Mécanique des Structures et Approximations Numériques

Mécanique des Structures et Approximations Numériques janvier 2016 S. Drapier Département Mécanique et Procédés d’Elaboration Centre Science des Matériaux et des Structures & LGF UMR CNRS 5307 École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne 158, cours Fauriel 42023 Saint-Étienne Cedex 2 bureau J3-15, tél :00-79 Introduction générale La mécanique des milieux continus, ou MMC, est la base de la résolution de problèmes en mécanique des solides et mécanique des fluides. Si la MMC permet de traiter tout type de problème, la résolution analytique simultanée des 3 équations d’équilibre en tout point du domaine considéré, devient vite insurmontable pour être utilisée directement dans le dimensionnement des produits industriels courants. Dans le cas de la mécanique des solides, les ingénieurs ont isolé des cas particuliers de la MMC, où via certaines hypothèses sur les géométries et le chargement, la résolution peut se faire plus aisément. Ce domaine de la mécanique des solides se nomme la mécanique des structures et se définit, par opposition à la MMC, comme la mécanique des solides de dimensions finies où une des dimensions au moins est très faible devant les autres. Les théories cinématiques qui sous-tendent la mécanique des structures ont été mises au point dans les 2 derniers siècles pour le dimensionnement des structures. Dans le même temps la résistance des matériaux, ou RdM, était mise en place comme un cadre particulier de la mécanique où des hypothèses supplémentaires simplifient encore les problèmes à traiter. Dans ce cours, la théorie des poutres sera plus particulièrement développée (Figure 1) et ensuite étendue à la théorie des plaques, ceci principalement dans le cadre de la RdM. On verra, à travers cette introduction à la mécanique des structures, que bien avant que les résolution numériques ne soient disponibles, le dimensionnement des structures à l’aide de ces approches répondait, au moins en première approximation, à la plupart des cas de la vie courante. On peut toutefois noter que pour les cas complexes, les calculs s’alourdissent considérablement, et le bon sens de l’ingénieur doit primer dans le choix des hypothèses à poser pour mener à bien ces résolutions, que ce soit de façon analytique ou bien numérique. L’introduction de la théorie des poutres en RdM peut être envisagée principalement de 2 façons différentes. Une première approche consiste à partir des considérations particulières pour des grandes familles d’exemples. Une telle approche nécessite une bonne connaissance et une bonne maîtrise de la modélisation des problèmes physiques à résoudre. Une approche plus systématique, choisie ici, permet de poser la formulation rigoureuse de la théorie des poutres à partir de considérations purement mécaniques. Cette théorie tout à fait générale sera ensuite appliquée aux cas plus simples permettant d’isoler les comportements linéaires en traction, flexion simple, et en torsion. Les comportements non-linéaires seront ensuite abordés, et la mécanique des plaques sera décrite à partir i ii d’une cinématique proche de celle des poutres. Au fur et à mesure des exemples traités, le lien entre les problèmes physiques et leur formulation devra apparaître de plus en plus naturellement. Enfin, même si les solutions proposées dans le cas des structures simples restent d’un grand intérêt, il apparaîtra rapidement, dans le cas des plaques notamment, que la résolution analytique est de portée limitée. On comprend alors que la conception de systèmes avancés, de plus en plus complexes et multi-physiques (aéroélasticité/structure, thermo-mécanique, biomécanique, . . .) ne pourra se faire à l’aide de solutions simplifiées seulement. Au contraire, la conception et le dimensionnement de structures doit s’appuyer de façon systématique sur les 2 types d’approches, analytique pour accéder rapidement à des ordres de grandeur, puis numérique pour prendre en compte plus finement des comportements extrêmes et/ou locaux. En effet, l’avancée conjointe des connaissances dans le domaine du comportement des matériaux et de la puissance de calcul des ordinateurs fait que le recours aux simulations numériques, et souvent au calcul intensif (massivement parallèle), est dorénavant systématique et pointue. Il faut toutefois noter que l’utilisation de ces simulations ne peut se faire sans connaissance avancée en mécanique, et notamment en mécanique des structures qui reste la base dans la formulation des éléments finis structuraux largement répandus en conception. Seule une bonne connaissance de ces éléments, et donc des hypothèses qui ont amené à leur formulation, ainsi que des méthodes de résolution numériques correspondantes, permet de mener à bien, de façon optimale et sûre, des calculs de dimensionnement des structures. Une extension à la résolution numérique des problèmes de mécanique est donc proposée en fin de ce cours, avec un accent particulier mis sur la mécanique numérique des structures. Ce chapitre représente également un avant-goût du module 2 mis en place à la rentrée 2009-2010 dans l’option Matériaux et Mécanique, intitulé ’Mécanique numérique’, et qui se concentre exclusivement sur les méthodes numériques et la simulation en mécanique. Quelques ouvrages de référence — Introduction à la mécanique des milieux continus, P.Germain et P.Muller, Éd. Masson 1995, collection Enseignement de la physique, — Mécanique des Structures, Tome 2 Poutres, S.Laroze et J.-J. Barrau, Éd. Masson 1991, — Cours de Mécanique des Milieux Continus de 1ère année de l’École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, R. Fortunier, 2000 et H. Klöcker, 2003. — Theories of elastic plates, V.Panc, Éd. Noordhoff International Publishing 1975, collection Mechanics of Structures. — Finite element simulations of heat transfers, J.-M. Bergheau et R. Fortunier, ISTE - J. Wiley, ISBN 9781848210530, 2008. iii (a) (b) (c) (d) Figure 1: Exemples de structure : (a) poutre ventrale en composite carbone/époxyde d’un Airbus A340 : 16 mètres de long pour 1600 kg, (b) la plus grande pale d’éolienne au monde (LM61.5 par LMGlasfiber) : 61,5 m de long pour 17,7 tonnes ; composite verre / époxyde. (c) exemple de tablier de pont soumis à des charges de roulement et une poussée aérodynamique, et (d) caisson central de voilure A380 - concept et réalisation Table des matières 1 Théorie des poutres 2 1.1 Rappels de MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Mécanique des structures et RdM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Définition des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Résistance des Matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Hypothèses des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.3.1 Torseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Bilan de la cinématique de poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Contraintes et déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Torseur des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Énergie de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.1 Calcul des efforts internes - Équations d’équilibre . . . . . . . . . . 21 1.6.2 Calcul des déplacements et des rotations . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.3 Calcul des états de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Bilan de la théorie des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Théorie des poutres droites 2.1 34 Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2 Interprétation des grandeurs cinématiques et statiques . . . . . . . 36 2.1.3 Prise en compte du cisaillement transverse . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.4 Formulation des problèmes de flexion-tension . . . . . . . . . . . . . 38 v vi 2.2 2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2 Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.3 Flexion déviée 2.2.4 Sollicitation composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.5 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 3.1 3.2 62 Rappels - calcul du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.1 Simplifications dans le cadre de la RdM . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.2 Travail dans le cas des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Théorèmes énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.1 Théorème de réciprocité ou de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . . . 67 3.2.2 Théorème de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3 Hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Résolution des systèmes hyperstatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.2 Théorème de Ménabréa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 4.1 4.2 4.3 78 Flambage des poutres droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 Équations non-linéaires de la statique des poutres droites . . . . . . 81 4.1.2 Application à une poutre droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1.3 Extension aux calculs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Modes et fréquences propres de vibration en flexion dans les poutres droites 90 4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.2 Équations de la dynamique des poutres droites à plan moyen . . . . 90 4.2.3 Vibrations libres - application à la flexion simple . . . . . . . . . . . 91 4.2.4 Vibrations libres - calculs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Extension : réponse post-bifurquée d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3.1 Poutre homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3.2 Poutre sur fondation élastique à deux paramètres . . . . . . . . . . 102 vii 5 Plaques 5.1 5.2 5.3 110 Plaques et coques - généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1.1 Définition d’une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.2 Cas des coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Plaques planes de Love-Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2.1 Cinématique en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.2 Champ de déplacement complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.3 Déformations et contraintes généralisées . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2.4 Équations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2.5 Introduction des efforts tranchants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2.6 Exemples de plaque de Love-Kirchhoff en flexion . . . . . . . . . . . 131 Plaques de Hencky-Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3.1 Cinématique et déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3.2 Équations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.3.3 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6 Approximations numériques 140 6.1 Notions de base sur les approximations numériques en mécanique . . . . . 141 6.2 Approximations numériques les plus courantes en élasto-statique . . . . . . 142 6.3 6.4 6.2.1 Résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2.2 Formulation intégrale faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2.3 Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Applications à la mécanique des structures : Barre soumise à son poids propre149 6.3.1 Solution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.3.2 Résolution par différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.3.3 Méthodes de collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.3.4 Méthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.3.5 De la méthode de Galerkin aux éléments finis . . . . . . . . . . . . 163 Conclusions sur les méthodes numériques en mécanique des structures . . . 173 7 Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 7.1 176 Rappel sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.1.1 Définition d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.1.2 Produit scalaire de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 1 7.1.3 7.2 7.3 7.4 7.5 Dérivation d’un torseur dans un repère mobile . . . . . . . . . . . . 178 Calcul variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.2.1 Extremum d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.2.2 Condition d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2.3 Cas où la dérivée seconde intervient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.2.4 Importance des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2.5 Cas d’une fonctionnelle faisant intervenir des dérivées en temps et en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2.6 Remarque : Indépendance des formes de y dans la fonctionnelle I . 185 Cinétique - Dynamique - Énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.3.1 Moments et autres caractéristiques du mouvement des corps . . . . 185 7.3.2 Théorème de Huygens-Koënigs 7.3.3 Tenseurs d’inertie pour des géométries courantes . . . . . . . . . . . 188 7.3.4 Cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.3.5 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.3.6 Principe Fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.3.7 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Principe des puissances virtuelles - P P V - et lien avec les autres principes de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.4.1 Principe des Travaux Virtuels et Principe de Hamilton pour les systèmes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.4.2 Forme proposée par Lagrange pour les systèmes discrets . . . . . . 198 7.4.3 Généralisation aux systèmes discrets non-conservatifs . . . . . . . . 199 7.4.4 Principe de Hamilton pour les systèmes continus 7.4.5 Liens avec le PPV/PTV, et le Principe de Hamilton dans les milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 . . . . . . . . . . 201 Concepts de stabilité des équilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.5.1 Stabilité des équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.5.2 Définition d’un équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.5.3 Petites oscillations autour d’une configuration d’équilibre . . . . . . 210 7.5.4 Stabilité d’un équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.5.5 Linéarisation des énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 1. Théorie des poutres Sommaire 1.1 Rappels de MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Mécanique des structures et RdM . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.2.1 Définition des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Résistance des Matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Hypothèses des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Torseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Bilan de la cinématique de poutres . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Contraintes et déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Torseur des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Énergie de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.1 Calcul des efforts internes - Équations d’équilibre . . . . . . . 21 1.6.2 Calcul des déplacements et des rotations . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.3 Calcul des états de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Bilan de la théorie des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Théorie des poutres 3 Dans ce chapitre, la théorie des poutres est présentée d’un point de vue général. Une grande partie des développements, notamment concernant la définition des grandeurs cinématiques et statiques en 3D, est tirée du document Mécanique des milieux continus présenté en première année du cycle ICM de l’ÉNSM.SE par le professeur H.Klöcker (centre SMS). 1.1 Rappels de MMC La mécanique des milieux continus permet de caractériser le comportement physique de milieux continus, solides ou fluides (schématisé Figure 1.1), soumis à des solli→ − → − citations extérieures (forces de volume f ou ponctuelles F d (ou forces surfaciques), ou − déplacements → u d ). Dans la résolution d’un problème, des équations d’équilibre définissent l’équilibre de tout élément de matière occupant un domaine Ω (Eq. 1.2). Sur ses frontières (∂Ω) le milieu est en contact avec l’extérieur. Dans le cas des solides (Figure 1.1), ces contacts peuvent correspondre à des efforts imposés (sur ∂ΩF Eq. 1.3) ou des déplacements imposés (sur ∂Ωu Eq.1.1). Finalement, la loi de comportement (Eq. 1.4) permet de − relier les 2 grandeurs duales que sont les contraintes, notées ici σ(→ x ), et les déplacements → − dont dérivent les déformations, notées ici ǫ( x ). Le problème est alors complètement posé (fermé) et peut être résolu, en utilisant les équations rappelées ci-dessous dans le cadre de la dynamique des milieux continus (Eqs 1.1 à 1.4). Figure 1.1: Représentation générale d’un solide occupant un domaine Ω, de frontière ∂Ω (∂Ω = ∂Ωu ∪ ∂ΩF et ∂Ωu ∩ ∂ΩF =Ø), soumis à des sollicitations extérieures. On rappelle qu’un champ de déplacement vérifiant les conditions aux limites cinématiques est dit cinématiquement admissible ou C.A.. Un champ de contraintes vérifiant les équations d’équilibre au bord ou conditions aux limites statiques et les équations Théorie des poutres 4 d’équilibre intérieur est dit statiquement admissible ou S.A.. On comprend bien alors que la résolution d’un problème posé en déplacements est plus simple car la famille de champs de déplacements C.A., à laquelle appartient la solution, est simple à poser. Par contre, résoudre un problème posé en contraintes est plus complexe puisque la famille des champs S.A, à laquelle le champ de contraintes solution appartient, doit vérifier à la fois les conditions aux limites statiques et les équations d’équilibre intérieur. Il est donc peu aisé de poser a priori des familles de champs de contraintes solution. 1. Conditions aux limites cinématiques - champ C.A. → − − − − − u (→ x , t) = → u d (→ x , t) , ∀ → x ∈ ∂Ωu (1.1) − ∂σij (→ x , t) − − − + fi (→ x , t) = ρüi (→ x , t) , ∀ → x ∈Ω ∂xj (1.2) 2. Équilibre intérieur 3. Équilibre au bord − − − − σij (→ x , t)nj (→ x ) = Fid (→ x , t) , ∀ → x ∈ ∂ΩF (1.3) 4. Loi de comportement σij = Lijkl ǫkl 1.2 1.2.1 (1.4) Mécanique des structures et RdM Définition des structures La mécanique des structures se définit comme la mécanique des solides de dimensions finies où une des dimensions au moins est faible devant les autres. La mécanique des structures couvre donc un grand nombre de géométries dont les plus courantes sont les poutres (1D), les plaques et coques (2D), et les solides axisymétriques (2D) (Figure 1.2). En observant la géométrie des structures étudiées, des hypothèses peuvent être faites quant à la cinématique qui prévaut dans ces solides. Toute la difficulté de ce type d’approche réside dans le choix judicieux de cette cinématique qui doit être suffisamment riche pour observer tous les phénomènes rencontrés durant l’utilisation des structures considérées, mais assez simple pour permettre des résolutions analytiques. Ce point sera vu en détail dans ce cours. On peut remarquer que ces structures sont également utilisées dans les simulations numériques, telles que les simulations par éléments finis par exemple. Dans ce cas, comme lors de la résolution analytique d’ailleurs, les temps de calcul nécessaires à la résolution d’un problème sont amplement plus faibles que si le même problème était traité avec une approche de type MMC (3D dans un calcul par éléments finis). Théorie des poutres 5 Figure 1.2: Type de structures 1.2.2 Résistance des Matériaux La résistance des matériaux est un cadre restreint, mais utilisable pour la plupart des applications courantes, pour traiter des problèmes de mécanique des structures. Principalement, les hypothèses simplificatrices de la RdM portent sur des conditions de réversibilité et de linéarité. Les études en RdM sont conduites sous les hypothèses suivantes : — cadre de l’HPP : petites déformations, petits déplacements (pas de flambage ou de striction par exemple), — les matériaux constitutifs sont élastiques linéaires isotropes, — les problèmes appartiennent au domaine de la statique, ou sont supposés quasistatiques, — principe de Saint-Venant : loin de son point d’application, une sollicitation extérieure peut être remplacée par son torseur équivalent, — principe de superposition : quelque soit l’ordre d’application des efforts extérieurs sur un solide, l’état final est invariant. Sous ces hypothèses, la RdM permet de traiter des problèmes de poutres, plaques, coques, ... Il faut maintenant introduire la notion de modélisation géométrique des solides. Ceci fait l’objet du paragraphe suivant qui traite plus particulièrement de la théorie des poutres. Théorie des poutres 1.2.3 6 Hypothèses des poutres Les hypothèses sur la géométrie des poutres permettent de représenter un solide 3D élancé par sa ligne moyenne. Ceci s’applique également aux plaques et coques où cette fois-ci l’épaisseur étant faible devant les autres dimensions le solide est remplacé par le feuillet moyen correspondant. Définition d’un poutre Une poutre est un solide engendré par une aire plane S qui est déplacée dans l’espace, de sorte que durant son mouvement le centre de gravité G de la section S parcourt une ligne donnée L, et que l’aire se maintienne constamment normale à cette surface (Figure 1.3). De plus, la section peut varier au cours de ce parcours, mais de façon continue, i.e. le profil ne doit pas présenter de discontinuités. La ligne L est appelée fibre moyenne de la poutre. Une poutre est dite : — gauche si la ligne L suit une courbe gauche, — plane si la ligne L suit une courbe plane, — droite si la ligne L suit une droite. Figure 1.3: Définition géométrique d’une poutre Une poutre à plan moyen est une poutre dont la section S possède un plan de symétrie. Cette hypothèse est finalement peu restrictive et permet de traiter de trés nombreux cas (Figure 1 page iii). Enfin, si la fibre moyenne est une courbe fermée, on parlera d’anneau (les sections droites initiale et finale sont confondues). Finalement, les hypothèses permettant de classifier un solide comme étant une poutre sont les suivantes : L L2 > 5 et ≤ 10 (L2 et L3 — un élancement de la poutre suffisant : sup{L2 , L3 } L3 − étant les dimensions caractéristiques respectivement selon les directions → x2 et → − x3 ), — un rayon de courbure de L grand devant les dimensions transversales, Théorie des poutres 7 — un profil sans discontinuité. Remarque : des problèmes complexes associant un grand nombre de poutres ont été largement utilisés au cours des 2 derniers siècles. Ces structures sont dites structures réticulées ou treillis. Les cas les plus typiques sont par exemple la Tour Eiffel, constituée de treillis à plusieurs échelles, imbriqués pour former des structures de plus en plus imposantes, et finalement constituant la Tour elle-même. De nombreux autres exemples d’application existent pour ces approches où des méthodes de calcul propres ont été développées spécifiquement (méthode graphique de Crémona par exemple). Dans le cadre de cette introduction à la RdM, seules les poutres seront étudiées, offrant suffisamment d’exemples d’application pour donner une vision rapide mais détaillée de la RdM. Grandeurs physiques La théorie élastique des poutres est basée sur celle des milieux curvilignes. Une position sur la poutre sera caractérisée uniquement par l’abscisse curviligne l d’un point sur la fibre moyenne L. Le reste de la géométrie, c’est-à-dire la section S, sera caractérisé en chaque point G(x1 ) de la fibre moyenne, pour un matériau constitutif homogène, par : — la section S de la poutre obtenue sous la forme : Z Z dx2 dx3 ds = S(x1 ) = S(x1 ) S(x1 ) — des moments d’ordre 1 nuls puisque le point G de la fibre moyenne est le centre de gravité de la section S : Z Z x3 ds = 0 x2 ds = S(x1 ) S(x1 ) — des moments d’ordre 2, ou moments quadratiques (plans) : Z Z 2 I2 (x1 ) = x3 ds et I3 = x22 ds S(x1 ) S(x1 ) — un moment produit, différent de 0 pour les sections non-symétriques ou dont − − les axes de symétrie (→ x2 ,→ x3 ) ne sont pas confondus avec le repère global : Z I23 (x1 ) = x2 x3 ds S(x1 ) — un moment de giration ou moment quadratique polaire : Z (x22 + x23 )ds = I2 (x1 ) + I3 (x1 ) I0 (x1 ) = S(x1 ) 4 Par exemple, pour une section S circulaire, de rayon R, on a I2 = I3 = πR4 et I23 = 0, tandis que pour une section rectangulaire, de hauteur L2 et largeur et L3 , on a L2 L33 L32 L3 I2 = 12 , I3 = 12 et I23 = 0. Théorie des poutres 8 Repère de Frenet Dans le cas général d’une poutre paramétrée par son abscisse curviligne s, on peut → − − − définir pour des raisons de commodité un trièdre direct, le repère de Frenet (→ τ ,→ n, b ) (Table 1.1). Les grandeurs locales peuvent être exprimées dans ce repère, et les dérivations locales suivent les règles indiquées ci-après, avec les rayons de courbures R1 et R2 définis → − − − − dans les plans (M, → τ ,→ n ) et (M, → τ , b ) respectivement. (s) t − → − → −′ d→ τ n =τ = ds R1 → − − → − → −′ d→ n τ b = n =− − ds R1 R2 → − → − → −′ n db = b = ds R2 M b n Repère de Frenet. Table 1.1: Définition du repère de Frenet pour une abscisse courante s. Avertissement : Dans la première partie de ce cours, nous établirons les équations dans le cas plus particulier des poutres où les courbures restent faibles. L’extension, aux poutres quelconques, de la théorie développée ici passe par le prise en compte des courbures dans la dérivation des grandeurs cinématiques et statiques par rapport à l’abscisse curviligne s, selon les règles rappelées ici. Ceci ne modifie pas fondamentalement les résultats présentés dans cette première partie, mais introduit une complexité qui n’est pas nécessaire pour poser les bases des théories de poutre ; cette complexité apparaît dans les couplages des comportements, tels que le couplage traction-flexion par exemple dans les poutres courbes. Il en est de même pour les coques vis-à-vis des plaques.  0   → −  τ  1 d  → −    n = −  R1 (s) ds → −  b 0 1.3 1 R1 (s) 0 1 R2 (s) 0     1  −  R2 (s)   0  → − τ  → − n  → − b Cinématique Dans ce document, nous nous limiterons à la cinématique des déplacements issue de l’hypothèse de Navier. D’autres cinématiques existent, elles sont dites ’enrichies’ et répondent à une besoin de précision accrue dans la prise en compte du cisaillement notamment. Certaines de ces théories sont présentées dans le cas spécifique des matériaux composites, au Chapitre 5 du support de cours ’Mécanique des Composites Hautes Théorie des poutres 9 Performances’ disponible à l’adresse http://www.emse.fr/~drapier/index_fichiers/ CoursPDF/Composites/Composites-Drapier-2014.pdf. Selon l’hypothèse de Navier, au cours de la déformation de la poutre, la section droite S reste droite (elle ne subit aucun gauchissement). Cette section S subit donc : — un mouvement de corps rigide, — une déformation dans son plan. Mouvement de corps rigide de S Figure 1.4: Hypothèse cinématique de Navier La Figure 1.4 illustre la caractérisation du mouvement de corps rigide de la section − − S par un vecteur de déplacement → u et un vecteur de rotation → r appliqués à son centre de gravité G (voir également Figure 1.5). Le déplacement d’un point M de la section S −−→ − − (GM = x2 → x2 + x3 → x3 ) dû à ce mouvement de corps rigide sera de la forme : −−−−−→ → −−→ −−→ −−→ u(M, x1 ) = − u M (x1 ) = u(G)(x1 ) + M G ∧ r(G)(x1 ) −−→ − − = → u (x1 ) + M G ∧ → r (x1 ) ce qui peut encore se mettre sous la forme du torseur des déplacements exprimé au point G (voir ’Rappel sur les torseurs’ page 177), dont les éléments de réduction au point G − − sont les vecteurs → u et → r représentant respectivement le déplacement et la rotation de la section S en ce point : {UM (x1 )} =  → −   r (x1 )    −−→ → −→ → − −   uM (x1 ) = u (x1 ) + M G ∧ r (x1 )   (1.5) (M ) On voit ici l’intérêt de la théorie des poutres, où le déplacement d’un point M quelconque de la poutre s’exprime complètement à partir des déplacements et rotations du centre de gravité de la section S contenant ce point. Les déplacements de tous les points de Théorie des poutres 10 ce solide 3D sont donc représentés par les déplacements et les rotations des centres de gravité, ramenant le problème tridimensionnel à une modélisation unidimensionnelle. −−→ Dans l’hypothèse des petites perturbations le vecteur GM (position d’un point courant par rapport au centre de gravité de la section) est contenu, avant et après dé− − formation, dans le plan formé par les vecteurs → x 2 et → x 3 portés par la section S. Les → − composantes du vecteur u M s’écrivent donc dans le repère local de la section S : → − uM = u1 r2 x 3 − r3 x 2 u2 + −r1 x3 u3 r1 x 2 Dans l’hypothèse des petites perturbations, on calcule le tenseur des déformations au point M , ǫM (x1 ), comme la partie symétrique du tenseur gradient des déplacements − − u et → r s’appliquent au point G de la en ce point, dM (x1 ) (Eq. 1.6). Comme les vecteurs → section S, et donc sur la ligne L, ils ne dépendent que de l’abscisse curviligne l sur cette ligne. Les seuls gradients non nuls pour ces vecteurs sont donc ceux mettant en jeu la première coordonnée x1 , tandis que la dépendance en x2 et x3 est donnée explicitement par l’équation précédente. Dans la suite, nous noterons x′ la dérivée de toute quantité x par rapport à la première coordonnée. Ceci permet d’écrire :  u′1 + r2′ x3 − r3′ x2 −r3 r2   dM (x1 ) =  u′2 − r1′ x3 0 −r1  u′3 + r1′ x2 r1 0  (1.6) On peut remarquer dans cette équation que les dérivée mises en jeu sont des dérivées totales, résultant de la formulation unidimensionnelle de la cinématique de poutre. Mais dans le cas d’une poutre courbe par exemple, ces dérivées devront prendre en compte − − − le fait que le repère (→ x 1, → x 2, → x 3 ) "tourne" lorsque l’on parcourt la fibre moyenne L. On recourt alors à une définition prenant en compte les courbures, tel que dans le repère de Frénet. À partir du tenseur gradient des déplacements dM (x1 ), on peut maintenant obtenir le tenseur des déformations ǫM (x1 ) par sa partie symétrique. On constate que ce tenseur ne possède que trois termes non nuls qui sont une déformation normale (ǫ11 ) et 2 glissements qui sont le double des cisaillements entre deux sections voisines (2ǫ12 , 2ǫ13 - Figure 1.5) :  ′ ′ ′   ǫ11 = u1 + r2 x3 − r3 x2 2ǫ12 = u′2 − r1′ x3 − r3   2ǫ = u′ + r′ x + r 13 2 3 1 2 Le mouvement de corps rigide de la section S ne produit donc pas directement de déformations dans le plan de cette section (la section ne peut "s’écraser" ni se cisailler dans son plan). Les seules déformations existantes correspondent au déplacement relatif des sections d’abscisses curvilignes consécutives (Figure 1.5). Théorie des poutres 11 Figure 1.5: Déformations dans les sections. Figure 1.6: Illustration des contraintes normales nulles sur les faces d’une poutre à section prismatique. Déformation dans le plan de S − − Le plan de la section S contient les vecteurs → x 2 et → x 3 . Il s’ensuit qu’une déformation dans son plan (une déformation plane) ne produira que des déformations ǫ22 , ǫ23 et ǫ33 . Ces déformations doivent permettre de satisfaire les conditions aux limites au bord de la section. En effet, sur ces bords libres de contraintes extérieures, on doit vérifier que le vecteur contrainte relatif à la normale sortante à la section soit nul. Dans le cas d’une − − section prismatique, les vecteurs contraintes par rapport aux normales → x 2 et → x 3 sont → − → − → − bien nuls (σ · n ( x ) = 0 ) (Figure 1.6). Cette condition conduit à σ22 = σ23 = σ33 = 0 en − x 2 et σ13 = 0 sur la x2 = ± L22 ∩ x3 = ± L23 . On a également σ12 = 0 sur la face de normale → → − face de normale x 3 . Toutefois ces dernières conditions sont difficilement vérifiables avec les théories classiques des poutres, mais sont acceptables dans les cas les plus courants comme nous le verrons sur un exemple en TD dans le chapitre 2. Dans le cas de poutres homogènes, on fait souvent l’hypothèse que les contraintes Théorie des poutres 12 σ22 , σ33 et σ23 sont nulles dans toute la section S. Pour cette composante du cisaillement, cette condition est bien vérifiée pour un matériau isotrope (σ23 ⇔ ǫ23 = 0). Pour les contraintes normales, ceci peut se justifier compte-tenu de l’épaisseur et de la largeur de la section qui sont des dimensions faibles. Les contraintes étant nulles sur les bords, elles ne peuvent se développer sur des dimensions aussi faibles, et sont donc également nulles à l’intérieur de la section. En considérant un matériau à comportement élastique isotrope, cette hypothèse nous donne les valeurs suivantes pour les déformations dans la section S (λ et µ sont les coefficients de Lamé du matériau 1 ) :  (   2µǫ22 + λ(ǫ11 + ǫ22 + ǫ33 ) = 0 ǫ23 = 0 ⇒ 2µǫ23 = 0 λ  ǫ11 ǫ22 = ǫ33 = − 2(λ+µ)  2µǫ + λ(ǫ + ǫ + ǫ ) = 0 33 11 22 33 On constate que, dans ce cas, les déformations normales ǫ22 et ǫ33 de la section S dans son plan sont complètement déterminées à partir de la composante ǫ11 calculée à partir de son mouvement de corps rigide. Ces déformations résultent uniquement de l’effet de Poisson induit par des déformations normales ǫ11 , et sont donc faibles puisque la plus 1 grande dimension de la section doit être au plus de 10 de la longueur de la poutre, soit ν sup(L2 ,L3 ) 3 < 100 . Ces déformations sont donc bien pour un matériau courant (ǫ22 , ǫ33 ) ≃ L négligeables devant les déformations engendrées par le déplacement relatif des sections (ǫ11 ,ǫ12 ,ǫ13 ). C’est là tout l’intérêt de la théorie des poutres qui permet de simplifier considérablement les problèmes à résoudre, les ramenant du 3D au 1D. Degrés de liberté Les résultats précédents nous montrent que le mouvement du solide peut être − − complètement déterminé à partir des vecteurs → u et → r de la Figure 1.4. La cinématique des déplacements ainsi mise en place permet de concentrer les inconnues du problème sur la fibre moyenne L de la poutre. Le solide tridimensionnel est remplacé par la ligne L. Chaque point de la ligne dispose de six degrés de libertés au lieu de trois (les déplacements dans les trois directions). Ces six degrés de liberté sont : — les déplacements dans les trois directions du point G de la ligne L, représentés − par le vecteur → u , de composantes u1 , u2 et u3 , − — la rotation de la section S, représentée par le vecteur rotation → r , de composantes r1 , r2 et r3 , appliqué au point G. 1.3.1 Torseur des déformations Les hypothèses faites sur la cinématique des déplacements dans la poutre nous conduisent au tenseur symétrique suivant des déformations en un point M quelconque 1. σij = 2µǫij + λǫpp δij et ǫij = cisaillement du matériau isotrope 1+ν E σij − ν E σpp δij avec E le module d’Young et G le module de Théorie des poutres 13 d’une section S : ǫM   ǫ11 = u′1 + r2′ x3 − r3′ x2 ǫ12 ǫ13   λ ǫ11 ǫ23 = 0 =  ǫ12 = 21 (u′2 − r1′ x3 − r3 ) ǫ22 = − 2(λ+µ)  λ ǫ31 = 21 (u′3 + r1′ x2 + r2 ) ǫ23 = 0 ǫ33 = − 2(λ+µ) ǫ11 Ce tenseur des déformations ne comporte que trois termes indépendants : ǫ11 , ǫ12 et ǫ13 . En RdM, ces termes sont associés sous la forme d’un vecteur − e→ M , appelé vecteur déformation :  ǫ11 (M, x1 )   − e→ M (x1 ) =  2ǫ12 (M, x1 )  2ǫ13 (M, x1 )  Le vecteur − e→ M contient une dilatation dans la direction de la fibre moyenne comme premier terme, puis des glissements (doubles des cisaillements entre deux sections voisines). Il représente la déformation du milieu curviligne au point M . Cette déformation − peut à son tour être exprimée en fonction d’une déformation → e dite de membrane et d’un → − gradient de rotation appelé courbure κ au point G sous la forme : −−→ → − → − − e→ M (x1 ) = e (x1 ) + M G ∧ κ (x1 ) − − où → e et → κ , éléments de réduction de la déformation au point G de S, constituent le torseur des déformations défini par :    r1′ u′1     − − → − − − − κ (x1 ) = → r ′ (x1 ) =  r2′  e (x1 ) = → u ′ (x1 ) + → x1∧→ r (x1 ) =  u′2 − r3  et → r3′ u′3 + r2  (1.7) ce qui peut encore s’écrire de façon similaire au déplacement en un point M de la section (Eq. 1.5) :   → −    κ (x1 )  {ǫM (x1 )} = −−→ → − → → − −   eM (x1 ) = e (x1 ) + M G ∧ κ (x1 )   (M ) 1.3.2 Bilan de la cinématique de poutres — déplacements : {UM (x1 )} =  → −   r (x1 )    −−→ → −→ → − −   uM (x1 ) = u (x1 ) + M G ∧ r (x1 )   (M ) Théorie des poutres 14 — déformations : {ǫM (x1 )} =                           → − κ (x1 ) −−→ → − → − − e→ e (x1 ) + M G ∧ κ (x1 ) M (x1 ) =   ′ 0 r1′ u1        =  u′2 − r3  +  −x2 ∧ r2′       ′ ′ −x3 r3 u 3 + r2 (M ) On peut remarquer que l’écriture avec des torseurs permet également d’écrire directement d les déformations par dérivation du torseur cinématique {ǫM } = {UM }, voir Eq. 7.2 dx1 ’Rappel sur les torseurs’ page 177. 1.4 1.4.1 Contraintes et déformations Torseur des efforts L’hypothèse de Saint-Venant, présentée précédemment, consiste à supposer que loin de leur point d’application les efforts agissant sur S peuvent être schématisés par le → − torseur des efforts équivalent {τ (x1 )}, dont les éléments de réduction sont une force R (x1 ) − → et un moment M (x1 ), appliqués au centre de gravité G de S (Figure 1.7). Dans le cas d’efforts extérieurs appliqués à la poutre, à l’abscisse xi , le torseur des actions extérieur peut par exemple (Figure 1.7) être :  →  −   R (xi )   {F(xi )} = (1.8) − →   M (xi )   (Gi ) Pour les efforts intérieurs, les éléments de réduction se déduisent naturellement de l’intégration des contraintes induites par les sections voisines sur la section S considérée (Figure 1.8). D’après les hypothèses faites sur les contraintes dans le plan d’une section S, les seules contraintes non nulles dans le solide sont σ11 , σ12 et σ13 . En RdM, ces − → contraintes sont associées dans un vecteur tM , appelé vecteur contrainte, qui représente les efforts de cohésion ou efforts intérieurs. Par convention, on définit ces efforts internes entre 2 sections voisines, comme les efforts exercés par une section de gauche (S−) sur une section de droite (S+) (Figure 1.8) en comptant les abscisses curvilignes croissantes − selon → x1 :   σ11 (M, x1 ) − →   tM (x1 ) =  σ12 (M, x1 )  σ13 (M, x1 ) − Comme la normale à S est le vecteur → x 1 (dans le cadre des petites perturbations la configuration finale est confondue avec la configuration initiale), on peut remarquer que Théorie des poutres 15 Figure 1.7: Illustration du principe de Saint-Venant : (a) chargement sur la poutre, et (b) torseur équivalent sur la ligne moyenne. − → le vecteur contrainte tM (x1 ) coïncide avec celui défini en mécanique des milieux continus, agissant sur un élément de surface contenu dans S. Figure 1.8: Définition des efforts intérieurs, torseur des efforts intérieurs. Dans le cas des efforts intérieurs à la poutre, les efforts agissant sur S résultent de l’intégration du vecteur contrainte sur la section, et sont appelées contraintes généralisées. On distingue les contraintes généralisées de membrane et de flexion résultant respectivement de l’intégration des contraintes sur la section et de l’intégration des contraintes prenant en compte l’éloignement du point considéré par rapport au centre de gravité de la section. Les efforts de membrane sont définis ci-dessous par les relations 1.9 et sont illustrés sur la Figure 1.9 : Théorie des poutres → − R (x1 ) = Z 16 − → tM (x1 )ds S(x1 )    effort NORMAL :      − effort TRANCHANT / → x2 : =      → −   effort TRANCHANT / x3 : N (x1 ) = T2 (x1 ) = T3 (x1 ) = Z σ11 (M, x1 )ds ZS(x1 ) ZS(x1 ) (1.9) σ12 (M, x1 )ds σ13 (M, x1 )ds S(x1 ) Figure 1.9: Contraintes généralisées de membrane. Les moments sont définis par les relations 1.10 et illustrés sur la Figure 1.10 : − → M (x1 ) = Z −−→ − → GM ∧ tM (x1 )ds S(x1 )    moment de TORSION :      moment de FLEXION / =        moment de FLEXION / Mt (x1 ) = → − x2 : → − x3 : Z Mf 2 (x1 ) = Mf 3 (x1 ) = (x2 σ13 (M, x1 ) − x3 σ12 (M, x1 ))ds S(x1 ) Z ZS(x1 ) x3 σ11 (M, x1 )ds −x2 σ11 (M, x1 )ds S(x1 ) Figure 1.10: Contraintes généralisées de flexion. (1.10) Théorie des poutres 17 Finalement, le torseur des efforts intérieurs s’écrit en fonction de l’abscisse du point considéré le long de la ligne moyenne G(x1 ) :       N (x ) 1   →  −        R (x ) = T (x )     1 2 1       T (x ) 3 1   {τ (x1 )}(G) =   Mt (x1 )     − →       M (x ) = M (x )     1 f 2 1       Mf 3 (x1 ) (G) 1.4.2 Énergie de déformation En élasticité, l’énergie de déformation du solide de volume V peut s’écrire W = → − − σ( x ) : ǫ(→ x )dv. En RdM, puisque les hypothèses portant sur la géométrie et la ciV nématique ont conduit à formuler un problème purement unidimensionnel, cette énergie peut être écrite simplement à l’aide des composantes des torseurs des efforts et des déformations. En effet, en utilisant la définition des vecteurs déformation − e→ M (x1 ) et contrainte − → tM (x1 ), on obtient : 1 2 R Z Z 1 → − → − − − σ(→ σ( x ) : ǫ( x )dV = x ) : ǫ(→ x )dsdl 2 L S ZV Z − → tM (x1 ).− e→ = 21 M (x1 )dsdl L S Z Z −−→ − → − − 1 = 2 tM (x1 ).(→ e (x1 ) + → κ (x1 ) ∧ GM )dsdl  ZL S Z Z −−→ − 1 − → → → − → − = e (x1 ). tM (x1 )ds + κ (x1 ). GM ∧ tM (x1 )ds dl 2 L S S − − W (→ u (→ x )) = 1 2 Z (1.11) ↓ (par définition des éléments de réduction) 1 = 2 Z → − − → − − ( R (x1 ).→ e (x1 ) + M (x1 ).→ κ (x1 ))dl L → − Ceci montre que les forces R (x1 ) agissant sur la fibre moyenne L sont associées − → − à la déformation → e (x1 ) de membrane, tandis que les moments M (x1 ) sont associés à − sa courbure → κ (x1 ) (gradient de la rotation). Cette dualité résulte de l’intégration des grandeurs physiques sur la section S(x1 ) de la poutre, et reste également valable dans les structures de type plaques et coques. On trouvera dans certaines approches de la mécanique des structures, ces grandeurs appelées contraintes généralisées pour le torseur des efforts et déformations généralisées pour le torseur des déformations. L’énergie de déformation de la poutre (Eq. 1.12) peut s’écrire en utilisant le produit scalaire de torseurs définit par la somme des produits croisés des éléments de réduction des torseurs considérés, Théorie des poutres 18 dépendant seulement de la position x1 (voir Eq. 7.1 dans ’Rappel sur les torseurs’ page 177) : Z 1 → − {τ (x1 )} · {ǫ(x1 )} dl W ( u (x1 )) = 2 L Z 1 = (N u′1 + T2 (u′2 − r3 ) + T3 (u′3 + r2 ) + Mt r1′ + Mf 2 r2′ + Mf 3 r3′ ) dl 2 L (1.12) 1.5 Élasticité La RdM peut s’appliquer à beaucoup de matériaux constitutifs différents. Généralement, en première approximation les matériaux sont supposés homogènes élastiques linéaires isotropes (HELI). La loi de comportement permet de relier les contraintes aux déformations, dernier élément nécessaire à la résolution de tout problème en mécanique. → ∂σ (− x ,t) − x , t) = 0). Le cadre de la statique sera adopté ici ( ij∂xj + fi (→ 1.5.1 Loi de comportement La connaissance des déformations en tout point M du milieu curviligne permet d’obtenir les contraintes en utilisant la loi de comportement. Nous nous sommes limités au cas d’un comportement élastique linéaire isotrope. En notant λ et µ les coefficients de Lamé du matériau constituant la poutre, on a donc :  µ(3λ+2µ) ′ ′ ′   σ11 = λ+µ ǫ11 = Eǫ11 = E(u1 + r2 x3 − r3 x2 ) σ12 = 2µǫ12 = G(u′2 − r1′ x3 − r3 )   σ = 2µǫ = G(u′ + r′ x + r ) 13 13 2 3 1 2 (1.13) Dans cette équation, E désigne le module d’Young du matériau et G le module de cisaillement associé. À partir de ces contraintes, il est possible de calculer les éléments de réduction des efforts appliqués en un point G quelconque de la ligne L sous la forme :  Z   σ11 ds = ESu′1 = ESe1     ZS → − σ12 ds = GS(u′2 − r3 ) = GSe2 R (x1 ) =  ZS      σ13 ds = GS(u′3 + r2 ) = GSe3 S  Z   (x2 σ13 − x3 σ12 )ds = GI0 r1′ = GI0 κ1     ZS − → x3 σ11 ds = E(I2 r2′ − I23 r3′ ) = E(I2 κ2 − I23 κ3 ) M (x1 ) =  ZS      −x2 σ11 ds = E(−I23 r2′ + I3 r3′ ) = E(I3 κ3 − I23 κ2 ) S Théorie des poutres 19 On constate alors que le torseur des efforts s’écrit relativement simplement en fonction du torseur des déformations sous la forme :      N         T2         T     3 =    Mt           Mf 2        M   f3 ES 0 0 0 0 0 0 GS 0 0 0 0 0 0 GS 0 0 0 0 0 0 GI0 0 0 0 0 0 0 EI2 −EI23 0 0 0 0 −EI23 EI3                .              e1 e2 e3 κ1 κ2 κ3           (1.14)          Cette loi de comportement peut se réécrire en utilisant les sous-matrices 3 × 3 ci-dessous (Eq. 1.15). On constate que pour les poutres homogènes considérées ici les comportements en membrane et en flexion sont totalement indépendants ([B] = [0]). Dans le cas de poutres constituées de matériaux composites par exemple, dont les axes d’orthotropie ne sont pas confondus avec les axes des sections, ces comportements ne sont pas indépendants. : ) " # ( ( → − [A] [B] R (x1 ) = · − → [B] [D] M (x1 ) → − e (x1 ) → − κ (x ) 1 ) ⇔ {τ (x1 )} = [L] {ǫ(x1 )} (1.15) Remarque : en cisaillement l’approximation faite sur la distribution des déformations, supposées constantes dans la section, conduit à surestimer la rigidité. Par des considérations énergétiques, on introduit un coefficient correcteur, dit coefficient de correction en cisaillement qui permet de prendre en compte la répartition parabolique (contrainte nulle sur les faces et non-nulle au centre de la section) réelle à l’aide d’une répartition constante sur la section. Ce coefficient est noté généralement kα , avec α = 2, 3, il est égal à 56 pour une section rectangulaire (voir §5.3.3). La loi de comportement en cisaillement s’écrit donc : Tα (x1 ) = kα GS eα (α = 2, 3) 1.5.2 Conditions aux limites Nous avons vu que, selon l’hypothèse de Navier (sections droites), chaque point du milieu curviligne (sur la fibre moyenne) possède six degrés de libertés. Ces degrés de liberté servent à représenter : − — le déplacement de la fibre moyenne (vecteur déplacement → u ), → − — la rotation de la section droite (vecteur rotation r ). De même, selon l’hypothèse de Saint-Venant (efforts concentrés), les efforts internes (de cohésion) dans un milieu curviligne sont représentés par deux vecteurs, et donc six composantes, qui sont : → − — les forces de cohésion de la fibre moyenne (vecteur force R ), Théorie des poutres 20 − → — les moments de cohésion de la fibre moyenne (vecteur moment M ). Les conditions aux limites sur une poutre porteront donc sur ces six degrés de liberté et ces six efforts de cohésion. La frontière ∂Ω (2D) sur laquelle s’appliquent ces conditions dans un milieu 3D (Figure 1.1), sera donc remplacée par des abscisses sur la fibre moyenne (1D) pour les poutres. En chacun de ces abscisses, six informations doivent apparaître explicitement. Le nombre de degrés de liberté et d’efforts connus, et leur combinaison, dépend essentiellement du type de liaison rencontré. Les conditions aux limites en déplacements les plus communes sont les suivantes : — l’encastrement : si une poutre est encastrée à l’une de ses extrémités, alors en → − − → → − − − ce point on a → u =→ r = 0 , et les efforts résultants R et M sont inconnus. → − − — la rotule : une rotule empêche tout déplacement en ce point, → u = 0 , mais laisse les rotations libres. En contre-partie, les moments transmissibles en ce − → → − point sont nuls, soit M = 0 , tandis que les forces de réaction sont inconnues. — l’appui simple : un appui simple empêche un déplacement dans une direction, par exemple u3 = 0, et laisse libre les autres degrés de liberté. Le seul effort de cohésion non nul sera alors T3 . Ces conditions aux limites sont d’une grande importance pour l’intégration des équations d’équilibre (obtention des efforts internes) et de la cinématique (obtention des déplacements). Pour déterminer les conditions aux limites en efforts, il est important de se fixer un sens de parcours de la ligne moyenne L. En effet, le torseur des efforts {τ (x1 )} − → est lié au vecteur contrainte tM , et donc à la normale à la section S. Comme la normale à considérer est toujours sortante, le torseur des efforts sera affecté d’un signe opposé entre les deux côtés de la poutre. En général, la convention de signe suivante est adoptée (voir par exemple l’expression des termes de bords dans le principe des travaux virtuels - Eq. 1.20-b). En parcourant la ligne L de la gauche vers la droite : — le torseur des efforts est affecté d’un signe + à droite du segment considéré sur − la poutre (la normale sortante de S est → x 1 ), — le torseur des efforts est affecté d’un signe − à gauche du segment considéré − sur la poutre (la normale sortante de S est −→ x 1 ). 