Fisica para Ciencias e Ingenieria Giancoli VOL

CU A RT A ED ICIÓN V O L U M E N I FÍSICA para CIENCIAS e INGENIERÍA GIANCOLI Constantes fundamentales Cantidad Símbolo Valor aproximado Mejor valor actual† Rapidez de la luz en el vacío Constante gravitacional Número de Avogadro Constante de gas c G 3.00 * 108 m s 6.67 * 10–11 N m2 kg 2 6.02 * 1023 mol–1 8.314 J mol K = 1.99 cal mol K = 0.0821 L atm mol K 1.38 * 10–23 J K 1.60 * 10–19 C 5.67 * 10–8 W m2 K4 8.85 * 10–12 C 2 N m2 4p * 10–7 T m A 6.63 * 10–34 J s 9.11 * 10–31 kg = 0.000549 u = 0.511 MeV c2 1.6726 * 10–27 kg = 1.00728 u = 938.3 MeV c2 1.6749 * 10–27 kg = 1.008665 u = 939.6 MeV c2 1.6605 * 10–27 kg = 931.5 MeV c2 2.99792458 * 108 m s 6.6742(10) * 10–11 N m2 kg 2 6.0221415(10) * 1023 mol–1 8.314472(15) J mol K Constante de Boltzmann Carga sobre electrón Constante de Stefan-Boltzmann Permitividad del espacio libre Permeabilidad del espacio libre Constante de Planck Masa en reposo del electrón NA R k e s 0 = A1 c2m0 B m0 h me Masa en reposo del protón mp Masa en reposo del neutrón mn Unidad de masa atómica (1 u) 1.3806505(24) * 10–23 J K 1.60217653(14) * 10 –19 C 5.670400(40) * 10–8 W m2 K4 8.854187817 p * 10–12 C 2 N m2 1.2566370614 p * 10 –6 T m A 6.6260693(11) * 10–34 J s 9.1093826(16) * 10–31 kg = 5.4857990945(24) * 10–4 u 1.67262171(29) * 10–27 kg = 1.00727646688(13) u 1.67492728(29) * 10–27 kg = 1.00866491560(55) u 1.66053886(28) * 10–27 kg = 931.494043(80) MeV c2 † CODATA (12/05), Peter J. Mohr y Barry N. Taylor, National Institute of Standards and Technology. Los números entre paréntesis indican incertidumbres experimentales de una desviación estándar en los dígitos finales. Los valores sin paréntesis son exactos (es decir, cantidades definidas). Otros datos útiles El alfabeto griego Equivalente de Joule (1 cal) Cero absoluto (0 K) Aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra (promedio) Rapidez del sonido en el aire (20°C) Densidad del aire (seco) 4.186 J 9.80 m s2 (= g) 343 m s 1.29 kg m3 Tierra: Masa Radio (medio) Tierra: Masa Radio (medio) Sol: Masa Radio (medio) Distancia Tierra-Sol (media) Distancia Tierra-Luna (media) 5.98 * 1024 kg 6.38 * 103 km 7.35 * 1022 kg 1.74 * 103 km 1.99 * 1030 kg 6.96 * 105 km 149.6 * 106 km 384 * 103 km –273.15°C Alfa Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mu ¢ ™ ¶ a b g d ,e z h u i k l m Nu Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon Phi Chi Psi Omega ß © £ ° n j o p r s t y f, w x c v Valores de algunos números p = 3.1415927 e = 2.7182818 12 = 1.4142136 13 = 1.7320508 ln 2 = 0.6931472 ln 10 = 2.3025851 Signos y símbolos matemáticos r = L Z 7 W 6 V es proporcional a es igual a es aproximadamente igual a no es igual a es mayor que es mucho mayor que es menor que es mucho menor que g x ¢x ¢x S 0 n! log10 e = 0.4342945 1 rad = 57.2957795° Propiedades del agua es menor que o igual a es mayor que o igual a suma de valor promedio de x cambio en x x tiende a cero n(n - 1)(n - 2) p (1) Densidad (4°C) 1.000 * 103 kg m3 Calor de fusión (0°C) Calor específico (15°C) 333 kJ kg (80 kcal kg) 2260 kJ kg (539 kcal kg) 4186 J kg C° (1.00 kcal kg C°) Índice de refracción 1.33 Calor de vaporización (100°C) Conversión de unidades (equivalentes) Longitud Tiempo 1 in. = 2.54 cm (definición) 1 cm = 0.3937 in. 1 ft = 30.48 cm 1 m = 39.37 in. = 3.281 ft 1 mi = 5280 ft = 1.609 km 1 km = 0.6214 mi 1 milla náutica (E.U.A.) = 1.151 mi = 6076 ft = 1.852 km 1 fermi = 1 femtómetro (fm) = 10–15 m 1 angstrom (Å) = 10 –10 m = 0.1 nm 1 año-luz (a-l) (ly) = 9.461 * 1015 m 1 parsec = 3.26 ly = 3.09 * 1016 m 1 día = 8.640 * 104 s Volumen 1 año = 3.156 * 107 s Masa 1 unidad de masa atómica (u) = 1.6605 * 10 –27 kg 1 kg = 0.06852 slug [1 kg tiene un peso de 2.20 lb donde g = 9.80 m兾s2.] Fuerza 1 lb = 4.448 N 1 N = 105 dina = 0.2248 lb Energía y trabajo 1 litro (L) = 1000 mL = 1000 cm3 = 1.0 * 10–3 m3 = 1.057 cuarto (E.U.A.) = 61.02 in.3 1 gal (U.S.) = 4 cuarto (E.U.A.) = 231 in.3 = 3.785 L = 0.8327 gal (inglés) 1 cuarto (E.U.A.) = 2 pintas (E.U.A.) = 946 mL 1 pinta (inglesa) = 1.20 pintas (E.U.A.) = 568 mL 1 m3 = 35.31 ft3 1 J = 107 ergs = 0.7376 ftlb 1 ftlb = 1.356 J = 1.29 * 10–3 Btu = 3.24 * 10 –4 kcal 1 kcal = 4.19 * 103 J = 3.97 Btu 1 eV = 1.602 * 10–19 J 1 kWh = 3.600 * 106 J = 860 kcal 1 Btu = 1.056 * 103 J Potencia Rapidez 1 mi兾h = 1.4667 ft兾s = 1.6093 km兾h = 0.4470 m兾s 1 km兾h = 0.2778 m兾s = 0.6214 mi兾h 1 ft兾s = 0.3048 m兾s (exacta) = 0.6818 mi兾h = 1.0973 km兾h 1 m兾s = 3.281 ft兾s = 3.600 km兾h = 2.237 mi兾h 1 knot = 1.151 mi兾h = 0.5144 m兾s Ángulo 1 radián (rad) = 57.30° = 57°18¿ 1° = 0.01745 rad 1 rev兾min (rpm) = 0.1047 rad兾s 1 W = 1 J兾s = 0.7376 ftlb兾s = 3.41 Btu兾h 1 hp = 550 ftlb兾s = 746 W Presión 1 atm = 1.01325 bar = 1.01325 * 105 N兾m2 = 14.7 lb兾in.2 = 760 torr 1 lb兾in.2 = 6.895 * 103 N兾m2 1 Pa = 1 N兾m2 = 1.450 * 10–4 lb兾in.2 Multiplicadores métricos (SI) Unidades SI derivadas y sus abreviaturas Cantidad Unidad Abreviatura Fuerza newton N Energía y trabajo joule J Potencia watt W Presión pascal Pa Frecuencia hertz Hz Carga eléctrica coulomb C Potencial eléctrico volt V Resistencia eléctrica ohm  Capacitancia farad F Campo magnético tesla T Flujo magnético weber Wb Inductancia henry H † En términos de Unidades base† kgm兾s2 kgm2兾s2 kgm2兾s3 kg兾Ams2 B s–1 As kgm2兾AAs3 B kgm2兾AA2 s3 B A2 s4兾Akgm2 B kg兾AAs2 B kgm2兾AAs2 B kgm2兾As2 A2 B kg = kilogramo (masa), m = metro (longitud), s = segundo (tiempo), A = ampere (corriente eléctrica). Prefijo Abreviatura yotta zeta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto Y Z E P T G M k h da d c m m n p f a z y Valor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10 –1 10 –2 10 –3 10 –6 10 –9 10 –12 10 –15 10 –18 10 –21 10 –24 FÍSICA para CIENCIAS E INGENIERÍA FÍSICA para CIENCIAS E INGENIERÍA C U A RTA E D I C I Ó N D O U G L A S C . G I A NCOL I TRADUCCIÓN Ma. de Lourdes Amador Araujo Traductora profesional REVISIÓN TÉCNICA Víctor Robledo Rella División de Ingeniería y Arquitectura Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de México Francisco Ábrego Rodríguez Departamento de Física Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey Datos de catalogación bibliográfica GIANCOLI, DOUGLAS C. Física para ciencias e ingeniería. Cuarta edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-1225-4 Área: Física Formato: 21 × 27 cm Páginas: 632 Authorized translation from the English language edition, entitled Physics for scientists and engineers with modern physics 4th ed. by Douglas C. Giancoli published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2008. All rights reserved. ISBN 013-227358-6 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, Physics for scientists and engineers with modern physics 4ª ed., por Douglas C. Giancoli publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL INC., Copyright © 2008. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Rubén Fuerte Rivera e-mail: ruben.fuerte@pearsoned.com Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño Edición en inglés President, ESM: Paul Corey Sponsoring Editor: Christian Botting Production Editor: Frank Weihenig, Prepare Inc. Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Art Director and Interior & Cover Designer: John Christiana Manager, Art Production: Sean Hogan Senior Development Editor: Karen Karlin Copy Editor: Jocelyn Phillips Proofreader: Marne Evans Buyer: Alan Fischer Art Production Editor: Connie Long Illustrators: Audrey Simonetti and Mark Landis Photo Researchers: Mary Teresa Giancoli and Truitt & Marshall Senior Administrative Coordinator: Trisha Tarricone Composition: Emilcomp/Prepare Inc. Photo credits appear on page A-44 which constitutes a continuation of the copyright page. CUARTA EDICIÓN, 2008 D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5° piso Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: editorial.universidades@pearsoned.com Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1225-X ISBN 13: 978-970-26-1225-4 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08 Contenido 3 CINEMÁTICA EN DOS O EN TRES DIMENSIONES: VECTORES 3–1 3–2 3–3 Vectores y escalares Suma de vectores: Método gráfico Resta de vectores y multiplicación de un vector por un escalar Suma de vectores por medio de componentes Vectores unitarios Cinemática vectorial Movimiento de proyectiles Resolución de problemas que implican el movimiento de un proyectil Velocidad relativa RESUMEN 74 PREGUNTAS 75 PROBLEMAS 75 ROBLEMAS GENERALES 80 3–4 3–5 3–6 3–7 3–8 3–9 PREFACIO A LOS ESTUDIANTES xix xxiii Volumen 1 1 1–1 1–2 1–3 La naturaleza de la ciencia 2 Modelos, teorías y leyes 2 Medición e incertidumbre; cifras significativas 3 Unidades, estándares y el sistema SI 6 Conversión de unidades 8 Orden de magnitud: Estimación rápida 9 Dimensiones y análisis dimensional 12 RESUMEN 14 PREGUNTAS 14 PROBLEMAS 14 PROBLEMAS GENERALES 16 1–4 1–5 1–6 *1–7 2 2–1 2–2 2–3 2–4 2–5 2–6 2–7 *2–8 *2–9 1 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO: CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN 18 Marcos de referencia y desplazamiento Velocidad promedio Velocidad instantánea Aceleración Movimiento con aceleración constante Resolución de problemas Caída libre de objetos Aceleración variable; cálculo integral Análisis gráfico e integración numérica RESUMEN 43 PREGUNTAS 43 PROBLEMAS 44 PROBLEMAS GENERALES 48 52 52 54 55 59 59 62 64 71 4 DINÁMICA: LEYES DE NEWTON 4–1 4–2 4–3 4–4 4–5 4–6 4–7 Fuerza 84 Primera ley de Newton del movimiento 84 Masa 86 Segunda ley de Newton del movimiento 86 Tercera ley de Newton del movimiento 89 Fuerza de gravedad (peso) y fuerza normal 92 Resolución de problemas con las leyes de Newton: Diagramas de cuerpo libre 95 Resolución de problemas: Un enfoque general 102 RESUMEN 102 PREGUNTAS 103 PROBLEMAS 104 PROBLEMAS GENERALES 109 4–8 INTRODUCCIÓN, MEDICIONES, ESTIMACIONES 51 DEL MOVIMIENTO 83 5 APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON: FRICCIÓN, MOVIMIENTO 5–1 Aplicaciones de las leyes de Newton que implican fricción 113 Movimiento circular uniforme: Cinemática 119 Dinámica del movimiento circular uniforme 122 Curvas en las carreteras: peraltadas y sin peralte 126 Movimiento circular no uniforme 128 Fuerzas dependientes de la velocidad: Arrastre y velocidad terminal 129 RESUMEN 130 PREGUNTAS 131 PROBLEMAS 132 PROBLEMAS GENERALES 136 5–2 5–3 5–4 *5–5 *5–6 CIRCULAR Y ARRASTRE 112 19 20 22 24 28 30 34 39 40 vii 6 GRAVITACIÓN Y SÍNTESIS DE NEWTON 6–1 6–2 Ley de Newton de la gravitación universal 140 Forma vectorial de la ley de Newton de la gravitación universal 143 Gravedad cerca de la superficie de la Tierra: Aplicaciones geofísicas 143 Satélites e “ingravidez” 146 Leyes de Kepler y síntesis de Newton 149 Campo gravitacional 154 Tipos de fuerzas en la naturaleza 155 El principio de equivalencia, la curvatura del espacio y los agujeros negros 155 RESUMEN 157 PREGUNTAS 157 PROBLEMAS 158 PROBLEMAS GENERALES 160 6–3 6–4 6–5 *6–6 6–7 *6–8 Fuerza 139 Desplazamiento 9 CANTIDAD DE MOVIMIENTO 9–1 Cantidad de movimiento lineal y su relación con la fuerza 215 Conservación de la cantidad de movimiento 217 Colisiones e impulso 220 Conservación de la energía y de la cantidad de movimiento lineal en colisiones 222 Colisiones elásticas en una dimensión 222 Colisiones inelásticas 225 Colisiones en dos o en tres dimensiones 227 Centro de masa (CM) 230 Centro de masa y movimiento traslacional 234 Sistemas de masa variable: propulsión de cohetes 236 RESUMEN 239 PREGUNTAS 239 PROBLEMAS 240 PROBLEMAS GENERALES 245 9–2 9–3 9–4 9–5 9–6 9–7 9–8 9–9 *9–10 LINEAL Y COLISIONES 10 M OVIMIENTO ROTACIONAL 214 248 10–1 10–2 7 7–1 7–2 7–3 7–4 8 8–1 8–2 8–3 8–4 8–5 8–6 8–7 8–8 *8–9 viii TRABAJO Y ENERGÍA 163 Trabajo realizado por una fuerza constante 164 Producto escalar de dos vectores 167 Trabajo efectuado por una fuerza variable 168 Energía cinética y el principio del trabajo y la energía 172 RESUMEN 176 PREGUNTAS 177 PROBLEMAS 177 PROBLEMAS GENERALES 180 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 183 Fuerzas conservativas y fuerzas no conservativas 184 Energía potencial 186 Energía mecánica y su conservación 189 Resolución de problemas usando la conservación de la energía mecánica 190 La ley de la conservación de la energía 196 Conservación de la energía con fuerzas disipativas: Resolución de problemas 197 Energía potencial gravitacional y velocidad de escape 199 Potencia 201 Diagramas de energía potencial; equilibrio estable y equilibrio inestable 204 RESUMEN 205 PREGUNTAS 205 PROBLEMAS 207 PROBLEMAS GENERALES 211 CONTENIDO Cantidades angulares 249 Naturaleza vectorial de las cantidades angulares 254 10–3 Aceleración angular constante 255 10–4 Torca 256 10–5 Dinámica rotacional: Torca e inercia rotacional 258 10–6 Resolución de problemas de dinámica rotacional 260 10–7 Determinación de momentos de inercia 263 10–8 Energía cinética rotacional 265 10–9 Movimiento rotacional más traslacional: Rodamiento 267 *10–10 ¿Por qué desacelera una esfera rodante? 273 RESUMEN 274 PREGUNTAS 275 PROBLEMAS 276 PROBLEMAS GENERALES 281 11 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR: ROTACIÓN GENERAL 284 11–1 Cantidad de movimiento angular: objetos que giran en torno a un eje fijo 11–2 Producto cruz vectorial: Torca como vector 11–3 Cantidad de movimiento angular de una partícula 11–4 Cantidad de movimiento angular y torca para un sistema de partículas: movimiento general 11–5 Cantidad de movimiento angular y torca para un cuerpo rígido 11–6 Conservación de la cantidad de movimiento angular *11–7 El trompo y el giroscopio *11–8 Marcos de referencia en rotación: fuerzas inerciales *11–9 El efecto Coriolis RESUMEN 302 PREGUNTAS 303 PROBLEMAS 303 PROBLEMAS GENERALES 308 285 289 291 292 294 297 299 300 301 14 O 369 SCILACIONES 14–1 14–2 14–3 14–4 14–5 *14–6 14–7 14–8 12 EE QUILIBRIO ESTÁTICO: LASTICIDAD Y FRACTURA 12–1 12–2 12–3 12–4 12–5 *12–6 *12–7 Las condiciones para el equilibrio 312 Resolución de problemas de estática 313 Estabilidad y equilibrio 317 Elasticidad: Esfuerzo y deformación unitaria 318 Fractura 322 Armaduras y puentes 324 Arcos y domos 327 RESUMEN 329 PREGUNTAS 329 PROBLEMAS 330 PROBLEMAS GENERALES 334 13 F LUIDOS 13–1 13–2 13–3 13–4 13–5 13–6 13–7 13–8 13–9 13–10 *13–11 *13–12 *13–13 *13–14 311 339 Fases de la materia 340 Densidad y gravedad específica 340 Presión en fluidos 341 Presión atmosférica y presión manométrica 345 Principio de Pascal 346 Medición de la presión: Manómetros y barómetros 346 Flotación y el principio de Arquímedes 348 Fluidos en movimiento; tasa de flujo y la ecuación de continuidad 352 Ecuación de Bernoulli 354 Aplicaciones del principio de Bernoulli: Torricelli, aviones, pelotas de béisbol y ataque isquémico transitorio 356 Viscosidad 358 Flujo en tubos: Ecuación de Poiseuille, flujo sanguíneo 358 Tensión superficial y capilaridad 359 Las bombas y el corazón 361 RESUMEN 361 PREGUNTAS 362 PROBLEMAS 363 PROBLEMAS GENERALES 367 Oscilaciones de un resorte 370 Movimiento armónico simple 372 Energía en el oscilador armónico simple 377 Movimiento armónico simple relacionado con movimiento circular uniforme 379 El péndulo simple 379 El péndulo físico y el péndulo de torsión 381 Movimiento armónico amortiguado 382 Oscilaciones forzadas: resonancia 385 RESUMEN 387 PREGUNTAS 388 PROBLEMAS 388 PROBLEMAS GENERALES 392 15 M OVIMIENTO ONDULATORIO 395 15–1 15–2 Características del movimiento ondulatorio 396 Tipos de ondas: Transversales y longitudinales 398 15–3 Energía transportada por las ondas 402 15–4 Representación matemática de una onda viajera 404 *15–5 La ecuación de onda 406 15–6 El principio de superposición 408 15–7 Reflexión y transmisión 409 15–8 Interferencia 410 15–9 Ondas estacionarias: Resonancia 412 *15–10 Refracción 415 *15–11 Difracción 416 RESUMEN 417 PREGUNTAS 417 PROBLEMAS 418 PROBLEMAS GENERALES 422 16 S ONIDO 16–1 16–2 16–3 16–4 *16–5 16–6 16–7 *16–8 *16–9 424 Características del sonido 425 Representación matemática de ondas longitudinales 426 Intensidad del sonido: decibeles 427 Fuentes del sonido: Cuerdas vibrantes y columnas de aire 431 Calidad del sonido y ruido: Superposición 436 Interferencia de las ondas de sonido: Pulsos 437 El efecto Doppler 439 Ondas de choque y el estampido sónico 443 Aplicaciones: Sonar, ultrasonido y formación de imágenes en medicina 444 RESUMEN 446 PREGUNTAS 447 PROBLEMAS 448 PROBLEMAS GENERALES 451 CONTENIDO ix 19 CALOR Y LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA 496 19–1 19–2 19–3 19–4 19–5 19–6 19–7 El calor como transferencia de energía 497 Energía interna 498 Calor específico 499 Calorimetría: Resolución de problemas 500 Calor latente 502 La primera ley de la termodinámica 505 Aplicaciones de la primera ley de la termodinámica: Cálculo de trabajo 507 19–8 Calores específicos molares para gases y la equipartición de la energía 511 19–9 Expansión adiabática de un gas 514 19–10 Transferencia de calor: Conducción, convección, radiación 515 RESUMEN 520 PREGUNTAS 521 PROBLEMAS 522 PROBLEMAS GENERALES 526 20 20–1 TEMPERATURA, 17 EXPANSIÓN TÉRMICA, Y LEY DEL GAS IDEAL 454 17–1 17–2 17–3 Teoría atómica de la materia 455 Temperatura y termómetros 456 Equilibrio térmico y la ley cero de la termodinámica 459 17–4 Expansión térmica 459 *17–5 Tensiones térmicas 463 17–6 Las leyes de los gases y la temperatura absoluta 463 17–7 Ley del gas ideal 465 17–8 Resolución de problemas con la ley del gas ideal 466 17–9 Ley del gas ideal en términos de moléculas: número de Avogadro 468 *17–10 Escala de temperatura del gas ideal: un estándar 469 RESUMEN 470 PREGUNTAS 471 PROBLEMAS 471 PROBLEMAS GENERALES 474 18 T EORÍA CINÉTICA DE LOS GASES 18–1 18–2 18–3 18–4 *18–5 *18–6 *18–7 x 476 La ley del gas ideal y la interpretación molecular de la temperatura 476 Distribución de la rapidez molecular 480 Gases reales y cambios de fase 482 Presión de vapor y humedad 484 Ecuación de estado de van der Waals 486 Recorrido libre medio 487 Difusión 489 RESUMEN 490 PREGUNTAS 491 PROBLEMAS 492 PROBLEMAS GENERALES 494 CONTENIDO SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA 528 La segunda ley de la termodinámica: Introducción 529 20–2 Máquinas térmicas 530 20–3 Procesos reversibles e irreversibles; la máquina de Carnot 533 20–4 Refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas térmicas 536 20–5 Entropía 539 20–6 Entropía y la segunda ley de la termodinámica 541 20–7 Del orden al desorden 544 20–8 Indisponibilidad de energía: Muerte térmica 545 *20–9 Interpretación estadística de la entropía y la segunda ley 546 *20–10 Temperatura termodinámica: Tercera ley de la termodinámica 548 *20–11 Contaminación térmica, calentamiento global y recursos energéticos 549 RESUMEN 551 PREGUNTAS 552 PROBLEMAS 552 PROBLEMAS GENERALES 556 Contenido del volumen 2 21 21–1 21–2 21–3 21–4 21–5 21–6 21–7 21–8 21–9 21–10 21–11 *21–12 *21–13 23 P OTENCIAL ELÉCTRICO CARGA ELÉCTRICA 23–1 Y CAMPO ELÉCTRICO 23–2 Electrostática: Carga eléctrica y su conservación Carga eléctrica en el átomo Aislantes y conductores Carga inducida: El electroscopio Ley de Coulomb Campo eléctrico Cálculo del campo eléctrico para distribuciones de carga continua Líneas de campo Campos eléctricos y conductores Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico Dipolos eléctricos Fuerzas eléctricas en biología molecular; DNA Las máquinas fotocopiadoras y las impresoras de computadora usan la electrostática RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 冯 B E Q B E # d A = encl 0 23–5 23–6 23–7 23–8 *23–9 RESUMEN PROBLEMAS 24 24–1 24–2 24–3 24–4 24–5 *24–6 Capacitores Determinación de la capacitancia Capacitores en serie y en paralelo Almacenamiento de energía eléctrica Dieléctricos Descripción molecular de los dieléctricos ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA ELÉCTRICA RESUMEN PROBLEMAS ORRIENTES ELÉCTRICAS Y RESISTENCIA 25–1 25–2 25–3 25–4 25–5 25–6 25–7 25–8 La batería eléctrica Corriente eléctrica Ley de Ohm: Resistencia y resistores Resistividad Potencia eléctrica Potencia en circuitos domésticos Corriente alterna Descripción microscópica de la corriente eléctrica: Densidad de corriente y velocidad de deriva *25–9 Superconductividad *25–10 Conducción eléctrica en el sistema nervioso A1 B RESUMEN PROBLEMAS 26 C IRCUITOS EY DE 22–1 22–2 22–3 *22–4 GAUSS Flujo eléctrico Ley de Gauss Aplicaciones de la ley de Gauss Base experimental de las leyes de Gauss y de Coulomb RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 25 C E 22 L PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES CAPACITANCIA, DIELÉCTRICOS Y B Q A2 23–3 23–4 Energía potencial eléctrica y diferencia de potencial Relación entre potencial eléctrico y campo eléctrico Potencial eléctrico debido a cargas puntuales Potencial debido a una distribución de carga arbitraria Superficies equipotenciales Potencial del dipolo eléctrico B Cálculo de E a partir de V Energía potencial electrostática: Electrón-volt Tubo de rayos catódicos: Monitores de TV y de computadora, osciloscopio PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 26–1 26–2 26–3 26–4 26–5 26–6 *26–7 PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES CD FEM y diferencia de potencial terminal Resistores en serie y en paralelo Reglas de Kirchhoff FEM en serie y en paralelo: Carga de una batería Circuitos que contienen una resistencia y un capacitor (circuitos RC) Riesgos eléctricos Amperímetros y voltímetros RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES CONTENIDO xi 29 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Y LEY DE FARADAY 29–1 29–2 29–3 29–4 *29–5 29–6 29–7 FEM inducida Ley de inducción de Faraday; ley de Lenz FEM inducida en un conductor en movimiento Generadores eléctricos FEM inversa y contra torca: Corrientes parásitas Transformadores y transmisión de potencia Un flujo magnético variable produce un campo eléctrico Aplicaciones de la inducción: Sistemas de sonido, memoria de computadora, sismógrafo, GFCI *29–8 RESUMEN PROBLEMAS 30 I NDUCTANCIA, OSCILACIONES ELECTROMAGNÉTICAS Y CIRCUITOS 27 M AGNETISMO 27–1 27–2 27–3 27–4 27–5 *27–6 27–7 *27–8 *27–9 Imanes y campos magnéticos Las corrientes eléctricas producen campos magnéticos Fuerza sobre una corriente eléctrica en un B campo magnético: Definición de B Fuerza sobre una carga eléctrica en movimiento dentro de un campo magnético Momento de torsión sobre un lazo de corriente: Momento bipolar magnético Aplicaciones: Motores, altavoces y galvanómetros Descubrimiento y propiedades del electrón El efecto Hall Espectrómetro de masas RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 28 F UENTES DE CAMPO MAGNÉTICO 28–1 Campo magnético debido a un cable recto con corriente 28–2 Fuerza entre dos cables paralelos con corriente 28–3 Definiciones de ampere y de coulomb 28–4 Ley de Ampère 28–5 Campo magnético de un solenoide y de un toroide 28–6 Ley de Biot-Savart *28–7 Materiales magnéticos: Ferromagnetismo *28–8 Electromagnetos y solenoides: Aplicaciones *28–9 Campos magnéticos en materiales magnéticos; histéresis *28–10 Paramagnetismo y diamagnetismo RESUMEN PROBLEMAS xii CONTENIDO PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES CA 30–1 30–2 30–3 30–4 30–5 30–6 Inductancia mutua Auto inductancia Energía almacenada en un campo magnético Circuitos LR Circuitos LR y oscilaciones electromagnéticas Oscilaciones LC con resistencia (circuitos LRC) 30–7 Circuitos CA con una fuente CA 30–8 Series LCR en un circuito CA 30–9 Resonancia en circuitos CA *30–10 Igualación de impedancia *30–11 Circuitos CA trifásicos RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 31 E CUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 31–1 Campos eléctricos variables producen campos magnéticos: Ley de Ampère y corriente de desplazamiento 31–2 Ley de Gauss para el magnetismo 31–3 Ecuaciones de Maxwell 31–4 Producción de ondas electromagnéticas *31–5 Ondas electromagnéticas y su velocidad de propagación a partir de las ecuaciones de Maxwell 31–6 Luz como una onda electromagnética y el espectro electromagnético 31–7 Medición de la velocidad de la luz 31–8 Energía en ondas EM; vector de Poynting *31–9 Presión de radiación *31–10 Radio y televisión; comunicación inalámbrica RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 32 32–1 32–2 32–3 32–4 32–5 32–6 32–7 *32–8 LUZ: REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN Modelo de rayos de la luz Velocidad de la luz e índice de refracción Reflexión; formación de imágenes por un espejo plano Formación de imágenes por espejos esféricos Refracción: Ley de Snell Espectro visible y dispersión Reflexión total interna; fibras ópticas Refracción en una superficie esférica RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 34 N ATURALEZA ONDULATORIA DE LA LUZ; INTERFERENCIA 34–1 34–2 34–3 34–4 34–5 *34–6 *34–7 Ondas versus partículas; principio de Huygens y difracción Principio de Huygens y la ley de la refracción Interferencia: Experimento de la rendija doble de Young Intensidad en el patrón de interferencia de la rendija doble Interferencia en películas delgadas Interferómetro de Michelson Intensidad luminosa RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 35 D IFRACCIÓN Y POLARIZACIÓN 35–1 35–2 33 LENTES E INSTRUMENTOS 33–1 33–2 33–3 33–4 33–5 33–6 33–7 33–8 *33–9 *33–10 Lentes delgadas; trazo de rayos Ecuación de lentes delgadas; amplificación Combinación de lentes Ecuación del fabricante de lentes Cámaras de película y digitales Ojo humano; lentes correctivas Lupas Telescopios Microscopio compuesto Aberraciones en lentes y espejos ÓPTICOS RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 35–3 35–4 35–5 *35–6 35–7 *35–8 *35–9 *35–10 35–11 *35–12 *35–13 Difracción por una rendija delgada o disco Intensidad en el patrón de difracción de una rendija Difracción en el experimento de la rendija doble Límites de resolución; aperturas circulares Resolución de telescopios y microscopios; el límite l Resolución del ojo humano y amplificación útil Rejilla de difracción Espectrómetro y espectroscopia Anchos de pico y poder de resolución de una rejilla de difracción Rayos X y difracción de rayos X Polarización Pantallas de cristal líquido (LCD) Dispersión de la luz por la atmósfera RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES CONTENIDO xiii Contenido del volumen 3 36 T EORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD 36–1 *36–2 36–3 36–4 36–5 36–6 36–7 36–8 36–9 36–10 36–11 36–12 36–13 Relatividad galileana y newtoniana Experimento de Michelson y Morley Postulados de la teoría especial de la relatividad Simultaneidad Dilatación del tiempo y la paradoja de los gemelos Contracción de la longitud Espacio-tiempo en cuatro dimensiones Transformaciones galileanas y de Lorentz Cantidad de movimiento y masa relativistas Velocidad límite Energía y masa: E = mc2 Efecto Doppler de la luz Influencia de la teoría especial de la relatividad RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 37 T EORÍA CUÁNTICA INICIAL Y MODELOS DEL ÁTOMO 37–1 37–2 37–3 37–4 37–5 Hipótesis cuántica de Plank Teoría de la luz como fotones; efecto fotoeléctrico Fotones y el efecto Compton Interacciones entre fotones; producción de pares Dualidad onda-partícula; principio de complementariedad 37–6 Naturaleza ondulatoria de la materia *37–7 Microscopios electrónicos 37–8 Primeros modelos del átomo 37–9 Espectro atómico: Clave para la estructura del átomo 37–10 Modelo de Bohr 37–11 Hipótesis de De Broglie aplicada a átomos RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 38 M 39 M ECÁNICA CUÁNTICA DE ÁTOMOS 39–1 39–2 Interpretación mecánica cuántica de los átomos Átomo de hidrógeno: Ecuación de Schrödinger y números cuánticos 39–3 Funciones de onda del átomo de hidrógeno 39–4 Átomos complejos; principio de exclusión 39–5 Tabla periódica de los elementos 39–6 Espectro de rayos X y número atómico *39–7 Momentos bipolares magnéticos; momento angular total *39–8 Fluorescencia y fosforescencia *39–9 Láseres *39–10 Holografía RESUMEN PROBLEMAS ECÁNICA CUÁNTICA 38–1 38–2 Mecánica cuántica: Una nueva teoría Función de onda y su interpretación; experimento de la doble rendija 38–3 Principio de incertidumbre de Heisenberg 38–4 Implicaciones filosóficas; probabilidad versus determinismo 38–5 Ecuación de Schrödinger en una dimensión: Forma independiente del tiempo *38–6 Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo 38–7 Partículas libres; ondas planas y paquetes de ondas 38–8 Partícula en un pozo de potencial cuadrado de profundidad infinita (una caja rígida) *38–9 Pozo de potencial finito 38–10 Efecto túnel a través de una barrera RESUMEN PROBLEMAS xiv CONTENIDO PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 40 M OLÉCULAS Y SÓLIDOS 40–1 40–2 40–3 40–4 40–5 40–6 40–7 40–8 *40–9 *40–10 Enlaces en moléculas Diagramas de energía potencial para moléculas Enlaces débiles (de van der Waals) Espectros moleculares Enlaces en sólidos Teoría del electrón libre para metales Teoría de bandas para sólidos Semiconductores e impurezas Diodos semiconductores Transistores y circuitos integrados RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 41 FÍSICA NUCLEAR Y RADIACTIVIDAD 41–1 41–2 41–3 41–4 41–5 41–6 41–7 Estructura y propiedades del núcleo Energía de amarre y fuerzas nucleares Radiactividad Decaimiento alfa Decaimiento beta Decaimiento gamma Conservación del número de nucleones y otras leyes de conservación 41–8 Tiempo de vida media y tasa de decaimiento 41–9 Decaimiento en serie 41–10 Fechado radiactivo 41–11 Detección de radiación RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 43 P ARTÍCULAS ELEMENTALES 43–1 43–2 43–3 Partículas de altas energías Aceleradores de partículas y detectores Inicios de la física de partículas elementales: Intercambio de partículas 43–4 Partículas y antipartículas 43–5 Interacciones entre partículas y leyes de conservación 43–6 Clasificación de partículas 43–7 Estabilidad de partículas y resonancias 43–8 Partículas extrañas 43–9 Quarks 43–10 “Modelo estándar”: Cromodinámica cuántica (QCD) y teoría electrodébil 43–11 Teorías de gran unificación RESUMEN PROBLEMAS 42 E NERGÍA NUCLEAR: EFECTOS Y USOS DE LA RADIACIÓN Reacciones nucleares y transmutación de elementos 42–2 Sección transversal 42–3 Fisión nuclear; reactores nucleares 42–4 Fusión 42–5 Paso de la radiación a través de la materia; daño por radiación 42–6 Medición de la radiación: Dosimetría *42–7 Terapia con radiación *42–8 Trazadores *42–9 Imágenes por tomografía: Barridos CAT y tomografía de emisión *42–10 Resonancia magnética nuclear (NMR) e imágenes por resonancia magnética PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 42–1 RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES 44 A STROFÍSICA Y COSMOLOGÍA 44–1 44–2 44–3 44–4 44–5 44–6 44–7 Estrellas y galaxias Evolución estelar: Nacimiento y muerte de las estrellas Relatividad general: Gravedad y la curvatura del espacio El Universo en expansión El Big Bang y radiación de fondo cósmica Modelo cosmológico estándar: Historia temprana del Universo ¿Cuál será el futuro del Universo? RESUMEN PROBLEMAS PREGUNTAS PROBLEMAS GENERALES APÉNDICES A B C D FÓRMULAS MATEMÁTICAS DERIVADAS E INTEGRALES MÁS SOBRE ANÁLISIS DIMENSIONAL FUERZA GRAVITACIONAL DEBIDA A UNA A–1 A–6 A–8 DISTRIBUCIÓN DE MASA ESFÉRICA FORMA DIFERENCIAL DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL F ISÓTOPOS SELECTOS RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS CON IMPARES ÍNDICE CRÉDITOS DE LAS FOTOGRAFÍAS A–9 E CONTENIDO A–12 A–14 A–18 A–32 xv APLICACIONES (SELECCIONADAS) Capítulo 1 Los picos de 8000 m Estimación del volumen de un lago Altura por triangulación Radio de la Tierra Número de latido en el curso de una vida Contaminación por partículas (Pr30) Posición global de los satélites (Pr38) Capacidad pulmonar (Pr65) 8 10 11 11 12 15 16 17 Capítulo 2 Diseño de la pista de un aeropuerto Bolsas de aire de un automóvil Distancias de frenado Corrección de errores en CD (Pr10) Tiempo de reproducción en CD (Pr13) Golf cuesta arriba y cuesta abajo (Pr79) Tránsito rápido (Pr83) 29 31 32 44 45 48 49 Capítulo 3 Patada de fútbol americano Deportes de pelota (Problemas) Deportes extremos (Pr41) 66, 69 77, 81, 82 77 Capítulo 4 Aceleración de un cohete ¿Qué fuerza acelera a un carro? Como caminamos Elevador y contrapesos Ventaja mecánica de una polea Sostén contra osos (Q24) Elevadores de alta velocidad (Pr19) Alpinismo (Pr31, 82, 83) Diseño de una ciudad, automóviles sobre pendientes (Pr71) Ciclistas (Pr72, 73) Asteroide del “Juicio final” (Pr84) 90 90 90 99 100 104 105 106, 110 109 109 110 Capítulo 5 ¿Jalar o empujar un trineo? Centrifugación No derrapar en una curva Caminos peraltados Gravedad simulada (Q18, Pr48) “Juego del Rotor” (Pr82) 116 122 126–7 127 131, 134 136 Capítulo 6 Exploración de petróleo y minerales Satélites artificiales terrestres Satélites geosincrónicos Ingravidez Caída libre en atletismo Descubrimiento de planetas, planetas extrasolares Hoyos negros Asteroides (Pr44, 78) Sistema de Posicionamiento Global Navstar GPS (Pr58) Hoyo negro en el centro de la Galaxia (Pr61, 64) Mareas (Pr75) 144, 420 146 147 148 149 152 156 159, 162 160 160, 161 162 Capítulo 7 Distancia de frenado de un automóvil Palanca (Pr6) Hombre Araña (Pr54) Ciclismo en Colinas, engranes (Pr85) Seguridad de niños en un automóvil (Pr87) Cuerda de un escalador de rocas (Pr90) 174 177 179 181 181 182 Capítulo 8 Descenso en skies cuesta abajo “Montaña Rusa” Salto con garrocha Pistola de dardos de juguete 183 191, 198 192–3 193 Velocidad de escape de la Tierra y de la Luna Potencia para subir una escalera Requerimiento de potencia de un automóvil “Caminadora” cardiaca (Pr104) Capítulo 14 201 202 202–3 213 Capítulo 9 Servicio de tennis 216 Propulsión de cohetes 219, 236–8 Retroceso de un rifle 220 Golpe de karate 221 Billar/Boliche (Bolos) 223, 228 Colisiones nucleares 225, 228 Péndulo balístico 226 Banda transportadora 237 Tirón gravitacional (Pr105) 246 Respuesta a un automóvil a un impacto (Pr109) 247 Asteroides, planetas (Pr110, 112, 113) 247 Capítulo 10 Disco duro y velocidad de bits Llave de acero para llanta Volante de energía Yo-Yo Fuerzas de frenado de automóviles Calibración de odómetro de bicicletas Q1) Caminante en la cuerda floja (Q11) Músculo tríceps y tirar Pr38, 39) Velocidad de un CD (Pr84) Engranajes de bicicletas (Pr89) 253 256 266, 281 271 272-3 275 275 278 281 281 Capítulo 11 Patinadores en rotación, buzos, 284, 286, 309 Colapso de una estrella de neutrones 287 Balanceo de las ruedas de un automóvil 296 Trompo y giroscopio 299-300 Efecto Coriolis 301-2 Huracanes 302 Volcadura posible de un SUV (Pr67) 308 Salto con giro triple (Pr79) 309 Punto óptimo de un bate (Pr82) 310 Capítulo 12 Colapso trágico Ventaja mecánica de una palanca Viga voladiza (Cantilever) Fuerza del músculo bíceps Equilibrio humano con cargas de Armaduras y puentes Arquitectura: arcos y cúpulas Fuerzas de vértebras (Pr87) 311, 323 313 315 315 318 324-6, 335 327-8 337 Capítulo 13 Elevando agua 345, 348 Ascensor hidráulico, frenos 346 Manómetros 346-7 Hidrómetro 351 Ascenso con un globo de helio 352, 368 Flujo sanguíneo 353, 357, 361 Alas de una aeronave, sustentación 356 Velero contra el viento 357 Curva de béisbol 357 Sangre al cerebro, TIA 357 Flujo sanguíneo y las enfermedades del corazón 359 Tensión superficial, capilaridad 359-60 Caminando sobre el agua 360 Bombas y el corazón 361 Número de Reynolds (Pr69) 366 Amortiguadores de choques en automóviles Resonancia dañina 383 386 Capítulo 15 Ecolocalización por parte de los animales 400 Ondas sísmicas 401, 403, 416 Capítulo 16 Distancias a partir de los rayos y los truenos 425 Cámara auto foco 426 Amplia rango de audición humana 427-8, 431 Respuesta de un altavoz 428 Instrumentos de cuerda 432-3 Instrumentos de viento 433-6 Afinación con pulsos 439 Medidor Doppler del flujo sanguíneo 442, 453 Sonar: estampido sónico 444 Imágenes médicas ultrasónicas 445-6 Sensor de movimiento (Pr5) 448 Capítulo 17 Globo aerostático 454 Juntas de dilatación, carreteras 456, 460, 463 Derrame del tanque de gasolina 462 La vida bajo el hielo 462 Presión de neumáticos en frío y en calor 468 Moléculas en un soplo 469 Termostato (Q10) 471 Buceo/snorkeling (Pr38, 47, 82, 85) 473, 475 Capítulo 18 Reacciones químicas, dependencia con la temperatura Superfluidez La evaporación enfría Humedad, clima Cromatografía Olla a presión (Pr35) 481 483 484, 505 485-6 490 493 Capítulo 19 Quemando las calorías extra 498 Pisos fríos 516 Pérdida de calor a través de las ventanas 516 Cómo aísla la ropa 516-7 R-valores en el aislamiento térmico 517 Calentamiento de una casa por convección 517 Pérdida de calor por radiación en humanos 518 Sala confortable y metabolismo 519 Radiación solar 519 Termografía médica 519 Astronomía - tamaño de una estrella 520 botella térmica (P30) 521 El clima, parcelas de aire, zona de cambio adiabático (Pr56) 525 Capítulo 20 Máquina de vapor Motor de combustión interna Eficiencia de un automóvil Refrigeradores, acondicionadores de aire Bomba de calor Evolución biológica, el desarrollo Contaminación térmica, calentamiento global Recursos energéticos Motor diesel (Pr7) 530 531, 535-6 532 537-8 538 545 549-51 550 553 Capítulo 21 Electricidad Estática 560, 589 (Pr78) APLICACIONES xvii Fotocopiadoras 569, 582-3 Blindaje eléctrico, seguridad 577 Estructura del ADN y replicación 581-2 Células: fuerzas eléctrica y teoría cinética 581-2, 617 Impresoras láser y de inyección de tinta 585 Capítulo 23 Voltaje de ruptura Pararrayos, corona CRT, osciloscopios, Monitores de TV Fotoceldas (Pr75) Contador Geiger(Pr83) Van de Graaff (Pr84) 612 612 620-1, 723 626 627 627, 607 Capítulo 24 Uso de capacitares 628, 631 Capacitancia muy alta 631 Teclas de computadora 631 Cámara de flash 636 Cómo se disuelve el agua (Q14) 647 Desfibrilador de corazón 638 DRAM (Pr10, 57) 644, 647 Limpiador de aire electrostático (Pr20) 645 Circuitos CMOS (Pr53) 647 Capítulo 25 Bombilla eléctrica 651, 653, 660 Construcción de una batería 653 Cables de altavoz 659 Termómetro de resistencia 660 Elemento de calentamiento, bombilla de filamento 660 ¿Por qué se queman las bombillas cuando se encienden? 661 Rayos 662 Circuitos caseros, corto circuito 662-3 Fusibles, disyuntores de circuito 662-3, 747, 776 Peligro en extensiones eléctricas 663 Sistema nervioso, conducción 669-70 Capítulo 26 Carga de la batería de un automóvil, encendido Aplicaciones de circuitos RC, luces intermitentes, limpiadores Marcapasos de un corazón Peligros eléctricos Tierra adecuada Fibrilación del corazón Medidores, analógico y digital Potenciómetros y puentes (Pr85, 71) 689, 687 691 692, 787 692-4 693-4 692 695-7 704, 705 Capítulo 27 Brújula y declinación magnética Auroras Boreales Motores, altavoces, galvanómetros Espectrómetro de masas Bombeo electromagnético (Q14) Ciclotrón (Pr66) Conducción de rayos (Pr67) 709 717 720-1 724-5 726 731 731 Capítulo 28 Cable coaxial 740, 789 Interruptores de solenoide de interruptores: arrancadores de automóviles, timbre 747 Disyuntores de circuito, magnético 747, 776 Relevo (Relay) (Q16) 751 Trampa atómica (Pr73) 757 Capítulo 29 Estufa de inducción Medidor EM de flujo sanguíneo Generadores de una central eléctrica xviii APLICACIONES 762 765 766-7 Alternadores de automóviles 768 Sobrecarga del motor 769 Detector de metales de un aeropuerto 770 Amortiguamiento de corrientes de remolino 770 Transformadores y usos, potencia 770-3 Encendido de automóviles, bombilla de lastre 772, 773 Micrófono 775 Lectura/escritura en disco y cinta 775 Codificación digital 775 Lectoras de tarjetas de crédito 776 Interruptor de circuito de fallas tierra (GFCI) 776 Betatrón (Pr55) 782 Bobina de giro (Pr68) 783 Cargador de batería inductivo (Pr81) 784 Capítulo 35 Capítulo 30 Capítulo 37 Bujías Marcapasos Protector de sobrecargas Osciladores LC, resonancia Capacitores como filtros Altavoz con selector de frecuencias Igualación de impedancias CA trifásica Valor Q (Pr86, 87) 785 787 792 794-802 799 799 802-3 803 810 Capítulo 31 Antenas 824, 831 Retraso en llamadas telefónicas 825 Navegación solar 829 Pinzas ópticas 829 Transmisión inalámbrica: AM/FM, TV, sintonización, teléfonos celulares, control remoto 829-32 Capítulo 32 Qué tan alto necesitas un espejo 840-1 Espejos de acercamiento (close up) y de campo ancho 842, 849, 859 Dónde puedes verte a ti mismo en un espejo cóncavo 848 Ilusiones ópticas 851, 903 Profundidad aparente en el agua 852 Arco iris 853 Colores bajo el agua 854 Prismas binoculares 855 Fibra óptica en telecomunicaciones 855-6, 865 Endoscopios médicos 856 Reflectores en carreteras (Pr86) 865 Resolución de lentes y espejos Telecopio Espacial Hubble Resolución del ojo, magnificación útil Radiotelescopios Resolución de un telescopio, la regla  Espectroscopia Difracción de rayos X en biología Gafas de sol polarizadas LCD–pantallas de cristal líquido Color del cielo 929-30 930 930, 932-3 931 931 935-6 939 942 943-4 945 Capítulo 36 Viaje espacial Sistema de posicionamiento global (GPS) Fotoceldas Fotodiodos Fotosíntesis Medición de la densidad ósea Microscopios electrónicos Capítulo 38 Diodo de efecto túnel Microscopio electrónico de barrido de efecto túnel Capítulo 39 Análisis de fluorescencia Bombillas fluorescentes Cirugía láser Operación de DVD y CD con láser Códigos de barras Holografía Capítulo 40 Energía de la células–ATP, energía de activación Enlaces débiles en las células, ADN Síntesis de proteínas Diodos semiconductores, transistores Circuitos rectificadores Pantallas de LEDs, fotodiodos Circuitos integrados Capítulo 41 Detectores de humo Datación con carbono-14 Datación arqueológica y geológica Rocas más antiguas de la Tierra y vida primitiva Capítulo 33 Capítulo 42 Donde se puede ver la imagen producida por una lente 869 Cámaras, digitales y de película 878 Ajustes de cámara 879-80 Píxeles de resolución 881 Ojo humano 882-5, 892 Lentes correctoras 883-5 Lentes de contacto 885 Resolución (seeing) bajo el agua 885 Telescopios 887-9, 931, 933 Microscopios 890-1, 931, 933 Reactores nucleares y plantas de energía Proyecto Manhattan Contaminación por gas radón Fusión estelar Daños biológicos por radiación Dosimetría de la radiación Trazadores en medicina y biología Imágenes de rayos X Barridos CAT Reconstrucción de imágenes de tomografía Imágenes en medicina: PET y SPET Imágenes NRM (MRI) Capítulo 34 Burbujas, colores reflejados Espejismos Colores en películas de jabón delgadas, detalles Recubrimiento de lentes Recubrimiento múltiple (Pr52) 900, 912-13 903 912-13 913-14 919 Capítulo 44 Evolución estelar Supernovas distancias estelares Hoyos negros Evolución del Universo Prefacio Desde el principio me sentí motivado para escribir un libro de texto diferente de los demás, los cuales, en general, presentan la física como una secuencia de hechos o como un catálogo de artículos: “Aquí están los hechos y es mejor que los aprendan”. En vez de utilizar este enfoque en el que los temas empiezan formal y dogmáticamente, traté de iniciar cada tema con observaciones y experiencias concretas que los estudiantes puedan relacionar: primero describo situaciones específicas para después referirme a las grandes generalizaciones y los aspectos más formales de un tema. La intención fue mostrar por qué creemos lo que creemos. Este enfoque refleja cómo se practica la ciencia en realidad. ¿Por qué una cuarta edición? Dos tendencias recientes en los libros de texto son perturbadoras: (1) sus ciclos de revisión se han acortado, pues se revisan cada 3 o 4 años; (2) los libros han aumentado su volumen, algunos rebasan las 1500 páginas. No veo cómo alguna de estas tendencias sea benéfica para los estudiantes. Mi respuesta ante ello. (1) Han pasado 8 años desde la edición anterior de este libro. (2) Este libro utiliza la investigación educativa en física; evita el detalle que un profesor tal vez quiera expresar en clase, pero que en un libro resultaría innecesario para el lector. Este libro todavía sigue siendo uno de los más breves de física. Esta nueva edición introduce algunas nuevas herramientas pedagógicas importantes. Contiene nueva física (como cosmología) y muchas nuevas aplicaciones atractivas (que se mencionan en la página anterior). Las páginas y los cambios de página se diseñaron cuidadosamente para hacer la física más fácil de aprender: no hay que dar vuelta a una página a la mitad de una deducción o un ejemplo. Se realizaron grandes esfuerzos para hacer el libro atractivo, de manera que los estudiantes disfruten leerlo. A continuación se mencionan algunas de sus nuevas características. Qué hay de nuevo B B B F, v, B Preguntas de inicio de capítulo: Cada capítulo comienza con una pregunta de opción múltiple, cuyas respuestas incluyen interpretaciones erróneas comunes. Se pide a los estudiantes responder la pregunta antes de comenzar el capítulo, para interesarlos en el material y eliminar algunas nociones preconcebidas. Las preguntas reaparecen más adelante en el capítulo, por lo general como ejercicios, una vez que se explicó el tema. Las preguntas de inicio de capítulo también muestran a los estudiantes el poder y la utilidad de la física. Párrafo de PLANTEAMIENTO en ejemplos numéricos resueltos: Un breve párrafo de introducción antes de la solución bosqueja un enfoque y los pasos que se pueden tomar. Las NOTAS breves después de la solución tienen la función de comentar esta última, sugerir un enfoque alternativo o mencionar alguna aplicación. Ejemplos paso a paso: Después de muchas estrategias para resolución de problemas, el siguiente ejemplo se realiza siguiendo uno a uno los pasos recién descritos. Los ejercicios dentro del texto, después de un ejemplo o una deducción, dan a los estudiantes la oportunidad de constatar si comprendieron lo suficiente como para responder una pregunta o hacer un cálculo sencillo. Muchos ejercicios son de opción múltiple. Mayor claridad: Ningún tema o párrafo en el libro se pasó por alto en la búsqueda de mejorar la claridad y la concisión de la presentación. Se eliminaron frases y oraciones que pudieran velar el argumento principal: se intentó apegarse a lo esencial primero y hacer precisiones después. Notación vectorial, flechas: Los símbolos para cantidades vectoriales en el texto y las figuras tienen una pequeña flecha sobre ellos, así que son similares a la forma que se utiliza cuando se escriben a mano. Revolución cosmológica: Gracias a la generosa ayuda de grandes expertos en el campo, los lectores tienen información reciente. PREFACIO xix Distribución de la página: Más que en la edición anterior, se prestó gran atención al formato de cada página. Los ejemplos y todas las deducciones y argumentos importantes aparecen en páginas que se enfrentan. Los estudiantes no tienen que ir hacia atrás o adelante para consultar los antecedentes o la continuación de un asunto. A todo lo largo del libro, los lectores ven en dos páginas, una al lado de la otra, un importante pasaje de física. Nuevas aplicaciones: LCD, cámaras digitales y CCD, riesgos eléctricos, GFCI, fotocopiadoras, impresoras de tinta e impresoras láser, detectores de metales, visión submarina, bolas curvas, alas de avión, ADN, la forma en que en realidad se ven las imágenes son sólo algunas de las nuevas aplicaciones que se presentan. (Dé vuelta hacia atrás a la hoja para ver una lista más larga). Ejemplos modificados: Se explican más pasos matemáticos y se incluyen muchos ejemplos nuevos. Aproximadamente el 10% son ejemplos de estimación. Este libro es más breve que otros libros completos del mismo nivel. Las explicaciones más breves son más fáciles de comprender y es más probable que se lean. Contenido y cambios organizativos • • • • • • • • • • • Movimiento rotacional: Los capítulos 10 y 11 se reorganizaron. Ahora toda la cantidad de movimiento angular está en el capítulo 11. La primera ley de la termodinámica, en el capítulo 19, se reescribió y se amplió. La forma completa está dada como K  U  Eint  Q W, donde la energía interna es Eint y U es la energía potencial; la forma Q W se mantiene de manera que dW  P dV. La cinemática y la dinámica del movimiento circular ahora se estudian juntas en el capítulo 5. El trabajo y la energía, capítulos 7 y 8, se revisaron cuidadosamente. El trabajo realizado por fricción se analiza ahora en el marco de la conservación de energía (términos energéticos debidos a fricción). Los capítulos acerca de inductancia y circuitos CA se combinaron en uno solo, el capítulo 30. El análisis gráfico y la integración numérica es una nueva sección 2-9, opcional. Los problemas que requieren una computadora o una calculadora graficadora se encuentran al final de la mayoría de los capítulos. La longitud de un objeto se denota con una l de tipo manuscrito en vez de la l normal, que podría confundirse con 1 o I (momento de inercia, corriente), como en F  IlB. La L mayúscula se reserva para cantidad de movimiento angular, calor latente, inductancia y dimensiones de longitud [L]. La ley de Newton de la gravitación permanece en el capítulo 6. ¿Por qué? Porque la ley 1/r2 es muy importante como para relegarla a una capítulo posterior, que tal vez no pueda cubrirse en el semestre; más aún, es una de las fuerzas básicas de la naturaleza. En el capítulo 8 se puede tratar la energía potencial graB B vitacional real y tener un fino ejemplo del uso de U = – 兰 F # d L . Los nuevos apéndices incluyen la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell y más acerca de análisis dimensional. Las estrategias para resolución de problemas se encuentran en las páginas 30, 58, 64, 96, 102, 125, 166, 198, 229, 261, 314, 504 y 551 de este primer volumen. Organización Algunos profesores encontrarán que este libro contiene más material del que es posible cubrir en un curso. El texto ofrece gran flexibilidad. Las secciones marcadas con asterisco (*) se consideran opcionales. Éstas contienen material de física ligeramente más avanzada; no incluyen material necesario en capítulos posteriores (excepto tal vez en secciones opcionales posteriores). Para un breve curso, todo el material opcional se podría omitir, así como grandes partes de los capítulos 1, 13, 16, 26, 30 y 35, partes seleccionadas de los capítulos 9, 12, 19, 20, 33 y los capítulos de física moderna. Los temas no cubiertos en clase constituyen un valioso recurso para el posterior estudio de los alumnos. De hecho, este texto podría funcionar como una referencia útil durante años, gracias a su amplio rango de cobertura. xx PREFACIO Agradecimientos Muchos profesores de física dieron información o retroalimentación directa acerca de cada aspecto de este libro. Se mencionan a continuación, y con cada uno tengo una deuda de gratitud. Mario Affatigato, Coe College Lorraine Allen, United States Coast Guard Academy Zaven Altounian, McGill University Bruce Barnett, Johns Hopkins University Michael Barnett, Lawrence Berkeley Lab Anand Batra, Howard University Cornelius Bennhold, George Washington University Bruce Birkett, University of California Berkeley Dr. Robert Boivin, Auburn University Subir Bose, University of Central Florida David Branning, Trinity College Meade Brooks, Collin County Community College Bruce Bunker, University of Notre Dame Grant Bunker, Illinois Institute of Technology Wayne Carr, Stevens Institute of Technology Charles Chiu, University of Texas Austin Robert Coakley, University of Southern Maine David Curott, University of North Alabama Biman Das, SUNY Potsdam Bob Davis, Taylor University Kaushik De, University of Texas Arlington Michael Dennin, University of California Irvine Kathy Dimiduk, University of New Mexico John DiNardo, Drexel University Scott Dudley, United States Air Force Academy John Essick, Reed College Cassandra Fesen, Dartmouth College Alex Filippenko, University of California Berkeley Richard Firestone, Lawrence Berkeley Lab Mike Fortner, Northern Illinois University Tom Furtak, Colorado School of Mines Edward Gibson, California State University Sacramento John Hardy, Texas A&M J. Erik Hendrickson, University of Wisconsin Eau Claire Laurent Hodges, Iowa State University David Hogg, New York University Mark Hollabaugh, Normandale Community College Andy Hollerman, University of Louisiana at Lafayette Bob Jacobsen, University of California Berkeley Teruki Kamon, Texas A&M Daryao Khatri, University of the District of Columbia Jay Kunze, Idaho State University Jim LaBelle, Dartmouth College M.A.K. Lodhi, Texas Tech Bruce Mason, University of Oklahoma Dan Mazilu, Virginia Tech Linda McDonald, North Park College Bill McNairy, Duke University Raj Mohanty, Boston University Giuseppe Molesini, Istituto Nazionale di Ottica Florence Lisa K. Morris, Washington State University Blaine Norum, University of Virginia Alexandria Oakes, Eastern Michigan University Michael Ottinger, Missouri Western State University Lyman Page, Princeton and WMAP Bruce Partridge, Haverford College R. Daryl Pedigo, University of Washington Robert Pelcovitz, Brown University Vahe Peroomian, UCLA James Rabchuk, Western Illinois University Michele Rallis, Ohio State University Paul Richards, University of California Berkeley Peter Riley, University of Texas Austin Larry Rowan, University of North Carolina Chapel Hill Cindy Schwarz, Vassar College Peter Sheldon, Randolph-Macon Woman’s College Natalia A. Sidorovskaia, University of Louisiana at Lafayette George Smoot, University of California Berkeley Mark Sprague, East Carolina University Michael Strauss, University of Oklahoma Laszlo Takac, University of Maryland Baltimore Co. Franklin D. Trumpy, Des Moines Area Community College Ray Turner, Clemson University Som Tyagi, Drexel University John Vasut, Baylor University Robert Webb, Texas A&M Robert Weidman, Michigan Technological University Edward A. Whittaker, Stevens Institute of Technology John Wolbeck, Orange County Community College Stanley George Wojcicki, Stanford University Edward Wright, UCLA Todd Young, Wayne State College William Younger, College of the Albemarle Hsiao-Ling Zhou, Georgia State University Debo agradecer especialmente el profesor Bob Davis por su valiosa información y, en especial, por trabajar todos los problemas y producir el Manual de soluciones para todos los problemas, así como por dar las respuestas a los problemas con número impar al final de este libro. Muchas gracias también a J. Erik Hendrickson, quien colaboró con Bob Davis en las soluciones, y al equipo que ambos condujeron (profesores Anand Batra, Meade Brooks, David Currott, Blaine Norum, Michael Ottinger, Larry Rowan, Ray Turner, John Vasut y William Younger). Muchas gracias a Katherine Whatley y Judith Beck, quienes dieron respuesta a las preguntas conceptuales al final de cada capítulo. Estoy agradecido con los profesores John Essick, Bruce Barnett, Robert Coakley, Biman Das, Michael Dennin, Kathy Dimiduk, John DiNardo, Scout Dudley, David How, Cindy Schwarz, Ray Turner y Som Tyagi, quienes inspiraron muchos de los ejemplos, preguntas, problemas y aclaraciones significativos. Cruciales para desenraizar errores, así como para brindar excelentes sugerencias, fueron los profesores Kathy Dimiduk, Ray Turner y Lorrain Allen. Muchas gracias a ellos y al profesor Giuseppe Molesini por sus sugerencias y sus excepcionales fotografías sobre óptica. PREFACIO xxi Para el capítulo 44, acerca de cosmología y astrofísica, fui afortunado al recibir generosa información de algunos de los grandes expertos en el campo, con quienes tengo una deuda de gratitud: George Smoot, Paul Richards y Alex Filippenko (UC Berkeley), Lyman Page (Princeton y WMAP), Edward Wright (UCLA y WMAP) y Michael Strauss (Universidad de Oklahoma). Quiero agradecer especialmente a los profesores Howard Shugart, Chair Marjorie Shapiro y a muchos otros en el Departamento de Física de la Universidad de California, Berkeley, por sus útiles discusiones y por su hospitalidad. Gracias también al profesor Tito Arecchi y a otros más en el Istituto Nazionale di Ottica, en Florencia, Italia. Finalmente, estoy agradecido con muchas personas en Prentice Hall, con quienes trabajé en este proyecto, en especial Paul Corey, Christian Botting, Sean Hogan, Frank Weihenig, John Christiana y Karen Karlin. La responsabilidad final de todos los errores es mía. Doy la bienvenida a comentarios, correcciones y sugerencias tan pronto como sea posible para beneficiar a los estudiantes con la siguiente reimpresión. D.C.G. correo electrónico: Paul_Corey@Prenhall.com Dirección postal: Paul Corey One Lake Street Upper Saddle River, NJ 07458 Acerca del autor Douglas C. Giancoli obtuvo su licenciatura en física (summa cum laude) en la Universidad de California, Berkeley, su maestría en física en el Massachusetts Institute of Technology (MIT) y su doctorado en física de partículas elementales en la Universidad de California, Berkeley. Luego pasó dos años en una estancia posdoctoral en el laboratorio de virus de la UC Berkeley, donde realizó estudios en biología molecular y biofísica. Sus profesores incluyen a los ganadores del Premio Nobel Emilio Segré y Donald Glaser. Ha impartido una amplia variedad de cursos tradicionales de licenciatura, así como algunos innovadores, y ha continuado actualizando sus libros meticulosamente en busca de formas para ofrecer una mejor comprensión de la física a los estudiantes. El pasatiempo favorito de Doug es al aire libre, especialmente el montañismo (aquí aparece en la cima de los Dolomitas, en el invierno de 2007). Asegura que escalar montañas es como aprender física: es una actividad que requiere esfuerzo, pero las recompensas son grandes. Complementos en línea (lista parcial) MasteringPhysicsTM (www.masteringphysics.com) es un elaborado sistema de tutoría y tareas en línea desarrollado especialmente para cursos que usan física basada en cálculo. Originalmente desarrollado por David Pritchard y colaboradores en el MIT, MasteringPhysics ofrece a los estudiantes tutoría individualizada en línea al corregir sus respuestas equivocadas y dar sugerencias para resolver problemas de múltiples pasos cuando se les presentan dificultades. Les da valoración inmediata y actualizada de sus avances, y les muestra dónde necesitan practicar más. MasteringPhysics ofrece a los instructores una forma rápida y efectiva de asignar tareas en línea que comprenden una amplia variedad de tipos de problemas. Los poderosos diagnósticos posteriores a la asignación permiten a los instructores valorar el progreso tanto de su clase en conjunto como de los estudiantes individuales, al tiempo que les ayudan a identificar rápidamente áreas de dificultad. WebAssign (www.webassign.com) CAPA y LON-CAPA (www.lon-capa.org/) xxii PREFACIO A los estudiantes CÓMO ESTUDIAR 1. Lea el capítulo. Aprenda el vocabulario y la notación. Intente responder las preguntas y ejercicios como se presenten. 2. Asista a todas las clases. Escuche. Tome notas, especialmente acerca de aspectos que no recuerde haber visto en el libro. Pregunte (todos quieren hacerlo, pero quizás usted tenga el valor). Obtendrá más de la clase si primero lee el capítulo. 3. Lea el capítulo de nuevo, ponga atención a los detalles. Siga las deducciones y resuelva los ejemplos. Absorba su lógica. Responda los ejercicios y tantas preguntas como pueda del final del capítulo. 4. Resuelva de 10 a 20 (o más) problemas de final del capítulo, en especial los asignados. Al resolver problemas descubrirá qué aprendió y qué no aprendió. Discútalos con otros estudiantes. La resolución de problemas es una de las mayores herramientas de aprendizaje. No se limite a buscar una fórmula, no funcionará. NOTAS ACERCA DEL FORMATO Y LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Las secciones marcadas con asterisco (*) se consideran opcionales. Se pueden omitir sin interrumpir el flujo principal de los temas. Ningún material posterior depende de ellas, excepto quizá las posteriores secciones con asterisco. Sin embargo, resulta entretenido leerlas. 2. Se usan las convenciones acostumbradas: los símbolos para cantidades (como m para masa) van en cursivas, mientras que las unidades (como m para metro) no aparecen en cursivas. Los símbolos para vectores se muestran en negritas con una B pequeña flecha sobre ellos: F . 3. Algunas ecuaciones son válidas en todas las situaciones. Donde sea práctico, las limitaciones de las ecuaciones importantes se indican entre corchetes junto a la ecuación. Las ecuaciones que representan las grandes leyes de la física se muestran con un fondo sombreado, así como algunas otras ecuaciones indispensables. 4. Al final de cada capítulo hay un conjunto de Problemas que se clasifican como nivel I, II o III, de acuerdo con la dificultad estimada. Los problemas del nivel I son los más sencillos, los del nivel II son problemas estándar, y los del nivel III son “problemas de desafío”. Estos problemas clasificados se ordenan por sección, pero los problemas para una sección dada pueden depender también del material anterior. Después aparece un grupo de problemas generales, que no se ordenan por sección ni están clasificados por dificultad. Los problemas que se relacionan con las secciones opcionales tienen asterisco (*). La mayoría de los capítulos tienen 1 o 2 problemas numéricos/por computadora al final, que requieren una computadora o calculadora graficadora. Las respuestas a los problemas impares se presentan al final del libro. 