Introducción al Electromagnetismo

Introducción al Electromagnetismo 1 INTRODUCCIÓN AL ELECTROMAGNETISMO. Enrique Cantera del Río Introducción Fenomenología eléctrica de los metales y definición del campo eléctrico. Componentes Intrínsecas de un campo vectorial: Teorema de Helmholtz. Caso de campos electrostáticos y magnetostáticos. Solución general de la ecuación de Poisson para el potencial electrostático en un medio dieléctrico. Aplicación al caso de un conductor en el campo creado por una distribución de carga externa. Condiciones de frontera conductor-dieléctrico del campo estático y forma integral de las ecuaciones de Maxwell. Corriente eléctrica. Condiciones de contorno del campo en un cable conductor. Interpretación energética de los resultados. El campo eléctrico en medios no conductores. Visualización del campo magnético y fuerza de Lorentz. Las ecuaciones de Maxwell para campos variables con el tiempo. La fuerza de Lorentz en el contexto de campos variables con el tiempo. Conservación del impulso mecánico, del impulso angular y de la energía en un campo electromagnético. Potenciales del campo electromagnético. Calculo vectorial y campo magnético. Fuerzas y momentos sobre un circuito. Desarrollo multipolar de los potenciales estáticos eléctrico y magnético. Energía electromagnética y energía potencial. El cruce de caminos entre el electromagnetismo y la mecánica cuántica : Origen físico de las corrientes de Ampère y la magnetización de la materia. Fuentes que varían armónicamente con el tiempo. Ampliación del desarrollo multipolar para estas fuentes. Discontinuidades del campo electromagnético en medios lineales. Óptica básica y Electromagnetismo. Penetración de una onda electromagnética en un metal en incidencia normal. Efecto pelicular. Energía e impulso de una onda electromagnética plana en un medio dieléctrico. Introducción al Electromagnetismo 2 Insuficiencia del electromagnetismo clásico en situaciones físicas que incluyen el movimiento relativo de observadores. El electrón, la corriente de polarización y el principio de relatividad. Electrodinámica relativista y espacio de Minkowski: Energía potencial y relatividad especial. Formalización de vectores y tensores en cualquier espacio vectorial. Generalización del producto vectorial y del producto escalar. El momento angular en relatividad. El tensor densidad de energía/impulso. Controversia Abraham-Minkowski. Invariantes asociados al campo electromagnético. El campo electromagnético de una carga acelerada en el vacío. Variación de la constante dieléctrica de un medio material con la frecuencia del campo electromagnético. Teoría de Drude del electrón libre. El efecto Hall. Rayos Catódicos y emisión termoiónica. Campo gravitatorio versus campo eléctrico. Nota sobre distribuciones de carga generalizadas. Introducción al Electromagnetismo 3 Introducción La naturaleza eléctrica de la materia es un concepto que ha ido evolucionando desde tiempo inmemorial. La electrización por frotamiento del ámbar fue conocido y documentado en tiempos de la Grecia clásica. De hecho la palabra griega para ámbar es “electron”. Por supuesto también eran conocidas las propiedades de los imanes naturales. Hitos históricos de progreso en el camino de la naturaleza eléctrica de la materia fueron 1-El manejo de la botella de Leyden, el primer acumulador eléctrico, la distinción entre carga positiva y carga negativa y la evidencia de la corriente eléctrica y la conservación de la carga. 2-Ley de Coulomb de la fuerza entre dos cargas eléctricas puntuales q,Q separadas una distancia d: F=kqQ/d2; k es una constante dependiente del medio en el que están las cargas: aire, vacío, cristal… Dos cargas eléctricas puntuales se atraen si son de signos contrarios y se repelen si son del mismo signo según la ley del inverso del cuadrado de la distancia entre ellas. 3-Las leyes de la electroquímica, en las que se muestra que la corriente eléctrica está íntimamente relacionada con cambios de la naturaleza química de la materia. 4-Las leyes de Maxwell del campo electromagnético y su aplicación a medios materiales mediante los conceptos de corriente de conducción, polarización y magnetización. 5-La ley de Ohm y la teoría de circuitos eléctricos. 6-El descubrimiento del electrón, las partículas alfa y el experimento de Rutherford que establece la estructura eléctrica interna de los átomos. Un duro trabajo de experimentación y abstracción conceptual de varios siglos del que sin duda somos beneficiarios actualmente, tal vez incluso de modo inconsciente. Por supuesto en todo momento los experimentos utilizaron metales tanto para acumular la carga eléctrica como para conducir la corriente eléctrica. Fenomenología eléctrica de los metales y definición del campo eléctrico en el interior de un metal. En química los metales son conocidos por la facilidad con que sus átomos ceden electrones en las reacciones químicas y tienden a formar iones de carga positiva en disolución. En un trozo de metal homogéneo tenemos una red de átomos iguales con parte de sus electrones formando algo similar a un gas confinado solo por los límites geométricos del volumen material. Como prueba de esto, tomemos un trozo de metal que podemos acelerar, por ejemplo dejándolo caer desde cierta altura. Si hacemos una medida de la diferencia de potencial eléctrico entre los extremos del metal en el momento del impacto veremos que el sensor ofrece una medida no nula. La causa de esto es que en el impacto los átomos de la red metálica frenan muy rápidamente, mientras que el gas eléctrico interacciona muy débilmente con los átomos de la red y Introducción al Electromagnetismo ΔV 4 sigue moviéndose por inercia acumulándose en el extremo correspondiente del metal sometido a impacto. Aparentemente, solo las fuerzas presentes en los límites físicos del material hacen que los electrones se mantengan en el interior del volumen geométrico del metal. Esta es la <J> hipótesis clásica del electrón libre en conductores. Si se repite este experimento con materiales no conductores como plásticos el sensor no mide diferencia de potencial en el impacto. Por tanto un metal es una especie de contenedor de gas eléctrico, gas que rebota en los límites físicos del metal y con los iones de la red cristalina (ver mas adelante sección sobre teoría de Drude). El efecto de un campo eléctrico en los metales es un concepto fundamental de la teoría electromagnética conocido como la Ley de Ohm. Se puede ilustrar la ley de Ohm fácilmente con recursos de la mecánica básica. Imaginemos un plano inclinado como el de los problemas de mecánica. Si una partícula cae por el plano sabemos que lo hace de forma acelerada. Para una corriente de partículas, despreciando la interacción entre las propias partículas de corriente, el movimiento será también acelerado; lo cual puede suponer una variación espacial en la densidad de corriente J=ρv a medida que la corriente baja por el plano. Como veremos mas adelante, la densidad de carga neta en volumen (no en superficie) en un cable que conduce corriente es nula y por tanto la densidad de carga móvil o conductora ρ debe ser constante de modo que compense en cada punto interno del cable conductor la carga no conductora inmóvil de la red atómica, distribuida uniformemente por todo el metal. Esta densidad ρ de carga de conducción constante se consigue, despreciando interacciones entre partículas de la propia corriente, mediante choques aleatorios entre las partículas de la corriente y partículas de la red atómica fija. En la analogía mecánica del dibujo es como si hubiese obstáculos rígidamente unidos al plano y distribuidos en su superficie y las partículas de corriente chocan aleatoriamente con ellas. En estos choques las partículas pierden cierta cantidad de energía cinética que se transforma en calor : vibraciones y aumento de la temperatura de la red atómica; lo cual es una explicación física del efecto Joule o calentamiento de conductores afectados por corrientes eléctricas. Desde este punto de vista existe una densidad de carga de conducción media <ρ> y una velocidad promedio <v> de las partículas que forman la corriente, produciendo una densidad de corriente por unidad de volumen J=<ρ><v> y una intensidad de corriente I tal que I=JS (S= área de la sección recta del conductor perpendicular a la dirección de la corriente), constantes y relacionadas causalmente con diferencia de potencial ΔV según la Ley de Ohm. Desde el punto de vista mecánico los choques se pueden modelar como una fricción o rozamiento y la velocidad constante <v> es un caso de velocidad terminal. En el electromagnetismo clásico las corrientes eléctricas se tratan análogamente a corrientes de la mecánica de fluidos: existe un campo de densidad ρ(x,y,z,t) y un campo de velocidades v(x,y,z,t) ambos sin discontinuidades esenciales (valores infinitos). En el nivel de molécula de fluido o de partícula cargada, el movimiento es aleatorio en general; pero es válido tomar elementos de corriente que sean lo suficientemente pequeños para utilizar el cálculo diferencial y los suficientemente grandes como para presentar unos valores medios bien definidos y consistentes con campos continuos de densidad y velocidad. Introducción al Electromagnetismo 5 La Ley de Ohm es consistente con nuestra analogía de modo que la diferencia de potencial eléctrico ΔV es proporcional a la corriente y por definición el campo eléctrico en el interior del conductor verifica también una relación de proporcionalidad con la densidad de corriente en volumen. De este F medio dielectric o no conductor  modo la definición completa de campo eléctrico  q E es: Jc medio conductor osea, para un medio no conductor como el   vacío o el aire el campo es la proporción entre la fuerza sobre una carga Δq ,en reposo para el observador, tan pequeña como queramos y el valor de la propia carga. Para un conductor el campo eléctrico es la proporción entre la densidad de corriente de conducción Jc y la conductividad ς de un conductor también en reposo relativo al observador; ς varía con el metal específico, la temperatura y la presión; y como veremos también con la frecuencia en el caso de corrientes alternas. Imaginemos ahora que un metal se coloca en una zona fija en la que actúa un campo eléctrico externo E que no varía con el tiempo. Según la ley de Ohm se producirán corrientes en el conductor y sabemos que estas corrientes generan calor (efecto Joule). Desde luego el metal no generará calor de forma ilimitada y según la termodinámica y la experiencia, el conductor llegará a unas condiciones de equilibrio en el que desaparecen toda corriente en el metal J=0; lo que según la definición anterior significa que en el interior del metal tenemos E=0 en el equilibrio termodinámico. En consonancia con esto, todo el volumen del metal se mantiene al mismo potencial, es decir, no hay diferencia de potencial entre cualesquiera dos puntos del metal, sean puntos interiores o superficiales. Este resultado es la base de la jaula Fáraday y significa que un campo eléctrico puede ser totalmente apantallado en el interior de un conductor. Sin embargo la experiencia nos dice que debemos ser mas sutiles en nuestros argumentos y distinguir entre el campo en el interior del conductor y el campo en la superficie del conductor. En la superficie el campo puede tener cierto valor no nulo y aún así no producir una corriente eléctrica. Basta con que la dirección del campo sea siempre perpendicular a la superficie. Si el campo superficial no tiene una componente vectorial tangencial a dicha superficie, no puede provocar ningún movimiento de cargas en la zona superficial y cualquier corriente posible supone que los electrones saldrían fuera del metal. Pero en este punto debemos recordar la existencia de las fuerzas internas que confinan el gas eléctrico dentro del volumen del metal. Son estas fuerzas, que no son de tipo eléctrico sino químico, las que entran en juego cuando se llega al equilibrio termodinámico. Al introducirlo en el campo y llegar al estado de equilibrio, el metal estará polarizado debido a que los electrones se moverán inicialmente en la dirección opuesta al campo externo. Dado que en el estado de equilibrio el campo interno del conductor es nulo, la densidad de carga neta interna es nula también, y la polarización afecta exclusivamente a la zona superficial del conductor de modo que la redistribución de los electrones superficiales provoca una densidad superficial de carga. Evidentemente esta densidad superficial de carga supone una modificación del campo externo inicial de modo que, en el equilibrio termodinámico, el campo final resultante será perpendicular a la superficie del metal aunque el campo inicial no lo fuese. Finalmente podemos ver en la física del efecto fotoeléctrico la naturaleza cuántica de las fuerzas que mantienen confinado el gas eléctrico. Precisamente este efecto supone la extracción de electrones superficiales en un metal mediante fotones. La explicación teórica se basa en la conservación de la energía y necesita incluir un término conocido Introducción al Electromagnetismo 6 como trabajo de extracción, que es la energía necesaria para superar las fuerzas internas que mantienen a cada electrón de conducción confinado en el metal. Sin embargo de lo dicho, existe una importante limitación a la Ley de Ohm en conductores cuando actúa un campo magnético externo conocida como Efecto Hall, que se trata con mas detalle en una sección posterior. Es importante hacer una consideración del papel de los medios dieléctricos. Estos medios se describen mediante su constante dieléctrica ε, relacionada con comportamientos del medio a escala atómica mediante la polarización producida por el campo de las moléculas del medio. Es importante también el carácter lineal del medio, es decir, la acción de dos campos produce un campo único que es la suma lineal de los dos campos considerados de forma independiente, y la polarización en el medio es también la suma lineal de la polarización producida independientemente por cada campo. Si la intensidad del campo es suficientemente alta se pueden producir fenómenos de ruptura eléctrica del medio asociados a cambios químicos bruscos por la excesiva polarización y la linealidad previa del medio se pierde. El medio eléctrico debe tener un comportamiento físico lo mas estable posible de modo que no consideraremos medios eléctricos de comportamiento turbulento sino que su estado debe ser próximo al equilibrio termodinámico con parámetros de temperatura, presión, composición química aproximadamente constantes. La ruptura eléctrica de un medio es un proceso alejado del equilibrio termodinámico. Esta consideración sobre la proximidad del equilibrio termodinámico es válida también en medios metálicos o conductores de la electricidad. Dentro de estas consideraciones incluimos al vacío, que es también un medio físico válido para las fuerzas electromagnéticas y no se ve afectado por cuestiones termodinámicas, aunque si puede verse afectado por campos gravitatorios. El vacío, pese a la ausencia de materia, es también un medio polarizable y lineal y tiene una constante dieléctrica ε0. La polarización del vacío es un fenómeno cuántico producido por la continua creación y destrucción de pares virtuales partícula-antipartícula, como por ejemplo electrónpositrón. Si estos pares interactúan con la materia es posible la creación de partículas reales, lo que vendría a ser la ruptura eléctrica del vacío. Por supuesto y debido a la naturaleza atómica de la materia el vacío es un medio preexistente y compartido con cualquier otro medio físico. Finalmente también existen materiales semiconductores, de modo que el material se comporta como conductor si el campo eléctrico tiene cierto sentido y como dieléctrico si el campo eléctrico tiene sentido opuesto. El Teorema de Helmholtz. Fuentes de un campo vectorial. Caso de campos electrostáticos y magnetostáticos. El lenguaje materno de la teoría electromagnética, y de la física básica, es el cálculo vectorial y la honesta comprensión de esta teoría requiere el conocimiento y utilización de este lenguaje. El análisis de campos vectoriales se basa en los conceptos de integral de línea e integral de superficie y los conceptos asociados de divergencia y rotacional de un campo. Una introducción mas detallada al cálculo vectorial se puede ver en el trabajo sobre mecánica de fluidos y en el trabajo Sobre la ecuación de ondas. Los conceptos de divergencia y rotacional son fundamentales también desde el punto de vista físico ya que están directamente relacionados con las fuentes físicas que Introducción al Electromagnetismo 7 crean el campo, con la causa física del campo. Tiene por tanto lógica desarrollar la teoría del campo describiendo matemáticamente primero sus fuentes y después calculando dichos campos. Este desarrollo es el inverso del tradicional basado en la evolución histórica de los resultados experimentales, pero también es complementario y se puede desarrollar completamente mediante la lógica matemática. Un paso crucial en este programa es el teorema de Helmholtz que da una fórmula para cualquier campo vectorial en términos de la divergencia y el rotacional de dicho campo, introduciendo también la función potencial del campo. Veamos el teorema : Cualquier campo vectorial en tres dimensiones que admita derivadas primeras sin discontinuidades esenciales que tomen valores infinitos puede resolverse en el interior de un volumen V dado como la suma de otros dos campos vectoriales. Uno de ellos es un campo irrotacional y el otro es un campo solenoidal (de divergencia nula). El campo vectorial puede o no ser función del tiempo. Demostración: Utilizando la delta de Dirac δ tal como vimos en el trabajo Sobre la ecuación de ondas podemos desarrollar un campo vectorial en tres dimensiones F(r,t) ,t=tiempo, así: F (r , t )  F ( r ', t ) (r  r ') dv'    V 1 2  F ( r ', t )   F r t dv ( , ) '        1 2 1 4  ( r  r ')     V r  r '  4 r  r'     Donde el volumen V incluye el punto r de observación del campo. Note el lector que utilizamos una representación de δ apropiada para un espacio de tres dimensiones; para espacios de dimensiones diferentes existen representaciones adecuadas de δ. De las identidades vectoriales vistas en la sección de análisis de campos tenemos   F (r ', t )  F (r ', t )  dv'  2 g     g      g  4 F (r , t )       dv'        V  V  r  r' r  r'         Vemos la necesidad de derivadas parciales segundas continuas. F(r’,t) es una constante respecto de las derivadas en coordenadas r, si F es un vector constante       g F  F  g ;   g F   F   g       1 1 1  4 F (r , t )     F (r ', t )  ' dv'      F (r , t ' )  ' dv'  ; g  ' g g V r  r'  r  r'  V      r  r'  El gradiente en coordenadas del observador y en coordenadas primadas de la función r  r ' , para unos puntos de derivación r,r’ definidos genera vectores iguales y opuestos. Siguiendo con las identidades vectoriales, pero ahora derivando en la variable primada tenemos       '  F (r ', t ) ' g F  F  ' g  g '  F  F (r ', t )  F (r ', t ) '  F (r ', t )  dv' dv'   ' dv'      dv'     4 F (r , t )     ' V V r  r '   r  r' r  r' r  r' ' g F   F  ' g  g 'F  V V     Utilizando el teorema de la divergencia y su expresión alternativa presentados en este mismo apéndice tenemos   '  F (r ', t )   '  F (r ', t ) F (r ', t ) F (r ', t ) 4 F (r , t )     dv'   dv'    d S '       d S '   V  V r  r' r  r' S r  r' S r  r'     Introducción al Electromagnetismo 8 y con las siguientes definiciones de potenciales escalar Φ y vectorial A tenemos   r  r' V S r  r'    F (r , t )   (r , t )    A(r , t ) '  F (r ', t ) F (r ', t )  d S '  4 A0 (r , t ) dv'   4 A(r , t )     r r ' r r ' V S  4(r , t )    '  F (r ', t ) dv'  F (r ', t )  d S '40 donde θ0 es un valor constante y A0(r,t) es una función de rotacional nulo. Evidentemente la componente del campo asociada al gradiente tiene rotacional nulo y la asociada al rotacional tiene divergencia nula (componente solenoidal). El resultado anterior muestra que los potenciales no son funciones determinadas unívocamente. Mas aún, si f es una función escalar y g una función vectorial que verifican  f    g  0 podemos sumarlas a los correspondientes potenciales y el campo sigue invariable. Un caso concreto serían 1 f  E  r ; g   E  r donde E es un vector 2 constante. Repare el lector en la restricción del teorema de Helmholtz a campos vectoriales de tres dimensiones. Esto es consecuencia de la representación de la función δ mediante el Laplaciano en tres dimensiones de la función 1/|r-r’| y supone que las conclusiones obtenidas no son válidas en general para campos vectoriales planos en dos dimensiones, o con simetría plana, que necesitan una representación adecuada de la función δ partiendo de integrales de superficie en el plano (ver flujos bidimensionales en el trabajo sobre mecánica de fluidos). Aplicamos ahora el teorema de Helmholtz al caso de campos eléctricos y magnéticos estáticos independientes de la variable ECUACIONES DE MAXWELL PARA CAMPOS ESTATICOS tiempo; cuyas fuentes están descritas Ley de Gauss  E  por las ecuaciones de Maxwell para  campos estáticos. Por el momento Ley de Fáraday-Maxwell  E  0 diremos que los valores ε,μ son Conservación flujo magnético  B  0 constantes correspondientes al medio Ley de Ampére  B  J dieléctrico en que se desarrolle el  J  0 campo; medio que suponemos Conservación de la carga espacialmente homogéneo en lo que respecta a estas constantes. Mas adelante se dará una explicación detallada sobre estas constantes. Los campos resultantes de las ecuaciones anteriores son como sigue   E (r ')  1  E (r ')   d S '    d S '    r  r'  4  r  r'  S  S E (r )  1   (r ' )  1 dv'    4  V r  r '  4   B(r )   J (r ' )  1  B ( r ')  1  B (r ')   dv'       d S '    d S '  r  r '  4  r  r '  4  r  r'  4 V  S  S  Estos resultados tienen ,como las ecuaciones de Maxwell de las que se deducen, validez general; por supuesto en el contexto de campos estáticos. Sin embargo debemos analizar mas profundamente el comportamiento de la carga eléctrica en medios conductores. La existencia de densidades de carga por unidad de volumen es una hipótesis básica en la teoría electromagnética de Maxwell. Pero estas densidades solo son posibles físicamente si la carga correspondiente no está afectada por corrientes de conducción, es decir, si las cargas no corresponden a un gas eléctrico; Introducción al Electromagnetismo 9 como veremos pronto. Note el lector que la forma habitual de cargar un conductor es añadiendo o restando cargas al gas eléctrico en el que rige la ley de Ohm. Si de este modo creamos una densidad en volumen de carga neta ρ, de la ecuación de conservación de la carga en términos diferenciales tenemos     J  0 donde ρ, J t representan la suma neta de las cargas fijas a la red y la carga de conducción. Pero respecto a las cargas fijas de la red es evidente que su densidad de corriente es nula Ji=0 y solo puede haber aporte a la divergencia de parte de la densidad de corriente de conducción Jc. Utilizando la ley de Ohm Jc=ςE y de la Ley de Gauss, que depende de la densidad neta de carga ρ tenemos1   t      J    E       0   (r , t )   (r ,0)e   t  lo cual nos dice que la densidad de carga neta en volumen ρ en un medio conductor decrece exponencialmente con un tiempo característico ε/ς que para valores habituales de las constantes es del orden de 10-14 segundos. Por tanto las densidades de carga en volumen de los iones fijos de la red de conducción se equilibran de modo prácticamente instantáneo : ρ=ρc+ρi→0. Pero si existe inicialmente una carga neta que no puede escapar del medio conductor, entonces del principio de conservación de la carga deducimos que la carga neta solo puede acabar distribuida en la superficie del conductor. Note también el lector que la introducción de carga adicional en un conductor no se comporta como sería de esperar de un gas, es decir, distribuyéndose uniformemente en todo el volumen del gas eléctrico. Por tanto el campo asociado a una densidad de carga en volumen corresponde siempre a un medio aislante o dieléctrico, no a un medio conductor. Finalmente, recordemos que en presencia de campos magnéticos externos el Efecto Hall en conductores invalida la ley de Ohm y por tanto el resultado que hemos encontrado. Mas adelante hay una sección sobre el efecto Hall. Después de lo expuesto, podemos interpretar el teorema de Helmholtz físicamente diciendo que el campo es la suma de dos componentes : una asociada a las densidades de carga y de corriente en volumen y otra asociada a densidades de carga y corriente en superficie. Veremos mas adelante como relacionar estas densidades de carga en superficie con las correspondientes integrales de superficie del teorema de Helmholtz. Las superficie que aparece en el teorema de Helmholtz es, desde el punto de vista lógico, la superficie limitante del volumen de integración. Pero físicamente pueden ser un conjunto de superficies formada por una, o varias, superficies exteriores y uno o varias superficies interiores. Para el caso de un sistema puramente dieléctrico, sin componentes conductores, podemos reducir el problema a una única superficie exterior que engloba todas las densidades de carga ρ y corriente J. Si es el caso que esta superficie exterior está muy alejada de las densidades de carga y corriente de nuestro sistema, la ley previsible (newtoniana) de variación de los campos estáticos proporcional a la inversa de la distancia al cuadrado entre observador y fuente 1/R2 hace que las integrales de superficie sean despreciables en el infinito (r→∞), de modo que tenemos 1 Sobre conservación de la masa ver trabajo de mecánica de fluidos. Masa y carga son valores escalares y la ecuación diferencial de conservación es formalmente la misma. Suponemos la Ley de Gauss válida en condiciones dinámicas : ρ(x,y,z,t), esto se justificará mas adelante. Introducción al Electromagnetismo 10     1  (r ' )  dv'  ; B(r )    A     E (r )       4  4 r  r '     J (r ' )    r  r ' dv'   donde los términos entre paréntesis corresponden a los potenciales globales clásicos eléctrico Φ y magnético A respectivamente. En el caso del campo eléctrico se suele definir el potencial sin el signo negativo, signo que se transfiere al gradiente E (r )   ;   1  (r ' ) dv' 4  r  r ' esto simplifica los cálculos con la función potencial evitando arrastrar el signo negativo. Para el campo eléctrico, un cálculo de la divergencia nos lleva directamente a la ecuación de Poisson   E ( r )       2   1 1 1   (r ) dv'    (r ' ) r  r ' dv'   2  (ec. de Poisson )  (r ' )  2   4   r  r'      Las fórmulas integrales anteriores para los campos eléctrico y magnético se suelen introducir en textos clásicos como resultados experimentales directos : ley de Coulomb y ley de Biot-Savart. Note el lector que los potenciales así definidos están extendidos a todo el espacio; la condición de decaimiento de los campos en el infinito es esencial para anular las integrales de superficie y poder definir potenciales extendidos a todo el espacio. Las integrales solo consideran las fuentes de nuestro sistema de estudio. De este modo podemos utilizar en todo el espacio las funciones potencial en combinación con las ecuaciones de Maxwell. Evidentemente en todo el espacio habrá mas fuentes que las de nuestro sistema, pero solo estamos interesados en el campo que crean nuestras fuentes. Según el principio de linealidad de las fuentes, las contribuciones al campo de otras fuentes siempre se pueden añadir linealmente al campo creado por nuestras fuentes. Consideremos ahora un caso particular de un volumen de espacio sin fuentes : divergencia y rotacional del campo nulos; y tal que el campo se pueda considerar constante. Según el teorema de Helmholtz tenemos    d S '   F  d S'  4 F   F      S r  r '     S r  r'      y con el desarrollo correspondiente tenemos  d S'          F  d S'   F   d S'   F   d S'  4 F  F               S r  r'   S r  r'   S r  r'   S r  r '              vemos que hay dos términos que cancelan directamente. El término del rotacional es nulo     1 1 d S' 1    d S'                 ' '  ' ' ' d S d S  S r  r ' S  r  r ' dv'  0  S r  r '  S r  r' S r  r'     El término de la divergencia vale 4π  d S'      d S '   1  d S '   ' 1  d S '   ' 2 1 dv'  4      S r  r ' S  S r  r '  S r  r' S r  r' r  r'     Introducción al Electromagnetismo 11 y por tanto el teorema de Helmholtz se reduce a una tautología : 4 F  4 F , en el caso de campos constantes. Sin embargo se nos presentan los potenciales de campos constantes dependientes de una función bastante extraña f (r )  1 4 d S'  r  r'    ;   f (r )  1 ;   f (r )  0 ; F   F  f (r )    F  f (r )  S función que puede variar si cambiamos la superficie de integración S, pero ya sabemos que los potenciales no están definidos unívocamente. Recordando la física básica, si F es un campo eléctrico E o magnético B constantes la elección del vector f(r)=r/3 produce el resultado esperado para los potenciales escalar V y vectorial A             1 1 1 2 E   E  r   E  r   E  r   E  r   E  r  V  E  r 3 3 3 3       1 1 11 1 1 1   B r   B r   B r   A  B r B   B  r   Br  3 3 32 3 2 2  y es evidente que la divergencia y el rotacional del vector r/3 verifican las condiciones del teorema de Helmholtz. El lector puede poner a prueba sus habilidades analíticas y de visión espacial comprobando que la elección f(r)=r/3 corresponde a una superficie de integración S esférica y centrada en el origen de coordenadas (r=0). Los potenciales que acabamos de calcular pueden considerarse aproximaciones lineales a los potenciales globales en zonas en que los campos puedan considerarse constantes. Finalmente, consideremos ahora el conjunto de todos los campos F(r,t), incluyendo campos que pueden variar en el tiempo y tanto elementos dieléctricos como metálicos, tal que las integrales en la superficie exterior S’ext del teorema de Helmholtz tienden a cero cuando el volumen de integración tiende a infinito. Podemos obtener todos los campos F de este conjunto eligiendo las funciones '  F , '  F y densidades superficiales de carga libremente, siempre que se mantenga la restricción de que la integral de volumen extendida a todo el espacio esté definida y que la correspondiente integral de superficie tienda a cero. Los campos eléctrico y magnético estáticos independientes del tiempo están en el conjunto de campos descrito, pero no son los únicos. Dentro del grupo también están los campos electromagnéticos variables con el tiempo confinados espacialmente en circuitos eléctricos o guías de onda; ya que en el infinito el campo debido a estos sistemas es nulo. Para este conjunto de campos está justificado nombrar como fuentes del campo a las densidades superficiales de carga y corriente y las funciones '  F , '  F , relacionadas con las densidades volumétricas de carga y corriente. Introducción al Electromagnetismo 12 Solución general de la ecuación de Poisson para el potencial electrostático en un medio dieléctrico. El teorema de Green es una consecuencia del teorema integral de la divergencia (ver sección matemática del trabajo de introducción a la mecánica de fluidos y ver también el trabajo Sobre la ecuación de ondas). Si tomamos funciones derivables ϕ(x,y,z), g(x,y,z) arbitrarias y definiendo la función vectorial A(x,y,z) a partir de ellas tenemos A  g  g    A   2 g    g  g    g 2   2 g  g 2    Adv    g  g  dv   A  d S   g  g   d S 2 V 2 (teorema de Green) V Donde la superficie S corresponde a la/s superficie/s que limita/n el volumen de integración v. Elegimos las funciones ϕ, g de la siguiente forma  2   (r ) 1 (ec. de Poisson ) ; g    2 g   (r  r ')  4 r  r ' donde δ es la función extendida delta de Dirac en tres dimensiones. Aplicado al teorema de Green tenemos    (r  r ' )  g V   (r )   dv   g  g   d S   y resolviendo la función g   (r  r ' )dv     (r ' )    1  (r ) 1 4 r  r '  (r ) 4 r  r ' dv  dv    1  1 1  dS       4   r  r ' r  r'        1  1 r  r'  dS     3 4   r  r '  ' r r   donde consideramos r’ un punto fijo de observación del campo y r un punto que varía en todo el volumen de integración: el volumen acotado por la/s superficie/s S. El resultado es un valor integrado para la función potencial de la ecuación de Poisson y podemos reconocer en las integrales de superficie un término proporcional al elemento de ángulo sólido entre la superficie S y el punto de observación r’ : dΩ(r’). Intercambiando las variables r’ y r por consistencia con los resultados anteriores del teorema de Helmholtz tenemos  (r )    1 1  (r ' ) dv'  4 4 r  r '  '   d S ' r'  r    1 r'  r  d'r ; d'r   d S' 3 4  r'  r La solución anterior permite ver claramente el significado del principio de linealidad de las fuentes en la resolución de problemas sobre el campo electrostático. Toda distribución de carga ρ(r) puede analizarse en componentes mas sencillas ρi(r) de modo que ρ(r) sea la suma algebráica de las sub-densidades ρi(r). La solución para cada una de estas sub-densidades debe verificar i (r )  1 'i  d S ' 1  1 i (r ') dv'  i d'r   4 r '  r 4  r '  r 4  y sumando     i ( r ' )  1 1 i i (r )  4   i r '  r  dv'  4    ' i  1    i   r '  r  d S '  4  i i  d'r Introducción al Electromagnetismo 13 de modo que la suma algebráica de los sub-potenciales Φi es una solución del problema completo correspondiente a la densidad de carga ρ(r’) en el volumen de integración considerado. Los elementos ρi no corresponden necesariamente a porciones reales de materia. Por ejemplo un material con densidad de carga uniforme ρ que tenga un hueco vacío puede analizarse como la suma del mismo material macizo con densidad ρ mas una densidad –ρ asociada al hueco. Evidentemente el principio de linealidad de las fuentes es también aplicable a las distribuciones superficiales de carga. Unos detalles finales: 1-La ecuación de Poisson  2   (r ) supone que la función potencial ϕ está bien  definida en el interior de la distribución de carga en volumen ρ(r) y no toma valores infinitos; de lo contrario no estarían bien definidas las derivadas parciales del operador de Laplace sobre la función potencial en dicha ecuación de Poisson. 2-Aunque la ecuación de Poisson es válida solo en contextos físicos dieléctricos caracterizados por una densidad de carga por unidad de volumen ρ(r), veremos que la solución encontrada también se puede adaptar para incluir distribuciones superficiales de carga en conductores por medio de condiciones límite o frontera. Aplicación del resultado anterior al caso de un conductor en el campo eléctrico creado por una distribución de carga externa ρ(r). En este caso vamos a elegir un volumen de integración limitado por dos superficies: -Una superficie externa que engloba al conductor y a la distribución ρ(r) y lo suficientemente lejana como para considerar que el campo y el potencial eléctrico es allí nulo; por tanto una superficie equipotencial. -Una superficie interna tan cercana como queramos a la superficie del conductor; aunque fuera de él, es decir, en el vacío o medio dieléctrico no conductor correspondiente. Estas superficies delimitan un medio dieléctrico caracterizado por el parámetro ε. Dado que ϕ es constante en la superficie de un conductor, para un punto r’ arbitrario en el interior de nuestro volumen la solución de Poisson es  (r )  1  ' ( r ' )  d S '   1  (r ') dv'   d ' r  4 r '  r 4  4  r'  r pero la última integral corresponde al ángulo sólido asociado a la superficie limitante del conductor S’ visto desde un punto exterior al conductor; lo que resulta necesariamente en un valor nulo. Por otro lado es fácil ver que la integral de superficie restante corresponde al potencial Coulombiano producido por una carga superficial   (r ' ) 1  (r ' ) 1 dq dq=ζdS’ que verifique '  d S '   dS '      dS ' dv'     4  r '  r 4 r '  r evidentemente, en el límite en que la superficie interna S’ se aproxima a la superficie del conductor tenemos  d S'    E  '  E      dS '   donde ε es la constante del medio Introducción al Electromagnetismo 14 dieléctrico, no del medio conductor. Esto es consistente con la densidad superficial de carga en conductores predicha por razones físicas en la sección del teorema de Helmholtz. Sabemos además que en la superficie del conductor , en el caso electrostático, el campo es paralelo en cada punto a la normal a la superficie del conductor y las componentes del campo paralelas a la superficie son nulas. Note también que la dirección del elemento de superficie dS’ que venimos manejando es hacia el exterior del volumen de integración, y en nuestro caso esto significa hacia el interior del conductor. Si los subíndices n,t representan vectores unitarios asociados a la superficie del conductor; el n en la dirección perpendicular y apuntando al exterior a la superficie del conductor y el t tangente a la superficie del conductor, entonces  En  ; Et  0  De la relación E    E  d r    d r  d deducimos que todo desplazamiento dr perpendicular al campo E tiene asociado una nula variación de potencial dΦ=0. En nuestro caso esto significa que toda la superficie del metal está al mismo potencial, ya que cualquier desplazamiento sobre ella es perpendicular al campo eléctrico. Apelando a la continuidad matemática, este es el valor del campo en la superficie del conductor. Pero para puntos inmediatamente interiores al conductor el campo es E=0. Tenemos por tanto una discontinuidad en el campo y el teorema de Helmholtz se ve comprometido si elegimos volúmenes de integración que incluyen dieléctricos y conductores, pues la continuidad del campo es condición necesaria del teorema. Condiciones de frontera conductor-dieléctrico del campo estático y forma integral de las ecuaciones de Maxwell. Caso electrostático: Hemos visto que el campo eléctrico puede variar de forma discontinua a los dos lados de una superficie que separe un medio dieléctrico de un conductor. Sin embargo esta discontinuidad no es esencial y no toma valores infinitos, lo que sería físicamente inapropiado. En estas condiciones las integrales de superficie y de línea del campo serán en general valores continuos al cambiar de dieléctrico. Las siguientes relaciones válidas para campos E continuos y derivables según los teoremas de la divergencia y el rotacional :  E  d r     E  d S C S ;  E  d S     E dv S V Evidentemente , si tenemos puntos frontera conductor/dieléctrico, en la superficie S asociada a nuestro circuito C de integral de línea o en el volumen asociado a nuestro circuito cerrado, allí las derivadas del rotacional y la divergencia no estarán bien definidas y el lado derecho las igualdades anteriores no está bién definido. Sin embargo, en base al propio concepto matemático de integral, el lado izquierdo no presenta ningún problema matemático y de hecho tendrá un valor bien definido a pesar de la discontinuidad del campo. En el caso de la integral de línea consideramos un circuito cerrado C que atraviesa la frontera dieléctrico-conductor en los puntos A,B de modo que tenemos B A A B  E dr   E dr   E dr C Introducción al Electromagnetismo 15 Si el trayecto A-B es por el lado dieléctrico, la integral correspondiente debe anularse ya que corresponde al cambio de potencial ΦB - ΦA =0, ya que todos los puntos del conductor están al mismo potencial. El trayecto B-A es por el lado conductor y aquí el campo es nulo, por lo que concluimos  E dr  0 C En el caso de la integral de superficie cerrada dividimos esta superficie en dos partes, una por el lado dieléctrico SD y otra por el lado conductor SC  E dS   E dS   EdS S SD SC la integral por el lado conductor se anula evidentemente y la del lado dieléctrico la dividimos en otras dos partes, una superficie SD1 cercana al conductor tanto como queramos y otra superficie cerrada SD2 que comparte frontera con SD1 ; es como si SD1 fuese una rebanada de SD paralela y cercana a la superficie del conductor E dS   SD S D1  ndS  E dS  S D2 La integral de SD2 se anula ya que aquí no hay problemas de continuidad y derivabilidad del campo y se aplica el teorema del rotacional, con un rotacional nulo del campo eléctrico. La integral SD2 se calcula mediante el campo que hemos calculado antes, en la dirección de la normal a la superficie del conductor 1 1  E  d S     n  d S    dS SD S D1 n S D1 donde dSn es un elemento de superficie en la misma superficie del conductor y ζ es la correspondiente densidad superficial de carga, con lo que la integral representa la cantidad de carga superficial sobre el conductor captada por la superficie de integración S. Finalmente resumimos y generalizamos este desarrollo con las siguientes fórmulas  E dr  0 C Q  E dS   (teorema de Gauss) S ambas son ciertas tanto si los circuitos C y las superficies cerradas S contienen dieléctrico y/o conductores y Q representa la carga neta captada por la superficie S, incluyendo cargas asociadas a distribución en volumen, en superficie, lineales o puntuales. Estas son las leyes de Maxwell del campo electrostático en su forma integral. Pese a haber llegado a las leyes integrales de Maxwell, todavía debemos aclarar un detalle muy interesante. Para llegar a los resultados anteriores hemos utilizado el siguiente valor para el campo en la superficie del conductor : E n   ; Et  0  Sin embargo, estas condiciones solamente son aplicables en el caso de superficies suficientemente suaves. En caso de que la superficie tenga un apéndice punteagudo, la propia punta no tiene definido un valor para la tangente o la normal a la superficie. El dibujo adjunto representa el campo en la superficie de un conductor cónico punteagudo. Vemos que la regla de perpendicularidad no nos sirve para dibujar el campo en el volumen representado por el cono punteado invertido sobre la punta del Introducción al Electromagnetismo 16 conductor. Sin embargo la continuidad del campo eléctrico en un medio dieléctrico homogeneo requiere una transición suave del campo desde un lado a otro del conductor; como se indica con las flechas punteadas. Esta estructura del campo requiere, según el teorema de Gauss, una concentración de carga en la punta relativamente mayor que en las superficies planas; de hecho similar al caso de una carga puntual. En consecuencia el campo eléctrico en los vértices de la superficie metálica es significativamente mas intenso que en las partes mas llanas. Este hecho físico se conoce como el efecto punta o efecto de borde y es el principio operativo de los pararrayos. Durante las tormentas los metales en contacto con tierra se cargan por inducción del campo eléctrico generado por las nubes y el campo en las puntas metálicas es suficientemente intenso como para ionizar el aire circundante facilitando de esta forma la descarga del rayo hacia el pararrayos. Caso magnetostático: El campo magnétostático, creado por corrientes de carga estacionarias, también presenta discontinuidades de forma similar al campo eléctrico. Si las discontinuidades del campo eléctrico están asociadas a distribuciones superficiales de carga, las discontinuidades del campo magnético están asociadas a corrientes superficiales. Recordando el teorema de Helmholtz, estas corrientes superficiales se pueden asociar a las integrales de superficie; en concreto el término B(r ')  d S ' se puede relacionar directamente con un elemento superficial de corriente. El origen físico de estas corrientes se basa en la hipótesis de Ampère , relacionada con la naturaleza eléctrica de la materia a nivel atómico. Es importante que el lector note que una corriente superficial no puede ser en general una corriente de conducción ya que supone una densidad de corriente en volumen infinita en los puntos de la correspondiente superficie. La ley de Ohm es taxativa y solo se aplica a corrientes en volumen : J=ςE y la conductividad será infinita ς=∞. Esto es posible en casos excepcionales como los superconductores y otros pocos materiales en situaciones experimentales muy controladas. La discontinuidad del campo magnético presenta el mismo problema que para el campo eléctrico, las siguientes ecuaciones correspondientes a los teoremas del rotacional y la divergencia no están bien definidas en el lado derecho si existen discontinuidades finitas del campo, pero si admiten un valor definido en el lado izquierdo  B  d r     B  d S C S ;  B  d S     B dv S V La teoría correspondiente se verá mas adelante, cuando estudiemos el campo magnético en presencia de materiales; pero desde ya podemos decir que, dado que las ecuaciones integrales de Maxwell deben ser consistentes con la ley de conservación de la carga, dichas leyes en el caso magnetostático son  Bdr   C dQ (teorema de Ampère) dt  BdS  0 S donde Q es la carga neta que atraviesa una superficie limitada por el contorno C, suma de las posibles corriente de carga: en volumen y superficiales. Introducción al Electromagnetismo 17 El campo eléctrico estático en un sistema de conductores. Linealidad del campo en conductores. Consideremos un conjunto de n conductores sin carga, de forma arbitraria, distribuidos en posiciones fijas en una zona del espacio y sin estar afectados por un campo eléctrico externo; de modo que las conclusiones a las que lleguemos serán aplicables al caso de un solo conductor cuando el resto están a distancias muy grandes. Numeramos el conjunto de conductores con el subíndice k y seleccionamos uno cualquiera de ellos, por ejemplo k=1. Introducimos en k=1 una carga Q01, por ejemplo aumentando el número de electrones del gas eléctrico interno. Sabemos que esta carga se dispersa rápidamente hasta distribuirse en superficie. Desde el punto de vista físico el proceso supone una generación de calor debido a las corrientes transitorias y por tanto supone un aumento de entropía del metal que se transfiere al exterior. La dirección tomada por el fenómeno en k=1 es la de encontrar un estado final en el que se minimice la energía del sistema y esto se consigue por dos vías : 1-La disipación de energía en forma de calor por las corrientes transitorias. 