Sur les indivisibles chez Pascal

SUR LES INDIVISIBLES CHEZ PASCAL1 Pascal est un génial penseur de l’infini comme il est un mathématicien virtuose des « méthodes des indivisibles ». On trouverait pourtant difficilement dans son œuvre de lien explicite d’un aspect à l’autre. Pis, les rares fois où il entreprend d’expliciter ses vues sur l’infini et les « indivisibles », dans l’opuscule De l’esprit géométrique2, c’est pour soutenir des thèses qui semblent aller contre leur usage en mathématiques. Critiquant ces hommes « très habiles » qui pensent qu’un espace pourrait être divisé en parties indivisibles, il se place sous la définition euclidienne des grandeurs homogènes pour rappeler qu’un indivisible ne saurait être homogène à une étendue et qu’on ne pourrait donc pas en faire une partie composant une étendue (OC III, 409). « Ceux qui ne seront pas satisfaits de ces raisons, et qui demeureront dans la créance que l’espace n’est pas divisible à l’infini, conclue-t-il, ne peuvent rien prétendre aux démonstrations géométriques » (OC III, 411). « Chose surprenante », commente Claude Merker, « le même auteur, Pascal, qui dénie toute existence aux indivisibles dans De l’esprit géométrique, affirme dans le célèbre avertissement de la Lettre à Carcavi : (...) C’est pourquoi je ne ferai aucune difficulté dans la suite d’user de ce langage des indivisibles »3. Abordant cette difficulté du commentaire, Dominique Descotes a proposé d’y discerner les traits d’une technicisation progressive de la notion qui aurait permis de la redéfinir selon une caractérisation d’apparence paradoxale, mais néanmoins rigoureuse4. Les définitions mathématiques étant libres, comme le rappelle justement De l’esprit géométrique, Pascal serait fondé à faire évoluer le sens du mot « indivisible » pour qu’il acquière cette nouvelle acception, sous réserve néanmoins et d’en avertir le lecteur et d’en appuyer l’usage sur des justifications. Dans cet article, nous nous proposons d’approfondir cette question et d’en tirer profit pour éclaircir les vues de Pascal sur les indivisibles. 1. Être un indivisible, être un néant Une partie des difficultés liées à l’usage des indivisibles chez Pascal provient de ce qu’on utilise 1 Textu paru dans Rabouin, D. et Cortese, J. F. N. “Sur les indivisibles chez Pascal”. In: Agnès Cousson (org.), Passions géométriques. Mélanges en l'honneur de Dominique Descotes. Paris: Honoré Champion, pp. 425-439. 2 OC III, 390-412. Les datations proposées pour cet opuscule sont incertaines et varient de 1655 à 1658. L’édition des Œuvres Complètes de Pascal par J. Mesnard, sera citée OC, suivie du numéro du volume et de la page. La numérotation des fragments des Pensées est donnée selon les éditions Sellier (Sel.) et Lafuma (Laf.). 3 C. Merker, Le chant du cygne des indivisibles, Presses universitaires de Franche-Comté, 2001, p. 39. 4 « La rédaction des Lettres de A. Dettonville de 1658 conduit Pascal à s’expliquer à fond sur sa conception des indivisibles. Il y est contraint par le fait que les thèses de L’esprit géométrique, à supposer qu’elles soient interprétées étroitement par quelque demi-habile, risquent de stériliser l’invention mathématique. Il est donc conduit à élaborer, sans contredire L’esprit géométrique, mais au contraire à partir de l’Esprit géométrique, une théorie dans laquelle le mot indivisible revêt non plus son sens strict, mais un sens technique, paradoxal en apparence, dans la mesure où l’indivisible est présenté à la fois comme homogène aux grandeurs d’ordre supérieur et comme divisible, mais tout aussi rigoureuse. Et pour accoutumer l’esprit de son lecteur à cette nouvelle rhétorique mathématique, il s’explique dans la Lettre à Carcavy par une série d’Avertissements qui, parallèlement à la marche de la démonstration, progressent par généralisation graduelle, partant des cas les plus simples et intuitivement évidents, à des cas plus complexes, et parfois difficiles à saisir. Insensiblement, la notion des indivisibles, qui est au départ presque purement intuitive, se transforme en un concept de plus en plus abstrait, à une opération quasi arithmétique, qui conduit le lecteur à raisonner sans plus s’attacher à la réalité concrète de la figure, mais à penser en termes de pure “géométrie calculante” » (D. Descotes, « Pascal’s indivisibles », dans V. Jullien (éd), Seventeenth Century Indivisibles Revisited, Birkhauser, 2015, p. 216-217. Nous remercions l’auteur de nous avoir aimablement communiqué la version française originale). souvent pour décrire sa pratique un vocabulaire qui n’est pas le sien. Ainsi doit-on commencer par rappeler qu’on trouve dans les Lettres de A. Dettonville des références aux « véritables règles », au « langage », à la « doctrine »5 ou à la « science » des indivisibles (10e Avertissement)6, mais que le mot « indivisible » lui-même n’y apparaît de manière isolée qu’une seule fois. Bien plus, pour désigner les éléments qui apparaissent dans les sommes et qui composent les dimensions supérieures, Pascal n’utilise jamais ce terme et parle de « portions régulières » ou de « petites portions égales »7. Or ces « petites portions » sont homogènes à la grandeur proposée. Les critiques classiques portées contre les indivisibles, à savoir que des éléments d'une dimension inférieure à une grandeur ne sauraient la constituer, ne s’y appliquent donc pas. Ainsi, héritant de l’appellation « science des indivisibles » pour un certain type de pratique mathématique, Pascal reste prudent sur la réalité des entités qui y sont impliquées. Penseur soucieux de la langue, il accepte de définir les termes librement en géométrie et en prévient d’ailleurs son lecteur : Je ne ferai aucune difficulté d’user de cette expression : la somme des ordonnées, qui semble n’être pas géométrique à ceux qui n’entendent pas la doctrine des indivisibles, et qui s’imaginent que c’est pécher contre la géométrie que d’exprimer un plan par un nombre indéfini de lignes ; ce qui ne vient que de leur manque d’intelligence, puisqu’on n’entend autre chose par là sinon la somme d’un nombre indéfini de rectangles faits de chaque ordonnée avec chacune des petites portions égales du diamètre, dont la somme est un plan, qui ne diffère de l’espace du demi-cercle que d’une quantité moindre qu’aucune donnée. (OC IV, 424) L’occurrence du mot « indivisible » isolé apparaît lors d’un résultat proposé juste après l’introduction des sommes pyramidales8. La somme des quantités A, B, C… multipliées chacune par le carré correspondant à sa position (1², 2², 3²…) est égale, écrit Pascal, à deux fois la somme pyramidale de ces quantités, moins leur somme triangulaire – ce que l’on peut représenter, avec des notations modernes, de la manière suivante : Dans cette somme, quand il y a « tant de quantités qu’on voudra » (OC IV, 430), on peut négliger le dernier terme, ce que Pascal exprime comme suit : Car ces carrés étant 1, 4, 9, etc., il s’ensuit que la somme des ordonnées, multipliées chacune par chacun de ces carrés, est la même chose que leur somme pyramidale prise deux fois, moins leur somme triangulaire prise une fois. Or cette somme triangulaire n’est qu’un indivisible à l’égard des sommes pyramidales. (OC IV, 431) Chose remarquable, l’unique occurrence du mot « indivisible » seul le fait donc apparaître dans un contexte purement relationnel. La somme triangulaire n’est pas un indivisible en soi. Elle ne le devient que par rapport à une autre somme. Dettonville justifie cette assertion du fait que la première possède « une dimension de moins » que la seconde. Il donne alors un certain nombre 5 Ces trois expressions apparaissent dans le 5e Avertissement de la Lettre de Monsieur Dettonville à Monsieur de Carcavy. C. Merker interprète ce passage comme témoignant d’un Pascal « nominaliste », utilisant une méthode des indivisibles sans indivisibles (op. cit., p. 39). 6 Si l’expression « méthode des indivisibles » ne se trouve pas, à proprement parler, les « véritables règles des indivisibles » sont bien qualifiées de « méthode » (OC IV, 424). 7 Autres désignations utilisées : « portions égales et indéfinies », « petites distances égales d'entre les plans voisins », « petites parties » ou « parties égales ». 8 Les sommes triangulaires et pyramidales sont construites par Pascal dans un contexte arithmético-géométrique. La somme triangulaire des quantités A, B, C à partir de A est égale à A+ B + C, plus B + C, plus C. De manière que la somme triangulaire de A, B, C… à partir de A est équivalente à 1.A + 2.B + 3.C ... . Quant à la somme pyramidale, elle est une somme simple de sommes triangulaires. La somme pyramidale des quantités A, B, C à partir de A est donc égale à la somme triangulaire de A, B, C, plus la somme triangulaire de B, C, plus la somme triangulaire de C, c’est-à-dire 1.A + 3.B + 6.C ... d’équivalents justifiant cette comparaison : Or cette somme triangulaire n’est qu’un indivisible à l’égard des sommes pyramidales, puisqu’il y a une dimension de moins, et que c’est la même chose qu’un point à l’égard d’une ligne, ou qu’une ligne à l’égard d’un plan, ou qu’un plan à l’égard d’un solide, ou enfin qu’un fini à l’égard de l’infini ; ce qui ne change point l’égalité. (OC IV, 431) Or si en effet « c’est la même chose », du point de vue dimensionnel, qu’un point à l’égard d’une ligne (ou une ligne à l’égard d’un plan, un plan à l’égard d’un solide), il n’en va pas de même du fini par rapport à l’infini. De fait, un segment fini et une ligne infinie, par exemple, ont la même dimension géométrique. On voit à nouveau