5. Ser capaz de resolver problemas es una parte crucial del aprendizaje de física y constituye un poderoso medio para comprender los conceptos y principios. Este libro contiene muchos auxiliares para la resolución de problemas: a) ejemplos trabajados y sus soluciones en el texto, que se deben estudiar como parte integral del tema; b) algunos de los ejemplos trabajados son ejemplos de estimación, que muestran cómo se pueden obtener resultados aproximados incluso si los datos dados son escasos (véase la sección 1-6); c) a lo largo de todo el texto se colocaron Estrategias para la resolución de problemas especiales con el fin de sugerir un método paso a paso para resolver problemas acerca de un tema particular; la mayoría de estas “estrategias” van seguidas por un ejemplo que se resuelve al seguir de manera explícita los pasos sugeridos; d) secciones especiales de resolución de problemas; e) notas marginales de “resolución de problemas” que se refieren a sugerencias dentro del texto para resolver problemas; f) Ejercicios dentro del texto que debe trabajar inmediatamente para luego comparar sus respuestas con las que aparecen al pie de la última página de ese capítulo; g) los problemas mismos al final de cada capítulo (punto 4 anterior). 6. Los ejemplos conceptuales plantean una pregunta que tiene la intención de hacer pensar al lector y conducirlo a una respuesta. Tómese un poco de tiempo para encontrar su respuesta antes de leer la respuesta dada. 7. El repaso matemático y algunos temas adicionales se encuentran en los apéndices. Datos útiles, factores de conversión y fórmulas matemáticas se encuentran en la primera y última páginas del libro, así como en los forros. PREFACIO xxiii Imagen de la Tierra desde un satélite de la NASA. Desde el espacio el cielo se ve negro porque hay pocas moléculas que reflejen la luz. (El porqué el cielo nos parece azul en la Tierra tiene que ver con la dispersión de la luz por parte de las moléculas en la atmósfera, como veremos en el capítulo 35). Advierta el huracán en la costa de México. PREGUNTA DE INICIO DE CAPÍTULO: ¡Adivine qué! Suponga que usted realmente quiere medir el radio de la Tierra, al menos aproximadamente, en vez de tomar lo que otras personas dicen sobre él. ¿Cuál respuesta de las siguientes describe el mejor enfoque? a) Rendirse; es imposible hacerlo utilizando medios ordinarios. b) Utilizar una cinta extremadamente larga para medir. c) Sólo es posible rolar lo suficientemente alto y ver la curvatura terrestre real. d) Utilizar una cinta para medir estándar, una escalera plegable y un lago grande y tranquilo. e) Utilizar un láser y un espejo en la Luna o en un satélite. [Empezamos cada capítulo con una pregunta, como la anterior. Intente responderla ahora mismo. No se preocupe por obtener la respuesta correcta de inmediato: la idea es poner sobre la mesa sus nociones preconcebidas. Si éstas son incorrectas, esperamos que se le aclaren conforme lea el capítulo. Por lo general, tendrá otra oportunidad para responder esta pregunta más adelante en este capítulo, cuando haya estudiado el material pertinente. Las preguntas de inicio de capítulo también le ayudarán a conocer el poder y la utilidad de la física]. C Introducción, mediciones, estimaciones Í T U L 1 O A P CONTENIDO 1–1 La naturaleza de la ciencia 1–2 Modelos, teorías y leyes 1–3 Medición e incertidumbre; cifras significativas 1–4 Unidades, estándares y el sistema SI 1–5 Conversión de unidades 1–6 Orden de magnitud: Estimación rápida *1–7 Dimensiones y análisis dimensional 1 L a física es la más fundamental de las ciencias. Estudia el comportamiento y la estructura de la materia. El campo de la física se divide usualmente en física clásica, que incluye movimiento, fluidos, calor, sonido, luz, electricidad y magnetismo; y física moderna que incluye relatividad, estructura atómica, materia condensada, física nuclear, partículas elementales, y cosmología y astrofísica. En este libro cubriremos todos esos temas, empezando con movimiento (o mecánica, como se le denomina con frecuencia); y finalizaremos con los resultados más recientes en nuestro estudio del cosmos. La comprensión de la física es indispensable para cualquiera que piense estudiar una carrera científica o tecnológica. Por ejemplo, los ingenieros deben saber cómo calcular las fuerzas dentro de una estructura, para diseñarla de manera que permanezca estable (figura 1-1a). De hecho, en el capítulo 12 veremos un ejemplo resuelto de cómo un simple cálculo físico —o incluso una intuición basada en el entendimiento de la física de las fuerzas— habría salvado cientos de vidas humanas (figura 1-1b). En este libro veremos muchos ejemplos de cómo la física es útil en diversos campos y en la vida cotidiana. 1–1 FIGURA 1–1 a) Este acueducto romano fue construido hace 2000 años y aún se mantiene en pie. b) En 1978 el Centro Cívico de Hartford colapsó, sólo dos años después de haberse construido. Por lo general, se considera que el objetivo principal de todas las ciencias, incluida la física, es la búsqueda de orden en nuestras observaciones del mundo que nos rodea. Mucha gente piensa que la ciencia es un proceso mecánico de recolección de datos y de formulación de teorías. Sin embargo, no es algo tan sencillo. La ciencia es una actividad creativa que en muchos aspectos se parece a otras actividades creativas de la mente humana. Un aspecto importante de la ciencia es la observación de eventos, que incluye el diseño y la realización de experimentos. No obstante, la observación y la experimentación requieren imaginación, pues los científicos nunca pueden incluir en una descripción todo lo que observan. Por lo tanto, los científicos deben emitir juicios acerca de lo que es importante en sus observaciones y experimentos. Considere, por ejemplo, cómo dos grandes pensadores, Aristóteles (384-322 A.C.) y Galileo (1564-1642), interpretaron el movimiento a lo largo de una superficie horizontal. Aristóteles notó que los objetos con un empuje inicial a lo largo del suelo (o de una mesa) siempre sufren una desaceleración y se detienen. En consecuencia, Aristóteles indicó que el estado natural de un objeto es el reposo. En el siglo XVII Galileo, en su reexamen del movimiento horizontal, imaginó que si la fricción pudiera suprimirse, un objeto con un empuje inicial a lo largo de una superficie horizontal continuaría moviéndose indefinidamente sin detenerse. Concluyó que para un objeto, estar en movimiento es algo tan natural como estar en reposo. Inventando un nuevo enfoque, Galileo fundó muestra visión moderna del movimiento (capítulos 2, 3 y 4), y lo hizo así con un salto de la imaginación. Galileo hizo este salto conceptualmente, sin eliminar realmente la fricción. La observación, junto con la experimentación y medición cuidadosas, son un aspecto del proceso científico. El otro aspecto es la creación de teorías para explicar y ordenar las observaciones. Las teorías nunca se derivan directamente de las observaciones. En realidad, las observaciones pueden ayudar a inspirar una teoría, y las teorías se aceptan o se rechazan con base en los resultados obtenidos de la observación y los experimentos. Las grandes teorías de la ciencia pueden compararse, en cuanto a logros creativos, con las grandes obras de arte o de la literatura. Pero, ¿cómo difiere la ciencia de esas otras actividades creativas? Una diferencia importante radica en que la ciencia requiere pruebas de sus ideas o teorías, para saber si sus predicciones se corroboran o no con el experimento. Si bien las pruebas de las teorías distinguen a la ciencia de otros campos creativos, no debe suponerse que una teoría “se comprueba” mediante pruebas. Ante todo, ningún instrumento de medición es perfecto, por lo que no es posible realizar una confirmación exacta. Además, no es factible probar una teoría en cualquier circunstancia posible. Por consiguiente, una teoría no puede verificarse en forma absoluta. De hecho, la historia de la ciencia nos indica que las teorías que durante mucho tiempo se han considerado como válidas pueden reemplazarse por otras teorías nuevas. 1–2 2 CAPÍTULO 1 La naturaleza de la ciencia Modelos, teorías y leyes Cuando los científicos tratan de entender un conjunto específico de fenómenos, a menudo utilizan un modelo que, en el sentido científico, es un tipo de analogía o imagen mental de los fenómenos en términos de algo con lo que estamos familiarizados. Un ejemplo es el modelo ondulatorio de la luz. No podemos ver las ondas de luz como observamos las ondas de agua; pero es conveniente pensar que la luz está formada por ondas, porque los experimentos indican que en muchos aspectos la luz se comporta como lo hacen las ondas de agua. La finalidad de un modelo es darnos una imagen mental o visual aproximada —algo en qué apoyarnos—, cuando no podemos ver lo que realmente está sucediendo. Con frecuencia, los modelos nos dan una comprensión más profunda: la analogía con un sistema conocido (por ejemplo, las ondas de agua en el ejemplo anterior) puede sugerir nuevos experimentos y ofrecer ideas acerca de qué otros fenómenos relacionados podrían ocurrir. Tal vez usted se pregunte cuál es la diferencia entre una teoría y un modelo. Por lo general un modelo es relativamente sencillo y proporciona una similitud estructural con los fenómenos que se estudian. Una teoría es más amplia, más detallada y puede ofrecer predicciones cuantitativamente demostrables, a menudo con gran precisión. Sin embargo, es importante no confundir un modelo o una teoría con el sistema real o los fenómenos mismos. Los científicos dan el nombre de ley a ciertos enunciados concisos pero generales acerca de cómo se comporta la naturaleza (por ejemplo, que la energía se conserva). A veces, el enunciado toma la forma de una relación o ecuación entre cantidades (como la segunda ley de Newton, Fnet  ma). Para llamarse ley, un enunciado debe ser experimentalmente válido en una amplia gama de fenómenos observados. Para enunciados menos generales, a menudo se utiliza el término principio (como el principio de Arquímedes). Las leyes científicas son diferentes de las leyes políticas en tanto que éstas últimas son prescriptivas, es decir, ellas nos dicen cómo debemos comportarnos. Las leyes científicas son descriptivas: no dicen cómo debería comportarse la naturaleza, sino más bien indican cómo se comporta la naturaleza. Al igual que las teorías, las leyes no pueden probarse en la infinita variedad de casos posibles. Por lo tanto, no podemos estar seguros de que cualquier ley sea absolutamente verdadera. Usamos el término “ley” cuando su validez se ha probado en una amplia gama de casos, y cuando cualquier limitación y dominio de validez se entienden claramente. Los científicos realizan normalmente su trabajo como si las leyes y teorías aceptadas fueran verdaderas. Pero ellos están obligados a mantener una mente abierta, en el caso de que nueva información altere la validez de cualquier ley o teoría establecida. 1–3 Medición e incertidumbre; cifras significativas En un esfuerzo por entender el mundo a nuestro alrededor, los científicos tratan de encontrar relaciones entre cantidades físicas que puedan medirse. Incertidumbre Las mediciones precisas son una parte fundamental de la física. Sin embargo, ninguna medición es absolutamente precisa. Siempre, hay una incertidumbre asociada con toda medición. Entre las fuentes más importantes de incertidumbre, aparte de las equivocaciones, están la precisión limitada de cualquier instrumento de medición, y la incapacidad de leer un instrumento más allá de alguna fracción de la división más pequeña que permita el instrumento. Por ejemplo, si se usa una regla centimétrica graduada en milímetros para medir el ancho de un tablón (figura 1-2), puede declararse que el resultado es preciso hasta 0.1 cm (1 mm), que es la división más pequeña de la regla; aunque la mitad de este valor podría también considerarse como el límite de nuestra precisión. La razón de esto es que resulta difícil para el observador estimar (o interpolar) entre las divisiones más pequeñas. Además, quizá la regla misma no haya sido fabricada con una precisión mucho mejor que ésta. Al dar el resultado de una medición, es importante indicar la incertidumbre estimada en la medición. Por ejemplo, el ancho de un tablón podría escribirse como 8.8 0.1 cm. El 0.1 cm (“más o menos 0.1 cm”) representa la incertidumbre estimada en la medición, por lo que el ancho real muy probablemente se encuentre entre 8.7 y 8.9 cm. La incertidumbre porcentual es la razón de la incertidumbre al valor medido, multiplicada por 100. Por ejemplo, si la medición es 8.8 cm y la incertidumbre es aproximadamente 0.1 cm, la incertidumbre porcentual es 0.1 * 100% L 1%, 8.8 donde ⬇ significa “aproximadamente igual a”. FIGURA 1–2 La medición del ancho de un tablón con una regla centimétrica. La incertidumbre es de aproximadamente 1 mm. SECCIÓN 1–3 3 A menudo, la incertidumbre en un valor medido no se especifica de forma explícita. En tales casos, por lo general la incertidumbre se supone igual a una o a unas cuantas unidades del último dígito especificado. Por ejemplo, si se da una longitud como 8.8 cm, la incertidumbre se supone igual a aproximadamente 0.1 cm o 0.2 cm. En este caso es importante que no escriba usted 8.80 cm, pues esto implicaría una incertidumbre del orden de 0.01 cm; se supone que la longitud está probablemente entre 8.79 cm y 8.81 cm, cuando en realidad usted piensa que está entre 8.7 y 8.9 cm. Cifras significativas FIGURA 1–3 Estas dos calculadoras muestran el número equivocado de cifras significativas. En a) se dividió 2.0 entre 3.0. El resultado final correcto es 0.67. En b) 2.5 se multiplicó por 3.2. El resultado correcto es 8.0. R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Regla de cifras significativas: El número de cifras significativas en el resultado final es el mismo que el número de cifras significativas del valor de entrada menos preciso El número de dígitos conocidos confiables en un número se llama número de cifras significativas. Así, en el número 23.21 cm hay cuatro cifras significativas, y dos en el número 0.062 cm (en este caso los ceros a la izquierda se usan sólo para indicar la posición del punto decimal). El número de cifras significativas no es siempre evidente. Por ejemplo, considere el número 80. ¿Hay en él una o dos cifras significativas? Si decimos que hay aproximadamente 80 km entre dos ciudades, se tiene entonces sólo una cifra significativa (el 8) puesto que el cero es meramente un ocupante de lugar. Si no se indica que el 80 es una mera aproximación, entonces supondremos (como haremos en este libro) que el valor de 80 km está dentro de una precisión aproximada de 1 o 2 km, y así 80 tiene dos cifras significativas. Si hay precisamente 80 km entre las ciudades, entonces la precisión está dentro de 0.1 km, y escribimos 80.0 km (tres cifras significativas). Al hacer mediciones o al realizar cálculos, usted debe evitar la tentación de mantener más dígitos en la respuesta final que lo que sea justificable. Por ejemplo, para calcular el área de un rectángulo de 11.3 cm por 6.8 cm, el resultado de la multiplicación sería 76.84 cm2. Pero esta respuesta no es claramente precisa a 0.01 cm2, ya que (usando los límites exteriores de la incertidumbre supuesta para cada medida) el resultado podría estar entre 11.2 6.7  75.04 cm2 y 11.4 6.9 cm  78.66 cm2. En el mejor de los casos, daremos la respuesta como 77 cm2, lo cual implica una incertidumbre de aproximadamente 1 o 2 cm2. Los otros dos últimos dígitos (en el número 76.84 cm2) deben cancelarse, ya que no son significativos. Como regla burda general, (es decir, en ausencia de una consideración detallada de las incertidumbres) diremos que el resultado final de una multiplicación o división debe tener tantas cifras como el número de cifras en el valor de entrada menos preciso utilizado en los cálculos. En nuestro ejemplo, 6.8 cm tiene el menor número de cifras significativas; a saber, dos. Así, el resultado 76.84 cm2 necesita redondearse a 77 cm2. EJERCICIO A El área de un rectángulo de 4.5 cm por 3.25 cm se da correctamente con a) 14.625 cm2; b) 14.63 cm2; c) 14.6 cm2; d) 15 cm2. C U I D A D O Las calculadoras no saben manejar cifras significativas R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Reporte sólo el número adecuado de cifras significativas en el resultado final, y mantenga dígitos adicionales durante los cálculos FIGURA 1–4 Ejemplo 1-1. Un transportador que se utiliza para medir un ángulo. 4 CAPÍTULO 1 Cuando se suman o se restan números, el resultado final no es más exacto que el número menos preciso usado. Por ejemplo, el resultado de restar 0.57 de 3.6 es 3.0 (y no 3.03). Al usar una calculadora tenga en mente que todos los dígitos que genera quizá no sean significativos. Cuando usted divide 2.0 entre 3.0, la respuesta adecuada es 0.67 y no algo como 0.666666666. Los dígitos no deberán escribirse en un resultado, a menos que sean verdaderamente cifras significativas. Sin embargo, para obtener el resultado más exacto, por lo general mantenga una o más cifras significativas adicionales a lo largo de todo el cálculo y sólo redondee en el resultado final. (Con una calculadora, usted puede mantener todos sus dígitos en los resultados intermedios). Advierta también que a veces las calculadoras dan muy pocas cifras significativas. Por ejemplo, al multiplicar 2.5 3.2, una calculadora puede dar la respuesta simplemente como 8. Pero la respuesta es precisa con dos cifras significativas, por lo que la respuesta adecuada sería 8.0. Véase la figura 1-3. EJEMPLO CONCEPTUAL 1–1 Cifras significativas. Con el uso de un transportador (figura 1-4), mida un ángulo de 30°. a) ¿Cuántas cifras significativas se deben citar en esta medición? b) Use una calculadora para encontrar el coseno del ángulo medido. RESPUESTA a) Si observa un transportador, verá que la precisión con que se puede medir un ángulo es de aproximadamente un grado (ciertamente no 0.1°). Aquí se pueden citar dos cifras significativas; a saber, 30° (no 30.0°). b) Si se ingresa cos 30° en una calculadora, se obtiene un número como 0.866025403. Sin embargo, se sabe que el ángulo que se ingresó sólo tiene dos cifras significativas, así que su coseno está representado correctamente como 0.87; es decir, se debe redondear la respuesta a dos cifras significativas. NOTA La función coseno y otras funciones trigonométricas se tratan en el Apéndice A. EJERCICIO B ¿0.00324 y 0. 00056 tienen el mismo número de cifras significativas? Tenga cuidado de no confundir el número de cifras significativas con el número de lugares decimales. EJERCICIO C Para cada uno de los siguientes números, especifique el número de cifras significativas y el número de lugares decimales: a) 1.23; b) 0.123; c) 0.0123. Notación científica Comúnmente escribimos los números en “potencias de diez” o notación “científica”; por ejemplo, 36,900 lo escribimos como 3.69 104; o 0.0021 lo escribimos como 2.1 10 3. Una ventaja de la notación científica es que permite expresar con claridad el número de cifras significativas. Por ejemplo, no es claro si 36,900 tiene tres, cuatro o cinco cifras significativas. Con potencias de diez se puede evitar la ambigüedad: si se sabe que el número tiene tres cifras significativas, escribimos 3.69 104; pero si tiene cuatro, escribimos 3.690 104. EJERCICIO D Escriba cada uno de los siguientes números en notación científica y especifique el número de cifras significativas para cada uno: a) 0.0258, b) 42,300, c) 344.50. Incertidumbre porcentual versus cifras significativas La regla de cifras significativas es sólo aproximada, y en ciertos casos tal vez subestime la exactitud (o incertidumbre) de la respuesta.Por ejemplo, suponga que dividimos 97 entre 92: 97 = 1.05 L 1.1. 92 Tanto 97 como 92 tienen dos cifras significativas, de manera que la regla indica dar 1.1 como respuesta. No obstante, ambos números, 97 y 92, implican una incertidumbre de 1 si no se especifica ninguna otra incertidumbre. Así, 92 1 y 97 1 implican ambos una incertidumbre de aproximadamente 1% (1/92 a 0.01 = 1%). Pero el resultado final con dos cifras significativas es 1.1, con una incertidumbre tácita de 0.1, que es una incentidumbre de 0.1/1.1 ⬇ 0.1 ⬇ 10%. En este caso, es mejor dar la respuesta como 1.05 (que tiene tres cifras significativas). ¿Por qué? Porque 1.05 implica una incertidumbre de 0.01, que es 0.01/1.05 ⬇ 0.01 ⬇ 1%, tal como la incertidumbre en los números originales 92 y 97. SUGERENCIA: Utilice la regla de cifras significativas, pero considere también la incertidumbre porcentual, y agregue un dígito extra si éste da una estimación más realista de la incertidumbre. Aproximaciones Mucho de la física implica aproximaciones, a menudo porque no disponemos de los medios para resolver un problema con total precisión. Por ejemplo, tal vez elijamos ignorar la resistencia del aire o la fricción al realizar un ejercicio, aun cuando estén presentes en situaciones de la vida real y, por lo tanto, nuestro cálculo sería sólo una aproximación. Al hacer los ejercicios deberíamos estar conscientes de que las aproximaciones que estamos haciendo, y la precisión de nuestra respuesta, quizá no sean lo suficientemente buenas como el número de cifras significativas que se dan en el resultado. Exactitud versus precisión Hay una diferencia técnica entre “precisión” y “exactitud”. La precisión, en un sentido estricto, se refiere a la repetibilidad de una medición usando un instrumento dado. Por ejemplo, si usted mide el ancho de un tablón varias veces, y obtiene resultados como 8.81 cm, 8.85 cm, 8.78 cm, 8.82 cm (interpolando cada vez entre las marcas de 0.1 lo mejor posible), usted podría decir que las mediciones dan una precisión un poco mejor que 0.1 cm. La exactitud se refiere a cuán cerca está una medición de su valor verdadero. Por ejemplo, si la regla que se muestra en la figura 1-2 se fabricó con un error del 2%, la exactitud de su medición del ancho del tablón (aproximadamente 8.8 cm) sería de cerca del 2% de 8.8 cm o aproximadamente 0.2 cm. La incertidumbre estimada debe considerar tanto la exactitud como la precisión. SECCIÓN 1–3 Medición e incertidumbre; cifras significativas 5 1–4 TABLA 1–1 Algunas longitudes o distancias comunes (orden de magnitud) Longitud (o distancia) Metros (aproximados) Neutrón o protón (diámetro) 10 –15 m Átomo (diámetro) Virus [véase la figura 1-5a] Hoja de papel (espesor) 10 –10 m 10 –7 m Ancho de un dedo 10 –4 m 10 –2 m Longitud de un campo de fútbol 102 m Altura del monte Everest [véase la figura 1-5b] 104 m 107 m Diámetro de la Tierra Distancia de la Tierra al Sol 1011 m De la Tierra a la estrella más cercana 1016 m De la Tierra a la galaxia más cercana 1022 m De la Tierra a la galaxia visible más alejada 1026 m FIGURA 1–5 Algunas longitudes: a) Virus (de aproximadamente 10–7 m de largo) que atacan a una célula; b) la altura del monte Everest es del orden de 104 m (8850 m, para ser precisos). Unidades, estándares y el sistema SI La medición de cualquier cantidad se efectúa con respecto a un estándar o unidad particular, y esta unidad debe especificarse junto con el valor numérico de la cantidad. Por ejemplo, podemos medir la longitud en unidades inglesas: pulgadas, pies o millas; o en el sistema métrico: centímetros, metros o kilómetros. Mencionar que la longitud de un objeto particular es de 18.6 no tiene sentido. Debe especificarse la unidad; es claro que 18.6 metros es muy diferente de 18.6 pulgadas o 18.6 milímetros. Para cualquier unidad que utilicemos, como el metro para distancia y el segundo para tiempo, tenemos que establecer un estándar que defina exactamente cuánto es un metro o un segundo. Es importante que los estándares elegidos sean fácilmente reproducibles, de manera que cualquiera que necesite realizar una medición muy precisa pueda remitirse al estándar en el laboratorio. Longitud El primer estándar internacional real fue el metro (que se abrevia m), establecido como el estándar de longitud por la Academia Francesa de Ciencias en la década de 1790. El metro estándar se eligió originalmente como la diezmillonésima parte de la distancia del ecuador de la Tierra a uno de sus polos,† y se fabricó una barra de platino para representar dicha longitud. (Muy burdamente, un metro es la distancia de la punta de la nariz a la punta de los dedos, con el brazo y la mano estirados hacia el lado). En 1889 el metro se definió con más precisión como la distancia entre dos marcas finamente grabadas sobre una barra particular de aleación platino-iridio. En 1960, para dar mayor precisión y facilidad de reproducción, el metro se redefinió como 1,650,763.73 longitudes de onda de una luz anaranjada particular emitida por el gas kriptón 86. En 1983 el metro se redefinió nuevamente, esta vez en términos de la rapidez de la luz (cuyo mejor valor medido en términos de la antigua definición del metro fue de 299,792,458 m/s, con una incertidumbre de 1 m/s). La nueva definición indica lo siguiente: “El metro es la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299,792,458 de un segundo”.‡ Las unidades inglesas de longitud (pulgada, pie, milla) se definen ahora en términos del metro. La pulgada (in) se define como precisamente 2.54 centímetros (cm; 1 cm = 0.01 m). Enfrente de la contraportada de este libro se presentan tablas con otros factores de conversión. La tabla 1-1 muestra algunas longitudes características, desde muy pequeñas hasta muy grandes, redondeadas a la potencia de diez más cercana. Véase también la figura 1-5. Tiempo La unidad estándar de tiempo es el segundo (s). Durante muchos años, el segundo se definió como 1/86,400 de un día solar medio (24 h/día 60 min/h 60 s/min  86,400 s/día). El segundo estándar se define ahora con mayor precisión en términos de la frecuencia de la radiación emitida por átomos de cesio, cuando éstos pasan entre dos estados particulares de energía. [Específicamente, un segundo se define como el tiempo requerido para completar 9,192,631,770 periodos de esta radiación]. Por definición, se tienen 60 s en un minuto (min) y 60 minutos en una hora (h). La tabla 1-2 muestra un rango de intervalos de tiempo medidos, redondeados a la potencia de diez más cercana. Masa La unidad estándar de masa es el kilogramo (kg). La masa estándar es un cilindro particular de platino-iridio, que se mantiene en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, cerca de París, Francia, y cuya masa se define como 1 kg exactamente. La tabla 1-3 presenta un rango de masas encontrado en el Universo. [Para fines prácticos, 1 kg pesa cerca de 2.2 libras en la Tierra]. † Las mediciones modernas de la circunferencia de la Tierra revelan que la longitud propuesta tiene un error de aproximadamente 1/50 del 1%. ¡Nada mal! ‡ La nueva definición del metro tiene el efecto de dar a la rapidez de la luz el valor exacto de 299,792,458 m/s. 6 CAPÍTULO 1 Introducción, mediciones, estimaciones TABLA 1–2 Algunos intervalos de tiempo comunes Intervalo de tiempo Vida de una partícula subatómica muy inestable Vida de elementos radiactivos Vida de un muón Tiempo entre latidos del corazón humano Un día Un año Vida humana Tiempo de la historia registrada Seres humanos en la Tierra Vida sobre la Tierra Edad del Universo TABLA 1–3 Algunas masas Segundos (aproximados) –23 10 s 10–22 s a 1028 s 10 –6 s 100 s ( = 1 s) 105 s 3 * 107 s 2 * 109 s 1011 s 1014 s 1017 s 1018 s Objeto Kilogramos (aproximados) Electrón Protón, neutrón Molécula de ADN Bacteria Mosquito Ciruela Ser humano Barco Tierra Sol Galaxia 10 –30 10 –27 10 –17 10 –15 10 –5 10 –1 102 108 6 * 1024 2 * 1030 1041 kg kg kg kg kg kg kg kg kg kg kg Al tratar con átomos y moléculas, comúnmente usamos la unidad unificada de masa atómica (u). En términos del kilogramo, TABLA 1–4 Prefijos métricos (SI) 1 u = 1.6605 * 10 –27 kg. Más adelante se darán definiciones de otras unidades estándar para otras cantidades conforme vayan apareciendo en los siguientes capítulos. (Los forros de este libro presentan valores precisos de estos y otros números y constantes de la física). Prefijo Abreviatura yotta Y zetta Z exa E Prefijos de unidades peta P En el sistema métrico, las unidades más grandes y más pequeñas se definen en múltiplos de 10 de la unidad estándar, lo cual facilita los cálculos. Así, 1 kilómetro (km) es 1 1 m, 1 milímetro (mm) es igual a 1000 m o 101 cm, igual a 1000 m, 1 centímetro es igual a 100 etcétera. La tabla 1-4 muestra una lista de prefijos que pueden aplicarse no sólo a unidades de longitud, sino también a unidades de volumen, masa o cualquier otra unidad 1 métrica. Por ejemplo, un centilitro (cL) es igual a 100 litros (L), y un kilogramo (kg) es igual a 1000 gramos (g). tera T giga G mega M kilo k deci d Sistemas de unidades centi c Al tratar con las leyes y ecuaciones de la física es muy importante usar un conjunto consistente de unidades. A lo largo de los años se han utilizado distintos sistemas de unidades. Actualmente el sistema de unidades más importante es el Sistema Internacional (Système International), que se abrevia SI. En unidades SI, el estándar de longitud es el metro, el estándar de tiempo es el segundo y el estándar para la masa es el kilogramo. Este sistema solía llamarse sistema MKS (metro-kilogramo-segundo). Un segundo sistema métrico es el sistema cgs, en el que el centímetro, el gramo y el segundo son las unidades estándares de longitud, masa y tiempo, respectivamente. El sistema de ingeniería inglés tiene como estándares el pie para longitud, la libra para peso y el segundo para tiempo. En este libro usaremos principalmente unidades del SI. milli m micro† m Cantidades básicas versus cantidades derivadas Las cantidades físicas se dividen en dos categorías: cantidades básicas y cantidades derivadas. Las unidades correspondientes para tales cantidades se llaman unidades básicas y unidades derivadas. Una cantidad básica debe definirse en términos de un estándar. Por simplicidad, los científicos buscan el menor número posible de cantidades básicas, consistentes con una descripción completa del mundo físico. Se han definido siete unidades básicas y sus unidades en el SI se muestran en la tabla 1-5. Todas las demás cantidades de la física se definen en términos de estas siete cantidades básicas† y, por consiguiente, se llaman cantidades derivadas. Un ejemplo de una cantidad derivada es la rapidez, que se define como la distancia recorrida dividida entre el tiempo que toma recorrer esa distancia. En las guardas de este libro se incluye una tabla con varias cantidades derivadas, así como sus unidades en términos de unidades básicas. Para definir cualquier cantidad, sea ésta básica o derivada, especificamos una regla o un procedimiento, y a esto se le llama una definición operacional. † Las únicas excepciones son para ángulos (radianes; véase el capítulo 8) y ángulos sólidos (estereorradián). No se ha llegado a un acuerdo general sobre si estas cantidades son básicas o derivadas. SECCIÓN 1–4 hecto h deca da nano n pico p femto f ato a zepto z docto y † Valor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 10–15 10–18 10–21 10–24 es la letra griega para “mu”. TABLA 1–5 Cantidades básicas y unidades SI Abreviatura de la unidad Cantidad Unidad Longitud metro m Tiempo segundo s Masa kilogramo kg Corriente eléctrica ampere A Temperatura kelvin K Cantidad de sustancia mol mol Intensidad luminosa cd candela Unidades, estándares y el sistema SI 7 1–5 Conversión de unidades Cualquier cantidad que midamos, como longitud, rapidez o corriente eléctrica, consiste en un número y una unidad. A menudo se nos da una cantidad en un conjunto de unidades, pero la queremos expresada en otro conjunto de unidades. Por ejemplo, supongamos que medimos una mesa cuyo ancho es de 21.5 pulgadas y queremos expresarlo en centímetros. Debemos usar un factor de conversión que, en este caso, es 1 in. = 2.54 cm o, escrito de otra manera, 1 = 2.54 cm兾in. Como la multiplicación por uno no cambia, el ancho de nuestra mesa en cm es 21.5 pulgadas = (21.5 in. ) * a 2.54 cm b = 54.6 cm. in. Note cómo se cancelan las unidades (pulgadas en este caso). En los forros y las guardas del libro se presentan varios factores de conversión. Veamos algunos ejemplos. F Í S I C A A P L I C A D A Las cumbres más altas del mundo EJEMPLO 1–2 Las cumbres de 8000 m. A las 14 cumbres más altas del mundo (figura 1-6 y tabla 1-6) se les conoce como las “ochomiles”, lo cual significa que sus cimas están por encima de los 8000 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la elevación, en pies, de una cumbre de 8000 m? PLANTEAMIENTO Simplemente necesitamos convertir metros a pies, para lo cual se debe comenzar con el factor de conversión 1 in. = 2.54 cm, que es exacto. Esto es, 1 in. = 2.5400 cm para cualquier número de cifras significativas, porque así está definido. SOLUCIÓN Un pie es igual a 12 in., así que se puede escribir FIGURA 1–6 La segunda cumbre más alta del mundo, el K2, cuya cima se considera la más difícil de las montañas de 8000 m. El K2 se ve aquí desde el norte (China). 1 ft = (12 in. ) ¢ 2.54 que es exacto. Note cómo se cancelan las unidades (al tacharlas con una diagonal). Esta ecuación se puede reescribir para encontrar el número de pies en 1 metro: 1m = TABLA 1–6 Las cumbres de 8000 m cm ≤ = 30.48 cm = 0.3048 m, in. 1 ft = 3.28084 ft. 0.3048 Esta ecuación se multiplica por 8000.0 (para obtener cinco cifras significativas): Cumbre Altitud (m) Everest 8850 8000.0 m = (8000.0 m ) ¢ 3.28084 ft ≤ = 26,247 ft. m K2 8611 Kangchenjunga 8586 Una elevación de 8000 m está a 26,247 pies sobre el nivel del mar. Lhotse 8516 Makalu 8462 NOTA Toda la conversión se pudo realizar en un solo renglón: Cho Oyu 8201 Dhaulagiri 8167 Manaslu 8156 Nanga Parbat 8125 Annapurna 8091 Gasherbrum I 8068 Broad Peak 8047 Gasherbrum II 8035 Shisha Pangma 8013 8 CAPÍTULO 1 8000.0 m = (8000.0 m ) ¢ 100 cm 1 in. 1 ft ≤¢ ≤¢ ≤ = 26,247 ft. 1 m 2.54 cm 12 in. La clave consiste en multiplicar los factores de conversión, cada uno igual a uno (= 1.0000) y asegurarse de que se cancelen las unidades. EJERCICIO E En el mundo sólo existen 14 cumbres de ocho mil metros (véase el ejemplo 1-2) y sus nombres y elevaciones se muestran en la tabla 1-6. Todas ellas están en la cordillera del Himalaya, que abarca la India, Paquistán, el Tíbet y China. Determine la elevación en pies de las tres cumbres más altas del mundo. Introducción, mediciones, estimaciones EJEMPLO 1–3 Área de un apartamento. ¿Ha visto usted esos agradables apartamentos cuya superficie habitable es de 880 pies cuadrados (ft2). Exprese esto en metros cuadrados. PLANTEAMIENTO Utilizamos el mismo factor de conversión, 1 in.  2.54 cm, pero ahora tenemos que usarlo dos veces. SOLUCIÓN Como 1 in.  2.54 cm  0.0254 m, entonces 1 ft2  (12 in.)2 (0.0254 m/in.)2  0.0929 m2. Entonces, 880 ft2  (880 ft2)(0.0929 m2/ft2) ⬇ 82 m2. NOTA Como regla empírica,una área dada en ft2 es aproximadamente 10 veces el número de metros cuadrados (más precisamente, cerca de 10.8 ). EJEMPLO 1–4 Rapidez. El límite de rapidez establecido en una carretera es de 55 millas por hora (mi/h o mph). ¿Cuál es esta rapidez a) en metros por segundo (m/s) y b) en kilómetros por hora (km/h)? PLANTEAMIENTO Se utiliza de nuevo el factor de conversión 1 in.  2.54 cm, teniendo en cuenta que existen 5280 pies en una milla y 12 pulgadas en un pie; además, una hora contiene (60 min/h) (60 s/min)  3600 s/h. SOLUCIÓN a) 1 milla se escribe como 1 mi = (5280 ft ) ¢ 12 in. cm 1m ≤ ¢ 2.54 ≤¢ ≤ = 1609 m. ft in. 100 cm Se sabe también que 1 hora contiene 3600 s, por lo que 55 mi 1 h m m mi = ¢ 55 ≤ ¢ 1609 ≤¢ ≤ = 25 , s h h mi 3600 s donde redondeamos a dos cifras significativas. b) Ahora usamos 1 mi  1609 m  1.609 km; entonces, 55 km mi mi km . ≤ ¢ 1.609 ≤ = 88 = ¢ 55 h h mi h NOTA Cada factor de conversión es igual a uno. En los forros y las guardas de este libro se incluye una tabla con los factores de conversión más utilizados. R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Factores de conversión  1 EJERCICIO F ¿Un conductor que viaje a 15 m/s en una zona de 35 mi/h estaría excediendo el límite de rapidez? Cuando se convierte unidades, se evitan errores en el uso de los factores de conversión al comprobar que las unidades se cancelan de manera adecuada. Por ejemplo, en la conversión de 1 mi a 1609 m del ejemplo 1-4a, si se hubiera usado incorrectamente cm 1m el factor A 100 1 m B en vez de A 100 cm B, as unidades en centímetros no se hubieran cancelado; ni se habría terminado con metros. 1–6 R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS La conversión de unidades es incorrecta si las unidades no se cancelan Orden de magnitud: Estimación rápida En ocasiones sólo nos interesa un valor aproximado para una cantidad. Esto podría podría ocurrir si un cálculo exacto tomaría mucho más tiempo del que disponemos, o se requieren datos adicionales que no están disponibles. En otros casos, tal vez queramos hacer una estimación burda sólo para verificar un cálculo exacto hecho con calculadora, y asegurarnos de no haber cometido equivocaciones al introducir los números. Una estimación burda se hace redondeando todos los números a una cifra significativa y su potencia de 10; después del cálculo, se mantiene de nuevo sólo una cifra significativa. Tal estimación se llama estimación del orden de magnitud y puede ser exacta dentro de un factor de 10, y a veces mucho mejor. De hecho, la frase “orden de magnitud” se utiliza a veces simplemente para indicar la potencia de 10 de la que estamos hablando. SECCIÓN 1–6 R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS ¿Cómo hacer una estimación aproximada? Orden de magnitud: Estimación rápida 9 r = 500 m 10 m b) FIGURA 1–7 Ejemplo 1-5. a) ¿Cuánta agua hay en este lago? (La imagen es de uno de los lagos Rae en la Sierra Nevada de California). b) Modelo cilíndrico del lago. [Podríamos también estimar la masa o el peso de este lago. Veremos luego que el agua tiene una densidad de 1000 kg/m3, por lo que este lago tiene una masa de aproximadamente (103 kg/m3) (107 m3) ⬇ 1010 kg, que son aproximadamente 10,000 millones de kg o 10 millones de toneladas métricas. (Una tonelada métrica equivale a 1000 kg, o aproximadamente 2,200 lbs, que es un poco mayor que la tonelada inglesa de 2000 lbs.)]. a) F Í S I C A EJEMPLO 1–5 ESTIMACIÓN Volumen de un lago. Estime cuánta agua contiene un lago en particular (figura 1-7a), que tiene una forma aproximadamente circular con 1 km de diámetro y se considera que tiene una profundidad promedio de más o menos 10 m. A P L I C A D A Estimación del volumen (o la masa) de un lago; véase también la figura 1-7 PLANTEAMIENTO Ningún lago es un círculo perfecto ni puede esperarse que tenga un fondo totalmente plano. Pero aquí sólo estamos realizando estimaciones. Para estimar el volumen, usamos un modelo sencillo del lago como si fuera un cilindro: multiplicamos la profundidad promedio del lago por su área superficial aproximadamente circular, como si el lago fuera un cilindro (figura 1-7b). SOLUCIÓN El volumen V de un cilindro es el producto de su altura h por el área de su base: V = hpr 2, donde r es el radio de la base circular.† El radio r es 12 km = 500 m, por lo que el volumen es aproximadamente V = hpr2 L (10 m) * (3) * A5 * 102 mB 2 L 8 * 106 m3 L 107 m3, donde p se redondeó a 3. Por lo tanto, el volumen es del orden de magnitud de 107 m3, o diez millones de metros cúbicos. Debido a todas las estimaciones que entraron en este cálculo, probablemente sea mejor citar sólo la estimación del orden de magnitud (107 m3), que la cifra 8 106 m3. NOTA Para expresar el resultado en galones estadounidenses, se recurre a la tabla que aparece en las guardas del libro, donde se ve que un litro  10 3 m3 ⬇ galón. Por lo tanto, el lago contiene (8 106 m3) (1 galón/ 4 10 3 m3) ⬇ 2 109 galones de agua. EJEMPLO 1–6 ESTIMACIÓN una página de este libro. PLANTEAMIENTO Al principio tal vez usted piense que se requiere un dispositivo de medición especial, como un micrómetro (figura 1-8), para medir el espesor de una página, ya que una regla de medición ordinaria no serviría. Sin embargo, disponemos de un truco, o para expresarlo en términos físicos, podemos usar la simetría: podemos suponer de manera razonable de que todas las páginas de este libro tienen el mismo espesor. SOLUCIÓN Entonces, usamos una regla para medir cientos de páginas a la vez. Si usted mide el espesor de las primeras 500 páginas de este libro (página 1 a la 500), obtendrá algo así como 1.5 cm. Advierta que 500 páginas, contando el frente y la vuelta, R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Use argumentos de simetría siempre que sea posible † 10 CAPÍTULO 1 Espesor de una página. Estime el espesor de Las fórmulas como ésta para volumen, área, etcétera, se encuentran en los forros de este libro. Introducción, mediciones, estimaciones son 250 piezas de papel separadas. Por lo tanto, el espesor de una página es aproximadamente 1.5 cm L 6 * 10–3 cm = 6 * 10–2 mm, 250 páginas que equivale a menos de un décimo de milímetro (0.1 mm). EJEMPLO 1–7 ESTIMACIÓN Altura por triangulación. Estime la altura del edificio que se muestra en la figura 1-9 usando “triangulación”, es decir, con la ayuda de un poste de parada de autobús y de un amigo. PLANTEAMIENTO Al situar a su amigo a un lado del poste, usted estima que la altura del poste es de 3 m. Luego, usted se aleja del poste hasta que la parte superior de éste quede en línea con la azotea del edificio (figura 1-9a). Usted mide 5 ft 6 in. de altura, por lo que sus ojos están aproximadamente a 1.5 m del suelo. Su amigo es más alto y cuando él estira sus brazos, una mano lo toca a usted y la otra toca el poste, así que usted estima que la distancia horizontal entre usted y el poste es como de 2 m (figura 1-9a). Después usted camina la distancia del poste a la base del edificio con pasos aproximados de 1 m de largo, y obtiene un total de 16 pasos, o ~16 m. SOLUCIÓN Ahora dibuja a escala el diagrama que se muestra en la figura 1-9b usando estas medidas. Mide en el diagrama que el último lado del triángulo, que es aproximadamente x  13 m. Alternativamente, puede usar triángulos semejantes para obtener la altura x: FIGURA 1–8 Ejemplo 1-6. Micrómetro usado para medir espesores pequeños. FIGURA 1–9 Ejemplo 1-7. ¡Los diagramas son realmente útiles! a) ? 1.5 m x , entonces x L 13 12 m. = 2m 18 m Finalmente, usted suma la altura de sus ojos de 1.5 m sobre el suelo para obtener el resultado final: el edificio mide aproximadamente 15 metros de altura. EJEMPLO 1–8 ESTIMACIÓN Estimación del radio de la Tierra. Aunque usted no lo crea, puede estimar el radio de la Tierra sin tener que ir al espacio (véase la fotografía al inicio del capítulo). Si usted ha estado a la orilla de un lago grande, quizás haya notado que no puede ver a través del lago, la playa, los muelles o las rocas al nivel del agua que hay en la orilla opuesta. El lago parece interponerse entre usted y la orilla opuesta: lo cual es una buena pista de que la Tierra es redonda. Suponga que usted sube por una escalera plegable y descubre que cuando sus ojos están a 10 ft (3.0 m) por encima del agua, alcanza a ver las rocas al nivel del agua de la orilla opuesta. A partir de un mapa, usted estima que la distancia a la orilla opuesta es como d ⬇ 6.1 km. Utilice la figura 1-10 con h  3.0 m para estimar el radio R de la Tierra. PLANTEAMIENTO Usamos geometría simple, incluyendo el teorema de Pitágoras, c2  a2 + b2, donde c es la longitud de la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo, y a y b son las longitudes de los dos catetos. SOLUCIÓN Para el triángulo rectángulo de la figura 1-10, los dos catetos son el radio de la Tierra R y la distancia d  6.1 km  6100 m. La hipotenusa es aproximadamente la longitud de R  h, donde h  3.0 m. Con el teorema de Pitágoras, R2 + d2 L (R + h)2 3m 1.5 m 2m b) x=? 1.5 m 2m FIGURA 1–10 Ejemplo 1-8, pero no está a escala. Usted puede ver rocas pequeñas a nivel del agua de la orilla opuesta de un lago de 6.1 km de ancho, si se para sobre una escalera. L R2 + 2hR + h2. d Algebraicamente despejamos R, después de cancelar R2 en ambos lados: R L 1.5 m 16 m 18 m h (6100 m)2 - (3.0 m)2 d2 - h2 = 6.2 * 106 m = 6200 km. = 2h 6.0 m NOTA Mediciones precisas dan 6380 km. Sin embargo, ¡siéntase orgullosos de su logro! Con unas cuantas mediciones aproximadas y simple geometría, usted realizó una buena estimación del radio de la Tierra. No tuvo que ir al espacio ni que usar una cinta extremadamente larga para medir. Ahora ya sabe la respuesta a la pregunta de inicio del capítulo de la pág. 1. SECCIÓN 1–6 Lago Tierra R R Orden de magnitud: Estimación rápida 11 EJEMPLO 1–9 ESTIMACIÓN Número total de latidos cardiacos. Estime el número total de latidos que un corazón humano común realiza durante una vida promedio. PLANTEAMIENTO Un característico ritmo cardiaco en reposo es de 70 latidos/min; aunque durante el ejercicio éste es mucho mayor. Un promedio razonable es de 80 latidos/min. SOLUCIÓN En segundos un año es (24 h)(3600 s/h)(365 d) ⬇ 3 107 s. Si una persona promedio vive 70 años  (70 años)(3 107 s/año) ⬇ 2 109 s, entonces el número total de latidos cardiacos sería aproximadamente ¢ 80 latidos 1 min ≤¢ ≤ A2 * 109 sB L 3 * 109, min 60 s o 3 mil millones. R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Estimación de cuántos afinadores de piano hay en una ciudad Otra técnica de estimación, famosa porque Enrico Fermi la planteó a sus alumnos de Física, consiste en estimar el número de afinadores de pianos en una ciudad, digamos, Chicago o San Francisco. Para obtener una estimación burda del orden de magnitud del número de afinadores actualmente en San Francisco, una ciudad de aproximadamente 700,000 habitantes, primero estimamos el número de pianos que funcionan, con qué frecuencia se afina cada piano y cuántos pianos puede afinar cada afinador. Para estimar el número de pianos en San Francisco, notamos que ciertamente no todas las personas tienen piano. Si consideramos que una familia de cada tres posee un piano correspondería 1 piano por cada 12 personas, suponiendo una familia promedio de 4 personas. Como orden de magnitud, digamos un piano por cada 10 personas. Esto es ciertamente más razonable que 1 por cada 100 personas o 1 por cada persona, de manera que continuamos con la estimación de que 1 persona entre 10 tiene un piano, es decir, aproximadamente 70,000 pianos en San Francisco. Ahora, un afinador necesita una hora o dos para afinar un piano. Estimamos entonces que un afinador puede afinar cuatro o cinco pianos por día. Un piano debe afinarse cada seis meses o cada año —digamos una vez al año. Un afinador que afina cuatro pianos al día, cinco días a la semana, 50 semanas al año, puede afinar aproximadamente 1000 pianos al año. Por lo tanto, San Francisco, con sus (muy) aproximadamente 70,000 pianos, necesita cerca de 70 afinadores. Esto es, por supuesto, sólo una estimación burda.† Esto nos dice que debe haber muchos más que 10 afinadores y seguramente no tantos como 1000. * 1–7 Dimensiones y análisis dimensional Cuando hablamos de las dimensiones de una cantidad, nos referimos al tipo de unidades o cantidades básicas que la constituyen. Por ejemplo, las dimensiones de una área son siempre una longitud cuadrada, que se abrevia [L2] usando corchetes; las unidades pueden ser metros cuadrados, pies cuadrados, cm2, etcétera. Por otro lado, la velocidad puede medirse en unidades de km/h, m/s y mi/h, pero las dimensiones son siempre una longitud [L] dividida entre un tiempo [T]: es decir, [L/T]. La fórmula para una cantidad puede ser diferente en casos distintos; aunque las dimensiones permanecen iguales. Por ejemplo, el área de un triángulo de base b y altura 1 h es A = 2 bh, mientras que el área de un círculo de radio r es A  pr 2. Las fórmulas son diferentes en los dos casos, pero las dimensiones de área son siempre [L2]. Las dimensiones pueden ser útiles al establecer relaciones y a tal procedimiento se le llama análisis dimensional. Una técnica útil es el uso de las dimensiones para verificar si una relación es incorrecta. Advierta que sólo es posible sumar o restar cantidades sólo si tienen las mismas dimensiones (no sumamos centímetros más horas), y las cantidades en ambos lados de una igualdad deben tener las mismas dimensiones. (En los cálculos numéricos, las unidades deben además ser las mismas en ambos lados de una ecuación). Por ejemplo, suponga que usted obtuvo la ecuación v = v0 + 12 at2, donde v es la rapidez de un objeto después de un tiempo t, v0 es la rapidez inicial del objeto y éste sufre una aceleración a. Efectuemos una revisión dimensional para saber si esta ecua† Al consultar las páginas amarillas del directorio de San Francisco (después de este cálculo) se encontraron 50 entradas. Cada una de ellas puede emplear más de un afinador; pero por otra parte, cada uno puede también hacer reparaciones, así como afinaciones. En cualquier caso, nuestra estimación fue razonable. *Algunas secciones de este libro, como la presente, se pueden considerar opcionales a discreción del profesor y se marcan con un asterisco. Se recomienda consultar el prefacio para mayores detalles. 12 CAPÍTULO 1 Introducción, mediciones, estimaciones ción es correcta. Note que aquí los factores numéricos puros, como 12 , no tienen dimensiones. Escribimos una ecuación dimensional como sigue, recordando que las dimensiones de la rapidez son [L/T] y (como veremos en el capítulo 2) las dimensiones de la aceleración son [L/T 2]: L L L L R ⱨ B R + B 2 R CT2 D = B R + [L]. T T T T Las dimensiones son incorrectas: en el lado derecho tenemos la suma de cantidades cuyas dimensiones no son las mismas. Concluimos entonces que se cometió un error en la derivación de la ecuación original. Una comprobación dimensional sólo indica cuándo una relación es incorrecta; sin embargo, no indica si es completamente correcta. Por ejemplo, podría estar equivocado un factor numérico adimensional (como 12 o 2p). El análisis dimensional puede también usarse como una comprobación rápida de una ecuación de la cual no se esté seguro. Por ejemplo, suponga que usted no puede recordar si la ecuación para el periodo de un péndulo simple T (el tiempo que toma hacer una oscilación completa) de longitud / es T = 2p 1l兾g o T = 2p 1g兾l, donde g es la aceleración debida a la gravedad y, como todas las aceleraciones, tiene dimensiones [L/T 2]. (No se preocupe por estas fórmulas, la correcta se obtendrá en el capítulo 14; lo que nos interesa aquí es si la fórmula contiene //g o g//). Una comprobación dimensional muestra que la primera (//g) es correcta: B [T] = [L] 2 C CL兾T D = 3 CT2 D = [T], mientras que la última (g//) no lo es: CL兾T2 D 1 1 =  [T] B CT2 D Note que la constante 2p no tiene dimensiones, por lo que no se puede comprobar usando análisis dimensional si debe aparecer o no. Otros usos del análisis dimensional se encuentran en el Apéndice C. [T] Z C [L] = EJEMPLO 1–10 Longitud de Planck. La medición significativa más pequeña de longitud se denomina la “longitud de Planck” y se define en términos de tres constantes fundamentales en la naturaleza, la rapidez de la luz c  3.00 108 m/s, la constante gravitacional G  6.67 10 11 m3/kg s2 y la constante de Planck h  6.63 10 34 kg m2/s. La longitud de Planck lP (l es la letra griega “lambda”) está dada por la siguiente combinación de estas tres constantes: Gh . B c3 Demuestre que las dimensiones de lP son longitud [L] y encuentre el orden de magnitud de lP. PLANTEAMIENTO Reescribimos la ecuación anterior en términos de dimensiones. Las dimensiones de c son [L/T], de G son [L3/MT 2], y de h son [ML2/T]. SOLUCIÓN Las dimensiones de lP son lP = CL3兾MT2 D CML2兾TD C CL3兾T3 D = 3 CL2 D = [L] que es una longitud. El valor de la longitud de Planck es lP = A6.67 * 10 –11 m3兾kg s2 BA6.63 * 10–34 kg m2兾sB Gh = L 4 * 10 –35 m, 3 B c3 A3.0 * 108 m兾sB C que es del orden de magnitud de 10 34 o 10 35 m. NOTA Algunas teorías recientes (capítulos 43 y 44) sugieren que las partículas más pequeñas (quarks y leptones) tienen tamaños del orden de la longitud de Planck, 10 35 m. Dichas teorías también sugieren que el “Big Bang” —que se cree dio origen al Universo— empezó desde un tamaño inicial del orden de la longitud de Planck. *SECCIÓN 1–7 Dimensiones y análisis dimensional 13 Resumen Las mediciones juegan un papel crucial en la física, aunque nunca son perfectamente precisas. Es importante especificar la incertidumbre de una medición, ya sea estableciéndola directamente usando la notación y/o manteniendo sólo el número correcto de cifras significativas. Las cantidades físicas siempre se especifican respecto a un estándar particular o unidad, y la unidad usada siempre debe indicarse. El conjunto de unidades comúnmente aceptadas actualmente es el Sistema Internacional (SI), en el que las unidades estándar de longitud, masa y tiempo son el metro, el kilogramo y el segundo. Al convertir unidades, compruebe todos los factores de conversión para tener una cancelación correcta de unidades. Efectuar estimaciones del orden de magnitud burdas es una técnica muy útil tanto en la ciencia como en la vida cotidiana. [*Las dimensiones de una cantidad se refieren a la combinación de cantidades básicas que la constituyen. Por ejemplo, la velocidad tiene dimensiones de [longitud/tiempo] o [L/T]. El análisis dimensional sirve para comprobar la forma correcta de una relación]. [En este libro el resumen que viene al final de cada capítulo ofrece un breve panorama general de las principales ideas del capítulo. El resumen no sirve para lograr una comprensión del material, lo que sólo es posible obtener mediante la lectura detallada del capítulo]. La física, al igual que otras ciencias, es una empresa creativa; no es simplemente una colección de hechos. Las teorías importantes se crean con la idea de explicar las observaciones. Para ser aceptadas, las teorías se ponen a prueba, mediante la comparación de sus predicciones con los resultados de experimentos reales. Note que por lo general, una teoría no puede “probarse” en un sentido absoluto. Los científicos a menudo idean modelos de fenómenos físicos. Un modelo es un tipo de imagen o analogía que ayuda a explicar los fenómenos en términos de algo que ya conocemos. Una teoría, con frecuencia derivada de un modelo, es usualmente más profunda y más compleja que un modelo simple. Una ley científica es un enunciado conciso, a menudo expresado en forma de una ecuación, que describe cuantitativamente una amplia gama de fenómenos. Preguntas 1. ¿Cuáles son las ventajas y las desventajas de usar el pie de una persona como estándar? Considere a) el pie de una persona en particular y b) el pie de cualquier persona. Tenga en cuenta que es conveniente que los estándares fundamentales sean accesibles (fáciles de comparar), invariables (sin cambio), reproducibles e indestructibles. 2. ¿Por qué es incorrecto pensar que cuantos más dígitos se utilicen en una respuesta, más exacta será? 3. Al viajar por una carretera en las montañas, usted puede encontrar letreros de elevación como “914 m (3000 ft)”. Quienes critican el sistema métrico afirman que tales números muestran que el sistema métrico es más complicado. ¿Cómo debería usted alterar esos letreros para ser más consistentes con un cambio al sistema métrico? 4. ¿Qué está equivocado en esta señal de carretera? Memphis 7 mi (11.263 km)? 5. Para que una respuesta esté completa, es necesario especificar las unidades. ¿Por qué? 6. Explique cómo podría usar la noción de simetría para estimar el número de canicas en un recipiente de un litro. 7. Usted mide el radio de una rueda y obtiene 4.16 cm. Si multiplica por 2 para obtener el diámetro, ¿debe escribir el resultado como 8 cm o como 8.32 cm? Explique su respuesta. 8. Exprese el seno de 30.0° con el número correcto de cifras significativas. 9. Una receta para suflé especifica que la medición de los ingredientes debe ser exacta, o el suflé no se levantará. La receta pide seis huevos grandes. El tamaño de los “huevos grandes” varía en un 10% de acuerdo con las especificaciones del Departamento de Agricultura de Estados Unidos. ¿Qué quiere decir con esto acerca de cuán exactas deben ser las mediciones de los otros ingredientes? 10. Elabore una lista de suposiciones útiles para estimar el número de mecánicos automotrices en a) San Francisco, b) su ciudad natal, y haga luego las estimaciones. 11. Sugiera una forma de medir la distancia de la Tierra al Sol. * 12. ¿Puede usted establecer un conjunto completo de cantidades básicas, como en la tabla 1-5, que no incluya la longitud como una de ellas? Problemas [Los problemas al final de cada capítulo están clasificados como I, II o III, de acuerdo con su nivel de dificultad, siendo los problemas I los más sencillos. Los problemas de nivel III se presentan especialmente como un desafío para que los estudiantes puedan obtener “créditos adicionales”. Los problemas están ubicados por secciones, lo cual significa que el lector deberá leer esa sección; pero no sólo esa sección, ya que los problemas a menudo incluyen material de secciones previas. Cada capítulo tiene también un grupo de problemas generales que no están ordenados por sección ni están clasificados por grado de dificultad]. 1–3 Medición e incertidumbre; cifras significativas (Nota: En los problemas se supone que un número como 6.4 es exacto hasta 0.1; y que 950 es 10 a menos que se diga que es “precisamente” o “muy cercanamente” 950, en cuyo caso se supone 950 1). 1. (I) Se cree que la edad del Universo es de aproximadamente 14 mil millones de años. Con dos cifras significativas, escriba esa edad en potencias de diez en a) años, y b) segundos. 14 CAPÍTULO 1 Introducción, mediciones, estimaciones 2. (I) Cuántas cifras significativas tiene cada uno de los siguientes números: a) 214, b) 81.60, c) 7.03, d) 0.03, e) 0.0086, f) 3236 y g) 8700? 3. (I) Escriba los siguientes números en potencias de diez: a) 1.156, b) 21.8, c) 0.0068, d) 328.65, e) 0.219 y f) 444. 4. (I) Escriba completos los siguientes números con el número correcto de ceros: a) 8.69 104, b) 9.1 103, c) 8.8 10 1, d) 4.76 102 y e) 3.62 10 5. 5. (II) ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en la medición 5.48 0.25 m? 6. (II) En general los intervalos de tiempo medidos con un cronómetro tienen una incertidumbre de aproximadamente 0.2 s, debido al tiempo de reacción humana en los momentos de arranque y detención. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual de una medición cronometrada a mano de a) 5 s, b) 50 s, c) 5 min? 7. (II) Sume A9.2 * 103 sB + A8.3 * 104 sB + A0.008 * 106 sB. 8. (II) Multiplique 2.079 102 m por 0.082 10 1, tomando en cuenta cifras significativas. 9. (III) Para ángulos u pequeños, el valor numérico de sen u es aproximadamente igual al valor numérico de tan u. Determine el ángulo mayor para el cual coinciden seno y tangente en dos cifras significativas. 10. (III) ¿Cuál es aproximadamente la incertidumbre porcentual en el volumen de un balón de playa esférico, cuyo radio es r  0.84 0.04 m? 28. (II) Estime cuánto tiempo le tomaría a una persona podar el césped de un campo de fútbol usando una podadora casera ordinaria (figura 1-11). Suponga que la podadora se mueve con una rapidez de 1 km/h y tiene un ancho de 0.5 m. 1–4 y 1–5 Unidades, estándares y el sistema SI, conversión de unidades 11. (I) Escriba los siguientes números (decimales) completos con unidades estándar: a) 286.6 mm, b) 85 μV, c) 760 mg, d) 60.0 ps, e) 22.5 fm (femtómetros), f ) 2.50 gigavolts. 12. (I) Exprese lo siguiente usando los prefijos de la tabla 1-4: a) 1 106 volts, b) 2 10–6 metros, c) 6 103 días, d) 18 102 dólares y e) 8 10–8 segundos. 13. (I) Determine su altura en metros y su masa en kilogramos. 14. (I) El Sol está en promedio a 93 millones de millas de la Tierra. ¿A cuántos metros equivale esto? Expréselo a) usando potencias de diez y b) usando un prefijo métrico. 15. (II) ¿Cuál es el factor de conversión entre a) ft2 y yd2, b) m2 y ft2? 16. (II) Si un avión viaja a 950 km/h, ¿cuánto tiempo le tomará recorrer 1.00 km? 17. (II) Un átomo típico tiene un diámetro de aproximadamente 1.0 10 10 m. a) ¿Cuánto es esto en pulgadas? b) ¿Cuántos átomos hay aproximadamente en una línea de 1.0 cm? 18. (II) Exprese la siguiente suma con el número correcto de cifras significativas: 1.80 m  142.5 cm  5.34 105 μm. 19. (II) Determine el factor de conversión entre a) km/h y mi/h, b) m/s y ft/s, y c) km/h y m/s. 20. (II) ¿Cuánto más larga (en porcentaje) es una carrera de una milla, que una carrera de 1500 m (“la milla métrica”)? 21. (II) Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año (a una rapidez  2.998 108 m/s). a) ¿Cuántos metros hay en 1.00 año luz? b) Una unidad astronómica (UA) es la distancia promedio entre el Sol y la Tierra, esto es, 1.50 108 km. ¿Cuántas UA hay en 1.00 año luz? c) ¿Cuál es la rapidez de la luz en UA/h? 22. (II) Si usted utiliza sólo un teclado para introducir datos, ¿cuántos años se tardaría en llenar el disco duro de su computadora, el cual puede almacenar 82 gigabytes (82 109 bytes) de datos? Suponga días laborables “normales” de ocho horas, que se requiere un byte para almacenar un carácter del teclado y que usted puede teclear 180 caracteres por minuto. 23. (III) El diámetro de la Luna es de 3480 km. a) ¿Cuál es el área superficial de la Luna? b) ¿Cuántas veces más grande es el área superficial de la Tierra? 