Pembezaan|1 Modul berfokus Pembezaan The price of anything is the amount of life you exchange for it http://www.cikguesmandi.blogspot.com/ email : mohdesmandi@gmail.com Pembezaan|2 x 4 x2 KERTAS 1 2 1. Cari had x  2 x2  4 x  2 x  2 Find lim 2. . . [2 m / Aras R] Diberi f ( x)  x(5  3 x) 2 , cari f ' (2). Given that f ( x)  x(5  3 x) 2 , find f ' (2). [3 m / Aras R] 3. 4. Diberi f(x) = ax2 + bx, f(2) = 2 dan f’(2) = 3, cari nilai bagi a dan b. Given that f(x) = ax2 + bx, f(2) = 2 and f’(2) = 3, calculate the values of a and b. [4 m / Aras T] Jika y = 3x3  4x, cari dy dan tafsirkan maknanya. dx dy and interpret its meaning. If y = 3x3  4x, find dx [2 m/Aras R] 5. 6. 7. Cari kecerunan lengkung pada titik persilangan lengkung y = x(x2 3) + 5 dengan paksi y. Find the gradient of the curve y = x(x2 3) + 5 at the point where it crosses the y-axis. [3 m / Aras S] 2x 1 dy , cari nilai pada titik x = 1. 2 dx x 1 2x 1 dy If y  2 , find at the point where x = 1. x 1 dx Jika y  [3 m / Aras S] Diberi y  2 6 dy u dengan keadaan u  3 x  5 , cari dalam sebutan x. 3 dx 2 dy in terms of x. Given that y  u 6 such that u  3 x  5 , find 3 dx [4m /Aras R ] http://www.cikguesmandi.blogspot.com/ email : mohdesmandi@gmail.com Pembezaan|3 8. , cari nilai g (1) . (2 x  1)3 2 Given that g ( x)  , evaluate g (1) . (2 x  1)3 Diberi g ( x)  2 [4 m/Aras S] 9. Rajah menunjukkan lengkung bagi fungsi y = x2  4x. Diberi tangen kepada lengkung pada titik B adalah selari dengan garis lurus OA, cari koordinat bagi titik B Diagram shows the curve y = x2  4x. Given that the tangent to the curve at point B is parallel to OA, find the coordinates of point B. y x [4 m / Aras S] 10. 11. 12. Kecerunan tangen kepada lengkung y = x2 (px  4) di x =  1 ialah 14. Cari nilai p. The gradient of the tangent to the curve y = x2 (px  4) at x =  1 is 14. Find the value of p. [3 m / Aras S] Titik P terletak pada lengkung y = (x  5)2. Diberi bahawa persamaan normal kepada 1 23 lengkung pada P ialah y   x  . Cari koordinat P. 4 4 The point P lies on the curve y = (x  5)2. It is given that the equation of the normal 1 23 to the curve at P is y   x  . Find the coordinates of P. 4 4 [4 m /Aras T] Garis normal kepada lengkung y  x 2  1 pada titik P adalah selari dengan garis lurus 2y + x = 8. Cari persamaan garis normal kepada lengkung itu pada titik P. The normal to the curve y  x 2  1 at point P is parallel to the straight line 2y+x=8 Find the equation of the normal to the curve at point P. [4 m / Aras T ] http://www.cikguesmandi.blogspot.com/ email : mohdesmandi@gmail.com Pembezaan|4 13. 14. 15. Dua pembolehubah y dan x dihubungkan dengan persamaan y  3 x  2 . Diberi x x bertambah dengan kadar malar 4 unit sesaat apabila x = 2, cari kadar perubahan yang sepadan bagi y. 2 Two variables y and x are related by the equation y  3 x  . Given that x increases x at a constant rate of 4 units per second when x = 2, find the corresponding rate of change of y. [3 m / Aras R] Sebuah kubus mengembang dengan keadaan sisinya berubah pada kadar 2cm/s. Cari kadar perubahan jumlah luas permukaan apabila isi padunya adalah 125 cm3. A cube expands in such a way that its sides change at a rate of 2cm/s. Find the rate of change of the total surface area when its volume is 125 cm3. [4 m /Aras T] Diberi y = px3  4x2 + 5x, di mana p adalah pemalar, cari Given y = px3  4x2 + 5x, where p is a constant, find dy (a) dx d2y = 4 apabila x=1 (b) nilai p jika dx 2 d2y value of p if = 4 when x=1 dx 2 [4 m /Aras R] 16. 