Algbbres Gh&iques Micah zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE Artibano Dbpartement Universite des Sciences M ontpellier Place Eugene 34095 Nilpotentes* zyxwvutsrqponmlkjihgfedc Dimensionnellement M athematiques 11 Bataillon M ontpellier Cedex 05, France et Departement Fact& de M athbatiques des Sciences Universite et lnformatique et Techniques de Ouagadougou 03 B.P. 7021 Cuagadougou 03, Burkina Faso et Moussa Ouattara Departement de M athtbatiques Fact&e’ des Sciences Universite de Cuagadougou 03 B.P. 7021 Ouagadougou Submitted et lnformatique et Techniques by Richard 03, Burkina Faso A. Brualdi ABSTRACT The structure of dimensionally nilpotent and P. L. Manley for characteristic zero and by J. M. Osbom Moreover, mutative genetic J. M. Osbom studied Jordan algebras. algebras about Jordan ALGEBRA nilpotent was studied 0 AND 1997 Elsevier nilpotent Science by G. F. Leger for characteristic commutative In this paper we give some results concerning * Supported by Programme LINEAR dimensionally which are dimensionally algebras. Lie algebras in connection p > 5. and noncomBernstein with Osbom’s and results Inc. Campus. ITS APPLICATIONS 0 1997 Elsevier Science Inc. All rights reserved. 655 Avenue of the Americas, New York, NY 10010 266:271-290 (1997) 0024.3795/97/$17.00 PI1 SOO243795(97)00009-8 272 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ARTIBANO MICALI AND MOUSSA OUATTARA zyxwvutsrqp INTRODUCTION La structure &d&e des algiibres de Lie dimensionnellement nilpotentes par G. F. Leger et P. L. Manley (cf. [3]) en caractktique J. M. Osbom Osbom (cf. [lo-121) non commutatives algebres de Bernstein 1. THEOREME Soient des algebres un certain et genetiques part, J. M. de Jordan commutatives sur un corps parfait de caracteristique Dans ce papier nous donnons LE p > 5. D’autre en caracteristique (cf. [13]) a etudik la structure a 6th zero et par nombre differente de resultats et de 2 et 3. concernant qui sont dimensionnellement les nilpotentes. D’OSBORN K un corps commutatif et A une K-algebre de dimension finie n + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1. On dira que A est une K- algsbre dimensionnellement nilpotente, s’il existe une K-derivation nilpotente Dans [13], en etudiant les algebres tentes, J. M. Osbom TH~OR~ME 1.1. demontre Soient K un corps = 0 et d” # 0. dimensionnellement pa$ait de Jordan Alors A &t me nilpotente. que dnfl de Jordan nilpo- le resultat suivant: de 2 et 3 et A une K-alg>bre mmt d de A telle de carach-istique de dimension jhie di@ -ente dimensionnelle- ou bien dim K( A/ rad( A)) algGbre nilpotente = 1. Soit done A une algebre parfait K de caract&istique algebre dimensionnellement de K-algebres A = Ke @ JN, oti e est associatives A/ N de dimension finie sur un corps de 2 et 3. On suppose que A soit une nilpotente isomorphisme puissances de Jordan differente non nilpotente. II existe A K avec N = rad(A) un idempotent non nul de qui n’est pas une nil-algebre alors un et on peut &ire A (toute contient algebre a un idempotent non nul). On note w : A + A/ N ; K le morphisme compose evident de K-algebres. Pour tout element x de A, I’dlement x2 - w( x)x est dans N et si r > 2 est un entier tel que N r = {O}, alors [x2 - w(x)x]~ = 0. Etant don& que A est une algebre T-algebre de Jordan theoreme 1.11). Ces considerations COROLLAIRE 1.2. done Jordan g&&ique. associatives, alggbre de Joro!an nous conduisent alors &Jordan dimensionnellement (cf. [9, au resultat qui suit: de dimension finie nilpotente, A est une g&&ique Soient K un COTS payfLit de caracttkistique de 2 et 3 et A une K-alg;bre A est une algibre a puissances A est une diff&rente non nilpotente. Si alors A est une algsbre de GENETIC 2. 273 zyxwvutsrqp ALGEBRAS SUR LES ALGkBRES DE Le but de ce paragraphe BERNSTEIN est de demontrer le theorkme suivant: TH~OR~ME 2.1. Soient K un corps commutatif de caractf%stique di& rente de 2 et (A, o) une K-algsbre de Bernstein de dimension finie dimensionnellement nilpotente. Alors l’io%al N = KeI(ol de A est nilpotent et, par suite, A est une K-al@bre g&&ique. n + 1 d de A d”+ ’ = 0 et d” # 0. I1 existe alors une base {x0, x1, . . . , xn} de A &&ant sur K telle que xi = d’(x,) = d(x,_l) (i = 1,. .., n> et on peut supposer En effet, soit A une K-alggbre dimensionnellement nilpotente que x0 soit un idempotent de Bernstein de dimension et fmons une d&ivation de A. Dans le cas contraire, pour tout idempotent non nul e0 de A, la famille {e,, e,, . . . , e,,}, ou e, = d(ej_l), il existemit des scalaires finie nilpotente serait Ii&e done cza, cxl, . . . , a, non tous nuls tels que C:= a aiei = 0. w 0 d = 0, on a d(A) Comme c N done (Y,, = 0. Soit k le plus petit indice d”-k ?I la relation cy=, oiei = 0, x,, = he, + y0 on a ffken = 0 done e, = d”(e,) = 0. Maintenant on &it yo) et avec A dans K et y0 dans lid&al N; on a x, = d”(Ae, + y,,) = d"( zyxwvutsrqponml comme d”(N) = {O}, on a aussi x, = 0, ce qui est absurde. On peut done supposer que x0 soit un idempotent de A, on arrive h x, E Ann(N) et soit tel que ‘Ye # 0; en appliquant ( x n1 Z = par x,. On pro&de de A. Supposons le theoreme lid&al de A engendk rence sur la dimension de l’operateur Bernstein infkeure dimensionnellement i n + 1. L’algitbre (cf. lemme 2.2 et remarque nilpotente quotient il existe (d’apres que N” + ’ = {O}. Les lemmes Ecrivons 1 ,..., on l’hypothgse et remarques strictement n nilpotente et si de rkurrence) un Z C Ann(N), il qui suivent achevent la du theoreme. LEMME 2.2. Si Z est le sous-K-espace alors 1 est un i&al de A. relation par r&cur- de dimension N” c Z et puisque entier s > 1 tel que N” = (6}, ou encore, demonstration dimension A/Z est de Bernstein 2.4), elle est dimensionnellement N dksigne le noyau wotient, en r&ulte de maintenant vrai pour toute algkbre x,” = Cr,, a oixi 0 = 2x,d(r,) n - 1). Ainsi, oij les vectoriel (Y, sont ok A engendre dans = d(xE) = Cy:,’ aixi+, xf = o,x,, done par x,, K; en derivant d’ou 0 = <x,2)” = afxf cette oi = 0 = (Y~x, ce (i = qui n a = 0 ou encore, cr,, = 0. Cela nous montre que x,2 = 0. De entrame cy,, ,. I . meme, on ecnt x,_ 1x, = Cn= 1 /$x, oh les pi sont dans K et en dkivant ARTIBANO 274 cette relation MICALI on a 0 = zrf = d(x,_i)x, AND = d(r,_r~,) MOUSSA OUA’ITARA = C;:,’ pixi+r zyxwvutsrqp done . . ) n - 1). Cela nous montre que x,_ ix, = &r,. pi = 0 (i = 1,. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Soient x et y deux vecteurs LEMME 2.3. que xy = (Yy. Alors y est dans U fl Ann(U). En effet, on kit de N et ff dans K, cx # 0, tels x = u0 + va et y = u + v et il faut demontrer ry = uau + u0 v + vau + vav = (YU + (YV d’ou v = 0. Or, que LYV = uOu et (YU = uav + uau + vOv ce qui nous permet d&ire ffv = cY1uOcru = (Y-lu&ov + vgu + u(p) = (Y-l[u,(u,v> + u,(u,u) + u,(u,u)l = (Y-luo (u,u> = --(Y-~u(u~v~) = - ap2(u,v + uOu + uOvXuOuO) = 0. On a ainsi montre que u = 0. On revient i la demonstration 06 les Ai sont dans du lemme K et on derive x0 X, = Cl= 1 Ai xi 2.2. On kit successivement cette relation; on a r n-l xfl = hix, et si l’on suppose que A, # 0, le lemme 2.3 nous dit que x, cette formule on est dans U done x0x, = ix,,. En derivant successivement xk x, = 0 (k = 1,. . . , n) voit que absurde. On conclut alors que et, en particulier, qui est 1) d’oii xk x, = 0 A, = 0 ou A,, = i. Cela nous montre (k = l,...,n> et x0x, = A,x,, avec que le K-espace vectoriel Z = Ku, coincide REMARQUE 2.4. Cette lemmes precedents, remarque d’achever A, = 0, ce Ai = 0 (i = 1,. . . , n - avec lid&al Z = (x,1. nous permettra, la demonstration compte tenu des deux du theoreme 2.1. Considerons la K-derivation zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED d : A + A oh d” + ’ = 0 et d” # 0 avec n + 1 = dim K( A). On note Z = (c) = Ke I’idkal de A engendre par un element e de A tel que d(e) = 0 (dans le cas du theoreme 2.1, e = x,), coincidant aussi avec le K-espace vectoriel ZZe. Pour tout element x de I, x = ae avec a dans A, C 1. I1 existe alors une unique done d(x) = d(a)e + ad(e) = d( a 1e, soit d(Z) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU vkifiant 60 c = c 0 d, 0; c : A + A/ Z est le application 2: A/ Z --+ A/Z morphisme K-derivation surjectif canonique de la K-algebre trons que l’algebre de K-algebres. quotient A/Z I1 est clair que et que dim,( (A/ Z, z) est d’imensionnellement d est une A/ Z) = n; mon- nilpotente de dimension n. En effet, dice,,) dans on choisit une base {e,, e,, . . . , e,} de A sur K avec e, = e et = ej (i = 1,. . . , n) oh e, est un idempotent. On calcule, les hi &ant = c(Cr,t Aiei+l), done zk(ktCyzrji Aiei) = 1, . . . , n). I1 s’ensuit que d” (CLIai Aiei> = c<C:l,’ liei+,) = c(A,e,) = 0 soit r?” = 0. Si l’on avait aussi d”-’ = 0, on Aiei) = c(CyLai A,e,+,_i) = c(A,e,_, + Aie,) = A,e,_, aurait dnpl(C~~~ soit e,_ i E 1. 11 existerait alors un scalaire A tel que e, _ i = he,, ce qui est absurde. Done 2-l # 0 et l’assertion est demontree. c(C~,~ K: c?((C~~~ A,E,) A,e,+,) (k = GENETIC 275 ALGEBRAS Nous donnerons, par la suite, un exemple Soient rente de 2 et A = G(n alleles. algebre de Bernstein qui nilpotente. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM est dimensionnellement EXEMPLE2.5. dune Si {e,, . . . , e,} K un corps commutatif + 1,2) la K-algebre est une base de caractkistique gametique de l’ideal diffe- dipldide avec 72 + 1 N = U et si e z 0 est un de zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A tel que {e, e,, . . . , e,} soit une base de A, alors ee, = iei idempotent n) et si zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG d est une derivation de A, ed(ei) = id(ei) (i = 1,. . . , n), (i = l,..., car d(e) E N et N est une zero-algebre. 11 suffit done de definir d : A + A d(ei) = ei+l (i = 1,. . . , R - l), d(e) = e, et d(e,) = 0. I1 s’ensuit que d”+’ = 0 et d” # 0, ce qui montre que l’algebre de Bernstein A = nilpotente. G(n + 1,2) est dimensionnellement par Le fait qu’une algebre de Bernstein de dimension n’entr&e pas qu’elle soit dimensionnellement eventuelle reciproque EXEMPLE2.6. la table Considerons I’algebre relative tous les autres produits LES DEUX ALGkBRES Autrement de Bernstein dit, une de dimension B une base {e,,, e,, es} s’ecrit &ant nuls. Cette mais elle n’est pas dimensonnellement SUR finie soit gerktique nilpotente. 