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Curso de Introduccion a Matematicas
Roberto AvilaEl siguiente modulo esta destinado a los ingresantes de las facultades de ciencias de la salud, ciencias de la administracion, ciencias economicas, ingenieria y ciencias de la alimentacion
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Venerdì 24 maggio 2024, Facoltà di Filosofia, Pontificio Ateneo Anselmianum
“MATEMÁTICA”
COORDINADORA
Profesora Mercedes Colombo
PRESENTACIÓN
El siguiente módulo está destinado a los ingresantes de las facultades de Ciencias de la Salud, Ciencias
de la Administración, Ciencias Económicas, Ingeniería, Bromatología y Ciencias de la Alimentación.
Para complementar el dictado presencial del módulo de Matemática creamos un espacio
virtual donde encontrarás otros recursos, notas complementarias y un espacio adicional para
comunicarte con tus docentes en la siguiente dirección:
http://www.campus.uner.edu.ar/course/view.php?id=510
CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 2013 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS
2
“MATEMÁTICA”
INDICE
COORDINADORA ........................................................................................................................... 2
INDICE............................................................................................................................................ 3
TEMA 1: LOS NÚMEROS REALES Y SUS SUBCONJUNTOS .............................................................. 7
1. Los números enteros ............................................................................................................ 7
2. Los números racionales ........................................................................................................ 8
3. Los números irracionales .................................................................................................... 11
4. Los números reales ............................................................................................................. 11
4.1 Representación de los números reales en la recta numérica ...................................... 11
EJERCICIOS................................................................................................................................... 12
5. El conjunto de los números complejos ............................................................................... 13
6. Operaciones con números reales ....................................................................................... 13
6.1 Valor absoluto de un número real................................................................................ 13
6.2. Adición de números reales .......................................................................................... 13
6.3 Diferencia o sustracción de números reales ................................................................ 14
6.4. Multiplicación de números reales ............................................................................... 15
6.5. División de números reales ......................................................................................... 16
6.6. Potenciación ................................................................................................................ 16
EJERCICIOS................................................................................................................................... 17
6.7. Radicación. Potencias de exponentes fraccionarios ................................................... 17
Potencias de exponentes racionales .................................................................................. 19
PROBLEMAS ................................................................................................................................ 25
Notación científica .................................................................................................................. 27
EJERCICIOS................................................................................................................................... 27
Uso de la calculadora .............................................................................................................. 28
EJERCICIOS................................................................................................................................... 28
TEMA 2: RAZONES Y PROPORCIONES ......................................................................................... 29
1. Razón entre dos números ................................................................................................... 29
2. Proporciones ....................................................................................................................... 29
2.1. Propiedad fundamental de las proporciones .............................................................. 29
EJERCICIOS .............................................................................................................................. 30
3. Serie de razones iguales ...................................................................................................... 31
4. Magnitudes Proporcionales ................................................................................................ 32
EJERCICIOS................................................................................................................................... 33
4.1. Problemas de regla de tres simple .............................................................................. 35
4.2. Porcentaje.................................................................................................................... 36
TEMA 3: POLINOMIOS ................................................................................................................. 38
CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 2013 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS
3
“MATEMÁTICA”
Grado de un polinomio....................................................................................................... 38
Polinomio ordenado ........................................................................................................... 38
Polinomio completo ........................................................................................................... 39
Polinomio nulo.................................................................................................................... 39
Polinomio constante........................................................................................................... 39
Igualdad de polinomios ...................................................................................................... 39
1. Funciones polinómicas ........................................................................................................ 40
2. Operaciones con polinomios .............................................................................................. 40
2.1 Adición .......................................................................................................................... 40
2.2. Diferencia o sustracción .............................................................................................. 41
2.3. Multiplicación .............................................................................................................. 42
2.4. División ........................................................................................................................ 43
2.5. Regla de Ruffini o división sintética ............................................................................. 43
EJERCICIOS................................................................................................................................... 45
EJERCICIOS DE REVISIÓN ............................................................................................................. 46
2.6. Divisibilidad de polinomios .......................................................................................... 48
Divisibilidad de una suma o una diferencia de dos potencias de igual grado por la suma o
la diferencia de las bases .................................................................................................... 48
2.5.1. Valor de un polinomio P(x) para x = a ...................................................................... 49
EJERCICIOS................................................................................................................................... 49
2.6. Teorema del resto ....................................................................................................... 50
2.7. Teorema del factor ...................................................................................................... 51
EJERCICIOS................................................................................................................................... 51
2.7.1. Ceros de un polinomio ............................................................................................. 51
EJERCICIOS................................................................................................................................... 52
3. Cuadrado de un binomio .................................................................................................... 53
4. Cubo de un binomio ............................................................................................................ 53
5. Producto de dos binomios conjugados ............................................................................... 54
EJERCICIOS................................................................................................................................... 54
6. Factorización de expresiones algebraicas........................................................................... 54
6.1. Algunos casos de factoreo ............................................................................................... 55
6.1.1. Factor común ............................................................................................................ 55
6.1.2. Factorización por agrupamiento .............................................................................. 55
6.1.3. Trinomio cuadrado perfecto..................................................................................... 55
6.1.4. Cuatrinomio cubo perfecto ...................................................................................... 56
6.1.5. Diferencia de cuadrados ........................................................................................... 56
6.1.6. Suma o diferencia de potencias de igual grado ....................................................... 56
EJERCICIOS................................................................................................................................... 57
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“MATEMÁTICA”
Teorema de Pitágoras ............................................................................................................. 61
EJERCICIOS................................................................................................................................... 62
TEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS ............................................................. 63
1. Cero o raíz de una expresión racional fraccionaria............................................................. 63
EJERCICIOS................................................................................................................................... 64
2. Operaciones con expresiones racionales fraccionarias ...................................................... 66
2.1 Adición y sustracción. ................................................................................................... 66
2.2. Multiplicación .............................................................................................................. 67
2.3. División ........................................................................................................................ 67
EJERCICIOS................................................................................................................................... 68
TEMA 5: ECUACIONES DE PRIMER GRADO ................................................................................. 71
EJERCICIOS................................................................................................................................... 72
TEMA 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ........................................................................... 75
1. Método de sustitución ........................................................................................................ 75
2. Método de reducción o de eliminación por sumas o restas............................................... 75
Sistemas consistentes e inconsistentes.............................................................................. 76
Sistemas determinados e indeterminados ......................................................................... 76
EJERCICIOS................................................................................................................................... 77
PROBLEMAS ................................................................................................................................ 80
TEMA 7: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE ............................................... 84
1. Definición ............................................................................................................................ 84
2. Cálculo de las raíces de ecuaciones incompletas................................................................ 84
2.1. Ecuación incompleta de la forma ax 2 0 . a 0 .................................................... 84
2.2. Ecuación incompleta de la forma ax2 c 0 . a 0 .............................................. 84
2.3. Ecuación incompleta de la forma ax 2 bx 0 . ...................................................... 85
3. Cálculo de las raíces de ecuaciones completas de segundo grado..................................... 85
3.1. Ecuación completa: ax 2 bx c 0 ( a , b y c son distintos de cero). ............... 85
4. Discriminante de la ecuación .............................................................................................. 86
5. Ecuaciones fraccionarias que pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática ........... 87
EJERCICIOS................................................................................................................................... 88
6. Factorización de una ecuación de segundo grado .............................................................. 89
EJERCICIOS................................................................................................................................... 90
7. Relación entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y sus raíces ............... 90
EJERCICIOS................................................................................................................................... 91
8. Ecuaciones con radicales que pueden resolverse mediante ecuaciones cuadráticas ....... 95
EJERCICIOS................................................................................................................................... 96
TEMA 8: LA FUNCIÓN LINEAL ..................................................................................................... 98
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“MATEMÁTICA”
1. Funciones ............................................................................................................................ 98
2. La función lineal en una variable ........................................................................................ 99
EJERCICIOS................................................................................................................................. 101
2.1. Forma punto - pendiente de la ecuación de una recta ............................................. 102
EJERCICIOS................................................................................................................................. 103
2.2. Ecuación de la recta determinada por dos puntos.................................................... 104
EJERCICIOS................................................................................................................................. 105
2.3. Forma implícita de la ecuación de la recta ................................................................ 105
EJERCICIOS................................................................................................................................. 106
2.4. Inclinación de una recta ............................................................................................ 107
2.4.1. Rectas paralelas y perpendiculares ........................................................................ 108
EJERCICIOS................................................................................................................................. 109
TEMA 9: LA FUNCIÓN CUADRÁTICA .......................................................................................... 116
EJERCICIOS................................................................................................................................. 117
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 126
CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 2013 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS
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“MATEMÁTICA”
TEMA 1: LOS NÚMEROS REALES Y SUS SUBCONJUNTOS
1. Los números enteros
Desde épocas remotas, el hombre debió satisfacer su necesidad de contar objetos, personas,
animales. Para hacerlo, por intuición comenzó a usar los números que llamamos naturales:
1, 2, 3, 4, , asociados al concepto de cantidad.
la unidad N 1, 2, 3, 4, 5, 6, .
El conjunto de los números naturales tiene infinitos elementos. El primer elemento es el uno,
En ese conjunto se definen dos operaciones elementales: la adición y la multiplicación y se
establecen las propiedades que para ellas se cumplen. La suma de dos números naturales
cualesquiera es otro número natural y el producto entre dos números es también otro número
natural. Se definen también, con ciertas limitaciones, las operaciones inversas: la sustracción y
la división respectivamente. En el caso de la sustracción, el minuendo debe ser mayor que el
sustraendo; en el de la división, el dividendo debe ser múltiplo del divisor.
En N , la diferencia entre dos números a y b es el número c si y sólo si c b a . Para que
esa operación sea posible, a debe ser mayor que b . Las operaciones 3 3 , 3 7 no pueden
efectuarse.
El cociente entre dos números a y b es otro número c si y sólo si c b a . El cociente
15 : 7 no puede efectuarse porque no existe ningún número natural que multiplicado por 7
de por resultado 15 .
Como una extensión del conjunto de los naturales se crearon los números enteros. En el
nuevo conjunto la diferencia entre dos números es siempre posible. Por ejemplo: 3 3 0 ;
3 7 4 .
La unión entre el conjunto de los enteros positivos, el conjunto que
tiene como elemento al cero y el de los enteros negativos es,
precisamente, el conjunto de los enteros Z . El cero es el elemento
neutro para la suma: a 0 a para todo a perteneciente a Z . Los
positivos: 10 es el opuesto de 10 pues 10 10 0 .
ú e os
egati os so
los
i e sos aditi os , u opuestos de los
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7
“MATEMÁTICA”
Al conjunto de los enteros positivos con el cero se los denomina conjunto de los enteros no
negativos y se llama conjunto de los enteros no positivos al conjunto de los enteros negativos
con el cero:
Conjunto de enteros no negativos 0, 1, 2, 3,
Conjunto de enteros no positivos
, 10, 9, 8,
Z , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
, 2, 1, 0
Representamos los enteros en la recta numérica:
2. Los números racionales
Las fracciones se crearon para expresar partes más pequeñas que la unidad, por ejemplo:
1
,
2
1 3
; .
4 4
a
La fracción b significa que la unidad se dividió en b partes y se tomaron a . El numerador es
a , b el denominador y éste no puede ser cero.
Los números que pueden escribirse como cociente de dos números enteros a y b , con
b 0 , se llaman números racionales.
EJEMPLOS
4 4
3 3
2:3
2
3
8 : 24
1
3
Si el numerador es menor que el denominador, la fracción se dice
propia; si el denominador es menor que el numerador, impropia, y si el
numerador es múltiplo del denominador el número racional es entero.
Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 2013 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS
8
“MATEMÁTICA”
Consideremos los números racionales:
3
43
13
0,6 ;
5,375 ;
0,65 .
5
8
20
La expresión decimal tiene un número finito de dígitos. En los siguientes ejemplos, luego de la
o a de i al, se tie e i fi itas if as pe o ha u a pa te que se repite periódicamente:
a)
1
0,333
3
b) 43
15
El conjunto de los a io ales es u
2,8666
c)
29
0,128888
225
o ju to de so . Esto sig ifi a ue e t e dos ú e os
racionales cualesquiera, existe siempre otro número racional:
1
1
3
1
3
7
; entre y 1 , el .
Entre
y 1 , el promedio o media aritmética 2
4
8
2
4
2
Los números racionales se representan en la recta numérica:
Un número decimal periódico puede expresarse como fracción, en la forma que explicaremos
mediante ejemplos.
a) La expresión n decimal 0,252525 se dice periódica pura, el período es 25 y se repite a
partir de la coma decimal.
Sea x 0,252525 multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el
período, 100 x 25,2525 . Restamos miembro a miembro.
100 x 25,2525
x 0,252525
99 x 25
x
25
99
b) x 2,121121121 . Es periódica pura, de período de tres cifras: 121.
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“MATEMÁTICA”
Multiplicamos por 1000:
1000 x 2121,121121
x 2,121121
999 x 2119
x
121
2119
2
999
999
c) x 3,999 El período tiene una cifra. Multiplicamos por 10:
10 x 39,999
x 3,999
9 x 36
x
36
4
9
d) x = ,
…… Es pe iódi a
i ta: la pa te o pe iódi a tie e u a
if a
el pe íodo
tiene dos cifras.
Multiplicamos por 1000, ambos miembros; también por 10, y luego restamos miembro a
miembro:
1000 x 221,2121
10 x 2,2121
990 x 219
Luego x
219 73
990 330
Verifique que x 1,132444 1
149
.
1125
El pasaje de una expresión decimal periódica, puede hacerse también siguiendo las reglas
siguientes:
1) Una expresión decimal periódica pura es igual a la fracción cuyo numerador es el
período, y el denominador, el número formado por tantos 9, como cifras tenga el
período. (parte entera nula).
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“MATEMÁTICA”
2) Una expresión decimal periódica mixta es igual a la fracción cuyo numerador es la
parte no periódica seguida del periodo menos la parte no periódica, y cuyo
denominador está formado por tantos 9 como cifras tenga el período seguidos de
tantos ceros, como cifras tenga la parte no periódica. (parte entera nula).
Si el período es 9, se suprime toda la parte periódica y se suma uno a la cifra anterior.
EJEMPLO: 3,259999 3,26
3. Los números irracionales
Los números cuya representación decimal es indefinida y no periódica no son racionales, no
pueden ser expresados como cociente de dos números enteros, se llaman números
i a io ales. Los a io ales so
o
e su a les , los i a io ales, o lo so .
2 2,41421356; el número 3,14159 , que expresa la relación
Son irracionales
entre la longitud de una circunferencia y su propio diámetro,
e 2,718281828459045
3
5 1,709975
; el número
4. Los números reales
La unión entre el conjunto de los números racionales y el de los
irracionales, da por resultado el conjunto de los números reales.
4.1 Representación de los números reales en la recta numérica
Sea el número real
iguales
a
1.
Por
2 (irracional). Construimos un triángulo rectángulo isósceles de catetos
corolario
12 12 1 1 2
del
Teorema
de
Con esa medida, representamos en la recta el número
Pitágoras,
la
hipotenusa
mide:
2.
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“MATEMÁTICA”
Ejercicio
2
Represente en la recta numérica los números:
(Ayuda: 13 4 9 2 2 32 ; 3 2 1
13 ; 3 .
2
12 .)
Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia según la cual, a
cada número real le corresponde un punto de la recta, y, recíprocamente, a cada punto de la
recta le corresponde un número real. El conjunto
es también un conjunto denso, porque
entre dos números reales cualesquiera existe otro número real.
EJERCICIOS
1) Escriba V o F en
, según la proposición sea verdadera o falsa:
a) Todo número entero es racional.
b) Entre dos números enteros cualesquiera, existe siempre otro número entero.
c) El conjunto de los enteros es denso.
d) El conjunto de los racionales y el de los irracionales son disjuntos. (conjuntos disjuntos
son los que no tienen elementos comunes).
2) Exprese como fracciones: a) 0,1999 ; b) 3,219999 ; c) 10,99999 Analice los
resultados y formule su propia conclusión.
3) Escriba como número decimal y clasifique la expresión que obtenga: a)
15
3
77
; b)
; c)
.
24
11
36
4) Ordene de menor a mayor: 0; -3; -7; 21; -34; 12; 4.
5) Ordene de mayor a menor: 0; 0,25; -1,2;
6; 2;
1
.
7
CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 2013 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS
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“MATEMÁTICA”
5. El conjunto de los números complejos
En el conjunto de los números reales, una ecuación como la siguiente, no tiene solución:
x 2 1 0 . “í ue e os despeja
x , llegamos a: x 2 1 , y no existe ningún número real
cuyo cuadrado sea igual a -1. Para dar solución a expresiones como esa, se crearon los
ú e os i agi a ios. La u idad i agi a ia es i . La u ió del o ju to de los eales el de
los imaginarios, da por resultado el de los números complejos. La unidad imaginaria i , es el
complejo tal que su cuadrado es igual a -1.
En el conjunto C tienen significado las raíces de índice par de números negativos
1 i pues, por definición i 2 1
6. Operaciones con números reales
6.1 Valor absoluto de un número real
DEFINICIÓN
El valor absoluto de un número real x es el número real, que indicamos
x, si x 0
x
x, si x 0
EJEMPLOS
a)
b)
c)
x , tal que:
0 0 porque 0 0 .
- 2,4 2,4 2,4 porque 2,4 0 .
5,25 5,25 porque...............................
6.2. Adición de números reales
PROPIEDADES
Si a, b y c son números reales, se cumplen las siguientes propiedades:
1. La suma de dos números reales es otro número real: a + b es un número real. (ley de
cierre)
2. Asociativa: ( a + b) + c = a + ( b + c)
3. Conmutativa: a + b = b + a
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“MATEMÁTICA”
4. Existencia de elemento neutro: existe el número real 0 (cero) tal que a + 0 = 0 + a = a
5. Existencia de elemento opuesto: para todo número real a distinto de cero existe (-a) tal
que a + (-a) = 0 .
EJEMPLOS
a)
2 3 2 3 2.5 3.3 10 9 1
3 5 3 5
15
15 15
b) (12) 12
4
9
c)
d
4
9
4 108
112
4
12
9
9
9
3 2 45 2 48 2
,
…-
4 3 4 1 4 5 4.3 5 12
7
=
5 9 5 3 5
15
15
15
6.3 Diferencia o sustracción de números reales
Es la operación inversa de la suma.
DEFINICIÓN
Dados dos números reales a y b, la diferencia es el número real que se obtiene sumando al
primero el opuesto del segundo: a – b = a + (-b)
EJEMPLO
3 7
3 7 12 7
5
2 8
2 8
8
8
Cuando en una expresión figuran términos encerrados entre paréntesis ( ), corchetes
llaves
o
, para efectuar las operaciones se quitan previamente esos símbolos teniendo en
cuenta que cuando están precedidos por un signo +, se conservan los signos de los términos
encerrados; y si están precedidos por un signo negativo, se cambian los signos de todos los
términos encerrados. Cuando en una expresión figuran términos agrupados por esos tres
símbolos, se los elimina ordenadamente, comenzando por los símbolos que se encuentran en
el interior, y, si corresponde, reduciendo los términos semejantes.
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“MATEMÁTICA”
EJEMPLO
2 2 5
2
2 2
5
2
3 2 3 2 =
5 3 4
3
5 3
4
3
2 2
5
2
2 4
5 24 80 300 75 121
1
3 2 5
2
5 3
4
3
5 3
4
60
60
60
6.4. Multiplicación de números reales
PROPIEDADES
Si a, b y c son números reales, se cumplen las siguientes propiedades:
a) Ley de cierre: el producto de dos números reales es otro número real.
b) Asociativa: (a .b).c = a.(b .c)
c) Conmutativa: a. b = b. a
d) Existencia de elemento neutro: existe el número real 1(uno) tal que a.1=1.a = = a
e) Existencia de inverso: para todo número real a distinto de cero, existe el inverso
1
tal
a
que a. . a 1 Al inverso de a se lo expresa también a 1 .
1 1
a a
f)
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: a (b + c) = a . b + a . c
REGLA DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN
+
+
EJEMPLOS
a)
b)
c)
x
x
+= +
- = -
3 5 4 6
35 4
12 4 : 6
4 3 5
42 : 7 2 6
4 3 6 10
-
x
x
+ = - = R:
R:
R:
39
19
8
19
1
4
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“MATEMÁTICA”
6.5. División de números reales
DEFINICIÓN
Dados dos números reales a y b, con b distinto de cero, el cociente a : b es el número real c tal
que el producto c . b = a.
Para efectuar la división, multiplicamos a por el inverso de b.
