calculo 1

Matemática Revisão da graduação Regra de potenciação Observação( * é sinal de multiplicação, : é sinal de divisão) = ) a=base n=expoente b=potência ∗ = ) + = + que resposta continua ( )1 ) )1 +1 − −1 = =2 =0 ã − (observa que base é igual e os expoentes são diferentes por isso + ã . ) ∗ = (Multiplicação de potência conserva a base soma os expoentes, essa lei só funciona se base for igual) ) : = = ∗ = (Divisão de potência conserva a base subtrai os expoentes, essa lei só funciona se base for igual ) )( ∗ ) = ) = ) ) d) ( ) = ∗ onde a≠0 a ( todo número elevado a -1 é o inverso dele mesmo) = a ( todo número elevado a 1 é ele mesmo) = √ é se n=2 raiz cubica n=3 ou seja ℎ) h) =√ = = √ √ ( =√ = é √ é =√ é a ≠ 0 todo número elevado a é o raiz quadrada ) =√ a≠0 Na multiplicação o número 1 é número neutro ou seja não precisa aparecer porque sabemos que ele está lá por exemplo: x + x ou seja 1x +1x = 2x uma variável multiplicado por um 1 é própria variável ou seja 1*x= x Vamos fazer exercícios aplicando a regra de potência. )2 ∗2 )2 ℎ)2 b) )5 )4 )2 ∗4 )5 :5 ) ( 5 ) d) )2 )2 g) ( ) Vou começar citando uma frase minha que surgiu quando estava escrevendo esse artigo de matemática para leigos com linguagem popular, o importante desse artigo que você entenda ideia como lidar com cada situação da derivada. DESCULPE os professores de português que nesse artigo eu enforquei o português .........kkkkkkk, Desculpe também a zuação durante o artigo vão ter muitas zuações. Ai vai frase: Uma ideia parece mas muito útil na matemática não importa se caminho é longo ou caminho é curto importante mesmo que você conheça esse caminho que você está andando para não ficar perdido. (Wellerson Davi) A derivada sempre vai ser aplicada quando for falado sobre energia mínima ou energia máxima ou força mínima ou força máxima ou seja a derivada está relacionado ao ponto máximo e o ponto mínimo da função. Tem alguns autores que diz que a derivada é uma reta que toca em único ponto ou seja é reta tangente naquele ponto. ( ) O símbolo da derivada ou f linha de x f’(x). Então toda vez que vermos ( ) ou f’ quer dizer estamos fazendo uma derivada em relação a uma variável que nesse caso a nossa variável é x. Para aprender derivada partimos do pressuposto que sabemos tudo sobre funções e sobre as quatro operações matemática (soma , subtração , multiplicação e divisão). A primeira regra que vamos aprender é regra do tombo onde cair o expoente e subtrai um do expoente. Temos uma função ( ) = ( ) =2 então fica agora vamos aplicar regra do tombo. ( ) ( lembrando da regra de potenciação onde diz que todo =2 número elevado ao expoente 1 é ele mesmo) então Vamos continuar praticando Aplicando a derivada ( ) =3 ( )= então fica ( ) ( ) =3 =2 . Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes ) ( )= , ) ( )= , ) ( )= , ) ( )= , ) ( )= , ) ( )= , então fica =1 ( ) , ) ( )= , ) ( )= ) ( )= , ) ( )= , ) ( )= , ) ( )= Vamos continuar praticando ela está elevado a 1) ( ) ℎ) ( ) = , ) ( )= , ) ( )= ) ( )= , ) ( )= , , , ) ( )= , ) ( )= , , ) ( )= ( toda vez que tiver a variável sozinha que significa que ( )= (( lembrando da regra de potenciação onde diz que todo =1 número elevado ao expoente 0 é 1) ( observação 0 esse número não é 1 , matematicamente esse número não existe) ( ) = 1∗1 uma variável sozinha é um número) ( ) ã = 1 podemos dizer que derivada de Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes ) ( )=2 , ) ( )= , ) ( ) = 33 , ) ( ) = 13 , ) ( )=5 , ) ( )= , ) ( )=3 , ℎ) ( ) = 10 , ) ( ) = 25 , ) ( ) = 21 , ) ( )=8 , ) ( )= , ) ( )= ) ( ) = 51 , , , ) ( )= ) ( ) = 100 , ) ( )= , ) ( )= , , ) ( )= ) ( )= , Vamos continuar praticando ( ) = 1 (toda vez que vermos um número sozinho ou seja um numero sem acompanhamento de variável) vamos chamar ele de constante . Se olhar na função f(x) observa que função não tem nenhuma letra acompanhando ou seja ela está sozinha, vamos falar na linguagem mais bonita a função não está variando. Sabemos que 1 =1 ( ) ( ) (Todos os números multiplicado por zero é zero) então derivada fica =0∗1 = 0 ou seja derivada de um numero é zero. Vamos falar na linguagem mais bonita a derivada de uma constante é zero é bom gravar essa regra) Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes ) ( ) = 2, ) ( )=2 , ) ( ) = √33, ) ( ) = 14, ) ( ) = 5, ) ( ) = 3, ) ( )= Então fica =2∗2 , ) ( ) = 25, Vamos continuar praticando ( ) ) ( ) =, ) ( ) = 8, ℎ) ( ) = 10, ) ( ) = √8, ) ( )=2 , ( ) = 2∗2 ) ( )= , ) ( )=5 , ) ( ) = 33, ( )=2 ) ( ) = 51, ) ( ) = 100, ( ) ou ) ( )= , ) ( )= , =4 Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes. ) ( )=5 , ) ( )=6 , ) ( )=7 , ) ( )=7 , ) ( ) = 10 , ) ( ) = 10 ) ( )= , ) ( ) = 10 , , ) ( ) = 10 , ) ( )= ) ( ) = 10 Vamos continuar praticando ( ) =2∗2 , , ) ( )= , ) ( )= , ) ( )=5 , ) ( ) = 20 , ) ( )=1 , ) ( )=2 ) ( )=3 ( ) então fica =2∗2 ) ( )=3 ( ) ou +3∗5 = 4 + 15 podemos fazer a derivada separada e depois juntar ela de novo, mas para temos chamar renomear a função com outra letra. çã 1 ( ) = 2 E ( ) ã çã 2 ℎ( ) = + 5 = ( ) ( ) + ( ) = ( ) + ℎ( ) ( ) ( ) ã ( ) = 15 ou seja a derivada da soma é soma derivada . ( ) resposta conta de cima. Vamos continuar praticando =2∗2 =4 ou ou = +3 ∗ 5 Juntando os resultados das equações 1 e 2 então fica ( ) ( ) ou =2∗2 -5 ( )=2 ( ) então fica −3∗5 que é mesma = 4 + 15 =2∗2 ( ) ou −3∗5 = 4 − 15 podemos fazer a derivada separada e depois juntar ela de novo, mas para temos chamar renomear a função com outra letra. ( ) = ( ) − ℎ( ) çã 1 ( ) = 2 E ( ) çã 2 ℎ( ) = - 5 = ( ) ( ) − ( ) ã ( ) ã . ( ) ou =2∗2 ou ou = −3 ∗ 5 Juntando os resultados das equações 1 e 2 então fica resposta conta de cima. =4 ( ) ( ) = −15 = 4 − 15 que é mesma Agora faça você sozinho matemática só aprende se praticar várias vezes. ) ( )=5 ) ( ) = 10 ℎ) ( ) = 15 ) ( )=2+ +1 ) ( )=6 -8x − 10 , +x ) ( ) = 10 , ) ( ) = 7-7x +3 ) ( ) = 20 ) ( ) = 33 − , , , ) ( )=7 ) ( ) = 10 ) ( )=3 ) ( )=5 − +8 − 10 +3 , , ) ( )= , , +5 ( )=2 +3∗5 , ℎ) ( ) = 15 , , , ) ( ) = 1 +7 ) ( ) = − + , ) ( ) = 10 , ) ( )=5 , ) ( )= 3 − 22 , ) ( ) = 33 (Cuidado com as propriedades de potenciação olhe na propriedade lá em cima) Já aprendemos a regra da soma e da subtração de derivada agora vamos aprender a regra do produto. A regra do produto é usado toda vez que ver duas funções multiplicando. A regra do produto diz bem assim: deriva