UNIVERSIDAD INTERNACIONAL DEL ECUADOR EDUCACIÓN A DISTANCIA GUÍA DIDÁCTICA DE ESTUDIO ASIGNATURA: MATEMÁTICA FINANCIERA Ing. Geovanny Reyes Segovia MBA I. Desarrollo de contenidos Unidad 1: El Porcentaje Introducción En la actualidad las Matemáticas Financieras son de gran importancia en la administración y en la economía, es de mucha utilidad para que los inversionistas analicen opciones de crédito para la adquisición de Bienes y Servicios. La Matemática Financiera también es de mucha utilidad para toda persona que tenga la necesidad de utilizar el Sistema Financiero. En esta unidad estudiaremos al porcentaje como una operación fundamental, utilizada en todas las operaciones comerciales y financieras, así como también en el diario vivir de las personas y las familias, para planificar y organizar de manera adecuada todos sus gastos diarios, semanales y mensuales. Orientaciones generales para el estudio Estimado estudiante para que el proceso de aprendizaje cumpla con el propósito, le recomiendo realizar las siguientes actividades:       Participar en la tutoría o en su defecto realizar la visualización a la tutoría grabada. Revisar los ejercicios resueltos de la guía que se encuentra disponible en la plataforma Analice la presentación de las tutorías que utilizó el docente y que están disponibles en la plataforma. Participe en el foro y realice réplica a sus compañeros para fomentar el debate y mejorar el proceso de aprendizaje Realice el cuestionario virtual Cómo nos comunicaremos, a través de mensajes, vía plataforma. Unidad 2: Interés Simple Es un tipo de interés que siempre se calcula sobre el capital inicial de una deuda, el mismo que no se capitaliza y mantiene el capital inicial fijo, es utilizado en el Sistema Financiero Nacional en todo tipo de operaciones crediticias y de inversiones. Orientaciones generales para el estudio Estimado estudiante para que el proceso de aprendizaje cumpla con el propósito, le recomiendo realizar las siguientes actividades:       Participar en la tutoría o en su defecto realizar la visualización a la tutoría grabada. Revisar los ejercicios resueltos de la guía que se encuentra disponible en la plataforma Analice la presentación de las tutorías que utilizó el docente y que están disponibles en la plataforma. Participe en el foro y realice réplica a sus compañeros para fomentar el debate y mejorar el proceso de aprendizaje Realice el cuestionario virtual Cómo nos comunicaremos, a través de mensajes, vía plataforma. Unidad 3: Interés Compuesto El Interés compuesto es la capitalización de los intereses de una deuda en un periodo determinado, esto quiere decir que los intereses no se retiran, si no se suman al capital inicial, dando origen a un nuevo capital en el siguiente periodo, con un interés más alto. Orientaciones generales para el estudio Estimado estudiante para que el proceso de aprendizaje cumpla con el propósito, le recomiendo realizar las siguientes actividades:    Participar en la tutoría o en su defecto realizar la visualización a la tutoría grabada. Revisar los ejercicios resueltos de los libros referenciados, libros que están disponibles en la biblioteca virtual Analice la presentación de las tutorías que utilizó el docente y que están disponibles en la plataforma.   Participe en el foro y realice réplica a sus compañeros para fomentar el debate y mejorar el proceso de aprendizaje Realice el cuestionario virtual Cómo nos comunicaremos, a través de mensajes, vía plataforma. II. Descripción de tareas y foros Tarea 1: Resolver los ejercicios relacionados al porcentaje y Utilidad sobre el Costo y sobre el PVP, de los ejercicios propuestos 1 y 2 de la guía de estudios que está disponible en la plataforma. Tarea 2: Resolver los ejercicios relacionados a los descuentos comerciales, Interés Simple, Monto simple o valor futuro y Valor actual o presente, de los ejercicios propuestos 3,4 y 5 de la guía de estudios que está disponible en la plataforma. Tarea 3: Resolver los ejercicios relacionados al Interés comercial, Interés real, cálculo del tiempo (t) y cálculo de la tasa de interés (i) del Libro de Matemática Financiera de Rodríguez Franco Tarea 4: Resolver los ejercicios relacionados a las Ecuaciones de Valor o Renegociación de deuda, del Libro de Matemática Financiera de Fornasari, Jorge, and Berbery, Gustavo Tarea 5: Resolver los ejercicios relacionados a la Amortización de deuda, por el Método Francés, Alemán y Americano, del Libro de Matemática Financiera de Díaz Mata, Alfredo Tarea 6: Resolver los ejercicios relacionados a las Anualidades simples vencidas anticipadas, al Interés Compuesto y Monto Compuesto, del Libro Matemática Financiera Rodríguez Franco Nota: las tareas serán publicadas cada 15 días Temas de foros: 1. Tema: Con su propio criterio indique usted ¿por qué él porcentaje es una operación matemática básica fundamental, muy utilizada en el 99% de las operaciones comerciales, financieras y personales?, explique con ejemplos. 2. Tema: ¿El cálculo del PVP por qué es vital cuando se realiza una actividad comercial?, explique 3. Tema: ¿Ud. considera que los descuentos comerciales en cadena son una estrategia de ventas?, explique. 4. Tema: ¿Explique usted cuál es la relación que tienen el Monto y el Valor Actual, con relación al valor del dinero en el tiempo? 5. Tema: ¿En las Transacciones comerciales y financieras, cuál es el interés más utilizado y cuál cree usted que es más beneficioso entre el comercial y el real? 6. Tema: ¿A qué se debe que el micro crédito tiene una tasa de interés más alta que los créditos empresariales?, explique. 7. Tema: ¿La renegociación de una deuda en qué términos es favorable y cuándo es desfavorable?, explique. 8. Tema: ¿En un crédito solicitado a un Banco o una Cooperativa, cuál de los tres métodos de amortización es más conveniente para el deudor?, explique. 9. Tema: ¿Cree usted que en la actualidad el Sistema Financiero del Ecuador es sólido para apoyar a nuevos emprendimientos y para inyectar recursos financieros a las empresas en marcha?, explique 10. Tema ¿El Interés compuesto es legal en el Sistema Financiero Nacional, y de acuerdo a su percepción dónde se lo utiliza más?, explique DESARROLLO DE LAS UNIDADES. MATERIA: MATEMÁTICA FINANCIERA PRIMERA UNIDAD: EL PORCENTAJE Objetivo de la Unidad. Dominar correctamente al porcentaje como herramienta de cálculo, en la aplicación de todas las operaciones comerciales y financieras que se realizan diariamente en los mercados de negocios. El Porcentaje. Porcentaje, llamado también tanto por ciento, proviene de la palabra latina percentum, que significa por ciento. El cálculo del porcentaje es una de las operaciones más utilizadas en el campo comercial y financiero, ya que se emplea para indicar aumentos, disminuciones, utilidades, tasa de interés, tasa de descuento, etc. El término “por ciento” significa “centésima”, es decir, el por ciento de un número N es una fracción con numerador N y denominador 100. El símbolo de por ciento es %, así por ejemplo: 14% significa 14/100 = 0.14 2.16% significa 2.16/100 = 0.0216 348% significa 348/100 = 3.48 Inversamente, cualquier número puede ser escrito en forma de porcentaje; simplemente se multiplica por 100 y se agrega el símbolo %. Por ejemplo: 0.1814 = (0.1814) (100) % = 18.14% 1.175 = (1.175) (100) % = 117.5% ¿Qué significa, entonces, la expresión “6 de 78”? como 6% significa 6 centésimas, ésta expresión significa: hallar 6 centésimas de 78. Por tanto, 6% de 78 es simplemente la multiplicación de 78 por 0.06; esto es: 6% de 78 = (6/100) (78) = (0.06) (78) = 4.68 El número 4.68 recibe el nombre de producto. 