EJEMPLO
3
5
(6) : 6 10
5
3
6.6. Potenciación
DEFINICIÓN
Si a es un número real positivo, la enésima potencia de a es: a n a.a.a.a.....a (n factores a) ;
si n = 1 es a1 a ; si n 0 es a 0 1
a es la base de la potencia, n es el exponente. Si la base es negativa y el exponente es un
número par, la potencia es positiva; si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia
es negativa.
EJEMPLOS
2 2 2 2 8
3 3 3 3 27
(3)3 27
3
(5)4 625
DEFINICIÓN
Si a es distinto de cero y n es un entero positivo, entonces se define a n
1
con a 0 .
an
LEYES DE LOS EXPONENTES
Si m y n son números enteros, las siguientes propiedades llamadas leyes de los exponentes, se
demuestran a partir de las definiciones anteriores:
a) a m a n a m n
d)
(a b ) n a n b n
b)
e)
am
a m n , si a 0
an
c)
a a
m n
mn
n
a a
n , sib 0
b b
n
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16
“MATEMÁTICA”
Explique las propiedades expresadas anteriormente.
EJEMPLOS
a) 2 x x 5 (2)3 x3 x 5 8 x3 5 8 x 2
3
8 6 9
2
2
b) a 2 b3 a 6 b9
a b
27
5
3
3
8
x2
3
EJERCICIOS
1) Efectúe los cálculos y escriba cada expresión de manera que todos los exponentes sean
positivos.
2 x3 y 3
a)
4
2
5x y
7 a 4 b 4
b)
2 2
2a b
1
2
3 x 3 y 4
c)
2 6
10 x y
1
RESPUESTAS
a)
5 5
xy
2
4 b12
49 a 4
b)
c)
10 5 2
x y
3
2) Escriba el valor de x que haga verdadera cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 3 3 3
x
5
8
b) 2
2 2
5
x
9
43
c ) x 45
4
6.7. Radicación. Potencias de exponentes fraccionarios
DEFINICIÓN
Si a es un número real y n es un número entero positivo mayor o igual que 2, la raíz enésima
de a es el número x, tal que x n a .
n
a x si y sólo si x a
n
Si a es positivo, entonces x es positivo y se llama raíz enésima principal de a.
Si a es negativo y n es un número par, entonces la raíz enésima no es un número real.
Si a es negativo y n es un número impar, entonces x es negativo.
Si x =0, entonces
n
0 0
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17
“MATEMÁTICA”
EJEMPLOS
3
343 7 porque (7)3 343
3
8 2 porque 23 8
4 no es un número real porqueel índicees 2, número par, y el radicando es negativo.
25 5 porque 52 25
Observación: Si bien (5)2 25 se conviene en que la raíz
cuadrada de 25 es 5. También se la llama raíz cuadrada principal de 25.
REGLAS PARA LA RADICACIÓN
Si las raíces son números reales, entonces:
a) Para la multiplicación:
b) Para la división:
c)
m n
a
mn
n
a
n
b
n
n
a n b n a b
a
b
si b 0
a
Enuncie las propiedades expresadas anteriormente.
EJEMPLOS
a)
b)
3
2
3
4 3 8 3 23 2
18 x5 y 4 2.32. x5 y 4 3 x 2 y 2 2 x
c) 4 90 3 10 9 40 4 2.32.5 3 2.5 9 23 5
c)
12 10 3 10 18 10 3 10
d) Simplifique la expresión:
4
x2 y 2
81 x8 y 7
Rta.
1
3x y
4
1
2
x y
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18
“MATEMÁTICA”
Potencias de exponentes racionales
DEFINICIÓN
Si a es un número real y n es un número entero mayor o igual que 2, entonces a1/n n a ,
siempre que exista
conjunto
n
a , dado que si n es par y a es negativo, la expresión
n
a no existe en el
.
DEFINICIÓN
Si a es un número real y m y n son números enteros primos entre sí (significa que el máximo
común divisor es 1) con n 2, entonces:
a m/ n n a m
a
n
m
siempre que exista
EJEMPLOS
3 2
53
125 3 3 5
3 3
3
2
8
2
16
b)
81
3/4
256
625
1/4
a
5 2 25
2
4
2
2
a)
n
24
4 4
5
4
28
2 4 6
4
5 5 5
5
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Dada una expresión fraccionaria en la que figuran radicales en el denominador, se acostumbra
escribir una fracción equivalente que no contenga radicales en el denominador. Este proceso
se denomina racionalización de denominadores. Para obtener una fracción equivalente se
multiplica el numerador y el denominador por la misma expresión.
EJEMPLOS
a)
5
3
c)
4
2 3
5 3
3 3
3
5 3
2
4( 2 3)
5 3
3
(2 3) (2 3)
b)
84 3
22
3
2
2
3
9
2
3
32
23 3
3
32 3 3
23 3
3
33
23 3
3
84 3
8 4 3
43
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19
“MATEMÁTICA”
EJERCICIOS
5 2 4 3 5 3 4 7
1) Calcule:
a)
b)
2 3 6 5 2 7 4
c)
1
3
3
2 5 1
2
2
25
2) Plantee y halle el resultado:
a) A la suma de -4 más 10, réstele la diferencia entre 9 y -2.
b) Reste 20 a la suma entre 8, -5 y 12.
c) A la suma entre -13 y -4, reste la diferencia entre -8 y el opuesto de
3) Efectúe los cálculos:
a) 10 3 2 4 5
b) 2 5 2 5
c) 10 12 6 4 7 2
d) 2 7 3 2 7 3
4) Si a y b son números reales, puede demostrarse que se cumplen las propiedades:
a) a b a b
b) a b a b
c) a b a b
Se pide:
a) Exprese con palabras las propiedades simbolizadas.
b) Muestre que se verifican para: a 2 y b 5 ; a 12 y b 10 .
5) Si A , 2 ,
2
4
, , 20, 16 diga cuáles elementos son números enteros;
3
5
enteros negativos, racionales, irracionales.
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20
“MATEMÁTICA”
6) Efectúe las siguientes operaciones, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación
con respecto a la adición:
a)
2 4 2a 3x 5 9 5a x
R: 53 29a 11x
b) 10 4 x 3 y 6 x y 2
c)
d)
e)
R: 34 x 36 y 12
2a b a 2b
R: 2a 2 5ab 2b 2
1 a b 1 a b
R: 1 a 2 b 2 2ab
5 a 5 a
R: 25 a 2
7) Señale la respuesta correcta: 1 3a 22
a) 3 9a 2
b) 5 3a
c) 5 12a 9a 2
8) Plantee y efectúe las siguientes operaciones:
a) El cuadrado de la suma entre a y b .
b) El cuadrado de la diferencia entre a y b
c) El cubo de la suma entre a y b .
d) El cubo de la diferencia entre a y b .
R: a 2 2ab b 2
R: a 2 2ab b 2
R: a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3
R: a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3
e) El cuadrado de la suma entre a y el R: a 2 2ab 2 b 4 a b 2
cuadrado de b .
f) El cuadrado de la diferencia entre 2 y el
R: 4 4 x 3 x 6 2 x 3
cubo de x .
g) El cubo de la diferencia entre el doble de
R: 2 x 3 y 2
x y el triplo del cuadrado de y .
3
2
2
8x 3 36 x 2 y 54 xy 4 27 y 6
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21
“MATEMÁTICA”
9) Efectúe las siguientes operaciones:
a) 2
1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4 4 5
R:
b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4 4 5 5 6
9
5
R:
5
6
c)
R.
1
6
R:
1
4
R:
1
8
d)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 3 3 4 4 5 5 6
42 : 7 2 6
4 3 6 10
1
2
e) 2 2 3 2 5
f)
2
2 x 2 y 3 3xy 4
R: 6 x 3 y 7
R: 6 x 3 y 7
g) 36 x 4 y 2 : 12 x 3 y 3
1 2
2 1
h) 3a b : 4a b
2 2 4 3 4
a b : a b
3
5
3
i)
j)
k)
l)
R:
3 3 3
a b
4
R:
25 5
b
54
R:
1
2
2
21 / 2 2 3 / 2 2 0
1,29 0,73 2,5
0,125 0,45 0,075
0,75 0,625
R:
47
90
2
10) Las su as ue figu a e los íte s a
R: 16
del eje i io se lla a
su as teles ópi as . “e
pide: escriba la suma telescópica de cuatro binomios si 3 es el minuendo del primer
binomio y el resultado de la suma es
20 . Verifique su respuesta.
3
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22
“MATEMÁTICA”
11) Exprese como potencia de exponente fraccionario, o como raíz, según corresponda:
R: b 2
b4
)
a) 2 x
12
3
b)
4
c)
a
2
2 x
R:
35
R:
b2
d) 1 a 3
3
2 32
e) x 3 4
5
27
64
R: a 2 b 2
R: 1 a 3
R:
4
32
3
x3
12) Efectúe las operaciones:
a)
32 5 18 50 2 98
b) 5 12 108 2 75 675
R: 20 2
R: 3
13) Racionalice los denominadores:
a)
3
2
b)
2a
a
c)
2x
4x
d)
f)
R:
R.
a b
a b
2
(2 a) a
a
R.
x
R:
10
ab
10
ab
3
2
R:
ab
a b
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23
“MATEMÁTICA”
5a
g)
h)
i)
a b
4 x2
2 x
25 x 2
5 x
x y
x y
a b
5a
a b
R:
4 x2
2 x
4 x
R: (5 x) ( 5 x )
14) Señale la expresión correcta:
i)
R:
ii)
x y
x y
x y
iii)
x y
x y
15) Racionalice el numerador:
x 7
x 21
R.
x 49
( x 21) ( x 7)
16) Racionalice el numerador y simplifique, si es posible:
x 1
2
x 2 x 1
R.
1
x 1
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24
“MATEMÁTICA”
PROBLEMAS
1) Albert Einstein determinó que si un cuerpo en reposo de masa m0 viaja a velocidad
cercana a la de la luz, su masa aumenta, y si llamamos m a la masa aumentada resulta
m
m0
1
v2
c 2 donde v es la velocidad del objeto en movimiento y c es la velocidad de la
luz.
En un acelerador utilizado en un tratamiento terapéutico las partículas viajan a velocidad v =
0,98 c (es decir: 0,98 de la velocidad de la luz).
Encuentre la relación entre la masa m y la masa en reposo m0 .
SOLUCIÓN
La velocidad de la luz es v = 300 000 km/seg. Como se pide la relación entre las
masas y
conocemos la relación entre las velocidades simplemente podemos sustituir directamente en
la fórmula.
m
m0
v
1 2
c
2
=
0,98 c
1
m0
2
c2
m
m0
1 0,96
0,98
1
m0
2
c2
c2
1 0,98
m0
2
m0
m
0 5 m0
0, 04 0, 2
RESPUESTA
La masa es igual aproximadamente a 5 veces la masa inicial.
2) Se espera que la población P de una ciudad (en miles) crezca de acuerdo a
P
221 3t
, donde el tiempo t está medido en años.
15 3t 4
a) Simplifique la expresión anterior, racionalizando previamente el denominador.
b) Calcule la población de la ciudad dentro de 4 años.
c) Calcule el tiempo que debe transcurrir para que la población sea al menos de 25 000
habitantes.
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25
“MATEMÁTICA”
3) Un estudio del medio ambiente de una comunidad, sugiere que el nivel promedio diario
Q
de smog en el aire será
0,5 p 19, 4
0,5 p 19, 4
unidades cuando la población sea p (en
miles).
a) Racionalice la expresión de Q .
b) Determine el valor exacto de la expresión anterior cuando la población sea de 9 800
habitantes.
4) Algunas veces los pediatras usan la fórmula C
SA
a fin de calcular una dosis
3
de
medicamento apropiada para un niño cuya área superficial es S (en m2) cuando la dosis del
adulto es A (en mg). A su vez el área corporal de un niño se calcula con la fórmula
S 0,0072 W 0,4 H 0,7 , donde W es el peso del niño (en kg) y H su altura (en m).
a) Racionalice la fórmula para calcular C.
b) Exprese la fórmula para S utilizando radicales.
c) Calcule la dosis para un niño de 91 cm que pesa 18 kg, si para un adulto la dosis es de
250mg (encuentre primeramente el valor exacto y luego el valor aproximado a los
milésimos)
5) La relación longitud-peso de una ballena está dada aproximadamente por W 0,0016 L2,4 ,
donde W es el peso en toneladas y L su longitud en pies.
Calcule la razón entre los pesos de dos ballenas, si la longitud de una de ellas es el doble de la
otra. (Dé el valor exacto, como radical, y el valor aproximado al entero más cercano)
RESPUESTAS
Problema 2
a) P 15 3t 4
b) P = 19 000
c) 32 años
Problema 3
a)
0,5 p 19,4
b)
24,3
Problema 4
a) C
SA 3
; b) 0,0072 10 W 4 H 7 ; c) 0,0072 10 W 4 H 7 , 1,785
3
5) 4 5 4 ; 5
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26
“MATEMÁTICA”
Notación científica
La notación científica es una manera concisa para escribir números muy grandes o muy
24
pequeños. Ejemplos: 5,98 10 kilogramos es la masa aproximada de la tierra; la masa de un
protón es 1,67 10
27
kilogramos.
Un número positivo está escrito en notación científica si tiene la forma a10n donde
1 a 10 y n es un número entero.
La conversión de la notación científica a la estándar se efectúa de la siguiente manera:
Si n es positivo, se corre la coma decimal n lugares hacia la derecha.
Si n es negativo, se corre la coma decimal n lugares hacia la izquierda.
EJEMPLOS
7,025 103 = 0,007025
1,15 104 = 11500
EJERCICIOS
1) Escribir en notación científica:
a) (3,54 102 ) (5,273 10 )
6
b)
(2,16104 )(1, 2561012 )
3,17 1018
c)
100 256 000
d)
0,0225
RESPUESTAS
5
a) 1,87 10
6
b) 8,56 10
c)
1,00256
108
d) 2,25 103
2) Escribir en notación estándar:
a) 9,108 103
b) 5,001 10
6
c) 2,15645 104
d) 7,26 102
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27
“MATEMÁTICA”
Uso de la calculadora
Al introducir un número en notación científica, por ejemplo 1,125 10 , aparece en la
6
pantalla 1125000. Al introducir 1,125 10 , aparece 1.125 seguido de un espacio y luego 15, o
15
también 1.125E15, dependiendo del modelo de calculadora.
Si el exponente es negativo, como en 1,125 1015 , aparece 1.125 seguido de un espacio y
luego -15, o también 1.125E-15.
EJERCICIOS
1) Calcule cada expresión. Escriba la respuesta en notación científica y redondee el resultado
usando tres dígitos significativos.
a) (3,54 102 ) (5,273 10 )
6
(2,16104 )(1, 2561012 )
b)
3,17 1018
5
R: 1,87 10
6
R: 8,56 10
2) La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4.108 metros. Exprese esa
distancia como un número entero. ¿Cómo se lee?
3) La nanotecnología es un campo de las ciencias aplicadas dedicado al control
manipulación de la materia a una escala menor que un micrómetro (10
-6
y
m). Lo más
habitual es que tal manipulación se produzca en un rango entre uno y cien nanómetros.
El prefijo nano indica 10-9, un nanómetro equivale a 10-9 metros:
a) Exprese la equivalencia 1 n m = 10-9 m sin emplear notación científica.
b) Ciertos dispositivos conocidos como nanobots tienen un tamaño de unos 50 nanómetros.
Exprese este valor en metros utilizando notación científica.
4) Durante el año 2011, Argentina realizó exportaciones a Brasil por un monto aproximado
de 17.500 millones de dólares. Exprese este monto utilizando notación científica.
5) El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrió 567 millones de km para aterrizar
en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 días de su partida. Exprese
en km la distancia recorrida usando notación científica.
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28
“MATEMÁTICA”
TEMA 2: RAZONES Y PROPORCIONES
1. Razón entre dos números
DEFINICIÓN
Dados dos números a y b distintos de cero, se llama razón al cociente exacto de los mismos.
Se expresa
a
.
b
EJEMPLOS
La razón entre 3 y 6 es
3 1
1 4
5
; entre -6 y 3 es -2; entre y es .
2 5
8
6 2
2. Proporciones
DEFINICIÓN
a c
Una proporción es la igualdad entre dos razones: b d . a y b son, respectivamente,
antecedente y consecuente de la primera razón; c y d , de la segunda. También: a y d son
los términos extremos; b y c , los términos medios.
EJEMPLO
15 30
8 16
2.1. Propiedad fundamental de las proporciones
a c
Sea la proporción b d ; multipliquemos ambos miembros por b d y obtendremos otra
igualdad:
a
b d c b d . Simplificando: a d c b
d
b
PROPIEDAD
En toda proporción, el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos
medios.
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29
“MATEMÁTICA”
EJERCICIOS
1) Calcule el valor de x en las proporciones:
a)
b)
x 7
5 9
R:
0,2 10
4
x
R:
c)
35
9
2
25
R:
1
1
2 0,2 4
1 0,5
x
12
2,4
5
2) A partir de una proporción, pueden expresarse otras siete proporciones, por ejemplo,
a c
d c
permutando los términos extremos: Si b d , entonces: b a . Deduzca las otras seis.
3) Dada
15 30
:
8 16
a) Pruebe que es una proporción.
b) Encuentre las otras siete que pueden formarse.
a c
ab cd ab cd
c ; b
d . la su a de
4) Puede demostrarse que si b d , entonces a
antecedente y consecuente de la primera razón es a su antecedente (o consecuente)
como la suma de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su antecedente (o
o se ue te .
También se prueban:
a b cd a b cd
a
c ; b
d
a b c d a b cd
a b cd ; a b c d
a) Aplique y verifique las propiedades enunciadas en el ejercicio 4, a partir de
12 36
.
25 75
CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 2013 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS
30
“MATEMÁTICA”
a b
b) Si a , b y c son números positivos, y b c , entonces se dice que b es el medio
proporcional entre a y c ; también que b es la media geométrica entre a y c . Se
tiene b 2 ac b ac .
c) Halle la media geométrica entre: 4 y 9; 60 y 15
; 7 y 14
Para dos números positivos cualesquiera a y c , la media aritmética es
geométrica es
ac
y la media
2
ac .
Complete la tabla, consignando la media aritmética y la media geométrica de los números
dados.
NÚMEROS
ac
2
ac
9 y 16
12 y 75
26 y 9
63 y 28
3. Serie de razones iguales
DEFINICIÓN
Una serie de razones iguales es la igualdad de dos o más razones.
a c
m
b d
n
PROPIEDAD
En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes,
como
uno
cualquiera
a c m a
b d n b
de
los
antecedentes
es
a
su
respectivo
consecuente.
EJEMPLO
Exprese una serie de razones iguales (de cuatro razones) y compruebe la propiedad.
La defi i ió de t iá gulos se eja tes es: dos t iá gulos so se eja tes si tie e sus á gulos
o g ue tes sus lados p opo io ales .
La p opo io alidad de los lados del t iá gulo se e p esa
edia te u a se ie de azo es
iguales .
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31
“MATEMÁTICA”
4. Magnitudes Proporcionales
El peso de un cuerpo, la longitud, el tiempo, el volumen, la superficie, la velocidad, el trabajo,
so
ag itudes . De esas
ag itudes, pode os da
a tidades . Po eje plo: de la
magnitud tiempo: 4 horas; de la magnitud longitud: 25 centímetros.
DEFINICIÓN
Dos magnitudes son directamente proporcionales, si a una cantidad de una de ellas
corresponde una única de la otra, y si una cantidad de una de ellas se multiplica o divide por
un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número.
EJEMPLOS
a) La longitud de una cinta y el precio: si 8 m de cinta cuestan $ 24 , entonces 40 m=
8 m 5 costarán $ 120 .
b) La longitud de una circunferencia y la longitud del radio. Sabemos que la longitud de la
circunferencia está dada por la fórmula L 2 r . Si el radio se multiplica por 6 (por
ejemplo), la longitud de la circunferencia será 6 L .
c) En la fórmula 2 r
la o sta te de p opo io alidad es 2
. Como 2r es igual al
diámetro de la circunferencia, podemos expresar L d , y aquí, es la constante de
proporcionalidad entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
DEFINICIÓN
Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si a una cantidad de una de ellas
corresponde una única de la otra, y si a una cantidad de una de ellas se la multiplica, o divide
por un número, la otra queda dividida o multiplicada, respectivamente, por ese mismo
número.
EJEMPLO
40
km
h y tarda 6 horas en recorrer cierta
Si un automóvil lleva una velocidad constante de
distancia, recorrería esa misma distancia en 3 horas, si la velocidad fuera constante, de.
80
km
h
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32
“MATEMÁTICA”
OBSERVACIÓN: d = v t En el enunciado se considera "constante" a la distancia. Luego, si d es
constante, la velocidad es inversamente proporcional al tiempo: v
inversamente proporcional a la velocidad: .
t
d
y el tiempo es
t
d
v
EJERCICIOS
1) Si y varía directamente con x e y = 32 cuando x = 14, encuentre y cuando x = 49.
