Condensateurs

Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques Exercices On donne r = 0,06 m, le rayon des armatures; donc A = πr2 = π (0,06) = 36π × 10−4 m E1. et d = 0,002 m, la distance entre les armatures. (a) À partir de l’équation 5.3, on trouve (8,85×10−12 )(36π×10−4 ) C = ε0dA = = 50,0 × 10−12 F = 50,0 pF 0,002 E2. (b) On donne ∆V = 12 V. À partir de l’équation 5.1, on obtient ¡ ¢ Q = C∆V = 50,0 × 10−12 (12) = 6,00 × 10−10 C = 600 pC E3. (a) À partir de l’exemple 5.5 et de l’équation 5.6 du manuel, on trouve 2π (8,85×10−12 ) 2πε0 0L ³ ´ = 24,1 pF/m C = 2πε =⇒ C L = ln( b ) = ln 0,5×10−2 ln( ab ) a 0,5×10−3 ¡ ¢ ¢ ¡ −12 (2,5) = 60,3 pF et, selon l’équation 5.2, (b) Si L = 2,5 m, alors C = C L L = 24,1 × 10 ¢ ¡ Q =⇒ Q = C∆V = 60,3 × 10−12 (24) = 1,45 nC C = ∆V On donne a = 0,5 mm, b = 0,5 cm et ∆V = 24 V. On donne C = 240 pF, Q = 40 nC et d = 0,2 mm. (a) À partir de l’équation 5.3, on obtient ¢ ¡ (240×10−12 )(0,2×10−3 ) cm 2 C = ε0dA =⇒ A = Cd = = 5,42×10−3 m2 × 100 = 54,2 cm2 ε0 1m 8,85×10−12 (b) À partir de l’équation 5.2, on trouve C= Q ∆V =⇒ ∆V = Q C = 40×10−9 240×10−12 = 167 V (c) À partir de l’équation 4.6c du manuel, on obtient ∆V = Ed =⇒ E = ∆V d = 167 0,2×10−3 = 8,35 × 105 V/m On donne d = 0,8 mm, Q = 60 nC et E = 3 × 104 V/m. E4. (a) À partir de l’équation 4.6c du manuel, on trouve ¡ ¢ ¢¡ ∆V = Ed = 3 × 104 0,8 × 10−3 = 24,0 V (b) À partir de l’équation 5.2, on obtient C= E5. Q ∆V = 60×10−9 24,0 = 2,50 nF (c) À partir de l’équation 5.3, on trouve (2,50×10−9 )(0,8×10−3 ) C = ε0dA =⇒ A = Cd = 0,226 m2 ε0 = 8,85×10−12 → − → On donne RT = 6400 km, Rsphère = 6450 km et E = −100− u r N/C. (a) Selon le théorème de Gauss, le champ électrique entre la surface de la Terre et la sphère ne dépend que de la charge sur la Terre. Comme le champ est dirigé vers l’intérieur, la v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 1 ¢ ¡ 2 , la charge doit être négative. À partir du résultat de l’exemple 3.2 et si Q = σ 4πRT charge à la surface de la Terre, on trouve 2 2 ¡ ¢ ER2 2 = − ERT =⇒ σ = − ERT = − E =⇒ E = k|Q| =⇒ Q = − k T =⇒ σ 4πRT 2 2 k 4πk RT 4πkRT ¢ ¡ σ = −ε0 E = − 8,85 × 10−12 (100) = 8,85 × 10−10 C/m2 (b) À partir de l’exemple 5.4 et de l’équation 5.5 du manuel, on obtient (6400×103 )(6450×103 ) R R è re = 91,7 mF = C = k R T sp h−R (9×109 )(50×103 ) ( sp h ère T ) (c) À partir de l’exemple 5.3 et de l’équation 5.4 du manuel, on trouve ¡ ¢ ¢¡ C = 4πε0 RT = 4π 8,85 × 10−12 6400 × 103 = 710 µF Cette valeur est 129 fois plus petite que le résultat de la question (b). La capacité de la Terre est donc beaucoup plus faible sans la sphère conductrice. E6. On donne a = 1 mm, b = r2 , λ = 4 nC/m et ∆V = Vb − Va = −27 V, puisque le potentiel diminue dans la direction radiale. Selon l’exemple 5.5, ¡ ¢ ¡ ¢ b −Va Vb − Va = −2kλ ln ab =⇒ ln ab = V−2kλ = −2(9×10−27 9 )(4×10−9 ) = 0,375 =⇒ b a E7. = e0,375 = 1,45 =⇒ r2 = 1,45a = 1,45 mm On reprend la figure 5.22 en numérotant les plaques. On suppose que le côté gauche du condensateur est branché au côté positif de la pile. À cause de l’induction et parce que le champ électrique doit être nul à l’intérieur de chacune des plaques conductrices, une charge Q apparaît de part et d’autre de la plaque 3 et une charge −Q de chaque côté des plaques 2 et 4. Avec la charge Q qui apparaît au bas de la plaque 1 et en haut de la plaque 5, on obtient une charge totale de ±4Q de part et d’autre du système. 2 Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI Pour une paire de plaques ij, la capacité est Cij = C= 4Q ∆V Q = 4 ∆V = 4Cij = ε0 A d = Q ∆V ; donc la capacité totale est 4ε0 A d On donne C = 24 pF et A = 0,06 m2 . Le module du champ disruptif est E8. Emax = 3 × 106 V/m. (a) À partir de l’équation 5.3, on trouve (8,85×10−12 )(0,06) = 0,0221 m C = ε0dA =⇒ d = ε0CA = 24×10−12 À partir de l’équation 4.6c du manuel, on obtient ¡ ¢ ∆Vmax = Emax d = 3 × 106 (0,0221) = 6,63 × 104 V E9. (b) À partir de l’équation 5.1, on trouve ¡ ¢ ¢¡ Q = C∆V = 24 × 10−12 6,63 × 104 = 1,59 µC On donne N = 1012 électrons et ∆V = 20 V. La charge Q associée à ce transfert ¡ ¢ ¢¡ d’électrons est Q = Ne = 1012 1,6 × 10−19 = 1,6 × 10−7 C. À partir de l’équation 5.2, on trouve C= E10. Q ∆V = 1,6×10−7 20 = 8,00 nF On donne R1 = 0,15 m, R2 = 0,20 m et ∆V = 12 V. À partir de l’exemple 5.4 et de l’équation 5.5 du manuel, on obtient C= E11. R1 R2 k(R2 −R1 ) = (0,15)(0,20) (9×109 )(0,05) = 6,67 × 10−11 F À partir de l’équation 5.1, on trouve ¡ ¢ Q = C∆V = 6,67 × 10−11 (12) = 8,00 × 10−10 C On donne C1 = 4 µF, C2 = 6 µF et ∆V0 = 20 V, la différence de potentiel de la pile à laquelle on branche initialement le condensateur C1 . La charge Q10 initialement accumulée sur C1 est donnée par l’équation 5.1 : ¢ ¡ Q10 = C1 ∆V0 = 4 × 10−6 (20) = 80 × 10−6 C Si on débranche C1 de la pile et qu’on le branche au condensateur C2 vide, la situation à l’équilibre correspond à ce que montre la figure qui suit : Comme on l’a montré à la section 4.5 du manuel, tout le haut et tout le bas du circuit formé des deux condensateurs deviennent des équipotentielles à l’équilibre. Une quantité v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 3 exacte de charge est donc transférée de C1 à C2 pour que la différence de potentiel de chacun des condensateurs soit la même, à une nouvelle valeur ∆V. Ainsi, selon l’équation 5.2, ∆V = Q1 C1 = Q2 C2 (i) où Q1 et Q2 sont les valeurs finales de charge sur chaque condensateur. Comme la charge totale correspond à la charge initiale sur C1 , (ii) Q1 + Q2 = Q10 On résout les équations (i) et (ii) et on trouve Q1 = 32,0 µC et Q2 = 48,0 µC Q1 C1 et finalement ∆V = E12. = 