6% es el porcentaje o tanto por ciento y 78 se llama base. Ejemplo 1.1 Obtenga el 16.75% de 5,820.00 Solución: 16.75% de 5,820.00 significa 16.75 centésimas de 5,820.00; esto es: 16.75% de 5,820.00 = (16.75/100)(5,820.00) = (0.1675) (5,820) = 974.85 Ejemplo 1.2 Raúl compró un televisor con valor de 3,850.00. Si dio un enganche del 20% del precio, ¿de cuánto fue el pago inicial? Solución: Pago inicial = 20% de 3,850.00 = (20/100) (3850) = 770.00 Ejemplo 1.3 ¿Qué porcentaje de 2,500.00 es 900? Solución: Sea x el porcentaje buscado, expresado en forma decimal. Como x% de 2,500.00 debe ser igual a 900.00, entonces es posible formar la siguiente ecuación: (x)(2,500.00) = 900.00 Despejando x se tiene: x = 900/2,500 x = 0.36 = 36% Ejemplo 1.4 Un agente de ventas recibió 8,208.00 de comisión por vender mercancía con un valor total de 68,400.00 ¿Cuál es el porcentaje ganado? Solución: Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal, de comisión ganada. Como x% de 68,400.00 debe ser igual a 8,208.00, entonces: (x)(68,400.00) = 8,208.00 Por tanto: x = 8,208.00/68,400.00 x = 0.12 = 12% Ejemplo 1.5 El gerente de una tienda de ropa aumentó el precio de los pantalones para caballero en 12%. ¿Cuál era el precio original de los pantalones, si el actual es de 365.00? Solución: Sea x el precio de los pantalones antes del aumento. El aumento fue de 12% sobre el precio x. Por tanto, Aumento = 12% de x = 0.12 x El precio actual se forma de la siguiente manera: Precio anterior + aumento = precio actual Es decir: x + 0.12 x = 365 Esto es: 1.12 x = 365 x = 325.89 Ejercicios Propuestos # 1 1. El señor Orozco recibe un sueldo neto de $5.230 dólares mensuales. Si gasta 26.77% en renta de la casa donde vive y 40% en comida, ¿cuánto tendrá disponible para otros gastos? 2. Un negocio aumenta su gasto de publicidad 18% cada año. Si este gasto ha sido de $113,800 dólares este año, ¿a cuánto ascenderá dentro de 4 años? 3. Un agente de ventas ganó $8,320 dólares por comisión al vender un automóvil. Si la comisión que él gana es 13% de la venta, ¿cuál fue el precio de venta del automóvil? 4. Si el salario mínimo general en el Distrito Federal, en 1980, era de 163 viejos pesos al día y en Enero de 1990 de 10,080 viejos pesos diarios, ¿cuál fue el por ciento de aumento? 5. Un agente de bolsa aconsejó a Horacio Weber colocar 32% de su capital en CETES, 56% en acciones y el resto en comprar monedas de oro. Si Horacio invirtió 276,000 dólares en la compra de las monedas, ¿cuál es el valor total del capital invertido? 6. En 1980 el número de habitantes en México era de 67`383,000 de los cuales 33´295,000 eran hombres. Calcule el porcentaje de mujeres. 7. En 1970 la zona metropolitana de Guadalajara contaba con 1ʼ456,000 habitantes; para 1980 había 2ʼ856,000 habitantes. Obtenga el por ciento de aumento. 8. Se incendia una casa que estaba asegurada en 75% de su valor real, y se cobran 195,000 dólares por el seguro. Calcule cuál era el valor real de la casa. 9. Por un automóvil se pagó 156,462 dólares después que se hizo un descuento del 11% sobre el precio original, ¿Cuánto costaba el automóvil? 10. La Renta de un departamento aumentó 16%. Si actualmente se pagan 2,100 dólares mensuales de renta, ¿cuál era el valor de la renta? Utilidad sobre el costo y sobre el precio de venta. El Costo de un artículo consiste de todos los gastos hechos para fabricar o adquirir el artículo. El costo de un servicio consiste de todos los gastos hechos para proporcionar el servicio. Par determinar el precio de venta de un producto o servicio, se añade al costo una cantidad suficiente para cubrir los gastos de operación y tener una utilidad. Los Gastos de operación o gastos operacionales son las cantidades pagadas por concepto de renta, salarios, publicidad, etc. La cantidad que se suma al costo del artículo o servicio para cubrir los gastos de operación y obtener una ganancia, se llama utilidad bruta. La ganancia esto es, la cantidad que queda después de cubrir los gastos de operación se llama utilidad neta. Esto es: PRECIO DE VENTA = COSTO + UTILIDAD BRUTA UTILIDAD BRUTA = GASTOS DE OPERACIÓN + UTILIDAD NETA Como ejemplo considere el siguiente: un fabricante produce un artículo que le cuesta $120,00 producirlo. Estima en $50,00 los gastos de operación por artículo producido y desea obtener una utilidad neta de $40,00 por artículo vendido. El precio de venta del artículo sería: Utilidad bruta = $50,00 + $40,00 = $90,00 Precio de venta = $120,00 + $90,00 = $210,00 Es costumbre que al fijar los precios de venta, la utilidad bruta y la utilidad neta se den como un porcentaje en lugar de una cifra en unidades monetarias. El porcentaje se da en función o del costo o del precio de venta. Sin embargo, no importa en qué esté basada la utilidad, ésta siempre se suma al costo para hallar el precio de venta. Ejemplo 1.1 Un detallista compró un ventilador en $90,00. Desea añadir una utilidad bruta de 55% del precio de venta para cubrir los gastos de operación y la utilidad neta. ¿A qué precio debe vender el ventilador? Solución: Sea x = precio de venta Utilidad bruta = 55% del precio de venta = 55% de x = 0.55 x Por tanto: Precio de venta = costo + utilidad bruta x = 90 + 0.55 x x – 0.55 x = 90 0.45 x = 90 x = 200 Ejemplo 1.2 Un fabricante desea producir árboles de navidad artificiales y venderlos en $310,00 cada uno. Si añade 70% del costo de producción para cubrir los gastos de operación y la utilidad neta, ¿cuánto es lo más que puede gastar para producir los árboles de navidad? Solución: En este caso la incógnita es el costo de producción. Si x es el costo de producción, entonces: Utilidad bruta = 70% de x = 0.70x Precio de venta = x + 0.70x = 310 1.70x = 310 X = 182.35 Ejercicios Propuestos # 2 1. El dueño de un negocio desea comprar una mercancía que se vende a $ 285,00 el costal. ¿Cuál es precio máximo que se puede pagar, si la utilidad bruta debe ser 40% del precio de venta? 2. Un artículo que costó $300,00 se vende en $425,00. Encuentre la utilidad bruta, en porcentaje, basada en el precio de venta. 3. ¿En cuánto deberá vender un minorista un artículo que costó 1,275 dólares, si la utilidad bruta deseada es 45% basada en el precio de venta? 4. El precio de venta de una impresora digital es de $2.040,00. Los gastos de operación son 40% del costo y la utilidad neta es 25% del costo. ¿Cuál es el costo? 5. Un comerciante que desea añadir una copiadora, cuyo precio de venta es de $935,00, a su línea de artículos para oficina, encuentra que puede adquirirla en $555,00. ¿Le dará este precio de costo la utilidad bruta de 70% sobre el precio de venta? 6. ¿Cuál fue el precio de costo de un artículo que se vendió en $1,000.00 con una utilidad sobre el costo del 25%? 7. Un comerciante adquiere una mercancía a un costo de 7,500.00 dólares. Determine el precio al cual debe ponerla en venta, para que, haciendo un descuento del 15% sobre el precio de venta, obtenga una ganancia del 25% sobre el precio de costo. 8. Un Agente de Bienes raíces vendió dos casas en 820,000 dólares cada una, en una perdió 15% de su precio de venta real y en la otra ganó 17% del precio de compra original. ¿Ganó o perdió en total, y cuánto? 