Combinatoria e Probabilidade

i UFPR – UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PET – PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL Tutor: Eduardo Outeiral Correa Hoefel Petianos: Bruno Suzuki Carlos Alberto Rezende de Carvalho Júnior Carolina de Almeida Santos Pinotti Duarte Kenyu Murakami Érika Sathie Takatsuki Isabella Cordeiro Bruz Jânio Jesus de Cardoso Larissa Kovalski Luana Leal Lucas de Siqueira Matheus Augusto Bannack Diniz Thamara Petroli Site: http://petmatufpr.wordpress.com/ Telefone: (41) 3361-3672 Data do Curso: 11 a 14 de Julho de 2011 Horários: das 9h às 12h30 (turma da manhã) das 14h às 17h30 (turma da tarde) Local de Realização: Centro Politécnico - UFPR Curitiba, 2011. ii Sumário I Matemática Básica 1 1 Frações 1.1 Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Multiplicação e Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 2 Potenciação 2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 3 Príncipio da Contagem 3.1 Princípio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Princípio Aditivo da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 11 4 Fatorial 4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 13 14 II 15 Probabilidade 5 História 6 Conceito de Probabilidade 6.1 Definicões Básicas . . . . . . . 6.2 Regras “e” e “ou” . . . . . . . 6.2.1 Propriedade . . . . . . 6.2.2 Definições e Exemplos 6.3 Exercícios . . . . . . . . . . . 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 21 21 22 23 7 Curiosidade 25 8 Exercícios Complementares 27 III 35 Análise Combinatória 9 Introdução 37 iii SUMÁRIO iv 9.1 9.2 9.3 Princípio da Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arranjos com repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arranjos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 39 40 10 Permutação simples 45 11 Combinações 47 12 Jogo da Senha 12.1 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Como funciona o jogo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Analisando o jogo matematicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 49 51 IV 53 Matrizes 13 Matrizes 13.1 Propriedades de Operações com Matrizes 13.1.1 Adição e Subtração . . . . . . . . 13.1.2 Multiplicação por Escalar . . . . 13.1.3 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 56 56 57 57 14 Probabilidades 59 15 Cadeias de Markov 63 16 Exercícios 67 17 Cubo Mágico 71 V 73 Polinômios e suas Aplicações 18 Polinômios 18.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Identidade de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Soma e Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Valor numérico - Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.1 Método 1: Método da Chave . . . . . . . . . . . 18.5.2 Método 2: Identidade de Polinômios (Descartes) 18.5.3 Método 3: Algoritmo de Briot-Ruffini . . . . . . 18.6 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 76 76 78 78 79 80 81 82 19 Binômio de Newton 19.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 O binômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 O termo geral de um binômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 85 85 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SUMÁRIO v 20 Exercícios 89 21 Aplicações 21.1 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 93 95 Referências Bibliográficas 97 vi SUMÁRIO Parte I Matemática Básica 1 Capítulo 1 Frações Antes de iniciar o estudo de Análise Combinatória e Probabilidade, devemos nos recor- dar de alguns conteúdos que são a base necessária para o estudo daquelas duas áreas. Esses conteúdos são: Frações e Fatorial. Nos dois capítulos a seguir iremos tratar desses dois assuntos da matemática com o intuito de relembrar suas propriedades básicas, que são primordiais para o pleno aprendizado de combinações, arranjos, probabilidade e permutações. Muitas pessoas pensam que determinados assuntos da Matemática não são tão importantes quanto outros, como as Frações, por exemplo. Mas as frações são um conteúdo base da matemática, que será revisto diversas vezes e muitas dessas vezes não será relembrado, apenas cobrado. Então faz-se importante o bom aprendizado quando é ensinado, no Ensino Fundamental. Como esse assunto muitas vezes não é muito bem passado aos alunos nessas séries, vamos relembrar para que não haja dúvidas quanto a isso nesse curso. As frações estão sempre presentes no dia-a-dia das pessoas. Muitos acham que não, mas na realidade estão. É fácil encontrar um problema que precisamos resolver somando algumas frações de algum produto ou alimento, ou então dividir um chocolate, uma pizza, entre diversas pessoas, por exemplo. A seguir vamos introduzir as propriedades de frações, como devemos proceder no caso de querermos somar ou subtrair, multiplicar ou dividir fração por fração. Mas, antes, vamos introduzir um problema para ver o quanto sabemos sobre frações. Problema 1.1. Na classe de Marcos, Josué e Lígia há 30 alunos, dos quais 18 são meninos. Como indicar a quantidade de meninos em relação ao total de alunos da classe? Podemos responder a essa questão de três maneiras diferentes:1 a) Na forma de fração: 18 em 30 → 1 Problema tirado da referência [2] 3 9 ÷3 3 18 ÷2 = = 30 ÷2 15 ÷3 5 CAPÍTULO 1. FRAÇÕES 4 b) Na forma decimal: 18 em 30 → 6 18 ÷3 = = 0, 6 30 ÷3 10 c) Na forma de porcentagem: 6 ·10 60 18 ÷2 = = = 60% 18 em 30 → 30 ÷2 10 ·10 100 1.1 Adição e Subtração Para somar e subtrair frações devemos utilizar o seguinte algoritmo: a c ± = b d ± mmc(b,d)·c d mmc(b, d) mmc(b,d)·a b Ou seja, para entendermos melhor, vamos resolver alguns exercícios:2 1 1 1 Exercício 1.1.1. Dados x = − , y = − e z = , calcule: 5 2 3 a) x + y b) x + z c) x − y d) x − z e) −x + y f) −x + z g) x + y + z h) −x − y − z i) −x − y j) −y − z 1 1 1 Exercício 1.1.2. Dados x = − , y = − e z = − , calcule: 2 3 4 a) x + (y + z) b) x − (y + z) c) y − (x + z) 2 Exercícios retirados da referência [3] 1.2. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 5 d) (z − x) + y e) (x + y) − z f) z − (−x − y) Temos então, pelo Exercício 1.1.2 que as propriedades associativas e comutativas que são válidas para os números inteiros, serão também válidas para os racionais. 1.2 Multiplicação e Divisão Agora que já pudemos relembrar bem como somar e subtrair frações, vamos relembrar a multiplicação e divisão. Da mesma forma que somar e dividir, introduziremos um algoritmo para essas outras duas operações: - Multiplicação: - Divisão: a c a·c · = b d b·d a c a d a·d : = · = b d b c b·c Resolva os exercícios a seguir:3 Exercício 1.2.1. Calcule o produto:   8 1 1 a) · · − 2 3 5       2 1 3 b) − · − · − 3 4 7 1 3 10 · · 5 7 9   3 6 ·0 d) − · 4 16     8 6 e) (−1) · − · − 9 5   1 5 · f) 0 · − 7 6 c) Exercício 1.2.2. Determine o valor das expressões:   1 a) −5 + ·6 2 3 Exercícios tirados da referência [3] CAPÍTULO 1. FRAÇÕES 6 b) c) d) e) f)   5 1 8+ − · 4 2   8 1 · 6− − 2 3     5 3 4 · − − − 25 12 4         3 1 16 1 3 − − · − −5· − · − 4 4 3 9 5     5 1 1 1 1 · − − − + 5 2 2 2 4 Exercício 1.2.3. Efetue as seguintes divisões: 1 30   3 9 : − 5 20   4 −4 : − 7     5 2 : − − 5 2   5 1: − 8 a) −5 : b) c) d) e) f) (1, 6) : g) 2 3 5 : (−3) 4 h) (−0, 5) : 1 10 i) 6 36 : 5 45 j) 3 : (−1) 16 Para terminar de relembrar sobre as frações, resolva este desafio:4 Desafio 1.2.1. O gráfico de setores ao lado mostra o faturamento mensal de um pequeno shopping. Observe: 4 Desafio retirado da referência [4] 1.2. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO - Alimentação: 1 do faturamento 8 - Eletrodomésticos: - Roupas: 1 do faturamento 4 7 do faturamento 16 - Brinquedos: (?) do faturamento Encontre a fração correspondente ao faturamento do setor de brinquedos. 7 8 CAPÍTULO 1. FRAÇÕES Capítulo 2 Potenciação 2.1 Definição Definição 2.1 (Potência de expoente inteiro). Sendo a um número real e n um número inteiro, tem-se que: an = a | · a ·{z. . . · a}, se n > 1 nf atores 1 a =a a0 = 1 1 a−n = n a Exemplo 2.1. a) (−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8 b) 53 = 5 · 5 · 5 2.2 Propriedade Propriedade 2.1. Dados os números reais a e b e os números inteiros m e n, obedecidas as condições de existência, temos: I. am · an = am+n (conserva-se a base e adicionam-se os expoentes) II. am : an = am−n (conserva-se a base e subtraem-se os expoentes) III. (am )n = amn (conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes) IV. (ab)m = am · bm (distributiva da potenciação em relação à multiplicação)  a m am = m (distributiva da potenciação em relação à divisão) V. b b Exemplo 2.2. a) 53 · 54 = 53+4 = 57 b) 36 : 34 = 36−4 = 32 9 CAPÍTULO 2. POTENCIAÇÃO 10 Exercício 2.1. Calcule os valores das potências: a) 62 b) (−6)2 c) −62 d) (−2)3 e) −23 f) 50 g) (−8)0 h) 34 4 34 i) − 4 j) 028 l) 132 m) (−1)20 n) (−1)17 o) 4−2 Capítulo 3 Príncipio da Contagem 3.1 Princípio Fundamental da Contagem “Se um experimento E apresenta n resultados distintos e um experimento F apresenta k resultados distintos, então o experimento composto de E e F , nessa ordem, apresenta n · k resultados distintos”. De forma geral, podemos dizer: “Se k experimentos E1 , E2 , . . . , Ek tem n1 , n2 , . . . , nk resultados distintos, então o experimento composto de E1 , E2 , . . . , Ek , nessa ordem, apresenta n1 · n2 · . . . · nk resultados distintos”. Sobre essa parte de contagem, vamos resolver alguns exercícios para fixar bem a ideia.1 Exercício 3.1.1. Um experimento consiste em lançar um dado e uma moeda sobre uma mesa. Um resultado desse experimento é o par (5, cara), por exemplo, isto é, face 5 no dado e face cara na moeda. Quantos são os possíveis resultados desse experimento? Exercício 3.1.2. Um experimento consiste em lançar um dado e uma moeda e retirar uma etiqueta de uma urna que contém quatro etiquetas de cores diferentes: azul, vermelha, preta e branca. Um resultado desse experimento é, por exemplo, o terno (5, cara, A), isto é, face 5 no dado, face cara na moeda e cor azul na etiqueta. Quantos são os possíveis resultados desse experimento? Exercício 3.1.3. Quantos números naturais pares, de quatro algarismos, podem ser formados com os algarismos 1,2,3,5,7 e 9? 3.2 Princípio Aditivo da Contagem Temos que alguns resultados da teoria dos conjuntos são importantes aplicações na análise combinatória. Vamos então introduzir o cálculo do número de elementos da união de dois conjuntos finitos, como: 1 Exercícios da referência [1] 11 CAPÍTULO 3. PRÍNCIPIO DA CONTAGEM 12 “Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A E B é dado por: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) em que o símbolo n(. . .) representa o número de elementos do conjunto indicado entre parênteses”.2 Observação 3.2.1. Se A e B forem conjuntos disjuntos, ou seja, A ∩ B = φ. Dessa forma, teremos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B). Resolva os exercícios a seguir:3 Exercício 3.2.1. Dois conjuntos, A e B, são tais que n(A) = 25, n(B) = 29 e n(A∩B) = 10. Determine o número de elementos de A ∪ B. Exercício 3.2.2. Quantos números naturais pares, menores que 4.000, com quatro algarismos distintos, podem ser formados com os algarismos 0,1,2,3,4,5 e 7? Exercício 3.2.3. Um jornal terá 12 páginas. O diagramador deve distribuir 6 fotos diferentes em 6 páginas do jornal, de modo que não apareçam duas dessas fotos em páginas consecutivas. De quantas maneiras diferentes o diagramador pode distribuir essas fotos? 2 3 Definição da referência [1] Tirados da referência [1] Capítulo 4 Fatorial A dotamos o símbolo n! (lê-se: “fatorial de n”) quando queremos indicar o produto dos números naturais consecutivos n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1, onde n ≥ 2. O fatorial surgiu quando houve a necessidade de multiplicar diversos números consecutivos de maneira mais simplificada. A notação auxilia em problemas que envolvem cálculos trabalhosos, permitindo apresentar soluções mais abreviadas. 