32,0×10−6 4×10−6 = 8,00 V =⇒ ∆V1 = ∆V2 = 8,00 V Si on suit le même raisonnement qu’à l’exercice 7, cet arrangement de sept armatures est équivalent à six condensateurs dont la capacité est donnée par C = 6ε0 A d , où d = 1 mm mais où A correspond à la portion de la surface des plaques qui se superpose pour différentes valeurs de θ. La figure ci-dessous montre comment obtenir A : Si R = 0,02 m, on trouve A en retranchant à l’aire d’un demi-cercle l’aire du secteur d’angle θ : A= πR2 2 − πR2 ¡ θ 360◦ ¢ = πR2 2 ¡ 1− θ 180◦ ¢ et l’expression de la capacité devient ¢ 6π(8,85×10−12 )(0,02)2 ¡ 2 ¡ θ 1− = C = 6πε2d0 R 1 − 180 ◦ 2(1×10−3 ) (a) Si θ = 0◦ : ¡ C = 33,4 1 − (b) Si θ = 45◦ : ¡ C = 33,4 1 − 4 (c) Si θ = 135◦ : ¡ C = 33,4 1 − 0◦ 180◦ ¢ 45◦ 180◦ ¢ 135◦ 180◦ ¢ θ 180◦ ¢ ¡ = 33,4 1 − θ 180◦ ¢ pF pF = 33,4 pF pF = 25,1 pF pF = 8,35 pF Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI On donne R1 = 0,03 m, R2 = 0,11 m et ∆V = 5 V. E13. (a) À partir de l’exemple 5.4 et de l’équation 5.5 du manuel, on trouve C= R1 R2 k(R2 −R1 ) = (0,03)(0,11) (9×109 )(0,08) = 4,58 pF (b) À partir de l’équation 5.1, on obtient ¡ ¢ Q = C∆V = 4,58 × 10−12 (5) = 2,29 × 10−11 C Le nombre N d’électrons qui doivent être transférés pour créer cette charge est donné par : N= Q e = 2,29×10−11 1,6×10−19 = 1,43 × 108 électrons On donne C1 = 0,1 µF, C2 = 0,25 µF et ∆V = 12 V E14. (a) Si les condensateurs sont branchés en série, la capacité équivalente est donné par l’équation 5.7 du manuel : 1 Céq = 1 C1 + 1 C2 =⇒ Céq = ³ 1 C1 + 1 C2 ´−1 = ³ 1 (0,1×10−6 ) + 1 (0,25×10−6 ) ´−1 = 0,0714 µF La charge sur le condensateur équivalent est donnée par l’équation 5.1 : ¡ ¢ Q = Céq ∆V = 0,0714 × 10−6 (12) = 0,857 µC Comme les condensateurs sont branchés en série, Q1 = Q2 = 0,857 µC La différence de potentiel sur chaque condensateur est obtenue par l’équation 5.2 : C1 = Q1 ∆V1 =⇒ ∆V1 = Q1 C1 = 0,857×10−6 0,1×10−6 =⇒ ∆V1 = 8,57 V C2 = Q2 ∆V2 =⇒ ∆V2 = Q2 C2 = 0,857×10−6 0,25×10−6 =⇒ ∆V2 = 3,43 V (b) Si les condensateurs sont branchés en parallèle, la différence de potentiel est la même pour chaque condensateur et ∆V1 = ∆V2 = 12,0 V E15. La charge sur chaque condensateur est donnée par l’équation 5.1 : ¢ ¡ Q1 = C1 ∆V1 = 0,1 × 10−6 (12,0) =⇒ Q1 = 1,20 µC ¢ ¡ Q2 = C2 ∆V2 = 0,25 × 10−6 (12,0) =⇒ Q2 = 3,00 µC La figure qui suit reprend la figure 5.24a. Les condensateurs ont été numérotés pour simplifier les écritures. La figure montre comment on passe du circuit actuel à celui qui ne contient que le condensateur équivalent : v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 5 On donne C2 = 4 µF, C3 = 10 µF, Céq = 12,4 µF; la valeur du condensateur C1 est inconnue. À partir de la figure, on voit que le condensateur Céq remplace Ca et C3 en parallèle; donc : ¢ ¡ ¢ ¡ Céq = Ca + C3 =⇒ Ca = Céq − C3 = 12,4 × 10−6 − 10,0 × 10−6 = 2,4 µF Le condensateur Ca remplace C1 et C2 en série, ainsi ´−1 ³ ³ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2,4×10 + =⇒ = =⇒ C = = − − 1 −6 − Ca C1 C2 C1 Ca C2 Ca C2 1 4,0×10−6 C1 = 6,00 µF E16. ´−1 =⇒ La figure qui suit reprend la figure 5.24b. Les condensateurs ont été numérotés pour simplifier les écritures. La figure montre comment on passe du circuit actuel à celui qui ne contient que le condensateur équivalent : On donne C1 = 4 µF, C3 = 2 µF, Céq = 2,77 µF; la valeur du condensateur C2 est inconnue. À partir de la figure, on voit que le condensateur Céq remplace Ca et C1 en série; donc : = C11 + C1a =⇒ C1a = C1éq − C11 =⇒ ´−1 ³ ´−1 ³ 1 1 C1 = C1éq − C11 = 2,77×10 =⇒ −6 − 4,0×10−6 1 Céq Ca = 9,01 µF Le condensateur Ca remplace C2 et C3 en parallèle; ainsi ¡ ¢ ¢ ¡ Ca = C2 + C3 =⇒ C2 = Ca − C3 = 9,01 × 10−6 − 2,00 × 10−6 = 7,01 µF E17. On donne C1 = C2 = C3 = C4 = 10 µF. (a) On veut que Céq = 4 µF. La figure qui suit donne la réponse : On laisse le soin à l’élève de vérifier par un calcul qu’il s’agit de la bonne réponse. (b) On veut que Céq = 2,5 µF. La figure qui suit donne la réponse : 6 Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI On laisse le soin à l’élève de vérifier par un calcul qu’il s’agit de la bonne réponse. E18. Tous les condensateurs ont la même valeur C = 1 µF. On raisonne à partir de la figure 5.25. Les trois condensateurs de la branche de droite sont en série; on les remplace par Ca : 1 Ca = 1 C + 1 C + 1 C =⇒ 1 Ca = 3 C1 =⇒ Ca = 31 C = 0,333 µF Le condensateur Ca est en parallèle avec le condensateur de la branche verticale de droite. On remplace ces deux condensateurs par Cb : Cb = Ca + C = 1,333 µF Le nouveau condensateur Cb est à nouveau en série avec deux condensateurs C : ³ ´−1 1 1 1 1 1 1 + + 2 = + =⇒ C = = 0,364 µF c Cc Cb C C Cb C Et Cc est à nouveau en parallèle avec le condensateur de la branche verticale de gauche : Cd = Cc + C = 1,364 µF E19. Finalement, Cd est en série avec les deux derniers condensateurs et ´−1 ³ 1 1 1 1 1 1 = + + =⇒ C = + 2 = 0,366 µF éq Céq Cd C C Cd C On donne C1 = 2 µF, C2 = 4 µF et ∆V0 = 18 V, la différence de potentiel de la pile à laquelle on branche initialement les deux condensateurs en série. On doit chercher la charge initiale que porte chaque condensateur. Comme ils sont branchés en série, 1 Céq = 1 C1 + 1 C2 =⇒ Céq = ³ 1 C1 + 1 C2 ´−1 = ³ 1 2×10−6 + 1 4×10−6 ´−1 = 1,333 µF Et la charge sur chaque condensateur est donnée par l’équation 5.1 : ¡ ¢ Q10 = Q20 = Céq ∆V = 1,333 × 10−6 (18) = 24,0 µC On débranche les deux condensateurs et on les branche en reliant les armatures de même signe. Comme à l’exercice 11, il doit y avoir déplacement de charges pour que la différence de potentiel finale de chacun des condensateurs soit la même. La