9. Un comerciante rehusó vender un Vehículo cuando le ofrecieron 9,600 dólares, con lo cual hubiera ganado 25% de lo que le costó. Algún tiempo después lo tuvo que vender en 8,000 dólares. ¿Qué porcentaje del costo ganó al hacer la venta? Descuento Comercial. Es usual que los fabricantes de productos y los mayoristas proporcionen a sus clientes listas de precios propuestos por cada producto. El precio mostrado en éstas listas es el llamado precio de lista y es el precio sugerido para menudeo, esto es, el precio de lista puede o no ser el precio final a pagar por el consumidor. Los fabricantes y mayoristas venden sus productos a los detallistas con un descuento basado en el precio de lista, llamado descuento comercial. El descuento comercial es un porcentaje del precio de lista, y recibe el nombre de tasa de descuento. El precio de lista menos el descuento comercial se llama precio neto. Los descuentos comerciales se aplican generalmente a las ventas hechas por el fabricante al mayorista; por el mayorista al detallista y cuando el fabricante vende directamente al detallista. Los descuentos comerciales no se aplican a las ventas al menudeo. Ejemplo 1.1 Encuentre el precio neto de una mercancía, cuyo precio de lista es $478,00, si se aplica un descuento comercial de 23%. Solución: Descuento = 23% del precio de lista = 23% de 478 = 109.94 Precio neto = precio de lista – descuento Precio neto = 478 – 109.94 = $368.06 Los descuento comerciales pueden ser simples o en cadena. Es común que sobre el precio de lista se hagan varios descuentos por diversas razones. Por ejemplo, un fabricante que vende tanto a mayoristas como a minoristas puede especificar que al minorista se le concede un descuento comercial de 20%, mientras que el mayorista recibe 10% adicional, debido al volumen de la compra. Estos descuentos sucesivos reciben el nombre de descuentos en cadena, en serie o sucesivos. Debido a que las tasas de los descuentos en cadena se aplican con bases diferentes en cada etapa de la resolución de un problema, los descuentos en cadena nunca se deben sumar y utilizar la suma como un solo descuento. Cuando se aplican tasas de descuento en serie, el precio de lista se multiplica por la primera tasa de descuento y el resultado se resta del precio de lista para obtener un residuo que se convierte en la base para la segunda tasa de descuento. Este residuo se multiplica por la segunda tasa de descuento y el resultado se resta del residuo para obtener un nuevo residuo que es la base para la tercera tasa de descuento y así sucesivamente. Ejemplo 1.2 Un fabricante de muebles finos ofrece a un mayorista descuentos comerciales del 30%, 15% y 8%. Encuentre el precio neto de un pedido por $158,340.00 Solución: Precio de lista Descuento del 30% Saldo = = = $158,340 (158,340) (0.30) = $47,501 158,340 – 47,501 = 110,838 Descuento del 15% Sobre el saldo Saldo nuevo = = (110,838)(0.15) = $16,625.70 110,838 – 16,625.70 = $94,212.30 Descuento del 8% Sobre el saldo = (94,212.30)(0.08) = $7,536.98 Precio neto = 94,212.30 – 7,536.98 = 86,675.32 Otro método para hallar el precio neto en un problema donde se aplica descuento comercial (simple o en cadena), consiste en utilizar la siguiente fórmula general: PN = PL (1 – d1) (1 – d2),……., (1 – dn) En donde PN es el precio neto, PL es el precio de lista y d1, d2,…..dn son los descuentos comerciales aplicados. Ejemplo 1.3 Resuelva el ejemplo 1.2 utilizando la formula Solución: PN = 158,340 (1 – 0.30) (1 – 0.15) (1 – 0.08) PN = 158,340 (0.70) (0.85) (0.92) PN = $86,572.32 Ejemplo 1.4 El precio neto de un escritorio fue de $680 después de habérsele descontado 18% y 10%. Halle el precio de lista. Solución: Al despejar PL de la ecuación, se tiene: PL = PN / (1 – d1) (1 – d2) PL = 680,00 / (1 – 0.18) (1 – 0.10) PL = 680,00 / (0.82) (0.90) PL = $921.41 Ejercicios Propuestos # 3 1. Una empresa editorial fija un precio neto de $189,00 para un libro de estadística. ¿Cuál debe ser el precio de lista del libro, si la editorial concede un descuento comercial a la librería de 35%? 2. Sobre una factura de $22,000 se conceden los siguientes descuentos en cadena: 13%, por compra al por mayor; 6%, por promoción especial y 6%, por pago de contado. Encuentre la cantidad a pagar. 3. Dos compañías competidoras tienen el mismo precio de lista para un artículo, que es de 2,735. Una de las compañías ofrece descuentos comerciales en serie de 25% y 15%; la otra ofrece descuentos en serie de 14%, 14% y 13%. ¿Cuál compañía le conviene más a un comprador? 4. Un vendedor nuevo que no conocía el significado de los descuentos comerciales en cadena que ofrece su compañía, y que son del 21% y 14%, los sumó al efectuar un descuento en su primera venta. Si la cantidad total sobre la que se debe efectuar el descuento comercial, fue de $25.000, ¿de cuánto fue el error del vendedor? 5. Un fabricante de vidrio templado, desea vender un vidrio a un precio neto de $459,00 después de descuentos del 18%, 14% y 8%, ¿cuál debe ser el precio de lista del vidrio? 6. El precio neto de un artículo es $500 si se le han hecho descuentos en serie de 10%, 12% y 8%, ¿cuál es el precio de lista? 7. El jefe de compras de una tienda departamental compró 10 cocinas de inducción en $370,00 c/u menos los descuentos en serie de 20% y 14%, ¿cuál fue el precio neto total? ¿cuál fue la tasa de descuento equivalente? 8. El Gerente de una tienda de artículos electrónicos rebajó las videocaseteras profesionales dos veces consecutivas, en 15% y 10%, y la vendió en 2,975.50 dólares. ¿Cuál era su precio original? 9. Una factura por 12,000 dólares está sujeta a descuentos en cadena de 12% y 9%. Encuentre que descuento simple daría el mismo precio neto? 10. Los descuentos en serie concedidos en una compra fueron 17%, 11% y 7%. Si el precio neto es 15,800 dólares, encuentre la tasa de descuento equivalente. SEGUNDA UNIDAD: INTERÉS SIMPLE Objetivo de la unidad. Comprender de una manera sencilla como el dinero gana intereses en la época actual, incrementándose su valor en el tiempo y entendiendo el uso o manejo de las tasas de interés vigentes aplicadas a préstamos, inversiones, pólizas, entre otras operaciones financieras. Introducción. Cuando una persona utiliza un bien que lo pertenece, por lo general debe pagar una renta por el uso de dicho bien; por ejemplo, se paga una renta al habitar una casa que no nos pertenece. Lo mismo ocurre con el dinero; cuando se pide dinero prestado se paga una renta por el uso de dicho dinero. En este caso la renta recibe un nombre especial, se llama interés o intereses. Concepto. El interés se define como el dinero que se paga por el uso del dinero ajeno. También se puede decir que el interés es el rendimiento que se tiene al invertir en forma productiva el dinero. El interés es simple cuando se paga al final de un intervalo de tiempo previamente definido, sin que el capital original varíe. El interés simple se usa principalmente en inversiones y créditos a corto plazo, de un año o menos. El interés a pagar por una deuda, o el que se va ha cobrar de una inversión, depende de la cantidad de dinero tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión. En otras palabras, el interés simple varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo. Suponga que se van a invertir $20.000 a un plazo de 6 meses y a una tasa de interés de 2% mensual. De acuerdo al significado de tasa de interés, el interés que se cobrará por esta inversión será 2% de $20.000, cada mes, es decir: 2% de 20.000 = (20.000) (0.02) = $400 por mes Como la inversión es a 6 meses y el interés, por definición, deberá ser cobrado al final del plazo, el interés total que se cobrará al final de los 6 meses será: (400)(6) = $2.400 De lo anterior, es evidente que el interés simple se calcula por medio de la siguiente formula: I = P.i.t En donde I es el interés simple que se paga o recibe por un capital (o principal) P; t es el tiempo transcurrido (plazo) durante el cual se usa o se invierte el capital; i es la tasa de interés. Ejemplo 1.1 Rigoberto pidió prestado $6.300 a pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es de 33% anual simple, ¿Qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Solución: Los datos son: P = $6.300 I = 33% anual = 0.33 por año (expresado en forma decimal) t = 4 meses La unidad de tiempo de i y de t no coinciden, por tanto, no es posible sustituir directamente en la formula los valores numéricos. Antes de sustituir es necesario convertir la tasa de interés anual a una tasa de interés mensual: i = 33% anual = 33%/12 meses = 2.75% mensual = 0.0275 por mes Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación, se obtiene I = (6.300)(0.0275)(4) = $693 Lo anterior significa que al término de los cuatro meses, Rigoberto deberá pagar el capital ($6.030) más los intereses correspondientes ($693); esto es, deberá pagar un total de $6.993. Ejemplo 1.2 Marcela posee un capital de $32.000. Invierte 70% de su capital a 5.58% trimestral y el resto a 10.5% semestral. ¿Cuánto recibe cada mes de interés total? Solución: Como se está utilizando el tiempo en meses, es necesario convertir las tasas de interés a forma mensual: 5.58% trimestral = 5.58%/3 = 1.86% mensual = 0.0186 por mes 10.5% semestral = 10.5%/6 = 1.75% mensual = 0.0175 por mes El 70% de $32.000 son $22.400 y el resto (30%) son 9.600. Al invertir $22.400 al 5.58% trimestral, durante un mes, el interés ganado es: I = (22.400) (0.0186) (1) = $416.64 El interés mensual de $9.600 invertidos a 10.5% semestral es: I = (9.600) (0.0175) (1) = $168 El interés total obtenido al cabo de un mes es de 416.64 + 168 = 584.64 Ejercicios Propuestos # 4 1. ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de dulces y chocolates, al comprar mercancía por 4,605 dólares a 75 días de plazo, si le cargan una tasa de interés del 6% trimestral? 2. Calcule el interés simple se 11,000 dólares al 7,5% de interés cuatrimestral durante un año y cuatro meses. 3. Obtenga el Interés simple que produce un capital de 6,090 dólares en 175 días a una tasa de interés anual del 14,5% 4. ¿Cuál es el interés simple de un crédito por 9,900 dólares a 235 días plazo, con una tasa de interés del 7% semestral? 5. Una Inversión de 33,600 dólares a una tasa de interés anual del 6%, ¿cuánto generará de intereses en 22 meses? Monto Simple A la suma del capital más el interés simple ganado se le llama monto simple o únicamente monto, y se simboliza mediante la letra M. Por tanto, M=P+I (1.1) Al sustituir la ecuación del interés simple por la del monto se obtiene: M = P + Pit Factorizando la expresión la anterior se tiene: M = P (1 + it) (1.2) Las ecuaciones (1.1) y (1.2) indican que si un capital se presta o invierte durante un tiempo t, a una tasa de interés simple de i% por unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad M al final del tiempo t. Debido a esto, se dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Al monto también se le llama valor futuro. Ejemplo 1.1 Calcule el monto o valor futuro de un préstamo por $20,000 a 36% de interés simple y 6 meses de plazo. Solución: P = $20,000 t = 6 meses i = 36% anual = 36%/12 meses = 3% mensual = 0.03 por mes Método 1. I = (20,000)(0.03)(6) = $3,600 Utilizando la ecuación (1.1): M = 20,000 + 3,600 = $23,600 Método 2. El monto se obtiene directamente por medio de la ecuación (1.2): M = 20,000 [1 + (0.03)(6)] = $23,600 Ejercicios Propuestos # 5 1. Una Persona consigue un préstamo por 49,300 dólares a 16 meses plazo y una tasa de interés simple del 4% trimestral. ¿Cuánto pagará al final del plazo por el préstamo recibido? ¿Cuánto pagará por concepto de intereses? 2. ¿Cuál es el Monto o Valor Futuro de una Inversión de 27,500 dólares, al 17,65% de interés anual en 15 meses? 3. En un crédito empresarial de 65,500 dólares al 9% semestral, ¿cuánto se termina pagando en total, al final de los 2,5 años? 4. Se solicita un préstamo por 37,790 dólares al 10.5% semestral de interés simple, ¿cuánto se debe pagar por concepto de intereses al termino de 26 meses? ¿cuál es el valor del monto? 5. El 03 de Mayo una persona invirtió 19,000 dólares en un pagaré con rendimiento liquidable al vencimiento, ganando un interés del 11,75%. ¿Cuál será el monto para el 15 de Septiembre, fecha de vencimiento de la inversión? Interés comercial y real. Cuando el tiempo en un préstamo está dado en días, se vuelve necesario convertir la tasa de interés anual a una tasa de interés por día. Cuando la tasa anual se convierte a tasa diaria utilizando el año natural (365 días o 366 si el año es bisiesto) como divisor en la fórmula del interés simple o del monto, el interés obtenido se llama interés real o interés exacto. Cuando se lleva a cabo la conversión utilizando como divisor el número 360, se dice que se está utilizando el año comercial. En este caso, el interés obtenido se llama interés comercial o interés ordinario. Ejemplo 1.1 Calcule el interés comercial y real de un préstamo por $14,750 a 38% por 50 días. Solución: Interés comercial P = $14,750 t = 50 días i = 38% anual = 38/360 % diario = 0.38/360 por día I = (14,750)(0.38/360)(50) = $778.47 Interés real P = $14,750 t = 50 días i = 38% anual = 38/365 % diario = 0.38/365 por día I = (14,750)(0.38/365)(50) = $767.81 Como se puede observar, el interés comercial resulta más elevado que el interés real para el mismo capital, tasa de interés y tiempo. Esta ganancia extra hace que el año comercial sea muy utilizado en los bancos, casa de bolsa y en comercios que venden a crédito. El año comercial es utilizado por bancos, casa de bolsa y comercios en, prácticamente, todas sus operaciones financieras. El año comercial se debe a una costumbre surgida entre los prestamistas de la edad media, los cuales definieron el año comercial como formado de 12 meses de 30 días cada uno. Suponga que desea calcular los intereses de $15,000 prestados a 24% de interés simple por 3 meses. En este caso el interés sería: I= (15,000) (0.24/12) (3) = $900 Si en vez de utilizar meses, el cálculo se realiza utilizando días (3 meses = 90 días) y año comercial, entonces: I = (15,000) (0.24/360) (90) = $900 Si se empleará como divisor el 365 (año real), entonces los intereses resultan diferentes: I = (15,000) (0.24/365) (90) = $887.67 El uso del año natural en los cálculos financieros es mucho menor que el año comercial. En muchas ocasiones el período entre el momento en que se toma un préstamo o se invierte un determinado capital y su vencimiento, se indica mediante fechas. Para calcular el tiempo transcurrido entre dos fechas, se cuentan los días efectivos calendario. Al calcular el número de días se acostumbra excluir el primer día e incluir el último; sin embargo, está no es una práctica generalizada, ya que algunas veces se cuenta tanto el primer día como el último. De esta forma, para un préstamo contraído el 25 de Enero y liquidado el 26 de Abril de un año cualquiera no bisiesto, el tiempo transcurrido es de 91 días: Enero Febrero Marzo Abril Total 6 días (31 – 25) 28 días 31 días 26 días 91 días Ejemplo 1.1 Calcule el interés ordinario y exacto de un préstamo por $7,675 a 33%, del 13 de Septiembre al 12 de Diciembre de un determinado año no bisiesto. Solución: Cálculo de los días transcurridos: Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total 17 días (30 – 13) 31 días 30 días 12 días 90 días Interés Ordinario I = (7,675)(0.33/360)(90) = $633.19 Interés exacto I = (7,675)(0.33/365)(90) = $624.51 Ejemplo 1.2 En cierto banco, la tasa de interés neto para las cuentas de ahorro en el caso de las personas físicas es de 15% anual. El señor Aguirre abrió una cuenta de ahorros con 2,350 el día 3 de Mayo del 2000 (año bisiesto). No realizó depósitos ni retiros posteriores a la fecha de apertura de la cuenta, y el 29 de Mayo del mismo año la canceló. ¿Cuánto dinero recibió el señor Aguirre? Utilice año natural. Solución: Días transcurridos: 29 – 3 = 26 días M = 2,350 [1+(0.15/366)(26)] = $2,375.04 Ejemplo 1.3 Cuando una deuda no se liquida en la fecha de vencimiento, empieza a ganar intereses llamados moratorios, los cuales se calculan en base al capital originalmente prestado. Es usual que la tasa de interés moratorio sea de un 50% más de la tasa normal aplicada, aunque está no es una regla general. El lector puede comprobar que la tasa de interés moratorio indicada en el pagaré (9,730)+ (3235.23)= ($12,965.23) mostrado es, efectivamente, un 50% más de la tasa normal. (57% anual) Solución: Interés moratorio = (9,730) (0.57/360) (12) = $184.87 Cantidad total a pagar = capital + intereses ordinarios + intereses moratorio Cantidad total a pagar = monto + intereses moratorios Cantidad total a pagar = 12,965.23 + 184.87 = $13,150.10 Ejercicios Propuestos # 6 1. Obtenga el interés simple ordinario y exacto de 15,998 dólares, del 11 de Enero al 17 de Mayo de un cierto año bisiesto. La tasa de interés es del 9,75% anual. 