2.1 serait fausse. du Theo&me de multiplication eaei = iei, 3. algebre 3 dont ez = e, et est g&&que nilpotente. GAMkTIQUES POLYPLOIDES AVEC ALLELES z&o ou tr& grande et ne sont pas, en g&&al, de Bernstein sauf si m = 1. Nous allons montrer, dans ce paragraphe, que pour tout entier m > 1, l’algebre G(2,2m) est dimensionnellement nilpotente. Soient K un corps commutatif A = G(2,2m) la K-algebre En effet, notons l’anneau zyxwvutsrq X, et Xi de poly&mes de caractktique 2m-p&de K[ X,, naturelle not&e ek = X, m-kx! tion s’&rit avec deux alleles. Ces algebres les deux alleles (ce sont des indeterminees Xi]); on sait que G(2,2m> admet de une base (k = 0, 1,.. . ) m) dont la table de multiplica- 276 ARTIBANO MICALI AND MOUSSA OUATTARA zyxwvutsrqp et une zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA base cnnonique not&e zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA &k = JJI-k(X()-X,)k= xc, dont la table de multiplication Ei cl = (k=O,l,...,m) s’kcrit (“,p I(-’ 2yn;j Nous savons (cf. [4, lemme des scalaires uniques d(el;) ;:(-l)l(;)cJ/ I= 0 = A@(ek_, -.i) (i,j=O,l,..., Ei+j m). 2.11) que pour toute dkivation d de A, il existe LY et p tels que -fQ) ITL- k + -a(ek m - ek+l) (k = (),I,..., VL), done Si l’on fait un d&alage d’indice dans la premihre exemple, 1 = p), on a D’autre on pose I - des sommes qui suivent (par part, ,~)(-l)‘(~)b= ~(-l)‘(i”,i(k-z+l)e~ /=o = - k(-I)‘(F)(k- z)el+,, I=0 GENETIC 277 ALGEBRAS zyxwvutsrq ce qui nous donne Finalement que zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT on voit, sans trop de difficult&, &k - &k+l et cela nous donne la formule finale m-k d(Ek) = ;(cz On peut ainsi knoncer base canonique (k=O,l,..., m). / 3)&k + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO -ask+1 - m un lemme de la K-alg6bre POW - toute dh-ivation LEMME3.1. ff, /3 uniques analogue gamgtique au lemme 2.1 de [4] mais pour la G(2,2m), i savoir: zyxwvutsrqponmlkjihgfedc d de G(2,2m>, il existe des scalaires tels que m-k d(&J_) = ;(a Par rhcurrence d’(&k) - - p)!?k convenables (k=O,l,..., -aEk+l m sur 1, on montre = (k’/m’Xcx des fonctions @ )&k + facilement + cl,k+l&k+l que pour tout entier + ... +cl,k+l&k+l, de CYet P. Par exemple, (m ‘ Z,k+l = % ,k+Z = - k)(2k + 1) a(a m2 (m - k)(m 112’ -k - m). - 1) (y2 P)> &hs 1 on a ck,l soId 278 ARTIBANO On peut alors enoncer MICALI AND MOUSSA OUATI’ARA le resultat suivant: THI?ORI?ME 3.2. Pour une d&-ivation d de G(2,2m) dont les scalaires (z d sont CYet P, les conditions suivantes sont 6quivalentes: attach& d est une o!&vation (i) int&eure; nilpotente; (ii> d est une d&vation (iii) ff = / !I. En effet, l’equivalence entre (i) et (iii) est don&e de [6] et le calcul effect& avant l’enonce par le corollaire du theoreme nous montre 1.4.4 que (ii) entrame (iii). Supposons finalement que (Y = / 3. Pour tout entier 1 > 1, d’(Ek) = (u’[(m - k)!/m’(m - k - l)!]~~+~ ou encore, dmpk(c,) = CX”-~[(~ - k)!/mm-k]em (k = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM 0, 1,. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO . . , m). Comme d(&,) = 0, il en resulte que d est une derivation nilpotente. On a ainsi montre que la condition (iii) entraine (ii). Pour tout entier m > 1, l’algsbre G(2,2m) nilpotente. COROLLAIRE 3.3. sionnellement En d m+l effet, pour toute derivation d de G(2,2m), interieure est dimen- d” + 0 et _ - 0. EXEMPLE 3.4. pas interieure done K-algebre gametique il des existe On va donner ici un exemple non nilpotente. G(2,2), scalaires Si {e,, e,) dune derivation est la base qui n’est naturelle de la d de G(2,2), que d(e,) = ace, - e,) 1 > 1, on a d’+ ‘(e,) = on sait que pour toute derivation uniques (Y et P tels d(e,) = P(eo - e,). Done, pour tout entier et d’+‘(el) = (CY - @)‘d(e,). On voit ainsi que si LYz / 3, la ((Y - P)‘d(e,) derivation d n’est pas nilpotente. et 4. SUR ET LES ALGkBRES GAMkTIQUES POLYPLOIDES MULTIALLkLIQUES Les algebres gametiques 2m-plciides avec n + 1 alleles, notees G(n + 1, 2m), sont construites comme suit (cf. [5]>. En tant que K-espace vectoriel, G(n + 1,2m> est le sous-K-espace vectoriel de l’algebre de poly&mes K[X,, xi,..., CEEO i, = m. x,1 engendre La structure par les d’algebre monomes commutative XooXll **. Xin et non tels que associative sur GENETIC 279 ALGEBRAS + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1,2m) est definie par la table de multiplication G(n (x;ox;l . . . X$)(X@X{l (?)-I( = iO~jO)X;0+jo--x;,+j, pour toutes les suites d’entiers que C;=, i, = m et Ci=, positifs (i,, gametique de caracteristique Notons 1 < k ( m, V,, par les (’a,j m), c’est i dire, l’algibre des Vivj = Vi+j (i,j Supposons tiques G(n que l’entier v; 63 *** 63 v,:_, 2(m - I)) par d’entiers (i,, = 0. On definissons X~-iX~l . . . , in> telle voit ainsi tj = (train + 1,2m) Plus m > 2, considerons que que @ V,,, et G(n I’application a** Xin z?Vm) = 0. Si l’on designe les t-racines m verifie = V, @ V, @ ... et de C;=, pour cela, de rationnels. G(n + 1,2m) i, = k. On voit ViVj zyxwvutsrqponml C Vi+j est grad&e par la precisement on a . , , m). = 0, 1,. + 1,2m) vectoriel G(n la zyxwvutsrq ou K est un corps I1 suffira, V,, V,, . . . , V,,. vectoriels telles forment = V, @ Vi 83 .