SOLUCIÓN
Por tratarse de magnitudes directamente proporcionales, podemos expresar:
32 y
32.49
y
112
14 49
14
2) Supóngase que s varía inversamente con respecto al cuadrado de t y que s =3 cuando
t = 9. Encuentre a) la constante de proporcionalidad; b) la fórmula de s en función de t; c)
s cuando t = 15, d) t cuando s = 12.
SOLUCIÓN
a) s
b) s
c) s
d)
k
k
k
; la constante es k = 3.81 = 243 ;
; 3 2 , 3
2
9
81
t
243
t2
243 243
81
;
; s
2
15 225
25
t2
81
9
243 2 243 2 81
; t 4,5
;t
;t
; t
4
2
s
12
4
3) Si y es directamente proporcional a x 2 , y sabemos que y 9 cuando x 2 ,
determine y cuando x 3 .
4) Se sabe que y es inversamente proporcional a x . Cuando x 3 es y 8 . Encuentre
y cuando x 5 .
5) La pupila del ojo humano es casi circular. Si la intensidad de la luz I que entra es
directamente proporcional al área de la pupila, exprese I como función del radio de la
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33
“MATEMÁTICA”
pupila. ¿Cómo se ve afectada la pupila cuando se duplica la intensidad de la luz? Ayuda:
el área de la pupila A = r 2 ; la intensidad de la luz es directamente proporcional al área
de la pupila: I k r 2 .
DEFINICIÓN
Proporcionalidad conjunta: cuando la cantidad variable Q es proporcional al producto de dos o
más cantidades variables puede decirse que Q varía conjuntamente con estas cantidades.
1) Exprese cada enunciado como una ecuación utilizando k como la constante de
proporcionalidad.
a) r es directamente proporcional a m 2 e inversamente proporcional a t .
b) a es directamente proporcional a b 2 e inversamente proporcional a c 3 .
2) La fórmula del área de un triángulo es: A
b.h
, siendo b la base y h la altura.
2
Exprese con palabras la proporcionalidad que describe la fórmula. ¿Cuál es la constante
de proporcionalidad?
3) Según la Ley de Gravitación de Newton, la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas
m1 y m2 queda expresada por F
k m1 m2
donde k es una constante y
d2
d es la distancia entre las masas.
Diga cómo cambia la fuerza F si:
a) las masas se duplican y la distancia permanece constante.
b) las masas permanecen constantes y la distancia se reduce a la mitad.
c) las masas se duplican y la distancia se reduce a la mitad.
4) Sabemos que a es directamente proporcional a b 2 e inversamente proporcional a c 3 . Si
a 17,8 cuando b 8,3 y c 1,4 ; encuentre a cuando b 0,9 y c 1,3 .
5) El volumen de la esfera varía directamente con respecto del cubo de su radio de acuerdo
4
V r3
3
con la fórmula
. ¿Qué le sucede al volumen cuando se triplica el radio de la
esfera?
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34
“MATEMÁTICA”
6) La fuerza destructiva de un auto en un accidente automovilístico se puede describir en
forma aproximada, diciendo que F (la fuerza destructiva) varía conjuntamente con
respecto del peso del auto W y del cuadrado de la velocidad v del auto. ¿Cómo se
afectaría F si:
a) se duplica la velocidad del auto?
b) se duplica el peso del auto?
7) Utilice la ecuación dada para describir con palabras la forma en que la variable del lado
izquierdo de la ecuación varía con respecto a las variables del lado derecho. ( k es una
constante).
a) S 2 k r h (superficie del cilindro)
c) V k r 2 h (volumen del cilindro)
e) C = 2 r (longitud de la circunferencia)
g) V r 2 h (volumen del cilindro)
k x3
z
M
0,9
x y2
d)
b)
f)
h)
y
M 0, 4
x2 y3
z
M 0, 2
x y3
z2
4.1. Problemas de regla de tres simple
Los llamados problemas de regla de tres simple, se refieren a magnitudes proporcionales.
EJEMPLOS
1) Un obrero gana $ 300 por 28 días de trabajo. ¿Cuánto cobraría por 15 días?
28 días..................................... $ 300
15 días..................................... x
Las magnitudes involucradas son directamente proporcionales. Entonces:
entonces
28 días $ 300
15 días
x
x
15 días $ 300
28 días
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35
“MATEMÁTICA”
2) En una fábrica, 20 máquinas realizan cierto trabajo en 1400 horas. ¿Cuánto tardarían en
efectuar ese mismo trabajo 35 máquinas?
20 máquinas ........................... 1400 horas
35 máquinas ........................... x
Las magnitudes involucradas son inversamente proporcionales.
x
entonces
20 máq.
x
35 máq. 1400 h
x 800 horas
20 máq. 1400 h
35 máq.
4.2. Porcentaje
EJEMPLOS
1) El siguiente es un problema de proporcionalidad directa: Si un comerciante vende a $
5220 un televisor de $ 4500 de costo. ¿Cuánto gana por cada $ 100 de esa venta?
SOLUCIÓN
La ganancia por la venta en $ 5220 de un televisor de $ 4500 de costo es la diferencia: $720
$4500 ........................................... $ 720
$ 100 .......................................... x
entonces
4500 720
720.100
; x
16
100
x
4500
x $ 16
Por cada $ 100 de costo, gana $ 16 . Decimos que la ganancia es del 16 % del costo.
2) Calcular el 15 % de $ 300 .
$ 100 .......................................... $ 15
$ 300 .......................................... x
entonces
$ 100 $ 15
$ 300
x
x $ 45
x
$ 300 $ 15
$ 100
3) Justifique que el r % de una cantidad x puede hallarse directamente haciendo:
r
rx
r
de x =
.
x
100
100
100
a) Hallar qué porcentaje es 30 de 120.
b) Hallar qué porcentaje es 300 de 150.
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36
“MATEMÁTICA”
4)
Por pago en efectivo de una compra, en un supermercado, se efectúa el 5 % de
bonificaci6n. Si se hace una compra por un valor de $ 125,80 , ¿cuánto habría que pagar?
5)
El día 14 de septiembre del 2003 se depositaron $60.000 a plazo fijo, a 30 días, con el 12%
de interés anual.
a) Calcular el interés y el importe a cobrar al final del plazo.
b) Si al vencimiento se agregaron $30.000 al monto resultante y el total se impone
nuevamente a 30 días en las mismas condiciones. Calcule el interés y el capital
obtenido al finalizar la operación.
R: a) Interés: $592; Importe a cobrar: $ 60.592.
R: b) Interés: $894; Importe a cobrar: $ 91.486.
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37
“MATEMÁTICA”
TEMA 3: POLINOMIOS
La expresión algebraica 5x 3 3x 2 2 x 1 es un polinomio en la variable x y coeficientes 5,
3, -2, 1.
Este polinomio tiene cuatro términos: 5x 3 , 3x 2 , 2 x , 1. Cada uno de los términos es un
monomio.
Los números 5, 3, -2, 1 son los coeficientes y los exponentes de la variable son números
enteros no negativos. El grado del polinomio es 3 porque es el mayor exponente de la variable.
La expresión 5x1 5 4 x 2 no es un polinomio porque los exponentes de la variable no son
números enteros no negativos.
DEFINICIÓN
Se llama polinomio en la variable x y coeficientes a0 , a1 , a2 ,...., an a la siguiente expresión:
P x an x n an1 x n1 an2 x n2
a1 x a0
Grado de un polinomio
Si en el polinomio P x es an 0 , el número n es el grado de P x .
Polinomio ordenado
Se dice que un polinomio está ordenado si los términos están escritos de manera que las
potencias de la variable figuren ordenadas en forma creciente o decreciente. También se dice
que el polinomio está escrito en forma estándar.
Está escrito en forma estándar el siguiente polinomio de grado n en la variable x :
an xn an1 x n1
a1 x a0 ; con a n 0
o bien: a0 a1 x an1 x n1 an x n ; con a n 0
an es el coeficiente principal. Si el coeficiente principal es el número 1 (uno), se dice que se
tiene un polinomio mónico.
Los coeficientes pueden ser números reales o complejos. En este curso operaremos con
polinomios de coeficientes reales.
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38
“MATEMÁTICA”
Polinomio completo
Un polinomio se dice completo si en él figuran todas las potencias de la variable, desde x 0
hasta x n . En caso contrario se dice incompleto.
Completar un polinomio significa escribir, con coeficientes cero, todos los términos que faltan.
Ejemplo: Para completar y ordenar el polinomio 2 x 2 1 3x5 7 x escribimos:
3x5 2 x 2 7 x 1 3 x5 0 x 4 0 x 3 2 x 2 7 x 1
Polinomio nulo
Se llama polinomio nulo o idénticamente nulo al que tiene todos sus coeficientes iguales a
cero. El polinomio nulo no tiene grado.
Ejemplo: 0 x3 0 x2 0 x 0
Polinomio constante
Un polinomio de grado cero es un polinomio constante. Ejemplo: P x 5
Igualdad de polinomios
Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos
semejantes, es decir, de los términos que tienen las mismas potencias de la variable, son
iguales entre sí.
3
2
3
2
Ejemplo: Son iguales los polinomios P x 3x 2 x x 1 y Q x 2 x x 3x 1
Algunos ejemplos de polinomios de coeficientes reales:
POLINOMIO
1
x 4 3x 2 5 x 1
2
3 9 x3 7 x 15x4
x x 7 x3 1
4 x 2 x3 7 x6
0 x 4 3x 3 x
0 x2 0 x 0
45
6
4
GRADO
ORDENADO
COMPLETO
4
Sí
No
4
0
6
6
3
no tiene
No
Sí
Sí
Sí
Sí
No
Sí
No
No
No
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“MATEMÁTICA”
1. Funciones polinómicas
Si
P x an xn an1 x n1
a1 x a0 , con
an 0 tiene coeficientes reales y
convenimos en que x representa a cualquier número real, el polinomio define una función
cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el codominio es ese mismo conjunto.
3
Si P x 2 x 3x 1 , la correspondencia que define esa fórmula, para algunos valores de
EJEMPLO
x , se ilustra en la tabla.
P x 2 x 3 3x 1
x
-1
2 3 1 2
0
1
12
1 4
1
0
2
11
2. Operaciones con polinomios
Los cálculos con polinomios se basan en las propiedades de las operaciones con números
reales porque los coeficientes son reales y la variable representa números reales, según hemos
convenido.
Llamaremos
x
al conjunto de todos los polinomios de coeficiente reales.
2.1 Adición
2
4
3
3
Para sumar los polinomios P x 4 x 7 x 2 x 2 y Q x 3x 5 7 x se los
completa y ordena. Luego conviene escribirlos encolumnados a fin de sumar los términos
semejantes.
7 x4
+
7 x4
n
n 1
Si P x an x an1 x
2 x3
7 x3
5 x3
4x2
4x2
0x 2
3x 5
3x 3
a1 x a0 y Q x bn x n bn1 x n1
b1 x b0 .
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40
“MATEMÁTICA”
n
n 1
Entonces: P x Q x an bn x an1 bn1 x
a1 b1 x a0 b0
El grado del polinomio suma no supera al grado del polinomio del sumando de mayor grado.
1) La suma de dos polinomios de coeficientes reales P x y Q x es otro polinomio
PROPIEDADES
(ley de cierre).
perteneciente también a ese conjunto:
2) Asociativa:
P Q R P Q R
3) Conmutativa: P Q Q P
4) Existencia de elemento neutro: existe el polinomio nulo
, tal que para todo
es P 0 0 P P .
5) Existencia de elemento opuesto: para todo polinomio P x distinto del polinomio nulo
existe el polinomio opuesto P x tal que P x P x 0 .
Ejemplo: el opuesto de 3x 2 5x 2 es 3x 2 5x 2 .
En efecto: 3x 2 5x 2 3x 2 5 x 2 0
2.2. Diferencia o sustracción
Para restar dos polinomios, P x y Q x sumamos a P x el opuesto de Q x .
P x es el minuendo y Q x es el sustraendo.
P x Q x P x Q x
1
2 3
x 5 x x 2 3 2 x 2 x3 5
2
3
Ejemplo:
Sumamos a P(x) el opuesto de Q(x):
2 3
x
3
x3
1
x3
3
1 2
x
2
2 x2
5 2
x
2
5x 3
5
5x 8
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41
“MATEMÁTICA”
2.3. Multiplicación
Para hallar el producto entre dos polinomios aplicamos la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma y la propiedad asociativa de la suma. El producto de
potencias de igual base es otra potencia de la misma base y exponente igual a la suma de los
exponentes de los factores: x m x n x mn .
a1 x a0 b1 x b0 a1b1 x2 a1b0 x a0b1 x a0b0 a1b1 x 2 a1b0 a0b1 x a0b0
El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los factores:
gr P x Q x gr P x gr Q x
4 x 2 x3 5x 2 x 6 4 x5 20 x 4 4 x3 24 x 2
EJEMPLOS
6x
3
6 x3
6 x5
6 x5
3x 7 x 2 x 2 x 1
x2
x2
x4
6x4
7 x4
3x
x
3x3
x3
6 x3
4 x3
7
1
7 x2
3x 2 7 x
x 2 3x 7
9 x 2 10 x 7
PROPIEDADES
1) El producto de dos polinomios pertenecientes a
es otro polinomio perteneciente a
ese conjunto. (Ley de cierre).
2) Asociativa: P Q R P Q R .
3) Conmutativa: P Q Q P .
4) Existencia de elemento neutro: existe el polinomio 1 (polinomio identidad) tal que para
todo polinomio P se cumple: P 1 1 P P .
5) Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: P Q R P Q P R .
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42
“MATEMÁTICA”
2.4. División
Dados dos números enteros, por ejemplo, 25 y 6, existen dos únicos números enteros, 4 y 1,
tales que 25 6 4 1 y 1 6 . La operación es la división
25
1
6
4
25 es el dividendo, 6 es el divisor, 4 es el cociente y 1 es el resto de la división. El dividendo es
igual al producto del divisor por el cociente más el resto, y el resto es menor que el divisor.
En el caso de la división de dos polinomios, dados dos polinomios P x y Q x con Q x
distinto
de
cero,
existen
dos
únicos
polinomios
C x
y
R x
tales
que
P x Q x C x R x , y el grado de R x menor que el grado de Q x o bien
R x 0 .
P x es el dividendo; Q x , el divisor; C x el cociente y R x , el resto de la división.
Para dividir dos polinomios procedemos como en el ejemplo:
2x
4
8x3 9 x 2 33x 10 : 2 x 2 6 x 3
2 x 4 8 x 3 9 x 2 33 x 10 x 2 x 5
2 x 4 2 x3 10 x 2
6 x 3 x 2 33x
2 x2 6 x 7
6 x 3 6 x 2 30 x
7 x 2 3 x 10
7 x 2 7 x 35
10 x 45
C x 2 x 2 6 x 7 ; R x 10 x 45 .
Pruebe que C(x) .Q (x) + R(x) = P(x)
2.5. Regla de Ruffini o división sintética
Para dividir un polinomio P(x) por un binomio de la forma x a podemos usar la Regla de
Ruffini, también llamada división sintética, que explicaremos mediante un caso particular: la
división de un polinomio de cuarto grado por el binomio x a .
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43
“MATEMÁTICA”
Se ordena y completa el polinomio dividendo. El cociente será un polinomio de tercer grado y
el resto será una constante o bien el número cero:
a x
4
4
a3 x3 a2 x 2 a1 x a0 : x a b3 x3 b2 x 2 b1 x b0 R
Se disponen los coeficientes del dividendo y el número a como figuran en el esquema.
El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.
Los siguientes coeficientes y el resto se obtienen, ordenadamente, sumando al coeficiente
correspondiente del dividendo, el producto del coeficiente del cociente, obtenido en el paso
anterior, por el número a .
b3 a4
a4
a3
a2
a1
a0
b2 a3 b3 a
b3
b2
b1
b0
R
b0 a1 b1 a
a
EJEMPLO
b1 a2 b2 a
R a0 b0 a
1) Divida 2 x 4 x3 2 x 2 3x 1 : x 1
2 1 2 3
1
2 1 3
2
1 3
1
0
0
1
C x 2 x 3 x 2 3x ; R x 1 .
2) Si el divisor es x a , hacemos x a x a .
EJEMPLO
Divida 4 x3 4 x 2 x 75 : x 3 .
Expresamos: x 3 x 3 .
3
4
4
4
1 75
12 24 75
8 25
0
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44
“MATEMÁTICA”
Cuando el resto es cero se dice que el dividendo es múltiplo del divisor y también que el
dividendo es divisible por el divisor. En el ejemplo, el polinomio dado es divisible por x 3
porque el resto es cero.
Podemos escribir 4 x3 x 2 x 75 : x 3 4 x 2 8x 25 .
El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente:
4 x3 x 2 x 75 x 3 4 x 2 8x 25
EJERCICIOS
1) Efectúe las siguientes operaciones:
3x
a)
b)
c)
d)
e)
3 4 3
1
1
3 1 2
2
5 x x 3x x 3x x
2
4 5
5
2
4x
2
5x 3 x 2 4 x 1
3 x 5 x x2 2 x2 1
2x 1 2x 6x 9 x
2
2
0,5x x 1, 2 1, 2 x 0,9
5x 3x x 1 : x x 1
x 3x 5x 2: 2x 1
2
g)
h)
j)
x 4 5x 2 x 1 6 x 7 x 4 2 x 2 2 x 4 x3 3x 2 2 x
3 1 2
2 2
3 x x 2 x 2 x 1
2
3
f)
i)
3
3
4
2
2
2
1 4 8 3 1 2
1
x x x 16 x 4 : x 3
3
2
2
2
RESPUESTAS
a)
b)
c)
d)
e)
7 x 4 4 x3 5 x 3
29 3 7 2 14
1
x x x
5
2
5
4
4 x4 21x3 27 x2 17 x 3
2 x5 8x4 15x3 26 x2 8x 15
2 x4 14 x3 31x2 24 x 9
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“MATEMÁTICA”
f)
g)
h)
i)
j)
1
5
5
2 x5 x 4 x3 x 2 2 x 2
3
3
6
0,6 x3 1,65 x2 2,34 x 1,08
C x 5x 8 ; R x 2 x 7
C x
1 3 1 2 13
27
59
x x x
R
2
4
8
16 ;
16
2
C x x3 x 2 5 x 2
3
; R 10
EJERCICIOS DE REVISIÓN
1) Efectúe las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
(2 x4 x3 x2 3) (3 x3 2 5 x2 6 x5 ) (4 3 x5 2 x 4 8 x 2 )
( 6 x6 2 x4 5 x3 7 x 3) (3 x5 2 x 4 5 x3 5 x 3)
2x 1 2x 6x 9 x
2
2
1 4 8 3 1 2
1
x x x 16 x 4 : x 3
3
2
2
2
2) Halle el polinomio que dividido por 5 x 2 1 da el cociente 2 x 2 x 2 y el resto x 2 .
R: 10 x 4 5x3 12 x 2
2
3
2
3
3) Encuentre a , b , c y d si: a a b x b c x dx 8 12 x 5x 10 x
R: a 8 ; b 4 ; c 9 ; d 10
4) Encuentre a , b , c y d tales que a x3 (a b) x 2 (a c) x d = 12 x3 3 x 2 3 x 4
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46
“MATEMÁTICA”
5) Ope a do o el segu do
a)
ie
o e ifi ue la fo
4 x3 5x 2 2 x 1 4 x 5 x 2 x 1
a a idada del poli o io:
b) 5x5 x 4 - 3x3 2 x 2 - x 4 5 x 1 x - 3 x 2 x -1 x 4
c)
4 x4 2 x2 x 1
4x
2
2 x2 1 x 1
d) 3x3 2 x 2 6 x 4 3x 2 x 6 x 4
6) Exprese en forma anidada y verifique:
a) 4 x 4
1 3
1
x 22 x
2
3
b) x5 2 x 4 x 2 2 x 4
1
3
c) x5 2 x3 3x 5
d) x6 5x5 3x2 2 x 4
7) Halle el cociente y el resto aplicando la Regla de Ruffini.
a) 2 x3 3x 2 4 x 5 : x 3
b) x5 x 4 x3 x 2 x 1 : x 1
4
3
2
c) x 2 x 3 x 4 x 5 : x 1
1
1
1
1
d ) x 3 27 : x 3 ; e) x3 27 : x 3
f ) x4 16: x 2 ; g) x4 16: x 2
h) x4 16: x 2 ; i) x4 16: x 2
2
a) C x 2 x 9 x 31 ; R 98
RESPUESTAS
4
2
b) C x x x 1 ; R = 0
c)
1
5
7
47
c) C (x) x3 x2 x ;R
2
6
12
60
4
3
2
d) C x 4 x 14 x 10 x 14 x 6 ; R 0
2
e) C x x 3x 9 ; R 0
f)
C x x 2 3x 9 ; R 0
3
2
g) C x x 2 x 4 x 8 ; R 32
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47
“MATEMÁTICA”
h)
i)
j)
; R0
C y y3 2 y 2 4 y 8 ; R 0
C y y 3 2 y 2 4 y 8 ; R 32
2.6. Divisibilidad de polinomios
Si el resto de la división de P x por Q x es cero se dice que P x es divisible por Q x .