4.1 Definição Seja n um número natural, com n ≥ 2. Define-se o fatorial de n, que indicamos por n!, como o produto dos números naturais consecutivos: n, (n − 1), (n − 2), . . . , 1 isto é: n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 1 Essa definição1 nos permite entender os seguintes exemplos: Exemplo 4.1.1. a) 2! = 2 · 1 = 2 b) 3! = 3 · 2 · 1 = 6 c) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 d) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 4.2 Propriedade Quando calculamos o fatorial de um número natural, podemos perceber que 10! = 10 · 9!. Generalizando, temos a seguinte propriedade: Propriedade 4.2.1. n! = n · (n − 1)! = n · (n − 1) · (n − 2)! = . . . para n ∈ N, com n ≥ 3. 1 Definição da referência [1] 13 CAPÍTULO 4. FATORIAL 14 Podemos, entretanto, estender a definição de fatorial definindo para n = 0 e n = 1. Dessa forma, definindo 1! = 1 e 0! = 1, temos n! = n · (n − 1)!, ∀n ∈ N∗ 4.3 Exercícios Nesta seção temos mais alguns exercícios para resolver:2 Exercício 4.3.1. Simplificar as frações: a) 8! 7! b) 8! 6! c) 3! 5! d) 7! · 9! 8! · 5! Exercício 4.3.2. Resolver a equação (n + 1)! = 20. (n − 1)! Exercício 4.3.3. Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: I. 3! + 2! = 5! II. 3! · 2! = 6! III. 4! + 4! = 2 · 4! IV. n! = n(n − 1)(n − 2)!, para todo n ∈ N e n ≥ 2 V. n! = n(n − 1)(n − 2)!, para todo n ∈ N∗ Exercício 4.3.4. Resolva as equações: a) (n + 2)! = 12 n! b) 1 (n + 1)! = (n + 3)! 20 c) (n − 2)! 1 = (n − 1)! 5 Exercício 4.3.5. Determine o conjunto dos valores de n, tais que 2 Retirados da referência [1] n! + (n + 1)! = 15. (n − 1)! Parte II Probabilidade 15 Capítulo 5 História “N o ano de 1654, um jogador da sociedade parisiense, Chevealier de Mére, propôs ao matemático Blaise Pascal algumas questões sobre possibilidade de vencer em jogos. Uma das questões foi: “Um jogo de dados entre dois adversários chega ao fim quando um dos jogadores vence três partidas em primeiro lugar. Se esse jogo for interrompido antes do final, de que maneira cada um dos jogadores deverá ser indenizado? As reflexões as respeito dos problemas propostos por De Mére levaram Pascal a corresponde-se com Pierre de Fermat, o que desencadeou discussões a respeito dos princípios de uma nova teoria que veio ser chamada de Teoria das Probabilidades”. 17 18 CAPÍTULO 5. HISTÓRIA Capítulo 6 Conceito de Probabilidade “U m automóvel será sorteado entre os clientes de um shopping center. Paulo depositou 50 cupons em uma das urnas espalhadas pelo shopping, e Janete depositou 20 cupons. Hoje, dia de sorteio, os conteúdos de todas as urnas foram juntados, formando um monte com 10.000 cupons. Um representante do shopping vai sortear um cupom. É possível medir a possibilidade de cada um ganhar o automóvel. Como Paulo tem 50 a medida 50 cupons dentre os 10.000 que participam do sorteio, indicamos por 10.000 da possibilidade de Paulo ganhar; de maneira análoga, a medida da possibilidade de 50 20 20 . As frações e são chamadas de probabilidade Janetee ganhar é 10.000 10.000 10.000 de Paulo e Janete ganharem, respectivamente. Esse exemplo ajuda a entender que a probabilidade é um número que mede a possibilidade de ocorrer — ou não — um resultado”.1 Entendendo o problema acima podemos entender o que é de fato probabilidade. A chance de um evento ocorrer em um certo problema, como “Qual a chance de chover hoje?” poderia ser trocado por “Qual a probabilidade de chover hoje?”. Então podemos ver que a probabilidade é mais comum no nosso cotidiano do que parece. 6.1 Definicões Básicas Definição 6.1.1 (Experiência Aleatória). Consiste em observar uma amostra de uma variável aleatória. Por exemplo: lançamento de uma moeda — observar a face da moeda, cara ou coroa. Temos duas condições para que a experiência seja aleatória: 1. Deve ser possível repetir indefinidamente a experiência; 2. Não deve ser possível influenciar no resultado. Os resultados podem apresentar variações de modo que sejam repetidos em condições uniformes (equiprováveis) onde se possa ter o controle dos resultados. 1 Problema tirado da referência [1] 19 CAPÍTULO 6. CONCEITO DE PROBABILIDADE 20 Definição 6.1.2 (Expaço amostral (Ω)). É o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Esses podem ser de natureza QUALITATIVA ou QUANTITATIVA. Definição 6.1.3 (Evento (E)). É qualquer subconjunto de Ω, isto é, qualquer resultado possível da experiência aleatória. Definição 6.1.4 (Clássica de Probabilidade). Dada uma experiência aleatória uniforme e equiprovável, tem-se #E P (E) = #Ω onde #E: número de casos favoráveis e #Ω: número total de casos no experimento. Definição 6.1.5 (Axiomática). Dado uma experiência aleatória definida em Ω, chama-se P (E) a probabilidade de ocorrência o evento E desde que sejam satisfeitas as seguintes condições: (i) 0 ≤ P (E) ≤ 1 (ii) P (Ω) = 1 (iii) Se E1 e E2 forem mutualmente exclusivos, então P (E1 ∪ E2 ) = P (E1 ) + P (E2 ) Propriedade 6.1.1. 1. Sendo ∅ um evento impossível, P (∅) = 0 2. Se E é o complementar de E, então P (E) + P (E) = 1 3. Dado um evento E qualquer, então P(E) = 1. 4. Sejam E1 e E2 eventos quaisquer no mesmo espaço Ω. Se E1 ⊂ E2 , então P (E1 ) ≤ P (E2 ) Veja os exemplos a seguir:2 Exemplo 6.1.1. No experimento aleatório “lançamento de uma moeda”, temos com espaço amostral o conjunto E = {c, k}, em que c representa a face cara e k a face coroa. Indicamos o número elemento de E pelo símbolo n(E) assim: n(E) = 2. O conjunto A = c é um evento de E. Note que n(A) = 1 Exemplo 6.1.2. No experimento “lançamento de um dado” temos como espaço amostral o conjunto E = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Portanto: n(E) = 6. O conjunto B = 1, 2 é um evento de E. Note que n(B) = 2. 2 Exemplos tirados da referência [1] 6.2. REGRAS “E” E “OU” 21 Exemplo 6.1.3. No experimento “lançamento de dois dados”, temos como espaço amostral o conjunto: E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), . . . , (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), . . . , (3, 6), .. . (6, 1), (6, 2), (6, 3), . . . , (6, 6)} Logo: n(E) = 36. Agora resolva os exercícios a seguir:3 Exercício 6.1.1. No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de se obter a face cara? Exercício 6.1.2. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter, na face voltada para cima, o número de pontos igual a três? Exercício 6.1.3. Uma urna contém exatamente 1000 etiquetas, numeradas de 1 a 1000. Retirando uma etiqueta dessa urna qual é a probabilidade de obtermos um número menor que 51? Exercício 6.1.4. Um dado é lançado três vezes. a) O espaço amostral E desse experimento é formado por termos ordenados, que indicam o número de pontos obtidos em cada lançamento, por exemplo: (6,6,3). Usando o princípio fundamental de contagem, calcule o número de elementos desse espaço amostral. b) Calcule a probabilidade de se obter nos três lançamentos o mesmo número de pontos. Exercício 6.1.5. Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se um bola dessa urna, a probabilidade de se obter uma bola vermelha é 0, 64. Qual é a probabilidade de se obter uma bola que não veja vermelha? 6.2 6.2.1 Regras “e” e “ou” Propriedade Propriedade 6.2.1.1. Sejam E1 , E2 dois eventos aleatórios. 1. Se queremos que a probabilidade de E1 e E2 ocorrerem é de: P (E1 ) · P (E2 ). 2. Se queremos que a probabilidade de E1 ou E2 ocorrerem é de: P (E1 ) + P (E2 ). 3 Exercícios da referência [1] CAPÍTULO 6. CONCEITO DE PROBABILIDADE 22 Exercício 6.2.1.1. No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de se obterem uma cara e uma coroa? Exercício 6.2.1.2. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter, nas faces voltadas para cima, a soma dos pontos igual a cinco? 6.2.2 Definições e Exemplos Definição 6.2.2.1 (Adição de Probabilidades). Sejam A e B eventos de um espaço amostral E finito e não vazio. A probabilidade de ocorrer um elemento de A ou um elemento de B, indicada por: P (A ∪ B), é: P (A ∪ B) = n(A ∪ B) n(E) Exemplo 6.2.2.1. Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 4 bolas brancas. Retira-se ao acaso uma bola da urna. Qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha ou uma bola azul? Resolução: E = {x; x é a bola da urna}, n(E) = 12. Consideremos dois eventos: A = {y ∈ E; y é bola vermelha}, n(A) = 5 e B = {z ∈ E; z é bola azul}, n(B) = 3. Observa-se que A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A ∩ B = ∅. Logo, temos: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) → P (A ∪ B) = 5 3 2 + = 12 12 3 Definição 6.2.2.2 (Probabilidade Condicional). A probabilidade de ocorrer o evento B, dado que ocorreu o evento A, é indicada por: P (B/A), lê-se: “probabilidade de B dado A”, e é calculada por: n(A ∩ B) P (B/A) = n(A) Exemplo 6.2.2.2. Uma moeda é lançada duas vezes. Vamos calcular a probabilidade de obtermos cara no segundo lançamento sabendo que obtivemos cara no primeiro lançamento. Resolução: Temos dois eventos a considerar: cara no primeiro lançamento, B = {(C, C)(C, K)} e cara no segundo lançamento, A = {(C, C)(K, C)}. Como sabemos que ocorreu o evento B, temos que o evento A só pode ter ocorrido na interseção de A e B: n(A ∩ B) 1 P (A/B) = = . n(B) 2 6.3. EXERCÍCIOS 23 Definição 6.2.2.3 (Multiplicação de Probabilidade). Se A e B forem eventos independentes, então P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Exemplo 6.2.2.3. Uma urna contém exatamente 7 bolas: 4 azuis e 3 vermelhas. Retirase ao acaso, uma bola da urna registra-se sua cor e repõe-se a bola na urna. A seguir retirase, novamente ao acaso, uma bola da urna registra-se sua cor. Qual é a probabilidade de sair uma bola azul e depois uma vermelha? Resolução: Queremos que a primeira bola retirada seja azul e a segunda vermalha. A probabilidade 3 4 da primeira bola ser azul é , e a probabilidade de e a segunda bola ser vermelha é . 7 7 4 3 12 Assim, a probabilidade de obtermos a sequência azul e vermelha é: P = · = . 7 7 49 6.3 Exercícios Exercício 6.3.1. Na gôndola de um supermercado há somente sabonetes azuis ou da marca Tux, num total de 140 unidades, sendo 80 azuis e 100 na marca Tux. Retirando-se ao acaso um sabonete desta góndola, qual a probabilidade de se obter um sabonete azul da marca Tux? Exercício 6.3.2. Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se ao acaso uma bola da urna, qual é a probabilidade de se obter uma bola branca ou uma bola verde? Exercício 6.3.3. Uma pesquisa feita com 70 pessoas revelou que 35 já consumiram o produto A, 50 já consumiram o produto B e 5 ainda não consumiram nem A nem B. Escolheu-se uma dessas 70 pessoas, ao acaso, constatando-se que ela já havia consumido o produto A. Qual é a probabilidade que essa pessoa também tenha consumido o produto B? Exercício 6.3.4. Uma moeda é lançada 8 vezes. Considera-se como resultado a sequência formada pelas faces da moeda voltada para cima, cara (C) ou coroa (K), na ordem dos lançamentos. Qual é a probabilidade de ocorrer uma sequência com 5 caras e 3 coroas? 24 CAPÍTULO 6. CONCEITO DE PROBABILIDADE Capítulo 7 Curiosidade1 - O aniversário de alguém versus um certo aniversário “As surpreeendentes semelhanças das coincidências são perfeitamente ilustradas com o seguinte resultado probabilístico, aliás, bastante conhecido: como o ano tem trezentos e sessenta e seis dias (se contarmos o dia 29 de Fevereiro), teriam de se reunir trezentas e sessenta e sete pessoas para podermos ter a certeza absoluta de que pelo menos duas delas partilham a mesma data de aniversário. Por quê? Suponhamos que nos contentávamos com um grau de certeza de cinquenta por cento. Quantas pessoas teríamos de ter no grupo para que a probabilidade de haver duas delas com a mesma data de aniversário se concretizasse? Uma primeira suposição apontaria para cento e oitenta e três, isto é, perto de metade de trezentos e sessenta e cinco. A resposta, surpreendente, é de que só precisamos de vinte e três pessoas. Dito de outra forma, em metade das ocasiões em que se reúnem vinte e três pessoas escolhidas ao acaso, duas ou mais compartilharão a mesma data de nascimento. Para os leitores que não quiserem aceitar este fato do pé para a mão, aqui deixo uma curta derivação. De acordo com o princípio da multiplicação, o número de maneiras em que cinco datas podem ser escolhidas (permitindo-se repetições) é de (365 × 365 × 365 × 365 × 365). De todas estas 3655 maneiras, contudo, só (365 × 364 × 363 × 362 × 361) podem coexistir de modo a que não haja duas datas iguais; qualquer dos trezentos e sessenta e cinco dias pode ser escolhido em primeiro lugar, o mesmo sucedendo com os retantes trezentos e sessenta e quatro para o segundo lugar, e assim por diante. Deste modo, se dividirmos este último produto (365 × 364 × 363 × 362 × 361) por 3655 , obtemos a probabilidade de cinco pessoas escolhidas ao acaso não terem em comum a data de nascimento. Ora bem, se subtrairmos esta probabilidade a umn (ou a cem por cento, se estivermos a trabalhar com percentagens), obtemos uma probabilidade complementar em que pelo menos duas das cinco pessoas têm a mesma data de nascimento. Um cálculo 1 semelhante, mas usando vinte e três pessoas no lugar de cinco, dá-nos , ou cinquenta 2 por cento, como probabilidade para que pelo menos duas das vinte e três pessoas tenham a mesma data aniversária. 