l’importance du point de vue relationnel (« être un indivisible à l’égard de »), qui autorise à étendre l’expression « une dimension de moins » à des grandeurs qui ne sont pas de dimension différente du strict point de vue géométrique, mais relèvent plutôt de différents ordres de grandeurs. Pour comprendre cette extension, il faut se souvenir que c’est un principe maintes fois répétés par Pascal que le fini est un néant par rapport à l’infini. Une telle vue règle la hiérarchisation de valeurs mise en œuvre dans les Pensées, notamment dans le célèbre fragment sur la Disproportion de l’homme (Sel. 230, Laf. 199) : Que l’homme étant revenu à soi considère ce qu’il est au prix de ce qui est, qu’il se regarde comme égaré dans ce canton détourné de la nature, et que de ce petit cachot où il se trouve logé, j’entends l’univers, il apprenne à estimer la terre, les royaumes, les villes et soi-même, son juste prix. Qu’est-ce qu’un homme, dans l’infini ? Identifiant les deux infinis dans la nature, Pascal demande: « car enfin qu’est-ce que l’homme dans la nature ? ». La réponse est bien connue : « Un néant à l’égard de l’infini, un tout à l’égard du néant, un milieu entre rien et tout, infiniment éloigné de comprendre les extrêmes ». On voit bien ici le caractère relationnel de ce qui peut être tantôt un rien, tantôt un tout, en fonction de ce à quoi il est comparé9. Le fragment « Infini rien » nous rappelle que « L’unité jointe à l’infini ne l’augmente de rien, non plus qu’un pied à une mesure infinie. Le fini s’anéantit en présence de l’infini et devient un pur néant » (Sel. 690, Laf. 418). Des éléments d’un ordre de grandeur inférieur peuvent être négligés par rapport à un ordre supérieur, ce qui apparaît également dans le fragment des trois ordres (Sel. 339, Laf. 308), aussi bien que dans la conclusion du traité de la Sommation des puissances numériques, sur laquelle nous reviendrons. 2. « Indivisibles » et méthode Pour poursuivre l’enquête sur le sens des « indivisibles » dans la pratique mathématique de Pascal, il nous faut donc considérer leur contexte d’apparition privilégié, soit la « méthode » dans laquelle ils prennent sens. Il est courant de tracer une ligne d’opposition entre les méthodes des Anciens, dites « d’exhaustion », comme on les trouve chez Euclide ou Archimède, et la méthode des Modernes qui procède de manière « directe », par « passage à la limite ». La première propose des suites de figures inscrites et circonscrites, pour montrer ensuite, par une double reductio ad absurdum, et en les comparant à une aire égale à la figure qu'on cherche à mesurer, que celle-ci ne peut être ni plus petite que l'inscrite ni plus grande que la circonscrite, quand on prolonge les deux suites autant qu'on veut. La méthode des limites, au contraire, ne nécessite pas de passer par un procédé d’inscription et de circonscription : son approche directe permet de s’approcher indéfiniment de l’aire de la figure cherchée sans passer par des 9 Voir le commentaire de D. Descotes au fragment Sel. 540, Laf. 656 (Édition électronique des Pensées de Blaise Pascal, http://www.penseesdepascal.fr/, consulté le 25 février 2017). considérations par l’absurde. E. J. Dijksterhuis a proposé de qualifier la méthode ancienne de « passage indirect à la limite », car elle repose dans son principe sur l’inexhaustibilité de l’infini et ne devrait donc pas être qualifiée de méthode d’« exhaustion »10. Il montre d’ailleurs qu’il y a plusieurs formes de cette méthode chez Archimède : la méthode de compression, qu’on trouve le plus souvent, et la méthode d’approximation au moyen d’une seule suite convergente – qui ressemble beaucoup à la méthode moderne !11 Identifier une « méthode des anciens » n’est donc pas aussi simple qu’il y paraît. La chose est importante, car si Pascal utilise généralement une approche directe, il insiste sur le fait que l’expression des méthodes des indivisibles en termes de grandeurs homogènes permet de procéder d’une manière équivalente à « la manière des anciens » : J’ai voulu faire cet avertissement pour montrer que tout ce qui est démontré par les véritables règles des indivisibles se démontrera aussi à la rigueur et à la manière des anciens ; et qu’ainsi l’une de ces méthodes ne diffère de l’autre qu’en la manière de parler. (OC IV, 424) La différence entre les deux méthodes n’est donc pas substantielle à ses yeux. De fait, il est un premier point où la méthode de Pascal est encore très proche de celle des Anciens, c’est par son recours à un infini qui reste délibérément potentiel. Ainsi quand Pascal présente sa méthode générale pour les centres de gravité, il propose que la balance soit divisée « en tant de parties égales qu’on voudra » (OC IV, 417). Cette division se fait alors dans une multitude « indéfinie » de parties (OC IV, 423), c’est-à-dire en « une multitude ou un nombre plus grand qu’aucun nombre donné » (OC IV, 440)12. Nous nous écartons sur ce point de l’intéressante étude d’Antoni Malet13 : si effectivement il y a glissement de sens du mot « indivisible » au XVIIe siècle, le terme étant parfois compris comme un « infinitésimal » (une entité actuellement infiniment petite), cela ne semble pas être le cas chez Pascal. Les petites portions pascaliennes sont associées à des divisions indéfinies. Pourraiton leur donner un autre nom ? Une recension de 1864 sur deux livres de Hamilton propose de bannir des termes comme « infini » et « infinitésimal » des traités mathématiques, au profit d’« indéfini » et « indéfinitésimal »14. On pourrait ainsi déclarer que les petites portions avec lesquelles Pascal opère sont des « indéfinitésimaux ». Le point à noter est qu’il ne s’agit de calculer ni avec des « indivisibles » au sens propre (si par ceux-ci on entend des éléments nondivisibles, sans parties), ni avec des « infinitésimaux » (si par ceux-ci on comprend des éléments issus d’une division actuellement infinie). On peut également considérer un passage de Carnot à propos de la méthode de Pascal que rappelle la recension de 1864 : Il est clair […] qu’il [Pascal] attachait au mot indéfini la même signification que nous attachons au mot infini, qu'il appelait simplement petit ce que nous appelons infiniment petit, et qu'il négligeait sans scrupule ces petites quantités vis-à-vis des quantités finies15. 10 Archimedes [1956], Princeton University Press, 1987, p. 130-133. Pour cette dernière, une seule occurrence est préservée dans La Quadrature de la parabole (18-24). 12 « Aucun » doit s’entendre ici dans le sens qu’il avait encore au XVIIe siècle et qui correspond à son étymologie (aliquis unus) : un quelconque. Il s’agit donc de faire valoir que pour tout nombre fixé, il est possible d’en prendre un plus grand. Le caractère relationnel de cet infini est bien marqué du fait que Pascal utilise systématiquement pour s’y référer le terme « indéfini ». 13 From Indivisibles to Infinitesimals, Universitat Autonoma de Barcelona, 1996. 14 « The Conditioned and the Unconditioned », North American Review, Review 99, n. 205, oct. 1864, p. 431. La recension, publiée comme anonyme, a été postérieurement attribuée à F. E. Abbot (The collected essays of Francis Ellingwood Abbot (1863-1903), American philosopher and free religionist, vol. IV, New York, Edwin Mellen, 1996, p. 418). 15 Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, 3 éd., Paris, 1839, p. 145-146. 11 Carnot a raison sur le fait qu’il faut négliger ces quantités, mais doit-on pour autant considérer que l’indéfini pascalien est équivalent au sens que « nous » attachons au mot infini ? Uniquement si « nous » entendons par là un infini « potentiel ». Quant à la traduction complète dans la méthode des Anciens, c’est-à-dire à l’aide d’un raisonnement par l’absurde, Pascal l’a lui-même entreprise dans la dernière des Lettres de A. Dettonville16. Il s’agit de démontrer que la spirale archimédienne est égale à une certaine parabole, fait déjà observé par Roberval et par Torricelli (dans un manuscrit non publié). La démonstration, dit Pascal, sera faite sans s'arrêter « ni aux méthodes de mouvements, ni à celles d'indivisibles, mais en suivant celles des anciens, afin que la chose pût être désormais ferme et sans dispute » (OC IV, 543. Nous soulignons). La résolution procède par figures inscrites et circonscrites, et compte trois parties. On suppose tout d’abord que la différence entre les deux lignes est égale à 3Z (Z étant une ligne fixée qu’on se donne pour mesurer l’erreur). On montre alors : 1. que la différence entre l’inscrite à la parabole et l’inscrite à la spirale peut être rendue moindre que Z ; 2. que la différence entre la circonscrite à la parabole et la circonscrite à la spirale peut être rendue moindre que Z ; 3. que la différence entre l’inscrite à la parabole et la circonscrite à la parabole peut être rendue moindre que Z17. Dans la démonstration, on retrouve plusieurs raisonnements a fortiori, qui peuvent être traduits sous la forme : si une quantité B est moins grande que A, et si C est moins grande que B, alors à plus forte raison C est moins grande que A. Cela va avec l’approximation successive de la grandeur à calculer. Pour la démonstration finale, Pascal somme ces trois différences pour conclure que l’ensemble (qui représente la différence entre la parabole et la spirale) est moindre que 3Z. L’absurdité à laquelle on parvient (3Z est plus petit que lui-même) indique que cette différence ne peut donc être que nulle. Dominique Descotes écrit à ce sujet : L’inconvénient de cette méthode est qu’elle exige de très