En tal caso, Q x es divisor de P x .
En el ejercicio 6-h se ha probado que t 4 16 es divisible por t 2 ; en consecuencia,
podemos decir que t 2 es divisor de t 4 16 .
8) Determine si la primera expresión es divisor de la segunda.
a)
b)
c)
x2;
x4 3x3 5x2 2 x 24
x
2 x4 5x3 3x2 8x 12
x 5;
3
;
2
x3 2 x2 25x 50
Divisibilidad de una suma o una diferencia de dos potencias de igual grado por la
suma o la diferencia de las bases
Los ejercicios 6- ítems e, f, g, h, i, j proponen la división de una suma o de una diferencia de dos
potencias de igual grado (de igual exponente) por la suma o por la diferencia de las bases. El
resto resultó cero en d, e, g, h.
Generalizando podemos establecer las siguientes conclusiones:
x n a n es divisible por x a si n es impar.
x n a n nunca es divisible por x a.
x n a n es divisible por x a si n es par.
x n a n siempre es divisible por x a, sea n par o impar .
EJERCICIO
Verifique:
( x 4 a 4 ):( x a) x3 ax 2 a 2 x a 3
( x 4 a 4 ):( x a) x3 ax 2 a 2 x a 3
( x3 a 3 ):( x a) x 2 ax a 2
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48
“MATEMÁTICA”
2.5.1. Valor de un polinomio P(x) para x = a
Si en el polinomio P x 2 x 2 x 1 reemplazamos la variable x por un número real a,
obtendremos como resultado un número real que llamaremos valor de P(x) para x a .
Si x 1 , P 1 2
EJEMPLOS
Si x 4 , P 4 27
Si x 1 , P 1 0
El valor de un polinomio P x para x a es el número que resulta de reemplazar la
DEFINICIÓN
variable x por el número a .
Si el polinomio tiene coeficientes reales y a es un número real, el valor obtenido será real; si a
es un número complejo, el valor obtenido será complejo.
EJERCICIOS
4
3
2
1) Halle el valor de P x 3x x 3x x 2 para x 6 .
Observación: Puede expresarse P x en forma anidada para facilitar el cálculo:
P x 3x 1 x 3 x 1 x 2
Sustituimos x por 6 y el cálculo se realiza en forma sencilla. Si usamos la calculadora se
oprimen las teclas indicadas:
3 6 1 6 3 6 1 6 2 4004
4
3
2
Encuentre el valor de P x 2 x 3x 3x x 2 para x 1 ; x 2 y x 3 .
R: P 1 1 ; P 2 44 ; P 3 59
2) Exprese el polinomio
para x
P( x)
3 3
2
x 6 x2 x
2
3 en forma anidada y encuentre su valor
2
3
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49
“MATEMÁTICA”
2.6. Teorema del resto
Si dividimos un polinomio P x por un binomio de la forma x a , obtendremos un cociente
C x y un resto R tales que P x x a C x R . El resto R tendrá grado cero o
será el número cero.
Si reemplazamos x por a , es decir, obtendremos el valor del poli o io para x a .
P a a a C a R
P a 0 R
Luego P a R .
Hemos demostrado el teorema del resto o del residuo que puede enunciarse:
El resto de la división de un polinomio P x de grado mayor o igual que uno por un binomio
x a es igual al valor del polinomio para x a .
Otra forma de enunciar este teorema es:
El valor de un polinomio P x para x a es igual al resto de la división de P x por (
x a ).
3
2
El valor de P x x 5x 2 x 24 para x 2 es igual al resto de la división de P(x) por
EJEMPLO
x – 2.
3
2
En efecto: P 2 2 5 2 2 2 24 0
Calculemos el cociente y el resto usando división sintética:
1 5 2 24
2
2 14 24
1 7 12
0
El resto es igual a 0(cero) y coincide con el valor hallado: R P (2) 0 .
En este ejemplo el resto de la división es cero. Se dice entonces que P x es divisible por
x 2
y podemos escribir: x3 5x 2 2 x 24 x 2 x 2 7 x 12
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50
“MATEMÁTICA”
Hemos expresado el polinomio dado como el producto de dos factores. Uno de ellos, el
binomio x 2 , queda perfectamente identificado al comprobar que el polinomio se anula
para x 2 .
2.7. Teorema del factor
A partir del teorema del resto podemos demostrar el teorema del factor , el cual puede
enunciarse de las siguientes formas:
Un polinomio P(x) es divisible por (x – a) si y sólo si se anula para x = a
ta
ié
x – a)
es un factor de P(x) si y sólo si P(a) = 0.
EJERCICIOS
1) Demuestre que x a es un factor de P x y factorice P x .
a)
b)
c)
P x x 6 8 x 4 6 x3 9 x 2 ; x 3
P x x3 2 x2 13x 10 ; x 5
P x 2 x 4 x3 11x 2 4 x 12 ; x 1
2) a) Demuestre que x b es factor de los binomios: x5 b5 ; x6 b6 ; x7 b7 ; x8 b8 .
b) Encuentre el cociente correspondiente mediante la Regla de Ruffini.
3) Demuestre que x a es factor de x5 a5 y también de x7 a 7 . Exprese estos
polinomios como producto.
2.7.1. Ceros de un polinomio
Si P x es un polinomio y para x a es P a 0 ; entonces a es un cero de P x .
El cálculo de los ceros o raíces de un polinomio es de gran utilidad en Matemática.
2
Si P x x x 2 y hacemos x 1 resulta P 1 0 ; si x 2 , es P 2 0 .
EJEMPLO
Decimos entonces que 1 y 2 son ceros de P x .
Por el teorema del resto sabemos que P a es igual al resto de la división de P x por (
x a ). Luego, si a es un cero del polinomio, x a es un factor del polinomio.
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51
“MATEMÁTICA”
Si dividimos el polinomio P x x 2 x 2 por (x – 1) el cociente será (x + 2) y el resto será
0 (cero). Podrá expresarse P ( x) x 2 x 2 x 1 x 2
EJERCICIOS
1) Analice los polinomios y diga cuál es el grado y cuáles son los ceros.
5 x 1 x 3 x 7
a)
1
2
2 x x 9 x 1
2
b)
2) Exprese el polinomio mónico an 1 de cuarto grado cuyos ceros son –1; 3; -3 y -4.
3) Indique los ceros de los siguientes polinomios sin efectuar cálculos:
a)
x x 4 x - 2 x 1
b) 2 x
c)
1
5
x
2
2
5
2
1
3x x x
4
5
2
2
4) Indique por cuál binomio es divisible:
A x5 1
B a5 x5
D x4 81
E 9 x2 4a4
1
32
C 8a3 x3
1
F y8 a 4
4
RESPUESTAS
1) a) grado 3; ceros: 1, -3, -7 b) grado 4; ceros: , 9,1 , 1 (1 es raíz doble)
1
2
2) (x + 1) (x – 3) (x + 3) (x + 4) = x 4 5 x3 5 x 2 45 x 36
3) a) 0, -4, 2, -1
;
1 5
,
b) 2 2 ;
5
2
1
1
x1 , x2 , x3 , x4
4
5
2
2 (raíz doble 1 )
c)
2
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52
“MATEMÁTICA”
4) A por (x + 1) ; B por (a x -
1
) ; C por (2 a – x) ; D por ( x – 9) y (x + 9)
2
E por (3 x + 2 a 2 ) y (3 x - 2 a 2 ) ; F por ( y 4 a 2 ) y ( y 4
1
2
1 2
a )
2
3. Cuadrado de un binomio
El cuadrado de a b es a b a b a b a 2 2ab b2 .
2
a b
2
a b a b a 2 2ab b2 .
REGLAS
El cuadrado de a b es igual al cuadrado del primer término más el doble producto del
primer término por el segundo más el cuadrado del segundo.
El cuadrado de a b es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto del
primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término.
Por resultado se obtiene un trinomio cuadrado perfecto.
EJEMPLOS
a)
3x 5 y
2
3x 2.3x.5 y 5 y 9 x 2 30 xy 25 y 2
2
2
1 4
1 2 3
1 4
1 2
3
6
2 3
6
x 2 y x 2 x 2 y 4 y x 2x y 4 y
2
4
2
4
2
b)
c)
a
3
x3 a6 2a3 x3 x6
2
4. Cubo de un binomio
a b
3
a b
3
a b a b a 2 2ab b2 a b a3 3a 2 b 3ab2 b3
2
a b a b a 2 2ab b2 a b a3 3a 2 b 3ab2 b3
2
REGLA
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) tres veces el
producto del cuadrado del primero por el segundo más tres veces el primero por el cuadrado
del segundo más (o menos) el cubo del segundo. El resultado es un cuatrinomio cubo perfecto.
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53
“MATEMÁTICA”
EJEMPLOS
a)
b)
c)
2x y
3
3a 1
2x
3
2
2 x 3 2 x y 3.2 xy 2 y3 8x3 12 x 2 y 6 xy 2 y3
3
2
3a 3 3a 3.3a 1 27a3 27a 2 9a 1
3
2
a3 2 x2 3 2 x2 a3 3.2 x2 a3 a3 8x6 12 x 4 a3 6 x 2 a 6 a9
3
3
2
2
3
5. Producto de dos binomios conjugados
a b a b a2 ab ba b2 a 2 b2
El producto a b a b es igual a la diferencia de cuadrados a 2 b2 .
REGLA
x 4 x 4 x2 16
EJEMPLOS
a)
b)
a
2
x3 a 2 x3 a 2 x3 a 4 x6
2
2
EJERCICIOS
1) Efectúe las siguientes operaciones:
1 2
1 2
x 3 x 3
3
a) 3
c) x 2 2
3
b) 3a 2 x 1
2
2
1 2
a x
a
d) 2
2
6. Factorización de expresiones algebraicas
Factorizar una expresión algebraica significa transformarla en el producto de dos o más
factores.
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54
“MATEMÁTICA”
6.1. Algunos casos de factoreo
6.1.1. Factor común
Dada la expresión algebraica 15x3 y 2 6 x 2 y 3 se busca el máximo común divisor: 3x 2 y 2 . Se
divide
cada
término
por
ese
15x3 y 2 6 x2 y3 3x2 y 2 5x 2 y .
factor
común
y
se
expresa
el
producto:
Para comprobar que la factorización es correcta, se aplica la propiedad distributiva en el
segundo miembro.
EJERCICIO
Transforme en producto:
a) 16a 2 x2 4 x3 a3
b) 12a4 9a3 x 12a 2 x2
c) 4 x a 2 7 y a 2
6.1.2. Factorización por agrupamiento
Ejemplo: ax ay by bx
Asociamos los términos que tengan factores comunes: ax bx ay by .
Se extrae el factor común de cada paréntesis x a b y a b y finalmente se aplica el
caso anterior:
a b x y
Observación: en este ejemplo también puede agruparse como sigue:
ax ay by bx ax ay by bx a x y b x y x y a b
EJERCICIO
Transforme en producto:
b) 6ab 2b 3a 1
a) xy 2 y 6 3x
c) 15x3 9 y3 15x2 y 2 9 xy
6.1.3. Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza expresándolo como el cuadrado de un binomio.
a 2 2ab b2 a b
2
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55
“MATEMÁTICA”
EJEMPLOS
x 2 6 x 9 x 2 2.3x 32 x 3
a)
2
25x6 10 x3 1 5x3 2.5x3 12 5 x3 1
b)
2
c)
2
1 4
1
2
1
1
x 2 x2 y 4 y 2 x2 2 2 x2 y 2 y x2 2 y
4
2
2
2
2
d)
2
6.1.4. Cuatrinomio cubo perfecto
Se factoriza expresándolo como el cubo de un binomio.
a3 3 a 2 b 3 a b2 b3 a b
3
3
2
2
3
; a 3 a b 3 ab b a b
3
EJEMPLOS
x3 6 x 2 y 12 xy 2 8 y3 x 2 y
3
a)
1 9ax 27a 2 x2 27a3 x3 1 3ax
3
b)
6.1.5. Diferencia de cuadrados
Se factoriza expresando la diferencia de los cuadrados como el producto de la suma por la
diferencia de las bases.
16 a 2 4 a 4 a
EJEMPLOS
a)
25
5
5
36 6 6
2
m
m
b) m
4 4 1 2 2 2 1 2 2 1
a x a x a x
25
9
3 5
3
5
x4 a 4 x 2 a 2 x 2 a 2 x 2 a 2 x a x a
c)
d)
6.1.6. Suma o diferencia de potencias de igual grado
Se factoriza teniendo en cuenta las condiciones de divisibilidad estudiadas.
x3 a3 x a x 2 ax a 2
EJEMPLOS
a)
b)
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56
“MATEMÁTICA”
c)
Observación: cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados,
siendo el primero positivo.
Cuando el binomio factor es (x - a) los términos del otro factor son positivos.
EJERCICIOS
1) Encuentre el cuadrado y el cubo de los binomios:
a) a b
b) a b
2) Calcule:
a) 1 2x 2
2
c)
5
1
x
d) 2
a
5
2 1 2
ab a b
2
b)
2
5
m
m
c)
2
e) 1 5 x
3
f)
a 1
1
2
2a
d) 2
1
2
3
RESPUESTAS
a) 1 4 x 2 4 x 4
1
a 2 b 4 a 3 b3 a 4 b 2
4
b)
m3 15 m
1 3 2
a 6 a4 8 a6
d) 8 2
c)
75 125
m m3
3) Factorice los siguientes polinomios:
a) 6a 2 x2 9abx2 3acx2
b) 2 x3 y 3 y 2 x 2 11x 4 9 x5 y3
e) 2mx2 3 px 2 4m 6 p
f) 2ax 2bx ay 5a by 5b
2
c) 3x 2 x 4 x 2 x
g) 4 4a a 2
i) a 4 2a 2 x3 x6
x2
a2 x a4
4
k)
m)
y3
3 2 3
1
y y
4
16
64
x2 y 2
2
2
b
o) a
q) a x 2
1 3 6 2 3 5 1 2 12
x y x y x y
9
4
d) 6
h) 1 2a a 2
j) x2 36 12 x
x3 ax 2
a 2 x a3
27
3
l)
n) 9 x 2 1
p) y 6 36 x 4
r) 81 x 4
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57
“MATEMÁTICA”
1 2 2 1 2
1
x y x yz x 2 z 2
3
4
s) 9
t) 16 x 2a 4 x 2a
a) 3ax 2 2a 3b c
b) x 2 2 xy 3 y 2 11x 2 9 x3 y 2
2
RESPUESTAS
c) 2 x x 3 4 x
e) 2m 3 p x 2 2
g) 2 a
1 2 5 1
2
3
x y xy x y 7
3
4
2
d) 3
f) a b 2 x 5 y
h) 1 a
2
i) a 2 x3
j) x 6
2
x
2
a
k) 2
1
y
4
m)
ax
2
3
n) 3x 1 3x 1
3
2
x
a
l) 3
2
x yx y
o) a a a a
q)
3
ax
1
1
x y z
2
3
s)
p) y 3 6 x 2
y
3
6x2
r) 3 x 3 x 9 x 2
t) 4 x 2a
2
2
2
4 x 2a
4) Encuentre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los polinomios
a) P ax2 ab2 ; Q x2 2bx b2 ; S x3 b3
b) P ax 3a b2 x 3b2 ; Q a 2 x 2 9a 2 b4 x 2 9b4
RESPUESTAS
a) x b
2
b) x 3 a b2 ; a b
x 3
a x b x b x 2 bx b2
2
a b x 3 ( x 3) a b
2
2
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58
“MATEMÁTICA”
5) La forma totalmente factorizada de 9 x3 x y 2 9 x 2 y y 3 es:
a) 9 x 2 y 2
b) 3 x y
c) 3 x y
2
2
x y
x y
x y
d) 3 x y 3 x y x y
e) ninguna de las anteriores
6) ¿Cuál es la forma totalmente factorizada de la expresión x2 ( x 2) 4 x ( x 2) 4 ( x 2) ?
a) x 2 x 2
2
b) ( x 2) ( x 2 2 x 4)
c) ( x 2) ( x 2)2
d) ( x 2)3
e) ninguna de las anteriores
7) Una caja tiene las siguientes dimensiones: largo x , ancho x 3 y alto x 5 .
Exprese el volumen en función de x .
3
2
R: V x x 2 x 15x
8)
Halle el perímetro y la superficie de un
cantero circular que tiene 12,30 m de diámetro.
(la longitud de una circunferencia = 2 r; la
superficie de un círculo = r 2 )
9)
Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo producto y
necesita diseñar el packaging. Para ello ha pensado en dos opciones: un prisma y un cubo.
El ancho de ambos deberá ser el mismo pero el prisma tendrá el triple de profundidad y
4 cm menos de altura. Encuentre las medidas y el volumen de cada caja.
SOLUCIÓN
Llamemos x a la arista del cubo. El volumen del cubo es igual al área de la base multiplicada
por la altura: Volumen del cubo = (área base) x (altura)
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59
“MATEMÁTICA”
Volumen del cubo = (x.x) . x = x3
La base del prisma será un rectángulo, uno de los lados tendrá x cm; el otro lado tendrá 3.x cm
(la profundidad) y la altura será de (x – 4) cm.
Volumen del prisma = (área base) . altura; V = ( x .3x)( x 4)
Volumen del prisma= x .3x.(x -4)= 3x3 - 12x2
3x3 - 12x2 = x3
Igualando los volúmenes:
3x3 - 12x2 – x3 = 0; 2x3 - 12x2 = 0
2
Para resolver la ecuación podemos factorizar el primer miembro: 2 x ( x 6) 0
Las soluciones son
x1 0 y x2 6 .
La primera solución no conviene al problema, entonces la única solución es x = 6
El nuevo packaging podrá ser un cubo de 6 cm de arista o un prisma de base rectangular de
dimensiones:
ancho= 6 cm,; profundidad = 3 . 6 cm= 18 cm y altura= 6 cm – 2 cm = 2 cm.
VERIFICACIÓN
V cubo= (6cm)3 216cm3 ; V prisma = (6 cm)(18 cm)(2cm) = 216 cm 3 .
10) Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo cilíndrico y se deberá elegir entre
dos recipientes que poseen esta característica y tienen la misma capacidad. El cilindro A
tiene una altura igual a su radio y el cilindro B posee un radio igual al doble del radio de A
y una altura 6 cm menor. Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen.
Volu e
ili d o = á ea ase . altu a = π. 2.h
SOLUCIÓN
Si la altura del cilindro A es igual al radio y el radio del cilindro B es el doble del radio de A y su
altura es 6 cm menor podemos expresar:
Volu e A = π . 2. = π.
Volu e B = π.
2
.(r -
3
=π[
2
.(r – 6)] = 4 r ( r 6)
2
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60
“MATEMÁTICA”
3
2
Como los volúmenes son iguales: r 4 r ( r 6)
Dividimos ambos miembros por r 2 y se obtiene una ecuación de primer grado:
r 4(r 6) ; r 4 r 24 ;
4 r – 24 – r = 0 ; 3 r – 24 =0; 3 r = 24; r =
24
8
3
El radio del cilindro A es de 8 cm y la altura es también de 8 cm.
El radio del cilindro B = 2r = 2 . 8 cm = 16 cm
La altura del cilindro B = r – 6cm = 8 cm – 6 cm = 2 cm
Volu e A = π. 3 = 3,14. (8cm)3 = 1607,68 cm3
Volu e
ili d o B = π.
3
– 24r2) = 3,14 .[4.(8 cm)3 - 24.(8 cm)2 = 1607,68 cm3
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
b
Si los catetos de un triángulo son a y b y la hipotenusa
a
el
a
c
c
b
teorema
c 2 a 2 b2
de
Pitágoras
demuestra
Una demostración del teorema
c
b
Construimos un cuadrado de lados
c
a
que
a b .
Su
2
2
2
área es: (a b) a 2 ab b (1) y trazamos
los segmentos necesarios para que queden
a
b
determinados cuatro triángulos rectángulos de
catetos a y b. El área de cada triángulo es A =
ab
.
2
El cuadrilátero interior es un cuadrado de lado c y área A 1 c 2 .
El área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de los cuatro triángulos más el área
del cuadrado de lado c.
