Pembezaan|1
Modul berfokus
Pembezaan
The price of anything is the amount of
life
you exchange for it
http://www.cikguesmandi.blogspot.com/
email : mohdesmandi@gmail.com
Pembezaan|2
x 4
x2
KERTAS 1
2
1.
Cari had
x 2
x2 4
x 2 x 2
Find lim
2.
.
.
[2 m / Aras R]
Diberi f ( x) x(5 3 x) 2 , cari f ' (2).
Given that f ( x) x(5 3 x) 2 , find f ' (2).
[3 m / Aras R]
3.
4.
Diberi f(x) = ax2 + bx, f(2) = 2 dan f’(2) = 3, cari nilai bagi a dan b.
Given that f(x) = ax2 + bx, f(2) = 2 and f’(2) = 3, calculate the values of a and b.
[4 m / Aras T]
Jika y = 3x3 4x, cari
dy
dan tafsirkan maknanya.
dx
dy
and interpret its meaning.
If y = 3x3 4x, find
dx
[2 m/Aras R]
5.
6.
7.
Cari kecerunan lengkung pada titik persilangan lengkung y = x(x2 3) + 5 dengan
paksi y.
Find the gradient of the curve y = x(x2 3) + 5 at the point where it crosses the y-axis.
[3 m / Aras S]
2x 1
dy
, cari nilai
pada titik x = 1.
2
dx
x 1
2x 1
dy
If y 2
, find
at the point where x = 1.
x 1
dx
Jika y
[3 m / Aras S]
Diberi y
2 6
dy
u dengan keadaan u 3 x 5 , cari
dalam sebutan x.
3
dx
2
dy
in terms of x.
Given that y u 6 such that u 3 x 5 , find
3
dx
[4m /Aras R ]
http://www.cikguesmandi.blogspot.com/
email : mohdesmandi@gmail.com
Pembezaan|3
8.
, cari nilai g (1) .
(2 x 1)3
2
Given that g ( x)
, evaluate g (1) .
(2 x 1)3
Diberi g ( x)
2
[4 m/Aras S]
9.
Rajah menunjukkan lengkung bagi fungsi
y = x2 4x. Diberi tangen kepada lengkung pada titik B
adalah selari dengan garis lurus OA, cari koordinat bagi
titik B
Diagram shows the curve y = x2 4x. Given that the
tangent to the curve at point B is parallel to OA, find
the coordinates of point B.
y
x
[4 m / Aras S]
10.
11.
12.
Kecerunan tangen kepada lengkung y = x2 (px 4) di x = 1 ialah 14. Cari nilai p.
The gradient of the tangent to the curve y = x2 (px 4) at x = 1 is 14.
Find the value of p.
[3 m / Aras S]
Titik P terletak pada lengkung y = (x 5)2. Diberi bahawa persamaan normal kepada
1
23
lengkung pada P ialah y x . Cari koordinat P.
4
4
The point P lies on the curve y = (x 5)2. It is given that the equation of the normal
1
23
to the curve at P is y x . Find the coordinates of P.
4
4
[4 m /Aras T]
Garis normal kepada lengkung y x 2 1 pada titik P adalah selari dengan garis lurus
2y + x = 8. Cari persamaan garis normal kepada lengkung itu pada titik P.
The normal to the curve y x 2 1 at point P is parallel to the straight line 2y+x=8
Find the equation of the normal to the curve at point P.
[4 m / Aras T ]
http://www.cikguesmandi.blogspot.com/
email : mohdesmandi@gmail.com
Pembezaan|4
13.
14.
15.
Dua pembolehubah y dan x dihubungkan dengan persamaan y 3 x
2
. Diberi x
x
bertambah dengan kadar malar 4 unit sesaat apabila x = 2, cari kadar perubahan yang
sepadan bagi y.
2
Two variables y and x are related by the equation y 3 x . Given that x increases
x
at a constant rate of 4 units per second when x = 2, find the corresponding rate of
change of y.
[3 m / Aras R]
Sebuah kubus mengembang dengan keadaan sisinya berubah pada kadar 2cm/s.
Cari kadar perubahan jumlah luas permukaan apabila isi padunya adalah 125 cm3.
A cube expands in such a way that its sides change at a rate of 2cm/s.
Find the rate of change of the total surface area when its volume is 125 cm3.
[4 m /Aras T]
Diberi y = px3 4x2 + 5x, di mana p adalah pemalar, cari
Given y = px3 4x2 + 5x, where p is a constant, find
dy
(a)
dx
d2y
= 4 apabila x=1
(b) nilai p jika
dx 2
d2y
value of p if
= 4 when x=1
dx 2
[4 m /Aras R]
16.
17.
Lengkung y = –3x2 – 12x + 7 mempunyai titik maksimum pada titik x = k, dengan
keadaan k adalah pemalar. Cari nilai k.
The curve y = –3x2 – 12x + 7 has a maximum point at x = k, such that k is a constant.
Find the value of k.
[3 m /Aras R]
Diberi bahawa y = 2x3 4x2.