situation à l’équilibre est décrite par la figure qui suit : v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 7 La différence de potentiel finale ∆V n’est pas la même que ∆V0 . Sa valeur est donnée par l’équation 5.2 : ∆V = Q1 C1 = Q2 C2 (i) où Q1 et Q2 sont les valeurs finales de charge sur chaque condensateur. Puisqu’on a relié les armatures de même signe, la charge totale ne change pas et correspond à la charge initiale sur C1 et C2 : Q1 + Q2 = Q10 + Q20 = 48,0 µC (ii) On résout les équations (i) et (ii) et on trouve Q1 = 16,0 µC et Q2 = 32,0 µC et finalement ∆V = E20. Q1 C1 = 16,0×10−6 2×10−6 = 8,00 V =⇒ ∆V1 = ∆V2 = 8,00 V On donne C1 = 2 µF, C2 = 6 µF et ∆V0 = 60 V, la différence de potentiel de la pile à laquelle on branche initialement les deux condensateurs en parallèle. On doit chercher la charge initiale que porte chaque condensateur. Comme ils sont branchés en parallèle, ils ont la même différence de potentiel ∆V0 et, selon l’équation 5.1, ¢ ¡ Q10 = C1 ∆V0 = 2 × 10−6 (60) = 120 µC ¡ ¢ Q20 = C2 ∆V0 = 6 × 10−6 (60) = 360 µC On débranche les deux condensateurs et on les branche en reliant les armatures de signes contraires. Comme à l’exercice 11, la différence de potentiel finale de chacun des condensateurs doit être la même. Toutefois, comme on branche les condensateurs en mettant en contact des armatures portant des charges de signes contraires, le déplacement de charges va d’abord servir à éliminer l’une des deux charges. Ensuite, la charge qui reste se redistribue afin que la différence de potentiel soit la même pour les deux condensateurs. La figure qui suit résume comment on passe à l’équilibre : La différence de potentiel finale ∆V n’est pas la même que ∆V0 . Sa valeur est donnée par l’équation 5.2 : ∆V = Q1 C1 = Q2 C2 (i) où Q1 et Q2 sont les valeurs finales de charge sur chaque condensateur. Puisqu’on a relié 8 Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI les armatures de signes contraires ensemble et que Q20 > Q10 , la charge totale qui reste correspond à Q1 + Q2 = Q20 − Q10 = 240,0 µC (ii) On résout les équations (i) et (ii) et on trouve Q1 = 60,0 µC et Q2 = 180 µC et finalement ∆V = Q1 C1 = 60,0×10−6 2×10−6 = 30,0 V =⇒ ∆V1 = ∆V2 = 30,0 V On donne C1 = 3 µF, ∆V10 = 12 V, C2 = 5 µF et ∆V20 = 10 V. On calcule la charge E21. initiale sur chaque condensateur avec l’équation 5.1 : ¡ ¢ Q10 = C1 ∆V0 = 3 × 10−6 (12) = 36 µC ¡ ¢ Q20 = C2 ∆V0 = 5 × 10−6 (10) = 50 µC (a) Si on branche les deux condensateurs en reliant ensemble les armatures de même signe, la situation est similaire à celle de l’exercice 19. Une charge totale correspondant à la somme Q10 + Q20 se redistribue pour que la différence de potentiel finale soit la même sur les deux condensateurs. Les deux équations à utiliser sont ∆V = Q1 C1 = Q2 C2 (i) et Q1 + Q2 = Q10 + Q20 = 86,0 µC (ii) où Q1 et Q2 sont les valeurs finales de charge sur chaque condensateur. On résout les équations (i) et (ii) et on trouve Q1 = 32,2 µC et Q2 = 53,8 µC et finalement ∆V = Q2 C2 = 53,8×10−6 5×10−6 = 10,8 V =⇒ ∆V1 = ∆V2 = 10,8 V (b) Si on branche les deux condensateurs en reliant ensemble les armatures de signes contraires, la situation est similaire à celle de l’exercice 20. Comme Q20 > Q10 , une charge totale correspondant à la différence Q20 − Q10 se redistribue pour que la différence de potentiel finale soit la même sur les deux condensateurs. Les deux équations à utiliser sont : ∆V = Q1 C1 = Q2 C2 (i) et Q1 + Q2 = Q20 − Q10 = 14,0 µC (ii) où Q1 et Q2 sont les valeurs finales de charge sur chaque condensateur. On résout les équations (i) et (ii) et on trouve v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 9 Q1 = 5,25 µC et Q2 = 8,75 µC et finalement ∆V = E22. Q1 C1 = 5,25×10−6 3×10−6 = 1,75 V =⇒ ∆V1 = ∆V2 = 1,75 V On donne C1 = 1 µF, C2 = 2 µF et C3 = 4 µF. Si on inclut les valeurs individuelles, il existe 17 possibilités de branchement des trois condensateurs. On laisse le soin à l’élève de trouver ces 17 circuits en lui fournissant la valeur des 17 capacités équivalentes : Céq = 1,00 µF, 2,00 µF, 4,00 µF, 0,667 µF, 0,800 µF, 1,33 µF, 0,571 µF, 3,00 µF, 5,00 µF, 6,00 µF, 7,00 µF, 4,67 µF, 2,80 µF, 2,33 µF, 1,72 µF, 1,43 µF, 0,857 µF E23. On donne UE = 100 MeV et ∆V = 12 V. En joules, l’énergie à emmagasiner correspond ´ ³ −19 J = 1,6 × 10−11 J. à UE = (100 MeV) × 1,602×10 1 eV À partir de l’équation 5.9, on trouve UE = 12 C∆V 2 =⇒ C = E24. 2UE ∆V 2 2(1,6×10−11 ) = (12)2 = 0,222 pF On donne C1 = C2 = 50 µF et ∆V = 20 V, la différence de potentiel de la pile à laquelle on branche initialement les deux condensateurs. (a) Si les condensateurs sont branchés en parallèle, alors Céq = C1 + C2 = 100 µF Et l’énergie emmagasinée est donnée par l’équation 5.9 : ¢ ¡ UE = 12 Céq ∆V 2 = 12 100 × 10−6 (20)2 = 0,0200 J (b) Si les condensateurs sont branchés en série, alors ´−1 ³ 1 1 1 1 = C21 = 25,0 µF + =⇒ C = 2 = éq Céq C1 C2 C1 E25. Et l’énergie emmagasinée est donnée par l’équation 5.9 : ¢ ¡ UE = 21 Céq ∆V 2 = 12 25 × 10−6 (20)2 = 5,00 mJ On donne A = 40 cm2 = 40 × 10−4 m2 , d = 2,5 mm et ∆V = 24 V. (a) À partir de l’équation 5.3, on trouve C= ε0 A d = (8,85×10−12 )(40×10−4 ) 0,0025 = 14,2 pF (b) À partir de l’équation 5.9, on obtient ¢ ¡ UE = 12 C∆V 2 = 21 14,2 × 10−12 (24)2 = 4,09 nJ (c) À partir de l’équation 4.6c du manuel, on trouve ∆V = Ed =⇒ E = 10 ∆V d = 24 0,0025 = 9,60 × 103 V/m (d) À partir de l’équation 5.10, on obtient ¢2 ¢¡ ¡ uE = 21 ε0 E 2 = 12 8,85 × 10−12 9,60 × 103 = 4,08 × 10−4 J/m3 Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI On donne d = 0,6 mm, Q = 0,03 µC et E = 4 × 105 V/m. E26. (a) On combine