1–6 Orden de magnitud; estimación rápida (Nota: Recuerde que para estimaciones burdas, sólo se requieren números redondos, tanto para los datos de entrada como para los resultados finales). 24. (I) Estime el orden de magnitud (potencias de diez) de: a) 2800, b) 86.30 102, c) 0.0076 y d) 15.0 108. 25. (II) Estime cuántos libros se pueden almacenar en una biblioteca universitaria con 3500 m2 de espacio en la planta. Suponga que hay ocho anaqueles de alto, que tienen libros en ambos lados, con corredores de 1.5 de ancho. Los libros tienen, en promedio, el tamaño de éste. 26. (II) Estime el tiempo que le tomaría a un corredor recorrer (a 10 km/h) de Nueva York a California. 27. (II) Estime el número de litros de agua que un ser humano bebe durante su vida. FIGURA 1–11 Problema 28. 29. (II) Estime el número de dentistas a) en San Francisco y b) en su ciudad natal. 30. (III) El hule desgastado en los neumáticos entra a la atmósfera como un contaminante particular. Estime cuánto hule (en kg) entra al aire en Estados Unidos cada año. Una buena estimación para la profundidad del dibujo de un neumático nuevo es de 1 cm, y el hule tiene una masa aproximada de 1200 kg por cada m3 de volumen. 31. (III) Usted está en un globo de aire caliente a 200 m por encima de una llanura plana tejana y mira hacia el horizonte. ¿Qué tan lejos puede ver, es decir, qué tan lejos está su horizonte? El radio de la Tierra es de 6400 km aproximadamente. 32. (III) Yo decido contratarlo a usted durante 30 días y usted puede decidir entre dos posibles formas de pago: ya sea 1. $1000 por día, o 2. un centavo el primer día, dos centavos el segundo día y así sucesivamente, duplicando diariamente su paga diaria hasta el día 30. Use una estimación rápida para tomar su decisión y justifíquela. 33. (III) Muchos veleros se amarran a un puerto deportivo a 4.4 km de la orilla de un lago. Usted mira fijamente hacia uno de los veleros porque, cuando se encuentra tendido en posición horizontal en la playa, sólo puede ver la cubierta, pero ningún lado del velero. Luego usted va al velero al otro lado del lago y mide que la cubierta está a 1.5 m por encima del nivel del agua. Usando la figura 1-12, donde h  1.5 m, estime el radio d R de la Tierra. Lago FIGURA 1–12 Problema 33. Usted observa un velero a través del lago (no está a escala). R es el radio de la Tierra. Usted está a una distancia d  4.4 km del velero cuando usted puede ver sólo la cubierta y no su lado. A causa de la curvatura de la Tierra, el agua “se interpone” entre usted y el velero. h Tierra R R 34. (III) Otro experimento donde usted puede utilizar el radio de la Tierra. El Sol se pone —desaparece por completo en el horizonte— cuando usted está recostado en la playa con los ojos a 20 cm de la arena. Usted se levanta de inmediato y sus ojos quedan a ahora a 150 cm sobre la arena y puede ver de nuevo la parte superior de ese astro. Si luego cuenta el número de segundos ( t) hasta que el Sol desaparece por completo otra vez, usted puede estimar el radio de la Tierra. Pero para este problema, utilice el radio de la Tierra conocido y calcule el tiempo t. Problemas 15 * 1–7 Dimensiones y análisis dimensional * 35. (I) ¿Cuáles son las dimensiones de densidad, definida como ma- * 38. (II) Demuestre que la siguiente combinación de las tres cons- sa entre volumen? * 36. (II) La rapidez v de un cuerpo está dada por la ecuación v  Bt, donde t representa el tiempo. a) ¿Cuáles son las diAt3 mensiones de A y B? b) ¿Cuáles son las unidades SI para las constantes A y B? * 37. (II) Tres estudiantes obtienen las siguientes ecuaciones, donde x se refiere a la distancia recorrida, v a la rapidez, a a la aceleración (m/s2), t al tiempo y el subíndice (0) significa una cantidad en el tiempo t  0: a) x  vt2  2at, b) x = v0 t + 12 at2 y c) x  v0t  2at2. ¿Cuál de estas ecuaciones es correcta de acuerdo con una comprobación dimensional? tantes fundamentales de la naturaleza que usamos en el ejemplo 1-10 (que son G, c y h) forma una cantidad con las dimensiones de tiempo: tP = Gh . B c5 Esta cantidad, tP, se denomina tiempo de Planck, y se considera el tiempo más temprano, después de la creación del Universo, en el que se pudieran aplicar las leyes de la física actualmente conocidas. Problemas generales 39. Los satélites de posicionamiento global (GPS, por las siglas de global positioning satellites) se usan para determinar posiciones con gran exactitud. Si uno de los satélites está a una distancia de 20,000 km de usted, ¿qué incertidumbre porcentual en la distancia representa una incertidumbre de 2 m? ¿Cuál es el número de cifras significativas implíicito en la distancia? 40. Los chips de computadora (figura 1-13) se graban en obleas circulares de silicio que tienen un grosor de 0.300 mm, que se rebanan de un cristal de silicio sólido cilíndrico de 25 cm de longitud. Si cada oblea puede contener 100 chips, ¿cuál es el número máximo de chips que se pueden producir con un cilindro completo? 48. Estime el número de bolitas de goma de mascar contenidas en la máquina de la figura 1-14. FIGURA 1–14 Problema 48. Estime el número de bolitas de goma de mascar en la máquina. FIGURA 1–13 Problema 40. La oblea sostenida por la mano (arriba) se muestra abajo, amplificada e iluminada por luz de colores. Se ven las filas de circuitos integrados (chips). 41. a) ¿Cuántos segundos hay en 1.00 año? b) ¿Cuántos nanosegundos hay en 1.00 año? c) ¿Cuántos años hay en 1.00 segundo? 42. El fútbol americano se practica en un campo de 100 yardas de longitud; en tanto que el campo del fútbol soccer mide 100 m de largo. ¿Qué campo es más grande y qué tanto (dé yardas, metros y porcentaje)? 43. Comúnmente el pulmón de un adulto humano contiene cerca de 300 millones de cavidades diminutas llamadas alvéolos. Estime el diámetro promedio de un solo alveolo. 44. Una hectárea se define como 1.000 104 m2. Un acre tiene 4.356 104 ft2. ¿Cuántos acres hay en una hectárea? 45. Estime el número de galones de gasolina consumidos por todos los automóviles que circulan en Estados Unidos durante un año. 46. Use la tabla 1-3 para estimar el número total de protones o de neutrones en a) una bacteria, b) una molécula de ADN, c) el cuerpo humano, d) nuestra galaxia. 47. Una familia común de cuatro personas usa aproximadamente 1200 L (cerca de 300 galones) de agua por día (1 L  1000 cm3). ¿Qué profundidad perdería un lago cada año si cubriera uniformemente una área de 50 km2 y abasteciera a una población local de 40,000 personas? Considere sólo el uso del agua por la población, despreciando la evaporación y otros factores. 16 CAPÍTULO 1 Introducción, mediciones, estimaciones 49. Estime cuántos kilogramos de jabón para lavandería se utilizan en Estados Unidos durante un año (y que, por lo tanto, las lavadoras descargan al drenaje junto con el agua sucia). Suponga que cada carga da lavandería lleva 0.1 kg de jabón. 50. ¿Qué tan grande es una tonelada? Es decir, ¿cuál es el volumen de algo que pesa una tonelada? Para ser específicos, estime el diámetro de una roca de 1 tonelada, pero primero haga una conjetura: ¿será de 1 ft de ancho, de 3 ft o del tamaño de un vehículo? [Sugerencia: La roca tiene una masa por unidad de volumen de aproximadamente 3 veces la del agua, que es de 1 kg por litro (103 cm3) o de 62 lb por pie cúbico]. 51. Un disco compacto (CD) de audio contiene 783.216 megabytes de información digital. Cada byte consiste en exactamente 8 bits. Cuando se toca el CD, el reproductor lee la información digital a una taza constante de 1.4 megabytes por segundo. ¿Cuántos minutos le llevará al reproductor leer el CD completo? 52. Sostenga un lápiz frente a sus ojos en una posición tal que su extremo romo tape a la Luna (figura 1-15). Haga mediciones adecuadas para estimar el diámetro de la Luna y considere que la distancia de la Tierra a la Luna es de 3.8 105 km. FIGURA 1–15 Problema 52. ¿Qué tan grande es la Luna? 53. Una fuerte lluvia descarga 1.0 cm de agua sobre una ciudad de 5 km de ancho y 8 km de largo durante un periodo de 2 horas. ¿Cuántas toneladas métricas (1 tonelada métrica  103 kg) de agua cayeron sobre la ciudad? (1 cm3 de agua tiene una masa de 1 g  10 3 kg.) ¿Cuántos galones de agua fueron? 54. El arca de Noé debía tener 300 codos de largo, 50 codos de ancho y 30 codos de alto. El codo era una unidad de medida igual a la longitud de un brazo humano, es decir, del codo a la punta del dedo más largo. Exprese las dimensiones del arca en metros y estime su volumen (m3). 55. Estime cuánto tiempo tomaría caminar alrededor del mundo, suponiendo que se caminan 10 h por día a 4 km/h. 56. Un litro (1000 cm3) de aceite se derrama sobre un lago tranquilo. Si el aceite se dispersa uniformemente hasta que se forma una película de una molécula de espesor, con las moléculas adyacentes apenas tocándose, estime el diámetro de la película de aceite. Suponga que la molécula de aceite tiene un diámetro de 2 10 10 m. 57. Juan acampa al lado de un río y se pregunta qué ancho tiene éste. Él observa una gran roca en la orilla directamente opuesta a él; luego camina aguas arriba hasta que juzga que el ángulo entre él y la roca, a la que todavía puede ver claramente, está ahora a un ángulo de 30° aguas abajo (figura 1-16). Juan estima que sus pasos son aproximadamente de una yarda de longitud. La distancia de regreso a su campamento es de 120 pasos. ¿Qué tan lejos esta el río, tanto en yardas co30° mo en metros? FIGURA 1–16 Problema 57. 120 pasos 58. Un fabricante de relojes afirma que sus relojes ganan o pierden no más de 8 segundos al año. ¿Qué tan exactos son sus relojes? Exprese el resultado como porcentaje. 59. Un angstrom (símbolo: Å) es una de longitud, definida como 10 10 m, que está en el orden del diámetro de un átomo. a) ¿Cuántos nanómetros hay en 1.0 angstrom? b) ¿Cuántos femtómetros o fermis (la unidad común de longitud en física nuclear) hay en 1.0 angstrom? c) ¿Cuántos angstroms hay en 1.0 m? d) ¿Cuántos angstroms hay en 1.0 año luz (véase el problema 21)? 60. El diámetro de la Luna es de 3480 km. ¿Cuál es su volumen? ¿Cuántas Lunas se requerirían para crear un volumen igual al de la Tierra? 61. Determine la incertidumbre porcentual en u y en sen u, cuando a) u  15.0° 0.5°, b) u  75.0° 0.5°. 62. Si usted comenzó a caminar a lo largo de una de las líneas de longitud de la Tierra y siguió hasta que hubo un cambio de latitud en un minuto de arco (hay 60 minutos por grado), ¿qué tan lejos habrá caminado usted (en millas)? A esta distancia se le llama “milla náutica”. 63. Haga una estimación burda del volumen de su cuerpo (en cm3). 64. Estime el número de conductores de autobuses a) en Washington, D. C., y b) en su ciudad. 65. La Asociación Pulmonar Estadounidense da la siguiente fórmula para la capacidad pulmonar esperada V de una persona común (en litros, donde 1 L  103 cm3): V = 4.1 H - 0.018 A - 2.69, 66. 67. 68. 69. donde H y A son la altura de la persona (en metros) y la edad (en años), respectivamente. En esta fórmula ¿cuáles son las unidades de los números 4.1, 0.018 y 2.69? La densidad de un objeto se define como su masa dividida entre su volumen. Suponga que la masa y el volumen de una roca se miden en 8 g y 2.8325 cm3. Determine la densidad de la roca con el número correcto de cifras significativas. Con el número correcto de cifras significativas, utilice la información en los forros de este libro para determinar la razón de a) el área superficial de la Tierra en comparación con el área superficial de la Luna; b) el volumen de la Tierra comparado con el volumen de la Luna. Un mol de átomos consiste en 6.02 1023 átomos individuales. Si un mol de átomos se esparciera uniformemente sobre la superficie de la Tierra, ¿cuántos átomos habría por metro cuadrado? Hallazgos de investigación recientes en astrofísica sugieren que el Universo observable puede modelarse como una esfera de radio R  13.7 109 años luz con una densidad de masa promedio de aproximadamente 1 10 26 kg/m3, donde sólo cerca del 4% de la masa total del Universo se debe a materia “ordinaria” (como protones, neutrones y electrones). Utilice esta información para estimar la masa total de materia ordinaria en el Universo observable. (1 año luz  9.46 1015 m). Respuestas a los ejercicios A: d). B: No: tienen 3 y 2 respectivamente. C: Los tres tienen tres cifras significativos, aunque el número de lugares decimales es a) 2, b) 3, c) 4. D: a) 2.58 * 10–2, 3; b) 4.23 * 104, 3 (probablemente); c) 3.4450 * 102, 5. E: Mt. Everest, 29,035 ft; K2, 28,251 ft; Kangchenjunga, 28,169 ft. F: No: 15 m兾s L 34 mi兾h. Problemas generales 17 Un auto de carreras suelta un paracaídas para reducir su rapidez lo antes posible. Los sentidos de la velocidad y la aceleraB B ción del automóvil se muestran con las flechas Av B y Aa B . El movimiento se describe usando los conceptos de velocidad y aceleración. Note que en este caso, la aceB leración a está en sentido opuesto a B la velocidad v, lo cual significa que el objeto desacelera. En este capítulo estudiaremos con detalle el movimiento con aceleración constante, incluyendo el movimiento vertical de objetos que caen debido a la acción de la gravedad. q a q v C A U L Í T O P 2 Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión PREGUNTA DE INICIO DE CAPÍTULO: ¡Adivine ahora! CONTENIDO 2–1 Marcos de referencia y desplazamiento 2–2 2–3 2–4 2–5 Velocidad promedio Velocidad instantánea Aceleración Movimiento con aceleración constante 2–6 Resolución de problemas 2–7 Caída libre de objetos *2–8 Aceleración variable; cálculo integral *2–9 Análisis gráfico e integración numérica 18 [No se preocupe por obtener la respuesta correcta de inmediato —tendrá otra oportunidad para responder la pregunta más adelante en este capítulo. Véase la pág. 1 del capítulo 1 para una mayor explicación]. Dos pequeñas esferas pesadas tienen el mismo diámetro, pero una pesa el doble que la otra. Las esferas se sueltan desde el balcón de un segundo piso exactamente al mismo tiempo. El tiempo para caer al suelo será: a) el doble para la esfera más ligera en comparación con la más pesada. b) mayor para la esfera más ligera, pero no del doble. c) el doble para la esfera más pesada en comparación con la más ligera. d) mayor para la esfera más pesada, pero no del doble. e) casi el mismo para ambas esferas. E l movimiento de los objetos (pelotas de béisbol, automóviles, corredores, e incluso el Sol y la Luna) es una parte evidente de la vida cotidiana. No fue sino hasta los siglos XVI y XVII que se estableció nuestra comprensión moderna del movimiento. Muchas personas contribuyeron con ese entendimiento, particularmente Galileo Galilei (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727). El estudio del movimiento de los objetos, así como de los conceptos relacionados de fuerza y energía, forman el campo de la mecánica. La mecánica a la vez suele dividirse en dos partes: cinemática, que es la descripción de cómo se mueven los objetos; y dinámica, que trata con el concepto de fuerza y las causas del movimiento de los objetos. Este capítulo y el siguiente tratan la cinemática. Comenzaremos estudiando los objetos que se mueven sin girar (figura 2-1a). Tal movimiento se llama movimiento traslacional. En el presente capítulo el enfoque estará en la descripción de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta, es decir, un movimiento traslacional unidimensional. En el capítulo 3 estudiaremos cómo describir el movimiento traslacional en dos (o tres) dimensiones a lo largo de trayectorias que no son rectas. A menudo usaremos el concepto, o modelo, de partícula idealizada, que se considera como un punto matemático sin extensión espacial (sin tamaño). Una partícula puede tener sólo movimiento traslacional. El modelo de partícula es útil en muchas situaciones reales, donde nos interesa sólo un movimiento traslacional y no es importante el tamaño del objeto. Por ejemplo, para muchos fines, podríamos considerar una bola de billar, o incluso una nave espacial que viaja hacia la Luna, como una partícula. 2–1 Marcos de referencia y desplazamiento Toda medición de posición, distancia o rapidez debe realizarse con respecto a un marco de referencia. Por ejemplo, suponga que mientras usted viaja en un tren a 80 km/h, ve a una persona que camina por el pasillo hacia el frente del tren con rapidez, digamos, de 5 km/h (figura 2-2), que es la rapidez de la persona con respecto al tren como marco de referencia. Sin embargo, con respecto al suelo, esa persona se mueve con una rapidez de 80 km/h  5 km/h  85 km/h. Siempre es importante especificar el marco de referencia al indicar una rapidez. En la vida diaria, por lo general al hablar de una rapidez implícitamente queremos decir “con respecto a la Tierra”, pero el marco de referencia debe especificarse siempre que pueda haber confusiones. a) b) FIGURA 2–1 La piña en a) sufre traslación pura al caer, mientras que en b) gira al mismo tiempo que se traslada. FIGURA 2–2 Una persona camina hacia el frente de un tren a 5 km/h. El tren se mueve a 80 km/h con respecto al suelo, por lo que la rapidez de la persona, relativa al suelo, es de 85 km/h. Al especificar el movimiento de un objeto, es importante indicar no sólo la rapidez, sino también la dirección del movimiento. A menudo podemos indicar dirección o sentido de un movimiento usando los puntos cardinales norte, sur, este y oeste, y con las instrucciones “hacia arriba” y “hacia abajo”. En física con frecuencia se dibuja un sistema de ejes coordenados, como se muestra en la figura 2-3, para representar un marco de referencia. Siempre podemos elegir la posición del origen (0) y el sentido de los ejes x y y como mejor nos convenga. Los ejes x y y siempre son perpendiculares entre sí. Los objetos situados a la derecha del origen de coordenadas (0) sobre el eje x tienen una coordenada x que usualmente se considera positiva; del mismo modo, los puntos situados a la izquierda del 0 usualmente tienen una coordenada x negativa. La posición a lo largo del eje y se considera usualmente positiva arriba del 0, y negativa abajo del 0; aunque la convención contraria podría usarse si así conviene. Cualquier punto sobre el plano se especifica dando las coordenadas x y y. En tres dimensiones, se agrega un eje z que es perpendicular a ambos ejes x y y. Para el movimiento unidimensional, a menudo elegimos el eje x como la línea a lo largo de la cual se lleva a cabo el movimiento. La posición de un objeto en cualquier momento se define como el valor de su coordenada x. Si el movimiento es vertical, como en el caso de un objeto que cae, por lo general usamos el eje y. SECCIÓN 2–1 FIGURA 2–3 Sistema estándar de ejes coordenados xy. +y −x 0 +x −y Marcos de referencia y desplazamiento 19 C U I D A D O El desplazamiento puede que no sea igual a la distancia recorrida y 70 m 40 m Oeste 0 30 m x Este Desplazamiento FIGURA 2–4 Una persona camina 70 m hacia el este y luego 30 m hacia el oeste. La distancia total recorrida es 100 m (el camino recorrido se muestra con la línea punteada negra); pero el desplazamiento, que se muestra con una flecha más gruesa, es de 40 m hacia el este. FIGURA 2–5 La flecha representa el desplazamiento x2 – x1. Las distancias están en metros. y x2 x1 0 10 y x1 x x 10 20 30 40 Distancia (m) donde el símbolo ¢ (letra griega delta) significa “cambio en”. Así que ¢x significa “el cambio en x” o “cambio en la posición”, que es el desplazamiento. Advierta que el “cambio en” cualquier cantidad, significa el valor final de esa cantidad, menos el valor inicial. Suponga que x1  10.0 m y x2  30.0 m. Entonces, ¢x = x2 - x1 = 30.0 m - 10.0 m = 20.0 m, por lo que el desplazamiento es de 20.0 m en la dirección positiva (véase la figura 2-5). Ahora considere un objeto que se mueve hacia la izquierda, como se muestra en la figura 2-6. En este caso, una persona inicia su movimiento en x1  30.0 m y camina hacia la izquierda hasta la posición x2  10.0 m. De modo que su desplazamiento es FIGURA 2–6 Para un desplazamiento x  x2 – x1  10.0 m – 30.0 m, el vector desplazamiento apunta hacia la izquierda. 0 ¢x = x2 - x1 , x 20 30 40 Distancia (m) x2 Es necesario hacer una distinción entre la distancia recorrida por un objeto y su desplazamiento, el cual se define como el cambio de posición del objeto. Es decir, el desplazamiento muestra qué tan lejos está el objeto del punto de partida. Para ver la distinción entre distancia total y desplazamiento, imagine una persona que camina 70 m hacia el este y que luego regresa al oeste una distancia de 30 m (véase la figura 2-4). La distancia total recorrida es de 100 m, pero el desplazamiento es sólo de 40 m, ya que la persona está ahora a sólo 40 m del punto de partida. El desplazamiento es una cantidad que tiene magnitud y dirección. Tales cantidades se llaman vectores y se representan usando flechas en los diagramas. Por ejemplo, en la figura 2-4, la flecha gruesa representa el desplazamiento, cuya magnitud es de 40 m y cuya dirección es hacia la derecha (este). En el capítulo 3 veremos los vectores con mayor detalle. Por ahora, trataremos sólo el movimiento de una partícula en una dimensión, a lo largo de una línea. En este caso, los vectores que señalen en una dirección tendrán un signo positivo, además de su magnitud; mientras que los vectores que señalen en sentido opuesto tendrán un signo negativo, además de su magnitud. Considere el movimiento de un objeto durante un intervalo de tiempo dado. Suponga que en un momento inicial, llamado t1, el objeto está sobre el eje x en una posición x1 del sistema coordenado que se muestra en la figura 2-5. En algún tiempo posterior, t2, suponga que el objeto se ha movido a una posición x2. El desplazamiento del objeto es x2 x1 y se representa mediante la flecha gruesa que apunta hacia la derecha en la figura 2-5. Es conveniente escribir ¢x = x2 - x1 = 10.0 m - 30.0 m = –20.0 m, que está representado por la flecha agruesa que señala hacia la izquierda (figura 2-6). Para el movimiento unidimensional a lo largo del eje x, un vector que señala hacia la derecha tiene un signo positivo; en tanto que un vector que señala hacia la izquierda tiene un signo negativo. EJERCICIO A Una hormiga inicia su movimiento en x  20 cm sobre una hoja de papel cuadriculado y camina a lo largo del eje x hasta x  20 cm. Luego se regresa y camina hasta x  10 cm. ¿Cuál es el desplazamiento de la hormiga y la distancia total recorrida? 2–2 Velocidad promedio El aspecto más evidente del movimiento de un objeto es qué tan rápido se mueve, es decir, su rapidez o velocidad. El término “rapidez” se refiere a qué tan lejos viaja un objeto en un intervalo de tiempo dado, independientemente de la dirección y el sentido del movimiento. Si un automóvil recorre 240 kilómetros (km) en 3 horas (h), decimos que su rapidez promedio fue de 80 km/h. En general, la rapidez promedio de un objeto se define como la distancia total recorrida a lo largo de su trayectoria, dividida entre el tiempo que le toma recorrer esa trayectoria: rapidez promedio = distancia recorrida . tiempo transcurrido (2–1) Los términos “velocidad” y “rapidez” a menudo se utilizan indistintamente en el lenguaje cotidiano. Sin embargo, en física hacemos una distinción entre ambos. La rapidez es simplemente un número positivo con unidades. Por otro lado, el término velocidad se usa 20 CAPÍTULO 2 Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión para indicar tanto la magnitud (es decir, el valor numérico) de qué tan rápido se mueve un objeto, como la dirección en la que se mueve. (Por lo tanto, la velocidad es un vector). Existe una segunda diferencia entre rapidez y velocidad; a saber, la velocidad promedio se define en términos del desplazamiento, en vez de la distancia total recorrida: velocidad promedio = desplazamiento tiempo transcurrido = posición final - posición inicial . tiempo transcurrido La rapidez promedio y la velocidad promedio tienen la misma magnitud cuando todo el movimiento ocurre en la misma dirección y sentido. En otros casos, pueden diferir: recuerde la caminata que describimos antes, en la figura 2-4, donde una persona caminó 70 m al este y luego 30 m al oeste. La distancia total recorrida fue de 70 m  30 m  100 m, pero el desplazamiento fue de 40 m. Suponga que esta caminata duró en total 70 s. Entonces, la rapidez promedio fue: C U I D A D O La rapidez promedio no es necesariamente igual a la magnitud de la velocidad promedio 100 m distancia = = 1.4 m兾s. tiempo transcurrido 70 s Por otro lado, la magnitud de la velocidad promedio fue: desplazamiento 40 m = = 0.57 m兾s. tiempo transcurrido 70 s Esta diferencia entre la rapidez y la magnitud de la velocidad puede ocurrir cuando se calculan valores promedio. En general para analizar el movimiento unidimensional de un objeto, suponga que en un momento dado llamado t1, el objeto está en la posición x1 del eje x de un sistema coordenado, y que en un tiempo posterior t2, el objeto se ha movido a la posición x2. El tiempo transcurrido es Δt  t2 t1 y durante este intervalo de tiempo el desplazamiento del objeto fue x  x2 x1. La velocidad promedio, definida como el desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido, puede escribirse como x2 - x1 ¢x , (2–2) = v– = t2 - t1 ¢t donde v representa velocidad y la barra ( ) sobre la v es un símbolo estándar que significa “promedio”. (Algunos autores la llaman también “velocidad media”). Para el caso usual del eje x dirigido hacia la derecha, note que si x2 es menor que x1, el objeto se mueve hacia la izquierda y, entonces, x  x2 x1 es menor que cero. El signo del desplazamiento, y por consiguiente el signo de la velocidad promedio, indica entonces la dirección y el sentido del movimiento: la velocidad promedio es positiva si el objeto se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x, y es negativa cuando el objeto se mueve hacia la izquierda, a lo largo del eje x. La dirección de la velocidad promedio es siempre la misma que la del desplazamiento. Advierta que siempre es importante elegir (y especificar) el tiempo transcurrido o intervalo de tiempo, t2 t1, es decir, el tiempo que transcurre durante nuestro periodo de observación elegido. EJEMPLO 2–1 Velocidad promedio de un corredor. La posición de un corredor en función del tiempo se grafica conforme se mueve a lo largo del eje x de un sistema coordenado. Durante un intervalo de tiempo de 3.00 s, la posición del corredor cambia de x1  50.0 m a x2  30.5 m, como se muestra en la figura 2-7. ¿Cuál fue la velocidad promedio del corredor? R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Los signos + o se usan para indicar la dirección de un movimiento lineal FIGURA 2–7 Ejemplo 2-1. Una persona corre de x1  50.0 m a x2  30.5 m. El desplazamiento es 19.5 m. PLANTEAMIENTO Se necesita encontrar la velocidad promedio, que equivale al desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido. SOLUCIÓN El desplazamiento es x  x2 x1  30.5 m 50.0 m  19.5 m. El tiempo transcurrido, o intervalo de tiempo, es t = 3.00 s. Por lo tanto, la velocidad promedio es ¢x –19.5 m = = –6.50 m兾s. ¢t 3.00 s El desplazamiento y la velocidad promedio son negativos, lo cual nos indica que el corredor se mueve hacia la izquierda a lo largo del eje x, como señala la flecha en la figura 2-7. Así, afirmaremos que la velocidad promedio del corredor es de 6.50 m/s hacia la izquierda. v– y Final (x 2) = SECCIÓN 2–2 Inicio (x1) x 0 x 10 20 30 40 50 60 Distancia (m) Velocidad promedio 21 EJEMPLO 2–2 Distancia recorrida por un ciclista. ¿Qué distancia puede recorrer un ciclista en 2.5 h a lo largo de un camino recto, si su velocidad promedio es de 18 km/h? PLANTEAMIENTO Se requiere encontrar la distancia recorrida, de manera que se despeja x de la ecuación 2.2. – ¢ t, y encontramos SOLUCIÓN Reescribimos la ecuación 2-2 como ¢x = v ¢x = v– ¢t = (18 km兾h)(2.5 h) = 45 km. EJERCICIO B Un automóvil viaja a una rapidez constante de 50 km/h durante 100 km. Luego acelera a 100 km/h y recorre otros 100 km. ¿Cuál es la rapidez promedio de su viaje de 200 km? a) 67 km/h; b) 75 km/h; c) 81 km/h; d) 50 km/h. 2–3 Velocidad instantánea Si usted conduce un automóvil a lo largo de un camino recto de 150 km en 2.0 h, la magnitud de su velocidad promedio es de 75 km/h. Sin embargo, es improbable que se haya desplazado precisamente a 75 km/h en cada instante. Para describir esta situación, necesitamos el concepto de velocidad instantánea, que es la velocidad en cualquier instante de tiempo. (Su magnitud es el número, con unidades, que indica un velocímetro, como el de la figura 2-8). Con más precisión, la velocidad instantánea en cualquier momento se define como la velocidad promedio durante un intervalo de tiempo infinitesimalmente corto. Es decir, la ecuación 2-2 debe ser evaluada en el límite en que t tiende a un valor sumamente pequeño, que tiende a cero. Podemos escribir la definición de la velocidad instantánea v, para un movimiento unidimensional, como v = lím ¢t S0 FIGURA 2–8 Velocímetro de un automóvil que muestra las mi/h en números grandes, y los km/h en números pequeños. ¢t S0 Velocidad (km/h) automóvil en función del tiempo: a) con velocidad constante; b) con velocidad variable. 60 40 20 0 Velocidad (km/h) 0 a) 22 0.1 0.2 0.3 0.4 Tiempo (h) 0.5 60 40 Velocidad promedio 20 0 0 b) 0.1 0.2 0.3 0.4 Tiempo (h) CAPÍTULO 2 0.5 (2–3) La notación lím¢t S 0 significa que la razón x/t debe evaluarse en el límite cuando t tiende a cero. Sin embargo, no podemos tomar simplemente t  0 en esta definición, pues entonces x también sería cero y tendríamos un número indefinido. Más bien, consideramos la razón x/t como un todo. Cuando hacemos que t tienda a cero, x también tiende a cero; pero la razón x/t tiende a un valor bien definido, que es la velocidad instantánea en un instante dado. En la ecuación 2-3 el límite cuando t S 0 se escribe en notación del cálculo como dx/dt y se llama la derivada de x con respecto a t: v = lím FIGURA 2–9 Velocidad de un ¢x . ¢t ¢x dx . = ¢t dt (2–4) Esta ecuación es la definición de velocidad instantánea para el movimiento unidimensional. Para la velocidad instantánea usamos el símbolo v, mientras que para la velocidad promedio usamos v–, con una barra. En el resto de este libro, cuando mencionemos el término “velocidad”, nos referiremos a la velocidad instantánea. Cuando queramos hablar de la velocidad promedio, haremos esto más claro incluyendo la palabra “promedio”. Note que la rapidez instantánea siempre es igual a la magnitud de la velocidad instantánea. ¿Por qué? Porque la distancia recorrida y la magnitud del desplazamiento resultan iguales cuando se vuelven infinitesimalmente pequeñas. Si un objeto se mueve con velocidad uniforme (es decir, con velocidad constante) durante un intervalo de tiempo específico, su velocidad instantánea en cualquier instante es la misma que su velocidad promedio (véase la figura 2-9a). Pero en muchas situaciones éste no es el caso. Por ejemplo, un automóvil puede partir del reposo, aumentar la velocidad hasta 50 km/h, permanecer a esta velocidad durante cierto tiempo, luego disminuirla a 20 km/h en un congestionamiento de tránsito y, finalmente, detenerse en su destino después de haber recorrido un total de 15 km en 30 minutos. Este viaje se muestra en la gráfica de la figura 2-9b. Sobre la gráfica se indica también la velocidad promedio (línea punteada), que es v–  x/t  15 km/0.50 h  30 km/h. Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión Para entender mejor la velocidad instantánea, consideremos la gráfica de la posición de una partícula específica como función del tiempo (x versus t), como se muestra en la figura 2-10. (Advierta que esto es diferente de mostrar la “trayectoria” de la partícula sobre una gráfica de y versus x.) La partícula está en la posición x1 en el tiempo t1, y en la posición x2 en el tiempo t2. P1 y P2 representan esos dos puntos sobre la gráfica. Una línea recta dibujada del punto P1(x1, t1) al punto P2(x2, t2) forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son x y t. La razón x/t es la pendiente de la línea recta P1P2. Pero x/t es también la velocidad promedio de la partícula durante el intervalo de tiempo t  t2 t1. Por lo tanto, concluimos que la velocidad promedio de una partícula durante cualquier intervalo de tiempo t  t2 t1 es igual a la pendiente de la línea recta (o cuerda) que conecta los dos puntos (x1, t1) y (x2, t2) sobre una gráfica de x versus t. Considere ahora un tiempo ti, intermedio entre t1 y t2, en el que la partícula está en xi (figura 2-11). La pendiente de la línea recta P1Pi es menor que la pendiente de P1P2 del caso anterior. Así, la velocidad promedio durante el intervalo de tiempo ti t1 es menor que durante el intervalo de tiempo t2 t1. Imaginemos ahora que tomamos el punto Pi en la figura 2-11 cada vez más cercat1, que ahora llamamos t, se no al punto P1. Es decir, hacemos que el intervalo ti vuelva cada vez más pequeño. La pendiente de la línea que conecta los dos puntos se vuelve cada vez más cercana a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P1. La velocidad promedio (igual a la pendiente de la cuerda), por lo tanto, tiende a la pendiente de la tangente en el punto P1. La definición de la velocidad instantánea (ecuación 2-3) es el valor límite de la velocidad promedio cuando t tiende a cero. Entonces, la velocidad instantánea es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto (lo que simplemente llamamos “la pendiente de la curva” en ese punto). Como la velocidad en cualquier instante es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de x versus t en ese instante, podemos obtener la velocidad en cualquier instante con una gráfica así. Por ejemplo, en la figura 2-12 (que muestra la misma curva de las figuras 2-10 y 2-11), cuando nuestro objeto se mueve de x1 a x2, la pendiente crece continuamente, por lo que la velocidad está aumentando. Sin embargo, para tiempos posteriores a t2, la pendiente empieza a disminuir hasta que alcanza el valor cero (v  0) cuando x tiene su valor máximo, en el punto P3 de la figura 2-12. Más allá de este punto, la pendiente es negativa, como en el punto P4. Por lo tanto, la velocidad es negativa, lo cual tiene sentido dado que x está ahora disminuyendo: la partícula se está moviendo hacia valores decrecientes de x, hacia el origen a lo largo del eje xy. Si un objeto se mueve con velocidad constante durante un intervalo de tiempo particular, su velocidad instantánea será igual a su velocidad promedio. La gráfica de x versus t en este caso será una línea recta cuya pendiente es igual a la velocidad. La curva de la figura 2-10 no tiene secciones rectas, por lo que no hay intervalos de tiempo para los que la velocidad es constante. x 0 P2 x2 x = x2 – x1 P1 x1 t = t2 – t1 t1 0 t2 t FIGURA 2–10 Gráfica de la posición x de una partícula versus el tiempo t. La pendiente de la línea recta P1P2 representa la velocidad promedio de la partícula durante el intervalo de tiempo t  t2 t1. FIGURA 2–11 Misma curva posición versus tiempo que en la figura 2-10, pero advierta que la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo ti t1 (que es la pendiente de P1Pi) es menor que la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo t2 t1. La pendiente de la línea delgada tangente a la curva en el punto P1, es igual a la velocidad instantánea en el tiempo t1. x P2 x2 xi x1 0 Pi P1 te e gen tan t1 n P1 ti t2 t P3 P2 x2 x1 x P4 FIGURA 2–12 Misma curva x versus t que en las figuras 2-10 y 2-11, pero aquí se muestra la pendiente en cuatro instantes diferentes. En P3 la pendiente es cero, por lo que v  0. En P4 la pendiente es negativa, así que v 0. P1 t1 t2 t3 t EJERCICIO C ¿Cuál es su rapidez en el instante en que usted se da la vuelta para moverse en sentido contrario? a) Depende de qué tan rápido se dé la vuelta; b) siempre es cero; c) siempre es negativa; d) ninguna de las anteriores. Las derivadas de varias funciones se estudian en cursos de cálculo, y en este libro se incluye un resumen en el Apéndice B. Las derivadas de funciones polinomiales (que utilizamos con mucha frecuencia) son: d dC ACtn B = nCtn - 1 y = 0, dt dt donde C es una constante. SECCIÓN 2–3 Velocidad instantánea 23 x (m) 0 10 20 30 40 50 x1 60 x2 a) Tangente en P2 cuya pendiente es v2 5 21.0 m/s x (m) 60 Pendiente de la línea recta entre P1 y P2 v = 16.8 m/s 50 40 30 P2 x = 33.6 m EJEMPLO 2–3 Dada x como función de t. Un motor de propulsión a chorro se mueve a lo largo de una pista experimental (que llamamos el eje x) como se muestra en la figura 2-13a. Trataremos al motor como si fuera una partícula. Su posición en función del tiempo está dada por la ecuación x = At2 + B, donde A  2.10 m/s2 y B = 2.80 m; esta ecuación se grafica en la figura 2-13b. a) Determine el desplazamiento del motor durante el intervalo de tiempo de t1  3.00 s a t2  5.00 s. b) Determine la velocidad promedio durante este intervalo de tiempo. c) Determine la magnitud de la velocidad instantánea en t = 5.00 s. PLANTEAMIENTO Sustituimos los valores para t1 y t2 en la ecuación dada para x para obtener x1 y x2. La velocidad promedio se encuentra usando la ecuación 2-2. Tomamos la derivada respecto del tiempo de la x dada como función de t para encontrar la velocidad instantánea, usando las fórmulas dadas arriba. SOLUCIÓN a) En t1  3.00 s, la posición (punto P1 en la figura 2-13b) es x1 = At21 + B = A2.10 m兾s2 B(3.00 s)2 + 2.80 m = 21.7 m. P1 20 t = 2.00 s 10 0 0 1 2 3 4 b) En t2  5.00 s, la posición (P2 en la figura 2-13b) es 5 6 t (s) FIGURA 2–13 Ejemplo 2–3. a) Un motor de propulsión a chorro que viaja sobre una pista recta. b) Gráfica de x versus t: x = At2  b. x2 = A2.10 m兾s2 B(5.00 s)2 + 2.80 m = 55.3 m. El desplazamiento es, entonces, x2 - x1 = 55.3 m - 21.7 m = 33.6 m. b) La magnitud de la velocidad promedio se calcula como x2 - x1 ¢x 33.6 m = 16.8 m兾s. = = ¢t t2 - t1 2.00 s Esto es igual a la pendiente de la línea recta que une los puntos P1 y P2 que se muestran en la figura 2-13b. c) La velocidad instantánea en t  t2  5.00 s es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto P2 de la figura 2-13b; podríamos medir esta pendiente en la gráfica para obtener v2. Pero calculamos v más precisamente para cualquier tiempo t, usando la ecuación dada v– = x = At2 + B, que es la posición x del motor como función del tiempo t. Tomamos la derivada de x con respecto al tiempo (véase las definiciones de derivadas dadas anteriormente): v = d dx = AAt2 + BB = 2At. dt dt Se nos da A  2.10 m/s2, por lo que para t = t2  5.00 s, v2 = 2At = 2A2.10 m兾s2 B(5.00 s) = 21.0 m兾s. 2–4 Aceleración Se dice que un objeto cuya velocidad cambia está sometido a aceleración. Por ejemplo, un automóvil cuya velocidad crece en magnitud de cero a 80 km/h está acelerando. La aceleración especifica qué tan rápidamente está cambiando la velocidad del objeto. Aceleración promedio La aceleración promedio se define como el cambio en la velocidad dividido entre el tiempo que toma efectuar este cambio: aceleración promedio = 24 CAPÍTULO 2 cambio de velociad . tiempo transcurrido Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión En símbolos, la aceleración promedio, en un intervalo de tiempo t  t2 cual la velocidad cambia en v  v2 v1, se define como a- = t1 durante el v2 - v1 ¢v . = t2 - t1 ¢t (2–5) Como la velocidad es un vector, la aceleración también es un vector; pero para el movimiento unidimensional, basta usar un solo signo de más o de menos para indicar el sentido de la aceleración respecto de un sistema coordenado dado. EJEMPLO 2–4 Aceleración promedio. Un automóvil acelera a lo largo de un camino recto, desde el reposo hasta 90 km/h en 5.0 s (figura 2-14). ¿Cuál es la magnitud de su aceleración promedio? PLANTEAMIENTO La aceleración promedio es el cambio en la velocidad dividido entre el tiempo transcurrido, 5.0 s. El automóvil parte del reposo, por lo que v1  0. La velocidad final es v2  90 km/h  90 103 m/3600 s  25 m/s. SOLUCIÓN De la ecuación 2-5, la aceleración promedio es a- = v2 - v1 25 m兾s - 0 m兾s m兾s . = = 5.0 s t2 - t1 5.0 s Esto se lee como “cinco metros por segundo por segundo” y significa que, en promedio, la velocidad cambió 5.0 m/s en cada segundo. Es decir, suponiendo que la aceleración fuera constante, durante el primer segundo la velocidad del automóvil aumentó de cero a 5.0 m/s. Durante el siguiente segundo su velocidad aumentó otros 5.0 m/s, alcanzando una velocidad de 10.0 m/s en t  2.0 s, y así sucesivamente (véase la figura 2-14). t1 = 0 v1 = 0 Aceleración [a = 5.0 m/s2] FIGURA 2–14 Ejemplo 2-4. El automóvil se muestra al inicio con v1  0 en t1  0. El auto se muestra tres veces más, en t  1.0 s, en t  2.0 s y, al final de nuestro intervalo de tiempo, en t2  5.0 s. Suponemos que la aceleración es constante e igual a 5.0 m/s2. Las flechas anaranjadas representan los vectores velocidad; la longitud de cada flecha representa la magnitud de la velocidad en ese momento. El vector aceleración es la flecha gris. Las distancias no están dibujadas a escala. en t = 1.0 s v = 5.0 m/s en t = 2.0 s v = 10.0 m/s en t = t 2 = 5.0 s v = v2 = 25 m/s Las unidades para aceleración casi siempre se escriben como m/s2 (metros por segundo al cuadrado), en vez de m/s/s. Esto es posible porque: m兾s m m = = 2. s ss s De acuerdo con el cálculo del ejemplo 2-4, la velocidad cambió en promedio 5.0 m/s durante cada segundo, para un cambio total de 25 m/s durante los 5.0 s; la aceleración promedio fue de 5.0 m/s2. Note que la aceleración nos indica qué tan rápido cambia la velocidad, mientras que la velocidad nos dice qué tan rápido cambia la posición. SECCIÓN 2–4 Aceleración 25 EJEMPLO CONCEPTUAL 2–5 Velocidad y aceleración. a) Si la velocidad de un objeto es cero, ¿significa esto que la aceleración es cero? b) Si la aceleración es cero, ¿significa esto que la velocidad es cero? Mencione algunos ejemplos. RESPUESTA Si la velocidad es cero no significa necesariamente que la aceleración sea cero, ni una aceleración cero implica necesariamente que la velocidad sea cero. a) Por ejemplo, cuando usted pisa el pedal del acelerador de su automóvil que está en reposo, la velocidad comienza desde cero; pero la aceleración no es cero, ya que cambia la velocidad del automóvil. (¿De qué otra manera podría arrancar su automóvil si la velocidad no estuviera cambiando, esto es, si no acelerara?) b) Si conduce su automóvil a lo largo de un camino recto a una velocidad constante de 100 km/h, su aceleración es cero: a  0, pero v Z 0. EJERCICIO D Se anuncia que un automóvil potente va desde cero hasta 60 mi/h en 6.0 s. ¿Qué indica esto acerca del auto: a) que es rápido (alta rapidez); o b) que acelera bien? Aceleración en t1 = 0 v1 = 15.0 m/s a = –2.0 m/s2 en t2 = 5.0 s v2 = 5.0 m/s FIGURA 2–15 Ejemplo 2-6. Se muestra la posición del automóvil en los instantes t1 y t2, así como la velocidad del automóvil representada por las flechas anaranjadas. El vector aceleración (flecha gris) señala hacia la izquierda, lo que significa que el auto frena mientras se mueve a la derecha. EJEMPLO 2–6 Automóvil que desacelera. Un automóvil se mueve hacia la derecha a lo largo de un camino recto, que llamamos el eje x positivo (figura 2-15) cuando el conductor aplica los frenos. Si la velocidad inicial (cuando el conductor acciona los frenos) es v1  15.0 m/s, y toma 5.0 s desacelerar a v2  5.0 m/s, ¿cuál fue la aceleración promedio del automóvil? PLANTEAMIENTO Dada la velocidad inicial, la velocidad final y el tiempo transcurrido, usamos la ecuación 2-5 para calcular la aceleración promedio a. SOLUCIÓN Se emplea la ecuación 2-5, tomando el tiempo inicial t1  0; el tiempo final t2  5.0 s. (Note que elegir t1  0 no afecta el cálculo de a porque sólo t  t2 t1 aparece en la ecuación 2-5). Entonces, a- = 5.0 m兾s - 15.0 m兾s = –2.0 m兾s2. 5.0 s El signo negativo aparece porque la velocidad final es menor que la velocidad inicial. En este caso, el sentido de la aceleración es hacia la izquierda (en el sentido x negativo), aun cuando la velocidad siempre apunta hacia la derecha. Podemos decir que la aceleración es de 2.0 m/s2 hacia la izquierda como se muestra en la figura 2-15 como una flecha gris. Desaceleración C U I D A D O Desaceleración significa que la magnitud de la velocidad disminuye; no significa necesariamente que la aceleración a sea negativa Cuando un objeto está frenando, decimos que está desacelerando. Pero cuidado: la desaceleración no implica que la aceleración sea necesariamente negativa. La velocidad de un objeto que se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x positivo es positiva; si el objeto está frenando (como en la figura 2-15), la aceleración es negativa. Pero el mismo automóvil, moviéndose hacia la izquierda (x decreciente) y frenando, tiene aceleración positiva que señala hacia la derecha, como se indica en la figura 2-16. Tenemos una desaceleración siempre que la magnitud de la velocidad disminuye, de modo que la velocidad y la aceleración apuntan en sentidos opuestos. FIGURA 2–16 El mismo automóvil que en el ejemplo 2-6, pero ahora moviéndose hacia la izquierda y desacelerando. La aceleración es positiva: a = = v2 - v1 ¢t (–5.0 m兾s) - (–15.0 m兾s) v1 = –15.0 m/s v2 = –5.0 m/s a 5.0 s –5.0 m兾s + 15.0 m兾s = ±2.0 m兾s. = 5.0 s EJERCICIO E Un automóvil se mueve a lo largo del eje x. ¿Cuál es el signo de la aceleración del auto, si se mueve en el sentido x positivo con a) rapidez creciente o b) rapidez decreciente? ¿Cuál es el signo de la aceleración, si el auto se mueve en el sentido del eje negativo con c) rapidez creciente o d) rapidez decreciente? 26 CAPÍTULO 2 Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión Aceleración instantánea La aceleración instantánea, a, se define como el valor límite de la aceleración promedio cuando t tiende a cero: ¢v dv . = a = lím ¢t S0 ¢t dt La pendiente es la aceleración promedio durante t = t2 – t1 v La pendiente es la aceleración instantánea en t1 (2–6) Este límite, dv/dt, es la derivada de v con respecto a t. Usaremos el término “aceleración” para referirnos al valor instantáneo. Si queremos discutir la aceleración promedio, siempre incluiremos la palabra “promedio”. Si dibujamos una gráfica de la velocidad, v, versus tiempo, t, como se muestra en la figura 2.17, entonces la aceleración promedio sobre un intervalo de tiempo t  t2 t1 corresponde a la pendiente de la línea recta que conecta los dos puntos P1 y P2, como se indica en la figura. [Compare esto con la gráfica de posición versus tiempo de la figura 2-10, en la cual la pendiente de la línea recta corresponde a la velocidad promedio]. La aceleración instantánea en cualquier tiempo, digamos t1, es la pendiente de la recta tangente a la curva v versus t en ese instante, que también se muestra en la figura 2-17. Usemos este hecho para la situación graficada en la figura 2-17; cuando pasamos del tiempo t1 al tiempo t2, la velocidad crece continuamente, pero la aceleración (la razón de cambio de la velocidad) decrece, ya que la pendiente de la curva es decreciente. EJEMPLO 2–7 Aceleración a partir de x(t). Una partícula se mueve en una línea recta, de manera que su posición como función del tiempo está dada por la ecuación x  (2.10 m/s2)t2  (2.80 m), como en el ejemplo 2-3. Calcule a) su aceleración promedio durante el intervalo de tiempo de t1  3.00 s a t2  5.00 s, y b) su aceleración instantánea como función del tiempo. PLANTEAMIENTO Para determinar la aceleración, primero debemos encontrar la velocidad en t1 y en t2 diferenciando x: v  dx/dt. Después, usamos la ecuación 2-5 para encontrar la aceleración promedio, y la ecuación 2-6 para encontrar la aceleración instantánea. SOLUCIÓN a) La velocidad en cualquier tiempo t es d dx = C A2.10 m兾s2 B t2 + 2.80 mD = A4.20 m兾s2 B t, dt dt como vimos en el ejemplo 2-3c. Por lo tanto, en t1  3.00 s, v1  (4.20 m/s2)(3.00 s)  12.6 m/s y en t2  5.00 s, v2  21.0 m/s. Así que, 21.0 m兾s - 12.6 m兾s ¢v = = 4.20 m兾s2. a- = ¢t 5.00 s - 3.00 s b) Dada ahora v  (4.20 m/s2)t, la aceleración instantánea en cualquier tiempo es v2 P2 v = v2 –− v1 P1 v1 t = t2 – t1 0 t t2 t1 FIGURA 2–17 Una gráfica de velocidad v versus tiempo t. La aceleración promedio en un intervalo de tiempo t  t2 t1 es la pendiente de la línea recta que une los puntos P1 y P2: a–  v/t. La aceleración instantánea en el tiempo t1 es la pendiente de la curva v versus t en ese instante. FIGURA 2–18 Ejemplo 2-7. Gráficas de a) x versus t, b) v versus t, y c) a versus t, para el movimiento x  At2  B. Note que v crece linealmente con t y que la aceleración a es constante.También, v es la pendiente de la curva x versus t, mientras que a es la pendiente de la curva v versus t. v = d dv = C A4.20 m兾s2 B t D = 4.20 m兾s2. dt dt La aceleración en este caso es constante y no depende del tiempo. La figura 2-18 muestra las gráficas de a) x versus t (igual que en la figura 2-13b), b) v versus t, que crece linealmente como se calculó arriba, y c) a versus t, que es una línea recta horizontal porque a  constante. m 60 .8 0 +2 m 40 t 2) 30 10 x (m) 50 2. 20 10 x= 0 1 a = ( t (s) 2 EJERCICIO F La posición de una partícula está dada por la ecuación: 5 6 5 6 5 6 25 /s v (m/s) 20 0 .2 (4 v 10 = 1 2 t) m 5 t (s) 0 3 4 b) 6 a (m/s2) dv d dx d2x . a = = ¢ ≤ = dt dt dt dt2 Aquí, d 2x/dt2 es la segunda derivada de x con respecto al tiempo; primero tomamos la derivada de x con respecto al tiempo (dx/dt) y luego tomamos de nuevo la derivada con respecto al tiempo, (d/dt)(dx/dt), para obtener la aceleración. 4 a) 15 Al igual que la velocidad, la aceleración es una razón de cambio. La velocidad de un objeto es la razón de cambio a la que el desplazamiento cambia con el tiempo; por otro lado, su aceleración es la razón de cambio a la que su velocidad cambia con el tiempo. En cierto sentido, la aceleración es una “razón de una razón”. Esto puede expresarse en forma de ecuación como sigue: dado que a  dv/dt y v  dx/dt, entonces, 3 a = 4.20 m/s2 4 2 x = A2.00 m兾s3 B t3 + (2.50 m兾s) t. ¿Cuál es la aceleración de la partícula en t  2.00 s? (Escoja un valor) a) 13.0 m/s2; b) 22.5 m/s2; c) 24.0 m/s2; d) 2.00 m/s2. t (s) 0 1 2 3 4 c) SECCIÓN 2–4 Aceleración 27 100 EJEMPLO CONCEPTUAL 2–8 Análisis con gráficas. La figura 2-19 muestra la velocidad como función del tiempo para dos automóviles que aceleran de 0 a 100 km/h en un tiempo de 10.0 s. Compare a) la aceleración promedio; b) la aceleración instantánea; y c) la distancia total recorrida por los dos automóviles. Automóvil A v (km/h) Automóvil B 0 RESPUESTA a) La aceleración promedio es v/t. Ambos automóviles tienen la misma v (100 km/h) y el mismo t (10.0 s), por lo que la aceleración promedio es la misma para ambos vehículos. b) La aceleración instantánea es la pendiente de la tangente a la curva v versus t. Durante casi los primeros 4 s, la curva superior está más empinada que la inferior, de manera que el auto A tiene una mayor aceleración durante este intervalo. La curva de la parte inferior está más empinada durante los últimos 4 s, por lo que el auto B tiene la mayor aceleración en este periodo de tiempo. c) Excepto en t  0 y t  10.0 s, el auto A siempre va más rápido que el auto B. Puesto que va más rápido, irá más lejos en mismo tiempo. t (s) 2 4 6 8 10 FIGURA 2–19 Ejemplo 2–8. 2–5 Movimiento con aceleración constante Ahora examinemos la situación cuando la magnitud de la aceleración es constante y el movimiento es en línea recta. En este caso, las aceleraciones instantánea y promedio son iguales. Utilizaremos las definiciones de velocidad promedio y aceleración, para deducir un conjunto de ecuaciones extremadamente útiles que relacionan x, v, a y t cuando a es constante, lo cual permite determinar cualquiera de esta variables si se conocen las otras. Para simplificar nuestra notación, tomemos el tiempo inicial en cualquier análisis que hagamos como cero, y se le llama: t0: t1  t0  0. (Esto equivale a poner en marcha un cronómetro en t0.) Podemos luego considerar que t2  t sea el tiempo transcurrido. La posición inicial (x1) y la velocidad inicial (v1) de un objeto estarán ahora representadas por x0 y v0, ya que representan x y v en t  0. En el tiempo t, la posición y la velocidad se llamarán x y v (en vez de x2 y v2). La velocidad promedio durante el intervalo de tiempo t t0 será (ecuación 2-2) x - x0 x - x0 ¢x = = ¢t t - t0 t ya que elegimos t0  0. Y la aceleración, que se supone constante en el tiempo, será (ecuación 2-5) v - v0 . a = v- = t Un problema común consiste en determinar la velocidad de un objeto después de cualquier tiempo transcurrido t, dada su aceleración constante. Podemos resolver tal problema despejando v en la última ecuación: [aceleración constante] (2–7) v = v0 + at. Si un objeto parte del reposo (v0  0) y acelera a 4.0 m/s2, después de un tiempo transcurrido t  6.0 s, su velocidad será v  at  (4.0 m/s2)(6.0 s)  24 m/s. A continuación, veamos cómo calcular la posición x de un objeto después de un tiempo t, cuando está sometido a una aceleración constante. La definición de velocidad promedio (ecuación 2-2) es v  (x x0)/t, que podemos reescribir como (2–8) x = x0 + v- t. Como la velocidad aumenta de manera uniforme, la velocidad promedio v estará a la mitad entre las velocidades inicial y final: C U I D A D O Nos da la velocidad promedio sólo sí a  constante v0 + v . [aceleración constante] (2–9) 2 (Cuidado: La ecuación 2-9 es válida sólo si la aceleración es constante). Combinando las últimas dos ecuaciones con la ecuación 2-7 y obtenemos x = x0 + v-t v0 + v = x0 + ¢ ≤t 2 v- = = x0 + ¢ o 28 CAPÍTULO 2 v0 + v0 + at ≤t 2 x = x0 + v0 t + 12 at2. [aceleración constante] (2–10) Las ecuaciones 2-7, 2-9 y 2-10 son tres de las cuatro ecuaciones más útiles del movimiento con aceleración constante. Ahora derivaremos la cuarta ecuación, que es útil en situaciones donde no se conoce el tiempo t. Sustituimos la ecuación 2-9 en la ecuación 2-8: -t = x + ¢ v + v0 ≤ t. x = x0 + v 0 2 A continuación despejamos t en la ecuación 2-7 y obtenemos v - v0 , t = a y sustituyendo este valor en la ecuación anterior, resulta v2 - v20 v + v0 v - v0 . ≤¢ ≤ = x0 + x = x0 + ¢ a 2 2a Despejamos v2 en esta ecuación y obtenemos v2 = v20 + 2aAx - x0 B, [aceleración constante] (2–11) que es la ecuación útil que buscábamos. Tenemos ahora cuatro ecuaciones que relacionan la posición, la velocidad, la aceleración y el tiempo, cuando la aceleración a es constante. Estas ecuaciones cinemáticas se dejan aquí para referencia futura (están remarcadas para resaltar su utilidad): v = v0 + at [a  constante] (2–12a) Ecuaciones cinemáticas 1 2 2a [a  constante] (2–12b) para aceleración v2 = v20 + 2aAx - x0 B v + v0 . v- = 2 [a  constante] (2–12c) constante (haremos [a  constante] (2–12d) amplio uso de ellas) x = x0 + v0 t + t Estas ecuaciones útiles sólo son válidas en el caso en que a sea constante. En muchos casos, es posible establecer x0  0, y esto simplifica un poco las ecuaciones anteriores. Advierta que x representa posición, no distancia, que x x0 es el desplazamiento y que t es el tiempo transcurrido. EJEMPLO 2–9 Diseño de una pista de aterrizaje. Usted diseña un aeropuerto para aviones pequeños. El tipo de avión que podría usar este aeropuerto puede acelerar a 2.00 m/s2 y debe alcanzar una rapidez, antes de despegar, de por lo menos 27.8 m/s (100 km/h). a) Si la pista tiene 150 m de longitud, ¿puede este avión alcanzar la rapidez mínima que se requiere para despegar? b) En caso negativo, ¿qué longitud mínima debería tener la pista? PLANTEAMIENTO La aceleración del avión es constante, así que se usaremos las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante. En a) queremos encontrar v y se nos proporcionan los siguientes datos: Se conoce x0 = 0 v0 = 0 F Í S I C A A P L I C A D A Diseño de aeropuertos Se busca v x = 150 m a = 2.00 m兾s2 SOLUCIÓN a) De las cuatro ecuaciones anteriores, la ecuación 2-12c nos proporcionará v cuando conozcamos v0, a, x y x0: v2 = v20 + 2aAx - x0 B = 0 + 2A2.00 m兾s2 B(150 m) = 600 m2兾s2 R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Las ecuaciones 2-12 son válidas sólo cuando la aceleración es constante, como supusimos en este ejemplo v = 3600 m2兾s2 = 24.5 m兾s. Esta pista no tiene suficiente longitud. b) Ahora se pretende encontrar la longitud mínima de la pista, x x0, dados v  27.8 m/s y a  2.00 m/s2. Así que recurrimos a la ecuación 2-12c de nuevo reescrita como (27.8 m兾s)2 - 0 v2 - v20 Ax - x0 B = = = 193 m. 2a 2A2.00 m兾s2 B Una pista de 200 m es más conveniente para este avión. NOTA Resolvimos este ejemplo como si el avión fuera una partícula, por lo que redondeamos nuestra respuesta a 200 m. EJERCICIO G Un automóvil parte del reposos y acelera a 10 m/s2 constantes durante una carrera de  de milla (402 m). ¿Qué tan rápido viaja el automóvil cuando cruza la línea de meta? a) 8090 m/s; b) 90 m/s; c) 81 m/s; d) 809 m/s. SECCIÓN 2–5 29 2–6 Resolución de problemas Antes de resolver más ejemplos, es conveniente precisar cómo plantear la solución de un problema en general. Primero es importante notar que la física no es una colección de ecuaciones para memorizar. Buscar simplemente una ecuación que funcione puede conducir a un resultado equivocado, y ciertamente no le ayudará a entender la física. Un mejor enfoque, consiste en usar el siguiente procedimiento (burdo), que ponemos en una sección especial. (A lo largo del libro se encontrarán otros recuadros, como ayuda, con estrategias de resolución e problemas). D ROB LE E P S SOLUCI RE Ó M A N 1. Lea y relea todo el problema cuidadosamente antes de intentar resolverlo. 2. Decida qué objeto (u objetos) se van a estudiar y durante qué intervalo de tiempo. Normalmente puede elegir el instante inicial como t  0. 3. Dibuje un diagrama o figura de la situación, con ejes coordenados siempre que sea posible. [Puede elegir el origen de coordenadas, así como los ejes en cualquier lugar, para simplificar sus cálculos]. 4. Escriba qué cantidades son “conocidas” o “dadas”, y luego lo que usted quiere conocer. Considere cantidades tanto al principio como al final del intervalo de tiempo elegido. 5. Piense sobre qué principios de la física son aplicables en este problema. Use el sentido común y su propia experiencia. Luego planee una aproximación al problema. 6. Considere qué ecuaciones (y/o definiciones) se refieren a las cantidades involucradas. Antes de usar ecuaciones, asegúrese de que su rango de validez permita aplicarlas a su problema (por ejemplo, las ecuaciones 2-12 son válidas sólo cuando la aceleración es constante). Si encuentra una ecuación aplicable que contenga sólo cantidades conocidas y una incógnita buscada, despeje algebraicamente la ecuación para la incógnita. En muchos casos, quizá sea necesario realizar varios cálculos secuenciales o una combinación de ecuaciones. A menudo conviene despejar algebraicamente las incógnitas buscadas, antes de poner valores numéricos en la ecuación. 7. Lleve a cabo el cálculo si se trata de un problema numérico. Mantenga uno o dos dígitos extra durante los cálculos; pero redondee la(s) respuesta(s) final(es) al número correcto de cifras significativas (sección 1-3). 8. Piense cuidadosamente sobre el resultado que obtenga: ¿Es razonable? ¿Tiene sentido de acuerdo con su propia intuición y experiencia? Una buena comprobación consiste en hacer una estimación burda usando sólo potencias de diez, como se vio en la sección 1-6. A menudo es preferible hacer una estimación burda al principio de un problema numérico, porque ello puede ayudarlo a centrar su atención para encontrar una ruta hacia su solución. 9. Un aspecto muy importante de la resolución de problemas es el control de las unidades. Un signo de igual implica que las unidades a cada lado de éste deben ser las mismas, tal como lo deben ser los números. Si las unidades no se equilibran, se habrá cometido un error. Esto puede servir como una comprobación en su solución (aunque sólo puede indicarle si está equivocada, mas no si es correcta). Además use siempre un conjunto de unidades consistente. EJEMPLO 2–10 Aceleración de un automóvil. ¿Cuánto tiempo le toma a un automóvil cruzar una intersección de 30.0 m de ancho después de que el semáforo se pone en luz verde considerando que el automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 2.00 m/s2? FIGURA 2–20 Ejemplo 2–10. a = 2.00 m/s2 x0 = 0 v0 = 0 30 CAPÍTULO 2 a = 2.00 m/s2 x= 30.0 m PLANTEAMIENTO Seguiremos el recuadro de solución de problemas, paso a paso. SOLUCIÓN 1. Lea de nuevo el problema. Asegúrese de entender qué es lo que se pide (en este caso, un periodo de tiempo). 2. El objeto en estudio es el automóvil. Elegimos un intervalo de tiempo: t  0, el tiempo inicial, es el momento en que el automóvil comienza a acelerar desde el reposo (v0  0); y el tiempo t es el instante en que el auto ha recorrido los 30.0 m de ancho de la intersección. 3. Dibuje un diagrama. La situación se representa en la figura 2-20, donde el automóvil se mueve a lo largo del eje x positivo. Se elige x0  0 en el parachoques delantero del auto antes de que comience a moverse. Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión 4. Los datos “conocidos” y los que “se buscan” se incluyen en la tabla al margen, y se elige x0  0. Note que la expresión “parte del reposo” significa v  0 en t  0; esto es, v0  0. 5. La física: El movimiento ocurre con aceleración constante, así que se pueden usar las ecuaciones cinemáticas con aceleración constante (ecuaciones 2-12). 