Onde de Love Piézoacoustique
Bernard Collet, Michel Destrade
Laboratoire de Modélisation en Mécanique, CNRS-UMR 7607,75252 Paris, France, courriel : bc@ccr.jussieu.fr
Résumé
Une sélection de résultats analytiques et numériques
concernant la propagation d’ondes planes harmoniques
guidées dans un bicouche piézoélectrique est présentée.
L’étude effectuée concerne les modes transverses horizontaux (ondes de Love). L’analyse repose sur l’utilisation
du formalisme de Stroh associé à la notion d’impédance
d’interface. Les courbes de dispersion et les amplitudes
des champs continus sont donnés et brièvement commentés.
x2
Electrode
h
x1
Couche élastique diélectrique
0
Substrat piézoélectrique
Direction de propagation
Y
Z
Introduction
θ
X
Les hétérostructures piézoélectriques composées d’un
massif recouvert d’une ou plusieurs couches jouent
un rôle important dans les systèmes micro-électromécaniques (MEMS). De nombreux capteurs et filtres
à ondes de surface utilisent une architecture de type
couche sur massif. Ainsi nous pouvons avoir une couche
diélectrique ou piézoélectrique d’épaisseur finie sur un
substrat piézoélectrique. Pour certaines configurations,
il est possible de découpler une onde transverse horizontale couplée aux champs électriques (onde de Love
piézoélectrique) d’une onde polarisée dans le plan saggital purement élastique (onde de Rayleigh).
Figure 1: Géométrie de la structure et système de coordonnées.
Les ondes de Love sont particulièrement bien adaptées à
la conception de filtres hautes fréquences et bio-capteurs
en environnement liquide. Nous considérons le cas
d’une structure composée d’une couche isolante faite d’un
semi-conducteur non-piézoélectrique de symétrie cubique
m3m, déposée sur un crystal piézoélectrique de symétrie
orthorhombique 2mm en coupe Y après rotation autour
de Z.
Ici, les faces de la couche sont orientées parallèlement à
un plan de symétrie alors que le substrat est coupé le long
◦
d’un plan contenant l’axe Z et faisant un angle θ 6= 0, 90
avec le plan Y = 0, voir Figure 1.
A l’aide de techniques analytiques avancées, nous
obtenons l’équation de dispersion sous forme explicite
lorsque la face supérieure de la couche est court-circuitée.
Les calculs détaillés correspondants ont été présentés
dans un autre travail [1], ici on se borne à rappeler et
commenter les principaux résultats. Ces résultats sont
exploités via des simultations numériques qui illustrent
les comportements variés de la structure selon l’angle de
coupe du substrat : spectres de dispersion des vitesses
de phase et de groupe, existence (ou disparition) d’une
bande interdite pour le mode fondamental, profils de variation des champs impliqués avec la profondeur.
Résolution
Ce paragraphe est consacré à la présentation d’une
procédure permettant obtenir les courbes de dispersion
d’une onde de Love dans une structure constituée d’une
couche de germanium Ge, déposée sur un substrat en
niobate de potassium KN bO3 . La couche est métalisée
sur sa face supérieure et portée au potentiel zéro. Nous
rappelons que le germanium est un semiconducteur nonpiézoélectrique, de symétrie m3m, et que le niobate de
potassium est un crystal à fort couplage piézoélectrique,
de symétrie 2mm (bien entendu, la méthodologie est aussi
valable pour d’autres combinaisons de matériaux ayant
le même degré de symétrie, ou de plus grandes, telle que
la silice SiO2 ,...).
Ainsi pour la couche, les quantités physiques qui joueront
10
2
un rôle sont [2] : ĉ44 = 67.1
p × 10 N/m , ǫ̂11 = 16.6ǫ0 ,
3
ρ̂ = 5330 kg/m , et v̂ = ĉ44 /ρ̂ = 3550.31 m/s. Pour le
substrat, ce seront :
c44 = m2 c̃44 + n2 c̃55 ,
c55 = n2 c̃44 + m2 c̃55 ,
c45 = mn(c̃44 − c̃55 ),
e24 = m2 ẽ24 + n2 ẽ15 ,
e15 = n2 ẽ24 + m2 ẽ15 ,
e14 = mn(ẽ24 − ẽ15 ),
2
2
ǫ11 = m ǫ̃11 + n ǫ̃22 ,
ǫ12 = mn(ǫ̃22 − ǫ̃11 ),
ǫ22 = n2 ǫ̃11 + m2 ǫ̃22 ,
(1)
où : m = cos θ, n = sin θ, et [3] : c̃44 = 7.43, c̃55 = 2.5
(1010 N/m2 ), ẽ24 = 11.7, ẽ15 = 5.16 (C/m2 ), ǫ̃11 = 34ǫ0 ,
ǫ̃22 = 780ǫ0 , ρ = 4630 kg/m3 .