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61
“MATEMÁTICA”
( a b) 2 4
ab 2
c
2
; Reemplazamos el primer miembro por el segundo miembro de (1):
a 2 2 a b b2 2 a b c 2 ; despejamos c2 a 2 2 a b b2 2 a b
c 2 a 2 b2 ; Luego la hipotenusa es c a 2 b2
EJERCICIOS
1) Las longitudes de los lados de un triángulo son 15 cm, 24 cm y 30 cm. ¿Es un triángulo
rectángulo?
2) Una plaza es un cuadrado de 14400 metros cuadrados. ¿Cuál es la longitud de la diagonal?
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62
“MATEMÁTICA”
TEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
DEFINICIÓN
Si P x y Q (x) son dos polinomios, y Q x es distinto de cero, la expresión
P x
Q x
se llama
expresión racional fraccionaria.
EJEMPLO
3x 5
4 x 1 es una expresión racional fraccionaria, válida (o que tiene sentido) para todo x que
sea un número real, excepto para
x
1
4 , porque en este caso el denominador se anula.
1. Cero o raíz de una expresión racional fraccionaria
DEFINICIÓN
ú e o eal
U
es e o o aíz de u a e p esió
tiene sentido para x , y se anula para x .
a io al f a io a ia, si esa e p esió
Esto significa que al reemplazar la variable x por el número el denominador debe ser
distinto de cero y el numerador debe anularse.
EJEMPLOS
a)
x
4
5
5
3x 5
x
3 es cero de 4 x 1 porque la expresión tiene sentido para
3 pues
5
17
5
1
0 y se anula para x :
3
3
3
5
5
55
3
0
5
17
4 1
3
3
3
4 x 1 x 1
4 x2 4
2
x x 1
b) La fracción x x puede escribirse
. Esta expresión es equivalente a
la dada.
El denominador se anula para x 0 y para x 1. En consecuencia la expresión tiene
sentido para todo número real, excepto para x 0 y x 1 . Observamos que el factor
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63
“MATEMÁTICA”
x 1
figura en el numerador y en el denominador. Podemos simplificar la expresión
4 x 2 4 4 x 1
2
x
dividiendo ambos por dicho factor y tendremos: x x
con x 1 y x 0 . La
división efectuada es válida para x 1 . El único cero o raíz de la expresión fraccionaria es
x 1
EJERCICIOS
1) Indique para qué valores de la variable son válidas las siguientes expresiones algebraicas:
2
a) x 2
3x 7
x2
1
x
2
b)
5
d) 4 x
c) x 1
2
2 x
e) x 25
2
RESPUESTAS
a)
Para todo x tal que x 2
x
1
2
b) Para todo x tal que
c) Para todo x tal que x 1 y x 1
d) Para todo x tal que x 0
e)
Para todo x tal que x 5 y x 5 .
2) Factorice y simplifique las siguientes expresiones, indicando las condiciones que deben
cumplirse para que la simplificación sea válida:
5x2 5
a) x 1
x2 1
2
c) x x
x 2 16
2
e) x 8 x 16
ax ay bx by
g)
a 2 2ab b 2
a 2 x a 2b
2
2
b) ax ab
x 2 36
3
d) x 216
4x
f)
9a 2 18 x 12
2 x 3a 12 x 8
2
x3 8
2
h) 2 x 8 x 8
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64
“MATEMÁTICA”
RESPUESTAS
a) 5 x 1 , si x 1
a
b) x b , si x b y x b
x 1
c) x , si x 1 y x 0
x6
d) x 6 x 36 , si x 6
2
e) si x 4
3
3
2
2 x 3a x a x
2 ,
3
f) 2
, si
x y
g) a b , a b
h)
x2 2x 4
2 x 2
, si x 2
3) Señale la respuesta correcta y justifique:
x 2 4ax 4a 2 x 2a
x 2a
x 2 4a 2
a) Para todo
b) Si x 2a
c) Si x 2a
x 2a
d)
Si
x 2a
e)
Si
x 2a
o
x 2a
y
x3 8
x2 2 x 4
x2
a) Para todo
b) Si x 2
c) Si x 8
d) Si x 2
e) Si x 2 y x 2
4) Operando sólo con el primer miembro verifique:
x 4 3x 2 5 x 3
x3 x 2 2 x 3
x 1
; si x 1
3x5 10 x 4 4 x3 x 2 x 15
3x 4 x3 x 2 2 x 5
x3
; si x 3
x3 1
x 2 x 1 ; si x 1
x 1
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65
“MATEMÁTICA”
2. Operaciones con expresiones racionales fraccionarias
Las reglas son las mismas que para las operaciones con números racionales.
2.1 Adición y sustracción.
Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los
numeradores y se conserva el denominador común.
EJEMPLOS
a)
3 x 5 5 x 6 3 x 5 5 x 6 8 x 1
;
2 x2 2 x2
2x2
2x2
46 x 5 x
x
3
3 x
b)
x 1
En este ejemplo se puede multiplicar por (-1) el numerador y el
denominador del segundo sumando para obtener una expresión equivalente con
denominadores iguales:
4 6 x 5 x 4 6 x 1(5 x)
x 3 3 x x 3 1(3 x)
4 6 x 5 x
x
3
x 3
=
46 x 5 x
x 3
=
7 x 1
7 x 1
x 3 , y también
x 3 ; x 3
=
Si los denominadores no son iguales, se reducen a mínimo común denominador, que es el
mínimo común múltiplo de los denominadores, como en el caso de la suma de fracciones:
EJEMPLO
x 1 x 1 x 6
x 2 x 2 x 2 4 Buscamos el mínimo común denominador que es el mín. múltiplo
2
común de los denominadores. x 4 x 2 ( x 2) y procedemos como en una suma de
fracciones numéricas.
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66
“MATEMÁTICA”
( x 1) ( x 2) ( x 1) ( x 2) ( x 6)
x 1 x 1 x 6
2
( x 2) ( x 2)
x2 x2 x 4 =
; x2 y x2
x 2 2 x x 2 ( x 2 2 x x 2) x 6
( x 2) ( x 2)
=
x2 2 x x 2 x2 x 2 x 6
( x 2) ( x 2)
=
3x6
= ( x 2) ( x 2)
3( x 2)
= ( x 2) ( x 2)
3
= ( x 2) ; x 2; x 2
2.2. Multiplicación
Se factorizan los numeradores y los denominadores de las expresiones fraccionarias y si es
posible se simplifica.
x 1 x 2 . x 2 x 2
x 1 x 2 4
.
. 2
x2
x x 1
x
2
x
x
a)
=
= x ; x 2; x 0; x 1
EJEMPLOS
x2 6 x 9 x 2
. 2
2
x
4
x 3x =
b)
x 3 . x 2
x 2 x 2 x ( x 3)
2
x 3
= x ( x 2) ; x 2; x 0; x 2; x 3
2.3. División
Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.
EJEMPLOS
a)
x 1 x 2 x
x 1 ( x 5) ( x 5)
: 2
=
.
x 5 x 25 x 5
x ( x 1)
x 5
= x
; x 5; x 0; x 1; x 5
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67
“MATEMÁTICA”
2
x x 2 4 x 4 2( x 1) x
x 1
2
.
b)
:
x 1
( x 1) x 1 ( x 2) 2
x 1 x 1
2 x2 x
x 1
=
.
( x 1) x 1 x 2 2
=
x 1 x 2
1
,
EJERCICIOS
1) Sume y, si es posible, simplifique el resultado:
x 5x 2 x
5
a) 8 8
7
x
R: 20
2 x 5 x 3x
x
b) 3a 2a 4a
1
1 x2
x
1 x 1 x
c)
1
1
x
2
d) 8 8 x 8 8 x 4 4 x
8ax
x 2a x 2a
2
2
e) x 2a 2a x x 4a
a
b
f) a b b a
4 x 3b
2x b
2
2x
3x
g)
2) Verifique:
a 2 3a 4 4a 1 1
2a 2 3a 3 6a 6 2
13x 12ax
12a
R:
x2 x 2
2
R: 1 x
2 1 x 4
x
R:
2 x 4a
R: x 2a
a 2 b2
2
2
R: a b
4 x 7b
6x
R:
a2 b a
a b 2a
3) Diga si el resultado de
es alguna de las siguientes fracciones:
b
a b b a b a b
ab
b
b
ab
b
ab
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68
“MATEMÁTICA”
4) Multiplique:
4
4 1 3 1 x
x
x
x x4 1
x2
a)
10 x 20 3x 2
20
2
2
5 x 4x 4
x
b)
c)
x 2 1 6a x 2 2 x 1
3 x 1
10a
d)
ab
2a 2b
2
a b 2ab a b
2x
1 1
1
2
x 1 x 1 x
1 2 1 2 ax
g) x a x a a 2 x
120
R: x 2
x 1
3
R:
5
R:
a b
2ab
2
3 x
1 x 1 x
x
1 x 1 x
e) 4 x 4
f)
R: x 6 1 x
2
R: 3
1
R: x
a 2x
R: ax
5) Divida:
a)
b)
c)
d)
4 1
x 2
x
2 1
:x
x
x2 a2 x a
2 2 :
x a x
a
x
x
x
:x
x 1
x 1
1 x2
1
: 3
2
xa xa x a x
2
R: x
R:
R:
1
x
x2 a2
ax
x
x2
R: 2
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69
“MATEMÁTICA”
6) Señale con una X la respuesta correcta:
2
x x2 4x 4
:
2
x 1
x 1 x 1
1
2
x
x
2
a)
1
b) x 3 x 2
1
2
c) x x 2
2
d) ninguna de las anteriores ( )
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70
“MATEMÁTICA”
TEMA 5: ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Son ecuaciones de primer grado las que pueden expresarse en la forma ax b 0 con
a 0 . Para hallar la única raíz hacemos:
ax b ,
x
b
a
EJEMPLOS
a)
3x 5 0
SOLUCIÓN
Despejamos x : 3x 5 . Luego
x
5
3 5 5 5 0
Verificación: 3
5
3
b) 6 x 9
SOLUCIÓN
x
9 3
6 2
Observaciones: si se tiene la ecuación 3x 3 2 x 1 x , para resolver hacemos:
(Verifique)
3x 3 2 x 2 x
3x 2x x 2 3
0x 1
Esto es un absurdo, pues para cualquier número x , es 0 x 0 . Se dice, entonces, que la
ecuación no tiene solución.
c) Dada: 3 2 x 1 x 4 5 x 1 , hacemos:
6 x 3 x 4 5x 1
6 x x 5x 1 3 4
0x 0
Esta igualdad se verifica para todo valor de x . Se dice que la dada es una identidad.
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71
“MATEMÁTICA”
EJERCICIOS
1) Sin resolver la ecuación, determine cuáles de los números que se dan son soluciones de la
ecuación correspondiente.
12 4
; ;7
los números 5 5
1
; 3; 5
los números 3
0; 3;
los números
1
5
los números 0; 1; 3
de 3x 4 2 x 8
12
R: 5
de 4 x 5 3x 1 0
R: 3
de 5 x 8 2 38 3x 2 x
de 13x 2 5x 2 2 x 2 x
2) Resuelva y verifique:
R: todos
R: ninguno
a) 3x 5 4 x 7 x 4
b) 3x 9 7 x 4 x 8 3x
x 2 x 1
5
2
e) x 3 x 3 x 9
d)
x x 3 x 2x 9
3
3
4
c) 2
4x 2
1 1
x 2 14
3
2 3
x 1 x 5
x
2
f) x 1 x 1 x 1
RESPUESTAS:
a)
d)
x
x
19
14
1
2
b)
e)
x
23
6
x
2
9
c) No tiene solución
f) x 2
3) Resuelva los siguientes problemas. Plantee, para hacerlo, una ecuación de primer grado en
una variable.
a) La suma de tres números impares consecutivos es 81. ¿Cuáles son esos números?
R: 25, 27, 29
b) Encuentre cuatro números consecutivos, tales que el primero más el cuádruplo del
tercero, menos el doble del cuarto, sea igual a 95.
R: 31, 32, 33, 34
c) En el triángulo ABC , A tiene 54º y B supera a C en 23º . Encuentre el valor de B
y C.
R: B 74º 30' ; C 51º 30' .
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72
“MATEMÁTICA”
d) Si a un número se lo multiplica por 1 5 y se le suma 3 4 , se obtiene el mismo resultado
que si a ese número se le resta 9 20 . ¿Cuál es el número?
R: 3 2
e) Encuentre el número por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13 y el
resto 9.
R: 21
f)
El perímetro de un rectángulo es de 318 cm . El largo supera al ancho en 11 cm . Calcule
las dimensiones del rectángulo.
R: largo 85 cm ; ancho 74 cm
g) El perímetro de un triángulo isósceles es de 2,57 m . Los lados iguales superan a la base
en 28 cm . Calcule el valor de cada lado.
R: base 67 cm ; lados 95 cm
h) Un artículo cuyo valor actual es de $ 322, tuvo dos aumentos de precio; el primero del 12
% y el segundo del 15 %. Encuentre el valor original.
R: $250
i) Se reparten $ 22.500 entre tres personas. La segunda recibe el doble de la primera y la
tercera un cuarto de lo que reciben las otras dos juntas. ¿Cuánto recibe cada una?
R: $ 6.000, $ 12.000 y $ 4.500 respectivamente.
4) Resuelva y verifique su respuesta:
a) Se tienen dos calidades de leche: la entera y la descremada. La leche entera tiene 700
calorías por litro y la descremada 320 calorías por litro. ¿Qué cantidad de cada leche se
debe mezclar para obtener un litro de leche semidescremada con 400 calorías por litro?
R: 0,7 litro de leche descremada y 0,3 litros de leche entera
b) Un alumno compró tres libros. El primero le costó $ 175, el segundo $89. Si en total pagó
$ 476, cuál es el costo del tercer libro?
R: $ 212
c) Se tiene cierta cantidad de dinero. Con ella se compró una silla, gastando el 20% del
mismo, luego se compró un tablero, gastando 1/5 del dinero que quedó. Al final quedan $
512. ¿De cuánto dinero se disponía al principio?
R: $ 800
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73
“MATEMÁTICA”
d) El perímetro de un campo rectangular es de 1.220 m. Si uno de los lados mide 150 m más
que el otro, cuánto mide cada lado?
R: lado menor: 230 m ; lado mayor 380 m
e) Marcelo tiene el doble de la edad de Matías y Pablo tiene el triple de la edad de Marcelo.
La suma de las edades de los tres es de 108 años. Determinar la edad de cada uno.
R: Matías 12 años, Marcelo 24 años y Pablo 72 años.
f)
Por dos insumos informáticos se pagó $ 2050. El primer insumo costó $ 1.450 más que el
segundo. ¿Cuánto costó cada insumo?
R: Primer insumo: $ 1750 ; segundo insumo: $ 300
g) Se realizaron tres análisis clínicos a un señor. En el primero los hematíes fueron 5.360.000
/ul ; en el segundo 5.002.000 /ul ; y perdió el el resultado del tercer análisis. Sabe que el
promedio de los tres análisis fue de 5.111.000 hematíes /ul. ¿Cuál fue el resultado del
tercer análisis?
R: 4.971.000 hematíes/ ul
h) El perímetro de un triángulo es de 209 cm. Uno de sus lados mide 20 cm. más que cada
uno de los otros dos. ¿Cuánto mide cada lado?
R: lados iguales: 63 cm.; lado mayor: 83 cm.
i)
La Facultad compró tres microscopios. Por el segundo pagó 12.500 dólares más que por el
primero, y por el tercero 11.000 dólares más que por el segundo. En total pagó 291.000
dólares. ¿Cuánto pagó por cada microscopio?
R: 1º) 85.000 dólares ; 2º) 97.5000 dólares ; 3º) 108.500 dólares
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74
“MATEMÁTICA”
TEMA 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma
a1 x b1 y c1
a2 x b2 y c2
Resolver el sistema consiste en encontrar los valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones.
Dichos valores son las soluciones del sistema de ecuaciones.
Explicaremos mediante ejemplos algunos de los procedimientos usados para resolver sistemas
de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
1. Método de sustitución
2x y 3
x 3 y 14
Despejamos x en la segunda ecuación: x = 3y –14 (1)
Reemplazamos x en la primera ecuación:
2(3y –14) – y = -3
6y –28 –y = -3
5y = 25
y=5
Sustituimos este valor en (1)
x = 3.5 –14 ;
x=1
La solución es x = 1 ; y = 5
Verificación: Para verificar se reemplazan los valores obtenidos en las dos ecuaciones,
operando independientemente en cada miembro de la respectiva ecuación.
2x – y = 2.1 –5 = -3
x – 3y = 1 – 3.5 = -14
2. Método de reducción o de eliminación por sumas o restas
2 x y 3
x 3 y 14
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75
“MATEMÁTICA”
Para eliminar x multiplicamos la segunda ecuación por –2 y sumamos las dos ecuaciones.
2 x y 3
2 x 6 y 28
Luego y = 5
5y = 25
Reemplazamos el valor hallado en una de las ecuaciones del sistema original para encontrar x:
x – 3.5 = -14
;
x = -14 + 15
; x=1
La solución es: x = 1; y = 5. Resuelto el sistema, conviene siempre efectuar la verificación.
Sistemas consistentes e inconsistentes
Apliquemos el método de eliminación por sumas o restas para resolver el sistema
5x 3 y 2
10 x 6 y 4
10 x 6 y 4
10 x 6 y 4
Multiplicamos la primera ecuación por (-2)
Sumamos miembro a miembro y tenemos: 0 = 8
Este absurdo significa que el sistema no tiene solución. Decimos que es inconsistente o
incompatible.
Sistemas determinados e indeterminados
Resolvemos el sistema por el método de eliminación:
1
x 3 y 4
2x 6 y 1
2
1
2 x 6 y 2
2x 6 y 1
2
1
2 x 6 y
2
00
; sumamos:
Concluimos que las dos ecuaciones son equivalentes. El sistema es consistente e
indeterminado: tiene infinitas soluciones que se encuentran dando un valor arbitrario a una de
las variables y hallando el correspondiente de la otra.
2x 6 y
1
1
1
1
1
1
y 2x
y x
6 y2x
6
2
;
3 12
2 ;
2 ;
El conjunto de todas las soluciones se expresa:
en este caso,
se dan valores reales a x y se obtienen los correspondientes de y.
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76
“MATEMÁTICA”
Cuando la solución consiste en un único valor para cada una de las incógnitas, como ocurrió en
el caso del primer sistema resuelto, se dice determinado.
EJERCICIOS
1) Resuelva por el método de sustitución:
x 3 y 1
2x y 9
b)
4 x 5 y 1 0
x 3y 4 0
a)
2 x y 3
9
15
3x 4 y 2
c)
d)
1
1
x y
2
2
5 x 8 y 8
e)
2
x y 1
3
5 x 8 y 7
1 2 5
x y 9
4 6 2
x y
3
f)
Ayuda para la resolución del ejercicio f:
Pueden efectuarse las sustituciones:
5
t 2u 9
4t 6u 2
3
Se encuentra: t
RESPUESTAS
a) x 1 ; y 1
c)
x
1
2; y4
e) x 4 ;
1
1
t ; u , obteniéndose el sistema
x
y
y
3
2
1
1
; u y la solución es x = 3 ; y = 9
3
9
b) x 4 ; y 1
d) x 3 ; y 1
f) x 3 ; y 9
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77
“MATEMÁTICA”
2) Resuelva los sistemas usando el método de reducción por sumas o restas.
x 3 y 1
2 x y 9
a)
x y 3
4 x 2 y 5
c)
4 x 3 y 8
9 x 5 y 25
e)
2 x 4 y 5
3x 6 y 1
g)
4
2
5 x y 5
2 x 3 y 1 0
2
5
i)
5
2 x y 3
2 x 4 y 5
3
k)
5 x 3 y 2
10 x 6 y 4
b)
3x y 3 0
4 x 3 y 4 0
d)
4 x 5 y 1 0
x 3y 4 0
f)
4 3
x y 1
5 2 4
x y
h)
0, 2 x 0,3 y 0, 75
0, 4 x 4 y 3, 2
j)
1
2 1
x y
2
4 1 2
x y
l)
RESPUESTAS
a) x 1 ; y 4
c)
e)
x
x
1
7
y
2;
2
25
2 ; y 14
b) Sistema indeterminado (Infinitas soluciones)
d) x 1 ; y 0
f) x 1 ; y 1
g) Sistema inconsistente
h)
x
1
1
y
2;
3
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78
“MATEMÁTICA”
3) Señale la respuesta correcta: x = -2 , y = 3 es la solución del sistema:
2 x 3 y 5
4 x y 5
a)
3x2 y 0
x2 y8
b)
x 4 y 14
2x y 7
c)
x y 5
4 x2y 2
d)
e) de ninguno de las anteriores
x 2 y 50
3 x 10 y 7 0
4) La solución del sistema de ecuaciones
es:
1
a x= 2 ;y=4
1
b) x = - 4 ; y = 2
1
c) x = 6 ; y = 2
1
d) x = 4 ; y = 2
e) ninguna de las anteriores
5) Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y sólo si tienen la misma solución.
x y 3
2 x y 3 es equivalente a:
El sistema
x2 y 6
3 x y 3
a)
3x y2
2 x y 3
b)
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79
“MATEMÁTICA”
2 x y 5
3 x y 5
c)
3x y 7
2x y 7
d)
e) de ninguno de las anteriores
6) Plantee los problemas siguientes mediante sistemas de dos ecuaciones de primer grado
con dos incógnitas. Resuelva y verifique las soluciones.