6. Ecuaciones: Queremos encontrar el tiempo, y se conoce la distancia y la aceleración; la ecuación 2-12b es perfecta puesto que la única incógnita es t. Al establecer v0  0 y x0  0 en la ecuación 2-12b (x  x0  v0t  12 at2), se despeja para t: x = 1 2 2a , t2 = 2x , a Se conoce x0 = 0 Se busca t x = 30.0 m a = 2.00 m兾s2 v0 = 0 t así que t = 2x . Ba 7. El cálculo: 2(30.0 m) 2x = = 5.48 s. Ba B 2.00 m兾s2 Ésta es la respuesta. Note que las unidades resultan correctas. 8. Lo razonable de la respuesta se comprueba al calcular la velocidad final v  at  (2.00 m/s2)(5.48 s)  10.96 m/s, y luego al encontrar x  x0 + v–t  0  12 (10.96 m/s  0)(5.48 s)  30.0 m, que es la distancia dada. 9. Comprobamos que las unidades concuerden perfectamente (segundos). NOTA En los pasos 6 y 7, cuando tomamos la raíz cuadrada, debería haberse escrito t = 22x兾a = 5.48 s. Matemáticamente hay dos soluciones. Pero la segunda solución, t  5.48 s, es un tiempo anterior al intervalo de tiempo elegido y físicamente no tiene sentido. Decimos que es “no tiene sentido” y se le ignora. t = En el ejemplo 2-10 se siguieron explícitamente los pasos del recuadro de resolución de problemas. En los ejemplos que siguen usaremos nuestro “planteamiento” y “solución” habituales para evitar explicaciones demasado detalladas. EJEMPLO 2–11 ESTIMACIÓN Bolsas de aire. Suponga que usted quiere diseñar un sistema de bolsas de aire que proteja al conductor de un automóvil en una colisión frontal contra un muro a una rapidez de 100 km/h (60 mph). Estime qué tan rápido se debe inflar la bolsa de aire (figura 2-21) para proteger efectivamente al conductor. ¿Cómo ayuda al conductor el uso de un cinturón de seguridad? PLANTEAMIENTO Suponemos que la aceleración es aproximadamente constante, así que podemos usar las ecuaciones 2-12. Tanto la ecuación 2-12a como la 2-12b contienen t, la incógnita deseada. Ambas contienen a, así que primero se debe encontrar a, lo cual se consigue con la ecuación 2-12c si se conoce la distancia x sobre la que el automóvil se comprime. Una estimación aproximada estaría alrededor de 1 metro. Elegimos el tiempo inicial en el instante del impacto, cuando el auto se mueve a v0  100 km/h, y el tiempo final cuando el auto llega al reposo (v  0), después de recorrer 1 m. SOLUCIÓN Se convierte la rapidez inicial dada a unidades SI: 100 km/h  100 103 m/3600 s  28 m/s, y encontramos la aceleración a partir de la ecuación 2-12c: F Í S I C A A P L I C A D A Seguridad automovilística: bolsas de aire FIGURA 2–21 Ejemplo 2-11. Una bolsa de aire que se despliega con el impacto. (28 m兾s)2 v20 = – = –390 m兾s2. 2x 2.0 m Esta enorme aceleración ocurre en un tiempo dado por (ecuación 2-12a): v - v0 0 - 28 m兾s = t = = 0.07 s. a –390 m兾s2 Para que sea efectiva, la bolsa de aire debería inflarse más rápido que esto. ¿Qué hace la bolsa de aire? Retarda y dispersa la fuerza del impacto sobre una área grande del pecho (para evitar que el pecho se lesione con el volante). El cinturón de seguridad mantiene a la persona en una posición estable contra la bolsa de aire que se expande. a = – SECCIÓN 2–6 Resolución de problemas 31 FIGURA 2–22 Ejemplo 2-12: distancia de frenado para un automóvil que desacelera. Viaje durante el tiempo de reacción Viaje durante el frenado v = constante = 14 m/s t = 0.50 s a = 0 F Í S I C A A P L I C A D A Distancias de frenado Parte 1: Tiempo de reacción Datos conocidos Se busca t = 0.50 s x v0 = 14 m兾s v = 14 m兾s a = 0 x0 = 0 Parte 2: Frenado Datos conocidos Se busca x0 = 7.0 m x v (m/s) FIGURA 2–23 Ejemplo 2–12. Gráficas de a) v versus t y b) x versus t. 0 a) t = 0.50 s EJEMPLO 2–12 ESTIMACIÓN Distancias de frenado. Estime las distancias mínimas de frenado para un automóvil, que son importantes para la seguridad y el diseño del tránsito. El problema se trata mejor en dos partes, es decir, en dos intervalos de tiempo separados. 1. El primer intervalo de tiempo comienza cuando el conductor decide aplicar los frenos y termina cuando el pie toca el pedal del freno. Éste se llama el “tiempo de reacción”, durante el cual la rapidez es constante, así que a  0. 2. El segundo intervalo de tiempo es el periodo de frenado real cuando, el vehículo desacelera (a Z 0) y llega a detenerse. La distancia de frenado depende del tiempo de reacción del conductor, de la rapidez inicial del vehículo (la velocidad final es cero) y de la aceleración del mismo. Para un camino seco y buenos neumáticos, unos buenos frenos pueden desacelerar un automóvil a una razón aproximada desde 5 m/s2 a 8 m/s2. Calcule la distancia total de frenado para una velocidad inicial de 50 km/h ( 14 m/s L 31 mi/h) y suponga que la aceleración del automóvil es de 6.0 m/s2 (el signo menos aparece porque la velocidad se toma en el sentido x positivo y disminuye su magnitud). El tiempo de reacción de conductores normales varía entre 0.3 s y 1.0 s; considere 0.50 s. PLANTEAMIENTO Durante el “tiempo de reacción” (parte 1), el automóvil se mueve con rapidez constante de 14 m/s, así que a  0. Una vez que se aplican los frenos (parte 2), la aceleración es a  6.0 m/s2 y es constante en este intervalo de tiempo. Para ambas partes, a es constante así que se utilizarán las ecuaciones 2-12. SOLUCIÓN Parte 1. Se toma x0  0 para el primer intervalo de tiempo, en el cual reacciona el conductor (0.50 s): el automóvil viaja con una rapidez constante de 14 m/s, así que a  0. Véase la figura 2-22 y la tabla al margen. Para encontrar x, la posición del automóvil en t  0.50 s (cuando se aplican los frenos), no es posible usar la ecuación 2-12c porque x se multiplica por a, que es cero. Pero la ecuación 2-12b sí nos es útil: De manera que el automóvil viaja 7.0 m durante el tiempo de reacción del conductor, hasta el momento en que realmente se aplican los frenos. Usaremos este resultado como dato de la parte 2. Parte 2. Durante el segundo intervalo de tiempo, se aplican los frenos y el automóvil llega al reposo. La posición inicial es x0  7.0 m (resultado de la primera parte) y las demás variables se muestran en la segunda tabla del margen. La ecuación 2-12a no contiene x; la ecuación 2-12b contiene x pero también la incógnita t. La ecuación 2-12c, v2 v20  2a(x x0), contiene el desplazamiento, que es lo que queremos. Así que, considerando x0  7.0 m, despejamos x, que es la posición final del auto (cuando se detiene): x = x0 + 0.5 1.0 1.5 t (s) 2.0 2.5 v2 - v20 2a = 7.0 m + x (m) 15 2A –6.0 m兾s2 B = 7.0 m + –196 m2兾s2 –12 m兾s2 El automóvil recorrió 7.0 m mientras el conductor reaccionaba, y otros 16 m durante el periodo de frenado hasta detenerse, con una distancia total recorrida de 23 m. Véase en la figura 2-23 las gráficas de a) v versus t y b) de x versus t. 10 t = 0.50 s 5 32 0 - (14 m兾s)2 = 7.0 m + 16 m = 23 m. 20 0 b) v decrece de 14 m/s a cero a = –6.0 m/s2 x = v0 t + 0 = (14 m兾s)(0.50 s) = 7.0 m. v0 = 14 m兾s v = 0 a = –6.0 m兾s2 14 12 10 8 6 4 2 x 0.5 1.0 1.5 t (s) CAPÍTULO 2 2.0 2.5 NOTA De la anterior ecuación para x, vemos que la distancia de frenado después de pisar los frenos (x x0) se incrementa con el cuadrado de la rapidez inicial, no sólo linealmente con ella. Si usted viaja dos veces más rápido, la distancia de frenado será cuatro veces mayor. EJEMPLO 2–13 ESTIMACIÓN Dos objetos en movimiento: policía e infractor. Un automóvil a exceso de velocidad pasa a 150 km/h junto a una patrulla de policía estacionada, la cual inicia inmediatamente la persecución. Usando suposiciones sencillas como, por ejemplo, que el auto a exceso de velocidad continúa viajando a rapidez constante, estime cuánto tiempo le toma a la patrulla alcanzarlo. Luego estime la rapidez de la patrulla en ese momento y decida si las suposiciones fueron razonables. PLANTEAMIENTO Cuando la patrulla arranca, acelera, y la suposición más sencilla es que su aceleración sea constante. Esto quizá no sea razonable, pero veamos qué sucede. Podemos estimar la aceleración si vemos anuncios de automóviles que afirman que pueden acelerar desde el reposo a 100 km/h en 5.0 s. Así, la aceleración promedio de la patrulla sería aproximadamente aP = km兾h 1000 m 100 km兾h 1h = 20 ¢ ≤¢ ≤ = 5.6 m兾s2. s 5.0 s 1 km 3600 s SOLUCIÓN Tenemos que establecer las ecuaciones cinemáticas para determinar las cantidades desconocidas y, como se tienen dos objetos en movimiento, necesitamos dos conjuntos separados de ecuaciones. Denotamos la posición del automóvil a exceso de velocidad con xS y la posición de la patrulla con xP. Como nos interesa el tiempo en que los dos vehículos llegan a la misma posición en el camino, usamos la ecuación 2-12b para cada uno: xS = v0S t + 1 2 2 aS xP = v0P t + 1 2 2 aP t = (150 km兾h) t = (42 m兾s) t t = 1 2 A5.6 m兾s2 B t2, donde consideramos que x0  0 para ambos vehículos, v0P  0 y aS  0 (se supone que el infractor se mueve con rapidez constante). Queremos saber el tiempo en que los dos vehículos se encuentran, por lo que hacemos xS  xP y despejamos t: (42 m兾s) t = A2.8 m兾s2 B t2. Las soluciones son t = 0 y t = 42 m兾s = 15 s. 2.8 m兾s2 La primera solución corresponde al momento en que el infractor pasó a la patrulla. La segunda solución nos dice cuándo la patrulla alcanza al infractor, esto es, 15 s después. Ésta es nuestra respuesta, ¿pero es razonable? La rapidez de la patrulla en t  15 s es vP = v0P + aP t = 0 + A5.6 m兾s2 B(15 s) = 84 m兾s o 300 km/h (L 190 mi/h). Esto no es razonable y además resulta muy peligroso. NOTA Es más razonable descartar la suposición de una aceleración constante. La patrulla seguramente no puede mantener una aceleración constante a esas rapideces. Además, el conductor perseguido, si es una persona razonable, disminuiría la velocidad al oír la sirena de la patrulla. La figura 2-24 muestra las gráficas a) de x versus t y b) de v versus t, con base en la suposición original de aP  constante, mientras que c) muestra v versus t para una suposición más razonable. v x C U I D A D O Las suposiciones iniciales deben verificarse para que tengan sensatez. v Infractor Infractor FIGURA 2–24 Ejemplo 2-13. Infractor Policía Policía Policía t 0 15 s a) t 0 b) t 0 (c) SECCIÓN 2–6 Resolución de problemas 33 2–7 Caída libre de objetos FIGURA 2–25 Galileo Galilei (1564-1642). C U I D A D O Un objeto en caída libre aumenta su rapidez, pero ésta es independiente de su masa o peso FIGURA 2–26 Fotografía estroboscópica de la caída de una manzana a intervalos de tiempo iguales. La manzana cae una distancia mayor en cada intervalo sucesivo de tiempo, lo cual significa que está acelerando. Aceleración debida a la gravedad Uno de los ejemplos más comunes del movimiento uniformemente acelerado es el de un objeto que se deja caer libremente cerca de la superficie terrestre. El hecho de que un objeto que cae esté acelerado quizá no sea evidente al principio. No piense, como se creía ampliamente hasta la época de Galileo (figura 2-25), que los objetos más pesados caen más rápido que los objetos más ligeros y que la rapidez de la caída es proporcional al peso del objeto. En su análisis, Galileo aplicó su nueva y creativa técnica de imaginar qué pasaría en casos idealizados (simplificados). Para la caída libre, postuló que todos los objetos caen con la misma aceleración constante en ausencia de aire u otra resistencia. Él mostró que este postulado predice que para un objeto que cae desde el reposo, la distancia recorrida será proporcional al cuadrado del tiempo (figura 2-26); es decir, d r t2. Podemos ver esto en la ecuación 2-12b, pero Galileo fue el primero en obtener esta relación matemática. Para apoyar su afirmación de que la rapidez de caída de los objetos aumenta conforme caen, Galileo utilizó un ingenioso argumento: cuando se suelta una piedra pesada desde una altura de 2 m encajará mucho más una estaca en el suelo, que la misma piedra dejada caer desde una altura de sólo 0.2 m. Es claro que la piedra debe moverse más rápidamente cuando cae desde una altura mayor. Galileo también afirmó que en ausencia de aire todos los objetos, ligeros o pesados, caen con la misma aceleración. Si usted sostiene una hoja de papel horizontalmente en una mano y un objeto más pesado, digamos una pelota de béisbol, en la otra, y los suelta al mismo tiempo (como en la figura 2-27a), el objeto más pesado llegará al suelo primero. No obstante, si repite el experimento, esta vez con papel arrugado formando una pequeña bola (véase la figura 2-27b), usted encontrará que los dos objetos llegan al piso casi al mismo tiempo. Galileo estaba seguro de que el aire actúa como una resistencia para los objetos muy ligeros que tienen una gran área superficial. Pero en muchas circunstancias ordinarias, esta resistencia del aire es despreciable. En una cámara al vacío, incluso los objetos ligeros, como una pluma o una hoja de papel sostenida horizontalmente, caerán con la misma aceleración que cualquier otro objeto (véase la figura 2-28). Una demostración en el vacío no era posible en tiempos de Galileo, lo cual le da más mérito a este personaje. A Galileo se le llama a menudo el “padre de la ciencia moderna”, no sólo por el contenido de su ciencia (descubrimientos astronómicos, inercia, caída libre), sino también por su enfoque científico (idealización y simplificación, matematización de la teoría, teorías que tienen consecuencias confirmables, experimentos para probar las predicciones teóricas). La contribución específica de Galileo, para nuestro entendimiento del movimiento de caída de objetos, se resume como sigue: en un lugar dado sobre la Tierra y en ausencia de la resistencia del aire, todos los objetos caen con la misma aceleración constante. Llamamos a esta aceleración aceleración debida a la gravedad sobre la superficie de la Tierra, y usamos el símbolo g. Su magnitud es aproximadamente g = 9.80 m兾s2. [en la superficie terrestre] 2 En unidades inglesas g vale aproximadamente 32 ft/s . En realidad, g varía ligeramente de acuerdo con la latitud y la elevación, aunque esas variaciones son tan pequeñas que FIGURA 2–27 a) Una pelota y un pedazo de papel ligero se dejan caer al mismo tiempo. b) Igual que antes, pero ahora con el papel hecho bola. FIGURA 2–28 Una piedra y una pluma se dejan caer simultáneamente a) en el aire y b) en un vacío. a) 34 CAPÍTULO 2 b) Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión a) Tubo lleno de aire b) Tubo al vacío podemos despreciarlas en la mayoría de los casos. A menudo los efectos de la resistencia del aire son pequeños y los despreciaremos la mayoría de las veces. Sin embargo, la resistencia del aire será notable aun en un objeto razonablemente pesado, si la velocidad se vuelve muy grande.† La aceleración debida a la gravedad es un vector, como lo es cualquier aceleración, y su dirección es hacia abajo, hacia el centro de la Tierra. Al tratar con objetos que caen libremente podemos utilizar las ecuaciones 2-12, donde a tiene el valor de g que usamos antes. También, como el movimiento es vertical, sustituiremos y por x y y0 en vez de x0. Se considera que y0  0, a menos que se especifique otra cuestión. Es arbitrario si elegimos el eje y como positivo en la dirección hacia arriba o en la dirección hacia abajo; debemos, sin embargo, ser consistentes a todo lo largo de la solución de un problema. R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Usted puede elegir el eje y positivo ya sea hacia arriba o hacia abajo EJERCICIO H Regrese a la pregunta de inicio del capítulo, página 18, y respóndala de nuevo. Intente explicar por qué quizás usted respondió de forma diferente la primera vez. PLANTEAMIENTO Se toma y como positivo hacia abajo, de manera que la aceleración es a  g  9.80 m/s2. Sea v0  0 y y0  0. Queremos encontrar la posición y de la pelota después de tres intervalos de tiempo diferentes. La ecuación 2-12b, con x sustituida por y, relaciona las cantidades dadas (t, a y v0) y la incógnita y. SOLUCIÓN Se establece t  t1  1.00 s en la ecuación 2-12b: y1 = v0 t1 + 12 at21 = 0 + 12 at21 = 12 A9.80 m兾s2 B(1.00 s)2 = 4.90 m. La pelota ha caído una distancia de 4.90 m durante el intervalo de tiempo t  0 a t1  1.00 s. Similarmente, después de 2.00 s ( t2), la posición de la pelota es y2 = 12 at22 = 12 A9.80 m兾s2 B(2.00 s)2 = 19.6 m. y finalmente después de 3.00 s ( t3), la posición de la pelota es (véase la figura 2-29) y3 = 12 at23 = 12 A9.80 m兾s2 B(3.00 s)2 = 44.1 m. FIGURA 2–29 Ejemplo 2-14. a) Un objeto que se suelta desde una torre cae con rapidez cada vez mayor, y recorre una mayor distancia cada segundo sucesivo. (Véase también la figura 2-26.) b) Gráfica de y versus t. Aceleración debida a la gravedad y=0 y1 = 4.90 m (después de 1.00 s) EJEMPLO 2–15 Lanzamiento hacia abajo desde una torre. Suponga que la pelota en el ejemplo 2-14 se lanza hacia abajo con una velocidad inicial de 3.00 m/s, en vez de simplemente dejarse caer. a) ¿Cuál sería entonces su posición después de 1.00 s y 2.00 s? b) ¿Cuál sería su rapidez después de 1.00 s y 2.00 s? Compare estos valores con las rapideces del ejemplo anterior. PLANTEAMIENTO De nuevo utilizamos la ecuación 2-12b, pero ahora v0 no es cero, es v0  3.00 m/s hacia abajo. SOLUCIÓN a) En t  1.00 s, la posición de la pelota dada por la ecuación 2-12b es y = v0 t + 12 at2 = (3.00 m兾s)(1.00 s) + 12 A9.80 m兾s2 B(1.00 s)2 = 7.90 m. En t  2.00 s, (intervalo de tiempo de t  0 a t  2.00 s), la posición es y = v0 t + t = (3.00 m兾s)(2.00 s) + A9.80 m兾s B(2.00 s) = 25.6 m. 1 2 2a 1 2 2 y2 = 19.6 m (después de 2.00 s) +y 2 Como se esperaba, la pelota cae más rápido cada segundo que si se dejara caer con v0  0. b) La velocidad se obtiene con la ecuación 2-12a: v = v0 + at = 3.00 m兾s + A9.80 m兾s2 B(1.00 s) = 12.8 m兾s [en t1 = 1.00 s] = 3.00 m兾s + A9.80 m兾s2 B(2.00 s) = 22.6 m兾s. [en t2 = 2.00 s] En el ejemplo 2-14, cuando la pelota se deja caer (v0  0), el primer término (v0) en las ecuaciones anteriores era cero, por lo que v = 0 + at = A9.80 m兾s2 B(1.00 s) = 9.80 m兾s [en t1 = 1.00 s] = A9.80 m兾s2 B(2.00 s) = 19.6 m兾s. [en t2 = 2.00 s] NOTA Tanto para el ejemplo 2-14 como para el 2-15, la rapidez aumenta linealmente en el tiempo a razón de 9.80 m/s cada segundo. Pero la rapidez de la pelota lanzada verticalmente hacia abajo siempre es 3.00 m/s (su rapidez inicial) mayor que la de una pelota que sólo se deja caer. y3 = 44.1 m (después de 3.00 s) +y a) y (m) EJEMPLO 2–14 Caída desde una torre. Suponga que una pelota se deja caer (v0  0) desde una torre de 70.0 m de altura. ¿Cuánto habrá caído después de un tiempo t1  1.00 s, t2  2.00 s y t3  3.00 s? Desprecie la resistencia del aire. b) 40 30 20 10 0 1 2 t (s) 3 † La rapidez de un objeto que cae en el aire (u otro fluido) no aumenta de manera indefinida. Si el objeto cae una distancia suficiente, alcanzará una velocidad máxima llamada velocidad límite o terminal, debida a la resistencia del aire. SECCIÓN 2–7 Caída libre de objetos 35 B(v = 0) g g v v A C EJEMPLO 2–16 Pelota que se lanza hacia arriba, I. Una persona lanza en el aire una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 15.0 m/s. Calcule a) a qué altura llega y b) cuánto tiempo permanece en el aire antes de regresar a la mano. Ignore la resistencia del aire. PLANTEAMIENTO No estamos interesados aquí con la acción del lanzamiento, sino sólo con el movimiento de la pelota después de que ésta sale de la mano de la persona (figura 2-30) y hasta que regresa a la mano de nuevo. Elegimos y como positiva en la dirección hacia arriba, y negativa hacia abajo. (Ésta es una convención diferente de la usada en los ejemplos 2-14 y 2-15, e ilustra nuestras opciones). La aceleración debida a la gravedad será hacia abajo y tendrá entonces un signo negativo, a  g  9.80 m/s2. Conforme la pelota sube, su rapidez disminuye hasta que alcanza el punto más alto (B en la figura 2-30), donde su rapidez es cero por un instante; y luego desciende con rapidez creciente. SOLUCIÓN a) Consideramos el intervalo de tiempo desde que la pelota salió de la mano del lanzador, hasta que alcanza su punto más alto. Para determinar la altura máxima, calculamos la posición de la pelota cuando su velocidad es cero (v  0 en el punto más alto). En t  0 (punto A en la figura 2-30) tenemos y0  0, v0  15.0 m/s y a  9.80 m/s2. En el tiempo t (altura máxima), v  0, a  9.80 m/s2 y queremos encontrar y. Usamos la ecuación 2-12c reemplazando x por y: v2 = v20 + 2ay. Despejamos y de esta ecuación: y = FIGURA 2–30 Un objeto lanzado al aire sale de la mano del lanzador en A, alcanza su altura máxima en B y regresa a la altura original en C. Ejemplos 2-16, 2-17, 2-18 y 2-19. 0 - (15.0 m兾s)2 v2 - v20 = = 11.5 m. 2a 2A –9.80 m兾s2 B La pelota alcanza una altura de 11.5 m por arriba de la mano. b) Ahora tenemos que elegir un intervalo de tiempo diferente, para calcular cuánto tiempo la pelota permanece en el aire antes de regresar a la mano. Podríamos hacer este cálculo en dos partes, determinando primero el tiempo requerido para que la pelota alcance el punto más alto y luego determinando el tiempo que le toma regresar en caída. Sin embargo, es más sencillo considerar el intervalo de tiempo para el movimiento completo de A a B a C (figura 2-30) en un solo paso, y usar la ecuación 2-12b. Podemos hacer esto así porque y representa posición o desplazamiento, y no la distancia total recorrida. Así, en ambos puntos A y C, y  0. Usamos la ecuación 2-12b con a  9.80 m/s2 y encontramos y = y0 + v0 t + 1 2 2a t 0 = 0 + (15.0 m兾s) t + 1 2 A –9.80 m兾s2 B t2. En esta ecuación ya podemos factorizar (una t): A15.0 m兾s - 4.90 m兾s2 t B t = 0. Hay dos soluciones: t = 0 y t = 15.0 m兾s = 3.06 s. 4.90 m兾s2 La primera solución (t  0) corresponde al punto inicial (A) en la figura 2-30, cuando la pelota se lanzó inicialmente desde y  0. La segunda solución, t  3.06 s, corresponde al punto C, cuando la pelota ha retornado a y  0. De manera que la pelota permanece en el aire 3.06 s. NOTA Ignoramos la resistencia del aire, que podría resultar significativa, por lo que nuestro resultado es sólo una aproximación de una situación práctica real. C U I D A D O Las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones. Algunas veces sólo una corresponde a la realidad; otras veces, ambas 36 CAPÍTULO 2 En este ejemplo no se consideró la acción del lanzamiento. ¿Por qué? Porque durante el lanzamiento la mano del lanzador está en contacto con la pelota y la acelera a una tasa desconocida: la aceleración no es g. Se considera sólo el tiempo en que la pelota está en el aire y la aceleración es igual a g hacia abajo. Toda ecuación cuadrática (donde la variable está al cuadrado) matemáticamente produce dos soluciones. En física, a veces sólo una solución corresponde a la situación real, como en el ejemplo 2-10, en cuyo caso se ignora la solución “no física”. Pero en el ejemplo 2-16, ambas soluciones a la ecuación en t 2 son físicamente significativas: t  0 y t  3.06 s. Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión EJEMPLO CONCEPTUAL 2–17 Dos posibles equivocaciones. Mencione ejemplos que demuestren el error en estas dos ideas falsas: 1. que la aceleración y la velocidad tienen siempre la misma dirección, y 2. que un objeto lanzado hacia arriba tiene aceleración cero en su punto más alto (B en la figura 2-30). RESPUESTA Ambas ideas son incorrectas. 1. La velocidad y la aceleración no tienen necesariamente la misma dirección y sentido. Cuando la pelota del ejemplo 2-16 se mueve hacia arriba, su velocidad es positiva (hacia arriba), mientras que su aceleración es negativa (hacia abajo). 2. En el punto más alto (B en la figura 2-30), la pelota tiene velocidad cero durante un instante. ¿La aceleración también es cero en este punto? No. La velocidad cerca de lo alto del arco apunta hacia arriba, luego se vuelve cero (durante un instante) en el punto más alto y después apunta hacia abajo. La gravedad no cesa de actuar, por lo que a  g  9.80 m/s2 aun en el punto más alto. Pensar que a  0 en el punto B conduciría a la conclusión de que al alcanzar el punto B, la pelota permanecería ahí, ya que si la aceleración ( razón de cambio de la velocidad) fuera cero, la velocidad permanecería igual a cero en el punto más alto y la pelota se quedaría ahí sin caer. En suma, la aceleración de la gravedad siempre apunta hacia abajo, hacia la Tierra, incluso cuando el objeto se mueva hacia arriba. C U I D A D O 1. La velocidad y aceleración no siempre están en la misma dirección; sin embargo, la aceleración (de la gravedad) siempre apunta hacia abajo 2. a Z 0 incluso en el punto más alto de una trayectoria EJEMPLO 2–18 Pelota que se lanza hacia arriba, II. Consideremos de nuevo la pelota lanzada hacia arriba del ejemplo 2-16 y hagamos más cálculos. Calcule a) cuánto tiempo le toma a la pelota alcanzar su altura máxima (punto B en la figura 2-30), y b) la velocidad de la pelota cuando retorna a la mano del lanzador (punto C). PLANTEAMIENTO De nuevo suponemos que la aceleración es constante, por lo que usamos las ecuaciones 2-12. Tomamos la altura de 11.5 m del ejemplo 2-16. De nuevo consideramos y positiva hacia arriba. SOLUCIÓN a) Se considera el intervalo de tiempo entre el lanzamiento (t  0, v0  15.0 m/s) y lo alto de la trayectoria (y  11.5 m, v  0) y se quiere encontrar t. La aceleración es constante con a  g  9.80 m/s2. Las ecuaciones 2-12a y 2-12b contienen ambas el tiempo t junto con otras cantidades conocidas. Usemos la ecuación 2-12a con a  9.80 m/s2, v0  15.0 m/s y v  0: v = v0 + at; haciendo v  0 y despejando t obtenemos, t = – v0 15.0 m兾s = – = 1.53 s. a –9.80 m兾s2 Esto es justamente la mitad del tiempo que le toma a la pelota subir y regresar a su posición original [3.06 s, calculado en el inciso b) del ejemplo 2-16]. Le toma entonces a la pelota el mismo tiempo alcanzar la altura máxima que caer de regreso al punto de inicio. b) Ahora se considera el intervalo de tiempo desde el lanzamiento (t  0, v0  15.0 m/s) hasta el regreso de la pelota a la mano, lo que ocurre en t  3.06 s (como se calculó en el ejemplo 2-16) y queremos encontrar v cuando t  3.06 s: v = v0 + at = 15.0 m兾s - A9.80 m兾s2 B(3.06 s) = –15.0 m兾s. NOTA La pelota tiene la misma rapidez (magnitud de la velocidad) cuando regresa al punto de inicio, que la que tenía cuando fue lanzada, pero en sentido opuesto (esto es lo que significa el signo negativo). De modo que, tal como calculamos en el inciso a), el tiempo es el mismo al subir que al bajar. De manera que el movimiento es simétrico con respecto punto de altura máxima. Con frecuencia la aceleración de objetos como aviones rápidos y cohetes se proporciona como un múltiplo de g  9.80 m/s2. Por ejemplo, un avión que sale de una picada y experimenta 3.00 g tendría una aceleración de (3.00)(9.80 m/s2)  29.4 m/s2. EJERCICIO I Si se dice que un automóvil acelera a 0.50 g, ¿cuál será su aceleración en m/s2? SECCIÓN 2–7 Caída libre de objetos 37 B(v = 0) g g EJEMPLO 2–19 Pelota que se lanza hacia arriba, III; la fórmula cuadrática. Para la pelota del ejemplo 2-18, calcule en qué tiempo t la pelota pasa por un punto a 8:00 m sobre la mano de la persona. (Véase la figura 2-30 que se repite aquí). PLANTEAMIENTO Se elige el intervalo de tiempo desde el lanzamiento (t  0, v0  15.0 m/s) hasta el tiempo t (a determinar) cuando la pelota está en la posición y  8.00 m, usando la ecuación 2-12b. SOLUCIÓN Se busca t dados y  8.00 m, y0  0, v0  15.0 m/s y a  9.80 m/s2. Utilice la ecuación 2-11b: y = y0 + v0 t + v v 1 2 2a t 8.00 m = 0 + (15.0 m兾s) t + 1 2 A –9.80 m兾s2 B t2. Para resolver cualquier ecuación cuadrática de la forma at2  bt  c  0, donde a, b y c son constantes (aquí, a no es la aceleración), podemos emplear la fórmula cuadrática: –b 3b2 - 4ac . 2a Reescribiendo la ecuación para y que se propusimos arriba en la forma estándar at2  bt  c  0, obtenemos: t = A C A4.90 m兾s2 B t2 - (15.0 m兾s) t + (8.00 m) = 0. De este modo, el coeficiente a es 4.90 m/s2, b es tos valores en la fórmula cuadrática obtenemos 15.0 m兾s 3(15.0 m兾s)2 - 4A4.90 m兾s2 B(8.00 m) , 2A4.90 m兾s2 B t = FIGURA 2–30 (Repetida del ejemplo 2-19) 15.0 m/s y c es 8.00 m. Al poner es- lo cual da como resultado t  0.69 s y t  2.37 s. ¿Son ambas soluciones válidas? Sí, porque la pelota pasa por y  8.00 m cuando va subiendo (t  0.69 s) y de nuevo cuando va bajando (t  2.37 s). NOTA La figura 2-31 muestra las gráficas de a) y versus t y b) v versus t para la pelota que se lanza hacia arriba en la figura 2-30, incorporando los resultados de los ejemplos 2-16, 2-18 y 2-19. FIGURA 2–31 Gráficas de a) y versus t, b) v versus t para una pelota lanzada hacia arriba, ejemplos 2-16, 2-17 y 2-18. 12 20 y = 11.5 m 15 10 t = 1.53 s t= 0.69 s 6 10 t= 2.37 s v (m/s) y (m) 8 5 t = 1.53 s 0 –5 4 –10 2 0 0 a) –15 0.5 1 1.5 2 t (s) 2.5 3 3.5 –20 (b) 0 0.5 1 1.5 2 t (s) 2.5 3 3.5 EJEMPLO 2–20 Pelota que se lanza hacia arriba en el borde de un acantilado. Suponga que la persona de los ejemplos 2-16, 2-17 y 2-18 está de pie en el borde de un acantilado, de manera que la pelota puede caer al fondo del acantilado que está 50.0 m abajo del punto de partida, como se muestra en la figura 2-32. a) ¿Cuánto tiempo le toma a la pelota llegar al fondo del acantilado? b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por la pelota? Ignore la resistencia del aire (probablemente sea significativa, por lo que nuestro resultado será una aproximación). PLANTEAMIENTO a) Usamos de nuevo la ecuación 2-12b; pero esta vez tomamos y  50.0 m (el fondo del acantilado), que está 50.0 m por debajo de la posición inicial (y0  0). 38 CAPÍTULO 2 Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión SOLUCIÓN a) Usamos la ecuación 12-2b con a  y  50.0 m: 9.80 m/s2, v0  15.0 m/s, y0  0, y y t y = y0 + v0 t + –50.0 m = 0 + (15.0 m兾s) t - 12 A9.80 m兾s2 B t2. Reescribiéndola en la forma estándar, tenemos 1 2 2a y=0 A4.90 m兾s2 B t2 - (15.0 m兾s) t - (50.0 m) = 0. Usando la fórmula cuadrática, encontramos las soluciones t  5.07 s y t  2.01 s. La primera solución, t  5.07 s, es la respuesta a nuestro problema: es el tiempo que le toma a la pelota subir a su punto más alto y luego caer al fondo del acantilado. Sabemos que a la pelota le tomó 3.06 s subir y bajar a la parte superior del acantilado (ejemplo 2-16); por lo que le tomó 2.01 s adicionales caer hasta el fondo. ¿Pero qué sentido tiene la otra solución de t  2.01 s? Éste es un tiempo anterior al lanzamiento, cuando empezó nuestro cálculo, por lo que no es relevante aquí.† b) Del ejemplo 2-16, la pelota sube 11.5 m, baja 11.5 m de regreso a la cima del acantilado y luego cae 50.0 m más al fondo del acantilado, para una distancia total recorrida de 73.0 m. Sin embargo, note que el desplazamiento fue sólo de 50.0 m. La figura 2-33 muestra la gráfica de y versus t para esta situación. y = 250 m * 2–8 Aceleración variable; cálculo integral En esta breve sección opcional usamos el cálculo integral para obtener las ecuaciones cinemáticas con aceleración constante, ecuaciones 2-12a y b. Mostramos también cómo puede usarse el cálculo cuando la aceleración no es constante. Si usted no ha estudiado aún la integración simple en su curso de cálculo, le convendría dejar la lectura de esta sección para después. Analizaremos con más detalle la integración en la sección 7-3, donde empezaremos a usarla en la física. Primero obtenemos la ecuación 2-12a, suponiendo, como hicimos en la sección 2-5, que el objeto tiene velocidad v0 en t  0 y una aceleración constante a. Empezamos con la definición de aceleración instantánea, a  dv/dt, que reescribimos como dv = a dt. FIGURA 2–32 Ejemplo 2-20. La persona en la figura 2-30 está de pie en el borde de un acantilado. La pelota cae al fondo de éste, 50.0 m abajo. FIGURA 2–33 Ejemplo 2-20; gráfica y versus t. Mano 10 0 10 y (m) EJERCICIO J Dos pelotas se lanzan desde un acantilado. Una se lanza directamente hacia arriba, y la otra directamente hacia abajo. Ambas tienen la misma rapidez inicial y las dos golpean el suelo debajo del acantilado. ¿Cuál pelota golpea el suelo con mayor rapidez: a) la pelota lanzada hacia arriba, b) la pelota lanzada hacia abajo o c) ambas con igual rapidez? Ignore la resistencia del aire. 20 30 t= 5.07 s 40 50 0 Fondo del acantilado 1 2 3 t (s) 4 5 6 Tomamos la integral definida de ambos lados de esta ecuación, usando la misma notación que en la sección 2-5: t v 冮 dv v = v0 = 冮 a dt t=0 que da, ya que a  constante, v - v0 = at. Que corresponde con la ecuación 2-12a, v  v0  at. Ahora derivamos la ecuación 2-12b comenzando con la definición de velocidad instantánea, ecuación 2-4, v  dx/dt. La reescribimos como dx = v dt o dx = Av0 + at B dt donde sustituimos la ecuación 2-12a. † La solución t  2.01 s podría tener sentido en una situación física diferente. Suponga que una persona de pie en la cima de un acantilado de 50.0 m de altura ve pasar una roca que se mueve hacia arriba a 15.0 m/s en t  0; ¿en qué tiempo partió la roca de la base del acantilado y cuándo regresará a este lugar? Las ecuaciones serán precisamente las mismas que para nuestro problema original y las respuestas t  2.01 s y t  5.07 s serán las correctas. Advierta hay que tener cuidado con los resultados puramente matemáticos, por lo que debemos usar el sentido común al interpretar los resultados. *SECCIÓN 2–8 Aceleración variable; cálculo integral 39 Ahora integramos: 冮 x t 冮 Av dx = 0 x = x0 + at B dt t=0 t 冮 x - x0 = t v0 dt + x - x0 = v0 t + 冮 at dt t=0 t=0 1 2 2a t dado que v0 y a son constantes. Este resultado es justamente la ecuación 2-12b, x = x0 + v0 t + 12 at2. Finalmente usemos el cálculo para encontrar la velocidad y el desplazamiento, dada una aceleración que no es constante sino que varía con el tiempo. EJEMPLO 2–21 Integración de una aceleración variable con el tiempo. Un vehículo experimental parte del reposo (v0  0) en t  0 y acelera a una razón dada por a  (7.00 m/s3)t. ¿Cuáles son a) su velocidad y b) su desplazamiento 2.00 s después? PLANTEAMIENTO No podemos usar las ecuaciones 2-12 porque a no es constante. Integramos la aceleración a  dv/dt sobre el tiempo para encontrar v como una función del tiempo; y luego integramos v  dx/dt para obtener el desplazamiento. SOLUCIÓN De la definición de aceleración, a  dv/dt, tenemos dv = a dt. Tomamos la integral de ambos lados, desde v  0 en t  0 hasta una velocidad v en un tiempo arbitrario t: t v 冮 dv = 0 冮 a dt 冮 A7.00 m兾s B t dt 0 t v = 3 0 = A7.00 m兾s3 B ¢ t2 2 ≤2 t = A7.00 m兾s3 B ¢ 0 t2 2 - 0 ≤ = A3.50 m兾s3 B t2. En t  2.00 s, v  (3.50 m/s3) (2.00 s)2  14.0 m/s. b) Para obtener el desplazamiento, suponemos x0  0 y comenzamos con v  dx/dt, que reescribimos como dx  v dt. Integramos entonces desde x  0 en t  0 hasta la posición x en el tiempo t: x 冮 dx t = 0 x = 冮 v dt 0 2.00 s 冮 A3.50 m兾s B t dt 3 2 = A3.50 m兾s3 B 0 t3 3 2 2.00 s = 9.33 m. 0 En suma, en t  2.00 s, v  14.0 m/s y x  9.33 m. * 2–9 Análisis gráfico e integración numérica Esta sección es opcional. En ella se analiza cómo resolver numéricamente ciertos problemas; a menudo se requiere una calculadora para realizar las sumas. Parte de este material también se cubre en la sección 7-3 del capítulo 7. Si conocemos la velocidad v de un objeto como una función del tiempo t, podemos obtener el desplazamiento, x. Suponga que la velocidad como una función del tiempo, v(t), está dada como una gráfica (y no como una ecuación que podría integrarse como se explicó en la sección 2-8), según se observa en la figura 2-34a. Si nos interesa el intervalo de tiempo de t1 a t2, como se muestra, dividimos el eje del tiempo en muchos subintervalos pequeños, t1, t2, t3,…, que se indican con las líneas punteadas verticales. Para cada subintervalo, se dibuja una línea punteada horizontal para indicar la velocidad promedio 40 CAPÍTULO 2 Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión durante ese intervalo de tiempo. El desplazamiento durante cualquier subintervalo está dado por xi, donde el subíndice i representa un subintervalo particular (i  1, 2, 3,…). A partir de la definición de velocidad promedio (ecuación 2.2), tenemos que ¢xi = vi ¢ ti . Por lo tanto, el desplazamiento durante cada subintervalo de tiempo es igual al producto de v–i y ti, y es igual al área del rectángulo oscuro de la figura 2.34a para ese subintervalo de tiempo. El desplazamiento total entre los tiempos t1 y t2 es entonces la suma de los desplazamientos a lo largo de todos los subintervalos pequeños: v vi 0 t2 x2 - x1 = a vi ¢ ti , (2–13a) 0 t1 t1 donde x1 es la posición en t1 y x2 es la posición en t2. Esta suma es igual al área de todos los rectángulos mostrados. En general es difícil estimar v–i, con precisión para cada subintervalo de la gráfica. Podemos mejorar la exactitud de nuestro cálculo de x2 x1 dividiendo el intervalo t2 t1 en más subintervalos, pero más estrechos. De manera ideal, podemos hacer que cada ti tienda a cero, de manera que nos aproximamos (en principio) a un número infinito de subintervalos. En el límite, el área de todos estos rectángulos infinitesimalmente delgados se vuelve exactamente igual al área bajo la curva (figura 2-34b). Por consiguiente, el desplazamiento total entre cualesquiera dos tiempos es igual al área bajo la curva de velocidad como función del tiempo entre los dos tiempos t1 y t2. Este límite se representa como t2 v 0 t t1 t2 b) t1 o, usando una notación estándar de cálculo, x2 - x1 = t2 a) 0 x2 - x1 = lím a vi ¢ ti ¢t S 0 t ti t2 冮 v(t) dt. (2–13b) t1 Hacemos que t S 0 y se renombra como dt para indicar que ahora es infinitesimalmente pequeño. La velocidad promedio, v–, en un tiempo infinitesimal dt es la velocidad instantánea en ese instante, que hemos denotado como v(t) para recordar que v es una función de t. El símbolo μ es una S alargada e indica la suma de un número infinito de subintervalos infinitesimales. Se dice que estamos tomando la integral de v(t) sobre dt del tiempo t1 al tiempo t2, y esto es igual al área entre la curva v(t) y el eje t entre los tiempos t1 y t2 (figura 2-34b). La integral en la ecuación 2-13b es una integral definida, puesto que se especifican los límites t1 y t2. De manera similar, si sabemos que la aceleración es una función del tiempo, es posible obtener la velocidad mediante el mismo procedimiento. Utilizamos la definición de la aceleración promedio (ecuación 2-5) y se despeja para v: FIGURA 2–34 Gráfica de v versus t para el movimiento de una partícula. En a) el eje de tiempo se divide en subintervalos de ancho ti, la velocidad promedio durante cada ti es vi, y el área de todos los rectángulos, viti, es numéricamente igual al desplazamiento total (x2 x1) durante el tiempo total (t2 t1). En b), ti S 0 y el área bajo la curva es igual a (x2 x1). ¢v = a ¢ t. Si se sabe que a es una función de t a lo largo de cierto intervalo de tiempo t1 a t2, podemos subdividir este intervalo de tiempo en muchos subintervalos, ti, como se hizo en la figura 2-34a. El cambio en la velocidad durante cada subintervalo es ¢vi = ai ¢ ti . El cambio total en la velocidad del tiempo t1 al tiempo t2 es t2 v2 - v1 = a ai ¢ ti , (2–14a) t1 donde v2 representa la velocidad en t2 y v1 la velocidad en t1. Esta relación se puede representar como una integral haciendo que t S 0 (de manera que el número de intervalos tiende a infinito) t2 v2 - v1 = lím a ai ¢ ti ¢t S 0 t1 o v2 - v1 = t2 冮 a(t) dt. (2–14b) t1 Las ecuaciones 2-14 nos permitirán determinar la velocidad v2 en un cierto tiempo t2 si se conoce la velocidad en t1 y se conoce la alceleración a como función del tiempo. Si se conoce la aceleración o la velocidad en intervalos de tiempo discretos, podemos usar las formas de sumatoria de las ecuaciones anteriores, 2-13a y 2-14a, para estimar la velocidad o el desplazamiento. Esta técnica se conoce como integración numérica. Ahora veremos un ejemplo que también puede evaluarse analíticamente, de manera que podamos comparar los resultados. *SECCIÓN 2–9 Análisis gráfico e integración numérica 41 EJEMPLO 2–22 Integración numérica. Un objeto parte del reposo en t  0 y acelera a razón de a(t)  (8.00 m/s4)t2. Determine su velocidad después de 2.00 s utilizando métodos numéricos. PLANTEAMIENTO Dividamos primero el intervalo que va de t  0.00 s a t  2.00 s en cuatro subintervalos, cada uno con una duración ti  0.50 s (figura 2-35). Utilizamos la ecuación 2-14a con v2  v, v1  0, t2  2.00 s y t1  0. Para cada uno de los subintervalos es necesario calcular ai. Hay varias formas de hacerlo y utilizamos el sencillo método de elegir ai como la aceleración a(t) en el punto medio de cada intervalo (un procedimiento todavía más sencillo pero por lo general menos preciso sería utilizar el valor de a al inicio del subintervalo). Esto es, se evalúa a(t)  (8.00 m/s4)t2 en t  0.25 s (que está a la mitad del camino entre 0.00 s y 0.50 s), 0.75 s, 1.25 s y 1.75 s. SOLUCIÓN Los resultados son los siguientes: a (m/s2) 32.00 a4 24.00 16.00 a3 8.00 0 i a2 a1 0 0.50 1.00 1.50 2.0 ai Am兾s B 2 t (s) FIGURA 2–35 Ejemplo 2–22. 1 2 3 4 0.50 4.50 12.50 24.50 Ahora usamos la ecuación 2-14a y notamos que cualquier Δti es igual a 0.50 s (de manera que podemos factorizar): v(t = 2.00 s) = t = 2.00 s a ai ¢ ti t=0 = A0.50 m兾s2 + 4.50 m兾s2 + 12.50 m兾s2 + 24.50 m兾s2 B(0.50 s) = 21.0 m兾s. Comparamos este resultado con la solución analítica dada por la ecuación 2-14b ya que la forma funcional para a es analíticamente integrable: 2.00 s 8.00 m兾s4 3 2.00 s A8.00 m兾s4 B t2 dt = t 2 v = 3 0 0 8.00 m兾s4 C (2.00 s)3 - (0)3 D = 21.33 m兾s = 3 o 21.3 m/s con el número adecuado de cifras significativas. Esta solución analítica es precisa y vemos que nuestra estimación numérica no está lejos aun cuando usamos sólo cuatro intervalos de Δt. Quizá no sea lo suficientemente cercano para propósitos que requieran gran exactitud. Si utilizamos subintervalos cada vez más pequeños, obtendremos un resultado más exacto. Si usamos 10 subintervalos, cada uno con Δt  2.00 s/10  0.20 s, tenemos que evaluar a(t) en t  0.10 s, 0.30 s,…, 1.90 s para obtener los ai, que son como sigue: 冮 i ai Am兾s B 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.08 0.72 2.00 3.92 6.48 9.68 13.52 18.00 23.12 28.88 Entonces, de la ecuación 2-14 obtenemos v(t = 2.00 s) = a ai ¢ ti = A a ai B(0.200 s) = A106.4 m兾s2 B(0.200 s) = 21.28 m兾s, donde conservamos una cifra significativa adicional para demostrar que este resultado es mucho más cercano al valor analítico (exacto); pero aun así no es idéntico a éste. La diferencia porcentual disminuye de 1.4% (0.3 m/s2/21.3 m/s2) en el cálculo de cuatro subintervalos a sólo 0.2% (0.05/21.3) en el de 10 subintervalos. 42 CAPÍTULO 2 En el ejemplo anterior se nos dio una función analítica que era integrable, de manera que podemos comparar la exactitud del calculo numérico con el valor preciso conocido. Pero, ¿qué haremos si la función no es integrable, de manera que no podamos comparar nuestros resultados numéricos con uno analítico? Es decir, ¿cómo sabremos si hemos considerado suficientes subintervalos para que confiemos en que nuestro cálculo estimado sea exacto dentro de una incertidumbre deseada, digamos, de 1 por ciento? Lo que podemos hacer es comparar dos cálculos numéricos sucesivos: el primero realizado con n subintervalos y el segundo con, digamos, el doble de subintervalos (2n). Si los dos resultados están dentro de la incertidumbre deseada (digamos 1 por ciento), podemos suponer por lo general que el cálculo con más subintervalos está dentro de la incertidumbre deseada del valor verdadero. Si los dos cálculos no tienen esa cercanía, entonces debe hacerse un tercer cálculo con más subintervalos (tal vez del doble, 10 veces más, dependiendo de qué tan buena haya sido la estimación previa), para compararse con el anterior. El procedimiento se automatiza fácilmente usando la aplicación por computadora de una hoja de cálculo. Si también queremos obtener el desplazamiento x en algún momento, tendríamos que hacer una segunda integración numérica sobre v, lo cual significa que primero necesitaríamos calcular v para muchos tiempos diferentes. Las calculadoras y las computadoras programables son muy útiles para realizar sumas grandes. Al final de muchos capítulos de este libro se presentan problemas que utilizan estas técnicas numéricas, se denominan ejercicios númericos/por computadora, y se marcan con un asterisco para indicar que son opcionales. Resumen [El resumen que aparece al final de cada capítulo en este libro da un breve panorama general de las ideas principales del capítulo. El resumen no puede servir para obtener un entendimiento cabal del material, lo cual se logra sólo mediante una lectura cuidadosa del capítulo]. La aceleración es el cambio de velocidad por unidad de tiempo. La aceleración promedio de un objeto sobre un intervalo de tiempo t es La cinemática trata de la descripción de cómo se mueven los objetos. La descripción del movimiento de cualquier objeto debe darse siempre en relación con algún marco de referencia. El desplazamiento de un objeto es el cambio en la posición del mismo. La rapidez promedio es la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido o el intervalo de tiempo, t, que es el periodo durante el cual elegimos realizar nuestras observaciones. La velocidad promedio de un objeto sobre un intervalo particular de tiempo t se define como el desplazamiento x durante ese intervalo de tiempo, dividido entre t: donde v es el cambio de velocidad durante el intervalo de tiempo t. La aceleración instantánea es la aceleración promedio tomada durante un intervalo de tiempo infinitesimalmente corto: v = ¢x . ¢t ¢t S 0 ¢x dx , = ¢t dt (2–4) donde dx/dt es la derivada de x con respecto a t. Sobre una gráfica de posición versus tiempo, la pendiente es igual a la velocidad instantánea. ¢v , ¢t a = lím ¢t S 0 (2–5) ¢v dv . = ¢t dt (2–6) Si un objeto se mueve en una línea recta con aceleración constante, la velocidad v y la posición x están relacionadas con la aceleración a, el tiempo transcurrido t, la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0, mediante las ecuaciones 2-12: v = v0 + at, (2–2) La velocidad instantánea, cuya magnitud es la misma que la rapidez instantánea, se define como la velocidad promedio tomada sobre un intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño (t S 0): v = lím a = v2 = v20 + 2aAx - x0 B, x = x0 + v0 t + v = v + v0 . 2 1 2 2a , t (2–12) Los objetos que se mueven verticalmente cerca de la superficie de la Tierra, ya sea que caigan o se lancen verticalmente hacia arriba o hacia abajo, se mueven con la aceleración debida a la gravedad constante hacia abajo, con magnitud de g  9.80 m/s2, ignorando la resistencia del aire. [*Las ecuaciones cinemáticas 2-12 pueden derivarse usando cálculo integral]. Preguntas 1. ¿El velocímetro de un automóvil mide rapidez, velocidad o ambas? 2. ¿Un objeto puede tener una rapidez variable si su velocidad es constante? ¿Puede tener velocidad variable si su rapidez es constante? En caso afirmativo, dé ejemplos en cada caso. 3. Cuando un objeto se mueve con velocidad constante, ¿su velocidad promedio durante cualquier intervalo de tiempo difiere de su velocidad instantánea en cualquier otro instante? 4. Si un objeto tiene una rapidez mayor que un segundo objeto, ¿tiene el primero necesariamente una aceleración mayor? Explique usando ejemplos. 5. Compare la aceleración de una motocicleta que acelera de 80 km/h a 90 km/h, con la aceleración de una bicicleta que acelera del reposo a 10 km/h en el mismo tiempo. 6. ¿Puede un objeto tener una velocidad hacia el norte y una aceleración hacia el sur? Explique. 7. ¿La velocidad de un objeto puede ser negativa cuando su aceleración es positiva? ¿Y viceversa? 8. Dé un ejemplo donde tanto la velocidad como la aceleración sean negativas. 9. Dos automóviles entran lado a lado de un túnel. El automóvil A viaja con una rapidez de 60 km/h y tiene una aceleración de 40 km/h/min. El automóvil B tiene una rapidez de 40 km/h y tiene una aceleración de 60 km/h/min. ¿Cuál automóvil irá adelante cuando salgan del túnel? Explique su razonamiento. 10. ¿Puede un objeto incrementar su rapidez si su aceleración disminuye? Si es así, dé un ejemplo. Si no, explique. 11. Un jugador de béisbol batea un foul recto en el aire. La pelota sale del bate con una rapidez de 120 km/h. En ausencia de resis- 12. 13. 14. 15. 16. 17. tencia del aire, ¿cuál será la rapidez de la pelota cuando la atrape el catcher? Cuando un objeto en caída libre incrementa su velocidad, ¿qué pasa a su aceleración, aumenta, disminuye o permanece igual? a) Ignore la resistencia del aire. b) Considere la resistencia del aire. Usted viaja del punto A al punto B en un automóvil que se mueve con rapidez constante de 70 km/h. Luego viaja la misma distancia del punto B a otro punto C, moviéndose con rapidez constante de 90 km/h. ¿Su velocidad promedio para el viaje completo de A a C es igual a 80 km/h? Explique su respuesta. ¿Puede un objeto tener velocidad cero y aceleración distinta de cero al mismo tiempo? Mencione algunos ejemplos. ¿Puede un objeto tener aceleración cero y velocidad distinta de cero al mismo tiempo? Mencione algunos ejemplos. ¿Cuál de estos movimientos no tiene aceleración constante: una roca que cae desde un acantilado, un elevador que asciende desde el segundo piso hasta el quinto pisos con paradas durante el trayecto, un plato que descansa sobre una mesa? En una demostración durante una conferencia, una cuerda vertical de 3.0 m de largo que tiene amarrados 10 tornillos a intervalos iguales se suelta desde el techo del salón de conferencias. La cuerda cae sobre una placa de lámina, y la clase escucha el tintineo de cada tornillo conforme golpea contra la placa. Los sonidos no ocurrirán a intervalos de tiempo iguales. ¿Por qué? ¿El tiempo entre tintineos aumentará o disminuirá cerca del final de la caída? ¿Cómo amarraría usted los tornillos de manera que los tintineos ocurran a intervalos iguales? Preguntas 43 18. Describa con palabras el movimiento graficado en la figura 2-36 en términos de v, a, etcétera. [Sugerencia: Primero intente duplicar el movimiento graficado caminando o moviendo la mano]. 19. Describa con palabras el movimiento del objeto graficado en la figura 2-37. 40 30 v (m/s) x (m) 20 20 10 10 0 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 60 70 t (s) 80 90 100 110 120 FIGURA 2–37 Pregunta 19 y problema 23. t (s) FIGURA 2–36 Pregunta 18, problemas 9 y 86. Problemas [Los problemas al final de cada capítulo están clasificados como I, II o III, de acuerdo con la dificultad estimada de cada uno; siendo los problemas I los más sencillos. Los problemas de nivel III se presentan especialmente como un desafío para los mejores estudiantes. Los problemas están ubicados por secciones, lo cual significa que el lector deberá leer esa sección; pero no sólo esa sección, ya que los problemas a menudo incluyen material de secciones previas. Finalmente, hay un conjunto de “problemas generales” que no están ordenados por sección ni están clasificados por grado de dificultad]. 2–1 a 2-3 Rapidez y velocidad 1. (I) Si usted va manejando a 110 km/h a lo largo de una carretera recta y se distrae durante 2.0 s, ¿qué distancia recorre en este periodo de falta de atención? 2. (I) ¿Cuál debe ser la rapidez promedio de su automóvil para recorrer 235 km en 3.25 h? 3. (I) En t1  2.0 s, una partícula está en x1  4.3 cm y en t2  4.5 s está en x2  8.5 cm. ¿Cuál es la velocidad promedio de la partícula? ¿Puede calcular la rapidez promedio con estos datos? 4. (I) Una pelota que rueda se mueve desde x1  3.4 cm hasta x2  4.2 cm durante el tiempo desde t1  3.0 s hasta t2  5.1 s. ¿Cuál es su velocidad promedio? 5. (II) De acuerdo con una regla empírica, cada cinco segundos entre un relámpago y el siguiente trueno indican la distancia al relámpago en millas. Suponiendo que la luz del relámpago llega instantáneamente, estime la rapidez del sonido en m/s a partir de esta regla. ¿Cuál sería la regla en kilómetros en vez de millas? 6. (II) Usted va conduciendo un automóvil de la escuela a la casa a 95 km/h de manera uniforme a lo largo de 130 km. Empieza a llover, baja la velocidad a 65 km/h y llega a casa después de conducir durante 3 horas y 20 minutos. a) ¿Qué tan lejos está su casa de la escuela? b) ¿Cuál fue la rapidez promedio? 9. (II) La posición de un conejo a lo largo de un túnel recto en función del tiempo se grafica en la figura 2-36. ¿Cuál es su velocidad instantánea a) en t  10.0 s y b) en t  30.0 s? ¿Cuál es su velocidad promedio c) entre t  0 y t  5.0 s, d) entre t  25.0 s y t  30.0 s, y e) entre t  40.0 s y t  50.0 s? 10. (II) En un disco compacto de audio (CD), los bits de información digital se codifican secuencialmente a lo largo de una trayectoria espiral. Cada bit ocupa aproximadamente 0.28 mm. Un lector láser del reproductor de CD escanea a lo largo de la secuencia de bits en la espiral a una rapidez constante de aproximadamente 1.2 m/s conforme gira el CD. a) determine el número N de bits digitales que un reproductor de CD lee cada segundo. b) La información del audio se envía a cada uno de los dos altavoces (bocinas) 44,100 veces por segundo. Cada una de estas muestras requiere 16 bits y así (a primera vista) se creería que la razón de bits requerida por el reproductor de CD es N 0 = 2 a44,100 muestras bits bits , b a16 b = 1.4 * 106 segundo muestra segundo donde el 2 corresponde a los 2 altavoces (los dos canales del sonido estéreo). Advierta que N0 es menor que el número N de bits que en realidad lee cada segundo un reproductor de CD. El número excedente de bits ( N N0) se requiere para codificar y corregir errores. ¿Qué porcentaje de bits en un CD están dedicados a codificar y corregir errores? 11. (II) Un automóvil que viaja a 95 km/h va 110 m atrás de un camión que viaja a 75 km/h. ¿Cuánto tiempo le tomará al automóvil alcanzar al camión? 12. (II) Dos locomotoras se acercan entre sí sobre vías paralelas. Cada una tiene una rapidez de 95 km/h con respecto al suelo. Si inicialmente están separadas entre sí 8.5 km, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se encuentren? (Véase la figura 2-38). 7. (II) Un caballo se aleja de su entrenador galopando en línea recta una distancia de 116 m en 14.0 s. Luego regresa abruptamente y recorre la mitad de la distancia en 4.8 s. Calcule a) la rapidez promedio y b) la velocidad promedio para todo el viaje, usando “alejándose de su entrenador” como el sentido positivo del movimiento. 8.5 km v = 95 km/h v = 95 km/h 8. (II) La posición de un objeto pequeño está dada por x  34  10t 2t3, donde t está en segundos y x en metros. a) Grafique x como función de t desde t  0 hasta t  3.0 s. b) Encuentre la velocidad promedio del objeto entre 0 y 3.0 s. c) ¿A qué tiempo entre 0 y 3.0 s la velocidad instantánea es igual a cero? 44 CAPÍTULO 2 FIGURA 2–38 Problema 12. Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión 13. (II) Los bits digitales en un CD de audio de 12.0 cm de diáme- 23. (I) La figura 2-37 muestra la velocidad de un tren en función tro se codifican a lo largo de una trayectoria en espiral hacia fuera, que inicia en el radio R1  2.5 cm y termina en el radio R2  5.8 cm. La distancia entre los centros del enrollado en espiral colindantes es de 1.6 mm ( 1.6 10 6 m). a) Determine la longitud total de la trayectoria en espiral. [Sugerencia: Imagine que “desenrolla” la espiral como una trayectoria recta con 1.6 mm de ancho, y note que la espiral original y la trayectoria recta ocupan ambas la misma área]. b) Para leer información, un reproductor de CD ajusta la rotación del CD de manera que su lector láser se mueve a lo largo de la trayectoria en espiral a una rapidez constante de 1.25 m/s. Estime el tiempo máximo de reproducción de un CD como éste. del tiempo. a) ¿En qué momento su velocidad fue máxima? b) ¿Durante qué periodos de tiempo, si los hubo, su velocidad fue constante? c) ¿Durante qué periodos de tiempo, si los hubo, su aceleración fue constante? d) ¿Cuándo fue máxima la magnitud de la aceleración? 24. (II) Un automóvil deportivo que se mueve con rapidez constante viaja 110 m en 5.0 s. Si después frena y se detiene en 4.0 s, ¿cuál es la magnitud de su aceleración en m/s2 y en unidades de g (g  9.80 m/s2)? 25. (II) Un automóvil que se mueve en línea recta parte de x  0 en t  0. Pasa el punto x  25.0 m con rapidez de 11.0 m/s en t  3.00 s. Pasa el punto x  385 m con rapidez de 45.0 m/s en t  20.0 s. Encuentre a) la velocidad promedio y b) la aceleración promedio entre t  3.00 s y t  20.0 s. 26. (II) Un automóvil particular puede acelerar aproximadamente como se muestra en la gráfica de velocidad versus tiempo de la figura 2-40. (Las porciones rectas en la curva representan el cambio de engranes (también conocidos como “velocidades”). Estime la aceleración promedio del automóvil durante a) el segundo engrane; y b) el cuarto engrane. c) ¿Cuál es su aceleración promedio a través de los primeros cuatro engranes? 15. 16. 17. 18. encuentra un viento en cola que incrementa su rapidez a 990 km/h durante los siguientes 2800 km. ¿Cuál fue el tiempo total del viaje? ¿Cuál fue la rapidez promedio del avión durante el viaje? [Sugerencia: ¿Se aplica la ecuación 2-12d, o no?]. (II) Calcule la rapidez promedio y la velocidad promedio de un viaje redondo en el que los 250 km de ida se recorrieron a 95 km/h, seguido de una hora para almorzar, y el camino de retorno de 250 km se cubrió a 50 km/h. (II) La posición de una pelota que rueda en línea recta está dada por x  2.0 3.6t  1.1t 2, donde x está en metros y t en segundos. a) Determine la posición de la pelota en t  1.0 s, 2.0 s y 3.0 s. b) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo de t  1.0 s a t  3.0 s? c) ¿Cuál es su velocidad instantánea en t  2.0 s y en t 3.0 s? (II) Un perro corre 120 m alejándose de su amo en línea recta en 8.4 s y luego corre de regreso la mitad de esa distancia en una tercera parte de ese tiempo. Calcule a) su rapidez promedio y b) su velocidad promedio. (III) Un automóvil que viaja a 95 km/h alcanza a un tren de 1.10 km de largo que viaja en el mismo sentido sobre una vía paralela al camino. Si la rapidez del tren es de 75 km/h, ¿qué tiempo le tomará al automóvil rebasar al tren y qué distancia habrá viajado el auto en este tiempo? Véase la figura 2-39. ¿Qué resultados se obtienen si el tren y el automóvil viajan ambos en sentidos opuestos? 50 5to. engrane 4to. engrane 40 vv (m/s) 14. (II) Un avión viaja 3100 km a una rapidez de 720 km/h y luego 3er. engrane 30 20 2do. engrane 10 0 1er. engrane 0 10 20 30 40 t (s) FIGURA 2–40 Problema 26. La velocidad de un automóvil de alto desempeño en función del tiempo, partiendo del reposo (tope fijo). Las porciones rectas en la curva representan cambios de engrane. 1.10 km v  75 km/h 27. (II) Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición cov  95 km/h FIGURA 2–39 Problema 18. 19. (III) Una bola de bolos (boliche) que rueda con rapidez constante golpea los pinos al final de la mesa de 16.5 m de longitud. El jugador escucha el sonido de la bola que golpea los pinos 2.50 s después de que la lanza. ¿Cuál es la rapidez de la bola, suponiendo que la rapidez del sonido es de 340 m/s? 2–4 Aceleración 20. (I) Un auto deportivo acelera desde el reposo hasta alcanzar 95 2 km/h en 4.5 s. ¿Cuál es su aceleración promedio en m/s ? 21. (I) Considerando las rapideces de una autopista, un automóvil particular es capaz de alcanzar una aceleración de aproximadamente 1.8 m/s2. A esta razón, ¿cuánto tiempo le tomará acelerar de 80 km/h a 110 km/h? 22. (I) Una velocista acelera desde el reposo hasta 9.00 m/s en 1.28 s. ¿Cuál es su aceleración a) en m/s2; y b) en km/h2? mo función del tiempo está dada por la ecuación x  6.8t  8.5t2, donde t está en segundos y x está en metros. ¿Cuál es la aceleración de la partícula como función del tiempo? 28. (II) La posición de un auto de carreras, que parte del reposo en t  0 y se mueve en línea recta, se da en función del tiempo, como se indica en la siguiente tabla. Estime a) su velocidad y b) su aceleración en función del tiempo. Muestre cada resultado en una tabla y en una gráfica. t(s) x(m) 0 0 0.25 0.11 0.50 0.46 0.75 1.06 1.00 1.94 1.50 4.62 2.00 2.50 8.55 13.79 t(s) 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 x(m) 20.36 28.31 37.65 48.37 60.30 73.26 87.16 29. (II) La posición de un objeto está dada por x  At  Bt2, donde x está en metros y t en segundos. a) ¿Cuáles son las unidades de las constantes A y B? b) ¿Cuál es la aceleración como función del tiempo? c) ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del objeto en t  5.0 s? d) ¿Cuál sería la velocidad como función del tiempo si x  At  B t 3? Problemas 45 2–5 y 2-6 Movimiento con aceleración constante 43. (II) Un tren de 75 m de largo acelera uniformemente desde el reposo. Si el frente del tren pasa con una rapidez de 23 m/s junto a un trabajador ferroviario situado 180 m del punto donde empezó el frente del tren, ¿cuál será la rapidez del último vagón al pasar junto al trabajador? (Véase la figura 2-42). 30. (I) Un auto desacelera de 25 m/s al reposo en una distancia de 85 m. ¿Cuál fue su aceleración, suponiendo que ésta es constante? 31. (I) Un auto acelera de 12 m/s a 21 m/s en 6.0 s. ¿Cuál fue su aceleración? ¿Qué distancia recorrió en este tiempo? Suponga aceleración constante. 75 m 32. (I) Una avioneta debe alcanzar una rapidez de 32 m/s para des- v = 23 m/s pegar. ¿Qué longitud de pista se requiere si su aceleración (constante) es de 3.0 m/s2? 33. (II) Un pitcher lanza una pelota con una rapidez de 41 m/s. Estime la aceleración promedio de la pelota durante el movimiento de lanzamiento. Al lanzar la pelota, el pitcher acelera la pelota a través de un desplazamiento de aproximadamente 3.5 m, desde atrás de su cuerpo hasta el punto donde suelta la pelota (figura 2-41). 