L’onde de Love est décrite par les champs suivants : le
déplacement transverse u3 , le potentiel électrique φ, la
traction σ32 , et l’induction électrique D2 dans le substrat,
et par les champs correspondants û3 , φ̂3 , σ̂32 , D̂2 dans la
couche. Nous recherchons une solution qui se propage le
long de l’axe x1 (aligné avec un axe de symétrie dans une
face de la couche) avec la vitesse v et le vecteur d’onde k,
et qui est atténuée le long de l’axe x2 (normal aux plans
de coupe). Ainsi,
{u3 , φ, σ32 , D2 } =
{U3 (kx2 ), ϕ(kx2 ), ikt32 (kx2 ), ikd2 (kx2 )}eik(x1 −vt) ,
(2)
carrée v et on s’assure qu’elle est inférieure à la vitesse
limite vL , au dessous de laquelle l’atténuation de l’onde
dans la profondeur du substrat n’est plus assurée. Cette
dernière quantité est calculée comme étant la plus petite
racine positive de l’équation [5] :
−4(12t + r2 )3 + (−72tr + 2r3 + 27s2 )2 = 0,
où U3 , ϕ, t32 , d2 sont des fonctions de kx2 seulement et
où
{û3 , φ̂3 , σ̂32 , D̂2 } =
{Û3 (kx2 ), ϕ̂(kx2 ), ik t̂32 (kx2 ), ik dˆ2 (kx2 )}eik(x1 −vt) ,
(3)
où Û3 , φ̂3 σ̂32 , D̂2 sont des fonctions de kx2 seulement.
Le produit kh est choisi comme paramètre de dispersion dans lequel h désigne l’épaisseur de la couche. Tout
d’abord il nous faut déterminer la (ou les) vitesse(s) v de
l’onde pour chaque valeur de kh. Pour cela on forme les
matrices suivantes :
·
¸
·
¸
c
e24
c
e14
T = 44
, R = 45
,
e24 −ǫ22
e14 −ǫ12
¸
¸
·
·
1 0
c
e15
,
(4)
, J=
Q = 55
0 0
e15 −ǫ11
puis [4] : N1 = −T −1 R, N2 = T −1 , N3 = RT −1 R − Q,
et enfin, la matrice de Stroh,
¸
·
N1
N2
.
(5)
N=
N3 + (ρv 2 )J N1t
Ensuite nous calculons N −1 and N 2 et on définit les
vecteurs k1 , k2 , k3 , k4 par
−1
−1
−1
−1
N[32] + ĉǫ̂N[14]
ǫ̂N[21] − ĉǫ̂N[12]
k1 = N[32] + ĉǫ̂N[14] k2 = ǫ̂N[21] − ĉǫ̂N[12] ,
2
2
2
2
N[32]
+ ĉǫ̂N[14]
ǫ̂N[21]
− ĉǫ̂N[12]
−1
−1
−1
−1
N[42] + ǫ̂2 N[24]
+ ĉ2 N[13]
N[31]
k3 = N[42] + ǫ̂2 N[24] k4 = N[31] + ĉ2 N[13] , (6)
2
2
2
2
N[42]
N[31]
+ ǫ̂2 N[24]
+ ĉ2 N[13]
où
p
p
v 2 /v̂ 2 − 1 tan v 2 /v̂ 2 − 1kh,
ǫ̂ = ǫ̂11 coth kh.
(7)
Notons au passage que ĉ est toujours définie comme
une p
quantité réelle, pcar lorsque v < v̂, ĉ =
−ĉ44 1 − v 2 /v̂ 2 tanh 1 − v 2 /v̂ 2 kh.