It is given that y = 2x3 4x2.
(a) Cari nilai dy apabila x = 1,
dx
Find the value of dy when x = 1,
dx
(b) Ungkapkan dalam sebutan k perubahan kecil bagi y apabila x berubah daripada 1
kepada 1 + k, dengan keadaan k adalah nilai positif yang kecil. Nyatakan sama
ada perubahan ini adalah penambahan atau penyusutan.
Express in term of k, the approximate change in y, when x changes from 1 to
1 + k, where k is a small positive value. State whether this change is an increase
or decrease.
[4 m / Aras S]
http://www.cikguesmandi.blogspot.com/
email : mohdesmandi@gmail.com
Pembezaan|5
18.
1
Isi padu air, V cm3 bagi sebuah bekas diberi oleh V h 3 7 h dengan keadaan h cm
3
adalah tinggi aras air dalam bekas. Air dituang ke dalam bekas pada kadar 8 cm3 s-1.
Cari kadar perubahan tinggi aras air dalam bekas, dalam cm s -1, pada ketika tingginya
adalah 3 cm.
1
The volume of water, V cm3 , in a container is given by V h 3 7 h where h cm is
3
the height of the water in the container. Water is poured into the container at a rate of
8 cm3 s-1. Find the rate of change of the height of water, in cm s-1, at the instant
when its height is 3 cm.
[3 m /Aras S]
http://www.cikguesmandi.blogspot.com/
email : mohdesmandi@gmail.com
Pembezaan|6
KERTAS 2
1.
Lengkung y = 2x2 kx + 1, dengan keadaan k adalah pemalar mempunyai titik
pusingan pada (1, m).
A curve y = 2x2 kx + 1 where k is a constant has a turning point at (1, m).
(a)
Cari nilai k dan nilai m.
Find the value of k and m.
[3 m / Aras S]
(b)
Cari persamaan normal kepada lengkung y = 2x2 kx + 1 pada x =
Find the equation of normal to the curve y = 2x2 kx + 1 at x =
2.
3
.
2
3
.
2
[4 m / Aras T]
Tangen kepada lengkung y = x3 + ax2 4x + 3 pada x = 1 adalah selari dengan garis
y = 3x.
The tangent to the curve y = x3 + ax2 4x + 3 at x = 1 is parallel to the line y = 3x.
Cari
Find
(a)
nilai a.
the value of a,
[2 m / Aras R]
(b)
persamaan tangen kepada lengkung pada x = 1.
the equation of tangent to the curve at x = 1.
[3 m / Aras S]
(c)
koordinat-x bagi titik-titik pusingan.
the x-coordinate at the turning points.
[3 m / Aras S]
3.
Lengkung y = x3 + 6x2 9x +1 melalui titik A(2, 1) dan mempunyai dua titik
pusingan, P(3, 1) dan Q.
The curve y = x3 + 6x2 9x +1 passes through the point A(2, 1) and has two turning
points, P(3, 1) and Q.
Cari/Find
(a)
kecerunan lengkung pada titik A
the gradient of the curve at A
[3m / Aras R]
(b)
persamaan normal kepada lengkung itu pada titik A
he equation of normal to the curve at A
[3m / Aras S]
(c)
koordinat Q dan tentukan sama ada Q adalah titik maksimum atau titik
minimum.
the coordinates of Q and determine whether Q is a maximum or minimum
point.
[4m / Aras T]
http://www.cikguesmandi.blogspot.com/
email : mohdesmandi@gmail.com
Pembezaan|7
4.
Diberi lengkung y = ax3 + bx2 dengan keadaan a dan b adalah pemalar.
Given the curve y = ax3 + bx2 , where a and b are constant.
(a)
(b)
Tentukan sama ada titik (0,0) pada lengkung adalah titik maksimum atau titik
minimum jika b>0.
Determine whether point (0, 0) on the curve is maximum or minimum point if
b > 0.
[3 m / Aras S]
Apakah nilai a dan b jika titik (1, 2) adalah titik pusingan lengkung itu?
What is the value of a and b if point (1, 2) is the turning point of the curve?
[4 m / Aras T]
5.
Rajah menunjukkan seutas dawai yang dibengkokkan menjadi perimeter sebuah sektor
bulatan OABC berpusat O dan berjejari r cm dengan keadaan sudut AOC adalah θ radian.
Panjang dawai adalah 100 cm manakala r and θ akan berubah.
Diagram shows a piece of wire bent to form the perimeter OABC of a sector of a circle,
centre O, radius r cm, where angle AOC is θ radian. The wire is of length 100 cm and r
and θ may vary.
(a)
Tunjukkan bahawa luas sector, A cm2 boleh diungkapkan sebagai 50r r2.
Show that the area of the sector , A cm2 can be expressed as 50r r2.
[3 m / Aras S]
(b)
Cari
Find
(i)
(ii)
nilai r supaya luas yang dilingkungi oleh dawai adalah maksimum.
the value of r for which the area enclosed by the wire is a maximum.
nilai sepadan bagi θ dalam radian .
the corresponding value of θ in radian.