EJEMPLO
Encuentre la fracción tal que sumando 9 al numerador y 2 denominador se obtiene 3, y
multiplicando por 10 al numerador y por 4 al denominador se obtiene 6.
SOLUCIÓN
x9
y 2 3
10 x 6
x
4y
La fracción que se busca será
, tal que
y
Operando convenientemente se obtiene el sistema equivalente:
x 3y 3
10 x 24 y 0
La solución del sistema es: x =12 ; y = 5. La fracción que se busca es:
12
(Efectúe la resolución del sistema y verifique la respuesta)
5
PROBLEMAS
a) Encuentre dos números tales que su suma sea -56 y su diferencia 106.
R: 25 y (-81)
b) Dos números son tales que su suma es 140, el cociente y el resto de la división entre los
mismos son, respectivamente, 1 y 38. ¿Cuáles son esos números?
R: 89 y 51
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80
“MATEMÁTICA”
c) Encuentre los valores que deben tomar b y c en la ecuación 3x by c , para que se
verifique simultáneamente para
x1
6
1
y2
5.
3 , y1 2 ; y para x2 1 ,
R: b = -5 y c = -9
d) El valor de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo supera al doble del otro
en 10º . ¿Cuál es el valor de los ángulos agudos? Verifique su respuesta.
e) Un equipo de básquetbol anotó 108 puntos en un partido. Anotaron 2 veces y media más
canastas que tiros libres. ¿Cuántas canastas y cuántos tiros libres hicieron? ¿Cuántos
puntos anotaron de cada uno? (Las canastas valen 2 puntos, los tiros libres 1 punto y no
hubo canastas de tres puntos)
R: 45 canastas y 18 tiros libres. 90 puntos por canastas y 18 por tiros libres.
f)
En un teatro cobran $20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los niños. Un día, abonaron
su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256. ¿Cuántas entradas vendieron para
adultos y para niños?
R: 528 niños y 246 adultos.
g) Encuentre dos números tales que su suma sea 106 y su diferencia 56.
R: 81 y 25
h) Dos números son tales que su suma es 140, el cociente y el resto de la división entre los
mismos son, respectivamente, 1 y 38. ¿Cuáles son esos números?
R: 89 y 51
i)
Encuentre los valores que deben tomar b y
verifique simultáneamente para
x1
c
en la ecuación 3x by c , para que se
1
6
y2
y
2
x
1
3, 1
5.
; y para 2
,
R: b = -5 ; c = -9
j)
El valor de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo supera al doble del otro
en 10º . ¿Cuál es el valor de los ángulos agudos?
k) En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los niños. Un día abonaron
su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11.256. ¿Cuántas entradas vendieron para
adultos y para niños?
R: 528 entradas para niños y 246 para adultos.
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81
“MATEMÁTICA”
l)
En un corral hay un cierto número de conejos y patos. En total hay 194 patas y 61
animales. ¿ Cuántos conejos y patos hay?
R: 25 patos y 36 conejos
m) Un productor agropecuario vendió soja a 27 dólares el quintal y maíz a 13 dólares el
quintal. En total vendió 200 quintales y recibió 4.196 dólares. ¿Cuántos quintales de soja y
de maíz vendió?
R: 114 quintales de soja y 86 quintales de maíz
n) Se compraron dos productos de diferente costo por un total de $ 510. El costo del mayor
menos cuatro veces el costo del menor es de $ 10. ¿ Cuál es el costo de cada producto?
R: mayor: $ 410 ; menor: $ 100
o) Un empresario compró tres autos y dos camionetas en 79.000 dólares. Luego realizó una
segunda compra de cinco autos y una camioneta, de los mismos modelos que los
anteriores en 78.000 dólares. ¿Cuánto pagó por cada auto y por cada camioneta?
R: auto: 11.000 dólares; camioneta: 23.000 dólares
p) En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas. Hay mesas con 6 sillas y otras con
4 sillas. ¿Cuántas mesas de cada tipo hay?
R: 10 mesas con 6 sillas y 15 con 4 sillas.
q) Un productor sembró trigo y lino. En total sembró 100 Ha., siendo la cantidad de
hectáreas de trigo un 50% más que las de lino. ¿Cuántas Ha. sembró con cada cereal?
R: trigo: 60 Ha. ; lino: 40 Ha.
r) Un comerciante vendió equipos de soldaduras a $ 2.700 c/u y sierras a $ 1.800 c/u. En
total vendió 85 equipos, recibiendo $ 207.000. ¿Cuántas soldaduras y sierras vendió?
R: soldaduras: 60 ; sierras: 25
s) En un garage hay motos y autos. Las motos con dos ruedas y los autos con cuatro. En total
hay 80 vehículos y 274 ruedas. ¿Cuántas motos y autos hay en el garage?
R: motos: 23 ; autos: 57
t) En un análisis clínico la suma de los linfocitos y los monocitos es de 62% y la diferencia de
linfocitos menos monocitos es de 36%. ¿Cuál es el porcentaje de linfocitos y de
monocitos en el análisis?
R: linfocitos: 49% ; monocitos: 13%
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82
“MATEMÁTICA”
u) Una placa radiográfica rectangular tiene un perímetro de 156 cm. y su largo es 6 cm. más
que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la placa?
R: largo: 42 cm. ; ancho 36 cm.
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83
“MATEMÁTICA”
TEMA 7: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
1. Definición
Si a un polinomio de segundo grado lo igualamos a cero obtenemos una ecuación de segundo
grado. Los ceros o raíces del polinomio son las raíces de la ecuación.
Si P x x 2 4 x 3 , los ceros son -3 y -1. Si escribimos x 2 4 x 3 0 tenemos una
EJEMPLO
ecuación de segundo grado y sus raíces son -3 y -1.
Las ecuaciones de segundo grado en una variable son las que pueden expresarse en la forma
ax2 bx c 0 , con a 0
Un polinomio de grado n tiene n ceros. Una ecuación polinómica de grado n tiene n
raíces; si el grado de la ecuación es dos, tendrá dos raíces que podrán ser iguales o diferentes.
Polinomio de segundo grado: P( x) ax 2 bx c , a 0;
Ecuación de segundo grado: ax 2 bx c 0 ; a 0
2. Cálculo de las raíces de ecuaciones incompletas
2.1. Ecuación incompleta de la forma ax 2 0 . a 0
Como a 0 , debe ser x 2 0 . Luego x1 x2 0 .
La solución es: x1 x2 0 .
Ejemplo: 12 x 2 0
2.2. Ecuación incompleta de la forma ax2 c 0 . a 0
Hacemos
a x2 c ; x2
c
c
; x
a
a
2
Ejemplo: 4 x 9 0 :
Despejamos x : x 2
3
3
9
9
; x
. ; x1 y x2
2
2
4
2
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84
“MATEMÁTICA”
2.3. Ecuación incompleta de la forma ax2 bx 0 .
Factorizamos: x ax b 0 .
Si un producto es cero, al menos uno de los factores debe ser cero. Una de las soluciones es
x1 0 ; la otra se encuentra anulando el segundo factor:
tenemos x2
ax b 0 , despejamos x y
b
.
a
Ejemplo: 5x2 x 0 ; extraemos el factor común: x 5x 1 0
Una solución es x1 0 y la otra: 5x 1 0 5x 1 ,entonces x2
1
5
3. Cálculo de las raíces de ecuaciones completas de segundo grado
3.1. Ecuación completa: ax2 bx c 0 ( a , b y c son distintos de cero).
Dada una ecuación, se obtienen ecuaciones equivalentes efectuando las siguientes
operaciones:
a) Multiplicando ambos miembros por un número distinto de cero.
b) Sumando un mismo número en ambos miembros.
c) Sumando y restando un mismo número en uno de los miembros.
Las ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones. Para deducir la fórmula de
resolución de la ecuación de segundo grado usaremos los recursos que hemos formulado.
Hacemos:
x2
ax2 bx c
y multiplicamos ambos miembros por
1 a,
a 0 :
b
c
x
a
a
Sumamos a ambos miembros
cuadrado perfecto: x 2
b2
a fin de obtener en el primer miembro un trinomio
4a 2
b
b2
c b2
b
4ac b 2
x 2 2 x
a
a 4a
2a
4a
4a 2
2
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85
“MATEMÁTICA”
Extraemos raíz cuadrada: x
Despejamos x :
Las raíces son: x1
x
b
b 2 4ac
b
b 2 4ac
x
2a
2a
4a 2
4a 2
b
b 2 4ac
2a
2a
b b 2 4ac
2a
;
x2
b b 2 4ac
2a
4. Discriminante de la ecuación
La expresión b2 4ac es el discriminante de la ecuación.
Si el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene dos raíces reales e iguales o coincidentes:
x1 x2
b
2a
Si el discriminante es mayor que cero, la ecuación tiene dos raíces reales y distintas, y si es
menor que cero, la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas.
EJEMPLO
Resuelva la ecuación y verifique su respuesta: 2 x 2 3x 1 0
SOLUCIÓN
b b 2 4ac
x
2a
x
3 9 8
3 1
1
; x
; x1 ; x2 1 .
4
4
2
Las raíces son números reales.
ACTIVIDAD
Demuestre que las raíces de una ecuación completa reducida de la forma x 2 bx c 0
(donde a = 1) pueden obtenerse mediante la fórmula x
b
b2
c .
2
4
Ayuda: puede hacer a = 1 y usar la fórmula deducida anteriormente para resolver
ax 2 bx c 0)
EJEMPLOS
a) Resuelva x 2 4 x 1 0
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86
“MATEMÁTICA”
SOLUCIÓN
x
b
b2
x 2 4 1 ; x 2 3
c Reemplazando:
2
4
Las raíces son números irracionales: x1 2 3 ; x2 2 3
b) Resuelva: y 2 6 y 11 0
SOLUCIÓN
b2
b
y
c ; y 3 9 11 ; y 3 2
2
4
y1 3 i 2 ; y2 3 i 2
Las raíces son números complejos conjugados.
5. Ecuaciones fraccionarias que pueden resolverse mediante la fórmula
cuadrática
EJEMPLO
Se trata de resolver la ecuación
3x 2 2 x 7 x 3
, con x 1; x 1
x 1 x 1 x 2 1
Podemos reducir a común denominador:
(3x 2) ( x 1) 2 x ( x 1)
7x 3
( x 1) ( x 1)
( x 1) ( x 1)
Eliminamos los de o i ado es
ultipli a do a
os
iembros por el denominador común:
Efectuando las operaciones en el numerador del primer miembro, se tiene:
5 x 2 3x 2 7 x 3
5 x 2 4 x 1 0
Resolviendo la ecuación se obtiene:
x1
1
; x2 1
5
esta última no es raíz de la ecuación
dada. ¿Por qué?
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87
“MATEMÁTICA”
Observación: Este método de resolución de ecuaciones fraccionarias puede conducir a la
obtención de raíces que no satisfacen la ecuación original, llamadas raíces extrañas, debido a
que se multiplican ambos miembros por una expresión variable, en el ejemplo por
(x - 1) (x + 1).
Siempre que se multiplique la ecuación por una expresión variable, es necesario verificar las
soluciones en la ecuación original para desechar las posibles raíces extrañas.
Verificación: Para
a (-
x
1
5
5 , en el primer miembro se llega a ( 3 ) y en el segundo también
5
)
3
El valor hallado es raíz de la ecuación original.
5
1
Si verificamos en la ecuación original haciendo x = 1, en el primer miembro se llega a 0
y
10
.
en el segundo a 0 Esas expresiones carecen de sentido: el cociente por cero no está
definido. Por simple inspección en la ecuación original se advierte que x = 1 no es solución, y
puede desecharse sin efectuar cálculos.
EJERCICIOS
1) Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique sus soluciones:
a) 5x2 45 0
b) 100 x 2 20 0
c) 5x 2 5 0
g) x2 4 x 1 0
h) 2 x 3 4 x 2
i) 10 x 2 13x 3 0
d) x2 81x 0
j) 6 x2 1 x 0
m)
o)
x
4
2
x 1 x 1
2 x 2 x
2
2 x 2 x
e) x2 9 x 5x
f) 3 12 x2 0
k)
3
x
x2
l)
n)
1
2
1 2
x2
x 2x
ñ)
3
7
x 1
x2 x2 x2
2x 3 x 1
3x 2 2 x
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88
“MATEMÁTICA”
RESPUESTAS
a) x1 3, x2 3
d) x1 0, x2 81
g)
x1 2 3 ; x2 2 3
b)
x1
c) x1 1, x2 1
5
5
i , x2
i
5
5
e) x1 0, x2 4
1
1
x1 , x2
2
2
f)
h)
1
11
1
11
x1 i
, x2 i
4
4
4
4
1 1
,
j) 2 3
k) 3, 1
m) 2; 3
n) 1 (2 no es raíz ¿por qué?)
i)
x1
3
, x2 1
10
l) 5 (2 no es solución
porque se anula el
denominador)
o) x1 x2 0
ñ) 2; 1
2) Resuelva:
a) x2 4 x 1 0
d) x 2 2 x 2 0
RESPUESTAS
a) 2 3
d) 1 i
b) x 2 4 x 13 0
e) x 2 8x 14 0
b) 2 3 i
e) 4 2
c) x 2 4 x 1 0
3
4
1
x5
f) x 5
c) 2 5
f) 3; 10
6. Factorización de una ecuación de segundo grado
Si las raíces de ax 2 bx c 0 son x1 y x2 , justifique que esa ecuación puede expresarse
2
como un producto de tres factores: ax bx c a x x1 x x2
Asimismo, si son x1 y x2 los ceros de un polinomio ax2 bx c ese polinomio (o trinomio)
2
puede expresarse: ax bx c a x x1 x x2
EJEMPLO
La ecuación 3x2 x 100 tiene raíces x1
5
y x2 2
3
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89
“MATEMÁTICA”
Se factoriza: 3 x x 2 (verifique)
5
3
EJERCICIOS
1) Factorice i) 2 x 2 5 x 12 0
ii) x 2 5 x 4 0
2) Exprese como producto el trinomio P( x) x 2 6 x 5
RESPUESTAS
3
2
a) i) 2 x ( x 4) 0
ii) ( x 1) ( x 4) 0
b) P( x) ( x 1) ( x 5)
7. Relación entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y sus
raíces
Si x1 y x2 son las raíces de ax 2 bx c 0 , entonces se verifica:
i) x1 x2
b
a
; ii) x1 x2
c
a
Enuncie, con palabras, las expresiones i) y ii) y demuestre las propiedades enunciadas.
Ejemplos
1) Forme la ecuación de segundo grado cuyas raíces son 2 y (–5).
SOLUCIÓN
x1 x2 2 5 3
x1 x2 2 5 10
b
a
c
a
luego b3a; c10a La ecuación es: ax2 3ax 10a0, a x2 3x10 0
Como a debe ser distinto de cero, debe ser x2 3x 10 0
VERIFICACIÓN
Para x = 2:
22 3 2 10 4 6 10 0
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90
“MATEMÁTICA”
Para x = -5:
5
2
3 5 10 0
Otra forma de verificar es resolviendo la ecuación obtenida.
OBSERVACIÓN
2
Si a 1 , se tiene x bx c 0 y en tal caso resulta: x1 x2 b ; x1 x2 c
2) Escriba la ecuación de segundo grado que tiene por raíces -1 y 7, y el coeficiente a 8 .
SOLUCIÓN
La forma más sencilla de resolver este problema consiste en expresar la ecuación como un
producto, para lo cual se tienen los datos necesarios:
a ( x x1 ) ( x x2 ) 0 ; 8( x 1) ( x 7) 0
Efectuando las operaciones se obtiene la ecuación en la forma
8x2 48x 56 0
Otro procedimiento consiste en aplicar las propiedades de las raíces:
x1 x2 1 7 6
x1 x2 1 7 7
b
b
; 6 ; b 48
8
a
c
c
; 7 ; c 56
8
a
Luego b 48 y c 56
La ecuación es: 8x2 48x 56 0
Observación: en el primer miembro de la ecuación obtenida se tiene el factor común 8.
Factorizamos y obtenemos 8 x 6 x 7 0 , igualdad que se cumple para x tal que
x
2
2
6 x 7 0 resolviendo esta ecuación se obtienen las raíces x1 1 y x2 7 .
Conclusión: para operar en forma más simple, cuando hay un factor común en la ecuación
conviene vivir por dicho factor y las raíces que se obtengan serán también las raíces de la
ecuación dada.
EJERCICIOS
Resuelva los siguientes problemas. Plantee la solución correspondiente aplicando ecuaciones
cuadráticas y verifique sus resultados.
1)
Forme las ecuaciones de segundo grado que cumplan las condiciones que se indican:
CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 2013 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS
91
“MATEMÁTICA”
a)
a 3 y las raíces son -6 y 0.
b)
Los coeficientes b y c son números enteros; las raíces son 3 4 y 5 3 .
c)
Las raíces son los inversos de las raíces de 12 x2 x 1 0 .
d)
a 5 , una raíz es 0 y la otra es 1 2 .
Determine c en la ecuación x2 10 x c 0 de modo que una de sus raíces sea:
2)
1
a)
b) b) 0
c)
52 2
SOLUCIÓN DE A)
x1 x2 10
x1 x2 c
1 x2 10
, x2 11 , c 11
x2 c
la ecuación es x 2 10 x 11 0
(verifique)
R: 2-c) c = 17, la ecuación: x 2 10 x 17 0
Determine b en la ecuación 2 x2 bx 5 0 de modo que una de sus raíces sea:
3)
a)
b)
c)
5
2
1
3 1
i
2 2
R: a) b = 7, la ecuación es 2 x 2 7 x 5 0 ; b) b = 7.
SOLUCIÓN DE C)
Si un número complejo es raíz, el complejo conjugado también lo es. Además: x1 x2
b
a
3 1
3 1
x1 i , x2 i
2 2
2 2
b
x1 x2 3 luego
3 b 6
2
CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 2013 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS
92
“MATEMÁTICA”
La ecuación es 2 x 2 6 x 5 0
4) Halle el valor (o los valores) que debe tomar k en la ecuación x2 6 x k 0 , de modo que:
a) las dos raíces sean iguales; b) las raíces sean complejas; c) las raíces sean reales.
R: a) k
= 9, b) k > 9, c) k < 9
5) La suma de n números enteros positivos, a partir del número 1 (uno) puede encontrarse
mediante la fórmula S
n (n 1)
. Encuentre cuántos números enteros positivos deben
2
sumarse a partir del 1 para que la suma sea 6670.
R: 115 números.
6) El producto de dos números pares consecutivos es 624. Encuéntrelos.
R: 24 y 26
7) Determine el número que sumado a su inverso dé por resultado
R:
82
.
9
1
9
8) Encuentre, si existe, el número tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo número que se
obtiene si a su cuadrado se le resta 65.
R: 13 y -5
9) La superficie de un triángulo rectángulo es 170 cm2 y la suma de sus catetos es 37 cm . Halle
las longitudes de los catetos.
10) El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros más que el doble del ancho. Si la superficie
de la piscina es de 152 m 2 , determine sus dimensiones.
R: ancho: 8 m, largo: 19 m.
11) Si los radios de los émbolos de una prensa hidráulica son: r1 = x – 2 y r2 = 2 r1.
¿Cuál es la razón entre las fuerzas aplicadas?
SOLUCIÓN
La prensa hidráulica es un mecanismo compuesto esencialmente
F2
F1
por dos cilindros de distintas secciones y comunicados entre sí.
CURSO DE AMBIENTACIÓN A LA VIDA UNIVERSITARIA 2013 - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS
93
“MATEMÁTICA”
A cada cilindro se ajusta un émbolo y el recipiente se llena completamente de un líquido que
puede ser aceite o agua y su funcionamiento es una aplicación del Principio de Pascal.
El Principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido incompresible en el
interior de un recipiente de paredes indeformables se transmite íntegramente y con igual
intensidad en todas direcciones y en todos los puntos del fluido.
Si sobre el émbolo chico se aplica una fuerza F1 , sobre el grande aparece una fuerza F2 .
La presión es la razón entre la fuerza y la superficie: p
Entonces: p
F2 S 2
F1 S1
F1
y
S1
p
F
.