*. @ V,,, avec + 1,2m> sous-K-espaces + 1,2m), *** XA* avec X:-kXjl que = 0,l ,..., G(n sous-K-espace 1e immediatement suite j,, . . . , j,) Q &ant le corps des nombres mon6mes G(n i,, . . . , in> et (j,, zero ou t&s grande. dire que K est une Q-algebre, engendre ... ~;,~+j,~, = m. On dira que de tels mon6mes de la K-algebre base canonique commutatif j, . . . xb) C;=,t i, = - q: G(n + 1,2m) c, a.Xn'-(i+l)X~l 0 q(V,> C Vi’ les algebres + 1,2(m game- 1)) = V,l CD G(n + 1, toute suite + **f Xifz pour . 2’ et pour i = 0, 1, . . , m, avec i = 0, 1, . . , m - 1 et que . pour par (2z)e1(2mli), (i=O,l,..., roots) de l’algebre gametique G(n m) + 1,2m) et par t:=(2(n:L_:))-1(2(m~~!-i) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH (i=O,l,...,m-1) celles de I’algebre de I’algebre *a. X2) = ti+jXom q doit itre - - G(n G(n + 1,2(m + 1,2m> l)), la table de multiplication - devient ( Xom-iX~~ ... X~~XX~-iXjl -jx;l+jl .a. x++jn, i zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF i,j = 0, 1,. . . , m, et le fait que un morphisme 2(2m oi+1= gametique gametique l)[m [2m-(i+I)][2m_(i+I) d’algebres - entraine que cyiajti+j = ti+jcri+j (i + l)] -I] oi ‘Our i=l” .*‘m-l’ done, 280 ARTIBANO MICALI AND MOUSSA OUA’ITARA zyxwvutsrqpon = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 et a1 = 1. Ces conditions entrakent done que 40 :zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb G( 12 + 1,2m) + ff0 G(n + 1,2(m - 1)) est un morphisme est l’idkal V,,, de l’algebre un isomorphisme Par ailleurs, de K-algebres supposons G(n que l’algebre nilpotente; il existe une derivation d’wrn = () et d’n ,,-1 # 0, o;i est la dimension surjectif G( n + 1,2m). de l’algebre de K-algebres dont le noyau Par passage au quotient + 1,2rn)/V,, G(n + 1,2m) nilpotente gametique 2 G(n - 1)). soit dimensionnellement n de G(n G(n on deduit + 1,2(m + 1,2m). + 1,2m) Etant telle que don& que d(V,,,) c V,,,, d definit, p ar p assage aux quotients, une derivation nilpotente d de l’algebre gametique G(n + 1,2(m - 1)) et il est clair que d’n,-m 1 = 0 . de d est s, tout d’abord Si l’on suppose que l’indice de nilpotence et comme d”(G(n + 1, 2m)) c V,,, necessairement on a s < r, m -l d s+dlmK(Vm) -_ 0,’ ce qui entraine que s +dim.(V,,,) > r,,, m, done s z r,, n, dimK(Vnl) = T,,~_~. resultat suivant: TH&OF&M E 4.1. que s = r,,, ,R~ 1 et cela demontre On a ainsi montre Quels que soient Ann(Ker w) est un id&al de l’alg~bre de m&w de G(n le m > 2 et n > 1, V,,, = les entiers + 1,2m) et il existe un isonwrA G(n + 1,2(m - 1)). En partiphisme de K-a@bres G(n + 1,2m)/V,, culier, si l’alg$bre G(n + 1,2m) est dimensionnellement nilpotente, il en est + 1,2(m - 1)). Nous avons vu precedemment sont dimensionnellement L’exemple toujours qui suit nous montre 4.2. Soit que les algebres nilpotentes dimensionnellement EXEMPLE G(n (cf. G(n + 1,2) et G(2,2m) 2.5 et corollaire 3.3). G(n + 1,2m) ne sont pas exemple que les algebres nilpotentes. A = G(3,4) la K-algkbre gametique dipldide avec trois alleles et notons e,, = X 0 2 , e , = X ,X ,, e2 = X ,X ,, e3 = X :, e4 = X ,X ,, de A relative i e5 = Xi la base canonique de A. La table de multiplication cette base s’ecrit eoe5 = fe,, e,” = e,,, eOe, = +e,, 2-l e, - ge3, e1e2 = nuls. Pour toute derivation eoe2 = ke,, rl de A, il existe d(e,) = exe, + cz’e2, d(e,) = &e,) = ye, + y’e2 + $(cxe, + cf’e,& d(eJ + ye, + (y’ + P)e4 + ~'e,, d(e,J = 2(ye, matrice B le serait aussi done la trace de B, ‘, tels que eoe3 = 1e 6 3, eoe4 = +e4, produits &ant 2-l ie4, e2 - ge5, tous les autres des scalaires (Y, LY’, p, p’, 7, /3e, + P’e2 + i(ae, + cx’e,>, = 2(@e3 + P’e,), d(e4) = y’e,); si d hit nilpotente, sa qui est 4( / 3 + y ‘1, serait nulle 281 zyxwvutsrq GENETIC ALGEBRAS ou encore, on aurait y ’ = -p. On va &ire la matrice de d sous la for-me k > 1, et il est clair que pour tout entier zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO et la nilpotence de la matrice B equivaut 0 done M” = (j3’ + P’y)M 0 et la condition a celle des matrices M et N. Or, 0 p2 + P’y = 0 entrame M 3 = 0. De meme, do; N 3 = 0, compte done G(3,4) B4 = 0. Cela tenu de la relation nous montre est nilpotente, pas dimensionnellement que des qu’une mkessairement TH&O&M E 4.3. derivation d4 = 0. Done d de l’algebre Z’uZgc?breG(3,4) n’est de ce paragraphe, nous nilpotente. Les notations &ant celles introduites allons demontrer le theoreme suivant: ment nilpotente P 2 + / I‘y = 0. Ainsi, L’alg;bre si et seulement gamhtique au debut G(n + 1,2m) si m = 1 ou n = 1. est dimensionnelle- 282 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ARTIBANO MICALI AND MOUSSA OUATTARA zyxwvutsrqp Supposons nilpotente, m > 2; si l’alg&bre aussi dimensionnellement G(n + 1,4) Notons tique G(n G(n nilpotente G(n dimensionnellement + 1,2(m - descendante, 1)) est l’algkbre nilpotente. . . , m), sont les t-racines pour toute derivation d( X,m-kX;l . ..x.