1 Texto tirado integralmente da referência [5] 25 26 CAPÍTULO 7. CURIOSIDADE Aqui há dois anos atrás, um convidado do programa de Johnny Carson tentou explicar estes fatos. Johnny Carson não acreditou no que o convidado disse; no entanto, depois de observar que havia cerca de cento e vinte pessoas no estúdio a assistirem ao programa, perguntou quantas delas faziam anos num dia qualquer, neste caso em 19 de Março. Ninguém levantou o braço, e o convidado, que não era um matemático, disse qualquer coisa incompreensível em sua defesa. Aquilo que devia ter dito é que são necessárias vinte e três pessoas para termos cinquenta por cento de certeza em como há algum dia de nascimento em comum, e não um certo aniversário específico em comum, como o dia 19 de Março proposto por Carson. Para termos cinquenta por cento de certeza de que alguém no grupo compartilha o dia 19 de Março como data de nascimento, precisamos de um número maior de pessoas, duzentos e cinquenta e três para sermos exatos. Uma breve derivação deste último aspecto: como a probabilidade do aniversário de 364 uma dada pessoa não cair no dia 19 de Março é de , e como as datas de nascimento 365 são independentes, a probabilidade de duas pessoas não terem ambas nascido a 19 de 364 364 Março é de × . Assim, a probabilidade de N pessoas não compartilharem o dia 365 365 N  364 19 de Março como data de nascimento é igual a , o que, quando N = 253, nos 365 1 dá um valor muito próximo do . Portanto, a probabilidade complementar de que pelo 2 menos uma dessas duzentas e cinquenta e três pessoas tenha nascido a 19 de Março é 1 também de , ou cinquenta por cento”. 2 Capítulo 8 Exercícios Complementares Exercício 8.1. Uma moeda é lançada três vezes. a) Indicando por C e K as faces cara e coroa, respectivamente, contrua o espaço amostral E desse experimento b) Qual é a probabilidade de se obterem pelo menos duas caras? c) Qual é a probabilidade de se obterem no máximo duas caras? Exercício 8.2. Formam-se todos os números naturais de cinco algarismos distintos com os algarismos, 1, 2, 3, 4, e 5. Sorteando-se um desses números, qual é a probabilidade de se obter um número par? Exercício 8.3. Uma urna contém precisamente nove bolas: 3 brancas, 2 pretas e 4 azuis. Retirando-se três bolas da urna, uma de cada vez e com reposição, calcule a probabilidade de saírem: a) A primeira bola branca, a segunda bola preta e a terceira bola azul; b) Três bolas de cores diferentes; c) Três bolas azuis. Exercício 8.4. Considerando todas as retas determinadas pelos oitos vértices do cubo ABCDEFGH abaixo. Sorteando-se uma dessas retas, qual é a probabilidade de que ela passe pelo vértice G? 27 28 CAPÍTULO 8. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Exercício 8.5. No lançamento de cinco dados, calcule a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos nas faces voltadas para cima não ultrapasse o valor 30. Exercício 8.6. O segmento AB é o diâmetro da circunferência ao lado. Sorteando-se um triângulo com vértices em três dos pontos, A, B, C, D, E, F e G, calcule a probabilidade de que esse triângulo não seja retângulo. Exercício 8.7. Um dado é lançado três vezes. O resultado do experimento é o terno ordenado (x, y, z) em que x, y e z são os números de pontos obtidos no primeiro, segundo e terceiro lançamento, respectivamente. a) Qual é a probabilidade de se obter um termo em que o produto de três números seja ímpar? b) Qual é a probabilidade de se obter um termo em que o produto de três números seja par? Exercício 8.8. A probabilidade de um piloto vencer uma corrida é o triplo da probabilidade de perder. Qual é a probabilidade de que esse piloto vença a corrida? Exercício 8.9. (UFPE) Uma prova de Matemática é constituída de 16 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas, das quais deve ser assinalada como resposta apenas uma. Respondendo ao acaso todasas questões, o número de maneiras diferentes que se pode preencher o cartão de resposta é? 29 Exercício 8.10. Cada linha telefônica de uma cidade é identificada por uma sequência de sete algarismos, com os três primeiros não nulos e distintos entre si, podendo haver repetições dentre os demais algarismos. A partis do próximo mês, cada linha será identificada por uma sequência de oito algarismos, com os três primeiros não nulos e distintos entre si, podendo haver repetição dentre os demais algarismos. Com essa mudança, o acréscimo no número de linhas telefônicas dessa cidad será? Exercício 8.11. Uma urna contém quatro bolas azuis, numeradas de 1 a 4, e cinco bolas amarelas, numeradas de 1 a 5. Sorteando-se um bola dessa urna, qual é a probabilidade de que seja azul ou tenha número ímpar? Dica: Resolva esse problema de dois modos diferentes: primeiro aplicando o teorema da adição de probabilidade; depois, aplicando apenas a definição de probabilidade. Exercício 8.12. Um número será sorteando dentre os números naturais de 1 a 1.000. A probabilidade de que saia um número par ou um número de dois algorismos é . . .? Exercício 8.13. Dentre os automóveis estocados o pátio de uma montadora, escolhe-se 5 um, ao acaso. A probabilidade de que o automóvel escolhido tenha freio ABS é , a 8 2 probabilidade de que ele tenha direção hidráulica é e a probabilidade de que ele tenha 3 11 . A probabilidade de que esse automóvel tenha freio freio ABS e direção hidráulica é 24 ABS ou direção hidráulica é? Exercício 8.14. Dois eventos, A e B, de um espaço amostral E são mutuamente excluP (B) 2 , calcule P (B). sivos. Sabendo que P (A ∪ B) = e que P (A) = 3 4 Exercício 8.15. Um dado foi lançado sobre uma mesa, considerando-se como resultado o número de pontos de face voltada para cima. Considere E o espaço amostral desse experimento, e os eventos A = {x ∈ E|x < 5} e B = {y ∈ E|y > 2} a) Represente em um diagrama os conjuntos E, A e B. b) Calcule a probabilidade de, nesse lançamento, ter ocorrido um número maior que 2, sabendo que ocorreu um número menor que 5. Exercício 8.16. Calcule: a) 7! b) 3! · 2! c) 4! − 2! CAPÍTULO 8. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 30 d) 0! 3! Exercício 8.17. Dois eventos, A e B, de um espaço amostral equiprovável E, finito, são 3 2 tais que P (A ∪ B) = e P (A) = . Calcule P (B/A). 5 3 Exercício 8.18. De uma urna com exatamente 5 bolas de cores diferentes, azul, vermelha, verde, marrom e preta são sorteadas 2 bolas, uma de cada vez. a) Sabendo que na primeira retirada saiu uma bola vermelha e que esta foi reposta na urna, calcule a probabilidade de a segunda bola retirada se vermelha. b) Sabendo que na primeira retirada saiu uma bola vermelha e que esta não foi reposta na urna, calcule a probabilidade de a segunda bola retirada ser vermelha. Exercício 8.19. Uma urna contém exatamente 7 bolas: três brancas, e quatro pretas. Retirando-se sucessivamente e sem reposição três bolas; qual é a probabilidade de: a) Saírem as duas primeiras bolas pretas e terceira branca? b) Saírem duas bolas pretas e uma branca? c) Sair pelo menos uma bola branca? Exercício 8.20. Uma urna contém 6 bolas de cores diferentes entre si, sendo que uma delas é vermelha. Retiram-se 4 bolas dessa urna, uma de cada vez e sem reposição. Considerando a ordem de retirada, quantas sequências de cores são possíveis de modo que a primeira bola retirada não seja vermelha? Exercício 8.21. (UFC - CE) Considere os números inteiros ímpares maiores que 64.000 que possuem cinco algarismos, todos distintos, e que não contêm os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é? Exercício 8.22. Dispõe-se de 6 cores de tinta, sendo uma delas amarela. De quantas maneiras diferentes pode-se pintar um painel composto de quatro quadradinhos consecutivos, de modo que cada quadradinho tenha uma só cor, não haja dois quadradinhos adjacentes com a mesma cor e o primeiro quadradinho da esquerda seja amarelo, podendo-se repetir uma ou mais cores tantas vezes quantas forem possíveis? Exercício 8.23. (UEL - PR) Devido à ameaça de uma epidemia de sarampo e rubéola, os 400 alunos de uma escola foram consultados sobre as vacinas que já haviam tomado. Do total, 240 haviam sido vacinados contra sarampo e 100 contra rubéola, sendo que 80 não haviam tomado nenhuma dessas vacinas. Tomando - se ao acaso um aluno dessa escola, a probabilidade de ele ter tomado as duas vacinas e? 31 Exercício 8.24. (Cesgranrio) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0, 1, 2, 3, 4) e quatro letras (X, Y, Z, W). O segredo do cofre é uma sequência de três algarismos seguidos de duas letras. Qual é a probabilidade de uma pessoa, numa única tentativa, ao acso abrir o cofre? Exercício 8.25. (Enem - Mec) Um município de 628 km2 é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura abaixo. Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente? Exercício 8.26. (Unopar - PR) Cada uma das dez questões de uma prova apresenta uma única afirmação, que deve ser classificada com V (verdadeira) ou F (falsa). Um aluno. que nada sabe sobre a matéria, vai responder a todas as questões ao acaso. A probabilidade que ele tem de não tirar zero é? Exercício 8.27. Em uma conferência estão reunidos cinco mulheres e sete homens, matemáticos; quatro mulheres e oito homens, físicos; seis mulheres e quarto homens, químicos. Uma pessoa é escolhida, ao acaso, para presidir a conferência. Qual é a probabilidade de que essa pessa seja mulher ou matemático(a)? Exercício 8.28. Uma pesquisa é realizada entre 50 leitores de jornais. Conclui-se que 35 pessoas lêem o jornal A, 34 lêem o jornal B e 3 lêem outro jornal. Escolhida ao acaso uma dessas 50 pessoas, qual é a probabilidade de que ela seja leitora dos jornais A e B? Exercício 8.29. Ums pesquisa realizadaa em dois bancos A e B, revelou que 40% dos funcionários do banco A e 30% dos funcionários do banco B têm nível universitário. Escolhendo-se, aleatoriamente, um funcionário de cada banco, a probabilidade de que pelo menos um dos escolhidos tenha nível universitário é? 32 CAPÍTULO 8. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Exercício 8.30. Duas linhas de ônibus ligam duas cidades A e B, e três linhas de ônibus ligam as cidades B e C, conforme mostra o esquema abaixo a) De quantas modos diferentes um usuário pode escolher uma sequência dessas linhas, indo de A para C, passando por B? Dica: Esse experimento é composto de dois outros: primeiro ir de A para B, e depois de B para C. b) De quantos modos diferentes um usuário pode escolher uma sequência dessas linhas, fazendo o trajeto de ida e volta de A para C, passando por B, na ida e na volta, de moso que na volta ele não possa usar a mesma linha que usou na ida? Exercício 8.31. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6? Exercício 8.32. Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo secreto é um número natural de cinco algarismos distintos e não-nulos. Com o objetivo de acessar esse arquivo o hacker programou o computador para testar esses números um a um, demorando 5 segundos em cada tentativa. O tempo máximo para que o arquivo seja aberto é . . .? Exercício 8.33. Considere placas de automóvel formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. a) Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A,B, C, D, e com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? b) Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A, B, C, D, e com os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5 sem repetir as letras e os números? c) Quantas placas diferentes podem ser formadas, com pelo menos um algarismo não nulo, dispondo-se das 26 letras do alfabeto e dos 10 algarismos do sistema decimal (incluímos Y, W e K)? Exercício 8.34. (Uespi)Em um prédio, o número de apartamentos habitados é o triplo do número de apartamentos desabitados. Escolhendo-se, aleatoriamente, um apartamento desse prédio, a probabilidade de que ele esteja desabitado é . . .? Exercício 8.35. Dois conjuntos, A e B são tais que n(A) = 25, n(B) = 29 e n(A∩B) = 10. Determine o número de elementos de A ∪ B? 33 Exercício 8.36. Calcule a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e 3.000 que podemos representar utilizando somente os algarismos 1, 2, 3, 5, 7, e 8, de modo que não figurem algarismos repetitivos. Exercício 8.37. Quantos números naturais maiores que 4.50 e de quatro algarismos distintos podemos representar com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, e 7? Exercício 8.38. Simplifique as frações: a) 6! 3! b) 4! 6! c) 5! · 8! 4! · 7! d) n! (n − 1)! e) n! (n + 2)! f) (n − 3)! (n − 5)! Exercício 8.39. Em um programa de audiório, o apresentador explica a um participante que três etiquetas, numeradas de 1 a 3, foram distribuídas em três envelopaes, sendo que cada envelope está lacrado e contém uma única etiqueta. O participante deve colocar os envelopes sobre uma mesa, tentando formar, da esquerda para a direita, a sequência crescente: 1, 2 e 3. a) Calcule a probabilidade de que os três envelopes sejam colocadas nas posições corretas, isto é, o primeiro da esquerda com o algarismo 1, o segundo 2, e o terceiro com o 3. b) Calcule a probabilidade de que sejam colocados apenas dois envelopes nas posições corretas. Exercício 8.40. (UnB - DF) Um fazendeiro dispõe de um terreno dividido em regiões, como na figura ao lado, e pretende cultivá-las de forma que as regiões com uma fronteira comun tenham plantios diferentes. De quantas formas ele pode fazer o plantio, se pode optar entre milho, feijão, arroz e trigo para cultivar? Exercício 8.41. Quantos números de 7 dígitos, maiores que 6.000.000 podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 e 9, sem repeti-los? CAPÍTULO 8. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 34 3 Exercício 8.42. Ao atirar num alvo, a probabilidade de um pessoa acertá-lo é . Qual 5 a probabilidade de ela errar? Exercício 8.43. Quantos números naturais pares e múltiplos de 5, com 4 algarismos distintos, podem ser formados com os algarismos 0, 2, 3, 5, e 9? Exercício 8.44. (Enem - MEC) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão iguais a . . .? Exercício 8.45. Simplifique as frações: a) 8! 10! b) 3! · 9! 5! · 7! c) (n + 4)! (n + 2)! d) (n − 5)! (n − 7)! e) (n − 5)! (n − 3)! Exercício 8.46. O conjunto solução da equação Exercício 8.47. Sabendo que 8n! = (x + 2)! x! = é? 3! · x! (x − 1)! (n + 2)! + (n + 1)! , o valor de n é . . .? n+1 Exercício 8.48. Um congresso sobre doenças psicossomáticas reúne 48 psiquiatras, dos quais 18 são mulheres; 72 psicólogos, dos quais 53 são mulheres; e 27 neurologistas, dos quais 10 são mulheres. Um dos participantes foi sorteado para coordenar os trabalhos. Sabendo-se que a pessoa sorteada é mulher, qual é a probabilidade de que ela seja psiquiatra? Exercício 8.49. Em uma classe de vinte alunos, apenas dois são irmãos. Sorteando-se dois alunos nessa classe, qual é a probabilidade de os sorteados serem irmãos? Parte III Análise Combinatória 35 Capítulo 9 Introdução A análise combinatória é a parte da matemática onde estudamos as técnicas de con- tagem de agrupamentos que podem ser feitos com elementos de um dado conjunto. São basicamente dois tipos de agrupamentos que podemos formar: um em que se leva em conta a ordem dos elementos dentro do agrupamento e outro onde a ordem dos elementos é irrelevante. Por exemplo, se desejamos contar quantas placas de licença de automóveis podem ser feitas, constituídas por três letras seguidas de quatro algarismos, devemos levar em conta a ordem das letras e dos algarismos: Figura 9.1: São placas diferentes Já se nosso problema for contar quantas quinas são possíveis de serem sorteadas na loteria de números (loto), observamos que a ordem dos números que compõem a quina não importa: 01 11 13 91 00 e 91 11 01 00 13 são quinas iguais Suponhamos a seguinte situação: “Uma pessoa pode beber água, refrigerante ou cerveja; em qualquer caso pode escolher entre gelo e sem gelo. Quais as possibilidades que tem pra beber algo?” Árvore de Possibilidade ou Diagrama de Árvore: 37 CAPÍTULO 9. INTRODUÇÃO 38 sem gelo Água com gelo sem gelo Refrigerante com gelo sem gelo Chá com gelo No primeiro evento, são três possibilidades; no segundo evento, são duas possibilidades. O número de possibilidades do evento composto tomar uma bebida e com gelo ou sem gelo será dado pelo produto do número de possibilidades do primeiro evento pelo número de possibilidades do segundo evento. Se A é o primeiro evento, n(A) = 3 e B é o segundo evento, n(B) = 2. O evento composto por A e B será n(A) × n(B) ou 3 × 2 = 6 Afinal, posso beber: 1. Água sem gelo 2. Água com gelo 3. Refrigerante sem gelo 4. Refrigerante com gelo 5. Chá sem gelo 6. Chá com gelo Se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes de tal modo que a seja o número de possibilidades da primeira etapa e b seja o número de possibilidades da segunda etapa, então a × b é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Exemplo 9.1. Quantos são os números de cinco algarismos que podemos formar com os símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 9.1 Princípio da Multiplicação Suponha que você está se arrumando para sair, mas você está em dúvida sobre qual par de meia e qual par de tênis você vai calçar dentre quatro pares de meia (branca, verde, amarela e roxa) e dois pares de tênis (preto e cinza). De quantas maneiras diferentes 9.2. ARRANJOS COM REPETIÇÃO 39 você poderá se vestir usando um par de meia e um par de tênis? Há quatro possibilidades de você escolher um par de meia e para cada uma delas há duas para escolher um par de tênis. Então, você pode se vestir de 4 · 2 = 8 maneiras diferentes. De modo geral, o princípio multiplicativo diz que se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que p1 é o número de possibilidades da etapa 1 p2 é o número de possibilidades da etapa 2 .. . pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa então o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer é p1 · p2 · . . . · pk . Observação 9.1. Isso não é nada mais do que uma aplicação do princípio fundamental da contagem. 9.2 Arranjos com repetição Imaginem uma caixa com uma bola vermelha, uma branca e outra azul, que chamaremos de V , B e A respectivamente. Tiramos uma bola da caixa, observamos a sua cor, e então a colocamos de volta na caixa. Daí, de novo, tiramos uma bola e observamos sua cor. Quantas possíveis sequências de cores poderíamos ter observado, levando em conta a ordem? Resposta: VV, VB, VA, BB, BV, BA, AA, AV, AB = 9 sequências Nesse caso tínhamos um conjunto C = {V, B, A} de três elementos, e duas ocasiões em que poderiam ser retirados qualquer um dos três elementos, isto é, em cada um dos eventos que tiramos uma bola temos a mesma chance de tirar qualquer uma delas. Logo, pelo princípio da multiplicação, o número possível de sequências é 3 · 3 = 32 = 9. De modo geral, se temos um conjunto C = {a1 , a2 , a3 , . . . , an } de n elementos (n ∈ N) e fazemos um arranjo com r repetições temos que o número possível de sequências é An,r = n · n · n · . . . n = nr Note que esse caso resolve apenas aquelas ocasiões em que todos os eventos tem o mesmo número de possibilidades. Veja outros exemplos a seguir: Exemplo 9.2.1. Se jogamos um dado três vezes, quantas combinações possíveis podemos ter? Solução: Lembre que um dado tem seis faces, cada uma com um número diferente. O dado é jogado três vezes e em cada um desses eventos podemos obter seis números diferentes. Então o número de combinações possíveis é: 6 · 6 · 6· = 63 = 216. CAPÍTULO 9. INTRODUÇÃO 40 Exercícios 9.2.1. Suponha que uma senha de e-mail seja formada por oito dígitos sendo todos eles números de 0 a 9. Quantas senhas diferentes podemos ter? Exercícios 9.2.2. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O segredo do cofre é formado por uma sequência de quatro dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer, no máximo, para conseguir abrí-lo? Exercícios 9.2.3. Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, não sendo necessário que as listras sejam todas de cores distintas. De quantas formas isso pode ser feito? 9.3 Arranjos simples Suponha que você esteja assistindo uma corrida de tartarugas. O nome das tartarugas são Walter, Josh, Carter e Billy. Vamos representá-los por W , J, C e B respectivamente. Queremos saber quantos possíveis três primeiros lugares podemos ter. Podemos fazer uma árvore de possibilidades: 9.3. ARRANJOS SIMPLES 41 Contando, o resultado é 24, que é o mesmo que 4 · 3 · 2 e logo veremos o porquê. Antes vamos generalizar esse caso. Note que no exemplo anterior tínhamos um conjunto C = {W, J, C, R} de quatro tartarugas disputando os três primeiros lugares. A isso chamamos de um arranjo simples de 4 elementos 3 a 3, e pode ser indicado por A4,3 ou A34 que, como já vimos, deu 24 possibilidades. Para primeiro lugar podíamos ter quatro tartarugas diferentes. Supondo que um desses fosse o primeiro colocado, teríamos outros três para ser o segundo colocado. Ainda supondo que um desses fosse o segundo, teríamos outros dois para ser o terceiro. Pelo princípio fundamental da contagem, temos que A4,3 = 4 · 3 · 2 = 24. Agora, então, suponha que tenhamos um conjunto C = {a1 , a2 , a3 , . . . , an } de n elementos, n ∈ N. Chamamos de um arranjo simples dos n elementos de C, p a p, isto é, An,p com p ∈ N e p ≤ n, toda sequência ou agrupamento de p elementos distintos de C. Pergunta: como calculamos esse arranjo de n elementos p a p, isto é, An,p ? Resposta: seguindo o mesmo princípio usado com as tartarugas: Se nós temos uma combinação de p elementos distintos dentre n elementos distintos, usaremos o seguinte raciocínio para calcular as combinações possíveis: • Na primeira escolha, isto é, no primeiro evento, podemos escolher dentre n elementos. No segundo evento podemos escolher n elementos menos o que foi escolhido no CAPÍTULO 9. INTRODUÇÃO 42 primeiro evento, ou seja, n − 1 elementos. No terceiro evento podemos escolher n elementos menos os que foram escolhidos no primeiro e no segundo evento, ou seja, n − 2 elementos. Seguindo esse processo até completarmos os p elementos, teremos que o p-ésimo elemento será n − (p − 1) ou n − p + 1 Então, pelo princípio fundamental da contagem, temos An,p = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1) Se multiplicarmos e dividirmos o lado direito da igualdade por (n − p)! obteremos An,p = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1) (n − p)! n! = (n − p)! (n − p)! E finalmente, usando as propriedades de fatorial obtemos An,p = n! . (n − p)! Exemplo 9.3.1. Calcule: a) A7,3 b) A5,4 + A3,2 A4,2 − A2,1 Solução: Pela fórmula dada An,p = n! temos (n − p)! a) A7,3 = b) 7! 7 · 6 · 5 · 4! 7! = = = 7 · 6 · 5· = 240 (7 − 3)! 4! 4! A5,4 + A3,2 5·4·3·2+3·2 126 63 = = = A4,2 − A2,1 4·3−2 10 5 Exemplo 9.3.2. Um anagrama é um código formado pela transposição (troca) de todas as letras de uma palavra, podendo ou não ter significado na língua de origem. Por exemplo, LOBO e OLOB são anagramas da palavra BOLO. Agora considere a palavra LISTA. a) Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra? b) Quantos deles começam por P e terminam por A? c) Quantos contêm as letras ST juntas e nessa ordem? 