2. Una Empresa desea depositar 290,000 dólares a un plazo de 225 días, y deberá decidir si deposita el dinero en el Banco del este, que paga el 11,4% de interés comercial, o en el Banco del Oeste que paga el 12,7% de interés real. ¿Qué banco le conviene elegir? 3. Calcule el interés simple comercial y real de 9,100 dólares, al 15,6% anual del 22 de Julio al 09 de Octubre de un cierto año bisiesto. 4. Calcule el interés simple comercial y real de una deuda de 9,900 dólares del 29 de Mayo al 04 de Noviembre, con una tasa de interés anual del 16,96%. 5. Utilizando el año natural, obtenga el valor de vencimiento de una deuda por 61,020 dólares, del 17 de Febrero al 15 de Agosto, con una tasa de interés del 18,33% anual. 6. Obtenga el interés real y comercial de 24,080 dólares al 2,9% mensual, siendo 195 días el plazo del préstamo. 7. Una Persona obtiene un Préstamo por 6,690 dólares el 3 de Enero y restituye el capital más intereses el 27 de Julio del mismo año. Obtenga el monto, si la tasa de interés fue del 3% mensual, de un cierto año bisiesto. 8. Calcule el Interés Comercial y Real de una Inversión de 45,000.00 dólares al 12,15% de interés, del 18 de Enero al 27 de Julio. Valor Presente. El siguiente ejemplo servirá para mostrar el significado del concepto de valor presente, llamado también valor actual. Suponga que usted, el día de hoy, recibe un préstamo de $15,000 a 10 meses de plazo y con una tasa de interés simple de 3% mensual. El monto será: M = 15,000 [1 + (0.03) (10)] = $19,500 Por el capital prestado usted deberá pagar $19,500 dentro de 10 meses. $19,500 son el monto o valor futuro de $15,000. Recíprocamente, se dice que $15,000 son el valor presente o valor actual de $19,500. Esto significa que $15,000 hoy son equivalentes a $19,500 dentro de 10 meses a una tasa de interés simple mensual del 3%. Ejemplo 1.1 Encuentre el valor presente de $2,000 que vencen dentro de 9 meses, si la tasa de interés es de 38.25% Solución: Para obtener el valor presente de un monto dado, se despeja P de la ecuación (1.2) del monto. P = VP = M/ (1+it) VP = 2,000 / 1+ (0.3825/12) (9) VP = $1,554.15 $1,554.15 son el valor presente o valor actual de $2,000. Esto significa que $1,554.15 invertidos hoy, durante 9 meses al 38.25%, se convertirán en $2,000. También se dice que $1,554.15 son equivalentes a $2,000 si el tiempo es de 9 meses y la tasa de interés es del 38.25%. Ejemplo 1.2 Valor presente significa el valor del dinero en cualquier fecha conveniente. Así por ejemplo, ¿cuál fue el valor presente el 19 de noviembre de 1998 del pagaré de $12,965.23, a una tasa del 38% anual, a 37 días. Solución: VP = 12,965.23 / 1+ (0.38/360) (37) VP = $12,477.90 El 19 de Noviembre el pagaré tenía un valor presente de $12,477.90. Esto significa que $12,477.90 invertidos durante 37 días se convertirán en $12,965.23, si la tasa de interés es del 38%. Ejemplo 1.3 ¿Cuánto será la tasa de interés de un pagaré por $2.130, que tiene un monto a pagar de $2,257.80, a 31 días plazo? I = $2,247.80 - $2,120 = $127.80 Se despeja la fórmula de la ecuación del interés simple i = I / Pt i = 127.80 / (2,130)(31) = 1.944613512 x 10-³ Ahora es necesario convertir i en un porciento. Para esto, se multiplica el valor de i por 100: i = (1.944613512 x 10-³)(100) i = 0.1944613512% diario Para convertir la tasa de interés por día a tasa de interés anual, se multiplica el resultado anterior por 360. i = (0.1944613512)(360) = 70% anual Ejemplo 1.4 Una inversión de $14,400 gana $2,092.80 de interés en 8 meses. Calcule: a) La tasa de interés simple anual. b) La tasa efectiva del periodo Solución: a) i = 2,092.80 / (14,400)(8) =0.018166666666 por mes i = 1.8166666666% mensual Para convertir la tasa mensual a tasa anual, se multiplica el resultado por 12 i = (1.8166666666)(12) = 21.8% anual b) La tasa efectiva del periodo es la tasa de interés que corresponde al período o plazo pactado para la operación. Esto es: i = 2,092.80 / (14,400) (1) = 0.1453333333 en el periodo de 8 meses. El 1 sustituido en la fórmula se refiere a un periodo de 8 meses Al expresar el resultado anterior en porcentaje, se tiene: i = 14.5333% en 8 meses Ejemplo 1.5 ¿Cuánto tiempo tardará un préstamo de $4,500 para producir $253.13 de interés simple, si la tasa de interés es de 45%? Solución: Se despeja t de la ecuación del interés simple t = I / Pi t = 253.13 / (4,500)(0.45) = 0.125002469 años Convirtiendo la fracción de año en días: t = (0.123288888888)(360) = 45 días Ejercicios propuestos # 7 1. Encuentre el Valor Actual de 5,000 dólares con vencimiento en 120 días, si la tasa de interés es del 19,20% anual. 2. ¿Cuál es el Capital que invertido al 1,58% mensual produjo un monto de 2,986 dólares en 45 días? 3. Encuentre el Valor Actual para un Monto de 13,000 dólares al 6% de interés trimestral, 4 meses antes del vencimiento. 4. Jorge le prestó a Tobi dinero para reparar su automóvil. Tobi está de acuerdo en que Jorge le cobre una tasa de interés igual a la vigente que se encuentre al momento de liquidar la deuda. Después de tres meses, Tobi pagó 3,651.05 dólares para cubrir la deuda más los intereses. ¿Cuánto le prestó Jorge, sabiendo que la tasa de interés vigente fue del 23,31%? 5. ¿Cuál es el Valor Presente de una Inversión, donde se termina recibiendo 13.985,00 dólares, del 15 de Enero al 30 de Noviembre de un cierto año bisiesto, a una tasa de interés del 18,6%? 6. Un comerciante termina pagando 11,782.00 dólares por un crédito concedido el 19 de Febrero de un cierto año bisiesto, por un proveedor, a una tasa de interés trimestral del 4,15%, con fecha de vencimiento el 24 de Agosto. ¿De cuánto fue el crédito otorgado? 7. El Interés ganado por un préstamo de 8,000 dólares, en un plazo de 5 meses, fue de 220 dólares. Calcule la tasa de interés anual y la tasa efectiva del periodo. 8. Calcule la tasa de interés para que 6,000 dólares en 120 días, ganen un interés de 368 dólares. 9. Un Pagaré por 1,534 dólares se liquidó después de 35 días, mediante un cheque por 1,603.98 dólares. ¿Cuál la tasa de interés anual? Utilice el año natural. 10. Andrea Invirtió 55,000 dólares en un Fondo de Inversión a plazo de 28 días. Si al vencimiento recibió 61,112.22 dólares: a) ¿qué rendimiento obtuvo? b) ¿qué tasa de interés anual ganó? 11. 542 dólares prestados al 4,05% mensual ganaron un interés de 131.7 calcule el plazo. 12. Una persona firmó un pagaré el 14 de Febrero por un capital de 17,800 dólares al 21,35% de interés anual. ¿En qué fecha los intereses serán de 890 dólares? 13. El 20 de Marzo la señora Pérez invierte 11,600 dólares a una tasa del 27,34% anual. ¿Qué día retira su inversión si obtiene 801.67 dólares de interés? 14.¿En cuánto tiempo se triplicará 7,500 dólares, si la tasa de interés simple es del 25% anual? Utilice el año natural. 