a primeira função e conserva a segunda ( conservar significa que você vai apenas repetir a função sem mexer nela) + a deriva da segunda função e conserva a primeira função. A regra do produto é expressa matematicamente desse jeito: F(x)= f(x)g(x) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( ) Então vamos aplicar essa regra que bastante útil. Vamos continuar praticando ( ) =2∗2 ∗5 5 ( )=2 +3∗5 então fica ∗2 ( ) =4 ∗5 +3∗5 ∗2 (2 = 2 é ℎ 3é ℎ ) ( lembrando da propriedade de multiplicação de potência por exemplo 2 ∗ 2 = 2 = 2 ou seja você vai conserva( repetir) a base e somar os expoente isso é valido só quando a base é igual, quando não é igual temos dar um jeito de transformar na mesma base por exemplo 8 ∗ 2 sabemos (2 = 2*2*2=8) então 8 ∗ 8 então fica 8 então fica 8 ou poderia fazer de outro jeito por exemplo (2 =8) então fica (2 ) ∗ 2 aplicando a propriedade potência de potência nessa regra toda vezes (2 ) uma situação dessa multiplicamos os expoentes repetimos a base. (2 ) ∗ 2 ã 2 ∗ 2 Então fica 2 então 2 para ver se isso é verdade faz essa conta na calculadora 2 e 8 se obtiver a mesma resposta é verdade. Outro lembrete que sempre que a matemática nos engana 2 + 2 ≠2 2 =2 ∗ 2 repare que um é uma soma de potência e outro é multiplicação de potência, (faz essa conta na calculadora). Depois de dado uma revisão básica nas propriedades de potência. Agora continuar com a derivada fica ( ) = 20 + 30 (não precisa ficar assustado simplesmente só efetuamos a multiplicação de números inteiros) fica ( ) = 50 ( ) = 20 + 30 então ( só efetuamos a soma cuidado só pode somar se os expoentes for iguais se for diferente não pode soma, por exemplo se fosse 20 + 30 você pode perceber que os expoentes são diferentes então não pode somar então continua a conta do mesmo jeito 20 + 30 ) Vamos continuar praticando ( )=5∗2 ( ) = 50 ( )=2 que fica ( ) = 10 5 aplicando a regra de potenciação então fica agora podemos derivar ( ) = 5 ∗ 10 então fica isso só foi para provar que regra da derivada do produto é verdadeira porque deu o mesmo resultado. Vamos continuar praticando ( ) ( )+ ( ) ( )=2 5 vamos aplicar a regra do produto separado ( ) Primeiro vamos ver quem é meu f(x) e g(x) para depois derivar. F(x)= 2 ( ) de 5 = ( ) ( ) então meu f(x)= 2 ( ) ( )+ =3∗5 ( ) e meu g(x)= 5 ( ) ( ) então fica ( ) = derivada do produto =2∗2 = 15 ( ) vamos derivar = 50 fazendo a derivada =4 agora é substituir os valores na equação da ( ) ( )+ então fica ( ) é somar os números e aplicar a regra potência nos expoentes ( ) ( ) então fica =4 ( ) ∗5 + 15 = 20 + 30 ∗2 agora então fica provamos de novo que funciona a regra do produto. Uma ideia parece mas muito útil na matemática não importa se caminho é longo ou caminho é curto importante mesmo que você conheça esse caminho que você está andando para não ficar perdido. (Wellerson Davi) Agora faça você sozinho aplicando a regra do produto matemática só aprende se praticar várias vezes. ) ( )= ∗5 8x ) ( ) = 10 ℎ) ( ) = 15 ) ( )=2 ) ( )=1 ) ( )= 10 , 7 ∗6 ) ( ) = 10 , 3 ) ( ) = 7x7x , ) ( ) = 10 ) ( ) = 1 ∗ 20 ) ( ) = 33 ) ( )=− , ) ( )=3 ) ( )=5 , ) ( )=7 ) ( ) = 10 , , 10 3 8x , , ) ( )= ) ( )=5 , , (Cuidado