3.5 m FIGURA 2–41 Problema 33. 34. (II) Demuestre que v = Av + v0 B兾2 (véase la ecuación 2-12d) no es válida para el caso en que la aceleración sea a  A  Bt, donde A y B son constantes. 35. (II) Una corredora de nivel mundial puede alcanzar una rapidez máxima (de aproximadamente 11.5 m/s) en los primeros 15.0 m de una carrera. ¿Cuál es la aceleración promedio de esta corredora y cuánto tiempo le tomará alcanzar esa rapidez? 36. (II) Un conductor distraído viaja a 18.0 m/s cuando se da cuanta de que adelante hay una luz roja. Su automóvil es capaz de desacelerar a razón de 3.65 m/s2. Si le toma 0.200 s aplicar los frenos y está a 20.0 m de la intersección cuando ve la luz, ¿será capaz de detenerse a tiempo? FIGURA 2–42 Problema 43. 44. (II) Una patrulla sin emblemas de la policía, que viaja a una rapidez constante de 95 km/h, es rebasada por un automóvil que va a exceso de velocidad a 135 km/h. Precisamente 1.00 s después de que éste la rebasa, la patrulla comienza a acelerar; si la aceleración de la patrulla es de 2.00 m/s2, ¿cuánto tiempo le tomará alcanzar al automóvil infractor (suponga que éste mantiene su velocidad constante)? 45. (III) En el problema 44 suponga que no se conoce la rapidez excesiva del automóvil infractor. Si la patrulla acelera uniformemente como vimos y alcanza al otro vehículo después de acelerar durante 7.0 s, ¿cuál era la rapidez de éste? 46. (III) Un corredor espera completar la carrera de 10,000 m en menos de 30.0 min. Después de correr a rapidez constante durante exactamente 27.0 min, él tiene aún 1100 m por recorrer. ¿Durante cuántos segundos, entonces, debe el corredor acelerar a 0.20 m/s2 para completar la carrera en el tiempo deseado? 47. (III) Mary y Sally participan en una carrera (figura 2-43). Cuando Mary está a 22 m de la línea de meta, tiene una rapidez de 4.0 m/s y está 5.0 m detrás de Sally, quien tiene una rapidez de 5.0 m/s. Sally cree que ganará fácilmente y desacelera durante el tramo restante de la carrera a una razón constante de 0.50 m/s2 hasta la línea de meta. ¿Qué aceleración constante necesita ahora Mary durante el tramo restante de la carrera, si quiere cruzar la línea de meta empatada con Sally? 37. (II) Un automóvil desacelera uniformemente desde una rapidez de 18.0 m/s hasta alcanzar el reposo en 5.00 s. ¿Qué distancia viajó en ese tiempo? Meta Mary Sally 4.0 m/s 5.0 m/s 38. (II) Al llegar al reposo, un automóvil deja marcas de derrape de 85 m de longitud sobre el pavimento. Suponiendo una desaceleración de 4.00 m/s2, estime la rapidez del automóvil justo antes de frenar. 5.0 m 22 m 39. (II) Un automóvil que va a 85 km/h desacelera a una razón constante de 0.50 m/s2 simplemente al dejar de pisar el acelerador. Calcule a) la distancia que recorre el automóvil antes de detenerse, b) el tiempo que le toma detenerse, y c) la distancia que viaja durante el primero y el quito segundos. 40. (II) Un automóvil que viaja a 105 km/h golpea un árbol. El frente del automóvil se comprime y el conductor llega al reposo después de recorrer 0.80 m. ¿Cuál fue la magnitud de la aceleración promedio del conductor durante la colisión? Exprese la respuesta en términos de g, donde 1.00 g  9.80 m/s2. 41. (II) Determine las distancias de frenado para un automóvil con una rapidez inicial de 95 km/h y un tiempo de reacción humana de 1.0 s: a) para una aceleración a  5.0 m/s2; b) para a  7.0 m/s2. 42. (II) Un vehículo espacial acelera uniformemente de 65 m/s en t  0 a 162 m/s en t  10.0 s. ¿Cuánto se movió entre t  2.0 s y t  6.0 s? 46 CAPÍTULO 2 FIGURA 2–43 Problema 47. 2–7 Caída libre de objetos [Ignore la resistencia del aire]. 48. (I) Se deja caer una piedra desde la parte superior de un acantilado y toca el suelo 3.75 s después. ¿Cuál es la altura del acantilado? 49. (I) Si un automóvil se cae suavemente (v0  0) desde un acantilado vertical, ¿cuánto tiempo le tomará alcanzar 55 km/h? 50. (I) Calcule a) cuánto tiempo le tomó a King Kong caer desde la cima del edificio Empire State (380 m de altura) y b) cuál era su velocidad al “aterrizar”. 51. (II) Se batea una pelota casi en línea recta hacia arriba en el aire con una rapidez aproximada de 20 m/s. a) ¿Qué tan alto sube? b) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire? Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión 52. (II) Un jugador atrapa una pelota 3.2 s después de lanzarla ver- 62. (II) Suponga que usted ajusta la boquilla de su manguera de ticalmente hacia arriba. ¿Con qué velocidad la lanzó y qué altura alcanzó la pelota? (II) Un canguro salta y alcanza una altura vertical de 1.65 m. ¿Cuánto tiempo está en el aire antes de tocar el suelo de nuevo? (II) Los mejores brincadores en básquetbol tienen un salto vertical (es decir, el movimiento vertical de un punto fijo de su cuerpo) de aproximadamente 120 cm. a) ¿Cuál es su rapidez de “lanzamiento” inicial desde el piso? b) ¿Cuánto tiempo permanecen en el aire? (II) Un helicóptero asciende verticalmente con una rapidez de 5.10 m/s. A una altura de 105 m, se deja caer un paquete desde una ventana. ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? [Sugerencia: v0 para el paquete es igual a la rapidez del helicóptero]. (II) Para un objeto en caída libre desde el reposo, demuestre que la distancia recorrida durante cada segundo sucesivo crece según la razón de enteros impares sucesivos (1, 3, 5, etcétera). (Esto lo demostró Galileo por primera vez.) Véanse las figuras 2-26 y 2-29. (II) Se observa que una pelota de béisbol pasa hacia arriba frente una ventana que está 23 m arriba de la calle, con rapidez vertical de 14 m/s. Si la pelota se lanzó desde la calle, ¿a) cuál era su rapidez inicial, b) a qué altura llega, c) cuándo se lanzó, y d) cuándo regresará a la calle de nuevo? (II) Un cohete se eleva verticalmente desde el reposo, con una aceleración neta de 3.2 m/s2 hasta que se le agota el combustible a una altitud de 950 m. Después de este punto, su aceleración es la de la gravedad, hacia abajo. a) ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando se agota el combustible? b) ¿Cuánto tiempo le toma alcanzar este punto? c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete? d) ¿Cuánto tiempo le toma alcanzar la altura máxima? e) ¿Con qué velocidad toca el suelo? f) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire en total? (II) Roger observa que globos con agua pasan frente a su ventana y nota que cada globo golpea la acera 0.83 s después de pasar por su ventana. La habitación de Roger está en el tercer piso, 15 m arriba de la acera. a) ¿Qué tan rápido viajan los globos cuando pasan por la ventana de Roger? b) Suponiendo que los globos se sueltan desde el reposo, desde qué piso se dejaron caer? Cada piso de la residencia de estudiantes tiene 5.0 m de altura. (II) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 24.0 m/s. a) ¿Qué velocidad tiene cuando alcanza una altura de 13.0 m? b) ¿Cuánto tiempo requiere para alcanzar esta altura? c) ¿Por qué hay dos respuestas para el inciso b? (II) A una piedra que cae le toma 0.33 s pasar frente a una ventana de 2.2 m de altura (figura 2-44). ¿Desde qué altura por arriba de la parte superior de la ventana se dejó caer la piedra? jardín para que salga un chorro grueso de agua. Apunta la boquilla verticalmente hacia arriba a una altura de 1.5 m desde el suelo (figura 2-45). Cuando usted mueve rápidamente la boquilla de la vertical, escucha el agua que toca el suelo junto a usted después de 2.0 s. ¿Cuál es la rapidez del agua al salir de la boquilla? 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 2.2 m Recorrer esta distancia le tomó 0.33 s 1.5 m FIGURA 2–45 Problema 62. 63. (III) Un cohete de juguete que se mueve verticalmente pasa frente a una ventana de 2.0 m de altura, cuyo alféizar está a 8.0 m sobre el suelo. Al cohete le toma 0.15 s viajar los 2.0 m de altura de la ventana. ¿Cuál fue la rapidez de lanzamiento del cohete y qué tan alto subirá éste? Suponga que todo el combustible se quema muy rápidamente durante el despegue. 64. (III) Se deja caer un pelota desde la parte superior de un acantilado de 50.0 m de altura. Al mismo tiempo, se lanza una piedra cuidadosamente dirigida directo hacia arriba desde la parte inferior del acantilado con una rapidez de 24.0 m/s. Considerando que la piedra y la pelota chocan en algún punto, determine a qué altura sobre el acantilado ocurre la colisión. 65. (III) Se deja caer una piedra desde un acantilado y el sonido que hace cuando toca el mar se escucha 3.4 s después. Si la rapidez del sonido es de 340 m/s, ¿cuál es la altura del acantilado? 66. (III) Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez de 12.0 m/s. Exactamente 1.00 s después, se lanza una pelota verticalmente a lo largo de la misma trayectoria con una rapidez de 18.0 m/s. a) ¿En qué tiempo chocarán ambas entre sí? b) ¿A qué altura tendrá lugar la colisión? c) Responda a) y b) suponiendo que se invierte el orden: es decir, si la pelota se lanza 1.00 s antes que la piedra. * 2–8 Aceleración variable; cálculo integral * 67. (II) Dada v(t)  25  18t, donde v está en m/s y t en s, use cálculo diferencial para determinar el desplazamiento total desde t1  1.5 s hasta t2  3.1 s. * 68. (III) La aceleración de una partícula está dada por a = A 2 t donde A  2.0 m/s5/2. En t  0, v  7.5 m/s y x  0. a) ¿Cuál es la rapidez de la partícula en función del tiempo? b) ¿Cuál es el desplazamiento en función del tiempo? c) ¿Cuáles son la aceleración, la rapidez y el desplazamiento en t  5.0 s? * 69. (III) La resistencia del aire que actúa sobre un cuerpo que cae puede tomarse en cuenta mediante la relación aproximada para la aceleración: a = dv = g - kv, dt donde k es una constante. a) Obtenga una expresión para la velocidad del cuerpo en función del tiempo, suponiendo que el cuerpo parte del reposo (v  0 en t  0). [Sugerencia: Haga un cambio de variable: u  g kv]. b) Determine una expresión para la velocidad terminal, que es el valor máximo que alcanza la velocidad. * 2–9 Análisis gráfico e integración numérica FIGURA 2–44 Problema 61. [Véase los problemas 95 a 97 al final de este capítulo]. Problemas 47 Problemas generales 70. Un fugitivo trata de alcanzar un tren de carga que viaja con una 78. Considere la calle que se muestra en la figura 2-47. Cada inter- rapidez constante de 5.0 m/s. Justo cuando un vagón vacío pasa frente a él, el fugitivo parte del reposo y acelera con a  1.2 m/s2 hasta alcanzar su rapidez máxima de 6.0 m/s. a) ¿Cuánto tiempo le tomará alcanzar el vagón vacío? b) ¿Cuál es la distancia recorrida por él para alcanzar el vagón? 71. En la Luna la aceleración debida a la gravedad es aproximadamente de un sexto de la que hay en la Tierra. Si un objeto se lanza verticalmente hacia arriba en la Luna, ¿cuántas veces más alto viajará que en la Tierra, suponiendo que tiene la misma velocidad inicial? 72. Una persona salta desde una ventana en un cuarto piso a 15.0 m por arriba de una red de seguridad de los bomberos. Al caer, la red se estira 1.0 m antes de que la persona quede en reposo, figura 2-46. a) ¿Cuál fue la desaceleración promedio experimentada por la persona mientras se frena en la red? b) ¿Qué haría usted para hacer “más segura” la red (es decir, generar una desaceleración menor): la haría más rígida o más flexible? Explique. sección tiene un semáforo y la rapidez límite es de 50 km/h. Suponga que usted viene del oeste a la rapidez límite, y que cuando está a 10 m de la primera intersección todas luces se ponen en verde. Las luces permanecen en verde durante 13.0 s. a) Calcule el tiempo necesario para llegar al tercer semáforo. ¿Puede usted pasar los tres semáforos sin detenerse? b) Otro automóvil estaba detenido en la primera luz cuando todas las luces se pusieron en verde. Éste puede acelerar a razón de 2.00 m/s2 hasta la rapidez límite. ¿Puede el segundo automóvil pasar los tres semáforos sin detenerse? ¿En cuantos segundos lo haría o no? Este Oeste Rapidez límite 50 km/h Su automóvil 10 m 50 m 70 m 15 m 15 m 15 m FIGURA 2–47 Problema 78. 79. Al dar un putt, la fuerza con que un jugador de golf debe gol15.0 m FIGURA 2–46 1.0 m Problema 72. 73. Una persona debidamente sujetada por un cinturón de seguri- 74. 75. 76. 77. 48 dad tiene una buena oportunidad de sobrevivir a un choque automovilístico, si la desaceleración no excede de 30 g (1.00 g  9.80 m/s2). Suponiendo una desaceleración uniforme con este valor, calcule la distancia que puede colapsarse la parte delantera del automóvil en un choque que lleva al automóvil desde una rapidez de 100 km/h hasta el reposo. Los pelícanos pliegan sus alas y caen libremente en busca de peces. Suponga que un pelícano inicia su zambullida desde una altura de 16.0 m y no puede cambiar su trayectoria una vez iniciada ésta. Si a un pez le toma 0.20 s efectuar una maniobra evasiva, ¿a qué altura mínima debe detectar al pelícano para escapar? Suponga que el pez está en la superficie del agua. Suponga que un fabricante de automóviles prueba sus vehículos contra colisiones de frente levantándolos con una grúa y dejándolos caer desde cierta altura. a) Demuestre que la rapidez del automóvil justo antes de llegar al piso después de caer una distancia vertical H, está dada por 22gH. ¿Qué altura corresponde a una colisión a b) 50 km/h y c) a 100 km/h? Una piedra se deja caer desde la azotea de un edificio alto. Una segunda piedra se deja caer 1.50 s después. ¿Qué separación hay entre las piedras cuando la segunda piedra alcanza una rapidez de 12.0 m/s? Un ciclista en la Tour de France supera un paso de una montaña moviéndose a 15 km/h. En el fondo de la montaña, 4.0 km más adelante, su rapidez es de 75 km/h. ¿Cuál fue su aceleración promedio (en m/s2) mientras bajaba la montaña? CAPÍTULO 2 pear la pelota se determina de manera que la pelota se detenga a corta distancia del hoyo, digamos a 1.0 m de más o de menos, en caso de que falle el putt. Lograr esto desde una posición colina arriba (es decir, efectuar el putt colina abajo, véase la figura 2-48) es más difícil que desde una posición colina abajo. Para ver por qué esto es así, suponga que en un green específico la pelota desacelera constantemente a 1.8 m/s2 al viajar hacia abajo y constantemente a 2.8 m/s2 al viajar hacia arriba. Suponga que la posición colina arriba está a 7.0 m del hoyo. Calcule el rango permisible de velocidades iniciales que podemos impartir a la pelota, de manera que ésta se detenga en el rango de 1.0 m antes del hoyo y 1.0 m después del hoyo. Haga lo mismo para una posición de 7.0 m colina abajo desde el hoyo. En sus resultados ¿qué es lo que sugiere que el putt colina abajo sea más difícil? Posición colina arriba 9 7.0 m Posición colina abajo 7.0 m FIGURA 2–48 Problema 79. 80. Un robot usado en una farmacia selecciona un frasco de medicamento en t  0. Acelera a 0.20 m/s2 durante 5.0 s, luego viaja sin aceleración durante 68 s, y finalmente desacelera a 0.40 m/s2 durante 2.5 s para llegar al mostrador, donde el empleado de la farmacia tomará el medicamento del robot. ¿Desde qué distancia trajo el frasco el robot? Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión 81. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez 85. Bill lanza una bola verticalmente con una rapidez 1.5 veces ma- inicial de 12.5 m/s desde el borde de un acantilado de 75.0 m de altura (figura 2-49). a) ¿Cuánto tiempo le toma a la piedra llegar al fondo del acantilado? b) ¿Cuál es su rapidez justo antes de tocar el fondo? c) ¿Cuál es la distancia total recorrida? yor que Joe. ¿Cuántas veces más alto subirá la bola de Bill en comparación con la de Joe? 86. Bosqueje la gráfica de v versus t para el objeto cuyo desplazamiento en función del tiempo está dado por la figura 2-36. 87. Una persona que conduce un automóvil a 45 km/h se acerca a una intersección cuando la luz del semáforo se pone amarilla. Sabe que esta luz dura sólo 2.0 s antes de ponerse en rojo y la persona está a 28 m del lado cercano de la intersección (figura 2-51). ¿Debería intentar detenerse o debería acelerar para cruzar la intersección antes de que la luz cambie a rojo? La intersección tiene 15 m de ancho. La desaceleración máxima del auto es de 5.8 m/s2, mientras que puede acelerar de 45 km/h a 65 km/h en 6.0 s. Desprecie la longitud del automóvil y el tiempo de reacción de la persona. y y=0 y= 75 m FIGURA 2–49 Problema 81. x (m) 82. La figura 2-50 es una gráfica de posición versus tiempo para el movimiento de un objeto a lo largo del eje x. Considere el intervalo de tiempo de A a B: a) ¿El objeto se mueve en sentido positivo o negativo? b) ¿El objeto está aumentando su rapidez o se está frenando? c) ¿La aceleración del objeto es positiva o negativa? Luego, para el intervalo de tiempo de D a E: d) ¿el objeto se mueve en sentido positivo o negativo? e) ¿El objeto está aumentando o disminuyendo su rapidez? f ) ¿La aceleración del objeto es 30 positiva o negatiA va? g) Finalmente, 25 B responda esas mismas tres preguntas 20 para el intervalo de E tiempo de C a D. +x 88. Un automóvil va detrás de un camión que viaja a 25 m/s en una 89. 10 5 C 0 1 2 D 3 4 5 6 t (s) FIGURA 2–50 Problema 82. 90. 83. En el diseño de un sistema de tránsito rápido, es necesario equilibrar la rapidez promedio de un tren contra la distancia entre las estaciones. Cuanto más estaciones haya, más lenta será la rapidez promedio del tren. Para tener una idea de este problema, calcule el tiempo que le toma a un tren realizar un recorrido de 9.0 km en las siguientes dos situaciones. a) Las estaciones donde el tren debe detenerse están separadas 1.8 km entre sí (para un total de 6 estaciones incluyendo las terminales). b) Las estaciones están separadas 3.0 km entre sí (4 estaciones en total). Suponga que en cada estación el tren acelera a razón de 1.1 m/s2 hasta que alcanza 95 km/h, luego permanece con esta rapidez hasta que aplica sus frenos para arribar a la siguiente estación, desacelerando a razón de 2.0 m/s2. Suponga que el tren se detiene en cada estación intermedia durante 22 s. 84. Una persona salta desde un trampolín situado a 4.0 m sobre la superficie del agua, en una alberca profunda. El movimiento descendente de la persona se detiene 2.0 m debajo de la superficie del agua. Estime la desaceleración promedio de la persona mientras está bajo el agua. 15 m FIGURA 2–51 Problema 87. 15 0 28 m 91. 92. carretera. El conductor del automóvil espera una oportunidad para rebasarlo, estimando que su auto puede acelerar a 1.0 m/s2 y que tiene que cubrir la longitud de 20 m del camión, más 10 m de espacio libre detrás del camión y 10 m más al frente de éste. En el carril contrario ve aproximarse un automóvil, que probablemente también viaja a 25 m/s. Él estima que el automóvil está a 400 m de distancia. ¿Debe intentar rebasar al camión? Dé los detalles. El agente James Bond está de pie sobre un puente, 13 m arriba del camino, y sus perseguidores se le están cercando peligrosamente. Él ve un camión con una plataforma plana cubierta con colchones, que se acerca a 25 m/s, lo que él estima sabiendo que los postes de teléfono, a lo largo de los cuales viaja el camión, están situados a cada 25 m entre sí. La cama del camión está a 1.5 m sobre el pavimento y Bond calcula rápidamente a cuántos postes de distancia debe estar el camión para saltar sobre éste y poder escapar. ¿Cuántos postes son? Una patrulla de policía en reposo es rebasada por un automóvil que viaja a exceso de velocidad, con una rapidez constante de 130 km/h, por lo cual la patrulla inicia la persecución en el instante en que el automóvil la rebasa. El oficial de policía alcanza al infractor en 750 m manteniendo una aceleración constante. a) Dibuje la gráfica cualitativa de posición versus tiempo de ambos autos, desde la partida de la patrulla hasta el punto de alcance. Calcule: b) cuánto tiempo le tomó al oficial de policía en alcanzar al auto infractor, c) la aceleración requerida por la patrulla. y d) la rapidez de la patrulla cuando lo alcanza. Un restaurante de comida rápida usa una banda transportadora para enviar las hamburguesas a través de una máquina freidora. Si la máquina tiene 1.1 m de largo y las hamburguesas requieren 2.5 min para freírse, ¿con qué rapidez debe viajar la banda transportadora? Si las hamburguesas están separadas 15 cm, ¿cuál es la tasa de producción de hamburguesas (en hamburguesas/min)? Se pide a dos estudiantes que encuentren la altura de un edificio particular usando un barómetro. En vez de usar el barómetro como un dispositivo para medir la altura, lo llevan hasta el techo y lo sueltan, mientras cronometran su caída. Uno de los Problemas generales 49 estudiantes reporta un tiempo de caída de 2.0 s, y el otro, 2.3 s. ¿Cuál es la diferencia porcentual en la estimación de la altura del edificio que provocan los 0.3 s? 93. La figura 2-52 muestra la gráfica de posición contra tiempo de dos bicicletas, A y B. a) ¿Hay algún instante en el que las dos bicicletas tengan la misma velocidad? b) ¿Cuál bicicleta tiene la mayor aceleración? c) ¿En qué instante(s) las bicicletas se rebasan entre sí? ¿Cuál bicicleta rebasa a la otra? d) ¿Cuál bicicleta tiene la velocidad instantánea más alta? e) ¿Cuál bicicleta tiene la velocidad promedio más alta? A x 2 * 96. (III) La aceleración de un objeto (en m/s ) se mide a intervalos de 1.00 s iniciando en t  0, como sigue: 1.25, 1.58, 1.96, 2.40, 2.66, 2.70, 2.74, 2.72, 2.60, 2.30, 2.04, 1.76, 1.41, 1.09, 0.86, 0.51, 0.28, 0.10. Utilice integración numérica (véase la sección 2-9) para estimar a) la velocidad (suponga que v  0 en t  0) y b) el desplazamiento en t  17.00 s. * 97. (III) Un salvavidas que está parado junto a una piscina observa a un niño en dificultades, figura 2-53. El salvavidas corre a una rapidez promedio vR a lo largo de la orilla de la piscina durante una distancia x, luego salta a la piscina y nada con rapidez promedio vS en trayectoria recta hacia el niño. a) Demuestre que el tiempo total t que le toma al salvavidas llegar al niño está dado por B t = t 0 FIGURA 2–52 Problema 93. 2 2 x 3D + (d - x) . + vR vS b) Suponga que vR  4.0 m/s y vS  1.5 m/s. Utilice una calculadora gráfica o una computadora para graficar t versus x del inciso a), y a partir de esta gráfica determine la distancia x óptima que el salvavidas debería recorrer antes de saltar a la piscina (es decir, encuentre el valor de x que minimiza el tiempo t para llegar al niño). 94. Usted viaja a rapidez constante vM y hay un automóvil frente a usted que viaja con rapidez vA. Se da cuanta de que vM  vA, así que usted empieza a desacelerar con aceleración constante a cuando la distancia entre usted y el otro auto es x. ¿Qué relación entre a y x determina si usted chocará o no contra el auto que va en frente? * Ejercicios numéricos/por computadora * 95. (II) La siguiente tabla da la rapidez de un auto de arrancones particular como función del tiempo. a) Calcule la aceleración promedio (m/s2) durante cada intervalo de tiempo. b) Usando integración numérica (véase la sección 2-9) estime la distancia total recorrida (m) como función del tiempo. [Sugerencia: para v en cada intervalo sume las velocidades al inicio y al final del intervalo y divida entre 2; por ejemplo, en el segundo intervalo use v = (6.0 + 13.2)兾2 = 9.6 ]. c) Grafique aceleración promedio versus tiempo y distancia recorrida versus tiempo. d 10.0 m x D 8.0 m t(s) 0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 v(km兾h) 0.0 6.0 13.2 22.3 32.2 43.0 53.5 62.6 70.6 78.4 85.1 FIGURA 2–53 Problema 97. Respuestas a los ejercicios A: –30 cm; 50 cm. F: c). B: a). G: b). C: b). H: e). D: b). I: 4.9 m兾s2. E: a) ± ; b) –; c) –; d) ±. J: c). 50 CAPÍTULO 2 Descripción del movimiento: Cinemática en una dimensión Este surfista sobre nieve que vuela por el aire es un ejemplo de movimiento en dos dimensiones. Sin resistencia del aire, la trayectoria sería una parábola perfecta. La flecha representa la aceleración hacia abajo debida a la gravedad, gB . Galileo analizó el movimiento de objetos en dos dimensiones bajo la acción de la gravedad cerca de la superficie de la tierra (ahora conocido como “movimiento de proyectiles”) en sus componentes horizontal y vertical. Veremos cómo manipular vectores y cómo sumarlos. Además de estudiar el movimiento de proyectiles, analizaremos también el tema de la velocidad relativa. B g C A Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores O P U L Í T 3 PREGUNTA DE INICIO DE CAPÍTULO: ¡Adivine qué! [No se preocupe por obtener la respuesta correcta de inmediato: más adelante en este capítulo tendrá otra oportunidad para responder esta pregunta. Véase también la pág. 1 del capítulo 1 para una explicación más amplia]. Una pequeña caja pesada con suministros de emergencia se deja caer desde un helicóptero en movimiento en el punto A, mientras éste vuela a lo largo de una dirección horizontal. En el siguiente dibujo, ¿qué inciso describe mejor la trayectoria de la caja (despreciando la resistencia del aire), según la observa un individuo parado en el suelo? A B CONTENIDO 3–1 Vectores y escalares 3–2 Suma de vectores: Método gráfico 3–3 Resta de vectores y multiplicación de un vector por un escalar 3–4 Suma de vectores por medio (a) E (b) (c) (d) (e) n el capítulo 2 analizamos el movimiento a lo largo de una línea recta. Consideremos ahora la descripción del movimiento de objetos que se mueven en trayectorias en dos (o tres) dimensiones. Para hacerlo, primero debemos estudiar los vectores y cómo se suman. Luego examinaremos la descripción del movimiento en general, seguida por un caso muy interesante: el movimiento de proyectiles cerca de la superficie terrestre. También examinaremos cómo determinar la velocidad relativa de un objeto medida en diferentes marcos de referencia. de componentes 3–5 3–6 3–7 3–8 Vectores unitarios Cinemática vectorial Movimiento de proyectiles Resolución de problemas que implican el movimiento de un proyectil 3–9 Velocidad relativa 51 3–1 Vectores y escalares Escala para velocidad: 1 cm  90 km/h FIGURA 3–1 Automóvil que viaja por una carretera y desacelera para tomar la curva. Las flechas representan el vector velocidad en cada posición. FIGURA 3–2 Combinación de vectores en una dimensión. Resultante  14 km (este) 0 8 km x (km) Este 6 km a) Resultante  2 km (este) 6 km 0 x (km) Este 8 km b) Como vimos en el capítulo 2, el término velocidad no sólo se refiere a qué tan rápido se mueve un objeto, sino también a su dirección de movimiento. Una cantidad como la velocidad, que tiene magnitud, dirección y sentido, es una cantidad vectorial. Otras cantidades que también son vectores son el desplazamiento, la fuerza y la cantidad de movimiento (momentum). Sin embargo, muchas cantidades como la masa, el tiempo y la temperatura no tienen dirección asociada a ellas, y quedan completamente especificadas con un número (mayor o menor que cero) y unidades. Tales cantidades se denominan cantidades escalares. Dibujar un diagrama de una situación física particular siempre es útil en física y esto es especialmente cierto al trabajar con vectores. En un diagrama, cada vector está representado por una flecha, la cual siempre se dibuja de manera que señale en el sentido de la cantidad vectorial que representa. La longitud de la flecha se dibuja proporcionalmente a la magnitud de la cantidad vectorial. En la figura 3-1, por ejemplo, las flechas se dibujaron para representar la velocidad de un automóvil en varios lugares, conforme éste toma una curva. La magnitud de la velocidad en cada punto puede leerse de la figura midiendo la longitud de la flecha correspondiente, y usando la escala que se muestra (1 cm = 90 km/h). Cuando escribimos el símbolo para un vector, siempre usamos letras negritas, con B una flecha pequeña arriba del símbolo. De manera que para la velocidad escribimos v. Si sólo nos interesa la magnitud del vector, escribimos simplemente v en cursivas, como hacemos con otras variables. 3–2 Suma de vectores: Método gráfico Como los vectores son cantidades que tienen magnitud, dirección y sentido, deben sumarse de manera especial. En este capítuloB trataremos principalmente con vectores de B desplazamiento, denotados con el símbolo D, y con vectores de velocidad v. Sin embargo, los resultados se aplicarán a otros vectores en general que encontraremos después. Para sumar escalares utilizamos aritmética simple, la cual también se usa para sumar vectores si éstos tienen la misma dirección. Por ejemplo, si una persona camina 8 km hacia el este un día, y 6 km hacia el este el siguiente día, la persona estará a 8 km  6 km  14 km al este del punto de origen. Decimos que el desplazamiento neto o resultante es de 14 km al este (figura 3-2a). Por otro lado, si la persona camina 8 km hacia el este en el primer día y 6 km hacia el oeste (en sentido contrario) en el segundo día, entonces la persona terminará a 2 km del origen (figura 3-2b), de manera que el desplazamiento resultante será de 2 km al este. En tal caso, el desplazamiento resultante se obtiene mediante una resta: 8 km 6 km  2 km. Pero la aritmética simple no puede aplicarse si los dos vectores no son colineales. Por ejemplo, suponga que un individuo camina 10.0 km hacia el este y luego camina 5.0 km hacia el norte. Tales desplazamientos se pueden representar sobre una gráfica, donde el eje y positivo apunta hacia el norte y el eje x positivo apunta hacia el este (figura B 3-3). Sobre esta gráfica dibujamos una flecha, llamada D 1 , para representar el desplaB zamiento de 10.0 km hacia el este. Después dibujamos una segunda flecha, D 2 , para representar el desplazamiento de 5.0 km hacia el norte. Ambos vectores se dibujan a escala, como se muestra en la figura 3-3. y (km) Norte 6 FIGURA 3–3 Un individuo camina 10.0 km hacia el este y luego 5.0 km hacia el norte. Estos dos desplazamientos están representados por los B B vectores D 1 y D 2 , que se muestran como flechas en el diagrama. También B se muestra el vector desplazamiento resultante, D R , que es el vector suma B B de D 1 y D 2 , La medición en la gráfica con regla y transportador indica que B D R tiene una magnitud de 11.2 km y apunta en un ángulo u  27° al norte del este. 4 2 Oeste 0 Sur 52 CAPÍTULO 3 Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores t ieBn +D 2 am az spl B De DR =D 4 B B 1 D2 B θ 2 te tan l esu o rB D1 6 8 10 x (km) Este Después de esta caminata, el individuo está ahora 10.0 km al este y 5.0 km al norte del punto de origen.BEn la figura 3-3 el desplazamiento resultante está representado por la flecha llamada DR Usando una regla y un transportador, usted puede medir en este diagrama que la persona está a 11.2 km del origen a un ángulo u  27° al norte del este. En otras palabras, el vector desplazamiento resultante tiene una magnitud deB 11.2 km y forma un ángulo u  27° con el eje x positivo. La magnitud (longitud) de DR se obtiene usando el teorema de Pitágoras en este caso, ya que D1, D2 y DR forman un triángulo rectángulo con DR como hipotenusa. Así, DR = 3D21 + D22 = 3(10.0 km)2 + (5.0 km)2 = 3125 km2 = 11.2 km. Note que el teorema de Pitágoras puede utilizarse sólo si los vectores considerados son perpendiculares entre sí. B B B El vector desplazamiento resultante, DR , es la suma de los vectores D1 y D2 . Es decir, B B B DR = D1 + D2 . Ésta es una ecuación vectorial. Al sumar dos vectores que no son colineales, un aspecto importante es que la magnitud del vector resultante no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores separados, sino que es más pequeña que su suma: DR  D1 + D2 , donde se aplica el signo igual únicamente si los dos vectores apuntan en la misma dirección y sentido. En nuestro ejemplo (figura 3-3), DR  11.2 km; en tanto que D1  km, que es la distancia total recorrida. También advierta que no podemos D2  15 B hacer D R igual a 11.2 km, porque, es un vector, mientras que 11.2 km es sólo una parte del vector resultante, es decir, su magnitud. No obstante, podríamos decir que: B B B D R = D 1 + D 2 = (11.2 km, 27° N del E). EJERCICIO A ¿En qué condiciones la magnitud del vector resultante anterior será DR = D1 + D2? La figura 3-3 ilustra las reglas generales para sumar gráficamente dos vectores, sin importar qué ángulos formen, y obtener su resultante. Las reglas son las siguientes: B 1. Sobre un diagrama, dibuje uno de los vectores a escala y llámelo D 1 . B 2. Luego dibuje a escala el segundo vector, D 2 , colocando la cola del segundo vector en la punta del primer vector y asegurándose de que su dirección y sentido sean los correctos. 3. La flecha dibujada desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo vector representa entonces la suma o resultante de los dos vectores. La longitud del vector resultante representa su magnitud. Note que los vectores se pueden trasladar en forma paralela a sí mismos (conservando su magnitud dirección y sentido) para lograr esas manipulaciones (se les conoce como vectores móviles). La longitud de la resultante se puede medir con una regla y luego comparar ese valor con la escala dada. Los ángulos se miden con un transportador. Este método se conoce como método cola a punta para sumar vectores. La resultante no se ve afectada por el orden en que se sumen los vectores. Por ejemplo, un desplazamiento de 5.0 km al norte, al que se suma un desplazamiento de 10.0 km al este, produce una resultante de 11.2 km a un ángulo u  27° (véase la figura 3-4) por arriba del eje x positivo,B lo mismo que cuando se suman en orden inverso (figura 3-3). Esto es, usando ahora V para representar cualquier tipo de vector, B B B B V1 + V2 = V2 + V1 , [propiedad conmutativa] (3–1a) que se conoce como la propiedad conmutativa de la suma vectorial. SECCIÓN 3–2 FIGURA 3–4 Si los vectores se suman en orden inverso, la resultante es la misma. (Compare con la figura 3-3). y (km) Norte B 6 4 2 Oeste D1 B B B D2 0 =D2 B 2 θ DR 4 6 + D1 8 x (km) 10 Este Sur Suma de vectores: Método gráfico 53 B V1 B B B B B + V1 FIGURA 3–5 La resultante de tres vectores: + V2 B = B V2 V3 B VR = V1 + V2 + V3 . B VR B V3 El método cola a punta para sumar vectores se puede extender a tres o más vectores. La resultante se dibuja desde la cola del primer vector hasta la punta del último vector que se suma. En la figura 3-5 se presenta un ejemplo; los tres vectores podrían representar desplazamientos (noreste, sur, oeste) o quizá tres fuerzas. Compruebe si obtiene la misma resultante sin importar el orden en que sume los tres vectores; es decir B B B B B B AV1 + V2 B + V3 = V1 + AV2 + V3 B, [propiedad asociativa] (3–1b) que se conoce como la propiedad asociativa de la suma vectorial. Una segunda forma de sumar dos vectores es el método del paralelogramo, que es totalmente equivalente al método cola a punta. En este método, los dos vectores se dibujan a partir de un origen común, y se construye un paralelogramo usando los dos vectores como lados adyacentes, como se muestra en la figura 3-6b. La resultante es la diagonal dibujada desde el origen común. En la figura 3-6a se presenta el método cola a punta y es claro que ambos métodos dan el mismo resultado. B + B V1 B V2 VR = B V2 (a) Cola a punta B V1 B VR B FIGURA 3–6 Suma de vectores = con dos métodos diferentes, a) y b). El inciso c) es incorrecto. V2 (b) Paralelogramo B V1 B Z V2 TO EC RR O INC (c) Erróneo B V1 C U I D A D O Asegúrese de utilizar la diagonal correcta en el paralelogramo para obtener la resultante Es un error común dibujar el vector suma como la diagonal que corre entre las puntas de los dos vectores, como en la figura 3-6c. Esto es incorrecto: no representa la B B suma de los dos vectores. (De hecho, representa su diferencia, V 2 - V 1 , como veremos en la siguiente sección). EJEMPLO CONCEPTUAL 3–1 Rango de longitudes vectoriales. Suponga que tiene dos vectores, cada uno con una longitud de 3.0 unidades. ¿Cuál es el rango de posibles longitudes para el vector que representa la suma de ambos? RESPUESTA La suma puede tomar cualquier valor desde 6.0 ( 3.0  3.0), donde los vectores apuntan en la misma dirección, hasta 0 ( 3.0 3.0), cuando los vectores son antiparalelos. EJERCICIO B Si los dos vectores del ejemplo 3-1 son perpendiculares entre sí, ¿cuál es la longitud del vector resultante? FIGURA 3–7 El negativo de un vector es un vector con la misma longitud y dirección, pero con sentido opuesto. B V 54 CAPÍTULO 3 B –V 3–3 Resta de vectores y multiplicación de un vector por un escalar B B Dado un vector V, definimos el negativo de este vector A –V B como un vector con la B misma magnitud y dirección que V pero de sentido opuesto (figura 3-7). Sin embargo, advierta que la magnitud de un vector no puede ser negativa, es decir, la magnitud de cualquier vector siempre es mayor o igual a cero. Más bien, el signo menos nos indica el sentido del vector. Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores B – V1 B V2 B V2 = FIGURA 3–8 Resta de dos vectores: B B V1 – – V1 + = B B B B V2 – V1 V2 B V2 - V1 . AhoraBpodemos definir la resta de un vector de otro: la diferencia entre dos vectoB res, V 2 - V 1 se define como B B B B V2 - V1 = V2 + A –V1 B. Es decir, la diferencia entre dos vectores es igual a la suma del primero más el negativo del segundo. Por lo tanto, nuestras reglas para la suma de vectores se aplican como se muestra en laBfigura 3-8, usando el método cola a punta. Un vectorB V se puede multiplicar por un escalar c.B Definimos este producto de manera que cV tiene la misma dirección y sentido que V magnitud es cV. Es decir, la multiplicación de un vector por un escalar positivo c cambia la magnitud del vector por un factor c pero noBaltera su dirección y sentido. Si c es un escalar negativo, la magnitud del producto cV es |c|V (donde |c| significa el valor absoluto de c), pero el sentido B es precisamente opuesto al de V . Véase la figura 3-9. B B EJERCICIO C En la figura 3-6, ¿qué representa el vector “incorrecto”? a) V2 - V1 , B B b) V1 - V2 , c) algo diferente (especifique). FIGURA 3–9 Al multiplicar un B vector V por un escalar c se obtiene un vector cuya magnitud es c veces mayor y en la misma dirección y sentido que B V (o en la misma dirección pero con sentido opuesto si c es negativa). B B V B V 2 = 1.5 V B B V3 = -2.0 V 3–4 Suma de vectores por medio de componentes A menudo la suma gráfica de vectores usando una regla y un transportador no es suficientemente precisa ni útil para vectores en tres dimensiones. Veremos ahora un método más eficaz y preciso para sumar vectores. Aunque no hay que olvidar los métodos gráficos, pues siempre son útiles para visualizar, para comprobar la matemática y, por ende, para obtener el resultado correcto. B Considere primero un vector V situado en un plano específico, el cual se puede expresar como la suma de otros dos vectores llamados componentes del vector original. Usualmente las componentes se eligen a lo largo de dos direcciones perpendiculares, tales como los ejes x y y. El proceso de encontrar las componentes se conoce como descomposición del vector en sus componentes. Un ejemplo se muestra en la figura 3-10; B el vector V podría ser un vector desplazamiento dirigido a un ángulo u  30° al norte del este, donde hemos elegido el eje x positivo como el este; y el eje y positivo, como el B norte. El vector V se resuelve en sus componentes x y y dibujando líneas punteadas desde la punta (A) del vector (líneas AB y AC) perpendicularesBa los ejes x y y. Las líneas OB y OC, entonces, representan las componentes x y y de V , respectivamente, coB B mo se muestra en la figura 3-10b. Esas componentes vectoriales se escriben V x y V y . Por lo general, mostramos las componentes de un vector como flechas, discontinuas. Las componentes escalares, V x y V y , son las magnitudes con unidades de las componentes vectoriales, a las que se les asigna un signo positivo o negativo, según apunten en el sentido positivo o negativo de los ejes x o y. Como se observa en la figura 3-10, B B B V x + V y = V por el método del paralelogramo para sumar vectores. y y Norte Norte B A C B Vy B B V V θ (= 30°) B 0 a) x Este θ (= 30°) B 0 Vx x Este FIGURA 3–10 Descomposición de un vector V en sus componentes a lo largo de un conjunto de ejes x y y elegidos arbitrariamente. Una vez encontradas, las componentes representan al vector por sí mismas. Es decir, las componentes contienen tanta información como el propio vector. b) SECCIÓN 3–4 Suma de vectores por medio de componentes 55 y B V B Vy θ 90° B 0 x Vx senθ = cos θ = tan θ = Vy V Vx El espacio consta de tres dimensiones y a veces es necesario descomponer un vector en componentes, a lo largo de tres direcciones perpendiculares entre sí. En coordenadas B B B rectangulares, las componentes vectoriales son V x , V y y V z . La descomposición de un vector en tres dimensiones es tan sólo una extensión del procedimiento anterior. La figura 3-11 ilustra el uso de las funciones trigonométricas para encontrar las componentes de un vector, donde se considera que un vector y sus dos componentes forman un triángulo rectángulo. (Consulte el Apéndice A para mayores detalles acerca de funciones e identidades trigonométricas). Vemos entonces que el seno, el coseno y la tangente son como aparecen en la figura 3-11. Si multiplicamos la definición de sen u  Vy /V por V en ambos lados, obtenemos Vy = V sen u. (3–2a) Asimismo, a partir de la definición de cos u, V Vy Vx = V cos u. Vx V2 = Vx2 + Vy2 FIGURA 3–11 Determinación de las componentes de un vector usando funciones trigonométricas. (3–2b) Note que u se elige (por convención) como el ángulo que forma el vector con el eje x positivo, medido en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Las componentes de un vector dado serán diferentes para distintas selecciones de ejes coordenados. Por lo tanto, al dar las componentes es indispensable especificar la selección del sistema coordenado. Hay dos maneras de especificar un vector en un sistema coordenado dado: 1. Dando sus componentes, Vx y Vy. 2. Dando su magnitud V y el ángulo u que forma con el eje positivo x. Podemos cambiar de una descripción a otra usando las ecuaciones 3-2 y, para la inversa, usando el teorema de Pitágoras† y la definición de tangente: V = 3Vx2 + Vy2 tan u = (3–3a) Vy (3–3b) Vx como se observa en la figura 3-11. Ahora podemos ver cómo sumar vectores usando componentes. El primer paso consiste en descomponer cada vector en sus componentes. Luego, usando la figura B B 3-12,B vemos queB la adición de dos vectores cualesquiera V1 y V2 para dar una resultanB te, V = V1 + V2 , implica que Vx = V1x + V2x (3–4) Vy = V1y + V2y . Es decir, la suma de las componentes x es igual a la componente x de la resultante, y la suma de las componentes y es igual a la componente y de la resultante, lo cual puede verificarse mediante un cuidadoso examen de la figura 3-12. Advierta que no sumamos componentes x con componentes y. En tres dimensiones, el teorema de Pitágoras se vuelve V = 3Vx2 + Vy2 + Vz2 , donde Vz es la componente del vector a lo largo del tercer eje, o eje z. † y Vx B FIGURA 3–12 B Las componentes B B B de V = V 1 + V 2 son V x = V 1x + V 2x V y = V 1y + V 2y . Vy B V =V 1 +V B 2 V2y V2 V2x B V1 V1y V1x 0 56 CAPÍTULO 3 Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores x Si se quieren conocer la magnitud y la dirección del vector resultante, se pueden obtener usando las ecuaciones 3-3. Las componentes de un vector dado dependen de la elección de ejes coordenados. Con frecuencia, el trabajo que implica la suma de vectores se reduce si se efectúa una buena elección de ejes; por ejemplo, eligiendo que uno de los ejes esté en la misma dirección que uno de los vectores. Entonces, dicho vector tendrá sólo una componente distinta de cero. EJEMPLO 3–2 Desplazamiento de un cartero. Un cartero rural sale de la oficina de correos y maneja 22.0 km en dirección hacia el norte. Luego maneja en una dirección a 60.0° al sur del este una distancia de 47.0 km (figura 3-13a). ¿Cuál será su desplazamiento medido desde la oficina de correos? PLANTEAMIENTO Se elige el eje x positivo hacia el este, y el eje y positivo hacia el norte, ya que ésas son las direcciones de la brújula que se utilizan en la mayoría de los mapas. El origen del sistema coordenado xy está en la oficina de correos. Se descompone cada vector en sus componentes x y y. Se suman todos las componentes x, y luego todos las componentes y, lo cual nos dará las componentes x y y de la resultante. SOLUCIÓN Se descompone cada vector Bdesplazamiento en sus componentes, como se muestra en la figura 3-13b. Dado que D 1 , tiene 22.0 km de magnitud y apunta hacia el norte, sólo tiene una componente y: B D1x = 0, D1y = 22.0 km. y Norte B D1 60° x Este 0 Oficina de correos B D2 a) B y D1 D2x 0 D2 tiene ambos componentes x y y: x 60° D2x = ±(47.0 km)(cos 60°) = ±(47.0 km)(0.500) = ±23.5 km D2y = –(47.0 km)(sen 60°) = –(47.0 km)(0.866) = –40.7 km. B D2 D2y Note que D2y es negativo porqueBesta componente vectorial apunta a lo largo del eje y negativo. El vector resultante, D , tiene las componentes: Dx = D1x + D2x = 0 km + 23.5 km = ±23.5 km Dy = D1y + D2y = 22.0 km + (–40.7 km) = –18.7 km. Esto define completamente el vector resultante: Dx = 23.5 km, Dy = –18.7 km. D = 3Dx + Dy = 3(23.5 km) + (–18.7 km) Dy –18.7 km tan u = = = –0.796. Dx 23.5 km 2 B y D1 0 Podemos también especificar el vector resultante dando su magnitud y ángulo, mediante las ecuaciones 3-3: 2 b) 2 2 = 30.0 km Una calculadora con una tecla INV TAN, ARC TAN o TAN 1 da u  tan 1( 0.796)  38.5°. El signo negativo significa u  38.5° debajo del eje x, figura 3-13c. De este modo, el desplazamiento resultante es de 30.0 km dirigidos a 38.5° en una dirección hacia el sureste. B D2 θ x B D c) FIGURA 3–13 Ejemplo 3–2. a) Los dos vectores desplazamiento, B B B D 1 y D 2 . b) D 2 se descompone en sus B B componentes. c) D 1 y D 2 se suman gráficamente para obtener la B resultante D . En el ejemplo se explica el método de componentes para la suma de vectores. NOTA Siempre hay que estar atentos al cuadrante donde se encuentra el vector resultante. Una calculadora electrónica no da esta información por completo, aunque un buen diagrama sí lo hace. Los signos de las funciones trigonométricas dependen del “cuadrante” donde se encuentre el ángulo: por ejemplo, la tangente es positiva en los cuadrantes primero y tercero (de 0 a 90° y de 180 a 270°); pero es negativa en los cuadrantes segundo y cuarto; véase el Apéndice A. La mejor forma de manejar los ángulos y de verificar cualquier resultado vectorial consiste en dibujar siempre un diagrama de los vectores involucrados. Un diagrama vectorial nos da algo tangible para observar cuando analizamos un problema, y permite la comprobación de los resultados. La siguiente sección de Estrategia de resolución de problemas no deberá considerarse una receta inflexible. Más bien, se trata de un resumen de los pasos a seguir para pensar y adentrarse en el problema que se esté tratando. SECCIÓN 3–4 R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Identifique el cuadrante correcto dibujando cuidadosamente un diagrama Suma de vectores por medio de componentes 57 ROB LE E P D S SOLUCI RE Ó M A N Suma de vectores Se presenta aquí un breve resumen de cómo sumar dos o más vectores usando sus componentes: 1. Dibuje un diagrama, sumando los vectores gráficamente, ya sea con el método del paralelogramo o con el de cola a punta (también llamado método del triángulo). 2. Seleccione los ejes x y y. Si es posible, elíjalos de manera que simplifiquen su trabajo. (Por ejemplo, seleccione un eje a lo largo de la dirección de uno de los vectores, de manera que ese vector tenga sólo una componente). 3. Descomponga cada vector en sus componentes x y y, mostrando como una flecha (discontinua) cada componente a lo largo de su eje (x o y) apropiado. 4. Calcule cada componente (cuando no se den) usando B senos y cosenos. Si u1 es el ángulo que el vector V 1 forma con el eje x positivo, entonces: V1x = V1 cos u1 , +y Norte B D1 –x 0 θ =? 45° B D2 +x Este B DR 53° B D3 –y a) +y Norte B D1 –x 0 D2x B 45° D2y D2 +x Este D3x D3y 53° B B 58 Vy . Vx El diagrama vectorial que ya dibujó usted, le ayudará a obtener la posición correcta (el cuadrante) del ángulo u. V = 3Vx2 + Vy2 , tan u = EJEMPLO 3–3 Tres viajes cortos. Un viaje en avión comprende tres etapas con dos escalas, como se muestra en la figura 3-14a. En la primera etapa el avión recorre 620 km hacia el este; en la segunda, 440 km hacia el sureste (45°); y en la tercera etapa, 550 km a 53° al sur del oeste, como se indica. ¿Cuál será el desplazamiento total del avión? PLANTEAMIENTO Seguimos los pasos del recuadro de Estrategia de resolución de problemas anterior. SOLUCIÓN B B B 1. Dibuje un diagrama como el de la figura 3-14a, donde D 1 , D 2 y D 3 representen las B tres etapas del viaje, y D R sea el desplazamiento total del avión. 2. Elija los ejes: Éstos también se muestran en la figura 3-14a; x es el este y y el norte. 3. Encuentre las componentes: Es necesario dibujar un buen diagrama. En la figura 3-14b se representan las componentes de los tres vectores. En vez de dibujar todos los vectores partiendo desde un origen común, como se hizo en la figura 3-13b, aquí se les dibuja al estilo “cola a punta”, que es igual de válido y sería más sencillo de visualizar. 4. Calcule las componentes: B D1 : D1x = ±D1 cos 0° = D1 = 620 km D1y = ±D1 sen 0° = 0 km B FIGURA 3–14 Ejemplo 3–3. DR Así obtenemos las componentes del vector resultante. Verifique los signos para saber si el vector está dibujado en el cuadrante correcto de su diagrama (punto 1 anterior). 6. Si quiere conocer la magnitud y el sentido del vector resultante, utilice las ecuaciones 3-3: D3 : D3x = –D3 cos 53° = –(550 km)(0.602) = –331 km D3y = –D3 sen 53° = –(550 km)(0.799) = –439 km. b) B Vy = V1y + V2y + cualesquiera otras. B –y D1 B D2 B D3 Vx = V1x + V2x + cualesquiera otras D2 : D2x = ±D2 cos 45° = ±(440 km)(0.707) = ±311 km D2y = –D2 sen 45° = –(440 km)(0.707) = –311 km D3 Vector V1y = V1 sen u1 . Tenga cuidado con los signos: a cualquier componente que señale a lo largo de los ejes x o y negativos se le da un signo menos. 5. Sume todas las componentes x para obtener la componente x de la resultante. Lo mismo para y: Componentes x (km) y (km) 620 311 –331 0 –311 –439 600 –750 CAPÍTULO 3 A cada componente que en la figura 3-14b apunta en la dirección –x o y se le da entonces un signo menos. Las componentes se describen en la tabla al margen. 5. Sume las componentes: Sume todas las componentes x y sume todas las componentes y, para obtener las componentes x y y de la resultante: 600 km Dx = D1x + D2x + D3x = 620 km + 311 km - 331 km = 0 km - 311 km - 439 km = –750 km. Dy = D1y + D2y + D3y = Las componentes x y y son 600 km y 750 km, y apuntan respectivamente hacia el este y el sur. Ésta es una forma de obtener la respuesta. 6. Magnitud y dirección: La respuesta también se obtiene como DR = 3Dx2 + Dy2 = 3(600)2 + (– 750)2 km = 960 km Dy –750 km tan u = = = –1.25, de manera que u = –51°. Dx 600 km Por lo tanto, el desplazamiento total tiene una magnitud de 960 km y apunta a 51° debajo del eje x (sur del este), como se indica en el bosquejo original (figura 3-14a). 3–5 Vectores unitarios Los vectores pueden escribirse convenientemente en términos de vectores unitarios. Se define que un vector unitario tiene una magnitud exactamente igual a uno (1). Es conveniente definir los vectores unitarios señalando a lo largo de los ejes coordenados positivos, y en un sistema coordenado rectangular x, y y z estos vectores unitarios se llaman î, ĵ y k̂, que apuntan, respectivamente, a lo largo de los ejes x, y y z positivos, como se muestra en la figura 3-15. Al igual que otros vectores móviles, los vectores î, ĵ y k̂ no tienen que colocarse necesariamente en el origen, sino que pueden colocarse en cualquier lugar, siempre respetando su magnitud unitaria y su dirección y sentido. Algunas veces verá usted escritos los vectores unitarios con un “sombrero”: î, ĵ, k̂ (y así lo haremos a lo largo del libro) como recordatorio de que se trata de vectores unitarios. Debido a la definición de la multiplicación de un vector por un escalar (sección 3-3), B B B B las componentes de un vector V pueden escribirse V x = V x î, V y = V y ĵ y V z = V z k̂. B Por consiguiente, cualquier vector V puede escribirse en términos de sus componentes como B y jˆ x kˆ iˆ z FIGURA 3–15 Vectores unitarios î, ĵ y k̂ a lo largo de los ejes x, y y z. V = Vx î + Vy ĵ + Vz k̂. (3–5) Los vectores unitarios son útiles al sumar analíticamente vectores por medio de componentes. Por ejemplo, las ecuaciones 3-4 se pueden escribir usando la notación de vectores unitarios para cada vector (en el caso bidimensional, aunque la extensión a tres dimensiones es directa): B B B V = AVx B î + AVy B ĵ = V1 + V2 = AV1x î + V1y ĵB + AV2x î + V2y ĵB = AV1x + V2x B î + AV1y + V2y B ĵ. Comparando la primera línea con la tercera, obtenemos la ecuación 3-4. EJEMPLO 3–4 Uso de vectores unitarios. Escriba los vectores del ejemplo 3-2 en notación de vectores unitarios y haga la suma. PLANTEAMIENTO Usamos las componentes que encontramos en el ejemplo 3-2, D1y = 22.0 km, y D2x = 23.5 km, D2y = –40.7 km, D1x = 0, y las escribimos ahora en la forma de la ecuación 3-5. SOLUCIÓN Tenemos B D1 = 0î + 22.0 km ĵ B D2 = 23.5 km î - 40.7 km ĵ. Entonces, B B B D = D1 + D2 = (0 + 23.5) km î + (22.0 - 40.7) km ĵ = 23.5 km î - 18.7 km ĵ. B Las componentesBdel desplazamiento resultante D , son Dx  23.5 km y Dy  18.7 km. La magnitud de D es D = 1(23.5 km)2 + (18.7 km)2 = 30.0 km, al igual que en el ejemplo 3-2. 3–6 Cinemática vectorial Ahora extenderemos nuestras definiciones de velocidad y aceleración de manera formal al movimiento en dos y en tres dimensiones. Supongamos que una partícula describe una trayectoria en el plano xy como se muestra en la figura 3-16. En el tiempo t1, la partícula está en el punto P1; y en el tiempo t2, está en el punto P2. El vector Br 1 es el vector posición de la partícula en el tiempo t1 (representa la posición de la partícula respecto del origen del sistema coordenado). Y Br 2 es el vector posición en el tiempo t2. En una dimensión definimos el desplazamiento como el cambio en la posición de la partícula. En el caso más general de dos o tres dimensiones, el vector desplazamiento se define como el vector que representa el cambio de posición. Lo llamamos ¢ Br ,† donde FIGURA 3–16 Trayectoria de una partícula en el plano xy. En el tiempo t1 la partícula está en el punto P1 dado por el vector posición Br 1 ; en el tiempo t2 la partícula está en el punto P2 dado por el vector posición Br 2 . El vector desplazamiento para el intervalo de tiempo t2 t1 es ¢ Br = Br 2 - Br 1 . y P1 B Δr B P2 B r1 B r2 ¢r = r2 - r1 . B Δl B Esto representa el desplazamiento durante el intervalo de tiempo t  t2 – t1. x 0 B † Usamos D antes en el capítulo para el vector desplazamiento, al ilustrar la suma de vectores. La nueva B notación, ¢r , enfatiza que el desplazamiento es la diferencia entre los dos vectores de posición. SECCIÓN 3–6 59 y En la notación de los vectores unitarios, escribimos B Δr r1 = x1 î + y1 ĵ + z1 k̂, B P2 P1 (3–6a) donde x1, y1 y z1 son las coordenadas escalares del punto P1. Asimismo, r2 = x2 î + y2 ĵ + z2 k̂. B B Por consiguiente, B r1 ¢rB = Ax2 - x1 B î + Ay2 - y1 B ĵ + Az2 - z1 B k̂. r2 x 0 a) (3–6b) Si el movimiento es sólo a lo largo del eje x, entonces y2 y1  0, z2 z1  0, y la magnitud del desplazamiento es r = x2 x1, lo que es consistente con nuestra ecuación unidimensional anterior (sección 2-1). Incluso en una dimensión, el desplazamiento es un vector, como lo son también la velocidad y la aceleración. El vector velocidad promedio en el intervalo de tiempo t  t2 t1 se define como velocidad promedio = y ¢rB . ¢t (3–7) B v1 P1 Ahora consideremos intervalos de tiempo cada vez más cortos, es decir, haremos que Δt tienda a cero, de manera que la distancia entre los puntos P2 y P1 también tienda a cero. Definimos el vector velocidad instantánea como el límite de la velocidad promedio cuando t tiende a cero: B r1 vB = lím ¢t S 0 d Br . ¢rB = ¢t dt (3–8) B x 0 b) FIGURA 3–17 a) Cuando tomamos t y ¢ Br cada vez más pequeño [compare con la figura 3-16], vemos que la dirección de ¢r y de la velocidad instantánea ( ¢ Br 兾¢ t, cuando ¢ t S 0) es b) tangente a la curva en P1. La dirección de v en cualquier momento es a lo largo de la línea tangente a la trayectoria en ese momento (figura 3-17). Advierta que la magnitud de la velocidad promedio en la figura 3-16 no es igual a la rapidez promedio, que es la distancia real recorrida, ¢l, dividida entre t. En algunos casos especiales, la rapidez promedio y la velocidad promedio son iguales (tal como en el movimiento a lo largo de una línea recta en una dirección y sentido), pero en general no lo son. Sin embargo, en el límite cuando t S 0, r siempre tiende a ¢l, por lo que la rapidez instantánea siempre es igual a la magnitud de la velocidad instantánea en cualquier momento. La velocidad instantánea (ecuación 3-8) es igual a la derivada del vector posición con respecto al tiempo. La ecuación 3-8 se puede escribir en términos de componentes, empezando con la ecuación 3-6a como: FIGURA 3–18 a) Vectores velocidad vB1 y vB2 en los instantes t1 y t2 para una partícula en los puntos P1 y P2, como en la figura 3-16. b) La dirección de la aceleración promedio está en la direcB B B ción de ¢v = v2 - v1. y B vB = dy d Br dx dz = î + ĵ + k̂ = vx î + vy ĵ + vz k̂, dt dt dt dt donde vx  dx/dt, vy  dy/dt, vz = dz/dt son las componentes escalares x, y y z de la velocidad. Note que dî兾dt = dĵ兾dt = dk̂兾dt = 0, ya que estos vectores unitarios son constantes tanto en magnitud como en dirección. La aceleración en dos o en tres dimensiones se trata de manera similar. El vector aceleración promedio, sobre un intervalo de tiempo t  t2 – t1 se define como v1 P1 aceleración promedio = P2 r1 B r2 x 0 a) B v2 B Δv b) 60 CAPÍTULO 3 (3–10) donde ¢v es el cambio en el vector velocidad instantánea durante ese intervalo de B B B B tiempo: ¢v = v2 - v1 . Advierta que v2 en muchos casos, como en la figura 3-18a, quiB zá no tenga la misma dirección que v1 . Por consiguiente, el vector aceleración instantáB B B B nea puede tener una dirección diferente de la de v1 o v2 (figura 3-18b). Además, v2 y v1 pueden tener la misma magnitud, pero diferentes direcciones, y la diferencia de dos vectores así no será cero. Por consiguiente, una aceleración puede resultar de un cambio en la magnitud de la velocidad, o de un cambio en la dirección de la velocidad, o de un cambio en ambas. El vector aceleración instantánea se define como el límite del vector de aceleración promedio cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero: B v1 vB 2 - vB 1 , ¢vB = ¢t t2 - t1 B B v2 B (3–9) aB = lím ¢S0 dvB , ¢vB = ¢t dt (3–11) B es decir, el vector aceleración instantánea es la derivada de v con respecto a t. Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores Escribimos aB usando componentes: aB = dvy dvz dvx dvB = î + ĵ + k̂ dt dt dt dt = ax î + ay ĵ + az k̂, (3–12) donde ax = dvx兾dt, etcétera. Como vx = dx兾dt, entonces ax = dvx兾dt = d x兾dt2, como vimos en la sección 2-4. De manera que también podemos escribir la aceleración como 2 aB = d 2z d2x d 2y î + ĵ + k̂. dt2 dt2 dt2 (3–12c) La aceleración instantánea será diferente de cero no sólo cuando cambie la magnitud de la velocidad, sino también si cambia su dirección. Por ejemplo, una persona que viaja en un automóvil con rapidez constante a lo largo de una curva, o un niño que va en un carrusel, ambos experimentarán una aceleración debida a un cambio en la dirección de la velocidad, aun cuando la rapidez sea constante. (Veremos más acerca de esto en el capítulo 5). En general, usaremos los términos “velocidad” y “aceleración” para los valores instantáneos. Si queremos analizar valores promedio, usaremos la palabra “promedio”. EJEMPLO 3–5 Posición dada como función del tiempo. La posición de una partícula como una función del tiempo está dada por r = C(5.0 m兾s) t + A6.0 m兾s2 B t2 D î + C(7.0 m) - A3.0 m兾s3 B t3 D ĵ, B donde r está en metros y t en segundos. a) ¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre t1  2.0 s y t2  3.0 s? b) Determine la velocidad instantánea y aceleración de la partícula como una función del tiempo. c) Evalúe vB y aB en t  3.0 s. PLANTEAMIENTO Para a), encontramos ¢ r = r 2 - r 1 , considerando t1  2.0 s para B B calcular r 1 , y t2  3.0 s para r 2 . En b) tomamos las derivadas (ecuaciones 3-9 y 3-11) y en c) sustituimos t  3.0 s en nuestro resultado en el inciso b). SOLUCIÓN a) En t1  2.0 s, B B B r1 = C(5.0 m兾s)(2.0 s) + A6.0 m兾s2 B(2.0 s)2 D î + C(7.0 m) - A3.0 m兾s3 B(2.0 s)3 D ĵ B = (34 m) î - (17 m) ĵ. Asimismo, en t2  3.0 s, r2 = (15 m + 54 m) î + (7.0 m - 81 m) ĵ = (69 m) î - (74 m) ĵ. B Entonces, ¢rB = Br2 - Br1 = (69 m - 34 m) î + (–74 m + 17 m) ĵ = (35 m) î - (57 m) ĵ. Es decir, Δx  35 m y Δy  57 m. b) Para determinar la velocidad, tomamos la derivada de la posición Br dada con respecto al tiempo, considerando (Apéndice B-2) que d(t2)/dt  2t y d A t3 B兾dt = 3t2: d Br = C5.0 m兾s + A12 m兾s2 B t D î + C 0 - A9.0 m兾s3 B t2 D ĵ. dt La aceleración es (conservando sólo dos cifras significativas): vB = aB = dvB = A12 m兾s2 B î - A18 m兾s3 B t ĵ. dt Así, ax  12 m/s2 es constante; pero ay  (18 m/s3)t depende linealmente del tiempo, aumentando su magnitud con el tiempo en la dirección y negativa. B B c) Sustituimos t  3.0 s en las ecuaciones que hemos derivado para v y a: vB = (5.0 m兾s + 36 m兾s) î - (81 m兾s) ĵ = (41 m兾s) î - (81 m兾s) ĵ aB = A12 m兾s2 B î - A54 m兾s2 B ĵ. Sus magnitudes evaluadas en t  3.0 s son v = 3(41 m兾s)2 + (81 m兾s)2 = 91 m兾s, y a = 2 A12 m兾s2 B 2 + A54 m兾s2 B 2 = 55 m兾s2. SECCIÓN 3–6 Cinemática vectorial 61 Aceleración constante En el capítulo 2 estudiamos el importante caso del movimiento unidimensional para el cual la aceleración es constante. En dos o tres dimensiones, si el vector aceleración, aB , es constante en magnitud y dirección, entonces ax  constante, ay  constante, az  constante. La aceleración promedio en este caso es igual a la aceleración instantánea en cualquier momento. Las ecuaciones 2-12a, b y c, obtenidas en el capítulo 2 para una dimensión, son aplicables por separado a cada componente perpendicular del movimiento bi o tridimensional. En dos dimensiones, hacemos la velocidad inicial igual a vB 0 = vx 0 î + vy 0 ĵ y aplicamos las ecuaciones 3-6a, 3-9 y 3-12 para el vector posición B r , el vector velocidad vB , y el vector aceleración aB . Entonces escribimos las ecuaciones 2-12a, b y c para dos dimensiones como se muestra en la tabla 3-1. TABLA 3–1 Ecuaciones cinemáticas para aceleración constante en 2 dimensiones. Componente x (horizontal) vx = vx 0 + ax t x = x0 + vx 0 t + (ecuación 2–12a) 1 2 a x t2 vx = vx 0 + 2ax Ax - x0 B 2 2 Componente y (vertical) (ecuación 2–12b) (ecuación 2–12c) vy = vy 0 + ay t y = y0 + vy 0 t + a y t2 vy = vy 0 + 2ay Ay - y0 B 2 1 2 2 Las primeras dos de las ecuaciones en la tabla 3-1 pueden escribirse más formalmente con notación vectorial: [aB = constante] (3–13a) vB = vB 0 + aB t B B B 1B 2 r = r 0 + v0 t + 2 at . [aB = constante] (3–13b) Aquí, Br es el vector posición en cualquier tiempo y Br 0 es el vector posición en t  0. Esas ecuaciones son los equivalentes vectoriales de las ecuaciones 2-12a y b. En situaciones prácticas, comúnmente usamos la forma en componentes dada en la tabla 3-1. 