1.6 Méthode de résolution La résolution du problème de poutre peut avoir des buts différents, ce qui conditionne en grande partie la stratégie de résolution à adopter. On peut par exemple souhaiter connaître des informations ponctuelles, comme un déplacement maximum ou les contraintes en des points précis. Dans ce cas, la résolution complète du problème n’est pas toujours nécessaire, et des méthodes seront présentées ultérieurement pour obtenir ces informations ponctuelles. Dans la plupart des cas par contre, le lieu des déplacements ou contraintes maximales n’est pas connu à priori, ce qui nécessite de caractériser complètement les champs de déplacements et contraintes solutions. Théorie des poutres 21 Il faut noter dés à présent que l’équilibre extérieur de la poutre étudiée, vis-à-vis des sollicitations et des conditions aux limites cinématiques imposées, peut être vérifié par un bilan des forces extérieurs, sans nécessité de connaître les efforts de cohésion ou efforts internes qui règnent à l’intérieur de la poutre. À l’opposé, dans l’optique d’un dimensionnement nous chercherons à connaître ces efforts de cohésion, définissant les contraintes dans les sections. Dans ce cas, les efforts extérieurs de réaction, résultant des conditions cinématiques imposées, seront inutiles pour vérifier l’équilibre intérieur et pourront être connus a posteriori. Par contre les développements pourront devenir rapidement lourds. Le point clef de la résolution des problèmes de RdM passe de toute manière par la connaissance de ces efforts internes à la poutre. La stratégie de résolution permettra de connaître ces efforts avec plus ou moins de développements, et sera souvent la combinaison de l’équilibre extérieur et de l’équilibre intérieur de la poutre. Pour le moment, la recherche des efforts intérieurs, en vue de dimensionner les poutres, sera notre objectif unique. Dans ce cas, la résolution du problème peut se baser sur la connaissance des équations d’équilibre intérieur de tronçons de poutre représentatifs. Nous nous proposons dans cette partie d’établir ces équations dans le cadre le plus général possible, et de les utiliser dans le chapitre suivant pour résoudre les problèmes de poutre. L’identification des efforts internes par transport des efforts extérieurs est également présentée rapidement. 1.6.1 Calcul des efforts internes - Équations d’équilibre Dans le cas général, la résolution du problème passe par la détermination des efforts internes. La méthode la plus rigoureuse pour déterminer ces efforts est similaire à la résolution d’un problème de MMC : intégration des équations d’équilibre en veillant à avoir autant de conditions aux limites que nécessaire. Pour des problèmes simples, tels que ceux introduits dans le chapitre suivant consacré à la théorie des poutres à plan moyen, ces équations peuvent se dériver de l’équilibre de tronçons de poutres de longueur élémentaire. Pour une approche générale, un des moyens les plus systématiques pour parvenir à exprimer ces équations d’équilibre et les conditions aux limites correspondantes consiste à utiliser le Principe des puissances virtuelles ou PPV. On rappelle que le PPV (Eq. 1.16) exprime l’équilibre, c’est à dire l’égalité entre la − ∗ → puissance virtuelle développée par les efforts intérieurs Pint (u∗ ) et la puissance virtuelle − ∗ → développée par les efforts extérieurs Pext (u∗ ) dans un champ de déplacement virtuel quel→ − conque u∗ . Ainsi, il y équivalence entre le PPV et l’expression des équations d’équilibre et des conditions aux limites statiques associées. Les conditions aux limites cinématiques sont quant à elles incluses dans le PPV si le champs virtuel est CA. Dans notre cas, on − définit un champ de déplacements virtuel → u ∗M , qui se traduit par un torseur de déplace− − ment virtuel {U ∗ (x1 )} d’éléments de réduction → u ∗ (x1 ) un déplacement virtuel, et → r ∗ (x1 ) une rotation virtuelle sur la fibre moyenne L. Ce déplacement virtuel produit un champ Théorie des poutres 22 de déformations virtuel ǫ∗M dans chaque section S (Figure 1.11). Figure 1.11: Segment d’une poutre où l’on applique le principe des travaux virtuels : passage du solide 3D à la description de type poutre. On étudie ici les efforts internes à la poutre, c’est-à-dire les efforts de cohésion dans un tronçon de poutre libre de tout chargement extérieur. On verra plus tard, que chaque effort ou déplacement imposé nécessite de découper notre poutre en autant de tronçons → − libres de sollicitations extérieures. On note t dM le vecteur contrainte qui règne sur les sections terminales, et qui représente l’action des tronçons voisins sur le tronçon isolé. Toutefois, ce vecteur contrainte peut tout aussi bien être imposé par l’extérieur si l’une des surfaces extrémités S1 et S2 est une surface terminale de la poutre. Pour ce tronçon de poutre, comme seules ces surfaces extrémités S1 et S2 sont soumises à un chargement extérieur, l’intégration du travail virtuel des efforts extérieurs sur la frontière du volume V se traduit par une intégrale sur la surface S aux points extrémités du segment de L considéré. On remarque que sur S1 (Figure 1.11), la normale sortante à la section est − forcément opposée au sens de parcours de la fibre moyenne (vecteur −→ x 1 ). Cela donne l’expression suivante du principe des travaux virtuels : Théorie des poutres − | Z ǫ∗M dv σM : V {z − ∗ → Pint ( u∗ ) } 23 + + Z |V → − → f v .− u ∗M dv + Z → −d → u ∗M ds − t M .− S2 {z − ∗ → Pext ( u∗ ) Z S1 → −d → u ∗M ds t M .−  } → − = 0, ∀u∗ → − = 0, ∀u∗ (1.16) Contribution des efforts extérieurs → − Dans cette équation 1.16, t dM est le vecteur contrainte appliqué sur la section S considérée (avec une normale sortante). Les deux derniers termes de la puissance virtuelle des efforts extérieurs peuvent donc être calculés assez simplement en remplaçant le champ − virtuel → u ∗M par la cinématique issue de l’hypothèse de Navier (torseur des déplacements virtuels {U ∗ (x1 )}). On obtient pour une section St quelconque (soit S1 , soit S2 ), au signe négatif prés pour S1 : Z St Z −−→ → −d → − t M .(− u∗+→ r ∗ ∧ GM )ds St Z Z −−→ → − → −d → − → − ∗ ∗ GM ∧ t dM ds t M ds + r . = u . St → − −S∗t − → −∗ = R d .→ u + M d .→ r  = F d . {U ∗ } → −d → t M .− u ∗M ds = (1.17) → − De même, l’intégrale sur V des forces de volume f v devient : Z S(x1 ) Z → − → −−→ − f v .(− u∗+→ r ∗ ∧ GM )ds S Z Z − → − −−→ → → − → − ∗ ∗ f v ds + r . GM ∧ f v ds = u . → − → f v .− u ∗M dv = S S (1.18) − − − − −c (→ − − − =→ p (→ x 1 ).→ u ∗ (→ x 1) + → x 1 ).→ r ∗ (→ x 1 )) v ∗ = {F } . {U } − − −c (→ − Les vecteur → p (→ x 1 ) et → x 1 ) ainsi introduits, éléments de réduction du torseur des efforts linéiques, représentent respectivement : − — une force par unité de longueur répartie sur la fibre moyenne (pour → p ), → − — un couple par unité de longueur réparti sur la fibre moyenne (pour c ). Remarque : En toute rigueur, des forces réparties peuvent s’appliquer sur les faces de la poutre (cf Figure 1.11). La contribution de ces efforts peut être calculée de la même Théorie des poutres 24 façon que pour les forces de volume ci-dessus : Z Z → − → → − → −−→ − − ∗ f s . u M ds = f s .(− u∗+→ r ∗ ∧ GM )dΣ ∂S(x1 ) ∂S Z Z → − − −−→ → → − → − ∗ ∗ = u . f s dΣ + r . GM ∧ f s dΣ ∂S ∂S Toutefois, la présence de ces efforts est extrêmement rare compte tenu des hypothèses qui conduisent à considérer une structure comme une poutre. Nous négligerons les contributions correspondantes dans la suite des calculs qui viendraient simplement s’ajouter aux − −c définis ci-dessus. efforts extérieurs répartis → p et → Contribution des efforts intérieurs En utilisant la même méthode que pour l’équation 1.11 (calcul de l’énergie de déformation), puis la définition du torseur des déplacements, puis enfin une intégration par parties, le premier terme de l’expression à annuler dans le principe des travaux virtuels s’écrit de la façon suivante : Z V σM : ǫ∗M dv Z → − − → − − ( R (x1 ).→ e ∗ (x1 ) + M (x1 ).→ κ ∗ (x1 ))dl L ′ ′ ′ Z R1 u∗1 + R2 (u∗2 − r3∗ ) + R3 (u∗3 + r2∗ )  =  ′ ′ ′ +M1 r1∗ + M2 r2∗ + M3 r3∗ L Z Z ′ ↓ Théorème de la divergence x ydl = − = L = Z    L    dl xy ′ dl + [xy]ll21 −R1′ u∗1 − R2′ u∗2 − R3′ u∗3 −M1′ r1∗ − (M2′ − R3 )r2∗ − (M3′ + R2 )r3∗ L → − → − − − + R (l2 ).→ u ∗ (l2 ) − R (l1 ).→ u ∗ (l1 ) − → − → − − +M (l2 ).→ r ∗ (l2 ) − M (l1 ).→ r ∗ (l1 ) Z l2 → − −∗ − → − → − −∗ = − ( R ′ .→ u + (M ′ + → x 1 ∧ R ).→ r )dl l1 → − → − − − + R (l2 ).→ u ∗ (l2 ) − R (l1 ).→ u ∗ (l1 ) − → − → − − +M (l2 ).→ r ∗ (l2 ) − M (l1 ).→ r ∗ (l1 ) Z l2 d {τ } . {U ∗ } dl + [{τ } . {U ∗ }]ll21 =− dx 1 l1    dl (1.19) Théorie des poutres 25 On montre en effet que l’expression de la dérivée d’un torseur, et notamment du torseur des efforts internes, s’écrit au centre de gravité de la section G (Eq. 7.3 page 179) :   → −′   R (x ) 1   d {τ (x1 )}(G) = −→ → − −  dx1 x1 ∧ R (x1 )    M ′ (x1 ) + → (G) Équations d’équilibre d’un tronçon de poutre En utilisant l’ensemble de ces résultats (Eq 1.19= Eq 1.17+Eq1.18+Eq??), le principe des travaux virtuels s’écrit simplement de la façon suivante (Eqs 1.20) sur tout segment de la fibre moyenne ne contenant pas d’effort ponctuel : − − ∀(l1 , l2 ) ∈ L, ∀(→ u ∗, → r ∗) Z l2   → − − → − → − − → − − (R′ + → p ).→ u ∗ + (M ′ + → x1∧ R +→ c ).− r ∗ dl (1.20a) l1 + h→ −d → − → − ∗  → − −∗ − → − ∗ il2 R .− u ∗ + M d .→ r u + M .→ r − R .→ =0 l1 (1.20b) ou en écriture torsorielle : ∀(l1 , l2 ) ∈ L, ∀ {U ∗ } , Z l2 l1  
 l2   d d v {τ } + {F } . {U ∗ } dl + F − {τ } . {U ∗ } l1 = {0} dx1 Cette équation doit être vérifiée sur tout segment, et pour tout champ de déplacement virtuel, i.e. pour tout torseur {U ∗ }. Sachant que l’intégrale ne peut être nulle que si la quantité intégrée est nulle si elle est continue (voir Annexes- Chapitre 7, §7.2.2 page 182), on choisit le champ virtuel nul au bord et non-nul à l’intérieur de la poutre. De l’équation (1.20a) on déduit les équations d’équilibre des milieux curvilignes (Eq. 4.13), à comparer −→ − → − − → − à l’équilibre des milieux continus (divσ(→ x ) + f (→ x ) = 0 ). C’est à partir de ces équations que tout problème de poutre peut être résolu de manière rigoureuse : Équations d’équilibre intérieur des poutres d {τ } + {F v } = {0} ⇔ dx1 ( → −′ → − − R (x1 ) + → p (x1 ) = 0 − → → − − − −c (x ) = → M ′ (x1 ) + → x 1 ∧ R (x1 ) + → 0 1 (1.21) Théorie des poutres 26 Les équations d’équilibre sont deux équations vectorielles. Elles conduisent à six équations différentielles scalaires qui traduisent l’équilibre mécanique du milieu unidimen− sionnel. Les forces volumiques sont représentées par les vecteurs → p (forces réparties sur → − le segment) et c (couples répartis sur le segment). L’intégration de ces équations différentielles nécessite six conditions aux limites. Ces conditions sont obtenues aux points d’abscisse l1 et l2 , extrémités du segment considéré, à partir de l’expression des termes de bord du PPV (Eq. 1.20b) en choisissant un champ de déplacement virtuel nul à l’intérieur de la poutre et non-nul aux bords. Ces équations (Eq. 1.22) traduisent simplement le fait que les efforts internes doivent être égaux aux efforts imposés aux même endroits → −d − → − → x→ (σ(− F ) · n = t (xF ) en MMC) :  (1.22) {τ }(li ) = F d (li ) En complément de ces conditions aux limites, si un torseur d’efforts {F i }(Gi ) , d’éléments de réduction Ri (Gi ) et M i (Gi ), est imposé sur la section Si du tronçon considéré (Figure 1.12), une équation des discontinuités apparaît. Cette équation peut s’exprimer à l’aide du PPV, modifié par la contribution de ces efforts : [| {τ } |](xi ) le saut des efforts internes dans la puissance virtuelle des efforts internes, et {F i }(xi ) dans la puissance virtuelle des efforts imposés. On n’a plus alors simplement égalité entre les efforts internes et les efforts imposés, mais ces efforts viennent se superposer aux efforts extérieurs. Cette superposition donne lieu à un saut des efforts intérieurs qui peut s’exprimer en considérant 2 sections infiniment proches. Ce saut s’écrit, en prenant en compte le sens de parcours de la poutre :   − [| {τ } |](xi ) = τ (x+ i ) − τ (xi ) . Finalement cette équation de discontinuité s’écrit :  i  −  (1.23) [| {τ } |](xi ) = τ (x+ i ) − τ (xi ) = − F (xi ) Figure 1.12: Torseur d’efforts extérieurs appliqué sur une section Si du tronçon étudié. On notera que les équations d’équilibre au bord de la poutre (Eq. 1.22) se déduisent    de cette condition (Eq. 1.23) en écrivant que τ (l1− ) et τ (l2+ ) sont nuls, soit τ (l1+ ) =  − {F 1 }(x1 ) et τ (l2− ) = {F 2 }(x2 ) . Théorie des poutres 27 Identification des efforts internes par transport des efforts extérieurs Les efforts internes peuvent être identifiés rapidement, en recourant à l’équilibre extérieur de la poutre. En effet, chaque tronçon de la poutre isolé doit être en équilibre sous l’action, d’une part des efforts de cohésion, et d’autre part des efforts extérieurs imposés (Figure 4.20). Il suffit donc de procéder par la pensée à des coupes successives le long de l’abscisse curviligne, et de vérifier l’équilibre de ces tronçons pour identifier les efforts internes en tout point de l’abscisse. Figure 1.13: Identification des efforts internes qui règnent dans une section située en A par transport des efforts extérieurs à cet abscisse. Considérons un tronçon de poutre en équilibre sous l’action d’un torseur d’actions  terminales en li dont les éléments de réduction sont définis en ce point : F d (li ) (li ) (Figure 4.20). Effectuons une coupure imaginaire de ce tronçon en un point A de l’abscisse curviligne. La section située en A est donc en équilibre sous l’action d’une part des actions extérieures terminales s’exerçant en li , et d’autre part sous l’action des efforts de cohésion qui règnent en A ({τ }(A) ) et qui représentent l’action de la section voisine située en x1 = A− (par définition des effort internes, efforts de la section de GAUCHE sur la − section de DROITE). Rappelons que la normale sortante est dans ce cas −→ x1 . Finalement, l’équilibre s’écrit simplement, en prenant soin de transporter en A le torseur des actions extérieures :  − {τ }(A) + F d (A) = 0 (1.24)  d ⇒ {τ }(A) = F (A) Les efforts intérieurs sont rapidement identifiés par transport des efforts extérieurs s’exerçant sur le tronçon isolé. Cette identification permet de traiter rapidement les problèmes simples, mais rappelons que la vérification de l’équilibre extérieur est un préalable incontournable pour cette identification. Cet équilibre peut poser des problèmes, notamment dans le cas des problèmes hyperstatiques pour lesquels une surabondance d’inconnues sta- Théorie des poutres 28 tiques ne peut être levée sans recourir à des méthodes complémentaires telles que celles présentées dans le chapitre 3 de ce document. 1.6.2 Calcul des déplacements et des rotations La connaissance du torseur des efforts intérieurs {τ (x1 )}(G) sur le segment permet, par la loi de comportement, d’obtenir les éléments de réduction (déformations de − − membrane → e (x1 ) et de courbure → κ (x1 )) du torseur des déformations dans la poutre. Ce − torseur est relié au torseur des déplacements (vecteur déplacement → u (x1 ) et vecteur ro→ − tation r (x1 )) par les relations introduites précédemment (Eq. 1.7). L’intégration des six équations différentielles ainsi obtenues permet de connaître le torseur des déplacements en tout point de la fibre moyenne de la poutre, et donc le champ de déplacement par la cinématique introduite. Lors de l’intégration, il est nécessaire d’utiliser six conditions aux limites cinématiques, qui s’ajoutent aux six conditions aux limites en efforts utilisées précédemment (Eq. 1.22). Globalement, sur chaque segment considéré, les conditions aux limites (aux points d’abscisse l1 et l2 ) que l’on doit appliquer sont au nombre de douze. Ceci correspond aux six degrés de liberté de chaque côté du segment. En chaque point d’abscisse l1 et l2 , on doit donc connaître : (u1 ou N ) ET (u2 ou T2 ) ET (u3 ou T3 ) ET (r1 ou Mt ) ET (r2 ou Mf 2 ) ET (r3 ou Mf 3 ) En pratique, il arrive que certaines conditions aux limites proviennent de considérations de symétrie. Dans ce cas, les conditions portent sur la continuité des déplacements et/ou de leurs dérivées . Par exemple, en flexion trois points sur une poutre à plan moyen (voir exercice Flexion 2), par des considérations physiques on écrira la continuité des − − − déplacements (→ u ), des pentes (→ u ′ ) et des rotations (→ r ) au centre. 1.6.3 Calcul des états de contraintes Il est souvent essentiel de pouvoir connaître les contraintes qui règnent dans les sections, par exemple pour vérifier que les limites à rupture ou la limite d’élasticité n’ont pas été dépassées. Comme la théorie des poutres est basée sur l’intégration de ces contraintes sur les section (Eqs. 1.9-1.10), les contraintes locales doivent être déduites des informations moyennes. Pour ce faire, on peut utiliser d’une part la loi de comportement de la structure, notée [L], qui relie le torseur des efforts internes au torseur des déformations (Eq. 1.14), et d’autre part la loi de comportement matériau qui relie les contraintes aux déformations locales (Eq. 1.13). En effet, les déformations qui règnent dans la section sont calculées à partir des éléments de réduction du torseur des déformations connus au centre de gravité Théorie des poutres 29 de la section. On peut donc recalculer les déformations en tout point de la section et en déduire les contraintes correspondantes. Contrainte normale La contrainte normale est directement reliée à la déformation normale (Eq. 1.13) par le module d’Young dans le cas d’un matériau isotrope. Par ailleurs l’effort normal est relié d’une part à la déformation de membrane (e1 ) et d’autre part aux courbures de flexion (κ2 et κ3 ). En résumé, on a : ( − σ11 (→ x ) = Eǫ11  N (x1 ) = ESu′1 (x1 )     = Eu′1 + E(r2′ x3 − r3′ x2 ) |{z} | {z } et Mf 2 (x1 ) = EI2 r′ (x1 ) − EI23 r′ (x1 ) 2 3 f → m →  = σ11 (− x) + σ11 (− x)    Mf 3 (x1 ) = −EI23 r2′ (x1 ) + EI3 r3′ (x1 ) Contribution de la déformation de membrane Pour le terme de membrane, l’expression de la contrainte est évidente, et recoupe le résultat classique où la contrainte est directement égale à l’effort appliqué rapporté à la surface de la section sollicitée : − σ m (→ x) N (x1 ) N (x1 ) m m = ⇒ σ11 (M, x1 ) = σ11 (x1 ) = u′ (x1 ) = 11 E ES(x1 ) S(x1 ) Contribution de la déformation de flexion Cette part de la contrainte normale est évaluée assez simplement dans le cas où les moments produits sont nuls, c’est-à-dire pour des sections à plan de symétrie et des efforts appliqués dans ce plan (pour une expression plus compl !te, voir Eq. 2.6 page 51)). Dans ce cas : f σ11 (x1 , M ) = Mf 3 (x1 ) Mf 2 (x1 ) x3 − x2 I2 (x1 ) I3 (x1 ) Pour des sections non-symétriques ou des efforts appliqués hors de ce plan de symétrie, on a alors de la flexion déviée, introduite au §2.2.3 pour les poutres droites. Expression complète de la contrainte normale Finalement la contrainte normale est la somme des contributions des termes de membrane et de flexion (Figure 1.14), et s’écrit de manière générale : σ11 (x1 , M ) = Mf 3 (x1 ) N (x1 ) Mf 2 (x1 ) + x3 − x2 S(x1 ) I2 (x1 ) I3 (x1 ) Dans les cas courants, la contrainte est maximale sur les fibres extrêmes des sections, i.e. en x2 = ± L22 et x3 = ± L23 . La ’rigidité de tension’ est directement liée à la surface de la section transverse, tandis que la ’rigidité de flexion’ dépend des moments quadratiques de la section, c’est-à-dire de la forme de la section. Ce dernier point est abordé en détails dans les exercices sur la flexion simple. Théorie des poutres 30 Figure 1.14: Représentation plane de la contrainte normale : contributions de (a) membrane et (b) flexion. Contraintes de cisaillements Comme dans le cas de la contrainte normale, les contraintes de cisaillements dépendent de termes de membrane (e2 et e3 ) et de courbure (κ1 ) :  −   σ12 (→ x ) = Gǫ12 = G(u′2 − r3 ) + Gr1′ x3   | {z } | {z } T2 (x1 ) = GS(u′2 (x1 ) − r3 (x1 ))     → − → −   m t   = σ12 ( x ) + σ12 ( x ) et T3 (x1 ) = GS(u′3 (x1 ) + r2 (x1 ))   → − ′ ′   σ13 ( x ) = Gǫ13 = G(u3 + r2 ) + Gr1 x2     {z } | | {z }   Mt (x1 ) = GI0 r′ 1(x1 )  − − m → t → =σ (x) + σ (x) 13 13 (1.25) Si les termes de membrane s’expriment simplement, par contre la contribution des contraintes de cisaillement dans la torsion ne s’exprime simplement que dans le cas de sections circulaires où les contributions de σ12 et σ13 sont identiques (notée σ1r (x1 , r)). Au final, les contraintes de cisaillements sont : m σ12 (x1 ) = T2 (x1 ) T3 (x1 ) m σ13 (x1 ) = S(x1 ) S(x1 ) t t τ (x1 , r) = σ1r (x1 , r) = f (σ12 (x1 , r), σ13 (x1 , r))(Rc ) = Mt (x1 ) r I0 (x1 ) avec r la position radiale du point M dans un système de coordonnée cylindrique (Rc ) attaché à la section circulaire centrée en G, et τ (r, x1 ) la contrainte de cisaillement dans ce repère. La contrainte due à la torsion seule sera établie plus précisément dans le cas d’une poutre droite soumise à un moment de torsion terminal (58). On remarque que pour la partie membrane des contraintes de cisaillement, seule la section transverse est importante, tandis que pour la torsion le moment quadratique polaire représente la rigidité ’géométrique’ de la section. Théorie des poutres 1.7 31 Bilan de la théorie des poutres Le dimensionnement des poutres passe généralement par la résolution des équations d’équilibre intérieur (Eq. 1.27). Pour intégrer ces équations différentielles en efforts, on dispose des conditions aux limites cinématiques (Eq. 1.26), utilisables via la loi de comportement (Eq. 1.29), ainsi que des conditions d’équilibre au bord (Eq. 1.28). Les équations des discontinuités sont également nécessaires si des efforts sont appliqués ailleurs qu’aux extrémités de la poutre (Eq. 1.28). Enfin, lorsque les déplacements sont connus les déformations peuvent être calculées (Eq. 1.30) et les contraintes évaluées en tout point à partir des efforts internes (Eq. 1.31). Théorie des poutres 32 Bilan de la théorie des poutres 1. Conditions aux limites cinématiques - champ C.A. 2. Équilibre intérieur  {U}(li ) = U d d {τ }+{F v } = {0} ⇔ dx1 (1.26) , ∀ li ∈ {l1 , l2 } (li ) ( → −′ → − − R (x1 ) + → p (x1 ) = 0 − → → − − , ∀x1 ∈ [0, L] − −c (x ) = → M ′ (x1 ) + → x 1 ∧ R (x1 ) + → 0 1 (1.27) 3. Équilibre au bord et discontinuités  {τ }(li ) = F d (li ) , ∀ li ∈ {l1 , l2 }   − i [| {τ } |](xi ) = τ (x+ i ) − τ (xi ) = − {F }(xi ) , ∀ xi ∈ [0, L] 4. Loi de comportement ) " # ( ( → − [A] [B] R (x1 ) = · − → [B] [D] M (x1 ) → − e (x1 ) → − κ (x ) 1 ) ⇔ {τ (x1 )} = [L] {ǫ(x1 )} 5. Relations utiles : — Relations déplacements/déformations ( → − − r ′ (x1 ) = → κ (x1 ) → − → − − − ′ u (x1 ) + x 1 ∧ → r (x1 ) = → e (x1 ) (1.28) (1.29) (1.30) — Expressions des contraintes en fonction des efforts internes m tension : σ11 (x1 ) = N (x1 ) S(x1 ) f flexion : σ11 (x1 , M ) = Mf 3 (x1 ) Mf 2 (x1 ) x3 − x2 I2 (x1 ) I3 (x1 ) Tα (x1 ) m (α = 2, 3) cisaillement : σ1α (x1 ) = S(x1 ) t torsion : τ (x1 , r) = f (σ1α (r, x1 ))(Rc ) = Mt (x1 ) r I0 (x1 ) (1.31) 2. Théorie des poutres droites Sommaire 2.1 Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan . . . . . . . 2.1.1 2.2 2.3 35 Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2 Interprétation des grandeurs cinématiques et statiques . . . . . 36 2.1.3 Prise en compte du cisaillement transverse . . . . . . . . . . . . 37 2.1.4 Formulation des problèmes de flexion-tension . . . . . . . . . . 38 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2 Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.3 Flexion déviée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.4 Sollicitation composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.5 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 34 Théorie des poutres droites 35 Généralement, les poutres présentent des sections et des courbes moyennes dont les particularités peuvent être utilisées pour réduire la complexité des problèmes traités. Dans la plupart des cas en effet, les sections présentent des symétries, c’est la cas en particulier des poutres à plans moyens. De plus, les poutres droites sont les plus largement utilisées. 2.1 Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan Dans le cas des poutres courbes, la rotation du repère de la section par rapport au repère de référence doit être pris en compte, par exemple en utilisant un repère de Frénet. Les poutres droites ont la particularité de posséder une ligne moyenne rectiligne. Dans ce cas les axes du repère de référence et du repère attaché aux sections sont confondus, et le − − − restent dans le cadre HPP. On notera dorénavant ce repère R(O, → x ,→ y ,→ z ). Comme il a été défini au début de ce document, les poutres à plans moyens sont des poutres dont la section présente un plan de symétrie (Figure 2.1). Généralement ces poutres sont chargées dans le plan de symétrie de la section, on parle alors de poutres à plan moyen chargées dans leur plan. Des sections à plan moyen plus particulières peuvent être utilisées, il s’agit des profils creux ou de profils ouverts (Figure 2.1). Dans le cas des − profils ne possédant pas de plan de symétrie par rapport à → y , le centre de gravité n’est plus confondu avec le centre géométrique, il y a donc apparition de flexion déviée. De plus dans le cas des profils ouverts, des théories spécifiques doivent être utilisées, notamment pour prendre en compte le cisaillement qui peut se développer dans les parois minces des sections. Dans cette introduction à la RdM, nous nous limiterons aux sections fermées présentant 2 plans de symétrie (xGy et xGz), telles que les 3 premières sections de la Figure 2.1. Figure 2.1: Exemples de sections à plans moyens et section ouverte. Ces hypothèses de symétrie conduisent à des problèmes beaucoup plus simples que les cas généraux présentés jusqu’alors. En effet dans ce cas, les moments produits des sections sont nuls, il n’y a donc pas de couplage entre les 2 déformations de flexion (voir Eq. 1.14). On supposera de plus que le chargement s’applique dans le plan de symétrie de la section, ce qui évite notamment la prise en compte de la flexion déviée. Théorie des poutres droites 2.1.1 36 Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan Lorsqu’une poutre à plan moyen est chargée dans son plan, les efforts internes en tout point d’abscisse x (qui joue ici le rôle de l’abscisse curviligne l) sont contenus dans le plan du chargement et sont : → − — une réaction R dans le plan xOy, donc avec deux composantes, − → — un moment M dirigé selon Oz, donc avec une composante. → − Les deux composantes de R sont alors notées N (effort normal) et T2 = T (effort tran− → chant), tandis que la composante non nulle de M est notée M3 = M (moment de flexion). De même, les déplacements de tout point de la poutre (y compris des points situés hors de la ligne moyenne) sont représentés par : − — un vecteur déplacement de la fibre moyenne → u dans le plan xOy, → − — un vecteur rotation r de la section selon Oz. − Les deux composantes non nulles de → u sont notées ux = u (déplacement normal) et − u = v (flèche), tandis que la composante non nulle de → r est notée r = φ (rotation). y z Nous voyons dans ce cas que nous travaillons sur trois degrés de liberté (au lieu de six). Les équations d’équilibre (Eqs. 4.13) deviennent dans ce cas fonctions des efforts N , T , et M , eux-même fonctions de l’abscisse x sur la poutre. Elles s’écrivent :  ′   N (x) + px (x) = 0 T ′ (x) + py (x) = 0   M ′ (x) + T (x) + c (x) = 0 z On remarque dans ces équations que les charges et couples répartis sur la fibre moyenne de la poutre (issus des forces volumiques) se réduisent à : − — une force par unité de longueur → p avec seulement deux composantes non nulles px et py , −c porté par l’axe z. — un couple par unité de longueur → Le problème à traiter dans le cas des poutres droites à plan moyen chargées dans ce plan est totalement plan, et grandement simplifié par rapport au cas des poutres courbes dans l’espace. On note que la torsion n’apparaît pas ici, c’est en effet un mécanisme qui fait intervenir une rotation hors du plan de symétrie des sections (κ1 (x1 ) = r1′ (x1 )). Cette sollicitation sera traitée séparément. 2.1.2 Interprétation des grandeurs cinématiques et statiques Dans ce cas plan de la théorie des poutres, on peut donner aisément une interprétation physique simple des quantités telles que la rotation des sections. Les hypothèses de poutre ont conduit à poser une cinématique dans laquelle le déplacement de tout point Théorie des poutres droites 37 M de la section s’exprime en fonction des déplacements plans du centre de gravité (u(x) et v(x)) de la section et d’une rotation (φ(x)) de cette section (Figure 2.2). Figure 2.2: Cinématique de poutre, sans cisaillement (Bernoulli) et avec cisaillement (Timoshenko). 2.1.3 Prise en compte du cisaillement transverse Dans la cinématique sans cisaillement ou de Bernoulli, les sections sont supposées ). Dans ce cas, la connaissance du déplarester normales à la ligne moyenne (φ(x) = dv(x) dx cement de la ligne moyenne suffit, par des considérations géométriques simples, à définir complètement les déformations de membrane et de courbure. Dans la cinématique avec cisaillement ou de Timoshenko, la rotation totale de la section (φ(x)) est indépendante de la rotation de la section due à la flexion ( dv(x) ) . Cet effet peut-être schématisé simdx plement en flexion pure : la flèche totale est la somme de la flèche de la poutre possédant uniquement une rigidité de flexion et de la flèche de la même poutre possédant cette fois-ci une rigidité de cisaillement uniquement (Figure 2.2). Dans cette théorie, le cisaillement (γ(x)) est donc la différence de la rotation totale (φ(x)) et de la rotation due à la flexion ( dv(x) ). Ou vu autrement, pour une flèche donnée, le cisaillement provoque une rotation dx totale moindre par rapport à la flexion seule. Ce point sera abordé plus en détails dans les applications ci-dessous. Finalement, les théories avec et sans cisaillement reposent sur Théorie des poutres droites 38 les cinématiques suivantes : Bernoulli - sans cisaillement  dv(x)  uM (x, y) = u(x) − y dx  v (x, y) = v(x) M Timoshenko - avec cisaillement    uM (x, y) = u(x) − yφ(x) vM (x, y) = v(x)     γ(x) = dv(x) − φ(x) (2.1) dx Pour la théorie avec cisaillement, l’introduction du cisaillement nécessite de corriger la contribution de cette rigidité. En effet, compte-tenu de l’hypothèse de répartition constante du cisaillement dans l’épaisseur de la poutre (γ fonction de x seul), la répartition réelle qui est parabolique (maximum au centre et condition de contraintes nulles sur les bords) est légèrement surestimée. On introduit un coefficient de correction, souvent noté k, qui permet d’ajuster cette approximation. Ce coefficient est calculé à partir de considérations énergétiques, il est égal à 65 pour une section prismatique (voir §5.3.3). La loi de comportement en cisaillement s’écrit donc : T (x) = kGSγ(x) 2.1.4 Formulation des problèmes de flexion-tension Au final, les problèmes de flexion-tension pour les poutres droites tels que représenté sur la Figure 2.3, sont complètement formulés grâce aux équations suivantes données pour la théorie avec cisaillement. Figure 2.3: Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan : conditions aux limites en x1 et x2 et chargements répartis et concentrés en xi . Théorie des poutres droites 39 Bilan de la théorie des poutres droites chargées dans leur plan moyen 1. Conditions aux limites cinématiques - champ C.A. u(xi ) = ud , v(xi ) = v d , φ(xi ) = φd 2. Équilibre intérieur N ′ (x) + px (x) = 0 T ′ (x) + py (x) = 0 M ′ (x) + T (x) + cz (x) = 0 3. Équilibre au bord et discontinuités − d N (xj ) = N d (xj ) N (x+ i ) − N (xi ) = −N (xi ) − d T (xj ) = T d (xj ) T (x+ i ) − T (xi ) = −T (xi ) − d M (xj ) = M d (xj ) M (x+ i ) − M (xi ) = −M (xi ) 4. Loi de comportement N (x) = ES du(x) dx T (x) = kGSγ(x) M (x) = EI dφ(x) dx 5. Relations utiles : — Relations déplacements/déformations ǫ(x) = u′ (x) − yφ′ (x) γ(x) = v ′ (x) − φ(x) — Expressions des contraintes en fonction des efforts internes m tension : σxx (x) = N (x) S(x) f flexion : σxx (x, y) = − M (x) y I(x) cisaillement : σxy (x) = T (x) S(x) En pratique, la contribution du cisaillement dans la rigidité de la poutre est souvent négligée. En effet, ce terme est très souvent d’un ordre de grandeur inférieur au terme de rotation φ(x) lors du calcul de la flèche v(x). Ceci est illustré dans les second et troisième Théorie des poutres droites 40 exemples de flexion traités ci-dessous (exercice Flexion 2 et Flexion 3 ). On remarque finalement que, en négligeant la contribution du cisaillement, et en dérivant la dernière équation d’équilibre, on obtient une équation différentielle en v(x) et M (x). Cette équation est souvent utilisée pour obtenir rapidement la flèche de la poutre en fonction du moment M (x) calculé par transport des actions extérieures en un point x quelconque de l’abscisse. La méthode est appelée double intégration de la ligne élastique : EIv(x)′′ = M (x) 2.2 Applications Les sollicitations des poutres droites à plans moyens étudiées ici sont soit de la tension ou de la flexion, ou leur combinaison. Ces 2 sollicitations, imposées dans le plan de symétrie de la poutre, sont étudiées à travers des exercices. La torsion est ensuite abordée séparément, pour des arbres cylindriques. 2.2.1 Tension Dans le cadre de la théorie en HPP présentée jusqu’alors, dans une poutre sollicitée en tension, seule la contrainte normale est non nulle. On sait de plus que cette contrainte est constante dans l’épaisseur de la poutre. Tension 1 : exemple de base On considère une poutre à plan moyen de longueur l − chargée dans son plan en tension par un effort normal ponctuel (vecteur Fx .→ x ) appliqué en B (Figure 2.4). On notera E le module d’Young du matériau constitutif et S la section de la poutre constante ici. Figure 2.4: Poutre droite à plan moyen chargée en tension par un effort terminal normal. Théorie des poutres droites 41 1. Résolution complète — Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d’équilibre + conditions aux limites). — Résoudre complètement le problème 2. Résolution par transport des efforts extérieurs — Donner l’expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. — En déduire le torseur des déformations. — Donner le déplacement longitudinal de la poutre en tout point x, en prenant en compte les conditions aux limites cinématiques. — Tracer le profil de la contrainte normale le long de la poutre. — Choisir une section rectangulaire de poutre, pour une largeur b fixée, telle que la limite élastique σ0 du matériau constitutif ne soit pas dépassée. Tension : utilisation des continuités et discontinuités On considère la même poutre, mais le chargement est ici un chargement réparti d’intensité constante P qui s’applique seulement sur une partie [AB] de la poutre (Figure 2.5). Figure 2.5: Poutre droite à plan moyen soumise à un chargement réparti. 1. Résolution complète — Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d’équilibre + conditions aux limites). — Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d’équilibre. 2. Résolution par transport des efforts extérieurs — Donner l’expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. — En déduire le torseur des déformations. — Donner le déplacement longitudinal de la poutre en tout point x. — Tracer le profil des contraintes le long de la poutre. — Quelle est la contrainte maximale dans cette poutre ? Théorie des poutres droites 42 — Choisir une section de poutre, pour une largeur b fixée, telle que la limite élastique σ0 du matériau constitutif ne soit pas dépassée. 2.2.2 Flexion simple Les équations d’équilibre ont été présentées ci-dessus, il reste à expliciter les contraintes engendrées par la flexion des poutres. En se rappelant que la cinématique s’exprime par rapport aux grandeurs mesurées au centre de la section, on en déduit que la répartition de la contrainte normale à travers l’épaisseur est linéaire. Flexion 1 : Flexion simple d’une poutre console Considérons la poutre représentée sur la Figure 2.6 sollicitée par une force ponc− → tuelle (vecteur Fy (l)) en son extrémité B (x = l). On notera E le module d’Young du matériau, G son module de cisaillement, S la section de la poutre et I son moment d’inertie par rapport à l’axe Oz. Figure 2.6: Flexion simple d’une poutre à plan moyen 1. Résolution complète — Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d’équilibre + conditions aux limites). — Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d’équilibre. — Tracer les profils des efforts tranchants et des moments fléchissants. 2. Résolution par transport des efforts extérieurs — Donner l’expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. — En déduire le torseur des déformations. — Donner la flèche et la rotation de la poutre en tout point x, en utilisant la méthode de la double intégration, et donner leur profil. 3. Influence du cisaillement Théorie des poutres droites 43 — Montrer que la contribution de l’effort tranchant peut être négligée dans v lex ), dans le cas des les expressions des déplacements obtenues ci-dessus ( vfcis matériaux isotropes. On notera r le degrés d’anisotropie (r = E ). G — Évaluer la limite d’utilisation de la théorie de Timoshenko, pour ce problème. On notera que le degrés d’anisotropie peut atteindre une valeur limite supérieure à 35 pour des matériaux composites isotropes transverses de type carbone/époxyde. 4. Choix d’une section en fonction de sa rigidité de flexion — Évaluer et comparer les moments quadratiques des sections (a) et (b) présentées sur la Figure 2.7. — Comparer les moments quadratiques et les masses des sections en I et sandwich par rapport à la section pleine en fonction de k. On considérera de l’acier, et de la mousse PUR pour l’âme du sandwich, avec un rapport de a = 5 · 10−2 . rigidité E Ep Figure 2.7: Profils de section considérés : (a) section rectangulaire pleine, (b) section en I, et (c) matériau sandwich. Théorie des poutres droites 44 Remarques sur la rigidité en flexion des sections de type profilé et sandwich On note Ihom le moment d’inertie de la section homogène (Figure 2.7-a) : Z Ihom/G = b/2 −b/2 Z h/2 2b y dy = 3 −h/2 2  3 h 2 (2.2) Pour la poutre en I (Figure 2.7-b), le moment quadratique est calculé en 2 parties. Il faut tout d’abord évaluer la contribution de la partie centrale (l’âme dans les sandwichs), puis celle des deux peaux. Pour l’âme, le calcul est similaire à celui de la poutre homogène (Eq. 2.2), avec une largeur kb pour la section en I et b pour le sandwich. Pour les deux peaux (les voiles dans la section en I), on utilise soit une intégrale de bornes ayant pour origine le centre de section, soit le théorème d’Huyghens qui permet de rapporter le calcul du moment d’inertie par rapport à la ligne moyenne d’une peau à la ligne moyenne de la poutre sandwich (Eq. 2.3). Ainsi, un terme supplémentaire apparaît dans le calcul du moment d’inertie des peaux (des voiles). Il est constitué du produit de l’aire de la section transverse des peaux par le carré de la distance entre la ligne moyenne d’une peau et celle du sandwich. La rigidité équivalente de flexion de la poutre sandwich < EI >sand est proche de celle de la section en I, calculée en deux parties, mais ici le matériaux constitutif n’est pas le même dans toute la section de la poutre (Eq. 2.4). II/G = Iame/G + 2Ipeau/G = ou = Z Z kb/2 −kb/2 kb/2 −kb/2 2kb 3  Z Z h/2+kh) y 2 dy + 2 −(h/2−kh) (h/2+kh) 2 y dy + 2 −(h/2−kh) 3 h − kh 2 < EI >sand/G = Z b/2 −b/2 2Ea b = 3 +2 Z  Z Z b/2 −b/2 b/2 −b/2 Z Z h/2 y 2 dy (h/2−kh) kh /2 ! 2 y dy + bkh −kh /2 b(kh)3 bkh + (h − kh)2 12 4   h − kh 2 2 ! (2.3) h/2 E(y) y 2 dy = Ea Iame/G + 2Ep Ipeau/G −h/2  h − kh 2 3 + 2Ep  b(kh)3 bkh + (h − kh)2 12 4  (2.4) Les matériaux sandwich généralement rencontrés dans les applications industrielles possèdent les caractéristiques suivantes (Eq. 2.5) (hp est l’épaisseur des peaux et ha est l’épaisseur de l’âme). hp < 0, 1 ha Ea < 0, 02 0, 001 < Ep 0, 02 < (2.5) Théorie des poutres droites 45 Figure 2.8: Effet sandwich : rigidité et masse du sandwich d’épaisseur ha + 2hp rapporté à la section d’épaisseur 2hp (Epeau = 103 Eame et ρame = 0, 09ρpeau ). Ainsi, en considérant ces ordres de grandeurs pour les rapports des épaisseurs et des modules, on montre que le troisième terme de la relation (2.4) est prépondérant devant les deux autres. En effet, si on note respectivement < EI >is (i = 1..3) les trois termes composant la rigidité équivalente de flexion de la poutre sandwich (Eq. 2.4), les rapports suivants peuvent être établis : < EI < EI < EI < EI Ea ha >1s 1 ≃ < 3 >s 6Ep hp 6 2 2 kh 1 >s ≃ 2 < 3 >s 3ha 300 La rigidité de flexion propre des peaux rapportée à la ligne moyenne du sandwich constitue donc le terme prépondérant de l’expression de la rigidité globale de flexion (< EI >sand ). C’est donc l’assemblage des deux constituants qui confère à l’ensemble une rigidité équivalente conséquente en flexion, c’est l’effet sandwich. Pour illustrer cet effet, on calcul la rigidité du sandwich formé par des peaux d’épaisseur hp séparées par une âme d’une épaisseur ha . On vérifie aisément que la rigidité du sandwich est beaucoup plus élevée que la rigidité de la section constituée des mêmes peaux seules, formant un matériau massif d’épaisseur 2hp (Figure 2.8), et ceci pour une masse sensiblement identique. La rigidité de membrane est, quant à elle, très peu modifiée. On voit ici tout l’intérêt de l’utilisation de ce type de section, notamment dans le secteur des transports où l’allégement est un souci constant. Plus généralement, on peut "gagner de la matière" en utilisant ce type de section, Théorie des poutres droites 46 ou de manière équivalente des profils creux, en utilisant les matériaux les plus rigides le plus loin du centre de flexion de la section. L’intérêt de ces sections peut être mis en évidence en représentant la rigidité de flexion et la masse de la section en I (Figure 2.9-a) et de la section sandwich (Figure 2.9-b), rapportées à la rigidité de flexion et la masse de la section de même dimension mais homogène. Sur la Figure 2.9 (k est le rapport des épaisseurs de peaux par rapport à l’épaisseur totale dans les sections en I (Figure 2.7-b) et sandwich (Figure 2.7-c)) on peut voir que pour un gain de masse appréciable, on obtient des rigidités très proches de celles de la section homogène. Théorie des poutres droites 47 (a) (b) Figure 2.9: Rigidités et masse des sections (a) en I, et (b) matériau sandwich (Epeau = 103 Eame et ρame = 0, 09ρpeau ) . Théorie des poutres droites 48 Flexion 2 : Flexion trois points La Figure 2.10 représente une poutre à plan moyen sollicitée en flexion trois points − → dans son plan par une force Fy . Par symétrie, nous allons utiliser le segment 0 ≤ x ≤ l/2 pour traiter le problème, en posant des conditions de symétrie en x = l/2. Du fait de − → cette symétrie, la sollicitation ponctuelle Fy est diminuée de moitié. Une théorie avec cisaillement sera utilisée pour résoudre ce problème. Figure 2.10: Flexion trois points d’une poutre à plan moyen. 1. Résolution complète — Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d’équilibre + conditions aux limites). — Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d’équilibre. Donner la flèche et la rotation maximale ainsi que les abscisses de ces maxima. — Tracer les profils des efforts tranchants et des moments fléchissants. 2. Résolution par transport des efforts extérieurs — Donner l’expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. Attention aux réactions aux appuis ! ! ! — En déduire le torseur des déformations. — Donner la flèche et la rotation de la poutre en tout point x, et tracer leur profil. 3. Influence du cisaillement — Montrer que la contribution de l’effort tranchant peut être négligée dans v lex ), dans le cas des les expressions des déplacements obtenues ci-dessus ( vfcis ). matériaux isotropes. On notera r le degrés d’anisotropie (r = E G — Évaluer la limite d’utilisation de la théorie de Timoshenko, pour ce problème. On notera que le degrés d’anisotropie peut atteindre une valeur limite supérieure à 35 pour des matériaux composites isotropes transverses de type carbone/époxyde. Théorie des poutres droites 49 On a vu que le cisaillement peut être négligé dans le cas des matériaux courants (r ≃ 2, 6), mais doit être pris en compte dans le cas des matériaux dont le rapport d’orthotropie est élevé. C’est le cas des matériaux composites par exemple, où le cisaillement n’est plus une fonction du module d’Young et du coefficient de Poisson, et pour lesquels le rapport peut atteindre des valeurs élevées, de l’ordre de 35. Il faut également préciser que plus la poutre est élancée, plus le cisaillement est négligeable. On utilise d’ailleurs un essai dit Short Beam Shear Test pour déterminer la résistance en cisaillement interlaminaire dans les poutres composites. Il s’agit d’un essai de flexion 3 points, tel que celui présenté ci-dessus sur la Figure (2.10), mais dont les appuis sont si rapprochés (l = 5h) que le cisaillement contrôle en grande partie la réponse de la poutre.Dans la suite des applications, le cisaillement sera négligé afin d’alléger les développements analytiques. La flexion 3 points est un essai couramment utilisé dans l’industrie pour caractériser les matériaux. Pourtant, cet essai, s’il a l’avantage d’être simple à mettre en œuvre, pose de nombreux problèmes pour des mesures de résistance. En effet, le profil des efforts tranchants et des moments fléchissants montre clairement que ces 2 grandeurs sont maximales au centre de la poutre. De plus, sous l’appui central, la poutre subit un écrasement transverse (ǫyy ). La concomitance de ces valeurs extrêmes au centre de la poutre conduit systématiquement à une rupture sous l’appui central, rendant difficile l’identification du mode de rupture et l’état de contraintes à l’intérieur de la poutre au moment de la rupture. Un moyen simple de pallier à cette rupture ’incontrôlée’ est de mettre en œuvre un essai de flexion 4 points (Figure 2.11), traité ci-dessous. Flexion 3 : Flexion quatre points Nous allons étudier la flexion quatre points d’une poutre à plan moyen. Les caractéristiques mécaniques et géométriques de la poutre étudiée sont identiques à celles utilisées dans les exemples précédents (voir Figure 2.11). Dans ce problème, une théorie sans cisaillement sera considérée. Il faut noter qu’il est possible d’étudier avec cette théorie l’évolution de la contrainte de cisaillement le long de la poutre. En effet, l’effort tranchant existe, et il va engendrer des contraintes de cisaillement, mais qui ici ne vont pas influer sur la rotation des sections et donc la flèche. Simplement, aucune loi de comportement ne permet de dériver la déformation de cisaillement à partir de l’effort tranchant. 