (34) = v (234) = 0 També pot haver-hi més d’un jugador amb poder de veto, per exemple: v (1) = 0 v (2) = 0 v (3) = 0 v (4) = 0 v (12) = 0 v (13) = 0 v (14) = 0 v (23) = 0 v (24) = 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) v (123) = 0 v (124) = 1 v (134) = 1 v (234) = 0 v (N) = 1 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 174 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Reunirem en una coalició tots els jugadors amb poder de veto i ho denotarem per: Veto(v ) = {i ∈ N|i és veto en v } Veto(v ) ⊆ N i pot ser buida. Si el joc és simple: Veto(v ) = ∩ S S⊆N v (S)=1 És a dir, els jugadors amb poder de veto són aquells que pertanyen a totes les coalicions guanyadores. Tot i que Veto(v ) pot ser no guanyadora com passa a l’exemple anterior: Veto(v ) = {1, 4} i v (14) = 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 175 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació La coalició Veto(v ) en els jocs simples (no cal que siguin monòtons) té tota la informació per determinar el core. Proposició: Per a tot joc simple (N, v ) tenim: Core(v ) = { n = R+ n| x ∈ R+ P xi = 1 i∈Veto(v ) {x ∈ R n | xi ≥ 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) i xi = 0 per a tot i ∈ / Veto(v )} ∀i ∈ N} Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 176 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Demostració: n, ⊇ Tenim que x ∈ R+ P xi = 1 i∈Veto(v ) i xi = 0 per a tot i ∈ / Veto(v ). Hem de veure que x ∈ C (v ) ⇔ x(S) ≥ v (S), ∀S ⊆ N. Si v (S) = 0 → x(S) ≥ v (S) = 0 Si v (S) = 1 → Veto(S) ⊆ S ⇒ x(S) ≥ x(Veto(v )) = v (S) ⊆ Tenim que x arbitrari, x ∈ C (v ). x ∈ C (v ) ⇒ x(N) = 1 i xi ≥ 0, ∀i ∈ N ⇒ almenys hi ha un jugador i∗ ∈ N tal que xi∗ > 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 177 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Si S ⊆ N és arbitrària tal que i∗ ∈ / S. Llavors: x(S) v (S) ≤ x(N\{i∗ }) zX }| { z X }| { xi ≤ xj = 1 − xi∗ < 1 ⇒ v (S) < 1 ↑ i∈S x∈C (v ) x(S)≥v (S)∀S j∈N\{i∗ } Com que el joc és simple ⇒ v (S) = 0. Per tant, hem vist que si xi∗ > 0 P el jugador i∗ ha de ser un jugador amb poder de veto. Aixı́ que x serà xi = 1 i xi = 0 per a tot i ∈ / Veto(v ). i∈Veto(v ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 178 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació D’aquı́ podem deduir que si a cada jugador amb poder de veto, i ∈ Veto(v ), li associem el vector de la base canònica de R n ; és a dir, ei = (0, . . . , 1, 0, . . . , 0); aleshores: Core(v ) = convex{ei | i ∈ Veto(v )} Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 179 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Exemple: v (1) = 0 v (2) = 0 v (3) = 0 v (4) = 0 v (12) = 1 v (13) = 0 v (14) = 0 v (23) = 0 v (24) = 0 v (123) = 0 v (124) = 1 v (134) = 0 v (234) = 0 v (N) = 1 És un joc simple, però no monòton. Veto(v ) = {1, 2} ⇓ C (v ) = {(x1 , x2 , 0, 0)|x1 + x2 = 1} = convex{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} x1 ≥0,x2 ≥0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 180 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Notem que en aquesta classe de jocs si x ∈ core(v ), els jugadors sense poder de veto reben zero i tot el poder està en mans dels jugadors amb poder de veto!! També observem que el core serà 6= ∅ ⇔ hi ha jugadors amb poder de veto ⇒ el core serà buit en molts casos. Sembla més apropiat escollir solucions del conjunt de Weber ja que d’entrada sabem que serà no buit. Mirem quin és el conjunt de Weber per als jocs simples i monòtons. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 181 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació El conjunt de Weber Direm que una coalició S ⊆ N és guanyadora minimal de v si: a. v (S) = 1 b. No conté cap subcoalició pròpia guanyadora, és a dir, per a qualsevol S 0 ⊆ S amb S 0 6= S, v (S 0 ) = 0. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 182 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Els vectors de contribució marginals d’un joc simple monòton són: i, mσ (v ) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) r ∀i ∈ U Sk on Sk són totes les coalicions guanyadores minimals. k=1 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 183 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Si (N, v ) és un joc simple monòton: r W (v ) = convex{ei |i ∈ U Sk } k=1 i, en què ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) i Sk són totes les coalicions minimals guanyadores del joc k = 1, ..., r . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 184 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Aquest conjunt assigna valor zero als jugadors falsos (dummies). Sembla una restricció molt raonable ja que els jugadors no pertanyen a cap coalició guanyadora minimal. Si hem de triar una distribució eficient que mostri el poder real dels votants, sembla raonable escollir-la del conjunt de Weber. En particular el valor de Shapley, que aplicat als jocs de votació rep el nom d’ı́ndex de poder de Shapley-Shubik, sempre pertany al conjunt de Weber. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 185 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Un ı́ndex de poder és una solució d’un joc de votació. Quin significat té? 1 Probabilista. Indica la probabilitat de cada jugador de guanyar una votació. És a dir, dóna una idea a priori de quantes votacions guanyaria el jugador sobre una mostra extensa d’aquestes votacions. 2 Mesura a priori del poder dels jugadors abans de la votació. Amb aquesta informació els jugadors poden decidir quines aliances formar. L’elecció de les interpretacions depèn del joc. Pot haver-n’hi altres. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 186 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Exemple: Comunitat Econòmica Europea. Tractat de Roma (1958). Naixement de la CEE: CEE = {Alemanya, França, Itàlia, Bèlgica, Paı̈sos Baixos, Luxemburg} (1958) A = Alemanya ) I = Itàlia 4 vots F = França o B = Bèlgica 2 vots P = Paı̈sos Baixos L = Luxemburg } 1 vot Total 17 vots Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 187 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Per aprovar una decisió eren necessaris, com a mı́nim, 12 vots (el 70,6% aprox.) ⇓ Joc de majoria ponderada [12; 4, 4, 4, 2, 2, 1] A,I,F −→ simètrics =⇒ L’ı́ndex de poder de Shapley-Shubik els assignaria el mateix poder als tres. B,P −→ simètrics Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 188 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació [12; 4, 4, 4, 2, 2, 1] Calculem el poder de Bèlgica: {A, I , F , B , P , L} mı́nim 12 ↓ ↓ ↓ 4 4 4 ↓ 2 ↓ ↓ 2 1 Com que Bèlgica té 2 vots, farà que les coalicions formades pels seus predecessors passin de perdedores a vencedores quan sumin 10 o 11 vots. Per tal que els predecessors sumin 10, els predecessors hauran de sumar 4 + 4 + 2 i darrere seu quedarà un dels de 4 vots i Luxemburg amb 1 vot. ↓ P Per tant, serà: ) 4 4 2 (P) ( →B→ Giménez-Gómez i Vilella (URV) 4 1 (L) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 189 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Col·locats d’aquesta manera segons els pesos tindrem vàries possibilitats. Podem tenir: ) ( A Total de possibles I F ordenacions: →B→ P L 6*2=12 ↓ Es poden ordenar de 3!=6 maneres ↓ Es poden ordenar de 2!=2 maneres També podem tenir: ( A ) I L ⇒ 12 possibles ordenacions ( F ) I A →B→ P L ⇒ 12 possibles ordenacions F P →B→ Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 190 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Mirem ara les possibilitats que hi ha que els predecessors de Bèlgica sumin 11. Per tal que els predecessors de Bèlgica sumin 11 vots, necessàriament l’hauran de precedir paı̈sos que sumin 4 + 4 + 2 + 1. ↓ P ↓ L Per tant, serà: 4 ) 4 →B→{4 2 (P) 1 (L) Col·locats d’aquesta manera, segons els vots hi ha diverses possibles ordenacions: Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 191 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació A ) F → B → I ⇒ 4! = 24 possibles ordenacions P L A ) I → B → F ⇒ 4! = 24 possibles ordenacions P L I ) F → B → A ⇒ 4! = 24 possibles ordenacions P L Total: 24+24+24=72 ordenacions en què els predecessors de Bèlgica sumen 11 vots. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 192 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Per tant, si tenim en compte que el nombre total d’ordenacions, dels sis paı̈sos és 6!=720, l’ı́ndex de Shapley-Shubik de Bèlgica serà: 72+36 720 = 9 60 ≈ 15% Serà el mateix per als Paı̈sos Baixos −→ Giménez-Gómez i Vilella (URV) 9 60 ≈ 15% Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 193 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Calculem el poder de Luxemburg: Ell només disposa d’1 vot; per tant, la seva participació únicament serà decisiva quan els seus predecessors sumin 11 vots, però els predecessors tots tenen un nombre de vots parell, i per tant, mai sumaran 11: ⇒ Luxemburg mai serà decisiu perquè una coalició passi de perdedora o guanyadora. És un jugador fals. L’ı́ndex de Shapley-Shubik de Luxemburg és 0 = 0%. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 194 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Calculem el poder d’Alemanya, França i Itàlia: Els tres tindran el mateix poder → x i, per eficiència, podem trobar-lo, ja que: 3x + 9 60 x= + 1− 18 60 3 9 60 + 0 = 1 = v (N) = 14 6 ≈ 23, 33% Per tant, l’ı́ndex de Shapley-Shubik assigna el següent poder a cada un dels paı̈sos: { A , F , I , B , P , L} ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 23,33 23,33 23,33 15 15 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 195 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Exemple: 1973, primera expansió de la CEE. S’hi incorporen el Regne Unit, Dinamarca i Irlanda. Nou repartiment dels vots: Alemanya ) Itàlia 10 vots (4x2,5) França Regne Unit o Bèlgica 5 vots (2x2,5) Paı̈sos Baixos Dinamarca o 3 vots Irlanda Luxemburg → 2 vots (1x2) Total 58 vots Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 196 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Per aprovar una decisió ara serà necessari tenir 41 vots (es manté el percentatge del 70, 6% aprox.) Joc de majoria ponderada: [41; 10, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2] Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 197 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Amb aquest nou sistema, el “poder”dels jugadors inicials s’ha mantingut excepte el cas de Luxemburg que, a diferència del que intuı̈tivament sembla, ha guanyat pes, ja que deixa de ser jugador fals i el seu ı́ndex de Shapley-Shubik ja no és zero. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 198 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Per exemple, la incorporació de Luxemburg a la coalició formada per Alemanya, França, el Regne Unit i Itàlia, la converteix en guanyadora. 10 + 10 + 10} + | + 10 {z 40 2 ↑ Luxemburg = 42 El mı́nim és 41; per tant, és guanyadora. De fet, encara que hagués mantingut 1 sol vot, seguiria millorant el seu ı́ndex de poder, que deixaria de ser zero. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 199 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Exemple: El Consell de Seguretat de les Nacions Unides Els votants són 15 paı̈sos membres. Cinc d’ells són permanents: Xina, els Estats Units, França, el Regne Unit i Rússia. Cada paı́s té 1 vot. Per adoptar una resolució almenys calen 9 dels 15 vots. Els membres permanents tenen dret de veto; per tant, cal el seu vot per poder aprovar qualsevol resolució. (Per simplificar, ignorem la possibilitat d’abstencions.) És un joc simple monòton, en què les coalicions guanyadores minimals són les formades pels 5 membres permanents més 4 dels restants per tal d’arribar a 9 vots. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 200 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Vegem que es tracta d’un joc de majoria ponderada: Per veure-ho hem de trobar uns pesos (o nombre de vots) per a cada jugador i una quota q. Com que tots els membres no permanents tenen el mateix poder, assignarem 1 vot a cadascun d’ells. Els membres permanents també tenen el mateix poder ⇒ els assignem x vots. Joc: [q; x, x, x, x, x, 1, 1, 1, 1, 1, . . . , 1] Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 201 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Cal calcular q i x: Una coalició amb 10 no permanents ) + =⇒ perdedora =⇒ q > 4x + 10 4 permanents ) 5 permanents + =⇒ guanyadora minimal =⇒ q ≤ 5x + 4 4 no permanets ⇓ q > 4x + 10 ) ⇒ 4x + 10 < q ≤ 5x + 4 ⇒ q ≤ 5x + 4 Giménez-Gómez i Vilella (URV) 4x + 10 < 5x + 4 10 − 4 < 5x − 4x 6<x Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 202 / 251 3.2. Jocs de votació i ı́ndex de poder Propietats dels jocs de votació Si prenem x = 7 tindrem 38 < q ≤ 39 ⇒ q=39. El joc de majoria ponderada seria: [39; 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] (Podrı́em descriure el mateix joc amb uns altres q i x ) Índex de poder de Shapley-Shubik: Membres permanents −→ 421 2.145 Membres no permanents −→ Giménez-Gómez i Vilella (URV) = 0, 1963 4 2.145 = 0, 00186 (unes 100 vegades menys) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 203 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Introducció Com repartim quan no hi ha prou per tothom? Quan una empresa fa fallida, com es reparteix el que queda entre els seus creditors? Més general: Quan diferents agents demanen una certa quantitat sobre un bé i la suma del que demanen els agents supera la quantitat del bé disponible, com s’ha de repartir aquest bé? El nostre objectiu és identificar regles per associar a cada problema de demanda un repartiment entre els demandants de la quantitat disponible. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 204 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Introducció La regla més utilitzada en el context dels problemes de demanda o de bancarrota és la “proporcional”: repartir proporcionalment a les demandes. És una manera molt antiga de resoldre aquest tipus de conflictes. Nosaltres analitzarem altres possibilitats. Per què hem de pensar que la regla proporcional és superior a les altres? Al Talmud (antiga llei religiosa dels jueus) ja es donen diversos exemples de problemes de demanda i les seves recomanacions no coincideixen amb la proporcional. Per tant, si existeixen altres recomanacions, pot haver-hi altres regles ben considerades. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 205 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Introducció El model que analitzarem es pot aplicar a molts exemples: 1. El Banc Mundial ha de repartir el seu pressupost per ajudar al desenvolupament d’alguns paı̈sos. Cada paı́s té unes necessitats i normalment el pressupost que hi ha no és suficient per cobrir les necessitats de tots els paı̈sos. Com s’ha de fer? 2. L’organitzador d’un congrés cientı́fic té un pressupost que (quasi mai) és suficient per cobrir les despeses de tots els participants. Com s’ha de calcular què es retornarà a cada participant? 3. Els problemes de racionament en temps de guerra també es poden plantejar d’aquesta manera. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 206 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Model Problema de demanda (claims problem) (c, E ) en què: c = (c1 , ..., cn ) ci ≥ 0, i = 1 . . . n demandes d’un grup de n demandants (claims) E E ≥0 quantitat disponible dels recursos De manera que n P ci ≥ E , ja que en cas contrari tindrien recursos i=1 suficients per satisfer a tothom i el problema desapareixeria. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 207 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Regla Una regla assigna a cada problema de P demanda (c, E ) una x = (x1 , ..., xn ) tal que xi ≥ 0 i xi ≤ ci , ∀i = 1, ..., n i xi = E . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 208 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment vectors d’adjudicacions (awards vectors) x2 ub x1 + x2 = E E b t b c2 b c y b z 0 E c1 x1 Els següents punts no són acceptables: y→ Perquè y1 + y2 > E , es repartiria més del que hi ha disponible. z→ Perquè z1 + z2 < E , es reparteix menys del que hi ha disponible. t→ Perquè t2 > c2 , l’agent 2 rep més del que reclama. u→ Perquè u1 < 0, assigna a l’agent 1 una quantitat negativa. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 209 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment vectors d’adjudicacions (awards vectors) x2 E b c2 x2 b 0 x1 c x1 + x2 = E E c1 x1 Els punts acceptables seran els que estan sobre la lı́nia marcada en vermell. Han de ser punts: - Restringits al pressupost, x1 + x2 = E . - No negatius. - Dominats pel vector de demandes, és a dir x1 ≤ c1 , x2 ≤ c2 . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 210 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Dos problemes de demanda al Talmud 1- El problema de la lluita pel vestit Dos homes discuteixen sobre qui és el propietari d’una peça de roba. Suposem que tots dos actuen de bona fe. Com es pot repartir la peça de roba entre ells? La peça està valorada en 200 unitats monetàries. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 211 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Dos problemes de demanda al Talmud El primer demana la meitat → c1 = 100 El segon ho demana tot → c2 = 200 El Talmud recomana y ≡ (50, 150) Adjudicacions c2 = 200 b g2 b g1 150 c1 = 100 50 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) E = 200 Valor de la roba Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 212 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Dos problemes de demanda al Talmud Si ho representem en el “camı́ de guanys”tindrı́em: x2 b c2 = 200 150 0 b 50 c x c1 = 100 x1 E = 200 (Podem fer-ho perquè només tenim 2 demandants.) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 213 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Dos problemes de demanda al Talmud 2- El problema del repartiment de l’herència Un home té 3 dones. El contracte de matrimoni especifica que, en cas que ell mori, elles han de rebre 100, 200 i 300, respectivament. L’home mor i només deixa una herència de 100. Com s’ha de repartir? El Talmud recomana: Si E = 100 Si E = 200 Si E = 300 Giménez-Gómez i Vilella (URV) −→ −→ −→ e=(33, 33, 33) k=(50, 75, 75) p=(50, 100, 150) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 214 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Dos problemes de demanda al Talmud Volem trobar una fórmula o algoritme que interpreti els exemples anteriors. Per això anirem analitzant algunes possibles regles de repartiment. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 215 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal avards, CEA Regla igualitària amb guanys restringida Si dividim igual per a tots, podem tenir agents que rebin més del que han demanat. Per exemple: (c = (10, 50), E = 40) Si la regla que agafem és equal division, és a dir, igual per a tots, el pagament que farı́em seria x1 = x2 = 20. Per tant, x1 = 20 > c1 = 10, i això no és possible. x2 50 b c E = 40 b 20 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) 10 20 E = 40 x1 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 216 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal awards, CEA La CEA repartirà igual, en un principi, però s’anirà ajustant per tal que cap agent pugui rebre un pagament superior al que reclama. x2 CEA(c, E ′ ) c b c2 z b b CEA(c, E) x y b 45o 0 c1 x1 ′ Si tenim el cas (c, E ) ⇒ CEA(c, E ) = (x1E, x2 ),E en què x1 = x2 , x1 < c1 i x2 < c2 , paga igual als dos. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 217 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained Equal Awards, CEA Si tenim el cas (c, E 0 ) ⇒ CEA(c, E ) = (z1 , z2 ) z1 = c1 Ja que si ens mantinguéssim a pagar igual als dos, es pagaria: z2 < c2 y = (y1 , y2 ) en què y1 = y2 , però y1 > c1 , i no pot ser. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 218 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal awards, CEA Exemple: x2 b c 200 b (100, 150) b (100, 100) (50, 50) (125, 125) b b 45o 0 x1 100 E = 100 E = 200 E = 300 Si E = 100 : CEA(c, E = 100) = (50, 50) Si E = 200 : CEA(c, E = 200) = (100, 100) Si E = 250 : CEA(c, E = 250) = (100, 150) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 219 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained Equal Awards, CEA (c, E ) −→ P CEA(c, E ) = x tal que per a cada i, xi ≡ min{ci , b} en què b és tal que min{ci , b} = E . Hi ha diverses maneres de calcular el CEA vector d’un problema: 1 P Fixem el vector c de demandes. Si E va de 0 a ci . Dividim igual fins que algú rep una quantitat igual a la seva demanda; serà el que fa la demanda més petita. Si la E és més gran que n vegades la demanda més petita, dividim el que queda entre els n − 1 que demanen més fins que tots rebin una quantitat igual a la del segon més petit. Si E és superior al claim més petit +(n − 1) vegades el segon claim més petit, dividim el que quedi en parts iguals entre (n − 2) restants, etc. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 220 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal awards, CEA Exemple: E = 500 c = (100, 200, 300) ( 100 |{z} , 100, 100) → E − 100 = 400 c1 =min{ci } CEA(c,E ) z}|{ → x = ( |{z} 100 , c1 200 |{z} , 200) c2 min{c1 ,c2 }=c2 segon més petit Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 221 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal awards, CEA 2 Divideix E en parts iguals. Si ningú obté més del que demana ja està. Si algú obté més del que demana, calcula per a cada agent la diferència entre el que obté i el que demana, i redistribueix de manera igualitària la suma d’aquestes diferències entre els que han rebut menys del que demanaven; això farà que algun estigui per sobre del que demana, llavors cal repetir el procés. Seguim fins que ningú rebi més del que demana. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 222 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal awards, CEA Exemple: E = 75 c = (c1 , c2 , c3 ) = (13, 30, 60) Punt inicial: (|{z} 25 , 25, 25) ⇒ 25 − 13 = 12 ⇒ 12 2 =6 c1 ⇒ (13, 25 + 6, 25 + 6) = (13, |{z} 31 , 31) ⇒ 31 − 30 = 1 c2 ⇒ (13, 30, 31 + 1) = (13, 30, 32) = CEA(c, E ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 223 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal awards, CEA Tornem a mirar l’exemple del Talmud per a E = 100: c = (100, 200, 300) E = 100 100 100 x = ( 100 3 , 3 , 3 ) = (33, 3, 33, 3, 33, 3) = CEA(c, E ) Ningú està pagat per sobre del que demana. Ja està. En aquest cas el que recomana el Talmud coincideix amb la regla CEA. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 224 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal losses, CEL Regla igualitària amb pèrdues restringida Aquesta regla té en compte tant el que el demandant rep com el que no rep; és a dir, les pèrdues que té. Iguala el que deixem de rebre entre els demandants sense que ningú rebi una quantitat negativa. El que demana més és el que serà pagat primer. Contràriament al que passava amb la regla CEA que primer pagava al que demanava menys. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 225 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal losses, CEL x2 b c2 c 45o CEL(c, E) = (x1 , x2 ) x2 b CEL(c′ , E) = (E, 0) c′2 45o b 0 x1 c1 c′1 x1 E Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 226 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained Equal Losses, CEL x2 b 200 c CEL(c, E ′ ) → x1 = (E ′ , 0) x3 b CEL(c, 100) → x2 = (0, E = 100) CEL(c, 200) → x3 = (50, 150) 100 b x1 b 0 x2 x1 100 E′ E = 100 E = 200 Clarament el jugador amb la demanda més gran està afavorit. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 227 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal losses, CEL Comparem-la amb la regla CEA: x2 b c 200 ′ ′ CEA(c, E ′ ) → x1 = ( E2 , E2 ) CEA(c, 100) → x2 = (50, 50) 100 b x4 b x3 CEA(c, 200) → x3 = (100, 100) CEA(c, E ′′ ) → x4 = (100, E ′′ − 100) x2 b x1 b 0 x1 100 E′ E = 100 E = 200 E ′′ Afavoreix al menor demanant. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 228 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal losses, CEL Per a cada (c, E ), selecciona un vector x, tal que: xi ≡ max{0, ci − b} P en què b s’escull per tal que max{0, ci − b} = E , ∀i = 1, ..., n. Hi ha vàries maneres de calcular-la, nosaltres en veurem una: P Suposem que E creix de 0 a ci . Pas 1. Donem al que demana més fins que les seves pèrdues siguin iguals a la demanda del segon que demana més. Pas 2. Si la quantitat disponible és encara més gran, dividim el que quedi entre els dos demandants més grans en parts iguals, fins que les seves pèrdues comunes siguin iguals a la demanda del tercer demandant més gran, etc. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 229 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal losses, CEL Exemple: (c, E ) = ((100, 200), 200) x2 b 200 x c 100 x = ( 100 2 , 100 + 2 ) b 100 0 x1 100 E = 200 Pas 1: x = (0, 100) pèrdues de segon=100=c 100 100 Pas 2: E − 100 = 100 → 100 2 per a cada un. x = ( 2 , 100 + 2 ). Aquesta regla aplicada als problemes del Talmud nomes ens dóna la recomanació del primer problema, però en cap cas coincideix amb les recomanacions fetes pel cas de l’herència. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 230 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Constrained equal losses, CEL (c, E ) = ((100, 200, 300), 100) Pas 1: x = (0, 0, 100). Pèrdues del 3r = 200 = c2 , E − 100 = 0. {z } | CEL (c, E ) = ((100, 200, 300), 200) Pas 1: x = (0, 0, 100). Pèrdues del 3r = 200 = c2 , E − 100 = 100. Dividim en parts iguals entre el segon i el tercer. Pas 2: → x = (0, 0 + 50, 100 + 50) = CEL(c, E ) = (0, 50, 150). (c, E ) = ((100, 200, 300), 300) Pas 1: → x = (0, 0, 100). Pèrdues del 3r = 200 = c2 , E − 100 = 200. Dividim en parts iguals entre el segon i el tercer. Pas 2: → x = (0, 100, 100 + 100) = CEL(c, E ) = (0, 100, 200). Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 231 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Proporcional, P Regla que assigna uns pagaments proporcionals a les demandes de cada agent. Ja s’utilitzava en l’època d’Aristòtil. És la més utilitzada a la pràctica. Per a cada (c, E ) → xi = PE ci , ci ∀i = 1, ..., n. Només coincideix amb la recomanació del Talmud per al cas de l’herència quan E = 300. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 232 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Proporcional, P Exemple: (c, E ) = ((100, 200, 300), 300) x1 = x2 = 300 600 100 300 600 200 = 21 100 = 50 = 12 200 = 100 P(c, E ) = (50, 100, 150) ↑ Coincideix amb el Talmud. x3 = 300 600 300 = 12 300 = 150 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 233 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Proporcional, P (c, E ) = ((100, 200), 200) x2 b 200 x c P(c, E) = (x1 , x2 ) b x2 0 x1 x1 100 E = 200 2 x1 = 200 300 100 = 3 100 = 66, 6 i x2 = coincideix amb el Talmud. Giménez-Gómez i Vilella (URV) 200 300 200 = 23 200 = 133, 3. No Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 234 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Proporcional, P Si (c 0 , E ) = ((200, 100), 200) x2 P(c′ , E) = (x1 , x2 ) 100 x1 0 b c x b x2 x1 200 E = 200 Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 235 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Proporcional, P Una altra manera de representar la proporcional que permet fer-ho per més de dos demandants: Si (c, E ) = ((100, 200, 300), 200) x1 , x2 , x3 b c3 = 300 x3 250 b c2 = 200 b x2 150 b c1 = 100 b b x1 b b 50 0 Giménez-Gómez i Vilella (URV) b E = 300 Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica E′ 600 E = c1 + c2 + c3 236 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Proporcional, P Per a E = 600 a cada un li donarem el que demana, a partir d’aquı́ podem obtenir la proporcional per als altres valors de E inferiors. Per exemple, per a E=300, estan marcats a la gràfica, x1 = 50, x2 = 100, x3 = 150. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 237 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Talmud, T Cap de les regles que hem vist satisfà totes les recomanacions que proposa el Talmud per als dos exemples que hem donat. Però algunes de les regles que hem vist verifiquen algunes de les recomanacions: CEL −→ Contested garment problem CEA −→ Estate division problem Sembla raonable pensar que el Talmud serà una combinació d’aquestes dues regles. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 238 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Talmud, T La regla del Talmud, T , per a cada (c, E ), T (c, E ) = x tal que per a cada i: P 1. P Si E ≤ 21 ci =⇒ xi = min{ c2i , b} en què b és tal que min{ c2i , b} = E . P 2. P Si E ≥ 12 ci =⇒ xi = ci − min{ c2i , b} en què b és tal que [ci − min{ c2i , b}] = E . Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 239 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Talmud, T Exemple del Talmud: x2 b c2 = 200 c x 150 b 100 b c T (c, E) = (50, 150) 2 0 50 c1 = 100 x1 E = 200 1. Per a E=100, quines solucions ofereix el Talmud? 2. Per a E=150, quines solucions ofereix el Talmud? 3. Per a E=250, quines solucions ofereix el Talmud? Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 240 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Talmud, T c = (100, 200) x2 b c2 = 200 c x 150 b 100 b c 0 T (c, E) = (50, 150) 2 50 c1 = 100 x1 E = 200 Resposta: 1. Per a E=100 T (c, E ) = (50, 50) coincideix amb la CEA 2. Per a E=150 T (c, E ) = y = (50, 100) 3. Per a E=250 T (c, E ) = z = (75, 175) ja que 50 CEL = 50 → (100 − 50 2 , 200 − 2 ) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 241 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Talmud, T P Exemple: c = (40, 60, 100), ci = 200 1P Si E = 197 ≥ 2 ci = 100 ⇒ xi = ci − min{ c2i , b} x1 = 40 − min{20, b} x2 = 60 − min{30, b} x3 = 100 − min{50, b} en què b és tal que: 40 − min{20, b} + 60 − min{30, b} + 100 − min{50, b} = 197 − 197} = min{20, b} + min{30, b} + min{50, b} |200 {z ⇓ 3 b=1 Giménez-Gómez i Vilella (URV) x1 =40-1=39 x2 =60-1=59 x3 =100-1=99 + 197 Coincideix amb CEL. Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 242 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Inventari de regles Talmud, T Si E = 100 = demanen. 1 2 P ci = 100 ⇒ a tots els donem la meitat del que x1 = 40 2 = 20 x2 = 60 2 = 30 x3 = 100 2 = 50 + 100 Si E = 70 ≤ 1 2 P b=25 Giménez-Gómez i Vilella (URV) ci = 100 ⇒ xi = min{ c2i , b} x1 = min{20, b} = 20 x2 = min{30, b} = 25 x3 = min{50, b} = 25 + 70 ⇒ x = (20, 25, 25) Coincideix amb CEA Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 243 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Propietats de les regles Propietats bàsiques Si tenim (c, E ) un problema de demanda; llavors una regla de repartiment S(c, E ) satisfà: P EFICIÈNCIA: si Si (c, E ) = E . És a dir, la regla ha de repartir exactament tot el que disposem. NO NEGATIVITAT: si Si (c, E ) ≥ 0 ∀i ACOTADA PER LES DEMANDES: si Si (c, E ) ≤ ci ∀i Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 244 