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Escuela Superior Politécnica del Litoral Facultad de Ingeniería en Mecánica y Ciencias de la producción Pronósticos & Control de Inventarios Módulo II: Planificación Macrocurricular: La pertinencia TRABAJO AUTÓNOMO PROCESUAL Técnicas de pronóstico basadas en series de tiempo Proceso autorregresivo integrado de promedios móviles (ARIMA) Explicación de la formulación Los modelos de series de tiempo analizados se basan en el supuesto de que las series de tiempo consideradas son (débilmente) estacionarias. En pocas palabras, la media y la varianza de una serie de tiempo débilmente estacionaria son constantes y su covarianza es invariante en el tiempo. Pero sabemos que muchas series de tiempo económicas son no estacionarias, es decir, son integradas. Decimos que la serie de tiempo original es ARIMA(p, d, q), es decir, es una serie de tiempo autorregresiva integrada de promedios móviles, donde p denota el número de términos autorregresivos, d el número de veces que la serie debe diferenciarse para hacerse estacionaria y q el número de términos de promedios móviles. La metodología BJ resulta útil para responder la pregunta anterior. El método considera cuatro pasos: Paso 1. Identificación. Es decir, encontrar los valores apropiados de p, d y q. En seguida veremos la forma como el correlograma y el correlograma parcial ayudan en esta labor. Paso 2. Estimación. Tras identificar los valores apropiados de p y q, la siguiente etapa es estimar los parámetros de los términos autorregresivos y de promedios móviles incluidos en el modelo. Algunas veces, este cálculo se efectúa mediante mínimos cuadrados simples, pero otras hay que recurrir a métodos de estimación no lineal (en parámetros). Como esta labor se lleva a cabo ahora a través de rutinas en diversos paquetes estadísticos, en la práctica no es preciso preocuparse por los desarrollos matemáticos de la estimación; el estudiante interesado en el tema puede consultar las referencias. Paso 3. Examen de diagnóstico. Después de seleccionar un modelo ARIMA particular y de estimar sus parámetros, tratamos de ver si el modelo seleccionado se ajusta a los datos en forma razonablemente buena, pues es posible que exista otro modelo ARIMA que también lo haga. Es por esto que el diseño de modelos ARIMA de Box-Jenkins es un arte más que una ciencia; se requiere gran habilidad para seleccionar el modelo ARIMA correcto. Una simple prueba del modelo seleccionado es ver si los residuales estimados a partir de este modelo son de ruido blanco; si lo son, aceptamos el ajuste particular; si no lo son, debemos empezar de nuevo. Por tanto, la metodología BJ es un proceso iterativo Paso 4. Pronóstico. Una razón de la popularidad del proceso de construcción de modelos ARIMA es su éxito en el pronóstico. En muchos casos, los pronósticos obtenidos por este método son más confiables que los obtenidos de modelos econométricos tradicionales, en particular en el caso de pronósticos de corto plazo. Por supuesto, cada caso debe verificarse. Condiciones para su utilización (Característica de las series de tiempo) La publicación de G. P. E. Box y G. M. Jenkins Time Series Analysis: Forecasting and Control, op. cit., marcó el comienzo de una nueva generación de herramientas de pronóstico. Popularmente conocida como metodología de Box-Jenkins (BJ), pero técnicamente conocida como metodología ARIMA, el interés de estos métodos de pronósticos no está en la construcción de modelos uniecuacionales o de ecuaciones simultáneas, sino en el análisis de las propiedades probabilísticas, o estocásticas, de las series de tiempo económicas por sí mismas según la filosofía de que los datos hablen por sí mismos. A diferencia de los modelos de regresión, en los cuales Yt se explica por las k regresoras X1, X2, X3, . . . , Xk, en los modelos de series de tiempo del tipo BJ, Yt se explica por valores pasados o rezagados de sí misma y por los términos de error estocásticos. Por esta razón, los modelos ARIMA reciben algunas veces el nombre de modelos ateóricos —porque no se derivan de teoría económica alguna—, y las teorías económicas a menudo son la base de los modelos de ecuaciones simultáneas. Por lo tanto las características principales de este modelo es que se asume que toda la serie temporal está generada por un proceso estocástico y que el proceso es estrictamente estacionario. Lo que supone que la función distribución conjunta no se ve afectada por ningún cambio de origen. Por lo tanto debemos evitar que la media sea constante en el tiempo y que la covarianza no dependa únicamente de la distancia temporal entre las variables. Además se supone que el proceso es ergódico, lo que supone que aquellos elementos suficientemente alejadas en el tiempo estén prácticamente incorrelacionados, de tal forma que todos los elementos de la serie temporal aportan información nueva y útil para la media. Podemos decir que una serie es ergódica si la covarianza tiende a cero cuando k tiende a infinito. Ejercicio de aplicación Ejemplo de estudio de caso de fabricación Se conocen los datos de ventas de tractores de los últimos 10 años de la empresa “Powerhorse tractors”. Se quiere pronosticar la demanda para el siguiente: Pasos para la resolución: 1.