1. Résolution complète — Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d’équilibre + conditions aux limites). — Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d’équilibre. — Tracer les profils des efforts tranchants et des moments fléchissants. — Tracer la déformée. — Comparer ces répartitions avec celles de l’essai de flexion 3 points. 2. Résolution par transport des efforts extérieurs Théorie des poutres droites 50 Figure 2.11: Flexion 4 points d’une poutre à plan moyen. — Donner l’expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. — En déduire le torseur des déformations. — Donner la flèche et la rotation de la poutre en tout point x. Flexion 4 : Poutre d’égale résistance Les poutres en flexion sont très répandues dans les applications technologiques courantes. On peut souhaiter avoir des poutres dites d’égale résistance, c’est-à-dire que l’état de contrainte soit le même partout dans la poutre. Ceci assure une homogénéité dans toute la poutre, et donne l’assurance qu’en tout point de la poutre la résistance du matériau constitutif ne sera pas dépassée si le dimensionnement est effectué correctement. Nous allons appliquer ce principe à la poutre console vue précédemment (Figure 2.6) qui est chargée dans un premier temps par un effort ponctuel terminal comme dans l’exercice Flexion 1 , puis dans une autre configuration avec cette fois-ci un effort réparti vertical d’intensité py constante (Figure 2.12). La section de cette poutre est rectangulaire, de largeur b et de hauteur h. Figure 2.12: Poutre console soumise à une charge répartie py constante. 1. Résolution du problème posé sur la Figure 2.12 Théorie des poutres droites 51 — Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d’équilibre + conditions aux limites). — Exprimer les déplacements en tout point x. — Tracer le diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants. 2. Expliciter, pour les 2 cas de chargements, la contrainte normale maximale, en fonction du moment de flexion maximum et des dimensions de la section qui peuvent dépendre de x. 3. Donner le profil de la poutre si la largeur b est fixe (variation de la hauteur h(x)). 4. Donner le profil de la poutre si la hauteur h est fixe (variation de la largeur b(x)). 2.2.3 Flexion déviée La flexion déviée se produit lorsque les moments produits de la section ne sont pas nuls. Ce peut être le cas par exemple lorsque les directions principales d’inertie de la section ne sont pas confondues avec les axes du repère de référence, ou bien pour les sections ne possédant pas de plans de symétrie. On retrouve alors le résultat énoncé précédemment (Eq. 1.14), où le moment fléchissant Mfz est dû pour une part à la flexion − − selon → z , mais également à de la flexion selon → y . Ce qui donne dans une théorie sans cisaillement : Mfz (x) = EIGz v ′′ (x) − EIGyz w′′ (x) où IGy , IGz et IGyz sont respectivement le moment quadratique de la section par rapport − − à l’axe → y , par rapport à l’axe → z , et le moment produit. w′′ est la courbure due à la flèche − selon → z . Dans ce cas la contrainte normale se calcule en prenant en compte les grandeurs suivant les 2 axes concernés. L’expression de la contrainte normale s’établit à partir des lois de comportement en flexion (Mfz = f (v ′′ , w′′ ) et Mfy = f (v ′′ , w′′ )), en explicitant les courbures et en les introduisant dans l’expression de la contrainte normale, telle qu’exprimée par exemple dans l’équation 1.25 page 29. Au final, l’expression complète de la composante de flexion de la contrainte normale s’écrit : f σxx (x) = −Mfz (x) zIGy − yIGyz yIGy − zIGyz + Mfy (x) 2 2 IGy IGz − IGyz IGy IGz − IGyz (2.6) Poutre à section quelconque Considérons une section quelconque mais constituée d’un matériau homogène. On comprend bien que les directions principales dites d’inertie 1 de cette section ne seront pas 1. En fait ces propriété dites - abusivement - d’inertie ne sont pas liées directement au comportement dynamique, mais par extension représentent les propriétés géométriques et matériaux de la section Théorie des poutres droites 52 directement confondues avec les axes du repère global (Figure 2.13-a). Pour le montrer plus rigoureusement, déterminons dans un premier temps les coordonnées du centre de gravité de cette section. Ensuite, les directions principales d’inertie seront déterminées en − − diagonalisant le tenseur d’inertie de cette section, dans le plan (G, → y ,→ z ). y' y (S1) z' (s) y α y G e h G z G G y G O z z O G (S3) (S2) z b (a) (b) Figure 2.13: Description géométrique de la section : (a) centre de gravité et directions principales d’inertie pour une section quelconque, et (b) section en L. − − Dans le plan (O, → y ,→ z ), les coordonnées du centre de gravité se calculent par la définition même de ce point particulier de la section, qui est tel que : centre de gravité en 3D Z Z Z − Ω x→ G (x) = Z Z Z → − x dΩ Ω ρdΩ centre d’une section homogène en 2D Z Z Z Z y ds z ds S(x) S(x) yG (x) = Z Z zG = Z Z ds ds S(x) (2.7) S(x) Le terme au numérateur est appelé le moment statique de la section par rapport à l’origine du repère O, on le notera JOz et JOy ci-dessous. Ce moment est évidemment nul lorsqu’on le calcule par rapport au centre de gravité G. Lorsque les coordonnées du point G sont déterminées, les moments quadratiques et produit peuvent être calculés par rapport à ce point, et relativement aux axes du − − repère global, dans le repère centré en G par exemple (RG = (G, → y ,→ z )). D’après les relations page 7 rappelées ci-dessous, on obtient le tenseur d’inertie de la section (en 2D) par rapport au centre de gravité, appelé alors tenseur central d’inertie : Z Z Z Z   2 yzds z ds −IGyz = −  IGy = S(x) S(x)  Z Z Z Z  (2.8) I(G, S) =  (RG ) 2 y ds yzds IGz = −IGyz = − S(x) qualifiant son comportement mécanique en termes de rigidité S(x) → → (G,− y ,− z) Théorie des poutres droites 53 Ces moments peuvent également se calculer par rapport à un système d’axes − orthogonaux centré en G, formant un angle α par rapport à l’axe → z par exemple → − \ − α=→ z G z ′ - tel que représenté sur la Figure 2.13. En introduisant le changement de base → − − (G, → y , z) (G, y ′ , z ′ ) avec le tenseur P de changement de base (orthogonal si ′ ) (RG →RG → − les bases sont orthonormées directes) tel que x′ = P (R P (R ′ G →RG ) " cos α − sin α = sin α cos α ′ G →RG ) # − ·→ x en 2D : ′ ) (RG →RG et en notant que le tenseur d’inertie est d’ordre 2, ce changement de base s’écrit :  T · P (R →R′ ) I(G, S) ′ = P (R →R′ ) · I(G, S) (RG ) G G (RG ) G G ce qui conduit finalement aux expressions des moments par rapport à ce nouveau système d’axe : 1 1 IGy′ = (IGy + IGz ) + (IGy − IGz ) cos 2α − IGyz sin 2α 2 2 1 1 IGz′ = (IGy + IGz ) + (IGz − IGy ) cos 2α + IGyz sin 2α 2 2 1 −IGy′ z′ = (IGz − IGy ) sin 2α − IGyz cos 2α 2 RR Remarque : Les moments produits sont stockés sous la forme −IGyz = − S(x) yzds, il faut être très attentif au signe, selon qu’on écrit la forme tensorielle ou non. Ici on a exprimé le terme hors-diagonal de la forme tensorielle, soit −IGy′ z′ pour être cohérent. On en déduit encore, que inversement, l’angle α entre le repère RG et le repère prin′ cipal d’inertie RG , tel que le moment produit est nul, s’exprime en fonction des moments caractéristiques de la section 2 IGyz tan 2α = IGy − IGz Plus généralement, déterminer les axes principaux de la section, pour lesquels le moment produit est nul, se fait par diagonalisation du tenseur d’inertie. Il s’agit de déterminer − les vecteurs propres → xi associés aux valeurs propres Ii de ce tenseur. Ces valeurs propres représentent la projection du tenseur sur les directions propres associées, soit I(G, S) · (RG ) → − − x =I ·→ x . Ou encore, pour que la solution triviale ne soit pas solution : i i det i " IGy − Ii −IGyz −IGyz IGz − Ii #! → → (G,− y ,− z)
2 =0 = Ii2 − (IGy + IGz ) Ii + IGy IGz − IGyz d’où on déduit les valeurs prises par les moments d’inertie principaux, solution de l’équation du second degré en I s 2 IGz − IGy IGy + IGz 2 ± + IGyz I(max,min) = 2 2 Théorie des poutres droites 54 Sans entrer dans les détails, ces valeurs propres sont réelles et distinctes, et les vecteurs propres correspondant sont donnés par q ! 2 → −′ IGy − IGz − (IGy − IGz )2 + 4IGyz z1 = −2IGyz − →− → q !(G, y , z ) 2 2 → −′ IGy − IGz + (IGy − IGz ) + 4IGyz z2 = −2IGyz → → (G,− y ,− z) Illustration sur la cas de la poutre console - TP Pour illustrer ces calculs de propriétés géométriques de sections, et pour étudier la flexion déviée, considérons une section en L telle que présentée sur la Figure 2.13, de hauteur h, de largeur b, et d’épaisseur de voile e, constituée d’un matériaux homogène de type PVC : — Dimensions : e=3,5 mm, h=3 cm et b=2 cm ; longueur ℓ = 70 cm — Propriétés mécaniques : module d’Young 0, 35 GP a < E < 2, 5GP a. Ici E = 1 GP a 1. Pour ce cas de la cornière en L (Figure 2.13), nous allons procéder comme indiqué ci-dessus dans le cas général. On pourra raisonner en termes de 3 surfaces composant cette cornière, telles que présentées sur la Figure 2.13 : 2 rectangles composant les ailes - (S1 )/(z, y) ∈ [0, h] × [0, e] et (S2 )/(z, y) ∈ [0, b] × [0, h]) auxquels on retranchera le carré (S3 )/(z, y) ∈ [0, e] × [0, e] : (a) Calculer la position du centre de gravité. Pour cela déterminer d’abord la surface S puis les moments statiques JOz et JOy de la section Réponses yG = S3 S2 S1 − JOz + JOz JOz = S1 + S 2 − S3 e 2 (h2 + be − e2 ) e (h + b − e) zG = e 2 (he + b2 − e2 ) e (h + b − e) A.N. S = 162, 75 mm2 yG = 10, 3 mm zG = 5, 3 mm (b) Déterminer les moments quadratiques par rapport à l’origine du repère IOz , IOy , et IOyz puis par rapport au centre de gravité IGz , IGy et IGyz - utiliser le théorème de Huygens par exemple. On rappelle (Eq. 7.32), à toutes fins utiles, que ce théorème permet d’exprimer le tenseur d’inertie d’un solide par rapport à n’importe quel axe en connaissant le tenseur d’inertie exprimé en son centre de gravité calculé par rapport à un axe colinéaire. Pour la section de poutre étudiée ici, la relation inverse donne donc :   2 zG −yG zG  IG (2.9) = IO −S 2 (RG ) (RG ) −yG zG yG (RG ) Théorie des poutres droites 55 Réponses S3 S2 S1 = − IOz + IOz IOz = IOz IOy = IOyz = e 3 (h + be2 − e3 ) 3 e (he2 + b3 − e3 ) 3 e2 2 (b + h2 − e2 ) 4 A.N. IOz = 31.735 mm4 IOy = 9.712 mm4 IGz = (b − e)e3 + eh3 2 − yG S 3 IGy = eb3 + (h − e)e3 2 − zG S 3 −IGyz = − IOyz = 3.943 mm4 e2 2 (b + h2 − e2 ) + yG zG S 4 A.N. IGz = 14.475 mm4 IGy = 5.143 mm4 IGyz = −4.936 mm4 (c) Calculer les directions principales et valeurs des moments principaux pour exprimer le tenseur central d’inertie. Réponses A.N. On associe la plus petite valeur propre Imin au premier → − vecteur propre z1′ et la plus grande valeur propre Imax au second vecteur → − propre z2′ : ! → −′ → − → −′ → −′ → − \ 0, 396 − → → → → z2 (G,− et z1′ (G,− α2 = → z G z2′ = 23, 3˚ y ,− z) = y ,− z ) / = z1 · z2 = 0 0, 918 Imax = 16.601 mm4 Imin = 3.016 mm4 2. Afin de comparer ces prévisions avec le comportement réel de la poutre, réaliser les mesures suivantes avec le montage mis à disposition : (a) Mesurer le déplacement l’extrémité de la poutre (déplacement latéral et/ou le déplacement le long de l’axe portant l’effort), en fonction de l’angle de la sollicitation par rapport à la poutre. En déduire les directions principales d’inertie. Théorie des poutres droites 56 (b) Comparer les grandeurs prévues par la théorie des poutres appliquée au cas de la poutre console prenant en compte la flexion déviée, aux valeurs relevées avec le TP de poutre console.   F x3 x2 IGy −l v(x) = 2 E 6 2 IGy IGz − IGyz   x2 IGyz F x3 −l w(x) = 2 E 6 2 IGy IGz − IGyz Norme du déplacement de l'extrémité Sur la Figure 2.14 est représenté la norme du déplacement de l’extrémité de la → − \ − poutre console en fonction de l’angle α = y ′ G→ y entre la direction de la sollicitation et la → −′ direction principale y (voir Figure 2.13). On vérifie bien que le déplacement maximum correspond à la plus petite valeur propre Imin associée à l’angle α = −66, 7˚, et que le déplacement minimum correspond à la seconde valeur propre Imax associée à l’angle α = 23, 3˚. On rappel que la rigidité en flexion d’une poutre s’exprime par rapport à l’axe perpendiculaire au plan contenant la déformée - Mfz = f (v ′′ , Iz ). 23,3° -66,7° angle entre la sollicitation et le repère principal dela section Figure 2.14: Déplacement de l’extrémité de la poutre console en fonction de l’angle α entre la sollicitation et la direction principale de la section en L de la Figure 2.13. Les évolutions des déplacements correspondants au problème résolu sont également représentés sur la Figure 2.15, en coordonnées polaires. Pour information, les industriels fournissent des données géométriques pour les profils qu’ils commercialisent. La Figure 2.16 présente un exemple de données pour un profilé en L, fourni par exemple par Arcelor-Mittal. Théorie des poutres droites 57 y y x −3 −2 −1 0 (a) 1 2 3 3 3 2 2 1 1 0 x 0 −1 −1 −2 −2 −3 −3 4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 (b) Figure 2.15: Représentation polaire des déplacements à l’extrémité de la poutre console à section en L - les échelles sont les mêmes : (a) déplacement selon l’axe d’application de l’effort, et (b) dans la direction perdendiculaire. Figure 2.16: Données pour une poutre à section en L - source Arcelor-Mittal. Théorie des poutres droites 58 Figure 2.17: Poutre sollicitée en flexion et en tension 2.2.4 Sollicitation composée Expliciter l’état de contraintes (σxx ,σxy ) qui règne dans la poutre ci-dessous (Figure 2.17) sollicitée en flexion-tension. 2.2.5 Torsion La torsion est une sollicitation rencontrée trés fréquemment, et plus spécialement dans les arbres de transmission par exemple. Ces arbres sont dans la plus grande partie des applications de section cylindrique à section circulaire, creuse ou pleine. Les sections carrées remplissent la même fonction mais servent le plus souvent à transmettre les moments de torsion en évitant d’utiliser des accouplements. En tenant un raisonnement analogue à celui qui permet d’expliquer l’avantage des poutres en I en flexion, on comprend bien qu’en torsion les fibres matérielles périphériques sont les plus sollicitées. Dans l’exercice ci-dessous, on démontre sur un cas simple l’intérêt d’utiliser des tubes creux pour transmettre des couples. On rappel que les expressions des contraintes de cisaillement font apparaître les contributions des termes de membrane et des termes de courbure, appelée torsion dans ce cas particulier (Eqs. 1.25). C’est le différentiel de contraintes de cisaillement de part et d’autre du centre de gravité qui va induire de la torsion. Ceci est illustré sur la Figure 2.18, − − − d’abord (Figure 2.18-a) dans un repère cylindrique Rc = (G, → x ,→ er , → eθ ) où ces contraintes → − → − sont contenues dans un plan (G, x , er ) invariant par rotation autour de l’axe de la poutre, et également dans une section prismatique (Figure 2.18-b) où la torsion apparaît par exemple si des contraintes de cisaillement σxy (x, M ) opposées en intensité règnent en − − − z dans le plan (G, → x ,→ y ). Pour simplifier les calculs, dans le repère cylindrique les ± 2b .→ contraintes de cisaillement σxr (x, r) s’écrivent : t σxr (x, r) = Gǫm xr (x) + Gǫxr (x, r) Théorie des poutres droites 59 y (x2) γxr er eθ Mt M dω M' r dx G x x G z (x3) dx (a) (b) Figure 2.18: Longueur élémentaire de poutre soumise à de la torsion : (a) section circulaire, et (b) section prismatique. En considérant une sollicitation de torsion pure, notons la rotation entre 2 sections voisines − − r1 . → x = ω.→ x et la déformation correspondante ǫtxr (x, r) = γxr (x, r), tels qu’illustrés sur la Figure 2.18-a. La déformation de cisaillement induite par la torsion peut alors s’exprimer géométriquement sur ce tronçon de poutre de longueur dx, en calculant la longueur de l’arc de cercle caractérisant le déplacement d’un point M initial vers un point M ′ final, à une distance r du centre de gravité G, pour une rotation élémentaire dω. En petites perturbations, on a la relation : dω γxr (x, r) = . r dx Comme dans le cas de la flexion, il suffit alors d’exprimer la courbure en fonction des grandeurs agissant à l’échelle de la poutre, et d’introduire cette courbure dans la loi de comportement locale du matériaux en cisaillement pour obtenir l’expression de la contrainte de cisaillement locale, en torsion pure, en fonction du moment de torsion et du moment quadratique polaire : Mt (x) = GI0 dω dx σxr (x, r) = Gγxr (x, r) = G dω Mt (x) r= r dx I0 (x) Dans le cas plus général où la poutre est soumise à un effort tranchant, comme en flexion la contrainte totale est la somme des contraintes de cisaillement de membrane et de flexion (torsion). Passons à une application du problème de torsion. Soit une poutre de section circulaire, soumise à un moment de torsion d’intensité Mt en son extrémité l et encastrée à son autre extrémité O (Figure 2.19). Cette poutre de moment polaire I0 est constituée d’un matériau homogène isotrope élastique linéaire de module de cisaillement G. 1. Déterminer pour les 2 sections considérées (diamètres D1 et D2 extérieur / kD2 intérieur) les moments d’inertie polaires I01 et I02 . Théorie des poutres droites 60 Figure 2.19: Poutre sollicitée en torsion. 2 sections circulaires sont considérées (a) pleine et (b) creuse. 2. Calculer pour ces 2 sections les contraintes de cisaillement dans les arbres. 3. La contrainte limite τ0 est la même pour les 2 sections. Déterminer le rapport de leur diamètre puis de leur masse. 4. Calculer ces rapports des diamètres et des masses pour k = 0, 7. 2.3 Bilan Au travers de ces applications, nous avons mis en évidence 2 façons de résoudre les problèmes de RdM : — utiliser le transport des torseurs des efforts extérieurs pour exprimer le torseur des efforts internes dans les sections. Les contraintes peuvent alors être obtenues directement à partir de ces efforts internes, et les déplacements sont connus en intégrant, — résoudre complètement les équations d’équilibre intérieur de la poutre en utilisant les conditions aux limites cinématiques, les conditions d’équilibre au bord, et les équations de discontinuités. Dans le premier cas, la connaissance des efforts extérieurs réduit les développements nécessaires à la résolution, mais l’équilibre extérieur doit être connu et peut se révéler indéterminé dans certains cas, par exemple dans les cas hyperstatiques où les liaisons avec l’extérieur sont surabondantes. Ces cas sont traités dans le chapitre suivant. Dans le second cas, les développements peuvent rapidement devenir lourds mais permettent de résoudre certains problèmes dont l’équilibre extérieur n’est pas connu. Finalement, au cours des exemples traités, les problèmes ont pu être résolus de manière optimale en mixant ces 2 méthodes. Dans ces exemples, la sollicitation de tension a d’abord été abordée, et ne pose pas de problème majeur. Dans le cas de la flexion on a pu observer que le cisaillement peut être négligé dans la plupart des cas, et que par conséquent une théorie de Bernoulli peut être utilisée en première approximation. Cette théorie, si elle ne permet pas de Théorie des poutres droites 61 prendre en compte la rigidité de cisaillement, permet tout de même de caractériser l’état de contrainte de cisaillement. Quant à la rigidité de flexion, l’utilisation de sections creuses ou de sandwichs est tout à fait pertinente puisque ce sont les fibres matérielles les plus éloignées de l’axe neutre qui donnent la rigidité de flexion de la section. Il en va de même dans le cas de la torsion. Enfin, pour les sollicitations combinées, compte-tenu des hypothèses de réversibilité et de linéarité de la RdM, les effets des sollicitations sur les différents axes se superposent. 3. Théorèmes énergétiques Hyperstatisme Sommaire 3.1 3.2 Rappels - calcul du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.1 Simplifications dans le cadre de la RdM . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.2 Travail dans le cas des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Théorèmes énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.1 Théorème de réciprocité ou de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . 67 3.2.2 Théorème de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3 Hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Résolution des systèmes hyperstatiques . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.2 Théorème de Ménabréa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 62 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 63 Comme nous l’avons vu dans les exemples précédents, la résolution complète des problèmes de plus en plus réalistes devient vite lourde. Qui plus est, la connaissance du champ de déplacement complet n’est pas toujours nécessaire, par exemple pour le dimensionnement qui se base sur les contraintes maximales rencontrées dans la structure. Il existe des méthodes pour connaître ponctuellement une information telle qu’un déplacement, et donc une contrainte. La connaissance de cette information peut également s’avérer nécessaire dans le cas des problèmes ’ouverts’ tels que les cas hyperstatiques par exemple, dans lesquels les seules équations d’équilibre extérieur ne sont plus suffisantes pour la résolution. Les théorèmes énergétiques permettent de connaître assez rapidement des informations ponctuelles. Ils se basent sur le bilan énergétique du problème posé, ce bilan étant fortement simplifié dans le cadre des hypothèses de la résistance des matériaux : pas de dissipations, cadre de travail statique et hypothèse des petites perturbations, matériaux élastiques linéaires (homogènes). Ces techniques sont basées sur la connaissance du bilan énergétique du système étudié, via le calcul du travail produit par les efforts extérieurs. 3.1 Rappels - calcul du travail Considérons, pour des raisons de simplicité, un système d’efforts appliqué sur la frontière ∂ΩF d’un solide, tel que dans le cas général représenté sur la Figure 1.1 page → − 3 par exemple. Le travail produit entre deux instants t1 et t2 par ces efforts F d dans le → − − champ de vitesse u̇ (→ x ) est défini par :  Z t 2 Z → −d → → − → → − → − − − W ( u ( x , t)) = F ( x , t) · u̇ ( x , t) dΩF dt (3.1) t1 3.1.1 ∂ΩF Simplifications dans le cadre de la RdM Dans le cadre de la RdM, l’intensité des efforts est indépendante du temps, leur point d’application peut par contre être en mouvement. Toutefois, dans le cadre de l’hypothèse des petites perturbations, cette position est confondue avec la position dans l’état initial (sauf dans de le cas des problèmes non-linéaires géométriques sur lequel nous reviendrons dans le chapitre 4). Le champ cinématique est de plus la dérivée par rapport → − − − − u (→ x , t). On peut alors calculer le au temps du champ des déplacements : u̇ (→ x , t) = dtd → travail fournit par le système d’efforts entre l’état initial et l’état final, états qui peuvent être définis par les positions du système à ces instants. Pour un effort ponctuel, ce travail Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 64 s’écrit : − − W (→ u (→ x ), t)) = Z t2 → −d → → − − F (− x , t) · u̇ (→ x , t) dt = t1 Z − → x (t2 ) − → x (t1 ) − →− → −d → F (− x ) · du(→ x , t) → − − → − − → − − − − ↓ en HPP et si → x (t1 ) = 0 : → x (t2 ) = → x (t1 ) + → u (→ x (t1 )) = 0 + → u (− x) = 3.1.2 Z − → → u (− x) → −d → − F (− u ) · d→ u 0 Travail dans le cas des poutres Dans le cas des poutres, les efforts extérieurs sont définis par des efforts et des moments, respectivement résultante et moment du torseur des actions extérieures {F(x1 )}(M ) appliqué sur la ligne moyenne, tel que défini dans l’équation 1.8 page 14 par exemple. Dans ce cas, le travail des efforts extérieurs s’exprime en faisant intervenir le torseur des déplacements de la ligne moyenne {U}(M ) tel que défini dans l’équation 1.5 page 9. On peut alors calculer le travail fourni par le système d’efforts entre l’état initial et l’état final défini par le torseur des déplacements : W (U (x1 )) = Z U (x1 ) 0 {F(U )}(M ) ·{dU}(M ) = Z − → r (x1 ) − →− → M (→ r )·d− r (x1 )+ 0 Z − → u (x1 ) 0 → − → − R (− u )·d→ u (x1 ) (3.2) À partir de cette dernière forme du travail (Eq. 3.2), on peut alors calculer le travail d’un système d’efforts. On distingue deux cas, selon que les efforts dépendent des déplacements ou non. Efforts indépendants des déplacements Le calcul est direct et se ramène au produit scalaire des efforts et des déplacements de leurs points d’application. Par exemple, pour un système discret de n efforts et n moments, on a : − W (U (→ x )) = n   X → − → − →→ − → − → − − → − → − F ( x i ) · u ( x i ) + M ( x i ) · ri ( x i ) (3.3) i=1 Efforts dépendants des déplacements (et inversement) S’il existe une relation entre les efforts et les déplacements, cette relation ne peut être que linéaire en RdM compte-tenu du cadre HPP et de l’élasticité linéaire. Dans ce cas le calcul du travail fait apparaître un coefficient 21 provenant de l’intégration de cette relation linéaire. Le cas typique de base est celui d’un ressort unidimensionnel linéaire Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 65 de rigidité k qui fournit un effort de rappel proportionnel au déplacement imposé à son extrémité libre u(x) : Z u(x) 1 k ξ dξ = k u(x)2 W (u(x)) = 2 0 — pour un ensemble d’efforts extérieurs, on peut définir un tenseur de rigidité, noté Le , reliant l’effort appliqué et le déplacement résultant du point d’application, et de la même manière un tenseur de compliance, noté Me , reliant ce déplacement à l’effort imposé correspondant. Ces tenseurs seront précisés dans la partie suivante. Pour un système d’efforts ponctuels discrets, le travail s’écrit : n  →→ →→ 1 X − − → − − i − W (U ( x )) = Fe ( xi ) · Me · Fe ( xi )) 2 i=1 n  1 X → − − − − = u (→ xi )) u (→ xi ) · Lie · → 2 i=1 (3.4) Ce calcul du travail des efforts extérieurs s’étend sans difficulté aux efforts répartis et moments ponctuels et répartis. — pour les efforts intérieurs, une relation similaire a été définie préalablement par la relation 1.15 dans le cas des poutres. Comme il s’agit de quantités internes à la poutre, la relation entre le torseur des efforts intérieurs (contraintes intégrées sur la section) et les déformations aux points correspondants, c’est à dire les déplacements par unité de longueur de la poutre, est appelée loi de comportement : {τ (x1 )} = [L] {ǫ(x1 )}. Le travail produit par ces efforts dans le champ de déplacement correspondant est alors appelé énergie de déformation interne ou élastique dans le cas de l’élasticité. Dans le cas des poutres, en utilisant la loi de comportement définie en 1.14, pour une section symétrique, cette énergie de déformation par unité de longueur s’écrit :  − − − − → 1 → d W (→ u (→ x )) − − R (x1 ).→ e (x1 ) + M (x1 ).→ κ (x1 ) = d x1 2 (3.5)   Mf22 Mf23 1 N2 T22 T32 Mt2 + + + + + = 2 ES GS GS GI0 EI2 EI3 Coefficients d’influence Certaines démonstrations des théorèmes énergétiques que nous allons étudier sont facilitées en recourant à des coefficients dits coefficients d’influence, permettant de relier les efforts imposés et les déplacements résultants en tout point du solide sollicité. Ces coefficients se définissent intuitivement, par analogie avec les ressorts, tout comme dans le cas de la méthode des éléments finis. − → Par exemple si on applique un effort F1 au point M1 d’un solide, cet effort induit un déplacement de ce point d’application. Le travail effectué par cet effort dans le déplacement de son point d’application étant le produit scalaire de l’effort et du déplacement Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 66 résultant, considérons simplement le déplacement dans la direction de l’effort imposé. Ce déplacement est relié à l’effort par le coefficient d’influence u11 qui a donc la dimension d’une souplesse (’inverse de la raideur’) : u1 (M1 ) = F1 u11 On en déduit alors facilement l’expression du travail de cet effort F1 dans le déplacement u1 : 1 1 WF1 = F1 u1 = F12 u11 2 2 Ceci se généralise aisément si le déplacement en un point Mi dans la direction de l’effort Fi correspondant du solide considéré, résulte de l’application d’un ensemble de n efforts Fj : ui = n X uij Fj j=1 Donc le travail effectué par l’effort Fi dans ce déplacement est : W Fi n 1 X = Fi uij Fj 2 j=1 Finalement, le travail développé par l’ensemble des n efforts Fi dans le déplacement résultant est : n n n X 1X 1X WT = F i ui = Fi Fj uij (3.6) 2 i=1 2 i=1 j=1 On montrera ci-dessous la symétrie des coefficient uij qui forment, dans une écriture vectorielle de discrétisation du système, une matrice dite matrice de souplesse symétrique et définie positive. 3.2 Théorèmes énergétiques Compte-tenu des hypothèses simplificatrices de la RdM, notamment concernant d’une part les vitesses de chargement supposées suffisamment lentes pour ne pas engendrer de dissipations, et d’autre part les matériaux élastiques, le bilan énergétique est extrêmement simple : le travail fourni par les sollicitations extérieures est intégralement stocké en énergie de déformation élastique à l’intérieur de la structure se déformant sous le chargement imposé. Ceci permet, connaissant le système des actions extérieures, de déduire des informations précieuses quant à l’état de déformation interne de la structure. Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 3.2.1 67 Théorème de réciprocité ou de Maxwell-Betti L’idée de base de ce théorème consiste à utiliser le principe de superposition : quelque soit l’ordre d’application des actions extérieures, l’état final du système est identique (hypothèses de linéarités géométriques et matériaux). L’utilisation de ce théorème fait souvent appel à des chargements fictifs, sur la géométrie étudiée, de façon à faire travailler le terme inconnu recherché (souvent un déplacement). Illustration sur un exemple Considérons l’exemple de la poutre console représenté sur la Figure (1) du Tableau 3.1 page 68, sollicitée en flexion par un effort −FC appliqué en C à l’abscisse lC . Les caractéristiques de la poutre sont celles utilisées jusqu’ici : l, E, S, I. On souhaite connaître la flèche v(x = l) = vB de l’extrémité de cette poutre. La résolution simultanée des deux équations différentielles du quatrième ordre caractérisant l’équilibre intérieur de ce problème conduit à l’expression de la flèche de l’extrémité de cette poutre : vB = FC lC2 (lC − 3l)) 6 EI Cette résolution nécessite des calculs assez longs. Par contre, ce résultat peut être déterminé presqu’immédiatement en montrant que les coefficients d’influence vBC = vCB . C’est-à-dire que le déplacement du point B induit par l’application d’un effort unitaire en C est identique au déplacement du point C lorsque qu’un déplacement unitaire est appliqué en B. L’intérêt étant ici que ce dernier cas de chargement est connu et déjà résolu (cf exercice Flexion 1). Considérons pour cela le cas de cette poutre que l’on charge par l’effort FC et également par un effort terminal FB qui permet de faire ’travailler’ le terme inconnu recherché vB (Tab. 3.1). On vient superposer un problème fictif associé sur le chargement réel. Dans le premier cas (Tab. 3.1-(1) et (1’)), on sollicite la poutre console successivement par l’effort FC en C (1) puis par un effort terminal FB en B (1’). Le travail total W1T ot est la somme de trois termes, le premier dû au travail de l’effort C dans le déplacement résultant de son application (1), le second est le travail produit par l’effort B dans le déplacement résultant de son application (1’), et enfin le troisième terme correspond au travail produit par l’effort FC dans le déplacement résultant de l’application de FB (1’). On notera que dans ce dernier terme, le déplacement du point d’application C ne dépend pas de l’effort FC . Dans le second cas (Tab. 3.1-(2) et (2’)), on considère la même poutre console chargée cette fois-ci d’abord par l’effort terminal FB puis par l’effort FC . De part le principe de superposition, le travail total doit être identique pour ces deux scénari. Il en découle que les termes suivants ne peuvent être qu’identiques : W1T ot = W2T ot ⇔ FB .vBC .FC = FC .vCB .FB ⇒ vBC = vCB Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 68 (1) (2) 1 W1 = FC2 .vCC 2 1 W2 = FB2 .vBB 2 (1’) (2’) 1 W1′ = FB2 .vBB + FB .vBC .FC 2 1 W2′ = FC2 .vCC + FC .vCB .FB 2 1 1 W1T ot = FC2 .vCC + FB2 .vBB + FB .vBC .FC 2 2 1 1 W2T ot = FB2 .vBB + FC2 .vCC + FC .vCB .FB 2 2 Table 3.1: Illustration du théorème de Maxwell-Betti Finalement, connaissant la flèche du point C sous un chargement unitaire appliqué en B, on obtient directement la flèche du point B sous un chargement quelconque appliqué en C. On a établi précédemment que pour la poutre console telle que représentée sur la Figure 2.6 page 42, le déplacement v § (x) de tout point de cette poutre sollicitée par un x2 (x − 3l). Donc dans notre cas, on obtient effort terminal d’intensité −F est v § (x) = F6EI directement la flèche pour un effort d’intensité −FC : FC lC2 (lC − 3l) = vB 6EI ce qui correspond bien au résultat qu’on peut obtenir en résolvant le problème par les équations d’équilibre. On notera toutefois que ce résultat est une information ponctuelle v § (x = lc ) = Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 69 qui ne possède pas l’attrait de la solution complète permettant de connaître le déplacement en tous points et surtout l’état de contrainte le long de l’abscisse. Exemple 2 Considérons un second exemple représenté sur la Figure 3.1-(a). On cherche le déplacement du point central D d’une poutre sollicitée en flexion trois points par un effort situé à une distance lC < 2l . De nouveau, la résolution de ce problème est longue. On connaît par ailleurs la solution d’un problème de flexion trois points classique avec un effort central. On peut donc utiliser cette sollicitation fictive pour faire ’travailler’ le déplacement central (Figure 3.1-(b)). Figure 3.1: Poutre en flexion trois points avec chargement excentré : (a) problème réel et (b) problème fictif associé. L’expression v § (x) de la flèche pour la flexion trois points avec chargement central a été établie dans l’exemple Flexion 2 du chapitre précédent. On a donc immédiatement la solution de notre problème de flexion trois points excentré : vD = v § (x = lC ) = F.vDC =
F lC 3l2 − 4lC2 48EI Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 70 Exemple 3 La poutre console étudiée précédemment est maintenant sollicitée par 3 efforts ponctuels F1 , F2 et F3 , tel que présenté sur la Figure 3.2. On cherche la flèche à l’extrémité de cette poutre v(x = l) = vB . La résolution des quatre équations d’équilibre interne conduit à déterminer 16 constantes d’intégration. Comme dans le premier exemple, en utilisant le chargement fictif associé appliqué en B, on peut résoudre très facilement ce problème. Figure 3.2: Poutre console sous 3 charges. La flèche v § (x) étant connue pour la poutre console chargée à son extrémité, on détermine aisément les coefficients d’influence de notre problème et donc la flèche totale vB : l2 F1 .vBA1 = F1 1 (l1 − 3l) 6 EI + l2 F2 .vBA2 = F2 2 (l2 − 3l) 6 EI + l2 F3 .vBA3 = F3 3 (l3 − 3l) 6 EI vB = 3.2.2 1 (F1 l12 (l1 − 3l) + F2 l22 (l2 − 3l) + F3 l32 (l3 − 3l)) 6 EI Théorème de Castigliano Ce théorème, d’une utilisation triviale, fournit un précieux outil pour traiter les problèmes de RdM, notamment les problèmes hyperstatiques sur lesquels nous reviendrons plus loin dans ce document. Son utilisation nécessite le calcul de l’énergie de déformation du système. C’est en minimisant cette énergie de déformation qu’une relation est établie entre un effort, respectivement un moment, et le déplacement du point d’application dans la direction de cet effort, respectivement l’angle de rotation correspondant. En reprenant Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 71 l’expression du travail proposée dans l’équation 3.6 qui permet de faire apparaître clairement toutes les dépendances des efforts par rapport aux déplacements, on démontre très aisément le théorème de Castigliano à l’aide des coefficients d’influence. La minimisation de l’énergie de déformation, ou du travail des efforts extérieurs donnés, par rapport à un effort par exemple donne : ∂WT ∂Fi n n X 1X Fj uij Fi 2 i=1 j=1 ∂ = ∂Fi ! = 1 ∂ (F 2 u11 + + . . . + F22 u22 + Fn2 unn + 2F1 F2 u12 + . . .) 2 ∂Fi 1 = F1 u1i + F2 u2i + . . . + Fi uii + . . . + Fn uni n X = Fk uik k=1 ↓ par définition = ui soit le déplacement du point d’application de cet effort. Comme l’énergie de déformation interne est égale strictement au travail produit par les efforts extérieurs, on a finalement les relations suivantes : ∂Wint ({U}) ∂W (F1 , . . . , Fn ) = = ui ∂Fi ∂Fi Remarque : il faut, lorsqu’on utilise l’énergie de déformation du système, faire apparaître tous les efforts extérieurs, même si un ou plusieurs peuvent s’exprimer en fonction des autres. L’application de ce théorème au cas de la poutre console sollicitée en son extrémité (Figure 2.6 page 42) permet de déterminer rapidement la flèche de l’extrémité. Il faut noter que l’effort est négatif et donc que pour obtenir le déplacement dans la direction positive, il faut prendre l’opposé de la minimisation de l’énergie de déformation par rapport à l’effort F : Z  2 Z l Z l 1 1 2 dx = EI M (x) dx = [F (x − l)]2 dx Wint 2 EI 0 2 EI 0 0 3 ∂Wint ∂Wint −F l ֒→ v(x = l) = =− = ∂(−F ) ∂F 3 EI 1 = 2 l d2 v dx2 Bien évidemment, dans ce cas, le travail des efforts extérieurs ne peut être utilisé puisque le déplacement recherché est nécessaire pour le calcul de ce travail. En pratique, on recourra au travail des actions extérieures essentiellement dans le théorème de Ménabréa qui repose sur la nullité du travail produit par les efforts de réactions. Ceci est présenté plus loin dans ce document. Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 3.3 72 Hyperstatisme Un système est dit hyperstatique si certaines liaisons sont surabondantes, c’està-dire si leur suppression ne remet pas en cause l’équilibre statique du système, et les mouvements de corps rigides sont supprimés. Le degrés d’hyperstatisme est défini par le nombre de liaisons surabondantes qu’a le système avec l’extérieur. Ceci se traduit par un nombre insuffisant d’équations pour résoudre le problème de l’équilibre statique extérieur : q = n − p avec q le degré d’hyperstatisme, n le nombre de liaisons avec l’extérieur, et p le nombre d’équations de la statique. De nombreux exemples existent dans la pratique, les systèmes isostatiques étant très peu nombreux dans la vie courante (pourquoi mettre systématiquement quatre pieds aux tables, alors qu’on sait pertinemment que la patte surabondante doit être réglable ! !). Dans notre cas des poutres, on trouve souvent des arbres de transmission reposant sur plus d’appuis que nécessaires, ceci bien souvent dans un but de sécurité, ou de réduction des dimensions (réduction des portées) ou encore de modification du spectre des vibrations qui est lié à la longueur libre. Pour ce qui nous concerne, voici sur la Figure 3.3 deux exemples de problèmes de poutres hyperstatiques d’ordre 1, la liaison surabondante est représentée en pointillés. Figure 3.3: Problèmes hyperstatiques d’ordre 1 : exemple 1 (a) et exemple 2 (b). Considérons par exemple le cas de la Figure 3.3-(a). Si on veut caractériser l’équilibre statique global de la poutre, on a à disposition les équations de la statique, et comme Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme inconnues les efforts appliqués sur la poutre : — bilan des efforts donnés enC et en E :   0         −F      FE  FC τ ext→ S τ ext→ S (C) =               0 (C) 73 (E) =                0 −F 0                (E) — bilan des efforts deréactionaux appuis en Mi où Mi = {A, B, D} :  0          Ri      Ri τ réact→ S (Mi ) =             0   (Mi ) Les réactions constituent donc les inconnues, et sont donc au nombre de 3. Pour résoudre le problème, on dispose des équations de la statique qui caractérisent l’équilibre extérieur : X→ − 0 = 0 — forces : F ext→ S = RA − F + RD − F + RB X− → −→ X −−→  FM → — moments : M (− = MP + P M ∧ τ ext→ S (P ) avec {M, P } ∈ F ext→ S ,P ) {A, B, C, D, E} et M 6= P . Quelque soit le choix de M et P pour calculer les moments, on a toujours une seule équation. Au final, on a donc 2 relations pour 3 inconnues. Il faut trouver une équation supplémentaire pour caractériser la solution de l’équilibre extérieur. C’est à ce niveau que les théorèmes énergétiques peuvent être utilisés idéalement, comme nous le verrons ci-dessous. Lorsque cette équation supplémentaire est trouvée, il suffit alors d’exprimer les moments de flexion, puis la flèche par intégration de la ligne élastique par exemple. On peut toutefois remarquer que si l’équilibre extérieur ne peut être caractérisé pour ces cas hyperstatiques, en revanche l’équilibre intérieur peut être vérifié. Par exemple, la résolution de l’exemple 2 (Figure 3.3) est possible à partir des équations d’équilibre intérieur, en recourant aux quatre équations de discontinuité qui permettent de déterminer quatre des huit constantes résultant de l’intégration des deux équations différentielles du quatrième ordre pour les deux zones. Les constantes restantes étant déterminées par les 2 conditions cinématiques et statiques aux bords de la poutre, soit 4 conditions : l 0 < x ≤ 2l <x≤l 2     F 5 x3 5 lx2 l3 11 x3 F 2 2 v(x) = − 3lx − + −l x+ v(x) = 32 EI 3 8 EI 12 4 6 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 3.4 74 Résolution des systèmes hyperstatiques La résolution des systèmes hyperstatiques est comparable à la résolution d’un système isostatique lorsque le nombre d’équations suffisant est explicité, voir Tableau 3.2. On a deux moyens de déterminer ces équations supplémentaires qui sont les théorèmes énergétiques, et le principe de superposition lui-même. système ISOSTATIQUE système HYPERSTATIQUE → résolution complète → résolution complète - équilibre intérieur → M (x) et v(x) - équilibre intérieur + éq. de (dis)continuité limitée et fastidieuse → M (x) et v(x) - équilibre global → M (x) → intégration → v(x) souvent PLUS RAPIDE - équilibre global IMPOSSIBLE + th. énergétique ou superposition | {z } ֒→ M (x) → intégration → v(x) → une donnée théorème énergétique - RAPIDE → une donnée théorème énergétique Table 3.2: Synthèse de la résolution d’un problème de poutre en flexion. 3.4.1 Principe de superposition Dans notre cadre linéaire (HPP et élasticité linéaire), le problème hyperstatique peut être décomposé en problèmes isostatiques dont les solutions sont connues. Ensuite, par application du principe de superposition, la flèche du problème initial est déterminée. Dans le cas de l’exemple 1, présenté sur la Figure 3.3-(a), on superpose une poutre soumise à de la flexion quatre points (Figure 3.4-1), et la même poutre en flexion trois points soumise à un effort central d’intensité (Figure 3.4-2) RD égal à la réaction produite par l’appui central du problème initial. La flèche totale étant la superposition de ces deux problèmes, le déplacement au centre doit être nul pour satisfaire la condition cinématique imposée par l’appui central. Cette condition conduit finalement à une relation permettant de déterminer l’effort de réaction, et donc par suite d’expliciter les moments et donc les flèches : l 11 F l3 RD l 3 11 F + = 0 ⇒ RD = v(x = ) = vD = vD1 + vD2 = − 2 384 EI 48 EI 8 Pour l’exemple 2 le même type de décomposition peut être utilisé (Figure 3.5). L’effort de réaction est déterminé de façon similaire à l’exemple 1 : Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 75 Figure 3.4: Décomposition de l’exemple 1 en problèmes isostatiques de solution connue. v(x = l) = vB = vB1 + vB2 = − 5 F l3 RB l 3 5F + = 0 ⇒ RB = 48 EI 3 EI 16 (3.7) Figure 3.5: Décomposition de l’exemple 2 en problèmes isostatiques de solution connue. Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 3.4.2 76 Théorème de Ménabréa Un des inconvénients majeurs de cette technique de superposition est la connaissance des problèmes isostatiques simples. Il existe, avec les théorème énergétiques, un moyen plus rapide de déterminer une de ces informations sans connaître la solution des problèmes fictifs introduits. Dans le cas des appuis par exemple, le théorème de Ménabréa est commode à utiliser. Il s’agit simplement d’un cas particulier du théorème de Castigliano où le déplacement déduit de la minimisation de l’énergie déformation est nul car cette minimisation a lieu par rapport à des efforts de réaction dont le travail est nul dans le déplacement réel cinématiquement admissible. Ces efforts de réaction étant considérés comme un chargement extérieur à part entière. L’énoncé du théorème de Ménabréa est le suivant : soit un système hyperstatique (S) et un système isostatique associé (S0 ). Considérons le système isostatique (S0 ) soumis aux charges données Fi et aux réactions hyperstatiques Rj . L’état d’équilibre des deux systèmes étant identique : W (S) = W (S0 ) = f (Fi , Rj ) Aux points d’appui on a donc, d’après Castigliano : ∂WS0 (Fi , Rj )) =0 ∂Rj Ce qui nous fournit autant d’équations supplémentaires que d’inconnues hyperstatiques. Dans le cas de l’exemple 2 représenté sur la Figure 3.3-(b), le système isostatique associé est obtenu en remplaçant l’appui terminal par un effort de réaction RB pris positif, de façon similaire au principe de superposition schématisé sur la Figure 3.5. Mais ici les deux efforts F et RB sont appliqués dans le même temps. L’énergie de déformation se calcule alors à partir des moments de flexion exprimés dans les deux zones de la poutre à partir de ces deux efforts :     0           R B   l {τext→ 1 }(M ) = — zone 1 : 2 < x ≤ l             (l − x)RB   (M )     0           R − F B   l {τext→ 2 }(M ) = — zone 2 : 0 ≤ x < 2        