3–7 Movimiento de proyectiles FIGURA 3–19 Esta fotografía estroboscópica de una pelota que rebota muestra la trayectoria “parabólica” característica del movimiento de proyectiles. En el capítulo 2 estudiamos el movimiento de los objetos en una dimensión en términos de desplazamiento, velocidad y aceleración, incluyendo sólo el movimiento vertical de cuerpos que caen debido a la aceleración de la gravedad. Ahora examinaremos el movimiento traslacional más general de objetos que se mueven en el aire en dos dimensiones, cerca de la superficie terrestre, como una pelota de golf, una pelota de béisbol lanzada o bateada, balones pateados y balas que aceleran. Todos éstos son ejemplos de movimiento de proyectiles (véase la figura 3-19), que se describe como un movimiento en dos dimensiones. Aunque a menudo la resistencia del aire resulta importante, en muchos casos sus efectos pueden despreciarse y así lo haremos en los siguientes análisis. No nos interesa por ahora el proceso mediante el cual se lanza o se proyecta el objeto. Consideraremos sólo su movimiento después de que se lanzó y antes de que caiga al suelo o es atrapado; es decir examinaremos nuestro objeto lanzado cuando se mueve libremente a través del aire, sin fricción, únicamente bajo la acción de la gravedad. Así, la aceleración del objeto se debe exclusivamente a la gravedad de la Tierra, que le produce una aceleración hacia debajo de magnitud g  9.80 m/s2 y supondremos que es constante.† Galileo fue el primero en describir acertadamente el movimiento de los proyectiles. Demostró que el movimiento puede entenderse analizando por separado sus componentes horizontal y vertical. Por conveniencia, suponemos que el movimiento comienza en el tiempo t  0 en el origen de un sistema coordenado xy (por lo que x0  y0  0). Observemos una (pequeña) esfera que rueda hacia el extremo de una mesa horizontal, con una velocidad inicial vx0 en la dirección horizontal (x). Véase la figura 3-20, donde, a manera de comparación, se muestra también un objeto que cae verticalmente. El B vector velocidad v en cada instante apunta en la dirección del movimiento de la esfera en ese instante y es siempre tangente a la trayectoria. Siguiendo las ideas de Galileo, tratamos por separado las componentes horizontal y vertical de la velocidad, vx y vy, y podemos aplicar las ecuaciones cinemáticas (ecuaciones 2-12a a 2-12c) a cada una de éstas. Primero, examinamos la componente vertical (y) del movimiento. En el instante en que la esfera sale de lo alto de la mesa (t = 0), sólo tiene una componente x de velocidad. Una vez que la esfera deja la mesa (en t  0), experimenta una aceleración verti† 62 CAPÍTULO 3 Esto nos restringe a objetos cuya distancia recorrida y altura máxima sobre la Tierra sean pequeñas, en comparación con el radio de la Tierra (6400 km). y B vx0 x B B a=g B vx FIGURA 3–20 Movimiento de proyectil de una esfera pequeña lanzada horizontalmente. La línea punteada negra representa la trayectoria del objeto. El vector velocidad vB en cada punto es en la dirección del movimiento, y por lo tanto, es tangente a la trayectoria. Los vectores de velocidad están representados con flechas continuas azules; y las componentes de la velocidad, con flechas punteadas. (Para fines de comparación, a la izquierda se muestra un objeto que cae verticalmente partiendo del mismo punto; vy es la misma para el objeto que cae y para el proyectil). Movimiento v del proyectil B B vy B vx Caída vertical B B v vy cal hacia abajo, g, que es la aceleración debida a la gravedad. Así, vy es inicialmente cero (vy0  0); pero crece en forma continua en la dirección hacia abajo (hasta que la esfera golpea el suelo). Consideremos que y es positiva hacia arriba. Entonces, ay  g y, de la ecuación 2-12a, escribimos vy  –gt ya que hacemos vy0  0. El desplazamiento vertical está dado por y = – 12 gt2. Por otro lado, en la dirección horizontal no hay aceleración (estamos despreciando la resistencia del aire). Con ax  0, la componente horizontal de la velocidad vx permanece constante, igual a su valor inicial, vx0, y tiene así la misma magnitud en cada punto de la trayectoria. Entonces, el desplazamiento horizontal está dado por x  vx0 t. Los B B dos vectores componentes, vx y vy , se pueden sumar vectorialmente en cualquier insB tante para obtener la velocidad v en ese momento (esto es, para cada punto sobre la trayectoria), como se muestra en la figura 3-20. Un resultado de este análisis, que el mismo Galileo predijo, es que un objeto lanzado horizontalmente llegará al suelo al mismo tiempo que un objeto que se deja caer verticalmente. Esto se debe a que los movimientos verticales son los mismos en ambos casos, como se indica en la figura 3-20. La figura 3-21 es una fotografía estroboscópica de un experimento que lo confirma. FIGURA 3–21 Fotografía estroboscópica que muestra las posiciones de dos esferas en intervalos de tiempo iguales. Una esfera se suelta desde el reposo, al mismo tiempo que la otra se lanza horizontalmente a la derecha. Se ve que la posición vertical de cada esfera es la misma en cada momento. EJERCICIO D Regrese a la pregunta de inicio del capítulo de la página 51 y contéstela de nuevo. Intente explicar por qué tal vez haya respondido de manera diferente la primera vez. Si un objeto se lanza con cierta inclinación hacia arriba, como en la figura 3-22, el análisis es similar, excepto que ahora se tiene una componente vertical inicial de la velocidad, vy0. Debido a la aceleración hacia abajo de la gravedad, vy decrece gradualmente con el tiempo, hasta que el objeto alcanza el punto más alto de su trayectoria, donde vy  0. A continuación, el objeto se mueve hacia abajo (figura 3-22) y luego vy empieza a crecer en sentido hacia abajo, como se muestra (es decir, crece negativamente). Al igual que antes, vx permanece constante. y v y = 0 en este punto B B B B vy B vy S B B v y0 vx B v0 FIGURA 3–22 Trayectoria de un proyectil disparaB do con velocidad inicial v 0 a un ángulo u0 con respecto a la horizontal. La trayectoria se muestra en negro; los vectores de velocidad son las flechas continuas; y las componentes de la velocidad son las flechas B punteadas. La aceleración aB = d v 兾d t es hacia abajo. ! Es decir, aB = g = – g ĵ donde ĵ es el vector unitario en la dirección y positiva. 1 en este punto. v B v vx S B v θ0 B vx 0 B v x0 a =g= B B gĵ B vy B v SECCIÓN 3–7 Movimiento de proyectiles 63 3–8 Resolución de problemas que implican el movimiento de un proyectil Ahora trabajaremos con varios ejemplos cuantitativos del movimiento de proyectiles. Podemos simplificar las ecuaciones 2-12 (tabla 3-1), para usarlas en el movimiento de proyectiles, haciendo ax  0. Véase la tabla 3-2, donde se supone que y es positiva hacia arriba, por lo que ay  g  9.80 m/s2. Note también que si u se elige en relación con el eje x, como en la figura 3-22, entonces, vx 0 = v0 cos u0 , vy 0 = v0 sen u0 . R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Seleccione el intervalo de tiempo Al resolver problemas que implican el movimiento de proyectiles, debemos considerar un intervalo de tiempo durante el cual el objeto elegido esté en el aire, influido únicamente por la gravedad. No consideramos el proceso de lanzamiento (o proyección), ni el tiempo después de que el objeto cae al suelo o es atrapado, porque entonces actúan otras influencias sobre el objeto y ya no es posible establecer aB = gB . TABLA 3–2 Ecuaciones cinemáticas para el movimiento de proyectiles (y positivo hacia arriba; ax = 0, ay = ⴚg = ⴚ9.80 m/s2) Movimiento vertical† Aay ⴝ ⴚ g ⴝ constanteB Movimiento horizontal Aax ⴝ 0, £ x ⴝ constanteB vx = vx 0 x = x0 + vx 0 t † E PROBL S OLUCI ES Ó A R v2y = vy2 0 - 2g(y - y0) Si y es positiva hacia arriba, el signo menos ( ) antes de g se convierte en signos más (). Movimiento de un proyectil El enfoque para resolver problemas que vimos en la sección 2-6 también es aplicable aquí. Sin embargo, resolver problemas que implican el movimiento de un proyectil quizá requiera algo de creatividad y es posible que no baste simplemente con seguir algunas reglas. En efecto, se debe evitar sólo sustituir números en las ecuaciones que parecen “funcionar”. 1. Como siempre, lea cuidadosamente; elija el objeto (u objetos) que se va a analizar. 2. Dibuje con cuidado un diagrama que muestre lo que le sucede al objeto. 3. Elija un origen y un sistema coordenado xy. 4. Decida el intervalo de tiempo, que para el movimiento de proyectiles sólo incluya el movimiento bajo el efecto de la gravedad, sin lanzamientos ni aterrizajes. El intervalo de tiempo debe ser el mismo para los análisis de x y de y. 64 (Ecuación 2–12c) EM N D (Ecuación 2–12b) vy = vy 0 - gt y = y0 + vy 0 t - 12 gt2 (Ecuación 2–12a) CAPÍTULO 3 Los movimientos x y y están conectados por el tiempo común. 5. Examine por separado los movimientos horizontal (x) y vertical (y). Si se indica la velocidad inicial, es posible que quiera descomponerla en sus componentes x y y. 6. Elabore una lista con las cantidades conocidas y las incógnitas; elija ax  0 y ay  g o g, donde g  9.80 m/s2; y utilice los signos  o dependiendo de si elige el eje y positivo hacia arriba o positivo hacia abajo. Recuerde que vx nunca cambia a lo largo de la trayectoria, y que vy  0 en el punto más alto de cualquier trayectoria que regrese hacia abajo. Por lo general, justo antes de aterrizar la velocidad no es cero. 7. Piense durante un minuto antes de lanzarse a resolver las ecuaciones. Un poco de planeación permite llegar lejos. Aplique las ecuaciones relevantes (tabla 3-2) y combine ecuaciones si es necesario. Es posible que necesite combinar componentes de un vector para obtener su magnitud y su dirección (ecuaciones 3-3). Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores EJEMPLO 3–6 Huida por un acantilado. Un doble de películas que conduce una motocicleta aumenta horizontalmente la rapidez y sale disparado de un acantilado de 50.0 m de altura. ¿A qué rapidez debe salir del acantilado la motocicleta, para aterrizar al nivel del suelo a 90.0 m de la base del acantilado, donde se encuentran las cámaras? Desprecie la resistencia del aire. PLANTEAMIENTO Seguiremos explícitamente los pasos de la sección anterior de Estrategia de resolución de problemas. SOLUCIÓN 1. y 2. Lea, elija el objeto y dibuje un diagrama. Nuestro objeto es la motocicleta con el conductor, tomados como una sola unidad. El diagrama se muestra en la figura 3-23. 3. Elija un sistema coordenado. Elegimos la dirección y positiva hacia arriba, con la parte superior del acantilado como y0  0. La dirección x es horizontal con x0  0 en el punto donde la motocicleta sale del acantilado. 4. Elija un intervalo de tiempo. Hacemos que el intervalo de tiempo comience (t  0) justo cuando la motocicleta deja lo alto del acantilado en la posición x0  0, y0  0; el intervalo de tiempo termina justo antes de que la motocicleta golpee el suelo. 5. Examine los movimientos x y y. En la dirección horizontal (x), la aceleración ax  0, de manera que la velocidad es constante. El valor de x cuando la motocicleta llega al suelo es x  90.0 m. En la dirección vertical, la aceleración es la aceleración debida a la gravedad, ay  g  9.80 m/s2. El valor de y cuando la motocicleta llega al suelo es y  50.0 m. La velocidad inicial es horizontal y es nuestra incógnita, vx0; la velocidad inicial vertical es cero, vy0  0. 6. Elabore una lista con las cantidades conocidas y las incógnitas. Observe la tabla al margen. Note que, además de no conocer la velocidad horizontal inicial vx0 (que permanece constante hasta el aterrizaje), tampoco conocemos el tiempo t que tarda la motocicleta en llegar al suelo. 7. Aplique las ecuaciones relevantes. La motocicleta mantiene vx constante mientras está en el aire. El tiempo que permanece en el aire está determinado por el movimiento y, que es cuando golpea el suelo. Así que primero hay que encontrar el tiempo que toma el movimiento y y luego usar este valor de tiempo en las ecuaciones para x. Para averiguar cuánto le toma a la motocicleta llegar al suelo, emplearemos la ecuación 2-12b (tabla 3-2) para la dirección vertical (y) con y0  0 y vy0  0: +y +x B B a=g 50.0 m y = –50.0 m 90.0 m FIGURA 3–23 Ejemplo 3–6. Datos conocidos x0 x y ax ay vy 0 = = = = = = y0 = 0 90.0 m –50.0 m 0 –g = –9.80 m兾s2 0 Incógnitas vx 0 t y = y0 + vy 0 t + 12 ay t2 = 0 + 0 + 12 (–g) t2 o y = – 12 gt2. Despejamos t y establecemos que y  50.0 m: 2(–50.0 m) 2y = = 3.19 s. B –g B –9.80 m兾s2 Para calcular la velocidad inicial, vx0, se utiliza de nuevo la ecuación 2-12b, pero ahora para la dirección horizontal (x), con ax  0 y x0  0: t = o x = x0 + vx 0 t + 12 ax t2 = 0 + vx 0 t + 0 x = vx 0 t. Entonces, 90.0 m = 28.2 m兾s, 3.19 s que es aproximadamente 100 km/h (alrededor de 60 mi/h). NOTA En el intervalo de tiempo donde tenemos movimiento de proyectiles, la única aceleración es g en la dirección y negativa (hacia abajo). La aceleración en la dirección x es cero. vx 0 = x t = SECCIÓN 3–8 Resolución de problemas que implican el movimiento de un proyectil 65 vy = 0 en este punto B v B y B v B v0 FIGURA 3–24 Ejemplo 3–7. B v B vy0 37.0° F Í S I C A A P L I C A D A Deportes x B 0 aB = gB = 2gĵ vx0 EJEMPLO 3–7 Un balón de fútbol pateado. Un jugador patea un balón de fútbol a un ángulo u0  37.0° con una velocidad de salida de 20.0 m/s, como se muestra en la figura 3-24. Calcule a) la altura máxima, b) el tiempo transcurrido antes de que el balón golpee el suelo, c) a qué distancia golpea el suelo, d) el vector velocidad en la altura máxima y e) el vector aceleración en la altura máxima. Suponga que el balón deja el pie al nivel del suelo; ignore la resistencia del aire y la rotación del balón. PLANTEAMIENTO Esto parece difícil al principio, pues son muchas preguntas. Pero podemos trabajar con una de ellas a la vez. Se toma la dirección y como positiva hacia arriba; en tanto que los movimientos x y y se tratan por separado. De nuevo, el tiempo total en el aire se determina con el movimiento en y. El movimiento en x ocurre a velocidad constante. La componente y de la velocidad varía, inicialmente es positiva (hacia arriba), disminuye hasta cero en el punto más alto y luego se vuelve negativa conforme el balón cae. SOLUCIÓN La velocidad inicial se descompone en sus componentes (figura 3-24): vx 0 = v0 cos 37.0° = (20.0 m兾s)(0.799) = 16.0 m兾s vy 0 = v0 sen 37.0° = (20.0 m兾s)(0.602) = 12.0 m兾s. a) Se considera un intervalo de tiempo que comience justo después de que el balón pierde contacto con el pie y hasta que alcanza su altura máxima. Durante este intervalo de tiempo, la aceleración es g hacia abajo. En la altura máxima, la velocidad es horizontal (figura 3-24), de manera que vy  0; y esto ocurre en un tiempo dado por vy  vy0 gt, con vy  0 (ecuación 2-12a en la tabla 3-2). Por lo tanto, vy 0 (12.0 m兾s) = 1.224 s L 1.22 s. (9.80 m兾s2) A partir de la ecuación 2-12b, con y0  0, tenemos t = g = y = vy 0 t - 12 gt2 = (12.0 m兾s)(1.224 s) - 1 2 A9.80 m兾s2 B(1.224 s)2 = 7.35 m. Alternativamente, podíamos haber empleado la ecuación 2-12c, y despejar y para obtener la altura máxima y = vy2 0 - v2y (12.0 m兾s)2 - (0 m兾s)2 = = 7.35 m. 2g 2A9.80 m兾s2 B La altura máxima es de 7.35 m. b) Para encontrar el tiempo que le toma al balón regresar al suelo, se considerará un intervalo de tiempo diferente, que comienza en el momento en el que el balón deja el pie (t  0, y0  0) y termina justo antes de que el balón regrese al suelo (y  0 de nuevo). Se emplea la ecuación 2-12b con y0  0 y también se establece que y  0 (nivel del suelo): y = y0 + vy 0 t 0 = 0 + vy 0 t - 1 2 2g 1 2 2g . t t Es sencillo factorizar esta ecuación: t A 12 gt - vy 0 B = 0. Hay dos soluciones, t = 0 (que corresponde al punto inicial, y0) y 2vy 0 2(12.0 m兾s) = = 2.45 s, g A9.80 m兾s2 B que es el tiempo de vuelo total del balón. t = 66 CAPÍTULO 3 Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores NOTA El tiempo necesario para todo el viaje, t  2vy0/g  2.45 s, es el doble del tiempo para llegar al punto más alto, calculado en a). Esto es, ignorando la resistencia del aire, el tiempo que le toma para subir es igual al tiempo que le toma para bajar. c) La distancia total recorrida en la dirección x se encuentra aplicando la ecuación 2-12b con x0  0, ax  0, vx0  16.0 m/s: x = vx 0 t = (16.0 m兾s)(2.45 s) = 39.2 m. d) En el punto más alto la componente vertical de la velocidad es cero. Sólo existe la componente horizontal (que permanece constante a lo largo del vuelo), de manera que v  vx0  v0 cos 37.0°  16.0 m/s. e) El vector aceleración es el mismo en el punto más alto que a lo largo del vuelo, que es 9.80 m/s2 hacia abajo. NOTA El balón de fútbol se consideró como si fuese una partícula, y se despreció su rotación. También se ignoró la resistencia del aire, que es significativa en el caso de un balón de fútbol, así que los resultados son tan sólo estimaciones. EJERCICIO E Dos bolas se lanzan en el aire en ángulos diferentes, pero cada una alcanza la misma altura. ¿Cuál bola permanece más tiempo en el aire: la que se lanzó en el ángulo más inclinado o la que se lanzó en el ángulo menos inclinado? EJEMPLO CONCEPTUAL 3–8 ¿En dónde cae la manzana? Una niña se sienta erguida en un carro de juguete que se mueve hacia la derecha con rapidez constante, como se muestra en la figura 3-25. La niña extiende la mano y avienta una manzana directamente hacia arriba (desde su propio punto de vista, figura 3-25a); mientras que el carro continúa viajando hacia adelante con rapidez constante. Si se desprecia la resistencia del aire, ¿la manzana caerá a) atrás del carro, b) sobre el carro o c) frente al carro? RESPUESTA La niña lanza la manzana directamente hacia arriba desde su propio marco de referencia con velocidad inicial vB y 0 (figura 3-25a). Pero cuando alguien parado en el suelo ve el movimiento, la velocidad de la manzana también tiene una componente horizontal que es igual a la rapidez del carro, vB x 0 . Entonces, para esa persona, la manzana describirá una trayectoria parabólica, como se indica en la figura 3-25b. La manzana no experimenta ninguna aceleración horizontal, por lo que vB x 0 permanecerá constante e igual a la rapidez del carro. Conforme la manzana sigue su arco, el carro permanecerá directamente debajo de ella en todo momento, ya que ambos tienen la misma velocidad horizontal. Cuando la manzana desciende, caerá exactamente en el carro, en la mano extendida de la niña. La respuesta es b). EJEMPLO CONCEPTUAL 3–9 Estrategia equivocada. Un niño situado en una pequeña colina apunta horizontalmente su lanzadera (resortera) de globos de agua, directamente a un segundo niño que cuelga de la rama de un árbol a una distancia horizontal d (figura 3-26). En el momento en que se dispara el globo de agua, el segundo niño se suelta del árbol, esperando que el globo no lo toque. Demuestre que esto es una medida equivocada. (Él aún no había estudiado física). Desprecie la resistencia del aire. RESPUESTA Tanto el globo de agua como el niño que se suelta del árbol comienzan a caer en el mismo instante, y en un tiempo t ambos caen la misma distancia vertical y = 12 gt2, (véase la figura 3-21). En el tiempo que le toma al globo viajar la distancia horizontal d, el globo tendrá la misma posición y que el niño que cae. Splash. Si el niño hubiera permanecido colgado en el árbol, no habría sido empapado por el globo. B vy 0 y x a) Marco de referencia del carro vBy 0 vB0 vBx 0 vBx 0 b) Marco de referencia del suelo FIGURA 3–25 Ejemplo conceptual 3–8. d v0 y=0 FIGURA 3–26 Ejemplo 3–9. y SECCIÓN 3–8 Resolución de problemas que implican el movimiento de un proyectil 67 y y = 0 de nuevo aquí (donde x = R) x0 = 0 y0 = 0 θ0 x R a) y 60° 45° 30° x b) FIGURA 3–27 Ejemplo 3-10. a) El alcance R de un proyectil; b) generalmente hay dos ángulos u0 que darán el mismo alcance. ¿Puede usted demostrar que si un ángulo es u01, el otro será u02  90° u01? EJEMPLO 3–10 Alcance horizontal. a) Deduzca una fórmula para el alcance horizontal R de un proyectil, en términos de su rapidez inicial v0 y del ángulo de salida u0. El alcance horizontal se define como la distancia horizontal que recorre el proyectil antes de regresar a su altura original (que por lo general es el suelo); es decir, y (final)  y0. Observe la figura 3-27a. b) Suponga que uno de los cañones de Napoleón tiene una rapidez inicial, v0, de 60.0 m/s. ¿En qué ángulo se debería apuntar (ignore la resistencia del aire) para golpear un blanco que está a 320 m de distancia? PLANTEAMIENTO La situación es la misma que la del ejemplo 3-7, excepto en que en a) ahora no se dan números. Trabajaremos algebraicamente las ecuaciones para obtener el resultado. SOLUCIÓN a) Sea x0  0 y y0  0 en t  0. Después de que el proyectil recorre una distancia horizontal R, regresa al mismo nivel, y  0, que es el punto final. Elegimos el intervalo de tiempo que comienza (t  0) justo después de que el proyectil se dispara y que termina cuando regresa a la misma altura vertical. Para encontrar una expresión general para R, establecemos tanto y = 0 como y0  0 en la ecuación 2-12b para el movimiento vertical, con lo cual obtenemos y = y0 + vy 0 t + 12 ay t2 de modo que 0 = 0 + vy 0 t - 12 gt2. Despejamos t, lo cual da dos soluciones: t  0 y t  2vy0/g. La primera solución corresponde al instante inicial cuando se dispara el proyectil y la segunda es el tiempo en que el proyectil regresa a y  0. Entonces el alcance, R, será igual a x en el momento en que t tome este valor, que sustituimos en la ecuación 2-12b para el movimiento horizontal (x  vx0 t, con x0  0). En consecuencia, tenemos: R = vx 0 t = vx 0 ¢ 2vy 0 g ≤ = 2vx 0 vy 0 g = 2v20 sen u0 cos u0 , g C y = y0 D donde hemos escrito vx0  v0 cos u0 y vy0  v0 sen u0. Éste es el resultado que se buscaba. Mediante la identidad trigonométrica 2 sen u cos u  sen 2u. (Apéndice A o guardas de este libro), se reescribe como: R = v20 sen 2u0 . g [sólo si y (final) = y0] Vemos que el alcance máximo, para una velocidad inicial dada v0, se obtiene cuando sen 2u toma su valor máximo de 1.0, lo cual sucede para 2u0  90°; de manera que u0 = 45° para el alcance máximo, y R máx = v20兾g. [Cuando la resistencia del aire es importante, el alcance es menor para una v0 dada y el alcance máximo se obtiene en un ángulo más pequeño que 45°]. NOTA El alcance máximo aumenta como v0 al cuadrado, así que al duplicar la velocidad de salida de un cañón, aumentará su alcance máximo por un factor de 4. b) Se coloca R  320 m en la ecuación que se acaba de obtener y (suponiendo de manera irreal que no hay resistencia del aire) despejamos para encontrar sen 2u0 = Rg v20 = (320 m)A9.80 m兾s2 B (60.0 m兾s)2 = 0.871. Debemos despejar para un ángulo u0 que esté entre 0° y 90°, lo cual significa que 2u0 en esta ecuación puede ser tan grande como 180°. Por lo tanto, 2u0  60.6° es una so60.6°  119.4° es también una solución (véase el lución; no obstante, 2u0  180° Apéndice A-9). En general tendremos dos soluciones (véase la figura 3-27b), que en el presente caso están dadas por u0 = 30.3° o 59.7°. Cualquiera de los dos valores da el mismo alcance. Sólo cuando sen 2u0  1 (así que u0  45°) se tiene una sola solución (es decir, ambas soluciones coinciden). 68 CAPÍTULO 3 Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores EJERCICIO F Se tiene que el alcance máximo de un proyectil es 100 m. Si el proyectil golpea el suelo a una distancia de 82 m, ¿cuál fue el ángulo de lanzamiento? a) 35° o 55°; b) 30° o 60°; c) 27.5° o 72.5°; d) 13.75° o 76.25°. La fórmula del alcance horizontal que se derivó en el ejemplo 3-10 se aplica sólo si el despegue y el aterrizaje tienen la misma altura (y  y0). El siguiente ejemplo 3-11 considera un caso donde no tienen la misma altura (y Z y0). EJEMPLO 3–11 ¡A despejar! Suponga que al balón de fútbol del ejemplo 3-7 se le dio una patada de despeje y que el pie del jugador quedó a una altura de 1.00 m sobre el suelo. ¿Qué distancia viajó el balón antes de golpear el suelo? Considere x0  0, y0  0. PLANTEAMIENTO De nuevo, se trabajan por separado los movimientos x y y. Pero no podemos emplear la fórmula de alcance del ejemplo 3-10, porque ésta es válida sólo si y (final)  y0, lo cual no es el caso aquí. Ahora tenemos y0  0, pero el balón de fútbol golpea el suelo en y  1.00 m (véase la figura 3-28). Elegimos el intervalo de tiempo que empieza cuando el balón sale del pie (t  0, y0  0, x0  0) y termina justo antes de que el balón golpee el suelo (y  1.00 m). A partir de la ecuación 212b, x  vx0 t, se obtiene x, ya que se sabe que vx0  16.0 m/s, de acuerdo con el ejemplo 3-7. Sin embargo, primero hay que encontrar t, el tiempo en que el balón golpea el suelo, que se obtiene a partir del movimiento en y. F Í S I C A A P L I C A D A Deportes R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS No utilice una fórmula a menos que esté seguro de que su rango de validez sea apropiado al problema; la fórmula de alcance horizontal no se aplica aquí porque y ≠ y0 FIGURA 3–28 Ejemplo 3-11: El balón de fútbol sale del pie del jugador en y  0, y llega el suelo en y  1.00 m. SOLUCIÓN Con y  ecuación 1.00 m y vy0  12.0 m/s (véase el ejemplo 3-7), utilizamos la y = y0 + vy 0 t - 1 2 2g , t y obtenemos –1.00 m = 0 + (12.0 m兾s) t - A4.90 m兾s2 B t2. Reordenamos esta ecuación en la forma estándar (ax2  bx  c  0), de manera que podamos utilizar la fórmula cuadrática: A4.90 m兾s2 B t2 - (12.0 m兾s) t - (1.00 m) = 0. Al emplear la fórmula cuadrática (Apéndice A-1) se obtiene t = 12.0 m兾s 3(–12.0 m兾s)2 - 4A4.90 m兾s2 B(– 1.00 m) 2A4.90 m兾s2 B = 2.53 s o –0.081 s. La segunda solución correspondería a un tiempo anterior al intervalo de tiempo elegido que empieza con la patada, de manera que no se aplica. Con t  2.53 s para el tiempo en que el balón toca el suelo, la distancia horizontal que recorre el balón es (utilizando vx0  16.0 m/s, a partir del ejemplo 3-7): x = vx 0 t = (16.0 m兾s)(2.53 s) = 40.5 m. La suposición en el ejemplo 3-7 de que el balón sale del pie al nivel del suelo daría como resultado una subestimación de aproximadamente 1.3 m en la distancia recorrida. SECCIÓN 3–8 Resolución de problemas que implican el movimiento de un proyectil 69 y vx0 ¿Se lanza hacia arriba? (vy0 > 0) “se deja caer” (vy0 = 0) 200 m 200 m ¿Se lanza hacia abajo? (vy0 < 0) x 400 m b) a) FIGURA 3–29 Ejemplo 3–12. F Í S I C A A P L I C A D A Alcance de un objetivo desde un helicóptero en movimiento EJEMPLO 3–12 Helicóptero de rescate lanza suministros. Un helicóptero de rescate deja caer un paquete de suministros a alpinistas que se encuentran aislados en la cima de una colina peligrosa, situada 200 m abajo del helicóptero. Si éste vuela horizontalmente con una rapidez de 70 m/s (250 km/h), a) ¿a qué distancia horizontal antes de los alpinistas debe dejarse caer el paquete de suministros (figura 3-29a)? b) En vez de esto, suponga que el helicóptero lanza los suministros a una distancia horizontal de 400 m antes de donde se encuentran los alpinistas. ¿Qué velocidad vertical debería darse a los suministros (hacia arriba o hacia abajo) para que éstos caigan precisamente en la posición donde están los alpinistas (figura 3-29b)? c) ¿Con qué rapidez aterrizan los suministros en este último caso? PLANTEAMIENTO Se elige el origen de nuestro sistema de coordenadas xy en la posición inicial del helicóptero, tomando y hacia arriba, y se emplean las ecuaciones cinemáticas (tabla 3-2). SOLUCIÓN a) Se puede encontrar el tiempo para alcanzar a los alpinistas usando la distancia vertical de 200 m. El paquete de suministros se “deja caer”, de manera que inicialmente tiene la velocidad horizontal del helicóptero, vx0  70 m/s, vy0  0. Entonces, como y = – 12 gt2, tenemos – 2(–200 m) –2y = = 6.39 s. B g B 9.80 m兾s2 El movimiento horizontal de los suministros al caer tiene rapidez constante de 70 m/s. Entonces, x = vx 0 t = (70 m兾s)(6.39 s) = 447 m L 450 m, considerando que los valores dados tenían una precisión de dos cifras significativas. b) Se nos da x  400 m, vx0  70 m/s, y  200 m y queremos encontrar vy0 (véase la figura 3-29b). Al igual que con la mayoría de los problemas, éste puede enfocarse de varias formas. En vez de buscar una fórmula o dos, intentemos razonar de manera sencilla, según lo que hicimos en el inciso a). Si conocemos t, tal vez podamos obtener vy0. Como el movimiento horizontal de los suministros tiene rapidez constante (una vez que se lanzan, no nos interesa lo que haga el helicóptero), tenemos x  vx0 t, por lo que x 400 m t = = = 5.71 s. vx 0 70 m兾s Usemos ahora el movimiento vertical para obtener vy 0 : y = y0 + vy 0 t - 12 gt2. Como y0  0 y y  200 m, despejamos vy0: t = vy 0 = y + 12 gt2 = –200 m + 1 2 A9.80 m兾s2 B(5.71 s)2 = –7.0 m兾s. 5.71 s Entonces, para caer precisamente en la posición de los alpinistas, el paquete de suministros debe lanzarse hacia abajo desde el helicóptero con una rapidez de 7.0 m/s. c) Queremos conocer la v de los suministros en t  5.71 s. Las componentes son: t vx = vx 0 = 70 m兾s vy = vy 0 - gt = –7.0 m兾s - A9.80 m兾s2 B(5.71 s) = –63 m兾s. De manera que v = 3 (70 m兾s)2 + ( – 63 m兾s)2 = 94 m兾s. (Sería mejor no soltar los suministros desde tal altitud o mejor usar un paracaídas). 70 CAPÍTULO 3 Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores El movimiento de proyectiles es parabólico Mostraremos ahora que la trayectoria seguida por cualquier proyectil es una parábola, si podemos despreciar la resistencia del aire y consideramos que gB es constante. Para hacerlo, necesitamos encontrar la altura y como función de x, eliminando t entre las dos ecuaciones para los movimientos horizontal y vertical (ecuación 2-12b en la tabla 3-2) y, por sencillez tomamos x0 = y0 = 0 : x = vx 0 t y = vy 0 t - 1 2 2g t De la primera ecuación, tenemos t  x/vx0 y sustituimos esto en la segunda ecuación para obtener y = ¢ vy 0 vx 0 ≤x - ¢ g 2vx2 0 ≤ x 2. (3–14) Vemos que y como función de x tiene la forma y = Ax - Bx2, donde A y B son constantes para cualquier movimiento específico de un proyectil. Ésta es la bien conocida ecuación para una parábola. Véase las figuras 3-19 y 3-30. En tiempos de Galileo, la idea de que el movimiento de un proyectil es parabólico estaba a la vanguardia de las investigaciones en física. En la actualidad analizamos esto en el capítulo 3 ¡de un libro de introducción a la física! FIGURA 3–30 Ejemplos del movimiento de proyectiles: Chispas (pequeños fragmentos de metal incandescente que brillan), agua y fuegos artificiales. La trayectoria parabólica característica del movimiento de proyectiles se ve afectada por la resistencia del aire. 3–9 Velocidad relativa Ahora consideraremos cómo se relacionan entre sí las observaciones efectuadas en diferentes marcos de referencia. Por ejemplo, piense en dos trenes que se acercan una al otro, cada uno con una rapidez de 80 km/h con respecto a la Tierra. Observadores sobre la Tierra al lado de la vía medirán 80 km/h para la rapidez de cada uno de los trenes. Observadores en cualquiera de los trenes (un marco de referencia distinto) medirán una rapidez de 160 km/h para el tren que se acerque a ellos. Asimismo, cuando un automóvil que viaja a 90 km/h pasa a un segundo automóvil que viaja en el mismo sentido a 75 km/h, el primer automóvil tiene una rapidez relativa al segundo de 90 km/h 75 km/h  15 km/h. Cuando las velocidades van a lo largo de la misma línea, una simple suma o una resta es suficiente para obtener la velocidad relativa. Pero si las velocidades no van a lo largo de la misma línea, tenemos que usar la suma vectorial. como se mencionó en la sección 2-1, enfatizamos que al especificar una velocidad, es importante indicar cuál es el marco de referencia. SECCIÓN 3–9 Velocidad relativa 71 Corriente del río N O B v WS E S B B v BS θ v BW Al determinar la velocidad relativa, es fácil equivocarse sumando o restando las velocidades incorrectas. Por lo tanto, se recomienda dibujar un diagrama y usar un proceso de rotulación cuidadosa que aclare la situación. Cada velocidad se rotula con dos subíndices: el primero se refiere al objeto, y el segundo al marco de referencia donde éste tiene tal velocidad. Por ejemplo, suponga que un bote cruza al lado opuesto de un río, como se B indica en la figura 3-31. Sea vBW la velocidad del Bote con respecto al agua (Water). (Ésta también sería la velocidad del bote relativa a la orilla, si el agua estuviese en reB B poso). Asimismo, vBS es la velocidad del Bote con respecto a la orilla (Shore), y vWS es la velocidad del agua (Water) con respecto a la orilla (Shore) (ésta es la corriente del B río). Advierta que vBW es lo que el motor del bote produce (contra el agua); en tanto B B B que vBS es igual a vBW más el efecto de la corriente, vWS . Por lo tanto, la velocidad del bote con respecto a la orilla es (véase el diagrama de vectores, figura 3-31) vBBS = vBBW + vBWS . FIGURA 3–31 El bote debe dirigirse río arriba a un ángulo u, para cruzar directamente a través del río. Los vectores de velocidad se muestran con flechas: vB BS = velocidad del bote con respecto a la orilla (Shore), vB BW = velocidad del bote con respecto al agua (Water), vB WS = velocidad del agua (Water) con respecto a la orilla (Shore) (corriente del río). (3–15) Si escribimos los subíndices según la convención anterior, vemos que los subíndices internos (las dos W) en el lado derecho de la ecuación 3-15 son los mismos; en tanto que los subíndices externos en el lado derecho de la ecuación 3-15 (la B y la S) son los mismos que los dos subíndices para la suma vectorial a la izquierda, vB BS . Siguiendo esta convención (primer subíndice para el objeto, segundo para el marco de referencia), se puede escribir la ecuación correcta relacionando velocidades en distintos marcos de referencia.† La figura 3-32 da una derivación de la ecuación 3-15. La ecuación 3-15 es válida en general y puede extenderse a tres o más velocidades. Por ejemplo, si un pescador (Fisherman) sobre un bote camina con una velocidad vB FB relativa al bote, su velocidad relativa a la orilla es vB FS = vB FB + vB BW + vB WS . Las ecuaciones que implican velocidades relativas serán correctas, cuando los subíndices interiores adyacentes sean idénticos y cuando los más externos correspondan exactamente a los dos de la velocidad en el lado izquierdo de la ecuación. Pero esto funciona sólo con signos más (en la derecha), no con signos menos. A menudo es útil recordar que para dos objetos o marcos de referencia cualesquiera, A y B, la velocidad de A relativa a B tiene la misma magnitud, pero sentido opuesto a la velocidad de B relativa a A: vBBA = –vBAB . (3–16) Por ejemplo, si un tren viaja a 100 km/h con respecto a la Tierra, en una cierta dirección, un observador en el tren vería los objetos sobre la tierra (como los árboles) como si viajaran a 100 km/h en sentido opuesto. † B B B Sabríamos entonces por inspección que (por ejemplo) la ecuación VBW = VBS + VWS es errónea. FIGURA 3–32 Derivación de la ecuación para la velocidad relativa (ecuación 3-15), en este caso para un individuo que camina a lo largo del pasillo de un tren. Vemos desde arriba el tren y dos marcos de referencia: xy sobre la Tierra y xy fijo sobre el tren. Tenemos: r PT = vector de posición de la persona (P) con respecto al tren (T), B B vTE y r PE = vector de posición de la persona (P) con respecto a la Tierra (Earth), B y′ B rPE r TE = vector de posición del sistema coordenado del tren (T) con respecto a la Tierra (E). Del diagrama vemos que B r PE = Br PT + Br TE . B B Tomamos la derivada con respecto al tiempo y obtenemos d B d B d B Ar PE B = Ar PT B + Ar TE B . dt dt dt B B o, como dr 兾dt = v, vBPE = vBPT + vBTE . Esto es el equivalente de la ecuación 3-15 para la situación presente (¡compruebe los subíndices!). 72 CAPÍTULO 3 Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores 0 x r TE 0′ B r PT x′ EJEMPLO CONCEPTUAL 3–13 Cruce de un río. En un pequeño bote de motor una mujer intenta cruzar un río que fluye hacia el oeste con una corriente fuerte. La mujer parte desde el banco sur y trata de alcanzar el banco norte localizado directamente al norte de su punto de partida. ¿Debería a) dirigirse hacia el norte, b) dirigirse hacia el oeste, c) dirigirse hacia el noroeste, d) dirigirse hacia el noreste? RESPUESTA Si la mujer se dirige en línea recta a través del río, la corriente arrastrará el bote corriente abajo (hacia el oeste). Para superar la corriente del río hacia el oeste, el bote debe adquirir tanto una componente de velocidad hacia el este, como una componente hacia el norte. Por lo tanto, el bote debe d) dirigirse en una dirección hacia el noreste (véase la figura 3-33). El ángulo real depende de la intensidad de la corriente y de cuán rápido se mueva el bote con respecto al agua. Si la corriente es débil y el motor es fuerte, entonces el bote se dirige casi, pero no demasiado, hacia el norte. Corriente del río N EJEMPLO 3–14 Dirigirse corriente arriba. La rapidez de un bote en aguas tranquilas es vBW = 1.85 m兾s. Si el bote viaja directamente a través del río, cuya corriente tiene una rapidez vWS = 1.20 m兾s, ¿a qué ángulo corriente arriba debe dirigirse el bote? (véase la figura 3-33). PLANTEAMIENTO Razonamos como hicimos en el ejemplo 3-13 y usamos los subíndices como en la ecuación 3-15. La figura 3-33 se dibujó con vBS , la velocidad del Bote respecto a la orilla (Shore), apuntando directamente a través del río, ya que así es como se supone que se mueve el bote. (Note que vBS = vBW + vWS .) Para lograr esto, el bote necesita dirigirse corriente arriba para compensar la corriente que lo empuja corriente abajo. SOLUCIÓN El vector vBW apunta corriente arriba a un ángulo u, como se muestra en la figura. A partir del diagrama, O B v WS E S B B v BS v BW θ B B B B B sen u = FIGURA 3–33 Ejemplos 3–13 y 3–14. vWS 1.20 m兾s = = 0.6486. vBW 1.85 m兾s Por lo tanto, u  40.4°, de manera que el bote debe dirigirse corriente arriba a un ángulo de 40.4°. EJEMPLO 3–15 Cruce a través del río. El mismo bote AvBW = 1.85 m兾sB ahora transita directamente a través del río, cuya corriente es todavía de 1.20 m/s. a) ¿Cuál es la velocidad (magnitud y dirección) del bote relativa a la orilla? b) Si el río tiene 110 m de ancho, ¿cuánto tiempo le tomará cruzar y qué tan lejos corriente abajo estará para entonces? PLANTEAMIENTO Ahora el bote transita directamente a través del río y el agua lo jala corriente abajo, como se observa en la figura 3-34. La velocidad del bote con respecto a la orilla, vB BS , es la suma de su velocidad con respecto al agua, vB BW , más la velocidad del agua con respecto a la orilla, vB WS : vBBS = vBBW + vBWS , tal como antes. SOLUCIÓN a) Dado que vBW es perpendicular a vWS , podemos obtener vBS mediante el teorema de Pitágoras: B FIGURA 3–34 Ejemplo 3-15. Un bote que cruza directamente un río cuya corriente se mueve a 1.20 m/s. Corriente del río B vBS = 3v2BW + v2WS = 3(1.85 m兾s)2 + (1.20 m兾s)2 = 2.21 m兾s. Obtenemos el ángulo (note cómo se define u en el diagrama) a partir de: tan u = vWS兾vBW = (1.20 m兾s)兾(1.85 m兾s) = 0.6486. Así u = tan (0.6486) = 33.0°. Advierta que este ángulo no es igual al ángulo calculado en el ejemplo 3-14. b) El tiempo de recorrido para el bote está determinado por el tiempo que le toma cruzar el río. Dado el ancho del río D  110 m, podemos utilizar la componente de velocidad en la dirección de D, vBW = D兾t. Al despejar t, obtenemos t  110 m/1.85 m/s  59.5 s. En este tiempo, el bote habrá sido arrastrado corriente abajo una distancia d = vWS t = (1.20 m兾s)(59.5 s) = 71.4 m L 71 m. NOTA En este ejemplo no hay aceleración, así que el movimiento sólo implica velocidades constantes (del bote o del río). B vWS B vBW B vBS θ 1 SECCIÓN 3–9 Velocidad relativa 73 2 B 2 v2E En reposo B vE2 B vE2 B B v1E v1E B v12 −Bv2E 1 1 B v 12 = B B v1E − v2E FIGURA 3–35 Ejemplo 3–16. a) b) B v1E c) EJEMPLO 3–16 Velocidades de automóviles a 90°. Dos automóviles se acercan a una esquina formando un ángulo recto entre sí, con la misma rapidez de 40.0 km/h ( 11.11 m/s), como se muestra en la figura 3-35a. ¿Cuál es la velocidad relativa de un automóvil con respecto al otro? Es decir, determine la velocidad del automóvil 1 vista por el automóvil 2. PLANTEAMIENTO La figura 3-35a muestra la situación en un marco de referencia fijo a la Tierra. Pero queremos ver la situación desde un marco de referencia donde el automóvil 2 está en reposo, y esto se muestra en la figura 3-35b. En este marco de referencia (el mundo visto por el conductor del automóvil 2), la Tierra se mueve hacia B el automóvil 2 con velocidad vE 2 (rapidez de 40.0 km/h), que es, por supuesto, igual y B opuesta a v2 E , la velocidad del automóvil 2 con respecto a la Tierra (ecuación 3-16): vB2 E = –vBE 2 . Por lo tanto, la velocidad del automóvil 1 vista desde el automóvil 2 es (véase ecuación 3-15) vB1 2 = vB1 E + vBE 2 B B SOLUCIÓN Como vE 2 = –v2 E , entonces, vB1 2 = vB1 E - vB2 E . Es decir, la velocidad del automóvil 1 vista por el automóvil 2 es la diferencia de sus velocidades, v1 E - v2 E , ambas medidas con respecto a la Tierra (véase la figura 3-35c). Como las magnitudes de v1 E , v2 E , y vE 2 son iguales (40 km/h  11.11 m/s), vemos (figura 3-35b) que v1 2 apunta a un ángulo de 45° hacia el automóvil 2; la rapidez es B B B B B B v1 2 = 3(11.11 m兾s)2 + (11.11 m兾s)2 = 15.7 m兾s ( = 56.6 km兾h). Resumen Una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección y sentido se denomina vector. Una cantidad que tiene sólo magnitud se llama escalar. La suma de vectores puede hacerse gráficamente colocando la cola de cada flecha sucesiva (que representa a cada vector) en la punta del vector previo. La suma, o vector resultante, es la flecha dibujada desde la cola del primero hasta la punta del último. Dos vectores también pueden sumarse usando el método del paralelogramo. Los vectores pueden sumarse con más exactitud, usando el método analítico de sumar sus componentes a lo largo de ejes dados usando funciones trigonométricas. Un vector de magnitud V que forma un ángulo u con el eje x tiene componentes Vx = V cos u Vy = V sen u. (3–2) Dadas las componentes, encontramos la magnitud y la dirección a partir de V = 3V2x + V2y , tan u = Vy Vx . CAPÍTULO 3 d Br dt d vB , B a = dt vB = B (3–8) (3–11) donde r es el vector de posición de la partícula. Las ecuaciones cinemáticas para el movimiento con aceleración constante pueden escribirse para cada una de las componentes x, y y z del movimiento y tienen la misma forma que para el movimiento unidimensional (ecuaciones 2-12). Estas pueden escribirse en la forma vectorial más general: vB = vB0 + aBt B r = Br 0 + vB0 t + (3–3) A menudo es útil expresar un vector en términos de sus componentes a lo largo de ejes seleccionados usando vectores unitarios, que 74 son vectores de longitud unitaria a lo largo de los ejes coordenados elegidos; en coordenadas cartesianas, los vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y y z se llaman î, ĵ y k̂. B Las definiciones generales para la velocidad instantánea, v, y la B aceleración instantánea, a, de una partícula (en una, dos o tres dimensiones) son 1B 2 2a t (3–13) El movimiento de proyectil que describe un objeto que se mueve en el aire cerca de la superficie terrestre puede analizarse como Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores dos movimientos separados si se desprecia la resistencia del aire. La componente horizontal del movimiento es con velocidad constante; mientras que la componente vertical del movimiento es con aceleración constante, g, al igual que para un cuerpo que cae verticalmente bajo la acción de la gravedad. La velocidad de un objeto relativa a un marco de referencia puede encontrarse por suma vectorial, si se conocen tanto su velocidad relativa a un segundo marco de referencia, así como la velocidad relativa de los dos marcos de referencia. Preguntas 1. Un automóvil viaja hacia el este a 40 km/h y un segundo automóvil viaja hacia el norte a 40 km/h. ¿Son iguales sus velocidades? Explique. 2. ¿Puede usted concluir que un automóvil no está acelerando, si el velocímetro indica constantemente 60 km/h? 3. ¿Puede usted dar varios ejemplos del movimiento de un objeto que recorre una gran distancia pero cuyo desplazamiento es cero? 4. ¿El vector desplazamiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones puede ser más grande, que la longitud de la trayectoria recorrida por la partícula en el mismo intervalo de tiempo? ¿Puede ser menor? Explique. 5. Durante una práctica de béisbol, un jugador conecta un batazo muy elevado, y luego corre en línea recta y atrapa la pelota. ¿Quién tuvo mayor desplazamiento, el jugador o la pelota? B B B 6. Si V = V 1 + V 2 , ¿V es necesariamente mayor que V1 y/o V2? Explique. 7. Dos vectores tienen longitudes V1  3.5 km y V2  4.0 km. ¿Cuáles son las magnitudes máxima y mínima de su suma vectorial? 8. ¿Pueden sumarse dos vectores de diferente magnitud y dar un vector cero? ¿Es posible esto con tres vectores desiguales? ¿En qué condiciones? 9. ¿La magnitud de un vector puede ser a) igual o b) menor que alguna de sus componentes? 10. ¿Puede una partícula estar acelerando si su rapidez es constante? ¿Puede estar acelerando si velocidad es constante? 11. ¿El odómetro de un automóvil mide una cantidad escalar o una cantidad vectorial? ¿Y un velocímetro? 12. Un niño desea determinar la rapidez que una lanzadera (resortera) imparte a una piedra. ¿Cómo puede hacerse esto usando sólo una barra de un metro, una piedra y la lanzadera? 13. En arquería, ¿hay que apuntar la flecha directamente hacia el blanco? ¿Cómo dependería su ángulo de mira de la distancia hacia el blanco? 14. Un proyectil se dispara en un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, con una rapidez de 30 m/s. ¿Cómo se compara la componente horizontal de su velocidad 1.0 s después del lanzamiento, con la componente horizontal de su velocidad 2.0 s después del lanzamiento? 15. ¿En qué punto de su trayectoria un proyectil tiene su menor rapidez? 16. Se reportó que en la Primera Guerra Mundial un piloto que volaba a una altitud de 2 km atrapó con sus manos desnudas una bala disparada a su avión. Usando el hecho de que la bala desacelera considerablemente debido a la resistencia del aire, explique cómo ocurrió dicho incidente. 17. Dos balas de cañón, A y B, se disparan desde el suelo con idéntica rapidez inicial, pero con uAmayor que uB. a) ¿Cuál bala de cañón alcanza una mayor elevación? b) ¿Cuál permanece más tiempo en el aire? c) ¿Cuál viaja más lejos? 18. Una persona está sentada en el vagón cerrado de un tren, que se mueve con velocidad constante, y lanza una pelota verticalmente hacia arriba según su marco de referencia. a) ¿Dónde caerá la pelota? ¿Cuál es su respuesta si el vagón b) acelera, c) desacelera, d) viaja por una curva, e) se mueve con velocidad constante pero está abierto al aire? 19. Si usted viaja en un tren que pasa a otro tren que se mueve en la misma dirección y sentido sobre una vía adyacente, parece que el otro tren se mueve hacia atrás. ¿Por qué? 20. Dos remeros, que pueden remar con la misma rapidez en aguas tranquilas, empiezan a remar en un río al mismo tiempo. Uno rema directamente a través del río y es llevado parcialmente por la corriente en dirección aguas abajo. El otro rema formando un ángulo dirigido aguas arriba para llegar al punto opuesto del sitio de partida. ¿Qué remero llegará primero al lado opuesto? 21. Si usted está inmóvil bajo la lluvia protegido por un paraguas, y las gotas caen verticalmente, permanecerá relativamente seco. Sin embargo, si usted corre, la lluvia comenzará a mojarle las piernas aunque éstas permanezcan bajo el paraguas. ¿Por qué? Problemas 3–2 a 3–5 Suma de vectores y vectores unitarios 1. (I) Se conduce un automóvil 225 km al oeste y luego 78 km al 2. 3. 4. 5. suroeste (45°). ¿Cuál es el desplazamiento del automóvil desde el punto de partida (magnitud, dirección y sentido)? Dibuje un diagrama. (I) Un camión repartidor viaja 28 cuadras al norte, 16 cuadras al este y 26 cuadras al sur. ¿Cuál es su desplazamiento final desde el origen? Suponga que las cuadras son de igual longitud. (I) Si Vx = 7.80 unidades y Vy  B 6.40 unidades, determine la magnitud, dirección y sentido de V . (II) Determine gráficamente la resultante de los siguientes tres vectores de desplazamiento: 1). 24 m, a 36° al norte del este; 2). 18 m, a 37° al este del norte; y 3). 26 m, a 33° al oeste del sur. B (II) V es un vector de 24.8 unidades de magnitud y apunta en una dirección a 23.4° sobre el eje x negativo. a) Dibuje este vector. b) Calcule Vx y Vy. c) Use BVx y Vy para obtener (de nuevo) la magnitud y la dirección de V . [Nota: El inciso c) es una buena forma de revisar si el vector se descompuso correctamente en sus componentes cartesianas]. B B 6. (II) La figura 3-36 muestra dos vectores, A y B, cuyas magniB tudes son AB 6.8B unidades yBB = 5.5 unidades. Determine C B B B B B B si a) C = A + B, b) C = A - B, c) C = B - A. Dé la magnitud y la dirección de cada uno. y B A B B x FIGURA 3–36 Problema 6. Problemas 75 7. (II) Un avión vuela a 835 km/h en dirección a 41.5° al oeste del norte (figura 3-37). a) Encuentre las componentes del vector velocidad en las diB recciones norte y v oeste. b) ¿Qué tan (835 km/h) lejos ha viajado el avión al norte y cuánto al oeste, desO pués de 2.50 horas? 3–6 Cinemática vectorial N 17. (I) La posición de una partícula como función del tiempo está dada por la ecuación Br = A9.60 t î + 8.85 ĵ - 1.00 t2 k̂B m. De- S termine la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo. (I) ¿Cuál es la velocidad promedio de la partícula en el problema 17 entre t = 1.00 s y t = 3.00 s? ¿Cuál es la magnitud de la velocidad instantánea en t  2.00 s? (II) ¿Qué forma tiene la trayectoria de la partícula en el problema 17? (II) Un automóvil viaja con una rapidez de 18.0 m/s hacia el sur en un momento y a 27.5 m/s hacia el este 8.00 s después. En ese intervalo de tiempo, determine la magnitud, dirección y sentido de a) su velocidad promedio, b) su aceleración promedio. c) ¿Cuál es su rapidez promedio? [Sugerencia: ¿Puede usted determinar todo esto con la información proporcionada?] (II) En t = 0, una partícula parte del reposo en x  0, y  0, y se B mueve en el plano xy con una aceleración a = A4.0 î + 3.0 ĵB m/s2. Determine a) las componentes x y y de la velocidad; b) la rapidez de la partícula; y c) la posición de la partícula, todo ellos en función del tiempo. d ) Evalúe todo lo anterior en t  2.0 s. (II) a) Un esquiador acelera a 1.80 m/s2 hacia abajo sobre una colina inclinada 30.0° sobre la horizontal (figura 3-39). a) ¿Cuál es la componente vertical de su aceleración? b) ¿Cuánto tiempo le tomará alcanzar el fondo de la colina, suponiendo que parte del reposo y acelera uniformemente, si el cambio de elevación es de 325 m? 41.5° 18. E 19. 20. FIGURA 3–37 Problema 7. B B 8. (II) Sea V 1 = – 6.0 î + 8.0 ĵ y V 2 = 4.5 î - 5.0 ĵ. Determine la B B B B magnitud, dirección y sentido de a) V 1 , b) V 2 , c) V 1 + V 2 y B B d) V 2 - V 1 . 9. (II) a) Determine laB magnitud, dirección y sentido de la suma B B de los tres vectores V1 = 4.0 î - 8.0 ĵ, V2 = î + ĵ, y V3 = –2.0 î B B B + 4.0 ĵ. b) Determine V 1 - V 2 + V 3 . 10. (II) En la figura 3-38 se muestran tres vectores. Sus magnitudes están dadas en unidades arbitrarias. Determine la suma de los tres vectores. Dé la resultante en términos de a) componentes, b) magnitud y ángulo medido a partir del eje x positivo. 21. 22. y B B (B =2 ) 6.5 0) B A 56.0° 44. A= ( 28.0° a = 1.80 m/s2 x B FIGURA 3–38 C (C = 31.0) Problemas 10, 11, 12, 13 y 14. Las magnitudes de los vectores se dan en unidades arbitrarias. 30.0° B B 11. (II) a) Dados los vectores A y B que se indican en la figura B 12. 13. 14. 15. 16. 76 B B B 3-38, determine B - A . b) Determine A - B sin usar su respuesta en a). Luego compare sus resultados y vea si los vectores son opuestos. B B B B (II) Determine el vector A - C , dados los vectores A y C que se indican en la figura 3-38. (II) Para los vectores dados en la figura 3-38, determine a) B B B B B B - 2A , b) 2A - 3B + 2C . (II) Para los vectores mostrados en la figura 3-38, determine B B B B B B B B B a) A - B + C , (b) A + B - C , y c) C - A - B . (II) La cima de una montaña está a 2450 m de altura sobre la base de un campamento, y según un mapa, está a 4580 m horizontalmente desde el campamento en una dirección 32.4° al oeste del norte. ¿Cuáles son las componentes del vector desplazamiento desde el campamento hasta la cima de la montaña? ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento? Seleccione el eje x como este, el eje y como norte y el eje z hacia arriba. (III) Un vector en el plano xy tiene una magnitud de 90.0 unidades y una componente y de 55.0 unidades. a) ¿Cuáles son las dos posibilidades para su componente x? b) Suponiendo que se sabe que la componente x es positiva, especifique otro vector que, sumado al original, dará un vector resultante con una magnitud de 80.0 y que apunta exactamente en la dirección x. CAPÍTULO 3 FIGURA 3–39 Problema 22. 23. (II) Una hormiga camina sobre una hoja de papel cuadriculado en línea recta a lo largo del eje x una distancia de 10.0 cm en 2.00 s. Luego da una vuelta a 30.0° a la izquierda y camina en línea recta otros 10.0 cm en 1.80 s. Por último da vuelta otros 70.0° hacia la izquierda y camina otros 10.0 cm más en 1.55 s. Determine a) las componentes x y y de la velocidad promedio de la hormiga, y b) su magnitud, dirección y sentido. 24. (II) Una partícula parte del origen en t = 0 con una velocidad inicial de 5.0 m/s a lo largo del eje x positivo. Si la aceleración es A – 3.0 î + 4.5 ĵB m兾s2, determine la velocidad y la posición de la partícula en el momento en que ésta alcanza su coordenada x máxima. 25. (II) Suponga que la posición de un objeto está dada por B r = A3.0 t2 î - 6.0 t3 ĵB m. a) Determine su velocidad vB y su aceleración aB , como función del tiempo. b) determine Br y vB en t  2.5 s. 26. (II) Un objeto, que se encuentra en el origen en t  0, tiene una B velocidad inicial v0 = A – 14.0 î - 7.0 ĵB m兾s y una aceleración B constante a = A6.0 î + 3.0 ĵB m兾s2. Encuentre el vector de posiB ción r donde el objeto llega al reposo (momentáneamente). Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores 27. (II) La posición de una partícula como una función del tiempo t está dada por Br = A5.0 t + 6.0 t2 B m î + A7.0 - 3.0 t3 B m ĵ. Cuando t  5.0 s, encuentre la magnitud, dirección y sentido del vector desplazamiento de la partícula ¢ Br con respecto al punto B r 0 = A0.0 î + 7.0 ĵB m. 3–7 y 3–8 Movimiento de proyectiles (desprecie la resistencia del aire) 28. (I) Un tigre salta horizontalmente desde una roca de 7.5 m de altura, con una rapidez de 3.2 m/s. ¿Qué tan lejos de la base de la roca caerá al suelo? 29. (I) Un clavadista corre a 2.3 m/s y se lanza horizontalmente desde el borde de un acantilado vertical y toca el agua 3.0 s después. ¿Qué tan alto es el acantilado y qué tan lejos de la base del acantilado golpea el agua el clavadista? 30. (II) Determine qué tan alto puede saltar un ser humano en la Luna, en comparación con la Tierra, si la rapidez de despegue y el ángulo inicial son los mismos. La aceleración de la gravedad en la Luna es un sexto de la que hay en la Tierra. 31. (II) Una manguera contra incendios mantenida cerca del suelo lanza agua con una rapidez de 6.5 m/s. ¿Con qué ángulo(s) debe apuntar la boquilla (tobera), para que el agua llegue a 2.5 m de distancia (figura 3-40)? ¿Por qué hay dos ángulos diferentes? Dibuje las dos trayectorias posibles. 39. (II) En el ejemplo 3-11 elegimos el eje x hacia la derecha y el eje y hacia arriba. Vuelva a resolver este problema definiendo el eje x hacia la izquierda y el eje y hacia abajo, y demuestre que la conclusión sigue siendo la misma: es decir, el balón de fútbol cae al suelo 40.5 m a la derecha del pie del jugador que la despejó. 40. (II) Un saltamontes salta a lo largo de un camino horizontal. En cada salto, el saltamontes brinca a un ángulo u0  45° y tiene un alcance R  1.0 m. ¿Cuál es la rapidez horizontal promedio del saltamontes conforme avanza por el camino? Ignore los intervalos de tiempo en los que el saltamontes está en el suelo entre un salto y otro. 41. (II) Aficionados a los deportes extremos saltan desde lo alto de “El Capitán”, un escarpado acantilado de granito de 910 m de altura en el Parque Nacional de Yosemite. Suponga que una saltadora corre horizontalmente desde la cima de El Capitán con una rapidez de 5.0 m/s y, al saltar, disfruta de una caída libre hasta que está a 150 m encima del suelo del valle; y en ese momento abre su paracaídas (figura 3-41). a) ¿Durante cuánto tiempo la saltadora va en caída libre? Ignore la resistencia del aire. b) Es importante estar tan lejos del acantilado como sea posible antes de abrir el paracaídas. ¿Qué tan lejos del risco está la saltadora cuando abre su paracaídas? u0 FIGURA 3–40 Problema 31. 2.5 m 32. (II) Una pelota se lanza horizontalmente desde el techo de un 33. 34. 35. 36. 37. 38. edificio de 9.0 m de altura y cae a 9.5 m de la base del edificio. ¿Cuál fue la rapidez inicial de la pelota? (II) Un balón de fútbol se patea al nivel del suelo y sale con una rapidez de 18.0 m/s formando un ángulo de 38.0° con respecto a la horizontal. ¿Cuánto tiempo tarda el balón en regresar al suelo? (II) Una pelota lanzada horizontalmente a 23.7 m/s desde el techo de un edificio cae a 31.0 m de la base del edificio. ¿Qué tan alto es el edificio? (II) Un atleta olímpico lanza la bala (de masa  7.3 kg) con una rapidez inicial de 14.4 m/s a un ángulo de 34.0° con respecto a la horizontal. Calcule la distancia horizontal recorrida por la bala, si ésta sale de la mano del atleta a una altura de 2.10 m por arriba del suelo. (II) Demuestre que el tiempo requerido para que un proyectil alcance su punto más alto es igual al tiempo necesario para que retorne a su altura original (desprecie la resistencia del aire). (II) Usted compra una pistola de dardos de plástico y, como es un inteligente estudiante de física, decide hacer un cálculo rápido para encontrar su alcance horizontal máximo. Dispara la pistola en línea recta hacia arriba y el dardo tarda 4.0 s en regresar al cañón. ¿Cuál es el alcance horizontal máximo de la pistola? (II) Se batea una pelota de béisbol de modo que sale disparada con una rapidez de 27.0 m/s a un ángulo de 45.0°. La pelota cae sobre el techo plano de un edificio cercano de 13.0 m de altura. Si la pelota fue bateada cuando estaba a 1.0 m del suelo, ¿qué distancia horizontal viaja la pelota antes de caer sobre el edificio? FIGURA 3–41 Problema 41. 42. (II) Veamos algo que puede intentarse en un evento deportivo. Demuestre que la altura máxima h que alcanza un objeto proyectado en el aire, como una pelota de béisbol o un balón de fútbol, está dada aproximadamente por h L 1.2 t2 m, donde t es el tiempo total de vuelo del objeto en segundos. Suponga que el objeto regresa al mismo nivel desde el cual fue lanzado, como en la figura 3-42. Por ejemplo, si usted toma el tiempo y encuentra que la pelota de béisbol estuvo en el aire un tiempo t  5.0 s, la altura máxima alcanzada será h  1.2 × (5.0)2  30 m. La belleza de esta relación es que h puede determinarse sin conocer la rapidez de lanzamiento v0 o el ángulo de lanzamiento u0. v0 θ0 h FIGURA 3–42 Problema 42. Problemas 77 43. (II) El piloto de un avión que viaja horizontalmente a 170 km/h 47. (II) Suponga que la patada en el ejemplo 3-7 se intenta a 36.0 m quiere lanzar suministros a las víctimas de una inundación, que están aisladas en una porción de terreno situada a 150 m abajo. ¿Cuántos segundos antes de que el avión esté directamente sobre las víctimas deben dejarse caer los suministros? 