com as propriedades de potenciação olhe na ) ( ) = 3 − 22 ) ( ) = 33 propriedade lá em cima) Já aprendemos a regra da soma e da subtração de derivada agora vamos aprender a regra da derivada do quociente. A regra do quociente é usado toda vez que ver duas funções dividindo. A regra do quociente diz bem assim: deriva a primeira função e conserva a segunda ( conservar significa que você vai apenas repetir a função sem mexer nela) - a deriva da segunda função e conserva a primeira função e eleva a segunda função ao quadrado. A regra do quociente é expressa matematicamente desse jeito: F(x) = ( ) ( ) ( ) = ( ) Vamos continuar praticando Agora vamos derivar ( ) = ( ) ( ) ( ) ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Desse jeito eu achei mais fácil para aplicar a regra do quociente. Posso aplicar a regra do quociente direto mas eu corro risco de errar desse jeito é mais prático e confiável. ( )=2 g(x)= 5 ( a derivada desta função já foi feita la em cima passo a passo) ( a derivada desta função já foi feita la em cima passo a passo) ( ) ( ) ( ) =4 =4 =15 = ( ) = (5 ( ) ( ) ( ) ( ) então fica então fica ( ) então fica ( ) ( ) então fica ( ) ( ) ) = 25 então fica = ∗ = = , = então fica ∗ = ( ) ( ) ( ) então fica = ∗ = = −0,4 ( não precisa ficar assustado só usei regra matemática da 7° ano) (aplicando a regra de potenciação) ( )= ∗ então fica ( ) = ( )= ã vamos dividir os numeros então fica vamos plicar a regra produto achei mais interessante. ( ) = 0,4 = ( ) então fica Vamos continuar praticando ( ) agora só jogar na formula da regra do quociente ( ) f(x)=0,4 ( ) ( )+ ( ) g(x)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =− =) = −1 ∗ = ( ) =0* +(− = −0,4 = -1∗ 0,4 então fica ( ) ( )+ ( ) = 0,4 ( ) =0 = 0 ∗ 0,4 ( ) ( ) ) ∗0,4 então fica então fica ( ) = ( ) , = (− ) ∗0,4 ( está provada que regra quociente funciona) (vamos derivar sem usar regra do produto ) então fica = , ( ) = −0,4 viu como tem como fazer a mesma derivada por vários caminhos desde que você conheça a função e regras básicas da matemática. Agora faça você sozinho aplicando a regra do quociente matemática só aprende se praticar várias vezes. a) ( ) = ) i) h) ) j) d) l) f) m) g) n) o) Agora vamos aprender a última regra da derivada a regra da cadeia( pode ficar tranquilo o derivada não ninguém não... kkkk) Toda vez que tivermos uma função dentro de função temos que aplicar a regra cadeia por exemplo. F(x)= f(g(x)) a derivada fica ( ) = ( ) ∗ ( ) ( ) ( ) F’(x)=f’(x)*g(x)*g’(x) é muito prático representar desse jeito também Essa regra diz: a derivada da função de fora vezes a função de dentro vezes a derivada da função de dentro. Vamos aplicar a regra da cadeia F(x)=( F(x)=( ) g(x)= ( ) ( ) ) = 2x (aplica regra do tombo) (observação aqui você está derivando a variável) f(x)= )=( ( )) ( ) =2(g(x) ( ) (aplica regra do tombo)( observação aqui você está derivando função ) que fique bem claro variável é diferente de função. x= variável g(x)= função Usando a nossa formula da regra da cadeia ( ) = F(x)= )=( g(x)= ( ) ( ) ( ) ∗ ( ) ) = 2x f(x)= )=( ( )) ( ) =2(g(x)) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =2(g(x)) 2x meu g(x) = =2( =( ) 4x usando