2-La disipación de energía por los electrones al quedar enlazados al sistema químico del metal, posiblemente también en forma de calor o emisión de radiación transitoria. Si consideramos que el conductor k=1 tiene huecos, y por tanto superficies internas, estas superficies internas no estarán afectadas en general por la densidad superficial de carga; a no ser que exista alguna distribución de carga en los mismos huecos que cree un campo eléctrico interno. La razón es que la búsqueda de la mínima energía posible en el sistema hace que los electrones prefieran las zonas superficiales exteriores donde se dispone de mas espacio de separación entre cargas iguales; evitando al máximo de esta forma la repulsión electrostática y maximizando la atracción con los campos externos. La interacción 2 de tipo químico es la responsable de retener la carga introducida cuando esta llega a la superficie. En el resto de conductores no cargados también aparecerá una densidad superficial de carga debido al campo generado por k=1 y en el transitorio las densidades de carga de todos los conductores interaccionarán mutuamente produciendo corrientes internas que disipan calor. Por tanto el sistema completo de conductores tendrá un transitorio que finaliza cuando se ha conseguido disipar la mayor cantidad de energía posible en forma de calor y llegado al estado de menor energía posible. Al finalizar el transitorio tenemos un campo electrostático en el dieléctrico entre los conductores y unas densidades superficiales de carga en la superficie de los conductores. Si repetimos el experimento con la misma distribución espacial de los conductores veremos que el campo final es siempre el mismo, independientemente de cómo introducimos la carga en k=1, si de una vez o poco a poco. El campo eléctrico depende de la carga Q01 y de la distribución espacial de los conductores. A partir de aquí utilizaremos el convenio para el potencial eléctrico sin el signo -. Si en el estado electrostático introducimos una cantidad adicional ΔQ se volverán a poner en marcha el proceso transitorio hasta llegar a un nuevo estado de mínima Introducción al Electromagnetismo 18 energía. Es concebible que el transitorio sea una réplica exacta del transitorio inicial pero a distinta escala, de modo que las densidades de carga superficiales finales sean las del estado estático inicial multiplicadas por un factor λ= Q1/ Q01 , Q1= Q01 +ΔQ. Esto corresponde a un comportamiento lineal de los conductores respecto al campo eléctrico con la carga Q1; linealidad que es evidentemente posible en la solución general del potencial : si multiplicamos por λ= Q1/ Q01 la solución para el potencial tenemos  0 (r )   0    0  1   1  0  2   2  ..........    20 dS '2 1   10 dS '1    .......  r  r'  4   r  r '   de modo que el potencial en cada punto y las densidades de carga escalan según el mismo factor λ. La carga de cada conductor se mantiene consistente al integrar la distribución superficial de carga : Q1 ò 0. Podemos escribir la relación anterior de esta forma  0 0   /Q  0 / Q0 4  ( r )  Q1   1 1 dS '1   2 1 dS '2  .......   r  r'  r  r'   los valores ζ/Q tienen unidades de metro-2 y describen la distribución espacial de carga sobre la superficie de cada conductor : la mayor o menor propensión de cada punto de la superficie a acumular carga. Por tanto, supuestos todos los conductores en reposo relativo, el paquete de integrales en el corchete correspondiente es un parámetro geométrico que depende del punto de observación del campo (r). Si colocamos el punto de observación r en la superficie de un conductor arbitrario numerado por el índice i : r=ri , tenemos que cada uno de estos parámetros depende de tres índices : cjik el índice del conductor cargado j, igual a 1 en el caso anterior, el índice del conductor observado i y el índice k que numera a todos los conductores i j  i j (ri )  c 4 Qj j j i1 ( ri )  ci 2 ( ri )  ....   4Q  c j j ik ( ri ) k Estamos tratando el caso de un solo conductor, con índice j, cargado; y es evidente que el caso general es aquel en que debemos considerar la posible carga de todos los conductores. Invocando de nuevo la linealidad del sistema de conductores respecto al potencial electrostático podemos sumar los resultados parciales de este modo i  i j  j   1 1  Q j  cikj (ri )  4  Q j   cikj (ri )  4 j k j  k  Los sumatorios entre corchetes son valores que dependen del conductor observado i y de conductor cargado j ; están estrechamente relacionados con el concepto clásico de capacidad de un condensador y pueden definirse como  j   Cij    cikj (ri )   4   Qi  k  Q j i  0 Estos coeficientes solo dependen de la forma y distribución geométricas de los conductores y no de su carga. Introducción al Electromagnetismo 19 Corriente eléctrica. Benjamin Franklin, experimentando con procesos de carga y descarga eléctrica introdujo en el siglo XVIII el concepto de conservación de la carga eléctrica; y de que esta carga presenta una dualidad : la carga positiva y la carga negativa. Mediante la idea de conservación de la carga, la carga negativa se puede entender como ausencia de la carga positiva. Franklin también propone la teoría del fluido único, teoría que establece que cualquier fenómeno eléctrico está físicamente relacionado con la existencia de un fluido o corriente eléctrica. El rayo sería la corriente correspondiente al fenómeno de descarga de electricidad de las nubes en una tormenta. El invento de la pila de Volta permitió a los experimentadores el mantenimiento de una corriente eléctrica en un cable metálico de cobre en condiciones estacionarias durante periodos de tiempo relativamente largos. Lo que salía de la pila de volta se evidencia como una corriente eléctrica ya que era capaz de provocar procesos de carga en condensadores como la botella de Leyden. Hemos visto el caso de las corrientes de conducción típicas de los metales, asociadas a la acción de un campo eléctrico que siguen la ley de Ohm J=ςE. En este caso no se percibe un movimiento aparente de carga debido a la tendencia del interior del metal a la neutralidad eléctrica, dispersando cualquier densidad de carga de conducción rápidamente. Sin embargo el campo eléctrico interno E no solo actúa sobre el gas eléctrico, sino también sobre los iones atómicos de la red metálica. Estos son nodos de la red que se mantienen en posiciones fijas y no se mueven por efecto del campo; sin embargo sí sufren un fenómeno de polarización debido al campo E : respecto de una situación de equilibrio sin campo eléctrico, la acción del campo hace que los electrones atómicos se muevan ligeramente en contra del campo y el núcleo positivo ligeramente a favor del campo. Esto significa físicamente la aparición de un dipolo inducido por el campo externo. En el caso de un campo eléctrico constante esto solo supone una cierta cantidad de energía transferida a la red que puede ser despreciable. Pero en el caso de un campo eléctrico oscilante la cosa cambia. El dibujo representa átomos de la red afectados por la polarización inducida por el campo eléctrico E. Si este campo aumenta (flecha de puntos) también aumentará proporcionalmente la polarización inducida en cada dipolo: en los - + - + - + I extremos de cada dipolo la carga será un poco mayor. Este incremento de carga equivale a la circulación de una corriente I en la dirección señalada: en cada dipolo la parte negativa aumenta en valor absoluto, lo que equivale a perder cierta cantidad de electricidad positiva que incrementa la parte positiva del dipolo. La unión de todas estas corrientes elementales forma una corriente a escala macroscópica , I, cuya base física es el fenómeno de electrización por influencia ; este es el significado físico de la corriente de polarización, y no es un fenómeno exclusivo de los medios aislantes. La corriente de polarización es similar a la corriente de conducción en el sentido de que no supone un movimiento neto de carga (convección) en el sistema, pero a diferencia de la conducción, la corriente de polarización no supone una disipación de energía en forma de calor. El gran descubrimiento físico de Maxwell fue que la corriente de polarización es también una fuente del campo magnético, de la misma forma que lo son las corrientes de conducción y de convección de carga. Este descubrimiento lleva directamente a la posibilidad teórica E Introducción al Electromagnetismo 20 de ondas electromagnéticas; posibilidad que fue demostrada mas tarde por vía experimental. En la escala microscópica, la existencia del electrón y de las partículas elementales cargadas hace que la corriente de conducción se perciba como convectiva, es decir debida al movimiento de densidades de carga que se mantienen en el tiempo en un medio dieléctrico que es el vacío físico; no como en el caso de la corriente macroscópica de conducción. Las corrientes de conducción son el resultado estadístico del comportamiento del gas eléctrico. Consideremos ahora la experiencia de conectar a los polos de una pila de Volta de corriente continua dos cables metálicos iguales. Si inicialmente los dos cables estaban al mismo potencial, tras la conexión y una vez logrado el equilibrio electrostático aparece una diferencia de potencial entre ellos equivalente a la diferencia de potencial suministrada por la pila. Si desconectamos ahora la pila de los cables constatamos dos cosas 2 2 ΔΦ ΔΦ A-La diferencia de potencial entre los cables metálicos se mantiene. 1 1 B-La pila no ha ganado ni perdido carga eléctrica, y según el principio de conservación de la carga el sistema de conductores debe tener una carga neta nula. Si aplicamos lo aprendido sobre el campo electrostático en sistemas de conductores tenemos que la existencia de una diferencia de potencial implica que debe existir cierta carga Q en cada uno de los conductores, de igual magnitud y distinto signo; y distinguiendo los cables con los subíndices 1,2 tenemos 1  Q1C11  Q2C21  Q  2  Q1C12  Q2C22   2  1  2 ; C  Q1  Q2  0   C 1 C11  C22  C12  C21  donde el resultado se expresa en función del parámetro C para recalcar el concepto clásico de capacidad eléctrica. Evidentemente estas cargas generan un campo electrostático con líneas de fuerza que conectan un conductor con otro. I ΔΦ(x) x R dx Evidentemente este estado físico en los cables se mantiene si volvemos a conectar la pila tal como al principio ya que los potenciales correspondientes coinciden. Pero si además cerramos el circuito incorporando algún elemento resistivo R, aparecerá una corriente de conducción de intensidad I según la Ley de Ohm : 2  1  IR . Sin embargo esto no significa que el campo estático anterior se pierda completamente sino que apelando al principio de linealidad, este campo persiste, pero ajustándose a las condiciones del potencial establecidas por la Ley de Ohm. Con todo rigor, al cerrarse el circuito y crearse la corriente de conducción también actúa la resistencia propia del cable. Es de esperar que esta resistencia sea pequeña y en circuitos pequeños sea relativamente despreciable frente a otros elementos. Pero en líneas de transmisión de larga distancia, como las de la red de distribución eléctrica nacional o los sistemas Introducción al Electromagnetismo 21 telefónicos, este efecto no puede despreciarse, y en general tampoco en un tratamiento riguroso del problema de la corriente de conducción en un cable. El efecto de la resistencia del cable es que la diferencia de potencial ϕ2- ϕ1 irá disminuyendo a medida que nos alejamos de la pila. Si manejamos una porción de cable dx, tendremos una cantidad de carga dQ asociada y un coeficiente dC correspondiente al sistema de cables elementales, de modo que todas las líneas del campo eléctrico conectan las secciones correspondientes. De este modo podemos poner 2  1 ( x)  dQ / dx dC / dx el parámetro dC/dx corresponde a la capacidad distribuida del cable y puede considerarse un parámetro constante. Como sabemos la carga dQ debe distribuirse superficialmente en cada conductor y de la relación anterior vemos que esta densidad disminuye a medida que nos alejamos de la batería. Estas circunstancias deben ser tenidas en cuenta a la hora de evaluar las condiciones de contorno en el caso de una corriente de conducción constante. Condiciones de contorno del campo eléctrico en un cable que conduce corriente. -Et Para la componente del campo eléctrico normal a la superficie del conductor, En ,sigue siendo válido En=ζ/ε , donde ζ es la densidad superficial de carga; pero la componente paralela a la superficie , Et, ya no puede ser nula debido a la existencia de la corriente de conducción también en la superficie del metal. Además, y partiendo de la ecuación anterior, la densidad superficial de carga es función de x : ζ(x) y en un sistema de cables homogéneo disminuye en proporción a la disminución de la diferencia de potencial, es decir : a < b→ζ(a) > ζ(b). Esto hace que la componente Et en la zona dieléctrica próxima al conductor tampoco sea nula. Para ver esto basta recordar el campo eléctrico creado por una línea uniformemente cargada de gran longitud. El campo en un punto cualquiera es perpendicular a la línea debido a que las contribuciones de los elementos de carga de la línea a En Et J derecha e izquierda del punto de evaluación del campo admiten una simetría. Pero esto ya no sería así si la línea no está uniformemente cargada, apareciendo componentes oblicuas para el campo; y esto es -J En precisamente lo que ocurre en nuestro caso. Por tanto las condiciones de contorno aplicables en nuestro caso para el campo en la superficie del cable son las siguientes E n  ( x) J ; Et    En el trabajo Sobre la ecuación de ondas se hizo un análisis detallado de una línea de transmisión eléctrica simétrica de longitud arbitraria conectada a una fuente de tensión que varía armónicamente (cosenoidalmente). Los parámetros relevantes son las resistencia por unidad de longitud R, la autoinducción por unidad de longitud L, la capacidad del dieléctrico por unidad de longitud C y la conductancia del dieléctrico por unidad de longitud G. Se obtiene como resultado la intensidad y la diferencia de potencial entre los conductores de la línea como funciones de la longitud a la fuente de tensión (x) y el tiempo (t) de esta forma Introducción al Electromagnetismo 22 V ( x, t )  V exp   x  exp it  kx  V exp  x  exp i t  kx I ( x, t )  G  iC V exp   x exp it  kx  V exp  x exp it  kx R  iL En rigor los valores físicos de tensión e intensidad corresponden al valor real de las funciones complejas correspondientes. Sin embargo podemos ver que las soluciones son combinaciones de ondas :f(ωt±kx) moduladas en amplitud por un factor de amortiguación exp(-γx), exp(γx). A partir de estos resultados podemos hacer un análisis de la distribución superficial de carga en un cable de la línea mediante la aplicación de la ecuación diferencial de conservación de la carga eléctrica   J  0 t donde ρ es la densidad de carga por unidad de volumen y J es la densidad de corriente por unidad de volumen. Suponiendo una distribución uniforme de la corriente a su paso por una sección recta del cable cilíndrico de radio r0 y área S=πr02, tenemos J=I/S. Por otro lado podemos relacionar la densidad en volumen ρ con la densidad superficial en el cable utilizando elementos de volumen en forma de diferenciales de cilindro, es decir, pequeñas secciones rectas del cable de longitud dx  Q r02 x  2 r0  Q  2    2r x   r  0  0  con esto la ecuación de conservación produce  2  1 I  0  2 t r0 t  r0 x   t G  iC R  iL I V exp   x exp it  kx  V exp  x exp it  kx  0  x 2 r0 G  iC R  iL    ik V  0      ik  G  iC t 2 r0 2 r0 R  iL   ik  G  iC     1 V   i t   0  t   i 2 r  R  iL V   0     0 lo que conduce a la siguiente solución para la densidad de carga superficial, siempre considerando la parte real    ik  i 2 r0 G  iC V   0 ( x) R  iL Si apagamos la fuente de tensión cosenoidal haciendo V=0 pero aún actúa una fuente de tensión constante (pila de Volta) , ζ0(x) tiene sentido físico como distribución de carga asociada a una corriente continua; como hemos visto antes. Introducción al Electromagnetismo 23 Interpretación energética de los resultados En B La interpretación energética del campo electromagnético necesita en general considerar Pt=EnxB Et el comportamiento del vector de Poynting P que Pn=EtxB se define en cada punto como el producto J vectorial del campo eléctrico por el campo magnético. Su significado físico es que la cantidad de energía electromagnética por unidad de tiempo dU/dt que atraviesa un elemento de superficie dS es igual al producto escalar del vector de Poynting por el vector dS P 1  EB ; dU  PdS dt  Mas adelante se presenta el vector de Poynting en el contexto del principio de conservación de la energía en un sistema electromagnético; pero por el momento con lo dicho es suficiente para dar una interpretación física del proceso de conducción eléctrica. En nuestro caso y como muestra la imagen anterior, las líneas del campo magnético debidas a la corriente de conducción en el exterior de un cable cilíndrico de gran longitud son círculos concéntricos con dicho cable y verifican la siguiente ley B I u 2 r en un sistema de coordenadas cilíndrico (r,ζ,z) en el que el eje z coincide con el eje central del cable y los valores crecientes de z están en la dirección de J. La dirección del campo magnético cumple la regla de la mano derecha de modo que si el pulgar apunta en la dirección de J, el resto de dedos apunta la dirección del campo magnético. Estamos interesados en el vector de Poynting en la superficie del cable y vemos inmediatamente que tiene dos componentes correspondientes con el campo eléctrico: Pn y Pt. La componente Pn atraviesa perpendicularmente la superficie del cable hacia su interior y por tanto representa una transferencia de energía del campo electromagnético al propio cable. En cambio la componente Pt es una energía que se mueve cercana al cable pero por su zona exterior. De los datos anteriores podemos calcular la potencia transferida al cable a través de su superficie lateral por la componente Pn de este modo  dU 1   Et  B  d S  dt    dU I2 I B u  2  2 r0 dt r0    I Et  uz    r0 2    ur  2r 0 dS  I2 r0 2 dS  2r 0  I2 L r0 2 donde L es la longitud correspondiente del cable. La resistencia eléctrica R correspondiente a un tramo recto de cable de longitud L es : R=L/ςπr02 de modo que la potencia transferida al cable por Pn es dU  I 2R dt Lo que equivale a la potencia disipada en forma de calor por una sección de cable de resistencia R por efecto Joule y por tanto a la potencia transferida por una fuente a una Introducción al Electromagnetismo 24 resistencia en la teoría clásica de circuitos. Para que las cosas acaben de cuadrar debemos calcular Pn en un cualquier punto del eje central del cable cilíndrico (r=0). Ya que en el eje del cilindro el campo magnético es nulo (B=0) obtendremos Pn=0 y el campo electromagnético deja de transferir energía en el eje del cilindro. En efecto el campo en el interior del conductor, suponiendo que la corriente se distribuye uniformemente en la sección recta circular es  B 2 r0 2 r  I   u   r0  Esto nos dice que la energía transferida por Pn desde la superficie del cable es completamente absorbida por la corriente de conducción interior del cable y no resulta parcialmente rebotada o reflejada. La potencia asociada a la componente Pt del vector de Poynting es mas difícil de calcular, pero es fácil ver su necesidad física con una experiencia muy común. Cuando cerramos un interruptor para encender una luz eléctrica, la acción de pulsar el interruptor y encenderse la luz son prácticamente simultáneas. Un cálculo sencillo considerando el orden de magnitud de la intensidad de la corriente y la densidad en volumen (N) de portadores de carga del gas eléctrico del metal (cobre en este caso) nos permite calcular la velocidad media (v) del gas eléctrico aplicando la fórmula J=I/S=N*e*v, donde (e) es la carga del electrón. El resultado es del orden de milímetros por segundo y esto parece chocar directamente con la rapidez con que se enciende la luz. Esta incongruencia se produce por que pensamos que el sistema eléctrico funciona mediante una inyección de energía que se mueve por el interior del cable; pero el análisis energético que hemos hecho no sustenta esta idea. En cambio la energía se transfiere al cable mediante un campo electromagnético externo con la componente Pn , y la componente Pt hace que el campo se propague por el exterior cercano del cable a la velocidad de las perturbaciones electromagnéticas, es decir, prácticamente a la velocidad de la luz. Esto si está de acuerdo con nuestro análisis energético y con la sencilla experiencia de encender una bombilla. En la sección sobre Óptica básica se dan mas detalles del caso presentado aquí. Visualización del campo magnético y fuerza de Lorentz. El detector mas antiguo del campo magnético es la brújula. Una brújula es una pequeño iman, normalmente en forma de aguja muy liviana, que puede girar fácilmente (poco rozamiento) cuando es afectado por un campo magnético externo. Como en cualquier campo, también existen las líneas de fuerza para el campo magnético y en un punto determinado la línea correspondiente es tangente a la dirección que indica la brújula. Una imagen mas precisa de las líneas de campo se obtiene en la famosa experiencia de Fáraday de las limaduras de hierro, ya que las limaduras de hierro son precisamente imanes muy pequeños. Mediante esta experiencia se pude ver que las líneas del campo magnético asociadas a la corriente de un cable conductor recto son curvas cerradas en forma de círculos concéntricos con dicho cable. Con el mismo método de las limaduras de hierro pueden verse las líneas de fuerzas de un iman natural y constatar que también son curvas cerradas, aunque no circulares. A parte de las líneas de campo, el campo magnético tiene una intensidad mayor o menor. Esta intensidad se puede visualizar intuitivamente Introducción al Electromagnetismo 25 intentando girar la aguja de la brújula en 180º para que apunte en la dirección contraria : esta operación será tanto mas costosa cuanto mayor sea la intensidad del campo magnético. Otra forma mas cuantitativa de ver el campo magnético es la fuerza de Lorentz. Sea una carga puntual de valor q moviéndose con velocidad v en un campo magnético estático (independiente del tiempo) B La fuerza que el campo magnético ejerce sobre esta carga es F  q v  B si además actúa un campo eléctrico estático hay que incluir la correspondiente fuerza eléctrica F  q E  qv  B esta es la fuerza de Lorentz que produce la combinación de un campo eléctrico y magnético estáticos. Según los principios de la mecánica clásica, la fuerza de Lorentz también se puede entender mediante la fuerza (–F) que hay que aplicar a una carga puntual para que se mueva con velocidad constante cuando está afectada por un campo electromagnético estático. Mas adelante se darán pruebas sobre la validez de la fuerza de Lorentz en condiciones de campos variables con el tiempo. Las ecuaciones de Maxwell para campos variables con el tiempo. Las Ecuaciones de Maxwell, ya presentadas para el caso de campo estático, detallan las propiedades matemáticas de dos campos vectoriales relacionados: el campo eléctrico y el campo magnético, en un medio físico caracterizado por las constantes eléctrica ε y magnética μ. Según el teorema de Helmholtz, cualquier campo vectorial se puede describir especificando dos conceptos de análisis matemático : la divergencia y el rotacional del campo en cualquier punto. Esta descripción analítica es preferible por su sencillez a la descripción directa de los campos de fuerzas con complicadas fórmulas, sobre todo en el caso del campo magnético. Sin embargo esto solo es posible si el lector dispone de un conocimiento suficiente del cálculo vectorial y una intuición acertada sobre la estructura de líneas de fuerzas de los campos . La ley de Gauss. Sea una distribución arbitraria de cargas puntuales {qi} en reposo y una superficie cerrada arbitraria S. Sabemos que el campo eléctrico asociado a este sistema es la suma de los campos de cada carga puntual, que siguen la Ley de Coulomb. Por tanto la integral asociada al flujo del campo en la superficie S será la suma de las integrales de flujo del campo de cada carga puntual, numerada por el índice i   ' qi r  ri dS S E  d S  i S E i  d S  i 4 S ' 3 r  ri Cada integral del último sumatorio corresponde al ángulo sólido subtendido por la superficie S desde el punto de observación r’i; y sabemos que el resultado de esta integral es 0 si r’i está en el exterior de la superficie cerrada y 4π si está en el interior de la superficie cerrada. Por tanto el resultado final es 1  E dS   q i S i la carga neta total del sistema en el interior de la superficie cerrada S puede proceder de cualquier distribución de carga : en volumen, superficial, lineal o puntual. Introducción al Electromagnetismo 26 La ley de conservación de la carga La electricidad es una propiedad intrínseca de la materia, como la masa; y por tanto la conservación de la carga sigue una ley completamente paralela a la conservación de la masa. En el trabajo sobre mecánica de fluidos se deduce la ley de conservación de la masa en una corriente fluida que es directamente aplicable al caso de conservación de la carga. Si partimos de una densidad de carga en volumen ρ(r,t) , un campo de velocidades de la carga v(r,t), una superficie cerrada arbitraria S y la correspondiente densidad de corriente en volumen J = ρv ; el flujo de la densidad de corriente a través de la superficie cerrada S que limita un volumen V verifica   J  d S   t dV  0 La conservación de la masa supone que son imposibles fenómenos de creación o destrucción de masa, como se hizo notar en el trabajo sobre mecánica de fluidos. La conservación de la carga también supone que no son posibles procesos de creación o destrucción de carga, pero en este caso se trata de carga neta en el volumen limitado por la superficie S; dado que la carga eléctrica es una magnitud polar (positiva o negativa) , mientras que la masa es no polar(siempre positiva). Físicamente son posibles fenómenos de recombinación en los que dos cargas iguales y con signo contrario queden enlazadas de modo que la carga neta no se ve modificada. La ecuación anterior formula la conservación de la carga en términos de densidades en volumen, pero evidentemente la ley de conservación de la carga también incluye el caso de densidades y corrientes superficiales de carga. La ley de inducción de Fáraday y la ley de Fáraday-Maxwell. Consideremos un lazo cerrado de cable conductor metálico en reposo y un imán natural permanente. Colocamos el lazo conductor sobre una mesa y sobre él, a poca distancia, empezamos a mover el imán de derecha a izquierda o de arriba abajo. Con el tiempo suficiente observamos un aumento de temperatura en el cable que evidencia el paso de corriente eléctrica; incluso si colocamos una bombilla en el circuito es posible verla brillar cuando movemos el imán. La corriente eléctrica se produce igualmente si es el imán el que está en reposo en la mesa y movemos el cable conductor cerrado con la misma velocidad relativa que en el caso inicial. Finalmente, si tenemos imán en reposo cerca de un circuito que es flexible o que de algún modo puede variar su superficie con el tiempo también comprobaremos la existencia de una corriente. Este conjunto de fenómenos se conoce como la inducción de corrientes de Fáraday. Desde el punto de vista energético este fenómeno supone transferencia de energía al gas eléctrico del cable que se ha disipado en forma de calor. Esta energía debe proceder de algún modo de nuestro esfuerzo para mover el imán o el circuito y muestra de forma clara una idea presentada anteriormente : que la forma en que se transfiere la energía a un circuito eléctrico es mediante una onda electromagnética procedente del exterior del circuito. Pero en este caso la energía transferida al circuito no puede representarse como una caída de potencial, como una rampa en desnivel continuo por el que el gas eléctrico cae, como si fuese el agua en un acueducto romano, realizando el circuito entre el polo positivo y el polo negativo de una pila de Volta. En este caso la fuerza electro-motriz no está físicamente conectada al circuito Introducción al Electromagnetismo 27 como la pila de Volta. Según Fáraday el trabajo que se realiza sobre la corriente del cable en este fenómeno está directamente relacionado con la velocidad de cambio del flujo del campo magnético ( B  d S ) sobre cualquier superficie S cuyo límite sea la línea  S cerrada del circuito. De cara a las ecuaciones de Maxwell vamos a utilizar los métodos matemáticos del cálculo vectorial, en concreto las integrales de línea y de superficie; lo que supone que los circuitos que utilizaremos van a estar en reposo respecto al observador. Esto es una limitación de la ley de Faraday, que también incluye variaciones de la orientación o forma del circuito eléctrico. En una sección posterior veremos el problema que esta restricción introduce en el electromagnetiso clásico. De este modo el correspondiente gas eléctrico estará también en reposo relativo, lo que nos dice que no estará afectado por una fuerza magnética de Lorentz. Por tanto la única explicación física posible para el movimiento de corriente es la aparición de una fuerza eléctrica de Lorentz y por tanto un campo eléctrico inducido E a consecuencia de la variación de flujo magnético, y este campo E debe realizar el trabajo correspondiente. En términos del cálculo vectorial: d  E  d l   dt  B  d S C S donde C es una curva geométrica cerrada fija y S es una superficie fija limitada por la curva C. El sentido de circulación en C y la dirección de los elementos de superficie dS está relacionado por la regla de la mano derecha: Si los dedos que no son el pulgar indican la dirección de circulación de C, el pulgar indica la dirección predominante de los elementos dS. El lector no debe confundir el campo eléctrico E de la ley anterior con el campo eléctrico en el interior del conductor Econd correspondiente a la ley de Ohm, ya que Econd es siempre paralelo a la corriente, pero E no tiene por que ser tangente en cada punto a la curva C. En nuestro caso Econd es la componente de E tangente al cable, y de ahí el producto escalar asociado a la integral de línea. Las restricciones introducidas a la ley de Fáraday sobre circuitos rígidos y en reposo son suficientes para distinguir el resultado anterior con el nombre de Ley de FáradayMaxwell. Inexistencia de polos o cargas magnéticas aisladas. El campo magnético es producido por imanes naturales y por corrientes eléctricas. El carácter polar del campo magnético de los imanes naturales, con polos Norte y Sur es una experiencia inmediata. Dos imanes naturales se atraen si enfrentan polos opuestos y se repelen si enfrentan polos iguales. Pero si dividimos un imán no conseguimos aislar polos en forma de cargas magnéticas, sino que en cada trozo incluye también un par de polos Norte-Sur y nula carga magnética neta; y no conocemos ninguna experiencia física que soporte la idea de polos magnéticos individuales o monopolos. Sea S’ una superficie cerrada que incluye completamente el material magnético en cuestión, pero por lo demás arbitraria. El flujo total del campo magnético sobre esta superficie es siempre nulo debido a la inexistencia de polos magnéticos aislados  B  d S'  0 Introducción al Electromagnetismo 28 Por otro lado, si S es una superficie cerrada arbitraria y S’ es una de las superficies anteriores que intersecta con S y la divide en dos partes 1 y 2, podemos considerar las superficies correspondientes S’1,S’2 conteniendo completamente el material magnético de modo que se verifica  B  d S   B  d S'   B  d S' 1 2 0 Para ayudar a la imaginación el lector puede pensar que S y S’ son esferas. Por tanto toda línea del campo magnético (o pequeño tubo de líneas) que sale de la superficie S vuelve a entrar a la superficie por otro punto : las líneas del campo magnético son cerradas; a diferencia de las líneas del campo eléctrico polar que pueden salir de cualquier superficie S cerrada y no volver. Para un campo magnético que no varie en el tiempo, si suponemos que toda línea de campo procede de algún polo magnético, es necesario que dicha línea retorne a su polo origen, ya que allí se encuentra también el polo opuesto. De esta forma todo pequeño flujo saliente de S se equilibra con un flujo entrante de igual magnitud y signo opuesto. En situaciones dinámicas es posible el fenómeno de reconexión de líneas del campo magnético que supone a una reordenación de líneas de fuerza asociada a una “evacuación” de energía del campo en forma de ondas electromagnéticas. Ley de Ampère sobre las fuentes del campo magnético . Sea C una curva cerrada arbitraria; la circulación del campo magnético sobre la curva C es proporcional a la intensidad de corriente eléctrica que pasa por cualquier superficie abierta S cuyo borde es la curva cerrada C  B  dl   C dQ dt donde Q es la carga neta procedente de cualquier distribución de corriente : en volumen o superficial. En caso de una única distribución de corriente en volumen J que atraviesa una superficie abierta limitada por la curva C se verifica dQ  J dS dt  Consistencia del sistema de ecuaciones en el contexto de campos variables con el tiempo. En un abuso de notación, hemos utilizado los mismos símbolos E y B para los campos en todas las leyes presentadas, pero ¿puede ser el campo eléctrico de la ley de Gauss el mismo campo eléctrico de la ley de Fáraday-Maxwell?, ¿puede ser el campo magnético de la ley de Fáraday-Maxwell el mismo campo magnético de la ley de Ampère?. Además, salvo la ley de conservación de la carga y la ley de FáradayMaxwell, el resto de leyes aparecen a partir de experiencias físicas en condiciones de campos estacionarios que no varían con el tiempo; y por tanto es necesario investigar la compatibilidad de estas ecuaciones en condiciones dinámicas. En lo que sigue vamos a suponer que las constantes ε, μ son las mismas para campos estáticos y campos que varían con el tiempo; sin embargo veremos al final de la sección que debemos hacer una importante matización sobre esto. Si partimos de la ley de Fáraday-Maxwell, tenemos una curva C que limita una superficie abierta sobre la que calculamos el flujo. Pero es evidente que puede haber muchas superficies abiertas Introducción al Electromagnetismo 29 limitadas por la misma curva C y la integral de línea asocaida al campo E debería valer lo mismo independiente de la superficie elegida. Para comprobar esto consideremos que S es ahora una superficie cerrada y que nuestra curva cerrada C está en dicha superficie. De este modo C divide a S en dos superficies abiertas S1 y S2 y sobre estas dos superficies es válida la ley de Fáraday-Maxwell  E  dl   C  d d d B  d S1   B  d S 2   B  d S1  B  d S 2   0  dt S1 dt S 2 dt  S1 S2       según la regla de orientación de los elementos de superficie en relación con el sentido de circulación de C podemos recuperar la integral de flujo del campo magnético en la superficie cerrada  B  d S1   B  d S 2   B  d S1   B   d S 2    B  d S   dt  B  d S  0   B  d S  cte d S1 S2 S1 S2 S S S El valor constante encontrado es independiente del tiempo, y es evidente que el campo puede empezar a variar partiendo de unas condiciones estacionarias, donde también debe ser válido el resultado anterior. Pero en condiciones estacionarias la inexistencia de polos magnéticos nos dice que la constante anterior debe ser cero y por tanto la consistencia de la ley de Fáraday-Maxwell requiere que la ley de inexistencia de polos magnéticos sea válida también en condiciones dinámicas del campo; lo cual nos permite entender esta ley como conservación del flujo magnético. Para avanzar mas en la consistencia analítica de las ecuaciones de campo necesitamos expresar estas ecuaciones mediante operaciones diferenciales, lo cual se consigue inmediatamente aplicando los teoremas del rotacional y la divergencia a las ecuaciones integrales presentadas anteriormente: Qint Ley de Gauss  E   E dS    Ley de Fáraday-Maxwell d B  E  d l   dt  B  d S  E   Conservación flujo magnético  BdS  0  B  0 Ley de Ampére  B  dl   C C dQ dt  Conservación de la carga S S  J  d S   t dv  0 t  B  J J   0 t Hasta ahora sabemos que la Ley de Fáraday-Maxwell, la conservación de la carga y la conservación del flujo magnético son ecuaciones consistentes en condiciones de campos variables con el tiempo. Supongamos que la ley de Gauss es también válida para campos variables con el tiempo. Si calculamos la derivada parcial con el tiempo y aplicamos la conservación de la carga tenemos E J S1 S2  1  1     J     E      t E   0      J   t t       E   t    de modo que el campo J+ε∂E/∂t verifica también una ley de conservación de flujo análoga al caso del campo magnético. Pero note el lector que el término adicional a la densidad de corriente J, llamado históricamente Introducción al Electromagnetismo 30 corriente de polarización, necesita un comportamiento dieléctrico del medio (incluido el vacío como veremos). Maxwell fue el primero en dar un argumento físico que prueba la validez del resultado anterior mediante el caso de un condensador eléctrico en proceso de carga. La imagen muestra un cable por el que circula una densidad de corriente J. Las líneas del campo J se distribuyen por la placa del condensador modificando su carga y variando el campo E=ζ/ε, donde ζ es la densidad superficial de carga en la placa del condensador. S es una superficie cerrada sobre la que hacemos un cálculo del flujo del campo J+ε∂E/∂t. Además suponemos que la corriente de polarización del metal del cable (S1) es despreciable frente a su corriente de conducción J; y al revés en el dieléctrico del condensador (S2). Por simetría del campo solo estarán afectadas las superficies verticales delantera S2 y trasera S1 de modo que tenemos, considerando la dirección opuesta de los vectores superficie S1 y S2 y las aproximaciones señaladas    J     d dQ  E    d S  0   JS1   ES2   I  JS1 ; Q  S 2 ; E   I  dt  dt t   resultado que es consistente con el proceso de carga del condensador y en general con la ley de conservación de la carga. Hay que decir que hemos aplicado resultados de electrostática para el campo eléctrico E=ζ/ε, de modo que hemos hecho una aproximación cuasiestática. Sin embargo el ejemplo no deja de ser físicamente posible, experimentalmente contrastable y no viola ninguna ley conocida. Por tanto tenemos argumentos físicos para considerar que la ley de Gauss es también válida para campos variables con el tiempo; y ya son cuatro las leyes válidas en condiciones dinámicas del campo. Comprobaremos ahora la ley de Ampére en condiciones dinámicas. Si calculamos la divergencia y aplicamos la ley de conservación de la carga tenemos       J         B   0 t   t   0    lo cual significa que la distribución de carga ρ(r,t) no puede variar con el tiempo, y esto solo es posible en condiciones de campos estacionarios independientes del tiempo. El problema procede de que la divergencia de la densidad de carga J no es nula en el caso de campos variables con el tiempo; pero hemos visto que el campo J+ε∂E/∂t es un candidato con divergencia nula en condiciones de campos variables con el tiempo. Introduciendo este campo, la ley de Ampère queda así  E     B    J   t   Desde luego la ecuación anterior es un resultado matemáticamente apetecible de cara a tener un sistema de ecuaciones consistente para campos variables con el tiempo; pero debemos dar una justificación física del resultado con la entidad suficiente. Estamos de suerte, por que el argumento de la carga del condensador visto anteriormente es aplicable en este caso. En el espacio entre placas la corriente de conducción es nula:J=0 y por tanto la ley anterior es   B   E t lo cual nos dice inmediatamente que en el espacio entre placas, aunque no exista corriente J, debe existir un campo magnético B; y este campo debe ser solenoidal Introducción al Electromagnetismo 31 rodeando el campo E, es decir, perpendicular al campo E como si fuese el caso del campo magnético alrededor de una corriente eléctrica real. Esto puede ser puesto en evidencia observado el comportamiento de una pequeña brújula en el espacio entre placas o mediante experiencias similares a las limaduras de hierro; y por tanto las fuentes del campo magnético no son exclusivamente corrientes eléctricas originadas en conductores(ley de Ampére) o corrientes de convección, sino que la variación con el tiempo del campo eléctrico es también una fuente del campo magnético en un medio dieléctrico. Esta es la ley de Ampere-Maxwell y completa un sistema de ecuaciones consistente para campos eléctricos y magnéticos variables con el tiempo ECUACIONES DE MAXWELL   Ley de Gauss  E  d S    dv Ley de Fáraday-Maxwell  E  d l   dt  B  d S  E    BdS  0  B  0 1 E  d C Conservación flujo magnético Ley de Ampére-Maxwell S   B  d l     J   C Conservación de la carga S  E  dS t    J  d S   t dv  0 B t   E    B   J    t    J   0 t Finalmente, el desarrollo que hemos hecho supone que los conceptos conductor/dieléctrico no son exclusivos, todo material puede tener en principio los dos comportamientos en mayor o menor proporción y hay que hablar de calidad como conductor o como aislante(dieléctrico). Los campos variables con el tiempo se propagan como una onda. La conclusión mas importante de las ecuaciones de Maxwell es que los campos variables con el tiempo se propagan según la ecuación de ondas. Para ver esto, y en base al análisis de campos presentado en el trabajo sobre mecánica de fluidos, calculemos el rotacional de la ley de Fáraday-Maxwell de este modo     E      B     J    t  t   2 E J  t  2   E     E   2      t t     2 2     E   E       E          Calculando el rotacional de la ley de Ampère-Maxwell obtenemos un resultado análogo para el campo magnético   2 B        J     E     J   2  2 B t   2 B   2     J t   B     t   2 2     B   B   B     Vemos inmediatamente que en el espacio dieléctrico exterior a las fuentes (ρ=0,J=0) los campos eléctrico y magnético siguen la misma ecuación de ondas con una velocidad de fase c  1 /  . Resulta que la velocidad que se deduce de la relación anterior corresponde con mucha exactitud con la velocidad de la luz, al menos en el vacío y en el aire; de modo que se puede decir que la luz es una onda Introducción al Electromagnetismo 32 electromagnética. Como consecuencia de esta identificación debemos recordar que la mayoría de los medios ópticos materiales por los que se propaga la luz: cristal, agua…son dieléctricos dispersivos ; lo que significa que la velocidad de la luz en un medio material, y por tanto su índice de refracción n, varía con la frecuencia concreta de cada rayo de luz (onda electromagnética): c(ω); fenómeno conocido en Óptica previamente al Electromagnetismo y descrito