15. La Señora Rodríguez solicita un Préstamo por 6.000 dólares para la compra de una copiadora impresora de inyección de tinta a color. Acuerda pagar 174.60 de intereses al cabo de 28 días. ¿Qué tasa efectiva del período paga por el préstamo? Ecuaciones de valor. Hay ocasiones en que un deudor desea reemplazar un conjunto de deudas, previamente contraídas con un determinado acreedor, por otro conjunto que le sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas de vencimiento. Para logar lo anterior es necesario plantear una ecuación de valores equivalentes o simplemente ecuación de valor. Una ecuación de valor es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de deudas es igual a la suma de los valores de un conjunto de deudas propuestas para reemplazar al conjunto original, una vez que su valores de vencimiento han sido trasladados a una fecha común, llamada fecha focal o fecha de valuación. La ecuación de valor se basa en el hecho de que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. El valor futuro de una cantidad invertida o prestada es mayor que su valor presente debido a los intereses que gana. Inversamente, el valor actual de una cantidad de dinero es menor que su valor futuro debido al descuento racional que sufre. Por tal motivo, dos o más cantidades de dinero no se pueden sumar mientras no se hayan trasladado todas a una fecha de comparación (fecha focal). La fecha focal es una fecha arbitrariamente elegida que nos permite elaborar la ecuación de valor. En la resolución de problemas con ecuaciones de valor a interés simple se tiene la desventaja de que el resultado varía al cambiar la fecha focal; por tal motivo la fecha de valuación deberá ser dato del problema. Para facilitar la resolución del problema es conveniente utilizar lo que se conoce como diagrama de tiempo. Este consiste en una línea horizontal con una escala de tiempo en años, meses, días, etc., dependiendo del problema, y en ella se indican los montos de las deudas, tanto originales como propuestas. Las obligaciones originales se colocan arriba del diagrama de tiempo y las nuevas obligaciones se colocan abajo. Ejemplo 1.1 Una persona tiene una deuda que debe ser saldada de la siguiente forma: $7,200 en este momento y $13,400 dentro de dos meses. Si desea saldar completamente su deuda el día de hoy, ¿cuánto tendrá que pagar, si la tasa de interés es de 24,36%? Solución: En primer lugar es necesarios establecer la fecha focal, ya que no fue establecida en el enunciado. Si el deudor desea saldar su deuda el día de hoy, no deberá pagar $20,600 (7,200 + 13,400), pues los $13,400 son un valor futuro, mientras que los $7,200 vencen hoy. Dos o más cantidades no se pueden sumar mientras no coincidan en el tiempo sus valores de vencimiento. Lo que se puede hacer es calcular el valor presente de los $13,400 y, entonces si, sumarlos con los $7,200. Por tanto, el día de hoy parece una fecha focal “natural” en este problema; aunque puede elegirse cualquier momento como fecha focal. El diagrama de tiempo sería el siguiente: Deuda Original $7,200 0 $13,400 1 -2 meses Deuda propuesta El 0 representa el momento actual o presente y X representa la cantidad total por pagar el día de hoy para saldar la deuda; esto es, el pago propuesto. La flecha indica que el valor futuro de $13,400 se traslada al momento actual, debido a que este punto se ha tomado como fecha focal. Trasladar un valor futuro al momento actual significa que se obtiene el valor presente del monto, dos meses antes de su vencimiento. Esto es: VP = 13,400 / 1 + (0.2436/12) (2) = $12,877.19 Al trasladar el monto a la fecha focal, todas las cantidades (7,200; 12,877.19 y X) se encuentran, ya, en una fecha común en la que es posible su comprobación y, por tanto, se puede plantear la ecuación de valor siguiente: Valor total de las deudas = Valor total de las deudas Originales propuestas Esto es: 7,200 + 12,877.19 = X Es decir: X = $20,077.19 Esta persona tendrá que pagar $20,077.19 el día de hoy y saldar así su deuda. Amortización con interés simple. Muchas deudas se liquidan mediante un pago único en la fecha de vencimiento; sin embargo, es común que los créditos se contraen para pagarlos mediante pagos parciales o abonos. En este caso se dice que el préstamo se amortiza. Amortizar significa saldar una deuda y sus intereses mediante una serie de pagos parciales o abonos que pueden ser iguales en valor o variables, efectuados a intervalos de tiempo iguale o diferentes. En la mayoría de las operaciones a crédito se acostumbra a saldar las deudas mediante abonos de igual cuantía, de manera que incluyan capital e intereses, y realizados a intervalos de tiempo iguales. Para que esto sea así, basta dividir el monto de la deuda entre el número de pagos, es decir: Abono = Monto de la deuda / Número de pagos La amortización de una deuda puede ser con interés simple o con interés compuesto. La amortización con interés simple puede llevarse a cabo de dos maneras distintas: • Con interés global • Con interés sobre saldos insolutos. Amortización con interés global. En este tipo de amortización los intereses son calculados so el total de la deuda, sin tomar en cuenta los pagos parciales efectuados. Ejemplo 1.1 El señor Javier Medina compra un refrigerador a crédito, cuyo precio de contado es de $ 4,800 bajo las siguientes condiciones de pago: Tasa de interés global de 48% y 6 meses para pagar dando abonos mensuales iguales en cantidad. Calcule el valor del abono mensual. Solución: El monto de la deuda es: M = 4,800 [1 + (0.48/12)(6)] M = $5,952 Al dividir este monto entre los 6 meses, se obtendrá el valor del abono mensual: Abono mensual = 5,952 / 6 = $992 El Interés a pagar por el crédito es: I = 5,952 – 4,800 = $1.152 Amortización con interés sobre saldos insolutos Si insoluto significa lo no pagado, entonces intereses cobrados sobre el saldo insoluto significa el interés calculado en una deuda sobre el saldo que queda por pagar cada vez que se realiza un abono. Ejemplo 1.2 Resuelva el ejemplo anterior, si los intereses se cobran sobre saldos insolutos. Solución: El problema puede ser resuelto de dos formas; en primer lugar se resolverá desarrollando una tabla de amortización, la cual muestra la evolución de la deuda, periodo a periodo. En este momento se hace necesario mencionar la diferencia que existe entre abono y amortización. Amortizar significa liquidar el capital mediante una serie de pagos, generalmente iguales, mientras que el abono o pago total es la suma de la amortización más el interés generado en el periodo. Por lo anterior, se puede decir que la amortización es la parte del abono que reduce el capital de la deuda. En este ejemplo, la amortización mensual es: Amortización = a = 4,800 / 6 = $800,00 Los interese mensuales se deben calcular sobre la parte no pagada del capital (saldo insoluto) que va quedando después de cada amortización. Desde el inicio del crédito hasta el final del primer mes, el saldo insoluto es de $4,800. Por tanto, el interés a pagar al efectuar la primera amortización será: I = (4,800)(0.48/12)(1) = $192 Al final del primer mes se tendrá que pagar $800 de amortización más $192 de intereses; es decir, se tendrá que dar un abono de $992. El saldo insoluto al inicio del segundo mes es de $4,800 - $800 = $4,000. El interés por pagar al final del segundo mes es: I = (3,200)(0.48/12)(1) = $160 El segundo abono será de $800 + $160 = $960. Al pagar el segundo abono el saldo insoluto es de $4,000 - $800 = $3,200 El interés por pagar al final del tercer mes es: I = (3,200)(0.48/12)(1) = $128 El tercer abono será de $800 + $128 = $928 Continuando de esta manera, es posible elaborar la siguiente tabla de amortización: Saldo Insoluto Mes Amortización Interés Pago Total 0 - - - 1 $800 $192 $992 $4,800 2 $800 $160 $960 $4,000 3 $800 $128 $928 $3,200 4 $800 $96 $896 $2,400 5 $800 $64 $864 $1,600 6 $800 $32 $832 $800 0 Total $4,800 $672 $5,472 La fórmula para calcular el interés en cualquier periodo de tiempo dentro de una tabla de amortización, es la siguiente: I = ni / 2 [2P – a (n-1)] La fórmula para calcular el interés total sobre saldos es la siguiente: I = ni / 2 (p + a) Ejercicios propuestos # 8 1. Calcule la tasa de interés para que $6000, en 120 días, ganen un interés de $368. 