a regra de potência. ( ) Então fica F(x)=( ( ) ) 2x =4 ) usando a regra da potência de potencia Então fica F(x)= ( ) =4 (foi aplicado a regra do tombo) isso só foi para provar que regra da derivada da cadeia é verdadeira porque deu o mesmo resultado. Observação é importante aprender todas as regras porque tem funções que você vai usar todas a regras juntas. Vamos praticar o que nós aprendemos regra da cadeia, regra do produto e regra do quociente. )( ) n) ) ( (2 ) )(2 ) ) )(2 ℎ)2(20 o) (2 ) ) ) ) ( )(2 ) j) ) (2 )(20 ) l) ) (2 )(20 ) ) m) )(20 (2 ) ) VAMOS FAZER A DERIVADA DE ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS ( ) = F(X)=ln(x) essa regra é provada por regras de limites, mas no mestrado não vamos mexer com limites então é bom decorar isso. F(X)= Essa derivada é uma regra da cadeia onde g(x)= x ( ) f(x)= ( ) ( ) ( ) =1 ( usa regra do tombo) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = Observação a derivada de Substituindo na formula de regra da cadeia ( ) = ∗ 1 meu g(x)=x então fica ∗ 1 então fica ( ) = ( ) ( ) ∗ ( ) ( ) ( ) é ela mesma. F(X)= g(x)= ( ) f(x)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F(X)= =2x ( ) = = Observação a derivada de ( ) ( ) ∗2 então fica ( ) ( ) = é ela mesma. ( ) ∗ ( ) ( ) ( ) ∗ 2 nunca esqueça de substituir g(x). = g(x)= ( ) f(x)= ( ) ( ) = (regra do tombo ) observação quem está variando é o x. É bom sempre observar a ( ) ( ) = ( ) letra que esta variando na função no nosso caso é x ( ) = Observação a derivada de ( ) ( ) ∗ então fica ( ) = ( ) = ∗ é ela mesma. ( ) ∗ ( ) ( ) ( ) nunca esqueça de substituir g(x). Vamos ver o caso em vez de x estar variando agora p que varia para ver como fica a função. F(p)= repare que antes quando x variava era F(x) mas agora como é p que esta variando então fica F(p). F(p)= g(p)= ( ) f(p)= ( ) ( ) = (usa regra do quociente ou você usa regra de potência agora é com você.) observação quem está variando é o p. É bom sempre observar a letra que esta variando na função no nosso caso é p. ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) Observação a derivada de ( ) ( ) = ∗ então fica ( ) é ela mesma. ( ) ∗ ( ) = = ( ) ( ) nunca esqueça de substituir g(x). ∗ Agora faça a derivada das seguintes funções. b)f(p)= ) ( )= c)f(x)= ( g)f(x)= ) ( )= d)f(p)= e)f(r)= ) Vamos continuar conhecendo funções especial F(x)= cos(x) ( ) F(x)= sen(x) ( ) = -sen(x) é bom decorar por isso é provado apenas por limites = cos(x) é bom decorar por isso é provado apenas por limites Existe outras funções, mas o que vamos usar no mestrados são só essas Vamos praticar as derivada aplicando todas as regras que conhecemos e todas as propriedades. Cuidado cos( ) ≠ ( ) , sen( ) ≠ ( ) então todas vez que temos uma fração trigonométricas usaremos sempre a regra do quociente. Repare também que funções dos exercícios a)F(x)= cos(2x) a derivada F(x)= cos(2x) dentro da outra. b)F(x)= sen(3x) g)f(x)= ( ) + j) F(x)=2 + 33+ se(x) n)2x+ Cx ) ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) h) sen(x)+ cos(x)+ l)F(x)= ln(2X) o) Ax+ BX = −2 d) ( ) = ( ) (2 ) repare que são duas funções uma ( ) ( ) e) ( ) = i)F(x)= ln(X)+cos(14x) m)F(x)=x*x*x+ 2ln(x) f)F(x)= ( )