Onde de Love Piézoacoustique Bernard Collet, Michel Destrade Laboratoire de Modélisation en Mécanique, CNRS-UMR 7607,75252 Paris, France, courriel : bc@ccr.jussieu.fr Résumé Une sélection de résultats analytiques et numériques concernant la propagation d’ondes planes harmoniques guidées dans un bicouche piézoélectrique est présentée. L’étude effectuée concerne les modes transverses horizontaux (ondes de Love). L’analyse repose sur l’utilisation du formalisme de Stroh associé à la notion d’impédance d’interface. Les courbes de dispersion et les amplitudes des champs continus sont donnés et brièvement commentés. x2 Electrode h x1 Couche élastique diélectrique 0 Substrat piézoélectrique Direction de propagation Y Z Introduction θ X Les hétérostructures piézoélectriques composées d’un massif recouvert d’une ou plusieurs couches jouent un rôle important dans les systèmes micro-électromécaniques (MEMS). De nombreux capteurs et filtres à ondes de surface utilisent une architecture de type couche sur massif. Ainsi nous pouvons avoir une couche diélectrique ou piézoélectrique d’épaisseur finie sur un substrat piézoélectrique. Pour certaines configurations, il est possible de découpler une onde transverse horizontale couplée aux champs électriques (onde de Love piézoélectrique) d’une onde polarisée dans le plan saggital purement élastique (onde de Rayleigh). Figure 1: Géométrie de la structure et système de coordonnées. Les ondes de Love sont particulièrement bien adaptées à la conception de filtres hautes fréquences et bio-capteurs en environnement liquide. Nous considérons le cas d’une structure composée d’une couche isolante faite d’un semi-conducteur non-piézoélectrique de symétrie cubique m3m, déposée sur un crystal piézoélectrique de symétrie orthorhombique 2mm en coupe Y après rotation autour de Z. Ici, les faces de la couche sont orientées parallèlement à un plan de symétrie alors que le substrat est coupé le long ◦ d’un plan contenant l’axe Z et faisant un angle θ 6= 0, 90 avec le plan Y = 0, voir Figure 1. A l’aide de techniques analytiques avancées, nous obtenons l’équation de dispersion sous forme explicite lorsque la face supérieure de la couche est court-circuitée. Les calculs détaillés correspondants ont été présentés dans un autre travail [1], ici on se borne à rappeler et commenter les principaux résultats. Ces résultats sont exploités via des simultations numériques qui illustrent les comportements variés de la structure selon l’angle de coupe du substrat : spectres de dispersion des vitesses de phase et de groupe, existence (ou disparition) d’une bande interdite pour le mode fondamental, profils de variation des champs impliqués avec la profondeur. Résolution Ce paragraphe est consacré à la présentation d’une procédure permettant obtenir les courbes de dispersion d’une onde de Love dans une structure constituée d’une couche de germanium Ge, déposée sur un substrat en niobate de potassium KN bO3 . La couche est métalisée sur sa face supérieure et portée au potentiel zéro. Nous rappelons que le germanium est