+p, est et par rkurrence est dimensionnellement que si t, (k = O,l,. + 1,2m), + 1,2n) 4.1 nous dit que l’algebre le tMor;me d de G(n de l’algkbre + 1,2m), gam& on a + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM l d( x,-)( x,m-“xjl *-*x;q, t,,...,i, tk - tk+l pour toute suite d’entiers positifs (i,, . . . , in> telle que C;= r i, = k, ob Pi, _,,, i, est un polyn6me convenable du K-espace d(V,,,) c V,,,, V,,, &ant le K-espace Xi1 . . . X’n tels que C;= r i, = m. Ainsi, l’algkbre gamgtique G(n vectoriel vectoriel engendrh + 1,4) peut s’ecrire Vk. En particulier, par les mo&mes G(n + 1,4) = V, @ V, @ V, avec e,, x = $x pour tout x dans V, et e, y = $y pour tout y dans V,, 0; G(n e, = X,Z; et on a, de plus, Vt = V,. Si zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU d est une derivation de d(e,) = a E V,, on a td(x) = d(e,x) = ax + + 1,4) et si l’on &r-it zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML done d(x) d( x)e, = 2ax + 2d( x>e,, pour tout x dans V,; de plus, zyxwvutsrqponmlkjihg d(Y) =f (y ) + &UY> I pour tout y dans V,, ou l’application f(x) y + xfc 41, quels que soient K-lin&ire 2 f : V, --, V, v&Se x et y dans V,. Par recurrence d(xy) = zyxwvutsrq sur l’entier k, on a d (e,> =f”- ‘(a) + IX,“:,” dk(x> =f”(X) + c,“:,’ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF ak,jfJ(a)fk-‘ -j(a), &jfjb)fk-‘ -j(d et dk bY) quels que soient rationnels = j~ o(:jf w f k -~ ~ YL x et y dans V,, o?r les (Ye,j et les pk, j sont des nombres convenables. Comme dim ,(I’,> = n et que l’application K-lineaire d”+‘(e,) = est nilpotente, necessairement f” (u) = 0, done f CJ’zt zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (Y,+l,jfj(u)f” -‘-j(u>. Cela entraine que d2” +l(e0) = 0 et, par suite, 2n + 1 > rn,2 = +(n + 1Xn + 2), ou encore, n = 1. On a done ici l’algebre G(2,4). Notons que cela redonne, en particulier, le fait que l’algebre pas dimensionnellement nilpotente (cf. exemple 4.2). G(3,4) n’est GENETIC 5. 283 zyxwvutsrqp ALGEBRAS LES ALGkBRES Soient GAMkTIQUES K un anneau commutatif est un K-module projectif est dimensionnellement LEMME5.1. K-al@ bre une L-derivation c?’ = 0. dans contredit Le Supposons l’hypothese [5]. Soient x, l’existence = 0, done 4.3, pour les algebres de ces algitbres, K-module unite, surjective. g&&ales. **a x^i a** x,, d en une degre d’algebre designe m. t 2,” -1 1 ainsi sur le sous-K-module On ddfinit commutative unite en posant, pour x et y parcourant xy = xi ne figure pas - 1, c’est a dire, d : Sz( M) + m > 1, oh SF(M) une structure dans symh-ique) de voir que l’on obtient de degre de K-deriva- pour toute suite x1,. . . , x, et ou x1 0.. Gi ... x, signifie que le terme homogenes et l’al@ bre d : S, CM ) -+ S, (M 1, en le produit ( produit I1 est facile un Voyons un K-module M Si l’on note S,(M) on peut prolonger M (cf. [l]), = Cy=, d(xi)x, elements SF(M) non nul h = 0, ce qui qui est d’ailleurs faite dans a element K-lin&re pour tout entier sans element scalaire gametiques construction commutatif une K-derivation l(M ), ce paragraphe la 1 = 0 pour nilpotente. symetrique. S,( M > des dun evidence, 8 est de demontrer, dans l’algebre Sg- de toute d” -‘(r) d” = 0, poursuivi dans ce produit S,(M) est que = 0, soit d” -’ d” -‘(x) de M, oh x1 a** x, designe S,(M) L A, l’applica- x@ lr-,d(r)@ l n &ant, - 1 de S,( M 1, que l’on note encore posant d( x1 0.. x,) l’algebre dn- ’ = 0, pour chaque du K-module tion de degre d’klements par La condition : M + K une application symktrique de la K-algebre definie L. un anneau K A + que A soit dimensionnellement du theoreme done la construction alors la L-a@ bre A CQ L et si l’on suppose A s Ad” -l(x) but principal analogue d que A entrame, L et A une de corps de fractions type zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT fini et de rang constant n. Si nilpotente L de la L-algitbre tel que K de A est une K-derivation de la L-algebre tout x dans A d de nilpotente. d : A @+ L +A@& L-lin&ire dimension int;gre projectif dimensionnellement est aussi dimensionnellement En effet, si di A + nilpotente # 0. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML Soient K un anneau tion n. On dira que s’il existe une K-derivation nilpotente qui est un K-module A est une K-a@ bre unite et zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba A une K-algebre qui ?I element de type fini et de rang constant A telle que d” = 0 et d” -’ alors GkNkRALES alors de sur le non associative et SF( M 1, c +#(x)d’( y)> zyxwvutsrqponmlkjihgfed i+j=m 284 ARTIBANO MICALI AND MOUSSA OUA-ITARA zyxwvutsrqp d’ = d 0 ... 