9.3. ARRANJOS SIMPLES 43 Solução: a) Queremos saber quantas palvras diferentes de cinco letras podemos formar com as letras L, I, S, T, A. Note que para a primeira letra de cada palavra existem cinco possibilidades, para a segundda existem cinco menos a que foi escolhida na primeira, para a terceira existem cinco menos as que foram escolhidas na primeira e na segunda, e assim por diante. Logo temos que o número de anagramas é A5,5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. b) Como a primeira e a última letra já estão fixas, temos uma variação com apenas três letras (I, S, T). Agora, seguindo o mesmo raciocínio do exercício anterior temos que o número de anagramas possíveis para esse caso é A3,3 = 3! = 3 · 2 · 1· = 6. c) Se as letras ST ficarem juntas, nessa ordem, então as letras ST podem ser consideradas como uma só letra e, junto com as três letras restantes, teremos um total de quatro letras para serem agrupadas 4 a 4. Portanto, o número de anagramas possíveis para esse caso é A4,4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1· = 24. Exercícios 9.3.1. Calcule a) A6,3 b) A10,4 c) A20,1 d) A12,2 Exercícios 9.3.2. Calcule: a) A6,2 + A4,3 − A5,2 A9,2 + A8,1 b) A5,2 + A6,1 − A5,3 A10,2 − A7,3 Exercícios 9.3.3. Quantos números de 5 algarismos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Exercícios 9.3.4. Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares? 44 CAPÍTULO 9. INTRODUÇÃO Exercícios 9.3.5. Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor diferente. De quantas formas isso pode ser feito? Exercícios 9.3.6. Considere a palavra F ELIN O. a) Quantos são os anagramas dessa palavra? b) Quantos começam com a letra N ? c) Quantos terminam por vogal? d) Quantos apresentam as letras ELI juntas e nessa ordem? e) Quantos apresentam as letras ELI juntas e em qualquer ordem? Capítulo 10 Permutação simples L embre-se do caso dos anagramas. Se tomamos a palavra MITO, por exmplo, vimos que podemos calcular o número de anagramas da seguinte forma: Para a primeira letra há quatro possibilidades, na segunda há três (as quatro letras menos a que foi escolhida na primeira), na terceira há duas (as quatro letras menos as que foram escolhidas na primeira e na segunda) e na quarta há uma (a que restou). Veremos que esse caso é uma permutação simples. Seja E um conjunto com n elementos. Chama-se permutação simples dos n elementos, qualquer agrupamento (sequência) de n elementos distintos de E. Podemos, também, interpretar cada permutação de n elementos como um arranjo simples de n elementos tomados n a n, ou seja, p = n obtendo An,n . O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn . Pn = An,n ⇒ Pn = n! n! n! ⇒ Pn = = (n − n)! 0! 0! então Pn = n! As permutações simples de n elementos distintos diferem entre si somente pela ordem dos elementos. Exemplo 10.1. Quantos anagramas tem a palavra BANCO? Solução: Como a palvra BANCO tem 5 letras, vamos formar anagramas de 5 letras com B, A, N, C, O. P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1· = 120 A palavra BANCO tem 120 anagramas. 45 46 CAPÍTULO 10. PERMUTAÇÃO SIMPLES Exemplo 10.2. Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521? Solução: Exercício 10.1. Quantos são os anagramas da palavra CAFÉ? Exercício 10.2. Quantos anagramas da palavra EDITORA: a) Começam com a letra A? b) Começam com A e terminam com E? Exercício 10.3. Calcule o número de anagramas da palvra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nessa ordem? Exercício 10.4. De quantos modos difeentes podem sentar-se nove pessoas: a) Se todas ficarem em fila? b) Se ficarem todas em fila, mas os lugares extremos forem ocupados pelo mais velho e pelo mais novo? Capítulo 11 Combinações S eja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H, M ). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H, M ) ou (M, H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação. Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos. Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente. Isto significa que dentre todos os A(m, p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m, p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja: C(m, p) = A(m, p) p! Como: Então: A(m, p) = m · (m − 1) · (m − 2) · (m − p + 1) C(m, p) = m · (m − 1) · (m − 2) · . . . · (m − p + 1) p! Que pode ser reescrito: m · (m − 1) · (m − 2) · (m − p + 1) 1 · 2 · 3 · 4 . . . (p − 1)· Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por: C(m, p) = (m − p)(m − p − 1)(m − p − 2) . . . 3 · 2 · 1 47 CAPÍTULO 11. COMBINAÇÕES 48 Que, como já sabemos, é o mesmo que multiplicar por (m − p)!, o numerador da fração ficará: m · (m − 1) · (m − 2) · . . . · (m − p + 1) · (m − p) · (m − p − 1) · . . . · 3 · 2 · 1 = m! E o denominador ficará: p!(m − p)! Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:   m m! C(m, p) = = p!(m − p)! p Exemplo: M = a, b, c, d. As combinações dos 4 elementos, tomados dois a dois, são os conjuntos: (a, b); (a, c); (a, d); (b, c); (b, d); (c, d) Note que a, b = b, a, pois combinação é um conjunto, portanto não depende da ordem dos elementos. Logo, aplicando a fórmula ao exemplo, teríamos que as combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Exemplo 11.1. Sobre uma reta marcam-se 8 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 pontos quaisquer do total desses pontos? Solução: Três desses pontos vão determinar um triângulo se dois deles pertencem a r1 e um pertencer a r2 , ou dois deles pertencerem a r2 e um a r1 . Assim, podemos escolher dois pontos em r1 e um ponto em r2 de C8,2 · C5,1 maneiras, e dois pontos em r2 e um em r1 de C5,2 · C8,1 maneiras. Logo, o número total de triângulos será: C8,2 · C5,1 + C5,2 · C8,1 = 28 · 5 + 10 · 8 = 140 + 80 = 220 Serão obtidos 220 triângulos. Exercício 11.1. De quantas maneiras diferentes é possível escalar um time de futebol de salão dispondo de 8 jogadores? Exercício 11.2. Com 10 espécies de fruta, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitas? Exercício 11.3. Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e 3 moças podemos formar? Exercício 11.4. Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram jogadas 272 partidas, determine o número de equipes participantes. Capítulo 12 Jogo da Senha 12.1 Material - 1un. Foam paper (podendo ser substituído por isopor); - 7un. Papel ColorSet (cores diferentes); - Estilete, lápis e régua para a montagem do tabuleiro; - Plástico para plastificação. 12.2 Como funciona o jogo? O jogo foi desenvolvido para duplas, mas pode ser feito em trios também. Inicialmente consideremos o jogo para uma dupla: Um dos jogadores recebe uma senha, o outro jogador tem que tentar acertar a senha num número máximo de jogadas. Neste jogo de senha em especial, temos 5 cores diferentes para uma senha de 3 cores (diferentes sempre) sendo 8 o número máximo de jogadas. Assim sendo, começamos com um tabuleiro da seguinte forma: 49 CAPÍTULO 12. JOGO DA SENHA 50 As três primeiras casas de cada linha serão preenchidas por que está tentando acertar a senha (jogador 1). As outras três por quem está com a senha (jogador 2). Para melhor entender o funcionamento do jogo, vamos supor que a senha seja: Se na primeira tentativa o jogador 1 escolheu a seqüência: O que o jogador 2 deverá marcar em suas três casa? O jogador 2 terá que se perguntar duas coisas: - Quantas cores o jogador 1 escolheu que estão certas e no lugar certo? (Neste caso foi 1 cor só, a laranja.) 12.3. ANALISANDO O JOGO MATEMATICAMENTE 51 - Quantas cores o jogador 1 escolheu que estão certas mas no lugar errado? (Neste caso foi só uma também, a verde.) Para cada peça naquela linha que tem a cor certa no lugar certo, o jogador 2 marcará uma peça marrom. Para cada peça naquela linha que tem a cor certa mas no lugar errado, o jogador 2 marcará uma peça cinza. IMPORTANTE: Na hora de marcar, sempre se começa da esquerda, não marcando no lugar que está a cor correta, por exemplo: Não marcar assim: (Pensando em colocar o marrom no segundo, pois o jogador 1 acertou o laranja na segunda e o marrom na terceira pois é o verde que está na terceira que está certo no lugar errado.) Mas marcar assim: Sempre começando da esquerda a marcação. Agora o jogador 1 deve fazer sua segunda jogada, usando as informações que ele recebeu. Ou seja, por tentativa, tentar descobrir qual é a cor que está certa no lugar certo, ou tentar colocar a que estava no lugar errado agora no lugar certo, ou ainda tentar descobrir qual a cor que está totalmente errada pra daí mudar as peças de lugar. 12.3 Analisando o jogo matematicamente - Quantas senhas diferentes são possíveis formar no jogo? Como a ordem das cores da senha altera a senha, ou seja, há senhas diferentes com as mesmas cores, logo a contagem de senhas recaí em um problema de arranjo. Assim temos o número total de senhas dado por: Arranjo de 3 em 5 5! 5! 5·4·3·2·1 = = = 5 · 4 · 3 = 60 senhas diferentes (5 − 3)! 2! 2·1 52 CAPÍTULO 12. JOGO DA SENHA Parte IV Matrizes 53 Capítulo 13 Matrizes Com frequência encontramos em jornais e revistas por exemplo, informações numéricas organizadas na forma de tabelas, com linhas e colunas, como segue no exemplo a seguir: Tabela 1: Produção de grãos (em milhares de toneladas) de um determinado estado durante o ano de 2007: Região A Região B Região C soja 2900 720 1030 feijão 200 350 120 arroz 420 720 550 milho 680 90 800 Tabela 2: Produção de grãos (em milhares de toneladas) de um determinado estado durante o ano de 2008: Região A Região B Região C soja 4800 2100 2000 feijão 100 150 120 arroz 220 300 550 milho 20 300 700 Se quisermos então uma tabela que dê a produção por produto e por região nos dois anos conjuntamente, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas. Então, a tabela resultante será: Tabela 3: Produção de grãos (em milhares de toneladas) de um determinado estado durante os anos de 2007 e 2008 conjuntamente: Região A Região B Região C soja 7700 2820 3030 feijão 300 500 240 Essa terceira tabela foi obtida através de: 55 arroz 640 1020 1100 milho 700 390 1500 CAPÍTULO 13. MATRIZES 56       2900 200 420 680 7700 300 640 700 4800 100 220 20  720 350 720 90  +  2100 150 300 300  =  2820 500 1020 390  1030 120 550 800 3030 240 1100 1500 2000 120 550 700 Ou seja, somamos os elementos correspondentes de cada tabela (dos anos de 2007 e 2008). Podemos considerar agora que devido a pesquisas climáticas, estima-se que a produção do ano de 2009 seja o dobro da produção da resultante dos dois anos anteriores. Assim:     15400 600 1280 1400 7700 300 640 700 2  2820 500 1020 390  =  5640 1000 2040 780  6060 480 2200 3000 3030 240 1100 1500 Esse tipo de tabela que foi construído para obter os resultados da produção dos anos de 2007 e 2008 conjuntamente e a estimativa da produção de 2009 é chamado de matriz. Diremos que uma matriz é i × j se ela apresenta i linhas e j colunas. 13.1 13.1.1 Propriedades de Operações com Matrizes Adição e Subtração Como já visto, para somar duas matrizes, basta somar os elementos correspondentes, como já visto no primeiro exemplo. Porém, essa soma só será válida se as duas (ou mais) matrizes em questão tenham o mesmo número de linhas e colunas. Assim, não é possível somar a matriz A com a matriz B, se     2 8 0 5 1 3 7 A =  2 5 0 e B =  1 4 0 3  2 2 4 1 0 2 1 Já no caso de C e D duas matrizes 3x3 conforme a seguir, existe a matriz C + D, que também é uma matriz 3x3     1 3 −4 0 2 1 3 0  e D =  −2 1 0  C =  −1 0 −1 0 2 −2 0 Assim, sendo M e N duas matrizes quaisquer de mesmo “tamanho”, ou seja, mesmo número de linhas e colunas, M + N e M − N terão o mesmo “tamanho” também. Observação 13.1. O processo para realizar a subtração de matrizes é o mesmo para a soma. Segue um exemplo: √   √     −3 1 2 3 −1 6 −2 2 2−2  7 −2   0 −1 1/3  =  7  −1 −1/3 √ √ √0 − √ √ 7 π 2 3 −1 π 5 3 −8 π − π 3 3 13.1. PROPRIEDADES DE OPERAÇÕES COM MATRIZES 13.1.2 57 Multiplicação por Escalar Para multiplicar uma matriz por um escalar, multiplicamos cada elemento da matriz pelo escalar em questão como o exemplo da estimativa da produção de 2009. 