[4 m / Aras S]
http://www.cikguesmandi.blogspot.com/
email : mohdesmandi@gmail.com
Pembezaan|8
6.
Rajah menunjukkan satu bekas air dengan keratan rentas berbentuk semi bulatan,
berjejari r m. Panjang bekas air adalah l m. Jumlah bahan yang digunakan untuk
membuat bekas air adalah 20 m2.
The diagram shows a water trough of semicircular cross-section, radius r m. Its length
is l m. The total amount of material used to make the trough is 20 m2.
[Isipadu silinder/volume of cylinder = r2h ]
lm
rm
1
Tunjukkan bahawa isipadu bekas air itu, V m3, diberi oleh V 10r r 3 .
2
1
Show that the volume, V m3, of the trough is given by V 10r r 3 .
2
[3 m/Aras T]
Cari isi padu maksimum bekas itu. Berikan jawapan anda tepat kepada dua
tempat perpuluhan dalam m3. Tunjukkan isipadu ini sebenarnya adalah
maksimum.
Find the maximum volume of the trough. Give your answer correct to 2
decimal places in m3. Show that this volume is indeed the maximum.
[5 m / Aras T]
(a)
(b)
7.
Pebolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y
(a)
Variable x dan y are related by equation y
(i)
(ii)
(b)
3x 8
.
2x
3x 8
.
2x
dy
.
dx
dy
.
Find the expression for
dx
Seterusnya, cari susutan hampir dalam y apabila x bertambah dari 2
kepada 2+k dengan keadaan k adalah nilai yang kecil.
Hence, find the approximate decrease in y as x increases from 2 to
2+k, where k is small.
[5 m / Aras S]
Cari ungkapan bagi
Cecair dituang ke dalam bekas pada kadar 12 cm3 s-1. Isi padu cecair dalam
1
bekas ialah V cm3 dengan keadaan V (h 2 4h) dan h cm ialah tinggi aras
2
cecair dalam bekas, Apabila V =16, cari
http://www.cikguesmandi.blogspot.com/
email : mohdesmandi@gmail.com
Pembezaan|9
Liquid is poured into the container at a rate of 12 cm3 s-1. The volume of liquid
1
in the container is V cm3 , where V (h 2 4h) and h cm is the height of
2
liquid in the container. Find, when V = 16,
(i)
nilai h.
the value of h.
(ii)
kadar kenaikan h.
the rate at which h is increasing.
[5 m / Aras T]
8.
Rajah menunjukkan sebuah bekas air tanpa penutup
dengan tapak berbentuk segi empat sama dan sisi yang
tegak. Panjang sisi tapaknya ialah x cm manakala
tingginya ialah y cm. Diberi bekas itu boleh mengisi 4000
cm3 air.
Diagram shows a water container without cover with a
square base and vertical sides. The length of the base is x
cm and the height is y cm. Given that the container can
contains 4000 cm3.
(a)
Ungkapkan y dalam sebutan x.
Express y in terms of x
y cm
x cm
x cm
[2 m / Aras R]
(b)
Cari jumlah luas permukaan bekas dalam sebutan x.
Find the total surface area of the container in terms of x.
[3 m / Aras S]
(c)
Seterusnya, cari ukuran yang paling ekonomi (jumlah luas permukaan
minimum) bagi bekas air itu.
Hence, find the most economical measurements (minimum surface area) for
the container.
[5 m / Aras T]
http://www.cikguesmandi.blogspot.com/
email : mohdesmandi@gmail.com
P e m b e z a a n | 10
JAWAPAN : MODUL 9 : BAB : PEMBEZAAN
KERTAS 1
KERTAS 2
1
1
1. (a) k=4, m=1 (b) y x
2
4
1. 4
2. 13
3. a = 2, b = 5
4. 9x2 4,
fungsi kecerunan bagi lengkung
y = 3x3 4x,
atau terbitan pertama bagi fungsi
y = 3x3 4x,
5. 3
4
x2
(b) (i) 4
8. 12
(ii) k
(ii) 2 cm s-1
8. (a) 4000/x2
(b) A x 2
9. (2.5, 3.75)
16000
x2
(c) 20 cm x 20 cm x 10 cm
10. p = 2
11. P(7, 4)
12. x + 2y = 5
13. 10 unit /s
14. 120 cm2/s
15. (a) 3px2 8x + 5
(b) p = 2
17. (a) 2
(b) 2k
http://www.cikguesmandi.blogspot.com/
email : mohdesmandi@gmail.com
5. (b) (i) 25 (ii) 2
7. (a) (i)
7. 12(3x 5)
18. ½ cm s-1
4. (a) minimum (b) a = 4, b = 6
6. 9.71 m3
6. ½
16. k = 2
2. (a) a = 2, (b) y = 3x1
(c) x = 2/3,
2
3. (a) 3
(b) x+3y+1=0
(c) Q(1, 3) titik minimum