- Trazar datos de ventas como serie de tiempo, como en la figura. 2.- Datos de diferencia para hacer que los datos sean estacionarios en la media (eliminar tendencia): Esto para eliminar la tendencia ascendente a través del primer orden de diferenciación de la serie mediante la siguiente fórmula: 3.- El registro de diferencias transforma los datos para que los datos sean estacionarios tanto en la media como en la varianza Veamos la trama diferenciada para series transformadas de registro para reconfirmar si la serie es realmente estacionaria tanto en media como en varianza. Sí, ahora esta serie parece estacionaria tanto en media como en varianza. Esto también nos da la pista de que I o la parte integrada de nuestro modelo ARIMA será igual a 1, ya que la 1ª diferencia hace que la serie sea estacionaria. 4.- Pronosticar ventas usando el modelo ARIMA que mejor se ajuste El siguiente paso es predecir las ventas de tractores para los próximos 3 años, es decir, para 2015, 2016 y 2017 a través del modelo anterior. La siguiente es la salida con los valores pronosticados de las ventas de tractores en azul. Además, el rango de error esperado (es decir, 2 veces la desviación estándar) se muestra con líneas naranjas a cada lado de la línea azul predicha. Limitaciones del modelo El método ARIMA es apropiado solo para una serie temporal que es estacionaria (es decir, su media, varianza y autocorrelación debe ser aproximadamente constante a lo largo del tiempo) y se recomienda que haya al menos 50 observaciones en los datos de entrada. También se supone que los valores de los parámetros estimados son constantes en toda la serie. Proceso autorregresivo estacional de promedios móviles (SARIMA) Explicación de la formulación En estadística, a menudo, las series temporales poseen un componente estacional que se repite en todas las observaciones. Para las observaciones mensuales s = 12 (12 en 1 año), para las observaciones trimestrales s = 4 (4 en 1 año). Para hacer frente a la estacionalidad, los procesos ARIMA han sido generalizados, estableciendo los modelos SARIMA (Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average Model). Φ (B) ∆d Xt = θ (B) αt donde αt es tal que sΦ (Bs) ∆Ds αt = sΘ (Bs) at y por lo tanto Φ (B)s Φ (Bs) ∆Ds ∆d Xt = θ (B)s Θ (Bs) αt y escribimos Xt ~ ARIMA (p, d, q) × (P, D, Q) s. La idea es que los modelos SARIMA son modelos  ARIMA (p, d, q) cuyos residuos αt son ARIMA (P, D, Q). Con ARIMA (P, D, Q) proponemos modelos ARIMA cuyos operadores se definen en Bs y en potencias sucesivas. Condiciones para su utilización (Característica de las series de tiempo) d = 0 proceso estacionario d = 1 proceso no estacionario: el nivel va cambiando con el tiempo, pero el incremento es constante → el nivel no es estacionario, pero sus incrementos sí lo son d = 2 proceso no estacionario: tanto el nivel como los incrementos son estacionarios Cuando Xt no es estacionario, su ACF teórico no está definido (sólo el ACF empírico lo es). Sin embargo, observando el comportamiento de procesos casi estacionarios podemos poner en evidencia las siguientes regularidades: El ACF disminuye muy lentamente a cero, la disminución no es exponencial de manera lineal. El PACF toma el valor 1 para k = 1 y cero en otro lugar. Ejercicio de aplicación Comercio minorista trimestral europeo Describiremos el procedimiento de modelación estacional de ARIMA utilizando datos trimestrales del comercio minorista europeo de 1996 a 2011. Los datos se representan en la Figura. Los datos son claramente no estacionarios, con cierta estacionalidad, por lo que primero tomaremos una diferencia estacional. Los datos de diferenciación estacional se muestran en la Figura 1. Estos también parecen ser no estacionarios, por lo que tomamos una primera diferencia adicional, que se muestra en la Figura 2 Figura 1 Figura 2. Por lo tanto, ahora tenemos un modelo SARIMA que pasa los controles requeridos y está listo para el pronóstico. Las proyecciones del modelo para los próximos tres años se muestran en la Figura 3. Los pronósticos siguen la tendencia reciente en los datos, debido a la doble diferenciación. Los grandes intervalos de predicción que aumentan rápidamente muestran que el índice de comercio minorista podría comenzar a aumentar o disminuir en cualquier momento, mientras que los pronósticos puntuales tienden a disminuir, los intervalos de predicción permiten que los datos tengan una tendencia ascendente durante el período de pronóstico. Figura 3 Limitaciones del modelo El método SARIMA es solo usado para una serie temporal que es estacionaria (es decir, su media, varianza y autocorrelación debe ser aproximadamente constante a lo largo del tiempo) y se recomienda que haya al menos 50 observaciones en los datos de entrada. Bibliografía Chopra, S. (2008). Capitulo 7: Pronóstico de la demanda en una cadena de suministro. En Administración de la cadena de suministro (pág. 552). Mexico: Pearson educación. Fernandez, S. d. (2012). Series temporales: Modelo ARIMA. 52. Porter, D. (2010). Capitulo 22: Econometría de series de tiempo: pronósticos. En Econometría (págs. 775-782). Ciudad de Mexico: McGrahill.