en la ecuación de Cauchy del índice de refracción. Recuerde el lector la imagen de la dispersión de un rayo de luz en sus componentes a distintas frecuencias (colores) al atravesar un prisma de vidrio, hecho descubierto por Newton. El vacío es prácticamente el único medio físico no dispersivo. La dispersión es la causa de la descomposición de un rayo de sol en rayos de distintos colores al pasar por un prisma de cristal o por una gota de agua en el arco iris. Para el caso de campos que varían armónicamente a una frecuencia ω dada, esto significa que las constantes eléctrica y magnética en un medio dieléctrico material distinto del vacío dependen de dicha frecuencia: ε(ω), μ(ω). Por tanto, las ecuaciones de Maxwell para campos variables con el tiempo que hemos encontrado, son válidas en rigor solo para campos que varían armónicamente, es decir, con una frecuencia temporal ω determinada; y por tanto, según las mismas ecuaciones de Maxwell, las correspondientes fuentes del campo también deberán variar armónicamente con la misma frecuencia temporal ω. Los campos independientes del tiempo también pueden incluirse en este contexto asignándoles una frecuencia temporal nula : ω = 0. Mediante el análisis de Fourier el caso general de fuentes que varían arbitrariamente en el tiempo se puede descomponer en una combinación lineal de fuentes que varían armónicamente a frecuencias determinadas; y en tanto el principio de linealidad de las fuentes sea aplicable al medio físico en cuestión, el campo resultante será la suma de los campos creados por las distintas componentes armónicas. Es obvio decir que comprender la interacción entre campos y materia es un objetivo de la mayor importancia. Hay que decir que la velocidad de la luz en un medio depende también de su temperatura T y presión p, por tanto debemos aceptar en general ε(ω,T,p), μ(ω,T,p) en un medio material de composición uniforme de modo que las ecuaciones de Maxwell requieren también T,p constantes. Si bien estas restricciones son ciertas, también es cierto en general que para bajas frecuencias los valores de μ,ε son muy similares al caso de campos estáticos. Sin embargo aún es posible una formulación del electromagnetismo tal que μ,ε sean auténticas constantes físicas universales. Pero esta formulación debe ser a escala atómica y considerando efectos cuánticos incluyendo partículas como electrones , protones, iones…En efecto el medio entre estas partículas es el vacío y los valores μ0,ε0 para el vacío son constantes físicas universales. La fuerza de Lorentz en el contexto de campos variables con el tiempo. Conservación del impulso mecánico, del impulso angular y de la energía en un campo electromagnético. Anteriormente hemos presentado la fuerza de Lorentz como un resultado experimental para campos estáticos. De la misma forma que hemos hecho con las ecuaciones de Maxwell debemos investigar la validez de la fuerza de Lorentz en el contexto de campos variables con el tiempo. Para ello vamos a introducir la fuerza sobre una densidad de carga y de corriente en volumen. Esto es posible ya que, como consecuencia de las leyes de Gauss y de Ampere-Maxwell, los campos E,B están bien definidos en el interior de las distribuciones en volumen de cargas y corrientes( aunque Introducción al Electromagnetismo 33 no es el caso para distribuciones puntuales, lineales o superficiales). Si tomamos un elemento de volumen dv de nuestro sistema en el que existe cierta densidad de carga ρ y cierta densidad de corriente J la fuerza de Lorentz correspondiente es d F  dv E  J dv  B  dF  f  E  J B dv donde f representa la fuerza por unidad de volumen v sobre las cargas y sobre las corrientes. Podemos resolver ρ,J directamente con las ecuaciones de Maxwell. La expresión que se obtiene es algo complicada; pero puede mejorarse la simetría sumando cero, y manteniendo las unidades, mediante las ecuaciones de Maxwell   1 E    B     E E     B   t   1    f  E B  E  E   E E  B  B   B B  0 f    t 1 B          B B      E  t   E                    Los términos entre llaves tienen la misma estructura matemática. Analizamos la primera llave utilizando del desarrollo algebráico del triple producto vectorial, con cuidado de señalar inicialmente un factor E0 que no es afectado por la derivación y se comporta como una constante: E 0    E   E 0  E   E 0   E ; podemos pasar ahora de la constante E0 a la variable E fácilmente aprovechando las propiedades de la derivada del producto; para la componente j y con el convenio de suma en índices repetidos i :  j E  E   2Ei j Ei de modo que resulta para la primera llave :       1  E  E   E E  E  E 2 .Percibimos mas claramente la estructura tensorial de este resultado expresándolo en componentes cartesianas. Para la componente vectorial j, obtenemos una expresión dependiente de dos índices i,j con el criterio usual de suma en los índices repetidos. En esta expresión introducimos el tensor elemental δij (=1 si i=j; =0 si i≠j) de modo que resulta lo siguiente para la componente i: 1  1  j Ei Ei   E j i Ei   Ei i E j  i  E 2 ij  E j Ei  2  2 La llave correspondiente al campo magnético tiene un desarrollo paralelo. Definiendo la matriz (tensor) simétrica Tij, (i=fila, j=columna) convenientemente obtenemos la divergencia de este tensor en la fórmula de la fuerza por unidad de volumen   1 1 1 Tij    E 2 ij  E j Ei    B 2 ij  B j Bi   EB T  0   f    2 2  t   iTij    T    integrando este resultado en un volumen V limitado por una superficie cerrada S y aplicando el teorema de la divergencia para tensores tenemos   f   t E  B dv   Td S  0    donde el argumento de la última integral es el producto matricial del tensor T por el vector dS. Aplicando la segunda Ley de Newton de la mecánica tenemos f  d F dm d v dv   m dV dV dt dt Introducción al Electromagnetismo 34 donde ρm es la densidad de la masa afectada por la fuerza de Lorentz. En el caso de la fuerza de un campo magnético sobre la corriente de un metal conductor, en principio la fuerza de Lorentz actúa sobre el gas eléctrico. Pero es evidente que las fuerzas internas del metal transfieren de algún modo la fuerza del Lorentz al resto de la masa del metal y se mantenga su estabilidad química interna. Continuando con el proceso de integración tenemos     m  d d dv dv   E  B dV   v dm   E  B dV E  B dV   dm     dt dt dt t dt t       y en total, si p es el momento mecánico total en el volumen de integración, tenemos   d p    E  B dv   Td S  0 dt Esta ecuación recuerda fuertemente el principio de conservación del impulso mecánico en un sistema aislado, siempre que asignemos al campo electromagnético una densidad de impulso mecánico de valor  E  B  D  B , conocido como impulso de Minkowski, y si justificamos de forma consistente que la integral del segundo miembro puede ser despreciable. Imaginemos que inicialmente nuestro sistema está en un estado estático y por tanto los campos no varían con el tiempo. Acto seguido empiezan a evolucionar con el tiempo y sabemos que los cambios en el campo se propagan en el espacio en forma de onda a la velocidad de la luz. Por tanto es posible tomar una superficie de integración lo suficientemente grande de modo que en un instante dado t los cambios en el campo no hayan llegado a la superficie S. De este modo en el instante t los campos en S son campos estáticos y estos campos varían con la distancia como 1/R2 o potencia superior. Esto es suficiente para justificar dos cosas: 1-Que, si por la superficie S no ingresa materia o impulso electromagnético externos y tampoco sale materia, entonces el sistema delimitado por S es un sistema aislado ya que tampoco puede salir impulso electromagnético interno por el límite de la velocidad de la luz. 2-Que el valor de la integral será despreciable cuando R→infinito, ya que la superficie varía como R2 y las componentes del tensor T como 1/R4 Por tanto, para un sistema electromagnético aislado se verifica el principio de conservación del impulso mecánico de esta forma   d p    E  B dv  0 dt La confirmación física del impulso electromagnético corresponde al fenómeno físico de la presión de radiación de forma que una onda electromagnética que rebota en un espejo ejerce una pequeña fuerza sobre dicho espejo debido al cambio de su impulso mecánico. Una vez probado que el resultado obtenido es compatible con el principio de conservación de la cantidad de movimiento debemos interpretar el tensor T como el flujo de impuso mecánico que atraviesa una superficie S. De este modo el resultado   d p    E  B dv   Td S  0 dt Introducción al Electromagnetismo 35 significa que el impulso mecánico perdido o ganado en el interior de la superficie S no desaparece ni viene de la nada; sino que atraviesa la frontera S hacia su exterior o su interior. Aunque en este desarrollo el impulso de Minkowski aparece claramente relacionado con la radiación electromagnética, existe un valor alternativo: el impulso de Abraham. El lector puede informarse sobre esta controversia, que solo se da en medios dieléctricos distintos del vacío, en la sección sobre electrodinámica relativista. Finalmente, note el lector que el resultado encontrado no tiene validez general y es válido solamente para un observador en reposo con el correspondiente medio dieléctrico material de constantes (ε,μ). Si multiplicamos vectorialmente la expresión diferencial asociada a la fuerza por unidad de volumen por el vector r de observación del campo aparecen nuevos campos relacionados con el momento angular, y dado que r es una constante para la operación derivada parcial con el tiempo ∂/∂t r f      r  E  B  r  T  0 t En la sección Momento angular de un fluido y Simetría del tensor de esfuerzos del trabajo sobre mecánica de fluidos aparece la misma expresión formal del primer miembro asociada a la divergencia de una matriz. Allí se demuestra que si T es una matriz simétrica, como es nuestro caso : Tij=Tji , entonces el segundo miembro se puede expresar así    Txx Txy Txz  0  z y   0  z y   Txx Txy Txz             r  T  r   T   z 0  x   0  x    T yx T yy T yz        T yx T yy T yz  z         y x 0   0   T T T   y x     Tzx Tzy Tzz    zx zy zz   T T   donde la matriz antisimétrica (rx)con las componentes del vector posición corresponde a la forma matricial para el producto vectorial y debe actuar sobre un vector columna, lo que obliga a introducir la trasposición del vector fila divergencia de (Tij). En suma    Txx Txy Txz  0        r f  r  E  B    T yx T yy T yz  z  t      y T T T    zx zy zz     T z 0 x y      x    0  0    de la misma forma que en el trabajo sobre mecánica de fluidos, vemos que podemos prescindir de la trasposición si consideramos el resto de vectores momento de la ecuación como vectores fila   Txx Txy Txz  0  z y    Txx Txy Txz  0  z y          d 0  x    0   r  f dV    r  E  B dV   d S  Tyx Tyy Tyz  z 0  x  0 r f  r  E  B      Tyx Tyy Tyz  z      t dt 0   0   Tzx Tzy Tzz   y x   Tzx Tzy Tzz   y x             donde hemos aplicado el teorema de la divergencia para tensores presentado en el apéndice de Mecánica de Fluidos y (dS) es un vector fila multiplicando a la izquierda la matriz correspondiente. La integral de la fuerza de Lorentz f corresponde al momento de fuerzas mecánico en el volumen de integración V, y según la mecánica de Newton equivale a la derivada temporal del momento angular mecánico Lmateria en el volumen de integración  d L materia  L campo dt    d S Tr   0 ; L V campo      r  E  B dV Introducción al Electromagnetismo 36 Si consideramos Lcampo como un momento angular del campo en el volumen V la expresión completa es consistente con el principio de conservación del momento angular, ya que T r  se puede interpretar como el flujo del momento angular , por unidad de superficie y unidad de tiempo, que entra o sale del volumen V. El vector de Poynting y el principio de conservación de la energía en un campo electromagnético. La expresión E  B se conoce como vector de Poynting y es un campo vectorial que debemos analizar en términos de su divergencia y su rotacional para encontrar sus fuentes según las prescripciones del teorema de Helmholtz. Calculemos en primer lugar su divergencia. Siguiendo las reglas presentadas en el trabajo sobre mecánica de fluidos para el cálculo con campos tenemos         E  B  B    E  E    B  B   B E     E   J   t t   dividiendo todo por μ y agrupando términos tenemos 1      E  B  J  E    2 1 2  E  B  2   t  2 un análisis de unidades nos dice que el producto escalar de J por E tiene unidades de potencia por unidad de volumen y es inmediato ver que este producto corresponde a la potencia mecánica transferida por la fuerza de Lorentz según la mecánica clásica, ya que J es igual al producto de la densidad de carga móvil por la velocidad del elemento de carga J=ρv. No hay indicios en este resultado de términos energéticos asociados las fuentes alternativas del momento angular señaladas en el apartado anterior, aunque mas adelante los introduciremos. A partir de esto vemos también que los términos del paréntesis tienen unidades de densidad de energía por unidad de volumen. Se trata por tanto de la densidad de energía por unidad de volumen asociada al campo electromagnético. Por tanto tenemos que el campo vectorial de Poynting está directamente relacionado con las modificaciones energéticas producidas en el propio campo y en sus fuentes. Para determinar el significado físico del vector de Poynting basta integrar la expresión anterior en un volumen limitado por una superficie cerrada S, lo que mediante el teorema de la divergencia nos lleva a   2 2  d  1 1 B dv  E  B  d S    J  Edv    E dv  dt  2 2   S  El segundo miembro representa la energía perdida o ganada en el instante dt para el sistema limitado por la superficie cerrada S. Según el principio de conservación de la energía, en todo instante dt la energía perdida o ganada en el interior de S no puede desaparecer ni aparecer de la nada. De este modo la integral del vector de Poynting en la parte izquierda debe corresponder con el flujo de potencia electromagnética que atraviesa la superficie S en el instante dt; bien sea hacia el interior o hacia el exterior de S. Note el lector que, para que esta interpretación sea consistente, debemos elegir S de modo que no debe existir materia (cargas, corrientes…) que atraviesen dicha superficie; lo cual supondría una pérdida o ganancia de energía adicional cuyo flujo no está representado por el vector de Poynting. Introducción al Electromagnetismo 37 Potenciales del campo electromagnético. Supongamos un sistema electromagnético en el que conocemos completamente los campos eléctrico y magnético y las correspondientes densidades de carga y corriente. Mediante las ecuaciones de Maxwell podemos intentar una descripción del sistema     B (r ', t )   1  (r ' , t )  V r  r' S r  r'  E (r ', t ) E (r ', t )      d S '  dS '      dv'  dv'     4 E (r , t )      r  r' t r  r ' . B (r ', t ) / t E (r ', t ) S r  r' S r  r'      V   V  4 (r , t )    d S ' dv'    ' '   r r r r V S  4(r , t )  1  (r ' , t )  dv'  E (r ', t )  dS ' basada en funciones potenciales en vez de los propios campos electromagnéticos. Si aplicamos las ecuaciones de Maxwell al teorema de Helmholtz, presentado al inicio de este trabajo, tenemos para el caso del campo eléctrico Las funciones ,  son potenciales válidos para el campo eléctrico y por supuesto el teorema de Helmholtz también nos lleva a los correspondientes potenciales para el campo magnético. Estos potenciales tienen en general gran dificultad de cálculo; pero existen otras formas para definir funciones potenciales de cálculo mas sencillo directamente a partir de las leyes de conservación del flujo magnético y la ley de Fáraday-Maxwell. Partimos del potencial magnético A definido de la misma forma que en el caso estático : el rotacional de A es el campo magnético B ; a esto añadimos una generalización del potencial escalar Φ estático     POTENCIALES ELECTROMAGNETICOS  , A DERIVADOS DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL Conservación flujo magnético. Ley de Fáraday-Maxwell   E    B   A   B    A  0  B  0  B A 0     E  t t   E    A        0 t Aparentemente no hemos hecho mas que un cambio de variables de modo que, en función de los potenciales  , A las correspondientes leyes de Maxwell son   consecuencia de las propiedades matemáticas de los operadores gradiente, divergencia y rotacional. Pero en lo que afecta al campo vectorial A solo hemos determinado sus fuentes correspondientes al rotacional y no hay ninguna condición sobre sus fuentes asociadas a la divergencia; y ambas cosas son necesarias para determinar matemáticamente un campo vectorial según el teorema de Helmholtz. Aplicando los potenciales  , A al resto de las ecuaciones de Maxwell   ECUACIONES DE MAXWELL EN TERMINOS POTENCIALES Ley de Gauss Ley de Ampére-Maxwell E      E    B   J    t     2       A  t    2 A      A    J      2    t t    2 A   2 A t 2       J       A t   Si tenemos un margen , la siguiente elección para la divergencia de A conocida como gauge de Lorenz simplifica las ecuaciones así  2   2     2       t   A     2 t  2 A    A    J  t 2 Introducción al Electromagnetismo 38 de modo que el gauge de Lorenz es equivalente a que los dos potenciales, escalar y vectorial, verifiquen el mismo tipo de ecuación diferencial : la ecuación de ondas con inclusión de las fuentes y las fuentes de cada potencial aparecen claramente separadas. Note el lector que una capacidad de elección relativamente arbitraria de la divergencia descrita en el teorema de Helmholtz también es aplicable al menos en el caso de campos electromagnéticos variables con el tiempo confinados espacialmente, como el caso de circuitos eléctricos o guías de onda. En todo caso el gauge de Lorenz y otras posibles elecciones de la divergencia de A deben justificarse mediante los resultados obtenidos. El lector puede ver un análisis de la ecuación de ondas para el potencial escalar Φ en el trabajo Sobre la ecuación de ondas, resultando un cálculo preciso de Φ mediante la técnica de los potenciales en retardo de Lienard-Wiechert. Dado que se verifica la misma ecuación de ondas, este cálculo se extiende directamente al caso del potencial A. Con el gauge de Lorenz los potenciales se pueden calcular de modo preciso mediante la técnica de los potenciales retardados y también adquieren cierta consistencia física al propagarse de la misma forma ondulatoria que la energía, el impulso mecánico y angular y los campos eléctrico y magnético. Note el lector que los potenciales ,  que aparecen directamente en las ecuaciones no son potenciales retardados, ya que solo dependen del tiempo de observación t y no de tiempos anteriores al de observación.   Cálculo vectorial y campo magnético. Fuerzas y momentos sobre un circuito. Sea un circuito eléctrico simple C formado por un lazo cerrado de cable conductor de sección recta constante S por el que pasa una corriente J constante de intensidad I=JS. Analizaremos el efecto de la fuerza de Lorentz cuando este circuito está afectado por un campo magnético externo estático. Por tanto si tomamos como sentido de circulación del segmento dl el de la propia corriente eléctrica la fuerza sobre este elemento de corriente será d F  JSd l  B  Id l  B ; I  JS La fuerza neta será la integral de línea sobre el circuito C de la expresión anterior, y podemos utilizar los teoremas integrales presentados en el apéndice del trabajo sobre mecánica de fluidos. Recordando el teorema extendido de la divergencia de un campo vectorial arbitrario f, para cualquier superficie abierta limitada por el circuito C  f ( x, y, z, t )  d l     f ( x, y, z, t )d S   f C S x ; f y ; f z ;d S S donde el ; indica los vectores columna de la matriz, en nuestro caso F  I  B  d l  I    B d S   B ; x  B y ; Bz ;d S  I  Bx ; B y ; Bz ;d S C es importante mantener el orden de multiplicación ya que manejamos operaciones matriciales no conmutativas. El resultado es en general de cálculo complejo, pero para el caso especial en que el campo B puede considerarse constante tenemos F=0 y el campo magnético no ejerce ninguna fuerza neta sobre el circuito (o dipolo magnético en general). La dependencia de la fuerza con el gradiente del campo magnético que muestra el resultado anterior es el hecho relevante del experimento de Stern-Gerlach que permite distinguir los dos valores posibles del momento magnético intrínseco del electrón (Spín). Introducción al Electromagnetismo 39 Pasamos ahora a calcular el momento de fuerzas sobre el circuito C debido a la fuerza de Lorentz  r  d F   I  r  B  d l  C C esta es otra integral de línea sobre la que se pueden aplicar los teoremas integrales conocidos, pero introduciendo la forma matricial del producto vectorial. Utilizaremos la traspuesta de este resultado de modo que podamos aplicar el teorema del rotacional para tensores visto en el trabajo sobre mecánica de fluidos. Del carácter antisimétrico de la matriz asociada al producto vectorial, su traspuesta equivale a un cambio de signo y tenemos  0 T      r  B  d l    d l  Bz  B C C   y      Bz 0 Bx  0 By  0  z y     0  x    d S rot  Bz  Bx  z   B 0   y x 0  S  y   B y  0  z y    0  x   Bx  z 0   y x 0   Bz 0 Bx Donde S es cualquier superficie abierta limitada por el circuito C. El rotacional del producto de dos matrices también se calculo en apéndice de la mecánica de fluidos con este resultado T  T  T   rot  ab     a b     a b   a   b         ;  0  z    y     y   T  x ;       0   z   0 x   y en nuestro caso, si (rx),(Bx) representan las matrices antisimétricas correspondientes al vector posición y al campo magnético tenemos rot(B)(r)  (B)(r)  (B)   (r) T T T si limitamos de nuevo nuestro estudio al caso de campo magnético constante el primer sumando del resultado anterior se anula y para el segundo tenemos  0    Bz  B  y Bz 0  Bx  B y  0  Bx   z 0    y z 0 x  y   Bz  z  B y  y     x     Bx  y 0    Bx  z  By  x Bz  z  Bx  x  By  z    B y  y  Bx  x   Bz  x  Bz  y haciendo la traspuesta y multiplicando por la matriz restante (rx)T tenemos2   Bz  z  B y  y  By x   Bz  x  Bx  y  Bz  z  Bx  x Bz  y  0  z y   0    0  x     Bz By z  z    B y  y  Bx  x   y x 0   B y Bx  z Bz 0  Bx  By   Bx   0  revirtiendo la traspuesta que tomamos inicialmente, el teorema correspondiente que nos lleva al cálculo del momento de fuerzas es  0 T T       r d F I r B d l I            S  Bz  C C      By  2   Bz 0 Bx integral B y  dS x       Bx  dS y    I  B  d S  I   d S   B  I S  B   S  S 0  dS z  En la sección siguiente se presenta una forma mas elegante y concisa de realizar estos cálculos matriciales en componentes. Introducción al Electromagnetismo 40 Evidentemente el momento de fuerzas es una magnitud física medible bien determinada. Pero el resultado que encontramos depende de la superficie vectorial S . La superficie vectorial no coincide en módulo con la geométrica, por ejemplo la superficie vectorial de una esfera (superficie cerrada) es cero; sin embargo podemos albergar dudas sobre el resultado encontrado si no demostramos antes que la superficie vectorial es independiente de la superficie de integración que se elija. Podemos ver esto rápidamente utilizando el teorema integral utilizado en el cálculo de la fuerza:  f ( x, y, z, t )  d l     f ( x, y, z, t )d S   f C S x ; f y ; f z ;d S S si elegimos como campo f() el radio vector r=(x,y,z) de nuestro sistema de coordenadas tenemos 1 0 0   1  r  d l     r d S    0 1 0 d S  3S  S  S  2  r  d l 0 0 1   y este resultado nos dice que, efectivamente, la superficie vectorial es un valor independiente de la superficie concreta elegida para la integración. Además la superficie vectorial se define mediante suma de productos vectoriales y por tanto es también un vector. Si hacemos el cambio de sistema de coordenadas r→r0+r’ , correspondiente a un desplazamiento, vemos inmediatamente que el término asociado a r0 en la integral de línea se anula. De este modo vemos que la superficie vectorial S es independiente del sistema de coordenadas utilizado y es un vector que se mantiene idéntico a si mismo por giro y/o desplazamiento del sistema de coordenadas utilizado. De este modo la magnitud I S , producto de la intensidad del circuito por su superficie vectorial también conocido como momento dipolar magnético m, es una magnitud vectorial independiente del sistema de coordenadas. Esto es análogo al caso del momento dipolar eléctrico, magnitud que es también independiente del sistema de coordenadas en materiales con carga neta nula. Debido a esta circunstancia matemática estas magnitudes son de la mayor importancia física y de hecho se emplean en la descripción de la polarización y la magnetización de la materia. En el caso magnético la descripción clásica de la magnetización de la materia se basa en la hipótesis de Ampère según la cual en el contexto de la naturaleza eléctrica de la materia existen corrientes elementales a nivel atómico que se comportan como la espira que acabamos de analizar. Estas corrientes pueden tener sus superficies vectoriales paralelas de forma natural y crearan por agregación un campo magnético propio; esto sería un imán natural. En otros caso, las superficies vectoriales están orientadas al azar y el material no es un imán natural. Pero, de la misma forma que las limaduras de hierro se alinean en presencia de un campo magnético en la experiencia de Fáraday, estos circuitos elementales pueden ser afectados por un momento de fuerzas ante un campo magnético externo que hace girar su superficie vectorial para quedar paralela y del mismo sentido que el campo magnético. Esto genera un campo magnético neto y el material acaba magnetizado por inducción externa. Introducción al Electromagnetismo 41 Desarrollo multipolar de los potenciales estáticos eléctrico y magnético. En ausencia de discontinuidades u otras condiciones de contorno, los potenciales estáticos eléctrico y magnético son los siguientes  (r )   1  (r ' ) dv' ; A(r )   4 4 V r  r ' J (r ' )  r  r ' dv' V y comparten la misma función del inverso de la distancia. El desarrollo multipolar se basa en una aproximación en serie de este término supuesto que el punto de observación del campo respecto al origen de coordenadas (r) es mucho mas lejana que la posición de las fuentes del campo respecto al mismo origen de coordenadas (r’), y por tanto ρ(r’)=J(r’)=0. El desarrollo multipolar proporciona una aproximación útil del campo mas allá del caso de cargas puntuales, esferas cargadas perfectamente simétricas, corrientes constantes rectilineas o con simetría cilíndrica perfecta. Por supuesto el cálculo de los potenciales puede ser complejo dependiendo de las funciones densidad. Sin embargo el desarrollo multipolar ofrece aproximaciones sencillas y de validez general aplicables en una gran variedad de situaciones; lo cual es de gran utilidad. Suponemos una distribución genérica de cargas puntuales {qn} acotada en un volumen V. Colocamos nuestro sistema de coordenadas en una posición centrada respecto a dicho volumen; esto no concreta mucho pero veremos que es suficiente para nuestra aproximación. Designamos el vector numerador de una carga o masa n como r’n y el punto de observación del campo como r. Para una carga determinada r’n su potencial asociado en el punto de observación r varía según una función inversa de la distancia entre dicha carga y el punto de observación. Esta función tiene la característica de que si el punto de observación del campo se aleja suficientemente podemos tomar los valores r’n formalmente como pequeñas variaciones δr del punto de observación r; de modo que podemos plantear el siguiente desarrollo en serie de Taylor respecto al punto r de observación del campo    x r  x1 , x2 , x3 '  r  r n  1 1  2 r 1 r 1  ...........   xin' x 'jn  r   r  r 1   xin'  ' ' '  xi , x j  xi r 2 i , j i  x x , , r 1n 2n 3n   un cálculo de las derivadas de primer orden da   1 x  r r   3i  r xi r r  2 xi  r 2   x 2j  2r  xi j  r 1 1 r  2 xi r r xi y los potenciales hasta segundo orden multipolar son   1 r'  r   ; A A A      0  1  ...   dv ' ( r ' ) ... 0 1....   3   4 V r 4 r   1   1 r'  r     dv J r ' ( ' ) .......  3  r r V   En el caso del potencial eléctrico Φ reconocemos el término monopolar Φ0 con carga ' neta Q   dv'  (r ' ) y el dipolar Φ1 con momento dipolar p   dv' r  (r ' ) . En rigor, el V V desarrollo multipolar no es aplicable en general en el punto de observación del campo r=0. Sin embargo podemos introducir conceptos límite modificando la distribución real Introducción al Electromagnetismo 42 haciendo que su volumen V tienda a cero pero manteniendo los valores netos Q,p….de la distribución original de modo que los polos eléctricos se acercan tanto como queramos ' Q(r '  0)  LimV 0  dv'  (r ' ) ; p(r '  0)  LimV 0  dv' r  (r ' ) V V Con esta aproximación asignamos los valores Q,p,…al punto r’=0. Esto supone una modificación de la distribución original, observable solo en zonas relativamente cercanas a dicha distribución. A cambio de esto podemos utilizar el cálculo vectorial sin restricciones en todos los puntos del espacio sobre los campos asociados a los sucesivos términos multipolares; incluso en el punto de observación r=0. Si calculamos el campo asociado a un dipolo eléctrico localizado en cualquier punto r’ del espacio: E1        1  p(r ' )  r  r '  4  r  r ' 3          r  r'  r  r'  1  r  r' 1     p(r ' )     p r p(r ' )   ( ' ) 3 3 3  4  4  r  r'  r  r'  r  r'             Podemos identificar físicamente este resultado mediante el campo de dos cargas eléctricas iguales y opuestas (polos) separados cierta distancia. En términos de los potenciales de dos cargas puntuales iguales y opuestas Limr ' q   r ' r  r '  q r  r '  Limr '  q r  r '  r  r '   r ' r  r ' r  r '   r '   q  r  r '  r '  r ' r '  r ' r  r ' r  r '  r  r '   q r '  r '  Limr '   Lim    r  r ' r  r ' r  r '  y si hacemos que q aumente de modo que la cantidad q r ' r '  se mantenga constante en el límite, reconocemos inmediatamente el potencial dipolar con p(r '  r ' )  Limr ' r ' q r ' r ' . De esta forma los polos eléctricos se vienen a comportar     como los polos magnéticos, que están cercanos entre si tanto como queramos ya que no podemos aislarlos. Podemos ver que mientras la ecuación de Laplace es válida para el término monopolar con la única excepción del caso r=0, el campo dipolar verifica la ecuación de Laplace en todos los puntos del espacio, incluido r=0. Si por simplicidad tomamos el dipolo eléctrico p localizado en r’=0 tenemos 4(r )  Q 1  p   ....; Q   dv'  (r ' ), p   dv' r '  (r ' ) consantes,  r r V V    1 1 1 1     p     p        p     p      r r r r     1 1  1    2      p p p r              0 ;             r r  r  1 1         p    p     r r    2     Q 0; r0 r   Note el lector que, aunque hemos asignado a p la posición r’=0 también debemos considerarlo como un campo p(x,y,z)=constante desde el punto de vista del cálculo con operadores diferenciales; y como tal campo puede expresarse en distintos Introducción al Electromagnetismo 43 sistemas de coordenadas relacionados con el sistema cartesiano (x,y,z) del observador. De este modo el campo eléctrico asociado al término dipolar E 1   1 tiene divergencia nula en todos los puntos del espacio   E1  0 , lo cual es análogo al caso del campo magnético   B  0 ; y por tanto podemos percibir cualquier campo magnético mediante líneas cerradas que salen y entran por el punto correspondiente al dipolo magnético, lo mismo que el dipolo eléctrico. Para el caso del potencial magnético el término monopolar A0 es nulo en general ya que la densidad de corriente está completamente contenida en el volumen de integración V. Para calcular A1 simplificamos la densidad de corriente al caso de un pequeño tubo cerrado de corriente de intensidad constante I de modo que tenemos   ' J (r ' )dv'  J (r ' ) Sdr '  Id r '  A1  ' r r  I dv' J (r ' ) 3  r  r d r' 3   4 V 4r C r donde los vectores J y dr’ son paralelos y S es el área de una sección recta de la corriente. Note el lector que, de este modo, hemos transformado la integral de volumen en una integral de línea para un circuito cerrado C. Para el cálculo de esta integral de línea recurrimos al cálculo vectorial, incluyendo el doble producto vectorial y la forma tensorial del teorema del rotacional que también hemos utilizado en la sección anterior r  r'd r'  r'd r'r  r'r  d r'   r       '  r d r '    r  d r ' r   r ' r  d r '  C C ' C Mediante el teorema del rotacional vemos fácilmente que la integral entre paréntesis es nula : 'r '  0 . Por otro lado, los vectores entre paréntesis (rx),(r’x) de la última integral son las matrices antisimétricas asociadas a dichos vectores y dr’ es un vector columna sobre el que actúa el resultado del producto de matrices anterior. Aplicaremos el teorema del rotacional para tensores en esta última integral, para lo cual necesitamos trasponer el resultado de la integral de modo que dr’ aparezca como vector fila y la siguiente fórmula (ver apéndice mecánica de fluidos)                rot ' r  r '  ' r  r '  r  ' r '   r  ' r ' T T T T T T ya que en nuestro caso el rotacional actúa solo variables primadas r’. Realizando los cálculos matriciales correspondientes tenemos para el rotacional  0 z  y  0   x   z '   z 0  y  x 0     y '    z' 0  x'  y '     x '  0  T z '  y '   z z '  y y '  0    x'     y x '   z' 0  y '  x ' 0    z x'     x y ' z z '  x x '  z y '  0 z'  y'    y z '   z ' 0 x'   y y '  x x '  y '  x' 0   x z ' z  y  0   x   (r)  z 0  y x 0    lo que nos lleva a (dS es un vector fila cuando multiplica matrices)   '   r  r d r'   C C T T     r ' r  d r '    d S rot ' (r)( r ')      d S (r)   r  d S  r  S  S S  S           A1  r  IS  3 4 r Introducción al Electromagnetismo 44 Este resultado evidencia la aparición del momento dipolar magnético m  I S para la aproximación multipolar del potencial magnético. Una corriente estacionaria arbitraria se caracteriza por la divergencia nula de la densidad de corriente :   J  0 ; lo cual supone que las líneas del campo J son cerradas; es decir, una corriente estacionaria equivale a la suma de un conjunto de circuitos elementales de sección recta dS e intensidad dI constante en todo el circuito dI  JdS , aunque posiblemente J y dS puedan cambiar de un punto a otro del circuito elemental. Con esto, el potencial vector será la suma de todas las corrientes elementales dI A1   d A1  {I }  r    1 1  r 1  r dI   r '  d l '   3  JdS '   r '  d l '   3    r '  J dV '   3 ; dV '  dS ' dl '     r 4 {I }  2  r 4 {S '} 2  r 4  2 {V '}  donde hemos utilizado la fórmula integral obtenida anteriormente para la superficie vectorial. También se ha utilizado el paralelismo de J y dl de modo que finalmente hemos incluido la integral de línea en una integral de volumen. La magnitud m 1 r ' J (r ' )dV ' 2V'  se conoce como el momento magnético de una distribución estacionaria de corriente; lo cual se refleja en el hecho de que J no es función del tiempo. Siguiendo el esquema del desarrollo multipolar para el caso del campo eléctrico, podemos definir el momento magnético puntual m como el límite de la integral cuando el volumen V’ tiende a cero, pero modificando r’ y J de modo que el resultado corresponda con el momento magnético de la distribución real m(r '  0)  LimV '0 1 r ' J (r ' )dV ' 2V'  de este modo el análisis multipolar produce campos a los que se puede aplicar el cálculo vectorial en cualquier punto del espacio. En el caso del momento dipolar magnético el campo asociado procede del rotacional del potencial vector A1 y podemos expresarlo para un dipolo situado en cualquier punto r’ del espacio como         r   2           m(r ')  r  r '    r  r' r  r'  r  r'    m(r ')   B1    m r  r '     m(r ')    m(r ')   3 3 3 3 4 4 4       r  r' r  r'  r  r'  r  r'  donde hemos utilizado   r 3  z r’ I y        m(r ')  r  r '  4  r  r ' 3     Podemos contrastar este resultado con el campo magnético generado por un circuito circular recorrido por una intensidad I constante tal como se representa en la imagen adjunta; con el circuito perpendicular al eje z y centrado en el origen de coordenadas. El campo correspondiente es B x  1  4 ( r ) . Por analogía con el campo del dipolo r B1    m r  r '  |r-r’|   eléctrico E1 podemos poner r       J (r ' )  r  r ' I d r ' r  r ' I  dv'  3 3   4 4 4 V  V r  r' r  r'  V d r 'r r  r' 3  I r '  d r ' 4 V r  r ' 3 Introducción al Electromagnetismo 45 si restringimos el cálculo a los puntos del eje coordenado z las integrales anteriores se simplifican así 2S 1 r' d r' d r 'r r r' d r'      d r'  0 ;  3 3 3 3  3 V V r  r' r  r' r  r' V r  r' r  r' V donde S es la superficie vectorial de la espira. El campo sobre el eje z resulta ser B m I S 1  ; m  I S  Ia 2 u z  2 r  r ' 3 2 z 2  a 2 3 / 2 donde a es el radio de la espira y m el momento dipolar de la espira. Si ahora aplicamos el resultado derivado del análisis multipolar a nuestra espira, particularizando el campo para el eje z tenemos   B1  u z   m r  r '            mz  m   z       u z   m r  r '  3 4 z  r  r ' 3  4  r  r '    con el siguiente cálculo de la derivada 3 3 4    r  r'  z r  r '   r  r '  3z r  r '  z z    3 3 4 z2      z r  r'   r  r'  3 r  r' 2  z  r  r  r' r  r'  r  r'  r  r'  2 r  r' r  r'  2 r  r'   z  z      en nuestro caso el dipolo estaría en el origen de coordenadas r’= 0 y tenemos  B1  u z  m r  1 m  4  z 2  a 2    3/ 2 3 z z2 2 a  2 5/ 2     para valores z >> a el campo magnético sobre el eje z según el análisis multipolar y según el cálculo directo son indistinguibles B1  u z  m 1  B1  u z 2 z 2  a 2 3 / 2 En general para distancias cercanas a la espira el campo sobre el eje z difiere notablemente entre el valor real y la aproximación multipolar. Esto no debe extrañarnos y debemos pensar que esta discrepancia se puede aminorar incluyendo el siguiente término de la aproximación multipolar : el campo cuadrupolar. Sin embargo el campo dipolar todavía incluye un término en δ(r) para el campo que solo es relevante para r=0. En el caso de la espira real este término parece no tener ningún significado físico y en general, si concebimos según la hipótesis de Ampère que cualquier campo magnético, natural o artificial, está asociado a algún tipo de corriente o movimiento de partículas o material eléctrico similar al caso de la espira nos veremos en dificultades para interpretar físicamente este término. Sin embargo el lector comprobará que este problema, relacionado con contribuciones no mecánicas al momento angular señaladas en la sección anterior sobre principios de conservación, aparecerá mas veces en lo que queda de texto y relacionado con cuestiones fundamentales. Si podemos interpretar la corriente J(r’) mecánicamente como el desplazamiento de partículas cargadas podemos poner J=ρcv .Si además todas las partículas son Introducción al Electromagnetismo 46 iguales, con la misma carga y la misma masa tenemos que la densidad de masa ρm es proporcional a la densidad de carga : ρc=(e/m)ρm , donde e es la carga de la partícula y m su masa. Esto nos lleva a relacionar el momento magnético de una distribución de corrientes con su momento angular mecánico L m 1 e r '   c vdV '  r '   m vdV '   2 V' 2m V' m e L; 2m La relación encontrada entre m y L, que justamente es una consecuencia de la hipótesis de Ampère, se suele generalizar introduciendo un factor numérico g que adapte la fórmula anterior a los diferentes casos experimentales m ge L 2m La relación anterior aparece en experimentos como el efecto Zeeman, que muestra el efecto de un campo magnético sobre los niveles de energía cuánticos de los electrones atómicos. Realmente el efecto Zeeman es el contexto en el que esperaríamos ver las corrientes de Ampère en acción encarnadas en el movimiento de los electrones dentro del átomo. Pese a que el análisis cuántico no muestra estas corrientes como esperaríamos en una imagen clásica, es cierto que en el análisis cuántico aparece de forma natural la relación anterior entre m y L y de esta forma, si bien no podemos hablar de corrientes de Ampère clásicas para los electrones atómicos, si es cierto que las consecuencias de cara a la magnetización de la materia son las mismas que en la imagen clásica. El lector interesado puede ver un análisis del efecto Zeeman en el trabajo Introducción a la Mecánica Cuántica. Esta relación entre el momento magnético y el momento angular también se pone de manifiesto en el efecto Einstein-DeHass, en el que se magnetiza (m) un material ferromagnético (imán natural) mediante un campo magnético externo. Al hacer oscilar la intensidad el campo magnético externo hay una variación del momento magnético y según el resultado anterior una variación en el momento angular mecánico ΔL de los electrones del material ferromagnético. La conservación del momento angular requiere que el resto del material experimente una variación de momento angular –ΔL que es observable en forma de un pequeño giro oscilante de imán natural. A la inversa también funciona : si provocamos un giro oscilante de un material ferromagnético respecto a un eje, también aparece una magnetización en la dirección de la velocidad angular; fenómeno conocido como efecto Barnett. El lector puede ver también una introducción al análisis multipolar en Introducción al modelo Copernicano y la gravedad de Newton. Energía electromagnética y energía potencial. En la física clásica Newtoniana la energía potencial se distingue por no depender del impulso mecánico; como es el caso de la energía cinética. Por tanto, por una parte la energía potencial puede calcularse en condiciones estáticas del sistema y por otra también debe participar en la evolución dinámica del sistema para cumplir con la validez incondicional del principio de conservación de la energía. Sin embargo el concepto clásico de energía potencial puede y debe generalizarse en el contexto del Introducción al Electromagnetismo 47 electromagnetismo. Hemos visto en la sección sobre conservación de la energía en un sistema afectado por fuerzas electromagnéticas que la densidad de energía por unidad de volumen u almacenada en el campo electromagnético para medios lineales es u  2 2 E  1 2 B 2 Si es el caso que podemos descomponer el campo total en suma de lineal de dos componentes ,1 y 2, la dependencia cuadrática produce este resultado u  2 E  2 1  E2   1 B1  B 2 2  2   2 2 E1   2 2   E 2   E1  E 2   1 2 1 2 1 B1  B 2   B1  B 2  2 2    el resultado incluye la suma de densidades de energía asociadas a los campos componentes 1 y 2, pero debido a la dependencia cuadrática también aparecen densidades de energía asociadas al producto escalar de los campos componentes, que se han resaltado entre llaves. Según el principio de conservación de la energía estos términos cruzados están asociados a la energía de interacción entre los sistemas 1 y 2, es decir a la correspondiente energía potencial. Veamos esto en el caso sencillo de dos cargas puntuales en reposo q y Q; donde Q ocupa el origen de coordenadas y q está localizada por el vector r0 U    E1  E 2 dv  qQ r qQ 1  1  r  r 0 dv    4   r  r  r 3 0 r  r0  dv   4 4   r 3 r  r 0 3 2 y según la siguiente relación del cálculo vectorial presentada en el trabajo sobre mecánica de fluidos :   f (r ) g (r )  g (r )  f (r )  f (r )  g (r ) podemos descomponer la   integral en dos términos      1 r  r0   r  r0  1 1 r  r0 1 1  1  r  r0 dv dv       d S  2 dv      dv      r   3 3 3 3 r r rr r r  r0  r r  r0   r  r0  r  r0 0     donde hemos utilizado el teorema de la divergencia y las propiedades analíticas de la función asociada al potencial de la carga q. Es evidente que si se extiende la integral a todo el espacio la integral de superficie se anula ya que la superficie aumenta proporcionalmente a r2 mientras que el factor correspondiente disminuye como 1/r3; por otro lado el Laplaciano equivale a -4π δ(r-r0) y por tanto U    E1  E 2 dv     1 qQ qQ 1     4   r  r 0 dv   4 4  r  4 r0 resultado que es evidentemente la energía potencial de la interacción entre las cargas puntuales q y Q. Vamos a calcular ahora la energía potencial en el caso de un sistema formado por dos subsistemas : 1-Un campo eléctrico/magnético constante. 