13.1.3 Produto de Matrizes Seja A uma matriz m × n e B uma matriz p × q. Existirá o produto entre essas duas matrizes se n = p. A nova matriz A · B será da forma m × q, ou seja, apresentará m linhas e q colunas. Apresentaremos agora o método para a multiplicação de duas matizes A e B através de um exemplo. Sejam     1 3 −2 1 0 3 A =  −2 2  e B = −1 5 −4 4 0 4 Dessa maneira,   1 · (−2) + 3 · (−1) 1·1+3·5 1 · 0 + 3 · (−4) 1·3+3·4 A · B =  (−2) · (−2) + 2 · (−1) (−2) · 1 + 2 · 5 (−2) · 0 + 2 · (−4) (−2) · 3 + 2 · 4  0 · (−2) + 4 · (−1) 0·1+4·5 0 · 0 + 4 · (−4) 0·3+4·4  −5 16 −12 15 A · B =  2 8 −8 −4  −4 20 −16 16  Observação 13.2. Perceba que, apesar de existir a matriz A · B, como mostrado acima, a matriz B · A não existe. Porém, sempre que duas matrizes tiverem o mesmo número de colunas e linhas, existirá tanto A·B quanto B ·A, mas isso não significa que A·B = B ·A. Observação 13.3. Dadas duas matrizes A e B, diremos que A = B se cada elemento da matriz A for igual ao seu correspondente na matriz B. 58 CAPÍTULO 13. MATRIZES Capítulo 14 Probabilidades A teoria de probabilidades passou a ser mais estudada na história com o surgimento dos jogos de azar. Hoje é um ramo da Matemática muito importante e é usado em vários ramos, como Economia, Genética, Marketing, entre outros. Vamos ver as propriedades principais das probabilidades através de exemplos. Exemplo 14.1. Uma roleta de cassino tem 37 números (de 0 a 36). Se você apostou no número 28, qual é a chance de você ganhar? Intuitivamente, sabemos que essa probabilidade é de 1/37. Vamos ver como escrevemos isso matematicamente. Chamamos o conjunto Ω = {0, 1, 2, 3, . . . , 35, 36} dos possíveis resultados de espaço amostral e qualquer subconjunto E de Ω de evento. Então a probabilidade de ocorrer o evento E é o número de elementos do evento (casos favoráveis) dividido pelo número de elementos do espaço amostral Ω (casos possíveis). Escrevemos isso como: p(E) = n(E) n(Ω) Qual é a probabilidade de você ganhar na roleta, se você apostou: • em todos os números pares (a regra da roleta não considera 0 como número par ou ímpar)? • em todos os números primos? • em todos os números que não são múltiplos de 3? Exemplo 14.2. Em uma classe há 30 alunos, todos nascidos em 1993. Se forem sorteados dois deles ao acaso, qual a probabilidade desses alunos terem nascido: • no mesmo mês? • em meses de número par? • no mesmo dia da semana? • no mesmo dia? 59 CAPÍTULO 14. PROBABILIDADES 60 Exemplo 14.3. Num programa de auditório, há uma caixa com três bolas, uma com a letra S, outra com a letra I e a outra com a letra M. Sorteando as bolas, sem reposição, deseja-se formar a palavra SIM. Para cada letra na posição correta da palavra, o participante ganha R$ 200,00. No caso de as bolas terem sido sorteadas na ordem ISM, por exemplo, ganha-se R$ 200,00 Qual é a chance do participante ganhar: • R$600,00? • R$400,00? • R$200,00? • R$0,00? Se fizermos o sorteio das bolas com reposição, a chance de ganhar o prêmio máximo é maior? Um evento que tem 100% de chance de ocorrer chama-se evento certo. Um evento que tem 0% de chance de ocorrer chama-se evento impossível. Exemplo 14.4. Para jogar na Mega-Sena, marca-se pelo menos seis números na cartela numerada de 00 a 59. Para ganhar algum prêmio, é necessário que entre os seis números sorteados, pelo menos quatro deles sejam iguais aos que foram escolhidos pelo apostador. O prêmio máximo vai para quem acertar os seis números. Qual é a chance de ganhar o prêmio máximo apostando em • seis números? • sete números? • oito números? O valor da aposta em seis números é de R$2,00 e em sete número esse valor vai para R$14,00. Você sabe como é calculado esse valor? Apostando em sete números, paga-se o valor de quantos jogos de seis números podem ser feitos. Assim, com sete números podemos fazer C76 = 7, ou seja, pagamos por sete apostas em seis núemros (7 × R$2, 00 = R$14, 00). Quanto custaria uma aposta na Mega-Sena em que foi apostado em todos os números? Quantos números têm uma aposta em que há 50% de chance de acertar: • quatro números? • seis números? Quanto custariam essas apostas? Exemplo 14.5. Num grupo de 12 alunos , 4 usam óculos. Sorteando-se 5 deles, sem reposição, qual é a chance de no grupo haver: 61 • exatamente duas pessoas que usam óculos? • pelo menos duas pessoas que usam óculos? Se o primeiro aluno sorteado usa óculos, qual é a chance de que no grupo final de 5 alunos • exatamente duas pessoas que usam óculos? • pelo menos duas pessoas que usam óculos? 62 CAPÍTULO 14. PROBABILIDADES Capítulo 15 Cadeias de Markov1 Muitos processos naturais são estudados a partir de aproximações em que a passagem de um estado para outro ocorre segundo uma probabilidade. Se a probabilidade de transição para o próximo estado depende apenas da situação corrente do fenômeno, o processo de chama de processo de Markov e uma sequência de estados envolvendo estes processos é chamada de cadeia de Markov. As probabilidades calculadas com este processo fornecem, a longo prazo, apenas aproximações, visto que é muito comum que nos processos estudados as probabilidades mudem ao longo do tempo. Vamos ver um exemplo de aplicação deste processo: Suponha que, numa determinada região, observa-se que se chover bastante durante o ano, a probabilidade de que chova bastante no ano seguinte é de 0,25, e que a probabilidade que de faça seca é de 0,75. Ainda, se houver seca em um ano, no ano seguinte a probabilidade de haver seca ou chuva suficiente será a mesma, de 0,50. Vamos supor também que estas probabilidades não mudem no decorrer do tempo. Veja que 1 (1) (2) pC = pC + 4 3 (1) (2) pS = pC + 4 1 (1) p 2 S 1 (1) p 2 S que é o mesmo que " (2) pC (2) pS Note que  1 (1)  4 pC +  3 (1) p + 4 C 1 #  1 (1)  4 pC + = 3 (1) pC + 4 1 (1) p 2 S 1 (1) p 2 S  1  4   =  3 4   1 (1) p 2 S  1 (1)  p 2 S  1 # " (1) 2  p  C . (1)  p 1 S 2 Mais detalhes em Álgebra Linear, Boldrini/Costa, referência [6]. 63 CAPÍTULO 15. CADEIAS DE MARKOV 64  1  4  Chamando de T a matriz   3 4 "  1 2   , temos que: 1  2 # " # (2) (1) pC pC =T (2) (1) pS pS Da mesma forma, vemos que as probabilidades para o terceiro ano são: " (3) pC (3) pS # =T " (2) pC (2) pS # = T 2. " (1) pC (1) pS # Após n anos, então: " (n) pC (n) pS # =T " (n−1) pC (n−1) pS # = T n−1 . " (1) pC (1) pS # Se as potências da matriz T (T , T 2 , T 3 , . . ., T n , . . . ), se aproximam de uma matriz fixa P , podemos prever as probabilidades para o clima dessa região a longo prazo:  pC pS  = P. " (1) pC (1) pS # . Chamamos a matriz T de matriz de probabilidades de transição ou matriz estocástica. Se a matriz de probabilidades de um processo de Markov possui alguma potência com todos os termos não nulos, então ela é chamada de regular. Uma matriz do tipo " # (n) pC (n) pS onde cada linha possui uma probabilidade é chamada de vetor de probabilidades. A importância de haver uma matriz regular num processo de Markov está no teorema a seguir: Teorema 15.1. Se a matriz Tr×r de probabilidades de transição é regular, então: i) Para valores cada vez maiores de n, a matriz T n se aproxima de uma matriz P . ii) Para valores cada vez maiores de n e um vetor de probabilidades inicial V1 , o vetor de proabilidades T n V1 se aproxima de um vetor de probabilidades V . iii) O vetor de probabilidades V dado no item anterior é o único que satisfaz V = T V Voltando ao exemplo, temos que a primeira potência de T tem todos os termos não nulos, logo T é uma matriz regular. O vetor de probabilidades V descrito no teorema é o 65 vetor que nos diz sobre as probabilidades a longo prazo. Podemos encontrá-lo resolvendo a equação:   1 1      pC  4 2  pC =  pS  3 1  pS 4 2 que é equivalente a:  1 1     pC = 4 pC + 2 pS   1 3   pS = pC + pS 4 2 Resolvendo esse sistema, chegamos à equação: 3 pS = pC 2 Lembrando que pC + pS = 1, 3 2 chegamos que pC = e pS = . Assim, a longo prazo, a probabilidade de um ano com 5 5 2 2 muita chuva é de = 40% e de um ano com seca é = 60% e, portanto, a região tende 5 5 a uma ligeira aridez. Veja como estão arranjados os termos da matriz T : Chuva Seca Chuva Seca 1 4 3 4 1 2 1 4 66 CAPÍTULO 15. CADEIAS DE MARKOV Capítulo 16 Exercícios1 Exercício 16.1. Um dado comum é lançado duas vezes sucessivamente. Qual é a probabilidade de: 1. Ocorrer 5 no primeiro lançamento e um número par no segundo? a) 4,16% b) 8,33% c) 10,50% d) 16,66% e) 91,66% 2. O produtos obtidos ser maior que 12? a) 12% b) 24% c) 36,11% d) 41,66% e) 63,89% Exercício 16.2. Na tabela seguinte está representada a distribuição por turno de todos os alunos do curso de Matemática de uma faculdade: Manhã Homens 20 Mulheres 25 Noite 23 12 Escolhendo ao acaso um aluno desse grupo, qual é a probabilidade de que seja: 1. Homem? 1 Os exercícios 16.1 a 16.6 foram tirados da referência [13]. Os exercícios 16.7 a 16.9 são de vestibular. 67 CAPÍTULO 16. EXERCÍCIOS 68 a) 15,00% b) 31,25% c) 43,00% d) 46,25% e) 53,75% 2. Do curso diurno? a) 37,00% b) 43,75% c) 45,00% d) 56,25% e) 63,00% 3. Mulher do Noturno? a) 15,00% b) 31,25% c) 43,75% d) 56,25% e) 85,00% Exercício 16.3. Em um grupo de 80 pessoas, todas de Minas Gerais, 53 conhecem o Rio de Janeiro, 38 conhecem São Paulo e 21 já estiveram nas duas cidades. Uma pessoa do grupo é escolhida ao acaso. Quantas pessoas não conhecem nenhuma cidade? Qual é a probabilidade de que ela tenha visitado exatamente uma dessas cidades? Exercício 16.4. Uma moeda é viciada de tal modo que, com ela, obter cara (H) é três vezes mais provável que obter coroa (T). Qual é a probabilidade de se conseguir cara em um único lançamento dessa moeda? Exercício 16.5. Oito pessoas, incluindo um casal e seu filho, são colocadas aleatoriamente em fila. Qual é a probabilidade de que a família fique junta? Exercício 16.6. Os dados da tabela seguinte referem-se a uma pesquisa realizada com 155 moradores de um bairro e revelam seus hábitos quanto ao uso de TV e internet pagas. Só TV aberta Internet Gratuita 76 Internet Paga 14 TV paga 44 21 Um dos entrevistados é selecionado ao acaso. Qual é a probabilidade (aproximada) de que ele use TV ou Internet pagas? 69 a) 21% b) 44% c) 51% d) 63% e) 79% Exercício 16.7 (UFPR-2010). Em uma população de aves, a probabilidade de um ani1 . Quando uma ave está doente, a probabiliade de ser devorada por mal estar doente é 25 1 predadores é 4 e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores 1 é 40 . Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatóriamente, ser devorada por predadores é de: a) 1,0% b) 2,4% c) 2,5% d) 3,4% e) 4,0% Exercício 16.8 (UFPR-2009). A linha de produção de uma fábrica produz milhares de peças por dia e apresenta, em média, quatro peças defeituosas a cada cem peças produzidas. Um inspetor de qualidade sorteia cinco peças de modo aleatório e verifica a quantidade de peças defeituosas. De acordo com as informações acima, considere as seguintes afirmativas: 1. A probabilidade de o inspetor encontrar no máximo uma peça defeituosa é (0, 040 × 0, 965 ) + (5 × 0, 041 × 0, 964 ) 2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma peça defeituosa é 1 − (0, 040 × 0, 965 ) 3. É impossível o inspetor encontrar 5 peças defeituosas. Assinale a alternativa correta: a) Apenas a afirmativa 1 é verdadeira. b) Apenas as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. d) Apenas as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. CAPÍTULO 16. EXERCÍCIOS 70 e) Todas as afirmativas são verdadeiras. Exercício 16.9 (PUC/SP-2010). Um aluno prestou vestibular em duas Universidades. Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas condições, a probabilidade de que esse aluno seja aprovado em pelo menos uma dessas universidades é de: a) 58% b) 60% c) 52% d) 68% e) 70% Capítulo 17 Cubo Mágico A história O Cubo Mágico é um dos símbolos dos anos 80. Foi inventado pelo arquiteto e professor Ernõ Rubik na tentativa de criar um modelo para explicar geometria tridimensional. Seu primeiro protótipo foi feito em 1974. Já foram vendidas mais de 300 milhões de unidades do cubo mágico. Nos anos 80 foi estimado que aproximadamente um quinto da população tenha brincado com o cubo. Ainda hoje ele é muito vendido e inspirou vários outros brinquedos. As combinações Podemos calcular quantas são as posições possíveis para o Cubo Mágico. A conta não é fácil porque temos que lidar com números grandes. O raciocínio não é difícil, mas é necessário que saibamos algumas propriedades do cubo. O resultado é um número difícil até de se falar: 43.252.003.274.489.856.000. Como você acha que foi calculado esse número? Que raciocínio foi feito? Uma dica: esse número é igual a 8!.12!.37 .212 . O “número de Deus” Uma pergunta sempre instigou quem já brincou com o cubo: para uma combinação qualquer, qual o número mínimo de movimentos para resolvê-lo? Esse número é chamado de “número de Deus”, pois se Deus fosse resolver o cubo, o faria da maneira mais simples possível. Foi calculado em 2010 que esse número é 20, ou seja, a combinação mais complicada do Cubo Mágico pode ser resolvida com 20 movimentos. Tendo em vista a quantidade de combinações possíveis, foi necessário usar programas de computador para verificar todos os casos. Um computador comum demoraria cerca de 1,1 bilhão de segundos para fazer todas essas contas. Resolvendo o Cubo O criador do quebra-cabeça, Ernõ Rubik, demorou cerca de um mês para resolvê-lo pela primeira vez. Existem vários métodos para resolver o cubo; os mais rápidos são os que exigem mais memorização e treino, pois dividem a resolução em muitas partes. O atual recorde é de 6,24 segundos. 