  l   (l − x)RB − 2 − x F   (M ) L’énergie de déformation peut être calculée, et la minimisation de cette énergie par rapport Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 77 à l’effort de réaction nous fournit l’expression de cette réaction : 1 WS0 (F, RB ) = 2 EI ↓ 1 ∂WS0 (F, RB ) =0 = ∂RB EI ⇓ 5F RB = 16 Z Z l l 2 0  (l − x)RB −  2 Z l l 1 −x F dx + [(l − x)RB ]2 dx 2 2 EI 2l 1 (l − x) RB dx − EI 2 0  Z l 2 0 l (l − x)( − x)F dx 2 ce qui, fort heureusement, correspond bien au résultat obtenu par le principe de superposition (Eq. 3.7). 4. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques Sommaire 4.1 4.2 4.3 Flambage des poutres droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 Équations non-linéaires de la statique des poutres droites . . . 81 4.1.2 Application à une poutre droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1.3 Extension aux calculs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Modes et fréquences propres de vibration en flexion dans les poutres droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.2 Équations de la dynamique des poutres droites à plan moyen . 90 4.2.3 Vibrations libres - application à la flexion simple . . . . . . . . 91 4.2.4 Vibrations libres - calculs numériques . . . . . . . . . . . . . . 95 Extension : réponse post-bifurquée d’une poutre . . . . . . . . 96 4.3.1 Poutre homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3.2 Poutre sur fondation élastique à deux paramètres . . . . . . . . 102 78 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 4.1 79 Flambage des poutres droites Introduction générale En Résistance des Matériaux "classique", il n’existe pas de couplage entre les comportements en tension, flexion ou encore torsion. Cette hypothèse, qui peut sembler très restrictive, permet de résoudre un très grand nombre de cas concrets de structures génériques supportant des charges de fonctionnement courantes. On peut, pourtant, dans certains cas vouloir dimensionner des structures contre des comportements non-linéaires d’une point de vue géométrique. Par exemple, une surcharge rencontrée ponctuellement (séisme, accident, ..) ne devra pas générer des distorsions géométriques susceptibles d’altérer la géométrie et donc les propriétés de la structure, de telle sorte que le fonctionnement normal sera assuré pour la durée de vie prévue. Ces distorsions peuvent par exemple être générées, pour des poutres, par une flèche trop importante qui engendrerait de la torsion appelée déversement. Pour illustrer ces phénomènes, nous nous concentrerons sur un type de non-linéarité géométrique, le flambage qui apparaît sous un chargement de compression axiale pour une poutre ou dans le plan pour une plaque. Lorsque ce chargement déstabilisant augmente et atteint une valeur dite critique, le comportement va alors devenir instable. Le phénomène de flambage va apparaître, caractérisé par le passage d’un état où règne principalement de la compression (terme de membrane), à une configuration où la flexion est prépondérante (courbure). Il existe de nombreux exemples de comportements de type flambage, et l’étude de ces phénomènes instables donne lieu à de nombreuses études tant analytiques que numériques ou expérimentales. On peut noter que les études analytiques s’appuient sur des outils mathématiques trés pointus qui permettent par exemple de prévoir le comportement post-bifurqué des structures simples, c’est-à-dire la (non)stabilité qui caractérise le comportement après l’apparition du flambage. À titre d’illustration, on peut voir sur la Figure 4.1 le mode (la déformée) de flambage d’origine thermique d’un rail soumis à un gradient de température élevé (-40◦ ;40◦ C dans les pays nordiques) et le mode de flambage d’un cylindre en compression axiale. Ces 2 structures représentent 2 grands types de comportement qui sont respectivement sur-critiques, où la structure est encore susceptible de supporter le chargement imposé, et sous-critique où la ruine de la structure survient dès que l’instabilité se produit. Le phénomène de flambage Le cas typique de la règle que l’on comprime illustre parfaitement le phénomène de flambage (voir Figure 4.2 page 81 et Figure 4.3 page 83). Pour appréhender ce comportement, traçons l’évolution de la flèche au centre de cette poutre en fonction du chargement Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques (a) 80 (b) Figure 4.1: (a) Flambage d’origine thermique d’un rail,(b) flambage en compression axiale d’un cylindre isotrope (Figure 4.2). On constate que dans la première partie du chargement, en l’absence de défaut géométrique, avant le point de bifurcation le chargement augmente sans donner lieu à de la flexion. La poutre est en compression et subit un raccourcissement proportionnel au = −F ). Lorsque la charge imposée atteint la charge critique Fc , la flexion chargement ( ∆l l ES apparaît et la flèche tend vers l’infini sans accroissement de l’effort. En réalité, cette flèche est limitée car la réponse complète charge-déplacement est de type parabolique (Figure 4.2). D’un point de vue pratique, la rupture de la poutre intervient lorsque la limite à rupture du matériau est dépassée. C’est donc la caractérisation de cet effort critique qui est primordiale, car l’apparition de l’instabilité est généralement associée à un état instable. Ceci est d’autant plus vrai dans les cas d’instabilités sous-critiques rencontrés dans les problèmes de type coque, où le point de bifurcation correspond à l’effondrement de la structure (cf boîte métallique de boisson, ou Figure 4.1-b). De plus on voit qu’en présence de défauts (Figure 4.2), la charge à laquelle apparaît l’instabilité diminue. Donc la réponse de la structure réelle sera majorée par cette force critiques. L’influence des défauts peut engendrer des baisses trés importantes, jusqu’à 70 - 80 % de la charge critique. Le dimensionnement des structures vis-à-vis du flambage est une problème extrêmement délicat, du fait de la nature instable de ce phénomène, ce qui en fait un des principaux facteurs de dimensionnement. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 81 (a) (b) Figure 4.2: Poutre libre-libre en compression : (a) montage de flambage rotulé , (b) réponse charge-déplacement vertical : réponse fondamentale et en présence d’imperfections géométriques. 4.1.1 Équations non-linéaires de la statique des poutres droites Nous nous intéresserons ici plus particulièrement à la caractérisation analytique du flambage des poutres droites à plan moyens chargées dans ce plan (en abrégé poutres droites à plan moyen). La théorie utilisée sera de type Bernoulli, i.e. ne prenant pas en compte le cisaillement qui est tout à fait négligeable ici. Nous verrons que les charges critiques et les modes de flambage dépendent à la fois des caractéristiques mécaniques (rigidité = module d’Young E), géométriques (section S et moment quadratique par − rapport à → z , I) de la poutre, mais également des conditions aux limites du problème traité. Les principes exposés ici restent valables dans le cas de structures plus complexes, mais la détermination de la charge critique fait alors appel à des méthodes de résolution numériques. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 82 Origine de la non-linéarité géométrique dans le cas du flambage Dans la formulation classique HPP, on considère que la géométrie initiale est confondue avec la géométrie finale, ce qui permet d’écrire toutes les grandeurs dans un repère unique. Ceci est valable lorsque les déplacements, ou plus rigoureusement les déformations, restent infinitésimales. Lorsqu’on passe en grandes déformations et/ou en grands déplacements, il faut prendre en compte la nouvelle géométrie et l’actualiser. C’est cette dépendance de la géométrie vis-à-vis des déplacements qui induit la non-linéarité géométrique. Numériquement, dans les codes de calculs par éléments finis par exemple, on résout le problème de manière incrémentale, en recalculant à chaque itération les positions de − → → − → − tous les points (→ xi = − x− i−1 + u ( xi )). D’un point de vue analytique, on essaie de linéariser le problème à résoudre. C’est cette démarche que nous adoptons ici, en justifiant les hypothèses qui conduisent au problème linéaire associé. Dans le cas du flambage des structures, on se restreint à prendre en compte un seul terme non-linéaire, appelé rotations modérées, valable pour des rotations des sections < 10◦ , c’est-à-dire à mi-chemin entre les rotations infinitésimales et les grandes rotations. C’est par ce terme que la déformation de membrane, classiquement reliée uniquement à − − la déformation due au déplacement u(→ x ), va dépendre également de la flèche v(→ x ). On montre qu’en première approximation, le phénomène de flambage se produit à contrainte constante (Figure 4.2). En effet, pour une poutre inextensible sur appuis simples (poutre elastica, Euler 1745 ) un accroissement de l’effort de 81 % correspond à l’augmentation de l’angle de rotation des sections de 0,01 rad (0, 57◦ ), cette rotation étant identique en tous points pour une courbure constante. On peut donc estimer que la détermination de la charge critique peut se faire à l’aide d’un modèle linéarisé dans lequel la contrainte axiale est supposée constante dans la poutre. Bien évidemment, la réponse lorsqu’on s’éloigne du point de bifurcation, doit être recherchée à l’aide d’un modèle plus raffiné. D’un point de vue de la MMC, ce terme de rotation modérée est une des composantes de la partie non-linéaire du tenseur des déformations de Green-Lagrange, notée − u ), que l’on rappelle ci-dessous : γ N L (→ 1 − 1 − − − − − − u + ∇t → u · ∇t → γ(→ u ) + ∇→ u = ǫ(→ u) u ) = (∇→ u ) + γ N L (→ 2 2 (4.1) Déformation de membrane incluant les rotations modérées Nous avons vu dans le cadre de la statique que les équations des poutres quelconques peuvent se déduire, via le Principe des Puissances Virtuelles, de la formulation générale de l’équilibre statique des milieux continus. Dans le cas qui nous intéresse ici, plutôt que de passer par les déformations des milieux continus, nous allons chercher la forme de la déformation de membrane qui permet de relier le raccourcissement de la poutre à Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 83 l’état de flexion. C’est par cette composante du tenseur des déformations, que le couplage tension-flexion est introduit dans le problème linéarisé. Considérons la poutre ci-dessous (Figure 4.3) en appui simple, soumise à un char− − gement de compression F.→ x en X = 0 et bloquée en translation le long de → x en X = l. → − → − Un point situé à l’abscisse X sera après flambage situé en x : Position initiale → − X = ( X 0 Position après flambage ) → − x = ( X + u(X) v(X) )   du(X)     dx = dX + dX dX   − ⇒ d→ x =       dy = dv(X) dX dX Figure 4.3: Poutre sur appuis simples en compression Raccourcissement et déformation non-linéaire Le problème de flambage est intrinsèquement non-linéaire, mais de part la formulation adoptée, la non-linéarité va disparaître. En effet, conformément à la remarque sur la contrainte dans la poutre pour des charges proches de la charge critique, on considère que la contrainte dans la poutre ne varie pas le long de l’axe de la poutre : le flambage se produit à contrainte, et donc déformation, constante. Cette hypothèse est vérifiée expérimentalement pour des structures élancées, c’est-à-dire lorsque les effets de bords sont négligeables. Elle est intégrée dans la formulation choisie, c’est elle qui permet de linéariser le problème. − Le raccourcissement local correspondant à la déformation de membrane ǫ(→ x ) de → − la fibre moyenne s’exprime en fonction des déplacements du point X intégrés le long de l’abscisse (curviligne). Ce raccourcissement est dû pour une part à l’effet du chargement de compression, et d’autre part à l’apparition de la flexion. On sait que le raccourcissement total de la poutre s’écrit : Z Z l l ds − δ= 0 dX 0 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 84 en supposant que la déformation est constante dans la poutre, on peut exprimer la déformation moyenne, et donc la déformation locale : Z l ds ds δ 0 −1= −1 ǫ= = Z l l dX dX 0 ce qui finalement conduit à l’expression de la déformation locale. En utilisant les expressions des incréments dx et dy cette déformation de membrane s’écrit :   ds ′ 2 ′2 2 2 2 2 ǫ= − 1 avec ds = dx + dy = dX (1 + u ) + v dX Simplifications Finalement, l’expression de la déformation est connue, et peut se simplifier en première approximation : ′ ′ p ds 2u′ + u 2 + v 2 = 1 + 2u′ + u′ 2 + v ′ 2 ≃ 1 + dX 2 On a donc l’expression de la déformation. Des simplifications peuvent encore être faites en comparant les ordres de grandeurs des différents termes intervenant dans cette expression. En effet, l’apparition du flambage induit des rotations des sections qui, bien qu’étant faibles, sont plus grandes que le raccourcissement de membrane dû à la compression :  u′ , v ′ << 1  u′ << v ′ et θ ∼ tan θ = ′ v2 ds ≃ 1 + u′ + ⇒  dX 2 ′ v2 ⇒ǫ=u + 2 ′ dy dθ v′ dθ ′ ≃ v ⇒ courbure = ≃ = v” dx 1 + u′ ds dX Remarque on notera que cette expression peut être calculée à partir de l’expression du tenseur des déformations non-linéaires des milieux continus (Eq.4.1) appliqué aux poutres, en prenant en compte les simplifications faites ci-dessus. Finalement, l’énergie de déformation s’écrit toujours de la même façon, mais avec une expression de la déformation de membrane qui dépend de la flèche ǫ(u′ , v ′ ) : Wint 1 = 2 Z l 0 ESǫ2 (u′ , v ′ ) + EIv ′′ 2  ds (4.2) Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 85 Équations d’équilibres En utilisant l’expression de la déformation de membrane établie ci-dessus (ǫ = ′2 v u′ + ), on peut déduire les équations d’équilibre du problème en utilisant le Principe 2 des Puissances Virtuelles. On considérera ici le cas d’une poutre sur laquelle le système d’efforts appliqué se limite à un effort ponctuel de compression qui agit en x = l (Fi∗ = −F u∗ (l). On introduit gure 4.4). Donc le travail virtuel des efforts extérieurs est Wext les notations classiques pour l’effort normal (N (x) = ESǫ(x)) et le moment de flexion d2 v(x) (M (x) = EI ). Il faut noter que le terme de rotation modérée, introduit dans la dédx2 formation virtuelle, prend en compte la non-linéarité du phénomène. La rotation virtuelle ′ v ∗ est en effet en produit avec un terme représentant le moment induit par le décalage de l’effort normal par rapport à la ligne moyenne de la poutre (N v ′ ) : Z l    ′ ′′ ′ ′ N (x) u ∗ + v v ∗ + Mz (x)v ∗ dx + F u∗ (l) = 0, ∀(u∗ , v ∗ )C.A. 0 après intégration par parties, on exprime tous les termes en fonction des déplacements virtuels : Z  l (−N ′ (x)u∗ (x) + {−(N (x)v ′ (x))′ + M ′′ (x)} v ∗ (x)) dx+ 0 ′ N u∗ + N v ′ v ∗ + M v ∗ − M ′ v ∗ l 0 + F u∗ (l) = 0, ∀(u∗ , v ∗ )C.A. En choisissant judicieusement les champs virtuels, on arrive aux équations d’équilibre intérieur suivantes, les équations aux bords étant fonction des conditions aux limites. Dans le cas traité ici, on a N (l) = −F : Équilibre intérieur N ′ (x) = 0 (N (x)v ′ (x))′ − M ′′ (x) = 0 4.1.2    C.L cinématiques + statiques   u = 0 ou N = 0(= N d )      x = (0, l) v = 0 ou M ′ − N v ′ = 0       v ′ = 0 ou M = 0(= M d ) Application à une poutre droite Poutre droite sur appuis simples Nous étudions le cas de la poutre sur appuis simples présentée sur la Figure 4.4. 1/ Montrer que le système à résoudre s’écrit (equation 4.3) : EI d4 v(x) d2 v(x) + F =0 dx4 dx2 (4.3) Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 86 Figure 4.4: Poutre sur appuis simples en compression 2/ Donner les conditions aux limites correspondant au problème de la Figure 4.4. F 3/ Montrer que le champ de déplacement solution s’écrit, en posant k 2 = EI v(x) = A + Bx + C cos kx + D sin kx 4/ Montrer que ce problème possède 2 solutions : une solution droite et une solution fléchie. 5/ Montrer que la pulsation de rang n solution est : k= nπ ,n ∈ Z l 6/ Montrer que la charge critique et le déplacement solutions sont : F = EI  nπ 2 l v(x) = D sin nπx l 7/ Tracer les courbes charge-déplacement ainsi que la déformée correspondant aux 3 premiers modes. Poutre droite encastrée-encastrée Nous étudions maintenant la même poutre, mais cette fois-ci les conditions aux limites sont de type encastré à ses 2 extrémités (Figure 4.5). On recherchera les solutions symétriques par rapport à x = 2l . 1/ Donner les conditions aux limites permettant de résoudre ce problème. Finalement, on constate que la charge critique de flambage dépend à la fois du matériau constitutif, mais aussi de la géométrie de la poutre. En effet, c’est le rapport entre la rigidité de tension et la rigidité de flexion qui représente la capacité de la poutre à Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 87 Figure 4.5: Poutre droite encastrés-encastrée en compression supporter la compression directe sans fléchir, ce qu’on caractérise par le rayon de giration q de la section : r = SI . On peut exprimer la solution pour le cas de la poutre homogène traité ci-dessus, en fonction des conditions cinématiques imposées aux limites de la poutre (Eq. 4.4). En effet, on peut constater expérimentalement que la charge évolue en fonction de ces conditions, comme illustré sur la figure 4.6. Figure 4.6: Illustration de la charge de flambe pour une même poutre possédant différentes conditions aux limites. Ainsi, la charge de flambage est connue en fonction du paramètre α qui prend en compte les conditions aux limites (Tableau 4.1). Ce qu’on retrouve dans les expériences présentées sur la figure ci-dessus (Figure 4.6). Fc (α) = απ 2 EI L2 (4.4) Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques Cond. Lim. λ Rotulé-Rotulé 88 Coefficient α 1 λ Encastré-Rotulé 2.05 λ Encastré-Encastré 4 λ Encastré-Libre 1/4 Table 4.1: Valeurs du coefficient α (Eq. 4.4) en fonction des conditions aux limites appliquées à la poutre homogène. Remarque 1 Dans certains ouvrages, la notion de longueur équivalente est introduite. Il s’agit de remplacer la longueur de la poutre par une longueur telle que les conditions aux limites sont intégrées, sans avoir à modifier les relations donnant la force critique. Ceci revient simplement à intégrer le coefficient α utilisé ci-dessus, soit Le = √Lα . Remarque 2 Le flambement dans l’espace implique que la plus petite des rigidités de la poutre devra être considérée, i.e. le flambage se produira dans le plan contenant cette plus petite rigidité. Remarque 3 La présence d’un défaut géométrique va abaisser la charge critique, comme illustré schématiquement sur la Figure 4.2-b. Le défaut le plus délétère sera celui dont la forme correspondra au premier mode ; ceci est valable quelle que soit la structure considérée. Dans le cas des poutres, un défaut d’amplitude v0 sur le premier mode conduit à l’expression de la relation charge-déplacement suivante, qui correspond à l’augmentation de ce défaut en fonction du chargement :    F (v) = Fc 1 − 4.1.3 1  v  1+ v0 (4.5) Extension aux calculs numériques Lien avec les calculs aux valeurs propres Les problèmes de flambage, ainsi que les problèmes de calculs vibratoires sont trés souvent résolus, en première approche grâce à des calculs aux valeurs propres. On rappelle que ces calculs sont de la forme : [A] − λ[B] = [0]. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 89 Notre problème de flambage dans les poutres droites s’écrit : Z l  ′   ′′ ′ ′ N (x) u ∗ + v v ∗ + M (x)v ∗ dx + F u∗ (l) = 0, ∀(u∗ , v ∗ )C.A. 0 ce qui peut encore se simplifier en utilisant les relations N ′ (x) = 0 et N (l) = −F = N (x). On peut alors réécrire le problème à résoudre sous la forme : kel (v, v ∗ ) − F kσ (v, v ∗ ) = 0, ∀v∗ ∈ C.A.  Z l ′′  ∗  EIv ′′ (x)v ∗ (x)dx   kel (v, v ) = 0 avec Z l   ′   kσ (v, v ∗ ) = v ′ (x)v ∗ (x)dx 0 dans ces expressions on reconnaît la rigidité élastique de flexion kel , et une nouvelle rigidité qui exprime l’influence de la géométrie sur la rigidité de la structure kσ , appelée rigidité géométrique. Cette formulation est celle utilisée dans les codes de calculs par éléments finis, aussi bien pour les milieux continus que pour les structures, ou encore la mécanique des fluides. On utilise dans ces codes des calculs aux valeurs propres qui fournissent les charges critiques d’apparition des instabilités, mais aussi les modes propres associés définis à une constante multiplicative prés. États de contraintes associés au flambage Si on veut connaître l’état de contraintes dans une structure, les calculs de valeurs propres ne suffisent pas puisque les modes propres associés sont définis à une constante multiplicative près. Il est donc nécessaire de mener un calcul complet non-linéaire en augmentant le chargement progressivement, jusqu’à atteindre le point de bifurcation qui caractérise le passage d’une configuration stable à une configuration instable (voir Figure 4.2 page 81). D’un point de vue numérique, ce point de bifurcation correspond à l’annulation de l’un des pivots de la matrice de rigidité du système, qui alors n’est plus inversible. Il faut donc, pour passer ou seulement détecter ce point, introduire un défaut géométrique de sorte qu’on s’éloigne légèrement de la branche fondamentale de la réponse. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 4.2 4.2.1 90 Modes et fréquences propres de vibration en flexion dans les poutres droites Introduction Dans les problèmes traités dans le cadre de la statique, on suppose que le chargement imposé (déplacement, efforts, température, ...) passe instantanément de sa valeur initiale à sa valeur finale, faisant ainsi passer le milieu considéré d’une configuration initiale stable à une autre configuration contrainte mais stable. Les paramètres à calculer (contraintes, déformations, déplacements, réactions, ...) sont relatifs à l’état final et par conséquent ne dépendent pas du temps. Dans le cadre de la dynamique au contraire les chargements imposés peuvent varier dans le temps. De plus, même dans la configuration initiale le milieu peut être caractérisé par des fonctions du temps (conditions de position et de vitesse). Les paramètres à calculer sont donc également des fonctions du temps, et de nouvelles grandeurs apparaissent pour caractériser le mouvement, c’est-à-dire la variation de configuration dans le temps. Ce sont les paramètres cinématiques tels que les vitesses, les accélérations, les fréquences, ... qui n’existent pas dans le cas de la statique. Ce domaine de la dynamique des solides et des structures est un vaste champs de l’ingénierie. La démarche spécifique appliquée ici aux poutres est détaillée dans le cadre des systèmes discrets et continus dans le support de cours http://www.emse.fr/~drapier/index_fichiers/CoursPDF/ Dynamique-3A/Dynamique-SDrapier-janvier2012.pdf. Nous nous intéresserons ici plus particulièrement aux vibrations libres des poutres droites à plan moyens chargées dans ce plan (en abrégé poutres droites à plan moyen, Figure 2.2), c’est à dire la réponse vibratoire caractérisée par les modes et pulsations propres. Ces caractéristiques intrinsèques aux structures considérées dépendent à la fois des caractéristiques mécaniques (rigidité = module d’Young E), géométriques (section S − et moment quadratique par rapport à → z I) et de masse (masse volumique ρ). 4.2.2 Équations de la dynamique des poutres droites à plan moyen Nous avons vu dans le cadre de la statique que les équations des poutres quelconques peuvent se déduire, via le Principe des Puissances Virtuelles, de la formulation générale de l’équilibre statique des milieux continus. Dans le cadre de la dynamique, la démarche est similaire. Elle fait cette foisci intervenir les accélérations, c’est à dire les variations dans le temps des vitesses des sections des poutres. Pour les poutres droites à plan moyen, le vecteur des déplacements Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 91 d’un point M d’une section de la poutre représentée sur la Figure 2.2 page 37 est dans le cadre de la dynamique : ( − − − uM ( → x , t) = u(→ x0 , t) − yφ(→ x0 , t) → − − u (→ x , t) = → − → − vM ( x , t) = v(x0 , t) Donc les accélérations correspondantes s’écrivent : ( − − − üM (→ x , t) = ü(→ x0 , t) − y φ̈(→ x0 , t) → − → − γ ( x , t) = → − → − v̈M ( x , t) = v̈(x0 , t) ∂ 2X où la notation utilisée est définie par Ẍ = . De façon similaire, on définit les dérivées ∂t2 ∂X . partielles par rapport à x, X ′ = ∂x Finalement, en intégrant sur la section de la poutre la puissance virtuelle développée par le terme d’origine inertielle des équations de la dynamique des milieux continus (ρ est la masse volumique du milieu constitutif supposé homogène dans toute la section) : Z l Z h Z  i → − → − → − − ∗ → ü − y φ̈ (u∗ − yφ∗ ) + (v̈v ∗ ) dl ρ ρ ü ( x , t) u ( x , t)dΩ = Ω Z0 l  S  ∗ ∗ ∗ ρS [üu + v̈v ] + ρI φ̈φ dl = 0 on arrive aux équations d’équilibre dynamique des poutres (Tableau 4.2-b, page 92) : 4.2.3 Vibrations libres - application à la flexion simple Calcul de vibrations libres Le calcul des modes et fréquences propres d’une poutre est très utilisé dans l’analyse vibratoire de ces éléments de structure. Il permet de déterminer la réponse intrinsèque à la structure, c’est à dire qui ne dépend pas des sollicitations extérieures, et qui définit le spectre des fréquences et déformées (modes) qu’il faudra éviter de solliciter si l’on veut que la structure n’ait pas un comportement critique. Notamment, la connaissance des fréquences propres permet de dimensionner les sections de manière à éviter les phénomènes de résonance. Ce phénomène bien connu de résonance survient lorsque la fréquence d’une ou plusieurs sollicitations extérieures est en phase, ou très peu déphasé (proche), d’une des fréquences propres du système. On a alors, en l’absence d’amortissement, l’amplitude de la déformée qui tend rapidement vers l’infini, ce qui conduit généralement à la ruine de la structure. Pour exemple, on peut citer le décret interdisant les marches militaires sur les ouvrages civils tels que les ponts, ceci suite à l’effondrement d’un pont sous les pas cadencés d’un régiment. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 92 (a) (b) ⇓ ⇓ 1/ Champ C.A. - C.I. → − − → − − . → u (→ x , t) = ud (→ x , t)− x ∈ ∂Ωu , ∀t ( → − − − u (→ x , tj ) = → u (j) − . ∀ → x → − → − → u̇ (− x , tj ) = u̇ (j) 2/Équilibre intérieur − ∂σij (→ x , t) − − + fi (→ x , t) = ρüi (→ x , t) ∂xj 1/ Champ C.A. - C.I. . u(xi , t) = udi (t), v(xi , t) = vid (t), φ(xi , t) = φdi (t) , ∀t ( u(x, tj ) = u(j) , v(x, tj ) = v (j) , φ(x, tj ) = φ(j) − . , ∀→ x u̇(x, tj ) = u̇(j) , v̇(x, tj ) = v̇ (j) , φ̇(x, tj ) = φ̇(j) 2/ Équilibre intérieur ∂ 2 u(x, t) ∂N (x, t) + px (x, t) = ρS ∂x ∂t2 ∂ 2 v(x, t) ∂T (x, t) + py (x, t) = ρS ∂x ∂t2 ∂ 2 φ(x, t) ∂M (x, t) + T (x, t) + cz (x, t) = ρI ∂x ∂t2 3/Équilibre au bord − − − σij (→ x , t)nj (→ x ) = Fid (→ x , t) → − ∀ x ∈ ∂ΩF 3/ Équilibre au bord N (xi , t) = N i (t), T (xi , t) = T i (t), M (xi , t) = M i (t) 4/Loi de comportement σij (x, t) = Lijkl ǫkl (x, t) 4/ Loi de comportement ∂u(x, t) N (x, t) = ES ∂x  T (x, t) = kGSγ(x, t) γ(x, t) = M (x, t) = EI ∂v(x,t) ∂x − φ(x, t) ∂φ(x, t) ∂x Table 4.2: Correspondances des équilibres dynamiques d’un milieu continu et d’une poutre droite à plan moyen. Lorsque le spectre des fréquences propres est connu on peut, en modifiant la géométrie ou la masse volumique des sections, décaler le spectre ou bien modifier son étendue.  Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 93 Dans le cadre de la vibro-accoustique par exemple, la note émise par un diapason dépend de la géométrie (longueur, section) des branches aussi bien que du matériau employé. Le calcul de modes propres est quant à lui notamment utilisé dans le domaine de l’analyse modale qui consiste à exprimer le déplacement quelconque d’un structure dans la base (infinie dans le cas des milieux continus) formée par ses vecteurs propres. C’est une technique couramment employée au niveau analytique aussi bien que dans les codes de calculs par éléments finis par exemple, qui permet de réduire considérablement la taille du système à résoudre. La connaissance de cette base modale permet également d’étudier la stabilité d’une structure soumise à une excitation proportionnelle à un ou plusieurs modes propres. Vibrations libres d’une poutre en flexion simple Nous étudions plus spécifiquement les vibrations libres d’une poutre en flexion simple. Les déformations de cisaillement seront négligées. On montre par ailleurs que le − terme inertiel relatif à → z (ρI φ̈(x, t)) peut être négligé devant les effets engendrés par l’accélération due au déplacement transverse (ρSv̈(x, t)). Dans le cadre de la flexion, seules les équations d’équilibre relativement aux − − vecteurs → y et → z de la base de référence sont utilisées. Les vibrations libres de la poutre sont analysées lorsque l’ensemble des efforts est nul. Pour la suite de cette approche, le cisaillement sera négligé dans les poutres. 1/ Montrer que le système à résoudre s’écrit (équation 4.6) : ∂ 2 v(x, t) EI ∂ 4 v(x, t) = − ∂t2 ρS ∂x4 (4.6) 2/ On recherche la solution de ce problème spatio-temporel sous la forme découplée suivante v(x, t) = ψ(x)β(t). En désignant par ω la pulsation propre du système, montrer que ce problème (Eq. 4.6) se met sous la forme d’une équation différentielle à variables ρS séparables (Eq. 4.7) où α4 = ω 2 est une constante positive : EIz d4 ψ(x) = α4 ψ(x) 4 dx {z } | (I) d2 β(t) + ω 2 β(t) = 0 2 dt {z } | (II) 3/ Montrer que la solution générale est de la forme : v(x, t) = (B1 sin αx + B2 cos αx + B3 sinh αx + B4 cosh αx) A cos (ωt − ϕ) (4.7) Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 94 Figure 4.7: Poutre droite sur appui simple. Poutre sur appuis simples La poutre considérée repose sur 2 appuis simples, comme indiqué sur la Figure 4.9. 1/ Donner les conditions aux limites, en déduire les équations en espace qui permettront de résoudre le problème. 2/ Montrer que la nieme pulsation propre du système est : s 2 2 nπ EIz ωn = 2 l ρS (4.8) 3/ D’après la formulation qui conduit à l’équation (4.6), on obtient désormais un système qui caractérise l’équilibre pour toute pulsation de rang n. Écrire la solution de ce système : vn (x, t) = ψn (x)βn (t) 4/ La solution exacte de ce problème étant la somme des solutions particulières de rang n, montrer qu’elle s’écrit sous la forme : v(x, t) = ∞ X n=1 Bn sin nπx cos (ωn t − ϕn ) l où les Bn sont des constantes, les modes étant définis à une constante multiplicative prés. Les déphasage ϕn sont déterminés grâce aux conditions initiales (à t = 0). 5/ Tracer les premiers modes propres en fonction de x en prenant B1 = 1. La solution générale des vibrations libres étant connue, un calcul d’analyse modale permettra, par exemple, de connaître facilement la réponse de la structure à une sollicitation générale. Par exemple, si la poutre étudiée est sollicitée en son milieu par une impulsion, les modes propres pairs ne seront pas "actifs", car le déplacement résultant ne pourra être qu’impair : pas de point d’inflexion au centre, sous la charge. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 4.2.4 95 Vibrations libres - calculs numériques La détermination des calculs de modes et fréquences propres de vibration fait également appel à ces calculs aux valeurs propres. En effet, la formulation du problème dynamique à résoudre en flexion (avec ρ la masse volumique du matériau constitutif) est : ∂ 2 v(x, t) EI ∂ 4 v(x, t) − =0 ∂t2 ρS ∂x4 En prenant une solution de la forme v(x, t) = V (x)eiωt , on peut reformuler le problème à résoudre : Z l ∗ 2 kel (V, V ) − ω ρSV (x)V ∗ (x)dx = 0 0 2 où ω est l’ensemble des fréquences propres recherché. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 4.3 96 Extension : réponse post-bifurquée d’une poutre Nous venons de caractériser le point critique où des poutres simples en compression passent de la solution fondamentale (équilibre comprimé a = 0) à une solution secondaire (équilibre fléchi). La détermination des charges critiques est possible grâce à la résolution du problème d’équilibre linéarisé, elles constituent en effet les valeurs propres de ce problème. Cependant, il parait indispensable de caractériser plus complètement le comportement de cette poutre ou d’une structure après le "dépassement" d’un point de bifurcation. Le cadre linéaire est abandonné, il est alors nécessaire de travailler sur la formulation nonlinéaire de l’équilibre, seule capable de caractériser l’équilibre non-linéaire géométrique du système. L’objectif principal de cette étude non-linéaire doit être de discuter la nature de la branche bifurquée (symétrique ou non-symétrique) et surtout sa stabilité (comportement sur-critique (Figure7.5-(a)) ou comportement sous-critique (Figure 7.5-(b))). λ! (0,!λc)! défaut croissant λ! (0,!λc)! branche secondaire branche fondamentale a! a! Figure 4.8: Comportements post-bifurqués sur-critique (a) et sous-critique (b). La résolution complète du problème non-linéaire est néanmoins très délicate. C’est pourquoi, des résultats analytiques ne seront accessibles qu’en simplifiant le problème nonlinéaire près du point de bifurcation afin de connaître le comportement initial de la branche bifurquée. Ce résultat local est très important puisque nous allons voir que l’équation proposée pour la branche bifurquée est aussi valable loin du point de bifurcation lorsqu’une comparaison avec les éléments finis est effectuée. Deux approches sont présentées ici et nous verrons que leur "philosophie" générale est très semblable ainsi que leur résultat dans notre cadre simple, l’objectif de ces méthodes étant de présenter un développement de la charge appliquée et de la déformée près du point de bifurcation. Le comportement post-bifurqué de la poutre homogène sera traité à l’aide de la réduction de Lyapounov et Schmidt présentée de manière très rigoureuse dans [Léger et al., 1998]. Pour la poutre sur fondation élastique, une méthode classique de perturbation est présentée, à l’aide d’un développement en séries de la charge et de la déformée. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 4.3.1 97 Poutre homogène Résolution du problème linéarisé Pour connaître le comportement post-flambé d’une poutre homogène, c’est-à-dire caractérisée par une longueur L et une rigidité en flexion EI, la modélisation la plus simple est celle de la poutre elastica proposée par Euler en 1745. L’hypothèse principale de la poutre elastica est de supposer que l’allongement de la ligne moyenne est nul. La variable cinématique caractérisant le comportement de la structure est alors tout simplement l’angle de rotation des sections de la poutre par rapport à la position initiale, noté θ tel que schématisé sur la Figure 4.3. L’énergie de déformation de la poutre se limite donc à la seule écriture de son énergie de flexion. Dans le cas présenté, la longueur de la poutre ne variant pas, on peut . écrire directement ds = dx, ce qui conduit à une expression de la courbure simplifiée dθ ds L’énergie de flexion est donc donnée par l’équation (4.9). 1 Wf = 2 Z L EI 0  dθ dx 2 (4.9) dx Le travail des efforts extérieurs est simplement donné par le produit du chargement extérieur λ avec le raccourcissement ∆ dû à la flexion de la poutre (Eq. 4.10). Wext = λ∆ = λ Z L (4.10) (1 − cos θ)dx 0 d’où l’écriture de l’énergie potentielle (Eq. 4.11). E(λ, θ) = Wf − Wext 1 = 2 Z L EI 0  dθ dx 2 ! − 2λ(1 − cos θ) dx (4.11) Le calcul de la variation de l’énergie potentielle conduit à l’équation (4.12) qui doit être nulle à l’équilibre compte tenu de la stationnarité de E(λ, θ). δE(λ, θ) = Z L (EIθ′ δθ′ − λ sin θδθ) dx = 0 (4.12) 0 Une intégration par parties sur le premier terme de (4.12) conduit à l’écriture de l’équation d’équilibre à l’intérieur de la poutre (Eq. 4.13). EIθ′′ + λ sin θ = 0 (4.13) L’équation (4.13) n’est pas linéaire et compte tenu de ce qui a été dit précédemment, il suffit de linéariser cette équation pour obtenir la charge critique. Ce qui est Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 98 possible en écrivant qu’au premier ordre, sin θ = θ. L’équation linéarisée est alors la suivante (Eq. 4.14). EIθ′′ + λθ = 0 (4.14) La résolution de (4.14) est classique et la charge critique est obtenue en posant θ(x) = Θ cos(πx/L), ce qui conduit à l’expression suivante pour la charge critique (Eq. 4.15) : λc = π 2 EI L2 (4.15) Comportement post-bifurqué Réduction de Lyapounov et Schmidt Le cadre général de la théorie du postflambage est un système élastique caractérisé par la fonctionnelle énergie potentielle E(u, λ) et par l’ensemble des déplacements cinématiquement admissibles (C.A.). Comme nous avons pu déjà le voir, les équations d’équilibre du problème sont obtenues à partir de la stationnarité de l’énergie potentielle (Eq. 4.16). δE(λ, u) = 0 ∀ δu C.A.(0) (4.16) On peut donc définir un opérateur différentiel f (λ, u) de l’espace vectoriel C.A.(0), défini par la relation (4.17). Il peut s’écrire sous la forme d’une somme d’un terme linéaire (L(λ)u), quadratique (Q(u, u)) et d’ordre supérieur (Eq. 4.18). A l’équilibre cet opérateur est nul car δE est linéaire par rapport à δu. < f (λ, u), δu >= δE(λ, u) (4.17) f (λ, u) = L(λ)u + Q(u, u) + r(λ, u) (4.18) On peut noter que le terme linéaire provient directement de la seconde variation de l’énergie potentielle (< L(λ)u, δu >= δE2 (λ, u)). Ainsi, tant que L(λ) est inversible, la branche fondamentale (u = 0) sera solution, un point de bifurcation va apparaître lorsque L(λ) ne sera plus inversible, ce qui revient à résoudre le problème classique linéarisé. Cette résolution conduit à obtenir une charge critique λc et le but de l’analyse post-flambage est d’étudier les solutions de l’équation f (λ, u) = 0 au voisinage de λc . La première étape consiste à donner un développement de Taylor de l’énergie potentielle pour u et (λ − λc ) petits (Eq. 4.19). E(λ, u) = E0 + E2 (λ, u) + E3 (λc , u) + θ((λ − λc )u3 + u4 ) (4.19) Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 99 En identifiant avec les termes présentés dans l’équation (4.18), on peut écrire :    < L(λ)u, δu >= δE2 (λ, u; δu) < Q(u, u), δu >= δE3 (λc , u; δu)   r(λ, u) = θ((λ − λ )u2 + u3 ) c (4.20) On note U l’élément qui génère le noyau de l’opérateur linéaire (dim=1), on a donc L(λc )U = 0. L’idée de la méthode de Lyapounov et Schmidt est de décomposer l’inconnue "u" du problème en une partie proportionnelle au noyau de L(λc ) et une partie orthogonale à ce noyau (Eq. 4.21). En effet, on admet que l’équation L(λc )u = f admet une solution si et seulement si "f " est orthogonal au mode de flambage U , c’est-à-dire que la projection de v sur le noyau est nulle (Eq. 4.22). On utilise donc l’inversibilité partielle de L(λc ) pour décomposer l’écriture de u près du point de bifurcation. u = aU + v Z a ∈ R, v ∈ U ⊥ (4.21) L f (x)U (x)dx = 0 (4.22) 0 On peut de même définir un opérateur de projection sur U ⊥ (Eq. 4.23). Z L u(x)U (x)dx 0 P (u) = u(x) − U (x) Z (4.23) L 2 U (x)dx 0 La première étape consiste à donner une expression approchée de v. L’idée est de projeter l’équation f (λ, u) = 0 sur U ⊥ à l’aide du projecteur P afin d’utiliser l’inversibilité de L(λc ) dans l’espace vectoriel U ⊥ (corollaire du théorème du rang). L’équation ainsi projetée permet d’obtenir localement une solution unique pour v grâce au théorème des fonctions implicites (Eq. 4.24). v(a, λ) = a2 v2 + θ(a(λ − λc ) + a3 ) avec v2 = −L−1 (λc )P (Q(U, U )) (4.24) Le problème projeté sur U ⊥ peut en fait être interprété comme un problème de minimisation partielle de l’énergie par rapport à v. La deuxième étape consiste à reporter la solution trouvée pour v dans la forme de l’énergie potentielle qui sera alors appelée énergie potentielle réduite et qui va dépendre de a et λ. Cette énergie sera notée F (λ, a). La dernière équation du problème est obtenue en écrivant que l’énergie potentielle réduite est stationnaire, ce qui conduit à la relation (4.25). ∂F (λ, a) = 0 ∂a (4.25) Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 100 Au voisinage d’un point critique, nous n’avons qu’une approximation de v mais qui est suffisante, en général, pour discuter la nature de la bifurcation. L’étude du système est ainsi ramenée à celle d’une seule équation scalaire que l’on appelle équation de bifurcation. Celle-ci peut être présentée sous une forme un peu plus explicite pour la discussion de la nature de la branche bifurquée. En effet, si on part de la forme donnée par l’équation (4.26) pour l’énergie potentielle, on peut lui donner une expression approchée en faisant apparaître les déplacements connus U et v2 . E(λ, u) = E0 + E2 (λ, u) + E3 (λ, u) + E4 (λ, u) (4.26) La forme approchée de l’expression (4.26) est donnée par l’équation (4.27) avec E2′ la dérivée de E2 par rapport à λ. F (λ, a) = (λ − λc )a2 E2′ (λc , U ) + a3 E3 (λc , U ) + a4 (E4 (λc , U ) − E2 (λc , v2 )) (4.27) D’où l’équation de la branche bifurquée qui peut se mettre localement sous la forme (4.28) avec les coefficients Ci définis par les relations (4.29). λ = λc + C1 a + C2 a2 C1 = − (4.28) 3E3 (λc , U ) 2E2′ (λc , U ) (4.29) 2(E4 (λc , U ) − E2 (λc , v2 )) C2 = − E2′ (λc , U ) La symétrie (C1 = 0 ou C1 6= 0) et la stabilité (signe de C2 ) de la branche peuvent ainsi être discutées. Application au cas de la poutre homogène Si on reprend l’exemple de la poutre homogène traité dans le premier paragraphe de cette section, l’énergie potentielle pouvait se mettre sous la forme suivante (Eq. 4.30) : 1 E(λ, θ) = 2 Z L EI 0  dθ dx 2 ! − 2λ(1 − cos θ) dx (4.30) Par analogie avec la forme de l’énergie potentielle donnée dans l’équation (4.26), une forme approchée de (4.30) est déterminée (Eq. 4.32) grâce au développement limité de cos θ, pour θ petit (Eq. 4.31). Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques cos θ = 1 − θ2 θ4 + 2 24 E(λ, θ) = E2 (λ, θ) + E4 (λ, θ) 101 (4.31) (4.32) avec ! 2 dθ EI + λθ2 dx dx 0 Z L 1 λθ4 dx E4 (λ, θ) = − 24 0 1 E2 (λ, θ) = 2 Z L  Comme cela a été présenté dans la résolution du problème linéarisé, l’expression du mode de flambage est donnée par θ(x) = a cos(πx/L) et la charge critique est celle de la relation (4.15). Ainsi, l’équation de la branche bifurquée présentée dans le cadre théorique précédent peut être évaluée. Il faut tout d’abord déterminer une expression approchée de v2 (Eq. 4.24) qui dans notre cas est très simple puisqu’en première approximation, elle est nulle (Q(θ, θ) = 0). Les coefficients Ci peuvent ainsi être déterminés en prenant U = cos(πx/L), v2 = 0 et λc = π 2 EI/L2 (Eqs. 4.33). C1 = 0 car E3 (λ, u) = 0 Z π 2 EI L π 2 EI 3L cos4 (πx/L)dx 2 2 π 2 EI 2E4 (λc , U ) 12L 0 C2 = − ′ = 12L 8 = = Z L 1L E2 (λc , U ) 8L2 1 cos2 (πx/L)dx 22 2 0 (4.33) L’équation de la branche bifurquée est donc la suivante (Eq. 4.34) : λ = λc + π 2 EI 2 a 8L2 (4.34) Cette branche est symétrique et son comportement est stable (C2 > 0). Un résultat identique est trouvé en raisonnant sur le déplacement transverse de la poutre au lieu de considérer l’angle θ. La constante C2 est alors donnée par C2 = π 4 EI/(8L4 ). Le produit π 2 /L2 supplémentaire dans cette expression provient de la première approximation de θ qui est en fait la dérivée de la flèche. Ce qui est plus remarquable, c’est que l’équation de la branche construite dans un cadre restreint, c’est-à-dire près du point de bifurcation, est aussi valable pour des déplacements a important. Ce point est mis en évidence grâce à une comparaison avec des résultats éléments finis obtenus par une analyse non-linéaire sous ABAQU S T M . Nonseulement la validité locale de l’équation (4.34) est indéniable prés du point de bifurcation, Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 102 Figure 4.9: Comportement post-bifurqué pour une poutre homogène : comparaison branche théorique et calculs E.F. non-linéaires. mais elle est aussi soulignée pour des valeurs élevées de a (Fig. 4.9). Outre la courbe théorique, la courbe E.F. présentée correspond à un calcul sur une poutre dont la valeur du défaut sur le premier mode de flambage est 0.001 mm. Un autre point important est de signaler que dans ce cas simple, la partie orthogonale au mode est nulle, l’étude aurait pu donc se faire en considérant seulement que la déformée après flambage correspondait à un accroissement du premier mode de flambage (θ(x) = Θ cos(πx/L)). Des résultats identiques auraient donc été trouvées en réinjectant directement ce mode dans la forme de l’énergie potentielle et en minimisant par rapport au paramètre a. Cette méthode est une méthode approchée, elle est parfois utilisée et correspond en fait à une méthode dite de Ritz où la difficulté majeure consiste à postuler dés le départ une représentation correcte du champ de déplacement. Dans notre exemple simple, l’accroissement du mode constitue le terme prépondérant du champ de déplacement après le passage du point de bifurcation et donc la méthode de Ritz constitue une très bonne approximation. 4.3.2 Poutre sur fondation élastique à deux paramètres Le cas du flambage d’une poutre sur une fondation élastique est très répandu et largement utilisé. En effet, ce cas générique permet de représenter de nombreux états limites de l’ingénierie, par exemple le comportement de couches minces sur des substrats, ... Dans ces modèles, contrairement au cas de la poutre homogène vu ci-dessus, la solution bifurquée résulte de l’équilibre entre la propension de la poutre à fléchir et la rigidité de la fondation qui s’oppose (ou accompagne) ce mouvement. On trouvera donc une solution Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 103 du mode critique (lors du passage du point de bifurcation) de forme harmonique, mais cette fois avec des harmoniques de rangs plus grandes que 1. Comme nous avons pu le voir, la réduction de Lyapounov et Schmidt a été élaborée dans un cadre très rigoureux et très formel. La difficulté principale réside dans la détermination de l’expression approchée de la partie orthogonale au mode (v). Pour le cas de la poutre sur fondation élastique, une autre méthode est présentée mais la "philosophie générale" reste sensiblement la même. Elle est appelée méthode régulière de perturbation et consiste à écrire le champ de déplacement et la charge appliquée sous forme de séries valides près du point de bifurcation (Eq. 4.35) où w(x) représente le déplacement trans− verse de la poutre selon → x3 conformément à la Figure 4.10, et a l’amplitude du premier mode de flambage.   w(x) = aw1 (x) + a2 w2 (x) + a3 w3 (x)  (4.35) 2 λ = λc + aλ1 + a λ2 e3 1.e2 .e3 e1 Figure 4.10: Modèle de poutre sur fondation élastique, de rigidité normale k et de rigidité en cisaillement k1 . Contrairement à l’exemple précédent de la poutre homogène, nous allons travailler directement sur l’équation d’équilibre de la poutre sur fondation, celle-ci étant obtenue bien entendu par la stationnarité de l’énergie potentielle. L’équation non-linéaire (4.36) traduit l’équilibre de la poutre en grandes déformations ou k représente la rigidité transverse de la fondation et k1 la rigidité en cisaillement transverse (le ’ correspond à la dérivée par rapport à x). Cette équation a déjà été présentée par de nombreux auteurs ([Lee & Waas, 1996], [Wu & Zhong, 1999]). 1 1 EI(w′′′′ + 4w′′′ w′′ w′ + w′′3 ) + λw′′ (1 − w′2 )− 2 + kw(1 − w′2 ) − k1 w′′ (1 − w′2 )− 2 = 0 (4.36) Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 104 Résolution du problème linéarisé La résolution du problème linéarisé va nous conduire à l’expression de la charge critique de la poutre sur fondation, il suffit pour cela de conserver les termes linéaires présents dans (4.36). L’équation d’équilibre linéarisée est alors la suivante (Eq. 4.37). EIw′′′′ + λw′′ + kw − k1 w′′ = 0 (4.37) Afin de résoudre cette équation différentielle du quatrième ordre, on pose les notations suivantes, α12 = (λ − k1 )/EI et α2 = k/EI. La solution de l’équation (4.37) est donnée par (4.38). (4.38) w(x) = A cos(ω1 x) + B sin(ω1 x) + C cos(ω2 x) + D sin(ω2 x) avec p α14 − 4α2 ω12 = 2 p α12 − α14 − 4α2 2 ω2 = 2 α12 + La prise en compte des conditions aux limites (w(0) = w(L) = w′′ (0) = w′′ (L) = 0) conduit au système matriciel suivant :      1 0 1 0 cos ω1 L sin ω1 L cos ω2 L sin ω2 L 2 2 −ω1 0 −ω2 0 2 2 2 2 −ω1 cos ω1 L −ω1 sin ω1 L −ω2 cos ω2 L −ω2 sin ω2 L    A          B     =    C           D 0 0 0 0          Pour ne pas avoir la solution triviale (A = B = C = D = 0), le déterminant de la matrice 4 × 4 doit être nul, ce qui conduit à la condition (4.39). sin(ω1 L) = 0 ou sin(ω2 L) = 0 (4.39) Ces deux conditions conduisent à la même relation (Eq. 4.40) avec n ∈ N qui correspond en fait au nombre de demi-ondes le long de la poutre. α12 = α2 L2 n2 π 2 + n2 π 2 L2 (4.40) En remplaçant α12 et α2 par leur expression respective, la charge critique est écrite sous la forme (4.41) avec ω = nπ/L. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 105 k + k1 (4.41) ω2 Cette charge critique sera minimale pour nc > 1, la valeur de nc est obtenue par minimisation de (4.41) par rapport à n (Eq. 4.42). λc = EIω 2 + L nc = π r 4 k EI (4.42) Comportement post-bifurqué On adopte donc la décomposition en séries (Eqs. 4.35) du champ de déplacement transverse et de la charge appliquée, w(x) et λ sont alors remplacés par ces expressions dans la forme non-linéaire de l’énergie potentielle (Eq. 4.36). On rappelle que a est un petit paramètre qui matérialise l’amplitude du premier mode. Dans la forme approchée de l’équation d’équilibre ainsi obtenue, seuls les termes en a, a2 et a3 sont conservés et trois équations sont ainsi déduites en regroupant chacune des puissances de a (Eqs. 4.43). EIw1′′′′ + λc w1′′ + kw1 − k1 w1′′ = 0 (4.43a) EIw2′′′′ + λc w2′′ + kw2 − k1 w2′′ = −P1 w1′′ (4.43b) 3 EIw3′′′′ + λc w3′′ + kw3 − k1 w3′′ = −EI(4w1′′′ w1′′ w1′ + w1′′ ) − λ1 w2′′ (4.43c) k1 λc 2 2 2 −λ2 w1′′ − w1′′ w1′ + kw1 w1′ + w1′′ w1′ 2 2 Il reste maintenant à résoudre chacune de ces trois équations afin de déterminer les différents termes de la série. Pour l’équation (4.43a), la résolution est simple car on retrouve l’équation d’équilibre linéarisée, la solution w1 (x) associée est donc la suivante (Eq. 4.44). w1 (x) = sin(ωx) (4.44) Pour la deuxième équation (Eq. 4.43b), la solution w1 déjà trouvée peut être reportée dans le second membre. La seule solution possible pour w2 est de poser w2 (x) = b sin(ωx), ce qui conduit à la condition de nullité de λ1 et donc à la solution triviale w2 (x) = 0 pour w2 . bEIω 4 − bλc ω 2 + bk + bk1 ω 2 = λ1 ω 2 =⇒ b (EIω 4 − λc ω 2 + k + k1 ω 2 ) = λ1 ω 2 {z } | =0 =⇒ ( λ1 = 0 w2 (x) = 0 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 106 La résolution de la troisième équation (Eq. 4.43c) passe tout d’abord par l’évaluation du second membre (Eq. 4.45) qui est maintenant possible grâce aux résolutions des deux premières équations. k1 λc −EI(4w1′′′ w1′′ w1′ + w1′′ 3 ) − λ1 w2′′ − λ2 w1′′ − w1′′ w1′ 2 + kw1 w1′ 2 + w1′′ w1′ 2 2 2   3 EI 6 3 2 2 2 6 = − ω + kω + λ2 ω sin(ωx) + (kω − 3EIω ) sin(3ωx) 8 8 8 (4.45) Comme pour la résolution de (4.43b), on retrouve la nullité du coefficient multiplicatif de sin(ωx), ce qui permet de déterminer λ2 (Eq. 4.46). λ2 = EI 4 3 ω − k 8 8 (4.46) L’équation à résoudre (Eq. 4.43c) peut donc être réécrite afin de déterminer le dernier terme du développement de w(x) (Eq. 4.47). 3 EIw3′′′′ + λc w3′′ + kw3 − k1 w3′′ = (kω 2 − 3EIω 6 ) sin(3ωx) 8 (4.47) D’où l’expression de w3 (x) obtenue facilement en posant w3 (x) = c sin(3ωx) et en identifiant la constante c (Eq. 4.48). 3ω 2 w3 (x) = 64  k − 3EIω 4 9EIω 4 − k  sin(3ωx) (4.48) Ainsi, l’écriture complète du déplacement transverse et de la charge appliquée près du point de bifurcation est la suivante (Eq. 4.49) :    2 k − 3EIω 4  3 3ω    w(x) = a sin(ωx) + a 64 9EIω 4 − k sin(3ωx)    EI 4 3  2  ω − k  λ = λc + a 8 8 (4.49) On retrouve ainsi l’équation de la branche bifurquée qui comme pour la poutre homogène est symétrique, la stabilité de celle-ci sera fonction du signe de λ2 . Pour déterminer le signe de λ2 , il est nécessaire de trouver son expression lorsque λc est minimum et donc correspond à la charge critique de la poutre. La minimisation de λc par rapport à n, déjà établie pour déterminer nc (4.42) conduit à la condition (4.50), ce qui permet de déterminer λ2 (Eq. 4.51). ω4 = k EI (4.50) Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 107 k k 3k − =− 8 8 4 (4.51) λ2 = Ainsi, lorsque la charge critique est minimale, le comportement post-bifurqué est instable. Le second terme de λ2 , lié à la rigidité de la fondation, est prépondérant devant le terme de flexion de la poutre. Il est de plus intéressant de noter que ce terme de flexion correspond exactement au terme déjà trouvé dans le cadre de la poutre homogène avec n = 1. Les deux méthodes conduisent donc aux deux mêmes résultats concernant la détermination du comportement post-flambage près du point de bifurcation. Une autre remarque concerne le terme d’ordre 3 du champ de déplacement transverse qui est complètement négligeable devant a. En effet, des estimations numériques montrent que même pour une valeur de a assez importante devant la longueur L de la poutre (a/L = 0.04), l’amplitude de ce terme n’atteint pas 1% de la valeur de a. De plus, on remarque que λ2 est indépendant de k1 , ce qui montre que le cisaillement ne joue aucun rôle dans le comportement post-bifurqué de la poutre, cependant celui-ci joue un rôle relativement important pour la valeur de la charge critique λc . Figure 4.11: Comportement post-bifurqué pour une poutre sur fondation à un paramètre : comparaison branche théorique et calculs E.F. non-linéaires (EI = 1.12 107 mm4 , L = 400 mm, k = 100 N.mm−2 ). Comme pour la poutre homogène, un très bon accord avec un calcul non-linéaire E.F. est mis en évidence (Fig. 4.11). Pour ce calcul, la fondation a été modélisée grâce à l’option ∗F OU N DAT ION qui permet d’appliquer des charges linéiques proportionnelles à une constante le long d’une poutre. Cette constante est directement associée au paramètre k déjà introduit. Les calculs présentés dans la figure (4.11) sont ceux d’une poutre sur fondation à un paramètre mais nous avons vu que le terme de cisaillement n’intervenait Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 108 pas dans le comportement post-bifurqué. Outre la courbe théorique, les autres courbes proviennent de calculs effectués à partir d’un défaut initial sur le mode pour trois valeurs différentes (a0 = 0.001mm; 0.005mm; 0.01mm). Références bibliographique Lee & Waas, 1996 Lee, S. and Waas, A. (1996). Initial post-buckling behavior of a finite beam on an elastic foundation. Int. J. Non-Linear Mechanics, 31(3) :313– 328. Léger et al., 1998 Léger, A., Combescure, A., and Potier-Ferry, M. (1998). Bifurcation, flambage, stabilité en mécanique des structures. Technical report, IPSI. Wu & Zhong, 1999 Wu, B. and Zhong, H. (1999). Postbuckling and imperfection sensitivity of fixed-end and free-end struts on elastic foundation. Archive of Applied Mechanics, 69 :491–498. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 109 5. Plaques Sommaire 5.1 5.2 5.3 Plaques et coques - généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1.1 Définition d’une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.2 Cas des coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Plaques planes de Love-Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2.1 Cinématique en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.2 Champ de déplacement complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.3 Déformations et contraintes généralisées . . . . . . . . . . . . . 117 5.2.4 Équations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2.5 Introduction des efforts tranchants . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2.6 Exemples de plaque de Love-Kirchhoff en flexion . . . . . . . . 131 Plaques de Hencky-Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3.1 Cinématique et déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3.2 Équations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.3.3 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 110 Plaques 111 Nous avons vu que les poutres, solides monodimensionnels, dérivaient de simplifications géométrique et cinématique d’un milieu 3D. Le principe de base est que, comptetenu des faibles dimensions des sections par rapport à la dimension principale de la ligne moyenne, le déplacement de tout point de la poutre peut être exprimé simplement en fonction des déplacements et rotations des sections mesurés en leur centre de gravité. Dans le cas des plaques et coques, cette fois seule une des dimensions est faible devant les autres. L’idée reste la même que dans les poutres, à savoir que le déplacement, dans l’espace, de tout point de la plaque peut s’exprimer en fonction des déplacements et rotations des sections (brins) qui se comportent comme des solides (barres) indéformables. Mais cette fois, les sections (voisines) sont reliées entre elles par un feuillet moyen (Figure 5.1), donc dans le plan, et non plus le long d’une ligne moyenne. La différence entre plaque et coque peut être comparée à la distinction qui est faite entre poutres droites et poutres courbes. Si bien que les problèmes de coques deviennent assez vite complexes à traiter du fait de l’expression des grandeurs physiques, et donc des équilibres statiques, par rapport à la courbure locale. Les modèles de plaque et de coques font encore actuellement l’objet de nombreux développements scientifiques, essentiellement pour représenter le plus finement possible les effets ’3D’ avec le moins d’efforts de calculs. Dans notre cas, les théories ’classiques’ sont développées et assimilées dans le cas des plaques. À travers ce chapitre, on recourra systématiquement au Principe des Puissances Virtuelles pour établir les équations d’équilibre intérieur et aux bords. Pour cela, on partira de la cinématique posée qui nous permettra d’exprimer les déformations par dérivation. Ensuite, les contraintes seront déduites, via la loi de comportement qui prendra une forme particulière. Finalement, le PPV pourra être explicité complètement, et le choix particulier du champ de déplacement virtuel conduira aux équations d’équilibres. L’intérêt de l’utilisation du PPV dans le cas des plaques et coques devient vite évident comptetenu de la complexité des équilibres, notamment sur les bords qui peuvent être aussi bien rectilignes que courbes. Dans ce dernier cas, l’intuition seule du mécanicien peut être rapidement mise en défaut. 5.1 Plaques et coques - généralités Il existe différentes configurations de plaques. Dans la littérature, les plaques sont très souvent classées selon leur géométrie (plaque plane, circulaire), la sollicitation subie (charges ponctuelles, réparties), mais également selon leur comportement type (membrane, flexion) et la prise en compte ou non du cisaillement transverse. Pour ce dernier aspect, on distingue les plaques sans cisaillement (souvent minces et homogènes dans leur épaisseur), dites plaques de Love-Kirchhoff, et les plaques prenant en compte le cisaillement (souvent épaisses et/ou hétérogènes dans leur épaisseur), dites plaques de HenckyMindlin. On peut rapprocher ces théories des cinématiques de poutres, respectivement Plaques 112 Bernoulli et Timoshenko. 5.1.1 Définition d’une plaque On appelle plaque un corps solide dont une des dimensions (appelée épaisseur) est petite devant les autres. Typiquement, le rapport de la taille caractéristique de la plaque sur l’épaisseur est : Rh > 5. La surface moyenne de la plaque, appelée également feuillet moyen, est plane. On note ω le domaine de l’espace plaque  occupé  par le plan moyen de la !   x 1   x1   h (Figure 5.1). Le corps occupe le domaine Ω =  x2  / ∈ ω, |x3 | ≤ 2 .   x2   x 3 Figure 5.1: Définition d’une plaque et système d’efforts associé. Comme dans le cas des poutres, les grandeurs vont maintenant être définies non plus en 3D, mais dans le plan et selon l’épaisseur de la plaque. Nous allons donc distinguer les grandeurs (déplacements, déformations, efforts, contraintes, ...) relatives au plan de la plaque et dans la direction transverse. Posons, par convention, que les indices grecques (α, β, δ, γ, . . .) prennent les valeurs de 1 à 2, les indices romains (i, j, k, l, m, . . .) étant réservés aux sommations de 1 à 3. Dans ce cas, les efforts par exemple (volumiques et surfaciques) seront décomposés de la façon suivante (voir Figure 5.1) :  → − − − − − − x ) = fα (→ x )→ x α + f3 (→ x )→ x3  f (→ α = 1, 2 −d →  → − − → − − → − d → d → F ( x ) = F α ( x ) x α + F 3 ( x ) x3 5.1.2 Cas des coques Dans le cas général des coques, le plan moyen est courbe (Figure 5.2). Il en résulte que toutes les grandeurs s’expriment par rapport aux courbures locales. On distingue Plaques 113 alors divers cas selon que la coque est simplement courbée, à courbure double, ou encore cylindrique. Figure 5.2: Définition d’une coque et repère local. 5.2 Plaques planes de Love-Kirchhoff Dans le cas des plaques de Love-Kirchhoff, le cisaillement transverse est négligé, principalement du fait l’épaisseur supposée très petite devant la taille caractéristique du plan de la plaque. Cette théorie s’applique donc en premier lieu aux plaques minces, c’est-à-dire dont le rapport de la taille caractéristique sur l’épaisseur Rh ≥ 10. Pour cette étude des plaques, nous nous plaçons dans le cadre de la RdM et faisons les hypothèses classiques des petites déformations et des petits déplacements (HPP). Dans ce cadre, la configuration géométrique finale sera confondue avec la configuration initiale (pas de forces suiveuses par exemple). Le matériau constitutif de la plaque est homogène élastique linéaire isotrope. Hypothèses de Love-Kirchhoff et flexion pure Le cadre des plaques de Love-Kirchhoff repose sur les hypothèses suivantes : Hyp. L-K1 Dans le cadre de l’hypothèse de Love-Kirchhoff, la cinématique d’un brin de matière normal au plan moyen s’apparente au mouvement d’un corps solide (pas de déformation transverse possible). Ceci équivaut à l’hypothèse de Navier dans les poutres. Hyp. L-K2 La seconde hypothèse de Love-Kirchhoff est que ce ’brin’ isolé par l’esprit reste perpendiculaire au plan moyen tout au long de la déformation. Ceci équivaut à Plaques 114 l’hypothèse de Bernoulli pour les poutres, conduisant à négliger les déformations de cisaillement. À partir de la première de ces hypothèses, on déduit que le déplacement perpendiculaire à la plaque est indépendant de la variable x3 de l’épaisseur. Il est égal au déplacement du centre de gravité du brin : u3 (x1 , x2 , x3 ) = u3 (x1 , x2 , 0) = w(x1 , x2 ) 5.2.1 (5.1) Cinématique en flexion Afin de simplifier la mise en place de la théorie des plaques de Love-Kirchhoff, dans un premier temps nous considérerons uniquement le cas de la flexion simple. Dans ce cadre, on suppose que les efforts imposés sont uniquement des efforts transverses, c’est− − à-dire qu’aucune sollicitation statique volumique (fα (→ x ) = 0) ou ponctuelle (Fαd (→ x) = 0), et aucun déplacement de membrane qui pourrait donner lieu à des déplacements de membrane, n’est imposé dans le plan moyen. Les seuls chargements sont, pour le moment, − − f3 (→ x ) 6= 0, F3d (→ x ) 6= 0 et des moments appliqués sur le bord de la plaque. Nous avons établi la forme du déplacement transverse en tout point de la plaque (Eq. 5.1), on peut alors définir le champ de déplacement 2D caractérisant le déplacement de tout point de la plaque. Toujours dans le cas de la flexion pure, pour définir ce champ de déplacement, on peut raisonner de deux façons différentes. Intégration des déformations On suppose que les efforts imposés restent faibles. On en déduit directement que les conditions de bord libre sont vérifiées pour la surface : − − − →∈ω σ(xα , x3 = ± h2 ) · → n = 0 avec → n =→ x3 , ∀− x α (5.2) ֒→ σ13 = σ23 = σ33 = 0 ⇔ σi3 = 0 D’après la minceur supposée de la plaque, on peut penser que ces contraintes vont être nulles également à l’intérieur de la plaque. Pour un matériau constitutif élastique linéaire, ceci correspond à des déformations εα3 ≈ 0 (σα3 = 2µεα3 ) : ∂uα ∂w + ∂x3 ∂xα ↓ on intègre en x3 2εα3 ≈ 0 = ∂w + O(x23 ) ∂xα Comme pour l’instant seule la flexion est considérée, le déplacement de membrane du feuillet moyen uα (x1 , x2 , 0) est pris nul. Finalement, le champ de déplacement de flexion ֒→ uα (x1 , x2 , x3 ) = uα (x1 , x2 , 0) − x3 Plaques 115 en HPP s’écrit simplement : uα (x1 , x2 , x3 ) = −x3 ∂w(x1 , x2 ) . ∂xα Construction géométrique On peut également observer le déplacement des brins matériels entre l’état initial et l’état final, comme représenté sur la Figure 5.3. Dans le cas de la flexion pure, les points Figure 5.3: Rotation des brins due à la flexion seule. de la ligne moyenne ne subissent pas de déplacement dans le plan, mais seulement des déplacements transverses tels que précisés dans l’Eq. 5.1. Considérons les rotations des − − − − sections dues à la flexion dans les deux plans (O, → x1 , → x3 ) et (O, → x2 , → x3 ), telles que présentées respectivement sur les Figures 5.4-a et 5.4-b. − − Considérons la rotation des sections dans le plan (O, → x1 , → x3 ), représentée sur la Figure 5.4− a. Le déplacement d’un point M a donc deux composantes dans ce plan : → u (x1 , x2 , x3 ) = −−−→′ −−−→′ → − w(x1 , x2 )x3 + M M . Cette distance M M se calcule à partir de l’angle φ2 et de l’altitude du point M , ce qui dans notre cas conduit à : ! −−−→′ x3 sin φ2 MM = x3 (1 − cos φ2 ) − →− → (O,x1 ,x3 ) Compte-tenu de l’hypothèse des petites rotations, cette expression se simplifie : sin α ≈ α −−−→ − et cos α ≈ 1. Ce qui conduit à M M ′ = x3 φ2 → x1 . L’angle de rotation φ2 est, grâce à l’hypothèse L-K2, par construction géométrique − directement égal à la variation du déplacement transverse le long de → x1 . On notera que pour avoir une rotation positive, il est nécessaire d’imposer un déplacement transverse négatif, comme illustré sur la Figure 5.4-a. Au final, le déplacement résultant s’écrit alors Plaques 116 (a) (b) Figure 5.4: Rotation des sections dans (a) le plan (O, x1 , x3 ) et (b) dans le plan (O, x2 , x3 ) pour une plaque en flexion pure. simplement en fonction de l’altitude et du gradient de déplacement transverse : φ2 (xα ) = − ∂w(x1 , x2 ) ∂x1 ∂w(xα ) − u1 ( → x ) = −x3 ∂x1 (5.3) − − En considérant les mêmes hypothèses dans le plan (O, → x2 , → x3 ), on aboutit au champ de déplacement complet pour les plaques minces en flexion pure (Eq. 5.4). On notera que, conformément à la Figure 5.4-b, la rotation φ1 est positive pour un déplacement transverse positif :  ∂w(x1 , x2 )  −  uα ( → x ) = −x3 → − → − ∂xα u(x)=   w(→ − x ) = w(x , x ) 1 (5.4) 2 Dans la suite, on pourra noter, pour des raisons de concision, les dérivées partielles avec ∂f = f,i . des indices : ∂x i 5.2.2 Champ de déplacement complet Les déplacements étant établis pour la flexion seule, nous pouvons aisément étendre ce champ de déplacement de façon à représenter tous les déplacements dans l’espace de tout point de la plaque. Comme dans le cas des poutres droites à plan moyen (Eq. 2.1), le torseur de déplacement de tout point de la plaque s’écrit simplement à partir des déplacements de membrane et des rotations du centre de gravité du brin considéré. Mais ici, les rotations et les déplacements de membrane se décomposent selon les deux directions → − − − − − − du plan de la plaque : φ (xα ) = φ1 (xα )→ x1 + φ2 (xα )→ x2 et → u (xα ) = u1 (xα )→ x1 + u2 (xα )→ x2 . Plaques 117 Le déplacement peut se mettre sous la forme d’un torseur des déplacements :     w,2 (xα )     → −     φ (x ) = −w (x )   α ,1 α         0             → − − − →   − → → −    uM (xα ) = u (xα ) + M G ∧ φ (xα )  {UM (xα )} = u1 (xα ) 0 w,2 (xα )         = ∧ −w,1 (xα ) u2 (xα ) + 0         w(x ) −x 0   α 3             u (x ) − x w (x )   α α 3 ,α α   =     w(xα ) (5.5) (M ) 5.2.3 Déformations et contraintes généralisées Connaissant le champ de déplacement, le tenseur des déformations se déduit simplement dans le cas des plaques. La loi de comportement permet ensuite d’en déduire les contraintes, puis les contraintes généralisées. Déformations es déformations s’écrivent donc simplement, en petites déformations, comme la partie symétrique du gradient des déplacements. En petites déformations et dans notre cadre 2D , dans un repère cartésien le tenseur gradient des déplacements est :   ∂ 2 w(xα ) ∂u1 (xα ) ∂ 2 w(xα ) ∂u1 (xα ) − x3 − x3 0   ∂x ∂x21 ∂x2 ∂x1 ∂x2 1     2 2 → −  ∂u2 (xα ) ∂ w(xα ) ∂u2 (xα ) ∂ w(xα ) (5.6) ∇( u ) =   − x3 0  2  ∂x1 − x3 ∂x2 ∂x1  ∂x ∂x 2 2   0 0 0 Compte-tenu de la forme de ce tenseur, on l’écrit généralement directement sous une forme 2D simplifiée. On peut, de plus, faire apparaître les tenseurs de déformations de membrane, noté e(xα ), et de courbure, noté κ(xα ), mais en 2D :  ∂u1 (xα )  ∂x1 ε2D (xα ) =   sym | = 1 2  ∂u1 (xα ) ∂u2 (xα ) + ∂x2 ∂x1 ∂u2 (xα ) ∂x2 {z e(xα )  ∂ 2 w(xα ) ∂ 2 w(xα ) −  − ∂x2  ∂x1 ∂x2    1  + x3    2  ∂ w(xα )  sym − ∂x22 } | {z } + x3 κ(xα ) (5.7)    Plaques 118 ou encore sous forme indicielle, ces déformations s’écrivent :    2  ∂ w(xα ) 1 ∂uα ∂uβ 2D + x3 − + εαβ (xα ) = 2 ∂xβ ∂xα ∂xα ∂xβ | | {z } {z } = eαβ (xα ) + x3 καβ (xα ) Contraintes généralisées Connaissant les déformations généralisées, il est très simple d’expliciter les contraintes via la loi de comportement du matériau constitutif, puis les contraintes généralisées. Ces contraintes généralisées résultent, par définition, de l’intégrale sur l’épaisseur de la plaque du torseur résultant du transport du vecteur contrainte (relativement à la normale courante) au centre de gravité du brin considéré. On définit, comme dans le cas des poutres 3D, les contraintes généralisées de membrane (Eq. 5.8a) et de courbure (Eq. 5.8b), qui ont respectivement la dimension de force par unité de longueur et de moment par unité de longueur : Z 2D Nαβ (xα ) = σαβ (xα )dx3 (5.8a) x3 Mαβ (xα ) = Z x3 2D x3 σαβ (xα )dx3 (5.8b) On peut représenter ces contraintes généralisées sur une plaque, comme sur la Figure − − 5.5 dans le cas d’une plaque rectangulaire, possédant donc deux normales → x1 et → x2 . Les contraintes généralisées de membrane sont représentées aisément (Figure 5.5-a). Les moments de flexion M11 et M22 sont également représentés assez intuitivement, par contre le moment de torsion M12 dû aux contraintes de cisaillements est plus délicat à représenter, il tend en fait à gauchir le plan de la plaque (Figure 5.5-b). Loi de comportement Nous pouvons maintenant relier les contraintes aux déformations, puis les contraintes généralisées au torseur des déformations (Eq. 5.7). Considérons pour cela un matériau constitutif isotrope élastique linéaire. La loi de comportement ’matériau’ s’écrit donc classiquement, en raideur ou en souplesse :   ν σ11  − (σ22 + σ33 ) ε11 = σ = (λ + 2µ)ε + λε + λε   11 11 22 33   E E     ν σ22     σ22 = λε11 + (λ + 2µ)ε22 + λε33 ε22 = − (σ11 + σ33 )       E E   σ ν 33 σ33 = λε11 + λε22 + (λ + 2µ)ε33 ε33 = − (σ11 + σ22 ) E E       σ12   σ = 2µε 12 12   ε12 =     2G      σα3 = 2µεα3   εα3 = σα3 2G Plaques 119 (a) (b) Figure 5.5: Contraintes généralisées (a) de membrane et (b) de flexion sur une surface élémentaire de plaque. On rappelle que les conditions de bords libres se traduisent par σi3 = 0 (Eq. 5.2). Nous avons vérifié σα3 = 0 pour établir la cinématique des plaques minces. Par contre, il reste à vérifier σ33 = 0. Cette condition conduit, via la loi de comportement écrite en souplesse, à une déformation normale transverse ε33 non nulle, ce qui va à l’encontre de la cinématique établie qui donne une composante 33 nulle pour le tenseur de déformations (Eq. 5.6). En fait, cette déformation normale transverse à la plaque est induite par effet de Poisson, elle est donc proportionnelle aux déformations de membranes : − − − ε33 (→ x ) = −νε22 (→ x ) = −νε11 (→ x ). La déformation normale transverse est donc, pour les matériaux courants, de l’ordre de 30% des déformations dans le plan. Mais, compte-tenu Plaques 120 1 de la taille caractéristique du plan, de l’épaisseur de la plaque qui est au maximum de 10 3 la variation de l’épaisseur de la plaque est donc très faible, en l’occurrence : νRh < 100 . L’erreur commise en utilisant la cinématique négligeant cette déformation est donc très faible. On peut toutefois, sans problème, prendre en compte cette déformation. En se plaçant dans une hypothèse de contraintes planes valable pour des plaques fines, la condition de contrainte normale transverse nulle en surface de la plaque est vérifiée, et une relation entre la déformation normale transverse ε33 et les déformations normales ε11 et ε22 dans le plan en découle : σ33 = λε11 + λε22 + (λ + 2µ)ε33 = 0 ⇒ ε33 = − λ (ε11 + ε22 ) λ + 2µ (5.9) La loi de comportement en contraintes planes s’exprime simplement : 1 (σ11 − νσ22 ) E 1 ε22 = (σ22 − νσ11 ) E {z } | ↓ 1 − ν2 ε11 + νε22 = σ11 E 1 − ν2 σ22 ε22 + νε11 = E ε11 = (5.10) ce qui se met classiquement sous la forme matricielle suivante : 2D σαβ =  E  2D (1 − ν)ε2D αβ + νεγγ δαβ 2 1−ν (5.11) La loi de comportement de la plaque s’exprime simplement, en introduisant la loi de comportement en contraintes planes (Eq. 5.11) dans les expressions des contraintes généralisées (Eqs. 5.8a et 5.8b) : Z  E  2D (1 − ν)ε2D Nαβ (xα ) = αβ + νεγγ δαβ dx3 2 x3 1 − ν Mαβ (xα ) = Z x3  E x3  2D (1 − ν)ε2D αβ + νεγγ δαβ dx3 2 1−ν Dans le cas le plus général, où le matériau constitutif peut varier à travers l’épaisseur de la plaque, comme dans le cas des matériaux composites stratifiés par exemple, on obtient comme dans le cas des poutres 3D (Eq. 1.15) une expression générale : ( Nαβ (xα ) Mαβ (xα ) ) = " [A] [B] [B] [D] # ( · eαβ (xα ) καβ (xα ) ) (5.13) Plaques 121 où les sous-matrices [A], [D] et [B] représentent respectivement les rigidités de membrane, de flexion, et le couplage entre les comportements de membrane et de flexion. Pour une plaque homogène possédant des propriétés mécaniques identiques dans toute son épaisseur, la sous-matrice [B] est nulle et les comportements de membrane et de courbure sont indépendants. Les rigidités de membrane et flexion se réduisent à des scalaires : Nαβ (xα ) = Mαβ (xα ) = E(xα ) h [(1 − ν)eαβ + νeγγ δαβ ] 1 − ν 2 (xα ) | {z } Z h 2 E(xα ) A(xα ) = dx3 2 (x ) 1 − ν α −h 2 E(xα ) h3 [(1 − ν)καβ + νκγγ δαβ ] 12(1 − ν 2 (xα )) | {z } Z h 2 E(xα ) x23 D(xα ) = dx3 2 (x ) 1 − ν α −h 2 (5.14a) (5.14b) avec A(xα ) la rigidité de membrane et D(xα ) la rigidité de flexion qui peuvent le cas échéant dépendre de la position sur la plaque. Comme dans le cas des poutres, la rigidité de membrane dépend essentiellement de la surface latérale de la plaque, tandis que la rigidité de flexion dépend essentiellement de l’épaisseur de la plaque. On retrouve également des lois de comportement de forme similaire à celles des poutres pour une section symétrique par exemple : N (x1 ) = ESe1 (x1 ) et Mf α (x1 ) = EIα κα (Eqs. 1.14). Remarque : afin d’être consistant du point de vue de l’énergie issue des termes de cisaillement, il est nécessaire de préciser la mesure du cisaillement considérée ainsi que la façon d’exprimer la loi de comportement. Pour cela, comparons l’énergie de déformation en cisaillement caractérisant la plaque sous diverses formes. Partant de l’énergie de déformation en cisaillement Z Z 1 1 → − → − → − → − − − (σ12 ( x )ǫ12 ( x ) + σ12 ( x )ǫ21 ( x )) dΩ = 2 σ12 (→ x )ǫ12 (→ x )dΩ Wcis = 2 Z Ω Z 2 Ω  1 σ12 (xα )ǫ12 (xα ) dx3 dω 2 = (5.15) 2 ω x3  Z Z Z 1 1 = 2 4 G h ǫ212 (xα )dω 2 G ǫ12 (xα ) ǫ12 (xα ) dx3 dω = 2 ω 2 ω x3 et par définition de l’énergie de déformation en cisaillement dans le cas des plaques : Z Z 1 1 (N12 (xα ) e12 (xα ) + N21 (xα ) e21 (xα )) dω = 2N12 (xα ) e12 (xα )dω Wcis = 2 ω 2 ω avec la loi de comportement en membrane de la plaque qui s’écrit, pour un matériau constitutif homogène isotrope élastique linéaire : Nαβ (xα ) = E(xα ) h [(1 − ν)eαβ + ν eγγ δαβ ] 1 − ν 2 (xα ) N12 (xα ) = Eh e12 (xα ) = 2 G h e12 (xα ) 1+ν Plaques 122 l’énergie de déformation en cisaillement s’écrit alors : Z 1 par définition de (5.15) 4 G h e212 (xα )dω −−−−−−−−−−−−−→ e12 = ǫ12 Wcis = 2 ω Par contre, le stockage sous la forme de Voigt (passage d’un tenseur d’ordre 2 symétrique à un vecteur à 6 composantes) est tel que la contribution de l’effort de cisaillement apparaît une seule fois :          e N × × ×   11   11    = × × × · e22 N22      e   N  × × Gh 12 12 et dans ce cas la déformation considérée sera, en général, celle au sens de l’ingénieur e12 = 2ǫ12 (et la courbure double κ12 2κ12 ) afin de ne pas modifier la structure de la loi de comportement ’matériau’, et obtenir une énergie de cisaillement cohérente avec l’expression (5.15) issue de l’expression générale : Z Z 1 1 N12 (xα ) e12 (xα )dω = 4 G h ǫ212 (xα )dω Wcis = 2 ω 2 ω 5.2.4 Équations d’équilibre Équilibre intérieur Pour établir ces équations d’équilibre, nous allons recourir au PPV. Établissons tout d’abord la puissance virtuelle des efforts intérieurs (défini en 1.19 page 24) en choisissant un champ virtuel de la forme de la cinématique de Love-Kirchhoff : Z −∗ ∗ → Pint (u ) = − σ M : ǫ∗M dΩ Ω  Z Z 2D 2D ∗ (xα )dx3 dω σ (xα ) : ǫ = − x3 ω  Z Z
2D ∗ ∗ σ (xα ) : e (xα ) + x3 κ (xα ) dx3 dω = − x3 ω   Z Z Z Z 2D ∗ 2D σ (xα )dx3 : e (xα )dω − = − x3 σ (xα )dx3 : κ∗ (xα )dω ω ω } {z } | x3 {z | x3 N(xα ) M(xα ) (5.16) En introduisant les tenseurs des contraintes généralisées de membrane (N(xα ) défini dans l’Eq. 5.8a) et de flexion (ou moments fléchissants M(xα ) définis dans l’Eq. 5.8b) dans cette expression de la puissance virtuelle des efforts intérieurs, on aboutit à − ∗ → Pint ( u∗ ) = − Z ω
Nαβ (xα )e∗αβ (xα ) + Mαβ (xα )κ∗αβ (xα ) dω Plaques 123 L’écriture du PPV requiert l’écriture de la puissance virtuelle des actions extérieures. Pour cela, définissons la pression p(xα ) qui règne sur la plaque suivant la normale → − x3 . Cette pression, définie dans l’Eq. 5.17a est la somme de l’intégration sur l’épaisseur des forces de volume relativement à la normale à la plaque, mais aussi du différentiel d’efforts surfaciques appliqués de part et d’autre de la plaque (Figure 5.6). Il existe d’autre part des efforts répartis dans le plan de la plaque réunis dans un terme pα (xα ) (5.17b). Z h 2 + − p(xα ) = F3 (xα ) + F3 (xα ) + f3 (xα )dx3 (5.17a) avec pα (xα ) = Z ( −h 2 − F3+ (xα ) = σ(xα , h2 ) · → x3 − − −h x3 F3 (xα ) = −σ(xα , 2 ) · → h 2 −h 2 fα (xα )dx3 (5.17b) Enfin des efforts et moments sont imposés sur le contour ∂ω de la plaque de normale → − ν (xα ). La puissance virtuelle induite par ces termes de bord, qui sont des réactions sur ∂ωu et des contraintes statiques sur ∂ωF , est un peu plus délicate à expliciter, nous nous y intéresserons plus spécifiquement ultérieurement. Pour l’instant, regroupons la → − ∗ contribution de ces efforts imposés par le contact avec l’extérieur sous le terme Pcontact (u∗ ). Figure 5.6: Efforts extérieurs agissant sur une plaque. Finalement, le PPV s’écrit pour les plaques de Love-Kirchhoff : − − → − ∗ → ∗ → Pint (u∗ ) + Pext (u∗ ) = 0, ∀u∗ Z
Nαβ (xα )e∗αβ (xα ) + Mαβ (xα )κ∗αβ (xα ) dω+ ⇔ − Z ω → − → − ∗ (p(xα )w∗ (xα ) + pα (xα )u∗α (xα )) dω + Pcontact (u∗ ) = 0, ∀u∗ ω (5.18) Plaques 124 Essayons d’exprimer ces quantités de façon homogène par rapport au déplacement virtuel. Notamment la puissance virtuelle des efforts intérieurs peut être intégrée par partie pour faire apparaître les grandeurs à l’intérieur de la plaque et sur ses bords : Z
−∗ ∗ → Nαβ (xα )e∗αβ (xα ) + Mαβ (xα )κ∗αβ (xα ) dω Pint (u ) = − ω ↓ par symétrie des tenseurs des déformations Z
∗ Nαβ (xα )u∗α,β (xα ) − Mαβ (xα )w,αβ (xα ) dω = − ω ↓ intégration par parties en β Z Z
∗ ∗ Nαβ,β uα − Mαβ,β w,α dω − = ω ∂ω
∗ νβ ds Nαβ u∗α − Mαβ w,α ↓ intégration par parties en α Z Z
∗ ∗ ∗ Nαβ νβ u∗α − Mαβ νβ w,α + Mαβ,β να w∗ ds (Nαβ,β uα + Mαβ,αβ w ) dω − = ω {z } | ∂ω Z → −∗ ∗ (Nαβ,β u∗α + Mαβ,αβ w∗ ) dω − Pint = bord ( u ) ω (5.19) La composante de la puissance virtuelle des efforts intérieurs le long du bord de la plaque, → −∗ ∗ notée Pint bord ( u ), sera utilisée ultérieurement pour expliciter les conditions statiques et cinématiques sur ce bord. Nous cherchons ici à établir les équations d’équilibre intérieur. Écrivons le PPV (Eq. 5.18) en utilisant la nouvelle forme de la puissance virtuelle des efforts intérieurs (Eq. 5.19) : Z → − → − → − ∗ ∗ (Nαβ,β u∗α + Mαβ,αβ w∗ + pw∗ + pα u∗α ) dω − Pintbord (u∗ ) + Pcontact (u∗ ) = 0, ∀u∗ ω (5.20) En choisissant un champ virtuel nul au bord de la plaque et non nul à l’intérieur, on en déduit aisément les équations d’équilibre locales qui sont découplées entre membrane et direction transverse : Nαβ,β (xα ) + pα (xα ) = 0 (5.21a) Mαβ,αβ (xα ) + p(xα ) = 0 (5.21b) Remarque : on notera la similitude de ces équations avec, par exemple, les équations 2 M (x) d’équilibre des poutres droites de Bernoulli : dNdx(x) + px = 0 et − d dx + py = 0 en 2 l’absence de moments répartis. Plaques 125 Équations de Navier Ces équations d’équilibre en contraintes (Eqs. 5.21) peuvent s’exprimer en fonction des déplacements seulement en y injectant les lois de comportement (Eqs. 5.14a et 5.14b), ce sont alors les équations de Navier. Considérons le cas de la flexion pure par exemple, pour une plaque dont les propriétés géométriques et mécaniques sont invariantes dans l’espace : D(xα ),α = 0. Dans ce cas, les équations de Navier sont : Mαβ,αβ (xα ) + p(xα ) = 0 ⇔ D {(1 − ν)καβ,αβ + νκγγ,αβ δαβ } + p(xα ) = 0   2 2   ∂ καβ ∂ κγγ +ν δαβ + p(xα ) = 0  ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ {z } | ∂ 2 κγγ ν ∂x2α ∂ 2 κ12 (xα ) ∂ 2 κ11 (xα ) ∂ 2 κ22 (xα ) ∂ 4 w(xα ) en remarquant que 2 = + = 2 ∂x1 ∂x2 ∂x22 ∂x21 ∂x21 ∂x22 ⇔ D (1 − ν)  ⇔ −D ↓  ∂ 4 w(xα ) ∂ 4 w(xα ) ∂ 4 w(xα ) + 2 + ∂x41 ∂x21 ∂x22 ∂x42 ∆· = ∂ 2· ∂ 2· + ∂x21 ∂x22  + p(xα ) = 0 Laplacien en cartésien ⇔ −D ∆2 w(xα ) + p(xα ) = 0 (5.22) Remarque : de nouveau, cette expression est comparable à l’équation d’équilibre local 4 v(x) + py = 0 d’une poutre droite de Bernoulli en flexion pure : −EI d dx 4 5.2.5 Introduction des efforts tranchants Pour expliciter complètement le problème à résoudre, il reste à établir les conditions d’équilibre au bord. Dans ce cas, il est nécessaire d’introduire les efforts tranchants qui jusqu’ici n’ont pas été pris en compte. En effet, même si les déformations de cisaillement transverse sont négligées, comme dans le cas des poutres de Bernoulli il est indispensable de prendre en compte ces efforts tranchants susceptibles d’induire notamment de la flexion. Par définition, les efforts tranchants résultent de l’intégration sur l’épaisseur des contraintes de cisaillement : Z σα3 (xα )dx3 (5.23) Qα (xα ) = x3 Plaques 126 Pour caractériser l’équilibre de la plaque en prenant en compte ces efforts tranchants, considérons l’équilibre d’un élément de plaque en projection dans le plan et à travers l’épaisseur :  ∂σαβ ∂σα3   + + fα = 0  ∂xβ ∂x3 ∂σij + fi (2D) (5.24) (3D)  ∂xj ∂σα3 ∂σ33   + + f3 = 0 ∂xα ∂x3 La seconde équation peut être intégrée directement : Z h 2 −h 2 (σi3,i + f3 )dx3 = Z  h 2 −h 2  ∂σα3 ∂σ33 + + f3 dx3 = 0 ∂xα ∂x3 Z h h 2 ∂Qα f3 (xα )dx3 = + [σ33 (x3 )]−2 h + ∂xα 2 −h 2 {z } | = Qα,α + p(xα ) =0 (5.25) Cette équation traduit l’équilibre entre les effort répartis transverses et la variation des efforts tranchants dans le plan. Faisons maintenant apparaître les moments de flexion, tels que définis en 5.8b. Pour cela considérons la première équation, qui caractérise l’équilibre dans le plan, et intégrons son produit avec l’altitude à travers la plaque : Z h 2 −h 2 x3 (σαi,i + fα )dx3 = ∂ = ∂xβ = Z | h 2 −h 2 Z x3 σαβ dx3 − {z } ∂ Mαβ − ∂xβ h 2 −h 2 Z | x3 h 2 −h 2   ∂σαβ ∂σα3 + + fα dx3 = 0 ∂xβ ∂x3 h 1 × σα3 dx3 + [x3 σα3 (x3 )]−2 h 2 {z } {z } | Qα + 0(Eq. 5.2) Finalement, les équations d’équilibre intérieur sont : Équations d’équilibre intérieur des plaques de Love-Kirchoff (5.26) Plaques 127 Nαβ,β (xα ) + pα (xα ) = 0 (5.27a) Mαβ,β (xα ) − Qα (xα ) = 0 (5.27b) Qα,α (xα ) + p(xα ) = 0 (5.27c) On note que les équations 5.27b et 5.27c combinées sont équivalentes à l’équation 5.21b établie précédemment sans les efforts tranchants. Remarque : on notera la similitude de ces équations avec, par exemple, les équations d’équilibre des poutres droites de Bernoulli : dNdx(x) + px = 0, dMdx(x) + T (x) + cZ = 0, et dT (x) + py = 0. dx Conditions au bord Pour définir complètement le problème, il reste à exprimer les conditions aux limites statiques et cinématiques, c’est-à-dire sur le bord ∂ω de la plaque. Afin de déterminer la forme des efforts que l’on peut imposer sur le bord de la plaque, on propose d’utiliser les termes de bord du PPV tel que définis dans l’Eq. 5.19. Considérons dans cet équilibre un champ virtuel nul à l’intérieur du domaine. La nullité des puissances virtuelles développées par les réactions aux appuis conduit à trois types de conditions aux limites s’excluant sur les bords : → − → − → − ∗ ∗ (Eq.5.20) → Pintbord (u∗ ) = Pcontact (u∗ ), ∀u∗ ∈ ∂ω m → − ∗ Pcontact ( u∗ ) = Z ∂ω  Nαβ νβ u∗α m   Nαβ νβ = 0     Mαβ νβ = 0      Qα να = 0 ou − ∗ Mαβ νβ w,α ∗  + Mαβ,β να w ds (5.28) | {z } Qα να d’après (5.27b)   uα (xα ) = 0     w,α (xα ) = 0      w(xα ) = 0 (5.29) On peut donc affiner les types de conditions cinématiques et statiques que l’on peut imposer sur la plaque, qui sont de la forme des conditions ci-dessus (Eq. 5.29). Il suffit alors d’exprimer le travail des efforts de contact induits par les efforts extérieurs et les réactions, soit : Plaques 128 → − → − → − ∗ ∗ Pintbord (u∗ ) = Pcontact (u∗ ), ∀u∗ ∈ ∂ω Z m ∂ω Nαβ νβ u∗α − ∗ Mαβ νβ w,α + Qα να w
∗ ds = Z Z∂ωF ∂ωu
∗ Ndαβ νβ u∗α − Mdαβ νβ w,α + Qdα να w∗ (5.30) ds +
d∗ d∗ Nαβ νβ ud∗ ds α − Mαβ νβ w,α + Qα να w (5.31) Le travail virtuel produit par les efforts de réaction étant nul (Eq. 5.31), seul le terme sur le bord ∂ωF est non nul (Eq. 5.30). On en déduit les conditions statiques sur le bord en prenant un champ de déplacement virtuel non-nul sur ce bord, et les conditions cinématiques se déduisent naturellement pour un champ cinématiquement admissible. Au final, les conditions complètes sont :  
d   uα (xα ) = udα (xα ) ν = N − N β αβ αβ        
→ − d d ou champ u C.A. Mαβ − Mαβ νβ = w,α (xα ) = w,α (xα ) (5.32)        
  Qα − Qdα να = w(xα ) = wd (xα ) Il est essentiel de remarquer à ce point que l’intégration des équations de Navier en flexion pure par exemple (Eq. 5.22) requiert quatre conditions aux limites. Or, nous avons ici trois conditions aux limites sur chaque bord, soit une condition de plus que nécessaire. − − Par exemple, pour un bord libre de normale → ν =→ x 1 , on a les conditions qui se déduisent de (5.29) :    M11 = 0 (5.33) M12 = 0   Q =0 1 En fait cette forme de conditions aux limites (Eq. 5.28) a été initialement introduite par Poisson, mais Kirchhoff a montré (en 1850 !) que ces trois conditions étaient redondantes, et que deux seulement suffisaient pour déterminer complètement les flèches satisfaisant les équations de Navier (Eq. 5.22). En fait ce problème se ramène à déterminer localement les conditions aux limites à appliquer. En effet, la condition cinématique portant sur le ∗ gradient (w,α ) peut ne pas être triviale dans la plupart des cas. Et si on calcule ce gradient par rapport au repère global, on ne dispose pas des bonnes informations pour poser les conditions aux limites qui s’expriment par rapport au bord, et donc par rapport à la base locale formée par les vecteurs tangent et normal à l’abscisse curviligne s. Calculons ce gradient : −−→ ∂w(xα ) ∂s − → + ∂w(xα ) ∂ν − → x x grad (w(xα )) = α α ∂s ∂xα ∂ν ∂xα | {z | {z } } ∂w(xα ) ∂w(x ) α → − → − = τ + ν ∂s ∂ν Plaques 129 ∗ Donc la condition w,α (xα ) se traduit par : ∗ w,α (xα ) ⇔ ∂w∗ (xα ) ∂w∗ (xα ) τα + να = 0 ∂s ∂ν Cette dernière condition n’étant pas triviale, essayons d’exprimer la puissance virtuelle des efforts de bord en utilisant le calcul de ce gradient (Eq. 5.34). Considérons tout d’abord l’expression faisant intervenir le gradient du déplacement transverse :   ∗ Z Z ∂w (xα ) ∂w∗ (xα ) ∗ τα + να ds Mαβ νβ Mαβ νβ w,α ds = ∂s ∂ν ∂ω ∂ω Z Z ∂g ∂f ↓ remarque : le bord n’a pas de bord ! ⇒ f ds = − gds ∂ω ∂s ∂ω ∂s = − Z ∂ω  ∂ ∂w∗ (Mαβ νβ τα w∗ ) − Mαβ νβ να ∂s ∂ν  ds (5.34) En utilisant cette expression pour expliciter la puissance virtuelle des actions de contact (Eq.5.28), on aboutit aux conditions suivantes : ! ! Z ∗ → − ∂w ∂ ∗ (Mαβ νβ τα ) + Mαβ,β να w∗ − Mαβ νβ να Pcontact ( u∗ ) = dS Nαβ νβ u∗α + ∂s ∂ν ∂ω {z } | F (M, Q)   Nαβ νβ = 0      ∂ (Mαβ νβ τα ) + Qα να = F (M, Q) = 0  ∂s      M ν ν =0 αβ β α ou  uα (xα ) = 0       w(xα ) = 0 (5.35)       ∂w(xα ) = 0 ∂ν Dans ces équations d’équilibre au bord, la seconde quantité F (M, Q) est la plus difficile à appréhender, elle correspond en fait à un effort vertical. − Considérons l’exemple de plaque ci-dessous (Figure 5.7), de dimension a selon → x1 → − et b selon x et dont les faces référencées de 1 à 4 sont respectivement libre, encastrée, 2 en appui simple, et libre. Plaques 130 Figure 5.7: Illustration des conditions aux limites. Les conditions aux limites correspondantes se déduisent de 5.35 et s’écrivent : Face 1 : xα ∈ {a, 0 ≤ x2 ≤ b} − − − − normale → ν =→ x 1 et → τ =→ x2    N11 = N12 = 0 M12,2 + Q1 = 0   M =0 11 Face 3 : xα ∈ {0, 0 ≤ x2 ≤ b} − − − − normale → ν = −→ x 1 et → τ =→ x2    N11 = N12 = 0 w=0   M =0 11 Face 2 : xα ∈ {0 ≤ x1 ≤ a, b} − − − − normale → ν =→ x 2 et → τ =→ x1  u = u2 = 0    1 w=0  ∂w   =0 ∂x2 Face 4 : xα ∈ {0 ≤ x1 ≤ a, 0} − − − − normale → ν = −→ x 2 et → τ =→ x1    N22 = N12 = 0 M12,1 + Q2 = 0   M =0 22 (5.36) Plaques 5.2.6 131 Exemples de plaque de Love-Kirchhoff en flexion Comme les équations d’équilibre deviennent rapidement complexes à résoudre analytiquement dans le cas des plaques, nous allons traiter deux cas simples. Le premier cas est une plaque circulaire soumise à un champ de pression. La formulation du problème en coordonnées cylindriques du problème ramène la résolution à un problème 1D dont la solution s’exprime analytiquement. Dans le second cas, une plaque carrée est considérée. La solution est plus complexe, et on propose une approximation de Galerkin pour l’expliciter. Flexion d’une plaque circulaire On considère la plaque circulaire représentée sur la Figure 5.8, de rayon R, d’épaisseur h, constituée d’un matériau homogène élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de coefficient de Poisson ν. La plaque étant suffisamment mince par rapport à son rayon, et dans un état de flexion pure, on se placera dans le cadre de la théorie de LoveKirchhoff. Les conditions aux limites appliquées sur le contour de la plaque seront précisées ultérieurement. Figure 5.8: Plaque circulaire soumise à un champ de pression uniforme. On rappelle qu’en coordonnées cylindriques, dans le cas des plaques, les gradients, les courbures, et les laplaciens d’un scalaire sont les suivants : −−→ ∂U (r, θ) → 1 ∂U (r, θ) → − − grad U (r, θ) = er + eθ ∂r r ∂θ − − = u→ e +u → e r r θ θ −−→ κ(r, θ) = −grad grad w(r, θ) et  ∂ur 1 ∂ur uθ − −−→  r  −grad grad U (r, θ) = −  ∂r r ∂θ ∂uθ 1 ∂uθ ur  + → → − → ∂r r ∂θ r (− e r ,− e θ ,x 3)   2 1 ∂ ∂U 1∂ U △U (r, θ) = r + 2 2 r ∂r ∂r r ∂θ  Plaques 132 1. Équilibre : écrire les équations d’équilibre en déplacement. 2. Le problème étant entièrement axisymétrique (chargement, matériau et géométrie), indiquer la condition que doit vérifier le déplacement transverse w(r, θ). 3. Montrer que l’équilibre de la plaque, écrit en déplacement, s’exprime :   ∂△w ∂ pr r =− D ∂r ∂r 4. Montrer que la solution de cet équilibre s’écrit : p r4 + B1 r2 ln r + B2 r2 + B3 ln r + B4 64 D 5. Proposer les conditions aux limites permettant de déterminer B1 et B3 . Notamment, quelles valeurs vont prendre la flèche w et le moment Mrr au centre de la plaque ? w(r) = − 6. Résoudre le problème dans le cas d’un bord encastré. Représenter la solution. − Pour cette même plaque mais simplement appuyée, avec un couple −c.→ eθ réparti sur son pourtour, la solution est :  
p r 2 − R2 p R2 4 4 w(r) = − r −R + c+ (3 + ν) 64 D 2D(1 + ν) 8 Approximations cinématiques On considère maintenant la plaque carrée représentée sur la Figure 5.9, de dimensions 2a×2a, d’épaisseur h, constituée d’un matériau homogène élastique linéaire isotrope de module d’Young E, coefficient de Poisson ν et de densité ρ. La plaque est complètement encastrée sur son pourtour extérieur et soumise à son propre poids. La plaque étant suffisamment mince par rapport à ses autres dimensions, et dans un état de flexion pure, on se placera dans le cadre de la théorie de Love-Kirchhoff. Figure 5.9: Plaque carrée encastrée sur son contour et soumise à son propre poids. Dans ce cas, la solution ne peut plus être trouvée analytiquement. Nous allons donc recourir à une approximation cinématique de Galerkin. On rappelle que ce type d’approximation du champ de déplacement solution doit vérifier les conditions cinématiques qu’il faut donc expliciter. Plaques 133 1. Expliciter la force qui s’exerce par unité de surface. 2. Indiquer l’ensemble des champs de déplacement cinématiquement admissibles. 3. Approximation de Galerkin (a) Quelles sont les conditions que doivent satisfaire les constante C et k pour que f (x, y) = (1 + C cos kx) (1 + C cos ky) soit C.A. (b) Dans la suite on ne considérera que les fonctions f1 et f2 , où

fn (x, y) = 1 + (−1)1+n cos n πa x 1 + (−1)1+n cos n aπ y . Représenter f1 (x, 0) et f2 (x, 0) On rappelle que l’approximation de Galerkin repose sur la formulation faible du problème (voir le chapitre suivant pour plus de détails) pour laquelle l’inconnue et la fonction test sont choisies dans un base de fonctions vérifiant les conditions aux limites naturelles du problème, d’où la sélection de la base de fonctions que nous venons d’effectuer. Dans cette formulation faible, qui correspond ici au principe des puissances virtuelles tel qu’explicité dans l’Eq. 5.18 par exemple, l’inconnue (le champ de déplacement réel) est recherchée comme une combinaison des n fonctions de la base retenue, et la fonction test (le champ de déplacement virtuel) est successivement prise égale aux n fonctions de cette base. w(x, y) = n X fi (x, y)Qi et w∗ (x, y) = f1 , f2 , ..., fn i=1 Au final, on aboutit à un système algébrique symétrique de n équations à résoudre, qui peuvent se mettre aisément sous forme matricielle. C’est ce type d’approche qui a donné lieu aux approximations de type éléments finis, qui ont comme avantage supplémentaire de donner aux coefficients inconnus une signification physique (degrés de liberté de la discrétisation) : Dans notre cas, montrer que le PPV se réduit à : Z Z ∗ Mαβ καβ dω + ρghw∗ dω = 0, ∀w∗ C.A(0) ω ω (c) Montrer, en introduisant l’approximation, que le système à résoudre est de la forme :   Z        − ρghf1 dω    Q1   W (f1 , f1 ) . . . W (f1 , fn )         ω                 .   . .. . . . . . . . · =   . .  . .                Z              Qn W (fn , f1 ) . . . W (fn , fn )   − ρghfn dω  {z } | {z } | ω | {z } [A] · {Q} = {F } Plaques 134 avec W (fi , fj ) = D Z {(1 − ν)fi,αβ fj,αβ + νfi,γγ fj,γγ } dω ω (d) En considérant une seule fonction f1 (x, y) (et donc un seul coefficient Q1 ), montrer que la solution de notre problèmes est : w(x, y) = −4a2 ρgh f1 (x, y) 2W (f1 , f1 ) avec W (f1 , f1 ) = D [7π 4 (1 − ν) + 6π 4 ν] l’énergie de déformation correspondant au terme A11 de la matrice de rigidité du système. 5.3 Plaques de Hencky-Mindlin Nous avons étudié les plaques de Love-Kirchhoff, plaques dont l’épaisseur est faible devant les dimensions caractéristiques du plan de la plaque. Dans le cas des plaques dites ’épaisses’, cette théorie est mise en défaut et s’éloigne des solutions de la mécanique 3D. En effet, le cisaillement transverse devient essentiel dans ces plaques, ou bien lorsque le matériau constitutif est de type orthotrope, ou encore dans le cas des sanwichs où le cisaillement se développe de façon privilégiée. Ces considérations sont identiques à celles rencontrées dans les poutres, et la théorie de Love-Kirchhoff correspond à celle de Bernoulli pour les poutres, tandis que la théorie de Hencky-Mindlin que nous étudions ici correspond à celle de Timoshenko dans les poutres. Les plaques dites épaisses peuvent être définies pour des rapports 5 ≤ Rh ≤ 10, R étant la taille caractéristique du plan de la plaque. Ces plaques sont plus largement utilisées dans les applications numériques, notamment parce que la représentation du milieu 3D par ces modèles de plaque est plus réaliste. 5.3.1 Cinématique et déformations Par rapport aux plaques de Love-Kirchhoff, la cinématique de ces plaques varie par l’expression des angles de rotation des sections qui cette fois ne sont plus directement égaux au gradient de déplacement transverse, comme dans l’Eq. 5.3, mais sont des quantités indépendantes. Dans ce cas le champ de déplacement s’écrit, par analogie avec la Plaques 135 cinématique de Love-Kirchhoff :     → −    θ (xα ) =            −→    uM (xα ) {UM (xα )} =                     φ1 = θ2 (xα ) φ2 = −θ1 (xα ) 0 − −−→ → − = → u (xα ) + M G ∧ θ (xα ) u1 (xα ) 0 θ2 (xα ) = ∧ −θ1 (xα ) u2 (xα ) + 0 w(xα ) −x3 0 uα (xα ) − x3 θα (xα ) w(xα ) =                                          (5.37) (M ) d’où l’on tire les déformations associées, notées HM , composées des déformations de type Love-Kirchhoff dont les courbures dépendent maintenant directement des angles (ε2D αβ ), et des déformations de cisaillement (εα3 ) : − → − → − → → − εHM (xα ) = ε2D αβ (xα ) xα ⊗ xβ + εα3 (xα ) xα ⊗ x3 avec      1 ∂uα ∂uβ ∂θβ 1 ∂θα 2D   εαβ (xα ) = + + − x3   2 ∂xβ ∂xα 2 ∂xβ ∂xα   | | {z } {z }     = eαβ (xα ) + x3 καβ (xα )             (5.38) (5.39) et 2εα3 = ∂w − θα ∂xα Le tenseur des contraintes dans cette cinématique doit être complété en conséquence puisque les déformations de cisaillement transverses sont maintenant non nulles :   σ11 σ12 σ13   (5.40) σ HM =  ” σ22 σ23  ” ” 0 5.3.2 Équations d’équilibre Utilisons le PPV pour établir les équations d’équilibre. La puissance virtuelle des efforts intérieurs s’écrit, en notant que les contraintes de cisaillement sont doubles pour Plaques 136 obtenir le travail effectué en 3D (2σα3 εα3 = σα3 εα3 + σ3α ε3α ) : Z −∗ ∗ → Pint (u ) = − σ M : ǫ∗M dΩ Ω  Z Z Z ∗ 2D 2D ∗ σ (xα ) : ǫ = − σα3 (xα )εα3 (xα )dx3 dω (xα )dx3 + 2 x3 ω x3 Z