ĉ = ĉ44
Alors l’équation de dispersion rationalisée est
∆21 + ∆22 + 4∆3 ∆ = 0,
(9)
(8)
où ∆ = det[k1 |k2 |k3 ], ∆1 = det[k4 |k2 |k3 ], ∆2 =
det[k1 |k4 |k3 ], et ∆3 = det[k1 |k2 |k4 ]. Pour un kh donné,
cette équation n’a en tout et pour tout qu’une seule inconnue, v 2 . Sa résolution numérique peut être menée
avec le degré de précision désiré. Cependant l’équation
(8) a en général de nombreuses racines : certaines sont
légitimes, d’autres sont parasites et ne correspondent pas
à une onde de Love. Le processus de sélection des racines
est maintenant décrit.
Tout d’abord ne sont conservées que les racines v 2 de (8)
qui sont réelles et positives. Puis on en prend la racine
r = ω2 − 3ω32 /8,
s = ω1 − ω2 ω3 /2 + ω33 /8,
t = ω0 − ω1 ω3 /4 + ω2 ω32 /16 − 3ω34 /256.
(10)
Ici les ωi sont déterminés en identifiant l’équation
det(N − qI) = 0 avec
q 4 + ω3 q 3 + ω2 q 2 + ω1 q + ω0 = 0.
(11)
Pour chaque v solution de (8) plus petite que vL , N est
calculée par (5) puis on résoud la quartique (11) en q
en ne conservant que les deux racines q1 et q2 qui ont
une partie imaginaire négative (condition d’atténuation).
Ensuite on construit les quatre vecteurs ai , bi (i = 1, 2),
définis par :
¸t
·
ǫ11 e24 2
e14
e15
ǫ12
2
i
,
,
q +2
qi +
a = qi + 2 qi +
ǫ22
ǫ22 ǫ22 i
ǫ22
ǫ22
bi = (qi T + R)ai ,
(12)
et les matrices 2 × 2 suivantes: A = [a1 |a2 ], B = [b1 |b2 ].
Alors la condition aux limites exacte est:
|iBA−1 − Diag(ĉ, ǫ̂)| = 0.
(13)
Ecrite sous cette forme, qui implique les tenseurs
d’impédance de surface du substrat et de la couche,
cette condition constitue un test d’existence [6] : si le
déterminant n’est pas égal à zéro, alors la racine v de (8)
doit être éliminée; sinon, la vitesse est valide et l’onde de
Love existe.
Nous pouvons maintenant construire la solution complète
du problème. Dans le substrat, l’onde est donnée par (2),
où
[U3 (kx2 ), ϕ(kx2 )]t = γ1 eikq1 x2 a1 + γ2 eikq2 x2 a2 ,
[t32 (kx2 ), d2 (kx2 )]t = γ1 eikq1 x2 b1 + γ2 eikq2 x2 b2 .
(14)
Ici γ1 et γ2 sont les solutions d’un système de deux
équations.
La première équation est : [iBA−1 −
Diag(ĉ, ǫ̂)][γ1 , γ2 ]t = 0 (qui représente bel et bien une
seule équation d’aprés (13)). La deuxième équation
s’obtient en fixant la valeur d’un des champs à l’interface
substrat/couche : si par exemple U3 (0) qui est donné,
alors la deuxième équation est: (γ1 a1 + γ2 a2 ) · [1, 0]t =
U3 (0).
Dans la couche, l’onde est donnée par (3), où
³
p
Û3 (kx2 ) = U3 (0) cos v 2 /v̂ 2 − 1kx2
´
p
p
+ tan v 2 /v̂ 2 − 1kh sin v 2 /v̂ 2 − 1kx2 ,
ϕ̂(kx2 ) = ϕ(0) (cosh kx2 − coth kh sinh kx2 ) ,
et σ̂23 = ĉ44 û3,2 , D̂2 = −ǫ̂11 φ̂,2 .