71 72 CAPÍTULO 17. CUBO MÁGICO Parte V Polinômios e suas Aplicações 73 Capítulo 18 Polinômios 18.1 Introdução A palavra “polinômios” vem do grego — poli=muitos e nômios=termos, ou seja muitos termos ou vários monômios (mono=um, um termo)—. Já na matemática, podemos encontrar várias definições para polinômios, desde as mais simples até as mais complexas. Por exemplo: Definição 18.1.1. Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos. Mas a definição que usaremos aqui é a seguinte: Definição 18.1.2. Seja p : R → R. p é dito um polinômio de grau n se: i) p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ; ii) an , an−1 , · · · , a1 , a0 ∈ R, an 6= 0 e iii) n ∈ N. Exemplo 18.1.1. Diga se as expressões abaixos são polinômios e, se afirmativo, qual é o grau (denotamos gr(p) como grau de p). a) x2 + 3x + 43 é um polinômio de grau 2 b) x27 − x45 + 37 + x10 + x15 + x é um polinômio de grau 45 √ c) x2 − 2 é um polinômio de grau 2 √ d) x2 + ix, onde i = −1, não é um polinômio, pois i ∈ /R Observação 18.1. i) O grau de um polinômio constante é zero; ii) Por convenção1 , dizemos que o grau do polinômio nulo (p(x) = 0, ∀x ∈ R) é menos infinito (−∞) 1 Ver referência [10] 75 CAPÍTULO 18. POLINÔMIOS 76 18.2 Identidade de Polinômios Sejam p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 e q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 , polinômios com graus n e m respectivamente. p(x) = q(x) se, e somente se, n = m e a0 = b0 , a1 = b1 , · · · , am = bm . 18.3 Soma e Multiplicação Vamos agora definir a soma e a multiplicação de dois polinômios. Definição 18.3.1. (Soma) Sejam p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 e q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 com n ≥ m. Então, Ou seja, p(x) + q(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + am+1 xm+1 + (am + bm )xm +(am−1 + bm−1 )xm−1 + · · · + (a1 + b1 )x + a0 + b0 Ao somarmos dois polinômios, agrupamos seus termos semelhantes. Em termos de somatório, temos: n X ak xk p(x) = k=0 q(x) = m X bk xk k=0 para n > m, p(x) + q(x) = = = n X ak xk + k=0 n X k=m+1 n X p(x) + q(x) = m X k ak x + = m X k ak x + k=0 ak xk + ak x k + k=0 m X bk x k k=0 k=m+1 para n = m, m X m X m X k=0 (ak + bk )xk . k=0 m X bk x k k=0 (ak + bk )xk . k=0 Exemplo 18.3.1. Some os polinômios a seguir: a) p(x) = 3x3 + 2x + 1 q(x) = 2x2 + 3x − 5 bk x k p(x) + q(x) = (3x3 + 2x + 1) + (2x2 + 3x − 5) = 3x3 + 2x2 + (2 + 3)x + (1 − 5) = 3x3 + 2x2 + 5x − 4 18.3. SOMA E MULTIPLICAÇÃO 77 b) p(x) = 5x3 + 2x2 − 4x − 5 q(x) = 2x4 − 5x3 + 4x2 + 7x p(x) + q(x) = (5x3 + 2x2 − 4x − 5) + (2x4 − 5x3 + 4x2 + 7x) = 2x4 + 5x3 − 5x3 + 2x2 + 4x2 − 4x + 7x − 5 = 2x4 + 6x2 + 3x − 5 Propriedade 18.3.1. Sejam p e q polinômios de grau n e m, com n ≥ m. Então o grau do polinômio p + q é n. Definição 18.3.2. (Produto) Sejam p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = Pn q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 = Então, p(x) × q(x) = Ou seja, Pn Pm i=0 j=0 k k=0 ak x e Pn k k=0 bk x com n ≥ m. ai bj xi+j Ao multiplicarmos dois polinômios, apenas fazemos a distributiva entre os monômios Exemplo 18.3.2. Multiplique os polinômios a seguir: a) p(x) = 3x3 + 2x + 1 q(x) = 2x2 + 3x − 5 p(x) × q(x) = = = = (3x3 + 2x + 1)(2x2 + 3x − 5) 3x3 (2x2 + 3x − 5) + 2x(2x2 + 3x − 5) + 1(2x2 + 3x − 5) 6x5 + 9x4 − 15x3 + 4x3 + 6x2 − 10x + 2x2 + 3x − 5 6x5 + 9x4 − 11x3 + 8x2 − 7x − 5 b) p(x) = x2 − 3x + 1 q(x) = 2x2 − 1 p(x) × q(x) = = = = (x2 − 3x + 1)(2x2 − 1) x2 (2x2 − 1) − 3x(2x2 − 1) + 1(2x2 − 1) 4x4 − x2 − 6x3 + 3x + 2x2 − 1 4x4 − 6x3 + x2 + 3x − 1 Propriedade 18.3.2. Sejam p e q polinômios tais que gr(p) = n e gr(q) = m. Então, em geral, temos gr(p · q) ≤ gr(p) + gr(q) = n + m. No nosso contexto, teremos sempre gr(p · q) = gr(p) + gr(q) = n + m. CAPÍTULO 18. POLINÔMIOS 78 18.4 Valor numérico - Raiz Definição 18.4.1. Dados o número real a e o polinômio f (x) = a0 +a1 x+a2 x+· · ·+an xn , chama-se valor numérico de f em a a imagem de a pela função f , isto é: f (a) = a0 + a1 a + a2 a2 + · · · + an an Exemplo 18.4.1. Seja f (x) = 2 + x + x2 + 3x3 . Então: a) f (2) = 2 + 2 + 22 + 3 · 23 = 32 b) f (−1) = 2 + (−1) + (−1)2 + 3 · (−1)3 = −1 Definição 18.4.2. Se a é um número real e f é um polinômio tal que f (a) = 0, dizemos que a é uma raiz ou um zero de f . Exemplo 18.4.2. Observe as raízes: √ a) x = 0 é raiz de p(x) = 4x3 − √ 2x2 + x 2 pois p(0) = 4 × 03 − 2 × 02 + 0 × 2 = 0 b) x = −2 é raiz de q(x) = 4x2 − 3x − 22 pois q(−2) = 4 × (−2)2 − 3 × (−2) − 22 = 16 + 6 − 22 = 0 18.5 Divisão de polinômios Agora que sabemos o que é um valor numérico de um polinômio ou melhor sabemos também o que é uma raiz, podemos estender um pouco mais nosso estudo com novas idéias interessantíssimas, vamos agora trabalhar com alguns resultados algébricos que nos ajudaram a compreender melhor os polinômios: Teorema 18.5.1. (Divisão de polinômios) Seja p(x) = a0 + a2 x + · · · + an xn e h(x) = b0 + · · · + bn xn polinômios não identicamente nulos, então se bn 6= 0, existem únicos q(x) e r(x) polinômios tais que: i) p(x) = h(x) · q(x) + r(x); ii) gr(h) > gr(r); iii) gr(q) = gr(p) − gr(h). Observação 18.2. i) Chamamos de q(x) de quociente e r(x) de resto; ii) O processo para encontrar q(x) e r(x) é análogo ao conhecido algoritmo da divisão, isto é: 18.5. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 79 p(x) r(x) h(x) q(x) iii) Quando r(x) = 0, dizemos que h(x) divide ou está na fatoração de p(x) (ver seção sobre fatoração). Agora, para facilitar as contas, vamos mostrar alguns métodos práticos de se encontrar q(x) e r(x). 18.5.1 Método 1: Método da Chave Como o título sugere, iremos utilizar o mesmo método utilizado na aritmética: De fato, seja p(x) = 4x3 + x4 + 9 + 4x2 um polinômios. Vamos dividi-lo pelo polinômio h(x) = x2 + x − 1, sabemos - pelo teorema 18.5.1 - que q(x) e r(x) existem e são únicos. Logo, o processo para encontrá-los nos sugere os seguintes passos: Passo 1: Escrevemos ambos os polinômios em ordem crescente, isto é, p(x) = x4 + 4x3 + 4x2 + 0x + 9 e h(x) = x2 + x − 1 Observação 18.3. Completamos com zero os expoentes que estão faltando. Passo 2: Dividimos o termo maior do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, assim obtemos o primeiro termo de quociente: x4 + 4x3 + 4x2 + 0x + 9 −x4 − x3 + x2 0x4 + 3x3 + 5x2 x2 + x − 1 x2 Passo 3: Como a diferença obtida gerou um polinômio de maior grau do dividendo, repetimos o processo análogo ao passo 2 e assim sucessivamente até que o resto seja de menor grau que o divisor: x4 + 4x3 + 4x2 +0x+ .. −x4 − x3 + x2 . 0x4 + 3x3 + 5x2 +0x 9 .. . .. . .. . −3x3 − 3x2 +3x 2x2 +3x+ 9 −2x2 −2x+ 2 x + 11 Logo, q(x) = x2 + 3x + 2 e r(x) = x + 11 x2 + x − 1 x2 + 3x + 2 CAPÍTULO 18. POLINÔMIOS 80 18.5.2 Método 2: Identidade de Polinômios (Descartes) Sejam os polinômios p(x) = 4x3 − 3x + 2 e h(x)x2 − x, vamos mostrar outro método interessantíssimo para encontrar q(x) e r(x), utilizando o método de Descartes temos as seguintes considerações: i) p(x) = q(x)·h(x)+r(x), onde gr(q) = gr(p)−gr(h) = 1. Logo, q(x) necessariamente deve ser da forma q(x) = ax + b; ii) O resto é identicamente nulo se e somente se a divisão for exata. Caso contrário, pelo teorema 18.5.1 (pág. 78), temos necessariamente gr(r) ≤ 1, isto é r(x) = px+m. Logo: 4x3 − 3x + 2 px + m x2 − x ax + b Com efeito: 4x3 − 3x + 2 = (ax + b)(x2 − x) + px + m 4x3 − 3x + 2 = ax3 − ax2 + bx2 − bx + px + m 4x3 − 3x + 2 = ax3 + (−a + b)x2 + (−b + p)x + m Como os polinômios são idênticos, temos:  a    −a + b −b + p    m = 4 = 0 = −3 = 2 Assim, resolvendo o sistema, temos a = 4; b = 4; p = 1; m = 2. Portanto, q(x) = 4x + 4 e r(x) = x + 2 Exercício: Deixamos a cargo do leitor verificar que, utilizando o método 1, as respostas irão coincidir. Antes de enunciarmos o nosso terceiro e último método conhecido por algoritmo de Briot - Ruffini, vamos enunciar os seguintes resultados: Teorema 18.5.2. (do Resto) O resto da divisão de um polinômio p(x) por um binômio (x − a) é o próprio valor numérico do polinômio em x = a, que indicamos anteriormente por p(a). Teorema 18.5.3. (de D’Alembert) A divisão de um polinômio p(x) por um binômio (x − a) é exata se, e somente se, p(a) = 0 18.5. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 81 Observação 18.4. i) Através desses dois últimos resultados e com o teorema 18.5.1 da pág. 78, prova-se que, sendo o polinômio p(x) divisível por (x − a) e por (x − b) com a 6= b, então p(x) é divisível por (x − a).(x − b), ao leitor fica o desafio de provar o resultado. ii) Sobre os teoremas que estamos enunciando, dos quais omitimos as demonstrações, recomendamos fortemente para aqueles que gostam das provas matemáticas a leitura dos seguintes títulos: Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 6 - Gelson Iezzi e para aqueles mais “íntimos” com a matemática: Introdução a Álgebra - Adilson Gonçalves 18.5.3 Método 3: Algoritmo de Briot-Ruffini Sejam os polinômios f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an , (a0 6= 0) g(x) = x − a Vamos encontrar o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f (x) por g(x). O algoritmo de Briot - Ruffini nos sugere a seguinte construção: Exemplo 18.5.1. Divida f (x) = 2x4 − 7x2 + 3x − 1 por g(x) = x − 3 Portanto, q(x) = 2x3 + 6x2 + 11x + 36 e r(x) = 107 Exercício: Fica a cargo do leitor verificar que utilizando o método 1 e 2 as respostas irão coincidir. CAPÍTULO 18. POLINÔMIOS 82 Observação 18.5. Existe um outro modo de se “escrever” o algoritmo de Briot-Ruffini. Seja p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 e h(x) = (x − a). a an an = qn an−1 aqn + an−1 = qn−1 ··· ··· a1 aq2 + a1 = q1 a0 aq1 + a0 = q0 Assim, q(x) = qn xn−1 + qn−1 xn−2 + · · · + q2 x + q1 e r(x) = q0 . Considerações: Naturalmente existem mais métodos para se dividir polinômios, em particular métodos específicos para determinados graus de polinômios como é o caso de polinômios de grau 2 e 3, Bhaskara e chute respectivamente, sobre os quais acreditamos que o leitor já tem um conhecimento prévio. Ambos são facilmente encontrados em qualquer livro de ensino básico. 18.6 Fatoração Como vimos o que são raízes e a divisão de polinômios, agora podemos aprender a fatorá-los. Vocês, leitores, já devem ter visto que nem todo polinômio admite raízes real. Fatorar, aqui, significar escrever um polinômio como uma multiplicação de polinômios de grau 1, ou então de grau 2 só se não for possível escrever do primeiro modo. Exemplo 18.6.1. Diga se os polinômios estão na sua forma fatorada: a) p(x) = (x + 2)2 está na sua forma fatorada b) p(x) = 2(x + 3)(x − 2)2 está na sua forma fatorada c) p(x) = −4(x+2)3 (x2 −4) não está na sua forma fatorada pois, (x2 −4) = (x−2)(x+2) (faça a distributiva e confira!) d) p(x) = −4(x + 2)3 (x2 + 4) está na sua forma fatorada (ainda veremos o porquê) Muito bem. Agora que temos uma ideia do que é um polinômio fatorado, temos que aprender a como fatorar. Teorema 18.6.1. Sejam i) p(x) = a(x − x1 )α1 (x − x2 )α2 · · · (x − xk )αk · q(x) a forma fatorada de um polinômio que possui k raízes reais distintas, com 0 ≤ k ≤ n, e ii) q(x) é um polinômio mônico (coeficiente do termo de maior grau igual a 1) de grau m, com: 18.6. FATORAÇÃO 83 • 0 ≤ m ≤ n se n é par, ou • 0 ≤ m < n se n é ímpar. Então: i) m = n + k ii) m é par iii) x1 , x2 , · · · , xk são suas raízes reais distintas iv) αi é a multiplicidade da raiz xi , i = 1, · · · , k v) a = an , ou seja, o coeficiente do termo de maior grau vi) q(x) não possui raízes reais Exemplo 18.6.2. (m = 0) Fatore os polinômios a seguir: a) p(x) = x2 + x − 2 p(x) x +x−2 = = x = x x x′ = 1 Portanto, como an = 1, temos p(x) p(x) = = e = = 2 0 0   p 2 −1 ± 1 − 4(1)(−2) /(2(1)) √