longues démonstrations ; les indivisibles au contraire vont directement à ce que Montucla appelle le « dernier terme de ces divisions et sous-divisions continuelles », où la différence des figures peut être considérée comme nulle18. De fait, la méthode des Anciens concerne une suite d’inégalités de rapports. La méthode des indivisibles, elle, est « directe » au sens où l’on n’a pas à considérer une suite de valeurs : on se donne dès le départ un élément suffisamment petit (mais quelconque) pour que le calcul soit valable. Dans le cas des Lettres de A. Dettonville, il s’agit d’une division « indéfinie » qui arrive à des « petites portions ». Mais contrairement à Montucla, nous ne pensons pas qu’il faille alors parler d’un « dernier terme », comme pourrait l’être un élément issu d’une division actuellement infinie. Ce serait reproduire tous les paradoxes des indivisibles sur lesquels Pascal a justement mis en garde et sur lesquels nous allons revenir dans la troisième section. Il nous semble plus important de remarquer que la Lettre à ADDS ne reprend en fait la « méthode des anciens » qu’à l’enrichir d’un traitement nouveau, centrée sur l’idée de différence19. Ce traitement est La Lettre à M. ADDS en lui envoyant la démonstration à la manière des anciens de l’égalité des lignes spirale et parabolique (OC IV, 542-558), ADDS étant « Arnauld, docteur de la Sorbonne ». 17 Pour le détail des calculs, voyez Descotes, art. cit., p. 241-245. Comme le rappellent Descotes et Mesnard (OC IV, 558), des critiques à la démonstration de Pascal ont été faites par Sluse, Fermat et Huygens. En effet, la deuxième partie de la démonstration – montrer que la différence entre les figures circonscrites est moindre que Z – n’intervient nulle part. D’ailleurs, Pascal se sert du fait que la différence entre l’inscrite et la circonscrite à la spirale est moindre que Z sans le démontrer. 18 D. Descotes, L’argumentation chez Pascal, P.U.F., 1993, p. 214. La référence est à Montucla, Histoire des mathématiques, t. 2, IV, I, 2e éd, Paris, 1799, p. 27. 19 Whiteside indique également que l'originalité de l'approche pascalienne dans la Lettre à ADDS par rapport à la méthode archimédienne de l' « exhaustion » réside dans son usage de la notion de « différence » (« Patterns of Mathematical Thought in the later Seventeenth Century », Archive for History of Exact Sciences, vol. 1, 1961, p. 16 également un aspect essentiel de la méthode « des indivisibles » utilisée dans la plupart des Lettres de A. Dettonville – lesquelles ne procèdent pas en général par double réduction à l'absurde comme la Lettre à ADDS, mais sont néanmoins fondées sur le fait que la différence peut être faite « moindre qu'aucune grandeur donnée ». 3. De l’esprit géométrique Maintenant que nous avons une vue plus claire sur la manière dont les « indivisibles » interviennent dans la terminologie et la pratique de Pascal, il devient possible de lire avec des yeux nouveaux le célèbre passage de l’opuscule De l’esprit géométrique qui leur est consacré. En première apparence, on l’a rappelé, il contredit très directement l’esprit des « méthodes des indivisibles ». Pascal entre dans la question en demandant : « Ainsi un espace, quelque petit qu’il soit, ne peut-il pas être divisé en deux, et ces moitiés encore ? Et comment se pourrait-il faire que ces moitiés fussent indivisibles sans aucune étendue, elles qui, jointes ensemble, ont fait la première étendue ? » (OC III, 403). Est donc posé d’emblée qu’il n’est pas possible d’atteindre des « indivisibles » en prenant des « petites portions » d’un espace sous peine de ne plus pouvoir les recomposer ensuite en une étendue. C’est clairement pour les besoins de l’argumentation que Pascal va néanmoins s’engager dans une discussion avec des hommes « très habiles » qui ont pu défendre l’existence d’indivisibles conçus comme parties ultimes et dont il va montrer que leur réticence provient des mystères liés à la composition du continu20. Il va alors s’employer à montrer que l’existence d’indivisibles en lesquels la division du continu géométrique s’achèverait ne serait pas moins mystérieuse et qu’il n’y a donc pas de raison de refuser un mystère qui fonde les démonstrations géométriques au profit d’un mystère qui les empêche. Avant d’entrer dans les détails de cette discussion, il ne sera pas inutile de rappeler le mouvement d’ensemble où elle prend sens. L’opuscule De l’esprit géométrique peut, à certains égards, être considéré comme une sorte de Contre-Discours de la Méthode. Partant du même constat que Descartes, selon lequel on ne peut comprendre ce qu’est une démonstration sans se référer au modèle de la géométrie (OC III, 391-392) et selon lequel il faut s’efforcer de partir, autant que faire se peut, d’idées qu’on ne