les équations 5.2 et 4.6c du manuel : C= Q ∆V = Q Ed = 0,03×10−6 (4×105 )(0,0006) = 125 pF (b) À partir de l’équation 5.9, on trouve Q2 2C UE = 2 = (0,03×10−6 ) = 3,60 µJ 2(125×10−12 ) E27. On donne C = 400 pF, d = 1,2 mm et ∆V = 250 V. E28. On combine les équations 5.10 et 4.6c du manuel : ¡ ¢2 1 ¡ ¢ ³ 250 ´2 −12 uE = 21 ε0 E 2 = 12 ε20 ∆V = = 0,192 J/m3 8,85 × 10 d 2 0,0012 On donne C1 = 3 µF, C2 = 5 µF et ∆V = 20 V, la différence de potentiel de la pile à laquelle on branche initialement les deux condensateurs. (a) Si on branche les condensateurs en parallèle, chacun subit la même différence de potentiel et l’énergie emmagasinée correspond à ¢ ¡ U1 = 12 C1 ∆V 2 = 21 3 × 10−6 (20)2 =⇒ U1 = 0,600 mJ ¢ ¡ U2 = 21 C2 ∆V 2 = 21 5 × 10−6 (20)2 =⇒ U2 = 1,00 mJ (b) Si on les branche en série, on doit d’abord trouver la charge sur chacun des condensateurs. On a 1 Céq 1 C1 = + 1 C2 =⇒ Céq = ³ 1 C1 + 1 C2 ´−1 = ³ 1 3×10−6 + 1 5×10−6 ´−1 = 1,88 µF et la charge identique sur chaque condensateur est Q1 = Q2 = Céq ∆V = 37,6 µC. L’énergie emmagasinée correspond à : U1 = U1 = E29. 2 Q21 2C1 = Q22 2C2 = (37,6×10−6 ) =⇒ U1 = 0,234 mJ 2(3×10−6 ) 2 37,6×10−6 ( ) =⇒ U2 = 0,141 mJ 2(5×10−6 ) On donne C1 = 2 µF, C2 = 5 µF et ∆V0 = 20 V, la différence de potentiel de la pile à laquelle on branche initialement les deux condensateurs en série. On doit chercher la charge initiale que porte chaque condensateur. Comme ils sont branchés en série, 1 Céq = 1 C1 + 1 C2 =⇒ Céq = ³ 1 C1 + 1 C2 ´−1 = ³ 1 2×10−6 + 1 5×10−6 ´−1 = 1,43 µF Et la charge sur chaque condensateur est donnée par l’équation 5.1 : ¢ ¡ Q10 = Q20 = Céq ∆V = 1,43 × 10−6 (20) = 28,6 µC On calcule maintenant l’énergie initialement emmagasinée sur chaque condensateur : U10 = v4 © ERPI Q210 2C1 2 = (28,6×10−6 ) 2(2×10−6 ) =⇒ U10 = 204 µJ Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 11 U20 = Q220 2C2 2 = (28,6×10−6 ) 2(5×10−6 ) =⇒ U20 = 81,8 µJ Si on branche les deux condensateurs en reliant ensemble les armatures de même signe, la situation est similaire à celle de l’exercice 19. Une charge totale correspondant à la somme Q10 + Q20 se redistribue pour que la différence de potentiel finale soit la même sur les deux condensateurs. Les deux équations à utiliser sont ∆V = Q1 C1 Q2 C2 = (i) et Q1 + Q2 = Q10 + Q20 = 57,2 µC (ii) où Q1 et Q2 sont les valeurs finales de charge sur chaque condensateur. On résout les équations (i) et (ii) et on trouve Q1 = 16,34 µC et Q2 = 40,86 µC, ce qui permet de calculer l’énergie emmagasinée à la fin sur chaque condensateur : E30. U1 = Q21 2C1 U2 = Q22 2C2 2 = = (16,34×10−6 ) 2(2×10−6 ) =⇒ U1 = 66,7 µJ 2 (40,86×10−6 ) 2(5×10−6 ) =⇒ U2 = 167 µJ On donne C1 = 2 µF, C2 = 5 µF et ∆V0 = 40 V. Puisque les condensateurs sont branchés en parallèle, leur différence de potentiel est la même à ∆V0 , et on calcule directement la charge initiale sur chaque condensateur avec l’équation 5.1 : ¢ ¡ Q10 = C1 ∆V0 = 2 × 10−6 (40) = 80 µC ¢ ¡ Q20 = C2 ∆V0 = 5 × 10−6 (40) = 200 µC On calcule maintenant l’énergie initialement emmagasinée sur chaque condensateur : U10 = Q210 2C1 U20 = Q220 2C2 2 = = (80×10−6 ) 2(2×10−6 ) 2 200×10−6 ( ) 2(5×10−6 ) =⇒ U10 = 1,60 mJ =⇒ U20 = 4,00 mJ Si on branche les deux condensateurs en reliant ensemble les armatures de signes contraires, la situation est similaire à celle de l’exercice 20. Comme Q20 > Q10 , une charge totale correspondant à la différence Q20 − Q10 se redistribue pour que la différence de potentiel finale soit la même sur les deux condensateurs. Les deux équations à utiliser sont ∆V = Q1 C1 = Q2 C2 (i) et Q1 + Q2 = Q20 − Q10 = 120 µC (ii) où Q1 et Q2 sont les valeurs finales de charge sur chaque condensateur. On résout les équations (i) et (ii) et on trouve Q1 = 34,3 µC et Q2 = 85,7 µC, ce qui permet de calculer 12 Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI l’énergie emmagasinée à la fin sur chaque condensateur : 2 (34,3×10−6 ) Q2 U1 = 2C11 = 2(2×10−6 ) =⇒ U1 = 0,294 mJ 2 (85,7×10−6 ) Q2 U2 = 2C22 = 2(5×10−6 ) =⇒ U2 = 0,735 mJ La figure qui suit reprend la figure 5.26. Les condensateurs ont été numérotés pour E31. simplifier les écritures. On donne C1 = 5 µF, C2 = 2 µF, C3 = 4 µF, C4 = 12 µF et ∆V = 20 V. Avant de pouvoir évaluer l’énergie emmagasinée, on doit connaître la charge sur les deux condensateurs concernés. Pour y arriver, on doit calculer la capacité équivalente de l’ensemble. Les condensateurs C2 et C3 sont en série. Le condensateur Ca qui les remplace a pour valeur 1 Ca = 1 C2 + 1 C3 =⇒ Ca = ³ 1 C2 + 1 C3 ´−1 = ³ 1 2×10−6 + 1 4×10−6 ´−1 = 1,333 µF Les condensateurs Ca et C4 sont en parallèles. Le condensateur Cb qui les remplace a pour valeur ¢ ¡ ¢ ¡ Cb = Ca + C4 = 1,333 × 10−6 + 12 × 10−6 = 13,33 µF Finalement, les condensateurs C1 et Cb sont en série et le condensateur Céq équivalent à tout le circuit a pour valeur ³ 1 1 1 1 = + =⇒ C = éq Céq C1 Cb C1 + 1 Cb ´−1 = ³ 1 5×10−6 + 1 13,33×10−6 ´−1 = 3,64 µF (a) Comme C1 est en série avec Cb , sa charge, ou celle de Cb , a pour valeur ¡ ¢ Q1 = Céq ∆V = 3,64 × 10−6 (20) = 72,8 × 10−6 C L’énergie emmagasinée par ce condensateur est donnée par l’équation 5.9 : 2 (72,8×10−6 ) Q2 U1 = 2C11 = 2(5×10−6 ) =⇒ U1 = 530 µJ (b) Afin de répondre à la question, on doit remonter à la charge sur le condensateur C3 . La différence de potentiel ∆Vb aux bornes du condensateur Cb peut être calculée parce que la charge sur ce condensateur est la même que celle sur C1 : Qb = Q1 = Cb ∆Vb =⇒ ∆Vb = v4 © ERPI Qb Cb = 72,8×10−6 13,33×10−6 = 5,46 V Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 13 Mais le condensateur Cb remplace Ca et C4 , qui sont en parallèle; donc ∆Va = ∆Vb . On peut alors calculer la charge sur Ca : ¡ ¢ Qa = Ca ∆Va = 1,333 × 10−6 (5,46) = 7,28 × 10−6 C Finalement, comme Ca remplace C2 et C3 qui sont en série, ces deux derniers condensateurs portent la même charge que Ca et l’énergie emmagasinée sur C3 peut être calculée : Q23 2C3 U3 = E32. 