2-El campo de un dipolo eléctrico o magnético. El resultado de esto será el cálculo de las correspondientes energías potenciales. Introducción al Electromagnetismo 48 Los potenciales escalar y vector correspondientes a un dipolo eléctrico p y un dipolo magnético m localizados en el origen de coordenadas (r’=0) son p  1 pr 4 3 r , Am   mr 4 r 3 y los correspondientes campos serán Ep   Bm   4  pr  1   1 r r r  p  3  3     p     3   p   3    4  r  4   4 r r  r   1     mr      r r r  m 3    3   m   3   m   3    m (r )    4 4 r r r r        donde hemos utilizado   r r3   2    1  4 ( r ) . Hay que hacer notar en este punto que la r discontinuidad esencial del campo magnético asociado al término δ(r) se debe a la consideración del dipolo magnético como puntual, y en este sentido este término tiene una justificación matemática. Físicamente podemos pensar que en realidad el límite puntual no es posible y podemos prescindir de este término. Pero veremos que en el caso de distribuciones en volumen de dipolos (y por tanto no puntual) este término, una vez integrado, adquiere un significado relevante relacionado con la magnetización de materiales. Tenemos por tanto dos campos, eléctrico y magnético, formalmente idénticos para r≠0. De este modo, si expresamos el campo de un dipolo magnético en función del gradiente de un nuevo potencial escalar de la misma forma que para el campo eléctrico de un dipolo eléctrico tenemos E p   p ;  p  1 pr 4 r 3 B m   m (r )   m ;  m   mr 4 r 3 lo que nos llevará a unas energías potenciales similares para los casos del dipolo eléctrico y magnético, como veremos a continuación. Por aplicación de las identidades operacionales vectoriales, el teorema de la divergencia y suponiendo que no existen fuentes del campo E en el volumen de integración tenemos la siguiente forma para la energía potencial de interacción U, en el caso eléctrico   V     p E   p  E   p   E   U p       p E dv     p E  d S   E    p d S  V S S E 0   U p     p  Edv     si ahora consideramos que el campo E en el volumen de integración es constante, o bien un valor promedio <E> en el volumen de integración tenemos  U p   E   p d S S la integral de superficie se desarrolla fácilmente a partir del doble producto vectorial y recordando el concepto de ángulo sólido 1   p d S  4  S S pr r 3 dS  1 S    r dS  r    dS  p  p  1  4 r 3  r 3 p 4    r 3  d S  p  r S Introducción al Electromagnetismo 49 dado que el dipolo p (r=0) está dentro del volumen de integración V. Para la integral restante recurrimos al cálculo con las matrices equivalentes asociadas al producto vectorial y al correspondiente teorema de la divergencia sobre matrices (tensores) visto en el trabajo de mecánica de fluidos  S r  r 1   p  d S     3 ( p)d S       3 r  p   dV r r r3    S V      donde los términos entre paréntesis son los tensores (matrices) antisimétricos equivalentes a los vectores correspondientes. Aplicando las reglas de cálculo vistas en el trabajo sobre mecánica de fluidos tenemos                 1 3 1  1   1    3 r  p     3   r  p   3   r  p    4 r  r  p   3   r  p   0 r r r r   r el resultado nulo se debe a las siguiente operaciones expresadas en términos matriciales   r  r   x y z  y  0   z   z 0 x   0 ;   r    x  y x 0      y z  y  0    z   z 0 x 0  y x 0    y resumiendo cuentas, la energía de interacción entre un dipolo eléctrico y un campo eléctrico constante resulta en Up  p E Note el lector que este resultado es independiente del volumen de integración mientras este volumen contenga al dipolo p (r=0). En el caso del dipolo magnético en un campo magnético constante B, un análisis matemático directo produce el siguiente planteamiento 1  m  Bdv   m  B (r )dv   V V      m B   m  B   m   B   B  0   Um     A partir de aquí, y tal como se dijo antes, prescindimos por razones físicas del término asociado a δ(r) correspondiente a un dipolo puntual, lo que produce siguiendo un desarrollo paralelo al caso del dipolo eléctrico U m  m  B ; y este es el resultado que la teoría clásica del electromagnetismo aplica por ejemplo al caso de una espira recorrida por una corriente. Si tomamos la expresión completa del campo, incluyendo el término δ(r) , el resultado es U m  0 ; lo cual es un resultado absurdo físicamente. Note el lector que el cálculo de las energías resulta independiente del volumen de integración elegido. Esto hace que se puedan definir los campos promedio <E>,<B> como el límite del campo sobre el dipolo cuando el volumen de integración tiende a cero; o con mas sentido físico, el volumen de integración tiende a las dimensiones del dipolo. El resultado indica que un giro de los momentos dipolares en un punto determinado del campo supone una variación de la energía potencial: positiva si el movimiento es forzado y negativa si el movimiento es natural o espontáneo, tal como el giro de una brújula al alinearse con la dirección del campo magnético. También Introducción al Electromagnetismo 50 habrá una variación energética si los dipolos se desplazan a zonas de mayor o menor intensidad del campo. La fuerza asociada a este gradiente del campo, siempre dirigida naturalmente a zonas de mayor intensidad del campo, es una explicación para las fuerzas de atracción intermolecular de Van der Waals; ya que la estructura atómica de las moléculas provoca la aparición de dipolos eléctricos, como el caso de la molécula de agua H2O. En todo caso desde el punto de vista teórico-formal esta fuerza sobre dipolos eléctricos/magnéticos es una extensión de la fuerza de Lorentz, que solo es válida para cargas netas. Suponemos también en esta disquisición dinámica que los momentos dipolares afectados se mantienen constantes en módulo y esencialmente mantiene su estructura física interna; de modo que las energías correspondientes al giro o desplazamiento del dipolo proceden o son absorbidas por entidades externas o por la aceleración o giro mecánico intrínseco de la masa mecánica del dipolo. Es decir, la estructura interna del dipolo se mantiene en la interacción y existe cierto mecanismo físico que permite la transferencia de las energías potenciales de las que hablamos a energías cinéticas propias de la mecánica. Este mecanismo se describe mediante la fórmula F x   U x ; donde Ux es energía potencial y Fx la fuerza mecánica Newtoniana (masa x aceleración) correspondiente; el gradiente es sobre las variables de posición del dipolo puntual eléctrico o magnético (o su centro de masas). En el caso de los momentos magnéticos veremos que esta conservación de la estructura interna depende de la conservación del módulo del momento angular en mecánica cuántica. Imagine ahora el lector un sistema material electromagnético que incluye un dipolo magnético m (un pequeño imán por ejemplo), un dipolo eléctrico p y que se está moviendo con velocidad v en el contexto de un campo eléctrico constante E. Según los resultados anteriores existe una energía potencial Up de interacción entre el dipolo eléctrico y el campo eléctrico. Pero además, para el observador en reposo, el movimiento del campo magnético asociado al dipolo magnético implica la existencia de un campo eléctrico E’ inducido por el movimiento relativo según la electrodinámica relativista (ver mas adelante). De esta forma existe un término de energía potencial asociado al producto de estos dos campos eléctricos : E, E’. Según el principio de relatividad, la existencia de esta interacción física debe ser independiente del sistema de coordenadas elegido y también debe existir desde el punto de vista de un observador inercial en reposo instantáneo con nuestro dipolo magnético. Para este observador la electrodinámica (ver mas adelante sobre las transformaciones relativistas del campo entre observadores en movimiento relativo uniforme) nos dice que existe también un campo magnético B’ externo al dipolo que para bajas velocidades respecto a la luz se puede aproximar por B '  v2  E . La existencia de un c dipolo magnético hace que este observador móvil deba también considerar la interacción entre este campo magnético B’ y el dipolo magnético m del sistema de esta forma v   v U 'm  m  B'  m   2  E    m  2   E c  c   En todo este punto estamos haciendo correcciones relativistas derivadas del problema descrito en la sección Insuficiencia del electromagnetismo clásico en situaciones físicas que incluyen el movimiento relativo. En esta misma línea y siguiendo el esquema de la energía potencial gravitatoria de la aproximación correspondiente a la física de Newton, debemos considerar a las energías potenciales invariantes entre Introducción al Electromagnetismo 51 sistema de coordenadas inerciales; al menos para bajas velocidades respecto a la luz. De todo esto concluimos que para el observador inicial en reposo el movimiento relativo de un dipolo magnético induce un dipolo eléctrico adicional p’ de valor p'  m  v : U 'm  U p ' c2 dipolo p’ que debe sumarse linealmente a cualquier dipolo eléctrico preexistente p para el observador en reposo. La existencia de este dipolo inducido p’ permite explicar la interacción desde el punto de vista del observador inicial en reposo en el contexto del campo eléctrico E constante. Vemos por tanto que, dependiendo del observador, la energía potencial se valora como eléctrica o magnética; pero su valor numérico se mantiene. Un razonamiento similar se puede hacer en el contexto de un campo magnético constante B para el observador en reposo y un sistema electromagnético móvil. En este caso la electrodinámica relativista nos dice que el observador móvil en reposo instantáneo respecto al sistema electromagnético percibe también un campo eléctrico de valor E'  v  B y por tanto existe para dicho observador móvil la correspondiente energía potencial dipolar eléctrica     U ' p   p  E'   p  v  B   p  v  B y con las mismas consideraciones anteriores, el observador en reposo debe considerar que la velocidad relativa de un dipolo eléctrico p induce un dipolo magnético m’ que verifica m'  p  v : U m'  U ' p dipolo m’ que debe sumarse a cualquier dipolo magnético preexistente m para el observador en reposo. Debido a la tendencia a la mínima energía de los sistemas físicos, una partícula con un momento magnético m y/o un momento dipolar p intrínsecos experimentará una fuerza correspondiente al opuesto del gradiente de Um, Up . Otra justificación de esta fuerza está en la mecánica analítica, donde el gradiente de la energía potencial aparece de forma natural en las ecuaciones de Euler-Lagrange (ver trabajo sobre mecánica analítica). De este modo debe modificarse la fuerza de Lorentz con términos extras para describir la fuerza neta sobre una partícula de carga q , momento magnético m y momento dipolar p    F  q E   p  E  qv  B   m  B  Los casos de dipolo eléctrico moviéndose en campo exclusivamente magnético y dipolo magnético moviéndose en campo exclusivamente eléctrico desafían la intuición clásica y, mas allá del principio de relatividad y el de mínima energía, es difícil visualizar la fuerza que está actuando en estos casos. En este contexto se habla en algunos ensayos científicos de impulso mecánico oculto, sobre todo en el caso de campos electromagnéticos estáticos. Introducción al Electromagnetismo 52 La modificación de la fuerza de Lorentz tiene consecuencias profundas, ya que los principios de conservación presentados en secciones anteriores se han hecho utilizando la forma clásica de la fuerza de Lorentz. Finalmente, si aplicamos la misma lógica para el impulso mecánico de una campo electromagnético que sea suma de otros dos  E 1  E 2  B1  B 2  también aparecen términos cruzados, Significa esto que es posible el intercambio de impulso mecánico y momento angular entre campos? El campo eléctrico en medios no conductores. Por lo que sabemos hasta ahora, a nivel microscópico la materia está formada por entidades químicas que son las moléculas y los átomos. A su vez estas entidades se componen de partículas que mantienen una carga estable : los electrones y los núcleos atómicos (protones y neutrones); y el medio físico en que estas partículas evolucionan es el vacío. Mediante fuerzas de tipo químico las moléculas y átomos mantienen una entidad físicamente distinguible agrupando una cantidad determinada de electrones y núcleos atómicos. Sin embargo, la acción de un campo externo produce cambios físicos asociados a la polarización eléctrica de las moléculas. Si las moléculas tienen polaridad eléctrica intrínseca por razones de estructura química, tenderán a alinear su polarización con la dirección del campo eléctrico externo; de modo que todas estas contribuciones suman, al estar en la misma dirección, y producen un efecto de polarización macroscópica en el material. Si las moléculas no son intrínsecamente polares, y en todo caso, aparece una componente de polarización inducida en las moléculas y átomos debido a que los electrones y núcleos tienden a buscar potenciales mínimos. Esto provoca una ligera separación respecto de la distribución de estas partículas en la molécula respecto a cuando no actúan campos externos. Estas polarizaciones inducidas son también una población de vectores en la misma dirección y suman para producir un efecto macroscópico en el campo eléctrico. En todo caso, es posible que esta polarización inducida sea despreciable frente a la posible polarización química intrínseca de la molécula y también es posible lo contrario. Imaginemos un campo eléctrico en el vacío. Introducimos un medio no conductor en el campo y queremos saber los cambios físicos que experimenta el campo. Según el párrafo anterior la acción del campo eléctrico sobre medios no conductores presenta cierta complejidad : el campo externo modifica la polarización en las moléculas, polarización que lleva asociada un campo propio que se suma al campo externo modificándolo, lo cual vuelve a modificar la polarización……..Tenemos por tanto un proceso transitorio que desde el punto de vista termodinámico finalizará cuando el sistema alcance el estado de mínima energía posible en el que habrá unos valores determinados para el campo eléctrico E y para la polarización del medio P. En termodinámica el trabajo realizado por el sistema WE en un proceso cuasiestático en el que la fuerza generalizada es el campo E y el desplazamiento generalizado la polarización p producida en la materia vale fin WE  Ed p inicio Introducción al Electromagnetismo 53 Si conocemos la distribución dipolar final resultante en el medio dieléctrico y ya que conocemos la fórmula del potencial creado por un dipolo podemos calcular el campo potencial asociado a la polarización Φp de este modo partiendo de un elemento de volumen material Δv’ polarizado 40  p   p  r  r '  P(r ' )v'' r  r' 3 1 r  r' ; P(r ' )  p v ' donde r indica el punto de observación del campo, r’ la posición del dipolo material elemental Δp, Δv’ es el correspondiente volumen elemental y P(r’) la correspondiente densidad dipolar. La densidad dipolar P(r’) es un nuevo campo vectorial que vamos a suponer continuo y con las propiedades de análisis matemático necesarias. Note el lector que el operador gradiente se aplica sobre la variable r’ que numera los dipolos materiales elementales. Una aplicación inmediata del álgebra del operador gradiente en coordenadas r’, según se explica en el trabajo sobre mecánica de fluidos, produce el siguiente resultado  1  4 0  p   P ( r ' )  '  r  r'     P ( r ' ) ' P ( r ' )         v ' '    v '   r  r' r  r'     integrando este resultado sobre el volumen ocupado por el material dieléctrico obtendremos el campo potencial asociado a la polarización del dieléctrico 4 0  p    'P(r ' ) r  r'  dv' ' P(r ' ) r  r' dv'    'P(r ' ) r  r' dv' P(r ' )   r  r '  d S 'i i Si donde se ha utilizado el teorema de la divergencia sobre el conjunto de superficies cerradas {Si} que limitan el volumen del material dieléctrico, numeradas por el índice i . Según este resultado podemos reconocer la existencia de las siguientes densidades de carga superficiales ζP y en volumen ρP asociadas a la polarización  Pi  P(r ' )  n i   i dS '  P dv'  P i   4 0  p   r  r'  P   ' P(r ' ) i Si r  r ' En el caso de los conductores, la ley de Ohm corresponde a la definición del campo eléctrico macroscópico en el interior de un conductor, y el lector debe notar que aún no tenemos una definición para el campo eléctrico macroscópico en el interior de un dieléctrico. En el contexto microscópico, el campo en el dieléctrico sería el resultante del campo creado en un punto de observación por todos los electrones y núcleos de las moléculas. Es evidente que este campo tendría variaciones importantes en el espacio :si cerca o lejos de un núcleo atómico, y en el tiempo :si se acerca o aleja un electrón; y por tanto una descripción exacta de este campo microscópico es inviable. En cambio podemos pensar en la existencia de un campo que sea un promedio del campo microscópico asociado a cada elemento de volumen Δv’ que manejamos en las integrales. Estos elementos de volumen serán lo bastante pequeños como para poder, como estamos haciendo, utilizar el cálculo integral y lo bastante grandes como para que los campos promedio macroscópicos eléctrico/magnético y de polarización/magnetización tengan valores constantes en dichos elementos y que varíen suavemente en el tiempo. En caso de ondas electromagnéticas moviéndose en Introducción al Electromagnetismo 54 un dieléctrico material esto significa que su longitud de onda debe ser mucho mayor que el tamaño correspondiente de estos elementos de volumen. Para longitudes de onda mas bajas cabe esperar fenómenos cuánticos no clásicos como el efecto fotoeléctrico. Esta es una situación parecida a la de los elementos de volumen de materia en la termodinámica clásica. Aún siendo ciertas estas consideraciones, lo mas importante desde un punto de vista físico es como obtener una medida de este campo promedio macroscópico del que hemos hablado. La forma mas aparente para medir el campo en un punto del dieléctrico es hacer algún tipo de hueco centrado en dicho punto y hacer la medida del campo a partir de la fuerza que ejerce sobre una carga muy pequeña. En rigor matemático debemos llevar este proceso al límite haciendo que el volumen ocupado por el hueco tienda a “cero” Δv’→0, lo que aproximará cada vez mas la medida del campo a su valor correcto. En el proceso de medida realizamos una modificación en el material (hueco) lo que tiene como consecuencia la creación en la superficie interior del hueco de cierta densidad de carga de polarización; según los resultados encontrado anteriormente. Esta alteración nos hace pensar que el proceso de paso al límite puede depender de la forma de hueco elegido: si elegimos un hueco esférico o uno cúbico, la contribución de la polarización al campo medido puede ser diferente y producir valores diferentes del campo en el paso al límite. Este inconveniente se puede solucionar utilizando una forma para el hueco que minimice o anule el efecto de la carga superficial de polarización; por ejemplo un cilindro alargado en la dirección del vector Polarización. En este hueco la densidad superficial en los laterales del cilindro es nula y solo queda la contribución en las secciones circulares de los extremos. Si en el paso al límite mantenemos la longitud del cilindro, pero hacemos que el area de la sección circular tienda a cero, las contribuciones de los extremos también serán despreciables. Finalmente tenemos una medida del campo eléctrico en el dieléctrico que no está afectada por las cargas superficiales que aparecen al intentar realizar dicha medida; y por tanto tenemos una base física para el concepto de campo eléctrico macroscópico en el interior de un dieléctrico. Pero note el lector que la medida del campo descrito es físicamente una medida en el vacío; lo cual está de acuerdo con el promedio del campo microscópico, ya que en el medio físico en el contexto microscópico es también en vacío. El desplazamiento dieléctrico. Hemos definido el campo eléctrico en un medio no conductor (dieléctrico) pero aún no tenemos una relación funcional entre este campo eléctrico y el campo de polarización. Debemos suponer que el campo eléctrico definido verifica las ecuaciones de Maxwell y en concreto el teorema de Gauss: el flujo del campo sobre una superficie cerrada S es proporcional a la carga contenida en dicha superficie. 1  E  d S    q S i 0 i donde los valores Δqi corresponden cargas puntuales en que puede dividirse la distribución de carga, la suma de cuyos campos genera el campo total E. Note el lector que utilizamos la constante dieléctrica del vacío ε0 para la ley de Gauss y por tanto nos colocamos en la escala atómica del medio material. Si esta distribución de carga puede dividirse en una densidad en volumen para el volumen encerrado por S y una o Introducción al Electromagnetismo 55 varias densidades sobre las superficies {Sk} internas a S (huecos internos), podemos expresar el teorema de Gauss así 1  E  d S     dv    dS S 0  k k k Sk     Note el lector que hemos utilizado la constante dieléctrica del vacío ε0 y este resultado se puede aplicar directamente al caso de un dieléctrico que contiene una distribución de carga en volumen limitada por las superficies internas cerradas {Sk}. En este caso la densidad de carga relevante será la suma de las correspondientes densidades {ρk} y de la densidad de carga, tanto en volumen como superficial, asociada a la polarización, de modo que tenemos S E dS   1         dv P d S P dv k  k     0  k  k Sk   pero según el teorema de la divergencia sobre el campo de polarización tenemos    Pdv   P  d S  k  P  d S k S Sk que aplicado al teorema de Gauss produce la cancelación de los términos superficiales de {Sk} S  0 E  P  d S  k   k dv  Q donde Q representa la carga real en el interior de la superficie S, sin necesidad de considerar el efecto de la polarización. Tenemos de esta forma una relación entre los campos E y P que podemos expresar mediante un nuevo campo D o campo de desplazamiento dieléctrico, con las siguientes propiedades analíticas   D    k  k D  0 E  P     D    P La divergencia del campo D corresponde exclusivamente a cargas distintas de las de polarización del dieléctrico y sus líneas de campo nacen y mueren en cargas distintas de las de polarización. Si es el caso en que las únicas cargas presentes son de polarización las líneas del campo D son cerradas. El campo de polarización P(r) es no nulo solo en el medio material correspondiente, pero los campos D(r),E(r) existen mas allá del material, por lo que es necesario especificar las condiciones de frontera de estos campos con el medio material. En el caso mas general, el campo eléctrico dependiente de un medio material verifica el siguiente sistema de ecuaciones y condiciones de contorno   D    k (r )  k   D 2  D1  n    E  0 ......   E 2  E1  t  0 D   0 E  P( E )        donde n es el vector unitario perpendicular a la superficie de separación entre los medios 1 y 2 y apuntando desde el medio 1 al medio 2 en el punto considerado; t es cualquier vector unitario tangente a la superficie de separación en el punto considerado. La funcion P(E) debe conocerse previamente, al menos cualitativamente, para obtener soluciones del sistema anterior. Introducción al Electromagnetismo 56 Es necesario investigar experimentalmente la relación causal P(E) en cada material. Para la mayoría de los materiales la polarización del dieléctrico depende de la intensidad del campo externo en el mismo punto del dieléctrico; excepción hecha de los materiales naturalmente polarizados o electretos. La relación funcional mas sencilla es la lineal, homogénea (independiente de la posición) e isótropa (independiente de la dirección): P=ξε0E, donde ξ es una constante numérica independiente del punto concreto en el dieléctrico denominada susceptibilidad dieléctrica. De este modo, para este tipo de materiales lineales, homogéneos tenemos D   0 E    0 E   E;    0 1     D   E lo que muestra que el efecto de la polarización en el campo eléctrico E en los medios lineales, homogéneos e isótropos equivale a utilizar una constante dieléctrica ε que dependerá de cada medio y su estado físico (temperatura, presión…). En el caso en que la relación P(E) es tal que ε es un número real que depende de la posición: ε(r) , entonces tenemos   D    k     E    E  k    D    P    E    E De la relación entre el electromagnetismo y la óptica sabemos que el índice de refracción de la luz en un medio dieléctrico es proporcional a ε, y una relación ε(r) significa un índice de refracción variable que provocará cambios en la trayectoria de los rayos de luz (o en general ondas electromagnéticas) respecto a la trayectoria recta en un medio isótropo. De esta forma, y en medios suficientemente lineales, es posible medir ε(r). Dado que la mayoría de medios ópticos son dispersivos ε dependerá también de la frecuencia ω de la onda y, por supuesto, ε depende de la temperatura del medio; de modo que gradientes de temperatura generan gradientes de ε. Energía eléctrica en un medio lineal, isótropo y homogéneo:(lih) En general el cálculo de la energía electromagnética en un medio material cualquiera dependerá de sus propiedades eléctricas y magnéticas. El caso mas secillo es el de los medios lih. En su momento se presentó la densidad u de energía por unidad de volumen de campo eléctrico en un medio lineal con valor proporcional al cuadrado del campo eléctrico. Podemos ahora introducir el campo D y los potenciales eléctrico Φ y magnético A asociados al gauge de Lorenz de esta forma en un medio lih u A  2 1 1  D E  E  D      t  2 2 2 y aplicando el siguiente análisis      D    D    D    D   donde ρ es la densidad de carga libre (no polarizada) del campo, llegamos a   1 1 A 1  D   D u    2 2 t 2 en una situación estática ∂A/∂t=0 y en forma integral, aplicando el teorema de la divergencia obtenemos lo siguiente para la energía total del campo eléctrico Introducción al Electromagnetismo U  LimV    57 1 1 1 1    D dv   dv  LimV   dv  LimV  DdS 2V 2V 2V' 2S     donde V’ representa el volumen ocupado por las cargas libres asociadas a una densidad de carga en volumen ρ (no de polarización) que son fuentes del campo en el medio dieléctrico lineal, ya que fuera de V’ es ρ=0 y nula la contribución a la integral correspondiente. Si en nuestro sistema existen conductores, entonces tenemos que considerar sus densidades superficiales de carga ζ. Esto es posible analizando la segunda integral del resultado anterior. La superficie S se puede descomponer como la unión de las superficies {S’i} internas al volumen de integración V y que limitan los objetos conductores y la superficie S∞ que encierra a todo el sistema y que se hace tan grande como queramos LimV    D  d S   LimS S '  i D i  d S i  LimS    D  d S ' i i S Si' S esta descomposición es válida ya que en el interior de un conductor el campo eléctrico en condiciones estáticas se anula, no hay polarización (o es despreciable) y por tanto es D=ε0E+P=0. Dado que el potencial Φi en cada conductor i es constante podemos sacarlo fuera de la integral correspondiente. Además sabemos que D es perpendicular a la superficie del conductor en un dieléctrico lineal y mediante las condiciones de contorno introducimos la densidad superficial de carga ζi ' Di  d S i   i dSi' Recuerde el lector que el vector dS’i apunta en este caso al interior del conductor como consecuencia de la aplicación del teorema integral de la divergencia; y de ahí el signo negativo en la expresión anterior. Finalmente consideremos la integral sobre S∞. A distancias grandes de V’ y {S’i} el potencial Φ decrece como r-1 y el desplazamiento D como r-2. De este modo, si se extiende la integral a un volumen muy grande que contenga las cargas libres, tenemos que ΦD varia proporcionalmente a r-3 y la superficie S varía proporcionalmente a r2. Esto hace que en el límite de volúmenes muy grandes la integral de superficie varíe como r-1 llegando a ser un valor tan pequeño como queramos. En suma la energía eléctrica de un medio lineal que incluye conductores cargados es U 1 1 dv   Qii 2 V' 2 i donde la integral se extiende al volumen V’ ocupado por las fuentes del campo representadas como densidades de carga en volumen y el sumatorio se extiende a los conductores cargados (Qi). Un conductor descargado no contribuye a la energía eléctrica del sistema; aunque con un campo eléctrico externo estará afectado en general por una polarización superficial. Si incluimos los resultados de una sección anterior sobre el carácter lineal de los conductores respecto al campo podemos reescribir el resultado en función de los coeficientes de capacidad Cij de esta forma U 1 1 dv   Qi Q j Cij 2 V' 2 i, j Este resultado se generaliza fácilmente para cualquier distribución de carga en un medio lineal de esta forma U 1 dq 2V'  Introducción al Electromagnetismo 58 donde dq es un elemento genérico de carga que se transporta desde el infinito (Φ=0) hasta el potencial Φ construyendo de esta forma el sistema de fuentes del campo eléctrico. Un medio dieléctrico lih no tiene una polarización intrínseca y no se polariza a no ser que exista un campo externo que actúe sobre él. Las correspondientes fuentes (q) de este campo son las que aparecen en la integral anterior para la energía U. La deducción de la fórmula anterior corresponde esencialmente al caso de un campo eléctrico estático. En la física clásica esta energía estática tiene el papel de una energía potencial y en el mismo contexto clásico es aplicable al caso de campos dinámicos que evolucionan lentamente respecto al tiempo de relajación del dieléctrico señalado al principio de esta sección . Propiedades magnéticas de la materia. La teoría que estamos desarrollando debería poder explicar de algún modo el campo magnético producido por los imanes naturales. Partiendo del análisis multipolar y de la hipótesis de la naturaleza eléctrica de la materia se ha desarrollado una teoría sobre las propiedades eléctricas de la materia en la sección anterior mediante el concepto de polarización. De este modo la materia se puede dividir en celdas muy pequeñas con cierta distribución interna de carga, nula en valor absoluto pero que puede estar polarizada. Dichas celdas son esencialmente iguales unas a otras y se puede aplicar a cada una de ellas el análisis multipolar. Para que este modelo explique las propiedades magnéticas de la materia, el magnetismo natural, es necesario suponer que en estas pequeñas celdas de tamaño dV’ también existen corrientes cerradas que actúen como fuentes del campo magnético; esta es la hipótesis de las corrientes de Ampère. De esta forma la materia se descompone en una distribución de dipolos magnéticos de valor M(r’)dV’, donde M es la correspondiente densidad dipolar magnética por unidad de volumen y el campo potencial vectorial de la distribución será el correspondiente al dipolo M(r’)dV’ AM    0 r  r' dv' M (r ' )   3 4 V ' r  r' donde r identifica en nuestro sistema de coordenadas el punto de observación del campo y r’ es la posición de cada dipolo elemental M(r’)dV’. Utilizando una de las identidades vectoriales vistas en el trabajo sobre mecánica de fluidos, aplicada en este caso al operador gradiente sobre las coordenadas r’ tenemos 0 1 M (r ' )  ' dv' 4 V' r  r'    M (r ' )    dv'   0  A M   0  '   M (r ' )  'M (r ' ) 4 V '  r  r '  4 1     M r ( ' ) ' '       r  r'  r  r' r  r'     AM   V' 'M (r ' ) r  r' dv' y mediante el correspondiente teorema integral del rotacional (ver trabajo sobre mecánica de fluidos)  M (r ' )  dv'  M (r ' )  d S '    r  r '  S ' r  r'    f ( x, y, z, t )  d S      f ( x, y, z, t )dv    ' V' AM  0 4  V' 'M (r ' ) r  r' dv'  0 4  S' M (r ' ) r  r'  d S' Introducción al Electromagnetismo 59 la interpretación física de este resultado resulta ser de la mayor importancia. Si recordamos la expresión del potencial vector de una distribución arbitraria de corrientes en el vacío sin necesidad de considerar condiciones de contorno adicionales A 0 4 J (r ' )  r  r ' dv' V de modo que podemos identificar en nuestro resultado lo siguiente 'M (r ' )  J M (r ' ) , es decir, el rotacional del campo de magnetización M(r’) equivale a una densidad de corriente de magnetización JM(r’). Por otro lado la integral de superficie corresponde a la contribución de unas condiciones de contorno sobre la superficie limitante del material magnético. Por analogía con el potencial vector genérico anterior A, estas condiciones de contorno se presentan en la forma de una densidad superficial de corriente de magnetización jM sobre la superficie del material magnético   M (r ' )  d S '  M (r ' )  n dS '  j M dS '  A M   0 J M (r ' )  dv'  0  4 4 V ' r  r '   J M (r ' )  'M (r ' ) j  r Mr ' dS ' ,  j  S' M  M (r ' )  n donde n es un vector unitario paralelo al vector superficie dS’ en cada punto. Este desarrollo nos introduce en la forma de aplicar condiciones de contorno al campo magnético : mediante densidades superficiales de corriente. Por otra parte hemos introducido un nuevo tipo de corriente eléctrica : las corrientes de magnetización asociadas a la hipótesis de Ampère. A la luz de la experiencia con imanes permanentes debemos pensar que estas corrientes son esencialmente diferentes a las corrientes de conducción, ya que no siguen la ley de Ohm y no existe disipación de energía por efecto Joule asociada a estas corrientes de magnetización. La corriente de magnetización verifica la ley de conservación de la carga de esta forma    J M   M  0  M 0 t de modo que las corrientes de magnetización son consistentes con densidades de carga ρM constantes en el tiempo; y en concreto con densidades de carga nulas en el caso de los imanes naturales. Observamos también que la divergencia nula de las corrientes de magnetización es consistente con líneas de corriente cerradas en un contexto de carga neta nula; tal como hemos supuesto al principio. El campo magnético correspondiente al potencial vector AM equivale a calcular el correspondiente rotacional, y para esto resulta mas sencillo utilizar la primera expresión dada para AM     0 r  r'     M (r ' )  B M    AM  dv' 3 4 V'   r r '   utilizando las ecuaciones de cálculo vectorial desarrolladas en el trabajo sobre mecánica de fluidos tenemos            r  r'  r  r' r  r' r  r'    M (r ' )   M (r ' )   M (r ' )    4 M (r ' ) r  r '  M (r ' )   3 3 3 3  r  r'  r  r' r  r' r  r'     Introducción al Electromagnetismo 60 Note el lector que volvemos a tener un término factorizado por la delta de Dirac δ(r-r’). Cuando discutimos sobre el dipolo magnético puntual y la energía del dipolo magnético puntual obtuvimos también un término que incluía una delta de Dirac para el campo. Cuando se discutió el problema de la energía de un dipolo puntual se propuso una explicación para obviar este término, de difícil interpretación en la teoría clásica ya que conduce a campos infinitos. Pero, en el contexto en el que estamos ahora, el estudio de la magnetización de la materia, la delta de Dirac aparece dentro de una integral de volumen, lo cual es una operación matemática perfectamente legítima y produce unos resultados claros   B M   0  M ( r ' ) r  r ' dv'  V' 0 4  M (r ' )    V' r  r ' dv' r  r' 3 observamos además que la segunda integral se puede poner en función del gradiente, en coordenadas del observador (r), de un campo potencial escalar magnético; en una operación ya vista cuando se desarrollo el análisis multipolar para el caso del momento magnético. De este modo tenemos el siguiente resultado       M (r ' )  r  r '  dv' B M (r )   0 M (r )  0    3 4 V ' r  r'     Este resultado es totalmente consistente con la hipótesis de Ampère de las corrientes de magnetización, ya que basta calcular el rotacional de la expresión anterior para obtener la ecuación de Maxwell correspondiente   B M (r )   0 J M (r ) . Por supuesto, el rotacional de un gradiente es siempre un valor nulo. Por otra parte, en puntos externos al material magnético será M(r)=0, pero el término asociado al gradiente del potencial escalar magnético no tiene por que ser nulo y de hecho describe el campo magnético en el exterior del imán. En el interior del material el campo magnético depende directamente tanto de la magnetización M(r) como del gradiente del potencial escalar magnético. En el caso general debemos considerar la existencia de otro tipo de corrientes J(r) distintas a las corrientes de Ampère. Aplicando el principio de linealidad, el campo total será la suma del campo asociado a la magnetización y el campo asociado a las corriente ΣkJk(r) tomados de forma independiente       M (r ' )  r  r ' B (r )   0 M (r )  0    dv'  0 3   4 4 V ' r  r'    V  J k (r ' )  r  r ' r  r' k 3 dv' Definiendo el campo intensidad magnética H como H (r )     1  M (r ' )  r  r '  1 dv '     4 3 4 V ' r r '       k V  J k (r ' )  r  r ' r  r' 3 dv' llegamos a una expresión análoga al caso de los campos eléctrico E y de desplazamiento D en materiales no conductores polarizados  B (r )   0 M (r )  H (r )  Note el lector que, en ausencia de corrientes reales (Jk=0, imanes naturales por ejemplo), el campo H se expresa como el gradiente con signo negativo de una función potencial escalar, de forma análoga al campo electrostático. Introducción al Electromagnetismo 61 El campo de magnetización M(r) es no nulo solo en el medio material, pero los campos B(r),H(r) existen mas allá del medio material, por lo que es necesario especificar las condiciones de frontera de estos campos con el medio material. En el caso mas general, el campo magnético dependiente de un medio material verifica el siguiente sistema de ecuaciones y condiciones de contorno    B  0   B 2  B 2  n  0  H  J k (r ) ......  k   H 2  H 1  t  j  n  t  1 H B  M ( B)  0        n es el vector unitario perpendicular a la superficie de separación entre los medios 1 y 2 y apuntando desde el medio 1 al medio 2 en el punto considerado; t es cualquier vector unitario tangente a la superficie de separación y j es la correspondiente densidad superficial de corriente en el punto considerado. En una sección posterior sobre discontinuidades del campo electromagnético se desarrollan en profundidad las condiciones de contorno del campo aplicables en medios lineales. Debemos conocer la relación entre M y B aplicable al sistema material concreto en que estemos interesados. Desde el punto de vista físico se espera que las líneas del campo H sean también cerradas, de modo que no se pueda hablar de polos magnéticos independientes. De la misma forma que para el campo eléctrico E, podemos medir el campo magnético en el interior de la materia mediante un hueco en forma de cilindro estrecho y alargado que sea perpendicular a la dirección del campo magnético. En efecto la condición de contorno anterior predice que el campo magnético en el material y en el interior vacío del tubo son iguales. Es necesario investigar experimentalmente la relación causal M(B) en cada material. En la mayoría de los materiales la magnetización depende de la intensidad del campo magnético externo en el mismo punto del dieléctrico. La relación causal mas sencilla es la lineal, homogénea (independiente de la posición) e isótropa (independiente de la dirección): M=BХ/μ0 donde X es una constante numérica independiente del punto concreto en el dieléctrico denominada susceptibilidad magnética. De este modo, para este tipo de materiales lineales, homogéneos e isótropos tenemos H 1 0 B   1 1 B  B;   0  H  B 0   1  lo que muestra que el efecto de la polarización en el campo eléctrico B en los medios lineales, homogéneos e isótropos equivale a utilizar una constante dieléctrica que dependerá de cada medio y su estado físico (temperatura, presión…). Evidentemente un imán natural permanente presenta una magnetización permanente sin necesidad de una causa externa (campo magnético) y por tanto los imanes naturales no son sistemas lih. Introducción al Electromagnetismo 62 Energía magnética en un medio lineal, isótropo y homogéneo : lih En general el cálculo de la energía electromagnética en un medio material cualquiera dependerá de sus propiedades eléctricas y magnéticas. El caso mas secillo es el de los medios lih En su momento se presentó la densidad u de energía por unidad de volumen de campo magnético en un medio lineal proporcional al cuadrado del campo magnético. Podemos ahora introducir el campo H y el potencial vectorial magnético A de esta forma u   1 2 1 1 B  B  H   A  H 2 2 2 y aplicando el siguiente análisis que incluye la ecuación de Ampère-Maxwell para medios lineales           D    A H    A  H  A    H    A  H  A   J   t   donde J es la densidad de corriente libre (no de magnetización) del campo, llegamos a u   1  D  1 AJ     A H  2 t  2   si restringimos el cálculo para campos estáticos (∂D/∂t=0) y en forma integral, aplicando el teorema de la divergencia, la energía total del campo magnético es U  LimV      1 1 A  J dv  LimV     A  H dv   A  J dv  LimV   A  H  d S  2V 2V' V S donde V’ representa el volumen ocupado por las fuentes, ya que fuera de V’ es J=0 y por tanto nula la contribución a la integral correspondiente. A distancias grandes de V’ el potencial A decrece como r-1 y H como r-2. De este modo en el límite tenemos que AxH varia proporcionalmente a r-3 y la superficie S varía proporcionalmente a r2. Esto hace que en el límite de volúmenes muy grandes la integral de superfice varíe como r-1 llegando a ser un valor tan pequeño como queramos de modo que la energía magnética de un medio lineal se puede poner como la siguiente integral extendida al volumen ocupado por las corrientes libres U 1 A  J dv 2V'  Un medio lih no se magnetiza a no ser que exista un campo externo que actúe sobre él, y las fuentes J de este campo son las que aparecen en la integral anterior. El resultado anterior es válido para campos estáticos o cuasiestáticos en medios lineales, pero en general no es válido para el vacío ya que se necesita evaluar el término asociado a ∂D/∂t. Sin embargo, como se dijo en el caso de la energía eléctrica, el valor U tiene el significado de una energía potencial y por tanto es aplicable en situaciones dinámicas cuando las variaciones temporales del campo sean suficientemente pequeñas. La fórmula anterior se puede aplicar al caso de un sistema de circuitos eléctricos inmóviles {C’i} cerrados recorridos por intensidadades {Ii}. En este caso tenemos J   J i ; J i dv'  I i d r 'i i  A   Ak ; Ak  0 4 k  C 'k    I k d r 'k   r 'i  r 'k   U   1  Ii 2 i ,k 4  A (r ' )  d r ' k Ci ' i i   1  I i I k 4 2 i ,k  Ci 'Ck ' d r 'k d r 'i r 'i  r 'k Introducción al Electromagnetismo 63 vemos inmediatamente que la energía magnética del sistema se puede poner en la forma U 1 2  Lik I i I k ; Lik  i ,k  d r 'k d r 'i  Lki 4 V ' r 'i  r 'k  donde los factores Lik corresponden al flujo magnético cruzado entre el circuito i y el circuito k . El factor Lii es la autoinducción magnética del circuito i. El flujo Φik del campo magnético producido por el circuito Ck sobre el circuito Ci vale  ik    B k (r 'i )  d S 'i     Ak  d S i   Ak  d r i  I k 4   C 'i C 'i C 'i Ci 'Ck ' d r 'k d r 'i r 'i  r 'k de modo que la energía magnética se puede expresar también así U 1  I i ik 2 i ,k  Lik I k Introducción al Electromagnetismo 64 El cruce de caminos entre el electromagnetismo y la mecánica cuántica : Origen físico de las corrientes de Ampère y de la magnetización de la materia. En el trabajo sobre mecánica analítica se presenta el Hamiltoniano de una partícula puntual de carga q moviéndose en una campo electromagnético afectada por la Fuerza de Lorentz. Manejando potenciales [A,Φ] según el Gauge de Lorenz, y para bajas velocidades respecto a la luz el Hamiltoniano de la partícula resulta ser   2 1 p  qA H  mv2  q   q 2 2m donde p es el impulso mecánico canónico definido a partir del Lagrangiano. En el caso de tener un campo magnético estático y espacialmente constante el potencial vector correspondiente sigue la siguiente fórmula3 1 B    A ; B  cte  A   r  B 2 sustituyendo esto en el Hamiltoniano y haciendo que la dirección del campo magnético coincida con la dirección z de nuestro sistema de coordenadas cartesiano tenemos 2  q     p  r  B 2 2 2   q   H  p  q B  L  q B 2 x 2  y 2  q H   2m 2m 8m 2m   L  r p    Si a partir de este resultado seguimos la vía clásica, tal como se hace en el trabajo sobre mecánica analítica, y aplicamos las ecuaciones de Hamilton obtendremos como resultado la fuerza de Lorentz actuando sobre la carga puntual q: m dv  q E  qv  B dt quedando claro en este caso que el campo magnético no supone una transferencia de energía para la partícula. Pese a que en la función Hamiltoniana aparecen términos que dependen del campo magnético y del acoplo (producto escalar) entre el campo magnético externo B y el momento angular L de la partícula, el resultado final desde el punto de vista energético es que el campo magnético no supone ninguna transferencia