peut éclaircir plus avant, Pascal va mettre ce modèle à l’épreuve en montrant qu’il est « absolument impossible » à réaliser. Pour cela, il va procéder par l’absurde en supposant donnée la « véritable méthode » qui « consisterait en deux choses principales : l’une, de n’employer aucun terme dont on n’eût auparavant expliqué nettement le sens ; l’autre, de n’avancer jamais aucune proposition qu’on ne démontrât par des vérités déjà connues ; c’est-à-dire, en un mot, à définir tous les termes et à prouver toutes les propositions » (OC III, 393). Après avoir précisé ce qu’il entend par définition (et qui correspond à ce que les géomètres appellent « définition de nom »), Pascal délivre sa démonstration en reprenant l’argument ancien de la régression à l’infini : Aussi, en poussant les recherches de plus en plus, on arrive nécessairement à des mots primitifs qu’on ne peut plus définir, et à des principes si clairs qu’on n’en trouve plus qui le soient davantage pour servir à leur preuve. D’où il paraît que les hommes sont dans une impuissance naturelle et immuable de traiter quelque science que ce soit dans un ordre absolument accompli. (OC III, 395) Le premier constat ne serait pas contesté par Descartes qui a toujours critiqué la manie de 341). « Je n’ai jamais connu personne qui ait pensé qu’un espace ne puisse être augmenté. Mais j’en ai vu quelques-uns, très habiles d’ailleurs, qui ont assuré qu’un espace pouvait être divisé en deux parties indivisibles, quelque absurdité qu’il s’y rencontre. Je me suis attaché à rechercher en eux quelle pouvait être la cause de cette obscurité, et j’ai trouvé qu’il n’y en avait qu’une principale, qui est qu’ils ne sauraient concevoir un continu divisible à l’infini : d’où ils concluent qu’il n’y est pas divisible » (OC III, 404). 20 vouloir définir à tout prix ce dont nous avons une idée claire et distincte21. Mais la force de Pascal, comme on le voit dans la seconde phrase, est de retourner ce raisonnement contre luimême. De fait, l’absence de définition, et donc de traits distinctifs, obligent à qualifier les notions primitives de « constantes » (au sens d’« entendues de tous les hommes ») et non de « distinctes » (au sens où l’on pourrait en exhiber des marques distinctives). L’ordre géométrique, avance-t-il, ne suppose donc « que des choses claires et constantes par la lumière naturelle, et c’est pourquoi il est parfaitement véritable, la nature le soutenant au défaut du discours » (OC III, 395). Le déplacement peut sembler insensible, mais il enferme une contestation d’importance : les notions dont on part peuvent bien être claires, et même parfaitement « évidentes »22, sans être pour autant distinctement comprises. C’est en ce point que Pascal va porter le fer d’une deuxième attaque. Car les trois principaux objets des mathématiques qu’on ne saurait définir : « mouvement, nombre, espace » (décalqué du Deus fecit omnia in pondere, in numero, et mensura de Sagesse 11, 21) ont également « une liaison réciproque et nécessaire » et même des « propriétés communes, (…) dont la connaissance ouvre l’esprit aux plus grandes merveilles de la nature ». Or, à la surprise du lecteur, le premier (et le seul) exemple de telle propriété commune est donné par… l’infini (OC III, 402). Cette caractérisation de la « liaison » des objets mathématiques se retrouve en plusieurs endroits de l’œuvre pascalienne. Elle apparaît notamment dans le traité sur la Sommation des puissances numériques dans un passage qu’il nous faut citer en son entier puisqu’y interviennent justement et les questions d’incomparabilité entre ordre de grandeurs et l’étude des indivisibles : … dans le cas d’une quantité continue, des quantités d’un genre quelconque, ajoutées, autant qu’on veut, à une quantité d’un genre supérieur, ne lui ajoutent rien de plus. Ainsi les points n’adjoignent rien aux lignes, les lignes aux surfaces, les surfaces aux solides, ou, pour employer le langage des nombres dans un traité consacré aux nombres, les racines n’apportent rien par rapport aux carrés, les carrés par rapport aux cubes, les cubes par rapport aux carréscarrés, etc. C’est pourquoi les degrés inférieurs, se révélant comme de valeur nulle [nullius valoris existentes], ne doivent pas être considérés. Ces points sont familiers à ceux qui ont étudié les indivisibles, mais j’ai cru bon de leur consacrer cette addition, afin que la liaison, jamais suffisamment admirée, par laquelle la nature amoureuse d’unité engage vers l’un les choses les plus éloignées en apparence, ressorte de cet exemple, où l’on peut voir la dimension d’une quantité continue couplée avec la sommation des puissances numériques. (OC II, 1271 1272 ; italiques dans l’original ; traduction modifiée) On ne saurait être plus loin de Descartes en posant