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Propietats de les regles Propietats bàsiques RESPECTAR ELS DRETS MÍNIMS: Cada demandant ha de rebre, com a mı́nim, la diferència entre la quantitat disponible E i la suma del que demanen els altres, si aquesta diferència és positiva o, en cas contrari, zero: P Si (c, E ) ≥ max{E − cj , 0} N\{i} SIMETRIA: Els agents que demanen el mateix han de rebre el mateix: si ci = cj ⇒ Si (c, E ) = Sj (c, E ) (No sempre està justificada, de vegades, és millor introduir prioritats) Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 245 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Propietats de les regles Propietats d’ordre Exemple: (c, E ) = ((5, 7), 7) Si S(c, E ) = (4, 3) sembla estrany que si el segon demana més, rebi menys no? Proposarem regles que respectin l’ordre de les demandes, sembla natural. Si S(c, E ) = (2, 5) sembla millor, ja que respecta l’ordre de les demandes. Però si mirem les pèrdues: El primer perd 5 − 2 = 3. El segon perd 7 − 5 = 2. El que demana més té més pèrdues. Suposem que són bancs que inverteixen en una empresa que acaba fent fallida. Si el que inverteix més pot guanyar més, si tot va bé; sembla natural que quan hi hagi pèrdues també li corresponguin més pèrdues. Per tant, demanarem que les pèrdues pel que reclama més siguin, almenys, iguals a les del que reclama menys. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 246 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Propietats de les regles Propietats d’ordre PRESERVAR L’ORDRE: Per qualsevol i, j, si ci ≥ cj ⇒ Si (c, E ) ≥ Sj (c, E ) i ci − Si (c, E ) ≥ cj − Sj (c, E ) Totes les regles que hem donat satisfan aquesta propietat. Exercici: comproveu-ho. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 247 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Propietats de les regles Propietats de monotonia MONOTONIA EN LES DEMANDES: Si un agent augmenta la seva demanda, ha de rebre almenys el que rebia abans: ∀i, ci0 > ci ⇒ Si (ci0 , cN\i , E ) ≥ Si (c, E ) x2 c c′b c1 c′1 b c2 b S(c, E) b 0 l S(c′ , E) x1 c10 > c1 L’agent 2 té la demanda fixa. L’agent 1 augmenta la demanda. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 248 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Propietats de les regles Propietats de monotonia x2 S1 (c, E) < S(c′ , E) c01 < c02 → x0 < x1 c11 < c21 → x1 = x2 c0 b c1 b c2 b b b 45o x0 x1 = x2 0 b x1 E CEA té aquesta propietat. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 249 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Propietats de les regles Propietats de monotonia MONOTONIA EN ELS RECURSOS: Si augmenten els recursos disponibles, cada demandant ha de rebre almenys el que rebia inicialment. Si E 0 > E , ∀i ⇒ Si (c, E 0 ) > Si (c, E ) Totes les regles que hem donat la satisfan. És una propietat poc restrictiva. Giménez-Gómez i Vilella (URV) Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 250 / 251 3.3. Problemes de fallida i regles de repartiment Propietats de les regles Propietats de monotonia Exemples: x2 x2 c c b b b b b b 0 E E′ x1 Si (c, E ) < Si (c, E 0 ) ∀i Sı́ que verifica la propietat. Giménez-Gómez i Vilella (URV) 0 E E′ x1 S1 (c, E ) < S1 (c, E 0 ) S2 (c, E ) ≮ S2 (c, E 0 ) El 2 perd!! ⇒ No la verifica. Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica 251 / 251 Edita: Publicacions URV 1a edició: octubre de 2015 ISBN: 978-84-8424-393-9 Dipòsit legal: T 1388-2015 Publicacions de la Universitat Rovira i Virgili: Av. Catalunya, 35 - 43002 Tarragona Tel. 977 558 474 www.publicacions.urv.cat publicacions@urv.cat Aquesta edició està subjecta a una llicència Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported de Creative Commons. Per veure’n una còpia, visiteu http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o envieu una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA. ¶ Aquesta editorial és membre de la Xarxa Vives i de l’UNE, fet que garanteix la difusió i comercialització de les seves publicacions a escala estatal i internacional. Aquesta publicació està dirigida als estudiants de segon curs del grau d’Economia en l’assignatura de Mètodes quantitatius per a l’anàlisi econòmica. L’objectiu principal és oferir uns apunts que puguin ajudar l’alumne a seguir millor l’assignatura, tenint en compte que es tracta d’una assignatura presencial i, per tant, s’han de complementar amb les explicacions del professor a classe i els exercicis de l’assignatura.