2 = (7,28×10−6 ) =⇒ U3 = 6,62 µJ 2(4×10−6 ) On donne C = 5 pF, ∆V = 25 V et A = 40 cm3 = 40 × 10−4 m2 . (a) On calcule l’énergie emmagasinée avec l’équation 5.9 : ¢ ¡ UE = 21 C∆V 2 = 21 5 × 10−12 (25)2 = 1,56 nJ (b) Le module du champ électrique entre les armatures du condensateur est donné par l’équation 2.18, E = |σ| ε0 , mais ici σ = Q A, de sorte que E = Q Aε0 . Comme Q = C∆V, alors C∆V Aε0 et l’équation 5.10 qui donne la densité d’énergie s’écrit ´2 ³ 2 (5×10−12 ) (25)2 C 2 ∆V 2 = = uE = 21 ε0 E 2 = 12 ε0 C∆V = 55,2 µJ/m3 2 2 Aε0 2A ε0 2(40×10−4 ) (8,85×10−12 ) E= E33. (a) Le bloc placé entre les deux armatures est conducteur. Si une charge ±Q apparaît sur chacune des armatures du condensateur, une charge induite apparaît sur chacune des faces du bloc. Pour maintenir le champ électrique nul à l’intérieur du bloc, cette charge induite doit avoir la même valeur que celle qui apparaît sur les armatures du condensateur. Ce système est équivalent à deux condensateurs Cs en série. Chacun de ces condensateurs Cs possède une aire A, et la distance entre ses armatures est réduite à ds = d− 2 si le bloc métallique est à mi-chemin. La capacité de chacun des nouveaux condensateurs Cs est donnée par l’équation 5.3 : Cs = ε0 A ds = ε0 A d− 2 = 2ε0 A d− La capacité équivalente de l’ensemble est 1 Céq = 1 Cs + 1 Cs = 2 Cs =⇒ Céq = Cs 2 = ε0 A d− (b) Si on déplace le bloc et qu’il vient en contact avec l’une des armatures du condensateur, le système est équivalent à un seul condensateur d’aire A et d’épaisseur d − . La capacité équivalente est obtenue directement par l’équation 5.3 : Céq = ε0 A d− On note qu’il n’y a aucun changement par rapport à la réponse de la question (a). On pourrait montrer que la capacité équivalente conserve la même valeur quelle que soit la 14 Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI position du bloc. Branché à une différence de potentiel ∆V, le condensateur possède une capacité Ci avec E34. une distance di = d entre ses armatures. Parce que df = 2d, la capacité du condensateur est modifiée pour Cf . (a) Si le condensateur reste branché à la pile, la différence de potentiel entre ses armatures n’est pas affectée : ∆Vf = ∆Vi = ∆V ε0 A di (b) On a Ci = ε0 A d = et Cf = ε0 A df = ε0 A 2d . Le rapport entre les charges est obtenu par l’équation 5.1 : Qf Qi = Cf ∆V Ci ∆V Cf Ci = = ε0 A 2d ε0 A d = 1 2 =⇒ Qf = 12 Qi (c) Le rapport entre les énergies emmagasinée est obtenu par l’équation 5.9 : Uf Ui = 1 C ∆V 2 2 f 1 C ∆V 2 2 i On a Ci = E35. = ε0 A di Cf Ci = = ε0 A d ε0 A 2d ε0 A d = 1 2 et Cf = =⇒ Uf = 21 Ui ε0 A df = ε0 A 2d (a) On charge le condensateur alors qu’il possède une capacité Ci sur une pile ∆V. On le débranche et on sépare les armatures pour passer à Cf . Dans cette situation, c’est la charge sur le condensateur qui reste constante. Sa valeur est Q et le rapport entre les différences de potentiel est donné par l’équation 5.2 : ∆Vf ∆Vi = Q Cf Q Ci Ci Cf = = ε0 A d ε0 A 2d = 2 =⇒ ∆Vf = 2∆Vi (b) La charge sur le condensateur reste constante, Qf = Qi (c) Le rapport entre les énergies emmagasinée est obtenu par l’équation 5.9 : Uf Ui E36. = Q2 2Cf Q2 2Ci = Ci Cf = ε0 A d ε0 A 2d = 2 =⇒ Uf = 2Ui La figure qui suit reprend la figure 5.28. On numérote les condensateurs pour simplifier les écritures. On donne C1 = 4 µF, C2 = 5 µF, C3 = 3 µF, C4 = 6 µF et U2 = 200 mJ. Avant de pouvoir répondre à la question, on doit utiliser l’énergie emmagasinée dans C2 pour trouver la différence de potentiel entre ses armatures. À partir de l’équation 5.9, on trouve q q 2(200×10−3 ) 2 U2 = 21 C2 ∆V22 =⇒ ∆V2 = 2U = 282,8 V = C2 5×10−6 v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 15 (a) Comme C2 et C1 sont branchés en parallèle, ∆V1 = ∆V2 , et l’énergie emmagasinée dans C1 est U1 = 12 C1 ∆V12 = 1 2 ¢ ¡ 4 × 10−6 (282,8)2 = 160 mJ (b) Les condensateurs C3 et C4 sont en série et le condensateur Ca qui leur est équivalent a pour valeur 1 Ca = 1 C3 + 1 C4 =⇒ Ca = ³ 1 C3 + 1 C4 ´−1 = ³ 1 3×10−6 1 6×10−6 + ´−1 = 2,00 µF Comme Ca est en parallèle avec C2 , il subit la même différence de potentiel et la charge sur Ca a pour valeur ¡ ¢ Qa = Ca ∆Va = 2 × 10−6 (282,8) = 5,66 × 10−4 C Comme C3 et C4 sont en série, Q3 = Qa et l’énergie sur C3 est U3 = Q23 2C3 2 = (5,66×10−4 ) 2(3×10−6 ) = 53,4 mJ E38. On donne E = 4,5 × 108 V/m. À partir de l’équation 5.10, on trouve ¢ ¡ uE = 21 ε0 E 2 = 12 8,85 × 10−12 (4,5 × 10)2 = 8,96 × 105 J/m3 E39. certain volume correspond à la densité d’énergie uE multipliée par le volume : ¡ ¢ UE = uE L3 = 21 ε0 E 2 L3 = 21 8,85 × 10−12 (120)2 (10)3 = 63,7 µJ E37. On donne E = 120 V/m et L = 10 m, l’arête d’un cube. L’énergie contenue dans un On donne d = 1 mm et uE = 1,8 × 10−4 J/m3 . On calcule d’abord le module du champ électrique : uE = 12 ε0 E 2 =⇒ E = E40. q 2uE ε0 = q 2(1,8×10−4 ) 8,85×10−12 = 6,38 × 103 V/m Et la différence de potentiel s’obtient au moyen de l’équation 4.6c : ¢ ¢¡ ¡ ∆V = Ed = 6,38 × 103 1,00 × 10−3 = 6,38 V On donne C = 15 pF, ∆V = 48 V et A = 80 cm2 = 80 × 10−4 m2 . Le module du champ électrique entre les armatures du condensateur est donné par l’équation 2.18, E = mais ici σ = E41. Q A, de sorte que E = Q Aε0 . qui donne la densité d’énergie s’écrit ´2 ³ 2 2 = C2A∆V = uE = 12 ε0 E 2 = 12 ε0 C∆V 2ε Aε0 0 Comme Q = C∆V, E = 