N(xα ) : e∗ (xα ) + M(xα ) : κ∗ (xα ) + 2Qα (xα )ε∗α3 (xα ) dω = − (5.41) ω ce qui peut encore se mettre sous une forme incluant des déplacements et rotations uniquement (en notant la symétrie des déformations de membrane et de courbure), et qu’on intègre ensuite par parties pour faire apparaître l’équilibre intérieur et les actions de contact : Z

−∗ ∗ ∗ ∗ → Nαβ (xα )u∗α,β (xα ) − Mαβ (xα )θα,β (xα ) + Qα (xα ) w,α − θα∗ dω Pint (u ) = − ω ↓ intégrations par parties en α et β Z = (Nαβ,β u∗α − (Mαβ,β − Qα ) θα∗ + Qα,α w∗ ) dω− ω Z (Nαβ νβ u∗α − Mαβ νβ θα∗ + Qα να w∗ ) ds | ∂ω {z } Z → −∗ ∗ (Nαβ,β u∗α − (Mαβ,β − Qα ) θα∗ + Qα w∗ ) dω − Pint = bord ( u ) ω (5.42) et la puissance des efforts extérieurs s’écrit : Z −∗ → − ∗ → ∗ (p(xα )w∗ (xα ) + pα (xα )u∗α (xα )) dω + Pcontact Pext (u ) = ( u∗ ) ω On identifie immédiatement les équations d’équilibre intérieur. Elles correspondent aux équations des plaques de Love-Kirchhoff lorsque les efforts tranchants sont pris en compte (Eqs. 5.27a, 5.27b, et 5.27c), obtenues plus directement ici. Ces équations sont rappelées ci-dessous. Nαβ,β (xα ) + pα (xα ) = 0 Mαβ,β (xα ) − Qα (xα ) = 0 Qα,α (xα ) + p(xα ) = 0 En ce qui concerne les équations d’équilibre au bord, on obtient cette fois des conditions Plaques 137 plus simples que pour les plaques de Love-Kirchhoff   Nαβ νβ = 0     ou Qα να = 0      Mαβ νβ = 0 :   uα (xα ) = 0     w(xα ) = 0      θα (xα ) = 0 Les conditions aux limites sont donc plus ’naturelles’ ici, et pour l’exemple de la plaque traité précédemment (Figure 5.7, page 130), elles deviennent : Face 1 : xα ∈ {a, 0 ≤ x2 ≤ b} − − − − normale → ν =→ x 1 et → τ =→ x2    N11 = N12 = 0 Q1 = 0   M =M =0 11 12 Face 3 : xα ∈ {0, 0 ≤ x2 ≤ b} − − − − normale → ν = −→ x 1 et → τ =→ x2    N11 = N12 = 0 w=0   M =M =0 11 12 5.3.3 Face 2 : xα ∈ {0 ≤ x1 ≤ a, b} − − − − normale → ν =→ x 2 et → τ =→ x1    uα = 0 w=0   θ =θ =0 1 2 (5.44) Face 4 : xα ∈ {0 ≤ x1 ≤ a, 0} − − − − normale → ν = −→ x 2 et → τ =→ x1    N22 = N12 = 0 Q2 = 0   M =M =0 22 12 Lois de comportement Les lois de comportement reliant les efforts et moments généralisés aux déformations et courbures généralisées, respectivement 5.14a et 5.14b, restent valables. Il faut simplement introduire ici la loi de comportement qui relie les efforts tranchants aux déformations de cisaillement, comme dans le cas des poutres de Timoshenko. Dans les plaques minces, nous avons posé que εα3 est indépendant de x3 , de plus on a la relation de comportement au niveau d’un élément de matière σα3 = Gεα3 . Par définition (éq. 5.23) on a donc l’effort tranchant qui s’écrit :   Z ∂w Qα (xα ) = 2G − θα εα3 dx3 = Gh ∂xα x3 mais σα3 ne peut pas être constant dans l’épaisseur de la plaque puisque cette composante est nulle sur les faces libres de la plaque, et non nulle dans la plaque. En utilisant l’équation Plaques 138 − d’équilibre en contraintes selon les axes → x α (éqs 5.24), on a : ∂σαβ ∂σα3 = − ∂x3 ∂xβ ↓ en flexion pure = −x3 12 ∂Mαβ h3 ∂xβ ↓ d’après (5.27b) = −x3 12 Qα h3 donc σα3 est parabolique dans l’épaisseur de la plaque, et plus précisément est de la forme (σα3 (x3 = ±h/2) = 0)   4 x23 3 σα3 (xα ) = 1 − 2 Qα (xα ) (5.45) h 2h Pour obtenir la ’bonne’ loi de comportement en cisaillement, il faut comparer l’énergie de déformation que l’on aurait en 3D et celle qu’on a dans notre théorie des plaques : wcis = 1 2 Z h 2 −h 2 2 σα3 (xα )εα3 (xα ) dx3  2 Z h  2 1 4 x23 3 = 1− 2 dx3 Qα Qα 2G − h2 h 2h   1 5 Qα Qα = 6 2Gh (5.46) on a donc un rapport de 65 entre les distributions de la théorie des plaques et une théorie qui serait 3D. On reconnaît ce rapport déjà introduit dans les poutres de section rectangulaire et appelé coefficient de correction en cisaillement. Donc la loi de comportement en cisaillement s’écrit :   ∂w 5 (5.47) − θα Qα (xα ) = Gh 6 ∂xα 6. Approximations numériques Sommaire 6.1 Notions de base sur les approximations numériques en mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2 Approximations numériques les plus courantes en élastostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.3 6.4 6.2.1 Résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2.2 Formulation intégrale faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2.3 Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Applications à la mécanique des structures : Barre soumise à son poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.1 Solution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.3.2 Résolution par différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.3.3 Méthodes de collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.3.4 Méthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.3.5 De la méthode de Galerkin aux éléments finis . . . . . . . . . . 163 Conclusions sur les méthodes numériques en mécanique des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 140 Approximations numériques 141 Dans ce chapitre, on propose de présenter assez succinctement les approximations numériques utilisées couramment en mécanique. Si les éléments finis sont aujourd’hui largement utilisés dans le monde industriel, en fonction des domaines scientifiques dont sont issus les problèmes à résoudre, d’autres approximations numériques restent également employées. Par exemple, les volumes finis sont largement répandus en chimie car cette méthode est basée sur la notion de bilan des flux de matière circulant à travers un volume, notion courante en chimie. De la même manière, les différences finies présentent de nombreux avantages dans les domaines de la physique tels que la thermique par exemple. On note également que les couplages de différentes méthodes numériques est souvent de mise, soit parce que les problèmes sont de nature de plus en plus multi-physiques, soit parce que la résolution peut être mieux adaptée en fonction de la nature des équations à résoudre. C’est le cas par exemple en dynamique des structures où la résolution en espace est généralement réalisée par éléments finis alors que l’intégration de la réponse en temps est réalisée par différences finies. Nous nous intéresserons plus particulièrement ici aux méthodes qui ont donné naissance aux éléments finis pour finir par la méthode des éléments finis qui sera vue dans un cadre statique. Ce chapitre constitue la base de l’UP ’Mécanique numérique’ du master Mécanique et Ingénierie, parcours Modélisation et Simulation Numérique, et qui se concentrera exclusivement sur les méthodes numériques et leurs applications en mécanique. Ce domaine constitue un thème de recherche industriel et académique en constant renouvellement depuis les années 90, il est connu et plus compréhensible sous le vocable Computational Mechanics, c’est-à-dire le lien entre l’informatique, les mathématiques appliquées, et la mécanique, et couvre un vaste champ d’application allant du calcul intensif à l’intégration d’outils spécifiques dans de grands codes industriels. 6.1 Notions de base sur les approximations numériques en mécanique Les notions d’approximation de la solution en mécanique sont de diverses natures. Comme dans le cas des structures, ces approximations peuvent porter sur la simplification ’géométrique’ conduisant à une simplification de la cinématique. C’est le cas des théories de poutres, plaques, coques, ... Les approximations peuvent également porter sur le comportement du milieu étudié, le comportement idéal le plus basique étant de type Hookéen. Enfin, si malgré ces diverses simplifications le problème ne peut toujours pas être résolu de façon simple, c’est-à-dire que le champ solution ne peut être trouvé analytiquement, on effectue alors des approximations semi-analytiques, ou plus généralement des approximations qui de par la taille des systèmes engendrés sont presque systématiquement résolus Approximations numériques 142 de façon numérique. Ces approximations numériques sont nombreuses, nous verrons ici le cas des approximations les plus courantes basées sur la formulation de type Résidus pondérés du problème posé. De façon très grossière, ce type de formulation consiste à minimiser un résidu (une fonction à valeur réelle) en cherchant à annuler le produit de ce résidu avec des fonctions de pondération bien choisies. Toute la problématique est présente dans ce terme bien choisies. En effet, partant d’une formulation donnée du problème de mécanique, ces approximations numériques diffèrent par les contraintes imposées au champ solution et au champ test (fonctions de pondération). En imposant des contraintes de dérivabilité forte sur le champ solution recherché, on formule le problème de façon forte. Par contre en partant de la formulation faible, i.e. en partageant les contraintes de dérivabilité sur le champ réel et le champ test, on formule la plupart des approximations numériques rencontrées dans les sciences pour l’ingénieur. Seule la méthode des éléments de frontière diffère de cette formulation faible, puisqu’on va rejeter le problème à résoudre sur ses frontières, ceci en imposant les contraintes de dérivabilité sur les fonctions test. Cette section 6.1 présentant les approximations numériques les plus répandues s’inspire du premier chapitre de l’excellent ouvrage de J.-M Bergheau (ENISE) et R. Fortunier (EMSE) intitulé ’Finite Element Simulation of Heat Transfer’(ISTE Ltd and John Wiley & Sons Inc, ISBN-10 : 1848210531). Les applications numériques sont en partie adaptées de cet ouvrage. Un grand merci aux auteurs ! 6.2 Approximations numériques les plus courantes en élasto-statique L’exemple de résolution d’un problème élasto-statique simple permet de mettre en évidence les grandes notions que nous verrons en détails dans ce chapitre. Considérons le problème classique d’équilibre mécanique (Figure 6.1) formulé à partir de l’équation Approximations numériques 143 d’équilibre d’un élément de volume et des conditions aux limites associées cinématiques (Dirichlet ou en déplacement) et statiques (Neumann ou en contraintes/efforts) : Figure 6.1: Représentation générale d’un solide occupant un domaine Ω, de frontière ∂Ω (∂Ω = ∂Ωu ∪ ∂ΩF et ∂Ωu ∩ ∂ΩF =Ø), soumis à des sollicitations extérieures. → − − −→ → −̈ − − u i (→ x , t) , ∀ → x ∈Ω x , t) + f (→ x , t) = ρ→ divσ(− avec les conditions aux limites  → − − − − − u (→ x , t) = → u d (→ x , t) , ∀ → x ∈ ∂Ωu   → − − − − − −  σ(→ x , t)→ n (→ x ) = F d (→ x , t) , ∀ → x ∈ ∂ΩF (6.1) et la loi de comportement correspondante − − − x , t) = L(→ x , t) : ε(→ x , t) σ(→ L’équilibre mécanique peut également s’écrire en fonction du champ de déplacement seulement sous la forme dite ’en déplacement’ appelées équations de ’Lamé-Clapeyron’ ou de ’Navier’. En effet, en introduisant la loi de comportement, la divergence des contraintes s’écrit en fonction des déformations qui sont la partie symétrique du gradient du déplacement. Pour un milieu homogène isotrope obéissant à une loi de comportement linéaire, et dans un cadre HPP, on obtient facilement l’équilibre en statique : → −− −−→ → − − → − − µ△→ u + (λ + µ)grad (div→ u ) + f (→ x)= 0 (6.2) avec λ et µ les coefficients de Lamé du matériau constitutif. On voit que ce problème est par nature elliptique et fait intervenir un laplacien, soit des dérivées d’ordre 2 de l’inconnue. Ceci va guider le choix des méthodes d’approximation à utiliser. Approximations numériques 144 On peut proposer une forme plus générale de ce problème de mécanique (Eq. 6.1) en introduisant un opérateur A agissant sur le champ de déplacement recherché. Compte-tenu des hypothèses restrictives posées, cet opérateur est linéaire dans notre cas. La résolution de cette équation conduit bien évidemment à l’expression du champ de déplacement, dont on déduit aisément les déformations, puis les contraintes via la loi de comportement. Le problème à résoudre s’écrit donc : − Trouver une fonction → u ∈ U telle que → − → − − − R(→ u ) = A→ u + f = 0, − ∀→ x ∈Ω avec les conditions aux limites  → − − − − − u (→ x , t) = → u d (→ x , t) , ∀ → x ∈ ∂Ωu   → − − − − − −  σ(→ x , t)→ n (→ x ) = F d (→ x , t) , ∀ → x ∈ ∂ΩF (6.3) où U est un espace de fonctions vérifiant les conditions aux limites de Dirichlet, soit des fonctions C.A. (cinématiquement admissibles), dont on précisera ultérieurement les contraintes en termes de dérivabilité / intégration notamment. 6.2.1 Résidus pondérés Pour résoudre ce problème, qui sauf dans quelques cas particuliers n’a pas de − solution analytique, on se propose d’intégrer cette équation d’équilibre, le résidu R(→ u ), sur tout le domaine Ω et d’en calculer le produit avec des fonctions tests continues. Pour que cette équation soit identiquement nulle, le produit avec n’importe laquelle de ces fonctions doit rester nul. On notera qu’à ce stade, la seule condition que doivent remplir ces fonctions tests est qu’elles soient intégrables sur le domaine. Notons V cet espace de fonctions. Par contre, le champ solution doit être au moins 2 fois différentiable, conformément à la remarque précédente sur la présence d’un laplacien du déplacement dans les équations de Lamé-Clapeyron (Eq. 6.2). En ce sens, la formulation est dite forte. R En introduisant le produit scalaire tel que Ω (f · g) dΩ = hf, gi, dont la définition plus précise nécessiterait de s’attarder sur l’analyse fonctionnelle, le problème à résoudre est donc : − Trouver une fonction → u ∈ U telle que D→ E − → → − → − → − → − − − hR( u ), v i = hA u , v i + f , v , ∀→ v ∈ V avec les conditions aux limites  → − − − − − u (→ x , t) = → u d (→ x , t) , ∀ → x ∈ ∂Ωu   → − − − − − −  σ(→ x , t)→ n (→ x ) = F d (→ x , t) , ∀ → x ∈ ∂ΩF (6.4) Approximations numériques 145 Partant de cette formulation, le choix des fonctions test va nous permettre de formuler 3 formes d’approximations de ce problème que nous détaillerons dans la suite de ce chapitre : collocation par points, collocation par sous-domaine, et volumes finis qui seront mis en œuvre par la suite sur des exemples plus précis : 1. Si V est un ensemble de distributions de Dirac, on formule la résolution par collocation par point, c’est à dire qu’on cherche la solution en des points donnés : → V = {δ− xi , i = 1..n} D→ E − → − → − → − − → − → ֒→ hR( u ), v i = hA u , δxi i + f , δxi = 0 − → → = R(→ u )|− x =− xi = 0, (6.5) ∀ i = 1..n 2. Si V est une base de fonctions constantes par sous-domaine, on formule la résolution par collocation par sous-domaine ce qui revient à chercher les fonctions qui vérifient l’équilibre sur des sous-domaines disjoints mais dont l’union forme le domaine Ω : V = {δΩi , i = 1..n} D→ E − − − − ֒→ hR(→ u ), → v i = hA→ u , δ Ωi i + f , δ Ωi = 0 ↓ Par définition du produit scalaire Z Z → − − R( u ) · δΩi dΩi = = R(→ u ) dΩi = 0, Ω ∀ i = 1..n Ωi − = R(→ u )|Ω=Ωi = 0, ∀ i = 1..n (6.6) 3. Partant de cette dernière forme de champ test, en utilisant le théorème de la divergence (ou Ostrogradsky) appliqué à l’équilibre mécanique écrit en contraintes (Eq. 6.1), on formule la résolution par volumes finis. Globalement, on vérifie que le flux de contraintes sur la frontière du sous-domaine Ωi , appelé alors volume de contrôle, est équilibré par les forces volumiques imposées : V = {δΩi , i = 1..n} − ֒→ R(→ u )|Ω=Ωi = 0, ∀ i = 1..n Z  → − −→ divσ + f dΩi = 0, ∀i = 1..n = Ωi Z Z → − → − f dΩi = 0, ∀i = 1..n = − σ · n dωi + ∂Ωi Ωi (6.7) Approximations numériques 6.2.2 146 Formulation intégrale faible Le problème initial, écrit en 6.3 sous une forme générale peut être reformulé pour donner une formulation intégrale faible à résoudre. Cette formulation, équivalente au principe des puissances virtuelles (Eq. 7.79) introduit précédemment pour les poutres (Eq. 1.16) puis les plaques (Eq. 5.18), a l’avantage de requérir des conditions de dérivabilité moindre sur les fonctions issues de l’espace des solutions U tout en augmentant les contraintes de dérivabilité sur les fonctions de l’espace test V . Partant du problème à résoudre, utilisons le théorème de la divergence pour ’reporter’ les dérivations du champ réel vers le champ test dans le terme d’équilibre des contraintes. Nous supposons ici que l’opérateur hA·, ·i est un opérateur auto-adjoint (ou − − − − hermitien), i.e. il vérifie hA→ u ,→ v i = h→ u , A→ v i, ce qui est le cas quasi-systématiquement en physique ’classique’, et que les propriétés du milieu sont homogènes : Z −→ → → − → − − − hA u , v i = divσ(− x)·→ v (→ x ) dΩ Ω   Z −→ → − → − − − div L( x ) : ε( x ) · → = v (→ x ) dΩ Ω   Z −→ → − → − → − − − div L( x ) : ∇( u ( x )) · → = v (→ x ) dΩ Ω  Z  Z → − → − − → − → − → − → − → − − − − t→ L( x ) : ∇ u ( x ) · → n ·→ v (→ x ) dω = − ∇ u ( x ) : L( x ) : ∇ v ( x ) dΩ + Ω ∂Ω (6.8) On constate que le terme représentant l’équilibre intérieur est maintenant symétrique en ce qui concerne les contraintes de dérivabilité des fonctions issues de U et V . Sans entrer dans les détails, la régularité requise correspond maintenant au premier espace de Sobolev, généralement noté H 1 (Ω), regroupant les fonctions de carré intégrable sur Ω et dont les dérivées sont également de carré intégrable. Un aspect important de cette formulation faible consiste à aboutir à une expression unique contenant l’équilibre et les conditions aux limites essentielles (en déplacement) et naturelles (en contraintes). Dans ce cas, le parallèle avec le PPV est valable pour un PPV formulé en déplacements. Une des différences majeures de la formulation faible par rapport aux différentes méthodes vues jusqu’ici est que les conditions essentielles sont introduites en imposant que les fonctions de l’espace U vérifient ces conditions aux limites, soit : − − − − − − U= → u ∈ H 1 (Ω)/→ u (→ x , t) = → u d (→ x , t) , ∀ → x ∈ ∂Ωu . D’autre part, les fonctions test sont choisies telles qu’elles s’annulent sur la frontière − ∂Ωu où les conditions de Dirichlet sont imposées. En effet, toute fonction → u affectée d’une perturbation reste admissible tant que les conditions essentielles sont vérifiées − − − − − (→ u +→ v = → ud ⇒ → v = 0 ,∀ → x ∈ ∂Ωu ). D’un point de vue mathématique, le cadre du calcul des variations conduit au même résultat, ce qui revient à considérer que les Approximations numériques 147 − − fonctions de pondération → v expriment les variations du champ réel → u (voir Eq. 6.12). Il résulte de ces considérations que l’espace des fonctions tests est tel que − − − − V = → v ∈ H 1 (Ω)/→ v (→ x , t) = 0 , ∀ → x ∈ ∂Ωu . On en déduit immédiatement que l’intégrale de surface (second terme de l’Eq. 6.8) se limite alors à l’intégrale des contraintes sur la surface ∂ΩF , soit le flux de déplacement :  Z Z  → − → − → − → − → − → − − − − − σ(→ L( x ) : ∇ u ( x ) · n · v ( x ) dω = x)·→ n ·→ v (→ x ) dω ∂ΩF ∂Ω Z (6.9) → −d → − → − → − F ( x ) · v ( x ) dω = ∂ΩF Le problème à résoudre s’écrit alors : − − Trouver→ u ∈ U tel que pour tout→ v ∈ V : Z Z Z → − → → − → − → − − → − − → − → − t→ f ( x ) · v ( x ) dΩ + − ∇ u ( x ) : L( x ) : ∇ v ( x ) dΩ + Ω Ω → −d → − − F (− x)·→ v (→ x ) dω = 0 ∂ΩF − − − − − − avec U = → u ∈ H 1 (Ω)/→ u (→ x)=→ u d (→ x ) ,∀ → x ∈ ∂Ωu − − − − et V = {→ v ∈ H 1 (Ω)/→ v (→ x ) = 0 ,∀ → x ∈ ∂Ω } u (6.10) Ce type de formulation continue se prête extrêmement bien au calcul numérique car elle permet de manipuler des fonctions scalaires. D’autre part, trouver la solution de cette nouvelle formulation (Eq. 6.10) d’un problème mécanique peut être vu comme la recherche d’un extremum. On montre en effet que la solution minimise et rend stationnaire une fonctionnelle (fonction de fonction), strictement convexe dans un cadre linéaire, donc possédant un minimum unique, appelée Énergie Potentielle. Le théorème de l’Énergie Potentielle que nous ne détaillerons pas ici permet de montrer que l’équilibre (stable ou instable) correspond au champ annulant la première variation de cette fonctionnelle formée par la différence entre l’énergie de déformation du système et le travail des efforts donnés : − Trouver→ u ∈ U qui minimise : Z Z Z → − → → −d → 1 → − − → − − − − → − → − → − → − → − t→ Π( u ) = F (− x)·→ u (→ x ) dω f ( x ) · u ( x ) dΩ − ∇ u ( x ) : L( x ) : ∇ u ( x ) dΩ − 2 Ω Ω ∂ΩF − − − − − − avec U = → u ∈ H 1 (Ω)/→ u (→ x)=→ u d (→ x ) ,∀ → x ∈ ∂Ωu (6.11) Approximations numériques 148 Quelques notions de calcul des variations sont rappelées en Annexe-Chapitre 7 §7.2 page 180. En quelques mots, le principe du calcul variationnel consiste à chercher à minimiser − l’écart entre la solution réelle, ici → u (x), et une solution perturbée, représentée par une fa− − mille de fonctions proches de la solution, δ → u (x) = α→ v (x) avec α → 0, qui se superposent à cette solution réelle. On comprend bien alors pourquoi cette variation doit s’annuler sur le bord ∂Ωu . On retiendra finalement que la recherche du minimum d’une fonctionnelle convexe correspond à trouver le champ qui annule sa première variation, c’est à dire qui rend nulle la valeur prise par la fonctionnelle pour une faible perturbation autour de la solution, montrant qu’un extrémum est bien atteint. Pour revenir à notre cas, la minimisa− tion de l’énergie potentielle conduit à chercher le champ de déplacement → u ∈ U annulant → − → − − la première variation δΠ( u ) de Π( u ), ceci pour toute variation admissible δ → u ∈ V , i.e CA(0) : − − Trouver→ u ∈ U tel que pour tout δ → u ∈ V : − δΠ(→ u) = Z − − − − − x ) : ∇t δ → u (→ x ) : L(→ u (→ x ) dΩ ∇→ Ω Z Z → − → → −d → − − − → − → − F (− x ) · δ→ u (→ x ) dω = 0 f ( x ) · δ u ( x ) dΩ − − Ω (6.12) ∂ΩF − − − − − − avec U = → u ∈ H 1 (Ω)/→ u (→ x)=→ u d (→ x ) ,∀ → x ∈ ∂Ωu → − → − → − → − 1 et V = {δ u ∈ H (Ω)/δ u ( x ) = 0 , ∀ x ∈ ∂Ωu } Cette expression unique intégrant les équations d’équilibre et les conditions aux limites permet de résoudre numériquement l’équilibre mécanique, elle correspond au principe des puissances virtuelles formulé en déplacement en prenant le champ virtuel égal à la variation du champ réel (Eqs. 1.16 et 5.18). C’est à partir de cette expression que les approximations de type Galerkin, Ritz-Galerkin, et finalement les éléments finis (en déplacements) sont formulés. 6.2.3 Galerkin Partant de l’expression variationnelle de l’équilibre mécanique tel que présenté en 6.12, des méthodes numériques, donc approchées, ont été construites. La plus répandue de ces méthodes est la méthode de Galerkin (Boris. G. Galerkin, mathématicien Russe, 1871-1942). Il s’agit ici de travailler sur des sous-espaces de dimension finie U n et V n issus de U et V respectivement, conduisant à un système discret. La méthode de Galerkin → − utilise la propriété que tout élément ũ de U peut être construit à partir d’un seul élément − particulier → u ⋆ de cet espace, perturbé par une fonction issue de l’espace de test V (noté → − → − − − u ici), soit : ũ = → u ⋆ + α→ u avec α ∈ R∗ petit. Il s’agit donc de construire un problème approché où l’approximation de la solution et les fonctions test sont issues d’un même sous-espace de dimension finie : n o → − − − − − Un = → (6.13) u ∈ H 1 (Ω)/ ũ = → u⋆+→ u avec → u ∈Vn Approximations numériques 149 On notera que si le terme particulier u⋆ dépend x, il sera intégré à la résolution du problème. Généralement, ce terme exprime des conditions particulières que le champ de déplacement solution doit vérifier (Dirichlet en particulier), il s’écrit donc par rapport à des données du problème. Ce terme sera donc présent dans le problème à résoudre comme une partie du second membre. Ceci est illustré dans l’exemple d’application (6.3.4 page 158) En introduisant cette approximation dans la formulation faible (Eq. 6.10 ou 6.12), et notamment dans le terme de puissance virtuelle des efforts intérieurs, on aboutit au problème discret de dimension n à résoudre : → − − Trouver ũ ∈ U n tel que pour tout→ v ∈ Vn : Z Z Z → − → → − → − → − − → − − → − → − t→ − ∇ ũ ( x ) : L( x ) : ∇ v ( x ) dΩ + f ( x ) · v ( x ) dΩ + Ω Ω → −d → − − F (− x)·→ v (→ x ) dω = 0 ∂ΩF o n→ − → − → − − − − − − − avec U n = ũ ∈ H 1 (Ω)/ ũ = → u⋆+→ u ,∀ → x ∈ Ω, avec → u ∈ V n et ũ = → u d, ∀ → x ∈ ∂Ωu − − − − et V n = {→ v ∈ H 1 (Ω)/→ v (→ x ) = 0 ,∀ → x ∈ ∂Ω } u (6.14) Lorsque la dimension du problème discret augmente, on tend vers la solution exacte. On retrouve ici, écrit de façon tout à fait générale, la méthode qui est utilisée pour résoudre le second exercice sur les plaques (cf §5.2.6). De plus, nous verrons sur l’exemple ci-dessous que la méthode des éléments finis est un cas particulier de choix de ces fonctions d’approximation, où la solution va être approchée par une combinaison de fonctions dont les valeurs sont connues en des points particuliers. L’intérêt de cette méthode pour les ingénieurs est double, il s’agit d’une part de la coïncidence entre découpage physique (maillage) et découpage nécessaire à la résolution à l’aide de polynômes d’ordre peu élevé, et d’autre part du sens physique des résultats qui sont des grandeurs prises en ces mêmes points particuliers, les valeur nodales. 6.3 Applications à la mécanique des structures : Barre soumise à son poids propre Afin de mettre en pratique les notions introduites ci-dessus, nous allons considérer un exemple en mécanique des structures, une barre en tension-compression. Ce problème offre une résolution très simple, ceci nous permettra d’évaluer la pertinence des approximations numériques utilisées dans un second temps. Nous allons d’abord envisager une résolution directe par différences finies, puis par les méthodes de collocation à partir de la formulation de type ’Résidus Pondérés’, et enfin grâce à la formulation faible qui nous permettra d’aboutir à la formulation d’un élément fini en tension. Approximations numériques 150 Considérons une poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan telle que vu au §2.1. Cette poutre de section constante (section S = largeur b x hauteur h) et constituée d’un matériau homogène élastique isotrope (module d’Young E, masse volumique ρ) travaille uniquement en tension-compression. Comme indiqué sur la Figure 6.2, elle est bloquée en déplacement à son origine u(x = 0) = 0 et soumise à une déplacement donné à son extrémité u(x = l) = ud . Cette poutre est soumise à un effort linéïque correspondant à son poids propre (ρgS). Les équations caractérisant cet équilibre s’écrivent : Figure 6.2: Poutre droite soumise à son propre poids et un déplacement imposé. 1. Conditions aux limites cinématiques - champ C.A. u(0) = 0 et u(x = l) = ud 2. Équilibre intérieur dN (x) + ρgS = 0 dx 3. Équilibre au bord et discontinuités 4. Loi de comportement N (x) = ES du(x) dx Approximations numériques 151 5. Relations utiles : tension : m σxx (x) = 6.3.1 N (x) S(x) Solution analytique La solution analytique de ce problème est facilement déduite de la résolution analytique, elle est représentée sur la Figure 6.3 ci-dessous et s’écrit : ud x ρgx u(x) = − (x − l) (6.15) l 2E Pour la suite des applications numériques, nous considérons les valeurs suivantes pour les grandeurs physiques du problème : — longueur de la poutre l = 1 m — section de la poutre h = 20 mm et b = 10 mm — module d’Young du matériau constitutif E = 210 · 103 N.m−2 — masse volumique du matériau rho = 7, 8 · 103 kg.m−3 — accélération de la pesanteur g = 9, 8m.s−2 — déplacement imposé ud = 5 cm ; Solution analytique 0.09 0.08 Déplacement (m) 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x (m) Figure 6.3: Solution analytique pour le cas d’une poutre droite correspondant à la Figure 6.2. Approximations numériques 6.3.2 152 Résolution par différences finies La méthode des différences finies est une méthode de résolution directe, au même titre que l’intégration analytique des équations. Cette méthode bien connue consiste à remplacer les dérivations, soit les variations d’une quantité par rapport à une longueur ou un temps élémentaire (infinitésimale), par des différences de cette même quantité évaluée en des points précis éloignés d’une distance (d’un temps) finie connue. On effectue un ’découpage’ du problème à résoudre. Dans notre cas, considérons n + 1 points également répartis le long de l’axe de la poutre (entre x = 0 et x = l), tels que l’abscisse d’un point xi = i∆x (avec ∆x = nl et i = 0, . . . , n) est connue à partir de l’indice i. En ces points xi , le déplacement, noté ui , est recherché. Comme indiqué, cherchons à exprimer la différentielle totale d’ordre 2 caractérisant l’équilibre de notre problème aux points intérieurs du domaine (i = 1, ..n − 1) comme la différence de ces déplacements pris à des points distants de ∆x, soit une différence centrée d’ordre 2. Finalement, notre problème s’écrit : d dx   du(x) ES + ρgS = 0 , ∀x ∈ [0, l] et u(0) = 0, u(l) = ud dx  n−1 X ui+1 − 2ui + ui−1 ES + ρgS = 0 et u0 = 0, un = ud 2 ∆x i=1 (6.16) Concernant les conditions aux limites, elles doivent être prises en compte directement dans le système à résoudre. Les conditions de Dirichlet sont prises en compte en imposant la valeur donnée à l’inconnue au point correspondant. Ici, il s’agit de u0 = 0 et un = ud . Si une condition de Neumann devait être imposée (N (l) = N d par exemple), il faudrait alors raisonner à l’aide d’une différence finie prenant en compte la valeur connue ES la plus proche : u0 et u1 ou un−1 et un (N (l) = N d (un − un−1 ) = N d ). ∆x Finalement, le système discret à résoudre est linéaire, de la forme −ui+1 + 2ui − ui−1 = ρg ∆x2 , E ce qui conduit au système algébrique de forme tribande suivant dont la résolution fournit Approximations numériques les déplacements ui :  1 0 0   −1 2 −1   0 −1 2    . .. ..  .. . .     0 0 0   0 0  0 0 0 0 | 153   u0      u1         u2        .. .. .. ..  ..  · . . . . .           u . . . 2 −1 0     n−2    un−1 . . . −1 2 −1      un ... 0 0 1 {z } | {z [K] · {Q} ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                 } = =                                | 0 ρg ∆x2 E ρg ∆x2 E .. .                     ρg  2   ∆x  E  ρg 2   ∆x   E   d u {z } {F } (6.17) La résolution de ce système fournit les solutions représentées sur la Figure 6.4 où sont tracés les déplacements pour un nombre d’intervalles le long de la poutre correspondant à n = 5, n = 10, n = 20, et n = 50. On vérifie bien que la solution approchée tend vers la solution exacte. La particularité ici est que la solution exacte est polynômiale d’ordre 2, donc assez facile à approcher. Si le calcul des contraintes est envisagé, il est réalisé à partir de cette solution approchée en prenant des valeurs de déplacements ponctuelles, les ui . En conclusion, l’intégration par différences finies de ce problème simple peut donner satisfaction, en notant que le système est à réécrire quand les conditions aux limites changent. Par contre, pour des problèmes plus complexes, avec des variations fortes de la réponse, la taille du problème pour aboutir à une convergence convenable peut devenir conséquente puisqu’en toute rigueur on tend vers la solution réelle quand n tend vers l’infini. 6.3.3 Méthodes de collocation Les méthodes de collocation permettent de résoudre le problème initial, tel que posé en 6.3 page 144, mais reformulé à l’aide des résidus pondérés (Eq. 6.4 page 144). Si nous appliquons la même approche à notre cas particulier de barre, nous arrivons à la formulation équivalente, utilisant un espace de fonctions test à définir et qui s’écrit : Trouver une fonction u ∈ U (C.A.)/∀v ∈ V Z l v· 0  d dx  du(x) ES dx  + ρgS avec les conditions aux limites u(0) = 0 et u(l) = ud  dx = 0 (6.18) Il reste maintenant, dans cette formulation intégrale, à préciser l’espace V dans lequel les fonctions test vont être choisies, ce qui conduira à une résolution par collocation Approximations numériques 154 0.08 0.07 Déplacement (m) 0.06 Solution analytique n=50 n=20 n=10 n=5 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x (m) Figure 6.4: Solution analytique et par différences finies pour le cas d’une poutre droite correspondant à la Figure 6.2. par point et collocation par sous-domaine, comme indiqué de façon générale précédemment. Collocation par points Pour résoudre, comme par différences finies nous allons réaliser un découpage de la géométrie, et ramener la résolution en des points particuliers. Conservons le découpage tel que la solution soit recherchée en n + 1 points également répartis le long de l’axe de la poutre (entre x = 0 et x = l), d’abscisse xi = i∆x (avec ∆x = nl et i = 0, . . . , n) connue à partir de l’indice i. Choisissons comme espace V des fonctions test, l’ensemble → des distributions de Dirac associé à ces points : V = {δ− xi , i = 0..n}. La résolution consiste donc à trouver une approximation de la fonction u(x) différentiable 2 fois, satisfaisant − → → les conditions aux limites, et annulant le résidu en chacun des points xi : R(→ u )|− x =− xi = 0, ∀i = 0..n. Puisqu’on travaille sur une approximation de u(x) et non pas sur des valeurs ui comme dans le cas des différences finies par exemple, on obtient alors n + 3 équations correspondant à l’équilibre écrit en les n + 1 points, complétés par les conditions aux Approximations numériques 155 limites ; soit pour des propriétés constantes de la barre : Z l 0    du(x) d ES + ρgS dx = 0 v· dx dx  n  X d2 u ES 2 |xi + ρgS = 0 et u(x0 ) = 0 , u(xn ) = ud dx i=0  (6.19) Si les grandeurs physiques dépendent de la position le long de la barre, elles seront donc évaluées en les abscisses xi , les points de collocation. Choisissons maintenant pour l’espace des solutions U l’espace des polynômes du type u(x) = a0 + a1 x + . . . + ap xp . Compte-tenu des contraintes de dérivabilité fortes sur cette solution, on doit au minimum avoir des polynômes d’ordre 2. Les 3 coefficients de ces polynômes seront donc déterminés par les n + 3 relations, donc n = 0, ce qui correspond à une collocation en un seul point. Il s’agit du minimum pour que l’approximation ait un sens. Dans ce cas, le système à résoudre s’écrit :        1 0 0     0   a0    ρg (6.20) = −E a1  0 0 2 ·        d  2 u a2 1 l l on en déduit immédiatement la solution : a0 = 0, a1 = x solution exacte : u(x) = udl x − ρg (x − l). 2E ud l − a2 l et a2 = − 2ρgE soit la De façon générale, l’espace U doit correspondre aux polynômes d’ordre n + 2 (avec n ≥ 0 le nombre d’intervalles). Avec une approximation du type u(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an+2 xn+2 le système à résoudre dépend bien des valeurs prises par les grandeurs mises en jeu dans l’équation à résoudre, et notamment la dérivée seconde du déplacement évaluée aux xi , il s’écrit :        a 1 0 0 0 ... 0 0    0                 ρg    0 0 2 6x1 . . . (n + 2)(n + 1)xn      − a    1 E  1                ρg      − ..   .. .. ..    .. .. E       . . .  . . . ..  · (6.21) = .       0 0 2 6xn . . . (n + 2)(n + 1)xnn       a   n         − ρg    E           ρg    0 0 2 6xn+1 . . . (n + 2)(n + 1)xnn+1         a − n+1      E           d  2 3 n   u 1 l l l ... l an+2 Comme on peut le constater, le système est relativement mal conditionné (pas de propriété remarquable de [K] comme pour les différences finies par exemple). De plus, lorsque la géométrie devient complexe, la taille du système augmente considérablement, ainsi que l’ordre des polynômes. On peut alors, par connaissance du problème, travailler sur une distribution non-régulière de points dans les zones de fort gradient par exemple. Approximations numériques 156 C’est d’ailleurs le choix de la position et du nombre de ces points où sont évaluées les quantités qui peut être problématique. On notera enfin que dans ce type de méthode le choix de l’approximation doit être consistante avec le choix du nombre de points, i.e. il doit conduire à un système inversible, comportant donc un nombre de relations égal au nombre de coefficients à identifier. Ici, le choix des polynômes d’ordre n + 2 permet d’aboutir à un système de n + 3 équations à n + 3 inconnues. Collocation par sous-domaines Le découpage du domaine sur lequel le problème doit être résolu conduit ici à définir des volumes de contrôle, ou des longueurs dans notre cas 1D. Comme précédemment, ces n segments de longueur ∆x = nl sont délimités par les n+1 points d’abscisse xi−1 = (i−1)∆x et xi = i∆x pour i = 1, . . . , n. Le déplacement ui supposé constant sur chaque longueur de contrôle li = [xi−1 , xi ] sera supposé positionné en son centre. Comme indiqué en début de ce chapitre, choisissons comme espace V des fonctions test V = {δΩi , i = 1..n}, soit des fonctions tests constantes sur chaque sous-domaine et non nulles uniquement sur ce sous-domaine. Finalement, la résolution consiste à trouver la distribution des ui (x), satisfaisant les conditions aux limites, et annulant le résidu sur chaque sous-domaine li : − R(→ u )|Ω=Ωi = 0, ∀i = 1..n. Les dérivées peuvent, par exemple, être calculées par différences finies. On rappelle que les fonctions de pondération sont choisies constantes sur chaque longueur de contrôle. On obtient alors n équations linéaires qui expriment le résidu sur chaque sousdomaine. Si les grandeurs physiques (propriétés, chargement extérieur, . . .) dépendent de la position sur chaque longueur de contrôle, il faut évidemment calculer les intégrales correspondantes. Dans notre cas, le problème à résoudre formulé en 6.18 devient :   Z l   d du(x) v· ES + ρgS dx = 0 dx dx 0 (6.22)   n−1 Z xi  X ui+1 − 2ui + ui−1 d + ρgS dx = 0 et u1 = 0, un = u ES 2 ∆x x i−1 i=2 qu’on exprime sous la forme d’un système linéaire intégrant les conditions aux limites associées : Approximations numériques                 1 0 0 ... −1 2 −1 . . . 0 −1 2 . . . 157 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . 2 −1 0 . . . −1 2 −1 ... 0 0 1 {z | .   u1       u2         u3  [K]         ·  ..    .             un−1       un } | {z · {Q}                                }       R x2     x1    R  x3    x2 =         ρg  ∆x dx  E      ρg  ∆x dx  E 0  ..   .      R xn−1 ρg    ∆x dx  xn−2 E     ud {z | = {F }   (6.23)               } Dans notre cas, les grandeurs sont constantes, et leur intégration conduit à un second membre constant. Les résultats sont présentés sur la Figure 6.5. On vérifie que plus le nombre de domaines augmente plus l’approximation tend vers la solution exacte. Si les résultats semblent moins précis, à taille de système équivalente, que la collocation par points par exemple, ce type d’approximation est pourtant fréquemment utilisée, ceci pour 2 raisons essentielles. Tout d’abord, dans des cas complexes la collocation par sousdomaines est plus simple d’utilisation car plus systématique puisque les contraintes de dérivabilité n’apparaissent pas ici, il n’y pas pas non plus de polynôme à choisir en fonction du problème à résoudre. En second lieu, la collocation par sous-domaines conjugue une formulation simple de type différences finies avec la notion de bilan par volume élémentaire très répandu dans des domaines telles que la chimie ou la thermique où les inconnues scalaires sont facilement manipulées connaissant les flux. 6.3.4 Méthode de Galerkin Comme indiqué précédemment, la méthode de Galerkin telle qu’utilisée dans le second exercice sur les plaques (§5.2.6 page 132), est à l’origine de la méthode par éléments finis. Formulons notre problème de barre conformément à la formulation Eqs. 6.14 Trouver ũ ∈ U n tel que pour tout v ∈ V n : Z l 0 dũ(x) dv(x) −ES + ρgS v(x) dx dx  dx = 0  avec U n = ũ ∈ H 1 ([0, l])/ũ = u⋆ + u , ∀ x ∈ [0, l], avec u ∈ V n et ũ(0) = 0 , ũ(l) = ud et V n = {v ∈ H 1 ([0, l])/v(0) = v(l) = 0} (6.24) Voyons maintenant le choix qui peut être réalisé pour les espaces de dimension finie U et V n . n Approximations numériques 158 0.08 0.07 Déplacement (m) 0.06 0.05 Solution analytique n=20 n=50 n=100 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x (m) Figure 6.5: Solution analytique et par collocation par sous-domaines pour le cas d’une poutre droite correspondant à la Figure 6.2. Fonctions polynômiales Le choix des bases de fonctions d’approximation, définissant les espaces U n et V n , est guidé par la contrainte de vérifier les conditions essentielles. Considérons, de façon générale, que ces fonctions C.A. forment une approximation du type : v(x) = n X βi φi (6.25) i=1 où les βi sont n paramètres scalaires. La quantité à annuler correspondant au système 6.24 sous forme discrète devient alors la somme de n quantités :  Z l n X dũ(x) dφ(x)i i −ES βi (6.26) + ρgS φ(x) dx = 0, ∀ βi dx dx 0 i=1 Ces n quantités devant s’annuler quelles que soient les fonctions tests, soit quels que soient les coefficients βi , on abouti à n équations indépendantes en u(x) à résoudre. Choisissons maintenant l’espace U n des fonctions d’approximation de la solution construites à partir Approximations numériques 159 de la somme d’une solution particulière, vérifiant notamment les conditions aux limites cinématiques, et de fonctions de l’espace des fonctions test V n , soit une approximation du type de celle proposée de façon générale en 6.13, où les paramètres scalaires αi sont les inconnues à déterminer : ũ(x) = u⋆ + n X αj φ(x)j (6.27) j=1 On notera que si le terme particulier u⋆ est une fonction de x, il dépend de données du problème telles que des déplacement imposés, et sera donc présent dans le problème à résoudre comme une partie du second membre. Ceci est illustré ci-dessous. On aboutit finalement à un système linéaire carré symétrique de dimension n × n avec les inconnues αj solution de : n Z l  X j=1 0 dφ(x)j dφ(x)i ES dx dx   dx αj = Z l i ρgS φ(x) dx − 0 Z l ES 0 du⋆ (x) dφ(x)i dx dx dx (6.28) Illustrons maintenant une des difficultés de cette méthode : le choix de la base d’approximation. Dans notre cas particulier, les conditions aux limites cinématiques sont u(0) = 0 et u(l) = ud . On doit donc considérer l’espace V n engendré par les polynômes ayant pour racine x = 0 et x = l. Par exemple : v(x) = n X βi (x (x − l))i/2 (6.29) i=1 où les βi sont n paramètres scalaires. Il en découle que l’approximation du champ réel s’écrit : n X ud x ũ(x) = 2 (x + l) + αj (x (x − l))j/2 2l j=1 (6.30) car ce champ doit être C.A et vérifier, notamment, u(l) = ud . Le système finalement obtenu s’écrit donc :  Z l n Z l X ij i/2+j/2−2 2 ES ρgS (x (x − l))i/2 dx (2x − l) (x (x − l)) dx αj = 4 0 0 j=1 Z l d i u (2x + l) (2x − l) (x (x − l))i/2−1 dx, ∀ βi −ES 2 0 2 2l (6.31) Afin de simplifier les calculs, considérons le cas de cette même barre, mais dont l’origine du repère est décalée de −l : 0 −l et l 0, et sur laquelle un effort Rd d gl d’intensité ρ2E + ul est appliqué en x = −l. La solution dans ce cas est solution du Approximations numériques 160 problème reformulé pour faire apparaître également le travail de l’effort terminal Rd affecté − d’un signe − car la normale sortante est orientée vers les → x négatifs :  x  ρgx − (x + l) . (6.32) u(x) = ud 1 + l 2E et la formulation intégrale faible devient : Trouver ũ ∈ U n tel que pour tout v ∈ V n : Z 0 −l  dũ(x) dv(x) −ES + ρgS v(x) dx dx  dx − Rd v(−l) = 0  avec U n = ũ ∈ H 1 ([0, l])/ũ = u⋆ + v , ∀ x ∈ [0, l], avec v ∈ V n et ũ(0) = ud et V n = {v ∈ H 1 ([0, l])/v(0) = 0} (6.33) On vérifie que cet effort R appliqué en x = −l correspond bien à la condition u(−l) = 0. Finalement, ceci nous donne comme condition essentielle u(0) = ud et comme condition naturelle N (−l) = Rd . La condition C.A.(0) pour les fonctions tests, soit u(0) = 0 ici, nous permet d’utiliser une approximation par des monômes xi (i = 1, . . . , n) : d v(x) = n X βi xi (6.34) i=1 La quantité à annuler correspondant au système 6.33 sous forme discrète devient alors la somme de n quantités : n X βi i=1 Z 0 −l  dũ(x) −ES i xi−1 + ρgS xi dx  d dx − R (−l) i  =0 (6.35) L’espace U n est construit à partir de fonctions C.A. complétées par des fonctions issues de l’espace des fonctions test V n , soit : ũ(x) = ud + n X α j xj (6.36) j=1 où les paramètres scalaires αi sont les inconnues à déterminer. En introduisant cette approximation dans l’expression (6.35) valable pour tout coefficient βi , on aboutit finalement à un système linéaire carré symétrique de dimension n × n : n Z X j=1 0 ES j i x −l i+j−2  dx αj = Z 0 ρgS xi dx − Rd (−l)i −l (6.37) Approximations numériques 161 ou encore, sous une forme proche de celle des approximations précédentes : Z 0 Z 0 Z 0    Z0   n−1 Rd ρg  nx dx 2x dx . . . dx  x dx − (−l)     α1     ES −l E   Z 0−l    Z−l0 Z −l    0 Z 0         n 2 Rd ρg 2      α 2nx dx 4x dx . . . 2x dx    2 x dx − (−l)2      E ES −l −l −l   −l   · ..  =  .. .. .. .. ...      .  . . . .                      Z Z 0 Z 0 Z 0    α      0 ρg n Rd  n  2 2n−2 n n−1 x dx − (−l)n n x dx 2n x dx . . . nx dx ES | {z } −l E | {z −l −l | −l {z } [K] · {Q} = {F } (6.38) avec les composantes des matrices du système discret : Z 0 ES j i xi+j−2 dx Kij = −l Qi = α i Z 0 ρgS xi dx − Rd (−l)i Fi = (6.39) −l La résolution de ce système conduit aux résultats présentés sur la Figure 6.6 cidessous. Pour n = 1, soit une approximation linéaire, on ne vérifie que les conditions aux limites évidemment, et pour n = 2, on retrouve la solution exacte qui est parabolique (Eq. 6.32). On voit que la convergence vers la solution exacte dépend de la dimension n des espaces choisis. Les avantages de cette méthode sont nombreux. En premier lieu, elle permet de proposer une écriture assez systématique pour les grandeurs [K] et {F }. D’autre part le système obtenu est symétrique défini positif, ne posant donc pas de problème particulier pour être résolu par des solveurs directs standards. Par contre, pour des problèmes même simples, on peut arriver rapidement à des systèmes de taille conséquente. La prise en compte de gradients, ou d’effets locaux, est notamment difficile avec ce type d’approches car l’interpolation doit être suffisamment riche, ce qui implique que la taille du système croît extrêmement rapidement. D’autre part, dans le cas de problèmes bi ou tri-dimensionnels la recherche de solution approchée vérifiant les conditions aux limites essentielles s’avère souvent impossible. Pour pallier à ces inconvénients, l’utilisation de polynômes d’ordre élevé peut être remplacée par l’utilisation de plusieurs fonctions définies sur des sous-domaines. Ceci correspond notamment à la méthode des éléments finis étudiée ci-dessous. Méthode de Ritz Pour être complet, il faut indiquer qu’une méthode aboutissant au même système (Eq. 6.38) est souvent rencontrée dans la littérature sous le nom de méthode de Ritz                        } Approximations numériques 162 0.08 0.07 Déplacement (m) 0.06 Solution analytique n=1 n=2 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 x (m) Figure 6.6: Solution analytique et par approximation polynômiale dans la méthode de Galerkin pour le cas d’une poutre droite correspondant à la Figure 6.2. (W. Ritz, mathématicien suisse, 1878-1909). Cette méthode est utilisée sous le nom de Ritz-Galerkin en mécanique et dans une procédure itérative nommée Rayleigh-Ritz en dynamique/physique des ondes. Dans le cas qui nous intéresse, cette méthode variationnelle consiste à rechercher la solution réelle dans un espace de dimension finie U n en partant de l’énergie du système, soit l’énergie potentielle π(u) dans notre cas. L’approximation de la solution est introduite dans cette énergie, et la solution qui rend stationnaire cette énergie est celle qui annule sa première variation. On aboutit finalement à n équations à n inconnues, équivalent au même système que celui de l’Eq. 6.26, et finalement au même système carré défini positif que celui de la méthode de Galerkin (Eq. 6.37) : Approximations numériques π(u) ≃ π(ũ) δπ(ũ) = 163 ∂π(ũ) δũ = 0, ∀δũ ∈ V n ∂αi ∂π(ũ) = 0, i = 1, . . . , n ∂αi ! ! !! ! Z 0 n n n X X X ∂ d 1 d ⇔ α i xi αj xj − ρgS ES dx − Rd (−l)i = 0 α i xi ∂αi 2 −l dx i=1 dx j=1 i=1  Z 0 j=n Z 0 X