de energía a la partícula. Pero las interpretaciones clásica y cuántica del Hamiltoniano difieren en cuestiones de principio. Clásicamente el Hamiltoniano está relacionado con el cálculo del mínimo de una función integral y no hay problemas de principio en suponer que todas las magnitudes físicas pueden tomar valores en el rango continuo de los números reales. Cuánticamente existen magnitudes físicas, particularmente las asociadas al momento angular L, que no pueden tomar valores arbitrarios en el continuo de los números reales; de modo que el cálculo clásico no es aplicable. El desarrollo cuántico del mismo Hamiltoniano anterior es totalmente diferente al caso clásico y pasa por transformar H en un operador matemático de modo que podamos encontrar los valores permitidos del Hamiltoniano según la correspondiente ecuación de valores propios. En el caso del efecto Zeeman el análisis de este operador lleva a resultados diferentes del caso clásico; y en particular aparece una trasferencia de energía entre la 3 El lector puede ver una demostración de esta fórmula en la sección sobre el Teorema de Helmholtz. Introducción al Electromagnetismo 65 partícula y el campo magnético. El contexto del efecto Zeeman es el de un electrón atómico sometido a un campo magnético externo. Se acepta la aproximación de que el campo magnético no supone una distorsión apreciable del orbital atómico en el que se mueve el electrón; sino que el efecto relevante es una reorientación de dicho orbital atómico por efecto del campo magnético. De este modo el potencial eléctrico atómico que afecta al electrón prácticamente no cambia por el hecho de que haya o no un campo magnético. Por otro lado en mecánica cuántica todo módulo de momento angular de una partícula está cuantizado por la expresión L2=l(l+1)ħ2 donde l es el número cuántico angular y ħ es la constante de Planck reducida. Por tanto es factible que, campos magnéticos relativamente pequeños no puedan producir un cambio en el módulo del momento angular de la partícula debido a que L2 evoluciona de forma discontinua y cuantizada, y de esta forma podemos asignar al orbital atómico de la partícula un momento magnético cuyo módulo es m e l (l  1) 2m que representa una constante en el proceso de interacción con el campo magnético. Sin embargo la dirección del momento magnético y del momento angular del electrón si puede variar por efecto del campo magnético. En este momento podemos ver que la verdadera justificación de la hipótesis clásica de las corrientes de Ampère es la constancia mecáno-cuántica del módulo del momento angular de un electrón atómico afectado por un campo magnético. Debido a esta constancia el efecto del campo magnético es una reorientación de los orbitales atómicos de la misma forma que lo haría un circuito recorrido por una corriente o una brújula en un campo magnético. Como se ha dicho, esta rotación respecto al núcleo atómico no cambia el potencial eléctrico, de forma que el Hamiltoniano efectivo puede prescindir de este término y toma la forma ya vista en el trabajo sobre mecánica cuántica H  q2 2 2 p2 q B x  y2 BL  2m 2m 8m  el análisis cuántico de este Hamiltoniano predice la aparición de niveles de energía adicionales asociados al acoplo entre el campo magnético y el momento angular; algo que en el planteamiento clásico es imposible explicar. De la forma del Hamiltoniano anterior podemos extraer una información importante relativa a la interacción de la materia con un campo magnético. Los términos de H dependientes del campo magnético son interpretables energéticamente según la mecánica cuántica. El término dependiente del cuadrado del campo magnético es siempre positivo y representa una aumento de la energía del material; esto está relacionado con el carácter diamagnético del material y según el principio de mínima energía un material de tipo diamagnético será naturalmente repelido al introducirse en zonas afectadas por un campo magnético. Este comportamiento diamagnético es consistente con la Ley de Lenz : el material intenta oponerse a toda posible variación del flujo magnético que lo atraviesa. En cambio el término asociado al acoplo entre campo magnético y momento angular puede tomar valores negativos y vemos por tanto que puede reducir la energía del sistema. Este es el caso de las corrientes de Ampère atómicas asociadas al momento angular atómico y corresponde al comportamiento paramagnético del material. En este caso podemos introducir inmediatamente la siguiente energía potencial para la interacción de un dipolo magnético con un campo magnético externo Introducción al Electromagnetismo 66 q  B L   2m   U p  m p  B q  mp  L  2m  Up   donde los corchetes del momento angular indican el valor neto del momento angular para todos los electrones del átomo. Evidentemente este resultado es compatible con lo visto en la sección sobre energía potencial de un dipolo magnético. Además el principio de mínima energía da una prueba inmediata del resultado anterior. El momento magnético de una brújula en un campo magnético intentará buscar una sola dirección, aquella en que dicho momento magnético y el campo externo sean paralelos, ya que en este caso la energía de interacción Up llega a un mínimo. El efecto paramagnético es equivalente al comportamiento de la brújula, es decir, la reorientación del momento magnético en la dirección del campo. Dado que el momento magnético aporta su propio campo aumenta el campo magnético total en el interior del material mientras disminuye la energía total. En cambio el efecto diamagnético supone la inducción de un momento magnético extra que es opuesto al campo magnético externo. Esto lo podemos ver poniendo el término diamagnético en una forma similar al término paramagnético, (incluyendo valores efectivos por átomo) Ud  q2 2 2 q q2  q B x  y2  B   B x 2  y 2   m d  B  , m d   B x2  y2 8m 2m 8m  4 Este momento magnético inducido md produce un aumento de la energía del sistema y una disminución del campo magnético total en el interior del material al tener una dirección opuesta al campo magnético externo. Ambas tendencias paramagnética y diamagnética se pueden presentar simultáneamente en un material y la magnetización total será la combinación de ambas tendencias; pero si el comportamiento paramagnético es posible, normalmente suele predominar sobre el comportamiento diamagnético. El paramagnetismo depende del valor neto del momento angular de los electrones del átomo, y es posible que ese valor sea nulo; ya que en este cálculo hay que considerar otros principios cuánticos como el principio de exclusión de Pauli. Existe otro tipo de magnetismo : el ferromagnetismo, cuyo origen es también cuántico y depende del acoplo en una misma dirección entre los espines de los electrones de un número muy elevado de átomos formando dominios magnéticos macroscópicos en los que la dirección del campo magnético es constante, aunque pueden cambiar de dirección entre dominios fronterizos. Por efecto de un campo externo todos los dominios pueden unirse en uno solo, formando los imanes permanentes que conocemos. Recordando la sección anterior sobre el momento de fuerzas sobre un circuito en un campo magnético externo, resulta inmediato extender la idea al caso del momento magnético asociado al momento angular atómico neto correspondiente a las corrientes de Ampère. Siguiendo la mecánica clásica (ver cinemática y dinámica del sólido rígido), la rigidez del movimiento derivado de la conservación del módulo del momento angular atómico lleva directamente a la existencia de un movimiento de precesión de dicho momento angular atómico entorno a la dirección local del campo magnético. Si Introducción al Electromagnetismo 67 M es el momento de fuerzas y L el momento angular del átomo, según la mecánica clásica tenemos  dL   L  e dt B    2m e M  m B  L  B; 2m  M lo cual describe una precesión o giro Ω del momento angular intrínseco del momento angular atómico entorno a la dirección local del campo magnético, o precesión de Larmor. De este modo a nivel atómico los momentos magnéticos se alinean con el campo magnético pero no como en el caso de la brújula, sino que acaban con cierto movimiento de precesión entorno a la dirección local del campo magnético. Si tomamos una muestra de hidrógeno atómico afectada por un campo magnético y le aplicamos radiación electromagnética a la frecuencia Ω de Larmor resulta que se produce un llamativo fenómeno de absorción de radiación asociado al efecto Zeeman; algo que no ocurre para otras frecuencias en las mismas condiciones y que es típico del comportamiento resonante de sistemas como los circuitos eléctricos de corriente alterna. Esta frecuencia de máxima absorción resonante sigue la forma de la frecuencia de Larmor, es decir, si modificamos el campo magnético la frecuencia de máxima absorción cambia proporcionalmente al campo magnético; y la constante de proporcionalidad también corresponde con e/2m en el caso del hidrógeno; sin considerar el spin del electrón. Note el lector que, a diferencia del caso clásico de la peonza, el giro de precesión Ω es independiente del momento angular orbital de la partícula. Existen fenómenos similares de resonancia magnética que afectan al momento angular intrínseco de núcleos atómicos (Resonancia Nuclear Magnética) e incluso de electrones (Resonancia Paramagnética de Spin Electrónico). Mas adelante, en la sección sobre energía e impulso de una onda plana del capítulo sobre óptica básica, el lector puede encontrar mas puntos de encuentro entre electromagnetismo y mecánica cuántica. Introducción al Electromagnetismo 68 Fuentes que varían armónicamente con el tiempo. Ampliación del desarrollo multipolar para estas fuentes. Un modelo de la mayor importancia teórico/practica son las densidades de carga y corriente variables armónicamente con el tiempo  (r, t )   (r ) cos(t    ) ; J (r, t )  J (r ) cos(t   J ) La densidades aparecen factorizadas en el producto de una función espacial y una función armónica (coseno) en el tiempo; de modo que las densidades varían con la misma frecuencia temporal ω en cada punto r en todos los valores de los rangos ±ρ(r), ±J(r), de modo que ρ(r),J(r) representan las correspondientes amplitudes de las densidades de carga y corriente. Un ejemplo físico de esto son los circuitos de corriente alterna, donde las corrientes y la carga en los condensadores varían armónicamente con la misma frecuencia. Desde el punto de vista teórico, el caso de fuentes armónicas en el tiempo se puede extender a casos mas complejos de fuentes no armónicas mediante el análisis de Fourier. Recordando la linealidad de las leyes del campo electromagnético y el álgebra de números complejos, vamos a modificar las definiciones anteriores de esta forma  (r , t )   (r )cos(t    )  i sen(t    )   (r )e  i t    J (r , t )  J (r )cos(t   J )  i sen(t   J )  J (r )e i t  J  donde i es la unidad compleja y se comporta como cualquier otro número real, pero con la propiedad i2 = -1. La elección del signo negativo en la exponencial no supone falta de generalidad y está relacionado con el análisis de Fourier y con facilitar la interpretación física ondulatoria como veremos mas adelante. De esta forma las densidades aparecen como la suma de dos componentes, y por linealidad los potenciales y campos correspondientes también deben ser la suma de los potenciales y campos generados de forma independiente por las componentes reales por un lado y las componentes imaginarias por el otro. Si utilizamos las densidades complejas y calculamos los potenciales y campos, el resultado se podrá descomponer en suma de un potencial/campo real y un potencial/campo imaginario. La componente imaginaria se distingue fácilmente por que estará factorizada por la unidad imaginaria i. De esta forma los cálculos utilizando las densidades complejas no suponen una complicación ya que en todo momento sabemos cuales son los potenciales/campos derivados de las componentes reales e imaginarias de las densidades de carga y corriente. Los potenciales aplicables a las densidades anteriores son los siguientes  (r , t )     r  r'  1  (r ' )    i dv'  (r ) exp  it  i  ;  (r )  1  (r ' ) exp ik r  r ' dv' t    i exp     c  4 V' r  r ' 4 V' r  r '      A(r , t )     r  r'   J (r ' )    i dv'  A(r ) exp  it  i  ; A(r )   J (r ' ) exp ik r  r ' dv' exp   i  t  J J   c  4 V' r  r ' 4 V ' r  r '           donde k=ω/c y recordamos que en general es ε(ω),μ(ω). Los potenciales totales corresponden a la suma de los correspondientes potenciales elementales creados por los elementos ρ(r’)cos()dv’, J(r’)cos()dv’ pero no en el instante actual t, sino en el instante anterior t-|r-r’|/c determinado por el retardo de propagación de una señal Introducción al Electromagnetismo 69 moviéndose a la velocidad de la luz c entre el punto fuente r’ y el punto de observación r. Vemos inmediatamente que los potenciales adoptan la misma forma factorizada en producto de una función espacial y otra armónica temporal que las densidades de carga y corriente. También vemos la facilidad con que hemos obtenido este resultado debido a la utilización del álgebra de la formula de Euler exponencial para representar los números complejos. Como consecuencia formal, si f(r,t)=f(r)exp{-i(ωt+θ)} representa una función que puede ser la densidad de carga ρ(r,t), cualquier componente de la densidad de corriente J(r,t), el potencial escalar Φ(r,t) o cualquier componente del potencial vectorial A(r,t) se verifica la siguiente fórmula para la derivada parcial respecto al tiempo f ( r , t )  2 f (r , t )   2 f (r ) exp( it  i )  if ( r ) exp( it  i ) ; t t 2 Simplificamos de modo θ=0 en todos los casos, y todas las magnitudes comparten la misma fase. La siguiente tabla reescribe las ecuaciones correspondientes Conservación de la carga Condición de Lorenz Campo eléctrico Campo magnético   J (r , t )    J (r )  i (r )  0  (r , t ) 0 t   A(r , t )     A(r )  i (r )  0  (r , t ) 0 t E (r , t )   (r , t )   A(r , t ) t   E (r , t )   e it  (r )  i A(r )  e it E (r )  E (r )   (r )  i A(r ) B(r , t )  e i t   A(r )  e i t B (r )  B(r )    A(r ) B (r , t )    A(r , t ) y vemos que los campos eléctrico y magnético aparecen también factorizados de la misma forma, como el producto de una función espacial y una función armónica temporal, de modo que es aplicable la misma regla para las derivadas de estos campos. A partir de esto podemos formular fácilmente las ecuaciones de Maxwell: Ley de Gauss   E (r , t )  Ley de Ampere-Maxwell  (r , t )   2 (r )  k 2 (r )     B(r , t )   J (r , t )    (r )   2 A(r )  k 2 A(r )    J (r )  B(r , t ) t donde k=ω/c. El lector puede comprobar que las leyes de Fáraday-Maxwell y la inexistencia de polos magnéticos independientes se reducen a identidades matemáticas expresadas en términos de los potenciales. Podemos afinar aún mas el resultado sobre el campo eléctrico de esta forma       E (r )   (r )  i A(r ) i E (r )  i (r )   2  A(r )      A(r )   2  A(r )      A(r )  i(r )  0     A(r )   2  A(r )      A(r )   2 A(r )   2  A(r )    B (r )   J (r )    E (r )    i   B(r )   J (r )  Si continuamos ahora con la ecuación de ondas para los potenciales tenemos Introducción al Electromagnetismo Ecuación de ondas potencial escalar del Ecuación de ondas potencial vectorial del  2 ( r , t )   2 A( r , t )  1  2 ( r , t ) c t 2 2  70  (r , t )  1  A( r , t )    J (r , t ) t c2  2 ( r )  k 2 ( r )    (r )   2 A(r )  k 2 A(r )    J (r ) Observamos que las ecuaciones de onda de los potenciales se convierten en una ecuación que solo afecta a las amplitudes de dichos potenciales escalar y vectorial; además las ecuaciones de onda equivalen a la Ley de Gauss y la Ley de AmpèreMaxwell. Las ecuaciones de onda para campos son Ecuación de onda campo eléctrico  2 E (r , t )   Ecuación de onda campo magnético  2 B ( r , t )    2 E (r , t ) t 2  2 B(r , t ) t 2   (r , t )      J (r , t )      t     (r )    i J (r )  2 E (r )  k 2 E (r )         2 B(r )  k 2 B (r )     J (r )     J (r , t ) Desarrollo multipolar para campos creados por fuentes que varían armónicamente en el tiempo. En ausencia de discontinuidades u otras condiciones de contorno, las amplitudes de los campos potenciales asociados a fuentes que varían armónicamente son los siguientes  (r )  1 4  r  r ' exp ik r  r ' dv' ;  (r ' ) A(r )  V'  4  r  r ' exp ik r  r ' dv' J (r ' ) V' de la misma forma que en el caso estático se trata de funciones de variable espacial, pero la aparición de la función exponencial compleja requiere examinar con cuidado el proceso del desarrollo multipolar. En el caso de fuentes estáticas no aparece el 1 término exponencial complejo y se hizo un análisis de la función r  r ' suponiendo que la variable r’ se puede considerar como un valor diferencial del punto de observación r  r ' 1  r  r 1 , lo cual solo es posible como vimos para |r|>>|r’|; de modo que la variación en r’ supone un cambio pequeño, aproximadamente diferencial 1 en la función r  r ' . Si queremos mantener el mismo planteamiento en el caso de fuentes armónicas debemos tener cuidado con el comportamiento de las partes real e imaginaria de la exponencial compleja, que son funciones sinoidales. En general la condición |r|>>|r’| no es suficiente para que podamos interpretar la variable r’ de la exponencial como un valor diferencial del punto de observación; de modo que las variaciones en r’ provoquen variaciones pequeñas en la función exponencial. Vemos intuitivamente que para que esto sea así, el valor que debe ser suficientemente pequeño es kr’=2πr’/λ <<1 y por tanto la ampliación del desarrollo multipolar al caso de fuentes armónicas requiere dos condiciones simultáneas r  r '      r '   Introducción al Electromagnetismo 71 Como consecuencia de esto habrá dos alternativas interesantes para el desarrollo multipolar : la alternativa denominada de campo cercano: r    r ' y la alternativa de campo lejano r    r ' . Repetimos por tanto el desarrollo del análisis multipolar de este modo     exp ik r   r    exp ikr  exp ikr 1  2  exp ikr  ' '     xi'      xi x j   .......... .  xi  r r r  xi , x j   r 2 i, j r r  r  r  r '   x1' , x2' , x3'  i r  x1 , x2 , x3     para el término anterior correspondiente a la segunda aproximación necesitamos calcular el gradiente de la función exp(ikr)/r   exp ikr  r exp ikr r exp ikr      ik  xi  xi xi r r   exp ikr  exp ikr r2   xi    ikr  1  r r xi r3   xi    xi r y utilizando lenguaje vectorial y producto escalar tenemos  exp ik r   r r r   exp ikr  ikr  1 exp ikr r  r'  ....... r3 r lo que nos lleva a los siguientes potenciales para el desarrollo multipolar completo  (r )  A(r )  1 exp ikr 1 1  ikr exp 3ikr r    (r ' )r 'dv'  ......  (r ' )dv'   4 4 r r V' V'  exp ikr 4 r   J (r ' )dv'  4 1  ikr exp ikr r3 V'  J (r ' )r 'r dv'  .... V' La segunda integral del potencial eléctrico se puede relacionar inmediatamente con la densidad de corriente mediante la ley de conservación de la carga. De este modo, trabajando en componentes cartesianas: i (r ' ) x'i  ' J (r ' ) x'i ;y el segundo término de   esta ecuación se puede analizar fácilmente mediante las identidades vectoriales desarrolladas en el trabajo de mecánica de fluidos obteniendo lo siguiente       ' x'i J (r ' )  ' x'i   J (r ')  x'i ' J (r ')  J i (r ' )  x'i ' J (r ' )   x'i J (r ' )  d S '   J i (r ' )dv'  i   (r ' ) x'i dv' S' V' V' donde hemos aplicado el teorema integral de la divergencia. Si S’ es una superficie que envuelve completamente todas las corrientes es evidente que podemos elegirla de modo que sea J=0 en dicha superficie y por tanto tenemos la siguiente identidad entre integrales  J (r ' )dv'  i   (r ' )r 'dv'  i p V' V' donde p representa la amplitud del momento dipolar eléctrico del sistema. El momento dipolar real estará modulado por una función cos(ωt+θρ). El resultado, inesperado a priori, es que hemos demostrado que la primera integral del potencial magnético corresponde a la derivada parcial temporal del momento dipolar eléctrico del sistema. Vamos ahora con la segunda integral del potencial magnético. Trabajando en Introducción al Electromagnetismo 72 componentes cartesianas y mediante las identidades del análisis de campos podemos encontrar el citado integrando en el siguiente análisis       ' x'i x' j x j J (r ' )  x j ' x'i x' j  J (r ')  x'i x' j x j ' J (r ')  x j x'i e j  x' j e i  J (r ')  ix j x'i x' j  (r ' )   'x' i V'  x' j x j J (r ' )  dv'   x'i x' j x j J (r ' )  dS '  0  S'  r ' r  J (r ') dv'   r  r 'J (r ')dv'  i   x  j V' ij '  0 ; ij  x'i x' j  (r ' )dv' V ' i, j V' Note el lector que el índice repetido j implica la correspondiente suma de términos. De la misma forma que antes, elegimos S’ de modo que englobe todas las corrientes y sea J=0 en dicha superficie. En el resultado reconocemos un término que es la segunda integral del potencial vector y además aparece un tensor ηij que veremos está relacionado con el momento cuadrupolar eléctrico Q del sistema. El integrando de la integral restante se puede analizar mediante la fórmula del triple producto vectorial , lo que permite despejar la segunda integral del potencial vector resultando        1 1     r  r 'J (r ')dv'   i r  r   r '  J (r ') dv'          ' ( ' ) ' ' ( ' ) ' ' 0   r r J r dv r r J r dv i x 2 2      r ' r  J (r ')  J (r ') r  r '  r  r '  J (r ') j V' V ' i, j V' ij  V' V' y por tanto la segunda integral del potencial vector es la suma de un término proporcional al momento dipolar magnético m del sistema y un término adicional proporcional a la derivada parcial temporal, multiplicada por -1, del tensor ηij. Utilizando notación vectorial/matricial  0   11  12  13  x1     1  r  r ' J (r ')dv'   i  21  22  23  x2   m  r   m z 2      m y  31  32  33  x3    V'   mz 0 mx   13  x1  my    1  11 12    m x   i  21  22  23  x2  2    0   31  32  33  x3  La amplitud del potencial vectorial queda de esta forma A(r )   i p exp ikr  1  ikr exp 3ikr m  r  1 i r   ....  2 4 4 r r   La amplitud del campo magnético se calcula con el rotacional del potencial vector, y este hecho hace que podamos modificar la expresión anterior para que aparezca explícitamente el tensor cuadrupolar Qij (ver trabajo sobre introducción al modelo copernicano y gravedad de Newton) en vez del tensor ηij. Las componentes de estos dos tensores se relacionan así  1 1 2   ij  Qij  r '  (r ' ) ij dv' 2 3 3 Qij  3x'i x' j r '  ij  (r ' )dv' ij  x'i x' j  (r ' )dv'   y si integramos este resultado en dv’ obtenemos ηij = 1/3Qij+λδij; donde λ es un valor constante. Si sustituimos este resultado en la fórmula anterior del potencial vector A(r) tenemos  i p exp ikr   1  ikr  exp 3ikr  m  r  1 iQr   i r   ....  A(r )  r r 6 2 4 4   Introducción al Electromagnetismo 73 El campo magnético derivado del potencial anterior se obtiene calculando su rotacional y es evidente que el término asociado a λ, proporcional al radio vector r , tiene un rotacional nulo; de modo que obtenemos el siguiente potencial vector magnético equivalente en función del momento cuadrupolar eléctrico Q A(r )   i p exp ikr   1  ikr  exp 3ikr  m  r  1 i Qr   ....  r r 4 4 6   Para el cálculo del campo eléctrico podemos simplificar mediante la fórmula encontrada antes E (r )  i    B(r )   J (r ). En nuestro caso podemos suponer J(r)=0, en consonancia con el análisis multipolar válido en zonas alejadas de las fuentes. De esta forma obtenemos una descripción completa del campo electromagnético según las condiciones de validez de la aproximación multipolar. El lector encontrará soporte matemático suficiente para realizar estos cálculos en el trabajo sobre mecánica de fluidos. Para el caso del campo asociado al primer término del potencial vector tenemos B1  E1 (r )  i   i  i  exp ikr    i  exp ikr   ikr  1 exp 3ikr  r  p   p   p  4 4 4 r r r       B1 (r )  1 exp ikr  1  exp ikr   exp ikr        ikr  1 r  p  r     ikr  1 r  p  p   ikr  1 3 3  4 4 r r r3         donde vemos que es ventajoso utilizar el sistema de coordenadas esférico para los resultados finales, expresando el campo constante p y los operadores dependientes del gradiente en este sistema de coordenadas esférico. Introducción al Electromagnetismo 74 Discontinuidades del campo electromagnético en medios lineales. Las ecuaciones de Maxwell que hemos visto describen el comportamiento del campo en contextos físicos en los que el campo evoluciona de forma matemáticamente continua y derivable en medios dieléctricos y conductores homogéneos. Pero en las superficies de frontera entre dos medios dieléctricos distintos es posible encontrar discontinuidades en el campo debido a la variación espacial de las constantes eléctricas y a características físicas propias de la superficie. Esto lo hemos visto ya en el caso de los conductores cargados, donde la superficie que separa el medio metálico del medio dieléctrico externo presenta una densidad superficial de carga asociada a la discontinuidad del campo eléctrico al movernos desde el interior del metal al medio dieléctrico externo. No podemos esperar encontrar las condiciones de discontinuidad del campo para cualquier medio material, ya que esto dependerá de las ecuaciones constitutivas particulares de cada medio. Sin embargo en el caso de medios lineales, que incluyen dieléctricos lineales y metales que siguen la ley de Ohm, las ecuaciones constitutivas son conocidas y las condiciones de discontinuidad se pueden deducir del análisis integral (no diferencial) de las ecuaciones de Maxwell. Podemos ver esto por separado para las leyes asociadas a la divergencia y las leyes asociadas al rotacional: Divergencia dS2 dS1 El dibujo muestra una línea horizontal gruesa representando la superficie de separación entre dos medios lineales 1,2 distintos electromagnéticamente, donde el C2 campo vectorial correspondiente se nombra por la letra C. El cilindro dibujado incluye ambos medios y su eje es perpendicular a la superficie de separación. El C1 tamaño del cilindro es diferencial con superficies superior e inferior dS1,2 y semialtura dh; de modo que la mitad del cilindro está en el medio 1 y la otra mitad en el medio 2. Las superficies superior e inferior del cilindro deben ser necesariamente paralelas y del mismo tamaño, ya que en el límite deben coincidir con el mismo elemento dS en la superficie de separación. El dibujo muestra el valor del campo vectorial C como vectores en línea punteada sobre las superficies dS1,2. Aplicaremos el teorema integral de la divergencia a este cilindro elemental para las correspondientes ecuaciones de Maxwell para medios lineales       B  0   B  d S B 2  B1  d S  O(d B1 dh)  O(d B 2 dhdr)  0   D    D  d S  D 2  D1  d S  O(d D1dh)  O(d D 2 dhdr)  dv 2dhdS  J           J  d S  J 2  J 1  d S  O(d J 1 dh)  O(d J 2 dhdr)   dv    2 dh dS t t  t    Los términos O(..) corresponden a estimaciones de la integral para la superficie lateral del cilindro. Debido a la forma circular los elementos C*ds en la superficie lateral tienden a cancelan salvo las variaciones diferenciales del campo dC a lo largo de la distancia correspondiente al diámetro 2dr del elemento de superficie dS, que en cada medio continuo se representa por dC1,2. Las discontinuidades del campo se manifiestan claramente en el proceso límite en que hacemos el cilindro tender a un volumen nulo; ya que en este proceso los términos O(….) tienden a cero a un ritmo mucho mayor que los términos del tipo C 2  C 1  d S . La razón es que las cantidades   dC1,2 están definidas para cada medio y pueden ser tan pequeñas como queramos por Introducción al Electromagnetismo 75 la continuidad del campo en cada uno de los medios; pero si existe una discontinuidad del campo entre medios, entonces las cantidades C 2  C 1 no pueden ser tan   pequeñas como queramos. Según esto, en el límite las expresiones anteriores son equivalentes a D 2       D1  n  Limh0 2 dh ; B 2  B1  n  0 ; J 2  J 1  n    Limh0 2 dh t donde n es un vector unitario perpendicular a la superficie de separación y orientado desde el medio 1 al medio 2. Vemos que la componente normal del campo magnético mantiene la continuidad en el cambio entre medios lineales; pero aún es posible mantener la hipótesis de discontinuidad en las otras dos ecuaciones. Para ello necesitamos dar un significado físico al límite Limh0 2dh , pero esto resulta obvio si recordamos la sección sobre las condiciones de frontera de un campo estático en un metal. Al analizar el comportamiento estático de un metal que siga la ley de Ohm se llegó a la conclusión de que la carga solo puede estar distribuida en su superficie y que esta densidad superficial de carga ζ está asociada a la discontinuidad del campo eléctrico entre un medio metálico y su exterior dieléctrico. A partir de aquí formulamos las correspondientes condiciones de contorno entre medios lineales en función la densidad superficial de carga ζ de este modo D2  D1  n   ; B 2  B1  n  0 ; J 2  J 1  n    t Note el lector que ζ debe ser una densidad de carga real, no una densidad de carga de polarización. Note también que estamos aceptando que nuestra teoría es consistente con un valor infinito para la densidad en volumen de carga en ciertas condiciones y que la indeterminación Limh0 2dh    0 se resuelve mediante una densidad superficial de carga. Rotacional El dibujo representa un circuito cerrado rectangular elemental que pasa por los dos medios electromagnéticos 1 y 2. Los trayectos superiores e inferiores son dr1,2 , los trayectos laterales son de semi-longitud dh y la superficie dS del circuito C1 es perpendicular a la superficie de separación entre medios dr1 que, marcada con línea gruesa, divide al circuito en dos partes iguales. Los trayectos superior e inferior deben ser paralelos y de la misma longitud, ya que en el límite deben coincidir con el mismo segmento tangente dr en la superficie de separación. En línea punteada tenemos los vectores correspondientes del campo en los medios 1 y 2. Aplicaremos el teorema integral del rotacional a este circuito elemental para las correspondientes ecuaciones de Maxwell para medios lineales dr2  E   C2   B B B dS )  d S  O(   E  d r  E 2  E 1  d r  O ( d E 1dh)  O ( d E 2 dh)    t t t  H  J      D D D dS )  d S  J  2 d r  d h  O(   H  d r  H 2  H 1  d r  O (d H 1dh)  O (d H 2 dh)   J  d S   t t t Los términos O(d Cdh) admiten una interpretación análoga al análisis anterior para las leyes basadas en la divergencia de un campo vectorial, de modo que pueden considerarse diferenciales de segundo orden. Los términos O ( C dS ) también se t Introducción al Electromagnetismo 76 pueden considerar diferenciales de segundo orden (dS) si suponemos un comportamiento regular acotado para la derivada parcial temporal del campo vectorial correspondiente; excluyendo por falta de significado físico valores infinitos para los campos o para su variación en el tiempo. Según esto, la hipótesis de discontinuidad del campo produce los siguientes resultados E 2        E 1  t  0 ; H 2  H 1  t  Limdh0 J 2dh  n  t donde t es un vector unitario cualquiera tangente a la superficie de separación y n es un vector unitario perpendicular a la superficie de separación y orientado del medio 1 al medio 2. Como resultado tenemos que la componente del campo eléctrico tangencial a la superficie de separación se comporta efectivamente de forma continua en el cambio de medio; mientras que la componente tangencial del campo magnético H admite una discontinuidad en tanto tenga sentido el límite Limdh0 2 J dh . Además la corriente J debe ser una corriente real, no de magnetización; bien sea convectiva o de conducción. De la relación J=ρv para corrientes de convección debemos aceptar que el límite anterior tiene el significado de una densidad de corriente superficial j  Limdh0 2 J dh  Limdh0 2 dhv   v . Por supuesto esto supone que debemos aceptar que en la superficie correspondiente la densidad de corriente en volumen debe ser infinita. Si la corriente superficial es de conducción y aplicamos la ley de Ohm J=δE debemos aceptar una conductividad δ=∞. Por tanto, salvo medios de conductividad infinita, podemos suponer que las componentes tangenciales a la superficie de separación entre medios del campo eléctrico E y del campo magnético H se comportan de modo continuo al pasar de un medio a otro. Note el lector que existen medios físicos reales con conductividad infinita y un ejemplo de esto son los materiales superconductores. Reuniendo todos los resultados para las condiciones de discontinuidad del campo entre medios lineales tenemos D E 2 2     D1  n   ; B 2  B1  n  0 ;       E1  t  0 ; H 2  H 1  t  j  n  t    J 2  J1  n   t En términos generales, los materiales no son conductores o dieléctricos perfectos, sino que en la mayor parte de los casos pueden darse simultáneamente fenómenos mixtos de polarización/magnetización con corrientes de conducción que sigan la ley de Ohm. En el contexto de densidades de carga y corriente que varían armónicamente con el tiempo , el caso fundamental de las ecuaciones de Maxwell, podemos expresar los resultados anteriores para este caso mixto general     E  E  t  0 ; H  H  t  j  n  t   E   E  n  i 2 E2   1 E 1  n   ;  2 H 2  1 H 1  n  0 ; 2 1 2 2 2 1 1 1 Si consideramos medios materiales de conductividad ζ finita, entonces debe ser j=0. En este contexto podemos despejar la densidad superficial de corriente entre la primera y la última ecuación obteniendo i 2    2 E 2  i 1   1 E 1  n  0  i 2   2 E2n  i 1   1 E1n Introducción al Electromagnetismo 77 lo que relaciona la componente normal de la amplitud del campo eléctrico en uno y otro medio. Incluyendo el resto de ecuaciones tenemos Discontinuidades del campo en medios lineales sin conductividad infinita i 2   2 E2n  i 1  1 E1n E2t  E1t 2 H 2n  1H1n H 2t  H1t Note el lector que hemos hecho un supuesto : la frecuencia ω del campo se mantiene igual a ambos lados de la superficie de separación entre medios. Podemos hablar de un principio de constancia de la frecuencia que abarca mas allá del electromagnetismo, como el lector puede ver en el trabajo Sobre la ecuación de ondas. Para el caso en que uno de los materiales, tomemos el medio 2, presente conductividad infinita ζ2=∞; entonces la consistencia de la primera ecuación, que debe ser cierta en todos los casos, requiere que sea E2n=0. Además, si consideramos la ley de Ampère-Maxwell en el medio 2 tenemos   H 2   2  i 2 E 2 y siguiendo la condición física de que los campos admiten valores acotados y son derivables en cada medio, la relación anterior nos dice que una conductividad infinita en el medio 2 implica que el campo eléctrico E2 en dicho medio debe anularse completamente, no solo la componente normal como hemos visto. Por otra parte la ley de inducción de Fáraday-Maxwell es   E 2  i 2 H 2 de modo que si el campo eléctrico E2 es nulo también debe serlo el campo H2 : En un medio lineal de conductancia infinita los campos eléctrico E y magnético H deben ser nulos. En resumen: Discontinuidades del campo en medios lineales cuando el medio 2 es de conductividad infinita E2 n  0 ; E1n    1 E2t  E1t  0   2 H 2n  1H1n  0 H 2t  0; H1t   j  n  t Óptica básica y Electromagnetismo. A lo largo del texto nos hemos referido a que la velocidad de la luz es un parámetro fundamentan en electromagnetismo. Si la luz es un fenómeno electromagnético, entonces deberíamos poder dar una explicación del fenómeno óptico que se produce cuando la luz llega a una superficie dióptica, es decir, una superficie que separa dos medios transparentes con distinto índice de refracción. Y este fenómeno es la división de la luz incidente en luz reflejada y luz transmitida (o refractada). Partiendo desde cero, lo primero es dar una descripción de la luz en términos del campo electromagnético. En la sección sobre ecuaciones de Maxwell se dedujo la ecuación diferencial de los campos E,B en condiciones dinámicas. En ausencia densidades de carga (ρ) y con una densidad de corriente de conducción J= ςE el resultado es E  2 E    2 t  t  B  2 B 2  B   2   t  t  2 E   Introducción al Electromagnetismo 78 Las ecuaciones anteriores representan el caso general de un medio que combina simultáneamente características dieléctricas y conductoras. Vamos a analizar el comportamiento de soluciones en forma de onda plana de estas ecuaciones E  E 0 exp( i(t    r )) ; B  B 0 exp( i(t    r )) Si sustituimos estas funciones complejas en las ecuaciones diferenciales anteriores llegamos a la siguiente relación  2  2  i Si suponemos, como parece natural, que la frecuencia de la onda ω es un número real, entonces debemos asumir que el vector de onda κ tiene un módulo complejo. Dentro del álgebra lineal y la geometría que conocemos este resultado solo es posible formalmente si el vector κ es un vector complejo de esta forma r i r i r i r r i i i r     i         i      i             i  2            donde i es la unidad imaginaria , κi,r son vectores reales habituales y el punto representa el producto escalar. Recordando el efecto de los operadores derivada parcial temporal y gradiente sobre las funciones exponenciales complejas  exp( i(t    r ))  i exp( i(t    r )) ;  exp( i(t    r ))  i exp( i(t    r )) t y utilizando el cálculo vectorial podemos expresar fácilmente las ecuaciones de Maxwell para los campos anteriores ECUACIONES DE MAXWELL PARA ONDAS PLANAS Ley de Gauss  E  0  E 0 Ley de Fáraday-Maxwell Conservación flujo magnético Ley de Ampére-Maxwell  E     E  B B t  B0  B  0   B   E     B    i E E t La primera conclusión de estas relaciones es que los vectores E,B,κ son perpendiculares entre si, y además, en el orden E,B,κ en que se han escrito, forman un triedro rectangular directo: E  B  B     E  0 EB  1    E  E  E2  ; E2  0 recordando la definición del vector de Poynting, tenemos que κ es paralelo a la dirección de propagación de la energía de la onda, o en términos ópticos, la dirección de un rayo de la onda. Sin embargo, en tanto que κ puede ser un vector complejo, las relaciones geométricas de perpendicularidad o paralelismo con este vector deben ser matizadas, como veremos mas adelante. Note el lector que, a pesar que los campos eléctrico y magnético de la onda invierten su dirección periódicamente, el vector de Poynting mantiene la dirección constante del Introducción al Electromagnetismo 79 vector de onda, es decir, la energía electromagnética mantiene su dirección de propagación y por tanto puede crear un efecto acumulativo sobre un material absorbente. Tenemos por tanto una descripción del campo electromagnético de la luz y esta descripción debe satisfacer las condiciones de discontinuidad para las componentes del campo normales y tangenciales sobre la superficie dióptrica: Discontinuidades del campo armónico en medios electromagnéticos lineales E2t  E1t i 2   2 E2n  i1   1 E1n B2n  B1n B2t 2  B1t 1 En muchos casos los medios ópticos son medios sin magnetización apreciable intrínseca o inducida en presencia de campos magnéticos, de modo que podemos suponer μ1 = μ2 = μ0; donde μ0 es la permitividad magnética del vacío. Expresemos ahora el campo en ambos lados de la superficie dióptrica. A un lado de la superficie tenemos los campos de las ondas incidente y reflejada y al otro lado tenemos el campo de la onda transmitida. Si denominamos por C una componente cualquiera (normal n o tangencial t) del campo eléctrico o magnético, según la tabla anterior tenemos que debe verificarse la siguiente ecuación C i exp( i (i t   i  r d  i ))  C r exp( i (r t   r  r d   r ))  R C t exp( i (t t   t  r d  t )) donde R es una constante compleja en general que da cuenta de las condiciones de frontera de la componente normal En del campo eléctrico y vale 1 para el resto de componentes, rd corresponde a un punto cualquiera en la superficie dióptrica y θ representan constantes de desfase. Si fijamos un punto determinado en la superficie dióptrica rd0 la expresión anterior es una ecuación que debe mantenerse para cualquier valor del tiempo C i exp( i (i t  i ))  C r exp( i (r t  r ))  RC t exp( i (t t  t )) donde Φi,r,t =κi,r,trd+θi,r,t son constantes independientes del tiempo. Si recordamos la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, el segundo miembro es una solución de la siguiente ecuación diferencial de primer orden t t t dC  it C ; C (0)  RC t exp( it ) dt la condición inicial (t=0) indicada junto con la ecuación diferencial determinan una única solución posible. Si hacemos un razonamiento similar para el primer miembro tenemos, tras alguna manipulación algebráica, la siguiente ecuación diferencial. i  i dC  i  i C  r i r r r d  i     r  i  i   r  i  dt   C  C   C  C   i i    C  C   i i C   r C   i r    2     dt   2  r dC  i  r C  dt  Las ecuaciones diferenciales encontradas deben ser la misma ecuación, ya que las condiciones de continuidad aplicables al campo electromagnético en la superficie del dioptrio exigen que las expresiones a derecha e izquierda de la correspondiente ecuación sean las mismas funciones del tiempo       t  i r t r r r  t d i  dC    r  i    r  i  it C  C  C  RC   C  C  i i  C C     C  C  i i 2 2 dt dt           Introducción al Electromagnetismo 80 lo cual solo es posible, a la vista de este resultado, si las frecuencias incidente, reflejada y transmitida son las mismas : ωi= ωr= ωt. Hasta este momento las conclusiones encontradas son validas sin ningún tipo de restricción, pero a partir de ahora hacemos la siguiente restricción física : el medio de la onda refractada es un medio genérico que puede ser conductor o dieléctrico, pero elegimos para las ondas incidente y reflejada un medio dieléctrico no conductor. También, aunque sin pérdida de generalidad, elegimos un sistema de coordenadas cartesiano con uno de sus planos coordenados, por ejemplo el plano XY, coincidente con el plano dióptrico de separación entre medios. Recuperando el concepto de vector de onda complejo, la onda en el medio conductor se describe así  r i  i  r  E  E 0 exp[ i(t    i  r )]  E 0 exp[   r ] exp[i t    r ] donde vemos que aparece un factor de amortiguación de la onda asociado a ki . Esta amortiguación debe anularse en todos los puntos de la superficie de separación entre dieléctrico y conductor, ya que la onda aún no ha penetrado en el conductor; lo cual significa que el factor de amortiguación debe ser 1 en dichos puntos y por tanto el producto escalar del vector κi por cualquier vector del plano de separación (XY) debe ser nulo; lo que significa geométricamente que el vector κi debe ser perpendicular a la superficie de separación. Por otro lado, el vector κr tendrá la dirección de propagación de la fase ondulatoria en el medio metálico y ambos vectores κi,r deben satisfacer las siguientes relaciones  2  2  i  r     i i   n i       donde n es un vector unitario perpendicular a la superficie de separación entre medios y α una constante real de proporcionalidad. De esta forma la función exponencial asociada al campo electromagnético sigue cumpliendo la ecuación de ondas también en el caso de un medio conductor y solo resta comprobar que puede satisfacer las condiciones de contorno exigibles para que sea la solución de nuestro problema. Sin embargo este resultado tiene el coste de introducir un vector complejo κ que supone un cambio profundo, ya que κ no es asimilable a un vector real euclídeo habitual : si multiplicamos vectorialmente κ por el vector real euclideo ki tenemos i i r          i sin(  c )   i r sin(  r ) y de la relación entre módulos tenemos que, siendo κr,i vectores reales ζr debe ser también un valor real; pero al ser el módulo de κ un valor complejo, entonces el ángulo ζc debe ser también un valor complejo; lo que escapa a una interpretación física directa habitual en el caso de vectores reales. De las relaciones anteriores para los vectores de onda se puede deducir que los campos E,B en un conductor no son en general perpendiculares a la dirección de propagación real de la onda dada por el vector κr ; aunque si son perpendiculares al vector de onda complejo κ, pero solo como formalismo matemático. Por otro lado el frente de ondas plano propio de la exponencial compleja agrupa valores del campo con la misma fase y es perpendicular a κr , mientras que en los planos perpendiculares a κi la amplitud del campo es la misma. Por tanto el frente de ondas en un medio Introducción al Electromagnetismo 81 metálico no presenta en general un mismo valor de amplitud en todos sus puntos. Recordando las ecuaciones de Maxwell y el carácter complejo del vector κ en conductores se deduce que los campos eléctrico y magnético de una onda presentan un cierto