(15)
− vitesse de phase v
3900
− vitesse de groupe vg
−1
bande interdite
v
Vitesses de phase et de groupe en ms
Vitesses de phase et de groupe en ms−1
3900
L 50° 4’ 40’’
3800
mode1 (fondamental)
mode 2
3750
3650
3550
vBG KNbO3
v
Ge
coupe (0°, 0°, 50° 4’ 40’’)
3450
0
2
4
6
kh
vitesse de groupe v
g
vL 50° 4’ 40’’
3850
3800
mode 1
10
3650
3600
12
Figure 2: Vitesses de phase et de groupe des modes 1 et 2
◦
′
′′
en fonction de kh pour une coupe d’angle θ = 50 4 40 .
coupe (0°, 0°, 50° 4’ 40’’)
vBG KNbO3
0
0.02
0.04
0.06
kh
0.08
0.1
0.12
Figure 3: Zoom sur les vitesses de phase et de groupe du
◦
′
mode 1 en fonction de kh pour une coupe d’angleθ = 50 4
′′
40 .
Résultats numériques et commentaires
Vitesses de phase et de groupe en ms
−1
4600
4400
− vitesse de groupe vg
− vitesse de phase v
vL 80°
vBG KNbO3
mode 2
mode 1
mode 3
4000
3600
vGe
coupe (0°, 0°, 80°)
3200
0
2
4
6
kh
8
10
12
Figure 4: Vitesses de phase et de groupe des trois premiers
◦
modes en fonction de kh pour une coupe d’angle θ = 80 .
−1
4450
Vitesses de phase et de groupe en ms
Nous présentons dans cette section un ensemble restreint
de résultats numériques concernant les spectres de dispersion et les profils des champs continus suivant la profondeur de pénétration, lesquels nous donnent un condensé d’informations sur les comportements des modes
de Love étudiés. Les courbes de dispersion sont obtenues
sur une large plage du produit kh sans l’observation
d’instabilités numériques. Les figures 2. à 5. montrent les variations de la vitesse de phase et de groupe
en fonction de kh pour les premiers modes de propagation. On peut remarquer que contrairement au cas
plus classique de coupes non tournées où seul le premier
mode est excitable à toutes les fréquences, les autres montrent des fréquences de coupures. Ici le premier mode
présente une bande interdite en fréquence dont la largeur
dépend de l’angle de coupe du substrat. Aux faibles nombre d’onde (basse fréquence), les vitesses de phase et de
groupe du mode fondamental tendent vers la vitesse des
ondes de Bleustein-Gulayev. Lorsque le nombre d’onde
augmente le taux d’énergie canalisée par la couche croı̂t.
L’ensemble des modes coalescent (à haute fréquence) et
tendent vers la vitesse de l’onde de volume transversale
du matériau le plus lent dans notre cas le Ge. Les figures
6. à 9. illustrent les variations des amplitudes des champs
pour les deux premiers modes. A une vitesse de phase
et une épaisseur de couche fixées la pénétration de l’onde
diminue lorsque l’ordre du mode augmente. Pour limiter
la puissance du signal fournie l’amplitude du champ de
déplacement à l’interface a été fixée à u3 (0) = 1Å. Les
épaisseurs de couche sélectionnées varient de 3 µm à 12
µm ce qui conduit pour des vitesses de phase moyennes
à des fréquences de quelques centaines de MHz utilisées
actuellement dans les capteurs et filtres RF. Dans le cas
◦
′
′′
de la coupe θ = 50 4 40 l’excitation du mode 2 permet d’atteindre pour une épaisseur de couche de 6 µm
une fréquence de l’ordre du GHz.
bande
interdite
3700
3550
8
vitesse de phase v
3750
vL 80°
4400
vitesse de phase v
mode 1
4350
vBG KNbO3
4300
vitesse de groupe vg
4250
4200
4150
coupe (0°, 0°, 80°)
4100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
kh
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Figure 5: Zoom sur les vitesses de phase et de groupe du
◦
mode 1 en fonction de kh pour une coupe d’angle θ = 80 .