un semiconducteur nonpiézoélectrique, de symétrie m3m, et que le niobate de potassium est un crystal à fort couplage piézoélectrique, de symétrie 2mm (bien entendu, la méthodologie est aussi valable pour d’autres combinaisons de matériaux ayant le même degré de symétrie, ou de plus grandes, telle que la silice SiO2 ,...). Ainsi pour la couche, les quantités physiques qui joueront 10 2 un rôle sont [2] : ĉ44 = 67.1 p × 10 N/m , ǫ̂11 = 16.6ǫ0 , 3 ρ̂ = 5330 kg/m , et v̂ = ĉ44 /ρ̂ = 3550.31 m/s. Pour le substrat, ce seront : c44 = m2 c̃44 + n2 c̃55 , c55 = n2 c̃44 + m2 c̃55 , c45 = mn(c̃44 − c̃55 ), e24 = m2 ẽ24 + n2 ẽ15 , e15 = n2 ẽ24 + m2 ẽ15 , e14 = mn(ẽ24 − ẽ15 ), 2 2 ǫ11 = m ǫ̃11 + n ǫ̃22 , ǫ12 = mn(ǫ̃22 − ǫ̃11 ), ǫ22 = n2 ǫ̃11 + m2 ǫ̃22 , (1) où : m = cos θ, n = sin θ, et [3] : c̃44 = 7.43, c̃55 = 2.5 (1010 N/m2 ), ẽ24 = 11.7, ẽ15 = 5.16 (C/m2 ), ǫ̃11 = 34ǫ0 , ǫ̃22 = 780ǫ0 , ρ = 4630 kg/m3 . L’onde de Love est décrite par les champs suivants : le déplacement transverse u3 , le potentiel électrique φ, la traction σ32 , et l’induction électrique D2 dans le substrat, et par les champs correspondants û3 , φ̂3 , σ̂32 , D̂2 dans la couche. Nous recherchons une solution qui se propage le long de l’axe x1 (aligné avec un axe de symétrie dans une face de la couche) avec la vitesse v et le vecteur d’onde k, et qui est atténuée le long de l’axe x2 (normal aux plans de coupe). Ainsi, {u3 , φ, σ32 , D2 } = {U3 (kx2 ), ϕ(kx2 ), ikt32 (kx2 ), ikd2 (kx2 )}eik(x1 −vt) , (2) carrée v et on s’assure qu’elle est inférieure à la vitesse limite vL , au dessous de laquelle l’atténuation de l’onde dans la profondeur du substrat n’est plus assurée. Cette dernière quantité est calculée comme étant la plus petite racine positive de l’équation [5] : −4(12t + r2 )3 + (−72tr + 2r3 + 27s2 )2 = 0, où U3 , ϕ, t32 , d2 sont des fonctions de kx2 seulement et où {û3 , φ̂3 , σ̂32 , D̂2 } = {Û3 (kx2 ), ϕ̂(kx2 ), ik t̂32 (kx2 ), ik dˆ2 (kx2 )}eik(x1 −vt) , (3) où Û3 , φ̂3 σ̂32 , D̂2 sont des fonctions de kx2 seulement. Le produit kh est choisi comme paramètre de dispersion dans lequel h désigne l’épaisseur de la couche. Tout d’abord il nous faut déterminer la (ou les) vitesse(s) v de l’onde pour chaque valeur de kh. Pour cela on forme les matrices suivantes : · ¸ · ¸ c e24 c e14 T = 44 , R = 45 , e24 −ǫ22 e14 −ǫ12 ¸ ¸ · · 1 0 c e15 , (4) , J= Q = 55 0 0 e15 −ǫ11 puis [4] : N1 = −T −1 R, N2 = T −1 , N3 = RT −1 R − Q, et enfin, la matrice de Stroh, ¸ · N1 N2 . (5) N= N3 + (ρv 2 )J N1t Ensuite nous calculons N −1 and N 2 et on définit les vecteurs k1 , k2 , k3 , k4 par  −1  −1 −1  −1  N[32] + ĉǫ̂N[14] ǫ̂N[21] − ĉǫ̂N[12] k1 = N[32] + ĉǫ̂N[14]  k2 = ǫ̂N[21] − ĉǫ̂N[12]  , 2 2 2 2 N[32] + ĉǫ̂N[14] ǫ̂N[21] − ĉǫ̂N[12]  −1   −1 −1  −1 N[42] + ǫ̂2 N[24] + ĉ2 N[13] N[31] k3 = N[42] + ǫ̂2 N[24]  k4 = N[31] + ĉ2 N[13]  , (6) 2 2 2 2 N[42] N[31] + ǫ̂2 N[24] + ĉ2 N[13] où p p v 2 /v̂ 2 − 1 tan v 2 /v̂ 2 − 1kh, ǫ̂ = ǫ̂11 coth kh. (7) Notons au passage que ĉ est toujours définie comme une p quantité réelle, pcar lorsque v < v̂, ĉ = −ĉ44 1 − v 2 /v̂ 2 tanh 1 − v 2 /v̂ 2 