ainsi au titre des notions claires et connues par la lumière naturelle, qui font la liaison des nombres et des grandeurs, ce qui aurait été pour lui le lieu par excellence de l’incompréhensibilité. Cette conviction était d’ailleurs pour Descartes au principe de sa caractérisation des objets acceptables en géométrie et de son refus des techniques infinitésimales (dont sa correspondance nous montre qu’il les maîtrisait pourtant). Or c’est précisément en ce point que s’engage dans De l’esprit géométrique la discussion sur les indivisibles. Le cœur de l’argument est de contester qu’un principe incompréhensible ne puisse pas être clair : C’est une maladie naturelle à l’homme de croire qu’il possède la vérité directement ; et de là vient qu’il est toujours disposé à nier tout ce qui lui est incompréhensible ; au lieu qu’en effet il ne connaît naturellement que le mensonge, et qu’il ne doit prendre pour véritables que les Voyez par exemple Principes de la philosophie I, 10 : « Qu’il y a des notions d’elles-mêmes si claires qu’on les obscurcit en les voulant définir à la façon de l’École, et qu’elles ne s’acquièrent point par étude, mais naissent avec nous ». 22 « De sorte que le manque de définition est plutôt une perfection qu’un défaut, parce qu’il ne vient pas de leur obscurité, mais au contraire de leur extrême évidence » (OC III, 401). 21 choses dont le contraire lui paraît faux. (OC III, 404) D’où une stratégie qui va consister à montrer que ceux qui soutiennent l’existence de « parties indivisibles » au motif de l’incompréhensibilité de la division à l’infini du continu se trouvent en fait défendre une position non moins incompréhensible. Le reste de la démonstration est alors classique. Il s’agit tout d’abord de montrer l’absurdité qui résulterait du fait qu’on considère un continu composé d’un nombre fini d’indivisibles23. On pourrait croire que la difficulté provient simplement du fait de n’avoir pas su considérer un nombre infini d’indivisibles24. Mais la suite montre que le problème est bien à situer dans la question de l’hétérogénéité et dans le principe, plusieurs fois répété par Pascal, que deux néants d’étendue ne sauraient composer une étendue. Pour cela, il doit alors affronter l’objection que les unités, elles-mêmes non divisibles, ne sont pas des nombres (ainsi qu’on le considérait depuis les Anciens), alors que leur composition permet bien de produire des quantités (OC III, 407). Pascal, poursuivant des arguments déjà avancés par Stevin au début de son Arithmétique25, montre alors que le parallèle entre l’unité et l’indivisible repose sur une équivoque et masque leur profonde différence de nature, l’une étant homogène et l’autre hétérogène. Cette clarification faite, il devient possible d’« achever et consommer la démonstration » en montrant finalement que deux indivisibles ne sauraient former une étendue sous peine d’avoir des parties communes et donc de n’être pas indivisibles. De fait, un « indivisible, multiplié autant qu’on voudra, ne fera jamais une étendue. Donc il n’est pas de même genre que l’étendue, par la définition des choses du même genre ». Si donc on veut opérer un parallèle avec le traitement des nombres, c’est face au zéro qu’il devrait figurer (OC III, 410). Comme on l’a vu, une lecture répandue de ce développement y voit une critique pure et simple de l’existence des indivisibles conçus en termes de parties infiniment petites26. Mais une chose est de critiquer la composition du continu à partir d’indivisibles, autre chose de leur dénier toute existence. Ce serait nier, en effet, l’existence de grandeurs hétérogènes les unes aux autres, comme peuvent l’être justement le point et la ligne, ce que Pascal se garde bien de faire. Une part des malentendus provient ici de la lecture suivante : sur la base des critiques contenues dans De l’esprit géométrique, il paraît que les « indivisibles » dont il s’agit de prendre les « sommes » dans la « doctrine des indivisibles » ne sauraient être des grandeurs hétérogènes, puisqu’une somme de tels indivisibles ne produirait jamais une étendue. On en conclut alors qu’« indivisibles » doit se comprendre comme une grandeur homogène prise « aussi petite qu’on voudra », comme semble en avertir Pascal en ouverture de ses Lettres de A. Dettonville et qu’il en a donc a minima changé le sens. Mais c’est là une lecture un peu rapide. Que nous dit, en effet, Pascal ? Que par « somme de lignes », il ne faut rien entendre d’autre que « la somme d’un nombre indéfini de rectangles faits de chaque ordonnée avec chacune des petites portions égales du diamètre, dont la somme est un plan, qui ne diffère de l’espace du demi-cercle que d’une quantité moindre qu’aucune donnée ». L’argument a donc deux parties : tout d’abord, le langage des indivisibles utilise un vocabulaire de surface qui renvoie en apparence à des Pour cela Pascal prend l’exemple de deux carrés qu’on supposerait constitués d’un nombre fini d’indivisibles et dont l’un serait le double de l’autre – situation impossible puisque le plus grand devrait être de côté √2 le côté du plus petit (OC III, 407). 