2 (15×10−12 ) (48)2 2(80×10−4 )2 (8,85×10−12 ) C∆V Aε0 |σ| ε0 , et l’équation 5.10 = 4,58 × 10−4 µJ/m3 Ce système est équivalent à deux condensateurs en parallèle. Dans la figure 5.29, le condensateur de gauche Cg possède des armatures d’aire A 2 séparées d’une distance d et entre lesquelles se trouve un diélectrique κ1 . Le condensateur de droite Cd a les mêmes caractéristiques, sauf pour le diélectrique de constante κ2 . La capacité équivalente C de 16 Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI ces deux condensateurs est, d’après les équations 5.13 et 5.3 : C = Cg + Cd = κ1 ε0 ( A 2) d + κ2 ε0 ( A 2) d 0A = (κ1 + κ2 ) ε2d = 1 2 (κ1 + κ2 ) ε0dA La capacité du même condensateur sans les diélectriques est C0 = 1 2 C= ε0 A d ; donc (κ1 + κ2 ) C0 Ce système est équivalent à deux condensateurs en série. Dans la figure 5.30, le conden- E42. sateur du haut Ch possède des armatures d’aire A séparées d’une distance d 2 et entre lesquelles se trouve un diélectrique κ1 . Le condensateur du bas Cb a les mêmes caractéristiques, sauf pour le diélectrique de constante κ2 . La capacité équivalente C de ces deux condensateurs est, d’après les équations 5.13 et 5.3 : à !−1 ³ 1 1 d 1 1 1 + = = + =⇒ C = κ1 ε0 A κ2 ε0 A C Ch Cb 2κ1 ε0 A + C= ³ d 2ε0 A ³ 1 κ1 + 1 κ2 ´´−1 d 2 = ³ d 2ε0 A ³ d 2 κ1 +κ2 κ1 κ2 ´´−1 = 2ε0 A d ³ d 2κ2 ε0 A κ1 κ2 κ1 +κ2 ´ ´−1 La capacité du même condensateur sans les diélectriques est C0 = ´ ³ κ2 C0 C = 2 κκ11+κ 2 =⇒ ε0 A d ; donc On donne d = 1 cm, = 0,3 cm, σ = 2 nC/m2 , κ = 5 et A = 40 cm2 = 40×10−4 m2 . Cette E43. situation a déjà été traitée dans l’exemple 5.11, où on a démontré que C = d+ ε0 A . ( κ1 −1) (a) On sait que Q = σA. On calcule ensuite la différence de potentiel avec l’équation 5.2 : C= Q ∆V =⇒ ∆V = Q C = σA = ε0 A 1 −1 d+ κ 8,85×10−12 40×10−4 σ (d+ ( κ1 −1)) ε0 ( ) ) )( ( (b) C = d+ ε01A−1 = = 4,66 pF 0,01+0,003( 51 −1) (κ ) = (2×10−9 )(0,01+0,003( 51 −1)) 8,85×10−12 = 1,72 V On donne C0 = 0,1 µF, la capacité du condensateur sans le diélectrique, ∆V = 12 V et E44. κ = 4. La charge initiale que porte le condensateur est ¢ ¡ Qi = C0 ∆V = 0,1 × 10−6 (12) = 1,20 × 10−6 C Si le condensateur reste branché à la pile, la charge finale est ¢ ¡ Qf = κC0 ∆V = 4 0,1 × 10−6 (12) = 4,80 × 10−6 C De sorte que ∆Q = Qf − Qi = 3,60 µC On donne C = 50 pF et d = 0,1 mm. Comme il s’agit du mica, alors κ = 6 selon le E45. tableau 5.1 et Emax = 150 × 106 V/m, la valeur de sa rigidité diélectrique. (a) Selon les équations 5.3 et 5.13, v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 17 C= κε0 A d =⇒ A = Cd κε0 = (50×10−12 )(0,1×10−3 ) 6(8,85×10−12 ) = 0,942 × 10−4 m2 = 0,942 cm2 (b) À partir de l’équation 4.6c, on trouve ¡ ¢ ¢¡ ∆Vmax = Emax d = 150 × 106 0,1 × 10−3 = 15,0 kV E46. (a) On donne C = 1,5C0 =⇒ κ = 1,50 (b) La charge n’est pas modifiée, donc Q = Q0 et on donne ∆V = 0,75∆V0 . Alors C= Q ∆V = Q0 0,75∆V0 0 = 1,33 Q V0 = 1,33C0 =⇒ κ = 1,33 (c) La différence de potentiel n’est pas modifiée, donc ∆V = ∆V0 et on donne Q = 2Q0 . Alors C= E47. Q ∆V = 2Q0 ∆V0 0 = 2Q V0 = 2C0 =⇒ κ = 2,00 On donne C = 4,2 pF et ∆V = 1000 V. (a) À partir de l’équation 5.4, on obtient ¢ ¢¡ ¡ C C = 4πε0 R =⇒ R = 4πε = kC = 9 × 109 4,2 × 10−12 = 3,78 cm 0 (b) Q = C∆V et σ= E48. Q 4πR2 = C∆V 4πR2 = (4,2×10−12 )(1000) 4π(3,78×10−2 )2 = 234 nC/m2 On donne C = 6 pF, d = 4 mm et A = πR2 , qui correspond à l’aire de chaque plaque. Alors C= ε0 A d = ε0 (πR2 ) d =⇒ R = q Cd πε0 = q (6×10−12 )(4×10−3 ) π(8,85×10−12 ) = 2,94 cm E49. On donne ∆V = 12 V et σ = 15 nC/m2 . Comme Q = σA, alors (8,85×10−12 )(12) Q σA C = ∆V = ε0dA =⇒ ∆V = ε0dA =⇒ d = ε0 ∆V = = 7,08 mm σ 15×10−9 E50. On donne C = 15 pF, L = 0,12 m et b = 0,7 cm. (a) Selon l’équation 5.6, ¡ b ¢ 2πε0 L 2πε L 2πε0 L − C0 b 0L C C = 2πε = =⇒ ln =⇒ a = be =⇒ =⇒ = e b a C a ln( a ) −12 ¡ ¢ − 2π(8,85×10 −12)(0,12) −2 15×10 a = 0,7 × 10 = 0,449 cm e (b) On donne ∆V = 24 V. Par définition, λ = Q L , mais Q = C∆V, donc (15×10−12 )(24) C∆V λ= Q = 3,00 nC/m L = L = 0,12 E51. On donne C1 = 20 µF, ∆V0 = 26 V, la différence de potentiel initiale du condensateur C1 , et ∆V = 16 V, la différence de potentiel finale de C1 et C2 . On cherche la charge initiale sur C1 : ¢ ¡ Q10 = C1 ∆V0 = 20 × 10−6 (26) = 520 × 10−6 C Cette situation est similaire à celle de l’exercice 11. Lorsqu’on branche le condensateur C1 18 Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI à C2 , une partie de la charge se déplace vers le second condensateur pour que la différence de potentiel finale soit la même pour les deux condensateurs. Les deux équations à utiliser sont ∆V = Q1 C1 = Q2 C2 (i) et Q1 + Q2 = Q10 = 520 µC (ii) où Q1 et Q2 sont les valeurs finales de charge sur chaque condensateur. Sachant que ∆V = 16 V, on trouve d’abord Q1 = 320 µC à partir de l’équation (i) et, à partir de l’équation (ii), Q2 = 200 µC. Ce résultat permet de calculer la capacité du deuxième condensateur : Q2 ∆V C2 = E52. = 200×10−6 16 = 12,5 µF On donne C = 50 µF et ∆V = 240 V. L’énergie emmagasinée dans le condensateur est ¢ ¡ UE = 12 C∆V 2 = 21 50 × 10−6 (240)2 = 1,44 J. Si le condensateur se vide en ∆t = 0,2 ms, alors P = UE ∆t = 1,44 0,2×10−3 = 7,20 kW Problèmes P1. On sait que C = κC0 = κε0 A d et que ∆V = Ed, où la différence de potentiel et le module du champ électrique sont mesurés en présence du diélectrique. L’énergie emmagasinée dans un condensateur est, selon l’équation 5.9, ¡ ¢ UE = 21 C∆V 2 = 21 κεd0 A (Ed)2 La densité d’énergie est donnée par le rapport entre cette énergie et le volume de l’espace P2. entre les armatures du condensateur Ad : ¡ ¢ ¡1¢ E uE = UAd = 21 κεd0 A (Ed)2 Ad =⇒ uE = 