desfase en medios conductores y no alcanzan simultáneamente valores máximos y mínimos como lo hacen en medios no conductores. Según la interpretación energética del vector de Poynting este desfase supone que hay momentos en que la onda se propaga en dirección opuesta al vector de onda. Una vez dicho esto, avanzamos mas en el mismo contexto de continuidad del campo y completamos el razonamiento anterior basado en la variación de la coordenada temporal pero variando ahora la posición sobre la superficie dióptrica rd y manteniendo constante el tiempo t0. Recordando que en nuestro sistema de coordenadas cartesiano el plano XY coincide con el plano dióptrico y en este plano el factor de amortiguación vale 1, tenemos que las ondas incidente, reflejada y refractada son esencialmente exponenciales complejas sin amortiguación en dicho plano. En el sistema de coordenadas descrito cualquier vector vector rd en el plano de separación se puede expresar como una combinación lineal de dos vectores cualquiera t1,t2 en el mismo r d   t1   t 2 , y razonando plano que sean linealmente independientes alternativamente con las variables independientes α, β de modo similar al caso anterior r con la variable tiempo llegamos a la siguiente conclusión k i  t  k r  t   t  t , donde el vector t es un vector cualquiera tangente al plano dióptrico y κi,r,t son las componentes reales de los vectores de onda, es decir, según las restricciones físicas definidas antes. Ley de Snell Ya que los resultados anteriores son válidos para cualquier vector t del plano dióptrico, podemos deducir directamente    r  k r  ki t  0  k r  ki n ki t  kr t   t t   r r   t  ki t  0   t  ki  n   donde n es un vector unitario perpendicular al plano dióptrico. A partir de estos resultados, si multiplicamos la primera ecuación por β y la segunda por α es evidente que podemos encontrar una combinación lineal de la forma    k i    t   k r  0 r de modo que los tres vectores de onda ki,t,r no son linealmente independientes, y solo existen dos vectores independientes que determinan el plano de incidencia : aquel que contiene todos los vectores de onda. Igualmente, tomando r por ejemplo  t  k i   n , vemos que el vector n normal a la superficie tampoco es linealmente independiente de los vectores de onda y por tanto dicho vector n está contenido también en el plano de incidencia. Por tanto el plano de incidencia queda determinado totalmente por el vector de onda incidente κi y por el vector n normal a la superficie; y los vectores de onda reflejado y transmitido están incluidos en dicho plano de incidencia. r De los dos resultados anteriores : k r  k i   n ,  t  k i   n , y multiplicando vectorialmente por n, tomando módulos y utilizando longitudes de onda λ (k=2π/λ) tenemos 1 r sen( r )  1 i sen(i ) ; 1 t sen(t )  1 i sen(i ) Introducción al Electromagnetismo 82 pero dado que la onda incidente y la reflejada están en el mismo medio su velocidad será la misma, y si su periodo T es también el mismo entonces también lo será su longitud de onda λr= λi y por tanto los ángulos de incidencia y reflexión referidos a la normal n a la superficie son iguales para las ondas incidente y reflejada θ r= θi. Si ahora multiplicamos el resultado anterior por el periodo común T y por la velocidad de la luz en el vacío (c) obtenemos la ley clásica de Snell en función del índice de refracción n=c/v de cada medio v  T  c c sen(t )  sen(i )  nt sen(t )  ni sen(i ) vi vt donde, recordamos, las ondas incidente y reflejada están en un medio dieléctrico aislante y la onda transmitida en un medio genérico que puede ser aislante o conductor. Este resultado supone explícitamente un índice de refracción en un medio conductor y existen modelos de materiales conductores como el de Drude capaces de dar valores aproximados de este índice de refracción. El punto de encuentro entre la óptica y el electromagnetismo es la relación directa entre las constantes με y la velocidad de fase v de una onda electromagnética. Es precisamente esta velocidad de fase la que aparece en el índice de refracción n=c/v. Intensidades del campo incidente, reflejado y transmitido. n κi κt El plano de incidencia tiene una propiedad importante en una gran cantidad de medios físicos. Si la onda incidente tiene uno de sus campos ,eléctrico o magnético, en el plano de incidencia, entonces el campo correspondiente de las ondas reflejada y refractada también está en el mismo plano de incidencia. De aquí se deduce que el campo restante se mantiene perpendicular al plano de incidencia en las ondas incidente, reflejada y transmitida y por tanto este campo mantiene una dirección de polarización constante. Para la descripción de estos campos es conveniente la utilización de un sistema de coordenadas (n,t) asociado al plano de incidencia según muestra el dibujo. El vector unitario t está en la dirección de la intersección entre el plano de incidencia y la superficie dióptrica y el vector unitario n es κr perpendicular a la superficie dióptrica. Aprovechando el dibujo, y de la geometría elemental, sabemos que los vectores suma y diferencia de otros dos vectores de t igual módulo son perpendiculares entre si, en este caso k i    k r  k i  k r  ki2  k r2  0 y dado que la diferencia vectorial ki-kr es paralela a n, entonces la suma vectorial ki+kr debe ser paralela a t, ya que las combinaciones lineales de vectores en el plano de incidencia deben mantenerse en el mismo plano de incidencia, y por tanto ki  kr  t . Si C‖ representa un campo, bien sea el eléctrico o el magnético, polarizado en el plano de incidencia y C┬ el otro campo, que será perpendicular al plano de incidencia, entonces podemos determinar el vector t de esta forma t  n C C ; donde C┬ puede ser el campo correspondiente de cualquiera de las ondas :incidente, reflejada o transmitida. Introducción al Electromagnetismo 83 Vamos a considerar inicialmente una onda incidente con el campo magnético polarizado en el plano de incidencia, y por tanto el campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia. Recordemos ahora las discontinuidades del campo Discontinuidades del campo armónico en medios lineales i 2   2 E2n  i 1  1 E1n E2t  E1t B2n  B1n B2t 2  B1t 1 debido a la polarización del campo magnético en el plano de incidencia, los campos eléctricos de las ondas incidente, reflejada y transmitida son paralelos a la superficie dióptrica de separación entre medios. Las condiciones de discontinuidad y las leyes de Maxwell nos llevan a los siguientes resultados   i B2t B1t   t  Et  t   ki  Ei t  k r  Er t   2 1 t  E 2t  E1t  E i  E r  E t       Note el lector que, mediante las ecuaciones de Maxwell, aparece el vector de onda r complejo  t íntegro en vez de su componente real  t . Aplicando la fórmula para el vector t en este caso y resolviendo el tipo de operación en el que aparece tenemos t  n  E  E  k  E n  kE n   k n E   E E E    E       llevamos este resultado al sistema de ecuaciones anterior y resolvemos Er, Et en función de Ei           i1 k i   t1  t  n  Ei   E r  1  t  t   i1 k r  n i   k i  n Ei  k r  n E r   t  n Et    t   i1 2k i  n  E   Ei t  1 1   t  t  i k r  n ki  kr  t   Ei  Er  Et       resultado válido solo para el caso en que el campo magnético B de las ondas incidente, reflejada y transmitida están en el plano de incidencia, y por tanto el campo eléctrico E es perpendicular (E┴) al plano de incidencia para todas las ondas. Veamos ahora el caso en que es el campo eléctrico el que está polarizado en el plano de incidencia y el campo magnético es tangente a la superficie de separación i Bt t     1 1 E2t  E1t  k i B i  k r B r  t   t B t  t   i i  ii i t  t  it t  B2t 2  B1t 1  Bi  B r      aplicando la fórmula para el vector t en este caso y resolviendo el tipo de operación en el que aparece tenemos t  n  B  B  kB n   k n B  k  B n   B B B   B        Introducción al Electromagnetismo 84 sustituyendo este resultado en el planteamiento anterior e introduciendo los valores χ, ε deducimos     i    ,      i     i  B i  B r   B t    1 k i  t1 t  n t  Bi   B r  i1 t  t  i1 k r  n  i    t n Bt     k i n Bi  k r n Br  t 2 i1 k i  n    B  t Bi t k i  k r   t   i t1 t  i1 k r  n                  El campo eléctrico y el magnético están relacionados por la ley de Fáraday-Maxwell y de esto concluimos lo siguiente       i1 k i   t1  t  n ki  Ei k r  E r  1  t  t   i1 k r  n k  B  E    2 i1 k i  n   E   t ki  Ei t 1  t  i  t  t   i1 k r  n    tomando el módulo geométrico en los resultados, considerando que los módulos κi= κr y dado que los correspondientes campos y vectores de onda son perpendiculares entre si tenemos      ||  i1 k i   t1 t  n || Ei  Er  1  t  t   i1 k r  n   2 i1 k i  n ki ||  E ||   t Ei t 1  1       k n   t r t i t i    resultado válido solo para el caso en que el campo eléctrico de las ondas incidente, reflejada y transmitida están en el plano de incidencia ( E || ), como indica el superíndice con dos líneas paralelas. Note el lector que los módulos que aparecen aquí son en general valores complejos, con parte real y parte imaginaria, por los términos  t ,t . En el caso de medios no conductores, la componente compleja del vector de onda  t desaparece y los resultados anteriores se suelen expresar en términos del índice de refracción n o el factor Z utilizando las siguiente relaciones v    kc         1 c    ; n   c  ; k   / Z ; Z   / k ;    1n 2 / c 2 v   n / c c / n  2 2 c / Z   / Z     Otro caso habitual en la bibliografía es el de incidencia normal sobre un medio conductor. En este caso las ondas incidente, reflejada y refractada son paralelas y se puede poner  t   t n . Esto simplifica los productos escalares de  t en los resultados encontrados:  t  n   t . Note también el lector que para incidencia normal tenemos ;  t   tr  i ti  k  i Introducción al Electromagnetismo 85 Penetración de una onda electromagnética en un metal en incidencia normal. Efecto pelicular De la relación anterior para incidencia normal despejamos los valores k,γ de esta forma k  i 2 1/ 2  2          k   2  1      1   2k         2  i   2  2 2 1/ 2 k       2           1    1     2      de esta forma la onda plana luce así en nuestro sistema de coordenadas   E  E e z ei k z  t  0 donde vemos que γ ,la componente compleja de κ, produce un efecto de amortiguación de la onda a medida que se adentra en el metal aumentando la coordenada z. La amplitud tiene ahora una dependencia exponencial con z , pero el resultado sigue siendo una onda plana ya que los planos de igual fase y de igual amplitud coinciden. Vemos que los parámetros k,γ dependen fuertemente del cociente ς/εω. Este cociente tiene un significado físico de la mayor importancia. Si multiplicamos numerador y denominador por el módulo E del campo eléctrico completo (incluyendo todas las componentes Ex,Ey ) tenemos J corriente  de  conducción  E     E  E corriente  de  polarizaci ón t por tanto este cociente está directamente relacionado con el carácter mas o menos conductor o aislante del medio. En el caso de un metal como el cobre la corriente de conducción supera con mucho a la de polarización y en el caso de un dieléctrico como el plástico la corriente de polarización superará en mucho a la de conducción. Este cociente permite crear una escala de la calidad como conductor o aislante de cualquier material y de este modo comparar distintos materiales; y de hecho la inversa Q=εω/ς se conoce como factor de calidad del medio y se designa con la letra Q (quality). Para metales tenemos Q<<1→ ς/εω>>1 y podemos aproximar k    2 ; Q   1 ;   2  El inverso de γ representa la distancia tal que la amplitud de la onda electromagnética plana se reduce en un factor 1/e y se conoce como profundidad de penetración. Para un metal como el cobre tenemos (v es la frecuencia de la onda en Hertz) ς: (Ohmxm)-1 ε: (C2/Nxm2) μ: (Nxs2xC-2) Q k-1,γ-1 (m) 6x107 8.854187x10-12 4πx10-7 10-18ν 6.5x10-2/ ν1/2 El resultado indica que la aproximación Q<<1 es válida para frecuencias v<<10-18 Hertz; lo cual limita a frecuencias por de debajo de la región ultravioleta del espectro. Es a partir de esta región en la que aparecen fenómenos cuánticos en los metales Introducción al Electromagnetismo 86 como es el efecto fotoeléctrico. En cuanto a la profundidad de penetración, a bajas frecuencias se puede considerar que no existe atenuación apreciable, pero al entrar en la región de las microondas (v~3x109 Hertz) la profundidad de penetración es del orden de una micra (10-6 metros); realmente pequeña. Para el caso que vimos en una sección anterior de una onda electromagnética transfiriendo energía a un cable eléctrico mediante la componente Pn del vector de Poynting, si la fuente de señal/alimentación oscila en frecuencias próximas a las microondas, entonces resulta que los campos en el interior del conductor son no nulos en un margen de micras respecto de la superficie. A este fenómeno se le denomina efecto pelicular y significa que solo puede circular corriente de conducción en una zona relativamente pequeña de la periferia del cable mientras que en el interior la corriente es despreciable. Ya que la sección efectiva por la que circula la corriente es menor, la resistencia eléctrica, inversamente proporcional al área de dicha sección conductora, es superior. En circuitos de alta potencia esto puede suponer altas pérdidas en forma de calor. Esto también es un límite en el caso de los ordenadores personales actuales cuyos procesadores funcionan con señales próximas a las microondas y disipan mucho calor. El efecto pelicular también influye en el diseño de antenas. Si las ondas electromagnéticas utilizadas son de baja frecuencia, como las de radio o televisión, el diseño de las antenas utiliza barras metálicas que se orientan paralelamente a la dirección de polarización de la onda de modo que la señal induzca corrientes lo mas potentes posibles en la antena, ya que no hay problema con la profundidad de penetración de la onda en las barras metálicas de la antena. Pero con señales en el rango de las microondas se utilizan antenas parabólicas. Esto se debe a que la profundidad de penetración de la señal en el metal de la parábola es tan pequeña que las ondas mas bien rebotan en la parábola y se concentran en su foco. Este rebote también se produce en el caso de la luz visible incidiendo sobre metal pulido, que actúa igual que un espejo. El rebote es el comportamiento lógico de una onda que impacta sobre un objeto sobre el que no puede realizar un desplazamiento interno efectivo, como una onda mecánica elástica que impacta sobre un objeto rígido, sin propiedades elásticas, muy masivo. Esto se puede ver en el trabajo Sobre la ecuación de ondas. Finalmente, retomemos la discusión sobre el transporte de energía en un circuito discutido en la sección sobre interpretación energética de la corriente eléctrica. Allí se estableció que el transporte de energía en un circuito de corriente alterna se debe a una onda electromagnética que circula por el exterior del cable (medio dieléctrico aislante) y se va transmitiendo al interior del cable conductor. Si es así, entonces debemos suponer también que existirán ondas reflejadas que supondrían una pérdida de energía distinta al efecto Joule. La realidad es algo mas compleja y esta energía reflejada acaba volviendo a ser reabsorbida. Esto se debe a dos causas : 1-La longitud de onda es mucho mayor que el tamaño del circuito. 2-El circuito en esencia es una corriente cerrada. La consecuencia de esto es que las ondas reflejadas en una parte del circuito (la corriente eléctrica va en una dirección) interfieren destructivamente en zonas Introducción al Electromagnetismo 87 relativamente cercanas al circuito con las ondas reflejadas en la parte opuesta (la corriente eléctrica va en la dirección opuesta). Esto hace que esta energía no se pierda y vuelva a ser absorbida por el cable conductor. El efecto neto es que la onda es completamente absorbida por el cable conductor. Energía e impulso de una onda electromagnética plana en un medio dieléctrico. Recordemos los principios de conservación de la energía y del impulso mecánico que hemos visto anteriormente: -conservación de la energía 1      E  B  J  E    2 1 2   E  B  2 t  2  donde el argumento de la derivada parcial del tiempo es la densidad de energía electromagnética por unidad de volumen. -conservación del impulso lineal     EB  t  1  1 1  Tij    E 2 ij  E j Ei    B 2 ij  B j Bi  2  2  T   f  donde el argumento de la derivada parcial del tiempo es la densidad de impulso lineal electromagnético por unidad de volumen. Hemos encontrado también que para una onda plana los campos eléctrico, magnético y el vector de onda k verifican   E     B  E  k      B k los vectores k,E,B forman en cualquier instante de tiempo un triedro directo. Eligiendo nuestro sistema de coordenadas (x,y,z) con ejes paralelos y de la misma dirección que (k,E,B) simplificaremos el cálculo del vector de Poynting y la matriz T k  k E  B  E    E   E 2     2 1 2  2 E  2 B   0   0   0  1 2 B  E  2 2 2 0   2  E  0 0     2 1 2  0 E  B  2 2   0 0 0  0 0 0 0 suponemos que el medio dieléctrico no cuenta con cargas libres (f=0) ni corrientes libres (J=0) de modo que los principios de conservación se presentan de este modo E 2   0  0  0 0 k  1 k 1    2 1 2  0 0    E  B ;    E 2   B   E 2    E  2   t     t  2   0 0   Introducción al Electromagnetismo 88 dividiendo estos resultados y en el sistema de coordenadas que hemos definido tenemos E 2   prad  k x  t     n / c 2   1 k E u rad t   x    donde n es el índice de refracción del dieléctrico. Multiplicando numerador y denominador por δtδV la expresión anterior se puede poner así U rad  Prad c / n donde δUrad, δPrad son las variaciones de energía e impulso electromagnético en δV durante el tiempo δt . Esta es la relación esperable para una pequeña parte de un campo electromagnético como es un fotón. Utilizando la fórmula de Planck para la energía tenemos  U foton    Pfotonc / n  Pfoton  P foton   k k donde k es el vector de onda correspondiente al medio dieléctrico de que se trate y el impulso mecánico debe tener la misma dirección y sentido que el vector de onda. Este resultado se conoce como impulso de Minkowsky. Insuficiencia del electromagnetismo clásico en situaciones físicas que incluyen el movimiento relativo de observadores. vS El dibujo representa un imán natural con sus líneas de campo magnético atravesando una espira conductora cerrada. Los valores vE, vI son las velocidades de la espira y el imán respecto al observador y analizaremos el fenómeno vI de inducción cuando variamos estos parámetros. Para espira e iman en reposo (vS=vI=0) no existe variación del flujo magnético sobre la espira y N S por tanto no hay ninguna corriente inducida. Para la espira en reposo (vS=0) y el imán en movimiento (vI≠0) tenemos una variación con el tiempo del flujo del campo magnético en cualquier superficie limitada por la espira, lo que produce una corriente eléctrica en la espira. Esta corriente es consecuencia de un campo eléctrico según las ecuaciones de Maxwell, ya que para el observador el movimiento del imán supone que en cada punto del espacio está variando el campo magnético y en consecuencia aparece un campo eléctrico  E   B t Para la espira en movimiento (vS≠0) y el imán en reposo (vI=0) existe también una variación del flujo magnético en la espira y por tanto una corriente inducida; pero según las ecuaciones de Maxwell no existe ningún campo eléctrico ya que el campo magnético no varía en ningún punto del espacio. Para explicar este fenómeno necesitamos la fuerza de Lorentz F  qv S  B donde q es una carga de conducción del metal de la espira a la que se asigna la velocidad vS. Introducción al Electromagnetismo 89 Para espira e imán en movimiento y con la misma velocidad (vS=vI≠0) tampoco hay variación del flujo magnético en la espira y no hay corriente inducida. Sin embargo para el observador el campo magnético varía con el tiempo y las ecuaciones de Maxwell predicen un campo eléctrico. Para que el asunto cuadre debemos introducir una fuerza de Lorentz que cancele exactamente este campo eléctrico en la espira E  vS  B  0 En el caso en que espira e imán estén en reposo relativo y sea el observador se mueva, es evidente que tampoco existirá corriente inducida y si las leyes física son independientes del estado de movimiento del observador (principio de relatividad); este observador debe verificar también la ecuación anterior. Para los casos en que imán y espira se mueven con la misma velocidad relativa v : (vS=-v, vI=0 y vS=0, vI=v ) la corriente inducida resulta ser la misma, ya que la variación de flujo magnético sobre la espira es la misma en los dos casos, de modo que debe ser E  v  B este es el caso de dos observadores, uno solidario a la espira(vS=0) y otro solidario al imán (vI=0); y la ecuación anterior es consistente con la invarianza de la fuerza que actúa sobre las cargas de conducción para dos observadores en movimiento relativo uniforme en el contexto del principio de relatividad de la mecánica clásica. Vemos de este modo que las experiencias de inducción de Faraday son consistentes con el principio de relatividad clásico. Pero vayamos un paso mas allá analizando la siguiente experiencia que incluye circuitos de tamaño variable. M R B El dibujo adjunto muestra un circuito eléctrico formado por un lazo de cable en reposo R, dibujado en trazo fino, y otro cable recto M en trazo grueso que se mueve hacia la izquierda en contacto con el cable en reposo R. En la zona del circuito existe también un campo magnético constante B para el observador en reposo. El dibujo representa también dos observadores, uno en reposo R y otro móvil M asociados a los correspondientes tramos del circuito. Para explicar lo que ocurre en el circuito podemos recurrir a la ley de inducción de Faraday: en el circuito hay una variación del flujo magnético a B  d S  través de la superficie S del circuito: , y por tanto debe aparecer una S corriente que realizará un trabajo contra la resistencia eléctrica del circuito a costa del trabajo necesario para mover el segmento M. Esta corriente genera a su vez un campo magnético B’, que suponemos despreciable frente a B. En el contexto del principio de relatividad esta explicación es aparentemente válida para ambos observadores; sin embargo aparece un problema de consistencia cuando ambos observadores buscan la correspondiente fuerza electromotriz, es decir, la fuerza que sostiene la corriente eléctrica en el cable, mediante la fuerza de Lorentz F  qv  B . Para el observador R el segmento M está en movimiento con velocidad v en un campo magnético y por tanto la fuerza electromotriz está localizada en este tramo M y actúa moviendo el gas de electrones libres del metal. Pero para el observador M este mismo tramo está en reposo relativo y la fuerza electromotriz derivada de la fuerza de Lorentz se genera en el tramo del cable R opuesto al tramo M; puesto que, Introducción al Electromagnetismo 90 abstrayendo los cables laterales, es el tramo en movimiento para M. Además para M la fuerza electromotriz es de sentido opuesto que para R, ya que las correspondientes velocidades relativas son iguales en módulo pero de signo opuesto : (±v) FR=-FM. Por tanto la dirección de la corriente que recorre el circuito es en el mismo sentido para el observador R y para el observador M. Pero el hecho de que dos observadores en movimiento relativo no estén de acuerdo en el lugar físico en que actúa la fuerza electromotriz atenta directamente contra el principio de relatividad clásico de la mecánica, según el cual cualquier fuerza, incluida la Fuerza de Lorentz, debe mantenerse idéntica entre dos observadores en movimiento relativo uniforme. La fórmula matemática de la fuerza de Lorentz supone que esta inconsistencia aparece incluso a velocidades relativas v arbitrariamente pequeñas y por tanto es un problema que afecta a la misma base de la ciencia física : el principio de causalidad; quedando la amarga sensación de que hay algo que funciona muy mal en la teoría clásica del electromagnetismo. Si recurrimos al experimento y a las medidas experimentales comprobaremos que es el observador R el que maneja la física correcta. La física del observador M debe ser corregida de modo que este observador también coincida en que la fuerza electromotriz se produce en el tramo M. Una posibilidad es que la velocidad que aparece en la fuerza de Lorentz sea una velocidad absoluta, de modo que cualquier observador, sea en M o en Marte, haya de referir esta velocidad al observador R; sin saber muy bien que tiene éste observador de especial. En contra de esto se puede decir que el propio Fáraday estableció en sus resultados experimentales que lo relevante en los procesos de inducción era el movimiento relativo de acercamiento o alejamiento entre las distintas partes del sistema; nunca hizo referencia a ningún tipo de movimiento o velocidad absoluta o referida a un sistema de coordenadas privilegiado. En nuestro caso esto significa que la corriente generada es la misma si movemos el tramo M manteniendo fijo R ,o si movemos R manteniendo fijo el tramo M, en ambos casos con la misma velocidad relativa de acercamiento o alejamiento ente R y M. Si mantenemos que la velocidad de la fuerza de Lorentz es siempre una velocidad relativa a un observador, y dado que el tramo M está en reposo relativo para el propio observador M, la única explicación posible que mantiene la fuerza de Lorentz consistente con el principio de relatividad es que exista un fenómeno físico cinemático tal que el observador M, además del campo magnético, perciba un campo eléctrico EM que es consecuencia del movimiento relativo respecto al observador R, y este campo eléctrico debe cancelar exactamente la fuerza magnética de Lorentz que el observador M atribuye al tramo R opuesto: F / q  E M  vR  BR  0 y también en los tramos laterales de R. Este campo EM debe actuar en todo el espacio-tiempo del observador móvil M, por ejemplo en una carga independiente que se mueve con M, y sobre el tramo M es el responsable de la fuerza electromotriz en el circuito para el observador móvil. En el contexto del principio de relatividad, si para M una carga en reposo experimenta una fuerza (consistente con la fuerza de Lorentz sobre una carga móvil para R), debe haber un campo eléctrico actuando para M. Las leyes de Maxwell-Lorentz son incapaces de predecir este fenómeno ya que dependen de cambios temporales del campo. La única forma posible serían las leyes de Introducción al Electromagnetismo 91 Fáraday-Maxwell o Ampere-Maxwell que relacionan variaciones del campo magnético y el campo eléctrico; pero esto no es aplicable ahora, ya que el campo magnético en M no varía ni espacial ni temporalmente. Otro problema es que un campo EM como el que hemos sugerido, extendido a todo el espacio, necesita unas fuentes que lo generen: ¿Dónde están estas fuentes?. Sin embargo el campo eléctrico EM propuesto es consistente con el principio de relatividad clásico ya que mantiene la fuerza entre observadores inerciales y veremos que el EM propuesto es una primera aproximación de baja velocidad relativa respecto a la luz de la ley de transformación del campo electromagnético entre observadores inerciales en movimiento relativo en el contexto de la teoría de la relatividad, y en este contexto también se justificarán las fuentes de EM como veremos en una sección posterior. La consistencia completa entre las ecuaciones de Maxwell-Lorentz y el principio de relatividad exige que la velocidad de la luz en el vacío sea constante entre observadores inerciales; una idea que queda lejos de los planteamientos clásicos. El trabajo Introducción a la Relatividad desarrolla esta teoría partiendo de principios básicos. El electrón, la corriente de polarización y el principio de relatividad. La idea de la naturaleza eléctrica de la materia procede de las primeras experiencias eléctricas. Inicialmente se concibió un fluido eléctrico como en el caso del gas eléctrico mencionado en los conductores. Sin embargo, en un margen de tiempo relativamente corto entre 1890 y 1910, el marco conceptual sobre la naturaleza eléctrica de la materia cambió radicalmente. Lorentz introduce la hipótesis de que la electricidad se compone de partículas iguales con carga y masa determinada y poco después Thomson demuestra experimentalmente la existencia de partículas con relación q/m constante, mas tarde Millikan determina experimentalmente el valor de la carga de estas partículas, que pasan a llamarse electrones. Es en este contexto que podemos hacer una interpretación mecánica de la densidad de corriente de un conductor con la fórmula J=Nev presentada al principio del trabajo. Por otro lado Rutherford establece la estructura del átomo como un núcleo extremadamente pequeño con carga positiva y rodeado por electrones que equilibran la carga eléctrica. Desde el punto de vista del electromagnetismo el impacto de estos descubrimientos es profundo. Si imaginamos ver la materia con un microscopio de cierta potencia, veríamos un conjunto de partículas prácticamente puntuales moviéndose en el medio dieléctrico que es el vacío. Por tanto las corrientes de conducción que hemos visto proceden de un gas electrónico, formado por pequeñas partículas iguales y la ley de Ohm es el resultado estadístico del comportamiento de un sistema con muchas partículas; cosa que ha sido ilustrada en la imagen inicial del plano inclinado. Por otro lado aparece la necesidad, teórica y experimental, de describir las propiedades eléctricas de la materia de acuerdo con la visión anterior. Es aquí donde surge de forma natural el concepto de polarización de la materia como reacción a la acción de un campo eléctrico externo y la corriente de polarización asociada a las variaciones de dicho campo eléctrico. Hemos visto que las ecuaciones de Maxwell incluyen un término conocido como corriente de polarización asociado a la polarización que un campo eléctrico produce sobre cualquier elemento material en general. En las ecuaciones este término está afectado por la constante με =1/c2 que es la inversa del cuadrado de la velocidad c de las ondas electromagnéticas en el material Introducción al Electromagnetismo 92 correspondiente, como puede ser vidrio, agua o cobre. La luz es también una onda electromagnética y verifica las ecuaciones de Maxwell; de modo que, por ejemplo, las leyes de Snell de reflexión y refracción de la luz en cristales dieléctricos se pueden deducir de las leyes del campo electromagnético (ver mas adelante). Además según el principio de relatividad las leyes de Maxwell deberían ser válidas para cualquier observador inercial. Esto significa que si cualquier otro observador en movimiento relativo uniforme reproduce las mismas experiencias en su laboratorio en movimiento relativo, como la reflexión/refracción de la luz en un trozo de cristal ahora en reposo en su laboratorio, obtendrá que se verifican las mismas leyes de Snell. Pero resulta que la luz es una onda electromagnética que se propaga en el vacío y que las ecuaciones de Maxwell son válidas también en el vacío con los valores correspondientes de las constantes με. Si aplicamos valores para el vacío (J=0, μ0ε0.) obtenemos la siguiente ecuación de Maxwell   B   0 0 E t ya que los valores με están bien definidos para el vacío. Vemos que la ecuación incluye la corriente de polarización pero en el vacío, por definición, no existen ningún tipo de materia y por tanto la interpretación que hemos hecho del término de corriente de polarización es confusa. Sin embargo la ecuación anterior tiene una base experimental ya que conduce a la existencia de ondas electromagnéticas. Por tanto la ecuación anterior representa un fenómeno físico que en presencia de materia puede interpretarse como corriente de polarización, pero que también se manifiesta en ausencia de materia (vacío). En su momento los físicos supusieron la existencia de algún tipo de materia que llenaba el vacío, el éter, y que explicaría la corriente de polarización. También idearon, infructuosamente, experimentos para medir el movimiento del éter, como el experimento de Michelson-Morley. Pero desde el punto de vista lógico resulta absurdo pensar en este caso que un observador en movimiento relativo puede coger un trozo de vacío/eter para que esté en reposo en su laboratorio y experimentar con él, tal como si fuese un cristal. Y resulta absurda también la idea del movimiento respecto al vacío/eter, ya que por definición el vacío no contiene ninguna referencia física. Profundizando mas aún, a nivel microscópico la materia se compone de partículas cargadas en un medio que es el vacío. Estas consideraciones permiten pensar que la idea de movimiento del vacío es realmente absurda y que cualquier observador inercial puede considerar al vacío igualmente en reposo ya que su posible movimiento no influye en el comportamiento macroscópico de la materia. Si las leyes de Maxwell son también igualmente aplicables para todos estos observadores la asombrosa consecuencia necesaria de esta línea de pensamiento es que la velocidad de la luz en el vacío es la misma independientemente del movimiento del observador. Este es el principio de constancia de la velocidad de la luz y es la base de la teoría de la relatividad de Einstein; consulte para esto el trabajo Introducción a la Relatividad. Introducción al Electromagnetismo 93 Electrodinámica relativista y espacio de Minkowski. La electrodinámica es el estudio de la interacción entre campos eléctricos y magnéticos con cargas en movimiento. Al desarrollar la fuerza de Lorentz y su relación con los principios de conservación del impulso mecánico, impulso angular y energía en secciones anteriores hemos desarrollado lo que podemos llamar la electrodinámica clásica. Sin embargo es evidente que también existe un aspecto cuántico de la electrodinámica de partículas elementales, como hemos podido ver en el efecto Zeeman; y de hecho la electrodinámica cuántica es un pilar fundamental de la física moderna. Sin embargo también existe otro aspecto importante de la electrodinámica que tiene que ver con el movimiento relativo del observador. En la teoría clásica de Maxwell, las fuentes del campo tienden a tomarse en reposo o en movimiento oscilante respecto al observador; y por tanto queda el problema del efecto sobre el campo del movimiento relativo del observador. Este problema fue abordado por Einstein en su famoso trabajo “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”. Partiendo del principio de validez de las leyes físicas del electromagnetismo para cualquier observador inercial, independientemente de su estado de movimiento; lo cual incluye el principio de constancia de la velocidad de la luz en el vacío, Einstein demuestra que las medidas de espacios y tiempos que dos observadores en movimiento relativo a velocidad v toman sobre un mismo evento físico están relacionados , en lugar de la transformación clásica de Galileo, mediante las transformaciones de Lorentz4     0 (x' , y ' , z ' , ct ' )  (x, y, z , ct ) 0      0 0     1 0 0  ;   1  2 0 1 0     0 0   1 / 2 ;   v/c donde c es la velocidad de la luz en el vacío. La fórmula matricial anterior relaciona las medidas de dos observadores con sistemas de referencia ortonormales cartesianos cuyos ejes x,x’ coinciden y se mueven relativamente a velocidad v pero manteniendo paralelos5 todos los ejes correspondientes : x,x’; y,y’; z,z’. Se debe aclarar la aparición de c : no es físicamente aceptable que las medidas de espacios y tiempos dependan de la velocidad de la luz en el medio concreto en que se encuentra el observador. En el proceso de derivación de las transformaciones anteriores, Einstein encuentra la existencia de una magnitud invariante fundamental entre sistemas de coordenadas inerciales x2  y 2  z 2  ct 2  x'2  y'2  z'2  ct '2 Mas adelante se dará a esta magnitud un significado geométrico, pero la existencia de invariantes de este tipo es importante en la teoría de Einstein ya que permite introducir limpiamente un concepto de vital importancia en el cálculo : las leyes de trasformación del operador gradiente en cuatro dimensiones. Esto puede hacerse rápidamente 4 Ver Introducción a la Relatividad Note el lector que al hablar del paralelismo de los ejes correspondientes ya estamos introduciendo conceptos no solo de álgebra lineal, sino de geometría. Esto se hará mas patente en el resto del desarrollo. 5 Introducción al Electromagnetismo 94 considerando una función invariante arbitraria f(x’,y’,z’,t’) = f(x’(x,t),y’(y),z’(z),t’(t,x)) y calculando las correspondientes derivadas mediante la regla de la cadena.  f f t ' f x' f v f    2       x t x' t ' x t t ' x ' x t  x' t ' c t ' x '  f t  x  f f x' f t ' f      v  x' t ' t x t ' x ' t x  t ' x ' t'     x'  Para obtener la transformación de Lorentz correspondiente a las derivadas parciales, debemos tener en cuenta que v es la velocidad relativa medida en el sistema “en reposo” (x,y,z,t) y, por lo tanto, debe estar en el lado correspondiente a las derivadas parciales calculadas en dicho sistema “en reposo”. Esto se logra fácilmente resolviendo los términos correspondientes en el sistema de ecuaciones anterior de modo que en términos matriciales tenemos      1     1   0 ( , , , )( , , , ) x' y ' z ' c t ' x y z c t  0     0 0    1 0 0  0 1 0   0 0   Note el lector que esta trasformación es igual a la de Lorentz salvo por el signo diferente de β; y de hecho se trata de la matriz inversa de la que aparece en la transformación de coordenadas     0  0      0 0      1 0 0  0 0 1 0  0  0 0    0 0       1 0 0   0  0 1 0   0   0 0     0 0     1 0 0  0 0 1 0  0  0 0     0 0     1   1 0 0  0  0 1 0  0   0 0    0 0 0 0  1 0 0 0 1 0  0 0 1  A continuación Einstein aplica la transformación del operador gradiente a las ecuaciones de Maxwell para un observador en reposo y reordena linealmente los resultados de modo que los rotacionales, divergencias y derivadas parciales temporales reaparezcan de la misma forma que en las ecuaciones de Maxwell. Pero estos rotacionales, divergencias y derivadas parciales temporales operan ahora sobre combinaciones lineales de los campos iniciales del observador en reposo, y según el principio de relatividad, si las leyes físicas son las mismas para cualquier observador inercial estas combinaciones lineales deben corresponder al campo percibido por el observador en movimiento relativo. Lo mismo ocurre para las fuentes del campo : las densidades de carga y de corriente. Utilizando el álgebra lineal de matrices los resultados de Einstein se pueden obtener a partir del operador gradiente en cuatro dimensiones y una matriz antisimétrica que representa el campo electromagnético de esta forma By Ex / c   Bz  0   0 Ey / c  Bx    1   Bz ( , , , )   J x , J y , J z , c Bx 0 Ez / c  x y z c t   B y    Ex / c  E y / c  Ez / c 0     y en efecto el lector puede comprobar que la fórmula anterior incluye las leyes de Ampère-Maxwell y de Gauss para el vacío : dos de las ecuaciones de Maxwell. Introducción al Electromagnetismo 95 Multiplicando a la derecha por la matriz de transformación de coordenadas y resolviendo la matriz identidad podemos poner      1  0 ( , , , ) x y z c t  0     0 0     0  0  0 1 0  0   0 0     1 0  Bz By E x / c   0 0    0   0  Bx E y / c  0 0  Bz 0 Bx E z / c  0 0 1 0   B y    0    0 0    E x / c  E y / c  E z / c 1 0     0   J x , J y , J z , c  0      0 0     0   0 1 0   0 0   1 0 0 0     0  0 1 0   0 0   1 0 Recuperamos los resultados de Einstein sobre el campo y sus fuentes percibidas por dos observadores en movimiento relativo de esta forma B' y E'x / c     B' z  0    0 E' y / c   0  B' x  B' z    B' 0 B' x E'z / c   0 y      E'x / c  E' y / c  E'z / c 0      J ' x , J ' y , J 'z, By E x / c    Bz 0 0    0   0 E y / c  0  Bx 1 0 0  B z 0 Bx E z / c  0 0 1 0   B y   0    0 0    E x / c  E y / c  E z / c     0  ' c  J x , J y , J z , c  0         0 0     1 0 0  0 1 0   0 0   0 0     1 0 0  0 1 0   0 0   La relación entre campos y movimiento relativo es consistente con la solución propuesta en la sección anterior sobre Insuficiencia del electromagnetismo clásico en situaciones físicas que incluyen el movimiento relativo de observadores. Posteriormente los resultados de Einstein fueron re-elaborados introduciendo un contexto geométrico : el espacio de cuatro dimensiones de Minkowski. En este espacio la coordenada temporal es imaginaria pura y la transformación de Lorentz se entiende como un cambio de base para la expresión de las coordenadas de un mismo vector en el espacio de cuatro dimensiones     0 (x' , y ' , z ' , ict ' )  (x, y, z , ict ) 0   i  0 0  i   0  0 1 0   0 0   1 0 Siguiendo la misma argumentación anterior, la matriz inversa corresponde al cambio v→-v ó β→-β y para el espacio de Minkowski vemos que la matriz de transformación inversa equivale a la matriz traspuesta; lo que podemos calificar de rotación en el espacio de cuatro dimensiones por analogía al caso de la matriz asociada a una rotación en tres dimensiones (ver cinemática y dinámica del sólido rígido):     0  0   i  0 0  i    1 0 0  0 0 1 0  0  0 0    i     0  0   i  0 0 i      1 0 0   0  0 1 0   0   0 0     i 1 0 0  i      1 0 0   0   0 1 0 0    i 0 0    0 0 i    1 0 0  0 0 1 0  0  0 0   i 0 0  i      1 0 0   0  0 1 0   0   0 0     i T 0 0  i   1   1 0 0  0  0 1 0  0   0 0    0 0 0 i   1 0 0  0 1 0   0 0   0 0 0  1 0 0 0 1 0  0 0 1  Introducción al Electromagnetismo 96 El producto escalar de dos vectores se define análogamente al caso de las coordenadas cartesianas en el espacio euclídeo de tres dimensiones s1  (x1 , y1 , z1 , ict1 )   s 2  (x2 , y 2 , z 2 , ict 2 )  2  x2   x1x2  y1y 2  z1z 2  ic  t1t 2   e i  e  i  y   s1  s 2  x1 , y1 , z1 , ict1  2    s1 s 2 cos( ) ; cos( )  z 2  2    ict   2 2 2 2 2  s  x   y   z   ct 2  Utilizando el álgebra de matrices podemos comprobar rápidamente el carácter invariante del producto escalar definido. Si M es la matriz asociada a la transformación de Lorentz:  x2   x2   x2        y y y x1 , y1 , z1 , ict1  2   x1 , y1 , z1 , ict1 MM 1  2   x1 , y1 , z1 , ict1 MM T  2   z z z  2   2   2   ict   ict   ict  2 2 2     x1 , y1 , z1 , ict1 M x2 , y 2 , z 2 , ict 2 M T  x ' 2     y ' 2   x'1 , y '1 , z '1 , ict '1  z ' 2     ict '  2  Para vectores s correspondientes a eventos simultáneos en el sistema de coordenadas en reposo respecto al observador es Δt=0 y es evidente que en este caso la geometría derivada del producto escalar anterior es exactamente la geometría euclídea. De esta forma el espacio de Minkowski es una extensión natural del espacio euclídeo tridimensional. La idea física fundamental del espacio de Minkowski es, en palabras de Einstein, la inseparabilidad entre las coordenadas espaciales y la coordenada tiempo; de forma análoga a la inseparabilidad de las tres dimensiones en el espacio euclídeo clásico. De hecho este carácter inseparable entre las coordenadas espaciales y el tiempo es la clave en la solución del problema conocido como “paradoja de los gemelos” en relatividad. Para el operador gradiente la transformación correspondiente en el espacio de Minkowski será          i  i   0 ( , , , )  ( , , , ) x y z c t 0 x' y ' z ' c t '   i  0 0  i   0  0 1 0   0 0   1 0 y vemos que en el espacio de Minkowski el operador gradiente se transforma con la misma matriz que el vector de coordenadas espacio-temporales; de forma análoga a como ocurre en el espacio euclídeo tridimensional descrito en coordenadas cartesianas ortogonales. Las ecuaciones de Maxwell en el vacío son ecuaciones diferenciales de primer orden y se pueden expresar mediante el operador gradiente en cuatro dimensiones de esta forma utilizando el álgebra del espacio de Minkowski Introducción al Electromagnetismo 97 By iE x / c   Bz  0   0 iE y / c   Bx i   Bz    ( , , , )   J x , J y , J z , ic Bx 0 iE z / c  x y z c t   B y    iE x / c  iE y / c  iE z / c 0     La utilización del álgebra del espacio de Minkowski conduce a expresiones invariantes, es decir, que tienen la misma forma matemática para cualquier observador inercial. Pero note el lector que esto solo es posible en el caso que el medio dieléctrico sea el vacío, ya que las propiedades vectoriales invariantes del gradiente en cuatro dimensiones solo son válidas para el vacío. En cambio el tensor del campo electromagnético y su transformación entre observadores según la relatividad especial siguen siendo válidos para el campo en un dieléctrico distinto del vacío. Esto es así porque, como se vio en otra sección, el campo en un dieléctrico material se puede conocer a partir de medidas del campo en vacío : en un pequeño hueco vacío dentro del dieléctrico elegido de forma conveniente. Aunque esta idea se introdujo para el caso de campos estáticos, suponemos que también es válido en condiciones dinámicas del campo, es decir, en el caso de ondas electromagnéticas. Siguiendo un razonamiento análogo al anterior obtenemos para la matriz de campo y para el vector de fuentes del campo electromagnético lo siguiente B' y iE ' x / c    0  B' z     iE ' y / c   0 0  Bx  B' z    B' Bx iE ' z / c   0 0 y      iE ' x / c  iE ' y / c  iE ' z / c 0    i  J ' x , J 'y , By iE x / c    Bz 0 0 i  0   iE y / c  0  Bx 0 1 0 0  B z Bx iE z / c  0 0 0 1 0   B y    0  i 0 0    iE x / c  iE y / c  iE z / c   J ' z , ic '  J x , Jy,     0 J z , ic  0   i   0 0  i   0  0 1 0     0 0 1 0 0 0  i   0  0 1 0   0 0   1 0 de esta forma obtenemos los valores del campo y de sus fuentes dependiendo del movimiento relativo entre dos observadores. Note el lector que si un observador percibe fuentes del campo magnético(J≠0;B≠0) y no del campo eléctrico (ρ=0;E=0), otro observador en movimiento relativo si puede percibir fuentes del campo eléctrico (ρ‘≠0;E’≠0); lo cual es consistente con la sección anterior sobre insuficiencia del electromagnetismo clásico respecto al movimiento relativo. Si observamos el producto escalar del vector gradiente por el vector densidad de corriente/carga, deducimos que debe ser nulo ya que representa el principio de conservación de la carga (     i  , , , )  J x , J y , J z , ic    J  0 t x y z c t   Consideremos ahora la siguiente expresión que representa el producto del vector de fuentes del campo por la matriz (tensor) del campo electromagnético J y Bz  J z By  Ex , By iE x / c   Bz  0     i  J y Bx  J x B y  E y , f v B iE y / c   Bx 0   f x , f y , f z , c J x , J y , J z , ic   Bz     J x B y  J y B x  E z ,  Bx iE z / c  0 y    i f  J  B   E ; J  v    iE / c  iE / c  iE / c J x Ex  J y E y  J z Ez   0  x y z  c    Introducción al Electromagnetismo 98 vemos que el resultado del producto corresponde a un vector en el espacio del Minkowski cuyas tres primeras componentes son las de la fuerza de Lorentz por unidad de volumen y la tercera componente es proporcional a la potencia por unidad de volumen asociada a la fuerza de Lorentz; donde v(x,y,z,t) es el campo de velocidades de la corriente J. Como el lector puede comprobar rápidamente la cantidad ΔxΔyΔzΔt correspondiente a un elemento de volumen en el espacio de cuatro dimensiones de Minkowski es un número invariante en el cambio de sistema de coordenadas inercial y por tanto la cantidad   fx,  fy, fz , i  f  v xyzt c  es también un vector en el espacio de Minkowski; y las unidades de este vector son las mismas que las del impulso mecánico : masa x velocidad; aunque abstrayendo el factor 1/c en la cuarta componente esta cuarta componente tiene unidades de energía. Por otro lado, desde un planteamiento clásico es evidente que la acción de una fuerza sobre una partícula de masa determinada produce una variación de su impulso mecánico p y su energía cinética Ec, lo que nos lleva a   fx,  fy, fz , i   f  v xyzt   px , p y , pz , c   i  Ec  c  Todo esto con la salvedad de que la pérdida de energía asociada a radiación de cargas aceleradas sea despreciable; lo cual es cierto al menos en el límite en que la aceleración tiende a cero. Dado que el carácter vectorial no depende de tomar o no incrementos Δp, ΔEc, debe existir un vector en el espacio de Minkowski cuyas componentes incluyen el impulso mecánico y la energía cinética según la relación anterior. Podemos construir un vector con estas características a partir del vector asociado al desplazamiento elemental de una partícula ds = (dx,dy,dz,icdt), su módulo invariante |ds| en el espacio de Minkowski e introduciendo una cantidad invariante que representa la masa física de la partícula m. Si multiplicamos un vector del espacio de Minkowski por una cantidad invariante el resultado es de nuevo un vector y por tanto 2  v2 d s  dx 2  dy 2  dz 2  c 2 dt 2  c 2 dt 2 1  2  c  imc ds ds     c 2  2 dt 2   i m  (dx, dy, dz, icdt)  (mv x , mv y , mv z , mc 2 ) c dt El módulo |ds| es proporcional a la medida relativista conocida como tiempo propio, es decir, el tiempo que marca un reloj solidario con la partícula móvil. El módulo al cuadrado del nuevo vector según el producto escalar en el espacio de Minkowski es   v2  c2 i i (mv x , mv y , mv z , mc 2 )  (mv x , mv y , mv z , mc 2 )  m 2 2 v 2  c 2  m 2  m 2 c 2 2 c c v 1 2 c y de la invariancia del producto escalar deducimos que la masa, m, debe ser también un invariante entre sistemas de coordenadas inerciales; tal como se espera. De estas consideraciones obtenemos de las tres componentes del impulso mecánico la Introducción al Electromagnetismo 99 siguiente ley, en el espacio euclídeo clásico de tres dimensiones, para la dinámica de una carga puntual de masa constante afectada por un campo electromagnético y despreciando la emisión de radiación por carga acelerada F  qv  B  q E    d m v dt del lado izquierdo tenemos la fuerza de Lorentz sobre la carga puntual q y del lado derecho la variación del impulso mecánico relativista, que sustituye de este modo al impulso mecánico clásico p=mv. En cuanto a la cuarta componente asociada a la energía cinética Ec, un desarrollo en serie de Taylor respecto de v=0 resulta en Ec  mc 2  mc 2 1 2  mc 2  v c2 1 2 mv  ...... 