S
F F
F2
igualamos los segundos miembros: 1 2 y de aquí:
S1 S2
S2
S2 2 x 2 4 x 2 ; S1 x 2
2
2
2
F 4 x 2 F2
; 4 De aquí se obtiene que F2 4 F1
La razón entre las fuerzas es 2
F1 x 2 2 F1
2
RESPUESTA
La razón entre las fuerzas es 4. Ello significa que si se aplica una fuerza en el émbolo menor, la
fuerza que se ejerce sobre el mayor es cuatro veces mayor. Observe que el problema plantea
la situación en la cual el radio de uno de los émbolos es el doble del otro.
12) Si la razón entre las fuerzas F2 y F1 aplicadas a los émbolos de una prensa hidráulica es 9, y
los radios son r2 = x y r1 = x + 6, ¿cuál es el diámetro de cada émbolo?
SOLUCIÓN
x 6
x 2 12 x 36
2
2
9
;
9 ; x 12 x 36 9 x ; x2 12 x 36 9 x2 0
2
2
x
x
2
-8 x2 12 x 360 ; podemos multiplicar por (-1): 8 x2 12 x 360 , también podemos
dividir por 4 y tenemos la ecuación de segundo grado equivalente: 2 x2 3 x 9 0
b b2 4 a c
La fórmula para resolverla es: x
2a
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94
“MATEMÁTICA”
x
x
3 32 4.2.( 9)
3 9 72
3 81
; x
; x
;
2.2
4
4
3
39
; x1 ; x2 3
2
4
La primera solución de la ecuación no conviene al problema por ser negativa. La solución es
entonces x = 3.
Los radios son: r1 x6; r1 369 ; y el diámetro serán respectivamente
d1 18 ; r2 x, luego r2 3; d2 6
R: Los diámetros de los émbolos son de 6 unidades y de 18 unidades.
8. Ecuaciones con radicales que pueden resolverse mediante ecuaciones
cuadráticas
x 6 x 3 . Elevamos ambos miembros al cuadrado:
a) Sea la ecuación 2
4
x6
2
x 3 4 x 6 x 2 6 x 9
2
4 x 24 x2 6 x 9 x2 6 x 9 4 x 6 0
La ecuación es: x2 2 x 15 0
Se resuelve y se obtienen las raíces x1 3 ; x2 5 .
Es necesario comprobar si las soluciones de la ecuación cuadrática son soluciones de la
ecuación original. Esa verificación debe realizarse porque al elevar los dos miembros de una
ecuación a la misma potencia, se obtiene una ecuación que admite, al menos, todas las raíces
de la primera, pero pueden aparecer raíces que no son soluciones de la ecuación original.
Para verificar se reemplaza en cada uno de los miembros y se comparan los resultados, tal
como se explica a continuación:
Para x1 3 :
Primer miembro: 2 3 6 2 9 2 3 6
Segundo miembro: 3 3 6
Se verifica la igualdad.
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95
“MATEMÁTICA”
Para x2 5 :
Primer miembro: 2 5 6 2 1 2 1 2
Segundo miembro: 5 3 2
No se verifica la igualdad. Luego la única solución es x 3 .
b) Dada:
3x 3
3x 3 x 2 1 , se eleva al cuadrado:
2
x 2 1
2
3x 3
x2
2
2 x 2 1 12
3x 3 x 2 2 x 2 1 3x 3 x 3 2 x 2
2 x 2 x 2 Se dividen ambos miembros por 2:
x x2
Se eleva al cuadrado: x 2
x2
2
x2 x 2
x2 x 2 0
Se resuelve la ecuación de segundo grado, obteniéndose: x1 2 ; x2 1 .
Se verifica si las soluciones obtenidas son soluciones de la ecuación original:
Para x1 2 :
3.2 3 6 3 9 3
2 2 1 4 1 2 1 3
Para x2 1 :
Luego 2 es solución.
3.(1) 3 3 3 0 0
1 2 1 1 111 2
Como los resultados no son iguales, (-1) no es solución de la ecuación dada.
EJERCICIOS
1) Resuelva las ecuaciones:
a) 3 5 x x
b) x 1
x5
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96
“MATEMÁTICA”
c)
4x 3 3 4 x
e) x 3 3x 7
d)
x 3 x 2 1
f)
2x 3 x 3
RESPUESTAS
a) 4
b) –1 y 4
c) 3
d) 6
e) –2 y -1
f) 2
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97
“MATEMÁTICA”
TEMA 8: LA FUNCIÓN LINEAL
1. Funciones
DEFINICIÓN
Una función es una correspondencia o relación entre dos conjuntos que a cada elemento del
primer conjunto hace corresponder un único elemento del segundo conjunto.
El primer conjunto es el dominio de la función, el segundo, es el codominio.
Una función puede estar definida mediante una fórmula. Tal es el caso de una función
polinómica P(x) an xn an1xn1 ........a1x1 a0
.
Si el polinomio tiene coeficientes reales y convenimos en que la variable x puede tomar
cualquier valor real, queda definida una función cuyo dominio es el conjunto de los números
reales y el codominio es también ese conjunto.
Si f designa la función, x designa cualquier elemento del dominio e y al elemento que le
corresponde en el codominio, se conviene en expresar esa correspondencia mediante y = f(x).
Sea por ejemplo el polinomio f (x) x3 x 1. Con x se designa a la variable independiente
que puede tomar cualquier valor real: el Dominio de la función es el conjunto . Para cada
valor de x, mediante la fórmula que define a la función, hallaremos su imagen. El conjunto de
todas las imágenes es el recorrido o conjunto imagen de la función.
La imagen de
1
es
f 1 3
, la imagen de 0 es
f 0 1
, etc.
El conjunto imagen de f es el conjunto que tiene por elemento a y tal que
y x 3 x 1.
Ello puede simbolizarse mediante: Dom f = , Im f =
Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes coordenados
ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse dividen al plano en
cuatro regiones llamadas cuadrantes; el punto de intersección de los ejes es el origen de
coordenadas.
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98
“MATEMÁTICA”
y
II
I
y1
P(x1, y1)
x1
III
x
IV
Los puntos del plano que están en el eje x tienen ordenada y = 0. Los puntos pertenecientes al
eje y tienen abscisa x = 0 .
2. La función lineal en una variable
Una función polinómica de primer grado está definida por f(x) = a x + b, se llama función lineal
y su gráfica es una recta.
Esta es la llamada forma explícita de la ecuación de la recta. También puede expresarse en la
forma y = mx + p.
EJEMPLO
1) Dada f x 3x 1 , encontraremos las coordenadas de algunos puntos de la gráfica,
hallando los valores de y que correspondan a los de la variable independiente x anotados
en la primera columna de la tabla.
f x 3x 1
x1 1
y1 f x1 -4
x3 1
y3 f x3 2
x
x2 0
x4 2
y2 f x2 - 1
y4 f x4 5
P (x, y)
P1 1, 4
P2 0, 1
P3 1, 2
P4 2,5
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99
“MATEMÁTICA”
1) Represente los puntos de la tercera columna en un sistema de coordenadas ortogonales y
verifique que ellos están alineados, es decir, pertenecen a una recta.
y
5
2
-1
-1
1
2
x
-4
Un punto pertenece a una recta, si sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta. Ello
significa que al reemplazar las variables x e y por las coordenadas del punto, la ecuación se
transforma en una igualdad.
2) A partir de los datos de la tabla de valores encuentre las razones siguientes, y extraiga
conclusiones:
i)
y2 y1
x2 x1
iv)
viii)
y3 y2
x3 x2
y1 y4
x1 x4
ii)
v)
y3 y1
x3 x1
y1 y2
x1 x2
iii)
vii)
y4 y1
x4 x1
y2 y3
x2 x3
La constante obtenida al comparar las razones entre la variación de la ordenada y la variación
de la a s isa es la pe die te o
oefi ie te a gula de la e ta. E el eje plo es m 3 .
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100
“MATEMÁTICA”
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1 ) y (x2, y2 ) es
m
y2 y1
cambio en y (cambio vertical)
x2 x1 cambio en x (cambio horizontal)
y2
Cambio vertical: y2 – y1
y1
Cambio horizontal: x2 – x1
x1
x2
Encuentre analíticamente (es decir, efectuando los cálculos convenientes) y verifique en la
gráfica las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados.
La o de ada del pu to de i te se ió de la e ta o el eje de o de adas se lla a o de ada
al o ige . E el eje plo el pu to es 0, 1 , la ordenada al origen es p = -1.
La abscisa al origen se encuentra haciendo y = 0.
3 x 1 0 ; 3 x 1; x
1
1
es la abscisa al origen. El punto de la recta es , 0
3
3
EJERCICIOS
1) Señale con una x en
a)
c)
e)
las funciones
f x 4x
y
4
6
x
1
2
y 2x2 5x 3
lineales y dé la pendiente y la ordenada al origen.
b)
b) y 5x 4
d)
d) y
f)
f) y 6
1
4
x
2
7
8
x
5
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101
“MATEMÁTICA”
2) Determine analíticamente si el punto P0 pertenece a la recta R .
a) P0 1, 2 ; R : y x 3
c) P0 2, 1 ; R : y 3x 7
b) P0 0, 2 ; R : y x 2
d) P0 1 2, 2 ; R : y x
5
2
RESPUESTAS
1) a) m 4, p 1 / 2 ; ) m 5, p 4 ; c) no es una función lineal.
d) m 1 / 2, p 4 / 7 ; e) no es una función lineal. f) m 8 / 5, p 6
2) a) El punto no pertenece a la recta.
b) El punto no pertenece a la recta.
c) El punto pertenece a la recta.
d) El punto pertenece a la recta.
2.1. Forma punto - pendiente de la ecuación de una recta
Encontremos la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P0 x0 , y0 .
La ecuación de la recta es: y mx p 1
P0 x0 , y0 pertenece a la recta, luego:
y0 mx0 p
y
y0
.
Despejamos p:
p y0 mx0
Reemplazando
2 en 1 :
2
P0(x0, y0)
x0
x
y mx y0 mx0
y y0 m x x0 (3)
Puede obtenerse la misma ecuación restando las dos primeras expresiones. Para cada valor
real de m , se tendrá una recta a la cual pertenece el punto P0 .
EJEMPLO
La ecuación de la recta de pendiente 4 y que pasa por el punto (-2 , 7) es
y – 7 = 4 (x – (-2))
;
y – 7 = 4 (x + 2)
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102
“MATEMÁTICA”
y–7=4x+8
;
y=4x+8+7
;
y = 4 x + 15
Por un punto pasan infinitas rectas. A la ecuación y y0 m x x0 se la llama ecuación
del haz de rectas que pasan por el punto P0 x0 , y0 . También ecuación de la familia de
rectas que pasan por…
También se la llama ecuación de la familia de rectas que pasan por P0 x0 , y0
.
y
P0(x0, y0)
y0
x0
x
EJEMPLO
La ecuación del haz de rectas que pasan por el punto (-1 , 5) es y – 5 = m (x + 1)
Para cada valor de m se tendrá la ecuación de una de las infinitas rectas que
pasan
por (-1 , 5).
EJERCICIOS
1) Escriba la ecuación del haz de rectas que pasan por P0 .
a) P0 1, 5
c) P0 0, 0
b) P0 0, 3
d) P0 5 3, 3 5
2) Exprese la ecuación de la recta que pasa por P0 y tiene pendiente m . Represente la recta
gráficamente.
a) P0 1, 4 ; m 2
b) P0 0, 6 ; m 1 3
e) P0 0, 0 ; m 1
f) P0 3, 1 ; m 1 5
c) P0 2, 0 ; m 1
d) P0 0, 0 ; m 3 4
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103
“MATEMÁTICA”
RESPUESTAS
1) a) y 5 m( x 1) ; b) y 3 mx ;
3
5
c) y mx ; d) y m x
5
3
1
2) a) y 2 x 2 ; b) y x 6 ; c) y x 2 ;
3
3
1 2
d) y x ; e) y x ; f) y
4
5 5
2.2. Ecuación de la recta determinada por dos puntos
Por un punto pasan infinitas rectas. Dos puntos determinan una recta a la cual pertenecen. Se
quiere encontrar la ecuación de la recta determinada por los puntos P0 x0 , y0 y P1 x1 , y1 .
La ecuación del haz de rectas que pasan por P0 (x0 , y0 ) es y y0 m(x x0 )(1).
Determinaremos la pendiente m.
Como los puntos P0 x0 , y0 y P1 x1 , y1 pertenecen a la recta R , sus coordenadas
satisfacen la ecuación: y mx p .
P1 R y1 mx1 p
P0 R y0 mx0 p
Restando miembro a miembro:
y1 y0 mx1 p mx0 p
y1 y0 mx1 p mx0 p ; y1 y0 mx1 mx0
Factorizando el segundo miembro: y1 y0 m x1 x0 , luego m
y1 y0
(2)
x1 x0
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104
“MATEMÁTICA”
Reemplazando (2) en (1) se tiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
y y0
y1 y0
( x x0 )
x1 x0
También puede expresarse:
y y0
x x0
y1 y0 x1 x0
EJERCICIOS
1) Encuentre la ecuación de la recta determinada por P0 y P1 :
a) P0 0, 2 ; P1 6, 0
d) P0 6, 0 ; P1 0, 2
b) P0 0, 0 ; P1 3, 5
e) P0 2, 3 ; P1 3, 5
c) P0 2, 3 ; P1 1, 2
2) Halle los puntos de intersección de la recta R con los ejes coordenados.
a) R) y 4x 5
c) R) y x 4
b) R) y 5x 7
d) R) y = x
RESPUESTAS
1
5
1
2 19
2 1
1) a) y x 2 ; b) y x ; c) y x 1 ; d) y x 2 ; e) y x ; y x
3
3
3
5
5
5 5
5
7
2) a) (0; 5), ( ; 0) ; b) (0; 7), ( ; 0) ; c) (0; 4), (4; 0) ; d) (0;0)
4
5
2.3. Forma implícita de la ecuación de la recta
Partimos de la ecuación en forma explícita: y mx p . Trasponemos: y mx p 0 .
Ordenamos: mx y p 0 .
Hemos obtenido una ecuación equivalente a la dada, en la cual el segundo miembro es cero, y
en el primer miembro figuran un término en x , un término en y , y un término independiente
p . Puede decirse que es una ecuación de la forma: ax b y c 0
Esta ecuación lineal en dos variables es la forma implícita de la ecuación de la recta en el
plano. a , b y c son constantes; a y b no simultáneamente nulas.
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105
“MATEMÁTICA”
EJERCICIOS
1) Escriba en forma implícita:
a) y 3 x 8
b) y 9x 6
2) Escriba en forma explícita:
a) ax by c 0
c) 4x y 1 0
b) 3x 4 y 8 0
d) x y 0
3) Represente las rectas de los ejercicios 1) y 2).
4) Analice las gráficas y exprese las ecuaciones de las rectas en:
a) forma implícita
b) forma explícita.
5) La ecuación de una recta es ax by c 0 . Explique cuál es la característica de la recta si:
a) a 0 ; b) b 0 ; c) a c 0 ; d) b c 0.
RESPUESTAS
1)
a) 3 x + y – 8 = 0
b) 9 x – y – 6 =0
2)
a) y
b) y
a
c
x
b
b
3
x2
4
c) y = –4x + 1
d) y = x
3)
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106
“MATEMÁTICA”
4)
x 2 y 4 0;
1
y x2 ;
2
3x 5y 150 ;
3
y x 3
5
3 x 4 y 24 0 ; y
3
x6
4
1
x 2y 0 ; y x
2
5)
a) la recta es paralela al eje x
b) la recta es paralela al eje y.
c) la recta es el eje x.
d) la recta es el eje y. y
1
x
2
2.4. Inclinación de una recta
Se llama inclinación de una recta al menor ángulo positivo determinado por el eje de abscisas
orientado en el sentido positivo y la recta.
Ese ángulo siempre está comprendido entre 0 0 y 180 1800 .
0º 180º
La pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica
de su inclinación: m tg .
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107
“MATEMÁTICA”
Distintas posiciones de una recta en el plano – signos de la pendiente y la ordenada
al origen
p
p
p
Figura 3
Figura 1
Figura 2
p
Figura 6
Figura 5
Figura 4
R: Figura 1: 90º m 0; p 0
Figura 2: 90º m 0; p 0
Figura 3: 90º m 0; p 0
Figura 4: 90º m 0; p 0
Figura 5: Recta paralela al eje x . 0; tg 0 . La ecuación es y p
Figura 6: Recta paralela al eje y . 90º , la tangente de un ángulo de
La ecuación es x a
900 no existe.
2.4.1. Rectas paralelas y perpendiculares
1) Una recta pasa por el origen de coordenadas y su pendiente es 2.
a) Pruebe que si P x, y pertenece a la recta, se verifica: y 2 x .
b) Represente esa recta, y , en el mismo sistema de coordenadas, las rectas:
R1 : y 2 x 1
R2 : y 2 x 1
R3 : y 2 x 2
c) Compare las ecuaciones y las gráficas. Extraiga conclusiones.
RESPUESTA
Las ecuaciones tienen la misma pendiente m = 2
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108
“MATEMÁTICA”
PROPIEDAD
Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
2) a) Represente en un mismo sistema de coordenadas los pares de rectas:
i)
R1 : y 2x 1; R2 : y
ii)
R1 : y 3x 1 ; R2 : y x 2
1
x
2
1
3
iii)
iv)
1
R1 : y 4 x 1; R2 : y x 2
4
R1 : y x 3 ; R2 : y x 2
b) Compare las gráficas y extraiga conclusiones.
RESPUESTA
Las rectas son perpendiculares y la pendiente de una es el opuesto del inverso de la pendiente
de la otra.
PROPIEDAD
Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y sólo si la pendiente de
una es el opuesto del recíproco de la pendiente de la otra.
Si la pendiente de una es m1 y la de la otra es m2 , debe ser m2
1
m1
EJERCICIOS
1) Encuentre la ecuación de la recta a la cual pertenece P0 y es paralela a R .
a) P0 1, 2 ; R : y 3x 1
c) P0 3, 1 ; R: y =- x+3
b) P0 0, 0 ; R : y 3x 4
d) P0 0, 3 ; R : y 2 x 4 y 2
2) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por P0 y es perpendicular a R , con los datos
del ejercicio 1.
3) Complete las proposiciones:
Las e tas y m1 x p1 e y m2 x p2 son paralelas si y sólo si ......................................................
Las e tas y m1 x p1 e y m2 x p2 son perpendiculares si y sólo si ...........................................
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109
“MATEMÁTICA”
4) Encuentre la ecuación de la recta R , tal que:
a) Tiene pendiente -2 y pasa por el punto 1, 8 .
b) Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3.
c) Pasa por el punto 1 2, 1 2 y es paralela a la recta determinada por 2, 4 y 4, 6 .
d) La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los puntos 2, 1 y
2 3, 0 .
e) Pasa por 2, 5 y es paralela a la recta x 4 y 3 0.
f)
Es perpendicular a la recta 4x y 0 , por el punto 2, 5 .
RESPUESTAS
1) a) y 3x 1
d) y
1
2
1
e) y x 3
2
1
7
x ;
3
3
b) y x ;
2)
a) y
3)
a) m1 m2 ; b) m1
4) a) y 2x 6
5)
c) y x 2
b) y = 3x
1
3
c) y x 4 ;
d) y 2x 3
1
2
c) y x
3
3
8
d) y x 3
3
c) p
d) no, en los tres casos
1
m2
b) y 4 x 12
1
11
e) y x
4
2
1
9
f) y x
4
2
a) y
5
5
x
7
2
b) m
e) y
5
x3
7
7
f) y x 3
5
5
7
g) y 3
5
2
h) x 2
6) Dados los puntos A 1, 1 ; B 2, 4 y C 4, 6 , encuentre el punto D tal que el
ABCD sea un paralelogramo. Verifique que los lados opuestos son paralelos y
represente el paralelogramo en un sistema de coordenadas.
R: D (3; 3)
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110
“MATEMÁTICA”
7) Encuentre la intersección entre los conjuntos A y B , definidos en
a)
b)
A x, y y 2x 3 ; B x, y y x 1
.
A x, y y x 5; B x, y y x 1 2
R: a) el punto (–4; – 5) ; b) las rectas no se cortan.
8) Resuelva y grafique
3x y 5
b)
6 x 2 y 1
4 x 5 y 4
a)
5
2 x y 1
2
3x y 5
c)
1
2x y 1 0
2
R: a) Sistema incompatible;
4 x 2 y 0
d)
x y 6 0
3 11
b) ; ; c) (–3: 14)
4
4
d) (–2; –4)
9) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas satisface una y sólo una de las
proposiciones que quedan enunciadas completando los espacios en a), b) y c) con una de
las expresiones consignadas más abajo. Complete escribiendo la que corresponda para
que la proposición resulte verdadera.
a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene solución única si y sólo si
...........................................................................................................................................
b) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas no tiene solución si y sólo si
...........................................................................................................................................
c) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene infinitas soluciones si y
sólo si
...........................................................................................................................................
i)
su gráfica consiste en dos rectas paralelas no coincidentes.
ii)
su gráfica consiste en dos rectas perpendiculares entre sí.
iii)
su gráfica consiste en dos rectas paralelas coincidentes.
iv)
su gráfica consiste en dos rectas que se cortan en un punto.