17. Lengkung y = –3x2 – 12x + 7 mempunyai titik maksimum pada titik x = k, dengan keadaan k adalah pemalar. Cari nilai k. The curve y = –3x2 – 12x + 7 has a maximum point at x = k, such that k is a constant. Find the value of k. [3 m /Aras R] Diberi bahawa y = 2x3  4x2. It is given that y = 2x3  4x2. (a) Cari nilai dy apabila x = 1, dx Find the value of dy when x = 1, dx (b) Ungkapkan dalam sebutan k perubahan kecil bagi y apabila x berubah daripada 1 kepada 1 + k, dengan keadaan k adalah nilai positif yang kecil. Nyatakan sama ada perubahan ini adalah penambahan atau penyusutan. Express in term of k, the approximate change in y, when x changes from 1 to 1 + k, where k is a small positive value. State whether this change is an increase or decrease. [4 m / Aras S] http://www.cikguesmandi.blogspot.com/ email : mohdesmandi@gmail.com Pembezaan|5 18. 1 Isi padu air, V cm3 bagi sebuah bekas diberi oleh V  h 3  7 h dengan keadaan h cm 3 adalah tinggi aras air dalam bekas. Air dituang ke dalam bekas pada kadar 8 cm3 s-1. Cari kadar perubahan tinggi aras air dalam bekas, dalam cm s -1, pada ketika tingginya adalah 3 cm. 1 The volume of water, V cm3 , in a container is given by V  h 3  7 h where h cm is 3 the height of the water in the container. Water is poured into the container at a rate of 8 cm3 s-1. Find the rate of change of the height of water, in cm s-1, at the instant when its height is 3 cm. [3 m /Aras S] http://www.cikguesmandi.blogspot.com/ email : mohdesmandi@gmail.com Pembezaan|6 KERTAS 2 1. Lengkung y = 2x2 kx + 1, dengan keadaan k adalah pemalar mempunyai titik pusingan pada (1, m). A curve y = 2x2 kx + 1 where k is a constant has a turning point at (1, m). (a) Cari nilai k dan nilai m. Find the value of k and m. [3 m / Aras S] (b) Cari persamaan normal kepada lengkung y = 2x2 kx + 1 pada x = Find the equation of normal to the curve y = 2x2 kx + 1 at x = 2. 3 . 2 3 . 2 [4 m / Aras T] Tangen kepada lengkung y = x3 + ax2 4x + 3 pada x = 1 adalah selari dengan garis y = 3x. The tangent to the curve y = x3 + ax2 4x + 3 at x = 1 is parallel to the line y = 3x. Cari Find (a) nilai a. the value of a, [2 m / Aras R] (b) persamaan tangen kepada lengkung pada x = 1. the equation of tangent to the curve at x = 1. [3 m / Aras S] (c) koordinat-x bagi titik-titik pusingan. the x-coordinate at the turning points. [3 m / Aras S] 3. Lengkung y = x3 + 6x2 9x +1 melalui titik A(2, 1) dan mempunyai dua titik pusingan, P(3, 1) dan Q. The curve y = x3 + 6x2 9x +1 passes through the point A(2, 1) and has two turning points, P(3, 1) and Q. Cari/Find (a) kecerunan lengkung pada titik A the gradient of the curve at A [3m / Aras R] (b) persamaan normal kepada lengkung itu pada titik A he equation of normal to the curve at A [3m / Aras S] (c) koordinat Q dan tentukan sama ada Q adalah titik maksimum atau titik minimum. the coordinates of Q and determine whether Q is a maximum or minimum point. [4m / Aras T] http://www.cikguesmandi.blogspot.com/ email : mohdesmandi@gmail.com Pembezaan|7 4. Diberi lengkung y = ax3 + bx2 dengan keadaan a dan b adalah pemalar. Given the curve y = ax3 + bx2 , where a and b are constant. (a) (b) Tentukan sama ada titik (0,0) pada lengkung adalah titik maksimum atau titik minimum jika b>0. Determine whether point (0, 0) on the curve is maximum or minimum point if b > 0. [3 m / Aras S] Apakah nilai a dan b jika titik (1, 2) adalah titik pusingan lengkung itu? What is the value of a and b if point (1, 2) is the turning point of the curve? [4 m / Aras T] 5. Rajah menunjukkan seutas dawai yang dibengkokkan menjadi perimeter sebuah sektor bulatan OABC berpusat O dan berjejari r cm dengan keadaan sudut AOC adalah θ radian. Panjang dawai adalah 100 cm manakala r and θ akan berubah. Diagram shows a piece of wire bent to form the perimeter OABC of a sector of a circle, centre O, radius r cm, where angle AOC is θ radian. The wire is of length 100 cm and r and θ may vary. (a) Tunjukkan bahawa luas sector, A cm2 boleh diungkapkan sebagai 50r  r2. Show that the area of the sector , A cm2 can be expressed as 50r  r2. [3 m / Aras S] (b) Cari Find (i) (ii) nilai r supaya