12 κε0 E 2 =⇒ CQFD La situation initiale est représentée à la figure 5.27. On donne ∆V , la différence de potentiel à laquelle reste branché le condensateur, Ci = avec le bloc selon l’exercice 33, et Cf = ε0 A d , ε0 A d− , la capacité du condensateur la capacité sans le bloc. Les valeurs initiale et finale de l’énergie emmagasinée sont ³ ´ 0A Ui = 21 Ci ∆V 2 = 12 εd− ∆V 2 ¡ ¢ Uf = 12 Cf ∆V 2 = 21 ε0dA ∆V 2 Le travail extérieur Wext correspond à la différence d’énergie emmagasinée : v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 19 ³ ´ ¡ ¢ ε0 A ∆V 2 = Wext = Uf − Ui = 21 ε0dA ∆V 2 − 12 d− ´ ³ 1 ε0 A ∆V 2 d− −d 2 Wext = 21 (ε0 A) d(d− ) ∆V = − 2 d(d− ) 1 2 (ε0 A) ³ 1 d − 1 d− ´ ∆V 2 =⇒ Ce résultat négatif s’explique par le fait que Ci > Cf . Comme la charge finale sera plus faible, une partie de la charge initiale doit disparaître sous forme de courant dans le circuit auquel est branché le condensateur. Le travail extérieur est la somme du travail positif que fera la force responsable de tirer sur le bloc pendant son extraction et celui, négatif, que fera la charge disparaissant dans le circuit. P3. La situation initiale est représentée à la figure 5.27. On donne ∆V , la différence de potentiel à laquelle est branché le condensateur au départ, Ci = condensateur avec le bloc selon l’exercice 33, et Cf = ε0 A d , ε0 A d− , la capacité du la capacité sans le bloc. Comme on débranche le condensateur avant de retirer le bloc, les valeurs initiale et finale de l’énergie emmagasinée sont calculées à partir de la charge Q que porte le condensateur au départ et qui restera constante. On a Q = Ci ∆V Les valeurs initiale et finale de l’énergie emmagasinée sont ³ ´ 2 2 1 (Ci ∆V ) 1 2 = 1 ε0 A ∆V 2 = = C ∆V Ui = 12 Q Ci 2 Ci 2 i 2 d− Uf = 1 Q2 2 Cf 2 1 (Ci ∆V ) 2 Cf = = 1 2 ³ ´ ε0 A 2 ∆V 2 d− ε0 A d = 1 d 2 2 (d− )2 ε0 A∆V Le travail extérieur Wext correspond à la différence d’énergie emmagasinée : ³ ´ ´ ³ ε0 A 1 ∆V 2 = 21 (ε0 A) (d−d )2 − d− ∆V 2 =⇒ Wext = Uf − Ui = 21 (d−d )2 ε0 A∆V 2 − 12 d− ´ ³ ) A ∆V 2 Wext = 21 (ε0 A) d−(d− ∆V 2 = 12 ε0(d− (d− )2 )2 Ici, contrairement au problème 2, le travail est positif parce qu’il ne correspond qu’à l’effort nécessaire pour tirer le bloc vers l’extérieur. P4. On sait que C10 = C20 . Pour les deux condensateurs, A = 16 cm2 = 16 × 10−4 m2 et d = 0,4 mm. Les deux condensateurs sont branchés en série à ∆V = 12 V. (a) On calcule d’abord la capacité de l’un ou l’autre des condensateurs : C10 = C20 = ε0 A d = (8,85×10−12 )(16×10−4 ) 0,4×10−3 = 35,4 pF Les deux condensateurs étant branchés en série, la capacité équivalente est 1 Céq 20 = 1 C1 + 1 C2 = 2 C11 =⇒ Céq = 21 C1 = 17,7 pF La charge sur chaque condensateur a pour valeur ¢ ¡ Q10 = Q20 = Céq ∆V = 17,7 × 10−12 (12) =⇒ Q10 = Q20 = 212 pC Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI La différence de potentiel sur l’un ou l’autre des condensateurs est donnée par ∆V10 = ∆V20 = Q10 C1 (b) On donne C1 = C10 212×10−12 35,4×10−12 =⇒ ∆V10 = ∆V20 = 6,00 V ¢ ¡ = 35,4 pF et C2 = κC20 = 5 35,4 × 10−12 = 177 pF. Comme les = condensateurs sont branchés en série, ´−1 ³ ³ 1 1 1 1 1 1 = 35,4×10 + =⇒ C = + = éq −12 + Céq C1 C2 C1 C2 1 177×10−12 ´−1 = 29,5 pF La charge sur chaque condensateur a pour valeur ¡ ¢ Q1 = Q2 = Céq ∆V = 29,5 × 10−12 (12) =⇒ Q1 = Q2 = 354 pC Et la différence de potentiel pour chaque condensateur est ∆V1 = ∆V2 = P5. Q1 C1 Q2 C2 = 354×10−12 35,4×10−12 =⇒ ∆V1 = 10,0 V = 354×10−12 177×10−12 =⇒ ∆V2 = 2,00 V On donne C = 50 pF, la capacité de chacun des condensateurs du circuit de la figure 5.32. Si, comme on le mentionne dans la donnée, la succession de condensateurs se poursuit indéfiniment vers la droite, la capacité équivalente entre les points a et b, qu’elle soit nulle, infinie ou qu’elle possède une valeur donnée, ne devrait pas changer si on retire les trois condensateurs de gauche et qu’on mesure la capacité entre les points a 0 et b0 . On peut donc représenter le circuit en remplaçant ce qui se trouve entre ces deux points vers la droite par un condensateur possédant la même valeur que celle que l’on cherche : Les deux branches verticales sont en parallèle, le condensateur Ca qui les remplace a pour valeur Ca = C + Céq Ce condensateur Ca est en série avec deux condensateurs de capacité C. La capacité équivalente de cet ensemble est la valeur Céq : 1 Céq = 1 C + 1 C + 1 Ca = 2 C + 1 C+Céq =⇒ 1 Céq = 2(C+Céq )+C C(C+Céq ) = 3C+2Cé q C(C+Céq ) =⇒ 2 =⇒ 2C 2 + 2CC − C 2 C 2 + CCéq = 3CCéq + 2Céq éq éq On résout cette équation quadratique en Céq et on trouve Céq = v4 © ERPI √ −2C± 4C 2 +8C 2 4 = √ −2C±2 3C 4 = √ ± 3−1 C 2 Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 21 P6. On ne retient que le résultat positif et √ √ ¢ ¡ 3−1 Céq = 3−1 50 × 10−12 = 18,3 pF 2 C = 2 On donne C1 = 2 µF, C2 = 4 µF et C3 = 3 µF. On suppose qu’une différence de potentiel ∆V est appliquée entre les extrémités du circuit. La différence de potentiel entre les armatures de chacune des trois valeurs de capacité est ∆V1 = et ∆V3 = Q3 C3 . Q1 C1 , ∆V2 = Q2 C2 On calcule la somme des différences de potentiel rencontrées en suivant différents parcours de gauche à droite dans la figure 5.33. Directement par la branche supérieure : ∆V = ∆V1 + ∆V2 =⇒ ∆V = Q1 C1 + Q2 C2 (i) Par le condensateur C1 en haut à gauche, la branche verticale contenant C3 et le condensateur C1 en bas à droite : on fait l’hypothèse que le condensateur C3 a son armature négative en haut du circuit, de sorte qu’on rencontre une variation positive de potentiel en le traversant vers le bas : ∆V = ∆V1 + ∆V3 + ∆V1 = 2∆V1 + ∆V3 =⇒ ∆V = 2Q1 C1 + Q3 C3 (ii) Par