2 donde vemos que Ec incluye un término correspondiente a la energía cinética clásica y un término mc2. Para procesos físicos que no supongan una modificación de la masa de la partícula la variación de este último término es nula y podemos considerar que ΔEc es efectivamente la variación de energía cinética de la partícula incluyendo las modificaciones pertinentes de la relatividad especial para altas velocidades. El lector puede realizar un test de consistencia de estas expresiones del impulso mecánico y la energía cinética relativistas utilizando la definición de trabajo sobre una partícula de masa constante como el desplazamiento de una fuerza de este modo       2 d  mv  mc  dEc  d   F dr   2  2 dt  1  v   1  v 2 c  c2         mv   d r  v  d 2   1  v c2         Finalmente, son posibles procesos físicos que supongan una variación de la masa de las partículas y en este caso la variación del término mc2 debe ser tenido en cuenta en el balance energético. Este es el caso en los procesos de fisión y fusión de núcleos atómicos. Energía potencial y relatividad especial. 1 2 v Consideremos el siguiente contexto: tenemos dos cargas q positivas iguales sobre el eje coordenado x, una de ellas (1) en reposo en el origen de coordenadas y la otra (2) moviéndose a velocidad constante sobre dicho eje x. El campo de (1) corresponde al campo Coulombiano que conocemos: E1  q r1 4 r13 , donde r1 es un vector con origen la carga (1); pero el campo eléctrico de (2) es el de una carga en movimiento y debe cumplir las siguientes relaciones de transformación Introducción al Electromagnetismo 0 B2 y iE2 x / c     B2 z     B 0 B iE   z 2x 2y / c  0   B B2 x 0 iE2 z / c   0 y      iE2 x / c  iE2 y / c  iE2 z / c 0    i  100 0 0 0 iE0 x / c   0 0 i    0 0 0 iE0 y / c  0 0  0 0 0 iE0 z / c  0 0 1 0     0  i 0 0    iE0 x / c  iE0 y / c  iE0 z / c 1 0 0 0  i   0  0 1 0   0 0   1 0 donde E0 corresponde al campo eléctrico de la partícula 2 en el sistema de coordenadas en que dicha partícula está en reposo relativo y ocupa el origen de coordenadas E 0  q 4 r02 u r 0 , donde evidentemente las componentes del campo magnético B0 son nulas. Operando el producto de las dos últimas matrices tenemos  0 ... ... iE2 x / c        ... 0 ... iE2 y / c   0  ... ... 0 iE / c    0 2z     ... ... ... 0    i  iE 0 x / c   ...   iE 0 y / c   ...  ... ... iE 0 z / c   ...   ... ...  E 0 x  / c   ... 0 0 i  ...  0  ... 0 1 0  ...  0 0   ... ... ... ... ... 1 0 iE0 x / c   ... ... iE 0 y / c   ... ... iE 0 z / c   ... ... 0  ... ... E 2 x  E 0 x ; E 2 y  E 0 y ; E 2 z  E0 z Si tomamos la componente x del campo y aplicamos la transformación de Lorentz para expresar el resultado en las coordenadas de nuestro sistema de coordenadas inicial tenemos E2 x  qx0 4 r03   q ( x 2  vt ) 4  2 ( x 2  vt ) 2  y 22    3/ 2 z 22  1  2    1  2  4    4 ( x2  vt ) 2  y 22  z 22   2 y 22  z 22 qr 2  u x r22 q ( x2  vt )    2 y 22  z 22  3/ 2   3/ 2 donde r2 es un vector con origen en la partícula (2). Por tanto los campos de nuestras dos cargas en movimiento relativo uniforme sobre el eje x (y=z=0) son, en el mismo eje x:  E2 x  1   2  q4r ru 2 x 3 2 ; E1x  qr1  u x 4 r13 si consideramos la interacción entre ellas tenemos r1  r 2 , pero claramente las fuerzas correspondientes no verifican el principio de acción-reacción qE2 x  qE1x . Esto plantea un problema respecto al principio de conservación de la cantidad de movimiento ya que hay cierta cantidad de impulso mecánico que debe ser justificada. Una posibilidad es que este impulso mecánico lo aporte el sistema que mantiene en movimiento relativo uniforme a las cargas. Pero si en un instante este sistema deja de actuar, en este mismo instante las fuerzas eléctricas serán las mismas y volvemos a tener el mismo problema. Si calculamos el término faltante F? así q 2 r1 F?  q E1x  E 2 x   q 2 r1  u x 4 r13   1  2  q 2 r1  u x 4 r13  1 q 2 r 1  u x  dx1  1 4 r13 v     dt c 2 c 2 4 r13  dt  c2 q 2 r1  u x v 2 4 r13   d r1 v Introducción al Electromagnetismo 101 identificamos inmediatamente el numerador con la variación instantánea de energía potencial Ep del sistema de partículas de modo que tenemos F?  1 dE p v y debemos c 2 dt concluir que el impulso mecánico faltante debe ser asignado a la energía potencial del sistema. En mecánica clásica hay una clara distinción entre la energía cinética (Ec) asociada al impulso mecánico (p): Ec=p2/2m, y la energía potencial (Ep) que no tiene asociado ningún impulso mecánico. De hecho en física clásica toda energía calculada en condiciones estáticas juega el papel de una energía potencial en condiciones dinámicas. La relatividad difumina esta distinción clásica de dos formas : asignando un impulso mecánico a la energía potencial y concibiendo la masa como un depósito de energía (E=mc2), es decir, la masa es una forma de energía potencial. En términos generales, según la relatividad cualquier forma de energía posee cierto impulso mecánico y cierta masa inercial equivalente igual al valor correspondiente de la energía dividido por el cuadrado de la velocidad de la luz. En nuestro caso una energía potencial Ep tiene una masa asociada Ep/c2. Este comportamiento de la energía potencial, y de la energía en general, dificulta una formulación precisa de la electrodinámica en el contexto de la relatividad especial. Formalización de vectores y tensores en cualquier espacio vectorial. Generalización del producto vectorial y del producto escalar. A partir del desarrollo visto en el espacio de Minkowski y de lo que sabemos sobre el espacio euclídeo tridimensional, lo cual incluye el álgebra de matrices, se aceptan las siguientes generalizaciones de los conceptos de vector y tensor( matriz). Si M=(mij) es una matriz de cambio de sistema de coordenadas donde el índice i numera las filas y el índice j numera las columnas, entonces cualquier conjunto de componentes (Vi) es un vector si sus componentes se transforman de este modo   mikVk Vi'   T   mikVk para V vector columna para V vector fila donde se utiliza el convenio de suma en índices repetidos, que para un vector columna significa Vi'  mi1V1  mi 2V2  mi 3V3  mi 4V4 . Note el lector que esta regla es válida también para el operador gradiente en cuatro dimensiones y que la definición de vector no determina las unidades de medida de las componentes del vector. Si M=(mij) es una matriz de cambio de sistema de coordenadas, entonces cualquier conjunto de componentes (Tij) es un tensor de segundo orden si sus componentes se transforman de alguna de estas formas Tij'  mikTkl mljT  mik m jlTkl   T  mikTkl mlj  mki mljTkl Introducción al Electromagnetismo 102 donde el superíndice T hace referencia a MT, la matriz traspuesta de M. De la definición anterior se deduce que el carácter simétrico Tij=Tji o antisimétrico Tij=-Tji de un tensor se mantiene en todos los sistemas de coordenadas Tkl  Tlk  Tij'  m T m T   m T m T   m T m T  ik lk lj jl lk ki   ik kl lj '     T ji T T T  m T m   mikTlk mlj   m jlTlk mki     ik kl lj Podemos crear fácilmente tensores de segundo orden mediante el procedimiento conocido como producto tensorial. El caso mas sencillo es como sigue: si (Vi),(Wi) son las componentes de dos vectores; entonces el conjunto de productos Pij = ViWi conocido como producto tensorial de los vectores V y W, verifica la regla de transformación de tensores. La demostración de este resultado es sencilla y lo primero es darse cuenta que el objeto Pij definido como producto tensorial de vectores está bien definido en cualquier sistema de coordenadas, ya que los vectores correspondientes también tienen componentes bien definidas en cualquier sistema de coordenadas. Por tanto aplicando la transformación de coordenadas para vectores tenemos Pij'  Vi 'W j'  mikVk m jlWl  mik m jl Pkl  mik Pkl mljT si V ,W son vectores columna Pij'  Vi 'W j'  mikT Vk mTjlWl  mki mlj Pkl  mikT Pkl mlj si V ,W son vectores fila A partir del producto tensorial se pueden definir otros tensores simplemente por adición y es de particular importancia el siguiente caso Tkl  Pkl  Plk  VkWl  VlWk Pij'  Pji'  mik Pkl mljT  m jl Plk mkiT  mik Pkl mljT  mik Plk mljT  mik Pkl  Plk mljT este es un tensor antisimétrico: Tij = -Tji , que generaliza el producto vectorial en el espacio euclídeo de tres dimensiones. Las componentes del momento angular clásico L  r  p  Lij  xi p j  x j pi de una partícula están incluidas en un tensor de este tipo generado a partir de los vectores espacio-tiempo y energía-impulso. Si recordamos las relaciones entre el campo electromagnético y los potenciales según el gauge de Lorentz E     A ; B   A t y llamando Fij al tensor de campo electromagnético que hemos introducido anteriormente, podemos identificar sus componentes en función de los potenciales de esta forma By iE x / c   Fij   ijk Bk   i A j   j Ai  ; i, j  x, y, z  Bz  0   iE y / c   0  Bx  Bz E i  Fij     F  i i    i   t Ai  ; i  x, y, z Bx iE z / c   it 0  By c c     iE / c  iE / c  iE / c   Fij   F ji ; i, j  x, y , z , t 0 x y z    Introducción al Electromagnetismo 103 Si representamos ahora los potenciales y el operador gradiente formalmente como vectores de cuatro componentes subindicados por (1,2,3,4); encontramos que el tensor de campo Fij corresponde al producto tensorial entre los vectores gradiente y potencial; producto tensorial que podemos representar con el álgebra matricial de la siguiente forma  x    A1, 2,3  Ax , y , z ; A4  i / c   y  Ax   Fij   i A j   j Ai    z  1, 2,3   x , y , z ;  4  i t / c      i / c  t    0   x Ay   y Ax     y Ax   x Ay 0 Fij       z Ax   x Az   z Ay   y Az i i   x   t Ax   y   t Ay c c    x Az   z Ax   y Az   z Ay 0  i  z   t Az  c Ay   x     y   A i / c     z  x      i t / c  Az T Ay Az   i / c      i  x   t Ax  c By iE x / c   Bz   0 i    y   t Ay   B iE y / c  0  Bx z c  i    By Bx iE z / c  0    z   t Az     iE x / c  iE y / c  iE z / c  c 0     0     Del proceso seguido queda claro que hemos identificado un nuevo vector del espacio de Minkowski : el vector potencial electromagnético (Ax,Ay,Az,iΦ/c) y por tanto se verifica entre dos observadores inerciales en movimiento relativo lo siguiente    i  0 ' ' ' i ( Ax , Ay , Az ,  ' )  ( Ax , Ay , Az ,  ) 0 c c   i  0 0  i   1 0 0  0 1 0   0 0   La condición Gauge de Lorenz se obtiene anulando el producto escalar del gradiente con el potencial electromagnético ( i     i 1  , , , )  ( Ax , Ay , Az ,  )    A  2 0 x y z c t c c t Hemos visto actuar al producto tensorial en el caso mas sencillo correspondiente al producto de las componentes de dos vectores. Sin embargo el producto tensorial también contempla el caso del producto de las componentes de un vector Vi por las componentes de otro tensor Tij. Esta definición cumple con las propiedades de transformación de los tensores de tercer orden de esta forma Pijk  ViT jk ; P'ijk  V 'i T ' jk  milVl m jm mknTmn  mil m jm mkn Plmn un tensor que se obtiene de esta forma en la teoría electromagnética corresponde a las derivadas del tensor electromagnético  i F jk  . Las componentes de este tensor presentan un invariante con significado físico. Si (i,j,k), con i>j>k es una de las cuatro tuplas posibles en el conjunto (1,2,3,4), entonces utilizando el potencial electromagnético      i F jk   k Fij   j Fki   i  j Ak   k A j   k  i A j   j Ai   j  k Ai   i Ak   0 Introducción al Electromagnetismo 104 para (i,j,k)=(x,y,z) tenemos  x Fyz   z Fxy   y Fzx   x Bx   z Bz   y B y    B  0 que es una de las ecuaciones de Maxwell. El lector puede comprobar también que para (i,j,k)=(x,y,t) el invariante anterior produce la componente correspondiente de la ley de inducción de Fáraday-Maxwell, otra de las ecuaciones de Maxwell. El momento angular en relatividad La definición del momento angular de una partícula en un sistema de coordenadas cartesiano es L  Lx i Ly j k Lz   r  p  x1 x2 x3   x2 p3  x3 p2 i  x3 p1  x1 p3  j  x1 p2  x2 p1 k p1 p2 p3 donde los vectores i,j,k son los de la base cartesiana. Como vemos el momento angular se considera un vector, pero según según la teoría desarrolada, las cantidades del tipo Lij  xi p j  x j pi corresponden a un tensor de segundo orden L mientras las componentes (xi),(pi) sean las correspondientes a vectores. Y este es el caso en el espacio de tres dimensiones donde xi corresponde al vector posición de la partícula y pi al vector de impulso mecánico. Relacionamos inmediatamente los componentes de este tensor con los componentes del vector momento angular de este modo  0  L    Lz  L  y  Ly   Lx  0  Lz 0 Lx pero este tensor admite una generalización inmediata en el espacio de 4 dimensiones de Minkowski utilizando los vectores espacio-tiempo y energía-impulso  0  xk   x y z ict     Lz L  L  pk    p x p y p z iE / c   y   iN x  Lz  Ly 0 Lx  Lx 0  iN y  iN z iN x   iN y  iN z   0  donde i no representa un vector base cartesiano sino la unidad compleja y Nx,Ny,Nz resultan ser las componentes del siguiente vector en el espacio de tres dimensiones N mc 2 v 1 2 c r  vt   mc v2 1 2 c x  v t x y  v yt z  v z t   N x Ny Nz  Evidentemente el tensor L en 4 dimensiones es una magnitud lineal y podemos hacer la suma de las componentes Li en un sistema de partículas numeradas por el índice i. Introducción al Electromagnetismo 105 Si el sistema es aislado, la resultante correspondiente a las componentes del momento angular : Lx, Ly, Lz debe ser constante en cada componente. ¿Es también constante la resultante correspondiente al vector N? En una aproximación de bajas velocidades tenemos, recordando la definición de centro de masas (subíndice CM) en mecánica clásica      N i  mi c ri  v i t   N i  c  mi r i ct  mi v i  c  mi  r CM  v CM t i i i   i  Si el sistema es aislado la mecánica clásica nos dice que la velocidad del centro de masas del sistema es constante, y por tanto, al derivar el resultado anterior respecto al tiempo (d/dt) obtenemos un valor siempre nulo. Vemos por tanto que la resultante de los vectores Ni del sistema de partículas debe ser también un vector constante, al igual que el momento angular. En un caso general, la relatividad exige considerar el momento angular no solo de las partículas sino de los campos de fuerzas entre las partículas. Como vimos en la sección sobre energías potenciales, toda energía potencial asociada a la interacción entre partículas tiene asociada un impulso mecánico (que afectará al centro de masas del sistema) y por tanto también un momento angular que debe incluirse en el sistema. Siguiendo el álgebra de tensores, la transformación del tensor de momento angular L entre dos sistemas de coordenadas en movimiento relativo es  0    L' z  L' y    iN ' x  L' z  L' y 0 L' x  L' x 0  iN ' y  iN ' z iN ' x      iN ' y   0  iN ' z   0   0    i 0 0 i  0  1 0 0   Lz 0 1 0  L y  0 0    iN x Lz  Ly 0 Lx  Lx 0  iN y  iN z iN x    iN y  0 iN z  0  0  i 0 0  i   1 0 0  0 1 0   0 0   donde los momentos angulares L, L’ se calculan respecto al punto fijo correspondiente al origen de cada sistema de coordenadas. Generalización del producto escalar Un ejemplo de producto escalar similar al caso euclídeo es el caso del producto escalar entre el vector densidad de corriente y el vector potencial electromagnético J x , Jy,   i J z , ic  ( Ax , Ay , Az ,  )  J x , c Jy,  Ax     Ay  J z , ic  A   J  A    z  i    c   el resultado es un escalar, es decir, un invariante en el cambio de sistemas de coordenadas. Para dos tensores de segundo orden arbitrario Sij ,Tij se puede generalizar el producto escalar de la siguiente forma S  TT   SijT ji  SijT ji i, j Introducción al Electromagnetismo 106 donde la última igualdad asume la regla de suma en índices repetidos. Note el lector la trasposición de índices utilizada. El valor escalar obtenido en esta operación es invariante entre sistemas de coordenadas ortonormales S'T'T   S 'ij T 'ij  mik m jl S kl mki mljTlk   mik mki S kl mlj m jl Tlk   ik S kl jlTlk  SijT ji   SijT ji  S  TT i, j i, j en el caso del tensor electromagnético Fij, el producto escalar por si mismo genera el siguiente valor invariante  B y  iE x / c   Bz By iE x / c   0 Bz  0       iE y / c   B B iE c B Bx 0 / 0   E2    z x y z T  2 2  B 2   FF      c  Bx  iE z / c  By Bx iE z / c B 0 0      y       iE x / c  iE y / c  iE z / c iE c iE c iE c 0 / / / 0 x y z     El lector puede comprobar en el trabajo sobre mecánica analítica que los dos invariantes presentados en esta sección sobre producto escalar son los dos componentes aditivos que aparecen en la densidad lagrangiana ℓ asociada al campo electromagnético. Como consecuencia tenemos que la integral de acción de la densidad lagrangiana  , asociada a elementos de volumen invariantes en el espacio de Minkowski dxdydzdt, debe considerarse en general como un invariante en el espacio de Minkowski.     J  A   2 E2    i 1 2 1 B  F  F T  J x , J y , J z , ic  ( Ax , Ay , Az ,  ) c 2 4 mediante la transformada de Legendre generalizada es posible calcular a partir de  la correspondiente densidad Hamiltoniana h que resulta ser igual a la densidad de 1 2  energía del campo electromagnético h  E 2  B . El punto de partida de la 2 2 cuantización del campo electromagnético es precisamente el análisis de la densidad hamiltoniana con las sustituciones operacionales aplicables (cuantización canónica). Tensor densidad de energía/impulso. Los resultados sobre los principios de conservación del impulso mecánico y de la energía en un campo electromagnético se pueden describir fácilmente en el espacio de Minkowski. La conservación del impulso mecánico en un sistema electromagnético se describió anteriormente por medio del tensor Tij de esta forma 1 1    1 Tij    E j Ei  E 2 ij    B j Bi  B 2 ij    2 2 EB  f      T     t    iTij    T    donde f es la fuerza de Lorentz por unidad de volumen. El caso de la conservación de la energía en un sistema electromagnético se describió anteriormente mediante estos resultados 1  2 1 2 S  EB ; u  E  B  2 2 S  u  J  E   f  v t Introducción al Electromagnetismo 107 donde u es la densidad de energía electromagnética por unidad de volumen. El tensor densidad de energía/impulso es la extensión simétrica 4x4 del tensor simétrico 3x3 Tij incluyendo las correspondientes componentes energéticas, de modo que la aplicación del operador vectorial gradiente en cuatro dimensiones genera el vector densidad de fuerza/potencia que ya hemos visto anteriormente   T11   i  T21    x ,  y ,  z ,   t  c  T  31   Sx i c  T12 T13 T22 T23 T32 T33 i Sy c i Sz c     i c    f , x S  i z   c   u   i Sx c Sy fy, fz, i  f  v c  y el lector puede comprobar que se ha forzado a que el tensor densidad energía/impulso sea simétrico. Si comparamos las componentes espaciales derivadas del tensor anterior y las obtenidas cuando se analizó la conservación del impulso mecánico en relación a la fuerza de Lorentz tenemos estos dos resultados     E  B    T Abraham(Tensor simétrico energía/impulso)  c t    f  E  B    T Minkowski( Análisis de la fuerza de Lorentz)  t f  1 2   y estas fórmulas solo coinciden en el caso en que el medio dieléctrico sea el vacío; donde se cumple 1/μc2=ε; para cualquier observador. En el caso de un medio dieléctrico que no sea el vacío 1/μc2≠ε y las dos fórmulas no pueden ser correctas simultáneamente y además no son invariantes en el espacio de Minkowski : si es el caso, solo una de ellas puede ser válida para un observador en reposo relativo respecto a un medio dieléctrico caracterizado por las constantes (μ,ε); y según se discutió en relación a la fuerza de Lorentz y la conservación del impulso mecánico, todo apunta a que debe ser la expresión correspondiente al impulso de Minkowski. Sin embargo este es el punto de partida de la vieja controversia Abraham-Minkowski aún no resuelta satisfactoriamente ,ni teórica ni experimentalmente, sobre el valor del impulso mecánico de la luz (radiación electromagnética) en un medio dieléctrico distinto del vacío. Aunque el impulso mecánico de radiación por unidad de volumen que se sigue directamente de la teoría es I M   E  B  D  B ,conocido como impulso de Minkowski; este valor no produce una estructura simétrica para el tensor densidad de energía/impulso en un medio dieléctrico arbitrario en relación a las componentes energéticas asociadas al vector de Poynting . En cambio Abraham propone que el valor correcto para el impulso mecánico de radiación es I A   1 1  E  B  , donde c es la c2    velocidad de la luz en el vacío de modo que el tensor energía/impulso se mantiene simétrico. En todo caso, las propuestas de Minkowski y Abraham aceptan que el teorema de Poynting es válido en un medio dieléctrico distinto del vacío. Sobre esto existe un contraste experimental directo, ya que existen medios materiales donde la radiación electromagnética se transforma íntegramente en calor, y por tanto puede ser medida la energía transportada inicialmente por la onda electromagnética. El cociente Introducción al Electromagnetismo 108 2 de ambos valores es c IM  c 2      n 2 , donde ç es la velocidad de la luz en el IA ç medio dieléctrico distinto del vacío y n es el índice de refracción del medio dieléctrico, y por tanto n>1. De modo que, salvo en el vacío (n=1) los impulsos de radiación de Minkowski y Abraham difieren notablemente; por ejemplo en el agua n=1.33. Dado que en módulo el impulso de Minkowski es siempre superior al de Abraham, una posible explicación es que el impulso de Minkowski incluye una componente de tensión o presión interna asociada a la polarización cuando la onda electromagnética atraviesa el dieléctrico; mientras que el impulso de Abraham excluye esta tensión interna y solo depende del movimiento de la energía electromagnética en el dieléctrico. Es posible observar al microscopio este aumento de la tensión interna cuando se hace pasar un haz de luz intensa por una célula viva. El resultado es una deformación de la célula debido al aumento de presión interna por el paso del campo electromagnético. La integración en volumen del impulso de Minkowski cancelaría la componente de tensión interna del sistema y tendría una resultante equivalente al impulso de Abraham. No es este el único problema del electromagnetismo clásico con el impulso mecánico. Tenemos también el problema del impulso mecánico perdido cuando un campo magnético variable en el tiempo, un electroimán de corriente continua al encenderse o apagarse por ejemplo, acelera una carga eléctrica en reposo debido al campo eléctrico de la onda electromagnética generada por la variación del campo magnético. ¿Con que otra carga interacciona la primera carga para que se mantenga el principio de acción-reacción? Calculando el producto vectorial generalizado entre el vector anterior y el vector de coordenadas espacio-tiempo (x,y,z,ict) obtenemos un resultado compatible con el principio de conservación del momento angular en un campo electromagnético, ya introducido anteriormente. El tensor densidad de energía/impulso sobrepasa el contexto del electromagnetismo y su existencia y carácter simétrico se postula en la teoría general de la relatividad de modo que según las ecuaciones del campo gravitatorio de Einstein el tensor de curvatura de Riemann es proporcional al tensor densidad de energía/impulso. Finalmente note el lector el cambio de enfoque del cálculo vectorial al pasar de tres a cuatro dimensiones. En tres dimensiones hay varios operadores vectoriales : gradiente, divergencia, rotacional….en cuatro dimensiones solo hay un operador gradiente, pero actuando sobre objetos de naturaleza tensorial con el conveniente carácter simétrico o antisimétrico. Invariantes asociados al campo electromagnético. Para cualquier tensor T del espacio de Minkowski se verifica la siguiente ley de transformación T’=MTMT ; donde M corresponde a la matriz de la transformación de Lorentz. Si aplicamos las propiedades de los determinantes a la transformación anterior (ver trabajo sobre sólido rígido) y sabiendo que el determinante de la transformación e Lorentz es 1 tenemos det(T' )  det M T M T   det( M ) det(T) det( M T )    det(T' )  det(T) det( M T )  det( M )  1; M  transforma ción de Lorentz  Introducción al Electromagnetismo 109 y por tanto el determinante de cualquier tensor es invariante en las condiciones especificadas. Caso del tensor de campo electromagnético: By iE x / c   Bz  0   0 iE y / c   Bx  Bz 1 det   2 BE 0 Bx iE z / c   By c      iE x / c  iE y / c  iE z / c 0     2  1 c 2 Bx E x  B y E y  Bz E z 2 si aplicamos esto al caso de una carga/imán en reposo, sin campo magnético/eléctrico y sin fuerzas externas, tenemos que este invariante debe valer 0 en cualquier punto del espacio. Un observador en movimiento relativo observará un campo magnético/eléctrico adicional asociado a la carga/imán móvil, pero los campos eléctrico y magnético netos deben ser perpendiculares en todo punto de modo que su producto escalar sea nulo. Recordemos que anteriormente encontramos  Bz By iEx / c   0    Bx iE y / c   0  Bz  f , J x , J y , J z , ic   By Bx iEz / c   x 0     iEx / c  iE y / c  iEz / c 0     fy, fz , i  f v c  donde f corresponde a la fuerza por unidad de volumen. Si es el caso que el determinante del tensor electromagnético es nulo, entonces no está definido el tensor inverso. Esto ocurre en el caso de nuestra carga puntual en movimiento uniforme, pero en este caso J,ρ hacen referencia a la propia carga puntual y el tensor electromagnético sería el campo de la partícula sobre ella misma. Si es válido el principio de inercia y la carga se mueve a velocidad constante entonces f=0 y tenemos el sistema de ecuaciones Bz  B y  iE x / c  J x   0   0      Bx  iE y / c  J y   0  0   Bz   B  Bx  iE z / c  J z   0  0   y     iE x / c iE y / c iE z / c 0  ic   0   y para que este sistema tenga soluciones no triviales, es decir (J,ρ)≠0, el determinante del tensor de campo debe ser nulo; como es el caso. Caso del tensor densidad de energía/impulso: Existe un importante teorema matemático que establece que cualquier tensor simétrico de segundo orden (matriz) admite una transformación de coordenadas determinada de modo que en la nueva base las componentes no diagonales del tensor son nulas. Partiendo de esta representación diagonal del tensor lo podemos aplicar a los correspondientes vectores base ortonormales y después aplicar una transformación ortonormal de coordenadas arbitraria obteniendo Introducción al Electromagnetismo  1 0   0 2 0 0  0 0  0 0 3 0 0  1   1    1 0       0  0   0    0 2  1    M     0 0 0 0 0             4  0   0    0 0 0 0 3 0 110   1     1  0         0  T   0     0  M M    1 M    0   0    0         0  4    0    donde se ha utilizado el hecho de que MT = M-1. El resultado anterior, para el caso del tensor energía/impulso, se expresa en general de esta forma  T12 T13  T11     T22   T23  T21   T31 T32 T33    Sy  Sx S i i z  i c c c  i i Sx c Sy c Sz i c u  x   0  T11   T12 T13          y   0  T21 T22   T23            z   0  T31 T32 T33       Sy     S S i x i i z  ict   0  c c c  i i Sx c Sy c  4  I 3  I 2  I   I  0 3 2 1 0 Sz i c u  es decir, para que el sistema de ecuaciones lineales anterior tenga una solución distinta de la trivial : x=y=z=t=0, el determinante de la correspondiente matriz debe ser nulo. Además las soluciones del polinomio resultante deben ser los valores λ1,2,3,4 correspondientes a las componentes del tensor energía/impulso en el sistema de coordenadas que diagonaliza el tensor. Las propiedades de los determinantes evidencian que el polinomio anterior es invariante en el cambio de sistema de coordenadas ortonormales. Por tanto, si el polinomio anterior es invariante, también lo serán sus coeficientes I3,I2,I1,I0. Identificamos fácilmente I0, que es el valor del polinomio para λ=0, con el determinante del tensor energía/impulso. También es relativamente sencillo identificar I3 con la traza del tensor densidad de energía impulso, es decir, la suma de los elementos de la diagonal principal. El carácter invariante de la traza de un tensor se demuestra fácilmente : a partir de la definición de tensor y aplicando el convenio de suma en índices repetidos Tii'  Tii'  mik milTkl   klTkl  Tll  Tll l i ya que mik mil representa el producto escalar de los vectores columna k,l ; que son ortonormales en el caso de la transformación de Lorentz. En el caso del tensor energía/ impulso este invariante vale I 3   Tii  0 i Introducción al Electromagnetismo 111 El campo electromagnético de una carga acelerada en el vacío. En el trabajo Sobre la ecuación de ondas obtuvimos el valor de los potenciales retardados eléctrico Φ y magnético A de una carga puntual moviéndose arbitrariamente; en el vacío k es una auténtica constante independiente de la frecuencia de oscilación de la carga kQ   ( r , t )  v Q (t ' )  r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )  c   k Q v Q (t ' )   c2  A( r , t )  v Q (t ' )  r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )   c  1 t '  t  r  r Q (t ' )  c      donde las variables (r,t)=(x,y,z,t) representan el punto de observación del campo, la variable rQ representa la trayectoria de la carga puntual y t’ es el tiempo, anterior al de observación, en que deben evaluarse la posición rQ y velocidad vQ de la carga puntual para el punto de observación concreto. Este tiempo aparece “definido” en la última ecuación; sin embargo el lector debe notar que esta ecuación no es una expresión funcional completa t’(x,y,z,t). Como veremos, la consecuencia de esto es que para calcular los campos deberemos utilizar un procedimiento de derivación implícita sobre esta ecuación par t’. Podemos percibir el retardo temporal imaginando que el sistema evoluciona hacia atrás en el tiempo partiendo del instante de observación t. En este caso imaginamos que en t se emite una onda esférica a velocidad c desde la posición del observador del campo (x,y,z) que progresa en el espacio a medida que el tiempo decrece, y la partícula Q se mueve recuperando posiciones anteriores de su trayectoria. Ya que en el vacío nada se puede mover por encima de la velocidad de la luz6 (c), vemos intuitivamente que existirá un instante único determinado en que la onda esférica alcance a Q; ese instante es el tiempo retardado t’, y físicamente debe existir una relación funcional (x,y,z,t)→t’ El proceso de cálculo del campo a partir de los potenciales supone evaluar derivadas parciales en las variables del observador (x,y,z,t) E     A ; B   A t si consideramos por ejemplo la derivada parcial ∂/∂x tenemos una variación ∂x en la posición del observador manteniendo (y,z,t) constantes. Esta variación en la posición del observador supone considerar una variación en el tiempo retardado ∂t’ y por tanto las correspondientes variaciones ∂rQ, ∂vQ en la posición y velocidad retardadas de la partícula. De la misma forma, para la derivada parcial ∂/∂t manteniendo (x,y,z) constante la variación ∂t también conlleva una variación ∂t’ y por tanto las 6 En el efecto Cerenkov aparecen partículas subatómicas cargadas moviéndose en un dieléctrico (cristal, agua…) por encima de la velocidad de la luz. El medio no es el vacío y la velocidad de la luz (o velocidad de propagación de los cambios en campos electromagnéticos) corresponde al índice de refracción en dicho medio; donde estas partículas se mueven mas rápido que su propio campo eléctrico. Introducción al Electromagnetismo 112 correspondientes variaciones ∂rQ, ∂vQ en la posición y velocidad retardadas de la partícula. Podemos dividir el trabajo fijando la atención inicialmente en las derivadas parciales de la función r  r Q (t ' ) que aparece en los potenciales. Empecemos con ∂/∂t 2    r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )  2 r  r Q (t ' )        r  r Q (t ' )  2 r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )  t t  r  r Q (t ' )  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )    t t r  r Q (t ' ) La derivada ∂rQ/∂t nos lleva a utilizar relación definitoria del tiempo retardado       r Q (t ' )  v Q (t ' )1  1  r  r Q (t ' )    t  v Q (t ' ) d v Q (t ' ) t '  c t    dt ' t t  1      v Q (t ' ) 1 1  t '   t  a Q (t ' )1  c t r  r Q (t ' )  t '  t  r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )    1 c c t t   r Q (t ' ) d r Q (t ' ) t '  dt ' t t y sustituyendo en el resultado previo a este    r  r Q (t ' )  v Q (t ' )  r  r Q (t ' )  v Q (t ' )  t r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )   c   r r t v t  ( ' ) ( ' ) Q Q r  r Q (t ' )   1     r Q (t ' ) r  r Q (t ' )     r  r Q (t ' )    v Q (t ' )1  t v Q (t ' )  c t   t r  r Q (t ' ) r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )   c  r  r Q (t ' ) a Q (t ' )   v Q (t ' )   v Q (t ' )  t r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )  c            Conviniendo que todas las magnitudes con subíndice Q se evalúan en el tiempo retardado t’, la derivada parcial temporal del potencial vector A es   k Qv Q (t ' )  2   c   t  v Q (t ' )  r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )   c     kQ  vQ c   r  rQ  r  rQ    vQ2 aQ vQ       r  rQ  2 r  rQ r r r r Q  Q 3 2 c c c v Q     c   Vamos ahora con el cálculo de ∂/∂x    aQ kQ 2 r  r Q  c  2   vQ      r r r r Q Q   c     Introducción al Electromagnetismo 2    r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )  2 r  r Q (t ' )  113       r  r Q (t ' )  2 r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )  x x  r  r Q (t ' )   r Q (t ' )   r  r Q (t ' )   i x x  r  r Q (t ' )  donde i es un vector unitario en la dirección creciente de la coordenada x. La derivada ∂rQ(t’)/∂x nos lleva a utilizar la relación definitoria del tiempo retardado   r Q (t ' ) d r Q (t ' ) t '   x dt ' x    r Q (t ' )   v Q (t ' )  r  r Q (t ' )   x  v Q (t ' ) d v Q (t ' ) t ' c x    dt ' x x    v Q (t ' )   a Q (t ' )  r  r (t ' ) Q 1 1  t '   c x t '  t  r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )   x  c c x x  donde se introduce la aceleración retardada aQ(t’), y sustituyendo en el resultado previo a este   r  r Q (t ' )  i  r  r Q (t ' )   x v Q (t ' )  r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )   c      r Q (t ' ) v Q (t ' ) r  r Q (t ' )  i  r  r Q ( t ' )  v Q (t ' )    i r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )       x c x  c x v Q (t ' ) r  r Q (t ' )    r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )   c     v t a t r r t i ( ' ) ( ' ) ( ' ) Q Q  Q   x c v Q (t ' )  r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )  c                de modo que hemos calculado las derivadas parciales anteriores por un procedimiento implícito. Evidentemente tenemos un resultado análogo para las derivadas parciales en y,z. Conviniendo que todas las magnitudes con subíndice Q se evalúan en tiempo retardado t’, el gradiente del potencial escalar correspondiente a estos resultados será   kQ   r  r Q  r  r Q  vQ  c     kQ r  r Q  3   vQ     r  rQ  r  rQ  c        vQ2 aQ  vQ kQ 1  2  r  r Q  2   2 c    c vQ  c   r  rQ  r  rQ  c       Si en la fórmula anterior de la derivada parcial temporal del potencial vector A sumamos y restamos r  r Q en el corchete del numerador y aplicamos el cálculo que acabamos de hacer del gradiente tenemos para el campo eléctrico E(r,t)    vQ  aQ    r  r Q  r  r Q  r  rQ 2 c   vQ2 A a    Q  c  1   r  r Q   kQ E (r , t )    3  2 2 2  t c c vQ   vQ       r  rQ  r  rQ     r  rQ  r  rQ  c  c              Introducción al Electromagnetismo 114 Vamos ahora con el cálculo del campo magnético a partir del rotacional del potencial magnético. Utilizando una identidad vista en el trabajo sobre mecánica de fluidos podemos analizar el cálculo de esta forma c2   A(r , t )    kQ vQ  r  rQ  r  rQ        vQ 1   vQ       vQ vQ vQ   r  rQ  r  rQ   r  rQ  r  rQ  c c c       el gradiente que aparece ya lo hemos calculado anteriormente con el campo eléctrico y falta calcular el rotacional de la velocidad retardada de la carga puntual. La componente x de este rotacional será (j,k vectores unitarios en las direcciones crecientes de las coordenadas y,z)   vQ  x vQz y  vQy z  aQz c r  r  j v r  r  r  r  c Q  aQy c Q Q Q r  r  k v r  r  r  r  c Q Q Q Q incluyendo el resto de las componentes del rotacional, tenemos el siguiente resultado en términos del producto vectorial   vQ  1 c   v  r  r  c aQ  r  r Q r  rQ Q Q sustituyendo este resultado y el relativo al gradiente tenemos B    A(r , t )   kQ c2 r  r  v  v   r  r  r  r   c Q  Q    vQ2 a Q  kQ aQ  r  r Q 1  2  r  r Q  2   3 3 2 c c c   vQ   Q  r  rQ  r  rQ   c    Q Q     A partir de este resultado vemos inmediatamente que el campo magnético B es siempre perpendicular al vector r  r Q . También podemos comprobar la existencia de una relación algebráica directa entre el campo eléctrico y el campo magnético de una carga puntual acelerada r  r   E(r, t )  B  E  B  0 Q c r  rQ Si multiplicamos escalarmente por el campo eléctrico tenemos directamente que los campos eléctrico y magnético de una carga acelerada son siempre perpendiculares. El cálculo de la radiación emitida por una carga acelerada mediante el flujo del vector de Pointig en zonas muy alejadas de la carga supone que solamente serán relevantes los términos del campo que varíen en proporción a la inversa de la distancia a la carga, mas o menos 1/ r  r Q , de modo que el campo eléctrico efectivo en la zona de radiación Erad corresponde con los términos afectados por la aceleración retardada aQ Introducción al Electromagnetismo    115    aQ  r  r Q  r  r Q vQ  aQ  r  r Q kQ 2 r  r Q  c2  c  c  E rad (r , t )  kQ  3 2   vQ  vQ    r  rQ  r  rQ    r  rQ  r  rQ  c  c        multiplicando escalarmente el campo eléctrico por el vector r  r Q tenemos un valor nulo r  r  Q        2 v a aQ  r  r Q  r  r Q r  r Q  Q  Q2  r  r Q kQ r  r Q  2 r  r Q  c  c  c  E rad ( r , t )  kQ   3 2   vQ  vQ   r  rQ  r  rQ    r  rQ  r  rQ   c  c            vQ  aQ aQ    r  r Q  r  r Q   2  r  r Q r r  Q  2 c c   c 0   kQ r  r Q  3 2   vQ  vQ     r  rQ  r  rQ     r  rQ  r  rQ    c  c                de modo que en el campo de radiación los vectores r  r Q , E rad , B rad  r  r Q   E rad son c r  rQ mutuamente perpendiculares y forman, en este orden, un triedro ortogonal directo. El campo eléctrico de radiación se puede presentar también de esta forma alternativa : E rad (r , t )  kQ    r  rQ  r  rQ    v Q  a Q vQ  aQ r  rQ  r  rQ   r  rQ  r  rQ    r  r Q  r  r Q 2  c c c  c 2  v Q     c   3       y utilizando el álgebra del triple producto vectorial en los términos entre llaves r  r  ac  r  r  ac Q Q 2 Q 1 c2 Q 2 2 r  rQ  r  rQ aQ c2 1 r  r  r  r  a  c Q Q Q 3   r  rQ   vc  r  r  vc Q Q Q  r  r Q r  r Q  vQ  aQ aQ c2  r  rQ  de modo que obtenemos la fórmula alternativa para el campo de radiación E rad  kQ c 2 r  r  v   r  r   c Q   r  rQ  Q Q 3     vQ  r  rQ   r  r Q  r  r Q  E rad   a Q  ; B rad  c    c r  rQ    El vector de Poynting S en la zona de radiación es proporcional al cuadrado del campo eléctrico de radiación: S  1  2 E rad  B rad    E rad r  r Q , y el transporte de energía por  c r  rQ radiación tiene la dirección que va desde la localización retardada de la carga rQ hasta    Introducción al Electromagnetismo 116 el