44. (II) a) Una atleta que practica salto de longitud deja el suelo a 45° por arriba de la horizontal y cae a 8.0 m de distancia. ¿Cuál es su rapidez de “despegue” v0? b) Ahora la atleta emprende una caminata y llega a la ribera izquierda de un río. No hay puente y la orilla derecha del río está a 10.0 m de distancia horizontal y a 2.5 m de distancia vertical hacia abajo. Si la atleta salta desde la orilla de la ribera izquierda a 45° con la rapidez calculada en el inciso a), ¿qué tan lejos o qué tan cerca de la ribera opuesta caerá (figura 3-43)? de los postes de gol de campo, cuyo travesaño está a una altura de 3.00 m del suelo. Si el balón va dirigido exactamente entre los postes, ¿pasará sobre el travesaño y será gol de campo? Muestre por qué sí o por qué no. Si es no, ¿desde qué distancia horizontal mínima debe patearse el balón para anotar el gol de campo? 48. (II) Exactamente 3.0 s después de que se dispara un proyectil al aire desde el suelo, se observa que tiene una velocidad vB = A8.6 î + 4.8 ĵ B m兾s, donde el eje x es positivo a la derecha y el eje y es positivo hacia arriba. Determine a) el alcance horizontal del proyectil, b) su altura máxima sobre el suelo y c) su rapidez y ángulo de movimiento justo antes de golpear en el suelo. 49. (II) Resuelva de nuevo el ejemplo 3-9 suponiendo ahora que el niño con la resortera está justo debajo del niño en el árbol (figura 3-45), por lo que apunta hacia arriba, directamente hacia el niño en el árbol. Demuestre que el niño en el árbol hace nuevamente un movimiento equivocado al dejarse caer en el momento en que se dispara el globo de agua. v0 45° 2.5 m v0 u0 10.0 m FIGURA 3–43 Problema 44. 45. (II) Una clavadista sale del extremo de un trampolín de 5.00 m de altura y golpea el agua 1.3 s después, 3.0 m más allá del final del trampolín. Si se considera a la clavadista como una partícuB la, determine: a) su velocidad inicial, v0 ; b) la altura máxima B que alcanza, y c) la velocidad vf con la que entra al agua. 46. (II) Se dispara un proyectil desde el borde de un acantilado, que está a 115 m arriba del nivel del suelo, con una rapidez inicial de 65.0 m/s a un ángulo de 35.0° sobre la horizontal, como se muestra en la figura 3-44. a) Determine el tiempo que le toma al proyectil llegar al punto P a nivel del suelo. b) Determine la distancia horizontal X desde el punto P hasta la base del acantilado. En el instante justo antes de que el proyectil llegue al punto P, encuentre c) las componentes horizontal y vertical de su velocidad, d) la magnitud de la velocidad, y e) el ángulo formado por el vector velocidad con la horizontal. f) Determine la altura máxima, por arriba de la parte superior del acantilado, que alcanza el proyectil. FIGURA 3–45 Problema 49. 50. (II) Un atrevido conductor de autos quiere saltar con su vehículo sobre 8 autos estacionados lado a lado debajo de una rampa horizontal (figura 3-46). a) ¿Con qué rapidez mínima debe salir de la rampa horizontal? La distancia vertical de la rampa es de 1.5 m sobre los autos, y la distancia horizontal que debe librarse es de 22 m. b) ¿Cuál es la rapidez mínima necesaria si ahora la rampa está inclinada hacia arriba, de manera que el “ángulo de despegue” es de 7.0° por arriba de la horizontal? 22 m 1.5 m ¡Debe librar este punto! FIGURA 3–46 Problema 50. 51. (II) Una pelota se lanza horizontalmente desde la parte superior de un acantilado, con rapidez inicial v0 (en t = 0). En un momento dado, su vector velocidad forma un ángulo u con la horizontal (figura 3-47). Obtenga una fórmula para el ángulo u en función del tiempo t si la pelota describe la trayectoria de un proyectil. v0 = 65.0 m/s 35.0° u h = 115 m B v P X FIGURA 3–44 Problema 46. 78 CAPÍTULO 3 Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores FIGURA 3–47 Problema 51. 52. (II) ¿Con qué ángulo de proyección el alcance de un proyectil 61. (II) Un niño que está a 45 m del banco de un río es arrastrado será igual a su altura máxima? 53. (II) Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de 46.6 m/s a un ángulo de 42.2° por arriba de la horizontal, sobre un terreno de pruebas largo y plano. Determine a) la altura máxima alcanzada por el proyectil, b) el tiempo total de vuelo del proyectil, c) la distancia horizontal total que recorre (es decir, su alcance) y d) la velocidad del proyectil (magnitud y dirección) 1.50 s después del disparo. 54. (II) Un atleta de salto de longitud salta a un ángulo de 27.0° y cae a 7.80 m de distancia. a) ¿Cuál fue la rapidez de despegue? b) Si esta rapidez se incrementara tan sólo en un 5.0%, ¿por cuánto será el salto más largo? 55. (III) Una persona está parada en la base de una colina, que es un plano inclinado recto y forma un ángulo f con la horizontal (figura 3-48). Para una rapidez inicial dada v0, ¿a qué ángulo u (con respecto a la horizontal) debería lanzarse un objeto, de manera que la distancia d a la que cae en la colina sea la máxima posible? peligrosamente río abajo por la rápida corriente de 1.0 m/s. Cuando el niño pasa en frente de una salvavidas que está en la orilla del río, la salvavidas empieza a nadar en línea recta hasta que alcanza al niño en un punto río abajo (figura 3.50). Si la salvavidas puede nadar a una rapidez de 2.0 m/s relativa al agua, ¿cuanto tiempo le tomará alcanzar al niño? ¿Qué tan lejos corriente abajo interceptará la salvavidas al niño? u d f 1.0 m/s 2.0 m/s FIGURA 3–48 Problema 55. Dados f y v0, determine u para que d sea máxima. 56. (III) Obtenga una fórmula para el alcance horizontal R de un proyectil, cuando éste cae a una altura h arriba de su punto inicial. (Para h 0, el proyectil aterriza a una distancia h debajo del punto inicial.) Suponga que se dispara a un ángulo u0 con una rapidez inicial v0. 3–9 Velocidad relativa 45 m FIGURA 3–50 Problema 61. 62. (II) Un pasajero en un barco que se mueve a 1.70 m/s en un lago tranquilo sube por la escalera del barco con rapidez de 0.60 m/s, figura 3-51. La escalera está a 45° y apunta en la dirección del movimiento del barco como se indica en la figura. ¿Cuál es la velocidad del pasajero con respecto al agua? 57. (I) Una persona que sale a trotar por la mañana en la cubierta de un barco corre hacia la proa (hacia el frente) de la nave a 2.0 m/s, mientras que el barco se mueve hacia delante a 8.5 m/s. ¿Cuál es la velocidad del individuo que trota relativa al agua? Más tarde, el trotador se mueve hacia la popa (hacia atrás) del barco. ¿Cuál es ahora la velocidad del individuo respecto del agua? 58. (I) Huck Finn camina con una rapidez de 0.70 m/s respecto de su balsa de manera perpendicular al movimiento de la balsa respecto de la orilla (figura 3-49). Si la balsa viaja por el río Mississippi con una rapidez de 1.50 m/s respecto de la orilla del río. ¿Cuál es la velocidad de Huck (magnitud, dirección y sentido) respecto de la orilla río? 0.70 m/s Corriente del río FIGURA 3–49 Problema 58. 59. (II) Determine la rapidez del bote con respecto a la orilla en el ejemplo 3-14. 0.60 m/s 45 y v = 1.70 m/s x FIGURA 3–51 Problema 62. 63. (II) Una persona en la canastilla de pasajeros de un globo aerostático lanza una pelota horizontalmente hacia afuera de la canastilla con una rapidez inicial de 10.0 m/s (figura 3-52). ¿Cuál es la velocidad inicial (magnitud y dirección) de la pelota medida por una persona que está de pie sobre el suelo, a) si el globo aerostático se eleva a 5.0 m/s respecto del pi10.0 m/s so durante este lanzamiento, b) si el globo desciende a 5.0 m/s respecto del piso? 60. (II) Dos aviones se aproximan frontalmente entre sí. Cada uno tiene una rapidez de 780 km/h y divisa al otro cuando están inicialmente a 12.0 km de distancia. ¿Cuánto tiempo tienen los pilotos para efectuar una maniobra evasiva? FIGURA 3–52 Problema 63. Problemas 79 Si empieza a soplar un viento desde el suroeste con rapidez de 90.0 km/h (en promedio), calcule: a) la velocidad (magnitud, dirección y sentido) del avión con respecto al suelo, y b) ¿cuánto se habrá desviado de su curso original después de 11.0 min, si el piloto no toma una acción correctiva? [Sugerencia: Dibuje primero un diagrama]. (II) ¿En qué dirección deberá conducir el piloto al avión del problema 64, de manera que vuele efectivamente hacia el sur? (II) Dos automóviles se acercan a una esquina en ángulos rectos entre sí (véase la figura 3-35). El automóvil 1 viaja a 35 km/h y el automóvil 2 a 45 km/h. ¿Cuál es la velocidad relativa del automóvil 1 vista por el automóvil 2? ¿Cuál es la velocidad del automóvil 2 respecto al automóvil 1? (II) Una nadadora es capaz de nadar a 0.60 m/s en aguas tranquilas. a) Si se dirige directamente a través de un río de 55 m de ancho, cuya corriente es de 0.50 m/s, ¿qué tan lejos aguas abajo (desde un punto opuesto al punto de partida) alcanzará la orilla? b) ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al lado opuesto? (II) a) ¿A qué ángulo aguas arriba debe apuntar la nadadora del problema 67 para llegar al punto directamente enfrente del otro lado de la corriente? b) ¿Cuánto tiempo le llevará? (II) Un bote de motor cuya rapidez en aguas tranquilas es de 3.40 m/s debe apuntar aguas arriba con un ángulo de 19.5° (con 65. 66. 67. 68. 69. respecto a una línea perpendicular a la orilla), para navegar directamente a través de la orilla. a) ¿Cuál es la rapidez de la corriente? b) ¿Cuál es la rapidez resultante del bote con respecto a la orilla? (Véase la figura 3-31). 70. (II) Un bote, cuya rapidez en aguas tranquilas es de 2.70 m/s, debe cruzar un río de 280 m de ancho, y llegar a un punto a 120 m aguas arriba de su punto 120 m de partida (figura 3-53). Para lograrlo, el piloto Final debe dirigir el bote a 45.0° aguas arriba. ¿Cuál Corriente es la rapidez de la corriente del río? del río 280 m Tra ye del ctoria bot e 64. (II) Un avión vuela rumbo al sur con una rapidez de 580 km/h. 45° FIGURA 3–53 Problema 70. Inicio 71. (III) Un avión, cuya velocidad con respecto al aire es de 580 km/h, debe volar en una trayectoria recta a 38.0° hacia el noreste. Sin embargo, un viento estable de 72 km/h está soplando desde el norte. ¿En qué dirección debería dirigirse el avión? Problemas generales B B B B B 72. Dos vectores, V 1 y V 2 , se suman y dan la resultante V = V 1 + V 2 . B B + V22 , Describa V 1 y V 2 si a) V = V 1 + V 2 , b) V = c) V 1 + V 2 = V 1 - V 2 . 73. Un fontanero (plomero) baja de su camión, camina 66 m hacia el este y 35 m hacia el sur, y luego toma un elevador 12 m hacia el sótano de un edificio, donde hay una intensa fuga de agua. ¿Cuál es el desplazamiento del fontanero con respecto a su camión? Dé su respuesta en componentes y también en notación de magnitud y ángulo, con respecto al eje x en los planos horizontal y vertical. Suponga que el eje x es hacia el este, el eje y hacia el norte, y el eje z hacia arriba. 74. En caminos montañosos con pendientes descendentes, a veces se construyen desviaciones al lado de la carretera, para los camiones cuyos frenos podrían fallar. Suponiendo una pendiente constante hacia arriba de 26°, calcule las componentes horizontal y vertical de la aceleración de un camión que desaceleró de 110 km/h al reposo en 7.0 s. Ruta de Véase la fiescape gura 3-54. 2 V12 Camino principal descendiente FIGURA 3–54 Problema 74. respecto del aire. Después de 1.00 h, el piloto se da cuenta de que la avioneta ha viajado sólo 135 km y su dirección no es al sur sino al sureste (45.0°). ¿Cuál es la velocidad del viento? 76. Un atleta olímpico de salto de distancia es capaz de saltar 8.0 m. Suponiendo que su rapidez horizontal es de 9.1 m/s cuando abandona el terreno, ¿qué tiempo está en el aire y qué altura alcanza? Suponga que cae parado, es decir, de la misma manera en que abandonó el terreno. CAPÍTULO 3 de Julieta y quiere que los guijarros golpeen la ventana con una velocidad sólo con componente horizontal. Él está parado en el borde de un jardín de rosas a 8.0 m por debajo de la ventana y a 9.0 m de la base del muro (figura 3-55). ¿Qué tan rápido 8.0 m viajan los guijarros cuando golpean la ventana? FIGURA 3–55 Problema 77. 9.0 m 78. Las gotas de lluvia forman un ángulo u con la vertical cuando se ven a través de la ventana de un tren en movimiento (figura 3-56). Si la rapidez del tren es vT, ¿cuál será la rapidez de las gotas de lluvia en el marco de referencia de la Tierra donde se supone que caen verticalmente? FIGURA 3–56 75. Una avioneta se dirige hacia el sur con velocidad de 185 km/h 80 77. Romeo está lanzando guijarros suavemente hacia a la ventana u Problema 78. 79. Los astronautas del Apolo llevaron un “hierro nueve” a la Luna y golpearon una pelota de golf que recorrió una distancia aproximada de 180 m. Suponiendo que la oscilación del golpe, el ángulo de lanzamiento, etcétera, fueron igual que en la Tierra, en donde el mismo astronauta podía desplazarla sólo 32 m, estime la aceleración de la gravedad sobre la superficie de la Luna. (Despreciamos la resistencia del aire en ambos casos, lo cual es correcto en el caso de la Luna). Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores 80. Un cazador apunta directamente hacia un blanco (al mismo ni- 86. Una pelota de básquetbol sale de las manos de un jugador a vel) situado a 68.0 m de distancia horizontal. a) Si la bala sale del arma con una rapidez de 175 m/s, ¿por cuánta distancia no dará en el blanco? b) ¿Con qué ángulo debería apuntar el cazador para dar en el blanco? 81. Los clavadistas de la “quebrada de Acapulco” se lanzan horizontalmente desde una plataforma rocosa, que está aproximadamente a 35 m sobre el agua; sin embargo, ellos deben librar protuberancias rocosas al nivel del mar, que se extienden hasta 5.0 m desde la base del acantilado directamente debajo su 35 m punto de lanzamiento. Véase la figura 3-57. ¿Qué rapidez mínima inicial es necesaria para lograrlo? ¿Cuánto tiempo permanecen en el aire? una altura de 2.10 m sobre el piso. La canasta está a 3.05 m arriba del piso. El jugador lanza la pelota con un ángulo de 38.0°. Si el lanzamiento se hace desde una distancia horizontal de 11.00 m y debe ser exacto dentro de una precisión de 0.22 m (horizontalmente), ¿cuál es el rango de las rapideces iniciales posibles para ensartar la pelota en la canasta? B 87. Una partícula tiene una velocidad de v = A – 2.0 î + 3.5t ĵ B m兾s. B La partícula inicia en r = A1.5 î - 3.1 ĵ B m en t  0. Determine la posición y la aceleración de la partícula como función del tiempo. ¿Cuál será la forma de la trayectoria resultante? 88. Se lanza un proyectil desde el nivel del suelo hacia la parte superior de un acantilado, que se encuentra a una distancia horizontal de 195 m y que tiene una altura de 135 m (véase la figura 3-60). Si el proyectil cae en la parte superior del acantilado 6.6 s después de que se dispara, encuentre la velocidad inicial del proyectil (magnitud, dirección y sentido). Desprecie la resistencia del aire. 5.0 m FIGURA 3–57 Problema 81. Punto de caída 82. Babe Ruth pegó un jonrón sobre una barda de 8.0 m de altura a 98 m de distancia desde el home, ¿cuál era la rapidez mínima aproximada de la pelota al salir del bate? Considere que la pelota fue golpeada 1.0 m arriba del terreno y que su trayectoria formó inicialmente un ángulo de 36° con el suelo. 83. La rapidez de un bote en aguas tranquilas es v. El bote va a efectuar un viaje redondo en un río cuya corriente viaja con rapidez u. Obtenga una fórmula para el tiempo requerido para efectuar un viaje redondo de distancia total D, si el bote hace el viaje redondo moviéndose a) aguas arriba y aguas abajo de regreso, y b) directamente a través del río y de regreso. Debemos suponer u v; ¿por qué? 84. Al servir, un jugador de tenis golpea la pelota horizontalmente. ¿Qué velocidad mínima se requiere para que la pelota libre la red de 0.90 m de alto situada aproximadamente a 15.0 m de la posición de servicio, si se “dispara” desde una altura de 2.50 m? ¿Dónde golpeará el suelo la pelota si ésta apenas pasa la red (y el “saque es bueno”, en el sentido de que golpeará el suelo dentro de los 7.0 m desde la red)? ¿Qué tiempo estará la pelota en el aire? Véase la figura 3-58. 2.50 m 15.0 m 7.0 m FIGURA 3–58 Problema 84. 85. La espía secreta Chris está volando horizontalmente con una rapidez constante de 208 km/h (respecto de Tierra) en un helicóptero a baja altura, y desea arrojar documentos secretos hacia el automóvil descapotado de su contacto, que viaja a 156 km/h sobre una carretera horizontal a 78.0 m debajo del helicóptero. ¿A qué ángulo (con respecto a la horizontal) debería estar el automóvil en su campo visual al dejar caer el paquete para lograr su objetivo (véase la figura 3-59)? 135 m v0 u FIGURA 3–60 195 m Problema 88. 89. En una persecución intensa, el agente Logan del FBI debe cruzar directamente un río de 1200 m de ancho en un tiempo mínimo. La corriente del río viaja a 0.80 m/s, él puede remar un bote a 1.60 m/s y puede correr a 3.00 m/s. Describa la trayectoria que debe tomar (al remar y al correr a lo largo de la orilla) para cruzar en el tiempo mínimo y determine este tiempo mínimo. 90. Una embarcación puede viajar a 2.20 m/s en aguas tranquilas. a) Si la embarcación apunta su proa directamente a través de una corriente que viaja a 1.30 m/s, ¿cuál es la velocidad (magnitud, dirección y sentido) de la embarcación con respecto a la orilla? b) ¿Cuál será la posición de la embarcación, en relación con su punto de partida, después de 3.00 s? 91. Una embarcación viaja por un río donde hay una corriente de 0.20 m/s hacia el este (figura 3-61). Para evadir unas rocas a cierta distancia de la orilla, la embarcación debe salvar una boya que está en dirección NNE (22.5°) y a 3.0 km de distancia de la embarcación. La rapidez de la embarcación en aguas tranquilas es de 2.1 m/s. Si se desea que la embarcación pase a 0.15 km a la derecha de la boya, ¿a qué ángulo debería dirigirse? Corriente Boya 208 km/h 0.20 m/s N 22.58 θ FIGURA 3–61 78.0 m Problema 91. 92. Un niño corre pendiente abajo en una colina inclinada 12° y de FIGURA 3–59 Problema 85. 156 km/h repente salta hacia arriba a un ángulo de 15° por arriba de la horizontal de modo que aterriza a 1.4 m colina abajo del punto donde saltó. ¿Cuál era la rapidez inicial del niño? Problemas generales 81 93. Un balón de básquetbol se lanza a una altura de 2.4 m (figura 98. En t = 0, un jugador batea una pelota de béisbol con una rapi- 3-62) con una rapidez inicial v0  12 m/s dirigida a un ángulo u0  35° sobre la horizontal. a) ¿A qué distancia de la canasta estaba el jugador si logró anotar? b) ¿Con qué ángulo con respecto a la horizontal entró el balón en la canasta? dez inicial de 28 m/s a un ángulo de 55° con respecto a la horizontal. Un jardinero está a 85 m del bateador en t  0 y, como se ve desde home, la línea de visión hacia el jardinero forma un ángulo horizontal de 22° con el plano en que la pelota se mueve (véase la figura 3-64). ¿Qué rapidez y dirección debe tomar el jardinero para atrapar la pelota a la misma altura que fue bateada? Determine el ángulo El jardinero corre con respecto a la entre estos dos puntos línea de visión del jardinero 22° hacia home. 85 m 55° FIGURA 3–62 FIGURA 3–64 Problema 93. Problema 98. 94. Usted conduce hacia el sur en una autopista a 25 m/s (aproximadamente a 55 mi/h) durante una tormenta de nieve. Al detenerse, nota que la nieve cae verticalmente, pero cuando el auto está en movimiento nota que la nieve pasa la ventanilla a un ángulo de 37° con respecto a la horizontal. Estime la rapidez de los copos de nieve con respecto al automóvil y con respecto al suelo. 95. Se patea una piedra horizontalmente a 15 m/s desde una colina con una pendiente a 45° (figura 3-63). ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en caer al suelo? * Problemas *99. (II) Unos estudiantes lanzan horizontalmente bolas de plástico usando un lanzaproyectiles. Miden la distancia x que la bola recorre horizontalmente, la distancia y que la bola cae verticalmente y el tiempo total t que la bola está en el aire para seis alturas diferentes del lanzaproyectiles. Sus datos se presentan a continuación. 15 m/s FIGURA 3–63 45° Problem 95. 96. Un bateador golpea una pelota que deja de hacer contacto con el bat a 0.90 m por encima del suelo y sale disparada a un ángulo de 61° con una rapidez inicial de 28 m/s apuntando hacia el jardín central. Ignore la resistencia del aire. a) ¿Qué tan lejos del home caerá la pelota si no la atrapan? b) La pelota es atrapada por el jardinero central, quien —empezando a una distancia de 105 m desde el home— corre directo hacia el home a una rapidez constante y hace la atrapada al nivel del suelo. Encuentre la rapidez de este jardinero. 97. Una bola se lanza desde lo alto de un edificio con una velocidad inicial de 18 m/s a un ángulo u  42° sobre la horizontal. a) ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial? b) Si un edificio cercano está a la misma altura y a 55 m de distancia horizontal, ¿a qué distancia por debajo de la parte superior de ese edificio golpeará la bola? numéricos/por computadora Tiempo, t (s) Distancia horizontal, x (m) Distancia vertical y (m) 0.217 0.376 0.398 0.431 0.478 0.491 0.642 1.115 1.140 1.300 1.420 1.480 0.260 0.685 0.800 0.915 1.150 1.200 a) Determine la línea recta que ajuste mejor la representación de x como función de t. ¿Cuál es la rapidez inicial de la bola obtenida a partir del ajuste anterior? b) Determine la ecuación cuadrática que ajuste mejor la representación de y como función de t. ¿Cuál es la aceleración de la bola en la dirección vertical? * 100. (III) Un atleta olímpico lanza la bala desde una altura de h  2.1 m por arriba del suelo, como se muestra en figura 3-65, con una rapidez inicial de v0  13.5 m/s. a) Obtenga una relación que describa la dependencia entre la distancia horizontal recorrida d y el ángulo de lanzamiento u0. b) Usando los valores dados para v0 y h, utilice una calculadora gráfica o una computadora para graficar d versus u0. Según su gráfica, ¿qué valor del ángulo u0 maximiza la distancia d? v0 13.5 m/s θ0 2.1 m d FIGURA 3–65 Problema 100. Respuestas a los ejercicios A: Cuando los dos vectores D1 y D2 apuntan en la misma dirección. B: 322 = 4.24. aire durante el mismo lapso de tiempo. F: c). C: a). 82 D: d). E: Ambas bolas alcanzan la misma altura; por lo tanto, están en el CAPÍTULO 3 Cinemática en dos o en tres dimensiones: Vectores B FRG B FGR El transbordador espacial Discovery se lanza al espacio impulsado por cohetes potentes que aceleran, aumentando rápidamente la velocidad. Para hacerlo, se debe ejercer una fuerza sobre ellos, de acuerdo con la segunda ley de B Newton, ©F = maB . ¿Qué es lo que ejerce esta fuerza? Los motores del cohete ejercen una fuerza sobre los gases que expulsan desde la parte posterior B de los cohetes (marcada como F GR). De acuerdo con la tercera ley de Newton, los gases expulsados ejercen a su vez una fuerza de igual magnitud y dirección pero de sentido opuesto sobre los cohetes en dirección hacia el frente. Esta fuerza “de reacción” ejercida por los gases sobre los cohetes, designada B F RG , es la que acelera a los cohetes hacia adelante. PREGUNTAS DE INICIO DE CAPÍTULO: ¡Adivine qué! Un jugador de fútbol de 150 kg de masa se estrella de frente contra un corredor de 75 kg. Durante el choque, el jugador más pesado ejerce una fuerza de magnitud FA sobre el jugador más ligero. Si el jugador más ligero ejerce una fuerza de FB sobre el jugador más pesado, ¿cuál es la respuesta correcta? a) FB = FA. b) FB 6 FA. c) FB 7 FA. d) FB = 0. e) Necesitamos más información. Segunda pregunta: Un verso del poeta T. S. Eliot (de Murder in the Cathedral) reza que la mujer de Canterbury dice: “la tierra empuja nuestros pies hacia arriba”. ¿De qué fuerza se trata? a) Gravedad. b) La fuerza normal. c) Una fuerza de fricción. d) La fuerza centrífuga. e) Ninguna fuerza; es sólo poesía. C A Dinámica: Leyes de Newton del movimiento U L Í T 4 O P CONTENIDO 4–1 Fuerza 4–2 Primera ley de Newton del movimiento 4–3 Masa 4–4 Segunda ley de Newton del movimiento 4–5 Tercera ley de Newton del movimiento 4–6 Fuerza de gravedad (peso) y fuerza normal 4–7 Resolución de problemas con las leyes de Newton: Diagramas de cuerpo libre 4–8 Resolución de problemas: Un enfoque general 83 H emos visto cómo describir el movimiento en términos de velocidad y aceleración. Ahora trataremos el problema de por qué los objetos se mueven como lo hacen: ¿Qué hace que un objeto en reposo empiece a moverse? ¿Qué ocasiona que un cuerpo acelere o desacelere? ¿Qué está implícito cuando un objeto se mueve en una trayectoria curva? Podemos responder que en cada caso se requiere una fuerza. En este capítulo,† investigaremos la conexión entre fuerza y movimiento, que es el tema llamado dinámica. 4–1 Fuerza FIGURA 4–2 Una báscula de resorte 1c aja A de cei ol te iv a FIGURA 4–1 Una fuerza ejercida sobre un carrito de supermercado, en este caso ejercida por una persona. Intuitivamente, experimentamos una fuerza como cualquier empuje o jalón sobre un objeto. Cuando usted empuja un automóvil averiado o un carrito de supermercado (figura 4-1), está ejerciendo una fuerza sobre él. Cuando un motor levanta un elevador, cuando un martillo golpea un clavo, o cuando el viento sopla sobre las hojas de un árbol, se está ejerciendo una fuerza. Por lo general llamamos a éstas fuerzas de contacto, porque la fuerza se ejerce cuando un objeto entra en contacto con otro. Por otro lado, decimos que un objeto cae debido a la fuerza de la gravedad. Si un objeto está en reposo, para empezar a moverlo se requiere una fuerza, es decir, para acelerarlo desde una velocidad cero hasta una velocidad diferente de cero. Para el caso de un objeto que ya está en movimiento, si se quiere cambiar su velocidad —ya sea en dirección o en magnitud—, se requiere también aplicar una fuerza. En otras palabras, para acelerar un objeto se requiere siempre una fuerza. En la sección 4-4 analizaremos la relación precisa entre aceleración y fuerza neta, que se conoce como la segunda ley de Newton. Una forma de medir la magnitud (o intensidad) de una fuerza consiste en utilizar una báscula de resorte, o dinamómetro (figura 4-2). Normalmente, dicha báscula se usa para determinar el peso de un objeto; por peso queremos decir la fuerza de gravedad que actúa sobre el objeto (sección 4-6). La báscula de resorte, una vez calibrada, se puede usar también para medir otros tipos de fuerzas, como el jalón que se ilustra en la figura 4-2. Si una fuerza se ejerce en una dirección diferente tendrá un efecto distinto. Por lo tanto, una fuerza tiene magnitud, dirección y sentido y es, de hecho, un vector que sigue las reglas de la suma vectorial analizadas en el capítulo 3. Podemos representar cualquier fuerza con una flecha sobre un diagrama, tal como lo hicimos con la velocidad o la aceleración. El sentido de la flecha es la dirección del empuje o jalón, y su longitud se dibuja proporcional a la magnitud de la fuerza. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Aceite de oliva Aceite de oliva (o dinamómetro) se utiliza para medir la magnitud de una fuerza. 4–2 Primera ley de Newton del movimiento ¿Cuál es la relación entre fuerza y movimiento? Aristóteles (384-322 a. C.) creía que se requería una fuerza para mantener un objeto en movimiento a lo largo de un plano horizontal. Según Aristóteles, el estado natural de un cuerpo era el reposo y creía que se necesitaba una fuerza para mantener un objeto en movimiento. Además, pensaba que cuanto mayor fuera la fuerza sobre el objeto, mayor sería su rapidez. Aproximadamente 2000 años después, Galileo estuvo en desacuerdo con ello, y señaló que para un objeto es tan natural estar en movimiento con velocidad constante así como estar en reposo. Para entender la noción de Galileo, considere las siguientes observaciones que implican un movimiento a lo largo de un plano horizontal. Para empujar un objeto rugoso o áspero, sobre la superficie de una mesa con rapidez constante, se requiere de cierta cantidad de fuerza. Para empujar un objeto del mismo peso pero muy liso a tra† Trataremos el movimiento de objetos de la vida diaria. El mundo submicroscópico de átomos y moléculas, así como el caso de velocidades extremadamente altas, cercanas a la rapidez de la luz (3.0 × 108 m/s), deben tratarse usando la teoría cuántica (capítulo 37 ff) y la teoría de la relatividad (capítulo 36), respectivamente. 84 CAPÍTULO 4 Dinámica: Leyes de Newton del movimiento EJEMPLO CONCEPTUAL 4–1 Primera ley de Newton. Un autobús escolar frena bruscamente y todas las mochilas en el piso comienzan a deslizarse hacia adelante. ¿Qué fuerza provoca este deslizamiento? RESPUESTA No es una “fuerza” lo que lo hace. De acuerdo con la primera ley de Newton, las mochilas continúan su estado de movimiento conservando su velocidad. Las mochilas desaceleran cuando se les aplica una fuerza, como lo es la fricción con el piso. B F FÍSICA para CIENCIAS E INGENIERÍA vés de la mesa con la misma rapidez, se requerirá entonces una menor fuerza. Si se coloca una capa de aceite u otro lubricante entre la superficie del objeto y la mesa, entonces casi no se requerirá fuerza alguna para mover el objeto. Advierta que en cada paso sucesivo, se requiere menos fuerza. Como paso siguiente, imaginamos que el objeto no experimenta en absoluto fricción contra la mesa (se tiene así un lubricante perfecto entre el objeto y la mesa) y teorizamos que una vez iniciado el movimiento del objeto, éste se moverá sobre la mesa con rapidez constante sin fuerza alguna aplicada. Una esfera de acero que rueda sobre una superficie dura horizontal se aproxima a esta situación. Lo mismo sucede con un disco sobre una mesa de aire, en la cual una delgada capa de aire reduce la fricción casi a cero. Se requirió el genio de Galileo para imaginar tal mundo idealizado; en este caso, uno donde no hubiera fricción, y saber que podría generar una noción más útil y precisa del mundo real. Fue esta idealización lo que condujo a Galileo a su sorprendente conclusión de que si no se aplica una fuerza a un objeto en movimiento, éste continuará moviéndose con rapidez constante en línea recta. Un objeto desacelera sólo si se ejerce una fuerza sobre él. De manera que Galileo interpretó la fricción como una fuerza similar un empuje o un jalón ordinarios. Para empujar un objeto sobre una mesa, con rapidez constante, se requiere la fuerza de la mano para equilibrar la fuerza de fricción (figura 4-3). Cuando el objeto se mueve con rapidez constante, la fuerza de empuje sobre él es igual en magnitud a la fuerza de fricción; no obstante, esas dos fuerzas tienen sentidos opuestos, por lo que la fuerza neta sobre el objeto (la suma vectorial de ambas fuerzas) es cero. Esto es congruente con el punto de vista de Galileo, ya que el objeto se mueve con rapidez constante cuando ninguna fuerza neta actúa sobre él. Isaac Newton (figura 4-4) construyó su célebre teoría del movimiento basándose en los cimientos asentados por Galileo El análisis de Newton acerca del movimiento se resume en sus famosas “tres leyes del movimiento”. En su gran obra, los Principia (publicada en 1687), Newton reconoció su deuda con Galileo. De hecho, la primera ley de Newton del movimiento está basada en las conclusiones de Galileo. Esta ley establece que: Todo cuerpo continúa en su estado de reposo, o con velocidad uniforme en línea recta, a menos que actúe sobre él una fuerza neta. La tendencia de un objeto a mantener su estado de reposo o de velocidad uniforme en línea recta se llama inercia. Por ello, la primera ley de Newton suele llamarse también ley de la inercia. B Ffr B FIGURA 4–3 F representa la fuerza aplicada por la persona sobre el libro B y F fr representa la fuerza de fricción aplicada por la mesa sobre el libro. PRIMERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO FIGURA 4–4 Isaac Newton (1642–1727). Marcos de referencia inerciales La primera ley de Newton no es válida en cualquier marco de referencia. Por ejemplo, si su marco de referencia está fijo en un automóvil que acelera, un objeto, como una taza colocada sobre el tablero, puede comenzar a moverse hacia usted (sin embargo, la taza permanecerá en reposo en tanto que la velocidad del automóvil permanezca constante). La taza se acelera hacia usted, pero ni usted ni nadie más ejercen una fuerza sobre ella en esa dirección. Asimismo, en el marco de referencia del autobús que desacelera en el ejemplo 4-1, no había ninguna fuerza que empujara a las mochilas hacia adelante. En tal marco de referencia acelerado, no es válida la primera ley de Newton. Los marcos de referencia en los que es válida la primera ley de Newton se llaman marcos de referencia inerciales (es decir, la ley de la inercia es válida en ellos). Para la mayoría de los propósitos de este libro, supondremos usualmente que los marcos de referencia fijos sobre la Tierra son marcos de referencia inerciales. Estrictamente hablando, esto no es del todo cierto, debido a los movimientos de rotación y traslación de la Tierra; pero usualmente es una buena aproximación. Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante (digamos, un automóvil o un avión) relativa a un marco de referencia inercial es también un marco de referencia inercial. Los marcos de referencia donde no es válida la ley de la inercia —como los marcos de referencia acelerados vistos arriba— se llaman, marcos de referencia no inerciales. ¿Cómo podremos estar seguros de que un marco de referencia sea inercial o no? Verificando si la primera ley de Newton se cumple en él. Así, la primera ley de Newton nos sirve para definir un el concepto de marco de referencia inercial. SECCIÓN 4–2 Primera ley de Newton del movimiento 85 4–3 Masa C U I D A D O Hay que distinguir entre masa y peso La segunda ley de Newton, que estudiaremos en la siguiente sección, implica el concepto de masa. Newton usó el término masa como sinónimo de cantidad de materia. Esta noción intuitiva de la masa de un objeto no es muy precisa porque el concepto “cantidad de materia” no está muy bien definido. Con mayor precisión, podemos decir que la masa es una medida de la inercia de un objeto. Cuanto mayor sea la masa de un cuerpo, tanto mayor será la fuerza necesaria para darle una aceleración específica. A mayor masa, es más difícil empezar a mover un cuerpo desde el reposo, o detenerlo si ya se está moviendo, o cambiar su velocidad lateralmente a partir de una trayectoria en línea recta. Un camión tiene mucho más inercia que una pelota de béisbol que se mueve con la misma rapidez y se requiere una fuerza mucho mayor para cambiar la velocidad del camión a la misma razón que la de la pelota. Por lo tanto, decimos que el camión tiene una masa mucho mayor. Para cuantificar el concepto de masa, debemos definir un estándar. En unidades del SI, la unidad de masa es el kilogramo (kg), como vimos en el capítulo 1, sección 1-4. Los términos masa y peso a menudo se confunden entre sí; sin embargo, en física es importante distinguir uno del otro. La masa es una propiedad del objeto mismo, es decir, es una medida de la inercia del cuerpo o de su “cantidad de materia”. Por otro lado, el peso es una fuerza, es decir, el jalón de la gravedad que actúa sobre un objeto. Para entender la diferencia, supongamos que llevamos un objeto a la Luna. El objeto pesará aproximadamente sólo un sexto de lo que pesa en la Tierra, ya que la fuerza de la gravedad es más débil en la Luna; sin embargo, su masa será la misma. Tendrá la misma cantidad de materia que en la Tierra y justo la misma inercia; pues si no hay fricción, sería igualmente difícil comenzar a moverlo en la Tierra o en la Luna, o detenerlo una vez que se esté moviendo. (Veremos más sobre el peso en la sección 4-6). 4–4 Segunda ley de Newton del movimiento FIGURA 4–5 El trineo acelera porque el equipo ejerce una fuerza. SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO La primera ley de Newton establece que si ninguna fuerza neta actúa sobre un objeto en reposo, éste permanecerá en reposo; o si el objeto está en movimiento, continuará moviéndose con rapidez constante en línea recta. Pero, ¿qué ocurre si una fuerza neta se ejerce sobre un objeto? Newton percibió que la velocidad del objeto cambiaría (figura 4-5). Una fuerza neta ejercida sobre un objeto puede incrementar su rapidez; o si la fuerza neta tiene un sentido opuesto al movimiento, la fuerza reducirá la velocidad del objeto. Si la fuerza neta actúa lateralmente sobre un objeto en movimiento, la dirección de la velocidad cambiará (y quizá también la magnitud). Ya que un cambio en la velocidad es una aceleración (sección 2-4), decimos que una fuerza neta produce una aceleración. ¿Cuál es precisamente la relación entre aceleración y fuerza? La experiencia cotidiana puede responder esta pregunta. Considere la fuerza requerida para empujar un carrito cuya fricción es tan pequeña que se desprecia. (Si hay fricción, considere la fuerza neta, que es la fuerza que usted ejerce menos la fuerza de fricción.) Si usted empuja el carro con una fuerza ligera pero constante, durante cierto periodo, el carro acelerará desde el reposo hasta cierta rapidez, digamos, 3 km/h. Si empuja con el doble de la fuerza, verá que el carro alcanza los 3 km/h en la mitad del tiempo. Es decir, la aceleración será del doble. Si se triplica la fuerza, la aceleración también se triplicará, y así sucesivamente. Entonces, la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada. Pero la aceleración depende también de la masa del objeto. Si usted empuja un carrito de supermercado vacío con la misma fuerza con que empuja uno que está lleno de comestibles, encontrará que el carrito lleno acelerará más lentamente. Cuanto mayor sea la masa, menor será la aceleración para la misma fuerza neta. La relación matemática, como lo indicó Newton, establece que la aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa. Esta relación es válida en general y se resume de la siguiente manera: La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, y es inversamente proporcional a su masa. La dirección de la aceleración es en la dirección de la fuerza neta que actúa sobre el objeto. Ésta es la segunda ley de Newton del movimiento. 86 CAPÍTULO 4 Dinámica: Leyes de Newton del movimiento Como ecuación, la segunda ley de Newton puede escribirse así: B ©F , m B donde a significa aceleración, m significa masa y ©FBes la fuerza neta sobre el objeto. B El símbolo  (“sigma” griega) significa “suma de”; F significa fuerza, por lo que ©F significa la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto, lo cual definimos como fuerza neta. Reordenamos esta ecuación para obtener el enunciado familiar de la segunda ley de Newton: B ©F = maB . (4–1a) La segunda ley de Newton relaciona la descripción del movimiento (la aceleración) con la causa del mismo (la fuerza). Se trata de una de las relaciones más fundamentales de la física. De la segunda ley de Newton podemos definir más precisamente la fuerza como una acción capaz de acelerar un objeto. B Toda fuerza F es un vector, con magnitud, dirección y sentido. La ecuación 4-1a es una ecuación vectorial que es válida en cualquier marco de referencia inercial. En forma de componentes en coordenadas rectangulares se escribe como: ©Fx = max , ©Fy = may , ©Fz = maz , (4–1b) donde B F = Fx î + Fy ĵ + Fz k̂. La componente de aceleración en cada dirección se ve afectada sólo por la componente de la fuerza neta en esa dirección. En unidades del SI, con la masa en kilogramos, la unidad de fuerza se llama newton (N). Por lo tanto, un newton es la fuerza requerida para impartir una aceleración de 1 m/s2 a una masa de 1 kg. Entonces, 1 N  1 kg m/s2. En unidades cgs, la unidad de masa es el gramo (g), como se mencionó antes.† La unidad de fuerza es la dina, que se define como la fuerza neta necesaria para impartir una aceleración de 1 cm/s2 a una masa de 1 g. Así, 1 dina  1 g cm/s2. Es fácil demostrar que 1 dina  10 5 N. En el sistema inglés, la unidad de fuerza es la libra (que se abrevia lb), donde 1 lb  4.448222 N L 4.45 N. La unidad de masa es el slug, que se define como aquella masa que tendrá una aceleración de 1 ft/s2 cuando una fuerza de 1 lb se aplique sobre ella. Así, 1 lb  1 slug ft/s2. La tabla 4-1 resume las unidades en los diferentes sistemas. Es muy importante usar sólo un conjunto de unidades en un cálculo o un problema dado; y normalmente trabajamos con el SI. Cuando la fuerza se da, digamos, en newton y la masa en gramos, entonces, antes de intentar expresar la aceleración en unidades SI, debemos cambiar la masa a kilogramos. Por ejemplo, si la fuerza se da como 2.0 N a lo largo del eje x y la masa se da igual a 500 g, cambiamos esta última a 0.50 kg, y la aceleración resultará automáticamente en m/s2 cuando se use la segunda ley de Newton: 2.0 kg m兾s2 ©Fx 2.0 N = ax = = = 4.0 m兾s2. m 0.50 kg 0.50 kg aB = B SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO TABLA 4–1 Unidades de masa y fuerza Sistema Masa Fuerza SI kilogramo newton (N) (kg) A= kg  m兾s2 B cgs gramo (g) dina A= g  cm兾s2 B slug libra (lb) British Factores de conversión: 1 dina = 10–5 N; 1 lb L 4.45 N. R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Utilice un conjunto de unidades consistente EJEMPLO 4–2 ESTIMACIÓN Fuerza para acelerar un automóvil rápido. Estime la fuerza neta necesaria para acelerar a) un automóvil de 1,000 kg a 21 g; b) una manzana de 200 g a la misma rapidez. PLANTEAMIENTO Utilizamos la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza neta necesaria para cada objeto. Esto es una estimación (no se indica que 12 sea preciso), así que se redondea a una cifra significativa. SOLUCIÓN a) La aceleración del automóvil es a = 12 g = 12 A9.8 m兾s2 B L 5 m兾s2. Usamos la segunda ley de Newton para obtener la fuerza neta necesaria para lograr esta aceleración: ©F = ma L (1000 kg)A5 m兾s2 B = 5000 N. (Si usted está acostumbrado a las unidades inglesas, para tener una idea de cuánto es una fuerza de 5000 N, divida ésta entre 4.45 N/lb y obtendrá una fuerza de aproximadamente 1000 lb). b) Para la manzana, m  200 g  0.2 kg, por lo que ©F = ma L (0.2 kg)A5 m兾s2 B = 1 N. † Tenga cuidado en no confundir g para gramo con g para la aceleración debida a la gravedad. Ésta última se escribe siempre en cursivas (o en negritas como vector). SECCIÓN 4–4 Segunda ley de Newton del movimiento 87 EJEMPLO 4–3 Fuerza para detener un automóvil. ¿Qué fuerza neta promedio se requiere para llevar un automóvil de 1500 kg al reposo, desde una rapidez de 100 km/h en una distancia de 55 m? PLANTEAMIENTO Usamos la segunda ley de Newton, F  ma para calcular la fuerza; pero primero debemos determinar la aceleración a. Suponemos que la aceleración es constante, de manera que podemos usar las ecuaciones cinemáticas, ecuaciones 2-12, para calcularla. v0 = 100 km/h FIGURA 4–6 v=0 x (m) x = 55m Ejemplo 4–3. x=0 SOLUCIÓN Suponemos que el movimiento es a lo largo del eje x (figura 4-6). Se nos da la velocidad inicial v0  100 km/h  27.8 m/s (sección 1-5), la velocidad final v  0 y la distancia recorrida x x0  55 m. De la ecuación 2-12c, tenemos v2 = v20 + 2aAx - x0 B, por lo que a = v2 - v20 2Ax - x0 B = 0 - A27.8 m兾sB 2 2(55 m) = –7.0 m兾s2. La fuerza neta requerida es entonces ©F = ma = (1500 kg)A –7.1 m兾s2 B = –1.1 * 104 N. La fuerza debe ejercerse en sentido opuesto al de la velocidad inicial, que es lo que significa el signo negativo. NOTA Si la aceleración no es precisamente constante, determinamos una aceleración “promedio” y obtenemos una fuerza neta “promedio”. La segunda ley de Newton, al igual que la primera, sólo es válida en marcos de referencia inerciales (sección 4-2). En el marco de referencia no inercial de un automóvil que acelera, por ejemplo, una taza en el tablero comienza a deslizarse (es decir, a aceB lerar) incluso cuando la fuerza neta sobre ella sea cero; por lo tanto, ©F = maB no se B aplica en tal marco de referencia acelerado ( ©F = 0, pero aB Z 0 en este marco no inercial). EJERCICIO A Suponga que usted observa que una taza se desliza sobre el tablero (suave) de un automóvil que acelera como recién lo estudiamos, pero esta vez desde un marco de referencia inercial fuera del auto, es decir, en la calle. Desde el marco inercial de usted, las leyes de Newton son válidas. ¿Qué fuerza tira la taza del tablero? Definición precisa de masa Como se mencionó en la sección 4-3, podemos cuantificar el concepto de masa usando su definición como medida de la inercia. Como hacer esto es evidente de la ecuación 4-1a, donde vemos que la aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa. Si la misma fuerza neta F actúa para acelerar cada una de las dos masas, m1 y m2, entonces la razón de sus masas puede definirse como la razón inversa de sus aceleraciones: m2 a1 . = m1 a2 Si se conoce una de las masas (podría ser el kilogramo estándar) y las dos aceleraciones se miden precisamente, entonces la masa desconocida se obtiene a partir de esta definición. Por ejemplo, si m1  1.00 kg, y para una fuerza particular a1  3.00 m/s2 y a2  2.00 m/s2, entonces, m2  1.50 kg. 88 CAPÍTULO 4 Dinámica: Leyes de Newton del movimiento 4–5 Tercera ley de Newton del movimiento La segunda ley de Newton del movimiento describe cuantitativamente cómo las fuerzas afectan el movimiento. Pero quizá nos preguntamos ¿de dónde vienen las fuerzas? Las observaciones sugieren que una fuerza aplicada a cualquier objeto es siempre aplicada por otro objeto. Un caballo tira de una carreta, una persona empuja un carrito de supermercado, un martillo empuja un clavo, un imán atrae un clip sujetapapeles. En cada uno de esos ejemplos, se ejerce una fuerza sobre un objeto y ésta es ejercida por otro objeto. Por ejemplo, la fuerza que se ejerce sobre el clavo es ejercida por el martillo. Sin embargo, Newton se dio cuenta de que el asunto no era tan unilateral. Es cierto que el martillo ejerce una fuerza sobre el clavo (figura 4-7); pero éste evidentemente ejerce también una fuerza opuesta sobre el martillo, dado que la rapidez del martillo se reduce rápidamente a cero durante el contacto. Sólo una gran fuerza puede causar esa rápida desaceleración del martillo. Entonces, dijo Newton, los dos cuerpos deben tratarse según la misma base. El martillo ejerce una fuerza sobre el clavo y éste ejerce una fuerza opuesta sobre el martillo. Ésta es la esencia de la tercera ley de Newton del movimiento: Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo ejerce una fuerza de igual magnitud, en la misma dirección, pero en sentido opuesto sobre el primero. En ocasiones esta ley se parafrasea como “para toda acción existe una reacción igual y opuesta”. Esto es perfectamente válido. No obstante, para evitar confusiones, es muy importante recordar que la fuerza de “acción” y la fuerza de “reacción” actúan sobre objetos diferentes. Como evidencia de la validez de la tercera ley de Newton, observe su mano cuando empuja contra el borde de un escritorio (figura 4-8). La forma de la mano se altera, lo cual es clara evidencia de que se ejerce una fuerza sobre ella. Puede ver el borde del escritorio oprimiendo su mano, e incluso sentir al escritorio ejerciendo una fuerza sobre su mano, lo cual por cierto duele. Cuanto más fuerte empuje usted contra el escritorio, más fuerte empujará el escritorio contra su mano. (Note que sólo siente las fuerzas ejercidas sobre usted; cuando usted ejerce una fuerza sobre otro objeto, lo que siente es que el objeto empuja en dirección opuesta sobre usted). Fuerza ejercida sobre la mano por el escritorio Fuerza ejercida sobre el escritorio FIGURA 4–8 Si se empuja con una mano el extremo de un escritorio (el vector fuerza se muestra en anaranjado), el escritorio empuja de vuelta contra la mano (este vector fuerza se muestra en gris, para recordar que esta fuerza actúa sobre un objeto diferente). La fuerza que el escritorio ejerce sobre su mano tiene la misma magnitud que la fuerza que su mano ejerce sobre el escritorio. Esto es válido no sólo cuando el escritorio está en reposo, sino incluso cuando el escritorio acelera debido a la fuerza que ejerce su mano. Como otra demostración de la tercera ley de Newton, considere la patinadora de la figura 4-9. Como hay muy poca fricción entre sus patines y el hielo, la patinadora se moverá libremente si una fuerza es ejercida sobre ella; la patinadora empuja contra la pared, y entonces ella se empieza a mover hacia atrás. La fuerza que ella ejerce sobre la pared no puede moverla, pues tal fuerza actúa sobre la pared. Algo tiene que haber ejercido una fuerza sobre ella para que empiece a moverse y esa fuerza sólo puede haber sido ejercida por la pared. La fuerza con que la pared empuja sobre la patinadora es, por la tercera ley de Newton, igual y opuesta a la fuerza que la patinadora ejerce sobre la pared. Cuando una persona arroja un paquete fuera de un bote pequeño (inicialmente en reposo), éste empieza a moverse en sentido opuesto. La persona ejerce una fuerza sobre el paquete y éste ejerce una fuerza igual y opuesta sobre la persona, y dicha fuerza impulsa a la persona (y al bote) ligeramente hacia atrás. SECCIÓN 4–5 FIGURA 4–7 Un martillo que golpea un clavo. El martillo ejerce una fuerza sobre el clavo y el clavo ejerce una fuerza contraria sobre el martillo. Esta última fuerza desacelera el martillo y lo lleva al reposo. TERCERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO C U I D A D O Las fuerzas de acción y de reacción actúan sobre objetos diferentes FIGURA 4–9 Un ejemplo de la tercera ley de newton: cuando una patinadora empuja contra la pared, la pared empuja de vuelta y esta fuerza provoca que ella acelere alejándose. Fuerza Fuerza sobre sobre la la patinadora pared Tercera ley de Newton del movimiento 89 FIGURA 4–10 Otro ejemplo de la tercera ley de Newton: el lanzamiento de un cohete. El motor de un cohete empuja los gases hacia abajo, y éstos ejercen una fuerza igual y opuesta hacia arriba sobre el cohete, de modo que lo aceleran hacia arriba. (Un cohete no acelera como resultado de los gases expulsados que empujan contra el suelo). El impulso de los cohetes se explica también usando la tercera ley de Newton (figura 4-10). Un error común es pensar que los cohetes aceleran debido a que los gases que salen por la parte posterior de los motores empujan contra el suelo o la atmósfera. Esto no es correcto. Lo que sucede es que el cohete ejerce una poderosa fuerza sobre los gases, echándolos fuera; así que los gases ejercen una fuerza igual y opuesta sobre el cohete. Esta última fuerza es la que impulsa al cohete hacia adelante: la fuerza ejercida sobre el cohete por los gases (véase la foto de inicio de capítulo, p. 83). Por lo tanto, un vehículo espacial se maniobra en el espacio vacío disparando sus cohetes en sentido opuesto a aquel en que se quiere acelerar. Cuando el cohete empuja sobre los gases en una dirección, éstos empujan sobre el cohete en la dirección opuesta. Un avión a reacción también acelera porque los gases que expulsa hacia atrás ejercen una fuerza hacia adelante sobre los motores (tercera ley de Newton). Considere cómo caminamos. Una persona empieza a caminar empujando con el pie hacia atrás contra el suelo. Entonces el suelo ejerce una fuerza igual y opuesta hacia adelante sobre la persona (figura 4-11) y es esta fuerza, sobre la persona, que mueve a la persona hacia adelante. (Si usted lo duda, intente caminar normalmente donde no haya fricción, por ejemplo, sobre hielo muy liso y resbaloso). De manera similar, un pájaro vuela hacia adelante ejerciendo una fuerza hacia atrás sobre el aire; pero es el aire el que empuja hacia adelante (tercera ley de Newton) sobre las alas del ave lo que la impulsa hacia adelante. EJEMPLO CONCEPTUAL 4–4 ¿Qué ejerce la fuerza para mover un automóvil? ¿Qué hace que un automóvil vaya hacia adelante? RESPUESTA Una respuesta común es que el motor hace al automóvil moverse hacia adelante. Pero el asunto no es tan sencillo. El motor hace girar los neumáticos. Pero qué ocurre si los neumáticos están sobre hielo resbaloso o sobre una capa gruesa de fango. Simplemente girarán sin avanzar. Se necesita la fricción. En el suelo sólido, los neumáticos empujan hacia atrás contra el suelo debido a la fricción. Por la tercera ley de Newton, el suelo empuja sobre los neumáticos en la dirección opuesta, acelerando el automóvil hacia adelante. FIGURA 4–11 Una persona puede caminar hacia adelante porque, cuando un pie empuja hacia atrás contra el suelo, el suelo empuja hacia adelante sobre el pie (tercera ley de Newton). Note que, las dos fuerzas que se muestran actúan sobre objetos diferentes. Fuerza horizontal ejercida sobre el suelo por el pie de la persona B F GP Fuerza horizontal ejercida sobre el pie de la persona por el suelo B F PG Solemos asociar las fuerzas con objetos activos tales como seres humanos, animales, motores o un objeto en movimiento como un martillo. A menudo es difícil saber cómo un objeto inanimado en reposo, como un muro o un escritorio, o la pared de una pista de hielo (figura 4-9), pueden ejercer una fuerza. La explicación está en que cada material, sin importar qué tan duro sea, es elástico, por lo menos en cierto grado. Una banda elástica estirada puede ejercer una fuerza sobre una bola de papel y hacerla volar por la habitación. Otros materiales quizá no se alarguen tan fácilmente como el hule, pero se alargan o se comprimen cuando se les aplica una fuerza. Y así como una banda elástica estirada ejerce una fuerza, también lo hace un muro estirado (o comprimido), un escritorio o el parachoques de un automóvil. De los ejemplos vistos antes, queda claro que es muy importante recordar sobre qué objeto se ejerce una fuerza dada y qué objeto ejerce esa fuerza. Una fuerza influye en el movimiento de un objeto sólo cuando se aplica sobre el objeto. Una fuerza ejercida por un objeto no influye en ese mismo objeto; sólo influye en otro objeto sobre el cual se ejerce la fuerza. Entonces, para evitar confusiones, las dos preposiciones sobre y por deben usarse siempre y con cuidado. Una manera de tener claro qué fuerza actúa sobre qué objeto consiste en usar subíndices dobles. Por ejemplo, la fuerza ejercida sobre la Persona por el suelo (Ground) B F PG . Por otro lado, la fuerza ejercida sobre el suelo en la figura 4-11 puede rotularse B por la persona es F GP . Por la tercera ley de Newton, TERCERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO B B FGP = –FPG . B B (4–2) F GP y F PG tienen la misma magnitud y dirección (tercera ley de Newton) y el signo menos nos indica que esas dos fuerzas actúan en sentidos opuestos. Note cuidadosamente que las dos fuerzas mostradas en la figura 4-11 actúan sobre objetos diferentes; por consiguiente, usamos colores ligeramente diferentes para las flechas que representan tales fuerzas. Esas dos fuerzasB no deben aparecer juntas en la sumatoria de fuerzas de la segunda ley de Newton ©F = maB . ¿Por qué? Porque actúan sobre B objetos diferentes: aB es la aceleración de un objeto en particular y ©F debe incluir sólo las fuerzas que actúan sobre ese único objeto. 