24 C’est ce que semble d’ailleurs avoir compris un des copistes du manuscrit qui a substitué « indivisibles » à « divisibles » dans le raisonnement qui suit : « il faut les avertir qu’ils ne doivent pas comparer des choses aussi disproportionnées qu’est l’infinité des divisibles avec le peu de temps où ils sont parcourus ; mais qu’ils comparent l’espace entier avec le temps entier, et les infinis divisibles de l’espace avec les infinis instants de ce temps ; et ainsi ils trouveront que l’on parcourt une infinité de divisibles en une infinité d’instants, et un petit espace en un petit temps ; en quoi ils ne trouvent plus la disproportion qui les avait étonnés » (OC III, 406). 25 Simon Stevin, The Principal Works of Simon Stevin, vol. II B, p. 498. 26 Voyez la citation de C. Merker, op. cit., rappelée dans notre introduction (et note 2). 23 hétérogènes (typiquement des « somme de lignes ») alors que ce qu’on manipule consiste en fait en « petites portions » homogènes. Ceci règle le problème de la composition (ou de la sommation). Mais ces « petites portions », Pascal ne les qualifie jamais d’« indivisibles » et ce sont les commentateurs qui y voient une redéfinition de ce terme. Bien plus, les rares fois où il emploie le mot « indivisible » seul, que ce soit dans les Lettres de A. Dettonville ou dans le traité sur la Sommation des puissances numériques, c’est toujours selon une acception relationnelle (une grandeur dont l’ordre est négligeable par rapport à celui d’une autre). Or ce sens relatif apparaît dans la deuxième partie de la définition, où il s’agit d’identifier la « somme des lignes » à la surface considérée. Ceci ne peut fonctionner, nous dit Pascal, qu’à montrer que la différence entre les deux surfaces produites ne diffère que d’une quantité moindre qu’aucune donnée – un procédé dont on a vu qu’il est au cœur de sa réinterprétation de la méthode des anciens et fonde sa conviction que les deux méthodes sont équivalentes. Le passage à la limite suppose, en effet, de produire une différence qui peut être rendue plus petite qu’aucune grandeur donnée et qui apparaît donc, pour reprendre l’expression de la Sommation des puissances numériques, de « valeur nulle » (nullius valoris existens). Si indivisible il y a, c’est donc plutôt du côté de la différence et dans une situation relationnelle très proche de celle que nous utilisons aujourd’hui pour définir les limites : on peut toujours prendre les « petites portions » suffisamment petites pour que la différence entre les deux quantités considérées soit plus petite qu’une grandeur quelconque donnée. Tel semble être le vrai cœur de la méthode « des indivisibles ». Ainsi il s’agirait moins de changer le sens du mot « indivisible » que de faire valoir deux utilisations du terme : l’un absolu, où il renvoie à des entités géométriques qu’on ne saurait diviser (typiquement des points sur une ligne), l’autre relatif où il renvoie à ces « zéros d’étendue » sans lesquels la « méthode des indivisibles » ne peut pas opérer ses passages à la limite. A mettre trop vite les « petites portions » sur le même plan que les « différences », on manque cette articulation subtile des acceptions pascaliennes et la façon très moderne dont elle dote la manipulation des « infiniment petits » d’un caractère relationnel. Or, comme nous avons essayé de le montrer, ce sens relationnel n’entre nullement en tension avec les explications contenues dans De l’esprit géométrique. Il l’accompagne au contraire naturellement à partir du moment où l’on accepte que quelque chose puisse se comporter « comme » un indivisible, quand il peut être considéré « de valeur nulle », et y agit donc comme un « zéro d’étendue ». João F. N. CORTESE Laboratoire SPHERE UMR 7219, Université Paris Diderot, et Universidade de São Paulo David RABOUIN Laboratoire SPHERE UMR 7219, Université Paris Diderot, Sorbonne Paris Cité, CNRS Références ABBOT, Francis Ellingwood, The collected essays of Francis Ellingwood Abbot (1863-1903), American philosopher and free religionist, vol. IV, New York, Edwin Mellen, 1996. CARNOT, Lazare, Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, 3 éd., Paris, 1839. DESCOTES, Dominique, L’argumentation chez Pascal, P.U.F., 1993. DESCOTES, Dominique, Blaise Pascal : littérature et géométrie, Presses Universitaires Blaise Pascal, 2001. DESCOTES, Dominique, « Pascal’s indivisibles », dans V. 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