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111
“MATEMÁTICA”
10) La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y Celsius (C) está dada por la
ecuación F
9
C 32.
5
a) Represente gráficamente la ecuación con los valores en grados Celsius en el eje
horizontal y Fahrenheit en el vertical.
b) Explique qué representa el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas.
c) Diga cuál es la pendiente de la recta y qué representa.
d) Un medicamento debe conservarse a una temperatura entre 40 0 F y 50 0 F , ¿a qué
intervalo corresponde en grados Celsius?
e) Convierta en grados Fahrenheit i) 0 0C , ii) 100 0C , iii) 25 0C .
f)
¿Qué temperatura es la misma en ambas escalas?
R: d) entre aproximadamente 4,4 0C y 10 0C ;e) i) 32 0 F ; ii) 212 0 F ; iii) 77 0 F ;
f) -40 0 F = -40 0 C 0 C
12) Cuando el aire seco se eleva, se expande y se enfría. Suponga que la temperatura a nivel
del suelo es de 25 0C y a una altura de 10 km es de 12 0C .
a) Exprese una fórmula de la temperatura T en 0 C en función de la altitud h en kilómetros,
suponiendo que la función es lineal.
b) Represente gráficamente la función y explique el significado de la pendiente.
c) ¿Cuál es la temperatura del aire a una altitud de 3 km?
R: a) T
13
h 25 c) 21,1 C
10
13) Cuando se realiza una prueba de esfuerzo en un paciente, se sabe que , cuando el ritmo
cardíaco alcance cierto valor, la prueba deberá interrumpirse. El máximo ritmo cardíaco
en latidos por minutos permitido puede calcularse mediante la fórmula m = - 0,875 x +
190 donde x representa la edad del paciente.
Determine a) el ritmo cardíaco máximo para una persona de 60 años. b) la edad de un
paciente cuyo ritmo cardíaco máximo permitido es de 150 latidos por minutos.
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112
“MATEMÁTICA”
R: a) m = 137 latidos por minuto
b) 46 años
14) Un fabricante de camperas tiene costos fijos mensuales de $12.450 y costos variables de
$ 125,00 por cada campera que fabrica. Escriba una ecuación que relacione el costo C(x)
de fabricar las camperas con la cantidad x de camperas fabricadas. Use la fórmula para
hallar el costo de fabricar 350 camperas.
R: C(x) 125x 12450 $56200
15) En una fábrica de relojes para taxis deben programar los relojes para lo cual quieren
encontrar una función que les permita conocer el precio del viaje de acuerdo con los
metros recorridos. Saben que se cobra $5 la bajada de bandera y $2,50 por cada 100
metros recorridos.
a) ¿Qué fórmula deberán programar?
b) ¿Cuánto deberán cobrar por un recorrido de 1,5 km?
R: a) C(x) 5 2,5.x ; b) $42,50
16) El proceso productivo de una empresa determina que una máquina tarda 10 minutos para
empezar a producir, y luego tarda 3 minutos para producir cada unidad.
a) Obtenga la relación funcional existente entre el tiempo de producción T y la cantidad de
unidades producidas x.
b) ¿Cuánto tiempo se tardará en producir 150 unidades
c) ¿Cuántas unidades se producen en 1330 minutos?
R: a) T (x) = 10 + 3 x ; b) 460 minutos = 7 horas 40 min.; c) 440 unidades.
17) Los gastos de consorcio que deben abonar mensualmente los propietarios de un edificio
de departamentos se discriminan de la siguiente manera: $ 120 como gasto fijo por los
servicios generales y $ 2 por cada metro cuadrado edificado que posee cada propietario.
a) Encuentre la relación funcional existente entre el número de metros cuadrados
edificados (x) y el importe que debe abonar cada propietario C x).
b) ¿Cuánto abonará mensualmente el propietario de un departamento de 110 metros
cuadrados?
c) Si un propietario abona mensualmente $260, ¿cuál es la superficie de su departamento?
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113
“MATEMÁTICA”
R: a) C(x) 120 2x ; b) $ 340 ; c) 70 metros cuadrados.
18) Un servicio técnico a domicilio de computadoras cobra a razón de $10 por hora (de
acuerdo al tiempo que lleve realizar el trabajo) y un adicional de $15 por la visita.
a) Encuentre la fórmula de la función que expresa el costo del servicio en relación al
tiempo que demora en hacerse el trabajo.
b) Si el costo de un trabajo fue de $75 ¿cuánto tiempo llevó realizarlo?
c) ¿Cuál será el costo del servicio si éste requiere de dos horas y media?
R: a) C (x) 1510x ; b) 6 horas ; c) $40.
19) En una fábrica de relojes para taxis deben programar los relojes para lo cual quieren
encontrar una función que les permita conocer el precio del viaje de acuerdo con los
metros recorridos. Saben que se cobra $5 la bajada de bandera y $2,50 por cada 100
metros recorridos.
a) ¿Qué fórmula deberán programar?
b) ¿Cuánto deberán cobrar por un recorrido de 1,5 km?
R: a) C(x) 5 2,5.x ; b) $42,50
20) El proceso productivo de una empresa determina que una máquina tarda 10 minutos para
empezar a producir, y luego tarda 3 minutos para producir cada unidad.
a) Obtenga la relación funcional existente entre el tiempo de producción T y la cantidad de
unidades producidas x.
b) ¿Cuánto tiempo se tardará en producir 150 unidades?
c) ¿Cuántas unidades se producen en 1330 minutos?
R: a) T (x) = 10 + 3 x ; b) 460 minutos = 7 horas 40 min.; c) 440 unidades.
21) Los gastos de consorcio que deben abonar mensualmente los propietarios de un edificio
de departamentos se discriminan de la siguiente manera: $ 120 como gasto fijo por los
servicios generales y $ 2 por cada metro cuadrado edificado que posee cada propietario.
a) Encuentre la relación funcional existente entre el número de metros cuadrados
edificados (x) y el importe que debe abonar cada propietario C x).
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“MATEMÁTICA”
b) ¿Cuánto abonará mensualmente el propietario de un departamento de 110 metros
cuadrados?
c) Si un propietario abona mensualmente $260, ¿cuál es la superficie de su departamento?
R: a) C(x) 120 2x ; b) $ 340 ; c) 70 metros cuadrados.
22) Un servicio técnico de computadoras cobra a razón de $10 por hora (de acuerdo al tiempo
que lleve realizar el trabajo) y un adicional de $15 por la visita (sólo realiza trabajos a
domicilio).
a) Encuentre la fórmula de la función que expresa el costo del servicio en relación al
tiempo que demora en hacerse el trabajo.
b) Si el costo de un trabajo fue de $75 ¿cuánto tiempo llevó realizarlo?
c) ¿Cuál será el costo del servicio si éste requiere de dos horas y media?
R: a) C (x) 1510x ; b) 6 horas ; c) $40.
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115
“MATEMÁTICA”
TEMA 9: LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Representemos en un mismo sistema de coordenadas, las siguientes funciones definidas
en :
a) f x x2
c) f x
b) f x 2x2
f) f x
e) f x 2x2
d) f x x2
1 2
x
2
1 2
x
2
Como primer paso, construimos una tabla de valores:
x2
2x 2
1
x2
2
2
-4
-8
-2
2
½
-1
-2
-1/2
0
0
0
0
0
0
1
1
2
½
-1
-2
-1/2
2
4
8
2
-4
-8
-2
x
x2
2x2
1 2
x
2
-2
4
8
-1
1
0
Llevando los puntos de coordenadas (x, f(x)) a un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales, se obtienen las siguientes gráficas:
y
x
La curva obtenida en cada caso recibe el nombre de parábola. Tiene un vértice y un eje de
simetría.
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116
“MATEMÁTICA”
EJERCICIOS
1) a) Dé las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de las parábolas
anteriores.
b) Exprese el dominio y el conjunto imagen.
2) Represente en un mismo sistema de coordenadas las funciones definidas en :
a) f x x2
b) f x 2x2 1
c) f x x 2 2
g x 2 x2 1
h x x2 2
3) Idem, las funciones:
f x 2x2
Dé, en cada caso, el dominio, el conjunto imagen, las coordenadas del vértice, la ecuación del
eje de simetría.
La función definida en el conjunto de los números reales por f x ax2 bx c , con a 0
, se llama función cuadrática y su gráfica es una parábola.
Si a 0 la parábola abre hacia arriba y la función tiene un valor mínimo. Si a 0 , la parábola
abre hacia abajo y la función tiene un valor máximo.
Los
e os de la fu ión cuadrática son los valores de la variable independiente que anulan a
la función, esto es, los x tales que y f x 0 . Si los dos ceros o raíces son reales y
desiguales, la parábola corta al eje de abscisas en x1 y x2 , si las raíces son reales e iguales:
x1 x2 , la parábola es tangente al eje x, y si son complejas conjugadas, la parábola no corta a
dicho eje.
Muestre que la abscisa del vértice de la parábola es x
b
. (Sugerencia; suponga que las
2a
raíces o ceros de la función son reales y desiguales y encuentre las coordenadas del punto
medio del segmento que une los ceros de la función).
4) Para las siguientes parábolas se pide:
a) los ceros de las correspondientes funciones
b) las intersecciones con los ejes coordenados
c) las coordenadas del vértice
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117
“MATEMÁTICA”
d) el valor máximo o el valor mínimo de la función, según corresponda
e) la ecuación del eje de simetría
f) la gráfica
g) el conjunto imagen.
i) y x2 6x 5
2
ii) y 2 x 11x 15
v) f x x 2 6 x 7
iv) y 4x2 1
iii) f x 2 x2 4 x 3
RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 4.I)
y x2 6x 5
2
Los ceros de la función se encuentran resolviendo la ecuación x 6 x 5 0
Se obtiene
x1 5
,
x2 1
a) las intersecciones con el eje x son los puntos 5,0 y 1,0
Si x = 0, se tiene y = 5. La intersección con el eje y es el punto (0, 5).
b) la abscisa del vértice es x
6
b
3
; x
2
2a
Si x = -3 es y = -4. Estas son las coordenadas del vértice. V(-3,-4).
c) el eje de simetría es la recta de ecuación x = -3.
d) Se propone construir la gráfica y comprobar que el conjunto imagen es el conjunto
5) Dadas
las
siguientes
funciones:
h x x 2 2 x 3 , encuentre:
f x x2 2x 3;
g x 2 x2 4 x 6
a) las coordenadas del vértice de la curva
b) los ceros de las funciones
c) represente gráficamente en un mismo sistema de coordenadas
d) exprese el conjunto imagen.
6) Halle la ecuación de la parábola, y represente la curva, si:
a) Los ceros son –5 y 2, y pasa por el punto 1, 6 .
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118
y
“MATEMÁTICA”
b) Los ceros son 0 y 3, y pasa por el punto 4, 8 .
c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto 2, 9 .
RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 6-A)
La ecuación de la parábola puede escribirse y a ( x x1 ) ( x x2 )
Reemplazando: y = a (x + 5) (x – 2) (1)
El punto (1,6) pertenece a la parábola (sus coordenadas satisfacen la ecuación):
6 = a (1 + 5) (1 – 2)
6 = -6 a
Luego es a = -1 Reemplazando en (1) se obtiene:
y = - (x + 5) (x – 2)
2
y = x 3 x 10
Verifique si la solución es correcta y grafique.
7) Determine k en la ecuación: y 4x2 5x k , de modo que la gráfica tenga su vértice
en el eje de abscisas.
8)
2
Encuentre el conjunto de valores de k en la ecuación y x 2 x 5 k , de modo que
la gráfica de la función no corte al eje de abscisas.
9) Dé la ecuación de la parábola:
(a)
10) La función cuadrática
(b)
f x ax2 bx c tiene por gráfica cartesiana la que se
representa. Se pide:
a) dé los ceros de la función.
b) exprese f x como producto.
c) determine si los pares 1, 4 y 3, 2 pertenecen a la función.
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119
“MATEMÁTICA”
RESOLUCIÓN
a) los ceros son –5 y –1.
b) f(x) = a (x + 5)(x + 1) (1)
El punto (0; -2,5) pertenece a la parábola: sus coordenadas
satisfacen la ecuación.
-2,5 = a (0 + 5) (0 + 1)
; -2,5 = a . 5
Luego es a = -0,5
Reemplazando en (1) f(x) = -0,5 (x + 5) (x + 1)
f (x) 0,5x2 3x 2,5
Verifique si la respuesta es correcta.
1) Reemplazando en la fórmula de la función se prueba que (-1,4) no pertenece a f y que (3,2) sí pertenece. En el caso del punto (-1,4) no es necesario efectuar cálculos,¿por qué?.
2) Halle los puntos de intersección de la recta y = x - 2 con la parábola y x 2 4 .
RESOLUCIÓN
Se trata de determinar los puntos de coordenadas (x,y) que satisfacen simultáneamente
ambas ecuaciones. Para ello debemos resolver el sistema formado por las dos ecuaciones
y x2 4
y x2
Igualamos los segundos miembros y resolvemos la ecuación:
x2 4 x 2 ; x2 4 x 2 0 ; x 2 x 2 0
Se obtiene: x1 1 , x2 2
Sustituyendo en la segunda ecuación se tienen los respectivos valores para y. Ellos son:
y1 3 , y2 0 . Los puntos de intersección (-1,-3) y (2,0)
Verifique si la solución es correcta.
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120
“MATEMÁTICA”
11) Encuentre la intersección de la parábola que tiene por vértice el punto 1 2, 9 2 y
corta al eje de abscisas en 1, 0 y 2, 0 , con la recta y 2 x 2 .
12) Una recta y una parábola se cortan en los puntos A 1, 8 y B 4, 3 . El vértice de la
parábola es V 2, 1 .
a) Encuentre la ecuación de la recta.
b) Encuentre la ecuación de la parábola. c) Represente gráficamente.
13) Resuelva, verifique y represente los sistemas mixtos:
y 2 x2 2 x 12
a)
y 3x 11
y 3x 2 5 x 1
c)
2 x y 7
y 2 x2 8x 6
b)
6 x y 6 0
x2 4 x 4 y
d)
y 4x
14) Una parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas, corta en el punto 1, 4 a una
recta que tiene ordenada al origen igual a 6. ¿Cuál es el otro punto de intersección entre
las gráficas?
15) Analice la gráfica y determine:
a)
b)
La ecuación de la recta R si el punto P tiene coordenadas 1,5, 1,5
La ecuación de la parábola.
c) El otro punto de intersección entre la recta y
la parábola.
d) Las coordenadas del vértice de la parábola.
e) El mínimo de la función representada
por la parábola.
16) Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo producto y necesita diseñar el packaging
(envase). Para ello ha pensado en dos opciones: un prisma y un cubo. El ancho de ambos
deberá ser el mismo pero el prisma tendrá el triple de profundidad y 4 cm menos de
altura. Hallar las medidas de cada caja y el volumen correspondiente.
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121
“MATEMÁTICA”
Resolución
Llamemos x a la arista del cubo. El volumen cubo es igual al área de la base multiplicada por la
altura:
Volumen cubo = (área base) . (altura)
Volumen del cubo = (x.x) . x = x3
La base del prisma será un rectángulo, uno de los lados tendrá x cm; el otro lado tendrá 3.x cm
(la profundidad) y la altura será de (x – 4) cm.
Volumen del prisma = (área base) . altura; V = ( x .3x)( x 4)
Volumen del prisma= x .3x.(x -4)= 3x3 - 12x2
Igualando los volúmenes:
3x3 - 12x2 = x3
3x3 - 12x2 – x3 = 0; 2x3 - 12x2 = 0
2
Para resolver la ecuación podemos factorizar el primer miembro: 2 x ( x 6) 0
Las soluciones son
x1 0 y x2 6 .
La primera solución no conviene al problema, entonces la única solución es x = 6
El nuevo packaging podrá ser un cubo de 6 cm de arista o un prisma
de base rectangular de dimensiones: ancho= 6 cm,; profundidad = 3 .
6 cm= 18 cm y altura= 6 cm – 2 cm = 2 cm.
VERIFICACIÓN
V cubo= (6cm)3 216cm3 ;
V prisma = (6 cm)(18 cm)(2cm) = 216
cm 3 .
17) Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo cilíndrico y
se deberá elegir entre
dos recipientes que poseen esta
característica y tienen la misma capacidad. El cilindro A tiene una
altura igual a su radio y el cilindro B posee un radio igual al doble
del radio de A y una altura 6 cm menor.
Encuentre las dimensiones de los cilindros y el volumen del recipiente.
Volu e
ili d o = á ea ase . altu a = π. 2.h
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122
“MATEMÁTICA”
SOLUCIÓN
Si la altura del cilindro A es igual al radio y el radio del cilindro B es el doble del radio de A y su
altura es 6 cm menor podemos expresar:
Volu e A = π . r2. = π. r3
Volu e B = π.
2
.(r -
=π[
2
.(r – 6)] = 4 r ( r 6)
2
3
2
Como los volúmenes son iguales: r 4 r ( r 6)
Dividimos ambos miembros por r 2 y se obtiene una ecuación de primer grado:
r 4(r 6) ; r 4 r 24 ;
4 r – 24 – r = 0 ; 3 r – 24 =0; 3 r = 24; r =
24
8
3
El radio del cilindro A es de 8 cm y la altura es también de 8 cm.
El radio del cilindro B = 2r = 2 . 8 cm = 16 cm
La altura del cilindro B = r – 6cm = 8 cm – 6 cm = 2 cm
Volu e A = π. 3 = 3,14. (8cm)3 = 1607,68 cm3
Volu e
ili d o B = π.
3
– 24r2) = 3,14 .[4.(8 cm)3 - 24.(8 cm)2 = 1607,68 cm3
18) Si los radios de los émbolos de una prensa hidráulica son:
r1 = x – 2 y r2 = 2 r1
¿Cuál es la razón entre las fuerzas aplicadas?
SOLUCIÓN
La prensa hidráulica es un mecanismo compuesto esencialmente
por dos cilindros de distintas secciones y comunicados entre sí. A
F2
F1
cada cilindro se ajusta un émbolo y el recipiente se llena
completamente de un líquido que puede ser aceite o agua y su
funcionamiento es una aplicación del Principio de Pascal.
El Principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido incompresible en el
interior de un recipiente de paredes indeformables se transmite íntegramente y con igual
intensidad en todas direcciones y en todos los puntos del fluido.
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123
“MATEMÁTICA”
Si sobre el émbolo chico se aplica una fuerza F1 , sobre el grande aparece una fuerza F2 .
La presión es la razón entre la fuerza y la superficie: p
Entonces: p
F1
y
S1
F2 S 2
F1 S1
p
F
.
S
F F
F2
igualamos los segundos miembros: 1 2 y de aquí:
S1 S2
S2
S2 2 x 2 4 x 2 ; S1 x 2
2
2
2
F 4 x 2 F2
; 4 De aquí se obtiene que F2 4 F1
La razón entre las fuerzas es 2
F1 x 2 2 F1
2
RESPUESTA
La razón entre las fuerzas es 4. Ello significa que si se aplica una fuerza en el émbolo menor, la
fuerza que se ejerce sobre el mayor es cuatro veces mayor. Observe que el problema plantea
la situación en la cual el radio de uno de los émbolos es el doble del otro.
19) Si la razón entre las fuerzas F2 y F1 aplicadas a los émbolos de una prensa hidráulica es 9, y
los radios son r2 = x y r1 = x + 6, ¿cuál es el diámetro de cada émbolo?
SOLUCIÓN
x 6
x 2 12 x 36
2
2
9
;
9 ; x 12 x 36 9 x ; x2 12 x 36 9 x2 0
2
2
x
x
2
8 x2 12 x 360 ; podemos multiplicar por (-1): 8 x2 12 x 360 , también podemos
dividir por 4 y tenemos la ecuación de segundo grado equivalente: 2 x2 3 x 9 0
b b2 4 a c
La fórmula para resolverla es: x
2a
x
x
3 32 4.2.( 9)
3 9 72
3 81
; x
; x
;
2.2
4
4
3
39
; x1 ; x2 3
2
4
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124
“MATEMÁTICA”
La primera solución de la ecuación no conviene al problema por ser negativa. La solución es
entonces x = 3.
Los
radios
r2 3; d2 6
serán:
r1 x6; r1 369 ; el diámetro será
d1 18 ; r2 x, luego
R: Los diámetros de los émbolos son de 6 unidades y de 18 unidades.
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125
“MATEMÁTICA”
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