Résumé : Dans le vide, les équations de Maxwell s’écrivent : Equations pour : Pour établir l’équation relative au champ électrique, il faut éliminer le champ magnétique . Pour cela, calculons le rotationnel de chacun des membres de la loi de Faraday : En permutant l’ordre des dérivations, on obtient : Sachant que : Où est le laplacien vectoriel, on obtient l’équation aux dérivées partielles suivante : Comme On obtient finalement : Pour établir l’équation aux dérivées partielles pour le champ magnétique, calculons le rotationnel de chacun des membres du théorème d’Ampère-Maxwell : Mais : Et en inversant l’ordre des dérivations : Or : Donc : Ou encore : En absence de charges électriques et de courants électriques on obtient la même équation aux dérivées partielles pour le champ électrique et pour le champ magnétique. L’équation : constitue l’équation de propagation du champ électromagnétique dans le vide, où on a posé : Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide : Dans le vide, au voisinage de tout point où les charges et les courants sont nuls, les équations de Maxwell s’écrivent : Les équations pour s’écrivent alors : L’onde plane progressive sinusoïdale Relation de dispersion : L’onde plane progressive sinusoïdale est définie, en notation complexe, par : où est le vecteur d’onde donnant la direction de propagation de l’onde plane. En utilisant la définition du laplacien vectoriel dans un système de coordonnées cartésiennes, on peut montrer que : L’équation de propagation s’écrit alors sous la forme : L’onde plane progressive sinusoïdale constitue une solution particulière de l’équation d’onde seulement si la relation suivante, dite relation de dispersion, est satisfaite : Structure de l’onde uniforme plane L’onde plane progressive sinusoïdale doit également satisfaire le théorème de Gauss. En absence de charges électriques On montre aisément que pour une onde plane progressive sinusoïdale : ce qui revient à dire que le champ électrique est perpendiculaire à la direction de propagation donnée par le vecteur d’onde. Le champ électrique est dit transversal. L’onde plane progressive sinusoïdale doit également satisfaire le théorème de Maxwell- Faraday : On montre aisément que pour une onde plane progressive sinusoïdale : D’où : Et : En tenant compte des propriétés du produit vectoriel, on constate que : – Le champ magnétique est perpendiculaire au plan (. Le champ magnétique d’une onde plane progressive est donc transversal. – La direction du champ magnétique est telle que le trièdre ( est un trièdre direct. En tenant compte de la relation de dispersion, le module du champ magnétique est : Cet ensemble de propriétés permet de définir la structure de l’onde plane progressive harmonique (Figure ci-dessous). Polarisation Onde de polarisation rectiligne Une onde électromagnétique plane est dite de polarisation rectiligne si le champ garde une direction constante (polarisation rectiligne). Dans le cas d’une variation sinusoïdale en fonction du temps il s’écrit en notation réelle : Pour préciser cette onde, supposons qu’elle se propage suivant zz’ d’où : On constate une double périodicité : – Une périodicité temporelle : pour z donné le champ varie sinusoïdalement en fonction du temps avec une période – Une périodicité spatiale : à un instant t donné le champ varie sinusoïdalement en fonction de z avec une période : est appelée la longueur d’onde dans le vide). On peut remarquer que la longueur d’onde est égale à la distance parcourue par l’onde pendant une période. Onde de polarisation quelconque Dans le paragraphe précédent, nous avons supposé que le champ E (donc B également) gardait une direction constante. Dans le cas général, il n’en est pas toujours ainsi et les composantes du champ peuvent se mettre sous la forme : Dans le plan z=0 : et si l’on prend pour origine des temps un instant où Ex passe par sa valeur maximale on a : Pour quelconque, cette équation est celle d’une ellipse : on dit que l’onde a une polarisation elliptique ; pour = m(m = 0, 1, 2, . . . ) l’ellipse dégénère en une droite et l’onde est dite à polarisation rectiligne. Enfin si E0x = E0y et si = (2m + 1)/2 l’onde est dite à polarisation circulaire. Energie électromagnétique : vecteur de Poynting La propagation de l’énergie se manifeste expérimentalement dans de nombreux cas : – On peut ressentir son effet si l’on s’expose aux rayons solaires ou au rayonnement d’une source chaude ; – De même tout émetteur radio expédie de l’énergie à travers l’espace, une infime partie de cette dernière étant captée par votre récepteur radio. Nous allons essayer de relier localement cette énergie qui se propage, au champ électromagnétique qui la transporte. Nous supposerons le milieu de propagation parfait, c’est à dire homogène, isotrope et linéaire. Onde de forme spatiale et temporelle quelconques La densité d’énergie électromagnétique w en un point quelconque du milieu parcouru par une onde électromagnétique est donc à chaque instant : w = densité d’énergie électrique + densité d’énergie magnétique Pour un volume limité par une surface (s) : Pendant un temps dt l’accroissement d’énergie dans sera dW et la puissance instantanée p’ acquise par ce volume sera : D’après une relation de transformation, on a : Donc : La puissance électromagnétique instantanée perdue par le volume : Elle représente la puissance électromagnétique qui sort du volume , c’est à dire la puissance moyenne p rayonnée par ce volume. D’après la formule d’Ostrogradsky, on peut écrire : Le vecteur est appelé le vecteur de « Poynting ». Sa direction donne en chaque point, la direction d’écoulement de l’énergie et son flux à travers une surface est égal à la puissance électromagnétique instantanée rayonnée par cette surface. Les courbes tangentes en chaque point au vecteur de Poynting peuvent être considérées comme des trajectoires de l’énergie ; on les appelle les rayons électromagnétiques. Onde plane progressive et uniforme sinusoïdale La puissance instantanée pu traversant une surface unitaire (S) perpendiculaire à la direction de propagation est : Et la puissance moyenne (S=1 unité) : Si l’onde est polarisée rectilignement alors : où Eeff est la valeur efficace de E. Le flux d’énergie traversant par unité de temps l’unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation est une constante dépendant du milieu et proportionnelle au carré de la valeur efficace du champ électrique.