1 CONTROL MODERNO CONSTRUIR LA PLANTA DE UN SISTEMA A PARTIR DE SU FUNCIÓN DE TRASNFERENCIA Problema. Armar un circuito de tercer orden a partir de la siguiente función de transferencia. Existe una amplia variedad de circuitos resultantes que se pueden comportar siguiendo esta función de transferencia de tercer orden. Sin embargo en este documento se abordará el circuito más simple que puede construirse. El primer paso para desarrollar el diseño del circuito de dicha función de trasferencia consiste en expresar la función en términos simples. Una vez que la función puede ser expresada en tres términos se procede a analizar las funciones en el dominio de Laplace (dominio s). Para profundizar más en el tema es recomendable estudiar análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace así como las equivalencias de componentes electrónicos en el dominio s. Circuito Implementado Figura 1. Circuito implementado para la planta. (Imagen obtenida de la simulación en TopSpice). CONTROL MODERNO Martin Acevedo 2 Análisis de la función de transferencia El circuito implementado mostrado en la figura 1 es una serie de configuraciones con amplificadores conectados uno tras otro, con el fin de obtener una función de trasferencia de grado tres. 1. Circuito integrador Función de transferencia en el dominio de s: � =− �� �� Figura 2. Circuito Integrador 2. Primer filtro inversor pasa bajos activo de primer orden Función de trasferencia aplicando transformada de Laplace: ��� �� �0 � = (− ) ( ) � �� �+ ��� Ecuaciones de diseño: Figura 3. Esquemático de filtro inversor pasa bajos activo de primer orden Donde A es la ganancia del filtro. 3. Segundo filtro inversor pasa bajos activo de primer orden (Mismas ecuaciones del interior para realizar cálculos) 4. Circuito inversor Función de trasferencia: �� � =− �� �� Figura 4. Circuito inversor CONTROL MODERNO Martin Acevedo 3 A partir de las ecuaciones particulares de cada configuración se obtiene la siguiente función de trasferencia total: ��� ��� �� �0 �� �� � = (− ) (− ) ( ) (− ) ( ) (− ) �� � �� � � � �+ �+ ��� ��� [ ] ( )( ) �0 � = �� (− [ �� � −� � ) (− ( Simplificando queda como: 6.66�� � )( �� �+ �0 � = [(− ) �� � − � − � 6.66�� 6.66�� 6 − . 666 ( ) �+6 ) )( − �0 )( � = [( ) ( �+6 �+ �� �0 � = [( ) ( )( �� �+6 �+ )] = (− ( �+ )] �� � )( �� �+ ) − � − − �� �� ) (− ) ] � + 6� + 6 � �0 � � = �� � + 6� + 6 � La función de trasferencia tiene una ganancia k = 10. Cabe señalar que aunque el circuito resultante tiene una ganancia k, al implementar la planta para diseñar algún sistema de control sea un observador o compensador el sistema debe analizarse simplemente como: �0 � = � + 6� + 6 � �� Debido a que k solo modifica la amplitud de la respuesta de la planta ante alguna entrada sea un escalón, rampa, impulso o algún otro tipo de entrada. Nota: la respuesta de la planta ante una entrada escalón es muy pequeña, la cual puede llegar al orden de los uV o mV experimentalmente, por esta razón esta ganancia k puede ser tan grande como se necesite para fines prácticos. CONTROL MODERNO Martin Acevedo �� ) �� ] 4 Respuesta del circuito ante un Step Respuesta del circuito simulado en TopSpice ante una entrada Step de 5v. Se puede observar una respuesta lenta de la planta debido a su naturaleza princiaplemtne por el polo s = 0. Figura 5. Respuesta del circuito resultante ante una entrada step de 5V. La siguiente figura 14 muestra la respuesta de la planta (amarillo) y la señal de entrada step (azul) en un osciloscopio Tektronix. La ganancia implementada en el último amplificador, el inversor de signo es de 60. Figura 14. Se observa un comportamiento en forma de rampa por parte de la planta al aplicarle un Step. CONTROL MODERNO Martin Acevedo 5 Planta soldada en placa fenólica Los resultados obtenidos después de previos análisis cumplen con la respuesta esperada de la función de transferencia de tercer orden. En conclusión se pudo implementar y construir el circuito físico a partir de una función de trasferencia dada. Figura 6. Planta soldada en placa fenólica Bibliografía [1] Filtro pasa bajos active de primer orden RC [Internet]. Disponible: https://wilaebaelectronica.blogspot.mx/2017/01/filtro-pasa-bajos-activo-de-1er-orden-rc.html (Consultado: 30 de Abril de 2017) [2] Filtros activos [Internet]. Disponible: https://dsa-research.org/teresa/Electronica/T02-4.pdf CONTROL MODERNO Martin Acevedo