2. Un pagaré por $1534 se liquidó después de 35 días mediante un cheque por $1603.98 ¿Cuál fue la tasa anual de interés? Utilice el año natural. 3. Cierto individuo ofrece préstamos “cien mil por quincena”. Esto significa que el prestamista carga $100 de interés por cada $1000 tomados en préstamo durante un plazo de 15 días. Calcule la tasa de interés mensual cargada. 4. El señor García solicitó un préstamo por $23000 a 7 meses a una tasa de interés del 38%. Si realiza un pago de $9000 a los tres meses, ¿Cuánto deberá pagar al final de los 7 meses? Utilice como fecha focal la fecha dentro de 7 meses. 5. El señor López firmó 2 pagarés: uno con valor de vencimiento por $3,305.00 a pagar en tres meses y otro con valor de vencimiento por $4,990.00 a pagar en 6 meses. En un nuevo arreglo con su acreedor convino en pagar $3,050.00 el día de hoy y el resto dentro de 5 meses. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final del quinto mes, si la tasa de interés es de 5.4% bimensual, y se toma como fecha focal el mes 6? 6. Una persona adeuda $975 que debe saldar dentro de 4 meses a 11% de interés simple, y $1,600 con vencimiento a 8 meses e intereses al 12,3%. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final de 6 meses para saldar la totalidad de su adeudo suponiendo una tasa de interés de 9%? Tomar como fecha focal la fecha de 6 meses. 7. El Sr. Chávez firmó dos pagarés: uno con valor de vencimiento por 2,502.50 a pagar en 2 meses y otro con valor de vencimiento por 3,990 a pagar en 4 meses. En un nuevo arreglo con su acreedor convino en pagar 1,800 el día de hoy y el resto dentro de 5 meses. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final del quinto mes, si la tasa de interés es de 4,7% mensual, y se toma como fecha focal el mes quinto? 8. El Sr. Chávez firmó dos pagarés: uno con valor de vencimiento por 2,502.50 a pagar en 2 meses y otro con valor de vencimiento a pagar por 3,990 a pagar en 4 meses. En un nuevo arreglo con su acreedor convino en pagar 1,800 el día de hoy y el resto dentro de 5 meses. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final del quinto mes, si la tasa de interés es de 4,7% mensual, y se toma como fecha focal el momento actual? 9. Una persona firmó un pagaré por 15,460 a 90 días y una tasa de interés del 34%. Desea reestructurar su deuda firmando dos pagarés de igual cuantía con vencimientos a 60 y 120 días. ¿Cuál será en valor de los nuevos documentos, si la tasa de interés para la reestructuración es del 31,7% y se toma como fecha focal la fecha dentro de 120 días? 10. Una persona adeuda 7,000 dólares que debe saldar dentro de 4 meses al 7% de interés simple, y 13,500 dólares con vencimiento a 10 meses e intereses del 6%. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final de 6 meses para saldar la totalidad de su adeudo, suponiendo una tasa de interés del 6%? Tomar como fecha focal la fecha dentro de 6 meses 11. Alfredo adeuda 24,600 dólares (valor de vencimiento) que debe pagar dentro de 9 meses y pagar 30,000 dentro de un año, con una tasa de interés del 29,30%. Si queda de acuerdo con el acreedor en saldar la deuda mediante tres pagos iguales, uno dentro de 3 meses, el segundo dentro de 6 meses y el tercero a los 10 meses, y la operación se calcula a la tasa del 30,85%, ¿cuál será el valor de cada pago, si la fecha focal es el momento actual? 12. El 15 de Marzo, Armando Aguirre consiguió un préstamo por 6,435 al 32,8% de interés simple. El 20 de Abril abonó 1,540; el 04 de Mayo 1,600; el 31 de Mayo 900 y el 22 de Junio 1,000. Encuentre el Saldo a Pagar el 15 de Julio, utilice como fecha focal el día 15 de Julio. 13. Un Comerciante compra una estufa a crédito, cuyo precio de contado es 2,750, bajo las siguientes condiciones de pago: sin entrada, 4 meses para pagar dando abonos mensuales iguales en cantidad y una tasa de interés del 32%. Calcule el importe del abono mensual, considerando la fecha focal en el mes 4. 14. El día de hoy se cumplen 2 meses de que una persona consiguió un préstamo por 20,000 con tasa de interés del 28% y vencimiento a 5 meses. Cuatro meses antes de aquella fecha, había firmado un pagaré con valor de vencimiento por 16,356 a un plazo de 6 meses. Hoy da un abono de 12,000 y acuerda liquidar su adeudo con otro pago dentro de 6 meses. ¿De cuánto será este pago, si la tasa de interés se convenía en 30% anual? Utilice la fecha de hoy como fecha focal. 15. Adrián es un comerciante que tiene crédito en un almacén donde compra parte de su mercancía. Se le cobra una tasa de interés del 31% y su cuenta ha tenido el siguiente movimiento: Saldo deudor al 01 de Junio: Abono el 16 de Junio: Cargo el 11 de Julio: Cargo el 21 de Julio: Abono el 15 de Agosto: 8,900 3,200 3,650 4,720 6,000 Calcule el saldo al 01 de Septiembre. Utilice el 01 de Septiembre como fecha focal. 16. Un comerciante debe a su proveedor 4,250 que deberá pagar dentro de dos meses y 3,680 a pagar dentro de 4 meses. Si el comerciante desea liquidar su deuda en este momento, ¿qué cantidad deberá pagar si la tasa de interés es de 2.12% mensual? Utilice el momento actual como fecha focal. 17.En un anuncio de una distribuidora automotriz, aparecido en un periódico local, se menciona que se pude comprar un automóvil dando 40% de enganche y el resto a pagar en 10 mensualidades con 5% mensual de interés global. Si el automóvil cuesta $115,000; obtenga el abono mensual y calcule el interés que se está pagando por el crédito. 18.Un reloj se puede comprar de contado en $2540. A crédito se requiere un pago inicial de $540. Si se cobra una tasa de interés simple global de 44% y la deuda se liquida en 12 pagos semanales, ¿Cuál será el valor de cada pago y los intereses generados al final de las 12 semanas? 19.En cierta agencia automotriz se vende el modelo Light en $165,700 si la compra es al contado. A crédito lo ofrece sin enganche, en 36 mensualidades iguales y con una tasa de interés simple de 39,5% sobre el saldo insoluto. Obtenga el abono mensual y el total del interés generado. 20. El señor Gómez solicitó un préstamo personal por $7000 a una institución de crédito. El plazo es de 8 meses y cada mes deberá amortizar la octava parte del capital más el interés mensual devengado, calculado al 4% mensual sobre el saldo insoluto. Calcule los intereses en el mes 5. 21. Un empleado recibe un préstamo de $9600 que le concede la caja de ahorro de la empresa donde trabaja. Las condiciones del préstamo son: a. Liquidar el préstamo mediante 12 pagos quincenales iguales. b. Se cobrará la tasa de interés sobre los saldos insolutos de 1,12% quincenal. c. Obtenga el abono quincenal y el total de intereses al final de los 12 pagos. 22. Se compra un televisor cuyo precio es de $5600, con un pago inicial de 20% y 13 mensualidades iguales con interés de 48% sobre el saldo insoluto calcule los intereses devengados en los primeros: a. b. 5 meses. 10 meses. 23. Usted desea comprar un auto usado que vale 15,400 de contado. La empresa que lo vende le ofrece dos alternativas de pago si lo compra a crédito:  Cobrar una tasa de interés de 2,4% mensual global.  Cobrar una tasa de interés de 4% mensual sobre saldos insolutos. ¿Cuál alternativa le es más conveniente a usted, si da una entrada del 20% y el resto se paga en 18 mensualidades? 24. Una deuda de 3,000 se va a pagar mediante 5 pagos mensuales, de la siguiente forma: Pago 1 2 3 4 5 Amortización 350 500 600 750 800 El pago mensual deberá incluir los intereses del saldo insoluto. Si la tasa de interés es del 2.93% mensual, elabore la tabla de amortización. 