90 CAPÍTULO 4 Dinámica: Leyes de Newton del movimiento Fuerza sobre el trineo ejercida por el asistente B B FSA Fuerza sobre el asistente ejercida por el trineo B FAS (= – FAS) B FSG Fuerza de fricción sobre el trineo ejercida por el suelo B B FGS (= – F SG) Fuerza sobre el suelo ejercida por el trineo B FGA Fuerza sobre el suelo ejercida por el asistente B FAG Fuerza sobre el asistente ejercida por el suelo FIGURA 4–12 Ejemplo 4-5, que muestra sólo fuerzas horizontales. Miguel Ángel ha seleccionado un fino bloque de mármol para su próxima escultura. Se muestra aquí a su asistente jalando el bloque sobre un trineo desde la cantera. Las fuerzas sobre el asistente se indican con flechas azules; las fuerzas sobre el trineo, se indican con flechas negras; y las fuerzas sobre el suelo, con flechas punteadas. Los pares de fuerzas acción-reacción que son iguales y opuestos están rotulados con los mismos subíndices, pero en orden B B inverso (como F GA y F AG). B (= – FAG) EJEMPLO CONCEPTUAL 4–5 Aclaración de la tercera ley. Al asistente de Miguel Ángel se le asignó la tarea de mover un bloque de mármol usando un trineo (figura 4-12). Él le dice a su jefe: “Cuando ejerzo una fuerza hacia adelante sobre el trineo, éste ejerce una fuerza igual y opuesta hacia atrás. ¿Cómo puedo entonces empezar a moverlo? Sin importar qué tanto jalo, la fuerza de reacción hacia atrás siempre iguala a mi fuerza hacia adelante, de manera que la fuerza neta debe ser cero. Nunca podré mover esta carga.” ¿Está él en lo correcto? RESPUESTA No. Aunque es cierto que las fuerzas de acción y de reacción son iguales en magnitud y dirección pero de diferente sentido, el asistente ha olvidado que actúan sobre objetos diferentes. La fuerza hacia adelante (“acción”) es ejercida por el asistente sobre el trineo (figura 4-12); en tanto que la fuerza de “reacción” hacía atrás, es ejercida por el trineo sobre el asistente. Para determinar si el asistente se mueve o no,B debemos considerar sólo las fuerzas que actúan sobre el asistente y luego aplicar B ©F = maB , donde ©F es la fuerza neta sobre el asistente, aB es la aceleración del asistente y m es la masa de éste. Hay dos fuerzas sobre el asistente que afectan su movimiento hacia adelante y ellas se muestran con flechas azules en las figuras 4-12 y 4-13: B ellas son (1) la fuerza horizontal F AG ejercida sobre el asistente por el suelo (cuanto más fuerte empuja él hacia atrás contra el suelo, más fuerte empujará el suelo hacia B adelante sobre él tercera ley de Newton), y (2) la fuerza F AS que ejerce el trineo sobre el asistente, jalando hacia atrás sobre él; véase la figura 4-13. Si él empuja lo suficienB F AG , será mayor temente fuerte sobre el suelo, la fuerza ejercida por el suelo sobre él B que la fuerza que ejerce el trineo hacia atrás F AS , y el asistente podrá acelerar hacia adelante (segunda ley de Newton). Por otra parte, el trineo acelera hacia adelante cuando la fuerza ejercida por el asistente sobre el trineo es mayor que la fuerzaBde fricción ejercida hacia atrás queB ejerce el suelo sobre el trineo (es decir, cuando F SA tiene una magnitud mayor que F SG en la figura 4-12). El uso de subíndices dobles para aclarar la tercera ley de Newton puede resultar engorroso y comúnmente no los usaremos para ello. Por lo general utilizaremos un solo subíndice para indicar qué o quién ejerce la fuerza sobre el objeto que estamos analizando. Sin embargo, si tiene alguna duda respecto a una fuerza dada, use los los subíndices dobles para identificar sobre qué objeto actúa la fuerza y qué objeto la ejerce. R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Un estudio de la segunda y tercera leyes de Newton Fuerza sobre el asistente ejercida por el trineo B FAS B FAG Fuerza sobre el asistente ejercida por el suelo FIGURA 4–13 Ejemplo 4-5. Las fuerzas horizontales sobre el asistente. EJERCICIO B Regrese a la pregunta inicial del capítulo de la página 83 y respóndala de nuevo. Intente explicar por qué quizás usted respondió de manera diferente la primera vez. EJERCICIO C Un camión pesado choca de frente contra un pequeño automóvil deportivo. a) ¿Cuál vehículo experimenta la mayor fuerza de impacto? b) ¿Cuál experimenta la mayor aceleración durante el impacto? c) ¿Cuál o cuáles de las leyes de Newton son útiles para obtener la respuesta correcta? EJERCICIO D Si usted empuja sobre un escritorio pesado, ¿significa que el escritorio empuja hacia atrás sobre usted? a) No a menos que alguien más también empuje sobre él. b) Sí, si está fuera en el espacio. c) Para empezar un escritorio nunca empuja. d) No. e) Sí. SECCIÓN 4–5 Tercera ley de Newton del movimiento 91 4–6 Fuerza de gravedad (peso) y fuerza normal Como vimos en el capítulo 2, Galileo afirmaba que los objetos que se sueltan cerca de la superficie de la Tierra caen todos con la misma aceleración, gB , si puede despreciarse la resistencia del aire. La fuerza que da lugar a esta aceleración se llama fuerza de gravedad o fuerza gravitacional. ¿Qué ejerce la fuerza gravitacional sobre un objeto? Es la Tierra, como se explicará en el capítulo 6, y la fuerza actúa verticalmente† hacia abajo, hacia el centro de la Tierra. Apliquemos la segunda ley de Newton a un objeto de masa m que cae libremente debido a la fuerza de gravedad; para la aceleración, aB , usamos la aceleración hacia abajo debida a la gravedad, gB . Entonces, la fuerza gravitacional soB bre un objeto F G , se escribirse como B B B B B FFGG F FGG G B B B B FNN FNN F B FⴕN a) b) FIGURA 4–14 La fuerza neta sobre un objeto en reposo es cero, de acuerdo con la segunda ley de Newton. Por lo tanto, la fuerza de gravedad B hacia abajo AF G B sobre un objeto debe estar equilibrada por una fuerza vertical hacia arriba (la fuerza normal B F N ) ejercida por la mesa en este caso. B œ b) F N es la fuerza ejercida sobre la mesa por elBbusto y es la fuerza de reacción a F N según la tercera ley de B œ Newton. (F N se muestra en color negro para recordarnos que actúa sobre un objeto diferente). La fuerza de B reacción a F G no se muestra. C U I D A D O El peso y la fuerza normal no son pares acción-reacción FG = mgB . (4–3) La dirección de esta fuerza es hacia el centro de la Tierra. La magnitud de la fuerza de gravedad sobre un objeto, mg, comúnmente se llama el peso del objeto. En unidades SI, g  9.80 m/s2  9.80 N/kg,‡ por lo que el peso de una masa de 1.00 kg sobre la Tierra es de 1.00 kg × 9.80 m/s2  9.80 N. Nos ocuparemos principalmente del peso de objetos sobre la Tierra; pero hacemos hincapié en que el peso de una masa dada sobre la Luna, en otros planetas o en el espacio, será diferente que el peso de la misma masa en la Tierra. Por ejemplo, sobre la Luna, la aceleración debida a la gravedad es aproximadamente igual a un sexto del valor de la gravedad sobre la Tierra, y una masa de 1.0 kg pesa sólo 1.6 N. Aunque no usaremos unidades inglesas, consideraremos que para fines prácticos sobre la Tierra, una masa de 1 kg pesa aproximadamente 2.2 lb. (Sobre la Luna, 1 kg pesaría aproximadamente sólo 0.4 lb). La fuerza de gravedad actúa sobre un objeto mientras está cayendo. Cuando un objeto está en reposo sobre la Tierra, la fuerza gravitacional sobre él no desaparece, lo cual sabemos al pesarlo en una báscula. La misma fuerza, dada por la ecuación 4-3, continúa actuando. ¿Por qué entonces el objeto no se mueve? De la segunda ley de Newton, la fuerza neta sobre un objeto que permanece en reposo es cero. Debe haber otra fuerza sobre el objeto que equilibre la fuerza gravitacional. Para un objeto que descansa sobre una mesa, ésta ejerce una fuerza vertical hacia arriba sobre el objeto; véase la figura 4-14a. La mesa se comprime ligeramente debajo del objeto y debido a su elasticidad, empuja hacia arriba el objeto como se muestra. La fuerza ejercida por la mesa se denomina a menudo fuerza de contacto, ya que ocurre cuando dos objetos están en contacto. (La fuerza de la mano que empuja sobre un carrito también es una fuerza de contacto.) Cuando una fuerza de contacto actúa perpendicularmente a la superficie común de contacto, se le llama fuerza normal (“normal” significa perpendicuB lar); por ello, se designa F N en la figura 4-14a. Las dos fuerzas que se indican en la figura 4-14a actúan sobre el busto, que permanece en reposo, por lo que la suma vectorial de esas dos fuerzas debe ser cero (segunda B B ley de Newton). Por consiguiente, F G y F N deben ser de igual magnitud y de sentidos opuestos. Pero note que ellas no son las fuerzas de acción-reacción, iguales y de sentido opuesto que menciona la tercera ley de Newton. Las fuerzas de acción y de reacción de la tercera ley de Newton actúan sobre objetos diferentes; en tanto que las dos fuerzas que se muestran en la figura 4-14a actúan sobre el mismo objeto. Para cada una de las fuerzas mostradas en la Bfigura 4-14a nos preguntamos: “¿Cuál es la fuerza de reacción?” La fuerza hacia arriba, F N , sobre el busto es ejercida por la mesa. La reacción a esta fuerza es una fuerza hacia abajo ejercida por elB busto sobre la mesa. Esto se ilustra en la figura B œ F . Esta fuerza F Nœ , ejercida sobre la mesa por el busto, es la fuer4-14b, donde se designa N B za de reacción a F N de acuerdo con la terceraBley de Newton. ¿Y qué sucede con la otra fuerza sobre el busto, la fuerza de gravedad F G ¿Puede usted ver cuál es la reacción a esta fuerza? En el capítulo 6 veremos que la fuerza de reacción es la fuerza gravitacional ejercida por el busto sobre la Tierra. EJERCICIO E Ahora regrese a la segunda pregunta de inicio de capítulo, página 83, y respóndala de nuevo. Intente explicar por qué tal vez usted la contestó de manera diferente la primera vez. † El concepto de “vertical” está ligado a la gravedad. La mejor definición de vertical es que se trata de la dirección en que caen los objetos. Una superficie que es “horizontal”, por otro lado, es una superficie donde un objeto redondo no comenzará a rodar: la gravedad no tiene efecto. Horizontal significa perpendicular a vertical. ‡ 92 CAPÍTULO 4 Como 1 N = 1 kg . m/s2 (sección 4-4), entonces, 1 m/s2 = 1 N/kg. Dinámica: Leyes de Newton del movimiento EJEMPLO 4–6 Peso, fuerza normal y una caja. Un amigo le ha dado a usted un regalo especial, una caja de 10.0 kg de masa con una sorpresa misteriosa dentro de ella. La caja descansa sobre la superficie horizontal lisa (sin fricción) de una mesa (figura 4-15a). a) Determine el peso de la caja y la fuerza normal ejercida sobre ella por la mesa. b) Ahora su amigo empuja hacia abajo sobre la caja con una fuerza de 40.0 N, como en la figura 4-15b. Determine de nuevo la fuerza normal ejercida sobre la caja por la mesa. c) Si su amigo jala hacia arriba sobre la caja con una fuerza de 40.0 N (figura 4-15c), ¿cuál es ahora la fuerza normal ejercida sobre la caja por la mesa? PLANTEAMIENTO La caja se encuentra en reposo sobre la mesa, de manera que en cada caso la fuerza neta sobre la caja es cero (segunda ley de Newton). El peso de la caja tiene magnitud mg en los tres casos. SOLUCIÓN a) El peso de la caja es mg  (10.0 kg)(9.80 m/s2)  98.0 N y esta fuerza actúa hacia abajo. La única otra fuerza que actúa sobre la caja es la fuerza normal que ejerce la mesa hacia arriba, como se muestra en la figura 4-15a. Elegimos el sentido hacia arriba como el sentido y positivo; entonces, la fuerza neta Fy sobre la caja es Fy  FN mg; el signo menos indica que mg actúa en la dirección y negativa (m y g son magnitudes). Como la caja está en reposo, la fuerza neta sobre ella debe ser cero (segunda ley de Newton, Fy  may y ay  0). Entonces, ©Fy = may FN - mg = 0, por lo que tenemos FN = mg. La fuerza normal sobre la caja, ejercida por la mesa, es de 98.0 N hacia arriba, y tiene una magnitud igual al peso de la caja. (b) Su amigo está empujando hacia abajo sobre la caja con una fuerza de 40.0 N. Como se muestra en la figura 4-15b, en vez de sólo dos fuerzas, ahora hay tres fuerzas que actúan sobre la caja. El peso de ésta sigue siendo mg  98.0 N. La fuerza neta en este caso es Fy  FN mg 40.0 N y es igual a cero, ya que la caja permanece en reposo (a  0). La segunda ley de Newton queda B FN y B mg a) F Fy  FN mg  0 B FN y 40.0 0.0 N B mg b) F Fy  FN mg 40.0 N  0 40.0 N y B FN ©Fy = FN - mg - 40.0 N = 0. Despejamos la fuerza normal de esta ecuación: FN = mg + 40.0 N = 98.0 N + 40.0 N = 138.0 N, que es mayor que en el inciso a). La mesa empuja hacia arriba con más fuerza cuando una persona empuja hacia abajo sobre la caja. ¡La fuerza normal no siempre es igual al peso! c) El peso de la caja es aún de 98.0 N y actúa hacia abajo. La fuerza ejercida por su amigo y la fuerza normal actúan ambas hacia arriba (dirección positiva), como se muestra en la figura 4-15c. La caja no se mueve, puesto que la fuerza hacia arriba de su amigo es menor que el peso. La fuerza neta, de nuevo igualada a cero en la segunda ley de Newton, (con a  0), es ©Fy = FN - mg + 40.0 N = 0, por lo que FN = mg - 40.0 N = 98.0 N - 40.0 N = 58.0 N. La mesa no carga todo el peso total de la caja debido al jalón hacia arriba ejercido por su amigo. NOTA El peso de la caja ( mg) no cambia como resultado del empuje o jalón de su amigo. Sólo la fuerza normal resulta afectada. Recuerde que la fuerza normal es elástica en origen (la mesa de la figura 4-15 se hunde ligeramente bajo el peso de la caja). La fuerza normal en el ejemplo 4-6 es vertical, perpendicular a la mesa horizontal, sin embargo, la fuerza normal no siempre es vertical. Cuando usted empuja contra una pared vertical, por ejemplo, la fuerza normal con que la pared empuja sobre usted es horizontal (figura 4-9). Para un objeto sobre un plano inclinado en un ángulo con la horizontal, como un esquiador o un automóvil que van por la colina, la fuerza normal actúa en forma perpendicular al plano y, por lo tanto, no es vertical. SECCIÓN 4–6 B mg c) F Fy  FN mg  40.0 N  0 FIGURA 4–15 Ejemplo 4-6. a) Una caja de regalo de 10 kg está en reposo sobre una mesa. b) Una persona empuja hacia abajo sobre la caja con una fuerza de 40.0 N. c) una persona jala hacia arriba la caja con una fuerza de 40.0 N. Se supone que todas las fuerzas actúan a lo largo de una línea; aquí se representan ligeramente desplazadas con la finalidad de hacerlas distinguibles. Sólo se ilustran las fuerzas que actúan sobre la caja. C U I D A D O La fuerza normal no necesariamente es igual al peso C U I D A D O B La fuerza normal, F N , no necesariamente es vertical Fuerza de gravedad (peso) y fuerza normal 93 EJEMPLO 4–7 Aceleración de la caja. ¿Qué sucede cuando una persona jala hacia arriba la caja en el ejemplo 4-6c) con una fuerza igual a, o mayor que, el peso de la caja? Por ejemplo, sea FP  100.0 N (figura 4-16) en vez de los 40.0 N que se muestran en la figura 4-15c? B F P (100.0 N) B a PLANTEAMIENTO Comenzamos igual que en el ejemplo 4-6, pero prepárese para una sorpresa. SOLUCIÓN La fuerza neta es ahora ©Fy = FN - mg + FP = FN - 98.0 N + 100.0 N, B mg (98.0 N) FIGURA 4–16 Ejemplo 4-7. La caja acelera hacia arriba porque FP  mg. y si hacemos esto igual a cero (pensando que la aceleración podría ser cero), obtendríamos FN  2.0 N. Esto no tiene sentido, ya que el signo negativo implica que FN señala hacia abajo y ciertamente la mesa no puede jalar hacia abajo sobre la caja (a menos que hubiera pegamento sobre la mesa). El menor valor que FN puede tomar es cero, como ocurre en este caso. Lo que realmente sucede aquí es que la caja acelera hacia arriba porque la fuerza neta no es cero. La fuerza neta (haciendo la fuerza normal FN  0) es ©Fy = FP - mg = 100.0 N - 98.0 N = 2.0 N hacia arriba. Véase la figura 4-16. Aplicamos la segunda ley de Newton y vemos que la caja se mueve hacia arriba con una aceleración ay = ©Fy m = 2.0 N 10.0 kg = 0.20 m兾s2 . EJEMPLO 4–8 Aparente pérdida de peso. Una mujer de 65 kg desciende en un elevador que acelera brevemente a 0.20g hacia abajo. Ella está parada sobre una báscula que da su lectura en kilogramos. a) Durante esta aceleración, ¿cuál es el peso de la mujer y qué registra la báscula? b) ¿Qué registra la báscula cuando el elevador desciende con rapidez constante de 2.0 m/s? FIGURA 4–17 Ejemplo 4-8. El vector aceleración se muestra con una flecha negra para distinguirlo de los vectores de fuerza mostrados en azul. PLANTEAMIENTO a) La figura 4-17 muestra todas las fuerzas que actúan sobre la mujer (y sólo las que actúan sobre ella). El sentido de la aceleración es hacia abajo, que se toma como positivo (esta es una elección opuesta a la que se hizo en los ejemplos 4-6 y 4-7). SOLUCIÓN a) De la segunda ley de Newton, ©F = ma mg - FN = m(0.20g). Si despejamos FN: B a B mg B FN FN = mg - 0.20mg = 0.80mg, B y actúa hacia arriba. La fuerza normal F N es la fuerza que la báscula ejerce sobre la persona, y es igual y opuesta a la fuerza que la persona ejerce sobre la báscula: FN  0.80 mg hacia abajo. Su peso (fuerza de la gravedad sobre ella) es aún mg  (65 kg)(9.8 m/s2)  640 N. Pero la báscula, que necesita ejercer una fuerza de sólo 0.80 mg, mostrará su lectura como 0.80m  52 kg. b) Ahora no hay aceleración, a  0, por lo que, de acuerdo con la segunda ley de Newton, mg FN  0 y FN  mg. La báscula registra su masa correcta de 65 kg. NOTA La báscula en a) puede arrojar una lectura de 52 kg (como una “masa aparente”), pero en realidad la masa de la mujer no cambia como resultado de la aceleración: permanece en 65 kg. 94 CAPÍTULO 4 Dinámica: Leyes de Newton del movimiento leyes de Newton: Diagramas de cuerpo libre La segunda ley de Newton nos indica que la aceleración de un objeto es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el objeto. La fuerza neta, como se mencionó antes, es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. De hecho, diversos experimentos han demostrado que las fuerzas se suman precisamente como vectores, de acuerdo con las reglas que desarrollamos en el capítulo 3. Por ejemplo, en la figura 4-18, muestra dos fuerzas de igual magnitud (cada una de 100 N) que actúan sobre un objeto y que forman 90° entre sí. Intuitivamente, vemos que el objeto se empezará a mover a un ángulo de 45° sobre el eje x, y por lo tanto, la fuerza neta también formará un ángulo de 45° con el eje x. Esto es lo que justamente dan las reglas de la suma vectorial. Del teorema de Pitágoras, la magnitud de la fuerza resultante es F R = 3 (100 N)2 + (100 N)2 = 141 N. EJEMPLO 4–9 Suma vectorial de fuerzas. Calcule la suma vectorial de las dos fuerzas ejercidas sobre el bote por los trabajadores A y B en la figura 4-19a. A B F B + F B FB = 100 N B 4–7 Resolución de problemas con las B F R = FB FA = 100 N 45° B FA b) a) B FIGURA 4–18 a) Dos fuerzas, FA y B FB , que se ejercen por los trabajadores A y B, actúan sobreBuna caja. b) La suma o resultante de FA y B B FB es FR . FIGURA 4–19 Ejemplo 4-9: Dos vectores de fuerza actúan sobre un bote. A PLANTEAMIENTO Sumamos los vectores de fuerza como otros vectores cualesquiera, como se describió en el capítulo 3. El primer paso consiste en elegir un sistema coordenado xy (véase la figura 14-19a), y luego en descomponer los vectores. SOLUCIÓN La figura 4-19b muestra las componentes cartesianas de estas dos fuerzas. B Sumamos las fuerzas usando el método de las componentes. Las componentes de F A son FA = 40.0 N y 45.0° 37.0° FAx = FA cos 45.0° = (40.0 N)(0.707) = 28.3 N, x FB = 30.0 N FAy = FA sen 45.0° = (40.0 N)(0.707) = 28.3 N. B B Las componentes de F B son FBx = ±FB cos 37.0° = ±(30.0 N)(0.799) = ±24.0 N, a) FBy = –FB sen 37.0° = –(30.0 N)(0.602) = –18.1 N. FBy es negativa porque señala a lo largo del eje y negativo. Las componentes de la fuerza resultante son (véase la figura 4-19c) FRx = FAx + FBx = 28.3 N + 24.0 N = 52.3 N, y B FA B FAy B FAx FRy = FAy + FBy = 28.3 N - 18.1 N = 10.2 N. Para encontrar la magnitud de la fuerza resultante, usamos el teorema de Pitágoras: FR = 3F 2Rx + F 2Ry = 3(52.3)2 + (10.2)2 N = 53.3 N. B La única pregunta restante es sobre el ángulo u que la fuerza neta F R forma con el eje x. Usamos: FRy 10.2 N tan u = = = 0.195, FRx 52.3 N y tan 1 (0.195)  11.0º. La fuerza neta sobre el bote tiene una magnitud de 53.3 N y actúa a un ángulo de 11.0° con respecto al eje x. Al resolver problemas relacionados con las leyes de Newton y fuerzas, es muy importante dibujar un diagrama que muestre todas las fuerzas que actúan sobre cada objeto implicado. Tal diagrama se llama diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas: elija un objeto y dibuje una flecha para representar cada fuerza que actúe sobre él. Incluya cualquier fuerza que actúe sobre ese objeto. No muestre fuerzas que el objeto elegido ejerza sobre otros objetos. Para ayudarle a identificar cada fuerza, y todas las que se ejerzan sobre el objeto elegido, pregúntese que otros objetos podrían ejercer una fuerza sobre él. Si el problema implica más de un objeto, es necesario un diagrama de cuerpo libre separado para cada uno. Por ahora, las fuerzas que probablemente estén actuando son la gravedad y las fuerzas de contacto (un objeto que empuja o jala a otro, fuerza normal, fricción). Más adelante consideraremos la resistencia del aire, la fricción, la flotabilidad y la presión, así como fuerzas eléctricas y magnéticas. SECCIÓN 4–7 x B B FBx FBy B FB b) y B FRy B FR u B FRx x c) R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Diagrama de cuerpo libre Resolución de problemas con las leyes de Newton: Diagramas de cuerpo libre 95 Movimiento FIGURA 4–20 Ejemplo 4-10. ¿Cuál es el diagrama de cuerpo libre correcto, para el disco de hockey que se desliza sobre una superficie de hielo sin fricción? B FN B B FG B B FN F F a) Movimiento Movimiento B FN b) B FG c) B FG EJEMPLO CONCEPTUAL 4–10 El disco de hockey. Un disco de hockey se desliza a velocidad constante sobre una superficie plana horizontal de hielo que suponemos sin fricción. ¿Cuál de los dibujos en la figura 4-20 es el diagrama de cuerpo libre correcto para este disco? ¿Cuál sería su respuesta si el disco desacelera? RESPUESTA ¿Eligió ustedBa)? Si fue así, responda la pregunta: ¿qué o quién ejerce la fuerza horizontal rotulada F sobre el disco? Si usted indica que es la fuerza necesaria para mantener el movimiento, pregúntese: ¿qué ejerce esta fuerza? Recuerde que otro objeto debe ejercer la fuerza y aquí nadie empuja alBbloque una vez que inició su movimiento. Por lo tanto, a) es falsa. Además, la fuerza F en la figura 4-20a daría lugar a una aceleración de acuerdo con la segunda ley de Newton. La respuesta correcta es b). Ninguna fuerza neta actúa sobre el disco, y éste se desliza con velocidad constante sobre el hielo. En el mundo real, donde incluso el hielo liso ejerce al menos una pequeña fuerza de fricción, la respuesta correcta sería c). La pequeña fuerza de fricción actúa en sentido opuesto al del movimiento y la velocidad del disco disminuye, aunque muy lentamente. E PROBL S OLUCI ES Ó A R Veamos ahora un breve resumen de cómo resolver problemas que impliquen las leyes de Newton. EM N D Leyes de newton; diagramas de cuerpo libre 1. Haga un dibujo de la situación. 2. Considere sólo un objeto (a la vez) y dibuje un diagrama de cuerpo libre para ese objeto, que muestre todas las fuerzas que actúan sobre ese objeto. Incluya cualesquiera fuerzas desconocidas que haya que encontrar. No muestre las fuerzas que el objeto elegido ejerza sobre otros objetos. Dibuje la flecha para cada vector fuerza con exactitud razonable con respecto a dirección y magnitud. Rotule cada fuerza que actúe sobre el objeto, incluyendo las fuerzas que usted debe calcular, con respecto a su fuente (gravedad, personas, fricción, etcétera). Si varios objetos están implicados, dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo por separado, mostrando todas las fuerzas que actúan sobre ese objeto C U I D A D O Un objeto tratado como partícula puntual 96 CAPÍTULO 4 (sólo las fuerzas que actúan sobre ese objeto). Para todas y cada una de las fuerzas consideradas, debe ser claro para usted: sobre qué objeto actúa esa fuerza; y qué objeto ejerce la fuerza. Sólo las fuerzas que actúan soB bre un objeto dado pueden incluirse en ©F = maB para ese cuerpo. 3. La segunda ley de Newton implica vectores y usualmente es importante descomponer los vectores en componentes. Elija un eje x y un eje y de manera que se simplifiquen los cálculos. A menudo lo más conveniente es elegir un eje coordenado paralelo a la aceleración. 4. Para cada objeto, aplique la segunda ley de Newton por separado a las componentes x y y. Es decir, la componente x de la fuerza neta sobre ese cuerpo estará relacionada con la componente x de la aceleración de ese objeto: Fx  max y similarmente para la dirección y. 5. Despeje la(s) incógnita(s) de la ecuación o las ecuaciones. Esta Estrategia de resolución de problemas no debe considerarse como una receta inflexible. Más bien, se trata de un resumen de las cosas que pondrán su mente a pensar y le ayudarán a plantear y entender el problema que tenga entre manos. Considerando sólo el movimiento traslacional, podemos dibujar las fuerzas que actúan sobre el objeto como si actuaran en el centro del objeto, lo que significa tratar el objeto como si fuera una partícula puntual. Sin embargo, para problemas que involucran rotación o equilibrio, también es importante el punto de aplicación de cada fuerza, como veremos en los capítulos 10, 11 y 12. En los siguientes ejemplos, suponemos que todas las superficies son muy lisas, de manera que puede ignorarse la fricción. (La fricción y los ejemplos donde se usa se estudiarán en el siguiente capítulo). EJEMPLO 4–11 Jalando la caja misteriosa. Suponga que una amiga le pide examinar la caja de 10.0 kg que le han regalado a usted (ejemplo 4-6, figura 4-15), esperando adivinar lo que hay dentro. Usted le responde: “Claro, jala la caja hacia ti.” Luego, ella jala la caja tirando de la cuerda que la rodea, como se muestra en la figura 4-21a, a lo largo de la superficie lisa de la mesa. La magnitud de la fuerza ejercida por la persona es FP  40.0 N y es ejercida a un ángulo de 30.0° como se muestra. Calcule a) la aceleración de la caja y b) la magnitud de la fuerza FN hacia arriba, ejercida por la mesa sobre la caja. Suponga que la fricción puede despreciarse. PLANTEAMIENTO Seguimos la Estrategia de resolución de problemas de la página anterior. SOLUCIÓN 1. Haga un dibujo: La situación se muestra en la figura 4-21a; se representan la caja y la fuerza aplicada por la persona, FP. 2. Diagrama de cuerpo libre: La figura 4-21b ilustra el diagrama de cuerpo libre de la caja. Para dibujarlo correctamente, indicamos todas las fuerzas que actúan sobre la caja y sólo las fuerzas que actúan sobre ella, que son: la fuerza de gravedad, mgBB; la B fuerza normal ejercida por la mesa, F N ; y la fuerza ejercida por la persona, F P . Como sólo nos interesa el movimiento traslacional, las tres fuerzas se representan como si actuaran en un punto, que se conoce como centro de masa (figura 4-21c). 3. Elija los ejes y efectúe la descomposición de los vectores: Esperamos que el movimiento sea horizontal, así elegimos el eje x horizontal y el eje y vertical. El jalón de 40.0 N tiene las componentes FPx = (40.0 N)(cos 30.0°) = (40.0 N)(0.866) = 34.6 N, FPy = (40.0 N)(sen 30.0°) = (40.0 N)(0.500) = 20.0 N. B B En la dirección horizontal (x), FN y mg tienen componentes cero. Por lo tanto, la componente horizontal de la fuerza neta es FPx. 4. a) Aplique la segunda ley de Newton para determinar la componente x de la aceleración: FPx = max . 5. a) Despeje: (34.6 N) FPx = ax = = 3.46 m兾s2 . m (10.0 kg) La aceleración de la caja es de 3.46 m/s2 hacia la derecha. b) A continuación queremos encontrar FN. 4¿. b) Aplique la segunda ley de Newton a la dirección vertical (y), considerando arriba como positivo: ©Fy = may FN - mg + FPy = may . 5¿. b) Despeje: Tenemos mg  (10.0 kg)(9.80 m/s2)  98.0 N y, del punto 3 anterior, FPy  20.0 N. Más aún, dado que FPy mg, la caja no se mueve verticalmente, así que ay  0. Por lo tanto, FN - 98.0 N + 20.0 N = 0, De manera que FN = 78.0 N. NOTA FN es menor que mg: la mesa no carga todo el peso de la caja, porque parte del jalón ejercido por la persona es vertical hacia arriba. FP = 40.0 N 30.0° a) y B FP 30.0° B FN x B mg b) B y FN B FP x B mg c) FIGURA 4–21 a) Jalando la caja, ejemplo 4-11; b) es el diagrama de cuerpo libre para la caja; y c) es el diagrama de cuerpo libre considerando que todas las fuerzas actúan sobre un punto (sólo movimiento traslacional, que es lo que tenemos aquí). EJERCICIO F Una caja de 10.0 kg es arrastrada sobre una superficie horizontal sin fricción por una fuerza horizontal de 10.0 N. Si se duplica la fuerza aplicada, la fuerza normal sobre la caja a) se incrementará, b) permanecerá igual; c) disminuirá. Tensión en una cuerda flexible Cuando una cuerda flexible tira de un objeto, se dice que la cuerda está bajo tensión, y la fuerza que ejerce la cuerda sobre el objeto es la tensión FT. Si la cuerda tiene una masa despreciable, la fuerza ejercida en un extremo se transmite sin cambio a cada parte adyacente deB la cuerda, a lo largo de toda su longitud hasta el otro extremo. ¿Por qué? Porque ©F = maB = 0 para la cuerda, si la masa m de la cuerda es igual a cero (o despreciable), sin importar cuál sea aB por consiguiente, las fuerzas que jalan la cuerda en sus dos extremos deben sumar cero (FT y FT). Advierta que los cables y las cuerdas flexibles sólo pueden jalar. No pueden empujar porque se doblan. SECCIÓN 4–7 R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Las cuerdas pueden jalar, pero no pueden empujar; la tensión existe a lo largo de una cuerda Resolución de problemas con las leyes de Newton: Diagramas de cuerpo libre 97 FIGURA 4–22 Ejemplo 4-12. a) Dos cajas, A y B, y mB = 12.0 12 1 2.0 2 .00 k kg x mA = 10.0 10 1 0.0 0 .00 k kg B están conectadas por una cuerda. Una persona jala horizontalmente sobre la caja A con una fuerza FP  40.0 N. b) Diagrama de cuerpo libre de la caja A. c) Diagrama de cuerpo libre de la caja B. FP 40.0 N Caja B Caja A a) y El siguiente ejemplo considera dos cajas atadas mediante una cuerda. Nos referimos a este grupo de objetos como un sistema, que se define como cualquier grupo de uno o más objetos que se eligen considerar y estudiar. B FA AN B B FT FP mA x B mAg b) y B F BN B FT mB x B mB g c) EJEMPLO 4–12 Dos cajas atadas con una cuerda. Dos cajas, A y B, están atadas con una cuerda delgada y descansan sobre una mesa lisa (sin fricción). Las cajas tienen masa de 12.0 kg y 10.0 kg. Una fuerza horizontal FP de 40.0 N se aplica a la caja de 10.0 kg, como se muestra en la figura 4-22a. Encuentre a) la aceleración de cada caja, y b) la tensión en la cuerda que las une. PLANTEAMIENTO Simplificamos el planteamiento al no mencionar cada paso (como en el ejemplo anterior). Tenemos dos cajas, así que dibujamos un diagrama de cuerpo libre para cada una. Para dibujarlos correctamente, debemos considerar las fuerzas que actúan sobre cada caja, de manera que podamos aplicar la segunda ley de Newton a cada una. La persona ejerce una fuerza FP sobre la caja A. La caja A ejerce una fuerza FT sobre la cuerda y ésta ejerce una fuerza FT, de la misma magnitud pero de sentido opuesto sobre la caja A (tercera ley de Newton). Esas fuerzas horizontales B sobre la caja A se muestran enBla figura 4-22b, junto con la fuerza de gravedad m A g hacia abajo y la fuerza normal F AN eque ejerce la mesa hacia arriba. La cuerda es delgada así que consideramos que su masa es despreciable. Por lo tanto, la tensión en cada extremo de la cuerda es la misma. En consecuencia, la cuerda ejerce una fuerza FT sobre la segunda caja; la figura 4-22c muestra las fuerzas sobre la caja B, que son B B F T , m B gB , y la fuerza normal F BN . Habrá sólo movimiento horizontal y tomamos el eje x positivo hacia la derecha. SOLUCIÓN a) Aplicamos ©Fx = ma x a la caja A: ©Fx = FP - FT = mA aA . [caja A] Para la caja B, la única fuerza horizontal es FT, por lo que ©Fx = FT = mB aB . [caja B] Las cajas están conectadas, y si la cuerda permanece tensa y no se estira, entonces las dos cajas tendrán la misma aceleración a. Por lo tanto, aA  aB  a y se nos dan mA  10.0 kg y mB  12.0 kg. Sumamos las dos ecuaciones anteriores para eliminar una incógnita (FT) y obtenemos AmA + mB Ba = FP - FT + FT = FP o bien, a = FP 40.0 N = 1.82 m兾s2, = mA + mB 22.0 kg que es la aceleración que estamos buscando. Solución alterna Habríamos obtenido el mismo resultado considerando un solo sistema de masa mA + mB, sobre el que actúa una fuerza horizontal neta igual a FP. (Las fuerzas de tensión FT se consideran fuerzas internas al sistema como un todo y, sumadas harían una contribución cero a la fuerza neta sobre el sistema completo). b) De la ecuación anterior para la caja B (FT  mBaB), la tensión en la cuerda es FT = mB a = (12.0 kg)A1.82 m兾s2 B = 21.8 N. C U I D A D O Para cualquier objeto dado, considere sólo las fuerzas que actúan sobre dicho objeto para calcular ©F = ma 98 CAPÍTULO 4 Así, FT es menor que FP ( 40.0 N), como esperábamos, ya que FT acelera sólo a mB. NOTA Sería tentador afirmar que la fuerza que ejerce la persona, FP, no sólo actúa sobre la caja A, sino que también actúa sobre la caja B. Sin embargo, no es así. FP sólo actúa sobre la caja A y afecta a la caja B a través de la tensión en la cuerda, FT, que actúa sobre la caja B y la acelera. Dinámica: Leyes de Newton del movimiento EJEMPLO 4–13 Elevador y contrapeso (máquina de Atwood). A un sistema de dos objetos suspendidos sobre una polea mediante un cable flexible, según se muestra en la figura 4-23a, se le llama a veces máquina de Atwood. Considere la aplicación de la vida real de un elevador (mE) y su contrapeso (mC). Para minimizar el trabajo hecho por el motor para levantar y bajar el elevador con seguridad, se toman valores similares de las masas mE y mC. Dejamos el motor fuera del sistema para este cálculo y suponemos que la masa del cable es despreciable y que la masa de la polea, así como cualquier fricción, es pequeña y despreciable. Estas suposiciones garantizan que la tensión FT en el cable tiene la misma magnitud en ambos lados de la polea. Sea la masa del contrapeso mC  1000 kg. Supongamos que la masa del elevador vacío es de 850 kg y que su masa al llevar cuatro pasajeros es mE  1150 kg. Para este último caso (mE  1150 kg), calcule a) la aceleración del elevador y b) la tensión en el cable. PLANTEAMIENTO De nuevo tenemos dos objetos y es necesario aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de ellos por separado. Sobre cada masa actúan dos fuerzas: B la gravedad hacia abajo y la tensión del cable que jala hacia arriba, F T . Las figuras 4-23b y c muestran los diagramas de cuerpo libre para el elevador (mE) y para el contrapeso (mC). El elevador, siendo lo más pesado, acelerará hacia abajo y el contrapeso acelerará hacia arriba. Las magnitudes de sus aceleraciones serán iguales (suponemos que el cable no se estira). Para el contrapeso, mCg  (1000 kg)(9.80 m/s2)  9800 N, por lo que FT debe ser mayor que 9800 N (para que mC acelere hacia arriba). Para el elevador, mEg  (1150 kg)(9.80 m/s2)  11,300 N, que debe tener una magnitud mayor que FT para que mE acelere hacia abajo. Nuestro cálculo debe entonces dar FT entre 9800 N y 11,300 N. F Í S I C A A P L I C A D A Elevador (como una máquina de Atwood) B aE Carro elevador B aC mE = 1150 kg Contrapeso mC = 1000 kg SOLUCIÓN a) Para encontrar FT así como la aceleración a, aplicamos la segunda ley de Newton, F  ma a cada objeto. Tomamos como positiva la dirección y hacia arriba para ambos objetos. Con esta elección de ejes, aC  a porque mC acelera hacia arriba, y aE  a porque mE acelera hacia abajo. Entonces, a) y FT - mE g = mE aE = –mE a FT - mC g = mC aC = ±mC a. B x B FT FT Restamos la primera ecuación de la segunda y obtenemos AmE - mC Bg = AmE + mC Ba, donde a es ahora la única incógnita. Despejamos a: a = 1150 kg - 1000 kg mE - mC g = 0.070g = 0.68 m兾s2. g = mE + mC 1150 kg + 1000 kg B B El elevador (mE) acelera hacia abajo (y el contrapeso mC acelera hacia arriba) con a  0.070g  0.68 m/s2. b) La tensión FT en el cable puede obtenerse de cualquiera de las dos ecuaciones F  ma, considerando que a  0.070g  0.68 m/s2: FT = mE g - mE a = mE(g - a) = 1150 kg A9.80 m兾s2 - 0.68 m兾s2 B = 10,500 N, mC g mE g b) c) FIGURA 4–23 Ejemplo 4.13. a) Máquina de Atwood en forma de un sistema elevador-contrapeso. b) y c) Diagramas de cuerpo libre para los dos objetos. o bien, FT = mC g + mC a = mC(g + a) = 1000 kg A9.80 m兾s2 + 0.68 m兾s2 B = 10,500 N, que son consistentes. Como se predijo, nuestro resultado se encuentra entre 9800 N y 11,300 N. NOTA Podemos comprobar nuestra ecuación para la aceleración a en este ejemplo notando que si las masas son iguales (mE  mC), entonces nuestra ecuación de arriba para a daría a  0, como esperaríamos. Además, si una de las masas es cero (digamos, mC  0), entonces la otra masa (mE Z 0) según nuestra ecuación aceleraría a a  g, también como esperaríamos. SECCIÓN 4–7 R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Compruebe su resultado viendo si predice situaciones donde la respuesta puede estimarse fácilmente Resolución de problemas con las leyes de Newton: Diagramas de cuerpo libre 99 EJEMPLO CONCEPTUAL 4–14 La ventaja mecánica de una polea. Un trabajador de mudanzas intenta levantar un piano (lentamente) hasta un departamento en un segundo piso (figura 4-24). Usa una cuerda que pasa alrededor de dos poleas, como se muestra. ¿Qué fuerza debe ejercer el trabajador sobre la cuerda para levantar lentamente el piano de 2000 N de peso? B FT B RESPUESTA Si ignoramos la masa de la cuerda, la magnitud de la fuerza de tensión FT en la cuerda es la misma en cualquier punto a lo largo de toda la cuerda. Primero hay que enfocarse en las fuerzas que actúan sobre la polea inferior. El peso del piano jala hacia abajo sobre la polea mediante un cable corto. La tensión en la cuerda, que pasa alrededor de esta polea, jala el doble hacia arriba, una vez a cada lado de la polea. Apliquemos la segunda ley de Newton a la combinación polea-piano (de masa m), eligiendo la dirección positiva hacia arriba: B FT FT B mg 2FT - mg = ma. FIGURA 4–24 Ejemplo 4–14. F Í S I C A A P L I C A D A Acelerómetro FIGURA 4–25 Ejemplo 4–15. Para mover el piano con rapidez constante (es decir, a  0 en esta ecuación) se requiere una tensión en la cuerda y, por lo tanto, un jalón sobre ésta de FT  mg/2. El trabajador puede ejercer una fuerza igual a la mitad del peso del piano. Decimos entonces que la polea tiene una ventaja mecánica de 2, ya que sin la polea el trabajador tendría que ejercer una fuerza doble. EJEMPLO 4–15 Acelerómetro. Una pequeña masa m cuelga de una cuerda delgada y puede oscilar como un péndulo. Usted la fija arriba de la ventanilla de su automóvil, como se muestra en la figura 4-25a. Cuando el automóvil está en reposo, la cuerda cuelga verticalmente. ¿Qué ángulo u forma la cuerda a) cuando el automóvil acelera con una aceleración constante a  1.20 m/s2, y b) cuando el automóvil se mueve con una velocidad constante, v  90 km/h? PLANTEAMIENTO El diagrama de cuerpo libre de la figura 4-25b muestra el péndulo B formando un ángulo u con la vertical y las fuerzas que actúan sobre él: mg hacia B abajo y la tensión F T en la cuerda. Si u Z 0, estas fuerzas no suman cero, y dado que tenemos una aceleración a, por lo tanto, esperamos que u Z 0. Note que u es el ángulo relativo a la vertical. SOLUCIÓN a) La aceleración a  1.20 m/s2 es horizontal, por lo que de la segunda ley de Newton queda, ma = FT sen u a) para la componente horizontal, mientras que la componente vertical da 0 = FT cos u - mg. B u FT Al dividir estas dos ecuaciones, obtenemos B mg B a tan u = FT sen u a ma = = mg g FT cos u tan u = 1.20 m兾s2 9.80 m兾s2 o bien, b) = 0.122, por lo que u = 7.0°. b) La velocidad es constante, por lo que a  0 y tan u  0. Por consiguiente, el péndulo cuelga verticalmente (u  0°). NOTA Este dispositivo sencillo es un acelerómetro, y puede usarse para medir la aceleración. 100 CAPÍTULO 4 Dinámica: Leyes de Newton del movimiento Planos inclinados Ahora consideraremos lo que sucede cuando un objeto resbala hacia abajo sobre un plano inclinado, como una colina o una rampa. Tales problemas son interesantes porque la gravedad es la fuerza aceleradora, pero esta aceleración no es vertical. En general, los problemas son más fáciles de resolver si elegimos el sistema coordenado xy, de manera que un eje señale en la dirección de la aceleración. Por consiguiente, a menudo consideramos el eje x positivo apuntando a lo largo del plano inclinado y el eje y perpendicular a éste; véase la figura 4-26a. Advierta también que la fuerza normal no es vertical, sino perpendicular al plano (figura 4-26b). R ESOLUCIÓN DE P ROB LEMAS Una buena selección del sistema coordenado simplifica los cálculos EJEMPLO 4–16 Una caja se desliza hacia abajo por un plano inclinado. Una caja de masa m se coloca sobre un plano inclinado (sin fricción) que forma un ángulo u con la horizontal, como se muestra en la figura 4-26a. a) Determine la fuerza normal sobre la caja. b) Determine la aceleración de la caja. c) Evalúe lo anterior para una masa m  10 kg y un plano inclinado con un ángulo u  30°. y x a) B FN os θ mg mg c PLANTEAMIENTO El movimiento se da a lo largo del plano inclinado, por lo que elegimos el eje x positivo hacia abajo a lo largo de la pendiente (p.ej. en la dirección del movimiento). El eje y se toma perpendicular al plano inclinado, es decir hacia arriba. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 4-26b. Las fuerzas sobre la caja son su peso mg que actúa verticalmente hacia abajo, y se muestra resuelto en sus componentes paralela y perpendicular al plano inclinado y la fuerza normal FN. El plano inclinado actúa como una restricción, permitiendo el movimiento a lo largo de su superficie. La fuerza “restrictiva” es la fuerza normal. SOLUCIÓN a) No hay movimiento en la dirección y, por lo que ay  0. Aplicando la segunda ley de Newton, tenemos m θ se nθ B mg θ y x Fy = may FN - mg cos u = 0, donde FN y la componente y de la gravedad (mg cos u) son todas las fuerzas que actúan sobre la caja en la dirección y. Entonces, la fuerza normal está dada por FN = mg cos u. b) FIGURA 4–26 Ejemplo 4-16. a) Caja que se desliza sobre un plano inclinado. b) Diagrama de cuerpo libre de la caja. Note cuidadosamente que a menos que u  0°, FN tiene una magnitud menor que el peso mg. (b) En la dirección x, la única fuerza que actúa es la componente x de mgB , que vemos del diagrama que es igual a mg sen u. La aceleración a está en la dirección x, por lo que Fx = max mg sen u = ma, y vemos que la aceleración hacia abajo del plano es a = g sen u. La aceleración a lo largo de un plano inclinado es siempre menor que g, excepto cuando u  90°, en cuyo caso sen u  1 y a  g. Esto tiene sentido, ya que para u  90° se tiene una caída vertical pura. Para u  0°, a  0, lo cual tiene sentido, ya que u  0° significa que el plano es horizontal y la gravedad no causa aceleración alguna. Advierta también que la aceleración no depende de la masa m de la caja. c) Para u  30°, cos u  0.866 y sen u  0.500, así que FN = 0.866mg = 85 N, y a = 0.500g = 4.9 m兾s2. Veremos más ejemplos acerca del movimiento sobre un plano inclinado en el capítulo siguiente, donde se incluirá la fricción. SECCIÓN 4–7 Resolución de problemas con las leyes de Newton: Diagramas de cuerpo libre 101 4–8 Resolución de problemas: Un enfoque general D ROB LE E P S SOLUCI RE Ó M A N Una parte básica de un curso de física consiste en la resolución efectiva de problemas. El enfoque discutido aquí, aunque enfatiza las leyes de Newton, puede aplicarse por lo general para los otros temas que se verán a lo largo de este libro. En general 1. Lea y relea cuidadosamente los problemas. Un error común es dejar fuera una palabra o dos durante la lectura, lo cual puede cambiar por completo el significado de un problema. 2. Dibuje un diagrama o croquis preciso de la situación. (Esto es lo que se pasa por alto con mayor frecuencia y, sin embargo, es lo más fundamental en la resolución de problemas). Use flechas para representar vectores tales como velocidad o fuerza, y márquelos con símbolos apropiados. Al tratar con fuerzas y usar las leyes de Newton, asegúrese de incluir todas las fuerzas que actúan sobre un objeto dado, incluidas las fuerzas desconocidas, y establezca claramente cuáles fuerzas actúan sobre cada cuerpo (de otra manera podría usted equivocarse en la determinación de la fuerza neta sobre un objeto específico). 3. Dibuje un diagrama de cuerpo libre por separado para cada objeto implicado, que muestre todas las fuerzas externas que actúan sobre un objeto dado (y sólo sobre ese objeto). No muestre las fuerzas que ejerce el objeto sobre otros objetos. 4. Elija un sistema coordenado xy conveniente (uno que haga sus cálculos más fáciles, por ejemplo considerando un eje paralelo o antiparalelo a la aceleración). Descomponga los vectores en sus componentes a lo largo de los ejes coordenados elegidos. Al usar la segunda ley de B Newton, aplique ©F = maB por separado a las componentes x y y, considerando que las fuerzas en la dirección x están relacionadas con ax y similarmente para y. Si interviene más de un objeto, puede elegir sistemas coordenados diferentes (convenientes) para cada uno. 5. Elabore una lista de los datos conocidos y de las incógnitas (que está usted tratando de determinar) y decida lo que necesita para hallarlas. Para los problemas de este capítulo, usamos las leyes de Newton. Por lo general, ayudan a ver si hay una o más relaciones (o ecuaciones) que relacionen las incógnitas con los datos de entrada. 6. 7. 8. 9. Sin embargo, asegúrese de que cada relación sea aplicable en el caso considerado. Es muy importante conocer los límites de validez de cada fórmula o relación, es decir, cuándo es válida y cuándo no. En este libro, se han numerado las ecuaciones más generales, pero incluso ésas pueden tener un rango de validez limitado (a menudo indicado entre corchetes, a la derecha de la ecuación). Trate de resolver el problema en forma aproximada, para ver si se puede resolver (verificar si tenemos información suficiente) y si es razonable. Use su intuición y haga cálculos burdos; véase “estimación del orden de magnitud” en la sección 1-6. Un cálculo burdo o una conjetura razonable acerca del posible rango de las respuestas finales resulta de mucha utilidad. Además, un cálculo burdo puede compararse con la respuesta final para detectar errores en el cálculo, tales como la posición del punto decimal o las potencias de 10. Resuelva el problema, lo que puede incluir manipulaciones algebraicas de ecuaciones y/o cálculos numéricos. Recuerde la regla matemática de que se requieren tantas ecuaciones independientes como incógnitas que se tengan; por ejemplo, si usted tiene tres incógnitas, necesitará tres ecuaciones independientes. Usualmente, es mejor trabajar algebraicamente antes de insertar los valores numéricos. ¿Por qué? Porque a) puede entonces resolver una serie de problemas similares con valores numéricos diferentes; b) puede revisar su resultado para casos bien entendidos (digamos, u  0° o 90°); c) puede haber cancelaciones u otras simplificaciones; d) habrá usualmente menos posibilidades de cometer errores numéricos; y e) porque así puede tener una mejor comprensión del problema. Asegúrese de llevar un control de unidades, ya que pueden servirle como una comprobación (deben quedar equilibradas en ambos lados de cualquier ecuación). De nuevo, considere si su respuesta es razonable. El uso del análisis dimensional, descrito en la sección 1-7, también sirve como una comprobación en muchos problemas. Resumen Las tres leyes de Newton del movimiento son las leyes clásicas básicas que describen el movimiento. La primera ley de Newton (la ley de la inercia) establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, entonces un objeto originalmente en reposo permanecerá en reposo, y un objeto originalmente en movimiento permanecerá en movimiento en línea recta con velocidad constante. 102 CAPÍTULO 4 La segunda ley de Newton establece que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa: B ©F = maB. (4–1a) La segunda ley de Newton es una de las leyes más importantes y fundamentales en la física clásica. Dinámica: Leyes de Newton del movimiento La tercera ley de Newton establece que siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo objeto siempre ejerce una fuerza sobre el primer objeto, de la misma magnitud y dirección pero de sentido contrario: B B FAB = –FBA , (4–2) B donde F BA es la fuerza que ejerce el objeto A sobre el objeto B. Esto es válido incluso si los objetos se están moviendo o acelerando, y/o si tienen masas diferentes. La tendencia de un objeto a resistir un cambio en su movimiento se llama inercia. La masa es una medida de la inercia de un objeto. El peso se refiere a la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre un objeto, y es igual al producto de la masa m del objeto y de la aceleración de la gravedad gB : B FG = mgB. (4–3) La fuerza, que es un vector, puede considerarse como un empuje o como un jalón; o de acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza se define como una acción capaz de dar producir una aceleración. La fuerza neta sobre un objeto es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. Para resolver problemas que implican fuerzas sobre uno o más objetos, es esencial dibujar un diagrama de cuerpo libre para cada objeto, que muestre todas las fuerzas que actúan sobre sólo ese objeto. La segunda ley de Newton puede aplicarse a las componentes vectoriales para cada objeto. Preguntas 1. ¿Por qué un niño en un carrito parece que cae hacia atrás, cuando usted le da al carrito un jalón repentino hacia adelante? 2. Una caja descansa sobre la plataforma (sin fricción) de un camión. El conductor del camión lo pone en marcha y acelera hacia adelante. La caja comienza inmediatamente a deslizarse hacia la parte trasera de la plataforma del camión. Analice el movimiento de la caja en términos de las leyes de Newton, como es visto a) por Andrea que está parada en el suelo al lado del camión, y b) por Jim que viaja en el camión (figura 4-27). B a 11. Un padre y su hija pequeña patinan sobre hielo y se encuentran de frente entre sí en reposo; luego, se empujan mutuamente, moviéndose en direcciones opuestas. ¿Cuál de ellos tendrá la mayor velocidad final? 12. Suponga que usted está parado sobre una caja de cartón que justo apenas logra sostenerlo. ¿Qué le pasaría a la caja si usted saltara hacia arriba en el aire? a) se colapsaría; b) no se vería afectada; c) se elevaría un poco; d) se movería lateralmente. 13. Una piedra cuelga de un hilo delgado del techo y una sección del mismo hilo cuelga por debajo de la piedra (figura 4-28). Si una persona le da un fuerte jalón a la hebra que cuelga, ¿dónde es más probable que el hilo se rompa: debajo de la piedra o arriba de ella? ¿Y si la persona le da un jalón lento y constante? Explique sus respuestas. Caja FIGURA 4–27 Pregunta 2. FIGURA 4–28 Pregunta 13. 3. Si la aceleración de un objeto es cero, ¿significa que no actúan fuerzas sobre el objeto? Explique. 4. Si un objeto se mueve, ¿es posible que la fuerza neta que actúa sobre él sea cero? 5. Sólo actúa una fuerza sobre un objeto. ¿El objeto puede tener aceleración cero? ¿Puede tener velocidad cero? Explique. 6. Cuando una pelota de golf se deja caer al pavimento, rebota hacia arriba. a) ¿Es necesaria una fuerza para hacerla rebotar? b) Si es así, ¿qué es lo que ejerce esa fuerza? 7. Si usted intenta caminar sobre un tronco que flota en un lago, ¿por qué el tronco se mueve en dirección opuesta? 8. ¿Por qué podría lastimarse el pie si usted patea un escritorio pesado o una pared? 9. Cuando usted está corriendo y quiere detenerse rápidamente, debe desacelerar muy rápido. a) ¿Cuál es el origen de la fuerza que ocasiona que usted se detenga? b) Estime (usando su propia experiencia) la tasa máxima de desaceleración de una persona, que corre a velocidad máxima, necesaria para alcanzar el reposo. 10. a) ¿Por qué empuja usted hacia abajo con más fuerza sobre los pedales de una bicicleta al principio, que cuando ésta se mueve con rapidez constante? b) ¿Por qué necesita pedalear cuando rueda con rapidez constante? 14. La fuerza de gravedad sobre una roca de 2 kg es dos veces mayor que sobre una roca de 1 kg. ¿Por qué la roca más pesada no cae más rápido? 15. ¿Una báscula de resorte que se lleva a la Luna proporcionaría resultados precisos si la báscula se hubiera calibrado en la Tierra, a) en libras o b) en kilogramos? 16. Usted jala una caja aplicando una fuerza constante, a lo largo de una mesa sin fricción mediante una cuerda que la ata y que se mantiene horizontalmente. Si ahora jala la soga con la misma fuerza en un ángulo con la horizontal (con la caja todavía sobre la mesa), ¿la aceleración de la caja a) permanece igual, b) aumenta, o c) disminuye? Explique su respuesta. 17. Cuando un objeto cae libremente bajo la influencia de la gravedad, existe una fuerza neta mg sobre el objeto que es ejercida por la Tierra. Sin embargo, por la tercera ley de Newton, el objeto ejerce una fuerza de la misma magnitud y dirección pero de sentido opuesto sobre la Tierra. ¿La Tierra se mueve? 18. Compare el esfuerzo (o fuerza) necesario(a) para levantar un objeto de 10 kg en la Luna, con el esfuerzo necesario para levantarlo en la Tierra. Compare la fuerza necesaria para lanzar un objeto de 2 kg horizontalmente con una rapidez dada en la Luna y en la Tierra. Respuestas 103 19. ¿Cuál de los siguientes objetos pesa aproximadamente 1 N: a) una manzana, b) un mosquito, c) este libro, d) usted? 20. De acuerdo con la tercera ley de Newton, en la competencia de jalar la cuerda (figura 4-29) cada equipo jala con una fuerza de igual magnitud pero sentido opuesto sobre el otro equipo. ¿Qué determina entonces qué equipo ganará? 23. Mary ejerce una fuerza hacia arriba de 40 N para sostener una bolsa de provisiones. Describa la fuerza de “reacción” a esta fuerza (tercera ley de Newton) enunciando a) su magnitud, b) su sentido, c) sobre qué objeto se ejerce, y d) y qué objeto la ejerce. 24. El dispositivo que se muestra en la figura 4-30 se usa en algunos parques nacionales para mantener las provisiones de los excursionistas fuera del alcance de los osos. Explique por qué la fuerza necesaria para levantar las provisiones aumenta cuando éstas están cada vez más altas. ¿Es posible jalar la cuerda lo suficientemente fuerte para que no tenga deflexión alguna? FIGURA 4–29 Pregunta 20. Juego de jalar la cuerda. Describa las fuerzas ejercidas sobre cada uno de los equipos y sobre la cuerda. B F 21. Cuando está parado sobre el suelo, ¿qué tan grande es la fuerza que el suelo ejerce sobre usted? ¿Por qué esta fuerza no lo levanta a usted en el aire? 22. En ocasiones, en los accidentes automovilísticos, los tripulantes sufren lesiones cervicales cuando el automóvil de la víctima es golpeado violentamente por atrás. Explique por qué la cabeza de la víctima parece ser lanzada hacia atrás en esta situación. ¿Es así realmente? FIGURA 4–30 Pregunta 24. Problemas 4–4 a 4-6 Leyes de Newton, fuerza gravitacional, fuerza normal 1. (I) ¿Qué fuerza se requiere para acelerar a un niño sobre un trineo (masa total  55 kg) a 1.4 m/s2? 2. (I) Una fuerza neta de 265 N acelera a una persona en bicicleta a 2.30 m/s2. ¿Cuál es la masa de la persona junto con la bicicleta? 10. (II) Una caja de 20.0 kg descansa sobre una mesa. a) ¿Cuáles son el peso de la caja y la fuerza normal que actúa sobre ella? b) Una caja de 10.0 kg se coloca sobre la parte superior de la caja de 20.0 kg, como se indica en la figura 4-31. Determine la fuerza normal que ejerce la mesa sobre la caja de 20.0 kg y la fuerza normal que ejerce la caja de 20.0 kg sobre la caja de 10.0 kg. 3. (I) ¿Cuál es el peso de un astronauta de 68 kg a) en la Tierra, b) en 4. 5. 6. 7. 8. 9. la Luna (g  1.7 m/s2), c) en Marte (g  3.7 m/s2), d) en el espacio exterior viajando con velocidad constante? (I) ¿Cuánta tensión debe resistir una cuerda si se usa para acelerar horizontalmente un automóvil de 1210 kg, a lo largo de una superficie sin fricción a 1.20 m/s2? (II) Superman debe detener un tren que viaja a 120 km/h en 150 m para evitar que choque contra un automóvil parado sobre las vías. Si la masa del tren es de 3.6 × 105 kg, ¿cuánta fuerza debe ejercer el superhéroe? Compárela con el peso del tren (dado como %). ¿Cuanta fuerza ejerce el tren sobre Superman? (II) ¿Qué fuerza promedio se requiere para detener un automóvil de 950 kg en 8.0 s, si éste viaja inicialmente a 95 km/h? (II) Estime la fuerza promedio ejercida por un lanzador de bala sobre una bala de 7.0 kg, si ésta se mueve a lo largo de una distancia de 2.8 m y se suelta con una rapidez de 13 m/s. (II) Una pelota de béisbol de 0.140 kg que viaja a 35.0 m/s golpea el guante del catcher, que al llevarla al reposo, se mueve hacia atrás 11.0 cm. ¿Cuál fue la fuerza promedio aplicada por la pelota al guante? (II) Un deportista saca verticalmente del agua un pescado con una aceleración de 2.5 m/s2, usando un cordel para pescar muy ligero, que aguanta una tensión máxima de 18 N (L 4 lb) antes de romperse. Por desgracia, el pescador pierde a su presa porque el cordel se rompe. ¿Qué puede usted decir acerca de la masa del pez? 104 CAPÍTULO 4 FIGURA 4–31 Problema 10. 11. (II) ¿Qué fuerza promedio se necesita para acelerar una bala de 9.20 gramos, desde el reposo hasta 125 m/s en una distancia de 0.800 m a lo largo del barril de un fusil? 12. (II) ¿Cuánta tensión debe resistir una cuerda, si se utiliza para acelerar un vehículo de 1200 kg verticalmente hacia arriba a 0.70 m/s2? 13. (II) Una cubeta de 14.0 kg se baja verticalmente por una cuerda, en la que hay una tensión de 163 N en un instante dado. ¿Cuál es entonces la aceleración de la cubeta? ¿Es hacia arriba o hacia abajo? 14. (II) Un automóvil de carreras específico puede recorrer un cuarto de milla (402 m) en 6.40 segundos, partiendo del reposo. Suponiendo que la aceleración es constante, ¿cuántas “g” sufrirá el piloto? Si la masa combinada del piloto y del auto es de 535 kg, ¿qué fuerza horizontal debe ejercer el camino sobre los neumáticos? Dinámica: Leyes de Newton del movimiento 15. (II) Un ladrón de poca monta de 75 kg quiere escapar de la cár- 23. (II) Un excepcional salto de pie eleva a una persona 0.80 m des- cel por la ventana de un tercer piso. Para su mala fortuna, una cuerda hecha de sábanas unidas entre sí puede soportar sólo una masa de 58 kg. ¿Cómo podría usar el ladrón esta “cuerda” para escapar? Dé una respuesta cuantitativa. (II) Debe diseñarse un elevador (masa de 4850 kg) de manera que su aceleración máxima sea de 0.0680g. ¿Cuáles son las fuerzas máxima y mínima que el motor debe ejercer en el cable de soporte? (II) ¿Los automóviles pueden frenarse a lo largo de una moneda? Calcule la aceleración de un auto de 1400 kg, si éste puede detenerse desde 35 km/h hasta cero a lo largo de una moneda (diámetro  1.7 cm). ¿A cuántas g corresponde esta aceleración? ¿Cuál es la fuerza que siente un pasajero de 68 kg en el auto? (II) Una persona está parada sobre una báscula de baño en un elevador en reposo. Cuando el elevador empieza a moverse, la báscula registra por unos instantes sólo 0.75 del peso regular de la persona. Calcule la aceleración del elevador y encuentre el sentido de ésta. (II) Los elevadores de alta velocidad funcionan con dos limitaciones: 1) la magnitud máxima de la aceleración vertical que un cuerpo humano promedio puede experimentar sin sentir incomodidad es de aproximadamente 1.2 m/s2; y 2) la rapidez máxima típica alcanzable es de aproximadamente 9.0 m/s. Usted se sube a un elevador en la planta baja de un rascacielos y se transporta 180 m por arriba del nivel del suelo en tres etapas: aceleración de magnitud 1.2 m/s2 desde el reposo hasta 9.0 m/s, seguida por una etapa de velocidad constante hacia arriba de 9.0 m/s, y por último una desaceleración de magnitud 1.2 m/s2 desde 9.0 m/s hasta el reposo. a) Determine el tiempo transcurrido en cada una de las tres etapas. b) Determine el cambio en la magnitud de la fuerza normal ejercida por el piso del elevador, expresada como un porcentaje de su peso normal durante cada etapa. c) ¿En qué fracción del tiempo total de recorrido, la fuerza normal no es igual al peso de la persona? (II) Usando luz láser enfocada, una pinza óptica puede aplicar una fuerza de aproximadamente 10 pN a una cuenta de poliestireno de 1.0 mm de diámetro, cuya densidad es casi igual a la del agua: un volumen de 1.0 cm3 tiene una masa de aproximadamente 1.0 g. Estime la aceleración de la cuenta expresada en múltiplos de g. (II) Un cohete tiene una masa de 2.75 × 106 kg y ejerce una fuerza vertical de 3.55 × 107 N sobre los gases que expele. Determine a) la aceleración del cohete, b) su velocidad después de 8.0 s, y c) qué tiempo le tomará alcanzar una altura de 9500 m. Suponga que g permanece constante y desprecie la masa del gas expelido (lo cual no es realista). (II) a) ¿Cuál es la aceleración de dos paracaidistas en caída (masa  132 kg incluyendo el paracaídas), cuando la fuerza hacia arriba de resistencia del aire es igual a un cuarto de su peso? b) Después de que se abren los paracaídas, las personas descienden tranquilamente al suelo con rapidez constante. ¿Cuál es ahora la fuerza de resistencia del aire sobre los paracaidistas y sus paracaídas? Véase la figura 4-32. de el suelo. Para esto, ¿qué fuerza debe ejercer la persona de 68 kg contra el suelo? Suponga que antes de saltar, la persona se agacha una distancia de 0.20 m de modo que la fuerza hacia arriba tiene que actuar sobre esta distancia antes de dejar el suelo. 24. (II) El cable que soporta un elevador de 2125 kg tiene una resistencia máxima de 21,750 N. ¿Qué aceleración máxima hacia arriba le puede dar al elevador sin romperse? 25. (III) Los mejores atletas corren los 100 m planos en 10.0 segundos. Un corredor de 66 kg acelera uniformemente en los primeros 45 m para alcanzar su rapidez máxima, la cual mantiene durante los 55 m restantes. a) ¿Cuál es la componente horizontal promedio de la fuerza ejercida por el suelo sobre los pies durante la etapa de aceleración? b) ¿Cuál es la rapidez del corredor en los últimos 55 m de la carrera (es decir, su rapidez máxima)? 26. (III) Una persona salta desde el techo de una casa de 3.9 m de altura. Cuando toca el suelo, dobla las rodillas de manera que su torso desacelera durante una distancia aproximada de 0.70 m. Si la masa del torso (sin incluir las piernas) es de 42 kg, encuentre a) su velocidad justo antes de que los pies toquen el suelo, y b) la fuerza promedio ejercida por las piernas sobre el torso durante la desaceleración. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 4–7 Uso de las leyes de Newton 27. (I) Una caja que pesa 77.0 N descansa sobre una mesa. Una cuerda unida a la caja corre verticalmente hacia arriba, pasa sobre una polea y se cuelga un peso en el otro extremo (figura 4-33). Determine la fuerza que ejerce la mesa sobre la caja, si el peso que cuelga en el otro lado de la polea pesa a) 30.0 N, b) 60.0 N y c) 90.0 N. FIGURA 4–33 Problema 27. 28. (I) Dibuje el diagrama de cuerpo libre para un jugador de básquetbol, a) justo antes de dejar el suelo al brincar, y b) mientras está en el aire. Véase la figura 4-34. FIGURA 4–34 Problema 28. 29. (I) Elabore el diagrama de cuerpo libre de una pelota de béisFIGURA 4–32 Problema 22. bol, a) en el momento en que es golpeada por el bate, y b) cuando ha dejado el bate y va volando hacia uno de los jardines. Problemas 105 30. (I) Una fuerza de 650 N actúa en dirección noroeste. ¿En qué dirección debe ejercerse una segunda fuerza de 650 N para que la resultante de las dos fuerzas apunte hacia el oeste? Ilustre su respuesta con un diagrama de vectores. 31. (II) Christian está construyendo una “tirolesa” como el que se muestra en la figura 4-35. Es decir, él libra un abismo atando una cuerda entre un árbol a un lado del abismo y otro árbol en el lado opuesto, a 25 m de distancia. La cuerda debe combarse lo suficiente como para que no se rompa. Suponga que la cuerda resiste una fuerza de tensión de hasta 29 kN antes de romperse, y use un “factor de seguridad” de 10 (esto es, la cuerda se someterá sólo hasta una tensión de 2.9 kN) en el centro de la “tirolesa”. a) Determine la distancia x vertical que la cuerda debe combarse, si está dentro del rango de seguridad recomendado y la masa de Christian es de 72.0 kg. b) Si la “tirolesa” se coloca de manera incorrecta y la cuerda se comba sólo un cuarto de la distancia encontrada en a), determine la fuerza de tensión en la cuerda. ¿Se romperá la cuerda? x 35. (II) En la Antártida dos tractores de nieve remolcan una casa móvil a una nueva ubicación, como se muestra en la figura 4-38. La suma de las fuerB B zas F A y F B ejercidas por los cables horizontales sobre la casa es paralela a la línea L y FA  4500 N. Determine la magnitud B B de F A + F B . 32. (II) Una lavadora de ventanas se eleva usando el aparato de cubeta y polea que se muestra en la figura 4-36. a) ¿Con qué fuerza debe ella jalar hacia abajo para levantarse lentamente con rapidez constante? b) Si ella incrementa esta fuerza en 15%, ¿cuál será su aceleración? La masa de la persona más la cubeta es de 72 kg. B FB 32° 48° B FA FIGURA 4–38 Vista superior Problema 35. 36. (II) La locomotora de un tren jala dos carros de la misma masa detrás de sí (figura 4-39). Determine la razón de la tensión en el acoplamiento (como si fuera una cuerda) entre la locomotora y el primer carro (FT1), respecto de la tensión en el acoplamiento entre el primer carro y el segundo carro (FT2), para cualquier aceleración del tren distinta de cero. Carro 2 FIGURA 4–35 Problema 31. L B FT2 Carro 1 B FT1 FIGURA 4–39 Problema 36. B B 37. (II) Las dos fuerzas F 1 y F 2 que se muestran en la figura 4-40a y b (vistas desde arriba) actúan sobre un objeto de 18.5 kg sobre una mesa sin fricción. Si F1  10.2 N y F2  16.0 N, encuentre la fuerza neta sobre el objeto y su aceleración para los casos a) y b). y y B F2 120° B F1 x x B 90° F1 FIGURA 4–36 B Problema 32. F2 da una, que cuelgan unidas mediante dos cuerdas ligeras. a) Si las cubetas están en reposo, ¿cuál es la tensión en cada cuerda? b) Si las dos cubetas son jaladas hacia arriba por la cuerda superior con una aceleración de 1.25 m/s2, calcule la tensión en cada cuerda. FIGURA 4–37 Problemas 33 y 34. b) a) 33. (II) La figura 4-37 muestra dos cubetas de pintura, de 3.2 kg ca- FIGURA 4–40 Problema 37. 38. (II) En el instante en que comienza una carrera, un corredor de 65 kg ejerce una fuerza de 720 N sobre el bloque de partida a un ángulo de 22° con respecto al suelo. a) ¿Cuál es la aceleración horizontal del corredor? b) Si la fuerza se ejerció durante 0.32 s, ¿con qué rapidez salió el corredor del punto de partida? 39. (II) Una masa m está en reposo sobre una superficie horizontal sin fricción en t  0. Luego, actúa sobre ella una fuerza constante F0 durante un tiempo t0. Repentinamente la fuerza se duplica a 2F0 y permanece constante hasta t  2t0. Determine la distancia total recorrida entre t  0 y t  2t0. 40. (II) Las siguientes dos fuerzas actúa sobre un objeto de 3.0 kg: B F1 = A16 î + 12 ĵB N 34. (II) Considere ahora que las