0 d (i fois). I1 est clair que, pour que cette dgfinition O?I l’on note zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB garde un sens, il faut supposer que l’on puisse inverser tout nombre non nul dans K et pour ce faire, il suffira de supposer une Q-algkbre. On notera est la K- al,@ bre garnktique EXEMPLE 5.2. trk grande dimension S;(M ) SF(M , K un corps commutatif n + 1 et supposons : S;(M) + S;- de carackistique M un K-espace la z&-o ou vectoriel de de l’application symktrique soit la K-dkrivation K-d&ivation d = Cy =,, d/dXi : + S;p’ (M ). Dans les deux cas on a un isomorphisme de K-alg&bres d) G G(n + 1,2m), dans le premier cas G(n + 1,2m) est muni de la base canonique l’isomorphisme dkrivation Pour et dans le second, de la base naturelle. M , d) q S$ d entraine toute G( rl + 1,2rn) A, 06 et le choix de la + 1,2m). K est un anneau A” l’id&al de A engendrk Sous nos hypothkes, existe toujours le choix de la base de G(n K-alg&re unit&, on note commutatif par les produits 2 616ment xy avec x et y A. On a le rksultat suivant: parcourant PK~POSITION 5.3. Soit K un anneau tout K- module (M , d), l’al,$bre En effet, dit que, cornrrmtatif SjJ( M , d) &tije si e est un Glkment de A4 tel que SE(M ) pour tout &ment M = Kcc @ Kerct, nous ou ‘(M ) ( M, d). zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba que le prolongement cl : A4 -+ K h l’algitbre surjective d = d/dX, du K- module g&&ale K soit alg&bre et on dira que SF(A4, d) cl) cette K est une Q-alg$bre, ou encore, finie K-lingaire Soient Sg(M, rationnel que l’anneau done = 6 &%nent unit&. Pout- SE( M , cl)’ = SF( M , (I). d(e) = 1, on peut &ire CBij_,,, Sk(Ke) @ K SjK(Kerd) et ceci x de Sg(M, cl), il existe des &ments xi E Sk(Ker d) (i = 0, 1, . . . , n), uniques, tels que x = YLy=,, Xie” ‘- ‘. Comme e” ‘(xie” ‘~i) = tiXie” ‘-’ (i = 0, 1,. . . , m), 0; les sont les t-racines x = X.I” ,(l/ ti)e” ‘(x,e Nous de l’alg&bre gamktique SF(11/ 1, d), il s’ensuit que l’%ment “‘- ‘) est dans l’idkal S;;l( M, d)‘, d’oti la proposition. renvoyons renseignements le lecteur compldmentaires ?I la bibliographic cit&e (cf. sur les alg&bres gamktiques [5]) pour des g&&ales. Re- marquons, nkanmoins, que l’unique pond&ration possible w : Sg( M , d) + K de l’algiibre S;;l( M , d) s’ticrit w = (l/ m!)ct” ‘. De plus, pour toute dkivation 6 de l’alg&bre Sg(M , d), on a w 0 6 = 0 mais la rkciproque est, en g&&al, GENETIC 285 zyxwvutsrqp ALGEBRAS fausse (cf. [5, Note 5.81) sauf si zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO m = 1. En effet, dans ce cas on le lemme suivant: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA LEMME 5.4. Soient K un anneau M un K-module w sans torsion muni : M + K. Un endomorphisme de la K- algsbre gamktique d: M + s’&rit LEMME 5.5. Soient K un anneau sur lequel tout module de type fini muni projectif d’une intigre de Si(M, D’aprks les hypotheses K-lineaire dans lequel subjective le lemme = ej+I, I’algebre 5.4, y], pour x et 2 est inversible w il existe un vecteur M = Ke, l’application : M + K. et libre Alors la nilpotente. e, dans M tel que CBN, oti N = Ker w est aussi un libre de type fini dans lequel nous choisissons D’apres d(ej) du lemme, = 1 done on peut &ire K-module w), qui coincide + o(x) est &Zmentaire. K- alge?bre SA< M, w) = M est dimensionnellement o(e,) K-d&ivation de type fini est libre et M un K-module forme et surjective si o 0 d = 0. xy = $[ w( y)x M. La suite de la demonstration 2 est inversible K-lineaire M est une si et seulement que la multiplication avec M en tant que K-module, y parcourant dans lequel application K-liniaire Sk( M, o) I1 suffit de remarquer integre d’une K-lin&ire d une base {e,, . . . , e,]. :M + M definie par i = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED 1,. . . , n - 1 et d(e,) = 0 est une K-derivation de w) = M verifiant Si(M, d” +’ = 0 et d” + 0. NOTE 5.6. Si M est un K-module libre de type fini muni dune forme surjective w : M -+ K, K &ant un anneau dans lequel 2 est K-linkaire inversible, il n’est pas difficile Sk(M, = M. En effet, u) automorphisme w(e,+ l)eo linear& de construire K-linkire :M + M d M. Comme de l’algkbre ne pas &re la bonne &rivation K-module en posant de l’algebre de M, on d&nit d(ei) = w(e,)e,+ un 1 - o 0 d = 0, le lemme 5.4 nous dit que d Si(M, w). Mais une telle pour montrer que l’algebre dkvation peut est dimension- nilpotente. TH~ OR~ ME 5.7. supposons K-derivations i = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED 0, 1, . . . , n - 1 et d(e,) = 0 et en etendant d par pour ZItout le module est une K-d&viation nellement des sur une base (eO, e,, . . . , e,} que tout Soit K un anneau K-module lihre de rang K. Une condition dimensionnellement projectzf intigre, > 3 muni d’une forme necessaire K &ant de type fini une K-lin&!aire surjective et suffisante pour que la K- algsbre nilpotente est que m = 1. Q-algsbre, soit libre. et Soit M un o :M + SE( M, w) soit 286 ARTIBANO Soit L le corps de dimensionnellement d’aprits L-lin&ire de K; surjective definie AND si la la L-algebre 4.3, m = 1. Notons le th&o&me forme fractions nilpotente, MICALI K-algebre SF(M, o> W : M C+ L -+ L est la x B h e o(x)h. Le lemme Soit K un anneau integre qui est une Q-algkbre NOTE 5.8. libre de type fini muni dune forme K-k&ire surjective nilpotente fractions et ce suppose que la alors la L-algebre de K. D’apres