25. Una Tienda departamental vende un equipo de sonido en 3,330, precio de contado. Para promover sus ventas, lo ofrece a crédito con una entrada del 15% sobre el precio de contado y el saldo en 24 pagos quincenales iguales. Si la tasa de interés es de 4,9% bimensual sobre saldos insolutos, calcule el valor del pago quincenal y el interés total que se paga por el crédito. 26. Elabore una tabla de amortización de un crédito por 13,100, al 14.7% de interés anual, a 35 meses, calcule los intereses en el mes 17 y en el mes 24. 27. Una deuda de 16,000 dólares se debe amortizar en un año mediante pagos trimestrales iguales. Si la tasa de interés es del 24% sobre saldos insolutos, encuentre el valor de los pagos y elabore la tabla de amortización por el método Francés. 28. Un automóvil, cuyo precio de contado es de 115,000 dólares, se vende con una entrada del 30% y el saldo en pagos quincenales a 6 meses plazo, con una tasa de interés del 14,64%, elabore la tabla de amortización por el método Francés, encuentre el valor de los pagos y determine el interés total al final del tiempo pactado. 29. Una Persona solicita un préstamo de 85,000 dólares para ser amortizado mediante pagos trimestrales iguales durante 2 años, con interés del 30%. Encuentre el valor de los pagos y el total de los intereses generados. 30. Un automóvil nuevo tiene precio de contado de 84,800, se lo puede adquirir sin entrada y en 12 pagos semanales iguales, con una tasa de interés del 18,9%. Encuentre el valor de los pagos y el total de los intereses generados. 31. En una Cooperativa de la Ciudad, otorgan microcréditos para tiendas de barrio por 10,000 dólares, a 24 meses plazo, e interés del 11,65%, con capital amortizado fijo y cuotas diferentes. Encuentre el interés total y el interés generado en el quinto pago. 32. Una persona desea reunir 1,350 dólares para comprar una cámara fotográfica dentro de 3 meses. ¿Cuánto deberá depositar cada quincena en una cuenta bancaria que paga el 20% de interés. Elabore la tabla de capitalización. 33. Un préstamo por 50,000 se amortizará mediante 5 pagos cuatrimestrales iguales. Si la tasa de interés es del 10,68% cuatrimestral. Encuéntrese el abono cuatrimestral y elabore la tabla de amortización. 34. Calcule el total de los intereses de una deuda por 27,600 dólares, aplicando el método Francés, a 10 años plazos, con una tasa de interés del 18,6%, con cuotas fijas semestrales. 35. En Cierto Banco otorgan créditos de consumo de 7,200 dólares, a una tasa de interés del 9%, con plazo de 18 meses, y cuotas trimestrales iguales. 36. En un préstamo quirografario del IESS, el afiliado solicita un crédito por 6,600 dólares, a una tasa de interés del 11,2% y un plazo de 12 meses, el empleado deberá decidirse si lo realiza por el método francés o el alemán. Indicar cuál método le conviene más y cuál es la diferencia de intereses. Interés Compuesto. En El Interés Simple el capital que genera el interés permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo. En Cambio, en el interés compuesto el interés generado en un periodo dado se convierte en capital para el siguiente periodo. Esto es, el interés simple generado al final del primer periodo se suma al capital original, formándose un nuevo capital. Con este nuevo capital se calcula el interés simple generado en el segundo periodo y el interés se suma al capital, y así sucesivamente. La suma total obtenida al final del tiempo se conoce como Monto Compuesto o Valor Futuro. A la diferencia entre el Monto Compuesto y el Capital original se le llama Interés Compuesto. I=F–C El Interés compuesto se puede definir como la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada periodo por adición de los intereses vencidos. El periodo convenido para convertir el interés en capital se llama Periodo de Capitalización o Periodo de Conversión. El interés puede capitalizarse anualmente, semestralmente, mensualmente, semanalmente, etc. El número de veces que el interés se capitaliza en un año, se conoce como frecuencia de capitalización o frecuencia de conversión. Así, la frecuencia de capitalización para una inversión con capitalización de intereses cada mes es 12; si la frecuencia de los intereses es bimestral, la frecuencia de capitalización es 6; si los intereses se capitalizan trimestralmente, la frecuencia de capitalización es 4 y si los intereses se capitalizan semestralmente, la frecuencia de capitalización es 2 Formula general: F = C (1 + i) ⁿ Ejemplo: ¿Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al cabo de 5 años, si se invierten 8,000 dólares al 2.06% mensual con intereses capitalizables cada bimestre? Solución: La tasa de interés es del 2.06% mensual, pero pagadera cada bimestre, esto significa que se paga el (2.06 x 2) 4.12% en cada periodo bimestral. Como el tiempo total de la inversión es de 5 años, entonces el número total de periodos de capitalización (n) será de: n = (5 años) (6 bimestres/año) = 30 bimestres Al sustituir los datos en la fórmula se tiene: F = 8,000 (1 + 0.0412) ᶟᵒ = 8,000 (1.0412) ᶟᵒ Al resolver, se tiene: F = 26,860.54 Ejercicios Propuestos # 9 1. Obtenga el monto compuesto y el interés compuesto al cabo de 6 meses de 3,800 dólares, invertidos al 29% anual capitalizable cada mes. 2. En las cuentas de ahorro el ABC Bank de Houston, Texas, ofrece una tasa de interés anual del 16,67% capitalizable diariamente. Si se invierten 8,400 dólares el 04 de Enero, ¿cuál será el valor futuro el 19 de Noviembre? Utilice el año natural. 3. Un anuncio bancario dice: “El Dinero que usted invierte con nosotros gana intereses al 23,7% convertible cada día”. Encuentre el interés ganado si usted decide invertir 5,730 dólares durante tres años en dicho banco. Utilice el año comercial. 4. Trece mil dólares fueron invertidos al 1.65% mensual de interés compuesto, capitalizable mensualmente por un año y 5 meses. a) Obtenga el valor futuro al final de ese tiempo b) ¿Cuánto más se ganó con el interés compuesto, que lo que se hubiera ganado con el interés simple? 5. Cuando Armando cumplió 6 años de edad, su abuelo le obsequió 10,000 dólares para que fueran invertidos y, posteriormente, utilizados en su educación universitaria. Sus padres depositaron el dinero en una cuenta que paga el 24,4% con capitalización quincenal. Si la tasa de interés permanece constante, ¿cuánto habrá en la cuenta cuando Armando esté listo para ir a la Universidad, a los 18 años de edad? 6. Una Persona tiene que elegir entre invertir 15,000 dólares al 28% capitalizable cada 14 días, por un año, o hacerlo al 30% con capitalización bimestral, por un año. ¿Qué es mejor? 7. Una Inversión de 20,000 dólares se efectúa a 10 años. Durante los primeros 6 años la tasa de interés compuesta capitalizable cada semestre es del 11% anual. Posteriormente, la tasa desciende al 9.6% anual capitalizable semestralmente, durante un año y medio. El resto del tiempo la tasa aumenta al 10% capitalizable cada mes. ¿Cuál es monto final de la inversión? 8. Noemí les presta a su primo 3,500 dólares por 6 meses, cobrándole una tasa de interés simple del 1.5% mensual. Al final de este tiempo, deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorros que le paga un 20% capitalizable cada semana. ¿Cuánto dinero tendrá Noemí al cabo de 2 años? 9. Se depositan 10,000 dólares en una cuenta que paga el 23% capitalizable cada 91 días. La tasa se mantiene constante durante 2 años. Al cabo de ese tiempo, la tasa cambia al 20% capitalizable cada mes. Obtenga el monto después de 2 años más. Utilice el año natural. 10.Se invierten 8,500 dólares al 19,75% capitalizable quincenalmente. A los 6 meses, la tasa de interés cambia al 21,43% capitalizable cada mes y en ese momento se retiran 4,000 dólares. Pasados 10 meses, la tasa se vuelve a incrementar, al 23.15% capitalizable cada mes y en ese momento se depositan 6,000 dólares. Obtenga el monto al cabo de 3 años, contados a partir del depósito de los 8,500.