kh. ĉ = ĉ44 Alors l’équation de dispersion rationalisée est ∆21 + ∆22 + 4∆3 ∆ = 0, (9) (8) où ∆ = det[k1 |k2 |k3 ], ∆1 = det[k4 |k2 |k3 ], ∆2 = det[k1 |k4 |k3 ], et ∆3 = det[k1 |k2 |k4 ]. Pour un kh donné, cette équation n’a en tout et pour tout qu’une seule inconnue, v 2 . Sa résolution numérique peut être menée avec le degré de précision désiré. Cependant l’équation (8) a en général de nombreuses racines : certaines sont légitimes, d’autres sont parasites et ne correspondent pas à une onde de Love. Le processus de sélection des racines est maintenant décrit. Tout d’abord ne sont conservées que les racines v 2 de (8) qui sont réelles et positives. Puis on en prend la racine r = ω2 − 3ω32 /8, s = ω1 − ω2 ω3 /2 + ω33 /8, t = ω0 − ω1 ω3 /4 + ω2 ω32 /16 − 3ω34 /256. (10) Ici les ωi sont déterminés en identifiant l’équation det(N − qI) = 0 avec q 4 + ω3 q 3 + ω2 q 2 + ω1 q + ω0 = 0. (11) Pour chaque v solution de (8) plus petite que vL , N est calculée par (5) puis on résoud la quartique (11) en q en ne conservant que les deux racines q1 et q2 qui ont une partie imaginaire négative (condition d’atténuation). Ensuite on construit les quatre vecteurs ai , bi (i = 1, 2), définis par : ¸t · ǫ11 e24 2 e14 e15 ǫ12 2 i , , q +2 qi + a = qi + 2 qi + ǫ22 ǫ22 ǫ22 i ǫ22 ǫ22 bi = (qi T + R)ai , (12) et les matrices 2 × 2 suivantes: A = [a1 |a2 ], B = [b1 |b2 ]. Alors la condition aux limites exacte est: |iBA−1 − Diag(ĉ, ǫ̂)| = 0. (13) Ecrite sous cette forme, qui implique les tenseurs d’impédance de surface du substrat et de la couche, cette condition constitue un test d’existence [6] : si le déterminant n’est pas égal à zéro, alors la racine v de (8) doit être éliminée; sinon, la vitesse est valide et l’onde de Love existe. Nous pouvons maintenant construire la solution complète du problème. Dans le substrat, l’onde est donnée par (2), où [U3 (kx2 ), ϕ(kx2 )]t = γ1 eikq1 x2 a1 + γ2 eikq2 x2 a2 , [t32 (kx2 ), d2 (kx2 )]t = γ1 eikq1 x2 b1 + γ2 eikq2 x2 b2 . (14) Ici γ1 et γ2 sont les solutions d’un système de deux équations. La première équation est : [iBA−1 − Diag(ĉ, ǫ̂)][γ1 , γ2 ]t = 0 (qui représente bel et bien une seule équation d’aprés (13)). La deuxième équation s’obtient en fixant la valeur d’un des champs à l’interface substrat/couche : si par exemple U3 (0) qui est donné, alors la deuxième équation est: (γ1 a1 + γ2 a2 ) · [1, 0]t = U3 (0). Dans la couche, l’onde est donnée par (3), où ³ p Û3 (kx2 ) = U3 (0) cos v 2 /v̂ 2 − 1kx2 ´ p p + tan v 2 /v̂ 2 − 1kh sin v 2 /v̂ 2 − 1kx2 , ϕ̂(kx2 ) = ϕ(0) (cosh kx2 − coth kh sinh kx2 ) , et σ̂23 = ĉ44 û3,2 , D̂2 = −ǫ̂11 φ̂,2 . (15) − vitesse de phase v 3900 − vitesse de groupe vg −1 bande interdite v Vitesses de phase et de groupe en ms Vitesses de phase et de groupe en ms−1 3900 L 50° 4’ 40’’ 3800 mode1 (fondamental) mode 2 3750 3650 3550 vBG KNbO3 v Ge coupe (0°, 0°, 50° 4’ 40’’) 3450 0 2 4 6 kh vitesse de groupe v g vL 50° 4’ 40’’ 3850 3800 mode 1 10 3650 3600 12 Figure 2: Vitesses de phase et de groupe des modes 1 et 2 ◦ ′ ′′ en fonction de kh pour une coupe d’angle θ = 50 4 40 . coupe (0°, 0°, 50° 4’ 40’’) vBG KNbO3 0 0.02 0.04 0.06 kh 0.08 0.1 0.12 Figure 3: Zoom sur les vitesses de phase et de groupe du ◦ ′ mode 1 en fonction de kh pour une coupe d’angleθ = 50 4 ′′ 40 . Résultats numériques et commentaires Vitesses de phase et de groupe en ms −1 4600 4400 − vitesse de groupe vg − vitesse de phase v vL 80° vBG KNbO3 mode 2 mode 1 mode 3 4000 3600 vGe coupe (0°, 0°, 80°) 3200 0 2 4 6 kh 8 10 12 Figure 4: Vitesses de phase et de groupe des trois premiers ◦ modes en fonction de kh pour une coupe d’angle θ = 80 . −1 4450 Vitesses de phase et de groupe en ms Nous présentons dans cette section un ensemble restreint de résultats numériques concernant les spectres de dispersion et les profils des champs continus suivant la profondeur de pénétration, lesquels nous donnent un condensé d’informations sur les comportements des modes de Love étudiés. Les courbes de dispersion sont obtenues sur une large plage du produit kh sans l’observation d’instabilités numériques. Les figures 2. à 5. montrent les variations de la vitesse de phase et de groupe en fonction de kh pour les premiers modes de propagation. On peut remarquer que contrairement au cas plus classique de coupes non tournées où seul le premier mode est excitable à toutes les fréquences, les autres montrent des fréquences de coupures. Ici le premier mode présente une bande interdite en fréquence dont la largeur dépend de l’angle de coupe du substrat. Aux faibles nombre d’onde (basse fréquence), les vitesses de phase et de groupe du mode fondamental tendent vers la vitesse des ondes de Bleustein-Gulayev. Lorsque le nombre d’onde augmente le taux d’énergie canalisée par la couche croı̂t. L’ensemble des modes coalescent (à haute fréquence) et tendent vers la vitesse de l’onde de volume transversale du matériau le plus lent dans notre cas le Ge. Les figures 6. à 9. illustrent les variations des amplitudes des champs pour les deux premiers modes. A une vitesse de phase et une épaisseur de couche fixées la pénétration de l’onde diminue lorsque l’ordre du mode augmente. Pour limiter la puissance du signal fournie l’amplitude du champ de déplacement à l’interface a été fixée à u3 (0) = 1Å. Les épaisseurs de couche sélectionnées varient de 3 µm à 12 µm ce qui conduit pour des vitesses de phase moyennes à des fréquences de quelques centaines de MHz utilisées actuellement dans les capteurs et filtres RF. Dans le cas ◦ ′ ′′ de la coupe θ = 50 4 40 l’excitation du mode 2 permet d’atteindre pour une épaisseur de couche de 6 µm une fréquence de l’ordre du GHz. bande interdite 3700 3550 8 vitesse de phase v 3750 vL 80° 4400 vitesse de phase v mode 1 4350 vBG KNbO3 4300 vitesse de groupe vg 4250 4200 4150 coupe (0°, 0°, 80°) 4100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 kh 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Figure 5: Zoom sur les vitesses de phase et de groupe du ◦ mode 1 en fonction de kh pour une coupe d’angle θ = 80 . −1 θ= 50° 4’ 40’’, kh= 2.173, v= 3750.173 ms , h= 6 µm, λ= 17.348 µm, f= 216.233 MHz 4 1.2 1 θ= 80°, kh= 5.697 , v=4201.226 ms−1, h= 12 µm, λ= 13.233 µm, f= 317.477 MHz 3 1.5 1.25 1 1 3 0 3 0.4 0.5 1 0.5 −0.5 0.2 0 0 −5 −1 −15 0 1 −1 −10 x /h −5 −1.5 −3 0 1 0 −2 x /h 2 −1 0 1 0 1 2 4.5 1 2 0 32 −10 2 32 σ /σ (0) 0 D2/D2(0) −2 x /h 1.5 10 0.5 1 2 20 1 0 x /h 2 1.5 −1 −0.25 −3 −1 2 −10 D /D (0) −0.2 −15 σ32/σ32(0) φ/φ(0) 2 u /u (0) 0.6 φ/φ(0) u3/u3(0) 0.8 0 −20 −2 −2 0 −30 −0.5 −15 −10 −5 −40 −15 0 1 −10 x /h −5 0 1 −3 −3 −2 x /h 2 2 Figure 6: Amplitude des champs du mode 1 en fonction de la ◦ profondeur normalisée x2 /h pour une coupe d’angle θ = 50 ′ ′′ 4 40 . −1 x2/h 0 1 −4 −3 −2 −1 x /h 2 Figure 9: Amplitude des champs du mode 2 en fonction de la ◦ profondeur normalisée x2 /h pour une coupe d’angle θ = 80 . Conclusion −1 4 1 3 0.5 2 φ/φ(0) u3/u3(0) θ= 50° 4’ 40’’ , kh= 11.358, v= 3750.101 ms , h= 6 µm, λ= 3.318 µm, f= 1.130 GHz 1.5 0 1 −0.5 −1 0 −1.5 −5 −1 −5 −2.5 0 1 −2.5 1 0 1 2 2 1.5 20 1 10 0.5 D2/D2(0) σ32/σ32(0) 0 x /h x /h 0 −0.5 0 −10 Nous avons donné les grandes lignes d’une nouvelle approche analytique accompagnée de simulations numériques concernant la propagation des ondes de surface piézoélectriques à polarisation transversales (Ondes de Love). Les résultats préliminaires obtenus pourront servir de référence à la validation de modèles asymptotiques (couches ultra-minces). Par ailleurs ce travail pourra être généralisé aux structures multicouches déposées sur substrat. L’optimisation de l’angle de coupe ainsi que celle de l’épaisseur de couche en vue d’une sensibilité maximale aux perturbations de surface (gaz, liquide,...) sont des perspectives. −20 −1 −30 −1.5 −5 −2.5 0 −40 −5 1 −2.5 x2/h x /h 2 Figure 7: Amplitude des champs du mode 2 en fonction de la ◦ profondeur normalisée x2 /h pour une coupe d’angle θ = 50 ′ ′′ 4 40 . 1.25 1 1 [1] B. Collet and M. Destrade, “Love waves in piezoelectric layered structures,” soumis. [2] W. Martienssen and H. Warlimont, Eds. Springer Handbook of Condensed Matter and Materials Data. Berlin: Springer, 2005. [3] M. Zgonik, R. Schlesser, I. Biaggio, E. Voit, J. Tscherry, and P. Günter, “Material constants of KNbO3 relevant for electro- and acousto-optics,” J. Appl. Phys., vol. 74, p. 1287, 1993. θ= 80°, kh= 0.7267, v= 4201.102 ms−1, h= 3 µm, λ= 25.938 µm, f= 161.967 MHz 1.2 References 0.6 φ/φ(0) u3/u3(0) 0.8 0.4 [4] T. C. T. Ting, Anisotropic elasticity: theory and applications. New York: Oxford University Press, 1996. 0.5 0.2 0 0 −0.2 −15 −10 −5 0 1 −0.25 −15 −10 x2/h −5 0 1 x2/h 1.25 4 1 2 D /D (0) 0 2 0.5 32 32 σ /σ (0) 2 −2 0 −15 −10 −5 x2/h 0 1 −4 −15 −10 −5 0 1 x2/h Figure 8: Amplitude des champs du mode 1 en fonction de la ◦ profondeur normalisée x2 /h pour une coupe d’angle θ = 80 . [5] Y. B. Fu, “An explicit expression for the surfaceimpedance matrix of a generally anisotropic incompressible elastic material in a state of plane strain,” Int. J. Non-linear Mech., vol. 40, pp. 229–239, 2005. [6] A. L. Shuvalov and A. G. Every, “Some properties of surface acoustic waves in anisotropic-coated solids, studied by the impedance method,” Wave Motion, vol. 36, pp. 257–273, 2002.