ρgS xi dx − Rd (−l)i , i = 1, . . . , n ES j i xi+j−2 dx αj = ⇔ ⇔ j=1 −l −l ⇔ (Eq. 6.37, Galerkin) (6.40) 6.3.5 De la méthode de Galerkin aux éléments finis Partant de cette méthode de Galerkin, nous allons dans un premier temps lever une des difficultés qui porte sur l’ordre élevé de l’approximation, en travaillant sur des sous-domaines sur lesquels l’approximation peut être plus basique. Conservons pour cela le découpage utilisé pour la collocation par sous-domaine, et tel que la barre soit l’union de n segments de longueur lx = nl délimités par n + 1 points. Afin de travailler sur ces sous-domaines, l’espace des fonctions test est composé de fonctions continues qui varient linéairement sur chaque segment li = [xi−1 , xi ], comme présenté sur la Figure 6.7 et définies telles que :  x−x i−1  si xi−1 ≤ x ≤ xi    lx xi+1 − x Ni (x) = si xi ≤ x ≤ xi+1   lx   0 sinon (6.41) On notera que n + 1 fonctions sont générées ainsi, en prolongeant aux extrémités les fonctions telles que N1 (−l) = Nn+1 (0) = 1, soit x0 = −(l + lx ) et xn+2 = lx . L’espace des fonctions test choisi doit assurer que les fonctions sont C.A.(0)(v(0) = Nn+1 (0) = 0 ici), prenons les niemes première fonctions Ni (x) (i = 1, . . . , n) : v(x) = n X βi Ni (x) (6.42) i=1 L’approximation d’ordre n ainsi obtenue est formée de la combinaison linéaire de valeurs v1 , v2 , . . . , vn prises par les fonctions aux points x1 , x2 , . . . , xn . Entre ces points, la fonction est interpolée linéairement par construction des fonction Ni (x). La quantité à annuler représentant l’équilibre s’écrit alors : Z 0    n X dũ(x) dNi (x) −ES βi + ρgS Ni (x) dx − Rd N1 (−l) = 0, i = 1, . . . , n dx dx −l i=1 (6.43) Approximations numériques 164 Figure 6.7: Fonctions linéaires par morceaux. l’information sur l’effort terminal apparaissant naturellement en x = −l, c’est-à-dire en produit avec la fonction N1 (x) définie telle que N1 (−l) = 1. Comme précédemment, on introduit dans cette quantité nulle pour tout βi l’approximation du champ solution qui est de la forme ’champ C.A.’ + ’approximation issue de V n ’, où le champ C.A. est représenté par le terme u⋆ = Nn+1 (x)ud avec Nn+1 (x) définie telle que Nn+1 (0) = 1 : ũ(x) = Nn+1 (x)ud + n X uj Nj (x) (6.44) j=1 où les paramètres scalaires ui sont les inconnues à déterminer. En introduisant cette approximation dans l’expression 6.43 on aboutit finalement à un système linéaire carré symétrique de dimension n × n de la forme du système 6.38 :  Z 0 n Z 0 X dNj (x) dNi (x) ES ρgS Ni (x) dx − Rd N1 (−l), i = 1, . . . , n dx uj = dx dx −l −l j=1 (6.45) ou encore, sous une forme proche de celle des approximations précédentes : n X Kij Qj = Fi , i = 1, . . . , n (6.46) j=1 avec les composantes des matrices du système discret :  Z 0 dNj (x) dNi (x)    ES Kij = dx   dx dx  −l  Z 0 ρgS Ni (x) dx − Rd N1 (−l) Fi =    −l     Qi = ui ,les déplacements aux abscisses xi (6.47) Si on construit ce système, les calculs des composantes Kij et Fi se font en prenant en compte le domaine de définition des fonctions de l’espace test V n . Ces fonctions sont Approximations numériques 165 en effet définies telles que Ni (x) 6= 0 pour x ∈ [xi−1 , xi+1 ]. Les intégrales sont donc définies sur ce même intervalle de longueur 2 lx et non plus sur toute la poutre. On se ramène bien à une résolution locale. Par exemple : Z 0 dNj (x) dNi (x) ES dx Kij = dx dx −l Z (6.48) min(xj+1 ,xi+1 ) dNj (x) dNi (x) dx = ES dx dx max(xj−1 ,xi−1 ) car les fonctions sont définies par morceaux, comme illustré sur la Figure 6.8 ci-dessous. Figure 6.8: Distribution des fonctions d’approximation pour notre problème de poutre. En utilisant la définition des fonctions d’approximation (Eq. 6.41), on calcule les termes de la matrice de rigidité. Par exemple, pour les premières fonction de forme N1 (x)/x ∈ [x1 , x2 ] et N2 (x)/x ∈ [x1 , x3 ] : Z x2 dN1 (x) dN1 (x) dx K11 = ES dx dx x1 ES = lx K22 = ES = ES Z x3 Zx1x2 x1 2 ES = lx Z x2 dN2 (x) dN2 (x) dx dx dx Z x3 dN2 (x) dN2 (x) dN2 (x) dN2 (x) dx + ES dx dx dx dx dx x2 dN1 (x) dN2 (x) dx dx dx x 1     Z x2 −1 1 dx = ES lx lx x1 −ES = lx K12 = ES (6.49) Approximations numériques 166 et ceux du vecteur des efforts extérieurs : Z 0 ρgS N1 (x) dx − Rd N1 (−l) F1 =   Z−lx2 x2 − x − Rd = ρgS l x x1 = ρgS l2x − Rd (6.50) Z 0 ρgS N2 (x) dx − Rd N2 (−l)     Z−lx2 Z x3 x − x2 x3 − x ρgS = ρgS dx + dx lx lx x1 x2 F2 = = ρgSlx On voit que les seuls termes non nuls de la matrice de rigidité, ceux pour lesquels une partie de l’intervalle de définition des fonctions Ni (x) et Nj (x) est commun, sont les termes de type |i − j| ≤ 1. Une explication ’mécanique’ peut être donnée à ceci, il s’agit de l’assemblage des rigidités définies sur chaque intervalle, ce que nous verrons dans la suite. Finalement, le système à résoudre est un système tri-diagonale de la forme :                  1 −1 0 . . . −1 2 −1 . . . 0 0 0 0 0 −1 2 ... 0 0 .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... ... ... ... 2 −1 . . . . . . . . . . . . −1 2                            ·                         u1 u2 u3 .. . un−1 un                                    =                                      2 1 ρglx 2 E − 2 ρglx E 2 ρglx E .. . 2 ρglx E 2 1 ρglx 2 E R d lx ES                                      (6.51) Comme précédemment on vérifie sur la Figure 6.9 que plus la dimension de l’espace d’approximation est grande, plus on approche la solution exacte. Cette approximation correspond à une approximation de type éléments finis qui présente les mêmes avantages qu’une approche de type Galerkin, i.e. conduit à un système carré symétrique défini positif. Par contre une telle approche présente un double avantage par rapport aux autres approximations : le découpage, ou maillage, du domaine étudié permet de diminuer le degré des fonctions d’approximation par rapport aux approximations polynômiales recherchées sur le domaine d’étude, et les coefficients solution ont une signification physique directement interprétable par l’ingénieur, il s’agit des valeurs prises par l’approximation du champ solution aux noeuds du maillage puisqu’en ces points les fonctions Approximations numériques 167 0.08 0.07 Déplacement (m) 0.06 0.05 Solution analytique n=2 n=5 n=10 0.04 0.03 0.02 0.01 0 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 x (m) Figure 6.9: Solution analytique et par éléments finis pour le cas d’une poutre droite correspondant à la Figure 6.2. d’approximation sont unitaires. Enfin, le recours aux intégrations numériques permet de rendre systématique l’utilisation de cette technique, ces intégrations numériques sont très souvent du type intégration de Gauss. Il reste, afin de rendre l’utilisation de ce type d’approximations plus ’intuitif’, à donner un sens physique aux grandeurs intervenant dans l’équilibre écrit sur le domaine, et considérés sur chaque sous-domaine. De plus, les conditions aux limites de Dirichlet, qui peuvent s’avérer problématique à prendre en compte dans les cas complexes, doivent être traitées de façon plus systématique. Une vision de ce type est proposée ci-dessous. Les éléments finis en mécanique des structures La méthode des éléments finis, pour être utilisable ’en routine’ doit être systématique dans son écriture, son implémentation, et son utilisation. Illustrons cela sur la formulation d’un élément fini de barre en tension correspondant au problème de notre barre soumise à son propre poids. Approximations numériques 168 Soit un élément de barre défini par ses abscisses x1 et x2 et les déplacements u1 et u2 correspondants mesurés en ces points. On choisit, indépendamment des conditions aux limites de Dirichlet, une interpolation linéaire pour le déplacement, i.e. le déplacement à l’intérieur de l’élément (x ∈ [x1 , x2 ]) est une combinaison linéaire des déplacements nodaux u1 et u2 : u(x) = u1 N1 (x) + u2 N2 (x) = < N1 (x) , N2 (x) > · ( u1 u2 ) (6.52) = < N (x) > · {u} Ce type d’approximation basé sur la valeur du déplacement nodal nous assure également que le déplacement est continu entre 2 éléments contigüs. Pour des raisons de commodité de stockage, et également pour assurer une bonne précision des intégrations numériques des quantités élémentaires, il est classique de recourir à un élément de référence. Cet élément fictif possède une géométrie fixe permettant de ne pas faire apparaître explicitement les bornes d’intégration de l’élément réel dans les calculs et également de s’assurer que la géométrie sur laquelle ces calculs sont réalisés ne se déforme pas, ce qui assure une qualité optimale des intégrations numériques. Considérons cet élément de référence défini pour la variable ξ ∈ [−1, 1] tel que présenté sur la Figure 6.10 ci-dessous. Figure 6.10: Définition de l’élément réel et de l’élément de référence. Dans ce cas, le passage entre l’élément réel et l’élément de référence se fait en écrivant la position sur l’élément réel comme la combinaison linéaire des positions connues aux extrémités de l’élément, soit : x(ξ) = x1 N1 (ξ) + x2 N2 (ξ) (6.53) ce qui équivaut à une interpolation géométrique linéaire, tout comme l’interpolation en déplacements. L’élément fini que nous formulons ici est dit isoparamétrique. Les expressions de ces fonctions d’interpolation s’établissent aisément en écrivant que d’après 6.52, Approximations numériques 169 on a : u(x1 ) = u1 N1 (−1) + u2 N2 (−1) = u1 u(x2 ) = u1 N1 (1) + u2 N2 (1) = u2 (6.54) soit des fonctions d’interpolation :  ξ−1    N1 (ξ) = − 2    N2 (ξ) = ξ + 1 2 (6.55) Revenons maintenant au problème de notre barre telle que présentée sur la Figure 6.2 page 150. Lorsque nous formulons l’élément fini, nous cherchons à résoudre le problème de l’équilibre de cette barre dans son ensemble, écrit dans les Eqs. 6.24, et plus précisément l’expression :  Z 0 dũ(x) dv(x) + ρgS v(x) dx = 0 , ∀v C.A.(0)+ cond. limites −ES dx dx −l Introduisons, comme dans la méthode de Galerkin, l’approximation du champ test v dans cette expression. Cette approximation est de la forme proposée dans l’Eq.6.52, où les déplacements nodaux u1 et u2 se réfèrent aux déplacements mesurés aux extrémités de chacun des éléments de longueur le . Comme la barre est maintenant maillée par des éléments de longueur le , l’intégrale sur la barre devient égale à la somme des intégrales des grandeurs définies pour chaque élément e : )! ( Z d dũ(x) v 1 dx . . . < N1 (x) , N2 (x) > · −E e S e dx dx e v 2 l (6.56) )! ( Z v 1 dx ρe gS e < N1 (x) , N2 (x) > · ... + e v 2 l Les conditions aux limites de Dirichlet et de Neumann seront introduites ultérieurement dans le système. Pour simplifier les écritures, supposons que les grandeurs physiques ne varient pas sur la longueur de l’élément. En introduisant enfin l’approximation de u(x) par la même interpolation linéaire, nous aboutissons au système caractérisant l’équilibre d’un élément : )T ) ( Z ( d d v u 1 1 −E e S e dx . . . < N1 (x) , N2 (x) >T < N1 (x) , N2 (x) > dx dx v2 u2 le )T Z ( v 1 < N1 (x) , N2 (x) >T dx = 0 , . . . + ρe gS e v2 le )T ( v1 C.A.(0)+ cond. limites + cond. raccord ∀ v2 (6.57) Approximations numériques 170 Considérant que notre poutre est maillée avec des éléments numérotés de 1 à n et que les n + 1 degrés de liberté correspondants sont numérotés de façon à ce que l’élément i ait pour extrémités xi et xi+1 , l’équilibre discrétisé de notre poutre s’écrit : −E 1 S 1 Z x2 x1 ( ( v1 v2 )T d d < N1 (x), N2 (x) >T < N1 (x), N2 (x) > dx dx ( u1 u2 ) dx )T ) ( d d u 2 dx . . . −E 2 S 2 < N1 (x), N2 (x) >T < N1 (x), N2 (x) > dx dx u3 x2 )T ) ( Z xn+1 d d v u n n < N1 (x), N2 (x) >T < N1 (x), N2 (x) > −E n S n dx dx dx un+1 vn+1 xn )T Z x2 ( v 1 +ρ1 gS 1 < N1 (x), N2 (x) >T v2 x1 )T Z x3 ( v 2 < N1 (x), N2 (x) >T . . . +ρ2 gS 2 v3 x2 )T ( Z xn+1 v n < N1 (x), N2 (x) >T dx = 0 , ∀{v}T C.A.(0)+ cond. limites +ρn gS n vn+1 xn (6.58) On voit bien, dans cette formulation que les noeuds ’intermédiaires’ vont contribuer 2 fois à la rigidité et aux efforts appliqués sur l’ensemble. Ceci rejoint la remarque sur les intégrations des éléments de la matrice de rigidité dans la méthode de Galerkin (Eqs. 6.49 page 165) ci-dessus, où cette contribution apparaissait naturellement au travers du domaine de définition des fonctions d’approximation. Ici, les éléments finis sont intuitivement assemblés par rapport aux degrés de liberté communs. Le système qui en découle est très simple, tridiagonal symétrique carré et défini positif, identique aux conditions aux limites prés au système issu de l’approximation de Galerkin (Eqs. 6.51 page 166) puisque les interpolations sont linéaires également. Z x3 v2 v3 ( Notons que l’assemblage des grandeurs élémentaires, en 2D et 3D ou plus généralement dés que les connectivités deviennent multiples, ne conduit pas à ce type de système car les noeuds peuvent être communs à plusieurs éléments. Il s’agit alors de stocker les grandeurs globales du système de façon à minimiser la largeur de bande, caractéristique du nombre d’inversions à effectuer pour calculer la solution. Comme nous utilisons un élément de référence pour généraliser les calculs, définis- Approximations numériques 171 sons les grandeurs élémentaires calculées sur un élément de longueur le : Déplacements nodaux Rigidité Efforts extérieurs qie = ui Kije Fie e = E S e Z xi +1 Zxi1 dNj (ξ) dNi (ξ) dx dx dx   dNj (ξ) dNi (ξ) 2 dξ dξ dξ le = E eS e −1  E eS e   si i = j le = e e   − E S si i 6= j lZe 1  e l e e e dξ Ni (ξ) = ρg S 2 −1e  l = ρe g e S e 2 (6.59) Figure 6.11: Barre en tension modélisée avec 2 éléments finis. Posons le système à résoudre pour une discrétisation en 2 éléments de notre barre en tension soumise à son propre poids, tel que sur la Figure 6.11-a. Les conditions aux limites du problème avec changement d’origine sont N (−l) = Rd et u(0) = ud . La condition aux limites de Neumann est introduite directement dans le système puisque la contribution de cet effort ponctuel agit comme un force extérieure produisant un travail dans le déplacement u1 . Comme dans le cas de la méthode de Galerkin, cette condition de Neumann est prise en compte très facilement. La condition de Dirichlet est quant à elle prise en compte par élimination, avec une méthode vue ci-après. Le système avec effort terminal s’écrit donc :   1 −1 0  u1 E eS e    −1 1 + 1 −1  u2  le  u = ud 0 −1 1 3      e e le d   ρ gS 2 − R = ρe g e S e l e     ρe g e S e l e 2      (6.60) La longueur le des éléments étant égale à la demi-longueur de la poutre réelle, et les propriétés matériaux et géométriques étant les mêmes pour ces éléments, notre système Approximations numériques devient :   1 −1 0  u1    −1 2 −1  u2   u = ud 0 −1 1 3  172    
l 2 1   2 ρg
2 − 2 = ρg 2l  
  1 l 2 ρg 2 2 Rd l ES 2    (6.61)   ce qui correspond bien au système (6.51) obtenu précédemment, en définissant des fonctions de forme locales sur chaque sous-domaine. Mais ici la présentation de la méthode permet une approche plus physique, puisque les grandeurs globales que sont la rigidité et le chargement extérieur peuvent être vues simplement comme la somme des contributions de chaque élément à l’ensemble. Il reste enfin à prendre en compte la condition aux limites de Dirichlet qui ici n’est pas incluse dans l’espace des solutions. Pour simplifier les choses, revenons au problème initial de la Figure 6.11-b tel que u(0) = 0 et u(l) = ud . Soit, en termes de degrés de liberté (ddl) : u1 = 0 et u3 = ud . La condition homogène peut être traitée en réduisant le système, i.e. en éliminant les contributions relatives à ce degrés de liberté. On obtient bien une solution à ce problème qui n’est plus singulier puisqu’un mouvement de corps rigide est bloqué, ce qui assure de pouvoir solliciter la structure. Mais dans les codes de calcul industriels, l’assemblage des grandeurs élémentaires est une opération coûteuse, et redimensionner le système obtenu est très rarement employé. On préférera garder la taille du système en annulant les contributions correspondants au ddl et le terme diagonal à l’unité :          1 0 0 u 0    1    l2 = (6.62) −1  u2 ρg 4  0 2     2     0 −1 1 u3 = ud ρg l8 Dans le cas de conditions non-homogènes, on peut procéder de plusieurs façons, et notamment par élimination. Il s’agit de la solution la plus directe que nous utiliserons ici pour des raisons de clarté, mais qui dans les codes industriels n’est jamais employée pour les raisons de redimensionnement évoquées précédemment. On préférera plutôt procéder par pénalisation (ou méthode du terme diagonal dominant) ou en introduisant des inconnues supplémentaires appelées Multiplicateurs de Lagrange, le principe étant d’introduire des grandeurs équivalentes aux efforts de réaction produits par ces ddls imposés. De façon générale, si nD conditions de Dirichlet sont imposées, le système à résoudre − possède (en 3D), 3n − nD ddl car le champ test est C.A.(0) (équilibre ∀→ v C.A.(0)), i.e. les déplacements imposés sont annulés. Ceci conduit à annuler le travail virtuel des efforts de réaction. Considérons plutôt le cas où ce champ test est simplement C.A. L’équilibre s’écrit alors : ( ) ( )T ( ) ( ) ( )T  T [K ] [K ] bl ll {u } {v } {F } {v } {vl } l l l l T   − −{vb } {Rb } = 0 , ∀ C.A. {ub } {vb } {Fb } {vb } {vb } [K ] [K ] bl bb où les termes de rigidité relatifs aux ddls libres notés {ul } sont regroupés dans une sousmatrice [Kll ] et un vecteur des efforts extérieurs connus {Fl }. De la même façon, les termes Approximations numériques 173 relatifs aux nD ddls imposés notés {ub } sont regroupés dans la sous-matrice [Kbb ] et un vecteur des efforts extérieurs connus {Fb } complété par les efforts de réaction {Rb }. La sous-matrice [Kbl ] relie les contributions ’croisées’ des ddls imposés et inconnus. La solution recherchée {ul } est donc solution de : [Kll ] {ul } = {Fl } − [Kbl ]T {ub }  avec {ub } = ud . Dans notre cas, la condition u3 = ud conduit à résoudre : K22 u2 = F2 − K23 ud d l2 ⇔ u2 = ρg 8E + u2 soit la solution exacte en x = sur la Figure 6.9 page 167. l 2 (pour mémoire u(x) = ud x l (6.63) − ρgx (x − l)) tel que représenté 2E Pour information, l’utilisation d’une pénalité pour assurer u3 = ud reviendrait à
imposer une réaction R3 = α ud − u3 avec α un scalaire à choisir grand (de l’ordre de 105−8 , ou plus généralement ≫ max(Kij )). Le travail des efforts de réaction étant nul, la condition sera d’autant mieux vérifiée que α sera grand. Par contre le système sera alors mal conditionné car en introduisant ces efforts de réaction, le système à résoudre est :   ( ) ( ) [Kbl ]T [Kll ] {Fl }   {ul }  = (6.64)   {ub } {Fb } + α ud [Kbl ] [Kbb ] + α [I] On remarquera par ailleurs que les réactions introduites n’apparaissent plus dans ce système final où α peut être assimilé à une rigidité. 6.4 Conclusions sur les méthodes numériques en mécanique des structures On vient de voir, à travers un exemple simple, que la méthode des éléments finis est la méthode idéale pour le dimensionnement dans une démarche de conception de structures. Cette méthode s’appuie sur des méthodes générales plus anciennes mais qui peuvent s’avérer assez lourdes, même pour des cas simples. Par contre, il ne faut pas oublier que le dimensionnement des systèmes mécaniques fait de plus en plus appel à des simulations multi-physiques dans lesquels diverses méthodes numériques peuvent être combinées. C’est d’ailleurs ces approches combinées qui donnent lieu, aujourd’hui, au plus gros effort en simulation numérique chez les industriels. Ces méthodes complexes et faisant appel à des calculs de grandes taille sur des calculateurs parallèle ou distribués, vont bien au-delà de l’objectif de cette courte introduction, mais les principes de base restent les mêmes : résolution des équations de conservation Approximations numériques 174 de masse, d’énergie, d’espèce chimique, de quantité de mouvement, ... Avec la question de fond qui doit rester dans l’esprit de tout ingénieur : quelle est la qualité (représentativité) de la solution obtenue ? Une première idée peut être proposée à travers une solution analytique du type de celles vues en début de ce document, ensuite des tests de convergence et stabilité doivent être conduits. Mais ceci relève des cours spécifiques du master Mécanique et Ingénierie, parcours Modélisation et Simulation Numérique ... Approximations numériques 175 7. Rappels - Éléments et Principes de la mécanique Sommaire 7.1 7.2 Rappel sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.1.1 Définition d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.1.2 Produit scalaire de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.1.3 Dérivation d’un torseur dans un repère mobile . . . . . . . . . . 178 Calcul variationnel 7.2.1 Extremum d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.2.2 Condition d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2.3 Cas où la dérivée seconde intervient . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.2.4 Importance des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2.5 Cas d’une fonctionnelle faisant intervenir des dérivées en temps et en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2.6 7.3 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Remarque : Indépendance des formes de y dans la fonctionnelle I 185 Cinétique - Dynamique - Énergétique . . . . . . . . . . . . . . 185 7.3.1 Moments et autres caractéristiques du mouvement des corps . . 185 7.3.2 Théorème de Huygens-Koënigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.3.3 Tenseurs d’inertie pour des géométries courantes . . . . . . . . 188 7.3.4 Cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.3.5 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.3.6 Principe Fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . . . . 192 7.3.7 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Principe des puissances virtuelles - P P V - et lien avec les autres principes de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.4.1 Principe des Travaux Virtuels et Principe de Hamilton pour les systèmes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.4.2 Forme proposée par Lagrange pour les systèmes discrets . . . . 198 7.4.3 Généralisation aux systèmes discrets non-conservatifs . . . . . 199 7.4.4 Principe de Hamilton pour les systèmes continus . . . . . . . . 201 176 Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 7.4.5 7.5 7.1 7.1.1 177 Liens avec le PPV/PTV, et le Principe de Hamilton dans les milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Concepts de stabilité des équilibres . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.5.1 Stabilité des équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.5.2 Définition d’un équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.5.3 Petites oscillations autour d’une configuration d’équilibre . . . 210 7.5.4 Stabilité d’un équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.5.5 Linéarisation des énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Rappel sur les torseurs Définition d’un torseur Un torseur se définit en un point P et dans un repère (R) par ses éléments de → − − → réduction qui sont la résultante ( R B ) et le moment (M B ) associé. La propriété essentielle est que le moment, lorsqu’il est exprimé en un point différent, en un point A par exemple, devient : − → − → −→ → − M A = M B + AB ∧ R B → − Par exemple le champ de vitesse V (P ∈ S) d’un solide (S) dans son mouvement par rapport à un repère de référence (R0 ) est connu à travers le torseur cinématique → − → − suivant, d’éléments de réduction Ω (S/R0 ) et V (P, S/R0 ), exprimé au point P de (S) :  →  −    Ω (S/R0 )  {VS }(P,S/R0 ) = → − −−→ → −   V (P, S/R0 ) = P M ∧ Ω (S/R0 )   (P,S/R0 ) Dans la suite, les torseurs seront supposés exprimés par rapport au repère de référence du mouvement, ici R0 , et explicités dans ce même repère afin d’alléger les notations. Si ce torseur est transporté au point A, la résultante reste inchangée mais le moment résultant devient : → − → − −→ → − V (A, S/R0 ) = V (P, S/R0 ) + AP ∧ Ω (S/R0 ) Le torseur cinématique exprimé en ce point devient alors :  → −   Ω (S/R0 ) {VS }(A,S/R0 ) = → − → − −→ → −   V (A, S/R0 ) = V (P, S/R0 ) + AP ∧ Ω (S/R0 )      (A,S/R0 ) Ces propriétés, et celles énoncées ci-dessus, du torseur cinématique sont générales et s’appliquent sans aucune restriction aux torseurs des efforts (statiques), torseur cinétique, dynamique, ou encore dans le cas des poutres aux torseurs des déformations ou des contraintes. Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 7.1.2 178 Produit scalaire de deux torseurs On montre trés facilement (Eqs. 7.1 ci-dessous) que le produit de 2 torseurs se ramène aux produits croisés des éléments de réductions des torseurs. Il en découle donc que ce produit est indépendant du point où sont exprimés les 2 torseurs. Prenons par exemple le produit du torseur des efforts par le torseur des déformations, soit l’équivalent de l’énergie de déformation pour une poutre (voir §1.4.2, Chapitre 1, Théorie des poutres) : {τM (x1 )} . {ǫM (x1 )} =  → −   R (x1 ) = −−→ − → −−→ → −   MM (x1 ) = M (x1 ) + M G ∧ R (x1 ) → −′ → − −−→ = R (x1 ).− e→ M (x1 ) + MM (x1 ). r (x1 )      . (M )  → −   r (x1 )    −′ −−→ → → −   e→  − M (x1 ) = e (x1 ) + M G ∧ r (x1 )    − → − − → − −−→ → → −−→ → − − = R (x1 ). → e (x1 ) + M G ∧ r′ (x1 ) + M (x1 ) + M G ∧ R (x1 ) r′ (x1 )  →  −−→ → −−→ → − −′ → − − → − → − → − → − = R (x1 ). e (x1 ) + R (x1 ). M G ∧ r (x1 ) + M G ∧ R (x1 ) . r′ (x1 ) +M (x1 ). r′ (x1 ) {z } | → − → − − → − = R (x1 ).→ e (x1 ) + M (x1 ). r′ (x1 ) =0 (7.1) 7.1.3 Dérivation d’un torseur dans un repère mobile On démontre, à partir d’éléments de calculs tensoriels, que la dérivée d’un torseur par rapport à un repère mobile s’écrit, par exemple pour les déformations {ǫM (x1 )} : (M ) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 179 d {UM } dx1  → −  r (x1 )  d = −−→ → −→ → − − dx1   uM (x1 ) = u (x1 ) + M G ∧ r (x1 ) {ǫM (x1 )} =      (M )  d → −    dx r (x1 ) 1 = −−→ d d →  − − − −  u→ u (x1 ) + → x1 ∧ → r (x1 ) + M G ∧  M (x1 ) = dx1 dx1  →  −′   r (x ) 1   = −′ −−→ → → −   e→  − M (x1 ) = e (x1 ) + M G ∧ r (x1 )  − d → r (x1 ) dx1        (M ) (M ) (7.2) pour les détails de la démonstration, on pourra se référer à l’ouvrage de P.Germain&P.Muller, référencé en début de ce cours. L’illustration peut se faire avec le torseur des actions intérieures d’une poutre écrit au centre de gravité de la section courante,  →  −   R (x ) 1   {τ (x1 )}(G) = − →   M (x1 )   (G) En considérant les éléments de réduction en un point O fixe, la dérivée s’exprime en ce même point O :   − d →      dx R (x1 )  d 1 {τ (x1 )}(O) = → → − −→ − d − d →   dx1 −  M (x1 ) + → x1 ∧ R (x1 ) + OG ∧ R (x1 )    dx1 dx1 (O) Ce qui conduit aux éléments de réduction de la dérivée du torseur des efforts internes, exprimé en G et tel que présenté au §1.6.1 dans la théorie des poutres :   → −′   R (x1 )   d (7.3) {τ (x1 )}(G) = −→ → − −  dx1 x1 ∧ R (x1 )    M ′ (x1 ) + → (G) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 7.2 180 Calcul variationnel Le calcul variationnel, ou calcul des variations, est une branche de l’analyse fonctionnelle qui consiste à rechercher des solutions conduisant à un optimum (maximum ou minimum) d’un fonctionnelle, une fonction de fonction à valeur réelle. C’est un outil puissant qui permet de caractériser une famille de solution, i.e. admissible au sens des restrictions qui doivent être vérifiées en termes de régularité (C 1 ) et de conditions aux limites, naturelles (Neumann) et essentielles (Dirichlet) en mécanique des milieux continus - voir Les Principes Variationnels par M. Bonvalet, collection Principes Mathématiques de la Physique - 2, Ed. Masson 1993. Ce type d’approche permet, par exemple, de caractériser une famille d’approximations dans les méthodes d’homogénéisation (cf support de cours de Mécanique des Composites Hautes Performances). Plus de détails peuvent être trouvés dans d’autres branches de la physique, par exemple dans l’ouvrage de M. Bonvalet cité ci-dessus. 7.2.1 Extremum d’une intégrale On cherche l’extremum d’une intégrale de la forme : Z x2 Φ(y, y ′ , x)dx I (y(x)) = (7.4) x1 avec comme conditions aux limites y(x1 ) = 0 et y(x2 ) = 0. Ce problème est dit problème de Lagrange, et nous comprendrons rapidement pourquoi dans la suite où il s’agira de minimiser le Lagrangien d’un système, avec des conditions aux extrémités fixes. On cherche parmi toutes les fonctions ȳ(x) possibles, celles qui conduisent à une valeur extrêmale de I (y(x)). On note y(x) la famille des fonctions qui réalisent cet extrêmum. On peut exprimer toutes les fonctions possibles ȳ(x) en fonction des y(x), modulo une famille de fonctions arbitraires η(x) : ȳ(x) = y(x) + αη(x) (7.5) où α est une constante. On voit clairement que la fonctionnelle I réalise un minimum lorsque la valeur induite par la partie arbitraire η(x) de ȳ(x) est nulle. Dit autrement, la fonctionnelle Ψ(α) = I(y(x) + αη(x)) vérifie l’inégalité (choisissons par commodité la notion de minimum pour l’extremum de cette fonctionnelle arbitraire) : Ψ(0) ≤ Ψ(α) pour tout α assez petit. (7.6) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 181 On aura donc un minimum de I lorsque α est nul, ou encore la dérivée par rapport à α est nulle quand α est nul (en réalité tend vers 0) : (   dI (ȳ(x)) η(x1 ) = 0 et les C.L. (7.7) δI = Ψ′ (0) = dα η(x2 ) = 0 α→0 ce qu’on peut également réécrire sous une forme plus classique, en introduisant un développement de Taylor δI = lim α→0  I (y(x) + αη(x)) − I(y(x)) α  = 0 et les C.L. ( δy(x1 ) = 0 δy(x2 ) = 0 On définit ainsi la notion de variation, et on peut réécrire ȳ(x) = y + δy(x). En introduisant cette notation, on peut désormais utiliser le formalisme habituel du calcul différentiel (7.8) où δy est associé à y mais n’est pas sa différentielle ; elle représente une famille de fonctions proches (voir figure 7.2.1). Finalement, le calcul des variations de l’intégrale permet de rechercher "simplement" une fonction dont la forme conduit à réaliser un extrêmum sur l’intervalle donné. ∂f ∂f 1 ′ δy + ′ δy ′ f = k(y 2 + y 2 ) ⇒ δ(f ) = 2 ∂y ∂y = k(yδy + y ′ δy ′ ) (7.8) — dy est un accroissement correspondant à y(x + dx) = y(x) + dy — δy est la valeur que prendra une fonction voisine, en l’occurrence y +δy, pour une valeur unique de la variable x. 7.2.2 Condition d’Euler-Lagrange En reportant dans l’expression de I (7.4), la forme générale des fonctions à tester (7.5), on obtient une forme de I qui peut être développée selon le théorème de Taylor-Mac Laurin en supposant que y et y ′ sont des fonctions indépendantes (voir 7.2.6) :  Z x2  Z x2 Z x2 ∂Φ ∂Φ ′ ′ ′ ′ η(x) + ′ η (x) dx +T.O.S. Φ(y, y , x)dx + α Φ(y + δy, y + δy , x)dx = ∂y ∂y x1 x1 x1 ⇔ I(ȳ) = I(y) + δI(y, δy) (7.9) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 182 avec le dernier terme δI qui est appelé première variation de I, et qui peut se réécrire par intégration par parties en fonction des conditions aux limites :  Z x2  ∂Φ ∂Φ ′ δI = δy + ′ δy dx ∂y ∂y x1    x2 Z x2  d ∂Φ ∂Φ ∂Φ = δy dx + α − η(x) (7.10) ∂y dx ∂y ′ ∂y ′ x1 x1    x2 Z x2  d ∂Φ ∂Φ ∂Φ δy dx + δy − = ∂y dx ∂y ′ ∂y ′ x1 x1 Notons la propriété suivante, Z appelée également Lemme fondamental du calcul t2 des variations : Si l’intégrale f (t) δf (t) dt est nulle pour toute fonction δf (t) t1 continue et nulle au voisinage de t = t1 et t = t2 , alors la fonction f (t) est identiquement nulle si elle est continue. En repartant de l’expression précédente de la première variation de I, fonctionnelle à minimiser, et avec les conditions aux limites précisées en (7.7), pour que I (y(x)) soit extremum, il est nécessaire et suffisant que δI soit nul en tout point du domaine, donc : ∂Φ d ∂Φ = 0 (Condition d’Euler- Lagrange) − ∂y dx ∂y ′ 7.2.3 (7.11) Cas où la dérivée seconde intervient I (y(x)) = Z x2 Φ(y, y ′ , y ′′ , x)dx (7.12) x1 aprés 2 intégrations par parties successives, on obtient la forme suivante de la première variation de δI :    x2 Z x2  d ∂Φ ∂Φ ∂Φ δy dx + α η(x) − δI = ∂y dx ∂y ′ ∂y ′ x1 x1   x2 x2  Z x2 2 ∂Φ ′ d ∂Φ d ∂Φ δy dx + α η (x) η(x) −α + 2 ′′ ∂y ′′ dx ∂y ′′ x1 dx ∂y x1 x1 x    Z x2  2 ∂Φ ′ 1 d ∂Φ d ∂Φ ∂Φ d ∂Φ ∂Φ δy dx + δy + ′′ δy + − − = ∂y dx ∂y ′ dx2 ∂y ′′ ∂y ′ dx ∂y ′′ ∂y x1 x2 = 0 (7.13) ce qui conduit à la condition d’Euler-Lagrange suivante : ∂Φ d2 ∂Φ d ∂Φ + =0 − ∂y dx ∂y ′ dx2 ∂y ′′ (7.14) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 183 et aux conditions aux limites associées :   ∂Φ d ∂Φ |(x1 ,x2 ) = 0 − ∂y ′ dx ∂y ′′ ∂Φ |(x ,x ) = 0 ∂y ′′ 1 2 7.2.4 (7.15) Importance des conditions aux limites Traitons le cas d’une barre homogène en flexion statique. Sans entre dans les détails, l’énergie de déformation d’un tel système s’écrit sous la forme : Z l  ′′ 2 ky − 2ρy dx (7.16) I (y(x)) = 0 où y est un déplacement transverse à la poutre, k est une rigidité et ρ est une masse linéique. Après intégrations par parties, la première variation de I est : Z l l (ky ′′′′ − ρ) δydx + [−ky ′′′ (x)δy(x) + ky ′′ (x)δy ′ ]0 (7.17) δI (y(x)) = 0 Ainsi, l’extrêmum de I conduit à vérifier que cette première variation est nulle en tout point du domaine. On voit que le premier terme de cette expression, qui correspond à la condition d’Euler-Lagrange (7.14), est bien nulle en tout point de ]0, l[, par conséquent on a une équation du quatrième ordre en y à résoudre ce qui implique la connaissance de 4 conditions aux limites. Comme l’expression de δI doit être nulle, les termes de bord doivent donc s’annuler également pour toutes "fonctions test" δy et δy ′ . On a donc les termes de bord, conformément à l’expression générale de (7.20), qui doivent s’annuler : l δI (y(x)) = [−ky ′′′ (x)δy(x) + ky ′′ (x)δy ′ ]0 soit au total quatre conditions portant soit sur y ′′ (x) ou y ′′′ (x) ou bien sur la fonction test δy(x) ou δy ′ (x) qui, on le rappelle, sont supposées indépendantes (voir 7.2.6). "Il ressort immédiatement de l’observation des situations précédentes que le calcul des variations présente la précieuse caractéristique de mettre spontanément en évidence le nombre exact de conditions aux limites auxquelles il est nécessaire de satisfaire, ce qui est un élément de contrôle souvent très précieux dans le traitement de problèmes." 7.2.5 Cas d’une fonctionnelle faisant intervenir des dérivées en temps et en espace Dans le cas du principe d’Hamilton (cf §7.4.4 page 201), le Lagrangien du système fait intervenir des dépendances en espace et en temps. Nous proposons d’établir la Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 184 condition de minimisation d’Euler-Lagrange pour ce cas :  Z t 2 Z l ′ ′ I (y(x)) = Φ(y, y , ẏ, ẏ , x) dx dt t1 (7.18) 0 La première variation de I est :   Z t 2  Z x2  ∂Φ ′ ∂Φ ∂Φ ′ ∂Φ δy + ′ δy + δ ẏ + ′ δ ẏ dx dt δI (y(x)) = ∂y ∂y ∂ ẏ ∂ ẏ x1 t1 (7.19) En effectuant l’intégration par parties en espace,       Z t 2 Z x2  ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂Φ δI (y(x)) = δy + δ ẏ dx dt δy − δ ẏ + − ∂y ∂x ∂y ′ ∂ ẏ ∂x ∂ ẏ ′ t1 x1  x1 Z t2  ∂Φ ∂Φ + δy + ′ δ ẏ dt ∂y ′ ∂ ẏ t1 x2 = 0 (7.20) puis l’intégration par parties en temps :         Z t 2  Z x2  ∂ ∂Φ ∂ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂Φ − + δy dx dt − δI (y(x)) = ∂y ∂x ∂y ′ ∂t ∂ ẏ ∂t ∂x ∂ ẏ ′ t1 x1 "  x1   t 1 # x1 Z t2  ∂Φ ∂Φ ∂ ∂Φ + δy dt + δy − δy ∂y ′ ∂t ∂ ẏ ′ ∂ ẏ ′ t1 x2 t2 x2 = 0 (7.21) ce qui conduit à la condition de minimisation de d’Euler-Lagrange :        ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ − = 0, ∀t, ∀x + − ∂y ∂x ∂y ′ ∂t ∂ ẏ ∂t ∂x ∂ ẏ ′ (7.22) et aux conditions aux limites associées, sachant que le champ virtuel est nul aux instants t1 et t2 , ce qui annule le dernier terme de l’expression 7.21 :  x2  ∂Φ ∂ ∂Φ = 0, ∀t (7.23) δy − ∂y ′ ∂t ∂ ẏ ′ x1 Si, de plus, des conditions sont imposées sur la valeur de la fonctionnelle à ses bornes en espace du type [Φ(y, y ′ , ẏ, ẏ ′ , x)y]xx21 , comme c’est la cas par exemple dans les solides de type barres, cordes, et poutres, pour les efforts et moments terminaux, les conditions aux limites ci-dessus (7.23) sont complétées et deviennent :    x ∂Φ ∂Φ 2 ∂ ∂Φ + − = 0, ∀t (7.24) ∂y ′ ∂t ∂ ẏ ′ ∂y x1 Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 7.2.6 185 Remarque : Indépendance des formes de y dans la fonctionnelle I Le problème physique posé avec cette formulation a pour solution la fonction y(x) dont la dérivée y ′ (x) dépend, bien évidemment. Quelle est alors l’hypothèse, si hypothèse il y a, qui permet de supposer que y et y ′ sont indépendantes ? On étudie maintenant le cas d’une fonctionnelle F qui dépend de y et d’une autre forme de y, notée g(y). On a alors la différentielle de la fonctionnelle : dF = ∂F (y, g(y), x) ∂F (y, g(y), x) dg(y) dy + dy ∂y ∂g(y) dy (7.25) dy = y ′ , alors la différentielle de si, par exemple, g(y) est la différentielle telle que g(y) = dx F devient : ∂F (y, g(y), x) ∂F (y, g(y), x) d dy dF = dy + dy dy ∂y dy dx ∂ (7.26) dx ∂F (y, g(y), x) ∂F (y, g(y), x) ′ dy + dy = ∂y ∂y ′ par extension (7.7), il vient naturellement : δI = ∂F (y, g(y), x) ∂F (y, g(y), x) ′ δy δy + ∂y ∂y ′ (7.27) Sans supposer aucune indépendance de y(x) et y ′ (x), on arrive naturellement aux résultats connus (7.10). Il n’y a donc aucune hypothèse physique sous jacente, et cette démarche calculatoire peut s’appliquer de façon systématique à toute fonctionnelle dépendant de n’importe quelle forme de fonctions. 7.3 7.3.1 Cinétique - Dynamique - Énergétique Moments et autres caractéristiques du mouvement des corps On étudie un solide (S) dans son mouvement par rapport au repère de référence (R0 ). Centre d’inertie Le centre d’inertie G d’un solide (S) de masse m est défini par : Z Z −→ −→ −→ GP dm = 0 OP dm en particulier mOG = (S) (S) (7.28) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 186 Tenseur d’inertie d’un ensemble matériel Le tenseur d’inertie du solide, ou système de solides, (S) est défini par : Z −→ −→ → → − I(0, S). u = OP ∧ (OP ∧ − u )dm (7.29) (S) − − où le vecteur → u (→ x ) est un vecteur arbitraire. Si par exemple, ce vecteur est la vitesse de − rotation du solide S par rapport au repère R0 , → ω (S/R0 ), alors l’expression 7.29 correspond au moment cinétique du système, telle que définie en 7.36 ou encore telle qu’utilisée dans le calcul de l’énergie cinétique (7.40 par exemple). Dans un repère orthonormé, le tenseur d’inertie est représenté par la matrice symétrique suivante :   Z Z Z 2 2 xz dm  xy dm − (y + z ) dm −  (S) (S)   (S) Z Z Z   2 2   − xy dm (x + z ) dm − yz dm (7.30) I(0, S)(R0 ) =     (S) (S) Z (S) Z Z     − xz dm − yz dm (x2 + y 2 ) dm (S) (S) (S) (R0 ) ou encore :  avec Ixx −Ixy −Ixz   I(0, S)(R0 ) =  −Ixy Iyy −Iyz  −Ixz −Iyz Izz      (7.31) (R0 ) −→ — Ixx , Iyy , et Izz les moments d’inertie, respectivement par rapport à l’axe Ox, à −→ − → l’axe Oy et l’axe Oz — Ixy , Iyz , et Ixz les produits d’inertie, ou moments produits, respectivement par −→ −→ −→ − → −→ − → rapport aux axes Ox et Oy, Oy et Oz, Ox et Oz Les moments peuvent être calculés par rapport à un plan de référence, ou bien encore par rapport à une droite ou à un point de référence. Par rapport à un plan de référence, les moments d’inertie deviennent, par exemple par rapport au plan yOz (d’équation x = 0) : Z x2 dm I(S/x = 0) = (S) par conséquent le moment d’inertie Ixx est : Z (y 2 + z 2 )dm = I(S/y = 0) + I(S/z = 0) Ixx (O, S) = (S) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 187 Également, le moment d’inertie par rapport à l’origine O du repère (R0 ), appelé moment d’inertie polaire, s’écrit : Z (x2 + y 2 + z 2 )dm = I(S/x = 0) + I(S/y = 0) + I(S/z = 0) I0 (S/O) = (S) = Ixx (O, S) + Iyy (O, S) + Izz (O, S) = trace(I(0, S)) Le tenseur d’inertie de (S) par rapport à une droite (∆), correspondant donc à un mouvement de rotation est donné par : h i − − u . I(0, S).→ I(S/∆) = → u R0 − où → u est un vecteur unitaire porté par la droite (∆). Partant de cette définition, on peut définir les axes principaux d’inertie d’un solide (S), tels que dans le repère généré par ces axes le tenseur d’inertie I(O, S) est diagonal. Un tel repère est généré par la base de vecteurs propres du tenseur d’inertie. 7.3.2 Théorème de Huygens-Koënigs Ce théorème permet d’exprimer, entre autres choses, le tenseur d’inertie I(0, S) d’un solide (S) de masse M (S) relativement à O, origine du repère (R0 ), en fonction du tenseur d’inertie I(G, S) du même solide exprimé par rapport à son centre d’inertie G, appelé tenseur central d’inertie :  2  2 yG + z G −xG yG −xG zG   2 2   I(0, S)(R0 ) = I(G, S)(R0 ) + M (S)  −xG yG xG + zG −yG zG  (7.32)   2 −xG zG −yG zG x2G + yG (R0 ) Cette relation peut également se mettre sous la forme suivante : −→ −→ −→ I(O, S) = I(G, S) + M (S)(OG2 Id − OG ⊗ OG) Par exemple pour un cas plan tel que décrit dans la Figure 7.1, les moments et produits d’inertie par rapport à O l’origine du repère s’écrivent en fonction de grandeurs exprimées par rapport au centre de gravité G et en fonction de la position de G. Dans le −→ cas le plus simple, sur Oy par exemple, on a : 2 Iyy (O, S) = IY Y (G, S) + M (S)zG Iyz (O, S) = IY Z (G, S) − M (S)yG zG 2 2 I0 (S/0) = IG (G, S) + M (S)(x2G + yG + zG ) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 188 Figure 7.1: Section dans le plan (Oyz) et repère local (GYZ) associé 7.3.3 Tenseurs d’inertie pour des géométries courantes Figure 7.2: Solides courants : barre de masse m et longueur 2ℓ et disque de masse m et rayon R Voici quelques exemples de tenseurs d’inertie pour des solides de géométries courantes. Pour une barre de masse m et de longueur 2ℓ dont l’axe est confondu avec l’axe −→ Ox du repère (R0 ) et dont le centre de gravité est confondu avec l’origine du repère (R0 ) (figure 7.2) : I(0, barre)(R0 )  0 0  2   0 mℓ = 3   0 0 0    0    2  mℓ 3 (R0 ) (7.33) Pour un disque de masse m et de rayon R dont l’axe de révolution coïncide avec Rappels - Éléments et Principes de la mécanique − → l’axe Oz du repère (R0 ) (voir figure 7.2) :  I(0, disque)(R0 ) mR2  2   = 0   0 189 0 mR 2 0 0 2 0 mR2 et pour un cerceau de même masse et même rayon, on a : I(0, cerceau) 7.3.4 (R0 ) =        (7.34) (R0 ) 1 I(0, disque)(R0 ) 2 (7.35) Cinétique Rappel : torseur cinématique Comme introduit en début de ce chapitre, un torseur se définit en un point P et dans un repère (R) par ses éléments de réduction qui sont la résultante et le champ des → − moments associé. Le champ de vitesse V (P ∈ S) d’un solide (S) dans son mouvement par rapport à un repère de référence (R0 ) est connu à travers le torseur cinématique suivant, → − → − d’éléments de réduction Ω (S/R0 ) et V (P, S/R0 ), exprimé au point P de (S) :  →  − Ω (S/R )   0   {VS }(P,S/R0 ) = → − −−→ → −   V (P, S/R0 ) = P M ∧ Ω (S/R0 )   (P,S/R0 ) Dans la suite, les torseurs seront supposés exprimés par rapport au repère de référence du mouvement, ici R0 , et explicités dans ce même repère afin d’alléger les notations. Si ce torseur est transporté au point A, la résultante reste inchangée mais le moment résultant devient : → − → − −→ → − V (A, S/R0 ) = V (P, S/R0 ) + AP ∧ Ω (S/R0 ) Remarque Les mêmes définitions s’appliquent aux champs de vecteurs définis en tout → − point M du domaine. Si Ω (S/R0 ) est une densité vectorielle volumique, on aura   Z → −   Ω (M ∈ S/R )dS   0   S Z {VS }(P,S/R0 ) = −−→ → −    P M ∧ Ω (M ∈ S/R0 )dS    S (P,S/R0 ) Torseur cinétique Les éléments de réduction (composantes) du torseur cinétique, aussi appelé torseur des quantités de mouvement, dans le mouvement du système (S) par rapport au repère Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 190 de référence (R0 ), sont définis de la manière suivante au point A quelconque (7.36). La résultante est appelée quantité de mouvement ou résultante cinétique, et le moment est appelé moment cinétique : Z   → − → −    V (P ∈ S/R0 )dm  C (S/R0 ) =   (S) Z {CS }(A,S/R0 ) = (7.36) −→ → − → −     AP ∧ V (P ∈ S/R0 )dm   H (A, S/R0 ) = (S) (A,S/R0 ) → − où V (P ∈ S/R0 ) désigne la densité massique de vitesse au point P , appartenant au solide (S), dans son mouvement par rapport au référentiel (R0 ). En se plaçant en un point A du repère (R0 ), et en introduisant le repère central d’inertie (RG ) dont l’origine est G et → − → − dont les axes sont colinéaires aux axes de base du repère (R0 ), i.e. Ω (RG /R0 ) = 0 , les éléments de réduction du torseur cinétique deviennent :   → − → − C (S/R ) = M V (G ∈ S/R )   0 0   {CS }(A,S/R0 ) = → − → − −→ → −   H (A, S/R0 ) = H (G, S/RG ) + AG ∧ M (S) V (G ∈ S/R0 )   (A,S/R0 ) (7.37) Cette dernière expression permet de poser que : — la quantité de mouvement du système est égale à celle du centre d’inertie G affecté de la masse totale M du système, — le moment cinétique par rapport à un point A est la somme de son moment cinétique par rapport à G, centre d’inertie, dans le mouvement du système autour de G, et du moment cinétique par rapport à A de la masse totale M (S) supposée concentrée en G. Cette dernière propriété découle du théorème de Koënig. Énergie cinétique Expressions générales Par définition l’énergie cinétique T (S/R0 ) du système (S) par rapport au repère (R0 ) est la quantité suivante : Z → −2 1 V (P ∈ S/R0 )dm (7.38) T (S/R0 ) = 2 (S) Cette définition s’étend sans difficulté au cas d’un système de solides, constitué de → − N masses ponctuelles mk situées aux points Pk , animés de vitesses V (Pk ∈ S/R0 ) par rapport au référentiel (R0 ) : T (S/R0 ) = N − 1 X → mk V 2 (Pk ∈ S/R0 ) 2 k=1 (7.39) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 191 et si le système (S) apparaît comme la réunion de plusieurs sous-ensembles disjoints, tels que (S) = S1 ∪ S2 ∪ . . . ∪ SN , l’énergie totale se déduit des énergies cinétiques des sous-ensembles : T (S/R0 ) = T (S1 /R0 ) + T (S2 /R0 ) + . . . + T (SN /R0 ) Expressions par rapport à un point quelconque Dans le cas d’un système solide, → − le champ de vitesse V (P ∈ S) est connu à travers le torseur cinématique de (S) dans son mouvement par rapport à (R0 ) : {VS }(A,S/R0 ) . En introduisant, dans la définition générale de l’énergie cinétique (7.38), l’expression générale du champs de déplacement au sein du solide (S), on obtient l’expression suivante de l’énergie cinétique calculée en un point quelconque P . →  − → − − 1 h → M V 2 (P ∈ S/R0 ) + 2M V (P ∈ S/R0 ) Ω (S/R0 ) · I(G, S) T (S/R0 ) = 2 i  → − → − + Ω (S/R0 ) · I(P, S) · Ω (S/R0 ) (7.40) Un cas particulier très utile correspond à un point P fixe. Alors, seule la composante de rotation dans le mouvement de (S) par rapport à (R0 ) est à l’origine de l’existence de l’énergie cinétique :   → − − 1→ Tp (S/R0 ) = Ω (S/R0 ) · I(P, S) · Ω (S/R0 ) 2 Expression en fonction du centre d’inertie L’énergie cinétique peut s’exprimer en fonction de la vitesse du centre d’inertie et de la rotation du solide (S) dans son mouvement par rapport à (R0 ) :   − → − → − 1→ 1 M V 2 (G ∈ S/R0 ) + Ω (S/R0 ) · I(G, S) · Ω (S/R0 ) T (S/R0 ) = 2 2 (7.41) → −2 1 M V (G ∈ S/R0 ) + TG (S/R0 ) = 2 ce qui se met également sous la forme de produits de torseurs :    → → − − M V (G, S/R )    Ω (S/R0 ) 0    1 T (S/R0 ) = · → − → −  2   I(G, S) · Ω (S/R0 )    V (G, S/R0 ) (G,S/R0 ) 1 {CS }(G,S/R0 ) · {VS }(G,S/R0 ) = 2      (G,S/R0 ) Cette dernière expression (7.41) correspond à l’application du théorème de Koënig dans le cas de l’énergie cinétique : l’énergie cinétique totale du solide S est égale à la somme de l’énergie cinétique dans son mouvement autour de son centre d’inertie, et de l’énergie cinétique développée par la translation de sa masse M totale concentrée en G. Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 7.3.5 192 Dynamique Torseur dynamique Le torseur dynamique est aussi appelé torseur des quantités d’accélération. Il est − défini en fonction de la distribution massique des accélérations → γ (P ∈ S/R0 ) de la manière suivante : Z   → − → −     D (S/R0 ) = γ (P ∈ S/R0 )dm     (S) Z (7.42) {DS }(A,S/R0 ) = −→ → → −   −   AP ∧ γ (P ∈ S/R )dm K (A, S/R ) =   0 0   (S) (A,S/R0 ) Le moment dynamique du mouvement de (S) par rapport au repère (R0 ) s’exprime éga→ − lement en tout point A de (S) en fonction du moment cinétique H (A, S/R0 ) défini précédemment. Pour un solide de masse invariante : → − → − − → − d H (A, S/R0 ) → K (A, S/R0 ) = + V (A, S/R0 ) ∧ C (A, S/R0 ) (7.43) dt Cette expression se simplifie si le point A est fixe par rapport au repère du mouvement (R0 ) → − → − ( V (A, S/R0 ) = 0 ), et donc au centre d’inertie G du système. Ce torseur des quantités d’accélération se simplifie et s’écrit en fonction du torseur cinétique :   → −   → − D C (S/R0 ) → −    = M γ (G ∈ S/R D (S/R 0)  0) =     Dt (7.44) {DS }(G,S/R0 ) = → −     → − D H (G, S/R ) 0       K (G, S/R0 ) = Dt (G,S/R0 ) en notant que la dérivée étant relative au repère du mouvement, une expression eulérienne D pour ces formulations locales nécessite d’introduire une dérivée particulaire notée Dt cf support de cours de J. Bruchon Mécanique des Milieux Continus dans la Majeure Mécanique 2014-2015. 7.3.6 Principe Fondamental de la Dynamique L’énoncé du PFD permet de relier directement l’ensemble des efforts extérieurs (voir remarque ci-dessous) appliqués à un système en mouvement {τext→S }(A,S/R0 ) par rapport à un repère (R0 ), au torseur des quantités d’accélération galliléennes {DSa }(A,S/R0 ) de ce système : Principe Fondamental de la Dynamique {τext→S }(A,S/R0 ) = {DSa }(A,S/R0 ) (7.45) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 193 Forces fictives Si le repère (R0 ) du mouvement n’est pas galliléen 1 le torseur des efforts extérieurs doit inclure les forces dites fictives qui dérivent de la loi de composition des accélérations et qui peuvent être classées dans les forces à distances au même titre que les efforts volumiques produits par l’attraction gravitationnelle par exemple. En effet, le PFD s’énonce en prenant comme accélération l’accélération dite absolue − ou accélération galliléenne (→ γ a ). Il est donc nécessaire, lorsque le mouvement n’est pas galliléen, de prendre en compte les forces d’inertie dues à l’accélération d’entraînement − − (→ γ e ) et la force de Coriolis (→ γ c ) qui se déduisent de la loi de composition des accélérations. Soit le PFD prenant en compte ces forces fictives lorsqu’elles existent : − − − {τext→S }(G,S/R0 ) + {−m → γ e (G ∈ S/R0 )} + {−m → γ c (G ∈ S/R0 )} = {m → γ r (G ∈ S/R0 )} (7.46) Ce système d’équations (7.46), un peu plus général que le P F D (7.45) est également appelé Équations universelles de l’équilibre et du mouvement. Théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique En se limitant aux cas où l’équilibre est considéré en un point fixe par rapport au repère du mouvement (R0 ), le torseur des actions dynamiques {DSa } est directement égal à la dérivée par rapport au temps du torseur cinétique (7.44). D {CS }(A,S/R) (7.47) Dt De plus, pour des systèmes (S) de contenu invariable, cette nouvelle forme du P F D (7.47) donne deux équation vectorielles respectivement appelées Théorème de la quantité de mouvement (7.48-a) et Théorème du moment cinétique (7.48-b). Comme précédemment, les forces fictives doivent être introduites dans le torseur des actions extérieures si le repère du mouvement (R0 ) n’est pas galliléen. On peut noter que seul le théorème du moment cinétique impose que le point auquel il est appliqué soit fixe par rapport au repère du mouvement, le théorème de la quantité de mouvement s’appliquant sur la résultante indépendante du point considéré : {τext→S }(A,S/R) = → − X→ − d C (S/R0 ) F ext→S (M ) = dt → − X− →→ − d H (A, S/R0 ) M ( F ext→S (M ), A) = dt (7.48a) (7.48b) 1. des axes de référence galliléens sont définis à une translation rectiligne uniforme près par rapport à l’un d’entre eux choisi en particulier Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 7.3.7 194 Théorème de l’énergie cinétique Pour un système (S) constitué de partitions, la puissance totale développée par ce système dans son mouvement par rapport à un repère de référence (R0 ) conduit à l’expression du théorème de l’énergie cinétique. En première approximation, cette expression est le PFD en produit avec le champ des vitesses qui règne dans chaque partition du système. On a ainsi un équilibre entre la puissance développée par les efforts extérieurs Pext (S/R0 ) et les efforts dérivant de l’énergie cinétique. Les efforts internes à chaque partition Pint (S/R0 ) et inter-partitions Pdef f (S/R0 ) étant également considérés. Finalement, pour toute partition d’un système, la somme des puissances des forces extérieures au système et des forces intérieures relatives à la partition envisagée, dans le mouvement réel, est égale à la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique du système augmentée de la somme des puissances des déformations entre les différentes parties du système : Pint (S/R0 ) + Pext (S/R0 ) = D T (S/R0 ) X + Pdef f (S/R0 ) Dt (7.49) Dans le mouvement autour du centre d’inertie le théorème de l’énergie cinétique s’applique sans introduire d’autres forces que celles que l’on doit considérer dans le repère du mouvement (R0 ), i.e. aucune force fictive d’origine inertielle. 7.4 Principe des puissances virtuelles - P P V - et lien avec les autres principes de la mécanique Le principe des puissances virtuelles - P P V - est un outil extrêmement puissant, qui permet notamment d’expliciter les conditions d’équilibre et de stationnarité d’un système. Des formulations écrites en termes de potentiels (externe, interne, de dissipation), telles que le principe de Hamilton peuvent être utilisées dans les cas de systèmes conservatifs et/ou dont les efforts dérivent d’un potentiel, et dans un cadre linéaire géométrique et matériaux. Par contre, le P P V offre une écriture beaucoup plus générique. L’expression du P P V devient alors la base de l’écriture d’un équilibre, et peut correspondre sous certaines conditions vérifiées par le champs virtuel, à la formulation faible du problème écrit en déplacements ou en efforts. Ce principe sera d’abord introduit sur des systèmes discrets puis étendu aux systèmes continus, dynamiques puis statiques. Remarques : Les notions utilisées ici sur les systèmes discrets - liaisons holonômes, paramétrisation de Lagrange, structure de l’énergie cinétique, ...- sont détaillées dans le support de cours Dynamique des Solides et des Structures disponible à l’adresse http://www.emse.fr/~drapier/index_fichiers/CoursPDF/Dynamique-3A/ Dynamique-SDrapier-janvier2012.pdf. Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 7.4.1 195 Principe des Travaux Virtuels et Principe de Hamilton pour les systèmes discrets Considérons un cas linéaire, du point de vue géométrique et du point de vue matériau. Pour cela, considérons le cas le plus simple qui soit, un point matériel k, associé à une masse mk : → − — soumis a un champ de forces X de composante Xi , i = 1, 2, 3, qui peuvent être des forces volumiques données ou bien des efforts de réaction dûs aux conditions cinématiques imposées au système — l’équilibre dynamique est caractérisé par le P F D (Eq. 7.45) : mk üi − Xi = 0 Principe des Travaux Virtuels - P T V − − Imaginons une trajectoire → u ′ (t) distincte de → u (t), mais suffisamment proche. On → − → − → − → − ′ définit le déplacement virtuel δ u par δ u = u − u (figure 7.3). Par définition le déplacement virtuel est arbitraire pour t1 < t < t2 , il représente un écart par rapport au déplacement réel. C’est en cherchant à minimiser cet écart que la formulation variationnelle permet de trouver le champ réel, seule solution de l’équilibre. On retrouve ici la notion de famille de fonctions admissibles proches de la solution, introduite comme base du calcul variationnel au §7.2. Figure 7.3: Trajectoire virtuelle. Les conditions aux limites cinématiques doivent être vérifiées par le champ de dé placement réel, qui est dit Cinématiquement Admissible (C.A.). Il faut donc que le champ virtuel soit Cinématiquement Admissible à 0 (C.A.(0)), c’est à dire que les conditions aux limites cinématiques soient vérifiées, et donc que les perturbations imposées au champs de − déplacement soient nulles. En effet, si au point P le déplacement → u d est imposé, l’écart à cette quantité donnée ne peut qu’être nulle, puisque le champ réel est C.A. (7.50). Ce Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 196 raisonnement tient aussi pour les Conditions Initiales (en temps), et le champ virtuel devra être nul aux bornes t1 et t2 , il sera noté C.I.(0). → − − u (P ) = → ud → − → − → − u (P )+ δ u (P ) = u d ⇓ → − → − δ u (P ) = 0 (7.50) L’énoncé du P T V pour les systèmes discrets de dimension N est donc le suivant : N X 3 X (mk üik − Xik ) δuik = 0, ∀δuik C.A.(0), C.I.(0) (7.51) k=1 i=1 Réciproquement, si le P T V est vérifié, quelque soit le champ virtuel répondant aux restrictions ci-dessus, alors l’équilibre est satisfait. Le P T V représente la contribution énergétique des puissances développées, dans un champ de déplacement virtuel C.A.(0), par d’une part les efforts d’origine inertielle et d’autre part les efforts extérieurs au système. Nous verrons son extension aux milieux continus, ci-après. Principe de Hamilton Le principe de Hamilton n’est rien d’autre que le P T V intégré dans le temps. Il est donc nécessaire de pouvoir définir des potentiels dont dérivent les grandeurs statiques et dynamiques du P F D. Partons de notre écriture du P T V (7.51) et intégrons-le dans le temps, en supposant que le système ne présente que des liaison holonômes, i.e. dont l’expression permet une intégration en temps. Z t2 t1 3 N X X k=1 i=1 (mk üik − Xik ) δuik ! dt = 0, ∀δuik C.A.(0), C.I.(0) (7.52) Nous allons exprimer ce principe en utilisant des formes potentielles, et pour cela nous supposerons que les masses sont indépendantes du temps. On peut remarquer l’identité suivante concernant les effort d’origine inertielle : d (mk u̇ik δuik ) = mk üik δuik + mk u̇ik δ u̇ik dt   1 = mk üik δuik + δ mk u̇ik u̇ik 2 on retrouve la définition de l’énergie cinétique (7.39) pour le points matériels ⇓ d (mk u̇ik δuik ) = mk üik δuik + δT (uik , u̇ik , t) dt (7.53) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 197 Il faut maintenant définir l’énergie potentielle, qui dans le cas des systèmes discrets, se déduit de l’expression des efforts extérieurs et des efforts de liaison intérieurs. On → − − → − − suppose ici que ces efforts Xik dérivent d’un potentiel V : F (→ x ) = − ∇V (→ x , t). Pour mémoire, les forces dérivant d’un potentiel peuvent conservatives, ou non (cf potentiels de dissipation au §7.4.3). Pour simplifier les écritures, on utilisera ici la notion de coordonnée généralisée qui permet, dans les systèmes discrets, de passer d’une paramétrisation en fonction des → − − − − − coordonnées matérielles (→ x, → u (→ x )) et vitesses associées ( u̇ (→ x )), à une paramétrisation optimale en termes de coordonnées généralisées (qs ) et vitesses associées (q̇s ). En écrivant le travail virtuel δWQs (ou le travail élémentaire) des efforts généralisés : δWQs = N X 3 X k=1 i=1 Xik δuik = n X Qs δqs = −δV (qs ) (7.54) s=1 On a ainsi l’expression des efforts généralisés et du potentiel correspondant qui se déduit de l’expression du travail virtuel : ! s X ∂V (qs ) ∂V (qs ) δV = (7.55) = −Qs δqs ∃V (qs ) / ∂qs ∂q s n=1 Si nous revenons à notre expression initiale de l’intégration dans le temps du P T V (7.53), en introduisant l’expression du potentiel des efforts généralisés (7.54) et l’expression de l’énergie cinétique (7.53) quadratique en les coordonnées généralisées et les vitesses généralisées, le principe de Hamilton (7.52) peut s’écrire sous la forme : " N 3 #t 2 Z t2 XX (T (qs , q̇s , t) − V (qs )) dt = 0, ∀δuik C.A.(0), C.I.(0) −mk u̇ik δuik +δ k=1 i=1 t1 t1 (7.56) compte-tenu des restrictions sur les valeurs du champ virtuel en t1 et t2 , le premier terme de cette expression est nul et on obtient l’énoncé du Principe de Hamilton. Principe de Hamilton pour les systèmes conservatifs La trajectoire réelle du système est celle qui rend stationnaire l’intégrale R t2 (T (qs , q̇s , t) − V (qs )) dt par rapport à toute variation arbitraire de déplacement C.A.(0) t1 entre 2 instants t1 et t2 , mais s’annulant aux extrémités de l’intervalle :  Z t2   δ (T (qs , q̇s , t) − V (qs )) dt = 0 t1 (7.57)   δqs (t1 ) = δqs (t2 ) = 0 Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 7.4.2 198 Forme proposée par Lagrange pour les systèmes discrets La forme proposée par Lagrange est beaucoup plus générale car elle ne se limite pas aux systèmes conservatifs. On exprime les équations du mouvement en fonction des coordonnées généralisées. Pour la variation de l’énergie cinétique, T (qs , q̇s , t), on obtient : δT (S, R0 ) = n  X ∂T s=1 ∂T δqs + δ q̇s ∂qs ∂ q̇s  (7.58) On connaît également la forme du potentiel des efforts extérieurs (7.54) en fonction des coordonnées généralisées. On peut donc écrire le principe de Hamilton (7.57) sous la forme suivante : !  Z t2 X n  ∂T ∂T + Qs δqs + δ q̇s dt = 0, ∀δqs C.A.(0), C.I.(0) (7.59) ∂q ∂ q̇ s s t1 s=1 On intègre par parties le second terme :   t2  Z t2  Z t2 ∂T d ∂T ∂T δqs dt δ q̇s dt = δqs − ∂qs ∂ q̇s t1 dt t1 ∂ q̇s t1 k 0 car δqs C.I.(0) (7.60) Finalement, l’équilibre est équivalent à : Z t2 t1 n  X s=1 d − dt  ∂T ∂ q̇s   ! ∂T + + Qs δqs dt = 0, ∀δqs C.A.(0), C.I.(0) ∂qs (7.61) cette égalité étant vraie quelque soit le champ virtuel, la condition (7.61) équivaut donc à n équations scalaires, appelées Équations de Lagrange, valables pour l’instant dans le cadre d’un système conservatif :   ∂T d ∂T + − + Qs = 0 , s = 1 . . . n |{z} dt ∂ q̇s ∂qs (7.62) |{z} {z } | a b c les termes a, b représentant les forces d’inertie généralisées associées au ddl qs , et le terme c représentant les forces généralisées extérieures (et intérieures comme nous le préciserons dans la suite). On reconnaît dans la structure de ces équations, la condition de minimisation des fonctionnelles d’Euler-Lagrange (voir Eq. 7.11), pour la fonctionnelle présentée dans le principe de Hamilton (7.57). Cette expression est complétée par la suite dans le cadre des systèmes dissipatifs. Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 7.4.3 199 Généralisation aux systèmes discrets non-conservatifs Les forces généralisée intérieures et extérieures au système peuvent être classées selon leur type (élastiques, conservatives, dissipatives, ...) ce qui permet de formuler les équations de Lagrange dans un cadre tout à fait général. Ces forces sont dites conservatives si le travail virtuel associé est récupérable. 1/ Forces intérieures Forces de liaison Les forces de liaison sont internes au systèmes, elles résultent des contraintes cinématiques imposées. Exemple, une liaison entre 2 masses :Xi1 + Xi2 = 0 (action - réaction). Le travail virtuel associé au déplacement virtuel (δui1 , δui2 ) est nul puisque nous avons vu que le champ virtuel est C.A.(0), c’est-à-dire que les déplacements virtuels imposés sont nuls. En conséquence, les forces de liaison ne contribuent pas aux forces généralisées agissant sur l’ensemble du système. C’est un des attraits essentiels la mécanique Lagrangienne. Forces élastiques Dans un corps déformable, le travail est stocké sous forme récupérable. Les forces élastiques dérivent d’un potentiel élastique, ou potentiel de déformation qui s’exprime en calculant le travail virtuel δWel effectué par ces effort internes dans le − déplacement virtuel δ → u : δWel = 3 N X X ∂Vint (qs ) k=1 i=1 ∂uik δuik = n X Qs δqs = −δVint (qs ) (7.63) s=1 On en déduit l’expression des forces internes généralisées et du potentiel de déformation : ∂Vint (qs ) (7.64) ∃ Vint (qs ) / Qs = − ∂qs Forces dissipatives Ces forces sont de sens opposé au vecteur vitesse, orientées dans la même direction. Elles sont fonction du module du vecteur vitesse. Les liaisons non-parfaites peuvent être dissipatives, c’est souvent le cas dans les systèmes réels. Un autre exemple de force dissipative est l’effort de rappel d’origine visqueuse d’un amortisseur tel que dans un oscillateur amorti. On montre que le travail virtuel de ces forces dissipatives agissant sur le systèmes est non-nul. On introduit un potentiel de dissipation D : ∃ D(q̇s ) / − ∂D(q̇s ) = Qs ∂ q̇s Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 200 La puissance dissipée est donnée par : Pdiss = n X s=1 n X ∂D(q̇s ) Qs q̇s = − q̇s ∂ q̇s s=1 On montre que la fonction D(q̇s ) est homogène d’ordre m en fonction des vitesses généralisées, donc d’ordre m − 1 pour les forces dissipatives généralisées qui en dérivent : — m = 1 : frottement sec — m = 2 : frottement visqueux — m = 3 : traînée aérodynamique (turbulence) Donc la puissance dissipée vaut : Pdiss = − n X mD(q̇s )q̇s s=1 On peut noter que les forces extérieures peuvent également être dissipatives, par exemple en présence de contacts. 2/ Forces extérieures Forces conservatives Comme nous l’avons vu précédemment, elles dérivent d’un potentiel (7.55) : ∂Vext ∃ Vext (qs ) / Qs = − ∂qs Le travail virtuel de ces forces sur un cycle est nul : I δWext−cons = Qs δqs = 0 Forces non-conservatives Leur travail virtuel ne peut se simplifier comme dans les cas précédents, il s’exprime en fonction des efforts extérieurs (7.54) et des déplacements courants dérivés par rapport aux coordonnées généralisées : δWnon−cons = − Pn s=1 Qs δqs = N X 3 X Xik δuik k=1 i=1 = n 3 PN X X k=1 Xik i=1 s=1 Ce qui donne l’expression des efforts généralisés associés : Qs (t) = N 3 X X i=1 k=1 Xik ∂uik ∂qs ∂uik δqs ∂qs Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 201 Au bilan la prise en comptes des forces non-conservatives internes et externes dans le calcul du bilan énergétique du système donne : n X d (T (qs , q̇s , t) + V (qs , q̇s )) = −mD(q̇s ) + Qs (t)q̇s dt s=1 où le potentiel total V (qs ) = Vint (qs ) + Vext (qs ) Équations de Lagrange dans le cas général Dans le cas général d’un système non-conservatif à liaisons cinématiques holonômes, les équations de Lagrange prennent en compte les forces intérieures et extérieures, dissipatives et conservatives, introduites précédemment. Au final, le mouvement du système est caractérisé par s équations correspondant aux s degrés de liberté du système : Équations de Lagrange pour les sytèmes non-conservatifs d − dt  ∂T (qs , q̇s , t) ∂ q̇s  + ∂T (qs , q̇s , t) ∂V (qs ) ∂D(q̇s ) − − + Qs (t) = 0 , s = 1 . . . n ∂qs ∂qs ∂ q̇s (7.65) avec Qs (t) : les forces extérieures généralisées non-conservatives V (qs ) = Vint (qs ) + Vext (qs ) : le potentiel total V ∗ (qs ) = V (qs ) − T0 (qs , t) : le potentiel modifié par l’énergie cinétique d’entraînement linéaire en les coordonnées D(q̇s ) : le potentiel de dissipation P Fs = ns=1 Grs les forces gyroscopiques généralisées Toutes les notions introduites ci-dessus restent évidemment valables dans le cas des systèmes continus. Bien évidemment la notion de potentiel des actions intérieures devra être précisée puisque nous considérerons, généralement, une unique partition dans le cas des milieus continus. 7.4.4 Principe de Hamilton pour les systèmes continus Dans ces systèmes continus le principe de Hamilton établi précédemment (Eq. 7.57) pour des systèmes discrets conservatifs reste bien évidemment valable. On rappel que ce principe est basé sur la minimisation de la fonctionnelle appelée Lagrangien du système, définie comme la différence entre l’énergie cinétique du système et son énergie potentielle extérieure et intérieure. Dans le cas des milieux continus, cette dernière quantité est Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 202 classiquement appelée énergie de déformation élastique. Le principe de Hamilton s’écrit entre deux instants t1 et t2 pour un système continu :  Z t Z t2   2 → − → −  − − − → −  δ T (→ u , u̇ , t) − Vext (→ u ) − W (→ u ) dt = 0, L( u , u̇ , t) dt = δ (7.66) t1 t1   ∀ δ→ − → − u ( x , t) C.A.(0) et C.I.(0) Les relations entre le PPV / PTV, et le Principe de Hamilton sont explicitées plus en détails ci-après §7.4.5 page 206. On rappel que le principe de Hamilton s’écrit à partir des potentiels des actions extérieures et intérieures, c’est-à-dire du potentiel de déformation pour ce dernier terme. Considérons un milieu continu Ω quelconque de masse volumique ρ supposée constante, tel que représenté sur la figure 7.4. Ce milieu est en équilibre sous l’action d’efforts extérieurs volumiques fi et surfaciques Fid appliqués sur sa frontière ∂ΩF . Les conditions aux limites cinématiques de ce milieu sont quant à elles − − − − − appliquées sur la surface ∂Ωu (→ u (→ x) = → u d (→ x ), ∀→ x ∈ ∂Ωu ) et l’on a les conditions suivantes sur ces deux surfaces complémentaires : ∂ΩF ∪ ∂Ωu = ⊘ et ∂ΩF ∩ ∂Ωu = ∂Ω Figure 7.4: Solide (S) quelconque, occupant un volume Ω, en équilibre sous l’action d’efforts extérieurs, et conditions aux limites associées. Définition des potentiels Pour ce milieu continu, la densité d’énergie cinétique s’exprime de manière triviale − et on définit w(γ) (éq. 7.67b) la densité d’énergie de déformation et vext (→ u ) (éq. 7.67a) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique la densité de potentiel des actions extérieures conservatives telles que : 
→ − ∂vext vol → vol   |Ω = − f δvext (− u ) = −δwext → − ∂u − ∃vext (→ u) /  → − d  surf →  ∂v ext surf −  δvext ( u ) = −δwext |∂ΩF = − F − ∂→ u   ∂w ∃ w(γ) / = S(γ) δw = S(γ) : δγ ∂γ 203 (7.67a) (7.67b) où S est le second tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff et γ est le tenseur des déformations de Green-Lagrange, son dual au sens de l’énergie de déformations définie w(γ). Sans entrer dans les détails de cette formulation en description Lagrangienne, c’està-dire sur la configuration non-déformée, nous nous limitons ici aux petites perturbations. D’ailleurs dans le cadre de la formulation de Hamilton, les forces extérieures ne peuvent que dériver d’un potentiel, elles sont donc conservatives. Ceci exclue de fait les forces suiveuses telles que les pressions qui agissent sur la configuration géométrique courante, et dont le travail dépendra des déplacements solutions, ceux justement recherchés. La prise en compte des grandes déformations et des grands déplacements est écartée ici, il en découle que la mesure des contraintes peut se ramener au tenseur de Cauchy, σ, et le tenseur des déformations de Green-Lagrange associé se limite à sa partie linéarisée, notée ε. L’effet des pré-contraintes par exemple, telle que la pré-tension dans les cordes vibrantes, peut être pris en compte différemment pour ces cas spécifiques. Pour les cas généraux que nous traitons ici, le tenseur des déformations est :
1 1 − − − ∇→ u + t ∇→ u ou encore, en notation indicielle εij = (ui,j + uj,i ) (7.68) ε(→ u)= 2 2 On définit de manière courante l’énergie interne de déformation par l’intégrale du travail fournit par les contraintes dans les déformations correspondantes, ce qui dans le cas de contraintes indépendantes explicitement du temps se ramène au calcul sur le trajet de déformation. L’énergie complémentaire, notée w∗ (σ), est duale et se définit par l’intégrale sur le trajet de contrainte du travail fourni par les déformations dans le solide (Table 7.4.4). Ces deux grandeurs énergétiques permettent de définir la loi de comportement, relation entre contraintes et déformations ; aussi bien également dans le cas des grandes déformations où les mesures de contraintes et de déformations doivent alors être adaptées aux formulations choisies, Lagrangienne ou Eulérienne notamment. On peut maintenant calculer sur le domaine entier les quantités intervenant dans le principe de Hamilton : Z Z Z Z  → − → → −d → surf − − → − → − vol   F (− x , t)→ u (x, t)dωF f ( x , t) u (x, t) dΩ − vext dΩF = − vext dΩ + Vext ( u ) =    ∂Ω Ω ∂Ω Ω F F    Z Z  1 → − → − → − σ(ε) : ε( u ) dΩ pour un matériau linéaire w( u )dΩ = Vint ( u ) =  2 Ω Ω  Z  2    1 → − → −   T ( u̇ ) = ρ u̇ dΩ 2 Ω (7.69) Rappels - Éléments et Principes de la mécanique w(ε) = ∗ w (σ) = Z εij σij dεij ∂w(ε) = σij ∂εij εij dσij ∂w∗ (σ) = εij ∂σij 0 Z σij 0 204 Loi de comportement et énergies associées. Table 7.1: Définition des énergies de déformation et de déformation complémentaire, et leur signification physique en lien avec la loi de comportement. Dérivation des équations d’équilibre Partant des expressions des potentiels présentées en 7.69, le principe de Hamilton (eq. 7.66) devient :  Z t2 Z t 2 Z Z   → − → − → − → − → − δ L( u , u̇ , t)dt = ρu̇i δ u̇i − σij (ε)δεij ( u ) + fi ( x , t)δui dΩ + Fi ( x , t)δui dΩF dt t1 t1 Ω ∂ΩF − − = 0 , ∀ δ→ u (→ x , t) C.A.(0) et C.I(0) (7.70) en utilisant les conditions de vitesses nulles aux instants extrêmes, i.e. pour un champ de vitesse C.I.(0), on obtient après intégration par partie en temps du terme inertiel provenant de la variation de l’énergie cinétique : Z t2 Z t2 t2 ρüi δui dt ρu̇i δ u̇i dt = [ρu̇i δui ]t1 − (7.71) | {z } t1 t1 0 et la variation de l’énergie de déformation s’écrit classiquement, en remarquant la symétrie du tenseur des déformations et du tenseur des contraintes, et la nullité de la variation des Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 205 − déplacements imposés sur ∂Ωu (δ → u C.A(0)) : Z Z → − σij (ε) δui,j dΩ σij (ε) δεij ( u ) = Ω Ω ↓ Intégration par parties Z Z = − σij,j (ε) δui dΩ + Ω σij (ε) δui Ω = − σij,j (ε) δui dΩ Ω ,j dΩ Ostrogradski ⇔ th. de la divergence en 3D Z
+ σij (ε) δui nj dΩF ↓ Z
∂ΩF (7.72) Finalement, en substituant les expressions 7.71 et 7.72 dans l’expression du principe de Hamilton (eq. 7.70), on aboutit à une fonctionnelle faisant intervenir deux quantités distinctes, respectivement dans le solide et sur sa frontière où les efforts sont imposés : Z t2 → − − L(→ u , u̇ , t) dt = δ t  Z t21 Z Z

(7.73) d −ρüi + σij,j (ε) + fi δui dΩ + Fi − σij nj δui dΩF dt t1 Ω ∂ΩF − − = 0 , ∀ δ→ u (→ x ) C.A.(0) et C.I(0) Le champ virtuel étant par définition arbitraire, et compte-tenu des conditions de nullité de ce champ aux instants extrêmes t1 et t2 , d’aprés le lemme de l’intégrale nulle, la quantité dans l’intégrale en temps est nulle quelque soit le champ virtuel continu sur Ω. Choisissons le champ virtuel non-nul à l’intérieur du solide (7.74a) et nul sur sa frontière, puis inversement nul à l’intérieur et non-nul sur sa frontière (7.74b). La condition de nullité est donc satisfaite si et seulement si les équations suivantes sont vérifiées, ce sont les équations caractérisant l’équilibre dynamique : n o o n → − − → − − → − − − − ⇒ σij,j + fi = ρüi dans Ω et ∀t(7.74a) u (→ x ) 6= 0 , ∀→ x ∈Ω ∪ → u (→ x ) = 0 , ∀→ x ∈ ∂ΩF n o o n → − − → − − → − − − − ⇒ u (→ x ) = 0 , ∀→ x ∈Ω ∪ → u (→ x ) 6= 0 , ∀→ x ∈ ∂ΩF Fi = σij nj sur ∂ΩF et ∀t (7.74b) On notera que la condition de minimisation d’Euler-Lagrange est une généralisation du principe de Hamilton à toute fonctionnelle convexe. D’ailleurs on montrera, pour un cas simple, que ces équations d’équilibre se déduisent directement de cette condition de minimisation sans autre calcul. À partir de ces équations d’équilibre, on peut traiter n’importe quel problème de dynamique de milieux continus. Il faut toutefois noter qu’on aborde souvent de manière distincte deux types de problèmes de dynamique : propagation d’ondes et vibrations. Dans Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 206 cette distinction ’fictive’ interviennent en premier lieu les propriétés de conduction de ces mouvements (vitesse de propagation), notamment la célérité caractérisant l’aptitude du solide à propager ces mouvements entre des points matériels voisins. Selon la vitesse de propagation, les mouvements pourront devenir coopératifs ou non. En général, la vitesse de propagation des ondes est beaucoup plus grande que les vitesses résultant de la vibration des structures, propagation d’ondes et vibrations peuvent donc assez fréquemment être dissociées lorsque le spectre des sollicitations reste dans des plages connues par avance. 7.4.5 Liens avec le PPV/PTV, et le Principe de Hamilton dans les milieux continus On peut aisément remarquer que les différentes formulations connues de l’équilibre (PPV/PTV, Principe de Hamilton, Principe de d’Alembert, PFD) d’un système dérivent de la même expression, mais sont utilisées selon que les efforts sont ou non proportionnels au temps, et dépendent ou non du champ de déplacement, ce qui indique la présence de non-linéarités géométriques dans ce dernier cas. En effet, le théorème de l’énergie cinétique peut être vu comme la forme intégrale scalaire du PFD (7.45) : si les équations vectorielles sont toutes identiquement nulles, leur somme reste nulle. Il suffit de faire "travailler" le PFD dans le champ cinématique en tout point du solide. En se limitant aux cas où l’équilibre est considéré en un point fixe par rapport au repère du mouvement (R0 ), le torseur des actions dynamiques {DSa } est directement égal à la dérivée par rapport au temps du torseur cinétique (7.44), et on peut écrire en tout point :   → − D − {τext→S }(A,S/R0 ) − {CS }(A,S/R0 ) · V (A, S/R0 ) = 0, ∀→ x ∈Ω Dt Dans le cadre général des solides déformables (Figure 7.4), on utilise la forme intégrale en espace (sur le solide (S) occupant le domaine Ω et son bord ∂Ωf ) de cette formulation. Les efforts ne se limitent plus aux efforts extérieurs, et il faut alors intégrer les efforts internes, et plus précisément expliciter l’énergie de déformation produite par les efforts de cohésion dans le champs de déplacement interne au milieu. Finalement, l’équilibre exprime que, pour toute partition d’un système, la somme des puissances des forces extérieures au système et des forces intérieures relatives à la partition envisagée, dans le mouvement réel, est égale à la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique du système augmentée de la somme des puissances induites par les déformations entre les différentes parties du système : Pint (S/R0 ) + Pext (S/R0 ) = D T (S/R0 ) X + Pdef f (S/R0 ) Dt (7.75) Nous nous limiterons désormais au cas où le milieu est continu, i.e. il n’existe qu’une seule partition constituant le milieu à elle seule. Pour la partie inertielle des efforts Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 207 extérieurs, on utilise les expressions des grandeurs cinétiques et dynamiques telles qu’exprimées aux centres de gravité d’une partition - respectivement les équations 7.37 et 7.44soit en tous les points du domaine dans la formulation pour un milieu continu. Compte tenu des expressions des quantités cinétiques et dynamiques la contribution des efforts d’origine inertielle peut s’écrire à partir de la dérivée temporelle de l’énergie cinétique → − − − 0) (Eq. 7.41 : dT (Ω/R = 21 M (→ x ) V 2 (→ x , S/R0 )), ici dans son expression eulérienne : dΩ   Z → 2 − − D 1 D T (S/R0 )  − = ρ(→ x ) V (→ x , S/R0 ) dΩ(t)  Dt Dt 2 Ω(t) ↓ Conservation de la masse locale − ∂ρ Dρ(→ x , t) − = + div(ρ→ v)=0 Dt ∂t Z 2 − → d → 1 − V (− x , S/R0 ) dΩ ρ(→ x) = 2 dt ZΩ → − − − − − = ρ(→ x )→ γ (→ x , S/R0 ) · V (→ x , S/R0 ) dΩ Ω (7.76) → − avec ρ( x ) la masse volumique du solide. On peut rappeler que par définition de la résultante dynamique exprimée au centre de gravité de la partition considérée (7.44), on retrouve les mêmes expressions pour les efforts d’origine inertielle : − − M→ γ (→ x , S/R0 ) − → D C (G,S/R0 ) Dt = Dans cette formulation intégrale, les efforts peuvent dépendre du temps, et les tenseurs des contraintes et des vitesses de déformation sont introduits comme dans la − définition des potentiels utilisés pour le principe de Hamilton (Eq. 7.69) : σ(→ u ) est la → − → − mesure du champ des contraintes qui règne dans le solide au point courant x , et ε̇( V ) est le tenseur des vitesses de déformations associé. Ces deux grandeurs dépendant du → − − champ des vitesses V (→ x , S/R0 ). Pour simplifier l’expression, le champ de vitesse est supposé cinématiquement admissible à 0 (C.A.(0)), i.e. les déplacements imposés sur ∂Ωu étant annulés : Z Z → − → → − − → − → − − → − − τ vol→S ( x , t) · V ( x , S/R0 ) dΩ + τ surf →S (→ x , t) · V (→ x , S/R0 ) dωF − Ω Z Ω → − − u , t) : ε̇( V ) dΩ = σ(→ Z Ω ∂ΩF 2 − → → − − D → → − ρ( x ) V (− x , S/R0 ) dΩ, ∀ V (→ x , S/R0 )C.A.(0) et C.I.(0) Dt → − − → − − → − − − − − − avec f (→ x , t) = → τ surf →S (→ x , t) et F d (→ x , t) = → τ surf →S (→ x , t), et u̇ (→ x)= retrouver les expressions des potentiels définis précédemment (7.69). (7.77) → − → − D u ( x ) pour Dt Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 208 PPV et PTV Á partir de cette expression générale (7.77), la correspondance avec le Principe des Puissances Virtuelles est direct si l’on remarque que la puissance développée par les efforts d’origine inertielle s’écrit, en introduisant la définition (7.42) de la résultante dynamique R − → − γ (P ∈ S/R)dm), comme montré ci-dessus (7.76) : ( D (S/R0 ) = (S) → Z → − − D T (S/R0 ) − − − = ρ(→ x )→ γ (→ x , S/R0 ) · V (→ x , S/R0 ) dΩ (7.78) Dt Ω − → Alors en prenant le champ de vitesses réel égal au champ de vitesse virtuel V ∗ (M ∈ S) C.A.(0), on a l’expression classique de l’équilibre qui fait intervenir la puissance virtuelle − ∗ → des quantités d’accélérations Pacc (u∗ , S/R0 ) : − − − → − − ∗ → ∗ → ∗ → Pint (u∗ , S/R0 ) + Pext (u∗ , S/R0 ) = Pacc (u∗ , S/R0 ), ∀u∗ (→ x )C.A.(0) et C.I.(0) (7.79) avec par définition la puissance virtuelle des efforts internes : Z −∗ → − − ∗ → Pint (u , S/R0 ) = − σ(→ u ) : ε∗ (u∗ ) dΩ Ω L’équilibre correspondant à cette équation étant identiquement nulle, en se restreignant au cadre des petites perturbations pour des solides à comportement linéaire, et dans le cas d’efforts extérieurs indépendants du temps, on peut considérer une forme intégrale dans le temps, faisant intervenir les expressions des travaux et des énergies. Dans ce cadre les intégrales en temps de ces puissances conduisent aux expressions des travaux virtuels − qui dépendent uniquement du champ de déplacement → u ∗ (M ) associé à la vitesse virtuelle → −∗ V (M ) : Z Ω Z Ω → − − → − − τ vol→S (→ x ) · u∗ ( → x , S/R0 ) dΩ + → − σ(ε) : ε (u∗ ) dΩ − ∗ Z Z ∂ΩF → − − → − − τ surf →S (→ x ) · u∗ ( → x ) dωF − → − − → − − − − − ρ(→ x )→ γ (→ x , S/R0 ) · u∗ (→ x ) dΩ = 0, ∀ u∗ (→ x ) C.A.(0) (7.80) Ω Le théorème de l’énergie potentielle, et le théorème de l’énergie potentielle complémentaire ne sont rien d’autre qu’un cas particulier dans un cadre statique, de ces formulations intégrales basées sur des potentiels. Les détails de ces formulations sont accessibles dans le support de cours de J. Bruchon Mécanique des Milieux Continus dans la Majeure Mécanique 2014-2015. Il s’agit, dans ce cas, de définir des potentiels, comme dans le cas du principe de Hamilton, mais indépendamment du temps, dont dérivent à la fois l’énergie de déformation et le potentiel des actions extérieures. A l’opposé, pour être plus général, on formule souvent le P P V faisant intervenir la puissance virtuelle au lieu des travaux virtuels. On pourra arguer que ces quantités étant Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 209 virtuelles, on peut décider qu’on choisit le champ virtuel de la dimension d’un déplacement ou d’une vitesse. La différence entre P T V et P P V se situe surtout au niveau de l’intégration des non-linéarités et dépendances diverses (en temps, en espace). Classiquement, le P P V intégrera tout type de dépendance des contraintes vis-à-vis des déformations, et plus généralement les non-linéarités. Prenons le champs virtuel égal à la variation du champs − →− − − réel pour simplifier : V ∗ (→ x , S/R) = δ → u (→ x , t). Ce champs est donc C.A.(0). Utilisons-le dans l’expression (7.77) établie à partir du principe de Hamilton : Z − Z Z →− → − → → − − → − → − − − f ( x , t) · δ u ( x , t) dΩ(t) + F d (→ x , t) · δ → u (→ x , t) dωF (t) − σ(ε, t) : δε( u , t) dΩ(t) + ∂ΩF (t) Ω(t) Ω(t) Z − − − − − − − ρ(→ x , t)→ γ (→ x , S/R) · δ → u (→ x , t) dΩ(t), ∀ δ → u (→ x , t) C.A.(0) et C.I.(0) = Ω(t) (7.81) ou sous la forme plus générique encore faisant apparaître simplement les énergies et potentiels : Z Z Z surf → − → − − vol → − δw(ε, t) dΩ(t) + δwext ( u , x , t) dΩ(t) + δwext (− u ,→ x , t) dωF (t) Ω(t) | = Z Ω(t) {z } → − δPin ( u , t) | ∂ΩF (t) {z → − δPext ( u , t) → − − − − − − − u (→ x , t) C.A.(0)C.I.(0) ρ(→ x , t) ü (→ x , S/R) · δ → u (→ x , t) dΩ(t), ∀ δ → } (7.82) Ω(t) | 7.5 {z − δPacc (→ u , t) } Concepts de stabilité des équilibres Nous avons vu dans les parties précédentes que les équations de Lagrange caractérisent l’équilibre dynamique d’un système (7.65). Ces équations différentielles d’ordre 2 peuvent être résolues, de façon numérique ou encore analytique. 7.5.1 Stabilité des équilibre Lorsque l’équilibre est caractérisé, se pose alors la question de la stabilité de cet équilibre. Dans cette partie, sur la base de l’équilibre des systèmes dynamiques discrets à N ddl, la stabilité de cet équilibre va être étudiée. Tous les concepts introduits dans le cas des systèmes discrets restent valables dans le cas des milieus continus. Grâce à une linéarisation des équations d’équilibre autour d’un point d’équilibre, la stabilité du système peut être caractérisée. Dans le cas d’une résolution numérique, l’équilibre d’un système dynamique peut être recherché par diverses méthodes : intégration de Newmark par exemple ou encore θ-Wilson. Ces méthodes de résolution sont souples, Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 210 et vont permettre de trouver rapidement les solutions de l’équilibre du système étudié. Par contre, ces méthodes doivent être adaptées à chaque famille de cas, notamment en fonction de l’amortissement du système considéré. Les résolutions analytiques ne sont possibles que dans les cas simples. Pourtant ces méthodes de résolution fournissent les bases des résolution numériques. On peut grâce à ces approches : — déterminer des positions d’équilibre — déterminer le mouvement au voisinage de cette position — déterminer des mouvements stationnaires — déterminer les oscillations autour des mouvements stationnaires 7.5.2 Définition d’un équilibre L’équilibre au temps t0 peut être par rapport à un seul paramètre ou paramétrique : — équilibre par rapport à un paramètre qj (qj est donné, et n’évolue pas dans le temps) ) qi (t0 ) = qi0 , q˙i (t0 ) = q̇i0 , si i 6= j qj (t) = qje , ∀ t qi (t0 ) = qje , q˙i (t0 ) = 0, si i = j — équilibre paramétrique qi (t0 ) = qie , ∀ i q˙i (t0 ) = 0 ∀i 7.5.3 ) qi (t) = qie , ∀ t, ∀ i Petites oscillations autour d’une configuration d’équilibre Sans entrer dans les détails, pour un système à liaisons scléronômes ne dépendant pas du temps ni des vitesses, l’énergie cinétique se limite à sa partie quadratique en ¯ = T2 (q̄, q̇)). ¯ Ce qui donne pour les équations de Lagrange exprimées vitesse (T (t, q̄, q̇) pour l’équilibre paramétrique q¯e = (q1e , q2e , q3e , ..., qne ) : d − dt |   ∂T2 (q̄e , q̇¯e ) ∂T2 (q̄e , q̇¯e ) ∂V (q̄e ) = −Qi = , ∀i + ∂ q̇i ∂qi ∂qi {z } | {z } | {z } 0 0 ⇓ V (q̄) (7.83) avec le premier terme qui s’annule car la dérivée de l’énergie cinétique par rapport aux vitesses est une forme linéaire des vitesses uniquement, le second terme quant à lui étant invariant par nullité des vitesses autour de l’équilibre. Remarque : pour un système en translation rectiligne uniforme, l’énergie cinétique relative reste inchangée, ces conclusions restent donc valables. Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 211 On voit donc que l’équilibre dépend du potentiel (des efforts extérieurs et intérieurs dans le cas général), résultat classique de la statique pour un système conservatif : l’énergie fournie par les efforts extérieurs est intégralement stockée en énergie intérieure (de déformation). Pour la solution q̄e , ce potentiel sera un minimum relatif (V (0) = K), 2 et un minimum absolu si le potentiel est strictement convexe ( ∂∂qV2 > 0). La condition i nécessaire et suffisante pour cet équilibre s’exprime simplement : ∂V (q̄e ) = 0, ∀i ∂qi Ceci se généralise pour tout système, caractérisé par les équations de Lagrange dans le cas général (7.65). Dans ce cas le potentiel est modifié pour tenir compte de l’énergie cinétique d’entraînement : ∂V ∗ (q̄e ) = 0, ∀i ∂qi avec V ∗ = V − T0 L’équilibre étant caractérisé, il faut maintenant pouvoir répondre à la question essentielle de la stabilité de cet équilibre : ♦ l’équilibre est-il stable ? ♦ que se passe-t-il si on décale légèrement de cette position d’équilibre ? 7.5.4 Stabilité d’un équilibre paramétrique Par définition, un équilibre est dit stable si le système étant dans des conditions initiales voisines de l’équilibre, la trajectoire du système reste dans un voisinage de la position d’équilibre. Ceci s’écrit de façon formelle : l’état q¯e = (q1e , q2e , q3e , ..., qne ) est dit stable si et seulement si ) ) ) ) ǫ>0 η>0 |qi0 − qie | ≤ η qi (t0 ) = qi0 ∀ ∃ vérifiant / ∀ µ>0 q˙i (t0 ) = q̇i0 ν>0 |q̇i0 | ≤ ν ) |qi (t) − qie | ≤ ǫ on ait ∀t ≥ t0 , ∃ |q˙i (t)| ≤ µ Si ǫ et µ sont ’petits’, la stabilité est dite conditionnelle, et si ǫ et ν sont ∞, la stabilité est dite globale. Ces expressions indiquent que l’évolution de la position courante est nécessairement bornée en déplacement et en vitesse. Ou de façon énergétique, la stabilité d’un équilibre s’énonce de la façon suivante : la position d’équilibre est stable lorsqu’il existe une borne d’énergie ǫ∗ telle que, si l’énergie communiquée est ǫ < ǫ∗ , on a T ≤ ǫ à tout instant ultérieur, l’égalité n’ayant lieu qu’à l’équilibre. Cette caractérisation de l’équilibre nécessite la résolution des équations différentielles traduisant le mouvement autour de la position d’équilibre lorsque l’on décale le système par rapport à sa position instantanée. Ces équations étant souvent non-linéaires, il est bien souvent impossible de Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 212 les résoudre directement. Nous verrons dans le paragraphe suivant une approximation de ces équations d’équilibre. Pour le moment, on peut proposer une définition plus intuitive de la stabilité. Nous avons vu que l’équilibre d’un système conservatif à liaisons scléronômes est caractérisé par l’invariance de la somme du potentiel des efforts conservatifs et de l’énergie cinétique (Eq ¯ + V (q̄)) = 0). Le potentiel des efforts extérieurs V étant défini à une ?? : dtd (T (q̄, q̇) constante prés, posons q̄(t0 ) = 0. Ceci implique que V (t0 ) = 0. Un système sera stable si et seulement si l’énergie cinétique du système diminue pour toute position à un instant ultérieur, ce qui se traduit par un minimum relatif, autour de la position d’équilibre, du potentiel des efforts extérieurs du système (Eq. 7.84). Figure 7.5: Pendule simple dans une configuration (a) stable et (b) instable. ¯ + V (q̄) = ǫ à t = t0 T (q̄, q̇) ⇒ T (t0 ) = ǫ et T (t) ≤ ǫ ,or V (0) = 0 (< ǫ∗ ) (7.84) ⇒ V (t) ≥ 0 , alors V (t0 ) est un minimum relatif On voit que la stabilité dépend donc du potentiel des efforts. Ceci se comprend aisément avec l’exemple de base du pendule simple (Figure 7.5). Ce concept s’étend grâce au théorème de Lejeune-Dirichlet qui fournit, sous certaines hypothèses, une condition suffisante de stabilité de l’équilibre : Théorème de Lejeune-Dirichlet : soit un système S dont les liaisons sont indépendantes du temps, soumis à des forces dérivant d’un potentiel indépendant du temps. Si pour une position d’équilibre q̄e du système, le po- Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 213 tentiel est un minimum strict, alors q̄e est une position d’équilibre stable. La stabilité dépendra donc de la convexité du potentiel. C’est un résultat classique, à la base du traitement des problèmes d’instabilité des structures par exemple. Il en découle que la recherche de l’équilibre du système linéarité peut donc se faire en minimisant le potentiel. Le cas le plus illustratif est celui du ressort, dont le potentiel est strictement convexe et dont la recherche d’un extrêmum conduit à l’équilibre. Pour des systèmes qui ne sont plus strictement convexes, par exemple présentant des non-linéarités géométriques, la recherche de la stabilité se fait, par extension, en étudiant le signe de la partie quadratique du potentiel s’il existe, ou de façon équivalente la seconde variation du potentiel. Si un potentiel ne peut être défini, on étudie alors la variation première de la formulation faible (du P P V ). 7.5.5 Linéarisation des énergies Afin d’étudier la stabilité des équilibres, nous venons de voir qu’il faut pouvoir caractériser la convexité de l’énergie potentielle. Pour rechercher cette convexité, il faut évaluer les termes quadratiques du potentiel des efforts conservatifs. Procédons à un développement linéaire de ce potentiel, au voisinage de la configuration d’équilibre q̄0 = 0̄ : V (q̄) = V (0) +  n  X ∂V s=1 ∂qs n n 1 XX qs + 2 s=1 r=1 |q̄0 =0̄  ∂ 2V ∂qs ∂qr  qs qr + O(q̄ 3 ) |q̄0 =0̄ ∂V = 0, et le potentiel étant défini à une Puisque le système est en équilibre ∂q s constante près, on a également V (0) = 0. Finalement, la courbure du potentiel est donnée par le seul terme restant, qui doit être positif pour que la stabilité soit assurée : n avec : n 1 XX krs qs qr > 0 pour q̄ 6= 0 V (q̄) = 2 s=1 r=1 krs = ksr =  ∂ 2V ∂qs ∂qr  |q̄0 =0̄ Matriciellement la partie quadratique du potentiel s’écrit : V (q̄) = 1 t q̄ K q̄ > 0 pour q̄ 6= 0̄ 2 K, matrice de raideur linéaire du système, est donc symétrique et définie positive pour assurer la stabilité. De même pour l’énergie cinétique, on se limite au cas où le système ne subit pas d’entraînement. L’énergie cinétique se réduit donc à l’énergie cinétique relative qui est une ¯ 0 ) = 0) forme quadratique des vitesses. La linéarisation autour de l’équilibre (q̄0 = 0̄, q̇(t Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 214 conduit également à éliminer les dépendances par rapport aux coordonnées généralisées. Le développement s’effectue donc uniquement par rapport aux vitesses : ¯ = T2 (0) + T2 (q̄, q̇)  n  X ∂T2 ∂ q̇s s=1 n n n n 1 XX q̇s + 2 s=1 r=1 |q̇¯0 =0̄  ∂ 2 T2 ∂ q̇s ∂ q̇r  q̇s q̇r + O(q̇¯3 ) |q̇¯0 =0̄ ⇓ XX ¯ =1 T2 (q̇) mrs q̇s q̇r avec mrs = msr = 2 s=1 r=1  ∂ 2 T2 ∂ q̇s ∂ q̇r  |q̇¯0 =0̄ Matriciellement la partie quadratique de l’énergie cinétique s’écrit avec M la matrice de masse linéaire symétrique et définie positive du système : ¯ = 1 q̇¯t M q̇¯ > 0 pour q̇¯ = 6 0̄ T2 (q̇) 2