le condensateur C2 en bas à gauche, la branche verticale contenant C3 et le condensateur C2 en haut à droite : attention, on traverse maintenant C3 dans le sens opposé : ∆V = ∆V2 − ∆V3 + ∆V2 = 2∆V2 − ∆V3 =⇒ ∆V = 2Q2 C2 − Q3 C3 (iii) De plus, si on considère la portion du circuit qui contient l’armature supérieure de C3 et l’une des armatures des condensateurs C1 et C2 du haut, on peut affirmer que Q1 − Q2 − Q3 = 0 (iv) Ce système de quatre équations contient quatre inconnues qui sont les valeurs des charges et la valeur de la différence de potentiel. En réalité, ce système d’équations ne permet pas de trouver une valeur à ∆V et il conduit plutôt à une valeur pour les charges qui contient cette inconnue. On laisse le soin à l’élève d’appliquer la méthode de son choix pour trouver la valeur des trois charges. Les lignes de commande permettant de trouver le résultat par Maple sont suggérées ici : > restart; > eq1:=DV=Q1/C1+Q2/C2; > eq2:=DV=2*Q1/C1+Q3/C3; > eq3:=DV=2*Q2/C2-Q3/C3; > eq4:=Q1-Q2-Q3=0; > solve({eq1,eq2,eq3,eq4},{Q1,Q2,Q3,DV}); 22 Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI On trouve ainsi que Q1 = C1 (C2 +C3 ) C1 +C2 +2C3 ∆V et Q2 = C2 (C1 +C3 ) C1 +C2 +2C3 ∆V. Si le circuit doit être remplacé par un seul condensateur Céq , il devra contenir une charge correspondant à la somme des charges qu’on retrouve sur les deux armatures de gauche, donc Q1 + Q2 . L’équation 5.2 permet donc d’affirmer que Céq = Q1 +Q2 ∆V C1 (C2 +C3 ) C1 +C2 +2C3 = + C2 (C1 +C3 ) C1 +C2 +2C3 = 2C1 C2 +C3 (C1 +C2 ) C1 +C2 +2C3 = 34 12 µF =⇒ Céq = 2,83 µF P7. On donne A pour l’aire des armatures et d pour la distance entre les armatures que l’on remplace par la variable x. Comme C = UE = Q2 2C = 2 ³Q ´ ε A 2 0x = ε0 A x , l’énergie emmagasinée est : Q2 x 2ε0 A Si on utilise la relation proposée dans la donnée ³ 2 ´ Q2 Q2 Q x d E = − Fx = − dU dx dx 2ε0 A = − 2ε0 A =⇒ F = 2ε0 A Les deux armatures sont de signes opposés; il s’agit donc d’une force d’attraction . P8. On donne C, la capacité du condensateur sans le diélectrique et la différence de potentiel initiale. Si on débranche le condensateur avant d’introduire le diélectrique, la charge Q qu’il porte reste constante mais la différence de potentiel est réduite à ∆Vd = ∆V κ , comme on l’explique à la section 5.5. La nouvelle valeur de la capacité est Cd = κC et l’énergie emmagasinée est Ud = 21 Cd ∆Vd2 = P9. 1 2 (κC) ¡ ∆V ¢2 κ C∆V 2 2κ = Contrairement au problème, dans cette situation la différence de potentiel reste la même; donc Ud = 12 Cd ∆V 2 = P10. 1 2 (κC) ∆V 2 = κC∆V 2 2 La capacité d’un condensateur cylindrique, selon l’équation 5.6, est C= 2πε0 L ln( ab ) Si b − a ¿ b, le dénominateur de cette expression peut être modifié. On commence par exprimer ce terme de façon différente, en posant que d = b − a, la distance entre les deux armatures : ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ln ab = ln a+b−a = ln a+d = ln 1 + ad a a Comme on l’affirme dans les pages liminaires de la fin du manuel, lorsque x ¿ 1, v4 © ERPI ln(1 + x) ≈ x. C’est le cas ici; donc ¢ ¡ ln 1 + ad ≈ ad Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 23 et l’expression de la capacité devient C= 2πε0 L ln( ab ) ≈ 2πε0 L ≈ d a 2πε0 La d Si l’espace entre les deux armatures est réduit, l’aire de l’une ou l’autre des armatures correspond à A = 2πaL et C ≈ ε0 A d , ce qui est bien l’expression de la capacité d’un condensateur plan. =⇒ CQFD P11. La capacité d’un condensateur sphérique, selon l’équation 5.5, est C= R1 R2 k(R2 −R1 ) (a) Si R2 − R1 ¿ R2 , alors les parois des deux sphères sont très rapprochées. On pose d = R2 − R1 , la distance entre les armatures. Si R représente la valeur moyenne des deux rayons, alors R1 R2 ≈ R2 et l’expression de la capacité devient C= R1 R2 k(R2 −R1 ) ≈ R2 kd Si l’espace entre les deux armatures est réduit, l’aire de l’une ou l’autre des armatures correspond à A = 4πR2 et l’expression de la capacité prend la même forme que pour un condensateur plan : A 2 ( 4π ) A C≈R = kd kd = 4πkd =⇒ C ≈ ε0 A d =⇒ CQFD (b) On réécrit l’expression de la capacité d’un condensateur de la manière suivante : ´ ³ R1 R2 R2 C = k(RR21−R = k R2 −R1 1) Si R2 À R1 , alors C≈ R1 k R2 R2 −R1 ≈ 1 et la capacité du condensateur devient =⇒ C ≈ 4πε0 R1 qui est bien l’expression de la capacité d’une sphère isolée. =⇒ CQFD P12. (a) La densité d’énergie dans un champ électrique est donnée par l’équation 5.10, uE = 21 ε0 E 2 , et le module du champ électrique à l’intérieur d’un condensateur cylindrique (ou câble coaxial) par l’équation 3.7, E = 2kλ r . 1 la première en rappelant que k = 4πε : 0 ³ ´2 ¡ ¢2 4λ2 ε0 k2 2λ2 ε0 1 uE = 21 ε0 2kλ = = = 2 2 r 4πε0 2r r On interpole la seconde expression dans λ2 8ε0 π 2 r2 (b) L’énergie emmagasinée dans une mince coquille cylindrique d’épaisseur dr et de volume 2πrLdr est dUE = uE (2πrL) dr et l’énergie totale entre les deux armatures de rayons a et b est R Rb ³ λ2 ´ UE = dUE = (2πrL) dr = 8ε0 π 2 r2 a UE = 24 λ2 L 4πε0 ln ¡b¢ λ2 L 4πε0 Rb a 1 r dr = λ2 L 4πε0 [ln (r)|ba =⇒ a Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques v4 © ERPI (c) L’énergie emmagasinée peut être calculée avec UE = Q2 2C 2πε0 L et ln( ab ) 2 Ã(λL) ! où C = UE = 2 2πε0 L b ln a Q = λL, donc ¡b¢ λ2 L ln = 4πε a 0 ( ) On observe qu’il s’agit du même résultat qu’à la question (b). P13. Selon l’équation 5.15 de la section 5.7, σf ε0 − σb ε0 = σf κε0 Si on isole σ b dans cette expression, on trouve ¡ κ−1 ¢ ¡ ¢ σb σf σf 1 1 − =⇒ σ = σ =⇒ CQFD = − =⇒ σ = σ b f b f ε0 ε0 κε0 κ κ v4 © ERPI Électricité et magnétisme, Chapitre 5 : Condensateurs et diélectriques 25