−1 ± 9 /2 (−1 ± 3) /2 x′′ = −2 (raízes reais) 1(x − 1)(x − (−2)) (x − 1)(x + 2) b) q(x) = x3 − 2x2 − 11x + 12 q(x) = 0 3 2 x − 2x − 11x + 12 = 0 x = 1 é solução pois 1 + (−2) + (−11) + 12 = 0 (soma dos coeficientes é igual a zero) Então, por Briot-Ruffini, temos 1 1 1 −2 1 + (−2) = −1 −11 −1 + (−11) = −12 12 −12 + 12 = 0 Assim, Nossa nova equação é: q2 (x) = (1)x2 + (−1)x + (−12) ⇒ q2 (x) = x2 − x − 12 q2 (x) x − x − 12 2 = = x = x x x′ = 4 Portanto, como an = 1, temos q(x) q(x) = = e = = 0 0   p 2 −(−1) ± (−1) − 4(1)(−12) /(2(1)) √
1 ± 49 /2 (1 ± 7) /2 x′′ = −3 (raízes reais) 1(x − 1)(x − 4)(x − (−3)) (x − 1)(x − 4)(x + 3) CAPÍTULO 18. POLINÔMIOS 84 Exemplo 18.6.3. (m > 0) Fatore os polinômios a seguir: a) p(x) = x3 − x2 + x − 1 p(x) = 0 3 2 x −x +x−1 = 0 x = 1 é solução pois 1 + (−1) + 1 + (−1) = 0 (soma dos coeficientes é igual a zero) Então, por Briot-Ruffini, temos 1 1 1 −1 1 + (−1) = 0 1 0+1=1 −1 1 + (−1) = 0 Assim, Nossa nova equação é: p2 (x) = (1)x2 + (0)x + (1) ⇒ p2 (x) = x2 + 1 p2 (x) x2 + 1 x x −4 ∈ /R Portanto, como an = 1, temos p(x) p(x) √ = = 0 0   p −0 ± 02 − 4(1)(1) /(2(1)) √
= ± −4 /2 ⇒ ∄x ∈ R / p2 (x) = 0 = 1(x − 1) · p2 (x) = (x − 1)(x2 + 1) = q(x) x + 2x + 2 = = x = 2 0 0   p 22 − 4(1)(2) /(2(1)) √
b) q(x) = x2 +2x+2 −4 /2 x = −2 ± √ −4 ∈ / R ⇒ ∄x ∈ R / q(x) = 0 Portanto, como an = 1, temos q(x) = 1 · q(x) q(x) = x2 + 2x + 2 −2 ± c) p(x) = 2x2 + 4 p(x) = 2(x2 + 2) p2 (x) x2 + 2 x2 x √ −2 ∈ /R Portanto, como an = 2, temos p(x) p(x) = = = = ⇒ = = 0 0 −2√ ± −2 ∄x ∈ R / p2 (x) = 0 2 · p2 (x) 2(x2 + 2) Capítulo 19 Binômio de Newton 19.1 Motivação Aprendemos em produtos notáveis que (a+b) = a2 +2ab+b2 (a mais b, ao quadrado é igual ao primeiro ao quadrado, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o segundo ao quadrado). Essa é basicamente a “fórmula”. No entanto, o que faríamos para calcular (a + b)3 . Bom, poderiamos fazer o seguinte: 2 (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a + b) = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Bom, mas e se for elevado a quarta? Podemos aplicar o mesmo processo anterior, mas e se quisermos elevar a 10? Ou a um n determinado? É pra isso que serve, então, nosso objeto de estudo, o binômio de Newton. 19.2 O binômio Definição 19.2.1. Todo binômio da forma (a + b)n , sendo n ∈ N é denominado de binômio de Newton. Teorema 19.2.1. (do binômio de Newton)  n  X n xn−k y k (x + y) = k n k=0 onde  n k  = são chamados de coeficentes binomiais n! = Ckn k!(n − k)! 85 CAPÍTULO 19. BINÔMIO DE NEWTON 86 Podemos montar uma tabela (chamada também de triângulo de Pascal) dos coeficientes binomiais. 0 1 2 3 n 4 5 6 7 8 .. . 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 k 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 1 6 21 56 1 7 28 1 8 1 8 ··· Mas, o que tudo isso tem a ver com polinômios? Bom, vamos às seguintes propriedades: i) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n ; ii) os coeficientes que equidistam dos extremos são numericamente iguais; iii) o desenvolvimento de um binômio de Newton pode ser um polinômio de (n + 1) termos e n iv) C0n = Cnn = 1, e C1n = Cn−1 = n. Exemplo 19.2.1. Desenvolva o binômio a seguir:         3 3 3 3 3−2 2 3−1 1 3−0 0 3 a3−3 c3 a c + a c + a c + (a + c) = 3 2 1 0 = 1 · a3 · 1 + 3 · a2 c + 3 · ac2 + 1 · c3 = a3 + 3a2 c + 3ac2 + c3 19.3 O termo geral de um binômio A fórmula para o termo geral do binômio (a + b)n é dado pela seguinte fórmula: Tp+1 =  n p  an−p bp Assim, se eu quero, por exemplo, o 3º termo do desenvolvimento do binômio (x + y)6 , basta calular T3 . Exemplo 19.3.1. Calcule o que se pede: Calcule o 5º termo do binômio (x + 3)7 Tp+1 = T5 ⇒ p + 1 = 5 ⇒ p = 4 19.3. O TERMO GERAL DE UM BINÔMIO  7 x7−4 34 Assim, T5 = 4 Vamos então calcular C47  C47 = 7! 4!(7 − 4)! 7 · 6 · 5 · 4! 4! · 3! 7·6·5 = 3·2·1 = 7·5 = = 35 Portanto, T5 = 35 · 81x3 = 2835x3 87 88 CAPÍTULO 19. BINÔMIO DE NEWTON Capítulo 20 Exercícios1 Exercício 20.1. Determine o grau dos polinômios a seguir: a) 5x3 + x2 + 3x + 2 b) a4 + a5 + aaa + a3 c) 12x2 + x3 Exercício 20.2. Dados os polinômios F (x) = 2 + 3x − 4x2 , G(x) = 7 + x2 e H(x) = 2x − 3x2 + x2 , calcule: a) H(x) · G(x) b) F (x) · G(x) c) F (x) + H(x) d) H(x) − G(x) Exercício 20.3. Se P (x) = xn − xn−1 + xn−2 − · · · + x2 − x + 1 e P (−1) = 19, então quando vale n? Exercício 20.4. Encontre a(s) raiz(es) dos polinômios a seguir: a) 18x3 + 9x2 x − 1 = 0 b) b2 + 1 = 0 Exercício 20.5. Determinar a sabendo que 2 é raiz da equação x4 −3x3 +2x2 +ax−3 = 0. Exercício 20.6. Obter um polinômio do terceiro grau cujas raízes são 2,1 e −2. 1 Os exercícios 20.1, 20.2 e 20.3 são das seções 18.1, 18.3 e 18.4, respectivamente. Os exercícios 20.4 a 20.15 são da seção 18.5. O exercício 20.16 faz referências aos conteúdos da seção 18.6 e do capítulo 19. 89 90 CAPÍTULO 20. EXERCÍCIOS Exercício 20.7. Resolver a equação x3 − 3x2 − 3x + 3 = 0, sabendo-se que a soma de duas raízes é zero. Exercício 20.8. Calcule as raízes do polinômio p(x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2 utilizando-se o método de Briot-Ruffini. Exercício 20.9. Verifique se p(x) = x3 − 2x2 + 1 é divisível por: a) x − 1 b) x − 2 c) x + 1 Exercício 20.10. Calcular p para que o polinômio 4x4 − 8x3 + 8x2 − 4(p + 1)x + (p + 1)2 seja o quadrado perfeito de um polinômio inteiro (seus coeficientes são inteiros) em x. Exercício 20.11. Determinar o resto e o quociente de f (x) = xn + an por g = x − a. Exercício 20.12. Determinar p e q reais de modo que f (x) = x2 + (p − q)x + 2p e g = x3 + (p + q) sejam ambos divisíveis por 2 − x. Exercício 20.13. Determinar a e b de modo que o polinômio f (x) = x3 + 2x2 + ax + b apresente as seguintes propriedades: f (x) + 1 divisível por x + 1 e f (x) − 1 é divisível por x − 1. Exercício 20.14. O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = −5x2 + 100x − 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine: a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desse produto. b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo? Exercício 20.15. Dada a função f (x) = 3x2 − 4x + 1, determine se ela possui ponto de máximo ou mínimo absoluto. Exercício 20.16. Fatore os polinômios a seguir: a) a2 − b2 b) 16a2 − 1 c) a2 + 2ab + b2 d) 4x2 − 12xy + 9y 2 e) x2 − 10x + 25 f) 5x3 + 5x5 − 5x2 g) 12a2 x3 + 6a4 x5 − 30a6 x4 91 Figura 20.1: Figura 20.2: Desafio 20.1. Cortando-se quadrados em cada canto de uma folha de papelão quadrada (Figura 20.1), com 18cm de lado, e dobrando-a (Figura 20.2), obtem-se uma caixa retangular sem tampa. Qual deve ser o lado do quadrado a ser recortado para que o volume da caixa seja igual a 400cm3 ? 92 CAPÍTULO 20. EXERCÍCIOS Capítulo 21 Aplicação dos polinômios - Distribuição Binomial 21.1 Distribuição Binomial C omecemos com um exemplo. Suponha que 100 pacientes foram submetidos a um teste no qual se observou que 35 foram aprovados. Tomando 2 pacientes, quais as probabilidades de aprovação? Bom, para começar temos três opções: (a) Os dois são aprovados, (b) um é aprovado, ou (c) nenhum é aprovado. (a) Como queremos que os dois sejam aprovados, temos que ter aprovado e aprovado. Usando a regra do “e”, temos que a probabilidade de os dois serem aprovados é igual a multiplicação da probalidade de um ser aprovado pela probabilidade do outro. 35 35 × 100 = 0, 1225 Portanto temos 100 (b) Como queremos que seja aprovado apenas um paciente, temos que ter aprovado e reprovado, ou reprovado e aprovado. Assim, aplicamos a regra do “e” e a regra do 35 65 “ou”. Uma observação antes é que a probabilidade de ser reprovado é 1 − 100 = 100 .

65 35 65 35 Portanto temos 100 × 100 + 100 × 100 = 0, 455. (c) Como queremos que os dois sejam reprovados, temos que ter reprovado e reprovado. Usando a regra do “e”, temos que a probabilidade de os dois serem reprovados é igual a multiplicação da probalidade de um ser reprovado pela probabilidade do outro. 65 65 × 100 = 0, 4225 Portanto temos 100 Podemos perceber que 0, 1225 + 0, 455 + 0, 4225 = 1. Mas isso é óbvio, pois existem apenas essas três possibilidades, nenhuma a mais. Assim a soma das três tem que dar o total, ou seja 100% Mas o que isso tem a ver com polinômio? Bom, primeiro precisamos pensar que esse exemplo pôde ser resolvido de maneira bem simples utilizando-se de conhecimentos básicos sobre probabilidade. Mas, se no exemplo em vez de tomarmos dois pacientes, tomarmos 30 paciemtes? Vamos, então, à definição. Definição 21.1.1. Seja X (variável aleatória) o número de resultados favoráveis em Ω. 93 CAPÍTULO 21. APLICAÇÕES 94 Dizemos que X tem distribuição binomial com parametros n e p, se   n py q n−y P (X = y) = y (21.1) Em que i) n = #Ω; ii) y ∈ {0, 1, 2, · · · , n}, y é o evento que você quer; iii) p é a probabilidade dada; iv) q = 1 − p. Observação 21.1. Repare que o lado direito da equação (21.1) é o termo geral do binômio (p + q)n , com p ≤ 1. Veja também que y vai de 0 a n. Assim,  n  X n py q n−y = (p+q)n (pelo teorema de binômio de Newton. Ver Teorema 19.2.1) y y=0 (21.2) Observe que (p + q) = (p + (1 − p)) = 1 = 1, como deveria ser, pois a soma de todas as possibilidades tem que dar 100%. n n n Exemplo 21.1.1. Peguemos o exemplo dado no início. Temos que: #Ω = n = 2, pois escolhemos 2 pacientes; p = 35/100 = 0, 35; q = 65/100 = 0, 65. a) Qual a probabilidade de escolher dois que passaram no teste? Temos que y = 2, pois queremos que os dois tenham passado.   2 0, 352 .0, 652−2 P (X = 2) = 2 = 0, 352 = 0, 1225 b) Qual a probabilidade de que apenas um tenha passado? y=1   2 0, 351 .0, 652−1 P (X = 1) = 1 = 2 · 0, 35 · 0, 65 = 0, 455 c) Qual a probabilidade de que nenhum tenha passado? y=0   2 0, 350 .0, 652−0 P (X = 0) = 0 = 0, 652 = 0, 4225 21.2. EXERCÍCIOS 21.2 95 Exercícios Para as questões 1 e 2, utilize a tabela abaixo: Aluno Sexo Idade 1 F 21 2 F 20 3 M 19 4 M 20 5 F 23 6 F 21 7 M 22 8 F 20 9 F 20 10 F 20 11 M 22 12 F 21 13 M 20 14 M 20 15 F 24 1. Se tomar uma amostra, aletoriamente , de 5 alunos, qual a probabilidade de nenhum ser do sexo feminino? 2. Se tomar aletoriamente 5 alunos, qual a probabilidade de: a) Dois ter mais que 20 anos? b) De pelo menos 2 ter mais que 20 anos? 3. Em um carregamento de notebooks, sabe-se que 1% apresenta qualquer problema. Se comprarmos 30, qual a probabilidade de duas ou mais apresentarem problemas? 96 CAPÍTULO 21. APLICAÇÕES Referências Bibliográficas [1] PAIVA, Manoel. Matemática. 1ª Edição. São Paulo, 2005. Volume Único. Editora Moderna. [2] DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática - 6ª série. 1ª Edição. São Paulo, 2007. Editora Ática. [3] ISOLANI, Clélia Maria M.; MIRANDA, Diair Terezinha L.; ANZZOLIN, Vera Lúcia A.; MELÃO, Walderez S.. Matemática - 6ª série. 2ª Edição. Curitiba, 2002. Editora Construindo o Conhecimento. [4] LONGEN, Adilson. Matemática em Movimento — 6ª série. Livro do Professor. Editora do Brasil. [5] PAULOS, John Allen. Inumerismo — O analfabetismo matemático e suas consequências. Portugal, 1988. Publicações Europa-América. [6] BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lúcia; WETZLER, Henry G. Álgebra Linear. 3ª Edição. São Paulo. Editora Harbra. [7] LIMA, Elon L.; CARVALHO P. C., Paulo; WAGNER, Eduardo; MORGADO C., Augusto. A matemática do ensino médio. Volume 3, Sexta edição. Rio de Janeiro, 1998. [8] IEZZI, Gelson. Fundamentos da matemática elementar. Volume 6, sétima edição, Editora ATUAL. [9] GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5ª edição, IMPA, 1999. [10] PICADO, Jorge. Apontamentos de álgebra II. Universidade de Coimbra, 2006. [11] XAVIER da S., Claudio; BARRETO F., Benigno. Matemática aula por aula. 3ª série, Segunda edição. Editora FTD. São Paulo, 2005. [12] NOBILONI, Giusepe. Álgebra 1 — Coleção objetivo, sistemas de métodos e aprendizagem. Editora Sol. [13] IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto; de ALMEIDA, Nilze. Matemática: Ciência e Aplicações. Ensino Médio. Volume 2. 4ª Edição. Editora Atual. São Paulo, 2006. 97 98 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [14] GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy. Matemática Fundamental — Uma nova abordagem. Volume Único. Editora FTD. São Paulo, 2002. [15] III Brincando de Matemático. [16] CHURCHILL, Ruel V. Variáveis Complexas e suas aplicações. Editora McGraw-Hill do Brasil. [17] HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar — Combinatória e Probabilidade. Volume 5.