punto de observación r; siempre “evacuando” energía hacia el exterior de la carga. Para ver mejor el resultado expresamos S en función del vector unitario n Q  r  r  Q r  rQ 2      2 2      nQ vQ nQ k Q       a n S Q Q    3   c  c5    r  r Q      1  n Q  v Q     c     2 resultado que evidencia la proporcionalidad respecto al inverso del cuadrado de la distancia a la carga, y que por tanto conlleva una transferencia de energía alejándose de la carga por radiación. Note el lector que hemos segregado del campo electromagnético total, sin mas justificación, ciertas componentes a las que hemos llamado campo de radiación. Si realmente se trata de un campo independiente, estas componentes deben verificar las ecuaciones de Maxwell. Físicamente este campo de radiación tiene asociada una emisión neta de energía cuyo origen es la carga acelerada, y es cierto que esta energía emitida no depende del comportamiento de la carga mas que por el instante retardado en que se produjo dicha emisión : el campo de radiación lleva impresa esa información, pero la energía emitida no va a retornar a la carga emisora. A partir de aquí la energía emitida se comporta según la forma de un campo electromagnético físicamente independiente. Si particularizamos el campo eléctrico para el caso en que la aceleración de la partícula sea nula tenemos el campo de una carga que se mueve con velocidad uniforme v. Para la componente x tenemos    v  r  r Q (t ' )  r  r Q (t ' )   u x  c  E x  kQ  3  v r r t r r t ( ' ) ( ' )     Q Q   c     v2  1    c2    donde distinguimos la posición retardada de la carga con la notación rQ(t’). Esta distinción es importante ya que este campo para una carga a velocidad constante también ha sido calculado anteriormente en la sección sobre relatividad especial con este resultado  E x  kQ 1   2   r  r (t )   u Q   x    2    r  r Q (t )    2 y 2  z 2         3/ 2 este último resultado vale para un sistema de coordenadas cuyo eje x coincide con la trayectoria de la partícula; además v=βc, y rQ(t) corresponde ahora a la posición actual de la carga correspondiente al tiempo de observación del campo, no la posición retardada. Evidentemente las dos expresiones del campo deben ser iguales. Si igualamos los numeradores tenemos inmediatamente Introducción al Electromagnetismo 117       r  r Q (t ' )   r  r Q (t ' ) v   u x   r  r Q (t )   u x   r Q (t )  r Q (t ' )  r  r Q (t ' ) v   u x  0       c c    y reconocemos que el último paréntesis debe ser nulo, ya que corresponde a la relación entre la posición actual rQ(t) y la posición retardada r’Q(t’) de la carga puntual r Q (t )  r Q (t ' )  r  r Q (t ' ) v c Un análisis igualando denominadores es consistente con el resultado anterior   2  r  r (t )    2 y 2  z 2   r  r (t ' )   r  r (t ' )   v  Q Q Q        c      r  r Q (t ' ) r Q (t )  r Q (t ' )  c v 2 2  2 r  r Q (t ' )   v  2  v   r  r Q (t ' )      2 y 2  z 2  2  c  c      y de este modo vemos que el campo calculado mediante las transformaciones relativistas para una carga moviéndose a velocidad constante incluye la posición retardada de la carga puntual. Finalmente unas notas críticas sobre el problema de la radiación de una carga puntual acelerada. El desarrollo realizado deja una impresión de “limpieza” desde el punto de vista matemático; pero desde el punto del vista físico las cosas son distintas. En el desarrollo hecho hemos utilizado el concepto clásico de trayectoria de una partícula : rQ(t), vQ(t), aQ(t)…; pero una partícula puntual tiene una energía electromagnética infinita según la ley 1/r2 para el campo cercano a la carga. Según la ley E=mc2 una energía infinita equivale a una masa infinita, y según la ley F=maQ acelerar la partícula requeriría un fuerza infinita. Parece que el mínimo rigor lógico nos coloca fuera de cualquier contexto físico aceptable. En este sentido el desarrollo multipolar de fuentes que emiten radiación, desarrollado en parte anteriormente, incorpora una limitación sobre la distancia entre el observador y las fuentes; de modo que no necesita el concepto de campo de una partícula puntual cargada y por tanto es mas correcto físicamente. Sin embargo las partículas puntuales cargadas parecen existir en el caso de los electrones, que hasta donde sabemos son partículas físicamente fundamentales : sin partes internas. Sobre estas partículas fundamentales el principio de Heisenberg nos previene sobre la imposibilidad física de un concepto riguroso de trayectoria, es decir la función rQ(t) que se ha utilizado en el cálculo. El argumento de inconsistencia es válido en general. Las tres leyes de Newton se aplican al caso de partículas puntuales. Pero cualquier partícula tiene asociado al menos un campo: el gravitatorio, y por tanto una energía teóricamente infinita. En todo caso sabemos que la física clásica tiene un límite relacionado con la mecánica cuántica en las dimensiones comparables o inferiores a la escala atómica. En la relatividad general también existe un límite inferior para el tamaño de una partícula en relación a su campo gravitatorio, y es el tamaño de su correspondiente agujero negro. De este modo el sistema teórico formado por la mecánica y el campo clásicos se   Introducción al Electromagnetismo 118 revela a si misma inconsistente en el caso de la existencia de partículas suficientemente pequeñas; tales como el electrón. El proceso teórico conocido como renormalización es, precisamente, un intento de solventar este problema. En mecánica cuántica existen los operadores de creación y destrucción de partículas, como por ejemplo electrones. Evidentemente estos operadores no tendrían sentido físico si asignásemos un valor infinito a la energía de una partícula. En consonancia con lo anterior, el campo de una partícula en la teoría cuántica de campos no presenta singularidades infinitas. Variación de la constante dieléctrica de un medio material con la frecuencia del campo electromagnético. Como hemos visto en el texto, una consecuencia de la unificación entre electromagnetismo y óptica es que las constantes εμ que aparecen en las ecuaciones de Maxwell para un medio material dependen en realidad de la frecuencia del campo electromagnético : ε(ω),μ(ω); y por tanto las propias ecuaciones de Maxwell aplicadas a un medio material solamente son válidas para campos y fuentes que varían armónicamente con una frecuencia ω determinada. El caso de campos estáticos es un caso especial con ω =0. Esta consecuencia es de la mayor importancia y necesitamos un modelo que explique el origen físico de las relaciones ε(ω),μ(ω). Este es precisamente el contexto del modelo mecánico del electrón de Drude y Lorentz. Veremos además que esta teoría toca realmente un asunto medular en física y que de hecho es un punto de encuentro entre la física clásica y la física cuántica. Vamos a considerar el ejemplo mas simple de la teoría : la acción de una onda electromagnética de frecuencia ω sobre un átomo de hidrógeno. Los modelos atómicos desde el experimento de Rutherford nos indican una estructura formada por un núcleo central muy pequeño y que concentra la mayor parte de la masa del átomo y un conjunto de electrones que se mueven alrededor de algún modo, ya que físicamente no se puede explicar una configuración estática de los electrones. El electrón se puede ver en mecánica cuántica como una distribución de probabilidad de presencia entorno al núcleo; esta distribución de probabilidad la entenderemos aquí también como una distribución de carga : la carga del electrón se distribuye en cierto volumen alrededor del núcleo como si fuese una nube. En ausencia de campos externos el centro de masas de la nube coincide en promedio con el propio núcleo, de modo que el sistema no tiene una polarización eléctrica neta. Pero si actúa un campo externo, la nube electrónica reacciona con un desplazamiento eléctrico de su centro de masas relativamente al núcleo cierta distancia ξ. Aparece por tanto una polarización inducida. Según el modelo clásico del muelle un sistema, en nuestro caso el átomo, que hemos apartado ligeramente de su estado de equilibrio responde con una fuerza restauradora – κξ de sentido opuesto a la perturbación ξ, donde la letra griega κ representa la constante del muelle. Este modelo introduce una frecuencia de oscilación natural del átomo asociada a κ. La masa del núcleo de hidrógeno es unas 2000 veces la masa del electrón y en primera aproximación suponemos que el núcleo prácticamente no cambia de velocidad por efecto del campo externo. Dado que el campo externo varía Introducción al Electromagnetismo 119 con el tiempo, la polarización inducida también. Tenemos por tanto un dipolo oscilante, que en esencia es una carga acelerada, y debe emitir cierta cantidad de radiación electromagnética. Esta emisión de energía es similar al calentamiento de un circuito eléctrico o la fricción de un sistema mecánico : es un elemento amortiguante en la ecuación diferencial del sistema, y fisicamente disipa energía de la fuente excitadora. El campo excitador externo es una onda electromagnética que depende de una fase ωt-k*r . La letra latina k significa número de ondas. En este momento introducimos dos aproximaciones mas: 1-La longitud de onda λ=2π/k de la radiación electromagnética es mucho mayor que las dimensiones del átomo Ra : λ >> Ra. La consecuencia es que en toda la región ocupada por el átomo la fase varía prácticamente solo por el término ωt. Esta aproximación se cumple bien en el rango óptico con longitudes del onda próximas a los 5000 Ǻ , mientras que el tamaño del átomo de hidrógeno es entorno a 1 Ǻ. 2-Despreciamos el efecto dinámico del campo magnético de la onda. La fuerza magnética de Lorentz es FB = qvB = q(v/c)E , donde c es la velocidad de la luz en el vacío y v la velocidad del electrón. En una aproximación no relativista es v<<c y por tanto la fuerza magnética es despreciable frente a la fuerza eléctrica FE = qE. Con todas estas aproximaciones tenemos la siguiente ecuación dinámica según la física clásica me d 2 d      eE0 cos(t ) 2 dt dt donde me es la masa de la nube electrónica, ξ es la posición del centro de masas de la nube electrónica, E = E0 cos(ωt) es el campo eléctrico constante que actúa en toda la nube y -e es la carga neta de la nube, es decir, la carga del electrón. El término factorizado por Γ > 0 representa la amortiguación debido a la radiación del dipolo oscilante. Tenemos una ecuación en una sola dimensión vectorial ya que el desplazamiento del centro de masas es siempre paralelo al campo externo. Recurriendo de nuevo a la teoría del muelle podemos eliminar κ en función de una constante ω20= κ/me con unidades de frecuencia angular. d 2 d e    02   E  2 dt dt me   E  E0 cos(t )  La solución general de esta ecuación diferencial incluye unas condiciones iniciales que determinan un proceso transitorio. Como no estamos interesados en el transitorio sino en el estado final del sistema utilizamos la técnica de los Fasores, presentada en el trabajo Sobre la ecuación de ondas. Descomponiendo del coseno en suma de exponenciales complejas llegamos, para el exponente complejo positivo, a la ecuación d 2 d e   02   E0eit 2me dt 2 dt el fasor de esta ecuación es de la forma ξ+=Aeiωt , que introducido en la ecuación permite despejar A e e E0  2me 2me e E0  A  2  A 2  iA  A02      2 E0 eit 0   2  i 0   2  i 2me  Introducción al Electromagnetismo 120 para el exponente complejo negativo obtenemos un resultado equivalente al complejo conjugado, y sumando obtenemos el fasor de la ecuación diferencial asociada a la fuente excitadora real         eE0 1  1 1  2 e it  2 e it  2 2 me 2  0    i 0    i  que es evidentemente un valor real, ya que esencialmente es un factor real que multiplica la suma de dos números complejos conjugados. Es posible reconducir el paréntesis del resultado a la forma Bcos(wt+ϑ) y calcular los valores reales B y ϑ. Hacemos el siguiente análisis del resultado anterior: 1-Régimen suave tal que la frecuencia ω verifica 02   2   ; para este caso tenemos la siguiente aproximación sencilla   e 1 E 2 me 0   2 2-Régimen abrupto tal que la frecuencia ω verifica 02   2  0 . En este caso la aproximación anterior tiende a infinito y deja de ser válida. En este régimen se debe considerar necesariamente el término de amortiguación ya que produce valores determinados de ξ no infinitos en este régimen. En este régimen ξ(ω) presenta la forma de un pico pronunciado alrededor de ω0 con rápidos ascenso y descenso a medida que varía la frecuencia. El entorno de frecuencias de este régimen se puede estimar por [ω0-γ/2, ω0+γ/2]. En el trabajo Radiation of an accelerated charge se da una estimación para el parámetro de amortiguación γ, en el apéndice sobre Oscilaciones Simples de una carga acelerada. Calculemos, en el régimen suave, el dipolo atómico inducido ∆p correspondiente al desplazamiento del centro de masas de una carga –e p  e  e2 E me 02   2   Según el desarrollo del texto para el campo en un medio dieléctrico, el vector polarización es P  n p y para el vector desplazamiento D   0 E  P . El valor ∆v es el v volumen físico que ocupan ∆n átomos. Sustituyendo resultados en la fórmula del vector desplazamiento y llamando ρN=∆n/∆v a la densidad en número de átomos por unidad de volumen tenemos   N e2 D   0 1  2 2  me 0 0        N e2  E   D     0 1  2 2   me 0 0        donde ε es la constante dieléctrica de un medio dieléctrico sometido a polarización por inducción. Llegamos así a un resultado que explica la dependencia ε(ω) que buscábamos. Un material como el gas de hidrógeno atómico no tiene propiedades magnéticas y no es magnetizable por inducción, esto significa que la constante μ prácticamente no varía con la frecuencia y se puede tomar constante e igual a la del vacío μ = μ0. Si multiplicamos el resultado anterior por μ tenemos     0 1      N e2  N e2 1 1    2  2 1   2 2  2 2  me 0 0     v c  me 0 0    n2  1   p2  e2 ;  p2  N 2 2 me 0 0   Introducción al Electromagnetismo 121 aplicamos la definición de índice de refracción dada por la Óptica : n=c/v , donde v es la velocidad de fase del proceso ondulatorio (ver trabajo Sobre la ecuación de ondas). En este punto ya podemos hacer un contraste de este resultado con la ecuación de Cauchy del índice de refracción : n=A+B/λ2 , donde A,B son constantes propias del medio y λ es la longitud de onda de la . Con las aproximaciones indicadas tenemos    p2 1 n  1  2 2 0 1 2  0  1/ 2         p ,   0  n  1   p2   2  1   202  02  pero en el vacío ω/k = c y por tanto  p2  c 2 2    p2   2 c 2 p2  1   1  n  1 k   1  202  02   202   04  2 donde λ es la longitud de onda en el vacío (o en el aire aprox.) y las constantes A,B quedan claramente identificadas. También queda limitada la fórmula de Cauchy a materiales que verifiquen ωp << ω0 y dentro de estos materiales a luz con ω << ω0. En el régimen abrupto, desde n>1 el índice de refracción sube bruscamente con la frecuencia hasta ω=ω0 y luego cae bruscamente para ω>ω0 hasta n<1. Un análisis inmediato de este resultado nos dice que, en el régimen suave, existen dos tipos de frecuencias distinguibles fácilmente por razones físicas: 1-Frecuencias con dispersión normal. En esta zona las frecuencias son ω < ω0 y el índice de refracción toma valores n > 1 ; lo que equivale a v < c y la velocidad de fase es menor que la velocidad de la luz en el vacío. Este es el caso normal en Óptica, ya que la mayor parte de los vidrios corrientes utilizados en instrumentos ópticos están en el rango de n [1.46-1.96], líquidos como agua y alcohol etílico tienen n en el entorno de 1.33 2-Frecuencias con dispersión anómala. En esta zona las frecuencias son ω > ω0 y el índice de refracción toma valores n < 1 ; lo que equivale a v > c y la velocidad de fase es mayor que la velocidad de la luz en el vacío. Dado que la relatividad supone que la velocidad de la luz en el vacío es un valor límite inalcanzable en cualquier contexto físico debemos explicar esta situación. El argumento aquí parte del concepto de paquete de ondas (ver trabajo Sobre la ecuación de ondas), es decir, por mucho que afinemos experimentalmente, en esencia no existen ondas de una frecuencia pura ω, sino agregados o paquetes de ondas con una frecuencia central ω y un pequeño ancho de banda asociado ∆ω << ω. La velocidad de fase v =ω/k y el índice de refracción n son funciones de la frecuencia y por tanto el paquete de ondas se mueve con diferentes velocidad de fase y distintos índices de refracción. Sin embargo el paquete de ondas posee una velocidad de grupo vg=dω/dk y esta es la velocidad con la que se transmite la energía del paquete de ondas. Dado que toda medida física del paquete supone una transferencia de energía, por mínima que sea, con el aparato de medida; entonces debe ser la velocidad de grupo del paquete la que no supere la velocidad de la luz en el vacío. Introducción al Electromagnetismo 122 Calculemos por tanto vg en consistencia con el índice de refracción n(ω) que hemos introducido en el régimen suave. De la definición de índice de refracción tenemos ck   n( )  c  d dn d d  dn  c n   n  dk d dk dk  d  donde dω/dk es la velocidad del grupo de ondas vg (ver trabajo Sobre la ecuación de ondas) sustituyendo dn/dω llegamos a la siguiente relación 2  2    c 2  v g v n 2  n 2  1 2    p     finalmente despejamos ω/ωp en función de n de la fórmula n(ω) 2 2     0       1        n2  1  p  p  2 2 c 2  vg v1  02 n 2  1     p   de este resultado deducimos inmediatamente que la condición de velocidad de grupo por debajo de la luz en el vacío vg<c es equivalente a que el resto de factores del segundo miembro superen el valor c  2 2 v g  c  v1  02 n 2  1   c     p     1 02 2 2  n  1  n 2 p Con este resultado vemos inmediatamente que para dispersión anómala la desigualdad se cumple trivialmente, ya que por definición n<1; lo que soluciona el problema con el límite de la velocidad de la luz en este caso. Sin embargo tenemos del otro lado la zona de dispersión normal, donde el límite del velocidad de la luz exige también que se cumpla la desigualdad anterior. Para gases el índice de refracción normal es muy similar al del vacío : n≈1 y por tanto  p2 1 2  n  1 n  1  0  p 2 0 2 n 1 Para el caso de vidrios ópticos, tomando n≈1.5 en la zona de dispersión normal tenemos  0  0.56 p . Note el lector que el valor ωp es proporcional a la densidad de la sustancia en átomos por metro cúbico ρN, y por tanto toma valores mayores en sólidos o líquidos que en gases. Por supuesto es ρN(T,p) : la densidad en átomos por metro cúbico depende de la temperatura T y presión p. En el régimen abrupto es posible demostrar también que el límite de la velocidad de la luz en el vacío se mantiene, aunque el problema es algo mas complicado. Recordando el resultado anterior dn  d  c  n  d  dk  pero en este régimen tenemos una zona con dn/dω << 1 y n<1 , lo cual puede dar lugar según la expresión anterior a un paréntesis menor que 1 y por tanto la velocidad de grupo dω/dk > c. En la práctica este problema no aparece y la razón será expuesta en breve, pero como pasa con las buenas películas no debemos adelantar el desenlace antes de conocer los hechos, aún queda la pirotécnia del fin de fiesta. Introducción al Electromagnetismo 123 Necesitamos identificar por la vía experimental el parámetro ω0 introducido teóricamente en nuestro modelo. Para ello se puede realizar medidas de la velocidad de la luz en gas atómico de hidrógeno y ver como se ajustan a los resultados encontrados. De este análisis experimental resulta que la expresión mas adecuada para el índice de refracción en el régimen suave no es la introducida por la teoría, sino esta otra n2  1   N e2 f  i ; me 0 i i2   2 f i 1 i es decir, no existe una única frecuencia natural ω0 de oscilación del átomo sino un conjunto de ellas {ωi}. Los factores fi son positivos menores que 1 y entre todos suman 1. Pero lo mas impactante : las frecuencias {ωi} son las frecuencias de los espectros de absorción o emisión del hidrógeno atómico, es decir, son las frecuencias de las transiciones electrónicas descritas en el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno. Los valores ρNfi corresponden a la fracción de átomos excitados en los correspondientes estados cuánticos. La razón por la que el límite de la velocidad de la luz en el vacío no es violado en el régimen abrupto es que las frecuencias correspondientes del paquete que caen dentro del pico abrupto : [ωi-γ/2, ωi+γ/2] son totalmente absorbidas por los átomos en un fenómeno cuántico, lo que transforma completamente el paquete al quedar solo con frecuencias fuera del régimen abrupto, es decir, en el régimen suave. El modelo clásico nos ha puesto a las puertas de la mecánica cuántica y hemos pasado el umbral mediante el experimento. Teoría de Drude del electrón libre. Clásicamente consideramos que la conducción eléctrica de los metales se debe a la existencia de algún tipo de gas formado por electrones que pueden moverse libremente en el metal. Evidentemente esta afirmación debe ser precisada. En primer lugar debemos precisar dos tipos de movimiento de los electrones libres : el movimiento térmico y el movimiento de arrastre. El movimiento térmico (vT) es consecuencia de la tendencia al equilibrio térmico del sistema descrito por una temperatura constante T. En un metal aislado los electrones se mueve libremente pero chocan contra iones del metal de modo que tienen una energía cinética promedio relacionada directamente con la temperatura T. Suponemos ,análogamente al caso de los gases ideales, que los choques entre electrones pueden despreciarse. Según la teoría cinética de los gases esta temperatura está relacionada con la energía cinética promedio 1 3 m vT2  kT 2 2 El movimiento térmico es caótico y la densidad de corriente neta es nula. El movimiento de arrastre (vA) se produce como consecuencia de la aplicación de un campo eléctrico externo y está relacionado directamente con la Ley de Ohm J  E  nev A  E Introducción al Electromagnetismo 124 donde n es la densidad de electrones en volumen. Un cálculo aproximado para valores habituales de temperatura T, conductividad ς, campo eléctrico E y densidad n produce los siguientes valores vT  105 m / s ; v A  102 m / s Consideraciones sobre el equilibrio térmico en un metal. La teoría clásica supone que en el equilibrio térmico se producen choques entre los electrones y los iones de la red de modo similar al equilibrio termodinámico de un sistema de dos fases líquido/vapor. Pero en nuestro caso el choque de un electrón produce el fenómeno de radiación de frenado. Este efecto se utiliza para la generación de rayos X, donde los electrones emitidos desde un cátodo a altas temperaturas (2000 Kelvin) se aceleran a velocidades superiores a 107 m/s. De este modo la imagen clásica del gas de electrones conduce a una pérdida continua de energía de los electrones, que absorberían energía térmica por diferencia de temperaturas con los iones del metal y la volverían a emitir hasta llegar a la temperatura del cero absoluto. Esto no es consistente con las observaciones mas inmediatas. Si bien es cierto que al tocar un metal notamos inicialmente sensación de frío, esto no se debe a que tenga una temperatura mas baja sino a que tiene una conductividad calorífica mas elevada que nuestro propio cuerpo; y en poco tiempo notamos que el contacto con el metal ya no produce la sensación de frío. De todo esto deducimos que el equilibrio termodinámico del metal debe incluir una componente de radiación con la que los electrones y los iones de la red también pueden interaccionar. La radiación de cuerpo negro es precisamente un caso de radiación asociada al equilibrio termodinámico radiación-materia y su distribución espectral está determinada totalmente por la temperatura. De este modo en el interior del metal debe existir alguna forma de radiación de cuerpo negro determinada por la temperatura de equilibrio capaz de interactuar con electrones y átomos de la red. La radiación perdida al exterior del metal se puede compensar con radiación absorbida desde el entorno físico cercano al metal a la misma temperatura. De este modo el sistema en equilibrio termodinámico equivale a tener el metal y su radiación de equilibrio aislados del exterior. Si esta radiación no existiese, el equilibrio termodinámico exigiría que el choque de los electrones con los átomos fuesen perfectamente elásticos : sin pérdida de energía mecánica. Pero si esta radiación existe, los choques de los electrones no tienen por que ser elásticos y pueden disipar energía mecánica. Este es precisamente el punto de inicio de la teoría de Drude del electrón libre, que postula la siguiente ecuación dinámica para el electrón libre m dvA   v A  e E dt donde vA es la velocidad de arrastre y el término γvA describe un proceso de rozamiento o viscosidad interna responsable de la disipación de energía ya mencionada. El campo externo E lo suponemos constante, lo que produce la siguiente solución v A (t )   e    E 1  e  t / ;   m /  Introducción al Electromagnetismo 125 ya que para E=0 la velocidad de arrastre debe ser nula. La constante de tiempo η representa una estimación del tiempo que tarda el electrón en adquirir su velocidad terminal, es decir e vA   m E este resultado es totalmente consistente con la Ley de Ohm y nos permite identificar la conductividad ς J   nev A  n e 2 e 2 E E   n m m Sin embargo aún debemos interpretar estos resultados en un contexto similar a la teoría cinética de los gases. En efecto, los electrones no están afectados por un rozamiento continuo, sino que el origen físico del término de rozamiento son choques puntuales aleatorios. En este contexto interpretamos η como el tiempo medio entre choques de un electrón. Esta interpretación relaciona η con los procesos de equilibrio térmico y es consistente con el hecho experimental de que ς depende del tipo de material y de la temperatura, pero no del campo eléctrico aplicado. Después del choque el electrón cambia de velocidad, en módulo y dirección, aleatoriamente; de modo que en promedio el electrón queda con una velocidad de arrastre nula después del choque y solo se mueve por la velocidad térmica. Este comportamiento de nuestro modelo es consistente con el efecto Joule de calentamiento en circuitos eléctricos : toda la energía eléctrica suministrada por una batería a un circuito se transforma en energía térmica, en calor. Si, en el estado estacionario del sistema, la velocidad de arrastre promedio antes del choque es <vA> y la cantidad de movimiento promedio entregada por el campo es eEη debe cumplir m v A  eE  v A  e E m consistente con el resultado anterior sobre la velocidad terminal. Dado que la velocidad térmica es muy superior a la de arrastre, podemos definir la trayectoria libre media l del electrón como l=ηvT . El orden de valores para metales y semiconductores a temperatura ambiente son l=10-8 metros y η=10-14 segundos. Si en vez de un campo eléctrico constante consideramos uno oscilante armónicamente asociado a una onda electromagnética, la ecuación diferencial dinámica de la teoría de Drude es la misma que vimos en la sección anterior sobre dependencia de las constantes εμ con la frecuencia pero anulando la frecuencia propia : ω0 = 0 , lo que conduce a que el sistema de electrones libres o en general cargas libres, llamado también plasma, posee un índice de refracción de valor n2  1  p2  N e2 2 ;   p me 0 2 esta fórmula resulta aplicable al caso de la ionosfera, una zona de la atmósfera fuertemente ionizada por efecto de los rayos ultravioletas del sol; y predice de acuerdo a la ley de Snell la refracción de las ondas de radio emitidas desde tierra hacia la ionosfera de forma análoga a una parábola invertida. Note el lector que se trata de una dispersión anómala con n<1. De este modo se consigue mejorar el alcance en distancia de las emisiones terrestres de radiofrecuencia evitando el problema de la Introducción al Electromagnetismo 126 pérdida de visión directa entre estaciones muy alejadas debida a la curvatura esférica de la superficie terrestre. Note el lector que el índice de refracción depende del cuadrado de la carga de las partículas e2 y por tanto no distingue entre iones positivos o negativos. Pero también depende inversamente de la masa m del portador de carga; por lo que los electrones libres influyen mucho mas en el índice de refracción que los iones libres de masa muy superior. El valor ωp se conoce en este contexto como frecuencia propia del plasma, lo que explica su subíndice p. Un fallo predictivo del modelo de Drude es la dependencia del tiempo medio entre choques con la temperatura. De su definición   m /  vemos que es inversamente proporcional a la viscosidad; y la viscosidad esperada disminuye con la temperatura; por tanto el tiempo medio entre choques aumentaría al aumentar la temperatura. Esto no es consistente con las medidas experimentales de la conductividad a distintas temperaturas según la fórmula   n e  . 2 m El Efecto Hall Como contexto previo a la descripción de este fenómeno, digamos que en el texto hemos discutido ampliamente sobre el efecto del campo eléctrico, interno o externo, en la física de un conductor eléctrico. Pero no hemos estudiado explícitamente el efecto de un campo magnético en un conductor. El descubrimiento de este fenómeno se remonta a 1879, cuando E.C Hall descubrió que si una placa metálica rectangular por la que circula una corriente se coloca perpendicular a un campo magnético externo constante B, entonces aparece una diferencia de potencial entre los bordes de la placa, en la perpendicular a la dirección de la corriente. La explicación de este fenómeno se basa en la fuerza de Lorentz y el tipo de portadores de carga del proceso de conducción eléctrica. En nuestro caso concebimos la corriente eléctrica como el movimiento a velocidad v de partículas con carga -e físicamente iguales (electrones); y la fuerza de Lorentz asociada será F  ev  B . El efecto dinámico de esta fuerza será mover las líneas de corriente de conducción, y por tanto los electrones, hacia uno de los bordes de la placa. La densidad de corriente es mayor en un lado de la placa que en el opuesto. Esto provoca la pérdida del equilibrio eléctrico local en el interior de la placa y aparece un campo eléctrico interno EH debido a la polarización que va en aumento hasta que consigue equilibrar el efecto del campo magnético y el sistema llegue a un equilibrio estacionario. De este modo, en un borde de la placa prevalece la carga positiva de los iones de la red metálica y en el otro borde prevalece la carga negativa de los electrones. El campo EH no genera corriente de conducción, sino que su objetivo es equilibrar el efecto de la fuerza de Lorentz provocada por el magnético en el interior del conductor. Por tanto la ley de Ohm J=ςE ya no se verifica en este caso pues la corriente J y el campo total en el conductor E ya no son paralelos. Mas adelante veremos una generalización de la ley de Ohm. Introducción al Electromagnetismo 127 En este punto, podemos medir la diferencia de potencial entre los extremos de la placa y corresponde a la diferencia de potencial ΦH generada por el campo EH inducido por   el campo B externo y de valor E H  v  B   D   I   E H  d r   E H  r D  r I . Los índice D,I H H  D I hacen referencia a dos puntos determinados : los bordes derecho e izquierdo de la placa respecto a la dirección de la corriente. El signo de la diferencia de potencial medido va a depender, mediante la velocidad v , de si los portadores de carga del conductor son de signo positivo o negativo. En su momento las experiencias iniciales con el efecto Hall sobre distintos metales como oro, plata, platino, cobre….eran consistentes con portadores de carga negativos, es decir electrones. Sin embargo en ciertos metales como el cobalto, el zinc, el hierro y materiales semiconductores, el efecto Hall es consistente con portadores de carga positivos. Cuando se descubrieron los dos tipos de efecto Hall, los físicos quedaron muy intrigados ya que no tenían una explicación o referencia experimental para los portadores de carga positivos en metales; aunque resultaba evidente que estos portadores de carga también verificaban la ley de Ohm. Con el tiempo se fue desarrollando el concepto de hueco electrónico como portador de carga positivo para explicar esta situación. En cualquier material existen dos tipos de electrones : electrones de conducción y electrones de valencia. Los electrones de conducción se comportan de forma similar a un gas de partículas como hemos visto, pero los electrones de valencia están fijos en la red asociados a los enlaces covalentes que unen los átomos en la red del conductor. Es posible que, por efecto térmico o por impacto de un fotón, un electrón de valencia pase al gas libre de conducción generando un defecto de carga en zonas próximas a la red atómica; y este electrón se mantendrá estable en el gas libre debido a las previsibles propiedades de estabilidad física de este gas7. Estos defectos son los huecos electrónicos y se comportan como cargas positivas que se mueven entre enlaces covalentes de la red. Cuando se establece un campo eléctrico los electrones de conducción se comportan según la ley de Ohm, pero también es posible que el campo eléctrico aporte suficiente energía a un electrón de valencia como para saltar a un hueco próximo. Esto equivale a un movimiento del hueco en dirección contraria a la del electrón de valencia y por tanto tenemos el equivalente de una corriente de cargas positivas. Dependiendo del material es posible que la corriente neta sea favorable a uno u otro tipo de portador de carga. La ley de Ohm debe aplicarse a cada portador de carga de modo que tenemos J e   e E    J  J e  J h   e   h E   E ;    e   h J h   h E  y la conductividad del material ς es la suma de las conductividades de cada portador. El efecto Hall muestra que, aunque los metales pueden apantallar un campo eléctrico externo, no pueden hacer lo mismo en general con un campo magnético, sea externo o generado internamente por las propias corrientes de conducción. 7 Estabilidad explicada por la teoría de bandas de la mecánica cuántica Introducción al Electromagnetismo 128 Finalmente, la aparición del campo de Hall EH supone un movimiento de cargas de zonas de menor potencial a zonas de mayor potencial, lo cual requiere transferencia de energía. En condiciones dinámicas, la variación de flujo magnético puede producir transferencia de energía mediante corrientes de inducción o polarización inducida; pero en condiciones estáticas el campo magnético no transfiere energía mecánica a las cargas, por tanto la energía buscada debe proceder de la misma fuente que mantiene la corriente de conducción. Es como si la corriente tuviese que vencer un obstáculo rígido adicional asociado al campo magnético y mantener la corriente exige mas energía de la batería del circuito, o bien la misma energía gastada produce una corriente menor. Generalización de la ley de Ohm para incluir el efecto Hall a partir de la teoría de Drude. Planteamos la ecuación de la velocidad de arrastre terminal de la teoría del electrón libre pero incluyendo el efecto dinámico del campo magnético. Utilizando la representación matricial del producto vectorial tenemos  m    m v A  q E  v A  B   Bz      By     Bz m  Bx vx   A  By    y  v  Bx  A   q E   m  v z   A      multiplicando todo por la densidad de portadores n y por la carga q tenemos  m    1  E  2 Bz nq     By   Bz m  Bx J  x   m By          J y 2   Bx    J  nq Bz     m  J   z    By       Bz m  Bx 1 E   x By       Ey  Bx       m  E  z        que es una generalización de la Ley de Ohm incluyendo el efecto del campo magnético. En esta generalización la conductividad eléctrica es una matriz 3x3 en vez de un escalar, y depende del campo magnético externo además de las condiciones propias del material y de la temperatura. Rayos Catódicos y Emisión Termoiónica. Durante casi un siglo, desde su descubrimiento a mediados del siglo XIX hasta mediados del siglo XX se desarrollo la primera tecnología electrónica en base a la física de los rayos catódicos. Los rayos catódicos están en la base de innumerables descubrimientos físicos y técnicos: Radiación de frenado y generación de Rayos X, Difracción de Electrones en Cristales, Tubo de rayos catódicos empleado en osciloscopios o pantallas de televisión fosforescentes, Primeros dispositivos electrónicos amplificadores de señal….. El principio físico de la emisión de rayos catódicos es el principio de conservación de la energía. Si un metal en condiciones normales se calienta a temperaturas lo Introducción al Electromagnetismo 129 suficientemente altas, parte de sus electrones libres pueden adquirir una energía cinética suficiente para salvar el trabajo de extracción del metal, una situación análoga al caso del efecto fotoeléctrico. Si el calentamiento del metal se debe al paso de una corriente eléctrica y a la resistencia propia del metal, la emisión de electrones no supone que el metal quede cargado positivamente. En realidad las baterías suministran la energía suficiente para compensar la pérdida de electrones, pero los dispositivos de rayos catódicos deben diseñarse de modo que los electrones emitidos retornen de algún modo al circuito de la batería. De hecho las zonas de emisión de rayos catódicos resultan estar cargadas negativamente y tienen un campo eléctrico perpendicular a la superficie del metal emisor que efectivamente tiende a expulsar los electrones que consiguen superar el trabajo de extracción. Este campo, perpendicular a su superficie, es el esperable para un conductor cargado. Esta situación hace que los electrones emitidos se muevan en línea recta, al menos si se mueve en el vacío y no interaccionan con las moléculas de aire. Los electrones emitidos se mueven como rayos, los rayos catódicos. Si es el caso que interaccionan con el aire u otros gases pueden ionizar sus moléculas dejándolas con carga positiva; y dado que existe un campo eléctrico estos iones serán atraídos hacia el metal emisor, lo que puede provocar daños químicos de modo que el rendimiento de emisión de electrones disminuya sensiblemente. De ahí que la tecnología de rayos catódicos sea una tecnología de tubos de vacío. Una vez emitidos los rayos catódicos pueden ser afectados por un campo magnético, lo que provoca una curvatura en su trayectoria; curvatura que dependerá de la velocidad de cada electrón. Este hecho permite seleccionar rayos catódicos no solo con una dirección bien determinada, sino también con una velocidad muy precisa; algo importante en el experimento de la doble rendija con electrones que confirmó la hipótesis DeBroglie sobre la dualidad onda/partícula. El trabajo extra de las baterías que se ha mencionado, inteligentemente aprovechado, puede utilizarse para amplificar señales eléctricas como las ondas de radio. Pueden diseñarse dispositivos que presenten una resistencia eléctrica controlada por una consigna de voltaje. Si enfrente del emisor de rayos catódicos colocamos un electrodo que pueda absorber los rayos catódicos (y cerrar el circuito con la batería), la corriente que circula por este electrodo depende fuertemente del potencial de dicho electrodo. Si el potencial es negativo repele los electrones y no hay corriente en el circuito de dicho electrodo. Esto es equivalente a una resistencia infinita. Si el potencial es positivo los electrones son atraídos y hay corriente en el circuito del electrodo. Pero hay mas, la corriente por el circuito del electrodo aumenta con la positividad de dicho electrodo no linealmente, sino exponencialmente. Como imagen intuitiva doblar la tensión del electrodo supone multiplicar la corriente mas de 4 veces. He aquí la capacidad de amplificación del dispositivo. Introducción al Electromagnetismo 130 Campo gravitatorio versus campo eléctrico. Tanto el campo gravitatorio como el campo eléctrico estático en medios dieléctricos verifican una misma ecuación diferencial : la ecuación de Poisson, cuya solución es de esta forma  2  k (r )   (r )  k  1  1 1   (r ' ) dv'       dS 4   r  r ' r  r' r  r'    donde Φ es la función potencial, ρ(r) es la densidad de masa/carga correspondiente y la integral de volumen se extiende al volumen determinado por la superficie cerrada S. Note el lector que la ecuación de Poisson supone que el campo en puntos interiores de una distribución de carga/masa en volumen ρ(r) está bien definido, ya que dicha ecuación incluye operaciones diferenciales sobre el campo en puntos interiores de la distribución. Un supuesto básico es que si la densidad es no nula en un volumen limitado y el volumen de integración lo extendemos tanto como queramos, entonces la contribución de la integral de superficie es prácticamente despreciable y podemos poner  (r ' )  (r )  k  dv' r  r' donde la integral se extiende a todo el espacio. Una propiedad importante de este resultado es su linealidad: si la densidad se puede expresar como una suma de varios términos tenemos  i (r ' )  (r ' ) dv'   i (r )  (r )  k  i dv'   k  i r  r' i r  r' i Esta propiedad de linealidad permite hablar en cierto modo de masas negativas en el caso del campo gravitatorio, al menos como concepto utilitario. Es el caso del campo generado por una esfera de densidad uniforme con un hueco vacío en su interior. El campo se puede ver como la composición del campo generado por la esfera sin hueco y el campo de una densidad de masa negativa asociada al hueco. Esta idea de masa negativa derivada de la linealidad de las ecuaciones es la que justifica la existencia de momentos dipolares, o en general multipolares, en el campo gravitatorio. La solución general de la ecuación de Poisson incluye una integral de superficie que normalmente se asocia a una condición de contorno. Para el campo gravitatorio la integral de superficie puede ser útil en caso de disponer de los valores del campo en la superficie en virtud de cierta simetría del campo u otra circunstancia experimental. Pero en electromagnetismo las condiciones de contorno tienen una relevancia física mas profunda, ya que existen procesos físicos de naturaleza cuántica mas allá del electromagnetismo clásico capaces de controlar o establecer valores para el campo en escalas macroscópicas. Ahora sabemos que la explicación sobre la conducción eléctrica, la exclusión del campo eléctrico estático en el interior de un conductor, los dipolos magnético/eléctricos permanentes en átomos y moléculas; todo esto es de naturaleza cuántica. Introducción al Electromagnetismo 131 Sin embargo no se conocen fenómenos cuánticos similares en el caso del campo gravitatorio. No existen fenómenos de un nivel mas fundamental que sean capaces de determinar o controlar el valor del campo en una superficie para el campo gravitatorio. Esto está en consonancia con el éxito de la relatividad general, una teoría sobre la gravedad en el contexto cosmológico; que es el estudio del universo completo. Sin embargo el fenómeno de la expansión del universo parece conducir necesariamente a unas condiciones iniciales de algún tipo sobre el campo gravitatorio en las proximidades del instante inicial del universo : el big-bang. Nota sobre distribuciones de carga generalizadas Las leyes del electromagnetismo suelen describirse en términos de densidades de carga por unidad de volumen. Sin embargo esto no es problema en caso de tener densidades de carga superficiales, lineales o puntuales. En efecto, mediante el uso de la función especial delta de Dirac (ver trabajo Sobre la ecuación de ondas) es posible representar todos estos casos formalmente como densidades por unidad de volumen: 1-Densidad volumétrica asociada a una carga puntual en reposo *  p (r )  qi (r  r i )    p dv qi donde la variable r* indica la posición de la carga y la variable independiente r numera todas las posiciones del espacio. 2-Densidad volumétrica asociada a una distribución lineal de carga  l    ( r *i , t )l *i (r  r *i )   l (r , t )    ( r*, t ) ( r  r*)dl * i donde la variable r* numera todos los puntos de la línea cargada y λ =dq/dl’* es la densidad lineal de carga. La integral representa el paso al límite cuando Δl*→0. 3-Densidad volumétrica asociada a una distribución superficial de carga  s   (r *i , t )s *i  (r  r *i )   s (r , t )    (r*, t ) (r  r*)ds * i donde la variable r* numera todos los puntos de la superficie cargada y ζ =dq/ds* es la densidad superficial de carga. La integral representa el paso al límite cuando Δs*→0.