−1
θ= 50° 4’ 40’’, kh= 2.173, v= 3750.173 ms , h= 6 µm, λ= 17.348 µm, f= 216.233 MHz
4
1.2
1
θ= 80°, kh= 5.697 , v=4201.226 ms−1, h= 12 µm, λ= 13.233 µm, f= 317.477 MHz
3
1.5
1.25
1
1
3
0
3
0.4
0.5
1
0.5
−0.5
0.2
0
0
−5
−1
−15
0 1
−1
−10
x /h
−5
−1.5
−3
0 1
0
−2
x /h
2
−1
0
1
0
1
2
4.5
1
2
0
32
−10
2
32
σ /σ (0)
0
D2/D2(0)
−2
x /h
1.5
10
0.5
1
2
20
1
0
x /h
2
1.5
−1
−0.25
−3
−1
2
−10
D /D (0)
−0.2
−15
σ32/σ32(0)
φ/φ(0)
2
u /u (0)
0.6
φ/φ(0)
u3/u3(0)
0.8
0
−20
−2
−2
0
−30
−0.5
−15
−10
−5
−40
−15
0 1
−10
x /h
−5
0 1
−3
−3
−2
x /h
2
2
Figure 6: Amplitude des champs du mode 1 en fonction de la
◦
profondeur normalisée x2 /h pour une coupe d’angle θ = 50
′
′′
4 40 .
−1
x2/h
0
1
−4
−3
−2
−1
x /h
2
Figure 9: Amplitude des champs du mode 2 en fonction de la
◦
profondeur normalisée x2 /h pour une coupe d’angle θ = 80 .
Conclusion
−1
4
1
3
0.5
2
φ/φ(0)
u3/u3(0)
θ= 50° 4’ 40’’ , kh= 11.358, v= 3750.101 ms , h= 6 µm, λ= 3.318 µm, f= 1.130 GHz
1.5
0
1
−0.5
−1
0
−1.5
−5
−1
−5
−2.5
0
1
−2.5
1
0
1
2
2
1.5
20
1
10
0.5
D2/D2(0)
σ32/σ32(0)
0
x /h
x /h
0
−0.5
0
−10
Nous avons donné les grandes lignes d’une nouvelle approche analytique accompagnée de simulations
numériques concernant la propagation des ondes de surface piézoélectriques à polarisation transversales (Ondes
de Love). Les résultats préliminaires obtenus pourront
servir de référence à la validation de modèles asymptotiques (couches ultra-minces). Par ailleurs ce travail pourra être généralisé aux structures multicouches
déposées sur substrat. L’optimisation de l’angle de coupe
ainsi que celle de l’épaisseur de couche en vue d’une sensibilité maximale aux perturbations de surface (gaz, liquide,...) sont des perspectives.
−20
−1
−30
−1.5
−5
−2.5
0
−40
−5
1
−2.5
x2/h
x /h
2
Figure 7: Amplitude des champs du mode 2 en fonction de la
◦
profondeur normalisée x2 /h pour une coupe d’angle θ = 50
′
′′
4 40 .
1.25
1
1
[1] B. Collet and M. Destrade, “Love waves in piezoelectric layered structures,” soumis.
[2] W. Martienssen and H. Warlimont, Eds. Springer
Handbook of Condensed Matter and Materials Data.
Berlin: Springer, 2005.
[3] M. Zgonik, R. Schlesser, I. Biaggio, E. Voit, J.
Tscherry, and P. Günter, “Material constants of
KNbO3 relevant for electro- and acousto-optics,” J.
Appl. Phys., vol. 74, p. 1287, 1993.
θ= 80°, kh= 0.7267, v= 4201.102 ms−1, h= 3 µm, λ= 25.938 µm, f= 161.967 MHz
1.2
References
0.6
φ/φ(0)
u3/u3(0)
0.8
0.4
[4] T. C. T. Ting, Anisotropic elasticity: theory and applications. New York: Oxford University Press, 1996.
0.5
0.2
0
0
−0.2
−15
−10
−5
0 1
−0.25
−15
−10
x2/h
−5
0 1
x2/h
1.25
4
1
2
D /D (0)
0
2
0.5
32
32
σ /σ (0)
2
−2
0
−15
−10
−5
x2/h
0 1
−4
−15
−10
−5
0 1
x2/h
Figure 8: Amplitude des champs du mode 1 en fonction de la
◦
profondeur normalisée x2 /h pour une coupe d’angle θ = 80 .
[5] Y. B. Fu, “An explicit expression for the surfaceimpedance matrix of a generally anisotropic incompressible elastic material in a state of plane strain,”
Int. J. Non-linear Mech., vol. 40, pp. 229–239, 2005.
[6] A. L. Shuvalov and A. G. Every, “Some properties
of surface acoustic waves in anisotropic-coated solids,
studied by the impedance method,” Wave Motion, vol.
36, pp. 257–273, 2002.