luas yang dilingkungi oleh dawai adalah maksimum. the value of r for which the area enclosed by the wire is a maximum. nilai sepadan bagi θ dalam radian . the corresponding value of θ in radian. [4 m / Aras S] http://www.cikguesmandi.blogspot.com/ email : mohdesmandi@gmail.com Pembezaan|8 6. Rajah menunjukkan satu bekas air dengan keratan rentas berbentuk semi bulatan, berjejari r m. Panjang bekas air adalah l m. Jumlah bahan yang digunakan untuk membuat bekas air adalah 20 m2. The diagram shows a water trough of semicircular cross-section, radius r m. Its length is l m. The total amount of material used to make the trough is 20 m2. [Isipadu silinder/volume of cylinder = r2h ] lm rm 1 Tunjukkan bahawa isipadu bekas air itu, V m3, diberi oleh V  10r  r 3 . 2 1 Show that the volume, V m3, of the trough is given by V  10r  r 3 . 2 [3 m/Aras T] Cari isi padu maksimum bekas itu. Berikan jawapan anda tepat kepada dua tempat perpuluhan dalam m3. Tunjukkan isipadu ini sebenarnya adalah maksimum. Find the maximum volume of the trough. Give your answer correct to 2 decimal places in m3. Show that this volume is indeed the maximum. [5 m / Aras T] (a) (b) 7. Pebolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y  (a) Variable x dan y are related by equation y  (i) (ii) (b) 3x  8 . 2x 3x  8 . 2x dy . dx dy . Find the expression for dx Seterusnya, cari susutan hampir dalam y apabila x bertambah dari 2 kepada 2+k dengan keadaan k adalah nilai yang kecil. Hence, find the approximate decrease in y as x increases from 2 to 2+k, where k is small. [5 m / Aras S] Cari ungkapan bagi Cecair dituang ke dalam bekas pada kadar 12 cm3 s-1. Isi padu cecair dalam 1 bekas ialah V cm3 dengan keadaan V  (h 2  4h) dan h cm ialah tinggi aras 2 cecair dalam bekas, Apabila V =16, cari http://www.cikguesmandi.blogspot.com/ email : mohdesmandi@gmail.com Pembezaan|9 Liquid is poured into the container at a rate of 12 cm3 s-1. The volume of liquid 1 in the container is V cm3 , where V  (h 2  4h) and h cm is the height of 2 liquid in the container. Find, when V = 16, (i) nilai h. the value of h. (ii) kadar kenaikan h. the rate at which h is increasing. [5 m / Aras T] 8. Rajah menunjukkan sebuah bekas air tanpa penutup dengan tapak berbentuk segi empat sama dan sisi yang tegak. Panjang sisi tapaknya ialah x cm manakala tingginya ialah y cm. Diberi bekas itu boleh mengisi 4000 cm3 air. Diagram shows a water container without cover with a square base and vertical sides. The length of the base is x cm and the height is y cm. Given that the container can contains 4000 cm3. (a) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x y cm x cm x cm [2 m / Aras R] (b) Cari jumlah luas permukaan bekas dalam sebutan x. Find the total surface area of the container in terms of x. [3 m / Aras S] (c) Seterusnya, cari ukuran yang paling ekonomi (jumlah luas permukaan minimum) bagi bekas air itu. Hence, find the most economical measurements (minimum surface area) for the container. [5 m / Aras T] http://www.cikguesmandi.blogspot.com/ email : mohdesmandi@gmail.com P e m b e z a a n | 10 JAWAPAN : MODUL 9 : BAB : PEMBEZAAN KERTAS 1 KERTAS 2 1 1 1. (a) k=4, m=1 (b) y   x  2 4 1. 4 2. 13 3. a = 2, b = 5 4. 9x2 4, fungsi kecerunan bagi lengkung y = 3x3  4x, atau terbitan pertama bagi fungsi y = 3x3  4x, 5. 3 4 x2 (b) (i) 4 8. 12 (ii) k (ii) 2 cm s-1 8. (a) 4000/x2 (b) A  x 2  9. (2.5, 3.75) 16000 x2 (c) 20 cm x 20 cm x 10 cm 10. p = 2 11. P(7, 4) 12. x + 2y = 5 13. 10 unit /s 14. 120 cm2/s 15. (a) 3px2 8x + 5 (b) p = 2 17. (a) 2 (b) 2k http://www.cikguesmandi.blogspot.com/ email : mohdesmandi@gmail.com 5. (b) (i) 25 (ii) 2 7. (a) (i)  7. 12(3x 5) 18. ½ cm s-1 4. (a) minimum (b) a = 4, b = 6 6. 9.71 m3 6. ½ 16. k = 2 2. (a) a = 2, (b) y = 3x1 (c) x = 2/3, 2 3. (a) 3 (b) x+3y+1=0 (c) Q(1, 3) titik minimum