demier et compte turer le r&&at K-algebre Sz( M, 01 o : M -+ dit que 4.3, on a m = 1 ou dim,(M le module tenu du thioreme projectif 2 muni K-al@ bre M, o) est dimensionellement Ainsi, par exemple, ment nilpotente d’une forme sans torsion K-liniaire 2. Ces a conjec- tout module projectif locaux ou semi-locaux. (voir lemme Ainsi, on sait que K = Z), tout K-module 5.4) o : M -+ K, alors la pour tout entier m > 1. G(2,2m) m > 1 (cf. corollaire est dimensionnelle- 3.3). Comme finalement de Dedekind on peut que un module peut ne pas &tre tr& difit-ent si K est un anneau exemples de type fini est libre, Notons sur Si M est un K-module surjective nilpotente si K est un corps, l’algebre pour tout entier sur lesquels les anneaux libre. L) = 2 qui est une Q-alg&bre, de type fini est libre. libre de rang titer s est de rang M 4.3, nous conduisent Soit K un anneau integre, CONJECTURE 5.9. tout K-module d’anneaux libre suivant: lequel S$ est dimensionnellement Sp( M C+ L, 0) l’est aussi, ou L est le corps de le theoreme cas nous consid&ations 5.5 et M un K-module Si l’on est du theoreme. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ acheve la dgmonstration K. zyxwvutsrqp % zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb L, W ) l’est aussi et Sr(M ici que par MOUSSA OUA’ITARA dun module (par exemple, de type fini sans torsion est libre. NOTE 5.10. Soient K un anneau dans lequel 2 est inversible et M un projectif muni dune forme K-lineaire surjective o : M + K. I1 existe alors un K-module libre L muni dune forme K&&ire surjective K-module W : L + K tels que Si< M, w> est une sous-K-alg6bre de l’alghbre Sk(L, W >. En effet, il existe un L-module libre L et un K-module projectif M’ tels que = L. Sur L, on a une forme M @ M’ par (x, x ‘> ++ w(x) et si l’on considere K-linkire surjective la multiplication 0 :L + K d6finie de l’alghbre Sk< M, u) et l’on pose ry ’ = $o< x) y ’ pour x parcourant M et y ’ parcourant x’y’ = 0 quels que soient x ’ et y ’ dans M ‘, alors la multiplication M’ et sur L devient (x, x’X y, y’) = i[O(x, x’X y, y’) + W( y, y’Xx, x91, pour (r, x’) ( y, y’) parcourant L. Cela nous montre que L = Si(L, W I en tant et zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA qu’algsbre g&n&ale, alg;bre et que Si(M, CO)en est une sous-alghbre. c’est i dire, pour tout entier de l’alghbre SF( L, W ). m 2 1, Sg(M , Cette construction w> est une est sous-K- GENETIC 6. LA 287 ALGEBRAS D’ALGkBRES DUPLIQUkE DIMENSIONNELLEMENT NILPOTENTS Nous nous posons, dans ce paragraphe, qu’une algebre soit dimensionnellement Nous verrons differents que, en general, le probleme nilpotente ceci n’est de savoir si le fait est h&it& par sa dupliquee. pas vrai et nous rapports entre l’aspect dimensionnellement analysons nilpotent dune les algebre et celui de sa dupliquee. Soient done D,( A, o) K un corps commutatif, sa dupliquee (A, o) une K-algebre (cf. [7]). de la dupliquee pour x et y parcourant definie pour x et y parcourant d’apres certains auteurs, en bas de page]). Leibnitz Si l’algebre d de A telle que dnfl nilpotente DK( A, o) dim,(D,(A, est aussi nilpotente, isomorphisme de ment nilpotente K-algebres si et seulement nilpotente, la formule alors de dupliquee 2n + 1 z n Q 1. Si n = 0, il existe un / _L : DK( A, w) A A et D,( A, n + 1, &die de plus, que l’algebre + 2) ou encore si finie p. 1221; cf. [2, p. 2, il existe une derivation = 0 et d” # 0. D’apres dimensionnellement = $(n + lxn 0)) m > 0 (cf. [l, III, serait plus correcte: A, de dimension on a d*2n+1 = 0 et si l’on suppose, .y + x * de Leibniz x) * dj( y) A et pour tout entier la graphie A = A2 et si elle est dimensionnellement Leibniz, pond&r&e et le morphisme par d*( x * y > = d(x) A. I1 s’ensuit la firmule d”_j( note Considerons o)), d e d* oh d* (extension Der,( A) --) Der,(DK(A, de Lie zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF d’algebres de d) est la derivation d(y) commutative A est dimensionnelle- w) lest aussi. On a ainsi le resultat suivant: PROPOSITION6.1. Soit (A, w> me K-al@br-e pond&e de dimension finie v&jant A = A2. Si les al&bres A et D,( A, o) sont dimensionnellement nilpotentes alors l’alg2bre A est de dimension 1 ou 2. On part maintenant dune K-algebre pond&&e (A, w) de dimension finie D,( A, w) est une algebre dimensionnellement nilpotente. Si m = dim K( DK( A, w)), il existe une derivation nilpotente d* de DK( A, w) telle que Cd*)“’ = 0 et (d*)m-l # 0. Supposons, de plus, que A = A’; le morphisme d’algebres de Lie Der,( A) -+ Der,( D,( A, w)), d c, d* est alors un isomorphisme (cf. [7, thdoreme 2.51) done la derivation d* de DK( A, w) provient dune derivation d de l’algebre A via I’isomorphisme dont la dupliquee 288 ARTIBANO ci-dessus et la formule si l’on y applique pour x et derivation d’oh de Leibniz y parcourant AND MOUSSA OUA’ITARA zyxwvutsrqpo nous dit que la multiplication nilpotente. MICALI / .L: D,( A, done A, w) + A, on a d m = 0, c’est a dire, d est aussi une 1, on a aussi d"+ l = 0 finie n + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX Si A est de dimension (d*j2”+’ = 0 et, par suite, m = +(n + l>(n + 2) < 2n + 1, ce qui n2 < n. Cela nous conduit au resultat suivant: entrjine finie. PROPOSITION 6.2. Soit (A, w) une K-alg&-e pond&&e de dimension dimensionSi A = A2 et si la dupliqu&e D,( A, w) e.st une K-alg;bre nellement nilpotente, dimension 1 our 2. alors l’algibre A est dimensionnellemnet nilpotente de COROLLAIRE6.3. Soient K un anneau in&gre, qui est une Q-algt?bre, et ( A, w> une K-algt?bre pond&he 02 A est un K-module projectif de type fini et rang n. Si A = A2 et si la K-alggbre dupliqu&e DK( A, w) est dimensionnellement nilpotente, Notant est L alors n vaut le corps dimensionnellement de fractions de K, si la est de meme K-algebre D,( A, w) L-algebre L, W) (cf. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR le m m e S.l), oh W : A BK L + L est nilpotente, DK( A, w) G&L = DL( A % la pond&ration 1 ou 2. d e la L-algebre il en A @K L definie par de la x @ h e o( x)h. La proposition 6.1 nous dit alors que dim,( A @K L) vaut 1 ou 2. Comme la condition A = A2 entrame A @K L = (A @Jo L)2, cela achiive la demonstration du corollaire. zygotique Z(n + 1,2m> est dimensionnelleCOROLLAIRE 6.4. L’alg;bre ment nilpotente si et seulement si m = 1 et n = 1. On rappelle l’algebre Z(n que l’al&hre zygotique Z(n + 1,2m) est la dupliquee de (cf. paragraphe 4). Si l’algebre zygotique est dimensionnellement nilpotente, il en est de meme de gametique + 1,2m) G( n + 1,2m) GENETIC 1’alg;bre 289 ALGEBRAS gam&ique G(n + 1,2m) et sa dimension <“ ,i zyxwvutsrq 11> vaut 2 (la dimen- 1 est 2 exclure car m > 1 et n > 1) et 1’algGbre G(n + 1,2m) est sion zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dimensionnellement nilpotente m = 1 ou n = 1 (cf. th&orS,me si et seulement 4.3). Or, pour m = 1 la condition ( i 1+n =2 1 entra?ne n = 1 et r&iproquement l’al@bre zygotique et n = 1. Rkiproquement, ment nilpotente 7%= 1 entra?ne soit dimensionnellement l’algkbre zygotique car si n est une d&ivation 2(2,2> nilpotente d* : Z(2,2> d z 0 et d” = 0, la dkrivation G(2,2), dimensionnellement est dimensionnelle- de 1’alg;bre + 2(2,2), (d*)” # 0 et (d*)3 = 0. C e 1a nous montre v&&e m = 1. Done, le fait que entratne que m = 1 nilpotente gamktique extension que l’algkbre Z(2,2) de d, est nilpotente. Le probl;me r&olu dans le corollaire 51, semble 6.4, pour les algitbres gamhtiques g&&ales (cf. paragraphe &re t&s difficile et on ne peut pas dire beaucoup plus de ce que l’on a dit dans le corollaire 6.3 pour une algkbre pond&& quelconque. Par la suite nous montrons la proposition que la condition A = A2 est essentielle Toute z&o-algsbre EXEMPLE6.2. de dimension finie > 2 est dimension- nellement nilpotente. En effet, de dimension n + 1 2 2. On sait que dans une z&-o-alg2bre endomorphisme lin&ire finie liniaire soit A une z&o-alg;bre est une d&ivation; considkons 0 0 1 ,o d”+l = 0 et d” # 0, ce qui dkmontre NOTE6.6. A2 = 0) tout l’endomorphisme par rapport s’tkrit zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 10 a (c’est i dire, d de A dont la matrice Zi n + 1 lignes et n + 1 colonnes, j une base don&e, On dans 6.2. 0 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX 0 1 0 notre assertion. sa dupliqu&e l’est aussi On sait que si A est une z&o-alggbre, nilpotente si A est une z&o-alghbre done DK( A, w) est dimensionnellement 290 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ARTIBANO MICALI AND MOUSSA OUA’ITARA de dimension dans finie. Cela la propostion nous montre que la condition A = A2 est essentielle 6.2. REFERENCES N. Bourbaki, Algibre, E. Notice Boutroux, Diffusion Delagrave, M onaddogie, G. F. Leger (1988). A. Micah, T. Campos, dans les algibres 1 i 3. in zyxwvutsrqponmlkjih Leibnitz, La de Leibnitz, nilpotent e Silva, Lie algebras, S. Ferreira Comm. Algebra Sur les algebres T. Campos, gamdtiques. M. C. Costa III, A. Micah et M. Ouattara, S&r. B 45(1):5-24 A. Micah Linear et R. Costa, Derivations (1984). 12(2):239- 243 gametiques, 1. Algebra Proc. Edinburgh Math. Sm. Ouattara, e Silva et S. Ferreira, Algebra 113:79-99 Appl. Sur la dupliqude Derivations dans Ies (1989). d’une algebre, BUZZ.Sot. Math. BeZg. (1993). et M. Ouattara, Appl. 218:77-88 M. 1970, Chapitres (1986). A. Micali, algebres Dimensionally M. C. Costa gametiques, A. Micah et Ph. Revoy, 29:187-197 Paris, 1880, p. 1-133. and P. L. Manley, 117:162-W C.C.L.S., sur la vie et la philosophie Structure des algebres de Bernstein, Linear Algebra (1995). Sur les T-algebres Linear de Jordan, Algebra AppZ. 144:11-21 (1991). J. M. Osborn, Dimensionally nilpotent Lie algebras of prime characteristic, 10 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J. Algebra. 11 J. M. Osbom, teristic, Examples Algebrus Grmps of dimensionally Geom. 12 J. M. Osbom, Radicals 13 J. M. Osbom, Dimensionally 116:949-953 nilpotent 6:361-381 of dimensionally nilpotent Lie algebras of prime charac- (1989). nilpotent Jordan Lie algebras. algebras, Proc. Amer. (1992). Received 15 M ay 1996; final manuscript accepted 25 October 1996 Math. Sot.